CALCULO MECANICO DE VANOS DESNIVELADOS En la mayoría de los casos, las líneas de transmisión recorren por terrenos ondulados o accidentados; por tanto, los vanos que forman parte de estas líneas, son también desnivelados y en ocasiones de gran longitud. A continu continuació ación n se expone expone el cálculo cálculo mecánico mecánico de estos estos vanos vanos partien partiendo do de la ecuación de la catenaria:
…(1)
VANO VIRTUAL FIG. 1 La longitud L del arco comprendido entre los puntos I y D, en función de la abscisa XI del punto I y de la distancia horizontal entre I y D es:
∫
…(2)
De otro lado, el desnivel entre los puntos I y D es:
En vista que: Entonces:
x D
a x I
…(3)
La Tensión en un punto cualquiera de la curva de abscisa x, es: …(4)
Sumando y restando miembro a miembro las ecuaciones 2 y 3 para relacionar la longitud y el desnivel, se tiene:
[ ][ ]
[ ][ ] [ ] [ ]
Teniendo en cuenta las relaciones hiperbólicas siguientes:
Y sustituyendo estos valores en las expresiones correspondientes a L+h y L-h, se obtiene:
…(5)
…(6)
Multiplicando miembro a miembro las igualdades 5 y 6, se obtiene:
De otro lado: a
L h L h L
2
Por tanto:
Por tanto
= =
h
2
,y
e
c
e
a c
2 e e a
a
2c
2c
2
…(7)
donde:
Longitud del conductor en un vano sin desniveles Desnivel
Geométricamente, se puede representar de la siguiente forma:
Las fórmulas aproximadas, considerando la curva de la parábola son:
DETERMINACION DE XI Y XD Conocida la tensión To y el parámetro C, la posición de la catenaria queda determinada calculando la abscisa XI del punto I. Entonces, a partir de la ecuación 3, se tiene:
Desarrollando el primer término del segundo miembro, se tiene:
De donde:
Haciendo:
…(8)
…(9)
La ecuación 9 se convierte en:
…(10)
Para resolver la ecuación, se hace:
…(11)
Aplicando las propiedades de la trigonometría a las funciones hiperbólicas, se tiene:
√ √ √ √ √
Sustituyendo valores y haciendo operaciones:
Dividiendo los términos de la ecuación 10 por
B
2
2
A , se tiene:
√ √ √
Esta última ecuación es equivalente a:
√
…(12)
El primer miembro de la ecuación 12 es el desarrollo de la expresión:
; Por lo tanto:
√
Sustituyendo estos valores en la ecuación 12, se tiene:
Despejando
:
…(13)
Según la ecuación 11:
Sustituyendo este valor de
De donde:
Despejando
en la ecuación precedente, se tiene:
:
Por tanto:
x D
…(14)
a xI
En consecuencia, las tensiones en los puntos de apoyo serán:
En el extremo izquierdo:
…(15)
En el extremo derecho:
…(16)
DETERMINACION DE LAS FLECHAS
El cálculo de la abscisa (figura 1) del apoyo izquierdo determinará si el punto más bajo de la catenaria será real o virtual, ya que podrá ocupar cualquier de las tres posiciones siguientes respecto a los apoyos del vano:
ABSCISA DEL APOYO INFERIOR Negativa Nula
FIGURA
POSICION DEL PUNTO MAS BAJO
POSICION DEL PUNTO MAS BAJO
2 3
Real Real
Positiva
4
Entre apoyo I y D Coincidente con apoyo inferior Fuera del vano ID
Virtual
VANO VIRTUAL
VANO VIRTUAL
FIG. 2
FIG. 3
FIG. 4
La flecha se define como la distancia máxima vertical entre la recta que une los puntos de apoyo del vano y el conductor. En la figura 5, la flecha es la distancia Mm. El cálculo de la flecha se hace aplicando la expresión siguiente:
En un vano nivelado se tiene:
…(17)
VANO VIRTUAL
FIG. 5 Con la denominación utilizada en las figuras 2; 3; 4 y 5, se convierte en:
…(18)
Siendo a’, el vano virtual de longitud igual al doble de la distancia horizontal entre el apoyo derecho y el punto más bajo de la catenaria. C
Como
T o w
, la ecuación 18 se podrá escribir de la siguiente forma:
…………………………….. (19)
Para calcular la flecha Mm (fig. 5):
’=2
a
Por tanto la ecuación, (19) se convierte en:
Es decir:
……… (19A)
Las coordenadas del punto m se determinan a partir de la figura 5:
=
+
=
-
……………………… (20)
…………… (21)
Luego, la abscisa
valdrá
…(22)
Y la ordenada será:
…(23)
Las ordenadas de los puntos D el de la figura 5 serán:
Por tanto, la ordenada del punto M de la recta ID será:
…(24)
Desarrollando la suma incluida entre corchetes, se tiene que:
Es decir:
[ ]
…(25)
Y teniendo en cuenta las ecuaciones 20 y 21, se tiene:
[ ]
Es decir:
() …(26)
La flecha
de la figura 5 será, entonces:
…(27)
La fórmula aproximada tomando en cuenta la curva de la parábola es la siguiente:
ANGULOS DE SALIDA DEL CONDUCTOR CON RESPECTO A LA HORIZONTAL
De acuerdo con la figura 1, se tiene:
; luego
…(28)
…(29)
De manera similar:
DETERMINACION DE LA SAETA (figura 1)
Si
Si
, el valor de la saeta está determinada por: ;es decir,
…(30)
…(31)
pero como
,
