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Campo Camposs de direc direcció ción n y curv curvas soluc solución ión
Antes Antes de enfocarnos enfocarnos en métodos métodos analíticos analíticos para la solución de ED, veremos veremos un par de métodos métodos gráficos cuyo objetivo es el de investigar en forma cualitativa el comportamiento de las posibles soluciones para un problema de valor inicial de la forma dy = f (x, y) y (a) = b dx dy = f (x, y ); la solución a esta ED es una función y (x) La idea básica es la de interpretar el signi ficado de la ED dx cuya pendiente en un punto (x0 , y0 ) en el plano cartesiano está dada por la función f (x0 , y0 ) es decir 0
mx = y (x0 ) = f (x0 , y0) 0
Esta función es conocida como curva solución .
Para conocer conocer el comportami comportamien ento to cualitat cualitativo ivo de las soluciones soluciones para un PVI Método de campos de dirección: Para dy = f (x, y ) dx
y (a) = b
de manera gráfica, siga los siguientes pasos: 1. Tome una colección colección o muestra de puntos (x, y ) ∈ R2 y dibuje un segmento de recta que tenga pendiente m = f (x, y ). El conjunto de estos segmentos de recta se conoce como Campo de Direcciones . 2. Trazar la curva solución solución haciendola haciendola pasar p or los puntos puntos de tal manera que los segment segmentos os de recta recta sean tangentes a esta curva.
Ejemplo 1 Considere el PVI
dy = −y dx
y (x0) = y0
Paso 1: Colección de puntos y pendientes
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Paso 2 Trazado de curvas solución
Ejemplo 2 Considere ahora el PVI dy =− dx
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µ¶ x y
y (x0 ) = y0
Paso 1: Colección de puntos y pendientes
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Paso 2: Trazado de curvas solución
Otro método gráfico es el de las Isoclinas . Una Isoclinas (igual inclinación o pendiente) de la ED y = f (x, y ) es una curva de la forma f (x, y ) = c 0
la cual nos indica el comportamiento de los campos direccionales, es decir nos p ermite localizar los campos de dirección con la misma inclinación.
Método de Isoclinas: Para conocer el comportamiento cualitativo de las soluciones para un PVI dy = f (x, y ) dx
y (a) = b
de manera gráfica, siga los siguientes pasos: 1. Tome una colección o muestra de puntos (x, y ) ∈ R2 y dibuje un segmento de recta que tenga pendiente m = f (x, y ). El conjunto de estos segmentos de recta se conoce como Campo de Direcciones . 2. Tarazar las isoclinas graficando f (x, y ) = c
variando los valores de c. 3. Trazar la curva solución correspondiente al PVI a partir del punto inicial (x0 , y0 ) siguiendo la dirección que indica la pendiente en ese punto, hasta la siguiente isoclina en donde se cambia la dirección del trazado de acuerdo con la dirección y pendiente de la isoclina.
Ejemplo 3 Considere el PVI
dy = −y dx
y (x0 ) = y0
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Paso 1: Colección de puntos y pendientes
Paso 2: Trazado de Isoclinas −y
que son lineas rectas horizontales
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=c
Paso 2 Trazado de curvas solución
Teorema 4 (Existencia y Unicidad de solución para un PVI) Suponga que la función f (x, y ) es continua en un rectángulo R del plano xy que contiene al punto (a, b) en su interior. Entonces el PVI 0
y = f (x, y )
y (a) = b
1. Tiene al menos una solución de fi nida en un intervalo J en donde se encuentra x = a. 2. Si ∂f es continua en el rectángulo R, la solución es única en J 0 ∂y
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⊆ J .
