Campos de Tensão e Método das Bielas: Aplicações na Concepção e Dimensionamento de Estruturas em Concreto Armado (First Draft) Aurelio Muttoni, Miguel Fernandez Ruiz & Neven Kostic Tradução: Rafael Alves de Souza
Maringá, Agosto de 2013.
Apresentação dos Autores
Os fundamentos do Método dos Campos de Tensão foram desenvolvidos nos anos 70 e 80 nas Escolas Politécnicas de Zurich e Copenhague, tomando por base a Teoria da Plasticidade. Esse método se constitui atualmente como a base para o dimensionamento armaduras transversais em estruturas de concreto pela norma suíça SIA 262 (2003). Paralelamente ao desenvolvimento do Método dos Campos de Tensão, e mais ou menos na mesma época, pesquisadores alemães desenvolveram uma teoria baseando-se principalmente em condições de equilíbrio. Esses pesquisadores basicamente continuaram uma compreensão intuitiva do comportamento de estruturas de concreto iniciada no começo do século XX (Modelo de Treliça). Tal método, denominado de Método das Bielas, também tem experimentado grande sucesso e inspirado diferentes normas e recomendações recomendações internacionais. i nternacionais. Apesar das diferenças, os dois métodos possuem fortes semelhanças e podem ser utilizados de maneira complementar. O sucesso dos métodos é, em grande parte, devido ao fato de que a aplicação de ambos permite uma compreensão intuitiva dos mecanismos de transmissão de cargas no interior de uma estrutura. Dessa maneira, os referidos métodos não são somente valiosos para a avaliação da capacidade portante das estruturas mas também permitem a otimização das formas e das armaduras ao invés da mudança da concepção para melhorar a resposta. No entanto, a aplicação prática dos dois métodos tem apresentado algumas dificuldades. Tais dificuldades se referem principalmente ao fato de que diferentes mecanismos de transmissão de cargas são possíveis no interior de uma estrutura e que certa experiência é necessária de maneira a selecionar o modelo mais apropriado. De maneira a ajudar na escolha e no desenvolvimento de campos de tensão e de modelos de escoras e tirantes adequados, uma série de pesquisas teóricas e experimentais foram efetuadas recentemente na Escola Politécnica de Lausanne (EPFL). No presente documento, as bases teóricas dos dois métodos (Método dos Campos de Tensão e Método das Bielas) serão explicados de maneira rigorosa, detalhando suas similaridades e diferenças, bem como detalhando alguns conceitos da norma suíça SIA 262. Um aceno particular é feito para os casos práticos, de maneira que se possa utilizar programas computacionais desenvolvidos na EPFL, capazes de obter de maneira automática os campos de tensão. Lausanne, Janeiro de 2010 Prof. Dr. Aurélio Muttoni Dr. Miguel Fernéndes Ruiz Dr. Neven Kostic
Apresentação dos Autores
Os fundamentos do Método dos Campos de Tensão foram desenvolvidos nos anos 70 e 80 nas Escolas Politécnicas de Zurich e Copenhague, tomando por base a Teoria da Plasticidade. Esse método se constitui atualmente como a base para o dimensionamento armaduras transversais em estruturas de concreto pela norma suíça SIA 262 (2003). Paralelamente ao desenvolvimento do Método dos Campos de Tensão, e mais ou menos na mesma época, pesquisadores alemães desenvolveram uma teoria baseando-se principalmente em condições de equilíbrio. Esses pesquisadores basicamente continuaram uma compreensão intuitiva do comportamento de estruturas de concreto iniciada no começo do século XX (Modelo de Treliça). Tal método, denominado de Método das Bielas, também tem experimentado grande sucesso e inspirado diferentes normas e recomendações recomendações internacionais. i nternacionais. Apesar das diferenças, os dois métodos possuem fortes semelhanças e podem ser utilizados de maneira complementar. O sucesso dos métodos é, em grande parte, devido ao fato de que a aplicação de ambos permite uma compreensão intuitiva dos mecanismos de transmissão de cargas no interior de uma estrutura. Dessa maneira, os referidos métodos não são somente valiosos para a avaliação da capacidade portante das estruturas mas também permitem a otimização das formas e das armaduras ao invés da mudança da concepção para melhorar a resposta. No entanto, a aplicação prática dos dois métodos tem apresentado algumas dificuldades. Tais dificuldades se referem principalmente ao fato de que diferentes mecanismos de transmissão de cargas são possíveis no interior de uma estrutura e que certa experiência é necessária de maneira a selecionar o modelo mais apropriado. De maneira a ajudar na escolha e no desenvolvimento de campos de tensão e de modelos de escoras e tirantes adequados, uma série de pesquisas teóricas e experimentais foram efetuadas recentemente na Escola Politécnica de Lausanne (EPFL). No presente documento, as bases teóricas dos dois métodos (Método dos Campos de Tensão e Método das Bielas) serão explicados de maneira rigorosa, detalhando suas similaridades e diferenças, bem como detalhando alguns conceitos da norma suíça SIA 262. Um aceno particular é feito para os casos práticos, de maneira que se possa utilizar programas computacionais desenvolvidos na EPFL, capazes de obter de maneira automática os campos de tensão. Lausanne, Janeiro de 2010 Prof. Dr. Aurélio Muttoni Dr. Miguel Fernéndes Ruiz Dr. Neven Kostic
Apresentação do Tradutor
O presente trabalho começou a ser desenvolvido em Julho de 2011, quando tive a oportunidade de acompanhar de perto as pesquisas realizadas pelos professores doutores Aurelio Muttoni e Miguel Fernandez Ruiz, que tão bem me acolheram na École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL). Meu período de estágio pós-doutoral, apesar de curto (cerca de um mês), foi imensurável para o entendimento efetivo das diferenças existentes entre o Método dos Campos de Tensão e o Método das Bielas (método este que tive a oportunidade de estudar profundamente em nível de doutorado e pós-doutorado). O primeiro contato entre nós ocorreu em uma discussão publicada no ACI Structural Journal. Na ocasião, questionávamos de maneira independente a validade dos modelos de escoras e tirantes para vigas-parede sem a consideração das malhas mínimas obrigatórias nos códigos normativos. Na ocasião, Muttoni & Ruiz apresentaram uma abordagem pelo Método dos Campos de Tensão que me chamou a atenção, uma vez que a abordagem utilizava uma análise não-linear baseada em alguns poucos parâmetros. Como se sabe, a análise não-linear do concreto estrutural disponível em inúmeros pacotes de software necessita da informação de inúmeros parâmetros, sendo que as respostas são normalmente muito sensíveis à variação desses parâmetros. Nesse sentido, fiquei muito impressionado com todo o desenvolvimento teórico (analítico e numérico) existente em relação ao Método dos Campos de Tensão na EPFL, desenvolvimento este absorvido pelo Dr. Muttoni em seu doutorado na Escola de Zurich sob a supervisão do Dr. Bruno Thurlimann, reconhecido engenheiro engenheiro suíço que em muito contribuiu para o desenvolvimento dos modelos plásticos aplicados ao concreto. A presente obra se constitui na fiel tradução de grande parte da obra intitulada "Champs de Contraintes et Méthode des Bielles-et-Tirants: Application dans la conception et le dimensionnement des structures en béton armé", obra esta utilizada nos cursos de pósgraduação da EPFL. Apenas o capítulo dedicado aos casos práticos foi diminuído, uma vez que os exemplos abrangidos se demonstravam demasiadamente complexos e com informação relativamente limitada para uma primeira abordagem com o método, ainda inédito no Brasil quando da publicação do presente trabalho. Ao final do presente trabalho foi incluído um capítulo de nossa autoria, referente à utilização da plataforma iconcrete, sendo que o aluno de iniciação científica Guilherme Patuzzo teve grande participação na elaboração do material. Gostaria de agradecer todos os amigos conquistados durante esse período extremamente curto mas extremamente produtivo em Lausanne. Em especial, meus sinceros agradecimentos aos seguintes colegas: Prof. Dr. Aurelio Muttoni, Prof. Dr. Miguel Fernandez Ruiz, Prof. Dr. Olivier Burdet, Eng. Stefano Campana, Eng. Rojas Horna Franco Rodolfo, Enga. Galina Argirova, Eng. Thibault Clément, Eng. Jürgen Einpaul, Eng. Stefan Lips, Eng. Francisco Natário e Eng. Michael Rupf. Maringá, Agosto de 2013 Prof. Dr. Rafael Alves de Souza
Capítulo 1 - Introdução e Considerações Gerais 1.1 Objetivos
Há cerca de vinte anos, as normas suíças preconizam a utilização do Método dos Campos de Tensão para o dimensionamento de estruturas em concreto. Na realidade, de acordo com a norma SIA 162 (1989): "3 22 1 O comportamento de uma estrutura portante e o caminho das forças em seu interior serão estudadas com ajuda de um modelo que leve em conta de maneira realista a influência dos principais parâmetros" "3 22 2 De maneira geral, a segurança estrutural será verificada de acordo com o Método Estático da Teoria da Plasticidade. O Método Estático fornece um limite inferior da resistência última"
Mesmo que a terminologia "Campos de Tensão" não tenha sido utilizada explicitamente, ela é apropriada para as passagens em questão, mais precisamente na condição "rígido-plástica". A norma SIA 262 (2003) é ainda mais explícita: "4.3.1.1 2 O dimensionamento será geralmente efetuado tomando-se por base os campos de tensão"
Na prática, o referido método é utilizado para a verificação de elementos submetidos à força cortante e torção (elementos com armaduras transversais). Na realidade, os modelos utilizados para tais dimensionamentos são inteiramente baseados no "Método dos Campos de Tensão Rígidos-Plásticos" uma vez que um campo de compressão inclinado com tensão uniformemente distribuída ao longo da altura da alma é admitido (Figura 1.1.). Na realidade, o referido modelo já vem sendo preconizado desde 1975 pela diretiva 34 da norma SIA 162 (ver Grob & Thurlimann (1976)).
Figura 1.1 - Modelo para a verificação à força cortante de acordo com a norma SIA 262 (2003)
Para estes casos, se observa uma utilização implícita do "Método dos Campos de Tensão". No entanto, infelizmente observa-se que as equações desenvolvidas são utilizadas sem que se conheça as suas particularidades e os limites de sua aplicabilidade. Em outros casos mais gerais, como por exemplo a zona de introdução de esforços (zonas de apoio, zonas de ancoragem de forças de protensão ou de introdução de cargas concentradas em geral) e zonas de descontinuidades geométricas (variações de seção, por exemplo) onde não há as referidas equações baseadas no "Método dos Campos de Tensão", o dimensionamento é frequentemente efetuado de maneira intuitiva e aproximada.
Uma das dificuldades frequentemente enfrentadas para a utilização do modelo refere-se ao desenvolvimento de novos casos, onde uma experiência prévia é necessária. Esse problema ocorre devido ao fato de que várias soluções são possíveis pela variante rígido-plástica, sendo que uma decisão quanto ao melhor modelo precisa ser feita durante o processo de dimensionamento. Além disso, há incertezas quanto à capacidade de deformação em estado limite último e quanto ao comportamento em serviço quanto à fissuração. Uma resposta eficaz aos problemas mencionados anteriormente pode ser dada a partir de uma nova abordagem, denominada de "Método dos Campos de Tensão ElasticosPlásticos", desenvolvidos recentemente na Escola Politécnica de Lausanne e aplicado com sucesso em atividades pedagógicas e práticas (ver Fernández Ruiz & Muttoni (2007)). Dessa maneira, o objetivo do presente trabalho é fornecer os fundamentos e as ferramentas necessárias para uma utilização eficaz do "Método dos Campos de Tensão" bem como apresentar os últimos desenvolvimentos na área. 1.2 Origem dos Campos de Tensões
Deve-se lembrar que o "Método dos Campos de Tensão" e o "Método das Bielas" estão inseridos dentro de uma longa tradição de cálculo das estruturas de concreto, tradição esta baseada no estudo do caminhamento das cargas no interior da estrutura, onde admite-se que os esforços de compressão são absorvidos pelo concreto e que os esforços de tração são absorvidos pelas armaduras. Uma das primeiras patentes relacionadas às estruturas de concreto armado foi baseada nas hipóteses anteriores. Na realidade, François Hennebique (1893) propôs a disponibilização de armaduras unicamente nas regiões tracionadas, conforme indica a Figura 1.2
Figura 1.2 - Sistema de armação com barras longitudinais e estribos compostos de ferros chatos conforme a patente de Hennebique (1893)
Ritter (1899) foi o primeiro a dar explicações teóricas sistemáticas para as vigas de Hennebique, desenvolvendo um método de cálculo simples e coerente. A Figura 1.3 contêm uma série de observações que são até hoje atuais: o concreto pode contribuir para a absorção dos esforços de tração produzidos pela flexão, mas como sua resistência é limitada considera-se a mesma desprezível. Além disso, o pesquisador observou que as tensões no aço e no concreto podem ser calculadas com base na Hipótese de Bernoulli-Navier e, devido ao comportamento não-linear do concreto, as tensões na zona comprimida não podem ser distribuídas de maneira linear.
Figura 1.3 - (a) Distribuição de tensões ao longo da altura de uma viga em concreto armado fletida e (b) treliça para o dimensionamento dos estribos segundo Ritter (1899)
A Figura 1.3 b é interessante para ilustrar o dimensionamento à força cortante de vigas de concreto armado. Tomando-se por base as fissuras inclinadas observadas nos ensaios experimentais, Ritter concluiu que uma viga em concreto armado pode funcionar como uma treliça, onde os montantes tracionados podem ser colocados na vertical e as diagonais comprimidas podem ser posicionadas em ângulos de 45 o. Dessa maneira, dispondo armaduras transversais afastadas de uma distância igual ao braço de alavanca interno z, os estribos deverão ser dimensionados para suportar uma força correspondente à força cortante V. Devido a questões estáticas, Ritter concluiu que seria mais apropriado colocar os estribos a 45 o, objetivando fazer com que os mesmos ficassem paralelos às direções principais de fissuração e, portanto, perpendiculares às direções de formação de fissuras. No entanto, devido à questões práticas, Ritter avaliou que é mais recomendável disponibilizar os estribos de maneira vertical. 1.3 Os Trabalhos de Mörsch e os Primeiros Desenvolvimentos Teóricos e Práticos
O trabalho de Ritter foi aprofundado por Mörsch (1908), que por sua vez considerou o caso das barras longitudinais dobradas a 45 o (Figura 1.4 b), bem como espaçamentos mais próximos para os estribos, de maneira que um campo de compressão ocupando praticamente todo o concreto pudesse se instalar (ver Figura 1.4 a).
Figura 1.4 - (a) Treliça de Mörsch (1908); (b) modelo com estribos inclinados de Mörsh (1908); (c) mecanismos de ruptura de Mörsh (1908); (d) modelo de apoio direto de Mörsh (1929); (e) modelo que associa o modelo de apoio direto com o modelo de treliça de Mörsh (1929) e (f) modelo com inclinação variável das diagonais comprimidas de Mörsh (1929)
Para o caso de vigas sem estribos (Figura 1.4 c e 1.4 d) Mörsch estudou o mecanismo de ruptura para um grande número de ensaios e concluiu que uma parcela importante de força cortante pode ser transmitida diretamente aos apoios por intermédio de uma única escora inclinada. Para esse caso, a inclinação da escora não é necessariamente 45 o, uma vez que ela depende da geometria da viga (razão entre a distância da carga/reação de apoio e o braço de alavanca interno). Mörsch observou também que para vigas deficientemente armadas à força cortante, uma superposição dos dois modos de funcionamento (apoio direto com apenas uma escora inclinada e apoio indireto com estribos tracionados e escoras comprimidas) pode ser combinada. Tomando por base a observação anterior, Mörsch propôs um modelo mais refinado, onde as escoras diagonais posicionadas a 45 o foram substituídas por um único campo de compressão com diagonais menos inclinadas (Figura 1.4 f). Apesar de tais conclusões terem sido inovadoras, as mesmas só foram efetivamente aplicadas muitos anos mais tarde, de maneira que o próprio pesquisador recomendou na época a adoção de diagonais a 45o, de maneira a simplificar o dimensionamento. 1.4 Os Modelos de Escoras e Tirantes na Universidade de Sttugart
O trabalho de Mörsch foi continuado na Universidade de Stuttgart por Leonhardt e Walther (1966) e principalmente por Schalaich et al. (1982). De maneira a desenvolver uma teoria geral, aplicável a todos elementos de uma estrutura e sem se basear no comportamento real observado em ensaios experimentais, a posição das escoras e dos tirantes foram estudadas levando-se em conta as direções principais de tensão no concreto previamente à fissuração. Na época de Leonhardt, estas posições foram obtidas principalmente a partir de métodos analíticos da Teoria da Elasticidade ou através de técnicas de fotoelásticidade. Para todos os casos, uma vez que as ferramentas eram bastante rudimentares, um comportamento elástico linear sem considerar a fissuração do concreto devia ser admitido. Na sequência, Schlaich desenvolveu essa metodologia para um grande número de casos graças também à utilização do Método dos Elementos Finitos.
Figura 1.5 - Modelo de escoras e tirantes obtido de um campo de tensões elástico não-fissurado; (a) tensões calculadas com base na teoria da elasticidade; (b) modelo de escoras e tirantes relativamente refinado e (c) modelo de escoras e tirantes simplificado
A metodologia é descrita em maiores detalhes na Figura 1.5 para uma viga-parede de concreto armado carregada por duas cargas concentradas. A Figura 1.5a apresenta as direções principais de tensão para o concreto no estágio não-fissurado. Deve-se observar que essa representação é na realidade um campo de tensões que será chamado de "campo de tensões elástico não-fissurado". Uma vez que a integração das tensões atuantes para dimensionamento das armaduras seria muito complicada e, observando que seria ainda necessário conhecer a intensidade dessas tensões (e não somente as suas direções principais), as forças nas regiões tracionadas são determinadas a partir das condições de equilíbrio formuladas para um modelo denominado "escoras e tirantes" (Figura 1.5 b). Esse modelo representa na realidade um simplificação do campo de tensões elásticas não-fissuradas. Para o exemplo em análise, observa-se que a região comprimida se estende ao longo de uma altura importante da viga-parede. A zona tracionada também ocupa uma parte importante da viga-parede, de maneira que o braço br aço de alavanca interno é reduzido quando comparado com as hipóteses normalmente assumidas para o dimensionamento de vigas fletidas ou zonas de introdução de cargas (cargas e reações de apoio). Observa-se também a ocorrência de tração transversal (os tirantes são inclinados e na parte inferior eles representam a continuação dos tirantes que resultam da flexão). É possível esboçar o modelo de escoras e tirantes que representa mais ou menos em detalhe o campo de tensões elásticas não-fissuradas. A Figura 5.c apresenta por exemplo uma simplificação importante que pode resultar interessante por razões práticas. Devese observar que certos tirantes serão representados por um só grupo de barras tracionadas enquanto que outros serão dimensionados na forma de barras distribuídas. Em relação às escoras, de acordo com a abordagem de Schalaich et al (1987), as tensões no concreto são controladas unicamente nas zonas críticas ao verificar a resistência do concreto nas proximidades das regiões nodais dos modelos de escoras e tirantes. t irantes.
Figura 1.6 - Subdivisão de uma estrutura em e m regiões tratadas pelo Método das Bielas (Regiões ( Regiões D) e pela Teoria de Vigas (Regiões B), de acordo com Schlaich et al (1987).
De maneira a simplificar o dimensionamento, Schlaich (1987) recomenda subdividir a estrutura em zonas de comportamento (Figura 1.6), determinadas de acordo com a Hipótese de Bernoulli-Navier. Nas regiões onde a hipótese de seções planas é verificada (Regiões B), pode-se utilizar a teoria de vigas para a análise. Por outro lado, quando a hipótese de seções planas não é verificada (Regiões D), um modelo de escoras e tirantes é necessário para o dimensionamento. Esse procedimento permite efetuar uma análise mais detalhada apenas onde as condições estáticas e geométricas são requeridas. r equeridas. 1.5 As Primeiras Aplicações da Teoria da Plasticidade
Diferentes abordagens para o problema são temas de estudo para a Teoria da Plasticidade. Essa teoria tem sido aplicada com sucesso para as estruturas metálicas bem como para as estruturas em concreto quando a armadura é determinante para o comportamento mecânico e resistência depende essencialmente da resistência das armaduras. Os primeiros métodos foram desenvolvidos na Suécia por Ingelsev (1923) e Johansen (1931) para o cálculo de lajes (Método das Linhas de Ruptura). Inicialmente, esses trabalhos foram desenvolvidos sobre considerações intuitivas e a partir da interpretação de ensaios sem uma verdadeira base científica. A Teoria da Plasticidade se baseia no fato de que certos materiais, como por exemplo o aço, apresentam uma fase do comportamento mecânico onde a tensão é independente da deformação, conforme ilustra o platô plástico da Figura 1.7a. Se o comprimento desse platô é importante em relação às deformações elásticas, então estas últimas podem ser desprezadas, podendo-se assim assumir um comportamento rígido-plástico (linha azul da Figura 1.7a).
Figura 1.7 - Comportamento mecânico real e idealizado; (a) idealização rígido-plástica para armadura e (b) idealização rígido-plástica para o concreto.
A formulação geral da Teoria da Plasticidade foi desenvolvida por Gvozdev (1938) na União Soviética, bem como por Prager (1952) e seus discípulos nos Estados Unidos, que por sua vez estabeleceram os dois teoremas fundamentais da teoria: Teorema Estático (também chamado de Teorema do Limite Inferior): "Um sistema de cargas Q s , em equilíbrio com um campo de tensões que satisfaça a condição estática de plasticidade, é um limite inferior para a carga de ruptura Qr". • Teorema Cinemático (também chamado de Teorema do Limite Superior): "Um sistema de cargas Q c, correspondente a um mecanismo lícito satisfazendo a condição cinemática de plasticidade, plasticidade, é um limite limi te superior para a carga de ruptura Qr". •
Se as condições do Teorema Estático bem como aquelas do Teorema Cinemático são todas satisfeitas, a carga assim calculada corresponde à carga de ruptura segundo a Teoria da Plasticidade: "a carga de ruptura Q r está em equilíbrio com um campo de tensões que satisfaz a condição de plasticidade e forma um mecanismo lícito". O Método das Linhas de Ruptura, desenvolvido por Ingelsev & Johansen para a análise de lajes em concreto armado, é na realidade uma aplicação do Método Cinemático e fornece, portanto, um limite superior para a carga de ruptura. A primeira aplicação da Teoria da Plasticidade ao problema de resistência de vigas em concreto armado sem armaduras transversais solicitadas à flexão e à força cortante foi proposta por Drucker (1961), conforme ilustra a Figura 1.8. Nesse caso, o concreto foi não somente admitido sem resistência à tração conforme a hipótese de Ritter, mas também com um comportamento rígido-plástico tal qual o aço, onde o platô plástico corresponde a um valor reduzido da resistência uniaxial à compressão do concreto submetido à compressão simples (linha vermelha na Figura 1.7 b).
Figura 1.8: soluções propostas por Drucker (1961) para uma viga simples si mples com seção retangular; (a) campo de tensões com apoio direto para uma viga com carga concentrada; c oncentrada; (b) mecanismo de ruptura à flexão; (c) campo de tensões para uma viga com carga uniformemente distribuída.
O campo de tensões proposto por Drucker para uma viga simples sujeita a uma carga concentrada (Fig 1.8a) é, do ponto de vista de funcionamento, idêntica ao esquema proposto por Morsch (1908) para o mesmo problema (Figura 1.4d). O campo de tensões respeita as condições do Teorema Estático, uma vez que as tensões satisfazem em toda parte as condições de equilíbrio e não ultrapassam em nenhum ponto a resistência dos materiais. Por essas razões, a carga assim calculada é teoricamente inferior ou igual à carga de ruptura. Esse primeiro campo de tensões já apresenta uma grande parte das características intrínsecas dos Campos de Tensão Rígido-Plásticos (essa será a terminologia utilizada para esse tipo de campo de tensões). De maneira a maximizar o braço de alavanca interno, as duas escoras comprimidas que transmitem a carga até os apoios são solicitadas por uma tensão que corresponde à resistência uniaxial do concreto, f c. Por outro lado, uma vez que o concreto é admitido sem resistência à tração e que a viga é armada unicamente com barras longitudinais, o campo de tensão das escoras não pode ser desviado e a intensidade da tensão deve então ser constante ao longo de toda
superfície das escoras. Acima e abaixo das escoras, o concreto não é solicitado, de maneira que as escoras são separadas de todo o resto da estrutura por linhas de descontinuidade. Deve-se observar que essas linhas de descontinuidade só são possíveis devido à hipótese de comportamento rígido-plástico (Fig 1.7.a). Na extremidade das escoras, a tensão de compressão é transmitida aos outros elementos (escoras, carga, reações de apoio ou armaduras) através das zonas nodais. Nessas zonas, o estado de tensão é biaxial. Pode-se demonstrar que para as zonas nodais que se situam entre duas escoras solicitadas por tensões uniaxiais de compressão idênticas (igual à resistência f c para o caso em estudo), o estado de tensão biaxial do nó apresentará as duas tensões principais iguais à tensão atuantes nas escoras, sendo que as linhas de descontinuidade serão perpendiculares às direções das escoras. Estas hipóteses possuem uma outra implicação em relação à transmissão de cargas, reações de apoio e forças nas armaduras para o concreto. De maneira a satisfazer o critério de ruptura das regiões nodais, essas forças devem ser transmitidas para o concreto ao longo de uma superfície suficientemente adequada, de maneira a não ultrapassar a resistência do concreto f c. No mesmo trabalho, Drucker indica também um mecanismo cinemático lícito segundo o qual a viga poderá se deformar em estado limite último (Figura 1.8 b). No meio da viga, a zona comprimida se encurta enquanto a armadura, que atingiu o seu limite de escoamento, se alonga (para a situação limite representa o esmagamento do concreto sem o escoamento da armadura). Pode-se demonstrar que a carga correspondente (limite superior segundo o Teorema Cinemático) é igual àquela correspondente ao campo de tensões, de maneira que essa solução representa a solução teórica exata e a carga assim calculada corresponde à carga de ruptura teórica. Na realidade, conforme demonstrado em diversas pesquisas (Kani (1964), Muttoni (1990)), a carga real de ruptura pode ser sensivelmente inferior à carga de ruptura calculada segundo a Teoria da Plasticidade. Isso ocorre devido ao fato de que o comportamento do concreto está longe de ser perfeitamente plástico e que em certos casos, fissuras muito abertas podem impedir a formação do campo de tensão previsto. Para corrigir esses problemas é necessário disponibilizar uma armadura transversal capaz de costurar as fissuras na zona crítica, bem como considerar uma resistência efetiva para o concreto inferior àquela obtida em ensaios uniaxiais (Exner (1979), Muttoni (1990)). Esse tema será tratado em detalhes no Capítulo 2. Pode-se facilmente demonstrar que para vigas sujeitas a outras situações de carga, no caso de transmissão por apoio direto, a distância entre as escoras que transmitem a carga aos apoios e a armadura longitudinal deve ser refinada com o momento fletor (isso é devido ao fato de que a armadura é solicitada ao longo de todo o seu comprimento pela mesma força). Para um carregamento uniformemente distribuído, as escoras assumem a forma de um arco parabólico como indicado na Figura 1.8c. Para esse caso, o mecanismo de flexão indicado na Figura 1.8 b também apresentar o esmagamento do concreto e o escoamento da armadura no ponto onde o momento fletor é máximo, isto é, no meio da viga.
1.6 Campos de Tensões Rígido-Plásticos e Modelos de Escoras e Tirantes
Se a solução proposta por Drucker é adaptada para o caso da viga-parede apresentada na Figura 1.5, pode-se obter o campo de tensões rígido plástico apresentado na Figura 1.9.a. Conforme foi visto, as escoras e os nós são representados pelas zonas onde a tensão é uniforme. Se cada escora for substituída por uma linha que coincide com sua resultante e as regiões nodais por pontos que se situam na intersecção das escoras, obtém-se o modelo de escoras e tirantes ilustrado na Figura 1.9b. Deve-se então observar que os Campos de Tensão e os Modelos de Escoras e Tirantes nada mais são do que duas maneiras diferentes de representar a mesma solução.
Figura 1.9: Solução rígido-plástica para a viga-parede da Figura 1.5; (a) campo de tensões e (b) modelo de escoras e tirantes equivalente
Por outro lado, o modelo de escoras e tirantes que acabou de ser descrito poderia ser também interpretado como uma simplificação das soluções derivadas dos campos de tensão elásticos não-fissurados que foram tratados nas Figuras 1.5b e 1.5c. 1.7 Campos de Tensões Rígido-Plásticos nas Universidades de Zurich e Copenhague
Importantes contribuições para a aplicação da Teoria da Plasticidade para o cálculo de estruturas em concreto armado foram desenvolvidas no início dos anos 60, principalmente nas Universidades de Zurich (Ecole Polytechnique Fédérale) e Copenhague. Na Universidade de Zurich os trabalhos foram desenvolvidos ao redor de Bruno Thürlimann (discípulo de Willian Prager na Brown University), que iniciou seus trabalhos a partir de 1960 com a aplicação da Teoria da Plasticidade para o cálculo de estruturas em concreto. O ponto forte dos trabalhos desenvolvidos por Thürlimann e seus discípulos está no desenvolvimento de um método coerente e sistemático que permite a análise e dimensionamento de inúmeros casos (Thürlimann (1979a), Thürlimann (1985), Müller (1978), Marti (1980), Muttoni et al (1987). Um desses casos é apresentado, por exemplo, na Figura 1.10, sendo que o modelo empregado se traduz nos métodos de cálculo preconizados para força cortante e torção em normas suíças e internacionais (Grob (1976), Thürlimann (1979b)). Esses métodos, denominados de modelo de treliça com inclinação variável, são por sua vez recomendados pelas normas SIA 262 (2003) e Eurocode (2004) e fornecem uma base científica à intuição de Mörsch de que os estribos podiam ser dimensionados sobre a
base de um campo de compressão com menores inclinações (Figura 1.4f). A partir dos anos 80, as pesquisas passaram a ser focaram na aplicabilidade da Teoria da Plasticidade, bem como na adoção de correções objetivando levar em conta de maneira apropriada o comportamento real do concreto (Muttoni (1990)).
Figura 1.10 - Soluções de acordo com Thürlimann (1985) para (a) caso de um consolo; (b) vigaparede sobre dois apoios; (c) viga-parede sobre três apoios submetida a um carregamento uniforme
M. P. Nielsen, professor da Universidade de Copenhagen, encarregou-se de seguir a tradição escandinava no desenvolvimento de campos de tensão para lajes (Método Estático), de maneira a tratar os casos que Johansen havia estudado pelo Método Cinemático. Em seguida, também se ocupou de empregar tal metodologia para o estudo de vigas e vigas-parede (Nielsen (1971), Figura 1.11). Nas últimas décadas, Nielsen e seus discípulos desenvolveram um grande número de soluções fundamentadas sobre o Método Estático e Cinemático para os mais diversos casos (Nielsen (1999)). Apesar das origens diferentes e da condução dos trabalhos num primeiro momento de maneira totalmente independente, os resultados são similares conforme pode-se observar pelas Figuras 1.10 e 1.11.
Figura 1.11 - Soluções de acordo com Nielsen (1971) para uma viga-parede solicitada por uma carga pontual e com armadura distribuída ao longo de toda altura; (a) campo de tensões; (b) Círculos de Mohr definindo os estados de tensão (a armadura na Zona 4 ésta associada a um campo de tração uniaxial)
1.8 Modelos de Escoras e Tirantes, Treliça e Campos de Tensões
As considerações que devem ser feitas durante o desenvolvimento dos campos de tensão rígido-plásticos de maneira a se levar em conta a capacidade de deformação reduzida do concreto bem como de maneira a limitar a fissuração no estado de serviço são tratadas em Muttoni et al (1987, 1997). Para esses dois trabalhos, um grande número de casos práticos são tratados pelo Método dos Campos de Tensão e pelos Modelos de Escoras e Tirantes ao se estudar sistematicamente o equilíbrio por meio de métodos gráficos (Método de Cremona). Conforme já ilustrado na Figura 1.9, os dois métodos são muito semelhantes e podem ser considerados como duas maneiras diferentes de se tratar a mesma solução. Uma vez que um campo de tensão foi desenvolvido é possível construir diretamente um modelo de escoras e tirantes a partir da disponibilização de armaduras na posição das resultantes dos campos de tração. Dentro desse contexto, um campo de tensão (que pode ser qualitativo numa primeira aproximação) pode ser visto como uma boa preparação para o desenvolvimento de um modelo de escoras e tirantes para o qual os esforços podem ser facilmente determinados.
Figura 1.12 - Campos de tensão e modelo de escoras e tirantes; (a) campo de tensão rígido-plástico; (b) força na armadura longitudinal; (c) força atuante nos estribos; (d) modelo de escoras e tirantes com diagrama de Cremona
Nesse contexto, as condições de equilíbrio podem ser tratadas de maneira muito eficaz pela estática gráfica (ver Diagrama de Cremona na Figura 1.12 d). As tensões no concreto podem ser determinadas ao dividir os esforços atuantes nas escoras pela superfície de concreto à disposição. De maneira a satisfazer a condição de plasticidade (a tensão não pode ultrapassar a resistência efetiva do concreto), pode-se ajustar a largura das escoras desde que o modelo de escoras e tirantes também seja corrigido. Dessa maneira, para alguns casos pode ser necessário um procedimento iterativo, já que as forças podem mudar sensivelmente tendo-se em vista o ajuste da largura das escoras. Para o caso de armaduras distribuídas, os tirantes representarão as resultantes dos esforços para o conjunto de barras consideradas (ver Figura 1.12 a e d). Os esforços nas concentradas podem ser determinadas diretamente a partir do modelo de escoras e tirantes (ver força na armadura inferior, Figura 1.12 b) ou pela divisão dos esforços do modelo de escoras e tirantes pela largura da zona considerada (ver força nos estribos, Figura 1.12 c). O procedimento inverso (estabelecer um campo de tensões a partir de um modelo de escoras e tirantes) também é possível, porém é muito mais delicado. Na realidade, a escolha de um modelo de escoras e tirantes que aparenta à primeira vista ser mais regular, conduz a um campo de tensões onde a disposição dos estribos não é ótima (Figura 1.13 b e c). Para esse caso, uma solução ótima poderá resultar de algumas interações.
Figura 1.13 - (a) Modelo de escoras e tirantes com inclinação constante das diagonais; (b) campo de tensões correspondente e (c) distribuição do esforços nos estribos
As considerações anteriores demonstram que as abordagens de "Campos de Tensão" e "Escoras e Tirantes" não devem ser consideradas como alternativas isoladas, uma vez que a utilização de ambas em conjunto pode resultar numa abordagem mais eficaz. Uma vez que um procedimento iterativo pode ser necessário (deslocamento dos nós do modelo de escoras e tirantes de maneira a não ultrapassar a resistência efetiva do concreto nos campos de tensão e para poder ter uma melhor distribuição de armação), o primeiro passo pode ser bem efetuado por qualquer um dos dois métodos. Frequentemente, os campos de tensões podem ser mais simples de se desenvolver do que modelos de escoras e tirantes. Para o caso da viga tratada nas Figuras 1.12 e 1.13 por exemplo, pode-se mostrar de acordo com a abordagem dos campos de tensão que a inclinação das escoras comprimidas pode variar de maneira contínua (Fig 1.14 a) entre um limite inferior e um limite superior que serão tratados nos capítulos 2 e 3. De acordo com a abordagem clássica dos modelos de escoras e tirantes, que por sua vez se assemelha ao modelo clássico de treliça, haverá sempre um número inteiro de estribos intermediários tracionados. Se for admitido que a inclinação das escoras é constante, somente as inclinações θ = arctg (3000/n/900) = 16.7o, 31.0o, 42.0o, 50.2o para n = 1,2,3,4 serão possíveis. Um modelo de escoras e tirantes correspondente ao campo de tensões da Fig. 1.14 a, onde a inclinação θ foi escolhida igual a 35 o também é possível de ser estabelecido, apesar de resultar em um modelo relativamente mais complicado (Fig. 1.14 c).
Figura 1.14 - Caso com inclinação qualquer das diagonais comprimidas; (a) campo de tensões; (b) distribuição das forças nos estribos e (c) modelo de escoras e tirantes correspondente.
Para certos casos, os modelos de escoras e tirantes são também chamados de "modelos de treliça" tal como foram batizados por Ritter e Mörsch. Deve-se considerar que para a maior parte dos casos, esses modelos são estritamente formulados para um caso de carga bem definido e não são estáveis (ver por exemplo Fig 1.9 b). Em outros, como acabou de ser ilustrado, os modelos podem ser muito diferentes da treliça clássica (Figura 1.14 c). É por essa razão que a denominação "modelos de escoras e tirantes" deve ser privilegiada. 1.9 Vantagens e Desvantagens dos Métodos Elásticos e Plásticos
Como foi visto, os campos de tensão e os modelos de escoras e tirantes não devem ser vistos como duas abordagens concorrentes, mas sim fortemente complementares. No que se refere aos métodos baseados na Teoria da Elasticidade ou na Teoria da Plasticidade, as diferenças são importantes. O cálculo utilizando modelos de escoras e tirantes baseado sobre campos de tensão elásticos não-fissurados apresentam as seguintes vantagens: • • • • •
Nenhuma escolha de modelo é necessária (para uma situação dada, haverá apenas uma solução); O cálculo não necessita de interação; Para a modelagem do comportamento mecânico apenas dois parâmetros são necessários (módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do concreto); A superposição de efeitos é possível; O cálculo é relativamente simples mesmo para os casos mais complicados.
Por outro lado, as desvantagens são importantes e tornam esse método pouco apropriado para o dimensionamento de estruturas em concreto: Posição, inclinação e distribuição das armaduras costumam ser pouco práticas; As regiões nodais são potencialmente perigosas em certos casos; As armaduras são muito influenciadas pelas regiões de descontinuidade geométrica; • Armaduras visivelmente subdimensionadas para os casos de deformações impostas. • • •
O método dos campos de tensão rígido-plásticos apresentam as seguintes vantagens: Possibilidade de escolha da posição, da inclinação e da distribuição das armaduras de maneira a tornar a concretagem mais facil; • Cálculo simples e muito rápido para os casos simples; • Soluções coerentes com os modelos conhecidos para dimensionamento à força cortante; • Verificações simples dos esforços no concreto. •
Por outro lado, as desvantagens desse método têm sido frequentemente limitadas à sua difusão:
• • • • •
Experiência necessária para escolher um bom caminhamento das forças no interior da estrutura; Cálculo interativo e trabalhoso para os casos complexos; Leva em conta a capacidade limitada de deformação do concreto (em certos casos é muito prudente); Otimização necessária para calcular a resistência de estruturas existentes (leva em conta a consideração de todas as reservas); Necessidade de desprezar todas as contribuições cuja certeza não é efetiva.
1.10 Campos de Tensões Elásticos-Plásticos
De maneira a resolver os problemas dos dois métodos, uma nova abordagem tem sido desenvolvida na Escola Politécnica Federal de Lausanne (Fernandez Ruiz & Muttoni (2007)). Tal proposta necessita da utilização de um programa computacional baseado no Método dos Elementos Finitos onde o concreto armado é modelado de maneira mais realista. Tanto as armaduras quanto o concreto são modelados por uma lei bilinear elasto-plástica (linhas azuis da Figura 1.7). No que se refere ao concreto, a resistência à tração é desprezada. É por esse motivo que os campos assim obtidos são denominados de "campos de tensão elásticos-plásticos". Tais campos se constituem em uma ferramenta preciosa para o dimensionamento e verificação de estruturas em concreto armado. A caracterização das leis constitutivas necessita da definição de alguns parâmetro físicos suplementares (módulo de elasticidade do aço e do concreto, resistência plástica e influência da fissuração) bem como de um cálculo não-linear. O estudo detalhado é apresentado nos capítulos 2, 3 e 4 enquanto que o capítulo 5 apresenta exemplos práticos de dimensionamento e verificação de estruturas existentes. Um dos pontos fortes do método consiste na possibilidade de facilitar a compreensão do comportamento de estruturas em concreto armado, disponibilizar e distribuir as armaduras de maneira eficaz bem como conceber de maneira sistemática os detalhes de armação ao levar em conta de maneira realista o comportamento do concreto armado à tração. Uma estratégia simples e eficaz para atingir esses objetivos foram apresentadas por Férnandez Ruiz & Muttoni (2007). Conforme demonstrado na Figura 1.15a, um primeiro cálculo pode ser conduzido ao ser considerada uma armadura em malha distribuída em todo o elemento. Essa armadura pode por exemplo corresponder à armadura mínima necessária para combater a fissuração em estado limite de serviço, sendo que as direções das armaduras serão escolhidas segundo considerações construtivas. Um cálculo elástico, mas com o concreto fissurado (sem considerar a sua resistência à tração) permite determinar os esforços nas barras das armaduras e no concreto, conforme ilustra a Figura 1.15 a. É interessante observar que duas escoras inclinadas se instalam entre os pontos de apoio e de carregamento para a transmissão dos esforços. Em relação à solução rígido-plástica apresentada na Figura 1.9, uma diferença importante resulta do fato de que a zona tracionada não é mais concentrada na parte inferior da viga, mas ocupa praticamente toda a sua altura. Por consequência, as duas escoras não são mais retilíneas e sim arqueadas uma vez que elas são desviadas ao longo de toda altura da viga.
Observa-se que para a solução elástica da Figura 1.15 a, as armaduras da parte inferior da viga são mais solicitadas do que aquelas situadas na zona comprimida, uma vez que a deformação destas é maior. Pode-se então dimensionar a quantidade de armaduras tomando-se por base os esforços assim calculados. Isso significa que pode-se aumentar as armaduras na parte inferior e eventualmente diminuir as armaduras na parte superior (ver Figura 1.15 b). Uma nova análise com essas novas armaduras fornecerá diferenças significativas para os esforços nas armaduras. Se for conveniente, esse procedimento pode ser repetido diversas vezes até que a armadura seja satisfatória.
Figura 1.15: Campos de tensões elásticos-plásticos para o mesmo elemento da Figura 1.5 ao se admitir (a) uma armadura uniformemente distribuída em toda a superfície e (b) após algumas interações (dimensionamento da armadura levando-se em conta uma análise prévia); (c) campos de tensão rígido-plástico como simplificação da solução e (d) modelo de escoras e tirantes correspondente.
Esse procedimento será utilizado nos capítulos 3 e 4 para estudar alguns casos práticos. Conforme demonstrado por Kostic (2009), tal abordagem pode ser implementada de maneira a otimizar diferentes critérios (quantidade de armaduras, abertura de fissuras, etc). O resultado da análise elástico-plástica mostra que o campo de tensões rígido-plástico pode ser otimizado através da consideração da armadura mínima, conforme indicado na Figura 1.15c. Nesse caso, as duas escoras possuirão uma forma parabólica e a armadura inferior de tração pode ser diminuída (Figura 1.11 é na realidade um campo de tensões alternativo onde apenas a armadura distribuída está disponível. Na proposta de Nielsen, cada escora arqueada é substituída pela composição de três elementos de escora). Esse exemplo demonstra que a abordagem elástico-plástica é uma excelente ferramenta para se desenvolver um campo de tensões rígido-plástico melhorado ou um modelo de escoras e tirantes. A armadura pode em seguida ser dimensionada com base em uma dessas abordagens.
No que se refere ao dimensionamento das armaduras, não é necessário considerar o platô plástico do diagrama tensão-deformação do aço, uma vez que as quantidades de armaduras são dimensionadas de maneira a satisfazer a condição - f sd ≤ σsd ≤ f sd. Os platôs plásticos são importantes quando redistribuições plásticas são consideradas no estado limite último (ver por exemplo as vigas estudadas no capítulo 4), quando o comportamento mecânico no estado limite último deve ser considerado (Fig 1.16) ou quando a resistência (uma estrutura existente, por exemplo) deve ser determinada. Para esses casos, a carga pode ser aumentada até a formação de um mecanismo ou ruptura local do concreto (ver capitulo 5). Para esses dois casos, a carga máxima obtida corresponde à resistência última da peça.
Figura 1.16 - Estudo do comportamento a ruptura e comparação com dois ensaios efetuados por Leonhardt & Walther (1996); (a e d) fissuras observadas na ruptura; (b e e) campos de tensões elástico-plástico; (c e f) campos de tensões rígido-plástico e (g) comparação entre os deslocamentos calculados e medidos nos ensaios
1.11 Campos de Tensões Baseados em Cálculos Não-Lineares
Desde os anos 80, um grande número de programas baseados no Método dos Elementos Finitos têm sido desenvolvidos de maneira a considerar as principais particularidades do comportamento do concreto armado. Entre as particularidades estão o estado de tensão triaxial, a fissuração e as tensões de tração residuais que podem ser transmitidas pelo concreto, o aumento de rigidez induzida pela resistência do concreto entre fissuras (tension stiffening), o atrito entre a superfície das fissuras abertas e a força cortante suportado pelos efeitos de engrenamento dos agregados ou efeito pino das armaduras. Alguns dos programas mais conhecidos são os softwares Atena, Diana, Abaqus e Vector. A vantagem desses programas está na possibilidade de descrever com grande precisão elementos de concreto armado simples ou complexos. As maiores desvantagens se concentram no fato de que as modelagens necessitam de um grande número de parâmetros e que a utilização desses programas sem uma grande experiência pode se
tornar problemática. A experiência tem demonstrado que um cálculo verdadeiramente confiável só pode ser efetuada se os diferentes parâmetros são calibrados, de maneira a se obter uma boa correlação com ensaios de laboratório. Uma abordagem que se situa no meio do caminho entre os campos de tensões clássicos e os cálculos não-lineares é representada pelo "Método dos Campos Modificados de Compressão". Tal abordagem foi desenvolvida na Universidade de Toronto a partir dos trabalhos da Escola de Zurich (Lampert & Collins (1972)), com melhorias efetuadas com base em condições cinemáticas (Fig 1.17), na consideração da contribuição do concreto tracionado e na transmissão de tensões entre as faces das fissuras (Mitchell & Collins (1974), Vecchio & Collins (1986)).
Figura 1.17 - Hipóteses utilizadas no "Método dos Campos Modificados de Compressão" proposta por Vecchio & Collins (1986).
Capítulo 2 - Bases Teóricas do Método dos Campos de Tensão 2.1 Introdução Conforme já comentado no primeiro capítulo, o Método dos Campos de Tensão se baseia na Teoria da Plasticidade. Mais precisamente, tal método representa uma aplicação direta do Teorema Estático (também chamado de Limite Inferior). O aço, e principalmente o concreto são materiais que, no entanto, não apesentam comportamento perfeitamente plástico. Dessa maneira, algumas hipóteses devem ser feitas para permitir a aplicação da Teoria da Plasticidade para o cálculo de estruturas em concreto armado. Nesse capítulo, os princípios e as hipóteses gerais a serem consideradas para a modelagem do comportamento do concreto e do aço para o Método dos Campos de Tensão são apresentados. Em seguida, as particularidades a serem consideradas para os campos elásticos-plásticos ou rígidos-plásticos serão discutidas.
2.2 Teorema Estático da Teoria da Plasticidade Segundo o Teorema Estático da Teoria da Plasticidade, todo conjunto de cargas (Q s) em equilíbrio com um campo de tensões que satisfaça a condição estática de plasticidade é um limite inferior da carga de ruptura (Q r): Qs < Q R
Equação 2.1
Em relação aos campos de tensões, a condição estática da plasticidade é verificada se o valor da tensão é igual ou inferior à tensão de plastificação do material (tanto para o aço como para o concreto): σ ≤ f y
Equação 2.2
Para a prática da engenharia, isto significa que: Para um caso de dimensionamento, se o diâmetro das barras e as seções transversais de concreto são determinadas em termos de esforços de maneira que não se ultrapasse a resistência dos materiais, o critério da segurança estrutural será satisfeito. Porém, não se pode excluir o fato de que soluções que demandem menos aço ou concreto sejam possíveis, de maneira que, um trabalho de otimização pode ser necessário; • Para os casos de verificação de uma estrutura existente, a carga correspondente a um campo de tensões será menor ou igual a carga de ruptura, mas não pode-se excluir o fato de que um outro campo de tensões possa conduzir a uma carga de ruptura ainda mais elevada. Nesse caso também, para uma geometria e uma armadura dada, uma otimização do campo de tensão pode ser efetuada de maneira a aumentar a carga última calculada. •
2.3 Leis Constitutivas para Concreto e Aço A modelagem de estruturas em concreto armado com a ajuda de campos de tensões é simplificada por uma idealização do comportamento dos materiais, conforme indicado na Figura 2.1
Figura 2.1 - Leis constitutivas idealizadas dos materiais: (a) elemento de concreto; (b) campo de deformações para concreto e aço; (c) comportamento real e admitido para o aço e para o concreto e (d) campos de tensões admitidos. Para o concreto, um elemento plano (viga-parede, alma de viga, viga de seção retangular, etc) será em geral estudado admitindo-se que a tensão fora do plano é igual a zero (estado plano de tensões). Para o estado de deformação considera-se unicamente as duas deformações principais no plano da estrutura (a terceira deformação fora do plano não é nula, mas em geral não influencia o comportamento do elemento). De acordo com essa abordagem dos campos de tensões proposta por Fernandez Ruiz & Muttoni (2007), o comportamento do concreto em compressão é aproximado por um regime elástico (caracterizado pelo módulo de elasticidade do concreto) antes de alcançar uma fase plástica (platô de resistência). Em relação ao comportamento real, duas simplificações importantes são feitas, de maneira que dois fenômenos característicos dos materiais cimentícios são negligenciados: o comportamento nãolinear antes de alcançar a resistência (diminuição do módulo de elasticidade à medida que a tensão aumenta) e o comportamento de abrandamento uma vez que a resistência à compressão é alcançada (diminuição da tensão se a deformação aumenta). De maneira a levar em conta o abrandamento na compressão, a idealização das características do concreto necessita da utilização de uma resistência plástica equivalente (f cp, ver Figura 2.1c). Essa resistência plástica é definida pela seguinte equação: f cp = η fc f ck
Equação 2.3
Onde o coeficiente ηfc, que leva em conta a fragilidade do concreto, pode ser definido como: 30 η fc = f ck
1 / 3
≤ 1,0 (MPa)
Equação 2.4
A relação anterior, proposta por Muttoni (1989) é recomendada na norma SIA 262 (2003). A referida equação procura levar em conta que fragilidade à compressão do concreto (caracterizada pela inclinação do ramo de abrandamento da curva tensão versus deformação) aumenta com sua resistência (comportamento mais frágil para concreto com resistência mais elevada, Ver Figura 2.2a).
Figura 2.2: Leis constitutivas rígido-plásticas para o concreto e para o aço: (a) comportamento do concreto para diferentes resistências à compressão; (b) idealização rígido-plástica da resposta do concreto e valor da resistência plástica adotada (f cp); (c) comportamento elasto-plástico do aço e (d) idealização rígido-plástica da resposta do aço e resistência plástica adotada (f s) A resistência à tração do concreto normalmente não é considerada na verificação da segurança estrutural de estruturas em concreto armado devido à sua variabilidade, grande sensibilidade às deformações impostas (retração, variações de temperatura, etc) bem como devido à sua incompatibilidade com as deformações das armaduras (a deformação necessária para ativar as barras da armação no seu limite de escoamento é cerca de 20 vezes maior do que a deformação para o qual o concreto fissura). Para o caso de uma análise utilizando campos de tensões rígidos-plásticos, o comportamento frágil do concreto submetido a tensões de tração também conduz a uma negligência de sua resistência à tração. A superfície de plasticidade descreve a interação entre as tensões principais no concreto e são ilustradas na Figura 2.1c (critério de Mohr-Coulomb modificado com um corte nas tensões de tração). As direções das tensões principais podem ser admitidas em uma primeira aproximação como sendo paralelas às deformações principais (Fernandez Ruiz & Muttoni (2007), conforme ilustra a Figura 2.1d.
Para as armaduras, admite-se que as mesmas absorvam apenas força normal (negligência de flexão das barras ou alguma possibilidade de transmissão de força cortante por efeito pino). O comportamento real das armaduras é caracterizado por uma fase elástica seguido de uma fase plástica. Essa última fase inclui um platô plástico seguido de um encruamento (aços com dureza natural ou tratados termicamente) ou com o começo da fase de encruamento imediatamente após o limite de escoamento (aços encruados a frio). O comportamento nos dois casos discutidos anteriormente é habitualmente modelado por um regime elástico seguido de um regime perfeitamente plástico, onde o enrijecimento é normalmente desprezado (fig 2.3c). Deve-se observar que com o Método dos Campos de Tensões Elásticos-Plásticos, torna-se bastante fácil modelar o encruamento através de um comportamento linear, caso seja necessário (aumento constante da resistência com a deformação plástica).
Figura 2.3: Campos de tensões com linhas de descontinuidade: (a) relação constitutiva uniaxial rígido-plástica e (b) detalhe das linhas de descontinuidade e estados de tensão atuantes em detalhe
2.4 Idealização Rígido-Plástica As leis constitutivas que acabaram de ser descritas podem ser utilizadas no desenvolvimento de campos de tensões elásticos-plásticos (Fernandez Ruiz & Muttoni (2007). Esse procedimento fornece soluções exatas de acordo com a Teoria da Plasticidade (os campos de tensão são lícitos e a estrutura na ruína se deforma segundo um mecanismo, Muttoni et all (2008)), mas geralmente necessita da utilização de um programa computacional baseado no Método dos Elementos Finitos. Para o desenvolvimento a mão dos campos de tensões, deve-se normalmente utilizar a variante rígido-plástica, para a qual o comportamento elástico deve ser simplificado. Essa simplificação é efetuada ao se admitir que as deformações elásticas são negligenciáveis em relação às deformações plásticas, conforme ilustrado na Figura 2.2b para o concreto e na Figura 2.2d para o aço. Uma consequência importante dessa simplificação está na possibilidade de se ter linhas de descontinuidade nos campos de tensões conforme ilustra a Figura 2.3 b. Essas linhas delimitam as regiões dos campos de tensões no interior do elemento em concreto analisado, onde frequentemente admite-se um estado de tensão uniforme. Pode-se demonstrar facilmente que a intensidade das tensões paralelas às linhas de descontinuidade podem ser diferentes de um lado e de outro. Por outro lado, de maneira
a satisfazer as condições de equilíbrio, as intensidades das tensões normais bem como das tensões tangenciais devem ser idênticas em cada lado das linhas de descontinuidade (direção perpendicular às linhas de descontinuidade).
2.5 Elementos Básicos dos Campos de Tensões No desenvolvimento de campos de tensões rígido-plásticos, três elementos básicos são utilizados: as escoras, os tirantes e os nós. As características principais bem como as verificações de suas resistências são descritas a seguir. 2.5.1 Escoras
As escoras são elementos comprimidos em uma direção e são geralmente elementos de concreto. Contudo, em alguns casos uma escora pode ser formada por uma armadura comprimida ou por uma combinação de concreto com aço. Distingue-se normalmente dos tipos de escoras de concreto (ver Figura 2.4): As escoras prismáticas (ou uniformes) cuja espessura e largura são constantes, de maneira que a tensão no concreto é uniforme; • As escoras em leque cuja largura (e/ou a espessura) varia de maneira linear, de maneira que as tensões permanecem uniaxiais, porém com a intensidade variável de maneira hiperbólica. •
Figura 2.4: Escoras em concreto: (a) escoras prismática (ou uniforme) e (b) escora em leque A verificação da resistência das escoras se faz comparando sua tensão principal de compressão com a resistência efetiva do concreto, que por sua vez é fortemente influenciada pelas deformações laterais impostas (Muttoni (1989)). Na realidade, as escoras são frequentemente cruzadas por armaduras tracionadas de maneira que a deformação destas últimas provoca uma deformação transversal no concreto (formação de fissuras paralelas à direção de compressão no concreto). Dessa maneira, a verificação (valores de cálculo) se efetua levando-se em conta a resistência plástica efetiva assegurando-se que a inequação seguinte seja satisfeita: 0 ≤ −σ c ,max,d ≤ f ce,d =
k c . f ck
γ c
Equação 2.5
Onde σc,max,d é o valor de cálculo da tensão máxima na escora (compressão com sinal negativo), f ce,d é o valor de cálculo da resistência plástica efetiva do concreto deformado na transversal, f ck é o valor característico da resistência uniaxial do concreto, k c é um fator de redução para levar em conta o estado de deformação transversal do concreto (ver 4.2.1.7 da SIA 262 (2003)) e γ c é o coeficiente de minoração do concreto (tomado como 1,5). A importância da deformação transversal imposta ao concreto é ilustrada na Figura 2.5, onde as curvas tensão versus deformação transversal de dois corpos-de-prova com e sem deformações transversais impostas são avaliadas. Para o caso onde nenhuma deformação transversal é imposta (este é o caso por exemplo de um corpo-de-prova cilíndrico testado para medir a resistência uniaxial do concreto), a curva tensão versus deformação transversal apresenta a diminuição de resistência provocada pelo efeito Poisson (dilatação transversal devido à compressão vertical). Em seguida, a partir de uma tensão de aproximadamente 0,8 f c, um forte aumento devido à formação de microfissuras na direção das tensões é produzido, de maneira que um ramo de abrandamento é verificado até que se atinja a resistência máxima devido à ocorrência de abertura de microfissuras (a diminuição da resistência é devido essencialmente à degradação provocada pelas fissuras). Dessa maneira, se uma deformação transversal importante é imposta a um elemento de concreto desde o início do carregamento (curva tracejada), a resistência à compressão diminui de maneira análoga ao que ocorre no caso do concreto com compressão uniaxial na fase de abrandamento.
Figura 2.5: Influência das deformações transversais na resistência à compressão do concreto Esse efeito já foi estudado por vários pesquisadores desde os anos 80 e diferentes expressões foram propostas para sua quantificação. A equação normalmente utilizada é aquela proposta por Vecchio & Collins (1986), apresentada a seguir: k c =
1 ≤ 1,0 0,8 + 170.ε 1
Equação 2.6
Onde ε1 é a deformação transversal principal do concreto. Essa expressão é comparada na Figura 2.6 com o resultado de diferentes ensaios e apresenta um boa correlação. O cálculo do coeficiente k c necessita portanto do conhecimento do valor da deformação transversal do concreto ( ε1). Para os campos de tensões elásticos-plásticos, as
deformações transversais são conhecidas e o cálculo de k c pode ser efetuado de maneira relativamente precisa.
Figura 2.6: Coeficiente de redução k c em função da deformação transversal ε1, comparação entre valores de ensaios (pontos) e relação analítica (curva) - Kostic (2009) Por outro lado, quando do estudo dos campos de tensões rígidos-plásticos, as deformações transversais não podem ser calculadas diretamente, de maneira que a determinação do valor de k c é habitualmente efetuado de maneira aproximada levandose em conta o tipo de solicitação e o ângulo entre as armaduras e a direção principal do campo de compressão. Um resumo dos valores usuais são indicados na Figura 2.7.
Figura 2.7: Resistência plástica efetiva do concreto f ce segundo o tipo de solicitação
2.5.2 Tirantes
Os tirantes são constituídos pelas barras de aço passivas ou ativas (barras ou cabos de protensão). A ancoragem dos tirantes (isso quer dizer a transmissão do esforço de tração das barras para o concreto de uma região nodal ou de uma escora) pode ser realizada por aderência ou por meio de placas de ancoragem (chapas de ancoragem fixadas na extremidade das barras ou placas de ancoragem de cabos de protensão). Para cada tirante do modelo, deve-se verificar: •
Que a tensão no aço não ultrapassa sua resistência plástica:
σ sd ≤ f sd =
Equação 2.7
f sk
γ s
Onde f sd é o valor de cálculo do limite de escoamento do aço. •
lbd =
Que a barra de aço possui uma capacidade de ancoragem suficiente (caso de ancoragem por aderência). Esse comprimento pode ser estimado proporcionalmente ao diâmetro da barra caso uma lei de aderência rígidoplástica seja admitida (ver Figura 2.8c): f sd
4.τ bd
φ =
f sd
c
φ 2 / 3
Equação 2.8
4.2.0,7.0,3. f ck
Figura 2.8: Ancoragem dos tirantes: (a) ancoragem por placas e (b) ancoragem pinos; (c) relação constitutiva de aderência rígido-plástica e (d) ancoragem por aderência A equação anterior é proposta pela SIA 262 (2003), sendo que no denominador, o termo 0,3.f ck2/3 faz referência à resistência média a tração do concreto; 0,7 é o coeficiente para calcular a resistência característica à tração a partir do seu valor médio e o termo igual a 2 relaciona a tensão de aderência aço-concreto com a resistência à tração do concreto. Quando a ancoragem é feita para o caso de concreto confinado, o que ocorre para certos nós denominados distribuídos, a pressão de confinamento aumenta a tensão de aderência. Nesse caso, se a região nodal é adequadamente confinada por uma armadura construtiva mínima, pode-se reduzir o comprimento de ancoragem em cerca de 30%. Essa armadura mínima deve evitar a possibilidade de uma ruptura frágil e tem por objetivo distribuir as fissuras de maneira uniforme no elemento.
2.5.3 Nós
Os nós onde se encontram as escoras e os tirantes, são os últimos elementos que devem ser estudados para um modelo de campo de tensões. É possível reunir os diferentes nós em quatro categorias topológicas, conforme ilustra a Figura 2.9.
Figura 2.9: Tipos de nós concentrados e distribuídos 2.5.3.1 Nós CCC
Os nós CCC correspondem aos nós onde apenas escoras comprimidas se encontram. A Figura 2.9 ilustra o caso simples de encontro de três escoras. Quando a intensidade das tensões é idêntica nas três escoras, o estado de tensão na região nodal é caracterizada pelas duas tensões principais, que por sua vez são idênticas e iguais as tensões atuantes nas três escoras. É por isso que tais nós são denominados de "hidrostáticos" (na realidade o estado de tensão não é hidrostático, uma vez que a terceira tensão principal é nula).
As linhas de descontinuidade que definem a região nodal podem ser facilmente construídas ao se ligar os três pontos de intersecção das linhas de descontinuidade que delimitam as escoras. Esse tipo de região nodal apresenta ainda a particularidade de que todas as escoras são perpendiculares às linhas de descontinuidade que delimitam o nó (não há tensão de cisalhamento nas bordas da região nodal). É por isso que a construção gráfica dos nós rígido-plásticos é mais simples e a verificação das tensões não é necessária, uma vez que as duas tensões principais coincidem com as tensões atuantes na escoras. Para o caso de uma região nodal CCC não-hidrostática, o triângulo que delimita o nó também é fácil de ser construído, uma vez que seus ângulos coincidem com os três pontos de intersecção das seis linhas de descontinuidade que delimitam as escoras. Por outro lado, para esses nós, a complicação se dá na determinação das tensões principais no interior da região nodal, de maneira que a tensão principal máxima de compressão não ultrapasse a resistência plástica do concreto. Para aplicações práticas, é mais recomendável, portanto, utilizar-se nós hidrostáticos. Ainda, quando um grande número de escoras se encontram em uma região nodal, a mesma construção pode ser feita simplesmente pela combinação de vários nós com três escoras. 2.5.3.2 Nós CCT
Os nós CCT são caracterizados pela intersecção de um tirante e duas escoras comprimidas no mínimo. Para esse tipo de região nodal, é possível distinguir o caso concentrado (onde a ancoragem da barra é realizada por detrás do nó) e distribuído (onde a ancoragem é realizada ao longo do próprio nó), conforme ilustra a Figura 2.9. O nó concentrado pode ser tratado como um nó CCC. Para os dois casos é necessário verificar se o comprimento de ancoragem no exterior do nó é suficiente e se o ângulo formado pelo tirante com cada uma das escoras não é inferior a 45 o se nenhuma armadura construtiva mínima é disponibilizada, ou 25 o se uma malha é disponibilizada para controlar a distribuição e a abertura de fissuras. Para ângulos inferiores a esses valores, fissuras muito abertas poderão se formar, de maneira que deformações transversais importantes poderão reduzir fortemente a resistência efetiva do concreto (valor de kc mais baixos do que aqueles indicados na Figura 2.7). 2.5.3.3 Nós CTT
Os nós CTT são caracterizados pela intersecção de uma escora e dois tirantes. Esse tipo de nó, que pode ser tanto concentrado quanto distribuído, deve ser estudado com prudência, uma vez que fissuras de grande abertura podem potencialmente se desenvolver e assim reduzir a resistência da escora (razão pela qual sempre deve-se disponibilizar uma armadura mínima para controlar a fissuração na região nodal). O ângulo formado entre a escora e cada um dos tirantes deve respeitar o critério exposto anteriormente para o caso de nós do tipo CCT. Uma variação que melhora o comportamento desse tipo de nó consiste em dobrar as armaduras (e confinar o nó utilizando estribos) de maneira que a escora possa se apoiar em apenas uma barra. Essa disposição permite melhorar a resistência do concreto que pode até alcançar a resistência f cp. Deve-se observar nesse caso as recomendações dos códigos normativos quanto ao diâmetro mínimo dos pinos de dobramento bem como
para o espaçamento a ser respeitado entre as barras, de maneira a limitar a tensão local no concreto. 2.5.3.4 Nós TTT
O último caso possível é quando a região nodal é constituída exclusivamente de tirantes. Deve-se evitar esse tipo de nó uma vez que trata-se de uma zona nodal solicitada por um estado de compressão biaxial, que por sua provoca uma zona fortemente deformável (aberturas de fissuras importantes). Para os casos onde esse tipo de nó não pode ser evitado, deve-se prestar atenção especial à zona de ancoragem das barras que deverão ser confinadas pelos estribos devido ao seu estado de tensão. Uma maneira de melhorar o comportamento desse tipo de nó consiste em utilizar ao menos uma barra dobrada. O confinamento pelas armaduras transversais fica menos necessário. A utilização da protensão também pode se constituir em uma solução para se evitar esse tipo de nó. 2.5.4 Outros Fatores de Influência na Resistência dos Materiais
Além dos efeitos apresentados anteriormente a serem considerados na modelagem do comportamento do concreto e do aço, outros fenômenos podem influenciar a resistência dos referidos materiais ou modificar as seções resistentes. Caso necessário, esses efeitos complementares devem ser considerados nas análises utilizando campos de tensões. Para o concreto, os fenômenos mais importantes são: Aumento da resistência do concreto com o aumento da idade (ver item 3.1.2.2.4 da SIA 262 (2003)); • Redução da resistência do concreto para cargas de longa duração (ver item 4.2.1.3 da SIA 262 (2003)); • Influência da presença de dutos na seção transversal (diminuição da seção resistente, ver item 4.3.3.5 da SIA 262 (2003)); • Redução da resistência para cargas cíclicas (resposta sísmica). •
Para o caso do aço, a resistência pode ser reduzida pelos seguintes fenômenos: • •
Corrosão (perda da superfície resistente); Fadiga do aço sob cargas cíclicas (ver item 3.2.2.6 da SIA 262 (2003)).
2.6 Armaduras Mínimas para Elementos Comprimidos e Tracionados
Além de se conhecer o comportamento dos elementos base dos campos de tensões (escoras, tirantes e regiões nodais), a concepção e o dimensionamento de estruturas em concreto armado necessita ainda da compreensão das diferenças de comportamento de elementos de concreto armado submetidos à compressão e à tração. Para os elementos submetidos a forças de compressão, e se não há armaduras transversais (fig 2.10 a), a força só pode ser transmitida por uma escora direta. O comportamento nesse caso não é satisfatório, com uma resistência menor (bem inferior à resistência do concreto) e com a ruptura frágil da escora comprimida pela formação de uma fissura de abertura não controlada paralela à escora (ver Figura 2.7 e 2.10b). De
maneira a impedir esse tipo de ruptura, uma armadura mínima (distribuída ou concentrada) deve ser disponibilizada na zona de introdução das forças concentradas conforme ilustrado na Figura 2.10 c. Dessa maneira, a abertura da fissura paralela à escora será controlada (ver Figura 2.10 d) e o comportamento e a resistência do elemento serão satisfatórios. Esse comportamento mostra que as forças aplicadas no concreto possuem a tendência de ocupar toda a matéria à disposição (segundo o Princípio de Saint Venant). Dessa maneira, objetivando evitar rupturas frágeis e com uma menor resistência, as armaduras deverão ser disponibilizadas na vizinhança das forças concentradas, de maneira a assegurar a difusão dos esforços.
Figura 2.10: Elemento comprimido: (a) campo de tensões sem armadura transversal; (b) estado de fissuração associado; (c) campo de tensões com uma armadura mínima para difusão dos esforços e (d) estado de fissuração associado No que se refere ao comportamento de elementos de concreto armado tracionados, apenas uma armadura retilínea é a princípio suficiente para garantir a transmissão das forças (ver Figura 2.11 a). Nesse caso, a resistência do elemento em estado limite último será satisfatório e um comportamento dúctil pode ser alcançado (desde que a armadura disponibilizada seja superior à armadura mínima do tirante).
Figura 2.11: Elemento tracionado: (a) campo de tensões com armadura; (b) estado de fissuração associado; (c) campo de tensões com uma armadura mínima para difusão dos esforços e (d) estado de fissuração associado
No que se refere ao comportamento em serviço do elemento, as aberturas de fissuras serão adequadamente controladas nas vizinhanças da armadura. Contudo, as aberturas de fissuras se tornarão mais importantes, talvez inaceitáveis, a uma certa distância desta armadura (Muttoni et al (1997), Kostic (2009)), conforme ilustra a Figura 2.11 b. De maneira a melhorar o comportamento em serviço do elemento, uma armadura deve ser igualmente disponibilizada de maneira paralela à armadura principal, ao longo de toda largura do elemento (ver Figura 2.11 c). A ativação da armadura mínima necessita também da disponibilização de uma armadura transversal devido ao desenvolvimento de campos de compressão inclinados (ver Figura 2.11 c) no concreto. Essa armadura mínima permite uma distribuição adequada das fissuras. Esse comportamento demonstra que as armaduras, desde que respeitadas as condições de equilíbrio, podem ser disponibilizadas de maneira mais eficaz nas zonas tracionadas do concreto armado. Contudo, as armaduras para controle das aberturas de fissuras devem ser igualmente previstas, de maneira a garantir o comportamento em serviço do elemento.
Capítulo 3 - Campos de Tensões e Modelos de Escoras e Tirantes para Vigas 3.1 Introdução
Nesse capítulo, a vigas submetidas à força cortante e flexão são estudadas com a ajuda do Método dos Campos de Tensões Elásticos-Plásticos. Os resultados assim obtidos são comentados e utilizados para o desenvolvimento de campos de tensões rígidos-plásticos e modelos de escoras e tirantes correspondentes. 3.2 Vigas Submetidas à Flexão
Desde a invenção do concreto armado, as armaduras para suportar os momentos de flexão são concentradas na extremidade da zona tracionada, de maneira a maximizar o braço de alavanca interno e reduzir a quantidade de armadura necessária (Fig 3.1). Posteriormente será voltada a essa situação ao se comparar tal procedimento com os resultados obtidos pela abordagem baseada nos campos de tensões elásticos-lineares (não-fissurados) e com os campos de tensões elásticos-fissurados.
Figura 3.1: Elemento submetido a flexão simples (a) campos de tensão elásticoslineares; (b) disposição de armadura de acordo com o s campos de tensão elásticoslineares; (c) armadura distribuída; (d) campos de tensão e distribuição dos esforços; (e) força nas armaduras; (f-g) força nas armaduras segundo diversas iterações de cálculo e (i) solução com armadura de distribuição de fissuras A Figura 3.1a apresenta um campo de tensões calculado considerando-se um comportamento elástico não-fissurado para uma viga submetida unicamente a um momento fletor. Se for admitido que os esforços de tração devem ser resistidos por uma armadura, esta deverá ser dimensionada com base na distribuição linear das tensões no concreto. Em tese, a armadura deveria ser distribuída na metade inferior da viga e se seu espaçamento fosse constante, a seção das barras deveria aumentar linearmente com a sua distância em relação à parte media a viga. (Fig. 3.1b).
No caso de uma análise elástica, onde o concreto não possui resistência à tração (comportamento completamente fissurado), o resultado da análise depende da escolha inicial da armadura. Caso seja admitido primeiramente que a armadura está distribuída uniformemente ao longo de toda altura da viga (espaçamento e seções constantes, Figura 3.1 c), os esforços também serão distribuídos linearmente ao longo da altura da viga, porém ocuparão toda a zona abaixo da nova zona comprimida (Fig 3.1d). Uma nova armadura dimensionada com base nesses esforços teria novamente uma distribuição linear (Fig. 3.1e). O procedimento descrito anteriormente poderia ser repetido com a nova armadura: as tensões também seriam distribuídas de maneira linear, mas como as superfícies das barras também são distribuídas de maneira linear, os esforços resultantes teriam uma distribuição parabólica (Fig 3.1 f). Para uma nova iteração, as tensões seriam absorvidas de maneira linear, mas os esforços e a distribuição das armaduras resultariam em uma curva do terceiro grau. Se tal rotina é repetida diversas vezes, as armaduras intermediárias resultariam menos tracionadas que as armaduras inferiores. A solução convergiria para uma armadura concentrada na parte inferior da viga (Fig. 3.1h). Essa é solução ótima normalmente utilizada para lajes, uma vez que procura-se normalmente disponibilizar a armadura de tração com o maior braço-de-alavanca possível. Para o caso de vigas, tal solução poderia resultar problemática no estado limite de serviço. Na realidade, conforme indicado na Figura 3.2, para uma região tracionada insuficiente armada ou não completamente armada ao longo de sua altura, as fissuras poderiam se encontrar ocasionando grandes aberturas para a situação em serviço. Como já visto (Fig 2.11), é possível concentrar armaduras para combater um esforço de tração, porém nas zonas adjacentes, uma armadura mínima deve ser disponibilizada de maneira a combater as fissuras.
Figura 3.2: Resultado de um ensaio de flexão descrito por Leonhardt (1977), (a) distribuição de fissuras e (b) seção transversal da viga Para o procedimento iterativo descrito anteriormente, é importante dimensionar as armaduras com base nos esforços obtidos no passo precedente desde que eles não sejam inferiores a armadura mínima de distribuição para costura das fissuras. O resultado assim obtido é representado na Figura 3.1 i. O presente exemplo demonstra que é geralmente razoável começar o estudo de uma estrutura de concreto armado pelo método dos campos de tensão elástico-plásticos admitindo em uma primeira iteração uma armadura uniformemente distribuída em toda superfície (correspondente à armadura mínima, por exemplo) e reforçada na borda tracionada por uma armadura concentrada de flexão.
3.3 Vigas Submetidas à Força Cortante
O estudo do comportamento de vigas sujeitas à força cortante utilizando os campos de tensão é feito tomando-se por base a viga T apresentada na Figura 3.3.
Figura 3.3: Elevação e seção transversal de uma viga a ser estudada para o caso de força cortante A Figura 3.4 a apresenta os campos de tensão elásticos-plásticos obtidos para uma viga submetida a duas cargas pontuais (somente a metade da viga é apresentada na figura para fins de simplificação). A armadura no banzo inferior foi dimensionada com base no momento fletor máximo atuante enquanto que para a alma, uma armadura transversal com taxa ρw = 0,3 % foi adotada. A carga aplicada corresponde ao início da plastificação dos estribos (que ocorreram na base da viga, ver Figura 3.4 g).
Figura 3.4 - Viga submetida a uma força cortante constante, carga de escoamento: (a) campo de tensões elásticos-plásticos na ruptura; (b) ângulo dos campos de compressão; (c) coeficiente de redução da resistência do concreto devido à fissuração transversal; (d) tensões de compressão no concreto; (e) tensões de cisalhamento; (f) nível de solicitação do concreto e (g) nível de solicitação dos estribos
O campo de tensão demonstra bem a zona solicitada por força cortante onde se instala um campo de compressão inclinado no concreto em equilíbrio com o campo de tração vertical absorvido pelos estribos. Na zona de introdução do carregamento e da reação de apoio, o campo de compressão toma uma forma particular que será estudada em detalhes adiante. Esse campo de tensão é útil para entender o comportamento da viga para um estado avançado de carregamento, porém ainda inferior à carga de ruptura. Na realidade, a primeira plastificação dos estribos não significa ainda que a viga tenha atingido sua resistência, uma vez que uma redistribuição de esforços ainda é possível. Nesse exemplo, o ângulo de inclinação do campo de compressão ( θ, Fig 3.4b) está entre 25 o e 30o para um trecho importante da alma. Essa inclinação se situa claramente entre os valores recomendados pela SIA 262 (2003) para dimensionamento em estado limite último, isto é, 25o ≤ θ ≤ 30o. É interessante observar que o ângulo, para esse estágio de carregamento, não é constante ao longo da altura da viga. Ao contrário, o campo de compressão é mais plano na parte superior da viga e mais inclinado na base, descrevendo um aspecto de arco. Esse efeito é devido aos diferentes estados de deformação (deformação longitudinal de tração importante na região da armadura, deformação de compressão na zona situada no banzo superior) e é possível devido a ativação da aderência dos estribos existentes na alma. O valor do coeficiente de redução da resistência do concreto devido à fissuração transversal (kc, Fig 3.4 c) está entre 0,8 a 0,9 para a maior parte da alma da viga. A solicitação do concreto é ainda relativamente baixa ( σcd << kc.f cd), de maneira que a carga ainda pode ser aumentada. A Figura 3.5a ilustra o campo de tensões para o caso onde a carga foi aumentada até a ruptura. Para esse caso, deve-se observar que o aumento da carga é importante em relação à carga de início de plastificação dos estribos (33% de aumento de carga). Para essa situação, a extensão da zona onde os estribos plastificaram teve progresso notável na região entre a carga e o apoio, ver Figura 3.5 g. Em outra, uma grande parte dos estribos estão plastificados ao longo de toda altura da alma, o que leva à inclinação relativamente constante dos campos de compressão na alma (Ver Fig. 3.5 a, b). Esse resultado está de acordo com o modelo preconizado pela SIA 262 (2003) para a verificação da força cortante na ruptura (campos de tensões com ângulo constante, ver Figura 1.1). Na região crítica, a ruptura do concreto está relacionada com as inclinações dos campos de compressão de 20 e 25 o, o que sugere que os limites estabelecidos pela SIA 262 (2003) são prudentes ( θ > 25o). O coeficiente de redução da resistência do concreto para se levar em conta a fissuração transversal (k c) apresenta valores mínimos entre 0,5 a 0,6, mas apenas localmente junto à região tracionada. Para a região superior da viga, próxima à região comprimida, o coeficiente k c está entre 0,7 e 1,0. Esse fato justifica o valor escolhido pela norma SIA 262 (2003) de k c = 0,6, que por sua vez é coerente com o limite de inclinação do campo comprimido ( θ > 25o). Se uma inclinação θ mais baixa é admitida, um coeficiente kc ainda menor que 0,6 deve ser considerado.
Figura 3.5 - Viga submetida a uma força cortante constante, carga de ruptura: (a) campo de tensões elásticos-plásticos na ruptura; (b) ângulo dos campos de compressão; (c) coeficiente de redução da resistência do concreto devido à fissuração transversal; (d) tensões de compressão no concreto; (e) tensões de cisalhamento; (f) nível de solicitação do concreto e (g) nível de solicitação dos estribos Nesse caso, a ruptura da viga ocorreu devido ao esmagamento do concreto combinado com a plastificação dos estribos. Isso resulta do fato de que depois da plastificação da armadura transversal, o campo de compressão deve se inclinar mais, de maneira a ativar um número maior de estribos. Como consequência ocorre uma deformação importante dos estribos em regime plástico e uma redução da resistência efetiva do concreto (kc.f cd). Deve-se observar que a zona crítica onde o concreto atinge sua resistência efetiva kc.f cd não se situa diretamente abaixo do apoio, onde o concreto é mais solicitado, mas sim onde a resistência efetiva é menor.
3.4 Campos de Tensões Rígidos Plásticos - Dimensionamento dos Estribos
Com base nas observações realizadas no exemplo anterior, um campo de tensões rígidoplástico pode ser agora desenvolvido (Fig 3.6 a). Para a zona ABFG, a inclinação θ do campo de compressão pode ser admitida como constante. Para esse caso, o limite inferior segundo a SIA 262 (2003), isto é θ = 25o, é admitido.
Figura 3.6: Viga submetida a uma força cortante constante: (a) campo de tensões rígidoplástico na ruptura; (b) distribuição de esforços nos estribos; (c) subsistema para determinação das forças nos estribos e (d) estudo do equilíbrio para a determinação da tensão em um campo de compressão inclinado. Nessa região, a força nos estribos pode ser determinada ao se considerar um subsistema cortado por um plano inclinado paralelo ao campo de compressão (Fig 3.6 c). Se for admitido que os banzos tracionado e comprimido transmitem os esforços unicamente na direção longitudinal, a soma das forças verticais fornecerá a seguinte equação: Equação 3.1
V d = nst . f sd . Asw
Onde Asw é a seção de um estribo (considera-se duas pernas para estribos simples) e n st é o número de estribos cortados pelo plano inclinado e que pode ser calculado ao se dividir a componente horizontal da largura do plano inclinado pelo espaçamento dos estribos: n st =
Equação 3.2
z. cot θ s
Dessa maneira, a Equação 3.1 pode ser reescrita: V d = z. cot θ . f sd .
Asw s
= z.bw . cot θ . f sd .ρ w
Equação 3.3
Para esse caso, se forem adotados os mesmos estribos das Figuras 3.4 e 3.5, com uma inclinação θ = 25o será obtido o valor Vd = 0,504 MN. Por outro lado, a tensão de compressão no concreto pode ser calculada ao se considerar o equilíbrio das componentes verticais das forças atuantes no elemento ilustrado na Figura 3.6 d onde foi admitido que os estribos estão suficientemente próximos, de maneira a considerar o efeitos dos mesmos como uniformemente distribuídos: σ cd .bw .sen 2θ = f sd .
Asw
Equação 3.4
s
Dessa maneira, a partir da Equação 3.3 pode-se obter a tensão de compressão atuante nas escoras, observando-se que a mesma não deve ultrapassar a resistência efetiva do concreto (kc . f cd cd): σ cd =
V d z.bw
.
1 ≤ k c . f cd senθ . cos θ
Equação 3.5
Para o caso em questão, a tensão de compressão é de 7,3 MPa, o que equivale a 0,365.f cd cd << kc.f cd cd. 3.5 Zonas de Introdução das Forças
Se as zonas de introdução de carregamentos forem avaliadas com campos de tensão elásticos-plásticos (Figura 3.5a), pode-se observar que a intensidade da tensão de compressão no concreto é máxima logo abaixo da carga e diminui rapidamente a medida que se afasta para baixo. Além disso, a inclinação do campo de compressão varia fortemente ao longo da direção longitudinal. Essa situação pode ser descrita por um campo de compressão na forma de leque (zona BCDF' na Figura 3.6a e 3.7a). Esse campo é na na verdade uma escora escora de largura variável para o qual as tensões são uniaxiais mas com suas intensidades variando de maneira hiperbólica, conforme ilustrado na Figura 2.4b. Pode-se decompor a escora em leque em várias escoras de inclinação variável (Fig. 3.7b), porém a inclinação da resultante global pode facilmente ser determinada, conforme ilustra a Figura 3.7c. Para a parte superior, o leque está em equilíbrio com a zona nodal DEF'. Para esse caso, uma vez que a inclinação do campo de compressão no leque é variável, pode-se demonstrar que a linha de descontinuidade DF' é uma parábola (esse consideração é puramente acadêmica e de pouca importância prática, conforme relata MARTI (1990)). Deve-se observar que para as regiões BFF' e AA"G da Figura 3.6a, os campos de compressão com inclinação constante ABFG se superpõem com as duas escoras em leque. Em tese é possível desenhar um campo de compressões sem essa superposição superposição ao se deslocar os pontos F para F" e A para A", porém a construção gráfica se tornaria mais complicada. Uma vez que as distâncias são pequenas e comparáveis com o grau de precisão do posicionamento dos estribos, e uma vez que a consequência sobre as tensões locais é similar ao efeito local dos estribos que foi desprezado ao se admitir que seu efeito pode ser considerado como sendo uniformemente distribuído, considera-se
admissível a utilização de um campo de tensões tal qual o ilustrado na Figura 3.6a, sem considerar o efeito de superposição do concreto.
Figura 3.7: Zonas de aplicação de carregamentos: (a) leque devido à aplicação de carga concentrada; (b) subdivisão do leque em diversas escoras (resultantes) e (c) escora representando a resultante de todo o leque; (d) arco devido a introdução de uma reação de apoio; (e) campo de compressão alternativo com uma escora desviada e (f) modelo de escoras e tirantes t irantes correspondente Para a região de introdução da reação de apoio, o campo de tensões elásticas-plásticas é ligeiramente diferente. Pode-se perceber a presença de um arco abaixo do qual os estribos não são solicitados, conforme ilustra a Figura 3.5g. Essa diferença já havia sido encontrada na Figura 1.16: para viga-parede carregada pela parte superior, a carga é transmitida por uma escora em leque ao longo de toda altura da viga-parede, enquando que para a viga-parede onde a carga deve ser suspensa por uma armadura (Fig 1.6b), observa-se fortemente a instalação de um arco. Para o caso da viga, abaixo da carga a ativação da armadura de flexão é feita de maneira que uma escora em leque se instala, enquanto que na extremidade, a suspensão dos estribos ativa a formação de um arco. Essa situação pode ser representada pelos campos de tensões rígidos-plásticos das Figuras 3.7d (arco) e 3.7e (escora desviada). Deve-se observar, que a resultante fica inalterada em relação àquela da escora em leque (ver Figura 3.7c para o arco da Figura 3.7d, e a resultante da Figura 3.7f para a escora desviada da Figura 3.7e), de maneira que essa mudança não causa nenhum efeito sobre as forças em jogo. A única consequência prática diz respeito à altura para a qual os estribos devem ser ancorados, porém, devido à razões práticas é razoável ancorar os estribos como se faz entre G e F. De maneira a simplificar o campo de tensões rígido-plástico, será utilizado a escora em leque para essa zona.
3.6 Zona Nodal Sob o Apoio
Sob o nó do apoio convergem duas escoras comprimidas: a escora inclinada (na forma de leque, por exemplo, conforme visto) e uma escora vertical que representa a compressão introduzida pela reação de apoio (esta é uma escora muito curta na realidade, que transmite a força da placa de apoio ao nó). A força de desvio dessas duas escoras que não são alinhadas é distribuída pela armadura longitudinal. Essa força deve ser introduzida na armadura longitudinal por aderência (Fig 3.8a).
Figura 3.8: Região nodal sobre apoio: (a) com ancoragem da armadura no interior da zona nodal e (b) com ancoragem externa ao nó Conforme visto, essa ancoragem pode ser problemática se o comprimento a disposição sob o apoio não for suficiente para a ancoragem das armaduras. Nesse caso, é necessário ancorar a armadura no concreto à esquerda do nó (Fig 3.8b). Isso significa que, sobre o nó, três escoras comprimidas se encontram (às duas escoras descritas anteriormente junta-se uma escora escora horizontal correspondente correspondente a zona de concreto que suporta suporta a força na armadura). Pode-se representar essa situação por uma zona nodal de campos de tensões na qual age um estado de compressão biaxial. A largura da zona nodal (distância JA' na Figura 3.6a, ver também Figura 3.8) é dada pela placa de apoio e não pode ser inferior a: c x ,min =
V d
Equação 3.6
bw .k c . f cd
De acordo com a Figura 3.5c, nessa zona, k c varia entre 0,8 e 1,0 (redução devido à deformação da armadura longitudinal). Contudo, graças ao efeito positivo devido à presença da ala inferior (efeito de confinamento), nesse caso pode-se admitir um valor de kc = 1,0. A altura da d a zona nodal (distância IJ na Figura 3.6a, ver também Figura 3.8b) pode ser determinada ao se dividir a força introduzida pela armadura na região de concreto por bw e f cd cd: c z , min =
N d ,inf
Equação 3.7
bw . f cd
Na realidade, pode ser admitido kc = 1,0 para essa zona, graças ao fato de que na seção transversal a deformação é na maior parte de compressão.
3.7 Ancoragem das Armaduras Longitudinais Sobre o Apoio
A força Ninf,d corresponde à componente horizontal da força de compressão na primeira escora (ver Figura 3.7c e f) e vale: z N d ,inf = V d
2
. cot θ + z
c x
2 = V . cot θ + c x / z d 2
Equação 3.8
Para a transmissão dessa força da armadura para o concreto, duas soluções construtivas já vistas são apresentadas na Figura 3.8: a) Transmissão da força por aderência na zona de apoio (ver também fig 3.9a): o comprimento de ancoragem pode ser calculado ao utilizar a equação 2.8. Aqui pode-se considerar que a compressão transversal provocada pela escora que ali se apoia pode aumentar a resistência de aderência, favorecendo a redução do comprimento de ancoragem. Uma redução de 30% é geralmente admissível nesse caso (SIA 262 (2003), item 5.2.5.4). b) Transmissão da força por aderência no exterior da zona de apoio (ver Figura 3.9 b): nesse caso, nenhuma redução do comprimento de ancoragem devido à compressão transversal deve ser considerada. Se o espaço disponível é insuficiente para a ancoragem por aderência das armaduras, as seguintes soluções são possíveis: c) Ancoragem através de laços ou grampos horizontais (Fig 3.9 c): uma ancoragem eficaz é obtida se as barras da armadura são dobradas no plano horizontal formando laços ou grampos, de maneira que a força é introduzida por desvio da força nas armaduras. Por razões construtivas, é frequentemente difícil formar laços ou grampos com a armadura principal (raio de dobragem maior, armaduras difíceis de disponibilizar, dificuldades de dobrar as armaduras com um comprimento exato). Uma solução com grampos complementares é em geral preferida. Deve-se fornecer para os grampos, comprimentos suficientemente longos, de maneira que a força das armaduras principais possa ser transmitida por aderência. Nesse caso, o comprimento de ancoragem deve ser feito com base no maior diâmetro envolvido. d) Dobramento das armaduras para o alto (Fig 3.9d): quando o apoio é indireto (presença de uma braçadeira com apoios excêntricos em relação ao plano da alma) a reação de apoio deve ser transmitida ao longo da altura por uma armadura de suspensão. Também é razoável dobrar as armaduras principais ao longo da altura de maneira que a força da primeira escora esteja em equilíbrio com a força de desvio da armadura. Para evitar uma concentração de esforços de desvio que possam produzir a ruptura do concreto, as barras devem ser dobradas com um pino de diâmetro adequado (SIA 262 (2003), ver parágrafo 5.2.4)). Essa solução construtiva é aplicável também ao caso de apoio direto, com a condição de reforçar a zona de ângulo com uma armadura dobrada suplementar de menor diâmetro e raio de curvatura apropriado na forma de estribos construtivos.
e) Ancoragem com placas soldadas nas armaduras ou armaduras com cabeças de ancoragem: quando o espaço a disposição para a ancoragem é muito limitado, as soluções com placas metálicas soldadas nas armaduras (Figura 3.9 e) ou armaduras especiais com cabeças de ancoragem forjadas na extremidade (Figura 3.9f) podem ser aplicadas. Estas são no entanto soluções complicadas e relativamente caras, normalmente utilizadas apenas em casos de extrema necessidade.
Figura 3.9: Possibilidades construtivas para a ancoragem das armaduras longitudinais na extremidade de uma viga: (a) por aderência na zona de apoio; (b) por aderência no exterior da zona de apoio; (c) por grampos horizontais suplementares; (d) por dobramento das armaduras principais ao longo da altura (apoio indireto com suspensão); (e) por placas de ancoragem soldadas e (f) por cabeças de ancoragem soldadas nas barras 3.8 Esforços nos Banzos
É interessante observar que a armadura inferior sobre o apoio é solicitada à tração apesar do momento ser nulo na seção de apoio. Isso ocorre devido ao fato de que uma seção (corte) vertical para determinar a força no banzo inferior intercepta o campo de compressão inclinado que por sua vez aumenta o esforço na armadura longitudinal e diminui o efeito de compressão no banzo superior. A Figura 3.10 apresenta a distribuição de força de tração na armadura longitudinal com a distribuição do momento e o aumento devido à força cortante (resultante de análise rígido-plástica da Fig 3.6a). A partir do ponto A, onde o valor pode ser calculado pela Equação 3.8, o esforço aumenta de maneira linear (campo de compressão com intensidade constante) com o gradiente V d /z até o ponto B. Entre o ponto B e C, onde a introdução do esforço é feito pela escora em leque com inclinação variável, a distribuição é parabólica. No ponto C a força cortante é nula, de maneira que a armadura pode ser dimensionada simplesmente tomando por base apenas o momento fletor. No ponto B, a força também pode ser calculada ao subtrair a componente horizontal da força na escora em leque (Figura 3.7c) do esforço em C.
Em geral, um corte vertical (Fig 3.10b) ilustra que devido a uma compressão inclinada, o esforço de cisalhamento é acompanhado por uma compressão longitudinal. Na alma agirá então um esforço normal (componente longitudinal do esforço da diagonal da treliça) que vale: Equação 3.9
N wd = V d . cot θ
Se o campo de compressão é uniforme sobre a altura da viga, a força N wd agirá a meia altura (o que equivale a um braço de alavanca igual a z/2), de maneira que os esforços nos banzos deverão ser aumentados de N wd /2: N d ,sup = − N d ,inf =
M d
z M d z
+
+
V d
V d
2
2
. cot θ
. cot θ
Equação 3.10a Equação 3.10b
Figura 3.10: Esforços nos banzos; (a) distribuição dos esforços para a armadura inferior (ver campos de tensão da Fig. 3.6a) e (b) seção para a determinação dos esforços nos dois banzos. O efeito da força cortante é portanto de diminuição do esforço no banzo comprimido e um aumento do esforço no banzo tracionado. Isso significa que a armadura dimensionada à flexão deve ser aumentada devido ao efeito da força cortante. Uma possibilidade mais prática de considerar esse aumento de esforço no banzo tracionado consiste em efetuar um dimensionamento simples à flexão com uma linha de momentos deslocada de z.cot θ /2. Esse procedimento demonstra claramente que o esforço suplementar no banzo tracionado devido à força cortante desaparece geralmente nas seções críticas à flexão, onde a força cortante é nula ou a flexão é máxima. Esse é o caso, por exemplo, das seções sob as cargas da viga ora aqui considerada, ou sob os apoios intermediários de uma viga contínua. É interessante comparar as cargas de escoamento e as resistências calculadas para a mesma viga segundo a abordagem elástico-plástica e rígido-plástica, conforme ilustra a Tabela 3.1.
Tabela 3.1 - Comparação de resultados para viga sujeita à força cortante constante Abordagem
Elástico-Plástica Rígido-Plástica
Estágio
Início do escoamento Ruptura Ruptura
Carga
Porcentagem
Vyd = 0,480 MN
95%
Vrd = 0,640 MN Vrd = 0,504 MN
127% 100%
Geralmente, a resistência calculada tomando por base o campo de tensões elásticosplásticos é maior do que aquela calculada com os campos de tensões rígido-plásticos. Isso é devido ao fato de que os campos de tensões elásticos-plásticos permitem: • • •
Uma estimativa local mais precisa do valor do coeficiente k c; O desenvolvimento de ângulos inferiores a 25 o para os campos de compressão; Leva em conta certos mecanismos de transmissão de carga negligenciados pelo método dos campos de tensões rígido-plásticos (como a inclinação do banzo comprimido).
Esses efeitos compensam a distribuição completa de esforços que é geralmente considerada na abordagem rígido-plástica (tensões uniformes no concreto ao longo da altura da viga). No final do presente capítulo, será voltada à diferença entre os dois métodos e suas consequências para o dimensionamento e verificação de estruturas existentes. 3.9 Análise de Uma Viga Submetida à Carga Uniforme
O caso da mesma viga simples com comprimento de 12,80 m, agora submetida a uma carga uniforme distribuída é ilustrada nas Figuras 3.11 (início da plastificação dos estribos) e 3.12 (carga de ruptura). No início da plastificação dos estribos, um comportamento muito semelhante àquele descrito no exemplo anterior é observado: A inclinação do campo de compressão é variável ao longo da altura da alma, com os ângulos mais inclinados na parte inferior da viga (Figura 3.11 a e b). O ângulo se torna mais inclinado na região de apoio (força cortante máxima) e mais abatido na parte central da viga (força cortante menor e flexão dominante); • A plastificação dos estribos ocorre na parte inferior da viga (Fig 3.11g); • O coeficiente kc é relativamente elevado (> 0,70, Figura 3.11 c); • A zona mais solicitada do concreto na alma se encontra na proximidade do apoio onde a força cortante é máxima (Fig 3.11d). •
Figura 3.11: Viga submetida a uma carga uniformemente distribuída capaz de causar o escoamento dos estribos: (a) campo de tensão elástico-plástico no escoamento; (b) ângulos dos campos de compressão; (c) coeficiente de redução da resistência do concreto devido à fissuração transversal; (d) tensão de compressão no concreto; (e) tensões de cisalhamento; (f) nível de solicitação do concreto e (g) nível de solicitação dos estribos A partir do início do escoamento dos estribos, a carga pode ser aumentada em até 16% graças à redistribuição interna dos esforços, A ruptura é finalmente atingida para o esmagamento do concreto na alma (Figura 3.12f). Para esse estágio de carregamento, pode-se observar: •
A inclinação do campo de compressão se torna mais uniforme ao longo da altura da viga (Fig 3.12a e b). Isso é devido à plastificação dos estribos ao longo de uma altura importante da alma (Fig 3.12g);
A inclinação do campo de compressão na região crítica fica entre 25 e 30 o (de acordo com os limites admitidos para os campos de tensão rígido-plásticos); • O coeficiente de redução da resistência do concreto com a fissuração transversal (kc) apresenta valores entre 0,6 e 0,8, o que confirma a escolha de campos de tensões rígido-plásticos (kc = 0,6) como uma estimativa prudente, porém realista; • A ruptura se desenvolve nas proximidade do apoio (região com força cortante máxima), mais ao redor da zona de introdução da reação. •
Figura 3.12: Viga submetida a uma carga uniformemente distribuída capaz de causar a ruptura: (a) campo de tensão elástico-plástico na ruptura; (b) ângulos dos campos de compressão; (c) coeficiente de redução da resistência do concreto devido à fissuração transversal; (d) tensão de compressão no concreto; (e) tensões de cisalhamento; (f) nível de solicitação do concreto e (g) nível de solicitação dos estribos O campo de tensões rígido-plástico correspondente à mesma viga é apresentado na Figura 3.13. Novamente, o limite de θ > 25o preconizado pela norma SIA 262 (2003) é admitido. Como para o caso com força cortante constante, a introdução da força de reação é feita por intermédio de um campo de compressão em leque a despeito do fato de que o campo de tensões segundo a abordagem elástico-plástica remete mais a um arco (Fig 3.12a comparada com a Figura 3.7d).
Figura 3.13: Viga submetida a uma carga uniformemente distribuída ( θ = 25o): (a) campo de tensões rígido-plástico; (b) esforços na armadura inferior; (c) esforços nos estribos; e (d) modelo de escoras e tirantes correspondente Para esse caso, com a resistência dos estribos conhecida ( ρw = 0,3% e f sd = 435 MPa), a resistência pode ser calculada pela Equação 3.3. A força cortante assim calculada (0,504 MN) corresponde à soma da resistência dos estribos sobre o corte diagonal AH. Uma vez que a carga age sobre a borda superior da viga, agirá uma força cortante na seção BH. Na realidade, a carga atuante no trecho JH não solicita os estribos, uma vez que a transmissão se dá diretamente ao apoio através da escora em leque AHIJK. É por isso que a reação de apoio (0,736 MN) ultrapassa bastante a força calculada para a mesma viga com a mesma armação, porém solicitada por uma carga concentrada suficientemente afastada do apoio, que por sua vez torna impossível um apoio direto (0,504 MN, Fig 3.6). Para a zona BCGH, os estribos podem ser diminuídos à medida que a força cortante diminui (corte cruzando os estribos BG solicitados pela força cortante na seção GC). Em alternativa, se a taxa de estribos permanece constante, a inclinação dos campos de compressão ABGH e BCFG poderá ser aumentada de maneira a utilizar mais os estribos à disposição. Nesse caso, os campos de compressão se tornarão as escoras em leque.
É interessante observar que nesse caso, a análise por campos de tensões elásticosplásticos não permite aumentar sensivelmente a carga de ruptura (ver Tabela 3.2). Isso é devido ao fato de que, comparado ao caso de carga concentrada sobre o banzo comprimido, o caso de viga com carga distribuída apresenta uma contribuição menor do banzo comprimido para a retenção da força cortante. Tabela 3.2 - Comparação de resultados para viga sujeita à força cortante variável Abordagem
Elástico-Plástica Rígido-Plástica
Estágio
Início do escoamento Ruptura Ruptura
Carga
Porcentagem
Vyd = 0,691 MN
94%
Vrd = 0,800 MN Vrd = 0,736 MN
109% 100%
3.10 Escolha da Inclinação do Campo de Compressão
Até o presente momento foram desenhados os campos de compressão rígidos-plásticos e calculadas as forças ao se admitir uma inclinação para escoras de 25 o. Esta hipótese deve ser discutida, uma vez que é possível desenhar campos de tensões alternativos com inclinações diferentes conforme o caso apresentado na Figura 3.14.
Figura 3.14: Viga submetida a uma carga uniformemente distribuída com inclinação do campo de compressão mais elevado; (a) campos de tensão rígidos-plásticos; (b) esforços na armadura inferior; (c) esforços nos estribos; e (d) modelo de escoras e tirantes correspondente
Em geral, se a inclinação das escoras aumenta para a mesma viga e para a mesma carga, observa-se que: os estribos devem aumentar, a tensão nos campos de compressão diminui e a força suplementar nos banzos também tende a diminuir. De maneira a limitar a quantidade de estribos é razoável escolher um ângulo de inclinação mais suave para as escoras durante o dimensionamento. Isso deve-se na realidade ao fato de que um dimensionamento plástico é possível devido ao fato de que o sistema é interiormente hiperestático e que uma redistribuição de esforços é possível (desde que o comportamento seja dúctil). Conforme foi visto, se os estribos são menores, uma vez atingido seu limite de escoamento, a carga pode ser aumentada, uma vez que a inclinação do campo de tensões diminui. Não deve-se escolher inclinações muito baixas, uma vez que pode-se ter deformações plásticas nos estribos já em estado limite de serviço, ou fissuras muito abertas podem se desenvolver em estado limite último, limitando a capacidade de redistribuição dos esforços (coeficiente k c menor que 0,6). De maneira a evitar esses problemas, um limite inferior deve ser fixado para o ângulo de inclinação das escoras: θ ≥ 25o
Equação 3.11
Se as tensões nas diagonais ou se a força a ser ancorada pelas armaduras longitudinais sobre os apoios é conhecida, a escolha de uma inclinação maior é razoável. Um limite superior deve também ser definido. Na realidade, a escolha de uma inclinação muito grande pode levar a uma subestimativa da força na armadura longitudinal, com o perigo de uma ruptura frágil na zona de apoio por aderência insuficiente. É por isso que o limite superior deve ser considerado: θ ≤ 45o
Equação 3.12
Pode-se desprezar essa condição para os casos de vigas-parede (Ver Figura 1.16), vigas curtas (consolos) e vigas submetidas a cargas concentradas próximas ao apoio, onde uma inclinação superior a 45o pode facilmente se instalar sem necessitar da redistribuição plástica dos esforços. Deve-se observar que a inclinação do campo de compressão pode variar ao longo da viga. Nesse caso, não somente a primeira escora, mas também as outras serão na realidade escoras em leque. 3.11 Análise de Uma Viga de Altura Variável
Um outro caso interessante de ser estudado é o de vigas com altura variável (fig 3.15), onde a inclinação do banzo superior permite a absorção de uma parte da força cortante. No entanto, para este caso, a diminuição da altura na vizinhança da região de apoio (região com força cortante máxima) provoca uma diminuição sensível da carga de escoamento dos estribos (Fig. 3.15) e da carga de ruptura (Fig. 3.16)
Figura 3.15: Viga submetida com altura variável submetida a uma carga uniformemente distribuída capaz de provocar o escoamento: (a) campos de tensão elásticos-plásticos na ruptura; (b) ângulos dos campos de compressão; (c) coeficiente de redução da resistência do concreto por fissuração transversal; (d) tensões de compressão no concreto; (e) tensões de cisalhamento; (f) nível de solicitação do concreto e (g) nível de solicitação dos estribos O comportamento, no início da plastificação dos estribos, é similar àquele das vigas com altura constante em relação à inclinação dos campos de compressão (variável ao longo da altura da alma), à zona de plastificação dos estribos (na parte baixa da viga) e nos valores do coeficiente k c (entre 0,7 e 0,9). No entanto, a maior diferença das vigas de altura variável em relação às vigas de altura constante está no fato de que os estribos no meio do vão são pouco solicitados (ver Fig. 3.15a, g). Este fato é devido ao empuxo ao vazio do banzo comprimido no meio do caminho que deve ser equilibrado por detrás dos estribos (uma taxa mínima distribuída ao longo de uma certa distância é normalmente suficiente). Por outro lado, a solicitação dos estribos se tornam nulas em uma seção intermediária entre o meio da viga e o apoio onde a força cortante transmitida pela inclinação do banzo superior é igual à força cortante total atuante (Muttoni et al. (1997)).
A Figura 3.16a ilustra os campos de tensão elásticos-plásticos na ruptura provocados por esmagamento do concreto na alma. Como novidade, a plastificação dos estribos avança por toda a altura da alma, o que leva a um campo de compressão com inclinação constante na alma (entre 25 o a 30 o na região crítica). O valor do coeficiente k c se reduz, chegando localmente a valores baixos (0,5) mas permanecendo com valores médios entre 0,5 e 0,7. O mesmo fenônemo de ativação dos estribos no meio da viga pode ser igualmente observado, com as tensões mais elevadas devido ao nível incrementado de carga.
Figura 3.16: Viga submetida com altura variável submetida a uma carga uniformemente distribuída capaz de provocar a ruptura: (a) campos de tensão elásticos-plásticos na ruptura; (b) ângulos dos campos de compressão; (c) coeficiente de redução da resistência do concreto por fissuração transversal; (d) tensões de compressão no concreto; (e) tensões de cisalhamento; (f) nível de solicitação do concreto e (g) nível de solicitação dos estribos
O campo de tensão rígido-plástico é igualmente apresentado na Figura 3.17a. Essa figura apresenta também a seção I onde a inclinação do banzo comprimido é suficiente para absorver a força cortante, bem como ilustra a necessidade de se colocar estribos no meio da viga (zona EFGH). NA região EFHI a força cortante absorvida pelo banzo comprimido ultrapassou a força cortante total (Fig. 3.17b), de maneira que a força cortante na alma muda de sinal. Essa força cortante será absorvida por uma escora em leque que se encaminha internamente a carga da região IH até EF, onde será suspensa pelos estribos centrais (zona EFGH) ao banzo comprimido (zona HG) que a transmitirá em seguida ao apoio.
Figura 3.17 - Viga com carregamento uniforme e altura variável: (a) campo de tensões rígidos-plásticos (ruptura); (b) força cortante atuante e absorvida pela inclinação do banzo comprimido; (c) força atuante na armadura de flexão; (d) tensões nos estribos e (e) modelo de escoras e tirantes associado A força cortante na alma V wd necessária para dimensionar os estribos e verificar o concreto devido ao campo de compressão pode ser facilmente calculado através do estudo do equilíbrio de uma seção inclinada (Fig 3.18). Os três esforços simples M d , Nd e Vd estão em equilíbrio com os dois esforços nos banzos e com a força cortante na alma:
M d = N inf, d . z + V wd .
z. cot θ
2
Equação 3.13
N d = N inf, d + N sup, d . cos δ V d = − N sup, d .senδ + V wd
Para o caso em questão, com Nd = 0, a força cortante na alma dependerá de V d e Md: V d − V wd =
M d .
tan δ
z
Equação 3.14
1 tan δ 1− 2 tan θ
A expressão anterior é frequentemente aproximada por: V wd = V d −
M d . z
tan δ
Equação 3.15
Figura 3.18 - Equilíbrio efetuado em uma seção inclinada para a determinação da força cortante Vwd atuante na alma Deve-se observar que o esforço na banzo comprimido foi admitido com a mesma inclinação δ das abas. Conforme indicado na Figura 3.16b (análise elástica-plástica), a inclinação do campo de compressão nas abas comprimidas ultrapassou nas zonas importantes a inclinação da alma. Para o caso em estudo, esse efeito se tornou importante tendo-se em vista a altura reduzida da seção na região crítica, sendo que as abas comprimidas se tornaram importantes e podem contribuir sensivelmente à absorção da força cortante. A Tabela 3.3 ilustra que a carga de ruptura calculada pelo método elástico-plástico ultrapassa largamente o cálculo feito pelo método rígido-plástico. Tabela 3.3 - Comparação de resultados para viga com altura variável Abordagem
Elástico-Plástica Rígido-Plástica
Estágio
Início do escoamento Ruptura Ruptura
Carga
Porcentagem
qyd = 0,0704 MN/m
103%
qrd = 0,087 MN/m qrd = 0,072 MN/m
121% 100%
Capítulo 4 - Campos de Tensão para Regiões D 4.1 Introdução
Nesse capítulo, diferentes estratégias serão aplicadas de maneira a determinar as armaduras a serem disponibilizadas em elementos caracterizados por descontinuidades estáticas e geométricas. Para tanto, utilizam-se os seguintes métodos de campos de tensão elásticos não-fissurados, elástico-plásticos e rígidos-plásticos, com o objetivo de demonstrar as diferenças, as vantagens e desvantagens de cada um dos métodos selecionados. O desenvolvimento de modelos de escoras e tirantes baseados nos campos de tensão assim obtidos também será explicado. Esses modelos de escoras e tirantes serão utilizados para o cálculo das forças nas armaduras permitindo o dimensionamento considerando apenas condições de equilíbrio. 4.2 Descontinuidades Geométricas
A diferença entre a abordagem baseada nos campos de tensão elásticos não-fissurados e nos campos de tensão elástico-plásticos é inicialmente estudada com a ajuda da Figura 4.1, que por sua vez ilustra uma viga submetida a um momento fletor positivo com uma descontinuidade na face inferior (zona tracionada).
Figura 4.1: Elemento com descontinuidade geométrica na zona tracionada: (a) campo de tensãoes elásticos não-fissurados; (b) campo de tensões elástico-fissurado com armadura mínima distribuída; (c-d) determinação da armadura necessária e (e,f) disposição final das armaduras
Uma análise elástica não-fissurada do estado de tensões é apresentada na Figura 4.1a. Essa figura apresenta fortes concentrações dos esforços na região de descontinuidade geométrica onde a direção principal das tensões de tração estão inclinadas. A disposição de uma armadura de acordo com essa configuração é no entanto problemática, com a necessidade de dobrar a armadura principal de flexão e disponibilizar armaduras complementares para absorver os esforços decorrentes do desvio da força. Dessa maneira, normalmente é preferido disponibilizar as armaduras paralelamente e perpendicularmente nesse tipo de viga (armaduras ortogonais). No caso de armaduras ortogonais, o campo de tensões elástico-fissurado (Figura 4.1b, concreto sem resistência à compressão) demonstra que o equilíbrio pode ser obtido com a ancoragem da armadura de flexão na região de redução de altura da viga (à esquerda da Figura 4.1b) e com elementos comprimidos e tracionados da região com maior altura (à direita da Figura 4.1b). Uma armadura vertical, bem como dois campos de compressão inclinados são igualmente necessários de maneira a garantir o desvio dos esforços. A disposição das armaduras pode ser otimizada conforme já explicado no Capítulo 1 ao se diminuir as armaduras pouco solicitadas e ao se reforçar as armaduras mais solicitadas de maneira iterativa (ver Figuras 4.1c, d). Com base nesse método, as armaduras estritamente necessárias para a condição de equilíbrio podem ser determinadas. Duas possibilidades são ilustradas nas Figuras 4.1e,f. A primeira com uma armadura vertical distribuída (estribos, Fig 4.1e) e a segunda com uma armadura vertical concentrada (barra dobrada com grampos complementares ou placas de ancoragem, Fig 4.1f). O dimensionamento das armaduras pode ser efetuado com base no campo de tensões resultante (para o qual as forças nas armaduras são conhecidas). Como alternativa, o dimensionamento também pode ser efetuado com base em um modelo de escoras e tirantes inspirado no campo de tensões anterior (Fig. 4.2a). Para este caso, as forças nos tirantes (armaduras) são calculados com base nas condições de equilíbrio dos nós.
Figura 4.2: Elemento sujeito a descontinuidade geométrica na zona tracionada: (a) modelo de escoras e tirantes e (b,c) campos de tensão rígidos-plásticos
Da mesma maneira, as armaduras do elemento podem ser determinadas com a ajuda de um campo de tensões rígido-plástico (ver por exemplo as Figuras 4.2b,c) inspirados no campo de tensões elástico-fissurados apresentados anteriormente. Como indica a Figura 4.2a, a armadura transversal deve ser dimensionada para a seguinte força: T 3d = T 2 d . tan α
Equação 4.1
Com base nos campos de tensão elástico-plásticos (Fig 4.1), uma inclinação α entre 40o e 45 o pode ser escolhida. É ainda necessário ancorar a armadura T 2 na sua extremidade (comprimento l1 na Figura 4.2c). Deve-se observar que os detalhes de armação obtidos (Fig. 4.1e,f) ilustram apenas as armaduras para duas direções. Isso se deve à escolha inicial admitida no início das iterações. Não se faz menos importante realçar que uma armadura inclinada apresentaria vantagens graças a uma melhor distribuição de fissuras para o estado limite de serviço. Um outro exemplo de descontinuidade geométrica é ilustrado na Figura 4.3, sendo que agora a região de descontinuidade encontra-se comprimida. A disposição das armaduras nesse elemento pode ser estudada de maneira análoga ao caso anterior. Um cálculo com armadura mínima disposta ortogonalmente permite identificar as zonas comprimidas assim como as armaduras tracionadas (Fig. 4.3a).
Figura 4.3: Elemento com descontinuidade geométrica na zona comprimida: (a) campo de tensões elástico-fissurado com armadura mínima distribuída; (b-c) determinação da armadura necessária e (d) disposição final das armaduras
Para esse caso, a zona comprimida é desviada com a ajuda de dosi campos de compressão inclinados bem como com uma região vertical tracionada. Com base nos resultados, as armaduras principais podem ser reforçadas através de etapas sucessivas (Fig. 4.3b, c) até que se determine as armaduras estritamente necessárias e sua disposição ótima no elemento (Fig 4.3d). Os modelos de escoras e tirantes bem como os campos de tensões rígidos-plásticos inspirados na solução anterior e que permitem um dimensionamento manual das armaduras são ilustrados nas Figuras 4.4a e 4.4b,c respectivamente.
Figura 4.4: Elemento sujeito a descontinuidade geométrica na zona comprimida: (a) modelo de escoras e tirantes e (b,c) campos de tensão rígidos-plásticos Para esse caso, a armadura transversal pode ser facilmente dimensionada a partir da seguinte equação: T 3d = C 2 d . tan α
Equação 4.2
Com base nos campos de tensões elásticos-plásticos (Figura 4.3), uma inclinação de α entre 30o e 35o pode ser admitida. Deve-se observar que para os campos de tensões rígido-plásticos, duas soluções construtivas são apresentadas para a armadura. A primeira solução utiliza o principio de uma barra dobrada ancorada por meio de uma placa de ancoragem ou laços (Fig. 4.4b) enquanto a segunda solução distribui a tração através de uma certa largura onde estribos são disponibilizados.
4.3 Nós de Pórtico com Tração na Face Externa
A aplicação da metodologia explicada anteriormente permite o estudo de diferentes configurações de armadura e de adaptações segundo diferentes necessidades de projeto. Por exemplo, a Figura 4.5 ilustra o caso de um nó de pórtico com tração na face externa. O campo de tensões elásticos não-fissurados é apresentado na Figura 4.5a. Ele indica que a zona tracionada devido à flexão é desviada através de uma zona nodal. Um detalhe de armação com base nesse campo é geralmente difícil de se estabelecer.
Figura 4.5: Nó de pórtico com tração na face externa: (a) campo de tensões elásticaslineares; (b) campo de tensões elásticos-fissurados; (c,d) variações de armação No entanto, se as armaduras de flexão são concentradas para maximizar a altura estática (Figura 3.1) e se uma armadura minima é introduzida na região nodal, o funcionamento do detalhe fica mais simples (Fig. 4.5b). A força de uma armadura de flexão é transmitida à outra por meio de uma zona submetida a cisalhamento puro na região nodal. Essa zona é desenvolvida devido a um campo de compressão inclinado a 45 o em relação às armaduras e deve ser armado nas duas direções. Essa solução apresenta a desvantagem de que as armaduras devem ser perfeitamente ancoradas ao longo de um comprimento bastante curto. As alternativas para a disposição das armaduras deve então ser explorada. Uma possibilidade é aquela das Figuras 4.5c, d, onde a escora resultante do campo de compressão inclinado é concentrado (no local de repartição, conforme a Fig. 4.5b). A concentração de esforços de compressão em uma zona com escora única é somente possível se a zona de ancoragem das armaduras de flexão possuem uma largura suficiente. Essa largura pode ser conseguida pela disposição de placas de ancoragem (ver Fig. 4.5c) ou ainda melhor pelo dobramento da armadura de flexão (Fig. 4.5d).
Essa última solução é normalmente mais econômica. Para os casos particulares, a solução com placas de ancoragem pode ser interessante tendo-se em vista os procedimentos construtivos (Lüdescher et al (2008)). Deve-se observar que as disposições de armadura das Figuras 4.5c,d não apresentam uma armadura mínima para controle da fissuração na zona ocupada pela escora. Devido ao fato de que essas escoras se desenvolvem mais na proximidade das zonas tracionadas (armaduras de flexão), pode-se observar uma menor resistência para o concreto (ver Capítulo 2). O dimensionamento das armaduras para esse caso se limita somente às armaduras de flexão, sendo que os modelos de escoras e tirantes e os campos de tensões rígidos plásticos equivalentes são ilustrados na Figura 4.6. Se a curvatura das barras (pino de dobramento) respeita os limites preconizados pelas normas e se o espaçamento é razoável, a resistência na escora inclinada não é determinante. No entanto, é necessário disponibilizar uma armadura de fretagem de maneira a evitar a propagação de fissuras paralelas no plano do elemento e de maneira a impedir o lascamento do concreto de recobrimento.
Figura 4.6: Nós de pórtico com tração na face externa: (a) Modelo de escoras e tirantes; (b) campo de tensões rígido-plástico
4.4 Nós de Pórtico com Tração na Face Interna
Um outro exemplo de nó de pórtico submetido à flexão é ilustrado na Figura 4.7. Tratase de um nó de pórtico submetido a uma tração na face interna. Segundo uma análise elástica não-fissurada (Fig. 4.7a), a zona tracionada devido à flexão é desviada na região do canto interior. Essa zona tracionada, que introduz um empuxo ao vazio na região nodal, está em equilíbrio com as trações desenvolvidas a 45 o em relação às direções do nó de pórtico. A disposição de armaduras de acordo com essa configuração (ver por exemplo Fig. 4.7c) dará origem a um nó TTT dificilmente executável uma vez que a ancoragem da armadura diagonal seria praticamente impossível (mesmo uma ancoragem utilizando placas seria pouco eficiente tendo-se em vista a fissuração dessa zona).
Figura 4.7: Nós de pórtico com tração na face interior: (a) campo de tensão elásticolinear; (b) campo de tensões elástico-fissurado; (c,d) variações de armação A solução de acordo com um campo de tensões elástico-fissurado que considera a disposição de uma armadura distribuída na região nodal é ilustrada na Figura 4.7b. As armaduras transmitiram suas forças no meio de uma zona de cisalhamento existente entre elas. Essa solução apresente um bom comportamento porém é difícil de ser colocada em prática e necessita de uma ancoragem das armaduras de flexão ao longo de um comprimento relativamente curto. Como alternativa, a disposição das armaduras ilustradas na Figura 4.7d permitem a eliminação das armaduras na zona de cisalhamento (Figura 4.7b) e não apresentam o nó do tipo TTT. Essa solução apresenta a desvantagem de que a armadura principal deve ser perfeitamente ancorada em sua extremidade. Essa ancoragem só é possível através da utilização de placas de ancoragem, grampos ou laços complementares.
Uma solução eficiente pode ser obtida através da combinação dos campos de tensão da Figura 4.7b com a barra inclinada indicada na Figura 4.8. Para esse caso, a diagonal comprimida já será desviada pela armadura inclinada de maneira que a ancoragem das armaduras principais de flexão se tornará mais fácil. (o comprimento à disposição para a ancoragem das barras principais é maior).
Figura 4.8: Desvio progressivo de um campo de compressão 4.5 Nós de Pórtico com Flexão e Cortante
O caso de nós de pórtico submetidos a flexão bem como força cortante pode ser tratado de maneira análoga, porém levando-se em conta que uma armadura para força cortante (estribos) deverá ser disposta na viga. A título de exemplo, as Figuras 4.9 e 4.10 ilustram os campos de tensão resultantes para nós de pórtico com momentos que provocam tração na face externa e força cortante atuando para uma seção (de sinal oposto para cada caso).
Figura 4.9: Nós de pórtico submetido a um momento de flexão com tração na face exterior e uma força cortante positiva: (a-c) campos de tensões elástico-fissurados para diferentes disposições de armadura; (d) campos de tensões rígidos-plásticos correspondentes à disposição de armadura
Pode-se observar que as considerações apresentadas anteriormente em relação aos diferentes arranjos de armadura continuam sendo válidos. No entanto, o dimensionamento das armaduras deverá agora levar em conta a influência da força cortante. Isso pode ser feito diretamente com a ajuda dos campos de tensão elásticosfissurados, de acordo com os campos de tensão rígido-plásticos (Figuras 4.9d e 4.10d) ou ainda de acordo com os modelos de escoras e tirantes associados aos campos mencionados. Outras possibilidades de solicitação de nós de pórtico são apresentadas em maiores detalhes em Muttoni et al (1997).
Figura 4.10: Nós de pórtico submetido a um momento de flexão com tração na face exterior e uma força cortante negativa: (a-c) campos de tensões elástico-fissurados para diferentes disposições de armadura; (d) campos de tensões rígidos-plásticos correspondentes à disposição de armadura 4.6 Vigas-Parede
A aplicação do método dos campos de tensão não é restrito somente aos elementos de uma estrutura, isto é, também pode ser aplicado para o estudo integral de uma determinada estrutura. O método é especialmente adequado para o estudo do comportamento de muros ou vigas-paredes, uma vez que ele permite detectar: As zonas sujeitas a fortes solicitações de tração onde as armaduras e eventualmente a protensão deverão ser disponibilizadas; • As zonas menos solicitadas, de maneira que as aberturas necessárias poderão ser posicionadas sem maiores problemas. •
A Figura 4.11 ilustra uma parede de contraventamento de um edifício com 7 pavimentos submetida a ações verticais (ações gravitacionais) e ações horizontais (vento ou sismo). Uma análise com a ajuda das linhas de pressão (resultante de forças, Fig. 4.11a) ilustra a necessidade de se disponibilizar armaduras verticais desde que a resultante de forças se posicione fora da parede (pavimentos inferiores, até atingir o quarto pavimento).
Figura 4.11: Parede com vários pavimentos (a) campos de tensão elásticos-fissurados; (b) resultante de forças; (c) modelo de escoras e tirantes; (d) campos de tensões rígidosplásticos O fato anterior pode ser facilmente observado com um campo de tensões elásticofissurado (ver Fig. 4.11b). Para os quatro primeiros pavimentos, o campo de compressão é importante é necessita da disposição de armaduras transversais (dentro do plano) de maneira a impedir a instabilidade das barras comprimidas (Muttoni (1990)). Para os pavimentos superiores, a resultante dos esforços fica no interior da parede, e as armaduras verticais (flexão) não são não necessárias para a condição de equilíbrio. Para o dimensionamento, tomando-se como base o campo de tensões anterior, o modelo de escoras e tirantes (Fig. 4.11c) ou o campo de tensões rígido-plástico (Fig. 4.11d) podem ser utilizados.
Capítulo 5 - Exemplo Prático de Aplicação do Método 5.1 Introdução
O presente capítulo apresenta uma aplicação prática do Método dos Campos de Tensão no caso de dimensionamento de uma estrutura em concreto armado. Essa aplicação utiliza os diferentes métodos anteriormente tratados, notadamente os modelos de escoras e tirantes, os campos de tensão rígido-plásticos e os campos de tensão ela'sticoplásticos. Deve-se observar que, apesar da generalidade e da grande precisão dos campos de tensão elásticos-plásticos, a aplicação (construção do modelo de cálculo e interpretação dos resultados) do referido método necessita de maior esforço e tempo de cálculo em relação às análises segundo o método dos campos de tensão rígido-plásticos ou modelos de escoras e tirantes. Dessa maneira, quando do estudo de uma estrutura, assume-se como vantajoso realizar uma análise por níveis sucessivos de aproximação, sendo que o tempo dedicado para cada nova análise aumenta conforme cada novo nível de aproximação, conforme ilustra a Figura 5.1.
Figura 5.1: Princípio da análise por níveis de aproximação Primeiramente, os métodos simples e a favor da segurança (como as equações da norma, os modelos de escoras e tirantes ou campos de tensão simples) são preferíveis. Esses métodos constituem habitualmente o nível de aproximação I. Se a resistência obtida se mostre insuficiente ou se um grau de precisão mais efetivo seja necessário (dimensionamento de elementos especiais, análise de segurança de uma estrutura existente) a utilização de modelos mais refinados serão então justificados. Por exemplo, o método dos campos de tensão rígido-plásticos segundo as bases descritas anteriormente no Capítulo 2 pode ser desenvolvido para um caso concreto (nível II de aproximação). No entanto, se uma análise ainda mais refinada se fizer necessária, um cálculo por campos de tensão elásticos-plásticos pode ser aconselhável (Nível III de aproximação) 5.2 Exemplo Prático de Uma Parede Portante
A Figura 5.2 apresenta o prédio do Collége de Léman à Renes, projetado pelos arquitetos Espósito e Javet e pelos engenheiros Luratti, Muttoni, Fellrath e Bosso, todos profissionais da região de Lausanne (Suíça). O sistema portante dessa edificação construída entre 2007 e 2008 apresenta cortinas (paredes) no seu interior permitindo grandes espaços livres e uma fachada portante constituída por pórticos em concreto armado, conforme ilustra a Figura 5.2.
Figura 5.2: Collège du Léman: (a) vista da edificação; (b) elevação de uma parede portante A concepção e o dimensionamento das paredes foram efetuados com a ajuda de campos de tensão e modelos de escoras e tirantes simples, permitindo uma compreensão intuitiva do comportamento da estrutura (nível I de aproximação). A Figura 5.9 apresenta um estudo preliminar da posição das escoras e dos tirantes principais. Pode-se observar que vários modos de transmissão das cargas são possíveis, por exemplo, com a utilização de dois arcos ou dois consolos (ver Figuras 5.3 a,b). Apesar de certos conflitos locais a serem resolvidos com o desvio de escoras através da disponibilização de armaduras ao redor das aberturas, os dois modos de transmissão de cargas permitem identificar as regiões mais solicitadas à compressão bem como os lugares onde os cabos de protensão devem ser dispostos. Esses modelos simplificados permitem assim otimizar a posição das portas e das aberturas. No entanto, uma análise somente efetuada sobre as condições de equilíbrio não permite determinar a porcentagem de carga dividida entre cada um dos modos de transmissão apresentados na Figura 5.3. Para esse caso, um estudo segundo o método dos campos de tensão elásticos-plásticos (nível III de aproximação) se faz adequado.
Figura 5.3: Transmissão de cargas na parede: (a) arcos; (b) consolos Os resultados de uma análise nível III para a parede em estudo são apresentados na Figura 5.4. A formação dos arcos e dos consolos podem ser claramente observados. A Figura 5.4b também mostra que as armaduras ativas (protensão) e as armaduras passivas disponibilizadas são suficientes para assegurar a resistência e o bom comportamento para situação de serviço. Para esses caso é importante observar que a armadura mínima de fissuração disposta na parede participa de maneira significativa na absorção dos esforços em estado limite último, o que permite obter um dimensionamento mais econômico em geral (Fernández Ruiz e Muttoni (2007)).
Figura 5.4: Análise de uma parede pelo método dos campos de tensão elásticosplásticos: (a) direções principais de compressão; (b) tensões nas armaduras passivas (posição da armadura ativa indicada em verde); (c) deformada
Capítulo 6 - Plataforma i-concrete 6.1 Introdução
Muito se discute sobre os procedimentos de dimensionamento e análise de estruturas de concreto estrutural com geometria complexa. Para isso, foi desenvolvido na École Polytechnique Fédérale de Lausanne a plataforma i-concrete, que é basicamente o resultado da fusão de dois programas, o iMesh (pré-processador concebido pelo Dr. Olivier Burdet) e o iConc (processador e pós-processador concebidos pelo Dr. Miguel Fernández Ruiz). Através dos referidos programas pode-se simular o comportamento de estruturas em concreto armado e protendido através do “Método dos Campos de Tensão” . Esses programas são gratuitos e foram desenvolvidos em código Java, possibilitando assim simulações via Internet. A plataforma pode ser acessada no site http://i-concrete.epfl.ch, sendo que dados inseridos e resultados obtidos podem ser armazenados na própria rede. O i-concrete é uma plataforma de elementos finitos desenvolvida para modelar o comportamento de estruturas de concreto armado e protendido em duas dimensões (análise no plano da estrutura em análise). A estruturas de concreto armado e protendido são basicamente modeladas com elementos de superfície que podem admitir a inserção de barras de aço (armadura embebida). De maneira breve, as seguintes características básicas são observadas nos programas: Possibilidade de modelagem bidimensional elástica e não-linear; Adoção de comportamento elasto-plástico para os materiais; Resistência à tração do concreto desprezada; Consideração das deformações transversais de tração em regiões de concreto comprimidas; • Negligência do efeito pino das armaduras e de engrenamento dos agregados; • Adoção de hipótese de ancoragem perfeita; • Geração automática da malha de elementos finitos com elementos triangulares. • • • •
Dessa maneira, o ambiente i-concrete se constitui em uma excelente ferramenta para engenheiro de estruturas, podendo auxiliar de maneira bastante eficiente na resolução de problemas especiais de dimensionamento, bem como, na investigação de ruínas estruturais. Trata-se de uma maneira bastante eficiente de aplicação da análise nãolinear, requerendo poucos parâmetros e se aproximando bastante de uma ferramenta há tempos esperada pelo engenheiros de estruturas atuantes na prática profissional. 6.2 Descrição Detalhada da Plataforma i-concrete
Para poder ter acesso à plataforma i-concrete, faz-se necessário o cadastramento de novo usuário junto ao site http://i-concrete.epfl.ch/, conforme ilustra a Figura 6.1. Uma vez cadastrado, o usuário poderá utilizar os programas iMesh e jConc, bem como armazenar os dados das investigações a serem efetuadas em um servidor remoto.
Figura 6.1: Cadastro de usuário para utilização da plataforma i-concrete Para iniciar a análise de uma estrutura em concreto, recorre-se inicialmente ao aplicativo iMesh, que é acessado através do menu “applets”. A finalidade do programa iMesh é modelar corpos bidimensionais através da descrição das condições de contorno (apoios e carregamentos), descrição dos materiais e criação da malha de elementos finitos. Os modelos que o iMesh pode criar são planos e, na sua versão atual, apenas cargas pontuais podem ser definidas. A viga-parede ilustrada na Figura 6.2 é o exemplo selecionado para a ilustrar as potencialidades do programa iMesh. Conforme pode-se observar, trata-se de uma vigaparede de geometria complexa, com suportes em níveis diferentes, abertura nãoretangular e duas cargas pontuais aplicadas de intensidades diferentes (carregamento assimétrico). Com o programa iMesh é bastante simples de ser utilizado e basicamente se constitui em um pré-processador para o jConc.
Figura 6.2: Exemplo de viga-parede complexa a ser investigada
A Figura 6.2 pode ser inclusive utilizada como uma imagem de referência para a definição da estrutura no programa iMesh, o que por sua vez promove uma grande agilidade na definição de modelos estruturais. De maneira a utilizar a Figura 6.2 como base, deve-se efetuar os seguintes procedimentos: •
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Salvar a figura desejada no disco local, por exemplo, na área de desktop, escolhendo os formatos .jpg, .gif ou .png, observando que o tamanho máximo do arquivo é de 640x640 pixels; Através do menu “myData” do site, clicar no botão “Your images (and upload page”, "Escolher Arquivo" e selecionar o arquivo que havia sido salvo previamente; Após selecionar o arquivo, clicar em "Upload to the server"; Depois que o arquivo ficou visível na lista de arquivos ("Your current image files"), selecionar o arquivo desejado e, em seguida, clicar no botão "Visualize"; Quando o arquivo passar a ser visualizado na tela, selecionar a opção iMesh. Essa ação fará com que se abra o aplicativo iMesh já com o arquivo servindo como layer para definição da estrutura, conforme ilustra a Figura 6.3; Caso a imagem de fundo não apareça, atualize a versão do Java do seu computador. Quando a atualização do Java terminar, atualize a página para ativá-lo.
Figura 6.3: Aplicativo iMesh com imagem servindo de layer para definição de nova estrutura
O uso do aplicativo iMesh não requer o uso de unidades particulares, podendo-se inclusive trabalhar com libras (lbs) e polegadas (in), desde que as unidades sejam consistentes. Isto significa que todas as unidades devem ser habilitadas de maneira adequada, de maneira que exista correlação entre as mesma. Por exemplo, se os comprimentos a serem definidos serão em [mm] e as tensões em [N/mm2], então as forças, consequentemente, precisam estar em [N]. Por definição, o iMesh sugere o uso das seguintes unidades: metros [m], MegaPascal [MPa] e MegaNewton [MN] . O valor padrão normalmente utilizado para a espessura dos elementos de concreto é de 0,3 m, sendo que a resistência à compressão padrão é de 20 MPa com módulo de elasticidade de 30.000 MPa. O diâmetro padrão das armaduras é de 0,02 m e com resistência ao escoamento de 500 MPa e módulo de elasticidade de 205.000 MPa. Tais parâmetros são definidos por padrão no programa, tendo-se em vista a utilização frequente dessas características. No entanto, o usuário é livre para alterar os valores dos parâmetros editando o arquivo de entrada de texto do iMesh. A imagem que acabou de ser importada para o aplicativo possui algumas indicações de dimensões, porém o aplicativo não é capaz de reconhecer esses valores de maneira automática. Para definir adequadamente as dimensões, a tela (screen scalling) deve ser utilizada. Ao pressionar o referido botão, uma linha na área de entrada aparece na parte inferior do aplicativo aparecerá . Edite o valor proposto para o valor desejado, isto é, 10 metros. Em seguida, pressione o botão esquerdo do mouse sobre o primeiro ponto conhecido (apoio de segundo gênero à esquerda) e mantenho o mesmo pressionado até encontrar o segundo ponto (apoio de primeiro gênero à direita). Uma linha de cor ciano ilustrará a distância entre os dois pontos enquanto o botão do mouse permanecer apertado, conforme ilustra a Figura 6.4. Dessa maneira, o sistema ajustará a escala do desenho, possibilitando ajustar as dimensões da figura base à estrutura a ser definida.
Figura 6.4: Ajuste da escala do desenho utilizando o comando Screen Scalling
Uma vez ajustada a escala da figura base, pode-se iniciar a definição da vigaparede. Para isso, deve-se selecionar a ferramenta Área na barra de ferramentas na parte superior do aplicativo, e clicar com o mouse (usando o botão esquerdo do mouse) sobre os seis cantos da viga-parede, utilizando como base a figura já com escala ajustada. Uma linha fina verde escura ilustrará as linhas da área que está sendo criada. Para encerrar a entrada de linhas, basta clicar com o botão direito em qualquer lugar dentro do aplicativo. De maneira a observar melhor a região criada, basta remover por um momento a imagem de fundo, pressionando o botão . A Figura6.5 ilustra como deve ter ficado a definição do contorno da viga-parede no programa i-Mesh.
Figura 6.5: Esquema da viga-parede com imagem de fundo desativada Se em algum momento for necessário excluir algum elemento que acabou de ser criado, ative o botão correspondente (área, nó, armadura, apoio, força, etc) e pressione com o botão esquerdo do mouse sobre o item desejado. O item desejado passará a ser exibido em outra cor, dando destaque ao elemento que acabou de ser selecionado. Para selecionar vários elementos ao mesmo tempo, deve-se manter a tecla Ctrl pressionada enquanto os elementos desejados são selecionados. Para excluir elementos selecionados, basta pressionar o botão . Deve-se observar que quando uma linha é excluída, os nós que compõem essas linhas não são excluídos. Para visualizar uma possibilidade de malha de elementos finitos para a estrutura que está sendo criada, basta pressionar o botão . A malha ilustrada na Figura 6.6 deverá aparecer. Por definição, o tamanho dos elementos é no máximo um décimo da maior diagonal da estrutura, porém esse padrão pode ser alterado no arquivo de dados do programa. Para eliminar a malha de elementos finitos basta pressionar novamente o botão , sendo que a definição da abertura na viga será definida a seguir.
Figura 6.6: Possibilidade de malha de elementos finitos para a viga-parede Para a entrada da abertura, deve-se pressionar novamente o botão , de maneira que a imagem de referência será novamente ilustrada. Agora, basta clicar no botão de área para definir os cinco cantos da abertura. Deve-se observar que a ordem de entrada dos nós é importante (deve-se definir os pontos ao redor da abertura sem atravessá-la em diagonal), sendo que a ordem de rotação (sentido horário ou anti-horário) não tem importância. Desativando a imagem de fundo e ativando a malha de elementos finitos, deve resultar a estrutura da Figura 6.7.
Figura 6.7: Malha de elementos finitos incluindo abertura De maneira a evitar singularidade de tensões, cargas e apoios pontuais são normalmente introduzidas através de placas metálicas. É por isso que a Figura 6.2 contempla as placas de aço nas localizações dos suportes e introdução de carga. Ao se realizar uma análise linear elástica não é necessário modelar essas placas. No entanto, para análises não-lineares, como é o caso ora aqui investigado, convém introduzir as referidas placas objetivando evitar a ruptura localizada do concreto. Para introdução das placas de apoio e carregamento convém desabilitar a malha de elementos finitos e criar novas áreas que representarão as placas utilizando novamente a figura base como layer. Uma nova área pode ser criada de forma muito simples através da reutilização dos nós já existente, observando porém que deve ser inserido um nó onde pretende-se aplicar a carga ou o apoio. Deve-se observar que quando o mouse é movimentado próximo de um elemento existente (nó ou área), este elemento é realçado, facilitando assim a definição da geometria das placas. Para a introdução de nós em linhas ou áreas já existentes, observa-se que não será suficiente simplesmente clicar no local desejado. Neste caso, a área será apenas selecionada, para uso posterior. Para efetivamente adicionar um nó na borda da área, deve-se pressionar a tecla Shift enquanto pressiona-se o botão do mouse sobre o ponto desejado. Depois de introduzir todas as placas e ativar a malha de elementos finitos, a viga-parede em estudo deve ficar conforme ilustra a Figura 6.8.
Figura 6.8: Viga-parede com definição das placas de apoio e carregamento Além disso, deve-se informar ao programa que as placas são de aço e não de concreto como o restante da estrutura. Por padrão, o iMesh irá considerar que todas as áreas inicialmente introduzidas são feitas de concreto e com a espessura padrão. Os parâmetros de uma área definida podem ser observados pressionando-se sobre uma área existente (ela deve mudar de cor para indicar que foi selecionada) com posterior seleção do botão . Na sequência será aberta uma janela pop-up semelhante a da Figura 6.9. À esquerda, pode-se observar a espessura atribuída para a área que é de 0,3 m. À direita, observa-se a definição do material concreto com resistência à compressão de 20 MN/m 2 (20 MPa) e módulo de elasticidade do ano 30.000 MN/m 2.
Figura 6.9: Janela para definição dos materiais e espessuras Para definir as propriedades das placas deve-se selecionar a primeira placa. Ela deverá se tornar realçada e as maiores áreas que foram selecionados anteriormente parecem normais agora. Mantendo-se pressionada a tecla Ctrl no teclado pode-se selecionar as outras três placas. Em seguida, deve-se pressionar o botão novamente e selecionar o material M12 (chapa de aço, infinitamente elástica), conforme ilustra a Figura 6.10.
Figura 6.10: Seleção do aço como o material para as placas de aço Após a definição das placas, pode-se definir os apoios da estrutura selecionando-se o botão . Este botão tem um efeito diferente dependendo de como ele é utilizado. Se o mouse for simplesmente pressionado quando estiver próximo do nó, obtém-se um apoio do segundo gênero. Se antes de clicar no nó, a tecla Ctrl for mantida pressionada, obtém-se um apoio do primeiro gênero. Se fosse necessário introduzir um apoio de primeiro gênero na vertical, o botão Shift deve então ser pressionado. A Figura 6.11 ilustra a definição dos apoios da viga-parede.
Figura 6.11: Definição de apoios do primeiro e segundo gênero Para a entrada das cargas, primeiro deve-se selecionar o botão de força . Após isso, deve-se definir a intensidade da força real que se deseja introduzir. Logo abaixo da área de trabalho do programa aparecerá uma linha de comando para definição das cargas, sendo que o valor padrão de carga é de 0,1 MN. O valor padrão deve ser atualizado para 0,15 MN e, em seguida, deve-se clicar no nó do meio da placa superior esquerda para atribuição da carga concentrada. A Figura 6.12 ilustra a evolução do referido procedimento. A mesma rotina é repetida para a introdução da segunda carga, na placa de apoio a direita com valor de 0,3 MN.
Figura 6.12: Definição de carga pontual para a viga-parede Após concluir a etapa de definição das condições de contorno, a viga-parede deve ficar conforme ilustra a Figura 6.13 (sem a imagem de fundo para maior nitidez).
Figura 6.13: Dados de entrada com placas de carga, suportes e cargas Para salvar a estrutura definida, deve-se clicar sobre o botão . Será exibida uma janela na qual o nome do arquivo poderá ser então especificado. Uma vez que um aplicativo Java está sendo executado dentro do navegador, não há permissão para salvar os dados no disco rígido local. Dessa maneira, todos os dados deverão ser armazenados no servidor web da plataforma i-concrete.
Para iniciar o cálculo da estrutura definida a partir de uma solução linear elástica, primeiro tenha o cuidado de gerar a malha de elementos finitos (pressione o botão ) e na sequência pressione o botão . Dependendo do navegador utilizado, deve-se abrir uma nova janela com o título iConc ou uma nova aba será criada com esse mesmo nome. A Figura 6.14 ilustra a viga-parede já calculada dentro do programa iConc, que por sua vez funciona como um pós-processador.
Figura 6.14: Aplicativo iConc mostrando a malha de elementos finitos, os apoios e as cargas A deformada da estrutura ilustra a maneira como a estrutura vai se comportar sob a aplicação dos carregamentos. Para ativar este modo de visualização, deve-se utilizar o menu "Results" e em seguida "Deformed". A Figura 6.15 ilustra a configuração deformada da estrutura, observando que de maneira a melhor visualizar os resultados, os deslocamentos foram propositalmente ampliados. O fator de escala dos deslocamentos pode ser ajustado pressionando o botão direito do mouse e arrastando o cursos para cima ou para baixo no programa.
Figura 6.15: Deformada da viga-parede no módulo iConc
Os vetores de tensão elástica são representações gráficas da intensidade e orientação das tensões dentro de um elemento estrutural. O aplicativo iConc usa a seguinte convenção para ilustrar as tensões: vermelho para tração e azul para compressão. Para a visualização dos vetores gerais de tensão deve-se acessar o menu "Results" e em seguida "Relative Stress". Deve-se observar que utilizando o botão direito do mouse (ou o botão central) pode-se amplificar ou reduzir o comprimento dos vetores exibidos. Para visualizar apenas as tensões atuantes no concreto, deve-se acessar o menu "Results", e em seguida "Concrete Relative Stresses", conforme ilustra a Figura 6.16. Conforme pode-se observar, as tensões podem ser ilustradas sem valores ("Varying Length") ou com valores ("Varying Length with gradiente"). Quando a ilustração das tensões são requeridas com as intensidades elas podem ser do tipo "Discrete" ou "Smooth".
Figura 6.16: Visualização das tensões no concreto utilizando iConc A Figura 6.16 ilustra ainda que diversos resultados podem ser visualizados pelo iConc, entre eles estão: deformada da estrutura, tensões/deformações principais tanto para o concreto quanto para as armaduras, além da possibilidade de visualização de arquivos de saída com os resultados para todos os elementos da malha. Para a viga-parede em análise, as tensões principais devem ficar parecidas com aquelas ilustradas na Figura 6.17. Repare nas áreas de compressão azul sob as placas de carregamento e as tensões de tração em vermelho na parte inferior da viga. As áreas demarcadas em vermelho (tração) são as regiões que devem ter as barras de aço adicionadas objetivando a condução de uma análise não-linear através do Método dos Campos de Tensão.
Figura 6.17: Vetores de tensão elásticas para o viga-parede utilizando iConc Para gravar os resultados obtidos no iConc, basta salvar os dados utilizando a opção "File" e "Save". Dessa maneira, os resultados da análise elástica linear serão salvos no servidor web i-concreto. Depois disso, pode-se fechar a janela ou aba iConc e voltar para o aplicativo iMesh, onde serão definidas as armaduras da estrutura. Basicamente, o procedimento de dimensionamento utilizando o Método dos Campos de Tensão através da plataforma i-concrete consiste em disponibilizar armaduras nas regiões tracionadas. Dessa maneira, se for possível o equilíbrio através das armaduras disponibilizadas, será possível obter a convergência do modelo estrutural. Caso as armaduras sejam insuficientes ou caso estejam posicionadas em regiões inadequadas, uma solução de equilíbrio poderá não ser encontrada, de maneira que as armaduras deverão ser atualizadas de maneira interativa até o equilíbrio ser atingido. A filosofia utilizada dentro da plataforma i-concrete é a do Método dos Campos de Tensão com comportamento elástico-plástico. Dessa maneira, o concreto só será capaz de absorver tensões de compressão, isto é, admite-se nas análises que nenhuma tensão de tração poderá ser absorvida pelo concreto, mas somente pelas armaduras. As armaduras possuem comportamento elasto-plástico na tração e na compressão e só podem absorver tensões normais, isto é, não admite-se absorção de cisalhamento. Adicionalmente consideram-se as hipóteses de aderência perfeita e a exclusão de efeitos como intertravamento de agregados ou efeito pino das armaduras. A Figura 6.18 apresenta uma proposta de armação para a viga-parede em análise. Como trata-se de um cálculo interativo, não há necessidade de se ter grande precisão na introdução das barras. Posteriormente, caso se observe que as posições a serem armadas possibilitem o equilíbrio, pode-se então ajustar as coordenadas das barras de maneira a respeitar critérios construtivos (recobrimento de armaduras, diâmetro de barras, etc).
Figura 6.18: Proposta de armação da viga-parede Para a entrada das barras de reforço clicar no botão localizado no menu principal. O procedimento de introdução das armaduras funciona exatamente como no caso da introdução das áreas. De maneira a facilitar a introdução das barras, convém desativar a malha de elementos finitos clicando novamente no botão . Para adicionar uma barra sobre uma linha existente (área ou barra de armadura), será necessário pressionar a tecla Shift. Esse procedimento será necessário para a entrada do primeiro nó, sendo que para concluir o comprimento da barra basta clicar com o botão direito sobre o ponto final desejado. Depois de definidas todas as armaduras, a viga-parede em análise deverá ficar conforme a Figura 6.19.
Figura 6.19: Viga-parede após a definição das barras Após a definição das barras, basta pressionar o botão para a criação da malha de elementos finitos. Com a malha definida pode-se então partir para a análise nãolinear da estrutura, simplesmente pressionando o botão . Após alguns segundos de cálculo, a análise não-linear deverá ser concluída, sendo que a deformada deve se parecer com aquela ilustrada na Figura 6.20.
Figura 6.20: Deformada da viga-parede armada após a análise não-linear A deformada resultante da análise não-linear e ilustrada na Figura 6.20 é muito semelhante à deformada da análise linear ilustrada na Figura 6.15. Há porém diferenças significativas quando se analisa as tensões do concreto, utilizando o menu "Results", "Concrete Relative Stresses", conforme ilustra a Figura 6.21.
Figura 6.21: Tensões no concreto para a análise não-linear Para entender melhor as tensões no concreto, as seguintes observações devem ser feitas: Todos os vetores de tensão são azuis, mostrando apenas tensões de compressão no concreto. Essa resposta é adequada, pois o concreto não pode absorver tensões de tração com o Método dos Campos de Tensão pela abordagem elástico-plástica. Observar que na análise elástica as tensões de tração (vermelho) eram ilustradas; Alguns elementos triangulares estão coloridos na cor cinza, cinza escuro e até mesmo preto. Esta é a maneira pela qual o aplicativo iConc informa que esses elementos estão sujeitos a tensões de compressão elevadas, isto é, próximas do limite máximo do material ou até mesmo ruídas. Através do menu "Results", "Bar Plots" e "Stress" pode-se avaliar as tensões atuantes nas armaduras, conforme ilustra a Figura 6.22. A explicação para os problemas do concreto, que também são visíveis na Figura 6.22, pode ser concluída a partir da interpretação da cor das barras de armadura. Observa-se que praticamente todo o comprimento das barras está associado à cor vermelho escuro, o que indica que a barra foi submetida às máximas tensões (escoamento). Observa-se que apenas para pequenos comprimentos, no final de algumas barras, obtém-se associação à cor vermelha, mostrando que a barra ainda não foi submetida à sua força máxima, ou seja, ainda não
escoou. Para o caso em análise, pode-se concluir que a viga-parede não possui armação suficiente, devendo ser reforçada.
Figura 6.22: Tensões relativas na armadura de aço Dessa maneira, deve-se alterar a quantidade de barras da armadura de maneira que elas sejam capazes de resistir às forças aplicadas. Da maneira análoga ao que foi feito para as placas de aço, deve-se selecionar todas as armaduras, primeiramente certificando-se que o botão está ativado. Após isso, abre-se o menu de geometria e materiais (botão ) e altera-se o diâmetro das barras de 0,02 para 0,04. Evidentemente, não há diâmetro comercial equivalente a 0,04 sendo que esse foi apenas um recurso cômodo de ampliação da área das barras pela simples modificação do diâmetro. Após o aumento das barras, pode-se efetuar novamente a análise não-linear. Acessando novamente o menu "Results" e "Steel Relative Stress" observa-se que as tensões nas armaduras são apresentadas em vermelho (não houve o escoamento), conforme ilustra a Figura6.23. A Figura 6.24, por sua vez, ilustra as tensões relativas no concreto. Conforme pode-se observar, os vetores azuis de compressão indicando claramente o caminho seguido pelas forças a partir das placas de carga até os apoios, sendo que o nível de compressão não apresenta mais as regiões com coloração escura indicando ruptura do concreto.
Figura 6.23: Tensões relativas nas barras de reforço (barra de diâmetro 0,04)
Figura 6.24: Tensões no concreto para a solução com maiores barras de reforço A qualidade dos resultados pode ser avaliada a partir da análise de convergência obtida do cálculo não-linear. Para isso, ainda no iConc, deve-se abrir o menu "Listing" e em seguida "Messages". O número padrão de iterações no programa é de 20, porém esse valor pode ser modificado pelo usuário caso necessário. Normalmente, valores entre 20 e 100 iterações são suficientes para se atingir a convergência. Se a convergência é atingida com erro inferior a 0,010, nenhuma iteração adicional é necessária. Se, ao contrário, nenhuma convergência é atingida depois de um número significativo de iterações, provavelmente a carga aplicada ou os deslocamentos resultantes são muito grandes. Para a viga-parede em questão, observa-se que o cálculo convergiu para um erro igual a 0,357 que é maior que 0,010, conforme ilustra a Figura 6.25. Dessa maneira, deve-se fechar o iConc e voltar para o aplicativo iMesh, objetivando aumentar o número de iterações.
Figura 6.25: Listagem gerada durante o processo iterativo
Para aumentar o número de iterações no aplicativo iMesh, deve-se clicar no botão (arquivo de entrada), sendo que será aberta a janela apresentada na Figura 6.26. Na sétima linha do arquivo texto, onde se apresenta a passagem *CALCULATION,1.0,20 , deve-se mudar o valor de 20 para 40. Uma vez aumentado o número de iterações, basta clicar no botão "Input from text" e recalcular a estrutura novamente de maneira nãolinear.
Figura 6.26: Arquivo de entrada com a definição do número de iterações Após novo processamento, dentro do programa iConc pode-se abrir novamente o menu "Listing", "Messages". A Figura 6.27 ilustra que aumentando o número de iterações uma resposta mais satisfatória pode ser obtida, com erro de apenas 0,006, indicando que a viga-parede está dimensionada corretamente para as solicitações impostas.
Figura 6.27: Convergência obtida com o aumento do número de iterações De maneira a analisar as tensões no concreto, deve-se clicar no menu "Results", "Concrete Plots" "Stress 2". Aparecerá na tela as tensões principais de compressão e uma barra com a intensidade das tensões associada a uma escala de cores, conforme ilustra a Figura 6.28. Por outro lado, clicando no menu "Results", "Bar plots", "Stress", pode-se acessar de maneira análoga as tensões nas armaduras, conforme ilustra a Figura 6.29.
Figura 6.28: Tensões de compressão no concreto
Figura 6.29: Tensões de tração nas armaduras Analisando as Figuras 6.28 e 6.29, pode-se concluir que tanto o aço como o concreto possuem folga no dimensionamento, sendo que suas tensões em MPa estão muito abaixo dos valores limites dos materiais. Ou seja, para o concreto, cuja máxima tensão de compressão foi definida como sendo 20 MPa, observa-se que a máxima tensão de compressão é de apenas 14,2 MPa. Para o aço, cuja tensão de escoamento foi definida em 500 MPa, observa-se que a máxima tensão de tração é de apenas 193 MPa. Outra característica importante do programa iConc é a possibilidade de se obter a carga de ruptura ou de escoamento. Para isso, deve-se modificar no arquivo de dados do iMesh o fator de escala de forças. Esse procedimento permite especificar um fator de carga para todas as forças definidas na interface do programa iMesh, permitindo assim, aumentar ou diminuir a intensidade das cargas. O valor padrão do aplicativo é 1,0, o que significa que não há modificação no valor das cargas definidas pelo usuário durante o desenho da estrutura. Para modificar o valor dos carregamentos no aplicativo iMesh, deve-se clicar no botão (arquivo de entrada), e na linha * CALCULATION, efetua-se a mudança do valor 1,0 para 2,6, conforme ilustra a Figura 6.30. Esse valor é o fator de escala de força que possibilita aumentar as cargas aplicadas anteriormente em 2,6 vezes. Assim, a carga de 0,15 MN passará para 0,39 MN enquanto a carga de 0,3 MN passará para 0,78 MN. O número de iterações também foi ampliado para 50, uma vez que as inúmeras simulações efetuadas conduziram a esse valor para se obter a convergência.
Figura 6.30: Modificação do fator de escala do carregamento no arquivo de dados Uma vez solicitada a análise não-linear da estrutura, pode-se mais uma vez avaliar os resultados. Selecionando o menu "Results", "Bar plots" e "Stress" são obtidas as tensões nas armaduras conforme a Figura 6.31. Conforme pode-se observar a maioria das regiões ainda não atingiu o escoamento, porém, na região da lateral direita, próxima à descontinuidade de ordem geométrica, observa-se uma região em vermelho escuro, indicando que nesse ponto ocorreu o escoamento da armadura.
Figura 6.31: Tensões relativas nas barras de aço com escoamento da armadura As tensões relativas do concreto são mostradas na Figura 6.32. Os vetores azuis de compressão indicam o caminho seguido pelas forças a partir das placas de carga até os apoios, de maneira que é fácil visualizar um modelo de escoras e tirantes para a estrutura. Observa-se ainda que alguns elementos triangulares estão coloridos na cor cinza e cinza escuro, indica que esses elementos estão sujeitos a grandes distorções ou grandes tensões de compressão.
Figura 6.32: Tensões no concreto para fator de escala de força igual a 2,6
A Figura 6.33 ilustra a listagem do procedimento de cálculo iterativo, fundamental para validação da resposta obtida. Conforme pode-se observar, o cálculo convergiu para um erro igual final de 0,002 que é menor que 0,010. Dessa maneira, a convergência foi atingida de maneira adequada, indicando que o escoamento das armaduras ocorre para solicitações impostas a partir do fator de escala de força.
Figura 6.33: Listagem das iterações com convergência obtida com erro igual a 0,002 Caso seja necessário obter a carga de ruína da estrutura de maneira mais realista, podese ir ampliando o fator de carga até que ocorra o alongamento de ruptura das armaduras ou o esmagamento do concreto nas regiões críticas. Em todo caso, será assumido no presente trabalho que a carga de ruína ocorre para o momento em que se inicia o escoamento. Conforme pode-se observar, essa é uma carga de ruína baseada no Teorema Inferior da Teoria da Plasticidade.
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