CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS UNA NUEVA VARIABLE UNA NUEVA RESTRICCIÓN
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
JULIETH CASTILLO LÓPEZ ALINA MILANÉS IZQUIERDO
DOCENTE: PRUDENCIA MEDINA MONTERROSA
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS NOCTURNO SÉPTIMO NIVEL CARTAGENA DE INDIAS 2012
INTRODUCCIÓN La solución óptima de una programación lineal se basa en una toma instantánea de las condiciones que prevalecen en el momento de formular formular y resolver el modelo. En el mundo real, los ambientes de decisión rara vez permanecen estáticos, es esencial determinar cómo cambia la solución óptima cuando cambian los parámetros del modelo. Eso es lo que hace el análisis de sensibilidad. El análisis de sensibilidad o postoptimal para los modelos de Programación Lineal, tiene por objetivo identificas el impacto que resulta en los resultados del problema original, luego de determinadas variaciones en los parámetros, variables o restricciones restri cciones del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente. Es decir, ya sea si resolvemos nuestro modelo gráficamente o utilizando el Método Simplex, lo que se busca es que estas variaciones o sensibilidad hagan uso de la solución y valor óptimo actual, sin tener la necesidad de resolver para cada variación un nuevo problema. En especial nos concentraremos en el análisis de sensibilidad o postoptimal que hace uso de la tabla final del Método Simplex.
CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS
Unos de los puntos que hay que tener en cuenta cuando se va a analizar el cambio en los coeficientes tecnológicos, es si los cambios ocurren en las variables básicas o en las no básicas, ya que dependiendo dependiendo de ello, se afecta o no la solución óptima óptima que se tenga. Por ejemplo, si el cambio se realiza a una variable no básica, seguramente al calcular su nuevo costo de oportunidad puede resultar atractivo producir o no, ya que de obtenerse un costo de oportunidad positivo, el tablero que hasta ese momento era óptimo, deja de serlo y se obtendría a través del cambio en los coeficientes tecnológicos, una nueva solución. Los coeficientes tecnológicos forman parte de los vectores asociados a las diferentes variables, vectores Pi. Como la repercusión, según se trate de una variable básica o no básica, puede ser muy distinta, se estudiarán los dos casos por separado.
VARIACIÓN EN UN COEFICIENTE TECNOLÓGICO DE UNA VARIABLE BÁSICA Los cambios en un vector básico afectan tanto a las condiciones e optimalidad, como a las de factibilidad, dado que el vector Pj pertenece a la matriz B, y por tanto, sus modificaciones pueden afectar sustancialmente al problema actual. Los cambios pueden ser múltiples, desde hacer que la matriz inicial B sea una matriz singular, y, por tanto, sin inversa, hasta que las modificaciones de ésta mantengan la factibilidad y la optimalidad de la solución actual. En el caso de que la matriz original B devenga de una matriz singular, ya no se tiene procedimiento para poder continuar y la alternativa en este caso es reiniciar el problema de su origen. En el caso de que la matriz B siga siendo regular, y por tanto, sea posible obtener B-1, pueden darse los casos siguientes:
- La solución actual actual sigue siendo factible y óptima: XB = B-1 * B ≥ 0 WJ = CJ – (CBB-1PJ) ≤ 0
- La solución se mantiene mantiene como factible, pero deja de ser óptima; óptima; en este caso es posible seguir iterando a través del método simplex, hasta encontrar la solución óptima. XB = B-1 * B ≥ 0 WJ = CJ (CB B-1 PJ) > 0
- La solución es infactible, pero pero se verifica la condición de optimalidad; optimalidad; por tanto, tanto, la alternativa es seguir el proceso explicado para esta situación, es decir, pasar al dual (factible pero no óptimo) y seguir iterando por la vía del dual hasta encontrar la solución óptima, y una vez alcanzada esta solución, regresar al programa primal para poder determinar su solución óptima. XB = B-1 * B < 0 WJ = CJ – (CB B-1 PJ) ≤ 0
- Cuando la solución actual se convierte en infactible, y, además, no verifica las condiciones de optimalidad, la alternativa más conveniente es iniciar nuevamente el proceso de obtención de la solución. XB = B-1 * B < 0 WJ = CJ – (CB B-1 PJ) > 0
VARIACIÓN EN UN COEFICIENTE TECNOLÓGICO DE UNA VARIABLE NO BÁSICA El cambio en un coeficiente a ij, afecta el vector PJ, y, por tanto, al correspondiente vector transformado en la tabla óptima, dado que P j’ = B-1 * P j. Los cambios cambios afectan a los rendimientos rendimientos indirectos de esta variable y por consiguiente a los rendimientos marginales, es decir, a la condición de optimalidad: Wj = cj – (cB B-1 Pj) a. Si Wj es menor que cero, la solución actual seguirá seguirá siendo óptima. óptima. b. Si Wj es cero, quiere decir que la solución actual es óptima, pero ya no es única, única, sino que existe una solución alternativa a ésta. c. Si Wj es mayor a cero, la solución solución actual deja de ser óptima y se deberá seguir seguir iterando hasta hasta encontrar una nueva solución óptima. Otra forma de investigar el efecto de los cambios en los coeficientes de la función objetivo, es calcular el intervalo para el que cada cada coeficiente individual mantenga mantenga la solución óptima óptima actual. Esto se hace reemplazando el CJ actual con CJ + DJ, donde DJ representa la cantidad (positiva o negativa) de cambio.
ADICIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE En el estudio y análisis de modelos matemáticos, como los que se ha visto en la asignatura Investigación de Operaciones, puede ocurrir que después de obtenerse una solución al modelo, se dan cuenta que se dejó de incluir un producto que, por las características que posea, va a originar cambios en los resultados de la solución del problema inicial. Para esto, debemos evaluar si la nueva variable es un aporte significativo a los resultados del modelo original. Se puede observar cómo la introducción de nuevas variables crea nuevos vectores y, por tanto, nuevos Cj – Zj, que pueden ser calculados por: Cj – Zj = C j – CB tB-1 P j Y nuevas columnas en las tablas del simplex, si mplex, que pueden ser obtenidas por: J = B-1 P j De esta forma, el método a seguir es inmediato, dado que si el nuevo término C j – Z j es negativo, la variable introducida no modifica la estructura del problema. La nueva variable no ha de entrar en la base, con lo que su nivel de utilización es cero. Pero si C j – Z j es positivo, entonces se introduce P j en la base y se obtiene su nivel de utilización. En el caso de C j – Z j nulo, supone que la introducción de nueva variable no va a suponer cambio alguno en Z0, y puede considerarse entonces como que no supone cambio en la estructura del problema. La incorporación de una nueva nueva variable al problema original produce produce un aumento de la dimensionalidad de la tabla por la vía de las columnas. Para ver si esa adición altera la solución actualmente óptima, hay que comprobar la condición de optimalidad de esa variable, ya que el aumento de las columnas no afecta la condición de factibilidad de la tabla. La nueva variable añadida X k, llevará asociado su coeficiente en la función objetivo (C k), y su vector de coeficientes técnicos (Pk), y habremos de calcular su rendimiento marginal.
Si este rendimiento marginal es menor que cero, la solución actual se mantiene como óptima. Si se anula el rendimiento marginal, significa que hay soluciones alternativas a la actual, pero con el mismo valor de la función objetivo. En el supuesto que dicho rendimiento marginal sea positivo, hemos de introducir la nueva variable en la tabla como variable básica y seguir iterando hasta encontrar la nueva solución óptima. La tabla es óptima cundo todos los rendimientos marginales de las variables no básicas son negativos.
INCLUSIÓN DE UNA NUEVA RESTRICCIÓN
Para saber si la actual solución y valor óptimo se mantendrá luego de incorporar una nueva restricción al problema, se debe evaluar la solución actual y verificar si satisface la nueva restricción. En caso afirmativo, la actual solución también lo será del problema con la nueva restricción; en caso contrario, se incorpora la nueva restricción a la tabla final del simplex del escenario base. En forma intuitiva, la adición sólo es deseable si es rentable, esto es, si mejora el valor óptimo de la función objetivo. Como esa nueva actividad no es todavía parte de la solución, se puede considerar como una variable no básica. Eso quiere decir que los valores duales asociados con la solución actual permanecen invariables. La introducción de una nueva restricción al problema original conlleva un aumento de la dimensionalidad de la tabla por la vía de las filas, así como un aumento del número de variables básicas. Por tanto, el aumento del número de filas no afecta a la condición de optimalidad, pero sí a la de factibilidad. En términos de representación representación gráfica, las nuevas restricciones afectan al poliedro poliedro que forman las restricciones de manera que éste se puede ver reducido o no, y, en consecuencia, la actual solución, dejar de pertenecer al nuevo conjunto convexo. Para analizar si las nuevas restricciones afectan a la solución actual, procederemos de la siguiente manera:
Para la nueva restricción:
Se añade la correspondiente variable de holgura para convertirla en una igualdad, es decir:
Sustituyendo los valores de las variables X j por sus valores en la solución óptima, podremos determinar el valor de la variable S k. 1. Si Skb > 0, la actual solución verifica la restricción, y, por tanto, continúa siendo óptima. Únicamente se necesita una nueva variable básica que será. 2. Si Sk. = 0, la solución sigue siendo óptima, pero degenerada, ya que la nueva variable básica es nula. 3. En caso de que S kb < 0, la solución actual no verifica la nueva restricción, y, por tanto, es infactible para el nuevo problema, lo cual se puede resolver restituyendo la factibilidad por la vía del dual, es decir, planteamos el programa dual asociado y para este programa la nueva restricción equivale a introducir una variable adicional, para lo cual se procede con añadir nuevas variables. Una vez alcanzada la solución óptima, y factible del dual, se tendrán que deshacer las transformaciones realizadas, cociendo de nuevo al programa primal.
EJERCICIOS Ejercicio No. 1 En el siguiente modelo, las variables de decisión corresponden a cuatro productos que se programa producir; las restricciones corresponden a las disponibilidades de los recursos así: Horas hombre, tiempo (horas) máquinas y disponibilidad monetaria en miles, para el presente período.
Zmax = 4000X1 + 6000X2 + 3000X3 + 1000X4 s.a.: 1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 550 4X1 + X2 + 2X3 + X4 ≤ 700 2X1 + 3X2 + X3 + 2X4 ≤ 200 X1, X2, X3, X4 ≥ 0 Último tablero simplex:
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
4000
6000
3000
1000
0
0
0
SOLUCIÓN
X3
3000
0.05
0
1
0.5
0.3
0
- 0.2
125
S2
0
3.25
0
0
- 0.5
- 0.5
1
0
425
X2
6000
0.65
1
0
0.5
- 0.1
0
0.4
25
Zj
4050
6000
3000
4500
300
0
1800
Cj - Zj
- 50
0
0
- 3500
- 300
0
- 1800
0.3
0
- 0.2
550
125
- 0.5
1
0
700
425
- 0.1
0
0.4
200
25
525000
1. ¿Si B1 se aumenta hasta un valor de 750, qué efecto produce en la solución? Establezca la nueva solución. 125 + (0.3) Δ1 ≥ 0 → 0.3 Δ1 ≥ - 125 → Δ1 = - 416.67 425 + (- 0.5) Δ1 ≥ 0 → - 0.5 Δ1 ≥ - 425 → Δ1 = 850 25 + (- 0.1) Δ1 ≥ 0 → - 0.1 Δ1 ≥ - 25 → Δ1 = 250 - 416.67 ≤ Δ1 ≤ 250 (700 – 416.67)
(700 – 250)
283.33 ≤ Δ1 ≤ 950
La solución continúa siendo siendo factible, ya que 750 está dentro del intervalo de utilidad. utilidad. La nueva solución es: 0.3
0
- 0.2
750
185 X3
- 0.5
1
0
700
325 S2
- 0.1
0
0.4
200
5
X2
Zmax = 4000(0) + 6000(5) + 3000(185) + 1000(0) = $585.000
2. ¿Qué tan grande debe ser C 1 antes de que cambie el vector solución? C1 → Δ1 ≤ 50 Para que siga siendo no básica, es decir, que cambie y sólo puede llegar a 4050, si se pasa de este valor la solución cambia. ¿Cuál es el intervalo de variación para el producto 3? C3 = 3000 → C’3 = 3000 + Δ3
- 50
+
50 → Δ3 = - 1000
0.05 Δ3 ≥ 0 → 0.05 Δ3 →
- 3500 +
0.5 Δ3 ≥ 0 → 0.5 Δ3 → 3500 → Δ3 = - 7000
- 300 +
0.3 Δ3 ≥ 0 → 0.3 Δ3 → 300 → Δ3 = - 1000
- 1800 + (- 0.2 9 Δ3 ≥ 0 → - 0.2 Δ3 → 1800 - 1000
≤ Δ3 ≤
→ Δ3 = 9000
9000
(3000 – 1000) ≤ Δ3 ≤ (3000 + 9000) 2000
≤ Δ3 ≤
12000
3. Cómo se afecta la solución actual si se fabrica un nuevo producto cuya utilidad es $5.000 y los coeficientes tecnológicos son (1, 3, 2) respectivamente. - 300 0
BASE
- 1800 (1, 3, 2) + 5000
Cj
= 1100
0.3
0
- 0.2
1
- 0.1
- 0.5
1
0
3
2.5
- 0.1
0
0.4
2
0.7
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
S3
4000
6000
3000
1000
5000
0
0
0
SOLUCIÓN
X3
3000
0.05
0
1
0.5
- 0.1
0.3
0
- 0.2
125
S2
0
3.25
0
0
- 0.5
2.5
- 0.5
1
0
425
X2
6000
0.65
1
0
0.5
0.7
- 0.1
0
0.4
25
Zj
4050
6000
3000
4500
3900
300
0
1800
Cj - Zj
- 50
0
0
- 3500
1100
- 300
0
- 1800
525000
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
S3
4000
6000
3000
1000
5000
0
0
0
SOLUCIÓN SOLUCIÓN
X3
3000
1/7
1/7
1
4/7
0
2/7
0
- 1/7
128.57
S2
0
13/14
- 25/7
0
- 16/7
0
- 1/7
1
- 10/7
335.72
X5
6000
13/14
10/7
0
5/7
1
- 1/7
0
4/7
35.71
Zj
5071.43
7571.43
3000
5285.71
5000
142.86
0
2428.57
0 - 4285.71
0
- 142.86
Cj - Zj - 1071.43 - 1571.43
0 - 2428.57
564260
Con la fabricación del nuevo producto, aumenta la utilidad en $39.260, pasa de $525.000 a $564.260.
4. Cómo se afecta la solución actual si los coeficientes tecnológicos del producto 1 cambian a (1.2, 2, 1.5). Interprete la solución. - 300 0
BASE
- 1800 (1.2, 2, 1.5) + 4000
Cj
= 940
0.3
0
- 0.2
1.2
1.6
- 0.5
1
0
2
1.4
- 0.1
0
0.4
1.5
0.48
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
4000
6000
3000
1000
0
0
0
SOLUCIÓN
X3
3000
0.06
0
1
0.5
0.3
0
- 0.2
125
S2
0
1.4
0
0
- 0.5
- 0.5
1
0
425
X2
6000
0.48
1
0
0.5
- 0.1
0
0.4
25
Zj
3060
6000
3000
4500
300
0
1800
Cj - Zj
940
0
0
- 3500
- 300
0
- 1800
525000
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
4000
6000
3000
1000
0
0
0
SOLUCIÓN
X3
3000
0
- 1/8
1
7/16
5/16
0
- 1/4
121.87
S2
0
0
- 35/12
0
- 47/24
- 5/24
1
- 7/6
352.09
X1
4000
1
25/12
0
25/24
- 5/24
0
5/6
52.08
Zj
4000
7958.33
3000
5479.17
104.17
0
2583.33
Cj - Zj
0
- 1958.33
0
- 4479.17
- 104.17
0
- 2583.33
573930
Si los coeficientes tecnológicos del producto 1 cambian, modifica la solución óptima inicial aumentando la utilidad en $48.930 en la nueva solución, pasando de $525.000 a $573.930.
Ejercicio No. 2 En el siguiente modelo, las variables de decisión corresponden a cuatro productos que se programa producir; las restricciones corresponden a las disponibilidades de los recursos así: Horas hombre, tiempo (horas) máquinas y disponibilidad monetaria en miles, para el presente período.
Zmax = 2500X1 + 5000X2 + 3000X3 + 2000X4 s.a.: 1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 550 4X1 + X2 + 2X3 + X4 ≤ 700 X1 + 3X2 + X3 + 2X4 ≤ 200 X1, X2, X3, X4 ≥ 0 Último tablero simplex:
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
2500
5000
3000
2000
0
0
0
SOLUCIÓN
X3
3000
0
-1
1
0
0.4
0
- 0.6
100
S2
0
0
- 13
0
-7
0.8
1
- 5.2
100
X1
2500
1
4
0
2
- 0.4
0
1.6
100
Zj
2500
7000
3000
5000
200
0
2200
Cj - Zj
0
- 2000
0
- 3000
- 200
0
- 2200
Para hallar coeficientes X1 0.4
0
- 0.6
1.5
0
0.8
1
- 5.2
4
0
- 0.4
0
1.6
1
1
550000
Para hallar solución 0.4
0
- 0.6
550
100
0.8
1
- 5.2
700
100
- 0.4
0
1.6
200
100
1. ¿Qué pasa con la solución solución actual si la utilidad del del producto 3 aumenta aumenta en 300? Interprete la solución del problema primo. Para X3
C3 = 3000
- 200 + (- 0.4) Δ3 ≥ 0 → - 0.4 Δ3 ≥ 200 → Δ3 = - 500 - 2200 +
0.6 Δ3 ≥ 0 → 0.6 Δ3 ≥ 2200 → Δ3 = 3666.67
- 500 + (- 0.1) Δ1 ≥ 0 → - 0.1 Δ1 ≥ - 25 → Δ1 = 250 - 500 ≤ Δ3 ≤ 3666.67 (3000 – 500)
(3000 + 3666.67)
2500 ≤ Δ3 ≤ 6666.67
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
2500
5000
3300
2000
0
0
0
SOLUCIÓN
X3
3300
0
-1
1
0
0.4
0
- 0.6
100
S2
0
0
- 13
0
-7
0.8
1
- 5.2
100
X1
2500
1
4
0
2
- 0.4
0
1.6
100
Zj
2500
6700
3300
5000
320
0
2020
Cj - Zj
0
- 1700
0
- 3000
- 320
0
- 2020
X1 = 100 Unidades del producto 1 se programarían a producir X2 = 0 X3 = 100 Unidades del producto 3 se programarían a producir X4 = 0 S1 = 0
580000
S2 = 100 Horas máquina disponible S3 = 0 Zmax = $580.000 En la solución actual la utilidad aumenta en $30.000
2. ¿Qué pasa con la solución actual si la disponibilidad del recurso 1 cambia a 250? Establezca el intervalo de solución. Interprete la nueva solución. b1 = 550
b’1 = 250
100 +
0.4 Δ1 ≥ 0 → 0.4 Δ1 ≥ - 100 → Δ1 = - 250
100 +
0.8 Δ1 ≥ 0 → 0.8 Δ1 ≥ - 100 → Δ1 = - 125
100 + (- 0.4) Δ1 ≥ 0 → - 0.4 Δ1 ≥ - 100 → Δ1 = 250 - 125
≤ Δ1 ≤
(550 – 125) 425
250 (550 + 250)
≤ Δ1 ≤
800
La solución no es factible porque los 250 no están dentro del intervalo de variación.
3. ¿Qué pasa con la solución actual si los coeficientes tecnológicos del producto 1 cambia a (1, 4, 1). - 200 0
- 2200 (1, 4, 1) +
2500 =
100
0.4
0
- 0.6
1
- 0.2
0.8
1
- 5.2
4
- 0.4
- 0.4
0
1.6
1
1.2
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
2500
5000
3000
2000
0
0
0
SOLUCIÓN
X3
3000
- 0.2
-1
1
0
0.4
0
- 0.6
100
S2
0
- 0.4
- 13
0
-7
0.8
1
- 5.2
100
X1
2500
1.2
4
0
2
- 0.4
0
1.6
100
Zj
2400
7000
3000
5000
200
0
2200
Cj - Zj
100
- 2000
0
- 3000
- 200
0
- 2200
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
2500
5000
3000
2000
0
0
0
550000
SOLUCIÓN
X3
3000
0
- 0.33
1
0.33
0.33
0
- 0.33
1116.67
S2
0
0
- 11.67
0
- 6.33
0.67
1
- 4.67
133.33
X1
2500
1
3.33
0
1.67
- 0.33
0
1.33
83.33
Zj
2500
7333.33
3000
5166.67
166.67
0
2333.33
Cj - Zj
0
- 2333.33
0 - 3166.67
- 166.67
0
- 2333.33
558333.33
La solución actual cambia, incrementándose la utilidad en $8.333,33, pasando de $550.000 a $558.333,33.
4. La empresa quiere producir un nuevo producto con una utilidad de $4000 y unos coeficientes de (2, 3, 1). ¿Conviene o no? - 200 0
- 2200 (2, 3, 1) + 4000
= 1400
0.4
0
- 0.6
2
0.2
0.8
1
- 5.2
3
- 0.6
- 0.4
0
1.6
1
0.8
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
S3
2500
5000
3000
2000
4000
0
0
0
SOLUCIÓN
X3
3000
0
-1
1
0
0.2
0.4
0
- 0.6
100
S2
0
0
- 13
0
-7
- 0.6
0.8
1
- 5.2
100
X1
2500
1
4
0
2
0.8
- 0.4
0
1.6
100
Zj
2500
7000
3000
5000
2600
200
0
2200
Cj - Zj
0
- 2000
0
- 3000
1400
- 200
0
- 2200
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
S3
2500
5000
3000
2000
4000
0
0
0
BASE
Cj
550000
SOLUCIÓN SOLUCIÓN
X3
3000
- 0.25
-2
1
- 0.5
0
0.5
0
-1
75
S2
0
0.75
- 10
0
- 5.5
0
0.5
1
-4
175
X5
4000
1.25
5
0
2.5
1
- 0.5
0
2
125
Zj
4250
14000
3000
8500
4000
- 500
0
5000
Cj - Zj
- 1750
- 9000
0
- 6500
0
500
0
- 5000
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
S3
2500
5000
3000
2000
4000
0
0
0
BASE
Cj
725.000
SOLUCIÓN SOLUCIÓN
S1
0
-1
-4
2
-1
0
1
0
-2
150
S2
0
1
-8
-1
-5
0
0
1
-3
100
X5
4000
1
3
1
2
1
0
0
1
200
Zj
4000
12000
4000
8000
4000
0
0
4000
Cj - Zj
- 1500
- 7000
- 1000
- 6000
0
0
0
- 4000
800.000
Si resulta conveniente producir el nuevo producto, pues la utilidad aumenta en $250.000, pasando de $550.000 a $800.000.
Ejercicio No. 3 X1 = Unidades del producto 1 a producir / día X2 = Unidades del producto 2 a producir / día X3 = Unidades del producto 3 a producir / día
Zmax = 800X1 + 1200X2 + 1000X3 $/día s.a.: 3X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 60 Unidades / día 9X1 + 4X2 + 16X3 ≤ 242 Horas / día X1 + 4X2 + 6X3 ≤ 125 Horas / día X1, X2, X3 ≥ 0 Último tablero simplex maximización:
BASE
Cj
X1
X2
X3
S1
S2
S3
800
1200
1000
0
0
0
SOLUCIÓN
X2
1200
1/4
1
0
2/7
- 1/28
0
8.5
X3
1000
1/2
0
1
- 1/14
1/14
0
13
S3
0
1
0
0
- 5/7
- 2/7
1
13
Zj
800
1200
1000
271.43 2 71.43
28.57
0
Cj - Zj
0
0
0
- 271.43
- 28.57
0
2/7
- 1/28
0
60
8.5
- 1/14
1/14
0
242
13
- 5/7
- 2/7
1
125
13
23200
1. ¿Cómo se afecta la solución actual si se fabrica un nuevo producto cuya utilidad es 1300 y los coeficientes tecnológicos son (1, 6, 3)?. - 271.43
BASE
-28.57
Cj
0
(1, 6, 3) +
1300 = 857.15
2/7
- 1/28
0
1
1/14
- 1/14
1/14
0
6
5/14
- 5/7
- 2/7
1
3
4/7
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
800
1200
1000
1300
0
0
0
SOLUCIÓN
X2
1200
1/4
1
0
1/14
2/7
- 1/28
0
8.5
X3
1000
1/2
0
1
5/14
- 1/14
1/14
0
13
S3
0
1
0
0
4/7
- 5/7
- 2/7
1
13
Zj
800
1200
1000
448.85
271.43
28.57
0
Cj - Zj
0
0
0
857.15
- 271.43
- 28.57
0
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
800
1200
1000
1300
0
0
0
23200
SOLUCIÓN
X2
1200
0.13
1
0
0
3/8
0
- 1/8
6.88
X3
1200
- 0.13
0
1
0
3/8
1/14
- 5.8
4.88
X4
1300
1.75
0
0
1
- 1.25
- 0.5
1.75
22.75
Zj
2300
1200
1000
1300
- 800
- 400
1500
Cj - Zj
- 1500
0
0
0
800
400
1500
BASE
Cj
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
800
1200
1000
1300
0
0
0
42700
SOLUCIÓN
X2
1200
0.25
1
-1
0
0
- 0.25
0.5
2
S1
0
- 1/3
0
2.67
0
0
2/3
- 1.67
13
X4
1300
1.33
0
3.33
1
0
1/3
- 1/3
39
Zj
2033
1200
3133
1300
0
133.33
166.6
Cj - Zj
- 1233
0
- 2133
0
0
- 133.33
- 166.6
53100
Es conveniente producir el nuevo producto, pues cambia la solución, aumentando la utilidad en $29.900, pasando de $23.200 a $53.100.
2. ¿Cómo se afecta la solución actual se la disponibilidad del recurso 1 disminuye en 20 horas? Hallar el intervalo de variación. Interprete la solución. b1 = 60
b’1 = 40
8.5 +
2/7 Δ1 ≥ 0 →
2/7 Δ1 ≥ - 8.5 → Δ1 = - 29.75
13 + (-(- 1/14) Δ1 ≥ 0 → - 1/14 Δ1 ≥ - 13 → Δ1 = 182 13 + (- 5/7) Δ1 ≥ 0 → - 5/7 Δ1 ≥ - 13 → Δ1 = 18.2 - 29.75 (60 – 29.5) 30.25
18.2
≤ Δ1 ≤
(60 + 18.2) 78.2
≤ Δ1 ≤
La solución actual sigue siendo factible, pues la disminución a 40 unidades sigue dentro del intervalo de utilidad. La nueva solución solución quedaría quedaría así: 2/7
- 1/28
0
40
2.78
X2
- 1/14
1/14
0
242
13
X3
- 5/7
- 2/7
1
125
13
S3
Zmax = 800 (0) + 1200 (2.78) + 1000 (13) = 16336 3. ¿Qué pasaría con la solución actual si la utilidad del producto producto aumenta en $300? Establezca Establezca el intervalo de variación, interprete la nueva solución, si existe. C1 = 800
C’1 = 1100
Δ1 < 0
Variación para que la solución siga siendo óptima
C1 ≤ 800
Utilidad para que la solución actual cambie, por lo tanto, al incrementarse en $300, la
variable X1 se vuelve óptima y se sigue el tablero.
BASE
Cj
X1
X2
X3
S1
S2
S3
1100
1200
1000
0
0
0
SOLUCIÓN
X2
1200
1/4
1
0
2/7
- 1/28
0
8.5
X3
1000
1/2
0
1
- 1/14
1/14
0
13
S3
0
1
0
0
- 5/7
- 2/7
1
13
Zj
800
1200
1000
271.43 2 71.43
28.57
0
Cj - Zj
300
0
0
- 271.43
- 28.57
0
BASE
Cj
X1
X2
X3
S1
S2
S3
1100
1200
1000
0
0
0
23200
SOLUCIÓN
X2
1200
0
1
0
1/2
0
1/4
2
X3
1000
0
0
1
2/7
1/5
- 1/2
6.5
X1
1100
1
0
0
- 0.714
- 0.286
1
13
Zj
1100
1200
1000
57.142 - 57.142
300
Cj - Zj
0
0
0
BASE
Cj
- 57.142
57.142 - 300
X1
X2
X3
S1
S2
S3
1100
1200
1000
0
0
0
25150
SOLUCIÓN
X2
1200
0
1
0
1/2
0
- 1/4
2
S2
0
0
0
5
1.43
1
- 2.5
32.5
X1
1100
1
0
1.43
- 0.3
0
0.285
22.29
Zj
1100
1200
1573
270
0
13.5
Cj - Zj
0
0
- 573
- 270
0
- 13.5
La utilidad aumenta en $3.719, pasando de $23.200 a $26.919.
26919
BIBLIOGRAFÍA
TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Séptima edición. Pearson Education. México: 2004. http://programacionlineal.net/sensibilidad.html
