MECANICA DE FL FLUIDOS
U.N.P.R.G.
MECANICA DE FLUIDOS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL “PRINCIPIO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO”
INTEGRANTES: CHAPOÑAN MENDOZA MARIANA MEDINA VASQUEZ JOSSEPH SERNAQUE TRONCOSO CESAR VIDAURRE CARHUAJULCA JOEL ZELADA $AZAN SUSANA
(090407 I) (0904! ") (0904#9 $) (0904%7 E) (0904%9 H)
DOCENTE: I&'. LOAZA RIVAS CARLOS 2011 – I
ING. CIVIL
P'*&+
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MECANICA DE FLUIDOS
INTRODUCCIÓN La cantidad de movimiento es una magnitud física fundamental de fundamental de tipo vectorial vectorial que que describe el movimiento de movimiento de un cuerpo cuerpo en cualquier teoría La cantidad de movimiento movimiento obedece obedece a una ley de conservación,, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o conservación sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de un fluido que se mueve segn un campo de velocidades es velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido.
MARCO TEORICO !rincipio de "antidad de #ovimiento $el %Segundo !rincipio de la $in&mica' expresado como da. cuación de *e+ton, se tiene que ,
F=
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, d (m v ) dt
P'*&+ #
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MECANICA DE FLUIDOS F
%La suma vectorial de todas las fuerzas
que actan sobre una masa de fluido es igual a la
rapidez del cambio del vector cantidad de movimiento de la masa del fluido', es decir
,
F=
d , (C)..........(1) dt
La cantidad de movimiento de un elemento de masa %m', es el producto de esta por su velocidad. Sea “C ' la cantidad de movimiento
C = mv
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MECANICA DE FLUIDOS -allemos la la ecuación o principio de la cantidad de movimiento
La magen ilustra convenientemente, como se puede extrapolar la ecuación previa a una aplicación m&s comple/a, como lo es la consideración de la misma en un volumen fi/o en el
espacio, tomado como 0olumen de "ontrol
∀
y superficie 1 y que es permanentemente
atravesado por un continuo, asociado a un campo de velocidades variable de instante a instante. La 0ariación 2otal de la "antidad de #ovimiento, puede ser evaluada por partes, una primera teniendo en cuenta en un instante dado el balance entre la "antidad de
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#ovimiento entrante y saliente de la superficie de control y una segunda, teniendo en cuenta su variación en el tiempo, dentro del volumen de control, para el tiempo tendiendo al instante considerado. n símbolos, la expresión a desarrollar puede ser establecida como F
3 4c
m ∀ +¿
4c
m A
n la que F
=
es la 5esultante de todas las fuerzas actuantes en el 0olumen de control fi/o en el espacio
y atravesado por el continuo.
4c
m A
3 es el balance de la "antidad de movimiento entrante y saliente por la superficie de
control 1.
4c
m∀
3 es la variación de la "antidad de #ovimiento dentro del volumen de control en el
tiempo para el instante considerado. valuación de la variación de la cantidad de movimiento a trav6s de la superficie de control l caudal elemental que pasa por un elemento de la superficie de control es, por definición d73 V .d A
⃗
Sabemos
ρ =
dm d∀
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l gasto de masa elemental ser& V d A
8 d738
dm d ∀ . =¿ 8 d ∀ dt
m3 8
V
V d A
d A dt
La cantidad de movimiento, consecuentemente resulta
C = mv
C =¿ 8
Nota:
V d A dt
V
Se de/a intencionalmente la expresión reiterando en ella dos veces al vector velocidad, sin
realizar su producto, lo que lo llevaría a ser elevado al cuadrado, de manera tal que quede bien establecido el caudal, concepto que no sería tan visible de efectuar la operación aludida y que oportunamente ser& realizada. l balance de "antidad de movimiento entrante y saliente, extendido a toda la superficie del volumen de control, es la integral de la expresión previa extendida a dic9a superficie. n efecto, el nombrado balance, resulta para un instante dado y su derivada en el tiempo resulta, consecuentemente.
∆ cm A =¿
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sta expresión anterior implica %La cantidad de movimiento a trav6s de la superficie de control
en un instante dado y es el t6rmino
∆ cm A
convenientemente elaborado.
valuación de la variación de la cantidad de movimiento dentro del volumen de control 1l ser considerado un volumen elemental d ∀ del volumen de control
∀
(tal como puede
observarse en la figura) en todo instante el mismo es ocupado por una partícula fluida de masa elemental y asociada a un vector velocidad, el que puede variar de instante a instante con las sucesivas partículas que pasen por ese punto del espacio. La cantidad de movimiento elemental y para un instante dado ser& C = ρ d ∀ V
La cantidad de movimiento, en un instante, extendida a todo el volumen de control resulta a
∫ ρ d ∀ V ⃗
∀
La variación de la cantidad de movimiento dentro del volumen elemental ser& a
∫ d ( ρdt V ) d ∀ ⃗
∆ cm ∀=
∀
*ota. 1l ser el volumen de control fi/o en el espacio, las derivadas parciales coinciden con las totales, puesto que la nica variable remanente es el tiempo.
La anterior es el t6rmino
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∆ cm ∀
convenientemente elaborado.
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xpresión final de la ecuación de la variación de la cantidad de movimiento 5eemplazando en la expresión
: 3 4c
m ∀ +¿
4c
m A
Los sumandos elaborados del segundo t6rmino, se obtiene la expresión general , , , ∂(ρv) F=∫ d∀ + ∫ (ρv)(v • dA) ∀ ∂t A ,
Ley que constituye una de las ecuaciones fundamentales de la mec&nica de los fluidos conocida como la ecuación o principio de la cantidad de movimiento. La misma expresa, la :uerza resultante de todas las actuantes en el volumen de control, teniendo en cuenta las acciones que tienen lugar en toda la superficie del volumen de control en un instante dado y el efecto din&mico de la intensidad de la variación de la cantidad de movimiento en el interior del volumen, para el instante en consideración.
Caso Especa! De! Mo"#e$%o Pe&#a$e$%e La ecuación general de la cantidad de movimiento se simplifica a
∫
F = (ρv )( v • d A ) A
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Puesto que se sabe que en un flujo permanente las propiedades del flujo y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir que la velocidad , la densidad ,en la presión, en la temperatura o en la concentración en ningún punto.
Se sabe que el vector velocidad y el vector &rea son ambos perpendiculares al &rea, es decir
v
⊥ dA ⇒ v // dA ⇒ v • dA = vdA cos 0° v • dA
= vdA
La fuerza quedaría:
∫
F = ρv (v dA) A
∫
F = ρv (vdA) = (ρv)(v A ) A
Q = v•A Se sabe que
Q = vA cos 0°
v//A pero como
, entonces
Q = vA
ntonces la fuerza quedaría
F = ρQ v
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Si tuvi6ramos el siguiente volumen de control
Si tomamos dos secciones como ;<; y <= en cada extremo de la porción de fluido entre ambas secciones acta una fuerza, como se muestra en el gr&fico. > si el flu/o fuera permanente, entonces la fuerza sería
F = ρQ v
ntonces las fuerzas seria
F1
= ρ Q v1
F2 = −ρ Q v 2 y
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Las velocidades son
v1 = v1X i
+ v 1Y j
v2
= v 2X i + v 2Y j
y Las fuerzas quedarían
F1 = ρQ(v1X i F2
+ v1Y j)
= −ρQ(v 2X i + v 2Y j)
La sumatoria de las fuerzas en los e/es ? e > son
∑F
= ρQ(v1X − v 2X )
∑F
= ρQ(v1Y − v 2Y )
X
Y
P&$cpo 'e !a Ca$%'a' 'e Mo"#e$%o Ap!ca'o a !a Co&&e$%e L()*'a Sea la vena liquida(0olumen de líquido delimitado por el tubo de corriente). siguiente
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l sentido de los vectores de las secciones transversales siempre saliente de la vena liquida y perpendicular a la sección, es decir
dS2 ,
dS1
n1 $onde
= n2 dS2 ,
= n1 dS1
n2 y
son vectores unitarios perpendiculares a las secciones
!or el principio de la cantidad de movimiento se sabe que
∂(ρv ) ⃗ ⃗ ⃗ F = ∫ .d∀ + ∫ (ρv )( v • d A ) t ∂ ∀ A .
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S2
S1
P'*&+ #
y
respectivamente.
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!ero como el flu/o es liquido y se sabe que los líquidos son incompresibles, por lo tanto la
∂ ρ =@ ∂t densidad de un punto a otro no varia, es decir
y la fuerza resultaría
∫
F = ρ (v)(v • dA) A
F1 n cada sección transversal se desarrolla una fuerza= es decir en S; se produce una fuerza
y en
F2 la sección S se produce una fuerza
y la suma de ambas nos da la fuerza total que acta en
la vena liquida.
F = F1 + F2
= ρ ∫ (v1 )(v1 • dS1) + ρ ∫ (v 2 )(v 2 • dS2 ) S1
S2
Si se acepta que los filetes son rectos y a lo m&s con suave curvatura, se puede decir que las
n1 velocidades son perpendiculares a las secciones transversales y adem&s que el sentido
v1 opuesto al sentido de
, se puede escribir que
v1 = −n1v1
v2
= n2 v 2
=
v1 // dS1 ⇒ v1 • dS1 = v1dS1 ING. CIVIL
P'*&+ %
es
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MECANICA DE FLUIDOS v 2 // dS2
⇒ v 2 • dS2 = v 2 dS2
∫
∫
La fuerza quedar&
F = −ρ ( −n1v1 )(v1dS1 ) + ρ (ρ(n2 v 2 ))(v 2 dS2 ) S1
S2
∫
∫
F = −ρ n1v1v1dS1 + ρ n2 v 2 v 2 dS2 S1
S2
2 F = ρ vm n 2S 2 2
− v m2 n1S1 1
!or ser un flu/o permanente, el caudal es igual en ambas secciones transversales
Q
= v m S 2 = v m S1 2
1
F = ρ v m2 v m2 S 2n2
⃗
F = ρ[ v
⃗
m2
Qn 2
1
⃗
− v m Qn1 ]
!or lo tanto
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− v m v m S1n1
P'*&+ 4
1
1
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F = ρ[ v m2 Qn − v m1Qn] ⃗
F = ρ[( v m2
⃗
− v m )Qn] 1
ntonces
F = ρ Q ∆Vm n entonces se puede decir que
n = n1
= n2
!or lo tanto
F = ρ v m2 Qn − v m1Qn
⃗
F = ρ[( v m2
⃗ − v m )Qn] 1
ntonces
F = ρ Q ∆Vm n
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E+ERCICIOS FUERZA EN UN DEFLECTOR DE CHORRO: Consideremos un chorro de velocidad v0, ancho e! " #ro$undidad i%ual a &' De(erminar la $uer)a *ue es(+ resis(iendo el deec(or de-ido al im#ac(o del chorro' Es $+cil ver *ue en es(e caso nos in(eresa las dos com#onen(es ./, " del TC1' Des#reciar el #eso del l2*uido'
SOLUCION L/ ,*12,/ 32 52621/ 8+2, 2 52&*, 2;
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A;*321/ 2; TCM 2'>& ? +;
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U.N.P.R.G. F Y = ρQ( V
sale − V entra
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V sale =V
0
V entra =0 0 −¿ 0
v¿ F y = ρ V 0 e ¿ 2
F y = ρ e V
1 $ b
0
Un bote reqiere 20 !" de em#je #$r$ m$ntener%o en movimiento $ 2& !m/'. Cntos m*/s de $+$ deben de ser tom$dos , e-#%s$dos #or n tbo de &00 mm #$r$ m$ntener ese movimiento C% es e% rendimiento tot$% de% sistem$ de bombeo tiene n rendimiento de% 0 .
SOLUCION DATOS :
D2&*5+5 52; +'+@ 000 'B1% L+ <2;/*5+5 52; 6/=2 < @ #- 1B8 @ 94 1B DESARROLLO:
a,- M/<*1*2&=/ +6/;=/ 52; +'+ 2& ;+ 2*/&2 #. ING. CIVIL
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V$bso%t$ (seccin 1) 0 V$bso%t$ (seccin 2) v$bs
M/<*1*2&=/ ,2;+=*
A;*+*& 52; T2/,21+ 52 ;+ C+&=*5+5 52 M/<*1*2&=/ 2& 2=2 *=21+ 52 ,/;*& + 8/,,/.
.
E; +5+; 2?;+5/ /, ;+ 2*& 52 -00 11 2:
P/, =+&=/ :
S=*=2&5/ ;/ <+;/,2:
S=*=2&5/ ;/ <+;/,2: P/, =+&=/:
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.,P/=2&*+ 2,5*5+:
P/=2&*+ >=*;:
n la figura se 9a representado la sección recta de un azud con algunas dimensiones principales. Suponiendo que en las secciones de corriente seAaladas por líneas de trazos las distribuciones de velocidad son uniformes y conocidas, se pide determinar la fuerza que la corriente realiza sobre el azud. "onsid6rese que el azud tiene una profundidad L y que la altura del nivel del líquido es de ;@ m.
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Sección transversal de un azud 5esolución $ado que el enunciado indica que las distribuciones de velocidad son uniformes, el flu/o m&sico circulante ser& mB 3 8 7 3 8 s v 3 8 ; L v 3 8 L v La fuerza que la corriente e/erce sobre el azud se podr& determinar aplicando el principio de conservación de cantidad de movimiento al volumen de control englobado entre las dos superficies marcadas en líneas a trazo discontinuo La ecuación de cantidad de movimiento en r6gimen permanente se establece
Las fuerzas m&sicas no tendr&n componente con respecto al e/e de las abscisas, con lo cual
Los t6rminos que definen la fuerza debida a la distribución de presiones en la entrada y la salida son
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l flu/o de cantidad de movimiento entre las secciones de entrada y salida del volumen de control es
Sustituyendo los C t6rminos en la ecuación de movimiento se tiene
Dbservese que la fuerza que se obtiene es la fuerza de reacción. La que e/erce el contorno sobre el fluido.
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