Cálculo Vol. 1 - Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis.pdf

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A635c

Anton, Howard. Cálculo [recurso eletrônico] / Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis ; tradução: Claus Ivo Doering. – 10. ed. – Porto Alegre : Bookman, 2014. v.1 Editado também como livro impresso em 2014. ISBN 978-85-8260-226-3 1. Cálculo. I. Bivens, Irl. II. Davis, Stephen. III. III. Título. CDU 510

Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094

HOWARD ANTON

IRL BIVENS

STEPHEN DAVIS

Drexel University

Davidson College

Davidson College

Tradução Claus Ivo Doering Professor Titular do Instituto de Matemática da UFRGS

Versão impressa desta obra: 2014

2014

Obra originalmente publicada sob o título Calculus Early Transcendentals,10th Edition

ISBN 9780470647691 / 0470647698 copyright © 2012, John Wiley & Sons,Inc. All Rights Reserved. This translation published under license with the original publisher John Wiley & Sons, Inc.

Gerente editorial: Arysinha Jacques Jacques Affonso Affonso Colaboraram nesta edição:

Editora: Denise Weber Nowaczyk  Capa: Maurício Pamplona (arte sobre capa original) Imagem da capa:  David Henderson/Getty Images Images Leitura final: Amanda Jansson Jansson Breitsameter  Breitsameter  Editoração: Techbooks

Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à BOOKMAN EDITORA LTDA., uma empresa do GRUPO A EDUCAÇÃO S.A. Av. Jerônimo de Ornelas, 670 – Santana 90040-340 – Porto Alegre – RS Fone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e outros), sem permissão expressa da Editora. Unidade São Paulo Av. Embaixador Macedo Soares, 10.735 – Pavilhão 5 – Cond. Espace Center Vila Anastácio – 05095-035 – São Paulo – SP Fone: (11) 3665-1100 Fax: (11) 3667-1333 SAC 0800 703-3444 – www.grupoa.com.br IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL

SOBRE HOWARD ANTON

Howard Anton é Bacharel em Matemática pela Lehigh University, Mestre em Matemática pela University of Illinois e Doutor em Matemática pela Polytechnic University of Brooklyn. No início da década de 1960, trabalhou na Burroughs Corporation e na Avco Corporation em Cabo Canaveral, na Flórida, onde esteve envolvido com o programa espacial tripulado. Em 1968, entrou para o Departamento de Matemática da Drexel University, onde lecionou em tempo integral até 1983. Desde então, é professor emérito da Drexel e dedica a maior parte de seu tempo a escrever livros didáticos e a atividades junto a associações matemáticas. Foi presidente da seção do leste do estado da Pensilvânia e do estado de Delaware da Mathematical Association of America (MAA), foi membro do conselho diretor daquela organização e orientou a criação das subdivisões estudantis da MAA. Publicou vários trabalhos de pesquisa em Análise Funcional, Teoria da Aproximação e Topologia, Topologia, bem como artigos pedagógicos. É especialmente conhecido por seus livros didáticos em Matemática, que estão entre os mais utilizados no mundo. Existe, atualmente, mais de uma centena de versões de seus livros, inclusive traduções para o espanhol, árabe, português, italiano, indonésio, francês, japonês, chinês, hebraico e alemão. Seu livro de Álgebra Linear recebeu o prêmio de Excelência de Livro Didático e o Prêmio McGuffey, McGuffey, ambos da Associação dos Autores de Livros Didáticos dos E.U.A. Em seu tempo de lazer, o Dr. Anton gosta de viajar e fotografia.

SOBRE IRL BIVENS

Irl C. Bivens, agraciado com a Medalha George Polya e o Prêmio Merten M. Hasse de Texto Didático de Matemática, é Bacharel em Matemática pelo Pfeiffer College e Doutor em Matemática pela University of North Carolina, em Chapel Hill. Desde 1982, leciona no Davidson College, onde atualmente ocupa a posição de professor de Matemática. Em um ano acadêmico típico, leciona Cálculo, Topologia Topologia e Geometria. Também é apreciador de história da Matemática, e seu seminário anual de História da Matemática é um dos mais concorridos entre os formandos de Matemática de Davidson. Publicou vários artigos sobre Matemática do Ensino Superior, Superior, bem como trabalhos de pesquisa em sua área de especialização, a Geometria Diferencial. Foi membro dos comitês editoriais das séries Problem Books e Dolciani Mathematical Expositions da Mathematical Association Association of America (MAA) e do College  Mathematical Journal Journal. Quando não está fazendo Matemática, o Prof. Bivens gosta de leitura,

malabarismo, natação e caminhadas.

SOBRE STEPHEN DAVIS

Stephen L. Davis é Bacharel em Matemática pelo Lindenwood College e Doutor em Matemática pela Rutgers University University.. Tendo lecionado na Rutgers University e na Ohio State University, chegou ao Davidson College College em 1981, onde atualmente é professor de Matemática. Leciona regularmente disciplinas de Cálculo, Álgebra Linear, Álgebra Abstrata Abstrata e Computação. No ano letivo de 1995-1996, foi professor associado visitante no Swarthmore College. Publicou vários artigos sobre o ensino e a avaliação do Cálculo, bem como trabalhos de pesquisa em sua área de especialização, a Teoria de Grupos Finitos. Ocupou vários postos, inclusive de presidente e tesoureiro, na seção sudeste da Mathematical Association of America (MAA). Atualmente, é professor profess or consultor do Serviço de Avaliação Avaliação Educacional de Cálculo AvançaAvançado, membro da diretoria da Associação da Carolina do Norte de Professores de Matemática Avançada Av ançada e ativamente envolvido no treinamento, no Clube de Matemática de Charlotte, de estudantes matematicamente talentosos do Ensino Médio. Em seu tempo de lazer, ele joga basquete, faz malabarismos e viaja. O Prof. Davis e sua esposa Elisabeth têm três filhos, Laura, Anne e James, todos ex-alunos de Cálculo.

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Para 

minha esposa, Pat, e meus filhos, Brian, David e Lauren Em memória de 

minha mãe, Shirley meu pai, Benjamin meu orientador de tese e inspiração, George Bachman Stephen Girard (1750-1831), filantropo —H.A. Para 

meu filho, Robert —I.B. Para 

minha esposa, Elisabeth meus filhos, Laura, Anne e James —S.D.

Esta página foi deixada em branco intencionalmente.

AGRADECIMENTOS

Tivemos a sorte de contar com a orientação e o apoio de muita gente talentosa, cujo conhecimento e habilidade enriqueceram este livro de muitas formas. Por P or sua valiosa ajuda, agradecemos às seguintes pessoas.

Revisores da décima edição Frederick Adkins, Indiana University of Pennsylvania Gerardo Aladro, Florida International University Mike Albanese, Central Piedmont Community College Faiz Al-Rubaee, University of North Florida Mahboub Baccouch, University of Nebraska at Omaha Jim Brandt, Southern Utah University Elizabeth Brown, James Madison University Michael Brown, San Diego Mesa College Christopher Butler, Case Western Reserve University Nick Bykov, San Joaquin Delta College Hongwei Chen, Christopher Newport University David A. Clark, Randolph-Macon College Dominic P. Clemence, North Carolina  Agricultural and Technical Technical State University Michael Cohen, Hofstra University Hugh Cornell, Salt Lake Community College

Kyle Costello, Salt Lake Community College Walter Czarnec, Framingham State University Michael Daniel, Drexel University Judith Downey, University of Nebraska, Omaha Artur Elezi, American University David James Ellingson, Napa Valley College Elaine B. Fitt, Bucks County Community College

Greg Gibson, North Carolina Agricultural and Technical State University

Yvonne A. Greenbaun, Mercer County Community College

Jerome I. Heaven, Indiana Tech Kathryn Lesh, Union College Eric Matsuoka, Leeward Community College Ted Nirgiotis, Diablo Valley College Mihaela Poplicher, University of Cincinnati Adrian R. Ranic, Erie Community Co llege–   North

Thomas C. Redd, North Carolina Agricultural and Technical State University

R. A. Rock, Daniel Webster College

John Paul Roop, North Carolina Agricultural and Technical State University

Philippe Rukimbira, Florida International University

Dee Dee Shaulis, University of Colorado at  Boulder 

Michael D. Shaw, Florida Institute of Technology

Jennifer Siegel, B roward College–Central Campus

ThomasW. Simpson, University of South Carolina Union

Maria Siopsis, Maryville College Mark A. Smith, Miami University, Ohio Alan Taylor, Union College Kathy Vranicar, University of Nebraska, Omaha

Anke Walz, Kutztown University Zhi-Qiang Wang, Utah State University Tom Wells, Delta College Greg Wisloski, Indiana University of Pennsylvania

Revisores e colaboradores da nona edição Frederick Adkins, Indiana University of Pennsylvania Bill Allen, Reedley College-Clovis Center  Jerry Allison, Black Hawk College Seth Armstrong, Southern Utah University Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University David Bradley, University of Maine Wayne P. Britt, Louisiana State University Dean Burbank, Gulf Coast Community College Jason Cantarella, University of Georgia

Yanzhao Cao, Florida A&M University Kristin Chatas,Washtenaw Community College Michele Clement, Louisiana State University Ray Collings, Georgia Perimeter College David E. Dobbs, University of Tennessee, Knoxville

H. Edward Donley Donley,, Indiana University of  Pennsylvania T. J. Duda, Columbus State Community College

Jim Edmondson, Santa Barbara City College Nancy Eschen, Florida Community College,  Jacksonville  Jackson ville

Reuben Farley, Virginia Commonwealth University

Michael Filaseta, University of South Carolina Jose Flores, University of South Dakota Mitch Francis, Horace Mann Polytechnic chnic Berit N. Givens, California State Polyte University, Pomona

x 

Agradecimentos

Zhuang-dan Guan, University of California,  Riverside

Jerome Heaven, Indiana Tech Greg Henderson, Hillsborough Community College

Patricia Henry, Drexel University Danrun Huang, St. Cloud State University Alvaro Islas, University of Central Florida Micah James, University of Illinois Bin Jiang, Portland State University Ronald Jorgensen, Milwaukee School of  Engineering

Mohammad Kazemi, University of North Carolina, Charlotte Raja Khoury, Collin County Community College Przemo Kranz, University of Mississippi Texas Carole King Krueger, The University of Texas at Arlington Steffen Lempp, University of Wisconsin,  Madison Thomas Leness, Florida International University Kathryn Lesh, Union College Wen-Xiu Ma, University of South Florida Behailu Mammo, Hofstra University Vania Mascioni, Ball State University

John McCuan, Georgia Tech Daryl McGinnis, Columbus State Community College

Michael Mears, Manatee Community Co llege John G. Michaels, SUNY Brockport  Jason Miner, Santa Barbara City College Darrell Minor, Columbus State Community College Westbury Kathleen Miranda, SUNY Old Westbury Carla Monticelli, Camden County College Bryan Mosher, University of Minnesota Ferdinand O. Orock, Hudson County Community College

Altay Ozgener, Manatee Community College Chuang Peng, Morehouse College Joni B. Pirnot, Manatee Community College Elise Price, Tarrant County College David Price, Tarrant County College Holly Puterbaugh, University of Vermont  Hah Suey Quan, Golden West College JosephW. Rody, Arizona State University Jan Rychtar, University of North Carolina, Greensboro

John T. Saccoman, Seton Hall University Constance Schober, University of Central Florida

Kurt Sebastian, United States Coast Guard 

Paul Seeburger, Monroe Community College Charlotte Simmons, University of Central Oklahoma

Don Soash, Hillsborough Community College Bradley Stetson, Schooleraft College Bryan Stewart, Tarrant County College Walter E. Stone, Jr., North Shore Community College

Eleanor Storey, Front Range Community College, Westminster Westminster Campus

Stefania Tracogna, Arizona State University Helene Tyler, Manhattan College Pavlos Tzermias, University of Tennessee, Knoxville

Raja Varatharajah, North Carolina Agricultural and Technical State University

Francis J. Vasko, Kutztown University  Western rn Illino is University David Voss, Weste Jim Voss, Front Range Community College Anke Walz, Kutztown Community College Richard Watkins, Tidewater Community College

Xian Wu, University of South Carolina Yvonne Yaz, Milwaukee School of Engineering Richard A. Zang, University of New Hampshire Xiao-Dong Zhang, Florida Atlantic University Diane Zych, Erie Community College

Também gostaríamos de agradecer a Celeste Hernandez e Roger Lipsett pela cuidadosa revisão da décima edição. Igualmente agradecemos a Tamas Tamas Wiandt pela revisão do manual de soluções e a Przemyslaw Bogacki pela revisão das soluções s oluções daquele manual; Brian Camp e Lyle Smith pela revisão do Guia de Estudo do Estudante; Jim Hartman pela revisão do Manual do Professor; Ann Ostberg pela revisão dos slides de PowerPoint ; Beverly Fusfield por criar novos tutoriais GO e Mark McKibben por conferir esses novos tutoriais. Também agradecemos o retorno recebido de Mark Dunster, Cecelia Knoll e Michael Rosenthal a respeito de problemas selecionados de WileyPlus.

PREFÁCIO

Nesta décima edição de Cálculo, mantivemos aqueles aspectos das edições anteriores que levaram ao sucesso desta série: continuamos buscando a compreensão do estudante sem sacrificar a precisão matemática, e os conjuntos de exercícios são cuidadosamente projetados de modo a evitar surpresas desagradáveis que podem desestruturar uma classe de Cálculo. Todas as modificações introduzidas nesta décima edição foram revisadas cuidadosamente por um grupo de destacados professores, tanto usuários de edições anteriores, quanto não usuários. A missão desse grupo de professores foi a de garantir que as mudanças não alterassem aqueles aspectos que atraíram os usuários das edições anteriores e, ao mesmo tempo, apresentar novidades que pudessem atrair novos usuários. A seguir, algumas características do livro:

Flexibilidade Esta edição foi construída com uma flexibilidade planejada para servir um amplo espectro de filosofias do Cálculo, desde a mais tradicional até a mais “reformista”. Os recursos computacionais podem ser enfatizados, ou não, e a ordem de muitos tópicos pode ser permutada livremente para acomodar as necessidades específicas do professor. Rigor O desafio de escrever um bom livro de Cálculo está em equilibrar corretamente o rigor e a clareza. Nosso objetivo é apresentar a mais rigorosa Matemática possível possível num tratamento introdutório. Quando a clareza e o rigor colidem, escolhemos clareza; contudo, acreditamos que é importante o estudante entender a diferença entre uma demonstração precisa e um argumento informal, de modo que informamos o leitor quando os argumentos apresentados são informais ou para motivação motivação.. A teoria env envolvendo olvendo argumentos de  e δ aparece em seções separadas, podendo ser estudada ou não, de acordo com a preferência do professor professor..

Regra dos quatro A “regra dos quatro” diz respeito à apresentação dos conceitos dos pontos de vista verbal, algébrico, visual e numérico. De acordo com a filosofia pedagógica atual, sempre que indicado, utilizamos essa abordagem.

Exercícios Cada conjunto de exercícios desenvolvido para esta edição foi planejado visando à prática do aluno. Exercícios com respostas proporcionam a verificação imediata do conhecimento adquirido, exercícios de compreensão focam os conceitos principais e os identificados com um ícone requerem a utilização de recursos tecnológicos, como calculadora gráfica ou sistemas computacionais.

Aplicabilidade do cálculo Um dos objetivos primários desta edição é o de estabelecer relações do Cálculo com o mundo real e com a experiência própria do estudante. Esse tema é mantido ao longo de exemplos e exercícios.

Preparação profissional Este texto foi escrito num nível matemático que prepara os estudantes para uma variedade de carreias profissionais que requeiram um fundamento matemático sólido, incluindo as engenharias, várias ciências e a administração.

xii 

Prefácio

Revisão de trigonometria Muitos alunos são atormentados por deficiências em Trigonometria, de modo que incluímos uma revisão substancial de Trigonometria no Apêndice B.

Apêndice de equações polinomiais Como muitos estudantes têm dificuldades em resolver equações polinomiais, o Apêndice C traz uma revisão do Teorema da Fatoração, do Teorema do Resto e do procedimento para encontrar raízes racionais.

Princípios do cálculo de integrais O tradicional capítulo de Técnicas Técnicas de Integração é denominado “Princípios do Cálculo de Integrais” para refletir uma abordagem mais moderna do material. Esse capítulo enfatiza métodos gerais e o papel de recursos computacionais no lugar de truques específicos para calcular integrais complicadas ou obscuras.

Materiais adicionais Os materiais adicionais foram especialmente desenvolvidos para o aluno potencializar seu estudo e para o professor enriquecer as suas aulas, e estão disponíveis no site www.grupoa.com.br.

Para o aluno Procure por este livro no site do Grupo A e, depois de cadastrado, acesse livremente os seguintes materiais: Em inglês

Em português

Additional Materials Graphing Video Tutorial Student Study Guide Web Appendices

Colisão com Cometa Iteração e Sistemas Dinâmicos Kabum, o Homem Bala Modelando Furacões Planejamento de Estradas de Ferro Robótica

Para o professor Cadastre-se no site do Grupo A, busque por este livro, clique no link Material para o Professor e acesse os seguintes materiais (em inglês): Student Solutions Manual The Student Study Guide Instructor’s Solutions Manual Instructor’s Manual Computerized Test Bank Printable Test Bank PowerPoint Presentations Image Gallery

SUMÁRIO

VOLUME I 0 ANTES DO CÁLCULO   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5

1

Funções 1 Funções novas a partir de antigas 15 Famílias Fam ílias de funções 27 Funções inversas; funções trigonométricas inversas 38 Funções exponenciais e logarítmicas 52

CONTINUIDADE ADE 1 LIMITES E CONTINUID   1.1   1.2   1.3   1.4   1.5   1.6

D ERIVADA A 2 A DERIVAD   2.1   2.2   2.3   2.4   2.5   2.6

67

Limites (uma abordagem intuitiva) 67 Calculando limites 80 Limites no infinito; comportamento final de uma função 89 Limites (discutidos mais rigorosamente) 100 Continuidade 110 Continuidade de funções trigonométricas, exponenciais e inversas inversas 121

131

Retas tangentes e taxas de variação 131 Função derivada 143 Introdução a técnicas de diferenciação 155 Regras do produto e do quociente 163 Derivadas de funções trigonométricas 169 Regra da cadeia 174

xiv 

Sumário

3 TÓPICOS EM DIFERENCIAÇÃO   3.1   3.2   3.3   3.4   3.5   3.6

185

Derivação implícita 185 Derivadas de funções logarítmicas 192 Derivadas de funções exponenciais e trigonométricas inversas 197 Taxas relacionadas 204 Aproximação linear local; diferenciais 212 Regra de L’Hôpital; formas indeterminadas 219

4 A DERIVADA EM GRÁFICOS E APLICAÇÕES

232

  4.1 Análise de funções I: crescimento, decrescimento e concavidade 232   4.2 Análise de funções II: extremos relativos; gráficos de polinômios 244   4.3 Análise de funções III: funções racionais, cúspides e retas tangentes verticais 254   4.4 Máximos e mínimos absolutos 266   4.5 Problemas de máximos e de mínimos em aplicações 274   4.6 Movimento retilíneo 288   4.7 Método de Newton 296   4.8 O teorema de Rolle; o teorema do valor médio 302

5 INTEGRAÇÃO   5.1   5.2   5.3   5.4   5.5   5.6   5.7   5.8   5.9  5.10

316

Uma visão geral do problema de área 316 A integral indefinida 322 Integração por substituição 332 A definição de área como um limite; notação de somatório 340 A integral definida 353 O teorema fundamental do cálculo 362 Movimento retilíneo revisto usando integração 376 Valor médio de uma função e suas aplicações 385 Calculando integrais definidas por substituição 390 Funções logarítmicas e outras funções definidas por integral 396

6 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA NA GEOMETRIA, NAS CIÊNCIAS E NA ENGENHARIA 413   6.1   6.2   6.3   6.4   6.5   6.6   6.7   6.8   6.9

Área entre duas curvas 413 Volumes por fatiamento; discos e arruelas 421 Volumes por camadas cilíndricas 432 Comprimento de uma curva plana 438 Área de uma superfície de revolução 444 Trabalho 449 Momentos, centros de gravidade e centroides 458 Pressão e força de fluidos 467 Funções hiperbólicas e cabos pendentes 474

Sumário

7 PRINCÍPIOS DO CÁLCULO DE INTEGRAIS   7.1   7.2   7.3   7.4   7.5   7.6   7.7   7.8

xv

488

Uma visão geral dos métodos de integração 488 Integração por partes 491 Integração de funções trigonométricas 500 Substituições trigonométricas 508 Integração de funções racionais por frações parciais 514 O uso de sistemas algébricos computacionais e de tabelas de integrais 523 Integração numérica; regra de Simpson 533 Integrais impróprias 547

A APÊNDICES  A GRÁFICOS DE FUNÇÕES UTILIZANDO CALCULADORAS E RECURSOS COMPUTACIONAIS A1  B REVISÃO DE TRIGONOMETRIA B1  C RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POLINOMINAIS C1 Respostas dos exercícios ímpares R1 Índice I1

VOLUME II 8 MODELAGEM MATEMÁTICA COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS   8.1   8.2   8.3   8.4

Equações diferenciais de primeira ordem e aplicações 561 Separação de variáveis 568 Campos de direções; método de Euler 579 Equações difenciais de primeira ordem e aplicações 586

9 SÉRIES INFINITAS   9.1   9.2   9.3   9.4   9.5   9.6   9.7   9.8   9.9  9.10

596

Sequências 596 Sequências monótonas 607 Séries infinitas 614 Testes de convergência 623 Testes de comparação, da razão e da raiz 631 Séries alternadas; convergência aboluta e condicional 638 Polinômios de Maclaurin e de Taylor 648 Séries de Maclaurin e de Taylor; séries de potências 659 Convergência de séries de Taylor 668 Derivação e integração de séries de potências; modelando com séries de Taylor 678

561

xvi 

Sumário

10 CURVAS PARAMÉTRICAS E POLARES; SEÇÕES CÔNICAS

692

 10.1 Equações paramétricas; retas tangentes e comprimento de cur vas paramétricas 692  10.2 Coordenadas polares 705  10.3 Retas tangentes, comprimento de arco e área com curvas polares 719  10.4 Seções cônicas 730  10.5 Rotação de eixos; equações de segunda ordem 748  10.6 Seções cônicas em coordenadas polares 754

11 ESPAÇO TRIDIMENSIONAL; VETORES  11.1  11.2  11.3  11.4  11.5  11.6  11.7  11.8

12 FUNÇÕES VETORIAIS  12.1  12.2  12.3  12.4  12.5  12.6  12.7

841

Introdução às funções vetoriais 841 Cálculo de funções vetoriais 848 Mudança de parâmetro; comprimento de arco 858 Vetores tangente, normal e binormal unitários 868 Curvatura 873 Movimento ao longo de uma curva 882 Leis de Kepler do movimento planetário 895

13 DERIVADAS PARCIAIS  13.1  13.2  13.3  13.4  13.5  13.6  13.7  13.8  13.9

767

Coordenadas retangulares no espaço; esferas; superfícies cilíndricas 767 Vetores 773 Produto escalar; projeções 785 Produto vetorial 795 Equações paramétricas de retas 805 Planos no espaço tridimensional 813 Superfícies quádricas 821 Coordenadas cilíndricas e esféricas 832

906

Funções de duas ou mais variáveis 906 Limites e continuidade 917 Derivadas parciais 927 Diferenciabilidade, diferenciais e linearidade local 940 Regra da cadeia 949 Derivadas direcionais e gradientes 960 Planos tangentes e vetores normais 971 Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 977 Multiplicadores de Lagrange 989

Sumário

14 INTEGRAIS MÚLTIPLAS  14.1  14.2  14.3  14.4  14.5  14.6  14.7  14.8

1000

Integrais duplas 1000 Integrais duplas em regiões não retangulares 1009 Integrais duplas em coordenadas polares 1018 Área de superfície; superfícies paramétricas 1026 Integrais triplas 1039 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas 1048 Mudança de variáveis em integrais múltiplas; jacobianos 1058 Centros de gravidade usando integrais múltiplas 1071

15 TÓPICOS DO CÁLCULO VETORIAL  15.1  15.2  15.3  15.4  15.5  15.6  15.7  15.8

1084

Campos vetoriais 1084 Integrais de linha 1094 Independência do caminho; campos vetoriais conser vativos 1111 Teorema de Green 1122 Integrais de superfície 1130 Aplicações de integrais de superfície; fluxo 1138 Teorema da divergência 1148 Teorema de Stokes 1158

A APÊNDICE  D PROVAS SELECIONADAS D1 Respostas dos exercícios ímpares R1 Índice I1

xvii

xviii

As raízes do cálculo

AS RAÍZES DO CÁLCULO As excitantes aplicações atuais do Cálculo têm raízes que remontam ao trabalho do matemático grego Arquimedes, mas a descoberta dos princípios fundamentais do Cálculo foi feita independentemente por Isaac Newton (inglês) e Gottfried Leibniz (alemão) ao final do século XVII. O trabalho de Newton e de Leibniz foi motivado por quatro grandes classes de problemas científicos e matemáticos daquela época: •

•

•

•

Encontrar a reta tangente a uma curva arbitrária num dado ponto. Encontrar a área de uma região, o comprimento de uma curva e o volume de um sólido arbitrários. Encontrar os valores máximo e mínimo de uma quantidade – por exemplo, as distâncias máxima e mínima de um planeta ao Sol ou o alcance máximo possível de um projétil variando o ângulo de disparo. Dada uma fórmula para a distância percorrida por um objeto num certo tempo especificado, encontrar a velocidade e a aceleração desse objeto num dado instante. Reciprocamente, dada uma fórmula que especifique a

aceleração e a velocidade num dado instante, encontrar a distância percorrida pelo objeto num determinado período de tempo. Newton e Leibniz encontraram uma relação fundamental entre os problemas de determinar uma reta tangente a uma curva e o de determinar a área de uma região. A descoberta dessa relação é considerada a “descoberta do Cálculo”. Embora Newton tivesse visto a relação entre esses dois problemas dez anos antes de Leibniz, este publicou seu trabalho vinte anos antes daquele, numa circunstância que levou a um conflituoso debate sobre quem teria sido o autêntico descobridor do Cálculo. Esse debate envolveu a Europa durante meio século, com os cientistas do continente europeu apoiando Leibniz e os da Inglaterra, Newton. O conflito foi extremamente infeliz, porque a notação inferior de Newton barrou muito o desenvolvimento científico na Inglaterra, e o continente, por sua vez, perdeu por quase cinquenta anos o benefício das descobertas de Newton em Astronomia e na Física. Apesar disso tudo, Newton e Leibniz foram admiradores sinceros do trabalho um do outro.

ISAAC NEWTON (1642-1727) Newton nasceu na aldeia de Woolsthorpe, na Inglaterra. Seu pai faleceu antes de seu nascimento e sua mãe criou-o na fazenda da família. Quando jovem, mostrou pouca evidência de seu brilho como adulto, exceto por um talento pouco comum com aparelhos mecânicos; aparentemente, ele construiu um relógio movido a água e um moinho de farinha movido por um camundongo. Em 1661, ele entrou no Trinity College em Cambridge sabendo pouca Geometria. Fortuitamente, chamou a atenção de Isaac Barrow, um matemático talentoso que era professor daquela instituição. Guiado por Barrow, Newton se dedicou à Matemática e às Ciências, mas graduou-se sem distinção especial. Em razão da peste bubônica que se espalhou rapidamente por Londres, voltou para sua casa em Woolsthorpe e lá permaneceu durante os anos de 1665 e 1666. Nesses dois anos momentosos, todo o arcabouço da ciência moderna foi criado miraculosamente na mente de Newton. Ele descobriu o Cálculo, reconheceu os princípios básicos do movimento planetário e da gravitação e determinou que a “luz branca” do Sol era composta por todas as cores, desde o vermelho até o violeta. Por alguma razão, manteve para si mesmo todas as suas descobertas. Em 1667, retornou a Cambridge para obter o título de Mestre e, depois de graduado, tornou-se professor em Trinity. Em 1669, sucedeu seu professor, Isaac Barrow, na assim chamada cátedra lucasiana de Matemática de Trinity, que é um dos mais honrados postos de matemático do mundo. Daí em diante, o fluxo de suas descobertas brilhantes foi contínuo. Newton [Imagem: domínio público de http://commons.wikimedia.org/  wiki/File:Hw-newton.jpg. A imagem foi fornecida por cortesia formulou a lei da gravitação e usou-a para explicar o movimento da Lua, dos da Biblioteca da Universidade do Texas em Austin.] planetas e das marés; formulou as leis básicas da luz, da termodinâmica e da hidrodinâmica; projetou e construiu o primeiro telescópio refletor moderno. Ao longo de sua vida, ele hesitava em publicar suas principais descobertas, talvez temendo críticas ou controvérsias, revelando-as somente para amigos de um círculo seleto. Em 1687, somente após intensa persuasão do astrônomo Edmond Halley (o descobridor do cometa Halley), Newton publicou sua obra-prima, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

As raízes do cálculo

xix

(Os Princípios Matemáticos da Filosofia Natural). Esse trabalho é considerado por muitos como o livro científico mais importante e influente jamais escrito. Nele, Newton explicou o funcionamento do sistema solar e formulou as leis básicas do movimento, que até hoje são fundamentais na Engenharia e na Física. Entretanto, nem mesmo o apelo de seus amigos convenceu-o a tornar pública sua descoberta do Cálculo. Somente após Leibniz ter publicado seus resultados, Newton condescendeu e publicou seus trabalhos sobre a área. Depois de 25 anos como professor, Newton entrou em depressão e teve um esgotamento nervoso. Ele desistiu da pesquisa em 1695 para aceitar uma posição na casa da moeda de Londres. Durante os 25 anos que lá trabalhou, ele praticamente não fez nenhum trabalho científico ou matemático. Newton foi nomeado cavaleiro em 1705 e, quando morreu, foi enterrado na abadia de Westminster com todas as honras que seu país poderia prestar. É interessante notar que ele era um teólogo instruído que viu o valor de seu trabalho como sendo o seu apoio à existência de Deus. Por toda sua vida, trabalhou apaixonadamente para datar eventos bíblicos, relacionando-os a fenômenos astronômicos. Essa paixão o consumia tanto que gastou anos procurando indícios do fim do mundo e da geografia do inferno no Livro de Daniel. Newton descrevia sua brilhante realização da seguinte forma: “Eu tenho a impressão de ter sido apenas uma criança brincando numa praia, divertindo-me aqui e acolá e descobrindo uma pedrinha mais redonda ou uma conchinha mais bonita que as outras, enquanto o imenso oceano da verdade está todo a ser descoberto à minha frente.”

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) Esse talentoso gênio foi uma das últimas pessoas a dominar a maior parte dos campos de conhecimento, uma realização impossível em nossa época de especialização. Ele foi um especialista em Direito, Religião, Filosofia, Literatura, Política, Geologia, Metafísica, Alquimia, História e Matemática. Leibniz nasceu em Leipzig, na Alemanha. Seu pai, um professor de Filosofia Moral na Universidade de Leipzig, faleceu quando ele tinha seis anos de idade. A criança precoce teve, então, acesso à biblioteca de seu pai e começou a ler vorazmente sobre uma grande variedade de assuntos, um hábito que manteve durante toda sua vida. Com 15 anos, entrou na Universidade de Leipzig como estudante de Direito e, aos 20, obteve um título de Doutor da Universidade de Altdorf. Subsequentemente, Leibniz seguiu uma carreira em Direito e em Política Internacional, tendo sido conselheiro de reis e príncipes. Durante suas inúmeras missões no exterior, entrou em contato com renomados matemáticos e cientistas que estimularam seu interesse pela Matemática, mais notadamente o físico Christian Huygens. Leibniz foi autodidata em Matemática, aprendendo o assunto com a leitura de artigos e periódicos. Como um resultado dessa educação matemática fragmentada, ele frequentemente redescobria os trabalhos de outros, o que ajudou a acender o debate sobre a descoberta do Cálculo. Leibniz nunca se casou. Ele tinha hábitos moderados e era irascível, mas [Imagem: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gottfried_ Wilhelm_von_Leibniz.jpg] facilmente acalmado e benevolente em seu julgamento acerca do trabalho de outros. Apesar de suas grandes realizações, Leibniz nunca recebeu as honras dadas a Newton e passou seus últimos anos como um homem solitário e amargurado. Em seu funeral havia uma só pessoa enlutada, sua secretária. Uma testemunha observou: “Ele foi enterrado mais como um ladrão do que o que ele realmente era, um ornamento de seu país.”

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0 ANTES DO CÁLCULO

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O desenvolvimento do Cálculo nos séculos XVII e XVIII foi motivado  pela necessidade de entender  fenômenos físicos como as marés, as fases da Lua, a natureza da luz e a gravidade.

0.1

Um dos temas mais importantes do Cálculo é a análise das relações entre quantidades físicas ou matemáticas. Tais relações podem ser descritas em termos de gráficos, fórmulas, dados numéricos ou palavras. Neste capítulo, desenvolveremos o conceito de “função”, que é a ideia básica subjacente a quase todas as relações matemáticas e físi cas, não importando como são expressas. Estudaremos as propriedades de algumas das funções mais básic as que ocorrem no Cálculo, incluindo as funções polinomiais, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas.

FUNÇÕES  Nesta seção, definiremos e desenvolveremos o conceito de “função”, que é o objeto matemático básico utilizado por cientistas e matemáticos para descrever relações entre quantidades variáveis. As funções desempenham um papel central no Cálculo e em suas aplicações.

DEFINIÇÃO DE UMA FUNÇÃO Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o termo  função  para indicar a dependência de uma quantidade em relação a uma outra, conforme a definição a seguir. ■

0.1.1 DEFINIÇÃO Se uma variável  y depende de uma variável  x  de tal modo que cada valor de x  determina exatamente um valor de  y, então dizemos que y é uma função de x. Quatro maneiras usuais de representar funções são: •

Numericamente com tabelas

•

Geometricamente com gráficos

•

Algebricamente com fórmulas

•

Verbalmente

2 

Cálculo

Tabela 0.1.1

O método de representação muitas vezes depende de como surgiu a função. Por exemplo:

VELOCIDADES DE QUALIFICAÇÃO NAS 500 MILHAS DE INDIANÁPOLIS ANO t 

VELOCIDADE S  (milhas/hora)

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

228,011 231,604 233,100 218,263 223,503 225,179 223,471 226,037 231,342 231,725 222,024 227,598 228,985 225,817 226,366 224,864 227,970 227,472

•

•

•

•

A Tabela 0.1.1 mostra a velocidade de qualificação S  para a pole na corrida de 500 milhas de Indianápolis como uma função do ano t . Há exatamente um valor de S  para cada valor de t . A Figura 0.1.1 é um registro gráfico de um terremoto feito por um sismógrafo. O gráfico descreve a deflexão  D da agulha do sismógrafo como uma função do tempo T  decorrido desde o instante em que o abalo deixou o epicentro do terremoto. Há exatamente um valor de D para cada valor de T . Algumas das mais conhecidas funções surgem de fórmulas; por exemplo, a fórmula C = 2πr  expressa o comprimento da circunferência C  de um círculo como uma função do raio r  do círculo. Há exatamente um valor de C  para cada valor de r . Algumas vezes, as funções são descritas em palavras. Por exemplo, a Lei da Gravitação Universal de Isaac Newton é, frequentemente, enunciada da seguinte forma: a força gravitacional de atração entre dois corpos no Universo é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Esta é a descrição verbal da fórmula:

a qual F  é a força de atração, m1 e m2 são as massas, r  é a distância entre os corpos e G é uma constante. Se as massas são constantes, então a descrição verbal define F  como uma função de r . Há exatamente um valor de F  para cada valor de r .

 D

Chegada das ondas P 

Tempo do tremor de terra

Ondas de superfície

9,4

11,8

minutos

minutos

0

Chegada das ondas S 

Tempo em minutos 10

20

30

40

50

60

70

80

T 

Figura 0.1.1

Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler (pronuncia-se “oiler”) concebeu a ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse modo, trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos ou tabelas. Para entender a ideia de Euler, pense numa função como sendo um programa de computador que toma uma entrada x , opera com ela de alguma forma e produz exatamente uma saída y. O programa de computador é um objeto por si só, assim podemos dar-lhe um nome, digamos  f . Dessa forma, a função  f (o programa de computador) associa uma única saída  y a cada entrada  x  (Figura 0.1.2). Isso sugere a definição a seguir.

 f 

Entrada  x 

Programa de Computador

Saída y

Figura 0.1.2 225 200 175 150     W 125   o 100   s   e 75    P 50

0.1.2 DEFINIÇÃO Uma  função  f   é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x , então a saída é denotada por f ( x ) (leia-se “ f  de  x ”).

   )   s   a   r    b    i    l    (

10

Figura 0.1.3

15 20 25 Idade A (anos)

30

Nessa definição, o termo única significa “exatamente uma”. Assim, uma função não pode produzir duas saídas diferentes com a mesma entrada. Por exemplo, a Figura 0.1.3 mostra um gráfico de dispersão de pesos versus idade para uma amostra aleatória de 100 estudantes universitários. Esse gráfico de dispersão não descreve o peso W como uma fun-

Capítulo 0 / Antes do Cálculo

3

ção da idade  A, pois há alguns valores de  A com mais de um valor correspondente de W . Isso é esperado, uma vez que duas pessoas com a mesma idade não têm, necessariamente, o mesmo peso. ■ VARIÁVEIS INDEPENDENTES E DEPENDENTES Para uma dada entrada  x , a saída de uma função  f  é denominada valor de f  em x , ou imagem de  x  por f . Muitas vezes, denotamos a saída de uma função por uma letra, digamos  y, e escrevemos

 y = f ( x )

Essa equação expressa y como uma função de x ; a variável x  é denominada variável indepen dente (ou argumento) de f , e a variável  y é denominada variável dependente de  f . Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que  x  está livre para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x , o valor correspondente de  y está determinado. Por enquanto, consideramos apenas funções em que as variáveis independente e dependente são números reais, caso em que dizemos que  f  é uma função real de uma variável real . Adiante consideraremos outros tipos de funções. 



Exemplo 1 A Tabela 0.1.2 descreve uma relação funcional  y = f ( x ) em que  f (0) = 3

 f  associa y = 3 a x = 0

 f (1) = 4

 f  associa y = 4 a x = 1

 f (2) = −1

 f  associa y = −1 a x = 2

 f (3) = 6

 f  associa y = 6 a x = 3



Exemplo 2 A equação  y = 3 x 2 − 4 x + 2

está na forma y = f ( x ) em que a função  f  é dada pela fórmula  f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 2

Leonhard Euler (1707-1783) Euler foi, provavelmente, o mais prolífico de todos os matemáticos. Foi dito que “Euler fazia matemática tão facilmente quanto a maioria dos homens respira”. Ele nasceu em Basiléia, Suíça, e era filho de um ministro protestante, o qual, por sua vez, já estudara Matemática. O gênio de Euler se desenvolveu cedo. Ele frequentou a Universidade de Basiléia e, aos 16 anos, Obteve simultaneamente os títulos de Bacharel em Artes e Mestre em Filosofia. Enquanto estava em Basiléia, teve a sorte de ser orientado um dia por semana pelo notável matemático Johann Bernoulli. Sob a pressão do pai, começou a estudar Teologia. Contudo, o fascínio pela Matemática era muito grande e, aos 18 anos, começou a pesquisar. Não obstante, a influência do pai era muito forte, e seus estudos teológicos persistiram; assim, por toda a vida Euler foi profundamente religioso e simples. Em períodos diferentes, lecionou na Academia de Ciências de São Petersburgo (Rússia), na Universidade de Basiléia e na Academia de Ciências de Berlim. A energia e a capacidade de trabalho de Euler eram praticamente ilimitadas. Seus trabalhos acumulados formam mais de 100 volumes in-quarto (folha de papel dobrada duas vezes) e acredita-se que

muito de seu trabalho tenha sido perdido. É particularmente espantoso que nos últimos 17 anos de sua vida, quando mais produziu, estava cego! A memória impecável de Euler era fenomenal. Mais cedo em sua vida, memorizou a  Eneida de Virgílio e, com 70 anos, era capaz de recitar a obra inteira. Além disso, podia dar a primeira e a última sentença de cada página do livro memorizado. Sua habilidade em resolver problemas de cabeça era inacreditável. Ele solucionava de cabeça grandes problemas do movimento lunar que frustravam Isaac Newton e, em certa ocasião, fez um complicado cálculo de cabeça para encerrar uma discussão entre dois estudantes, cujos cálculos diferiam na quinquagésima casa decimal. A partir de Leibniz e Newton, os resultados em Matemática se desenvolveram rápida e desordenadamente. O gênio de Euler deu uma coerência à paisagem Matemática. Ele foi o primeiro matemático a trazer toda a força do Cálculo para resolver problemas da Física. Fez contribuições importantes a praticamente todos os ramos da Matemática, bem como à teoria da óptica, dos movimentos planetários, da eletricidade, do magnetismo e da mecânica geral. [Imagem: http: