Calculo integral y sus aplicaciones - Moisés Lázaro Carrión-.pdf

cálculo integral Y SUS APLICACIONES i%

r = —6cos0

r = 2 - 2cos0

I

A(R) =

Jt

r2dd 2jl/s

J ------------------------------------------------- ^

cálculo integral Y SUS APLICACIONES

♦ La antiderivada y la integral indefinida. ♦ Aplicaciones de la integral definida.

Moisés Lázaro Carrión

r

Estudios: Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de

la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).

Experiencia Docente:

Pontificia Universidad Católica del Perú Universidad Ricardo Palma Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad Nacional de Ancash Santiago Antúnez de Mayolo Universidad Nacional del Callao Universidad Particular San Martín de Porres

La presentación y disposición en conjunto de:

CÁLCULO INTEGRAL Y SUS APLICACIONES

Autor: Moisés Lázaro C. Son propiedad del autor: Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin la pre via autorización por escrito del autor y la editorial. Dec. Leg. 822. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N0...,: 2014-01136 International Standard Book Number ISBN N°...................... : 978-9972-813-80-1 Derechos Reservados © Tercera Edición: Enero 2014 Tiraje: 1000 ejemplares

Obra editada, impresa y distribuida por:

Distribuidora - Im prenta - Editorial - Librería

Impreso en Perú

Printed in Perú

d Cm ía, ñemtana y mache ejempiwc so c g s o e g & 'jo g s o c g s o c g s o e #

iv

PRÓLOGO Este libro expone las técnicas de integración de funciones reales de variable real y sus aplicaciones, explicados de una mane ra sencilla y fácil de entender. Es un gran complemento para los cursos que hacen uso de las integrales indefinidas y definidas tales como los cursos de Física y los cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias básicas. No es un libro de Análisis Matemático de las integrales de funciones reales de variable real, sino un libro de Cálculo Integral, cuya única finalidad es dar pausas precisas del buen manejo de las fórmulas elementales de las antiderivadas de las funciones polinómicas, racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. a su vez, explicar ios diversos métodos de inte gración. Para aprender el Cálculo Integral, sólo se requiere saber el algebra elemental y un poco de trigonometría. Este libro, se ha preparado pensando en los estudiantes que requieren aprender el Cálculo Integral, que se estudia en los pri meros cíelos de la Universidad o Institutos Superiores. En dos capítulos se cubren dos temas del Cálculo Integral: el primer capítulo se refiere a las técnicas de integración y el segun do capítulo se refiere a las aplicaciones del Cálculo Integral en lo que respecta al Cálculo de Áreas en sus formas rectangular, paramétrica y polar. Al final de cada capítulo se dan problemas propuestos que todo lector debe entrenarse. El autor.

VI

ÍNDICE CAPÍTULO 1 LA ANTIDERIVADA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA 1. Teorema del Valor Medio 1.1 1.2

Teorema de la función constante............................ Corolario (de la diferencial constante) .................................

02 02

2. La Antiderivada de una función 2.1 2.2

Definición........................... La Antiderivada general...............

03 03

3. La Integral Indefinida 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Definición......................................................................................... Regla de la Cadena.......................................................................... Propiedades Elementales de la Integral Indefinida........................... Teorema del Cambio de Variable en una Integral Indefinida............ Integrales Inmediatas........................................................................

04 06 06 06 08

4. Métodos de Integración 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5

Integral por Partes............................................................................. Integral por partes del producto de polinomios por arcos.................. Integral por partes del producto de polinomio por logaritmo............ Integral por partes del producto de polinomios con funciones trigonométricas.................................................................................. Integral por partes del producto de polinomios por exponencial Integrales por partes circulares ........................................................

49 50 60 67 75 78

5. Integración de Funciones Trigonométricas 5.1

Integrales del tipo I m n = j* senm¿u ■eosn ¡ud¡u................................

5.2

Integrales de las formas: Jsen A x • eos B x d x , j *sen A x sen B x dx ,

5.3

88

J eo s A x • eos B x d x ........................................................................

100

Integrales de las formas: í tgfjudju , J escn ju d j u .........................

101

vii

5.4

Integrales de las formas: j*secn //d// , J*cscn //d// .......................

104

5.5

Integrales de las formas: J íg m//secn //d// , j*c£gm cscn ¿u d ju

106

6.

Integración por Sustitución Trigonométrica...................................................................

110

7.

Integración por Fracciones Parciales................................................................................

120

7.1

Método Práctico de hallar A, B y C ..................

122

8.

Integral de Funciones Racionales que Contienen senp y c o sp ........................

13 9

9.

Integrales de Funciones Racionales de: senix, cos2x ,tg2x ...................................

142

10.

Otros Casos que se Presentan en la Integral V » , J i I R (sen x , c o s x ) d x

..........

143

CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA /.

Area de las regiones planas en coordenadas: Cartesianas, Paramétricas y Polares 1.1

Area en coordenadas cartesianas........................................................

211

1.2

Área de una región limitada por una curva paramétrica.....................

259

1.3

Área de una región limitada por curvas en coordenadas polares

279

Problemas Complementarios - Resueltos........................................................................... 296 Problemas Propuestos..................................................................................................................... 307

CAPITULO 1 I

II

á M

T i n t T P I I / A I mwMC l m l w

I I A

Y LA INTEGRAL INDEFINIDA Antes de hacer las respectivas definiciones de la antiderivada y la integral indefini da, es necesario recordar los siguientes temas:

t. TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si f ( x ) es una función continua en el intervalo cerrado [ a , b ] , y si / (x ) es dife renciadle en el intervalo abierto ] a , b [ , entonces existe por lo menos un número c, a < c < b tal que: f{c )= m h m t pendiente de A B pendiente de la tangente £ en x = c £ es paralelo a A B .

www.FreeLibros.org Moisés Lázaro Carrión

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO 1.1

TEOREMA DE LA FDNCIÚN CONSTANTE Si / (x ) es una función continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b [ . entonces:

í ' ( x ) = O si y sólo si / (x ) = k . k - constante. Este teorem a nos dice: si la derivada de una función es cero, entonces dicha función es una constante y recíprocamente, la derivada de una constante es cero.

Ejem plos : P)

Si

y' = 0 =>

donde

y' = ^

y= k y' = 2 x

Si =>

( y - x 2)' = 0

=>

(y - x 2 =C y=x

0

,

Si

+C

, C = constante y ” - É.JL y i2 dx*

y " = 12x (y f - 6 x 2 )' = 0

,

y’ = %

,

y = / (x )

y '- 6 x 2 = Q (y - 2 x 3 - Q x )' = 0 y - 2 x 3 - C xx = C 2 y = 2x

1.2

+ Q x + C 2 ; Q , C2 son constantes.

COROLARIO ( DE LA DIFERENCIA CONSTANTE) Sean f ( x ) y g ( x ) dos funciones continuas sobre [a,b] y diferenciables sobre

]a ,b [, entonces: f ,(x ) = g '( x ) , V x g ]a,b[ 2

si y sólo si

f ( x ) = g (x ) + C

La Antiderivada y la Integral Indefinida

Prueba (=>)

f'(x ) = g\x)

Por hipótesis:

;

a < x
{ f { x ) - g ( x ) Y = 0 .............................. Según el Teorem a 1.1 f(x )-g (x ) = C (<=)

f ( x ) = g (x ) = C

=>

Por hipótesis:

f (x ) = g (x ) = C

Derivar:

f '( x ) = g '(x ) + 0

Así queda:

f ' { x ) = g r{x)

;

V x e ]a ,b [

2. LAANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN —

2.1 Definición

------------------------------------------------------ ----------------------------------

Decimos que una función F ( x ) es una ANTIDERIVADA de otra función f ( x ) continua en un intervalo I, si se cumple: F !( x ) = f ( x )

,

V x e í

Ejemplos: (? )

La antiderivada de

f ( x ) = 3 x 2 es F ( x ) = x 3 , porque F ' ( x ) = 3 x 2 .

(T )

La antiderivada de

f ( x ) = c o s 2 x es F (x ) = ^-sen2x , pues F '(x ) = ^ 2 co s2 x F ' ( x ) = co s2 x = f(x )

0

La antiderivada de g ( x ) = =± 2

2~ - es G (x ) = j L n (x 2 - 2) pues:

= f(X }

2.2 U ANTIDERIVADA GENERA1 Si F(x) es una ANTIDERIVADA de f(x) sobre el intervalo /, es decir: Si F r(x) - f(x) sobre I. entonces la función. G(x) = F(x) + C es la ANTIDERIVADA GENERAL de f ( x ) . 3


Ejemplos: ( T ) La Antiderivada General de

/(x) = 3 x 2 es g ( x ) = x 3 + C FW

( T ) La Antiderivada

General de / (x ) = c o s 2 x es G (x ) = ~ s e n 2 x + C

(3 ^ La Antiderivada General de


General de

La Antiderivada

General de

-

g (x ) =

e s H (x )= lL n (x 2 - 2 )+ K •

•

/ (x ) = 5 es F (x ) = 5 x + C / (x ) = x es F ( x ) = +

C

( í f ) La Antiderivada

General de f ( x ) = ~ es F ( x ) = Ln|x| + C


General de / (x ) = y ~

(8 ^ La Antiderivada

General de /(x) = e 2x es F (x ) = -|e2x + C

(9 ^ La Antiderivada

General de /(x) = 3 e ~ 2x es F (x ) = ~-|e~2x + C

( w ) La Antiderivada

General de /(x) = x e “ x

es F (x ) = - 2 L n | l- x j + C

es F (x ) = --g-e~x

+C

3. LA INTEGRAL INDEFINIDA 3.1 DEFINICIÓN

-----------------------------------------------------------------------------------------

Se llama INTEGRAL INDEFINIDA de una función / ( x ) , a la antiderivada gene ral de la función. Es decir, si f ( x ) = F '(x ) , V x e / entonces:

G (x ) = J f ( x ) d x = F ( x ) + C t

1—

,

V x e l

D e n o ta a todas las antiderivadas d e ¡a fu n c ió n f ( x )

L a Antiderivada y la Integral Indefinida

Ejemplos: 11

i\ x 2 dx =

+C

J e o s 3 x dx =

(D

J«

0

[

5)

sen 3 x + C

dx = - i e ' 3x + C

dx = -\Jl - x 3

J -^ = d x = -2 VT^x + C

Nota:

,

,

~1 < x < 1

x < 1

La integral indefinida es el proceso de hallar ¡a antiderivada general

De la definición:

se deduce

I

/ (x ) = F (x ) + C

,

Si F ' ( x ) = f ( x )

J / (x )d x = /(x)

Usando diferenciales, si d F (x ) = F '{ x ) d x :=>

J d F ( x ) = F (x ) + C

í

F '(x )d x = F (x ) + C

5


3.2 REGLA Di LACADENA La regla de la cadena, es:

j* f ( u ( x ) ) u ' ( x ) d x = F ( u ( x ) ) + C

Ejemplos: j * ( l - x 2 ) 3( - 2 x ) d x = -^ -(1 -x 2 )4 + C u (x ) = 1 - x 2 l/ ( x ) = —2 x <--------------deriva d a de u respecto a x.

du

=

u '{ x ) d x

<

diferencial de u es igual a la d eri va d a d e u p o r el diferencial d e x.

j — ^ -y (-2 x )d x = L n ( l - x 2 ) + C j 1 X

,

-1 < x < 1

u (x ) = 1 - x 2 u '(x ) = - 2 x

,

du = ju'{x)dx

3.3 PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA ®

í c f (x )d x = c J / (x )d x

®

J[/{x)-fc g (x )]d x - J / ( x ) d x r j* g (x )d x

(3 )

J [a / ( x ) + b g (x )]d x

c = constante real

a J / { x ) d x ± b J g (x )d x

3.4 TEOREMA DEL CAMDIO DE VARIADLE EN UNA INTEGRAL INDEFINIDA Sea la composición de las funciones/y u expresado por z = f{ u { x ) ) , donde:


/

I

*

x

■* y = u(x)

J

* c ■* z = f { u { x ) ) , I y J son intervalos

z = f(u )

y = u(x)

Las hipótesis son: 1) f(u ) es continua en J. 2)

y = u(x) tiene derivada continua con inversa x = u * (y) sobre I.

3)

u '(x) = 0 , V x € I .

4)

Rang(u) = u{I) a J .

Entonces, para y e R a n g (u ), se cumple: j*/ (u (x ))u '(x )d x = J*/(u)du

,

u = u (x ).

Ejemplos:

(T)

J x - ( i - x 2 )5dx= J x V - ^ r donde :

1- x

O

= ¿u

- 2 xdx = d/¿

¿ / + C

= - i ( l - x 2 )6 + C


®

jl x6* Jl +

x

Hacer : 3x

+ U 3)2 *

Jlíí-2'

Sx2 ~ 3

jl

+M /Z l+

3 arctS u + C 3 i- arctg x 3 + C

= ju

dx = d¡u dx - — -d/Li 3x

© J& -Í

l + x

2 (1 + x 2 ) du = j e 11 -d u = e u + C g arctg x +

Hacer :

q

arctg x = jli —ó-dx = djU 1+ X' dx = { l + x )d fi

3.5 INTEGRALES INMEDIATAS IN T E G R A L D E LA D IF E R E N C IA L D E U N A V A R IA B L E

dx = x + C

Se lee: “La integral del diferencial de x. es igual a “x Ejemplos:

0

Jdd =
(T )

J 3 dy = 3 Jdy = 3 y + C

(2 )

J*cit = £ -f- C

©

j .d A

©

j.d l = l + C

©

du = v + C

= A+C


IN T E G R A L D E LA P O T E N C IA D E LA F U N C IÓ N ID E N T ID A D

®~l í

xndx -

n+ 1

+C

I S í ? lee "L a integral de x " c-'s ig u a la x " : i d ivid id o en tre n ~ - l j siem p re q u e n --2 . D o n d e }{ <) -■ x es la fu n ció n identidad.

E jem p los:

(Tji

(0

Jxdx = ~ + C

4/2 +1

J y fx d x = J x l! 2d x =

1/2 + 1

"p "

O

J

4

(D

( 0 S J — ^ -d x -s jx

j*2x' 5dx = 2J V 5dx = 2

+c

= f x 3/2 + C

x Jdx = 0 - + C = 4 + C 3+1

+c

. 3 0

0

3//5d>

+C - 3 0 = f

2 ^ +C

| -% d x = 5 J x “8dx i -8 + 1

7x ’

;y fé $ $ isa g a p g m g s3a B a g a ¡3B sa s85i¡sigi^

+ C

c

- 0 _

3

“

V 2

J*

1//2dx

x - V 2* 1 | r - 1/2 + 1

+C

x 2./ 5+ C

+C

0

C

+

=-fVx +c 42 = 3>/2 V í + C

C

Moisés Lázaro Camón

J*[2x2 - i x ~ 5 V x ] dx = 2 J x 2d x --~ J x d x - 5 J x 1//2d xó 3

1 y

5 ^3/2

■1f Xv 2

10 v-3/2 3 X

3

2

% r+c +c

IN T E G R A L D E LA P O T E N C IA D E U N A F U N C IÓ N C O M P U E S T A

m +1 dju = — — =— + C | jum ^ r m +1 ,,

©

Se lee:

me M m ^ -1

“La integrul de ,ii'n es iguala //""'1 dividido entre m ■+ 1 :: siempre y cuando exista la derivada de la base f i ”. D o nde lí " es la potencia de ¡a función compuesta //.

|O b s e rvación:

j

Si no existe la derivada de la base //, entonces no se puede utilizar la fórmula (3 )

Ejemplos: (T )

/ ~ J x y¡4x2 - 5 dx

I

Solución: La base es El diferencial de ¡a es

i a 1/2 +1

8 1/2 + 1

// = 4 x 2 - 5 d¡u = 8 x dx dx = ~ d ¿ u 8x

sustituir en /:

V2 O .,dju = 4 J © 2 d//

+c

iid ü + c 8

3/2

//

c

x

2 - 5 ) 3/2+ C

1 . 1 „3 / 2 8 3

¿ ( 4


Calcular I =

J

sustituir en I :

\Ji~ 3x dx

1= j V /2(~^)d//

Solución: ¿n ~ 1 - 3x

La base es:

= “ 3 J dg = - 3 dx

su diferencial:

dx = --gd// = —| ( l - 3 x ) 3/2 + C

Nota: Para evitar muchas sustituciones, recomiendo hacer dicha integral di rectamente sólo averiguando si existe la derivada de la base p. Cuando al derivar la base. faltase sólo una constante. entonces en el resultado de ¡a integral escribimos multiplicando el inverso de dicha constante.

■«■■v' « ■

($ )

....

m»

Calcular / = J x 2 ^ 2 - 5 x 3 dx .

Solución: La base es: g = 2 - 5 x

o

o , su diferencia es: d/r = ~15x d x .

Como vemos, dentro de la integral no existe la constante -1 5 en consecuencia agregamos en el resultado, la inversa de -1 5 que es •—

.

Así tendremos: /= J x 2

3/2_ 5 x 3dx 1 ( 2 - 5 x 3 ) 1/3 + 1 . ^ — -15 1/3 + 1

= J x 2 ( 2 - 5 x 3)1/3dx t

Entonces:

La derivada de

= - L | ( 2 - 5 x 3 )4/3+ C

2~5x3 es - 1 5 x 2 = - ■ ¿ ( 2 - 5 x 3)4/3+ C

= _ _ L J(~15x2 )(2 - 5 x 3 ) 1/3 dx

_

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11


Calcular:

« r

/

3 x 2 dx

Solución:

©

Calcular:

/ = |-pJ====r dx j y 3 —4 x

Solución:

La base es

:

Su diferencial e s :

// - 1 - 3 x 2

Hacer:

/-

| ( 3 - 4 x ) 2dx

d// - ¿ 6 x d x

4

^— Falta

Dentro de la integral falta el número -6. entonces al integrar, se agrega

Al integrar, hacemos

.

1

1

Así tendremos:

4

/= Jx (l- 3 x 2)^4dx

»

2

Calcular:

í 1 • 3XÍ! } • - C

1

+C

í

I

dx

Solución: Hacer:

5 } Calcular:

/ = |x ( 4 - x

) 2d x

\-2)x

/ = J Se n 2 x c o s ^ 2 x d x

^

Falta

Al integrar, hacemos:

Solución: La base es:

// = eos 2 x

1

/

2

Su diferencial es d/i - - 2 s e n 2 x d x Falta

í

I sen 2 x eos

l

eos' 2 x

~2

3

{4 - x 2 ) 2

+l

_i + 1

-> / í x 2 + C

Luego: J=

4.

iV 3 ^ 4 x + C

*c

1 (1 - 3 \

- i 4t

(3 - 4x) 2

Calcular:

2xdx

+c

- eos3 2 x + C 6

I ~

í yj 3 - 2 sen 2x

Solución: Pero: / = J eo s 2 x (3 - 2 sen 2 x ) l ! 2 dx



pi = 3 - 2 s e n 2 x

La base es:

dpi = - 4 eos 2 x d x

Solución:

=>

-Falta

Luego:

1 = J eos 2 x (3 - 2 sen 2 x ) 4/2 d>

1

Luego:

7=

11J Calcu lar:

d tg d d d

7-

7 = I s e n 3 x eos 3 x d x

Solución: pi = eos 3 x

La base es:

d/r -

i r 1- *

- 3 se n 3 xdx t

Al integrar obtenemos:

Solución: Hacer:

0 dd

2

-V 3 --2 s e n 2 x + C

Calcular:

J-jsec

o

-1 + 1

4 (3 - 2 s e n 2 x )2 + C

9j

dpi = sec

/= i¿ £ + C

(3 -2 s e n 2 x ) 2

-4

p i-tq d

La base es:

7 = _icosl3x + C

7 = J (4 - x )

dx

= - ¿ e o s 4 3x + C

pi = 4 - x

La base es su diferencial

d/r = ~1 dx

(12JI Calcular:

^— "Falta

Al integrar agregamos la inversa de -1 ,

í

7

Solución: La base es:

que es -1 .

Lnx 2x

dx

// ----- Ln x du~~—d x

Así obtenemos: (4 - x )

2

Pero:

Í =* j i 2 * d x

Integrando:

I -■ ~

+C

-4 + 1

I = -2 ji-x + C

2

2

+ C

4- L2n x + C

4

®

Calcular:

I ~ J s e c 2 0 tg 6 dd

13J Calcular:

7=

| cos2 xsen

!■

2xdx

13



Solución:

A l integrar:

La base es:

// - sen 2 x d/v - 2 cos 2 xdx

Al integrar, obtenemos:

tg4 <9+ C

I =

(16) Calcular:

2 x dx

Solución:

/ = 15£!¿2S. + C

I - ^sen 4 2 x + C 14)

/=

Pero:

/=JíL!f)V2*

Luego:

/ = -4- — -|XI- —

-2

Calcular:

~2

1 = j e 2x ^ (4 - 5 e 2x)2dx

r +1

+C

= - £ (1 - 2 x f ! 2 + C

Solución: Pero:

I = J e 2x (4 ~ 5 e 2x f í 3 dx -10 e

(Í7 )

Calcular:

/=

J sec4 9 t g 9 d 0

Solución :

Falta

Hacer:

Integrando

I~

Jsec3 d ís e c é 't g 0 ) d 9

-i / = - fñ

| ó---+1

-10

+C

La base es:

// = sec d d/u - se c 0 t g 0 d 0

^ ( 4 ~ 5 e 2x) 5/3 + C Luego, la integral es: 15)

Calcular:

La base es:

1 = Jtg3 6>sec2 dd#

/ = ~ s e c 4 <9+ C

// = tg <9 dju = sec2 0d 9

14



IN T E G R A L D E L P R O D U C T O D E U N A C O N S T A N T E P O R U N A F U N C IÓ N I a ■ju{x) - d x = a | ju(x) ■dx

4 )----

Se lee: “La integral de una constante a p o r una función, //(x) es igual al produc to de la constante a multiplicado p o r ¡a integral de la función /.j{x)

Ejemplos: ©

Calcular: / =

j*5 J l - x

dx

Por lo tanto:

•+c

Solución: 1= 5

y

V I-x d x

_

3 /c

1 v-2

5 | ( l ~ x ) 1/2dx -i

©

Calcular:

/ = j*3csc2 0 c tg d dO

i

= 5 a - (1- 4 2 - + c -i

Solución

= - i 2 ( l ~ x ) 3/2 + C

(2 ^ Calcular:

5 - ~ x 2 dx

/= ílx

= 3

u - ctg 0

La base es: .-=>

Solución: I-~

J x ( 5 ~ ~ x 2) ^ 3cíx

Jcsc:

Luego:

d u = - esc 0

I ----- 3 -y

+C

----- - d3 ciof'U - C 2

La base es:

// = 5 - -- x 2 dju = -•§ x d x Falta - - | dentro

©

Calcular:

J=

Solución:

de la integral.

I - J L J ( 3 - ^ x ) V 2d, V3


xdx

Moisés Lázaro Cerrión

La base es =>

Luego:

¡u = 3 - y ¡ 3 x

1

djLi = - ^ 3 dx

(3 -S x flz 3/2

-S

+c

x/3 x ) 3/2+ C

f(3 -

IN T E G R A L D E U N A S U M A // = //(x)

j * ( / / + v )d x = j*//dx + J v d x + C

© ~

V = v (x )

Ejemplos: IJ

x)

Calcular: I

o

dx

Calcular:

í

( x 2 - 5 )2

dx

Solución :

Solución:

f X4

W m = j* (x - 2 x V x 4 x 2 )dx / = J x d x - 2 J x 3¡ 2dx + J x 2dx „ x2

/

o x ^ 2 , xJ , p

~~2~ ¿ ' W

- 10 í x ^

- J x 7//2d x - 1 0

r' T + L

= ¿ - i xV 2 + 4 + c

(6 )—

' J^

10x2 < 2o ,

=■

j*x

25 J i ‘f e

3/ 2d x + 2 5

Jx

_1^2d x

x 9/ ? - 4 x J/ 2 + 5 0 x l!2 4 C

Í£ (/(x ))d x = / M

+ C

Ejemplos:

O í ^ { 5 x z + 2x-3)d x = 5xz + 2 x - 3 + C

(T | J - ~ ( 2 x - x 3 +e5C)dx = 2 x -x 'í +ex +C

.41 l-^-(Lnx-3x)dx = L n x -3 x + C

í

16


)dx = sen2x - 5 x 2 + C


] S e lee:

df,i

Lr¡ j /./J + C

/i = ij(x )

"la integral da una fu n c ó n Hftf iONAL ¿:n éi ■./v-.. C deriuuir. i de! denom inadni c\isic en a mer e: :<\-r

lUTMi >XXi".

'■

c.

;

V del I tenc>n;:i ¡i i. ;Y>:‘

E jem plos:

CD

Solución:

I = J~dx

Calcular:

H duuond’iador es Solución:

I — L n jx j + C

/■ ,:1 da

Su diferencia) es:

(T )

1= J

dx ~ L n |x - 1 i + C

(3 ^

Calcular:

I = J ---y --—' dx

dx

o.v"

-9.v‘v/x

-■ — - - - - d e

j * .

S u s !in .¡ir a i i ¡ : /

Solución: //= 4 x

-5

r

=>

-

■ ’ ;

í 1

8

Calcular:

I

— dx

í:

Solución:

f da

J *

= — Ln| p\ + C = - L n | 4 x 2 -5 | + C

Calcular:

v ; L n j 4 - 3 x '- ¡ + C

d x = -§~d/./

=

(4^|

cM-ni/d ■■■ C

d// = 8xdx

su diferencial es:

Sustituir en /

2

a

El denominador es

í = j*

5x¿ 4 - 3xc

-dx

// - 3 —4 z

El denominador es su diferencia! es:

2x

d /./ = - 8 € 2x dx j ' I— falta

existe

dx = — ~~du


-8 e

'


Solución:

Sustituir en I :

í

Pero:

-8e 2x dV

M

1

1 8 Ln |//1+

//

C

7

// = 4 - 3 V x du = —4=-dx

D on d e

J5

7

2e 3'

-dx

En este caso, escoger

4 - L n | 3 - 4 e 2 x |+ C

Calcular:

4 - 3 Vx

dx

Solución: En este caso la derivada del denom ina dor no existe en el numerador, pero

2Vx

h

—

¡- Á

—l—r/v

í— Falta Integrando:

I =

L n j4 - 3 V x | + C

haciendo una simple operación alge braica en el denom inador obtendremos su derivada.

( 8 jj

Así

Solución:

5— ~

-dx

3e 3x ■dx 5e3x -2 El denominador es

// = 5 e 3x - 2

Calcular:

x {3 - 2 Ln x )

Pero:

7

Si

// = 3 - 2 Ln x

í

3 - 2 Lnx

dx

d u - ( - 2 ) —dx l

Falta

d/j = 1 5 e3xdx

su diferencial es:

dx =

Sustituir en / : 7

\ 15e x

f 3e3x "J

"

1 -dju 15e3>

_ 3 f dfi 15 1 M

Integrando:

/ = 4 j L n j3 - 2 Lnx| + C

Calcular: 7 Solución: El denom inador es

í yfx (4 -3 -Jx) dx

co s3 x 3 - 2 sen 3 x

dx

d// = ( - 6 ) eos 3 x dx

Í L n | 5 e 3 x -2| + C

7

í

/j - 3 - 2 se n 3 x

i Ln [//1+ C

Calcular:

dx

1

Falta

Integrando: 7 =

18


L n j3 - 2sen3x| + C


QOJ

Calcular: I

i

5 sec^ 2 x 3 - 2 tg 2 x

dx

(jí)

Calcular: 7 = f -A - 3x dx

J 2x - 3 x

Solución:

Solución:

J

J= 5

H - 2 x -3 x 2

dx

3 - 2 tg 2 x

dju = (2 - 6 x ) d x = (2 )(l- 3 x )d x

1

El denom inador es: // = 3 - 2 tg 2 x

r>

d/n = ( - 4 ) sec 2 x d x

su diferencial es:

Integrando:

paita

7 = -g- Ln| 2 x - 3 x 2 1+ C

L — Falta

Integrando:

7= 5

Ln 13 - 2 tg 2 x |

j -2^-dx x- 3

©

_ lñ _ )c/x

J ( 2x + 6

x - 3

x 2 + 6 x - 1 8 L n | x ~ 3 | 4- C | L n | 3 -2 tg 2 x | + C

-En este caso, prim ero se divide. Esto se hace cuando ei grado d el polinom io num e rador es mayor o igual al grado del deno m inador.

IN T E G R A L D E U N A E X P O N E N C IA L

jl L

(? }—

Ln a

+c

La integral de la exponencial a fl es la misma exponencial dividido por

L n a , siempre que exista el diferencial del exponente p .

Ejemplos: (i)

7 = | 2 3~2xd x - ^ 2

3~2x Ln2

4 -C

í

7= I sen 3x5

3 -4 c o s3 x

dx =

=>

d// = ( - 2 ) d x Falta

Ln5

■4 C

1 c 3 -4 c o s3 x 4-C 12Ln5

¡u ~ 3 - 2 x

Pues:

1 5-

12

p = 3 - 4 eos 3x

Pues: =>

dp = (12) sen 3 dx -Falta

19



~2x

(3> / = Je~2x7 e

2

— o~2x

— 11.

7

2Ln7

J V '* ' J

dx = J - 2 l — - + C Ln7

■J

~

4- C

+ U

=>

3

¡

( ax ~ h x ) 2 ax b :

x_ — _ o 5^~y *Zi'J* _/ "á "p^ T •« .i p

Vx

2 yjx

a 2x - 2ax bx + b 2x ax b:

í

2x + -

“ ~ ' Ln( ; )

5 barct3>

l +x2

// = arctg x

d//

J I( íf - 2+L f J*

M f)

í

■dx

2 + ¿ i| d x aJ

(f)'

Ln5

Pues: jLl = yfx => dju = —y=?dx

■d x

Solución:

í

Ln a

Ln a

d// = ( - 2 ) £ ~'¿xdx [——Falta

J

-1/2;

la j/ Ü ^ a ^ +C

// = e - 2 x

Pues:

3/2 x __

o l í ___ L . |dx ax¡2 '

a*l*

Luego:

l +x I

= ^

•dx b arctgx

+ C

4-C

IN T E G R A L D E U N A E X P O N E N C IA L S IM P L E

d>—

í € ;'d/y = e M + C

// = p ( x )

S e ¡ee "La integral de una exponencial simple, es la misma exponen cial. siempre y cuando exista la derivada del exponente"

Ejemplos:



, 2 x;e3~ ^ ? * d x -

+c

©

í= | ^ - d x - = 3 | ^ d x = 3 ( 2 ) [ ¿ xj + C

Pues: /¿ = 3~ cgs2 x => d¿u =(2 )sen2xdx '■ -— F a lte

©

' ‘J e

-I

= 6 e ^ +C

■dx

Pues

J * + e " 2>- T e

//=

Vx

d//

yX

•Falta

e

Z

= 4 Pues:

-W x

)dx

■±e -3 x - ± e - 2x - e "K + C o

- ^

3 r3 2

dx

i ? : ! r iR i+ c

// - e x •=> dju = € x • d x

IN T E G R A L D E F U N C IO N E S T R IG O N O M É T R IC A S sen judju = - eos // + C

La

in te g ra ! d e !

i,en//

es

ig u a l a m e n o s c o s e n o ,

s ie m p r e

r u a n d o e x is ie la d e r iv a d a d e ! a r c o a .

i;

1

E je m p lo s i

©

-= i I sen 2 x dx

= - -- eos 2 x +

C

© ' = /

Pues el arco es: ju = 2x => d¿/ = (2 )dx "t" L

El arco es: ¿t;

)dx = ?

4 - xJ t© d/t - -3x~ dx

Falta

xsen (3 -2 x 2)c6c = P c o s (3 -2 x ¿) + C Pues el arco es:

3 x ~ s e n (4 - x

:=s dx ■■■-—-—du Lueqo / - i 3 x “ sen //—---.jd// - j* sen // du -

- eos //) -/■C

//= 3 - 2 x 2 => d// = - 4 x d x dx = - ~ d g

- COS / / -T C

-- c o s (4 - x 3 ) t C

21



(4 ^ 1 =

j e

2 x s e n (5 + e 2x ) d x = - ~ { - e o s ju )

Luego:

/ = ^ (-c o s (3 -5 s e n x )) + C = íleos ( 3 - 5 se n x ) + C

ju = 5 + e~2x => d/,¡ = -2e ~2x = ^-cos(5 + e “ 2 x ) + C (^ / =

( $ ) I = J e o s x sen ( 3 - 5 s e n x ) dx = ?

J*i~sen(2 ~ 3 Lnx)d>c = ~ c o s (2 - 3 Lnx)

ju = 3 - 5 sen x

El arco es: =>

//= 2 - 3 Ln x

Donde:

d u ~ -3-i-dx r

dju = ( - 5 ) eos x d x

X

d x = ——d//

L — Falta

Ejemplos: (T )

J = J c o s 5 x d x = is e n 5 x + C

El arco es: /¿ = 5 x

(2 )

=>

(T )

d/i = 5 d x

= 2 J ^ c o s (l-3 > / x )d x = 2 ( - f ) s e n ( l - 3 >/3) + C

1 = J eos 3 0 d $ = ~ Sen 3 0 + C

El arco es:

// = 30 =5 dju = 3dd

/ = J -^ c o s (l-3 \ / x )d x

El arco es: ju = l - 3 ‘J x

(T )

=> dju = ~3-~lj~dx

I = j* e ~ 2x eos (3 + e “ 2x )dx

2v x

/ = -| s e n (l- 3 V x ) + C = 4>sen (3 + e ~2x) + C (¡5 )

El arco es: ju = 3 + e ~2x => d// = - 2 e “ 2xdx

/ = J ~ co s(2 --| L n x )d x = —|sen ^ 2 - - | L n x ^ + C

22



El arco es

/ = J c o s (2 -d )d d = - sen (2 - 6 ) + C

g = 2 ~ ^5 L n x 3

■=> d// = ~ 4 ” CÍx 3 x

El arco es: // = 2 - 0

J x c o s (2 - 3 x 2)dx = —~ sen ( 2 - 3 x 2) + C El arco es: g = 2 - 3x

=> d g - ~d0

I-

9J / = j eo s( 2 6 ) d 6 = ~ s e n 2 0 + C

=> dg = ~6x dx

í

101 / = \cos{7ra)da = ~ sen (;ra r) + C 1= |x c o s ( l - x }dx = - ~ s e n ( l - x El arco es: g = l - x 3

)+ C

dg = - 3 x 2dx

í -- J tqhQ dd = -g- Lnjsec5/9J + C El arco es:

I = J -J L tg (3 -5 V x )d x

g = 50 => dg = 5d&

= 2 J - ^ = - 5 t g (3 - 5 V x )d x

I— Falta el 5

(2^

El arco es:

I ~ j*tg3 xd x: = ^ L n js e c 3 x j + C

g -3 -b 4 x

El arco es: // = 3x => dg = 3dx

/ = 2 ( - | ) L n | s e c (3 - 5 > / x )| + C

Jxtg(2 - 5 x 2 )d x

= ~“

2-s¡x

Luego:

1— Falta el 3

/=

= > dg = - 5 - d ~ d x

J = - f L n | s e c (3 ~ 5 V ^ )| + C

L n ¡sec(2 - 5 x 2)j + C

El arco es: g = 2 - 5 x 2 => dg = - lO x d x

0

/=

J t g (5 -2 d )d < 9

= —~Ln|sec(5-2<9)| + C

23



El arco es:

(7 )

p = 6 - 2 0 => dp = —2d9

/= JV * t g (3 +2e-*)c¡x

L Falta el -2

(T )

7 = J s e n 2 x t g (l - c o s 2 x )d x

= ~ ~ Ln|sec(3 + 2 e ~ x }| + C El arco es: p = 3 + 2e ~x => dp - ~2e "~xdx

= ~ L n | se c (l-c o s2 x )| + C

(8>

El arco es: p = 1 - cos2x => dju = 2sen2x

J= jV tg (3 - 2 * )d x = ~ T n 2 L n !s e c ( 3 ~ 2 X )| + C

^ Falta el 2

El arco es: p = 3 - 2 x => d/r = ~ 2 x Ln2dx

(o )—

Jctg/rd// = Ln|sen//¡ + C

r j La integral de ¡a c o fg // es ígua/ a/ logaritmo natural de sen//, siem pre y cuando existe la derivada del arco p . ¡)

/ = Jcotgód dd = -i-Ln¡sen6d| + C

41

/ = J c o t g (4 x -l)d x

El arco es: ja = 60 => dp = 6d6

J=

= ^ L n | s e n (4 x - l)¡ + C El arco es: // = 4x - 1 => dp = 4dx

íI cotg(2 ~ 3 d )d d -|Ln|sen{2 ~3d}| + C

/=

El arco es: p = 2 - 3d => d// = -3dd

/ = Jcotg(3 - 6 ) d 0

I x 2c o t g (3 ~ 5 x 3 )dx

í=

■jL Lnjsen (3 - 5 x 3 )| + C El arco es:

= -Ln|sen(3 - d)j + C

// = 3 - 5 x

El arco es: p = 3 - 0 => d// = -ld d

24

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=> dp = -1 5 x dx


I = J x c o tg x 2dx = ~Ln|senx2 [ + C

Entonces: / = —|Ln|sen(3 + V l - 3 x ) j + C

El arco es:

¡4 = x 2 =>

dju =

2xdx

/= Jcotg3ydy = —Ln|sen3y| + C

Q )

1 = J ic o tg (3 - L n 2 x )d x El arco es: = -L n | s e n (3 ~ L n 2 x )| + C El arco es:

( i - 3y => d/¿ = 3dy

/= J cotg(2<9- l)d¿?

^ = 3 - L n 2 x :=> d (i = - - ^ d x

= ~ Ln|sen(2é?-l)| + C

-d x X

(8 ^ / ~ j*-j=rL™r c°tg(3 + V l - 3 x )dx = ?

El arco es: ¡.1 = 2 6 - 1 -=> dju = 2d6

El arco es: (i = 3 + V i - 3x => d//-

2 %/l - 3 x

dx

Jsec//d// = LnJsec/^ + tg/./| + C

(T )

l

I = I sec9ydy

I = Jsec3é?dd = |-Ln|sec3d + tg3d| + C El arco es: (4 = 26 => d/i = 3dd

(D

i=

El arco es:

a -f

( i = 9y => d// = 9dy

= | s e c ( l - 2y)dy

| sec5 x d x -g-Ln¡sec5x + tg 5 x j + C

El arco es:

L n | sec9y+ tg 9 y ¡ + C

( i = 5 x => d (i = 5 dx

ÍL n js e c ( l- 2 y) + t g ( l - 2 y)j + C

El arco es: ( i = 1 - 2y

d (i = - 2 d y

25



©

Pero

= J sec 2 OdO

í

Ln|sec 2^ + tg 2^) + C El arco es:

jlí

Calcular:

sen 9 - 1

(l~ 3 s e c 2 d )d d

eos2 3#

f( sen 30 eos

J

3 0 - sec 30 ) dO

_ i Ln |sec3e + tg3é?j + c

=

I = Ln jsecdj - Ln|secd + tg d j + Q c • sec #

J

í

I = J*tg<9 íg 6 d0 d O -- J sec 0 dd

/ = Ln

V eo s2 #

I - d -3 -| L n | s e c 2 d + tg2d| + C

eos 6

sen 6 _ 1 )d 0 eo s# eos#

j

\

3 rfn eo s2 # / U U

J

I = J d d - 3 J s e c 20 dO

í>

I

Pero:

I

= 20 => dju - 2dd

í = J

f / eos 2# _

I

= ~ sec 30 - ^ Ln |sec 30 + tg 301+ C

, si Ci = L n c

sec # + tg #

J = J*-Lsec(2-3 L n x )d x Hallar I

í

co s2 # - 3 eos 2#

©

1-

-

d0

í esc

L n | sec(2 -3 L n x ) + tg (2 -3 L n x )| + C

ju d f í

í

|csc2ddd

~ Ln|csc2d~ctg2d| + C El arco es:

= Lnjcsc // - c tg jlí | + C

(3 ^

M = M(x)

I - Jcsc

dx = ?

El arco djLJ - “

j j = 2 Q => d¿u = 2dO

b dx

Entonces;

©

/= J

csc4 d d d

/ = (0 -b)Ln|cSc ( 7 sT ) - c t g ( í f 5 ) U c

— L n jc s c 4 d -c tg 4 d | + C El arco es: ¡j = 4d => dju = 4 dO

J


(eos fox + s e n h x j' sen bx

dx = ?


Pero: j

_

I1=

J< J(

Jcsc3(9d0~3 Jsen30cos23Odd

t i eos2 bx

+

sen2 bx + 2 eos fox sen fox i ^ sen fox

1 + 2 eos bx

sen bx

senbx

i~Ln|csc30~ctg3(9| - 3( -■! j

dx

i Ln|csc30-ctg30j + --eos3 3 0 + C

f ( —i¡—+2cos b x )d x

J \ senbx

+q

/

í

sen 2x

5 sen2x

cos2x sen2x

i = | | ^ lH ^ i| d x .

J*escbxdx + 2 J*eosbxdx

= -i-Lnj esc bx - ctg bx |+ -sen bx + C

Pero:

jdx

í

1 = j (5csc2x-ctg2x)dx

©

sen3¡9 - 3 sen

'= {

30 eos 30

sen2 30

Pero:

7j

í

sen30

3 sen3 30 eos2 30

sen2 30

sen2 30

í 0

| Ln|csc2x-ctg2x | - j Ln|sen2x| + C

de

l-

de

sec

J sec 2 5 0 d / / = - jk g 5 0 + C

El arco es: / / = 5 0 ■=> dju = 5 de

í

I = le s c(ri7re)de

O

- L n jc s c ( n / n 9 ) - c tg ( r ¡ ; r 0 ) | + C

ja dju. = tg jt + C

= Mx)

e

/ = |i z l ^

fc ie

í

eos 2 30

i

1

2 e o s 30

eos 30

eos 30

.2

(sec 3 0 + 2 sec 3e)dO

(D

í= j

sec ( 1 - 3 e)d O

í-

Integrando:

= -4- t g ( l - 3 0 ) + C

I -■i-tg30 + 2-l-Ln|sec30 + tg30| + C

El arco es:

// = 1- 30 =>

dg = -3de 27



f — |— c£x = 4 f — \— dx J eos 3 x J eos 3x

( 7)

/ = J( 1 + tg 2 x )2 dx (1 + tg2 2 x + 2 t g 2 x )d x

= 4 J sec2 3 x d x 4 ~ íg 3 x + C

sec 2 x + 2 t g 2 x )d x

~ tg 3 x + C I

El arco es: j u ~ 3 x => d/i = 3dx

= Jsec2 2xdx + 2 Jtg2xdx =

© Í=J :

x 2 sec2( 3 - 2 x á )dx

tg 2 x + 2 - Ln|sec2x| + C

= i tg 2 x + Ln|sec2x( + C

= - ltg (3 - 2 x 3)+ C El

5x

arco es:

ju - 3 - 2 x 3

3 - 3 sen2 (1 - x ¿

dju ~ - 6 x 2dx

•dx

_____ 5x_____ dx 3(1 - sen2 ) (1 - x 2 ))

(?)

;= J

€ ¿ x sec2 (5 + 3 e 2x )dx 3

4 t g (5 + 3e~2x ) + C

//=5 + 3e~~2x => d// = - 6 e ~ 2xdx

/= Jcsc2 a x d x

= - i

/

e o s2 (1 - x 2 )

dx

~ Jxsec2{ l - x 2 )dx

El arco es:

(n>—

íJ

- ft g (l~ x 2)+ C

esc judju = -c tg fj + C

ctg ax + C

©

I = Jcsc2( a - b x ) d x = - ¿ (- c tg (a - b x )) + C

El arco es: j j = a x => d/r = a d x

= ¿ c t g (a - b x ) + C El arco es: /j = a ~ b x => d f i ~ - b d x

28



(T í

1= f

dx = 5 fx c s c 2 x 2

J sen x

J

(T )

5 ^ ( -c tg x 2 ) + C | c tg x

1=

j*(x - l ) c s c 2(2 x

~ x 2 )d x = ?

El arco es: //= 2 x - x 2 => d// = (2 - 2 x )d x

+C

= -2 (x -l)d x El arco es:

(i = x

:=> d// = 2 x d x Luego:

í

1 xsen

(3Lnx)

/ = —i ( - c t g ( 2 x - x 2 }) + C

-dx

í - c s c 2(3 L n x )d x

= -| -c t g (2 x -x 2 )-f C

©

í=

f j s h ? csc2(3- ' j r * * )dx=?

El arco es: El arco es:

// = 3 L n x => d¡u = 3j¿dx Luego:

I =

// = 3 - \/5 - 3 x => d//

c t g (3 L n x ) + C

2/5-3x

f = J cscz 20 dO = ~"|ctg2<9 + C

0

=>

dx

3

dx

/ = —| c t g (3 -> / 5 -3 x )-fC

El arco es: H - 20 => d// = 2dd

(6 )

(? )

El arco es:

J = J*86>2 csc2( l - 3 d 3 )d0 - ?

=>

1 = 8 f 02esc2 (1 ~ 303 )d0 = ?

0

ju = 1 -3<93 ri> d j u - ~902d6 Luego:

/ i-n 0 dg^náO

Pero:

El arco es:

J = J i c s c 2(^ d )d d

/ = -■¿ r c t g ( ^ ) + C

;= Jcsc2( | ) d 0 = - 2 c tg (| ) + C

I = ~ -§ c tg (l - 3 d 3 ) + C

29



1_J

El arco es:

/ = |sec2x tg 2 x dx = -~-sec2x + C

ís

ju = 2 x

El arco es:

// = 3 - x 5 => dju = -5 x 4dx

d/¿ = 2dx 1=

I-

J s e c ( a - b x ) t g ( a - bx)dx

El arco es:

~ se c(a ~ bx)

jj = 2 + e ~ 3x => d/i = -3 e ~ 3xdx

El arco es:

Pero:

fi - a - bx ■=> dju - - b d x

7 = 5 J*e~3xsec (2 + e~3x) tg(2 +e _3x)dx = ~ fs e c (2 + e~3x)+ C

/ = J sec 36* tg 30 d9 - E sec 36 + C

El arco es: ju - 3 6 0 ^

J=

=> dju = 3d&

l cob 3.r

5>(;n3x \ i co-, /=

f ( sec 2 3 x + — E - )d x J\ COSJx CCk 3x /

- ±

tg 3 x

--

íI x

s e n (l - 4 x

)

cos2 ( l - 4 x 2 )

Jlg 3 x sec 3 x dx

- E tg 3 x -i- E sec 3 x -r C

5^

1 = Jt g 5<9 sec 5<9 d<9

(f)

f l ^ l x dx J ros¿3x

■ -

J^|7sec(2+C^x)íg(2+€~‘3x)dx=?

/= J-E^sec(3+Ln(l~x))tg(3+Ln(l-x))dx

/ = J x 4 s e c (3 x -x 5)t g (3 ~ x 5)dx sec (3 - x ) + C

/=

30


sec (2 -f V 3 - x ) tg (2 + V 3 - x )dx


]

/ = J esc5 # cotg 5 (9 dd = - i esc5 d + C

(D

El arco es;

©

/ = J*csc7dcotg7d

(3 )

/=

J

J -

5 )1 =

// = 5 d => d// = 5dd

f x2

I 23x esc(1 -

g = g (x )

/=

2 3x) cotg(1 - 2 3x )dx

J esc 26* cotg 2<9 dd

d0 = -~-csc7d + C

g = 16 => d// = 7dd

El arco es:

^

esc fi cotg // d ¿u = -esc ju + C

sen (1 - 2 x )

/ = J c s c (-2 0 x ) c o t g (-2 0 x )d x

(8 ^ / = j*-icsc(3-2Lnx)cotg(3-2Lnx)c5c

dx = ?

f ;:2 c o s (l-2 x 3 ) i ' sen(l - 2x3 ) sen(l -

(? )

^ 2x¿

(9 )

)

/=

Jcsc(-j0)cotg(-§
x 2cotg (1 - 2x3)csc (1 - 2x3)dx (ÍO)

El arco es: g = l- 2 x Luego:

q

1 = j* csc ( - 5 0 ) cotg {-b$)d$

O

=> dju = - 6 x dx

(U) 7= J c sc (|e )c tg (fe )d 0

/ = - ■ ! ( - c s c ( l - 2 x 3 )) = - ic s c (l-2 x 3 ) + C

(7 ^ J = j*ax c s c (3 -a x )c o t g (3 - a x )dx = ?

®

f =

J ^ - ' s c ( 3 - x ) cot9 ( 3 - 7 ) d x

(Í3)

/=

Jcsc ;r x cotg x dx

(14)

I =

í 5 2x csc 52x cotg 52x dx

El arco es: g = 3 - ax => d// = - a xLna Luego:

/ =

-(-c s c (3 - ax ))

= - i- c s c {3 - a x ) + C Lna

31


mn Moisés Lázaro Cantón

]

(20)—

J

J}f(í S

5 x 2 + 22

du

H2 + a2

-t

0a

í

x + 5 x

-dx

- 6 x + 34

Probar ¿qué pasa al derivar el d e nominador?

d2

arctg ^

n - //(x)

/

dx

V 5x I 4 ~ a r c t g ^ ¿ |+

^

a

x ) 2+ (J¿)2

j u - ' J 5 x => d// = x/5dx Luego / =

- arctg — + C

C

Si

// = x 2 - 6x + 34 dju = (2x~ 6)dx

+c

C om o el numerador no es 2x - 6 , hacer un arreglo algebraico para que lo sea y así poder integrar.

dx 4 x 2 +9 dx

l(ia r c tg ^ )

(2x)2 + 3 ‘

// = 2x

Multiplicar y dividir por 2:

/ = i arctg ^

2 (x + 5)

í:

d// = 2dx +C

2 - 6 x + 34

dx

2 x +10

í:

x 2 - 6 x + 34

Í t Tw* " J 1 2

Restar y sumar - 6 en el numerador: ( x 2 )2 + 4 2

dx

1

1 4 arctg •

1

( 4) ^

2

2 Í x 2 6x +34

=> dî ~ 2 x d x

/ = f - ^ á s ------= f J x + 4 x + 20 J

dx

-dx

•• 4 { - 2- —----- dx 2J í:x2~6x f 34

1

Ln|x2 - 6 x + 34| + — J —

2 - 6 x + 9 - 9 4. 34

= 4Ln|x2 - 6 x + 341 + 8 f

dx ( x + 2)

1

2

+16

Completar cuadrados en el denomina dor: x 2 + 4x + 20 = x 2 + 4x + 4 - 4 + 20 = (x + 2)2 +16

x 2 - 6 x + 34

Separar en la suma de dos integrales:

2

f arctg ^~ + C // = x

2x - 6 + 6 +10

\

J (x - 3) + 25

dx

dx

l = -|Ln|x2 - 6 x + 34| + 8 ia r c t g -— 2. + C

I

I,

J2x Ax

6 e 2x + 1 4

-dx

Completar cuadrados en el denom i nador:

32



J= i 1

e4x _ 6e Zx + 9 - 9 + 14

_ f—

— dx ~ l f .X arctg —

J (e¿x ~ 3 ) 2 + 5

1+ C

a/5 J

- 1 f 2x dx + ^ f - ~ ~ d x 2 J x +16 ^ J x +16

donde: g ~ Z 2x - 3 => dg = 2C2xdx ( 7)

/= f j 2^ £ _ d x = Jiot>-2x+4

= ~ L n | x 2 +16| +•

f.- t .^ n.2-.- dy

J

cos“

fi^ i- d c

2 ¡ x2 + 1 6 ÜX

arctg |-

= -l-L n (x 2 + 1 6 ) - arctg-| + C

2 íc + 4

Pues: 2x = 2sen x eos x

r-

^

I

x

•J 9 x2 - 6 x + 10

Derivar el

dx

denominador:

1 8 x -6 .

Multiplicar y dividir p o r 18, luego

donde: // = cos2x --=> dj/ = - 2 s e n x d x

sumar y restar 6.

jf_iSL_l_iL.dK

18 J

= ~ J arctg ^

9x¿

- 6jc +10

= J_ f__iSL_l__dx + — f- - -6

r C

18 J 9x2 - 6x + 10

=i

18

18 J 9 x 2 ~ 6 x + 10

Ln|9x2 - 6 x + 101 + 1

1

dx

------- dx

18 J 9x¿ - 6x + l + 9

(3 x - l)2 +9

La derivada del denominador es: 2x

= -jL L n | 9 x 2 - 6 x + 9¡ + •— a rctg 3x^ ! + C

Se debe multiplicar y dividir por 2, así:

j

dx

:2 - 25

1

t n

2 (5)

10 U M x + 5

dg g2-a 2

y ~~5

|x + 5

2a

+c

Ln

/j + a + C

// = //(x)

© í=

+c

J

dx

_______________V 3 X -V 5

-U L n

^3 2/5 “ ‘ I S x + j5

Donde:

g = >¡3x => dja = x/3dx



2VÍ5

Ln

+c

4 3 x -S S x +S

Luego la integral será: 3 2(2)

f

J

dx = x 2 - 6x + 7

L„ 2V2

~

dx

f

J

c o s3 x + 1

■3-42 ■3 + 42

]_ n

í x - 5x + 3

Al derivar el denominador obtenemos: 2x-5

x2 -6 x + 7 = x2 -6 x + 9 - 9 + 7

Para poder integrar, hacer dos operacio nes:

= {x - 3 )2 -2

J

dx

3x2 - 2x

1 I

1 r

_

dx

3 J J x2 _ 2;

1ro multiplicar y dividir por 2 2do restar y sumar 5: 1= 1

dx

2

1\ _I

í

3 /

cuadrados

1

Ln

3x - 2 2 Ln 3x

(s )

;= J

x

2- 5

x

+ 3

dx

Separar en la suma de dos integrales: | ~ —-— dx + ~ i —5—

2 hI X 2 - 5 x + 3

(X~3V

M i

i

]

9

Previamente completar en el denominador:

1

+c

-dx ~ ?

Previamente hemos completado cuadra dos en el denominador:

r

co s3 x - 1 + 2

c o s3 x - 3

Í2

(x - 3 )2 - 2

+c

cos3x - 1 - 2

I = _JL_1_ Ln

2 J x ¿ -5 x + 3

■i-Ln|x2 - 5 x + 3| + 4 f-ó

I - i

2

h3 3 i + c

2

J

x2

dx -5x + ¿ - ^ + 3

Lnlx2 - 5 x + 3| + -§ f

+c

dx

----

2 J i x - 1 ')2 - 1 1

Ln|x2 - 5 x + 3¡ + 5

sen3x

1

Ln

5 Vi3 ' 2~ 2

-dx

eos 3x - 2cos3x - 3 sen3x

- í (cos3 x-l)

2x - 5 - a/Í3

-dx

- 4

completar cuadrados en el denominador: cos2 3 x - 2 c o s 3 x + 1 - 1 - 3 = ( c o s 3 x - l ) 2 - 4

Ahora tenemos:

// = eos 3x -1 dju = -3sen3xdx

I = -i-Ln|x - 5 x + 3| h— 7=rLn 2 1 1 2413 2x - 5 + 4l3

G> i=J

5x

©

e6x - 4 e 3x +3

34


x- 3 - lO x

-dx

-dx


©

dx

©

(4 x - l ) 2 - 3 6

© i=J

x2

d//

(22

(D f=|

dx 9 -x 2

Ln

2(3)

a + //

f-L n

a 2 - //2

a ->

2o

+c

3+ x 3- x

tg2 3 x - 6 t g 3 x ~ 55

' = . M ? = í

' - f a3 6 -f1 6e/ - íJ

dx (V 3 )2 -(V 2 x )2

Lueg0: í = i i ^ Ln —

2 V6

0

/= |

V 3 -V 2 >

¡ . t - 4 y —> d// = 4dy

Luego:

/ = dL Ln

6 + 4y 6 - 4y

+c

© J= f —.—5f— J 2r2x-x2

W

J 3 (x-l}2

Previamente, completar cuadrados en el denominador:

+c

2 + 2x - x 2 = -(.x2 - 2x +■1 -1 )+ 2 = - {x 2 -- 2x +1) +1 + 2 — - 3 —(x —1)^

16 - (5x - 1 )'

5 2(4)

Luego:

y¡3 ~42x

+c

Donde:

dx

1— 1— L n Donde:

y¡3 + j 2 )

■JU + >/2x

Ln

3 6 - (4 y )¿

6 + 4y 1 __L _ Ln 6 - 4y 4 2 (6 )

// = V 2 x => dfi ~ y ¡ 2 d x

Donde:

-2 - 8x2 + 1 6 x 4

+ e l // = //(x)

Í6L n | 3¿ -üx| + C

©

dx

x dx

1=

©

— dx

xb - 4xJ - 5

dx

sec2 3 x

II

í= f

—

x +6x+7 *~*N

©

dx x (L n 2x - 2 L n x - 3)

II

4 + 5 x -1 4 - (5 x - l)

// = 5 x - 1

/ = ¿ r Ln

+c

=> d ¡.i = 5dx 5x + 3 5 -5 x

+c

Luego:

0

I -

/= [ ■í

24 + 2 x 2 - x 4

2 5 -{ x 2 - l ) 2

V3 f x - 1 > /3 -x + l

+ C

dx

dx

35



Previamente, completar en el denominador

cuadrados

I = —j L n | l l - 4 x 2 V lí+ 2 x

'3 2

24 - 2x2 ~ x 4 = - ( x 4 - 2x2 + ...) + 24 = ~(x4 - 2x2 +1 -1 ) + 24

V ñ -2 x

L n ¡ll- 4 x ¿

4-n/i T

= - ( x 4 - 2 x 2 +1) +1 + 24 = - ( x 2 - 1)2 + 25 ju = x

Donde:

Ln

— Ln 20

©

2x - 3

Í = J

11 - 4 x 2

5 + (X 5 - (x

4 +x¿ 6 - x¿

11- 4 x

2 f_ x J

11- 4 x

1) -1 )

+c

+c

J

11 - 4 x‘:

J

2 ^ L n | l l - 4 x 2 |- 3 J

=

' = / 45 - 20x - 25x¿

©

/= J

©

V il- 2 x

11 - 4 x

eos 3x

;= |

©

■dx

sen2x -dx 16 + 6cos2x - eos 2x

dx 4 2 x -4 9 x

-5

dx

©

/ = J ; 4 + 6x -

©

/ = J 4 tg 5 x -tg ¿ 5 x ~ 3 -dx

dx

(VÍI)2 - ( 2 x )2

s ^ — dx

5~ €

4 -s e n 23x

dx_ 3 f__dx

-8x

ju

V ñ + 2x

dx

G>

(ñ )

dx

f —2x (jx+ f

J

Ln

- l = > d / / = 2xdx

1= ^

Luego:

+C

2x

=> dju = 2dx

36


x¿

seo 5x


J -y/g 2 + a 2dju =^ju
(23)—

(T)

I = J4 J

0

/=

+ 9 dx =

ju = g ( x )

x V x 2 + 9 + ~ 9Ln |x + ^lx2 + 9 j

J \¡{2x + 3 )2 +16 dx

donde

= 2x + 3 d// = 2dx

=|

l ( 2 x + 3 ) ^ { 2 x + 3 )2 + 1 6 + ~ 1 6 Ln|(2x + 3 ) + ^ (2 x + 3 )2 +16|

/ = U 2 x + 3 ) ^ ( 2 x + 3 f + 16 + 4 Ln|2x + 3 + / ( 2 x + 3)2 + 16| + C

©

I = I v x 2 - 2x + 5 dx = ?

Completar cuadrados en la subradical: x2 -2 x + 5 = x2 ~2x + l - l + 5

/ = J V (x -~ l)2 + 4 d x

= (x - 1)2 + 4

= i ( x - l ) ^ / ( x - l ) 2 + 4 + -i-4 L n | x -l + -\/(x-l)2 + 4| + C

0

I

= J xV>x 4 ~ 6 x 2 + 34 dx -

x 4 - 6 x 2 + 9 - 9 + 34 dx

H

J xyj(x2 ,

3 f

+ 25 dx

. Hacer

jli

= x 2 + 3

,

=>

d ¡a -2 x d x

^


=


I = ¡

h i ^ í 2 + 25 + \ 25Ln|// + V a 2 + 2 5 1 + C

l = l F 1 ( X2 __3 ) ^ x 2 - 3)2 + 25 + f - L n jx 2 - 3 + y¡(x2 ~ 3)2 + 2 5 1 + C

0

/=

JVio

- lO x + x 2 dx

Completar cuadrados en la subradical:

= J - / x 2 - lO x + 25 - 25 + 30 dx = J>/(x ~ 5 ) 2 + 5 dx

Ahora, integramos:

I = | (x - 5 ) y j i x ^ b f + 5 + ¿ 5Ln|x - 5 + ^ ( x - 5 )2 + 5 1+ C Hallar las siguientes integrales, completando cuadrados previamente: (? )

I - j V x 2 + 6 x + 109dx

(n )

/ = J e ~ x Ve~2x + 4 e~x + 8 dx

(? )

J = I V 2 5 x 2 - 20x +13 dx

(l^

/= Jsen3x?cos23x-2cos3x + 5cfcc

(? )

/=

(í? )

/ = J -b ^ 9 L n 2x - 6 L n x + lO d x

(? )

/=

I y x 2 - 6 x + 10 dx

(j? )

/ = J 2 x \¡22x - 2 X+ 1 + 2 d x

(ÍO )

J=

U l 8 - 8 x + x 2 dx

(n )

/ = J ^ x 2 + 14x + 58 dx

( jl)

/ = Iy

(18)

/=

(¡2 )

J = J i/ x 2 + 2x + 65 dx

(¡9)

/

j» ,-----------------------

■sj l l 3 ~ 1 4 x + x 2 dx » --------------------

* --------------------

- -------------------------36 x 2 - 60x + 29 dx

Jsenxco6xVcos22x+6cos2x+25ck

= j* \¡a2x 2 - 2abx + 5b2 dx



(24)—

ll

1=

J ^ju2 - a2 dju ~ -p i^ p i2 - a2 -™-a2 Ln |// + sjpi

F| Vx^ - 1 6 d x ~ j x \ j x 2

2

a

2

16Ln|x + ^ x 2 —16 j + C

x V x 2 - 1 6 - 8 L n | x + V x 2 —1 6 1+ C

0 í=

^

j

^

tiene ju = 3x - 2 => d// = 3dx

1 1 (3 x - 2 )V (3 x - 2 )- 4 - Í 4 L n | 3 x - 2 + V (3 x - 2 )2 - 4 | ) + C 312

(T)

/=

j*

Vx2

- 4 x - 5 dx -- ? Completar cuadrados en la subradicaí:

(x - 2 ) - 9 dx . donde: // = x - 2

d/u =dx

Ahora, integremos: / = l ( x - 2 )V{x--2)2 - 9 - -Í9 Ln|x - 2 +■^/Ü - 2 ) 2 - 9 1 + C

J = j* a2x V a4x - 2a2x - 1 5 dx = ? , completar cuadrados en la subradicaí.

= j a 2x^ a 4x - 2a2x + 1 - 1 - 1 5 dx

J a 2x y¡(a2* "~ l )2 -1 6 dx , donde ju = a2x - 1 dpi = a 2x2 L n 2 d x

39



A l integrar obtenemos:

7 = ^ ( | ( a 2x- l ) , / ( a 2 x - l ) 2 - 1 6 - 8 L n |a 2* - l + ,/(a2 x - l ) 2 - 1 6 |) + C

Hallar las siguientes integrales, completando cuadrados, si lo requiere el caso: J V x 2 - 9 dx

0

j y j t 2 ~ 25 dt

0

J>/x2 - 5 dx

0

Ív 4 í2 - I d i

0

J x V 9 x * -1 2 x 2 -6 d x

0

ÍV ít2 -3 d i

0

Ja/4x2 - 12x + 5 dx

0

|Vt2 - 3 í di

0

J V x 2 + 10x~39dx

0

i V i2 - 6 t d t J

0

J V x 2 + 16x + 63 dx

0

j a/í2 + 14t + 45 dt J

0

j sen26,A/cos2 2 (9 -

0

0

0

I sec 3x tg 3 x v sec2 3x - 25 dx

I sec2 5 x y tg 2 5x - 4 dx

0

í eos 3 0yj sen2 3(9 -

w

40



y . a2 -

¡ i 2 dpi

1 „ L2

2 , 1 _2 are sen — + c

/ = J V 2 5 - x 2 dx = ^ x S s - x 2 + \ 25 are sen

0

2

( )

f

V r¿

x 2 dx

~j

+ C

~ x V r “ ■■ x 2 ■; ~ r 2 are sen y i

y^r¿ ' T¿ + - ^ r ^ a r e s e n y

™ j --(O )V r2 - O -■-q-r2arcsen j

lr2( f |

- -j 7T r“

(0

pues:

0

1 ^ (0 )

are sen (1 ) -- -7

/ = J i / l 6 - (x - 3)2 dx = -| ( x - 3 ) ^ 1 6 - { x - 3 ) 2 + ~ 16 are sen ■— . + c

/ = J ^ 3 0 x - 9 x 2"- 21 dx = ? . Completar cuadrados en la subradical: 3 0 x - 9 x 2 - 21 = ~ (9 x 2 - 30x + . . . ) - 21 = (9 x 2 - 3 0 x + 2 5 - 2 5 ) - 2 1 = ~ (9 x 2 - 3 0 x + 25} + 2 5 - 21 = - (3 x - 5 )2 + 4 o sea:

/=

I y 4 ~ (3 x ~ 5 )

dx = -|| | - ( 3 x ~ 5 ) y 4 - ( 3 x ~ 5 )

+ ^ -4 are sen

~ (3 x - 5 ) -^4 - ( 3 x - 5 )2 + 2 a rc sen

Pues:

pi = 3 x ~ 5

=>

dpi = 3dx


3x - 5

~T”

+ C +C


Com pletando cuadrados, hallar las siguientes integrales:

J Vs

q

- x 2 + 4 x dx

(0 )

J y j - x 2 ~ 14x

- 46 dx

jv

45 - 4 9 x

+ 2 8 x dx

JV

- x 2 ~ lO x - 24 dx

(H )

j \ / 8 0 - 4 x 2 + 4 x dx

J^/ - x 2 + 0 • 6 x ~ 0 • 05 dx

(S )

J

(í? )

J-~r ^ 3

<§> J/

21

/

/

d//

dK

J J 3x x2 V5s~- 3 2

^ = V3x

a

f.

dx

:2.v•1r

1

8x

= ~ (x 2 +

Luego:

/ = are sen

2x -1

dx

f

^

f

dx

J

^ - x 2 - 8x - 7

J

a/9 - ( x + 4 )2

8x

dx

+16) +16 - 7

= - ( x + 4 )2 + 9

are sen —g— + C

d/r = 2dx

6 Ln x

- 7 = - { x 2 + 8 x +16 -1 6 ) - 7

/3X

Donde: // = 2 x - 1

I

- 9 L 2 nx +

yw = M * )

J -^(V5)2 - ( V 3 x )2

2

dx

135 - 2 5 x 2 + 3 0 x dx

dx

,

d(«=V3dx

3) /-J x/9

-

+ 12x


=-~rarcsen--~^=- + v3 V5

i- ,

41

//

í /1a-■»- /r2 - a r e sen— + c -x 2 -

f

+ 3 4 x dx

5 -9 x

are sen ~ + c

■ i

-36x

O

9 x 2 + 12x dx

(2 6 }—

11

J-y/-25x2 + 10\/2 x dx

®

6j

'

í , * \

/

J

|*

42


dx

V ? - 2x

+C

r La Antiderivada y la Integral Indefinida

dx / l 5 - 9 x 2 + 6x

í

_______ dx i/l6 - 25x2 - 30x

; =

f

/

10 I

J

¡O Ln j // + y // +

I 0

9i

~jÉ L= = Ln |x + a/x^~+9 ¡ + C

J J9 + x2

^ Í tA

Donde: // ~ V 3 x => dju = yÍ3dx

0

/ = }

Donde:

51

/

¿ L n | 7 x -2 + ^ {7 x - 2

í

j+

C

dx + 16

¡a = 2 x - 3

)2 +161

d¿y =

2

dx

dx

^ ^ 9x2- 6 x + 5

dx

+ 4

Donde: f i - l x - 2

O

r___ ___

dx

V’í7x - 2r

o

= | L n | 2 x - 3 + ^ / (2 x - 3

<^3 x + y ¡3 x + 5 |+ C

~

dx ^20-25x2+40

J:

Í

t

+ 4x

Luego:

dx

®

dx

y 2- x

J

)2 + 4|

=> d f i - 1 dx

71

I

r

64x2- 48x + 25

__

dx

J ^ x 2- 2 x + 6

f _______ dx_______

dx 4 x - 12x + 25


J 7 81x 2 -7 2 x + 52 i*

J

dx x 2 + 6x +109

4x2 - 12x - 9 - 9 + 25 = (2x - 3)2 +16

43



_ Ln |// +
J

II

J

/

// = //(x)

Luego:

dx x - 25

Ln|x + v x

2 —2 5 1+

dx

-J

C

^ { 4 * - 3)2 - 3 6

L n | 4 x - 3 + 'y / {4 x -í

(D

' = /

- 5

Donde: // = 4 x ~ 3 => djL = 4 d x

■ í -J=-Ln|>/3X + V 3 x 2 ~5| + C

í

= |

dx

® .

;=

©

»-

©

/=

7 (5 x -1 )¿ -1 6

Ln|5x~l + ^/(5x-l)2 ~16| Donde:

-i f e _ 4 x - 12

dx

25x¿ f 20x

%

// = 5 x - l => dju = 5dx

41

í

361

dx 3x

dx

©

)2 -

f/l6x2T24TT27 dx

Completando cuadrados en la subradical:

4.x

1

dx '3 6 x ~ - 1 2 x - 1 5

16x2 -24x-27 = 16x2 -2 4 x + 9 -9 -2 7 = (4x -3)2-36



¡a = ju(x)

í

I = |— &==■ = \ are sec 4 +■c J x ^ x 2~9 ó ó

O

j

0 I= J.

I ___________dx

_

J (2x

i r 1 2x - 1 = “ ^-aresee— g— i

1 +, C

í

2x -1 , x-v

= -jare sec— ^— + C Donde: // = 2 x ~ 1 =>

3)

/=

co s3 x dx se n 3 x ^/sen2 3 x - 25

d// = 2dx

71

/

■ M = = - L are sec-4= + C S V5 dx (3 x - 1 ) / 9

x 2-

6

x

-2

dx

í;

( x + 2 ) ^ x 2+ 4 x - 12

f sen2xdx =? J cos2x y eos2 2x - 16

xdx (x 2 - 1 ) -/ x L - 2 x 2 - 3

Pero: /¿ = co s 2 x => dju = -

2 sen 2 x

dx

dx (2 - 5

x

)/ 2 5 x 2- 2 0

x

-3 2

=> íío l

Luego:

/= f sen2x("2 i£ k )_._i f J

2 J

// ^ 2 -1 6

/

dx (1 - 2 x )

4 x 2- 4 x + 3

^ -1 6

= | - (^ a r c s e c - | ) + C = --g- are sec

+C

45



J G>

2

dfi —= = = _ —L L n +a7 1 n/T7 a

, „2

dx

'=

í

U^Ln1

+

+C

dx ( 2 x - l ) >/ i Í x - l ? T 9

6 Donde;

©

/=

Hacer;

// = V 2 x

d// = V 2 dx

----------f J i'3x + 2)V9x2 +12x + 8

/=

(D

/= f

r - ^ ----------

J (3 - 5x) y 25x - 30x + 25

d//

i/ / +

3

1 Ln

1/3

+c

ii N _____ h l 2x¿ { J2.

—L_

■fe

í 1 =

// = 2 x - 1 => d/r = 2dx

©

Luego;

(D

2x - 1

4 2 x2 -3

x = -^// => dx = -^d//

/=

// = // (x )

J+ c

+3

| H

+c

(D

í~2

~ ¡j 2

H /=

r— xLnx^Ln2x -*-4

l Lnl
+c

a

dx

f J 4 ~ X

+c

|

J

x J 4 - x¿

|Ln

K H

í

dx x

5 - 3x2

fc

Hacer: // - \/3 x

w

x ■- 4=- a V3 dx = - ^ d f i

46



Donde: /./ = 3 x - 2 => d// = 3 d x Luego: I = dju

f V5 + J5^3x^

s>

®

Í=í

dx (3 x ~ l)^ 4 - (3 x ~ l f

2 + -^4 _ (3x _'i'p

i _ lL n 3 2 tJ1 j- L n f

^^

3x -1

©

' ' í J- xj vf7r- 3Tx

®

. - i (2 - 5 x; ^12 - 20x - 25x2

®

'- L = í

®

. : r

^ y ~ Ln2x

sec2 3a dv tg3 x ^ 16 - tg2 3 v

2 + / m 3 x ~ 1 }2 3x -1

■■ l + C

Observación Hay fórmulas que no son necesarias aprenderse de memoria, tales como ocu rren con las fórmulas 21 hasta la 31. Las fórmulas 21 y 22 se pueden integrar por el método de fracciones parciales. Las fórmulas desde la 23 hasta la 31 se pueden integrar fácilmente por el método de su st it u c ió n

t r ig o n o m é t r ic a .

Otros Ejemplos:

© í (2x -1) \J3 + Ax - 4x2

f

dx

^ri __ -t\ ( a —

i \2

J (2x - 1 ) ^ 4 - (2x - l)2

: I í

2\

2 W * - ( 2* - i 7

2x "" 1

j+ c

t — completar cuadrados:

-4 x 2 + 4 x + 3 = ~ (4 x 2 - 4 x + l ) + l + 3 = - ( 2x - l

Hacer:

)2 + 4

// = 2 x - l dp = 2dx

,

a= 2

47



f ____ fx

_ f

J (1 - xx ))* JV xx 2 - 2 x + 4

- x 2 - 2 x + l - 1 + 3 ; // = l - x (x

f

1

dx

JJ (( l - x ) ^ ( l - x ) 2 + 3

-s/3

v

^

1

x

----- +C

, a = V3

I)2 + 3

£ = _ = = f- J U ± _ = f _ J x . // y 4 - ¡ r

J x . Lnx y 4 - Ln x

Hacer:

i J Ln

J

m

T „ f 2.,í.¿4 Z_íí/2 I + £ Í =, = _ 1l Ln

y 4 - //2

/¿ = L n x

= -i~ Ln

—L í l Z l i L L j + C

d ju ~ ~ d x d x ~ x ■dju

0

f — íL ™

J

V y ' !l \ “

Hacer:

f ~ 7^

]

J

u

2x

= i.fír r s e C 2x --C

_

X ■y ■¿! V 1"

1

d fi - 2 ■d//

0

J

x fó .d

Hacer:

*-5

f — p—

J

x^¡\3x¡¿

----4,! v'3

v&

Ln j V l l ^ L Z i L e \

u ----- \¡3 x . -\/5 -■a d a -- x¡3 • d v

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48


-n/3 x

y


4. METODOS DE INTEGRACION 4.1 INTEORAGItN POR PARTIS Fírmala:

f [ i • dv = // ■v -

f v -d fj

donde ¿u(x) y v (x ) son funciones.

La integración por partes se aplica cuando en el integrando se encuentra el producto de dos funciones que pueden ser: polinomios por arcos, polinomios por logaritmo, polinomio por seno, polinomio por coseno, polinomio por exponencial, seno por exponencial, coseno por exponencial, sec

/n.

esc

g, .

Sugerencia para usar esta fórmula; 1. La función dv debe ser aquella que se pueda integrar inmediatamente. 2. Tener cuidado que un sólo ejercicio, a veces, se tiene que integrar por partes más de una vez, o puede resultar una INTEGRAL CIRCULAR.

Ejemplos:

(T)

Calcular:

/ = J x • sen x dx

"V-J s---- v----- J u

dv

En este caso, se elige dv = senx dx , que es fácil de integrar y jli - x . Luego, integramos dv - senx dx y hallamos el diferencial de // = x . A continuación se aplica la fórmula. Ordenando y resumiendo este proceso es como sigue: fj - x

dv - sen x • dx

df.i = dx<-----------v = - c o s x

Por lo tanto: I = - x eos x + i eos x dx

í-

/ = - x • eos x + sen x + C

(Y )

Calcular:

I =

i x • e x dx

49



Nota:

Veamos: ju = x

dv =

exdx

d// = dx <------- - v = e x

Por lo tanto:

/=

Afganos productos de funciones se integran por partes con el propósito de convertirlas en oíros integrales de fácil e inmediato cálculo Ver el ejemplo 3.

x • ex - J e x dx

J = x • ex ~ e x + C

(? )

Calcular:

/=

j* x ■yj l + x ■dx

Veamos:

ju = x

du = V l T x • dx

d/i -- dx<------------u = |(1 + x f 2 Por lo tanto:

I

=| x

(1+

J (1

x }3/2

+-x)3^2

dx = -| x (1

+ x }3/2 --|

• ■ |( 1 + x )5^2

/ = § x ( l + x f /2- ± ( l + x)5/2 f C

4.1.1. INTEGRA! POR PARTES DEL PRODUCTO DE POLINOMIOS POR ARCOS En este caso se recomienda elegir com o “//’ la función arco. 0

Calcular: 1 =

f are sen x d x

Jv

v

/

do

Veamos: ju = are sen x

dju

1

dx

dv = dx _ v= x

50


I La Antiderivada y la Integral Indefinida

I = x a r c s e n x - [ - - ¿ — ¿be = x arcsen x + i l - x 2) 1/2 + C J V i- * 2

Por lo tanto:

Integrar como potencia

(5 )

Calcular:

;= J a r c tg x d x

Veam os g - are tg x d fi

1 +X

Por lo tanto:

d v -d x

dx <-

u= x

I - x are tgx

í

l + x¿

-dx

I = x * are • tg x ~ \ • Ln (1 + x 2 ) + C

( 6)

I = J fa rc ■sen x

Calculan

)2 dx

Veamos: 1.- Hagam os la siguiente sustitución y = are ■sen x

(i)

x = seny dx = cosy dy \ T i - * 2'

2.- Sustituyendo ( i ) y (ii) en la integral 1: I = j* y 2 eos y dy .............. (En este caso se recomienda elegir com o la función “u ” al polinom io

y2 ).

3.- Ahora integremos I por partes: jli

= y2

d// =

2y

= eos y • dy • dy<-

u = sen y

51



Luego:

¡

rsen u

2 J ^ n y .fc h

'

(a) '

4 . - Cálculo de /j por partes: ¿/ = y

^

du - sen y • dy

d// - dy

u - --eos dy

Entonces:

/j - - y ■eos y

f

j*eos y dy

/ - ■ - y e os y

-f-

sen y + Q ........... ......................... (b)

I = y2sen y - 2{ - y eos y + sen y +

Reemplazando ( b ) en ( a ):

/----- y 2sen y

)

2 y eos y -- 2 sen y - 2C,

/ = y s e n y + 2y c o s y ~ 2 s e n y + C 2

6 .-

©

En consecuencia:

Calcular: / =

Jx

I = (are sen x )2 • x + (2 are sen x ) v 1 - x

■arctgx dx

Veamos: ju = are tg x da ~ —~ d x l + x2

Por lo tanto: I = ¿

du = x • dx „2

U

• are tgx - ~ J

2

i

0 dx

Cálculo de I L o primero que se hace es, dividir:

x2

x 2 +1

-x 2 - l

1

-1

52


- 2x + C2


L u ego:

/! =

I

/l =

j* dx -

dx

l+ x z

‘ dx

11 ~ x - arctg x + C i

Sustituyendo

en I : I - ~ ~ * are tg x -

(x - arctg x + Clt

I = ~ ~ * a rc tg x - j X + ~ arctg x - j Q

(8 ^

Calcular:

/=

j* are sen

dx

x = 2 sen2y

1.- Hacer:

y = are sen

\

2

(i)

j = sen y

dx = 2 (2 s e n y • cos y dy)

dx = 2 s e n 2 y * dy

§ ~ sen 2 y

2.- Sustituyendo (i) y (¡i) en la integra! / ■ 1 = J y • ( 2 sen 2 y • 2 dy ) J---2 | y - s e n 2 y * d y

3.- Ahora integremos 7 por partes:


PT Moisés Lázaro Carrión

Luego:

1= 2

~ eos

2

J^--| eos

I =

2y + j

• J eo s

2y + ^

• sen 2 y 4- C j

I = - y co s 2 y + ^ - s e n 2 y +

2

2y

• dy

C1

/ = - y (e o s 2 y - sen 2 y ) + i (2 s e n y • c o s y ) + C 4 . - Por el primer paso, podem os volver a hacer lo siguiente: J = - arc s e n ^ ( l ~ § - f ) + 1/ § ^ L f + C

J= | -a rcs en ^ j ( l - x ) + ^« V zx ^ x ^ + C

(T )

x aresen x

Calcular: / = J

I

Veam os:

Í

arc í

X ‘ JT

dx

Ahora integremos I por partes: U

du

= X

du = d x <

Luego:

are sen

u = 75-(are sen x )2

/ - i- x (aresen x

Cálculo de I 1 :

dx

Pero

)2 - 1

J {a rc s e n x f d x

, está calculado en el ejeracio 6

Luego:

I=

x (are sen x f - ^ [ ( a r e s e n x } 2 *x-f (2 are sen x ) V i - x2 - 2x

/ = - - ^ 1 - x 2 are sen x + x + C

54



( 10)

/ = J*x (arctg x )2 dx

Calcular: Veamos:

1.- Hagamos el siguiente cambio de variable:

(i)

y = are tg x

=>

x = tg y

dx = sec y • dy

(ü )

tg y ^ x

2.- Sustituyendo (i) y (ii) en la integral I

sec y = Vl + x

1 = J ( t g y ) ( y )2 (sec 2 y d y ) I = I y 2 t g y - s e c 2 y dy dv

u

3.- Ahora integremos / por partes: u= y du =

9

du = íg y - s e c

2y -d y

Luego:

<-

9

y -d y

u = i t g 2y

/ = i • y 2 tg 2 y - J y tg 2 y dy h

4.- Cálculo de u= y

por partes: du = tg 2 • dy

o

dv = {sec y - l)d y du = dy

Entonces:

u= tg y -y

Jj = y t g y - y

2-

¡ i = y tg y - y

2 -L n js e c y |

J (tg y ~ y )d y v + ^ - + C]

55


Moisés Lázaro Gorrión

5.-

Sustituyendo Jj en la Integral I del paso 3: | = i

•y2

y

y

-tg

y - y t g y + y ¿ + Ln|secy|~=j - ~ c i

y tg y -y

i = i • y 2 tg 2 y ~ y tg y +

H)

Calcular:

/=

9

• tg 2

Jx*

u2

~Ln|secy| + v +

+ Ln |sec y | + C

. arctg (3 x ) d x

Veamos: u = a rctg {3 x) du

1 + 9x2

dx *

Por lo tanto: J = ■— . arctg ( 3 x ) -

J

1+ 9x2

í

arctg (3 x )

dx

-X 3 - 1 *

i v —i • x 9 X 9 1 + 9x2

J x .•ddx x +~ lJ

arctg (3 x )

9 J

/ = 4r - a r c t g ( 3 x ) - i - ^ - + | - i arctg (3 x )-

12j

Calcular:

I

í

X3

1 y2 18 A

1 162

dx

1+ 9x2

• dx

)+ C

are-sen V x ^

1.- Hagam os la siguiente sustitución: (i)

l x 9

0 - - ix 9

r -n/( l i +. n9 x „2z ) + C L Ln ( l + 9 x

9 x 2 +1

are sen V x = y

56


1 +9x^

1 +9x¿

1 La Antiderivada y la Integral Indefinida

■sjx = s e n y

----- >

9

x = sen y

(ii)

dx - 2 sen y • eos y * dy

(iii)

2.- Reemplazando: (i; . (lí) y (iii) en la integra! /: ■2 sen y • eos y dy ■--- I —

I z^r I /-

2Jy

sen y ■dy -

2 [ - y eos y

• 2 sen y • eos y • dy

J- sen y - - C ]

V er Problema

1

I - - 2 y eos y +■2 sen y -■»- C ^

3.- Por lo tanto:

© C a lc u la r :

I --- - (2 are sen

\fx ) V i

- x + 2 v x - C.

/ = f i ^ f d x

H a ga m os la sustitución:

are tg x = y x = tg y

(i)

d x = sec

y • dy

R eem p lazan d o (i) en / :

í= f j S ^ . s e ^ y . d y . sen y

¡ =

| l C 3!Ci|Sy_i!E= | iC 4S ldy

y • seny ■eos y

|i U S - d y

sec y

(sec y )J

-dy =

eos y

y

du = sen y • eos

i y • sen y * co s° y • d y

u

s—

1_____ y

1____ 1/

du

y • dy

4

- eos y

y Lu ego:

/= -

1-L + i

í:

| e o s 4 y • dy

57


Moisés Lázaro Carrión Cálculo de I I i = Jcos4y • dy = J*j^~-(l + cos2y) J2dy = — j* ( l + 2cos2y + eos2 2y)d y

I ~ i h - 4 J*dy + -| Jcos 2ydy + -|: Jcos 22ydy

/i =

y+

Reemplazando

Jeos 2 22 yy dy dy = co s¿ = J-í j- | (l

sen 2y + ^ y + - ^ sen 4y + Cj

+ c o s 4 y )d y

• | y + -| sen 4 y

en I :

/ = _J !H | lz + l . | ^ l y + l . scn 2 y + l y + X sen 4 y + c 1 ] /a_ l^ li +^ y+i

1=

4.JLy + _L

sen 2 y + ^ y + ^

s en 4 y + l C i

sen2y 4. sen4y + C

(ií)

Reemplazando (i) en (ii):

I =

45 }

C a lc u la r :

+ — arctg x + ~ r sen 2 (arctgx) + -j—- sen 4 ( a rctg x ) + C

t

/ = | x •are sen x • dx

V eam os:



Cálculo

/1

de por partes:

/j - j x 2 (1 - x 2 ) ~4/2 d x = J x • x {1 - x 2 T 1/2 d>

u ■■x

dv ~ x (1 - x 2 )

x ^

dx

v = - - - 2 ( 1 - x 2 I1/2 d// = dx

/j

u=

--x \/l - x 2 *

rVi

1- x2

- x 2 dx Aplicar la fórmula 25

í -

\2

.Iv V T

Por lo tanto sustituyendo /

/1

j ^íirt-senx ■ e

en / tenemos:

• a rc s e n x -■~ ( ■!■ • a rc se n x - ^ x ^ 1 - x 2 ) + C

/ - -i • ( 2 x 2 - l ) a r c • s c n x -r ^ x > / l - x 2 * C

(S )

Calcular:

I =

J are tg

V x •dx

V eam os:



Cálculo de ^ :

Haciendo la siguiente sustitución:

(T)

Vx = í x = i2 dx = 2t • di

Reemplazando

(T) en

í( i+d

/i =

1

2

J lS -dt =2 J(1-T l - í - y • di = i i + 12

Sustituyendo L en 1 :

tenemos:

2

2í

—

/ = x are tg V x -

+r

dt

2

{ V ”x - arctg *j~x)

41.2 INTEGRAL POR PARTES DEL PRODUCTO DE POLINOMIOS POR LOGARITMO En este caso considerar com o “u” la función logaritmo.

(í? )

Calcular: I =

í Ln x * dx

Veamos:

Luego: / - x ■Ln x - J x ' V ' dx

1

x ■Ln x - J dx

I - x • Im x - x + C I = x ( Ln x - 1) + C

17)

i—

Vx + arctg Vx + C

/ = ( x + 1 ) arctg ^/x - ^/x + C

Ii = 2 { t - arctg i) Ix =

i—

x ~ | -2 (V x - a rc tg V x ) + C

• di

Calcular: / = J x 2 L n x - d x



Veamos:

du = x 2 x dx

u = Lnx du - — • dx

L u ego:

í =

•Lnx -

v=

• I — dx

/•

¡

J -= — * Ln x - -i- • ! x 2dx I = i— ■L n x ■x 3 + C

18)

i

Calcular: I = |

dx

2.- Reemplazando (i ) en I :

1.- Hacer la sustitución:

/= X -r 1. — t

(i)

í

2\

2 £ ■dt

I = ¡ i t s i í i • 2 f • dt

!E

X + 1 = t¿

x - t2 ~ 1 dx = 2t ■dt

/ = 4 J Ln ( í ) di V er ejercicio 16 / - 4 [ í (L n í - 1 ) + C ] /= 4 /= 4

(í? )

Ln (í

Jx +

1

"7 + i - d + c

x/xT l ( ~ L n ( x + l ) - l ) + C

Calcular: I = J x • Ln



Luego:

/=

1 —X

Ln

1+ X

I ~ 21- • Ln

f e

1- X

1+

X

- *

1

í(

X

- x 2 +1

~ x 2 +1

+ —W

1 - X2

|dx

-1

0+1

■ x + iL n , , £

1- X 1+ X

(20)

Calcular: / -

I 1- X

x +C

Pues:

| L n (x + V l + x 2 )d x

u = Ln (x + v l + x 2

du = dx

v- x

Luego:

I = x • Ln ( x + y j l + x 2 ) - J -

í = x • Ln ( x + ^ 1 + x

11

Calcular: I

Jx

• Ln

l + x^

) - 1/1 - x 2 + C

dx

Pero:

L n ^ l + x 2 j = - i- - L n (l + x 2

Entonces:

7=

1 Jx

dx

• Ln ( 1 + x 2 ) dx

62


Ln

1+ x 1- X

-Ln

1~ X 1+ X


u = Ln (1 + x

Ahora integremos por partes:

dv = x • dx

l + x

,2 o — • Ln (1 + x

Luego:

ir

• dx

xJ - X 3 —X

í(

Ln (1 + x ‘

X l+ x 2

j dx

x 2 +1 X

0 -x

^ - + i » L n ( l + x z ) |+ C + 1 ) Ln { l + x ¿

(x

Lnx

í {x + l f

Calcular: /

+C

* dx

u = Lnx du = (x + 1 )

du

Luego:

-d x

dx +

-d — • Lnx + x+1

— - - Lnx + X + 1

1

X ( x + 1)

dx

dx completando cuadrados



I - — L _ L n x + Ln X + 1

fI x

X X + 1

+c

Calcular

I

L u eg o :

/ = ~ • |x 2 • L n ( 1 - x ) dx

x )ú x ; p ero

■Ln

LnyfiT- x = ^ * L n ( l - x )

H agam os: o

du = x dx

j

1 - L • — L n (l - x ) - - *

L u ego:

j* x - 1

dx

, Pero:

X2 + X +

0 -t x

0+ x - X + 1

Entonces: / =

^=

•í ~ L n (l ~ x) ~ ~ r v-3

2 '!

if^ n ll ~ x ) - ~

/= i - x tL n (l- x )- ^ - x

24)

Calcular: I

x 2 + x +1 +

I

+ x + Ln |x - 1 1) j + C

4 - “ •x

- - x - ~ - L n | x - l| + C

. dx

Hagamos: u - L n (x)

dv

du

2 L n (x) •

du

- • Ln íx)dx •*--

• dx

--L dx

du - x “ • dx u

jd x

--


0 +1

1


Por lo tanto: I ~ --i- Ln 2 (x ) + 2

• Ln ( x ) d x U

Ahora calcularemos ^ por partes Ui = Ln x

dui ~ ~ Y ’ dx

du-i - — -d x

«i

1

I = - — Ln 2 { x ) + 2

Por lo tanto:

Ln

Calcular: / =

J -2• dx

• Lnx + 1

( x ) - 2 • — Ln x - - + C '

'

X

X

Jy 2/3 L n (3 y ) dy .

Veamos: d i’ ~ y 2 °d y

u = Ln (3y) du = ^ - d y du

^ T T T

- • dy «

-ü -ÍV

53 dy

J = f - y r^

Calcular: I -

L n ( 3 y ) - ¿ - y s/ ' U c

íI x Lnx dx


T Moisés Lázaro Carrión

Veamos: Haciendo: u = Lnx du = — • d x * X

Luego:

L n x | x d x

/■

/ = 4 - Lnx- i - í + c /= - - (2 L n x -1 ) + C

27)

Calcular: I = J x n • Ln x dx , n e Z +

Solución : /

281

Calcular: I

xn+1

n+ 1

Lnx

Ln x

í7 ^

1

(n + 1 )¿

v-rt + l

x

+C

dx.

Solución: I = 2 y [x {L n x - 2 ) + C

66



4.1.3. INTEGRAl P8R PARTES REI PROPUCTR DE POIINIMIOS CRN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS En este caso elegimos com o

29) Calcular:

“u” a

la función polinomio.

I -- J x ■eos (nx) ■dx

Haciendo:

u

x —_

du = eos (nx)dx

du--dx <-----------^ u ~ ^ • sen (nx)

Luego:

x sen (nx)

I

• J sen (nx) dx

/ = -n■x sen (nx) ' ' - -nL\ - -neos (nx) J] +C I-

- • x sen ( n x ) +

301 Calcular:

4 r ■eos (n x )

+

C

I ~ I w eos (3 w )d w

Es similar al ejercicio 29.

Solución: '311

I = ~ w sen (3w) + ~ eos (3 w ) + C

Calcular:

I -

fI x • s e n 2 (3 x ) dx

Haciendo: u= x v

o

dv ~ sen (3x)cbc dv = j (

du = dx <

Luego:

1

- eo s 6 x)d x

v ~ -~(x - ~ s e n ( 6 ;

7=|--x(x~-i - sen 6 x j

^ • J( * ~ ‘ sen 6 x j dx

67



/= 1.

x2 __L

x sen { 6 x ) - \ • x 2

/= \ x2

1

1 -

32)

x sen ( ó x ) - - ^ •

+

72

eos ( 6 x )

+C

• eos ( 6 x ) + C

. x 2 „ _ L . x sen ( 5 x ) _ X . COs ( 6 x ) + C 72

I = |x2 • sen ( x ) dx

C a lc u la r:

í*

Hagamos: u= x du =

du = sen(x)dx

2x

Por lo tanto:

• dx «*-

u = - c o s (x )

J= -x

• eos ( x ) + 2 i x • cos(x)dx

í.

Cálculo de / du = eos (x)d x u = sen(x)

Entonces:

I = - x 2 eos ( x ) + 2 /= - x

C a lc u la r:

/=

x sen (x ) -

I sen (x ) dx

l-

• eos ( x ) + 2 x ■sen ( x ) + 2 eos ( x ) + C

íx

• eos

(2 x )

dx

Hagamos: du = cos( 2 x)d x u = -g- • sen( 2 x )

68



Luego:

/ = ~ *x

3

sen ( 2 x ) - -

Jx2 • sen(2 x)dx

Cálculo de U por partes: di>i di¡i - 2 x • d x <—

-

sen( 2 x)dbc ~ - 2 ' cos( 2 x )

Por lo tanto: J - - J - x 3 s e n ( 2 x ) - - ~ - | - ^ ■x z c o s ( 2 x)-t- J x - c o s ( 2 x ) d x ¡

/ = • x3 sen (2x) + -|' • x2 eos { 2 x )--| f x • cos(2x)dx Cálculo de I2 por partes: u2 =

= cos( 2 x)dx

du2 = dx <--------------- v2 = j - sen(2 x) Entonces: 1 = —•x 3 sen ( 2 x ) + - - x

2

eos ( 2 x ) - - §

- • x sen ( 2 x ) - ~ J s e n ( 2 x } d x

I = 1 . x 3 sen ( 2 x ) + — • x 2 eos ( 2 x ) - f - x sen ( 2 x ) - - | eos ( 2 x ) + C

34}

C a lc u la r:

I = j* x • cosec 2 (x )d x

Haciendo: u= x \

ey

dv = eosec (x)dx

du - dx <-----------— v = - c o t g ( x )

69


r


I = - x c o t g (x ) + | c o tg (x )d x

Por lo tanto:

í-

1 = - x cotg ( x ) + Ln|sen(x)| + C

35)

C a lc u la r :

I - J d sec 2 6 d6

361

C a lc u la r :

/=

371

C a lc u la r :

I

Hagamos:

,

S o l u c .:

1 = 6 tg<9 + Ln lcos^ l + C

I x • eos x • dx ,

S o lu c . :

/ = x s e n x + cos x + C

!■

t

dx

u - xv

c/i;

• dx

du ~ cosx

• sen

x - dx

v = -sen _1x u--cosecx

d u -d x

Entonces:

/ = - x cosec x + J co sec x d x I -■ - x cosec x + Ln j cosec x - cotg x | + C

38J

C a lc u la r:

I = I x * sen x • eos x • dx

Antes de Integrar, hagamos la siguiente sustitución: Sabemos que:

Entonces: (i)

sen 2 x = 2 se n x • eos x

j sen

2x

= sen x • eos x

sustituyendo (i) en I :

70



J*[i

sen 2 x

I = — • |x • sen

v - - Í c o s 2x

du --d x <-

• x c o s 2 x + -| • | co s 2 x d x

1- ~

Luego:

í-

I =

39)

• dx

dv = s e n 2 x dx

u = x-

Haciendo;

2x

dx

• x cos 2 x + -g- • sen 2 x + C

I = J ( x 2 + 5 x + 6 ) cos ( 2 x ) dx

C a lc u la r:

1=

Jx2

/ = J

cos ( 2 x ) dx + 5

x 2 c o s (2 x )d x + 5

C á lc u lo d e í j Ui = x 2 dui =

2x

f

• cos ( 2 x ) dx +

6 J c o s ( 2x )d x

x - c o s ( 2 x ) d x + 3 sen ( 2 x )

C á lc u lo d e l 2 = cos (2x )d x

dx<

j* x

yl =

2 ’ sen(2 x )

= cos( 2 x )d x

u2 * du2 = dx <

u2 ~ 2 ' sen(^ x )

Por lo tanto: 1 = -|*x 2 sen(2x ) -- fJ, x sen ( 2x)dx + 5 -g-xsen(2x)--| Jsen(2x)dx

+ 3sen(2x)

I ~ ~ ‘ X2 sen(2x ) - J x s e n ( 2x)ck + -|*xsen{ 2x ) - | - ’ Jsen( 2x)dx + 3sen(2x)

71


Moisés Lázaro Canión

I =-| x 2 s e n (2 x )- J xsen(2 x)dx + ~ • xsen ( 2 x ) + ^--cos( 2x ) + 3sen(2x) + C

H n2

Cálculo de J3 por partes: Entonces: du3 -- sen( 2 x)d x

U3 - X '

>3 = - i * c o s ( 2 x )

du3 ~ dx *

t

|

/3

~ - ^ x c o s (2 x )

4 ---

j*c o s ( 2 x )d x

J /3 = _ l x cos( 2 x ) + l . s e n ( 2 x )

R e e m p la z a n d o / 3 e n I : / = -£x2sen(2x)4 ^xcos(2x)---|;sen(2x) + ^ • xsen(2x) + “ -cos(2x) + 3sen{2x)+C ^ “ ( 2 x2 ~ “4 +

f ^ )sen(2x )4 (

Calcular:

x f ¿ )cos{2x) 4 C

) sen( 2 x ) 4- (

/= |

Entonces:

40)

2x

/

)

eos ( 2 x ) + C

J x se n *! x )d x

Haciendo: du - sen' (x)d x da = sen(x)sen (x )d x Q

da =- s e n (x )[l - c o s ^ x )] dx du = sen(x)dx - sen x • eos 2 x dx du - dx

P o rlo ta n to :

/ = -x c o s x

u = -c o s x +

4-i

• x eos 3 x -

j*

[ - c o s x + - - eos 3 x ]d x



I - - x eosx + i - x eos 3 x + J eo s x dx — • j* e o s 3 x • dx

/ = - x eos x + ~ x eos 3 x + sen x - ^ • I eos 13 x dx

í:

Cálculo de I 11 =

S

eos

x dx

/j =

j*eos x (1 - sen 2 x ) dx

I-i

J eos x dx - j*eos x sen2 x dx

-

1

r ¡ i = sen x

sen

3

x

Reemplazando I-. en /: I - - x eos x t l x eos3, x -r sen x I = - x eos x t ^ x / = - x eos x +

41)

( sen x - ^ ■sen 3 x ]

eos 3 x +■sen x - ^ sen x + ^ senlJ x + C

x cos° x +

■sen x + d- sen3 x + C

D e m o s tra r q u e:

f senn + 1;

J cosm + 1. Pero:

dx = — • sennx _ _n_ m r™mv- m

I = f - sri''

J cosm + 1x

í

seWLlx_ dx r.m-1

dx = ís e n n x •

J

n e Z + ,m e Z

- n *— dx

cosm+1x

73



Haciendo:

Luego: °

I = — • sen " x • eos m x m

I sen n

m

I

1

x • eos "rn+1 x • dx

dx

v42J

D e m o s tra r que:

eos

m

- i Hacer:

I =

1

x dx

í c o s ^ J sen ‘ x

.1 .. cosm x _ ni n c0nn vn i f J

COS

m

X

,n

í

COS

+1 .

Haciendo:

Luego:

/- - L ■

n sen'' .x

- — f

n J

— --

sen” >

— ¡Jx


:r¡ ™1

X

- 1 „

dx

s -í\r U X


4.14 INTEGRAL POR PARTIS GIL PR0DUGT0 01 POLINOMIO POR EXPONENCIAL En este caso elegir com o “ u” la función polinomio. (43^

Calcular:

I - J x 2 •e

* dx

Hagamos:

du - e xdx v = ~e Por lo tanto:

!

I = - x 2 e~~x + 2

Cálculo de

I

I x • e~ xdx

j por partes:

u - x .

du = dx <-

dv = e Xdx v = -e

Reemplazando en l :

/ - —x 4" e x - 2x e /:--: - e x ( x

441

Calcular:

- 2e ' + C

-i-2 x *■ 2 ) -i- C

J = J x 2 -e2x d x

La solución es similar a la anterior. D ebe de tratarse de “bajar” la potencia de x

o

, derivando sucesivamente.

Solución:

I = 4- • x 2 e 2x - 1 x e 2x + 4- • e 2x + C



451

Calcular:

I = j* x 3 • e x^3 dx

Su desarrollo es similar al ejercicio 43. / = _3 e “x/3 ( x 3 + 9 x 2 + 54 x + 1 6 2 ) + C

Solución:

461

Calcular:

/ = J e ^ * dx

Hagam os la siguiente sustitución: 4x = t X = í2

dx = 2t - dt Por lo tanto: 1=

|eí • 2t - d t

i

1 = 2 j t é ■tdt

du = dt <-------- ^ -------- J

Luego:

/=

2

(t e í - J V - d t )

I = 2 (te t - e i ) + C I = 2el (t -1 ) + C /= 2e^

{ y f x - l ) +C



( 47^

C a lc u la r:

1= |x'J * e x * dx

Pero:

I = | x 3 • ef

!• - ■r J

• dx = | x z • x e A dx du

A h o ra integrem os p o r partes:

dv - x • e x

x" ex -

I

P o r lo tanto:

1

. v-2

I = j - ex

48)

i| x e x dx 1

c

(x ¿ - l ) + C

I = J ( x 2 - 2 x + 5 ) e x dx

C a lc u la r:

Pero:

■dx

I =

J*x2 e -x

/=

JI

dx-

2 J x • e~x

• dx + 5

j* e “ x

dx

V xdx x 2e Xdx -- 22 JI x • e x • dx - 5 e~

I-L está resuelto en el ejercicio 43.

/2

está resuelto en el ejercicio 43 parte J-,

Por lo tanto:

/ = -e

* (x 2 + 2x + 2) - 2 (-x e x - e x ) - 5 e "x -t- C

J = - e - x ( x 2 + 2 x -¡-2 ) + 2e X( x - í - l ) - 5 e K -<-C / = s~x ( x 2 + 2 x + 2 - 2 x - 2 + 5)

I = - e _x (x

C

+ 5} + C



!«)

Calcular:

Dividiendo:

/=

|es“ M

|dx

í'

/ = J e senx ( x • eos x - sen x • eos

í'

2 x ) dx

Multiplicando y separando en dos integrales: / = J x e senx • eos x • dx - J e senxs en x • cos '~2 x • dx h

h

C á lc u lo d e / j

du = dx <— v

C á lc u lo d e í 2

e

Reemplazando /] e í-¿ e n / : í = x e wn* -

f e s,'n v

dx

I - x ef’onx - f e *’ux dx

/- e

- ! - i - ■e s,::i* - - 3 - . es;'n *

f - 1 - - • e * " * eo sx - d x ]

+ fe ^ n x dx + C

' ( x -- sec x ) h- C

4.1.5 INTEGRALES POR PARTIS CIRCULARES Son aquellas que al integrar por partes, la integral original se repite. Esto nos permi te despejar la integral deseada.

5}

C a lc u la r:

I = Jex • sen x • dx



Hagamos: du ~ sen x dx

v=Entonces;

í

Cálculo de L

í -

eos X

s e n x • dx

~ - e x e o s x + I e x • c o s x dx U

por partes:

m =e düi = e

■dx <■

Reemplazando en I :

í e x sen 2

x • dx = - ex • eos x + e x sen x -

I:I ex sen x •dx

i

|ex sen x • dx = - e x • eos x + e x sen x

e x sen x • dx = - j * e x (eos x - sen x )

J (5 ^

Calcular:

I = J sec 3 x •dx

(esta integral es muy usual)

Solución: 1) Descomponemos sec x en dos factores, así:

2) Ahora, integremos por partes:

Haciendo:

u ■--- sec x

sec1 x -- secx • sec x

/ --- J s e c x • sec¿ x • dx

du - sec¿ x • dx



Por lo tanto:

í sec3x • dx = sec x • tgx -

Jsec x • tg2 x • dx

sec x • tg x - Jsec x • (sec2 x - 1 ) • dx sec x • tg x - J (s e c 3 x - sec x ) dx

J

J sec 3 x • dx = sec x • tg x - Jsec3 jsec3 x * dx + | sec x • dx 2 J s e c 3 x • dx = sec x • tgx + Ln |sec x + tgx| + C

sec 5x • dx = — • [ sec x • tg x + L n |sec x + tg x j + C ]

52j

C a lcu la r:

I

Jo

e x sen(2x)dx

S o lu c ió n : Haciendo: du = sen(2x)dx

v = —|-cos(2x) Entonces:

j

ex sen (2 x ) dx = - j • ex eos (2 x ) + -|- •

|

ex eos (2 x ) dx '

Integremos

por partes:

du = cos(2x)dx u = ^ • sen(2x)

80


í

'


Por lo tanto:

J e x sen (2 x )

dx =

ex eos ( 2 x ) + j

j r • ex sen (2 x )- d - •

j e x sen

{2 x)d x

J e x sen (2 x ) d x = - j • e x eos (2 x ) + ^ • ex sen ( 2 x ) - j • J e x sen (2 x ) dx

J e x sen (2 x ) dx +

• J e x sen (2 x ) dx = — • e x eos (2 x ) + j • ex sen (2 x ) r/4

4‘ J

ex sen (2x) dx = —^ • ex eos (2x) + ~- ex sen (2x'

f

»ít/4-

ex sen (2x) dx = |-

Jo

- i • ex eos (2 x ) + j ex sen ( 2 x ’ ex [ - 2 eos ( 2 x ) + sen ( 2 x ) ]

=

l •ex * ( - 2 c o s { 2 x ) + s e n (2 x ) )

t/4

Luego, evaluando: ,ír/4

e v sen ( 2 x ) dx =

^ ■e ^ 4 ( - 2 eos ( x ( 2 ) + sen (>r/ 2 ) J

-- -~ * e ° ( - 2 c o s (0 )-¡-s e n (0 p ~1

ex sen ( 2 x ) dx =

31

Calcular: Hagamos:

I =

( e^ 4 4

2

)

le e o s 8 d 6

í

d v = eos d dd

u= e d u = e 6* • dd

v = sen(

81



í efJ eos 0 ád = z 9 sen 0 -

Entonces:

i ensené?<

Nuevam ente /j se integra por partes: du\ = sen 0 dd

ü} =

-- - eos 6

duj = z °d d Por lo tanto:

i

e ft' eos 0 dO = z e sen 0

í z ° eos 0 d0 = z ° sen 0 + z ° eos 0 2

íI é

Je^cos^dd

I z 9 eos 0 dO

eosO dd = e f (sen d + eo s9 ) z e cosO d6 = ~¿z° (sen d + cos d ) + C

(54)

Calcular:

I = j e 2x • eos (3 x ) d x

El procedimiento es similar al ejercicio 53.

Solución:

(55)

I = ~ ^ - e 2x

I=

Calcular:

3 sen (3 x ) + 2 eos ( 3 x ) + C ]

1 zTf COS {7Tt)dt

Es similar al 53.

Solución:

(56)

Calcular:

I = —t£ — e f 7T2 +1

sen [ n t ) - — eos ( n t )

- ....... ............................. n

I = j e x sen 2 x • dx


+C


du - e Xdx

u = sen x

Haciendo:

du =

2 sen x

du = sen

2x

• eos x dx :u = - e

dx

í

I = - e " xsen2x + I e Xsen 2 x • dx

L u ego :

C á lc u lo d e

p o r p a rte s : di^ = sen

2x

dx

üj = - j • eos

e x sen

2x

2x

2x

dx

-i'-jjr l e " y • sen

2x

dx = ~ ~ • e x eos 2 x - ~

\e x eos

l-

C á l c u l o d e J2 p o r p a r t e s : du2 = eos

u2 = e

du 2 = - e xdx <---------------^ u2 =

2xdx

* sen 2 x

Reemplazando el resultado de /2 en ( * )

I-^ ~ Je x sen

2x

dx - --- e ‘ x eos

2x

- ~

sen

2x

j e ' x s e n 2 x d x ~ - j e ' x c o s 2 x - JL^ - s e n 2 x - ~

J e " x sen

2x d x

*í

J e *

• dx

sen 2 x dx

= ~ ^ - e " x ( 2 co s 2 x + sen 2 x )

/] - J e " x s e n 2 x ■dx ----- —| ^ ■e ‘x ( 2 co s 2 x + se n 2 x ) J-. - -

4-• e

x ( 2 c o s 2 x - r s e n 2 x )-¡-C

83



R e e m p la c e m o s J j e n I I = - e “ x sen 2 x - 4 • e x ( 2 eo s2 x + s e n 2 x ) + C e x [5 sen 2 x + (2 c o s 2 x + s e n 2 x )] + C

/=

57}

I = J s e c 5 ( 3 x ) dx

C a lc u la r:

OBSERVACION: Las integrales de las funciones trig on om é tricas:

/ = I sec 3 (3 x ) sec 2 (3 x ) dx

1) Hacer:

se c3 //,

sec5//,

secn//;

esc3 //,

CSC5 //; cscn/i , con n nú m ero im p a rp os i-

tivo, se desarrollan sim ilar al ejercicio 51.

2)

Ahora integremos por partes: u = sec 3 ( 3 x )--------------

du

sec (3 x ) dx

du = (3sec (3 x )(sec(3 x ) • tg(3 x ))(3 )d x du = 9sec 3 (3 x ) • tg(3 x )d x <----------3)

v = i • tg(3x)

Por lo tanto:

f

• tg (3x) • sec3 ( 3 x ) - 3 Jsec3 ( 3 x ) - t g 2 ( 3x) dx

/=

• tg (3x) • sec3 ( 3 x ) —3 Jsec 3 (3x) * [sec2 (3x) - 1] dx

í = 3-' tg(3x) • sec3( 3 x ) - 3 Jsec 5(3x) d x + 3 Jsec 3( 3 x) d x

Cálculo de /j es similar al ejercicio 51: Hacer:

=

J sec(3x) • sec2 ( 3x ) d x “i

Haciendo:

7} = J sec3 (3 x )d x

di>i

u1 =sec(3 x)-

dui = 3sec(3x) • tg{3x)dx-

dui = se c (3x)dx vi = j • tg(3x)


........... (i)


Entonces: I 1 = J sec3 ( 3 x ) dx - --- ■sec ( 3 x ) t g ( 3 x ) - J s e c ( 3 x ) tg 2 ( 3 x ) • d x = ^ • sec ( 3 x ) tg ( 3 x ) - Jsec (3 x ) [ sec2 (3 x ) - 1 ] dx = ~ * sec ( 3 x ) tg ( 3 x ) - J sec° ( 3 x ) dx + J sec (3 x ) dx

2 Jsec3(3 x ) dx = ^ • sec (3 x ) tg (3x) +

Ln j sec (3 x ) + tg ( 3 x ) |

Dividiendo por 2:

= J s e c 3 (3 x ) d x =

* sec (3 x ) tg (3 x ) + ^ L n j sec (3 x ) + tg (3 x ) j

Reemplacemos el resultado de ^ en 3) (i):

I = d- • tg (3 x ) sec3 ( 3 x ) - 3 Jsec5 (3 x ) + 3

~ * sec (3 x ) tg (3 x ) + jr L n ¡ sec ( 3 x )+ tg (3x)| j

Jsec5 (3 x ) dx = d-- tg (3 x ) sec3 ( 3 x ) - 3 Jsec5 (3 x ) + ~-sec (3 x ) tg (3x j • Ln |sec (3 x ) + tg (3 x ) |

J secj (3 x ) dx = —•• tg (3 x ) sec3 ( 3 x ) + j • tg (3 x ) sec (3 x ) + i • L n j sec ( 3 x ) + tg ( 3 x ) |+ C

(58)

C a lc u la r:

I =

Hagamos-

•

e 0* • cos (b x )d x dv = cos (b x)d x



I = ~ ' e ax sen ( b x ) - f - J e 0* • sen ( b x )d x

Entonces:

Cálculo de

por partes: Ui = e

dih = sen (bx)dx

duj = a * e 0* • dx *

ul ~ ~ ¿ ‘ cos(bx)

Reemplazando este resultado en J-, :

/=

1

-i * e0* eos ( fox) + - *

. e 0* sen ( b x ) ~ ~

J e 0* eos { fox) dx = £ e°* sen ( fox) +

í

e°*

eos ( fox) dx

+

•

1

I e °*

/■

J e ax eos ( fox) dx

* e ax eos { fox) - ^ • J e 0* eos ( fox) dx

eos (fox) dx =

•

sen (fox) + a e0* eos (fox)

j J e 0* eos ( b x ) d x = - ~ e ax [ b sen ( b x ) + a eos (b x ) ]

+

b2 + a2

J e ax eos (fox) dx = -4r e0* [ fo sen (fox) + a eos (fox) ]

Por lo tanto: e ax eos (b x ) dx = - 0*^—7 e ® [ b sen (b x ) + a eos (fox) 1 + C a

591

C a lc u la r:

S o lu c ió n :

+b

L

i

1 = I e°* sen ( fox) dx

I =

2~"'¿2' eQX [ 0 sen

( b x ) - b eos (b x ) ] + C

86


J

La Antidei'ivada y la Integral Indefinida

¡O)

Calcular:

Solución:

I =

62)

63j

64)

)3^2 + (1 + x )^2

+C

I = —?r— e f f /r sen ( ; r t ) - c o s (¿rí) 1 + C

I = I e 2x sen ( x ) dx

í-

I = j - e 2x ( 2 sen ( x ) - c o s ( x ) ) + C

/=

J£

j e x eos (3 x ) dx

J = ~=~ex s e n (3 x } + - ^ • e x c o s (3 x ) + C

Calcular:

Solución:

(1 + x

í*

Calcular:

Solución:

-

I ~ Je í eos (7 rt)d t

Calcular:

Solución:

-g L * dx

/= 2 I

Calcular:

Solución:

j

I = J cosec

I

3 ( x ) dx

- c o s e c (x ) c o t g (x ) + Ln |cosecx - c o t g x )


+C


5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INTEGRALES DEL TIPO

5.1.

I

i-

sen™ u • eos" u • du

=

CASOS;

ler. CASO Cuando “ m v n ” sean un núm ero ENTERO

IMPAR

POSITIVO, no

importa ¡o que sea el otro exponente.

Es decir pnedf- ocurrir cualquiera de las siguientes» alternativas: A ) m -- impar ■

B)

n

- impar e

n ?_ Q ....................... Z : - números enteros positivos

%"

a

ni e

Q

Q ---■

números racionales

C ) rr¡ '*■ n son números enteros impares positivos.

METODOS A SEGUIR

Paso 1 El de potencia IMPAR, se descom pone com o el producto de dos factores, tal que, el primer factor tenga POTENCIA UNO y el segundo factor tendrá potencia, la di ferencia (que será par).

El segundo factor, que tiene potencia par, se expresa (según el caso) en función de una de las siguientes identidades:

sen u = o

eos u =

1

- eos u

1

o - sen u



Paso 3 | Después d e las operacion es anteriores, las integrales q u e se o b tien en son fáciles de calcular, puesto qu e son la inm ediata aplicación d e la fórmula:

du

n +■1

En la alternativa c) se tiene que: si m

a

+c

n &1

n son enteros impares positivos, entonces

se prefiere trabajar con aquel factor que tenga la m e n o r p o te n c ia im par. Veam os la forma general en que debem os proceder:

A)

Si

m - 2 k + l (impar) para todo k e Z +

La integral

I - J sen2k +1 u * eos n u • du

/=

í

senu • sen

2le u * eosn I

1

se descom pone en:

t u • du

Factor d e potencia par

Factor d e potencia uno

/=

senu * (sen 2u)k • cosn u * du

1=

sen u • (1 - eos 2 u)k • cosn u * du

Desarrollando (1 - eos u f

y multiplicando por cosn u , obtenemos integrales

inmediatos que serán potencias del eos u . B)

Si n = 2k + 1 (impar) para todo fce Z + . La integral: I ~ I senm u •cos2k +1 u ■d u , se descom pone en:



I - J s e n m u • cos2k u • eos u • du I = J s e n m u • { eos 2 u f • eos u • du l = J s e n m u • ( 1 - s e n 2 u )k • cosu • du

Desarrollando (1 - sen 2u)fc y multiplicando por senmu , obtendremos integrales que serán potencias de senu E je m p lo s : C a lc u la r :

@

S o lu c ió n :

I = J sen 3 x • eos 2 x • dx

La función sen2x descomponer en senx sen2x :

l

/ - | sen x • sen2 x • eos2 x • dx

I = Jsen

66}

C a lc u la r :

S o lu c ió n :

x • (1 -

eos2 x ) eos2 x • dx

I

j*sen x ■eos2 x

I

... i2p L .t. Lüpx ... c

• dx -

j*sen x • eos4 x

■dx

I = Jsen3 ( 2 x ) • eos5 ( 2 x ) dx

La función sen 3 (2 x ) descom poner en sen (2x) sen 2 ( 2 x ) .

1 = J sen 3 ( 2 x ) • cos 5 ( 2 x ) • dx I Trabajamos con este factor por tener la menor potencia im par



l ~ Jsen ( 2 x ) • sen2 ( 2 x ) • eos5 ( 2 x ) dx

I ~ Jsen ( 2 x ) • [

1

- eos2 ( 2 x ) j •eos5 ( 2 x ) dx

/ = Jsen ( 2 x ) • eos5 ( 2 x ) dx r _

]_

eos

i _ --

C a lc u la r :

S o lu c ió n :

(2 x )

/

i ^ cos

|- - ¡

( - 2)

(2 x )

o

^

f O

* eos 6 ( 2 x ) + j~ * c o s 8 ( 2 x ) + C

I =

67)

-

fsen ( 2 x ) • eos7 (2 x )* d x

/ = Jeos3 ( 3 x ) • sen 7 ( 3 x ) dx

La función cos 3 (3 x ) se descom pone en cos(3x) eos 2 ( 3 x ) :

I = Jeos ( 3 x ) • eos2 ( 3 x ) • sen7 (3 x ) dx I = J eo s ( 3 x ) * 1 1 - s e n 2 (3 x ) j • sen 7 (3 x )d x / = J eo s ( 3 x ) • sen 7 ( 3 x ) dx - J e o s (3 x ) • sen 9 ( 3 x ) dx

jr __ _1

_

sen (3 x )

/ = — *sen

C a lc u la r : S o lu c ió n :

J

í

3l

sen

Jq(3 x ) +Up

(3 x )- s ^ s e n

sen5 (2 x ) e o s 2 (2 x )

30

(3 x ) + C

•dx

La función sen (2 x ) se descompone en sen (2 x ) sen' (2x).



J sen (2 x ) • | sen2 (2 x ) j

* eos 2 (2 x ) dx

J sen (2 x ) • | 1 - eos2 (2 x ) j

• eos"2 (2 x )-d x

Jsen (2 x ) * 11 ~ 2 cos¿ (2 x ) + eos4 (2 x ) j • eos ¿ (2 x ) dx Jsen (2 x ) eos"2 ( 2 x ) d x - 2 Jsen (2 x ) dx + Jsen (2 x ) • eos2 (2 x )d x 1

2

eos 4 i2*)

o / 2 (

-1

1

•eos( 2 x ) ) - 1 1• êos3 (I2 x ) + C

4- eos m e í{ 92y-x ) — -i- * sec (2 x")\ + - \ • eos3 (2 x ) + C

Í69J

^

C a lc u la r :

S o lu c ió n :

J=

í

J Íj$en&

• dd

La función cos5(d) se descompone en eos (d)eos4 ( d ) .

/ = Jcos5d • sen"1/3 d • dd

I = Jeos 0 • eos4 6 * sen" ^ 3 d * dd / = Jeosd • (eos2 d )2 • se n "1/3 d • dd / = Jeos d ■(1 - sen2 d )2 • sen" ^

d • dd

/ = J e o sd • ( l - 2 s e n 2 d + se n 4 d) • sen 3 d - d d

1 = Jeos d • sen"1'3 d dd - 2 Jeos d sen^ d dd + Jeos d se n 3 d dd /= +

[7 0 )

C a lc u la r :

S o lu c ió n :

1 sen 3 d -

JS 21 sen3 6 + ^ se n 3 d + C

/ = J sen3 2d • eos5 2d dd Descomponer sen3 (2d) = sen(2d) • sen2 (2d)



I =

Jsen 2 9 sen2 2 6 eos5 2 9 d 6 - Jsen 2 9 (1 - eos2 2 9 ) eos5 2 9 d 9

/=

Jsen 29 eos5 29 d¡9 - Jsen 29 eos7 • 29 d9 = - I L S ilJ - L + i . £2lJ~L 2

l — —

6

2

eos62 9 + -— eos8 29 + C 16

12

C a lc u la r:

/ = | eos'3 39 sen7 3 9 d9

La función eos '530 se descom pone en eo s{39) • eos* 39 .

S o lu c ió n : I -

Jcos39 eos'"’ 30 sen'' 39 dO - J eos 39 (1 -- sen2 3 O )2 sen ' 39 dO

I =

Jcos39 ( 1 - 2

sen 2 3 ti + sen 4 3 9 ) sen 7 3 9 dO

- J eos 30 s e n ' 30 dO - 2 J eos 30 sen 9 30 dO + J eos 3 0 sen 1 1 3 0 dO =

]

s fn '5

3

g

30

0

i

¿3

jy

3ü

_ i

-^

/ = ■— sen 8 3 9 - -Xr sen 10 3 9

C a lc u la r : S o lu c ió n :

I =

Jsen3 5 x

sen ""' 3

jó

I)

p

61-

~ r sen 12 3 9 + C

dx

o

í =

J sen

5 x •sen2 5 x dx = J s e n S x ( 1 - c o s 2 5 x )d x

J sen 5 x dx - J s e n 5 x eos2 5 x dx / = - i ( - e o s 5 x ) ~ ( - -g) -S2!_££ + c I - - ¿ eos 5 x + •— eos3 5 x + C

73)

o

La función sen 5 x se descom pone en sen5x • sen 5 x .

C a lc u la r :

/=

Jcos32xdx



Solución:

Descomponer eos3 (2x) en cos(2x) • eos2 (2x) J = Jeos 2x eos2 2x dx = Jeos 2x (1-sen2 2x)dx = Jeos 2x dx - Jeos 2x sen2 2x dx

1= 74)

C a lc u la r :

Solución

sen2x -g- sen3 2x + C J = J W * * c

Hacer s e n = senx sen4x

I

/ = Jsen x sen4 x dx = Jsen x (sen2 x }2 dx ■ J s e n x (l-c o s 2 x f dk!

.* Jsen x d x - 2 Jsen xcos2.xdx+ Jsen ^

cosx-

2 | - - 4 ± | - ^ +C

/ = -co sx + -|cos3x - ¿ c o s 5 X - C

C a lc u la r :

Solución: I

^ I

/ = Jsen7 3x dx Descomponer sen73x en sen3x-sen63x

= Jcos3xeos6 3x dx = Jcos3x(eos2 3x)3dx = Jeos3x (1-sen2 3x)3 dx Jcos3x (1 -3 sen2 3x + 3 sen4 3x - sen6 3x) dx = J cos3x dx - 3 J cos3x sen2 3xdx + 3 Jeos 3x sen4 3x d x - Jcos3xsen6 3xdx

94



¿sen ó

+

ó

O

3

5

3

7

+C

-isen 3 x - - - sen3 3 x + -1 sen5 3 x - - 3 js e n 7 3 x + C

(7 6 }

C a lc u la r :

S olu ción :

I =

J

sen 5 x dx

D escom p on er sen 5x en s e n x • sen 4x

I

= J sen

x sen 4 x dx

I -

J s e n x (s e n 2 x ) 2 dx

1-

J s e n x (1 - eos2 x )2 dx

I = J s e n x {1 - 2 eos2 x + eo s 4 x ) dx / = J s e n x d x - 2 J s e n x eos2 x dx + J s e n x e o s 4 ,x dx

I = - e o s x - 2 ^ L ~ - l J _ co^x. + c / = - eos x + -| eo s 3 x - ~ eos5 x + C

¿

2do. CASO

S ea

/=

5

I sen m u eos n udu

í-

Si m y ri son pares positivos, entonces se hace una transformación usando las

senu • eos u - ~ sen 2u



E je m p lo s :

(7 ? )

C a lc u la r :

/ = H

xck

^

S o lu c ió n :

C c u !»:

j"Sen4

S o lu c ió n : /=

J(sen2 2x)2dx

~ j* dx - ~ J cos 2 x d x 2

j*l-(l~2cos4-x + cos24x)dx

x ~ 2“ 2 sen ^ x

4 Jdc' 2J

cos4xdx + —Jcos24xdx

(7 8 )

C a lc u la r :

/ = J eos

p

i x - i2 . i4 sen4x + l

x dx

jdx

±x-jsen4x + j fdx +j jcos8xdx

S o lu c ió n : l+ c o s 2 x

Jdx + i

■^•x-'|sen4x + '|x + -|"isen 8x + C

)d x

: |-x - 3-sen 4x + d^-sen8x + C

í cos 2 x dx

I v + i . I se n 2 x ) + C 2 X 2 2

x + ^sen 2x + C

C a lc u la r :

í

cos6 3 x

dx

S o lu c ió n :

J ( c o s 2 3 x )3dx f/

Jl

1 + eos 6 x V

2

)

dx

3Í (1 + 3 cos 6 x + 3co s

6 x + eos3 6 x ) dx

96



oo|i—>■ oo¡h->

x

oo|(->

J

x + — ■sen 6 x + ^ - x + -^ J c o s 12 x dx + ¿ J co s 6 x (1 - sen2 6 x ) dx

jooji-j

J

J d x + 1- j*cos 6 x dx + ~

x +~

+ sen + J( 8" 6

sen 6 x

eos2 6 x dx + —

+ •— x + -~r * ~

sen 6x

+~

x +

sen 6 x

+ -gL- sen 12 x +

lo

C a lc u la r :

64

sen 12

sen 12x + ~ Jcos 6 x

i ^ x + jtr 16

Jcos 6 x eos2 6 x

) dx + ~

§

eos3 6 x dx

x -f ~ • ~ 8

6

sen 6 x

sen 6 x

dx - ~

dx

Jcos 6 x sen2 6 x

- ~ • i - * — T -—- + C 8

- j¡~

6

3

sen3 6 x

/ =

Jsen4 5 x eos2 5 x

/=

J(sen25 x • eos25 x ) sen25 x d x

+C

dx

S olución :

=

J(sen 5 x • cos 5 x )2 sen2 5 x d x

_

sen 10 x ' l 2 ^ 1 - cos IQ x ^ ^

2

J

\

2

sen2 IQx | 1 ~ c o s ió *

•g- Jsen2 lO x dx -

Jsen210xcosl0xdx


dx


83)

C a lc u la r :

J= J(2 - sen#)2 de

1 = | eos j • sen ~ • dx S o lu c ió n : I

S o lu c ió n :

J |eos2f

' sen2 -| jcos2~dx

/= J (4 ~ 4 s e n d + sen2 d )d d

e o s • s e n ) eos2-|dx f

J

(

sen

( —

C a lc u la r :

x \ 2 ( 1+ i

(—

cosx r

~

= 4 J d d ~ 4 j*sen6l d d + Jsen2 ddd

\ , )

= 4 d - 4 (- c o s d ) + J ( l ~ -— )d d

d x

J sen2x dx + ¿ J sen2x eos x dx

= 40 + 4 eos 0 + ^ 0 - ^ J eos 20 d O = 40 + 4 eos ^ + 2 ^ ~ 2 ‘ 2 sen 2^ + C

¿ x - ¿ Jeos 2xdx + -?^sen3 x + C

=

0 + 4 eos 6 - ~ sen 2 0 -f C .

¿ x "w*2sen 2x + -¿ sen3 x + C -x-dg-sen 2x + ^ sen3x + C 4}

C a lc u la r :

I =

J sen2ax

• e o s 2 ax dx

Solución /= J(senax eos ax)2dx= J ( Jsen2ox ) Zdx *=!■ Jsen¿ 2axdx

“ 4 |(

- ■ |x “

= | 1 ^ - 8 J «*4 o x < ic

sen 4 ax + C

98



J

I = I | J sen 26 2 - eos 26 ) d6

C a lc u la r :

S o lu c ió n :

J ( sen 2(9-2 ^señ~2d

I

eos 20 + eos2 29 ) á9

J sen 26 dd - 2 Jcos20(sen 20)1/2 dd + jeos2 26 dd -|cos 20-2-|--(i^||£.! .+ J^-fl + cos Q6) d6 eos 26 - ~ sen3^2 20 + ~ 0 + - J eos 46 d d —| eos 26 - -|sen3/2 20 + ~ 0 + -i •~ ■sen 46 + C —~

8?)

C a lc u la r :

eos 2 6 - j sen3/2 20 + - 6*+ ~ sen 46 + C

= Jsen4 26 • eos4 26 d d

/

S o lu c ió n :

I = J(sen 20cos 20 )4 d0 4

í(

^ sen 4 0 )

d0

~

| sen1* 40 d0 1 J(sen 2 40)2 dd

_i_ J* |1-’ 16 0 - -J_1_

64

c»s 8 / ; j

2 d0 = ~~ J(1 -2cos 80 + eos2 80)

dd

J eos 8 0 dd + -g- J eos2 80 dd

^ X . l s en 8 e + i | ( Ü = « £ ) d ^

99



64

&

256 S e n ® ^ + 128 ^ + 128 .¿O

J I

eos 16 0 d9

_2_ q — l— sen g ñ a, ----_ ~ sen 16 6 + C 128

64 v

256

128

16

— sen 8 0 + — 7 K sen 16 0 + C 2048

256

5.2. INTEGRALES 01 LAS FORMAS

S

□ M

H

1 sen Ax • cos Bx dx = H U S B H F isen Ax • sen B x d x -

3 1 cos Ax • cos Bx dx -

Para estos casos se usa lías transformaciones siguientes: Para Q} -.en A\ • toe Bx -- -heniA

íi)\ + ,-en(A

Bl\]

Para (T | sen Ax • sen Bx = ^[cos(A - B)x - cos(A + B)x] Para [TJ cos Ax • cos Bx = -|[cos{A + B)x -t cos(A - P)x] E je m p lo s :

(87| Calcular:

/

í sen2x •cos4xdx

S o lu c ió n

í

/ = Isen 2x • cos4x dx r[sen(2x + 4x) + sen(2x - 4x)]dx

J2

12

cos 6x + ¿ eos ( 2 x ) + C , cos(-2x) = co$2x

ís

Calcular: /= |sen3x •sen2x dx S o lu c ió n : J= J-|[cos(3x~2x)-cos(3x + 2x)]dx

¿ Jsen 6x dx + ¿ Jsen(-2x}dx i •¿(-eos

Jcos x dx -

6x) + ¿ ^ -¿ j((-c o s (- 2x))dx

Jcos5xdx

= ~ sen x - ¿jsen 5x + C

100>



(89^

C a lc u la r :

(9 0 ^

í = Jeo s 4-x * eos 3x dx

C a lc u la r : I = J e o s 5x eos 8 x dx

S o lu c ió n :

S o lu c ió n :

I=

I = i eos 4x • eos 3x dx

Jeos 5 x • eos 8 x dx

r[ cos(5x + 8x) + cos(5x - 8x)]dx

= I 4[cos(4x + 3x) + co s(4 x -3 x )]d x - I jcos7x
~ J cosl3xdx + ~ Jeos (~ 3 x ) dx

= ~ •-y sen 7x + ~ sen x + C

i . J_

= ~ sen 7x + 4 sen x + C

—•sen 1 3 x -~ s e n (~ 3 x ) + C

2

13

i!3 x + j • ^-~-jsen(-3x) + C

~~ sen 13x + \6 sen 3x + C 26 N o ta :

sen( -3 x ) - ~sen (3x) co.s(-3x) = cos(3x)

tgn u d u

ó

J ctg”

u du

Cuando “n ” es un número entero positivo, se procede dei siguiente modo: El primer paso, es descom poner la potencia tg3u (o ctgnu) en dos factores, de O O tal m odo que el primer factor debe ser siempre tg u (o ctg u ). El segundo paso, es hacer la sustitución: rg'û - senû - 1 o

ctg“ u ---- csc^ u --1

El tercer paso, es multiplicar e integrar.



Es decir: I = Jtgnudu 1" Paso = 2a” Paso

í = Je tgn u du = Jctg2u •ctgn-2udu

J tg 2 utgn~2 udu

= J(sec2u - l ) t g n~2udu

3erPaso =

Jsec2u*tgn-2u du - J tg n“ 2udu

=

J(csc2u - l ) c t g n~2udu

=

Jcsc2 U‘ Ctgr)-2u du- Jctgr7_2udu

E je m p lo s : (9 l)

C a lc u la r :

I = J tg4 0 á9

C a lc u la r :

1 - J tg5 2x dx

S o lu c ió n :

S o lu c ió n :

/= Jtg 52xdx

J= J tg 4 0 dO -

(9 2 )

= J tf2 x V 2 x *

J^ 9 2 & tg 2 0 d 0

= J(sec22 x -l)tg 32xdx = j ( s e c 2 0 - l ) t g 2 0 d0

= Jsec22x*tg32 x d x - Jtg32xdx = J s e c 2 0 tg 2 0 dO — J tg 2 0 d 0

= =

~ J (s e c 2 # - 1

)d 0

tg 3 0 - J s e c 2 0 d 0 + J d0

= 4 tg 3 0 -tg 0+ 0 + C

=1

j*tg22x- tg2xdx

= 1 • tg4 2x - J(sec2 2x -1) tg2xdx = -| • tg4 2x - Jsec22x • tg2xcix + Jtg2xdbc = ¿ *tg4 2x —|

1 Ln|sec2xJ

= ^ -tg 4 2 x - j tg22 x +1 Ln|sec2x| +C

102 -


La Antiderivada y la Integral Indefinida.

3}

C a lc u la r :

/ = J c tg 3 -|dx

-1

ctg4a x

J c s c 2ax • ctg a x + J*ctg axdx

S o lu c ió n :

I = j*ctg2

+ -- • Lnlsenaxj

• c tg ~ d x

a

'

f

~ 4^ c tg 4ax + — • ctg2ax

=

esc2 f - 1 ) ctg-- * dx

~ j*esc2 ~ * ctg - J c t g - d x

+ - • Lnlsen axl + K

^95} Calcular: I - Jctg43$dé?

.2 x

ctg

3 Lnlsen 41 + C

S o lu c ió n :

~ • ctg2 - - 3 Ln|sen |-| + C j*ctg4 30 dO =■ Jctg 2 30 • c tg 2 30 dtí

i 94}

1= Jctg5axdx

C a lc u la r :

-- j* ( esc2 30 -- 1) ctg2 30 dU S o lu c ió n : ---- j*esc 2 3O ■ctg 2 30dO - j*ctg 2 30 dO

I = Jctg5axdx ~“^ ‘

" Jlcsc 2 30 - l ) d l )

= Jctg2ax •ctg3axdx -- - f ■ctg3 30 - j"esc 2 30 dO

j*dO

= J(csc2 ax -l)c tg 3axdx = Jcsc2ax •ctg3axdx - Jctg3axdx

f

( esc ax

~~

• cig,53d - ( -q ) ( - ctg3í/) + O -j- K

---

• ctg3 3d *■■ ctg 3O + O -i- K

- 1 ) ctg ax dx



5.4.

IMTC6BJIÍESI! 1A FIRMA

J sec nudu

o

J csc nudu

CASOS: CASOI

Si n es un número entero impar positivo, entonces se recurre a la Integración por partes.

CASO II

Si n es un número entero par positivo, entonces

la potencia

secn u

(ó cscn u ) se expresa com o el producto de dos factores, de tal for ma, que el primer factor sea sec2 u (ó csc2 u ) y el segundo factor ,n - 2 secn 2 u (ó cscn 4u) gonométrica:

sec

o

se

expresa en términos de la identidad tri

2

u = tg u +1

csc

p

p

= ctg u + 1

de esta forma las integrales que resultan serán potencias de la tg u ó ctgu. Es

decir: l

Jsecn u du

í = J cscn u du

Jsec2 u •secn~2 u du Jsec2 u fI sec2

sec

u) 2

= Jcsc2 u •cscn"2 u du du

u (tg +1) 2 du

= Jcsc2 u [csc u) 2 du = Jcsc2 u [ctg +1) 2 du

Ejemplos: (9 6 j

C a lc u la r :

Jsec4 j¡x d x

104



S o lu c ió n ’.

S olu ción :

} = J s e c 4 |-xdx = J s e c 2 - j x ■sec2~xdx - Jsec2

/= jesc20 - esc2 0dd

| tg2-g'X +1 ^du

= Jcsc20(ctg20 + l)d0

= Jsec2-|x • tg2-|xdx + Jsec2 - x d x

í esc 0 •ctg dd + íI-esc

tg3h ■2 •- - J3 —+ 2 • t g ~ x + K

6 d6

|-ctg30-ctg0 + K

2 . tS3 w3 -i ^ + 2 t g i x + K 3 )9^ (9 y

C a lc u la r :

I

J s e c 6 5 0 dd

S olu ción : 1=

C a lc u la r :

i¡esc

/ =

S olu ción :

3 0 d0

I = Jesc2 30 • esc6 30 d0

Jsec2 5 0 • sec4 5 6 dd - e s c 2 30 (esc2 30 )3 d0

■í ■í • í ■f

sec2 50 •(sec2 50 f

sec2 50 (tg 2 5 0 + 1)2 dd

sec2 5 0 (tg 4 5 0 + 2 tg2 5 0 + l ) d 0

5

Jsec25/9 tg2 5 0 d 0 te5 5g 5

=

J esc2 30 ( ctg230 + 1 )3 d0

=

J esc2 30 ( ctg6 30 + 3ctg4 30 + 3ctg230 + l)d 0

= Jesc2 30 • ctg6 30 d0

sec2 5 0 -tg 4 50 d0

+ 2

i

d9

+

Jsec250 d0

í

+3 j esc 30 • ctg 30 +3 1esc 30 • ctg 30 dO + I esc 30 d0

2 . I . Ü Í 6£ + i . t g 5 0 + K

• tg5 50 + ~ • tg 3 50 + -- • tg 50 + K

1

'3 '

ctg 30

+3 C a lc u la r :

I -

J e s c 4 0 dd

7

I \ctgJ30

+ 3( ” 3 )

( 4

) ^

- ^

/ = ~ 2i ' ctg7 30 - i ■ctg5 30 —~ctg3 0 + K


• ctg3 30


ÍÓo) Calcular:

I = Jcsc6 f •dx

Jcsc2 £ ■( ctg4 ^ + 2 ctg2 -| +1 ] dx

S o lu c ió n : esc'' j

I

í

*dx

csc^

j • cíg4 1- ■dx

+ 2 J esc2 — • ctg2 -|dx + |csc^ -| • dx

J-

esc2 — • esc4 ~ • dx

Jcsc2f * ( esc21 )

I CSC 5.5

ctgJ

dx

ctg ~ +1 )

ctg'

I * ctg5 f - f •Ctg3 1 - 2ctg| + K dx

INTEGRALES DE LA FORMA:

J tgmusecnudu ó

Jctgmu •cscnu du

CASOS:

CASQI

Cuando n - 2 k

es número entero positivo par, se procede com o las

Integrales de la forma 5.4 . Así: tgm//sec2íc/id// = tgm// sec2 lí sec2k 2 (jd¡u fijo

2 sec //

t g > [t g V + l]

fc-i

du

multiplicar

Todas las integrales resultan potencias de tg//.

CASOII

Cuando “m” es impar a n es impar ó par se procede en descomponer en fac tores, tal que, aparezcan necesariamente juntos los factores sec // • tg // (ó esc // • ctg //) para poder, finalmente integrar como potencias de sec // (ó CSC u ). según sea la forma.

a) tg2íf’3//sec2f 3/ / b)

tg2fc' l//sec2jc' //=

tg // • sec // FIIO

tg // * sec //

tg2fc//

sec2^ ¡u d/V =

tg2*// sec2* (sec1 ' fi - 1'*

106


integrales de po tencias de sec //

//d// = integrales de potendas de sec //


Ejemplos: <1£¡> C a l c u l a r :

102)

I = j

I

= í tg3 6 sec4 9 d9

I

C a lc u la r :

tg3 9 •sec5 9 dO

S o l u c ió n :

S o lu c ió n : I = j t g 0 '(sec 6) sec O d0

W tf,»

= Jtg3# • ( tg2 9 + 1 ) sec2 6 d6

=J

I tg 9 0 • sec d 6 * sec6 sec ¿'dé1 9d6 -

= Jtg 5# *se c 2#d# + Jtg 39 - sec2&d&

sec. ‘

Íí 6

-

+ +

(Í0 3 ^ C a l c u l a r :

7

"

J

■

j ttg O sec d • sec <9d6

K

k

ÍSÍ£ 4

Jtg5 2x sec3 2x

I =

dx

S o l u c ió n : I = J tg 2 x • sec2x • tg4 2x • sec2 2x • dx = Jtg 2x • sec 2x • (tg2 2x )2 sec2 2x dx = Jtg2 x • sec2x • (sec2 2 x - l ) 2 sec2 2xdx

- J

tg2x • sec2x • (sec 2x - 2 sec 2x + l)sec 2x •dx tg2x-sec2x-sec

l'

1 . sec72x o . l sec5 2x 7-------- ¿ 2 5

~2

14

I

2 x d x - 2 j tg 2x • sec 2x • sec 2x dx+ j tg2x • sec2x * sec 2xdx

i

2

sec32x , y 3

* sec72x - i 5• sec5 2x + 6~ • sec3 2x -tí K

107



Q04j> C a l c u l a r :

í ctg

/

<9 * csc 0 dd

S o l u c ió n : 1=

| ctg3 0 • csc4 9 dd

/•

FIJO

í

ctg3 0

í

ctg 0 * csc

J ctg0 0 ctg

9

csc2 0

0 • (ctg 0 + l ) d 0

csc2 0 ctg 0

csc 0 dO

d0+

J ctg3 0

CSC

0d<9

+K

¿ • c t g 60 - ^ - c t g 4(9 + K

(1 0 5 ) C a l c u l a r :

/ = J ctg 6 x • csc 6 x dx

S o lu c ió n : FIJO

I ctgóx • cscóx • ctg 6x •csc 6x • dx (ctg 6x • csc 6x) (ctg26x )2 •csc6 6x dx (ctg 6x •csc 6x) (csc2 6x -1 )2 esc6 6x dx (ctgóx •csc6x) (ese4 6 x~ 2 ese2 6x + l)csc6 óxdx

ctg 6x • cscóxcsc106 x d x - 2 j*ctg 6x • csc 6x ese8 6x dx + J c tg ó x • cscóx • csc6óx • dx



( l0 6 | C a l c u l a r :

/=

j* ctg35é? • esc4 5 0 d0

S o lu c ió n : FIJO

ctg50 • csc 50

I

• ctg2 50 • esc3 5 0 dO

J (ctg 50 ’ csc 5 0 ) - (ese2 50 - 1) ese35 0d 0 J (ctg 50 • csc 5 0 ) • ese5 50 dO - J (ctg 5 0 • csc50) • ese3 50 d0 ese6 5d

JL

ese

30

-

ese4 50

(-i).

50

ese

20

50

+

K

O tr a f o r m a d e r e s o lv e r | También se puede integrar c o m o el caso I : Así: I ~ | ctg3 50 • ese4 50 d0 ctg

50 • ese 50 * ese 50 dO

ctg

50 * (c o t e r 50 + 1 ) ese

ctg

50(csc 5 0 )d 0 + ¡c tg 50 (ese 50) d0

i

1 5

¿

N o ta :

50 d0

50

ctg '

6

*

ctg6 50

2\ H )

ctg

1 - ctg4 5 0

20

50

+

K

+

K

Este resultado es equivalente a la primera haciendo las trans formaciones trigonométricas.



(1 0 7 )

C a lc u la r :

/ = J t g 2x • sec3 x * d x

N ota : Esta Integra1 no se podrá calcular si hacemos J j j g x • sec x Pero si hacemos:

■ tg x s e c 2 x dx

tg 2x - s e c 2 x - 1 se tendrá. / - J (s e c 2 x - 1 ) ■s e c 3 x dx

Cada una de estas integrales se hace p o r partes.

6. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA RE FUNCIONES QUE CONTIENEN:

L2-u2, L2~a2,

Para estos casos, el m étodo más corto para Integrar tales funciones es efectuar un cambio de variable del siguiente m odo: Función

Triángulo a construir

a y / J a 2 -u 2

A

u

\

Hacer

~ = sen#

f
UA A

)

u = a sec 6

= sec 9

d u = a sec 6 tg 0 d O

a

A ^ = tg0

L 2 + a2 A )

u - a sen Q d u = a eos 6 d O

\Jtf2— u 2

Vu2 - a 2

Sustitución

a

110


u = a tg 9 du = a sec2 9 d 9


(l08j Hallar:

/

í

dx __

( 4 - x 2) 3/2

S o lu c ió n : Hacer

x =

sen O

2sen 0

-x dx = 2 c o s Q d0

1~ J

Sustituyendo:

Í

2 eo s9 dd

2cosd dd

_

2 eos 9 d$

I J

(4 - 4 sen 2 9 ) 3^2

4 3/>2(1 - sen 2 $ ) °^2 fc o s d d d _ i

i

2 3 ( cos 2 ^ ) 3/ 2 “ 4 ‘ J

f

1

cos3 0 ~ 4 * eos J 6

de

Jsec2ddd = ~tgd + K +x

- 1

4

109J Calcular: I

l

dx x 2 + 2)3/2

sec i

-x

y = x¡7 sec d

» dy = y ? sec 6 • tgd dd

f ^ 2 sec2 9 da

J ■ ,2 tg* O, ¿ f¡'¿

fg

C

J

set* a dO

2 -V2 i ty2

i ) :l:-


j

2

I* sec“ d dd d

J ■see-vy27iT

Moisés Lázaro Cantón

(lío)

I=

C a lc u la r :

x = y¡2 tg# dx = \¡2 sec2 $ d0

Sustituir e n / :

/«

f-£ sE ÍS £ £ _ =4 -

J 7 sec"*0 V7 sec20-7

f -------

' i isecd}^7

-}

¡ = t 5 -- f — ^ h r < »--■ *• fco sO cW

7v 7

/

--- 4 • sen 0 -t C - ■- •

m )

C a lc u la r :

J

/

J

-i- C

dx x*Jx?-9

S o lu c ió n : Hacer

tg#

*

x

= 3tg<9

dx = ^x2+ 9

sec #

~» a/ x +9 = 3 sec#

Sustituir en I : /

— f 3sec0 tg&d0 ~

J

3 sec2 0 d#

27sec3d (3 tg d )

= ^ " J ^ 7 dé, = ^ ' j cos2ed^

112



JL. f l 27

J2

(1 + eos 2 0 )d 6

•g--* j * ( l + c o s 2 d )d d

54 • [ 0 + 2

’ ser, 2 d

•— • [ d + ~ • 2 se n d • cosd

54

X

54

C a lc u la r :

are sec

M U .

(f)

X

aresee 4- +

(i)-

/

¿Jx2- 9

+K

dx

Solución : : sec

Hacer

x = 3secd dx = 3 s e c d • tgd dd

x¿ ~2

V x 2 - 9 = 3 tgd

■tgd

Sustituir: 1

f ? sec ^ ( 3 sec2 d d d ) =

J 3 6 t g6 /

= _ I_ . 34

f eos3 0

J sen6 # eos 6 0

j

- 1 81

• f¿ssifi. dO

J

tg6 0

eos6 0 de

1

eo s3 0do f ________

eo s3 0 - sen 6 0

81

J

f

J

36

= S - | (S f)3- ^ 7 ^

sen6 0

= ® - je o t g ^ - e s e 3^

• J(cotg

6 'ese O )-

cotg 2d • ese2 6dd

= 81 * Jcotgd • csc d • (ese2 8 -1 ) ese2 0d8


113


d - - J(ctg 0 • esc0) • esc4 $ d O - - ~ j{ctg<9 • c s c 9 )c s c 2ddd 1. . esc 9 81

“

esc° O + ^

1_ , 81

•- esc 6 + ~ í

405

\

405 x '

Ü l3 | C a lc u la r :

^

y x

/

* esc 9 + K l

i

¡x +9

^ 243

+K

(x 2 + 9 f ! 2 + — L - r • (x 2 + 9 f t 2 + K 243 x'

/

í

dx (1 -2 x f y 4 x2 - 4x - 4

S o l u c ió n : Lo primero que se hará es compietar cuadrados en el radical, así: 4x2 -4 x ~ 4 = 4x2 ~ 4 x + 1 -1 -4

(2 x -lr-5 (l-2 x )2 -5

sec0

*

1 - 2 x - >/5sec 9

>

- 2dx =

->

114


\¡5 sec 9

tg 0 09

dx - - ~ - s c c O • XqO d9


Sustituyendo, obtenemos: ~

í;(^ JE secd 'j V5

íi

J

2

sec 0 tg 6 dd

M jE s e c d j

-5

sec 9 t gd d0

(2 5 sec4

0)(JEtg0)

2 ( 25) J E

i:

J

sec3 0

J cos3 ^ d # = -~J c o s # -c o s 2 # d # = --d j- J co s# (1 -s e n 2 9 ) d 6 50

50

Jcos 6 dd ~ Jcos 9 sen2 9 d9

J L . I s e n # - s&UL | + C

50

C a lc u la r :

1 - 2x

± + _J„ 150

1- 2x

+c

/ = J x3 (1 - x2 J1/4 dx

S o lu c ió n :

j = sen#

Hacer:

---- > x = sen# -» dx = cos # d#

1 —x 2

Sustituyendo: I ~ Jsen3# •(1-sen 2 d)1/4cos# d# = J sen3 @ *(eos2 d)1/4 cos# d#

= Jsen 3 # • cos1//2 # • cos # d# = J (sen #) sen2 # • eos3/2 # *d# •115


Moisés Lázaro Cairión

Jsen 9 • (1 - eos2 9 ) • eos3/2 9 dd

Jsen 9 •eos3/2 0 dd - Jsen 0 •eos3/2 6 •eos2 9 dO

í sen6 •eos3/2d dd eos 2 + 1 0

í send • eos7/2 9 d9 +

l +1 = —§ • eos5/2 d

+

- 4 - ( v r ^ r

+

5

=

- f - ( l - x 2 )5

+

+ c

cos2 + 1 1+1

+ c

eos 9/2 d 9/2

2. 1

9

'

-X

2 .,( 1 — X 2 9

'

\9

+ c + c

(1 ~ x)d x

(lljjjl C a lc u la r :

h 2 + ^3 + 6 x - 9 x ' ¿")

Solución: Paso 1

Completar cuadrados en el radical, así tendremos: 3 + 6 x - 9 x 2 = 3 - (9 x 2 - 6 x + ...) = 3 - (9 x 2 - óx + l - l ) = 3 ~ ( 9 x 2 - 6 x + 1) +1 = 4 - (3 x - l)2 Luego:

P a s o jz j

/ = J-

(2+ ^ 4 ~(3x --1)2)'

• dx

Hacer la siguiente sustitución 3 x -l

3x- I

send

3 x ~ l = 2send »

—

3 dx ~ 2 eos 6 d6 dx = ~ • eos 9 dO

4 -(3 *-!)"

Además: ^ 4 - ( 3 x - l ) 2 = 2 eos 9

116»


x = -|(l + 2send)


Sustituyendo en I :

f ( 1 - 3^

j

2 s e ñ é ? ) } (-IcQstfdtf)

J

{2 + 2cos^)2

1 —2 . . f (3 1 2 senff? cobttdO _ ¿ . f {2-2senfl)cos6 ^

~d J

f

Paso 3 |

2\2)

3{4}{l~cos0}2 fil

J

_ 3

12ü + cos
sen0}ros¿?

Hacer la siguiente sustitución: 1 + eos $ = 2 eos2 ~

2

sen 6* = 2sen-| • cos-| eos 0 = eos2 -| - sen2 -|

Luego:

/ = ¿ f ( 1~ 2senf cosf ) ( cos2f ~ sen2f ) dg

9J

4 eos4 2 cos2-| - sen2-|-2sen-| • cos3-|+2sGri3|- • cos-| jd 0

36 J1 36

cos4 f

Separando en Suma de Integrales obtendremos:

36

_L 36

i.|

íl

1

I ¡ COS ~

J*[

sen2 (9/2 COS

2 sen 0/2

2 sen3 0/2

COS ^

COS“ 2

sec2 | - tg2 | • sec2 | - 2 tg | + 2 tg3 | ]d<9

,3 6» 2 t g f - 2 ^ - 2 ( 2 ) L n | s e c | ¡ + 2 |tg3 | d d

í-

117



Donde:

J tg 3 | - d # = J t g 2 f - t g f - d # = J ( sec2 | - l ) t g | d í 9 = Jsec2 | * tg | • d# - J tg | • d# ta 2 L , = 2 • —— - 2 Ln| sec ~ = tg2 | - 2 L n | s e c - f I

Luego:

/ = -36 ¿ _L 36

(1 1 6 | C a l c u l a r :

2

t

2tg

í:

Solución:

g

2

• tg3 -2f - 4 Ln |sec-f |+ 2 t g 2 f - 4 L n |sec tg

3

3 6

Ln I sec

1+ 2 tg2 - I + C

dx

4~x¿

x

Hacer

-1

= sec #

->

x - - l~ s e c #

-»

Sustituyendo en / :

/-

f

J VV 44 --4 - 4^tín2 W dd

-

f

dx = 3 s e c # tg # d#

2 costf cW

J 2co^

-- J d # = # -- are sen ( )

1171 C a l c u l a r :

P flw o jJ

dx í -•Jx 2 - 2x - 8 Completar cuadrados en el denominador: Así tendremos:

x 2 - 2 x - 8 = (x 2 - 2 x + ...) - É = (x 2 - 2 x + l - l ) = (x - 1 )2 - 9

118-


+C


Entonces:

Paso

2

1

I

dx.

Hacer la sustitución:



7. IHTESRACIÓHP0RFRACCI8NISPIUICIBLK Una función racional es aquella cuyo numerador y denom inador son polinomios enteros, es decir son funciones en que la variable está afectada de exponentes ente ros positivos. Si el grado del numerado es m ayor o igual al del denominador, deberá dividirse para obtener una expresión mixta. Para integrar una expresión diferencial que contenga una función racional en el cual el denominador pueda descomponerse en factores primos reales, deberá tener se en cuenta cuatro casos: ler. CASO

Los factores del denominador son todos de l e' grado y ningún factor se repite. E je m p lo :

S o lu c ió n : Paso 1 | El número de factores que existan en el denominador indicará el número de fracciones que deberá separarse, así: En el presente ejem plo hay 3 factores en el denominador, lo cual indica que habrán 3 fracciones. E n c o n s e c u e n c ia :

2x-l x (x - 2 ) ( x + 3 )

x

x -2

x + 3

Tres factores, implica formar tres fracciones

Paso 2 | En el numerador de cada fracción se escribe una constante, así:

Ahora los siguientes pasos son para hallar las constantes A , B y C.

120



P a s o 3 j| Quitar los denominadores, simplificar y ordenar, así obtendremos que: 2 x - 1 = A (x - 2 )(x + 3) + B x (x + 3) + C x ( x - 2 ) |

@

—A x 2 + A x —6 A + B x ¿ + 3B x + C x 2 —2C x 2 x - 1 = (A + B + C )x 2 + (A + 3B - 2 C )x - 6 A Esta ecuación es una identidad, para todo x e R .E n consecuencia habrá que igualar los coeficientes de las variables de igual potencia, así: A + B+C =0 < A + 3 B -2 C = 2 - 6 A = -1

'

(1) (2) (3)

Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos: De (3):

A =£

Resolviendo (1) con (2). obtenemos: fí + C =

j

B +

C -----

por22 por

¡2B + 2 C . - f

3B-2C=2-1 5B = f

Luego:

Sustituir los valores de A, B y C en el paso 2, así obtenemos:

P fl» o 5 j Finalmente, integramos cada fracción:



=

1

15 ^ x + 3 ^

6 JI xx C^C + í o J x - 2 <* C

= - ' Ln|x| +

L n | x-2 | -

Ln|x + 3| + C LnK

Ln| 7.1.

Kx V6(x - 2 ) ^ 10 (x + 3)7/ 15

MÉTODO PRÁCTICO PARA HALLAR A, B Y C

Un m étodo práctico, rápido y breve para hallar las constantes A , B y C es sustitu yendo, en la ecuación 3*, la variable “x ” por los “PUNTOS CRÍTICOS” . Veam os cóm o es esto: En primer lugar, los “PUNTOS CRÍTICOS” se hallan igualando a cero cada factor del denom inador en la fracción inicial. En el presente ejemplo, tenemos:

x =0 x = 2

x (x - 2 )(x + 3) = 0

x = -3 En segundo lugar, cada punto crítico se sustituye en la identidad (3*) Así tendremos en: Si

x =0

->

2 x - 1 = A {x - 2 )(x + 3) + B x (x + 3) + C x (x - 2) 2(0) - 1 = A (0 - 2 )(0 + 3) + B (0 )(0 + 3) + C (0 )(0 - 2) -1 = - 6 A

+

0

+

0

A - I 6

Si

x = 2

->

2 (2 )- 1 =

0

+

0

+

B (2 )(2 + 5)

+

0

3 = 10B B = _3_ 10

Si x =

-3

-> 2 ( - 3 ) - l =

+ 0 + C (- 3 )(- 3 - 2 )

- 7 = 15C

c = ^

z_

15

Nota: Los siguientes tres casos, se desarrollan similarmente. 122



2do. CASO Los factores del denominador son todos de i'" grado y algunos se repiten: E je m p lo : Hallar:

í [x

1 = I ——

: — ^ dx

- 1 ) (x +

l'f

S o lu c ió n : Paso^l Hay 3 FACTORES en el denominador, entonces habrán 3 fracciones. El factor (x + 1 ) se repite dos veces. r:

.

Entonces:

3 x 2 + 5x

( x - l ) ( x + l)2

'

i

X ~ 1

t

(x + 1)2

t

x + 1

í

3 factores implica formar 3 fracciones

El factor (x + 1 ) que se repite dos veces, se escribe descendiendo su grado (de grado dos hasta grado uno).

C om o el factor que se repite es de primer grado entonces se escribe una cons tante en cada numerador. Así tenemos: — 3x2+5x _^ _ _ iL . + — B __ + __C_ ( x - l ) ( x + l )2

X _1

(x+l)‘

Ahora, debemos hallar A, B y C. Paso 3 | Quitar los DENOMINADORES teniendo en cuenta que el mínimo común múltiplo es ( x - l ) ( x + l ) 2 .

De esta manera obtenemos la siguiente identidad:



C o n tin u a c ió n d e l p r o b le m a Por el m étodo práctico, optamos por operar del siguiente m odo. En primer lugar, los puntos críticos se obtienen igualando a cero, el denom ina dor de la fracción inicial. En consecuencia si: (x - l ) ( x + 1 )

?

x = 1

=0

x = -1

En segundo lugar, sustituir cada punto crítico en la siguiente identidad: (*)

3 x 2 + 5 x = A (x + 1)2 + B (x - 1 ) + C (x + l ) ( x - 1 )

Luego:

si

x = l

->

3 + 5 = A(1 + 1)2 + 0 + 0 8 = A (2 f 8 = 4A

si

x = -l

->

3 - 5 = 0 + B (~ l - 1 ) + 0 -2 = -2 B

B = 1 Ahora nos falta hallar el valor de C, pero com o ya no existen más puntos críti cos, entonces damos a “x ” cualquier otro valor. En consecuencia, volvam os a la ecuación (*). Supongam os que: Pero:

si

A = 2 y 8 = 1

x = 0

-*

->

0 = 2 - 1- C

->

0 = 1 -C

0 = A -B ~C

Paso 4 Sustituir los valores de A , B y C en el paso 2, así obtendremos.



Paso 5 | Integrar cada fracción: ~ i -JL. dx

+

J — 1~~ dx

+

= 2 Ln |x ~ 11

+

J ( x - i r 2 dx

+

= 2 Ln |x - 1 ¡

+

J * " 1

J (x + l)2

1íl L 1L_

I = L n / c ( x - l ) 2( x + 1)

-

i - — dx

J

X

+ 1

Ln |x + lj + C

+

,

C = Lnk

Ln|x + 1| + L n k

^

3er. CASO Cuando los factores en que puede descomponerse el denominador figuran al gunos factores de segundo grado irreductible y ninguno se repite. E je m p lo : I = I -.4x.. -L.1...... dx

Hallar:

J* ( x ~ l ) ( x ¿ + x + l )

S o l u c ió n : Paso 1 |

Así:

El grado del numerador es igual al grado del denominador, enton ces se divide.

4x

+ x +1

—4 x 3

1

Pues: ( x - l j f x ^ + x + l ) = x 3 - 1

+ 4 x +5

t

Luego:

4 x 3 + x +1 x f - 1

P aso^2J|

/ . x

+ 5

„

x + 5

,

— §— ;— = 4 + — — - = 4 + -— - ■■■■■— X J

- 1

(x - l)(x ¿ +

X

+ 1)

Debem os separar en fracciones parciales la función: x + 5 ( x - l ) ( x 2 + x + l)



C om o el denom inador tiene dos factores, entonces se separan en dos fracciones parciales. Así:

x + 5 _________ ( x - 1 ) ( x 2 + X + 1)

j _____________ X

1

x 2+ x + l


El denom inador de la primera fracción parcial es de primer grado, entonces en el numerador se escribirá una constante (polinomio, un grado menor que el deno minador). El denom inador de la segunda fracción parcial es de segundo grado, entonces en el numerador se escribe un polinom io de primer grado de la forma B x + C . Así:

Bx + C ( x - l ) ( x 2+ x + l)

'—

Paso 4 |

i—

•

x -1

x2 + x + l

t

t


x + 5 = A ( x 2 + x + 1 ) + (B x + C ) ( x - 1)

Quitar los denominadores:

= Ax

+ Ax + A + Bx

—B x + C x —C

x + 5 = (A + B )x 2 + ( A - B + C )x + A - C Por identidad de polinomios, obtenemos el siguiente sistema: A +B = 0

(1)

A -B + C = 1

(2)

A -C = 5

(3)

Sumar (1) + (2): 2 A + C = 1 Resolver

Sustituir (4) en (1):

f2A + C 1 < { A -C = 5 3A

2 -rB -O Sustituir (4) en (3):

=■ 6

A=2

B= -2

(4)

2 -C = 5

126

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C = -3


Paso 5 | Sustituir los valores de A , B y C, se obtendrá;

x3 -1

4 +^: x

1

x2 + X f

1

/ = 4 x + 2 Ln |x - 1| -

Integrar cada sumando:

J

f

X '

2x- + X

1

+

dx

h

C á lc u lo d e I l • }

= f

J X

2-v.~3

+ X + 1

dx = í

J X

+1

+ X

2x + l

+

1

dx -

j

J X

*

l.\

= Ln |x

9

l

dx + 2 í —ñ—~---- dx .J X

+ X + 1I + 2

f

+ X + 1

1

-------— dx

J í x +i f +l

= Ln |x2 + x + 1| + 2 •

arctg ^

= Ln (x 2 + x + 1 ) + -íL arctg í V3

1+ C

C o n c lu s ió n : I = 4 x + 2 Ln|x - 1| - L n (x 2 + x + 1 )- - 4 = arctg ^ 2x + 1

4to. CASO Cuando el denom inador contiene FACTORES DE 2

E je m p lo :

Hallar:

/=

GRADO y algunos se repiten

j*..x (xx9++\1)‘? dx 127



Solución : Paso l |

(x2 + l) 2

x2 + 1

í ______ t


Paso 2 | En el numerador de la primera fracción se escribe una constante. En el numerador de la 2da y 3ra fracción parcial se escribe un polinom io de pri mer grado de la form a ax + b . A

,

Asi tendremos:

=

C 5-----5-

BX +

a

x

+

(x2 + l) 2

DX + E

— 5—

x 2+l

Debem os hallar las constantes: A , B, C, D , E : Paso

3 §

Quitar los denominadores: x 3 + 1 = A { x 2 + 1)2 (B x + C )x + (D x +

E ) x ( x 2

+1 )

= A ( x 4 + 2 x 2 +1) + B x 2 + C x + D x 4 + D x 2 -f E x 3 + E x ~ ( A + D )x 4 + E x 3 + (2 A + B + D ) x 2 + (C + £ ) x + A Por identidad de polinomios, tendremos: A +D = 0

(1)

£ = 1

(2)

< 2A + B + D = 0

(3)

C +E = 0

(4)

A = l

(5)

--------- >

D ~~ 1

Sustituir

(5)

en (1):1 + D = 0

Sustituir

(2)

en (4):

Sustituir

en

(3 ): 2(1) + B - 1 = 0

C

+1 = 0 ------ >

yC = ~1 f í = -1

Paso 4 | Los valores de A , B, C, D , E se reemplazan en el paso 2 = — + .


x

Ezh + ~ ~ í-L

(x 2 + l ) 2

X +1


[P a s o 5 \

Integrar:

= ü,|x| - J x ( x 2 + i r 2 d x - J

^

d

x

- J

^

*

+ ¡ ± - x dx

dx -1 - Ln|x2

= Ln|x| - 1 ■

+ 1| + arctg x

----- I—. X d x - ± - Ln|x2 +11 + arctg x ¿ X +1 J (x +1) ¿

= Ln|x| +

'i

C álculo de l | :

L = í-

4

—

Hacer:

V * 1X

Luego:

íj = 1

=

dx

J i (x2 + l)2

x = tg0

J

(t g 2 d + l ) 2

Jl

= f^ d É )= Jsec4 0

dx - sec 6 dd

-»

f- + - d í? =

J

sec2 £

J cos

(1 + cos 29) d9 = ~ J d 0 + 1

fc o s z dd
J

29 dO

= 1 - 0 + 1 sen 2 9 + C = -|-* 0 + 1 • 2 se n 0 c o s 0

= ¿ arctg x + 1 '- ¡ - f — ■- J — *

' y¡XZ + l

X

+1

X = 1 arctgx + — £— + C 2 ° 9/V+11 2 (x2 +1)

Conclusión: I = L n jx l 4 1 —^ - 1 - Ln

• arctg x

- l - - ^ - - l L n ¡ x 2 + l¡

+ arctg

+ - 1 --■* - + 1 • arctg x + C 129


Moisés Lázaro Carrión e j e r c ic io s )

118) Hallar

4x - 2

í x3 _ x2_ 2x dx

I

S o lu c ió n : Factorizando el denominador: x 3 - x 2 - 2 x = x ( x 2 - x - 2) = x (x - 2 )(x + 1 )

Pero:

í

I

Entonces:

4x x (x - 2 j(x + l)

■

->

4x - 2 x ( x - 2) ( x + 1)

p

-

—A ,

B

x

x -2

t

t

i

C

x + 1

t

4 x - 2 = A ( x - 2 ) ( x + l ) + B x (x + l} + C x (x ~ 2 )

son puntos críticos: x = 0 , x = 2 , x = - 1 . Luego:

si

x =0

=>

- 2 = A ( - 2)(1) A = 1

si

x = 2

=>

6 = fí(2 )(3 ) B = 1

si

x = —1

=>

-6 = C (- l)(- 3 ) C = -2

Sustituir en (*): '

'

= -L + _ 1 _ + — 2X

x -2

x+1

Integrando: J = Ln|x| + L n | x-2 | - 2Ln|x + l| + C = Ln

x (x - 2) K (x + l ) ¿

130


,

C = LnK


¡fff)

C a lc u la r :

J = j-^ ¿ ^ d x

S o l u c ió n : 1) Factorizar el denominador: x 3 - x - x (x 2 - 1) = x(x - l ) ( x + 1 )

Luego:

í—

/=

1

dx

J X ( x - 1 ) ( x + 1)

2) Separando en fracciones parciales: 5 x 2 - 3

A , B X x-1

_

x ( x ~ l ) ( x + l)

3)

C

,

x +1

5 x 2 - 3 = A {x - l ) ( x +1)

---- »

4-

B x (x +1 ) + C x (x - 1 )

Los puntos críticos son: x = 0 , x = 1, x = -1 4) Ahora, sustituir cada punto crítico en (3) si

x = 0

=>

- 3 = A (-1 )(1 ) A = 1

si

x = 2

=>

6 = B (2 )(3 ) !T = r

si

x = -l

=>

2 = C (—1){—2) C=1

Sustituir (4) en (2): — + v

5) Integrar

'

'

'

X

x -1

+ —K r x + l

J = 3 L n ¡x { + L n | x - l| + L n | x + l| + C



(1 2 0 ) C a l c u l a r :

I =

f

Solución : 1)

Dividir numerador entre denominador: 4x3 + 2 x2 + 0 + 1 -4 x 3 +

+x

2x 2 + Entonces:

I = || 1+

Ji

r

,

i = x +

+ X +1

1 -----5

4x° - x

1

+1 |<-&-

4x - x

I 2X

P

x

4x3 - x

,

dx

C á lc u lo d e Jj 2) Factorizarel denominador: Ix =

Entonces:

4 x 3 ~ x = x (4 x 2 - l ) = ( 2 x - l ) ( 2 x + l )

J -X(2x_i)(2x + i ) (áx

3) Separando en fracciones parciales 1

x ( 2 x - l ) ( 2 x + l)

= — + _JL_ + 2 x -l

x

Quitando denominadores: 4)

2 x 2 + x + 1 = A (2 x - l ) ( 2 x + 1 ) + B x ( 2 x + 1 ) + C x (2 x - 1 ) x =0

Los puntos críticos son: x (2 x - l)(2 x + 1 )

5)

Ahora, sustituir cada punto crítico en (4): si

x =0

=>

1 = A (-1 )(1 ) A = -1

132


2x + l


si

:r>

x

2( i )

+ 2 + 1 ~ B { 2)( 2 Í 2) + 1 B -2

si

x

1=C 6)

Sustituir los valores de A , B, C en (3): - 1 . 2 x

7)

Integrar:

2 x-l

^ = j~ d x +

,

1

2x + l

f - ¿ T dx + J l T T í áx

¡ i = -L n (x| + L n | 2 x ~ l | + ¿ - L n j 2 x + l| + K 2

I x = L n [ C x “ ! ( 2 x - l ) ( 2 x + l ) 1/2] C o n c lu s ió n :

12lJ

LÍ^C

/ = x + L n [C x “ 1 ( 2 x - l ) (2 x + l ) 1//2]

C a lc u la r :

/=

J -y ~ ~ d x

S o l u c ió n : 1)

Separando en fracciones parciales: * 2~ 3 _ x2 ( x -l) 3

i

A , x2

B ,

f

t

X

C , D ■ (x -1 )3 (x ~ l)2

t

f

£ x-1

t


Quitando denominadores: 2) x2 - 3 = A(x - 1)3 + Bx(x - 1)3 + Cx2 4- Dx2 (x -1) 4- Ex2{x - 1)2 Los puntos críticos se obtienen de x {x -1) = 0
133



Estos dos puntos críticos sólo nos permitirá hallar dos incógnitas al sustituir en (2); éstos son A = 3 y C = - 2 . En este caso es preferible hallar las incógnitas por identidad de polinomios. Veamos: De (2) obtenemos: x 2 - 3 = {B + £ ) x 4 + ( A - 3B + D - 2 £ ) x 3 + ( - 3 A + 3B + C - D + £ ) x 2

+ (- 3 A - B )x - A Por identidad de polinomios obtenemos:

( 1)

B+E = 0

(2 )

A -3 B + D -2 E = 0

(3)

- 3 A

— > 9+E = 0

— >

+ 3B + C - D + E = 1 3A - B = 0

(4)

— » 9 -B = 0

-A = -3 — >

(5)

|A = 3

Sustituir los valores de A , B y £: en (2) :

3 - 2 7 + D + 18 = 0

->

D = 6

en (3 ):

- 9 + 27 + C - 6 - 9 - 1

->

C = -2

3) Sustituir los valores de A , B . C . D , £

en (1):

= 3 * ^ + 9 Ln|x| - 2 - ^ - ^ + 6 - Í i - ^ i - 9 L n | x - l | = - . 3 + 9 L n|x j + x

(l2 2 ^

C a lc u la r :

(x

i)2

— 6 ^ _ 9 L n | x - l| + C 1

'

I =

134


E = -9


S o lu c ió n : 1)

Separar en fracciones parciales, Factorizando previamente el denominador, o O pues x + 3 x = x (x + 3) 4 x2+ 6 x ( x ¿+3)

2)

Quitando denominadores:

4x

O

_ A + Bx x

í

C

x ¿ +3

+ 6 = A (x

r>

+ 3) + (B x + C )x

= A x 2 + 3 A + B x 2 + Cx = (A + B )x 2 + C x + 3/\ 3)

Por identidad de polinomios: A +B = 4

— -»

B = 2

C =0 3A = 6 4)

B = 4 -A

—

A = 2

Sustituir en (1):

* 5 ) It »(e»jr¿»ndo:

I

2 La i |x '

Ln ( v 2 •- 3) r K

I = L n [C x ¿ (x 2 + 3 )]

123J C a l c u l a r :

/

J

LnK

(x + x - 1 0 ) dx ( 2 x - 3 ) ( x 2+ 4 )

S o lu c ió n : 1)

Separando en fracciones parciales: x 2 + x -1 0

A

(2 x - 3 ) ( x 2 + 4 )

2x~3

Bx + C

+•

x 2+ 4

135



2) Quitando denominadores: x 2 + x - 1 0 = A ( x 2 + 4) + (B x + C ) (2 x - 3) - A x 2 + 4 A + 2 B x 2 - 3B x + 2C x - 3C = (A + 2B )x 2 + (-3 B + 2 C )x + (4 A - 3C ) 3) Por identidad de polinomios, obtenemos: A + 2B = 1..... .............................. (I) ~3B + 2C = 1

.............................. (II)

4 C - 3 C = -1 0

......................

(III)

En (II) multiplicar por 3 :

- 9 B + 6C = 3

En (III) multiplicar por 2 :

8 A - 6 C = -2 0 8 A - 9B = -1 7 ......................

(I) con (IV):

í

-8

A + 2B = 1 8 A - 9 B = -1 7

>

[ - 8 A - 1 6 B - -8 8 A - 9 B = -1 7 -25B = - 2 5

Luego:

A = -1

4) Sustituir en (1):

=

y

C = 2

O

+ 2LL?.

_j_

5) Integrar. 7 = - lL n | 2 x -3 | + / = —i-L n | 2 x ~ 3 j+ - | * L n | x 2 +4J -*■ 2 - i arctg

136

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(IV)


(124) Hallar:

J=

| (4A -t .2*.+ 8) dx

f

x ( x 2 + 2 )2

S o lu c ió n : 1) Separar en Fracciones Parciales:

4x

+ 2x + 8 _

x(x 2 + 2 )2

Bx + C

2 , o>2 (x¿+2f

*

Dx + E

xz +2

i ____ 1

i


2)

Quitando denominadores: 4 x 2 + 2 x + 8 = A ( x 2 + 2 )2 + x (B x + C } + x (x 2 + 2 )(D x + E ) = (A + D)4 +

E x

3 + (4 A + B + 2D )x2 + (C + 2 £ )x + 4 A

Por identidad de polinomios, obtenemos: A +D =0

A = 2

E =0 4 A + B + 2D = 4

3)

E =0 De donde \ D = - 2

C + 2E = 2

C = 2

4A = 8

B =0

Sustituir en (1) los valores hallados:

4) Integrando:

1=

í^ d x + i — J J (x

= 2 Ln Ix I + 2

Cálculo de L : Hacer

= —+ — ~

X

(x

+ 2)

T + —~ ~ x

+2

— g- dx + J-gr™ dx

-¡-2)

f

( x 2 + 2 )2

J x + 2

d x - L n (x

+2} + C

E = i — ~ — : -dx J {x + 2 ) ‘ = tg d

o-

x = ^J~2 tg d

->

dx = y¡2 sec 2 0 d d

137



Sustituir en Í 1 :

í V2 4

f sec2 0 dO

a/2 sec2 0 d9 _ d 2

(2ta¿0 + 2)2

í

22

* i — \ —d9 = ^

J

42

sec (9

J*

V2

4

(sec

20)2

• fe o s 2 9 dO

J

(1 + cos 2(9) d9

<9+ •- • sen 29

42 f-[_ 9 + sen 9 cos 0 ] _ 4¿

x

arctg -J=- +

V x 2 -i2

arct3i

+i ^

1

^/x2 + 2

+c

Sustituir en (4): / = 2 Ln|x| + 2

I = Ln

x

9

+2

J2

are ■tg

y[2 , + -V • are *

4

,

2+

X

tg (

1

4

X ____

2 x¿ + 2

- Ln |x 2 + 2 1 +

Uc

2x + 4 J

138


C

La Antiderivada y la Integral Indefinida.

8. INTEGRAL Di FUNCIONES RAOIONMIS QUE CONTIENEN sen u y e o s u Teorema

Una diferencial trigonométrica que contiene sólo funciones racionales de sen u y eos u puede transformarse en otra e x

J fí(sen u,cosu)du

presión diferencial más sencilla mediante la sustitución:

2z

© 1 |cfu = © 1 1+

©

1

senu =

|

eos u

1

m z2 + z2

1

©

©

Donde: a) La fórmula Si

2

se deduce de

í

ig % =-- z

. del siguiente modo: j

arctg z

u - 2 arctg z du

2 •-

b) La fórmula ( 4 ) se deduce de ( T ) , del siguiente m odo: se sabe que

tg ~ = 2

1 - eos u V 1 + eos

tg'

u

1 - eos u 2

(* )

1 -+■eos t¡

Pero tg y = z , entonces sustituyendo en ( * ) se obtiene: z 2 = * + ^ “

z (1 + eos u) = 1 - eos u

Ahora, despejar eos te ->

z

2

2

i

+ z eos u + eos u = 1 eos u(z

+1) = 1 —z

->

eos u-


l + zz

©


c ) La fórmula ( 4 ) Implica la construcción del triángulo: Mirando el triángulo se obtiene senu

1

|C B |= ^\AB\2 - \AC\‘

Pues el cateto

ic b i


2z

1+ z ‘

/

2

„4

= v r + 2z 2 + z 4 - 1 + 2z z - z

•s/4z 2

—

7

2z

d<9

Ji + send + eos 9

Solución: Sustituir

sen 9

f

d ? *

J 1 +_22z z l 1z-fz L l +z2

<9 = 2 arctg z 2dz l + z2

1+ z¿

de

/=

(9 2 = arctg z

tg 4 = z

l-z ¿

COSÍ

Luego:

Pues

2Z

1 + z2

-dz

f

J

1 + z2 + 2z +1 - z2

dz =

í

2 + 2z

dz

+ ZI + C

Ln|l + tg-|| + C

1261 C a l c u l a r :

de

í 5 + 4cos9

Solución: Usar la sustitución tg -| = z

> d6 -

l +z

y el triángulo


x

„

2z


2 dz

1 = í -----Ll£— 7- = 2 í —----- 7-^ ------- j - = 2 \ - f ~ J 5 + 4 i 2__£Í | J 5 (1 + z 2 ) + 4 ( 1 - z 2 ) J z +9 \ 1- z2

Entonces:

= 2 • 4r arctg j + C = -|* arctg ^ ~ • tg

127) C a lc u l a r :

I =

í

+C

senx + t g x

S o l u c ió n : Haciendo la sustitución tg ~ = z , dx = — ^ ¿ 1+ z

y usando el triángulo anterior ob-

2dz

,

r

i

i;*2

I = 1

tenemos:

r

2 (1 + z2 ) (1 - z2

f

-

1

[ 2 z (1

d - z 2)dz

r

J z ( l - z 2 ) + z ( l + z2 ) J =

“ " J"

z¿ - 1 - z2

z

-

' tg 2

z ¿ ) + 2 z ( l 12 ^)1(14 Z¿ )

V ^ -d z ¿z

j ( Z + v ) CÍZ = - 2 [ í - L n ¡Z

+ ^ * Ln j tg ---1+ C

z

-1

(S )

C a lc u la r :

/ =

5cosx

S o lu c ió n : Haciendo las sustituciones: tg

- z . dx -- —

. cos x -


+c



/

í

sen x dx 4cos x + 3 sen x

Solución: Haciendo las mismas sustituciones del ejercido anterior, tenemos:

f

J

y, r 1

i ' z¿

i

■

>¿ j o' ■>,

_ __ f

J

_ j _______2zdz_________ ~ J ¡2 2z~ i 3z¡ 11 z2) ~

_______ 4zdz_________

■/.’}

1 4 11 z‘, | t f ) z ] í l

J

2j ______ zdz______ __ J.2z2 3* 2jfí

f

________ 4zdz__________

4 z “ - Ozjfl i z‘ )

14

_ £ j _______ zdz______ J 2 z - l í ! z 2j..z2 -

_

I _

zLj ’

Por fracciones parciales obtenemos: l

Lnj 2 x + 1 1-

Ln|z -2| + -~¡r (2 L n (z 2 + 1) + 3 arctg z ) + C

= - § L n | 2 t g | + l | - - ¿ L n | t g | - 2 | + ¿ L n ( t g 2 f + l) + || + C

9.

IN T E G R A L E S D E F U N C IO N E S R A C IO N A L E S D E tg x = t

Hacer la sustitución:

s e . Z x , e o s 2 * , tg 2x x = are tg t

=>

dx - -~^Ll +r

_ sen x =

Ejem plo 1:

Hallar:

Solución:

/=

t

í +r

, eos X =

dx

í ; cP sen^ x - b ^

, 2 _ P _ _ b2 _ X .

l + t2

1+ í2

_

1 dt J1 a 2 ,t2

= “a2 V

2a

cos^ x 1 a2

Ln

* - -a1 a |

a tg x 2ab

í;

a tg x

b

+b

+c

142


di

n + t¿


E je m p lo 2 :

C a lc u la r :

/ =

J i

,

ó

_ f a +t2)2 (i +t2)2

J

,,2 1+r2 11+ r

dt

’ i + t2

f

J„

1+ í

( i - í 2 ) d + í 2 )2

dt

^__

■Por fracciones parciales.

N o t a : Haciendo transformaciones trigonométricas, resulta sencilla la integral. eos4 x i- sen4 x ~ 1 - 2sen¿ xcos2 x = 1 - - 4sen2 x c o s 2 x = 1 - i sen2 2 x

Luego:

/= f ¿ - ^ “

[ L I

L

dx =

f I i dx = f - L

COS mX

l OOS ¿LX

dx =

co s2 x

* + 4 fc o s 2 x -d x 1

= ljs e c 2 x . d x + i i s e n 2x -|--g-Ln|sen2 x + t g 2 x| + j s e n 2 x

i L n | s e c 2 x + tg2x| + A senx • c o s x + c

10. OTROS CASOS QUi SE PRESENTAN IH Lfl INTEGRAL j R CASO 1

Si se cumple:

R (-sen x, cos x ) = - R (sen x, cos x ) ,

se hace la sustitución sen x = t .

CASO 2

Si se cumple:

(sen x , c o s x ) dx

j_

Cuando se cumple esta igualdad se dice que la función R es impar respecto a sen x.

R (s e n x ,- c o s x ) = - R (s e n x ,c o s x )

se hace la sustitución sen x = t .

j

'—Res impar respecto a cos x.



CASO 3

R (-sen x, - cos x ) = R (sen x , cos)

Si se cumple:

se hace la sustitución tg x = t . N o ta :

Res par respecto a sen x

y cos x.

El caso 3 es el mismo de 3.5.1

E je m p lo s : T )

H a lla r :

í-

- t

I a cos x +

b s e nx

dx

Se tiene:

R (s e n x , c o s x ) = -------- ---------

donde:

R { - s e n x ,-c o s x ]

a

• cos x +

a

b

• senx

l

(- c o s x ) +

b

(- s e n x )

cos x +

a

b sex

R no es par ni impar. Pero se puede aplicar la sustitución tg 4 = t

,

2í —1+ f

sen x

,

t - 1¿ l +L

c o s x - -----

2 dt

dx

1 + t2

2 dt

i , (2 a

2 a

■ ' ----- 7T + 1+t

bk

2 2í1

—

) a - a t 2 +2bt

■dt = —

f Ji

/=

J

a

t _ Completar cuadrados

dt.

í+4

í « - ffci >2

yjb'

H a lla r :

dt

J t 2 - — 1-1

1 + t2

° 2D I Z

©

~a

•Ln

9

9

b + cr

a

dt

a

+

Ln

a t - b - yj b 2

+ a2

+C

,

t = tg |

a t - b + yj b 2 + a 2

ck (2 + cosx) s e nx

Se tiene: R ( sen x , cos x ) don d e: R ( -sen x, cos x ) =

l

(2 + cosx) se nx (2 + cosx) ( - s e n x )

(2 + cosx) se n x

144


= - fí(s e n x ,c o s x ¡


Lo cual indica que R es impar respecto de a sen x. eos x = t

Hacer la sustitución

-sen x dx = dt dx = — — Sustituir en I : ¡ = f ¿ L - ^___________________ f ______ ÚL______ = _ f _____ ur_ J (2 i'son.v J 12 ■í )s e rr t J ( 2 t ) ' l cosH) ¡ [ 2 t)[l

( í l 2 ) 't

ÍÍÉ

1) i.f

1}

1L rj„i i,' f - i.

^

b

1

1. ( j - i p

— - Por tracciones parciales se integra fácilmente

(T )

C a lc u la r:

j*

/=

1 + eos X

dx . Hacer la sustitución:

tg f = f j = arctg t

2 arctg í +

- í

í

x = 2 arctg t

dt

i-t¿

dx = —< ■ dt 1 + t¿

2 arctg t + - 21 i + t

sen x

dt eos X =

1 + tz

1- t z 1 + i¿

2 í arctg t dt + Ln (1 + f2 ) |

I— por partes: u = arctg t

■

du = —Krdt <1+ t2 t • arctg t

í 1+ L ■dt

dv = dt "v = t

+ Ln ( l + L

= 2 1 • arctgt

=2 -tg f.f = x • tg f 145



(T )

C a lc u la r :

— ñ,— d x 1 + tg x + tg x

<

R edu cir a sen o y co sen o

<

Multiplicar y dividir p o r 2

sen x

cosx------------d x 1

, sen x

¡ sen ^ x

cosx

2 „

senx • cosx 1 + s en x • co sx

dx

sen2 ^ dx 2 + s en 2 x

< ------ H acer:

2x = $

x = ir0 2

dx = -gdff

í

hh

Í2

í(I ( 1

f ^

d&

sen1 0 -9 +2

I \

1

r

I tg -| -í

4 6 — I \— k d O 2 J send+ 2 *

l

la

2

\

9- + 2

+t¿

dt

íM + t + l

<

Sustituir •<

ser.^ 1

„ , , <10 = - M r 1 + t¿ ' 1+ 0

2 dt 1 + t¿

—

—


—

4. 4


®

i

~J

®

l=

(T )

i -

@

/ = { sen3X -

I

dx

co s2 x -1 5

( s e n \ i 2soc<¿

~ ir> (4 - «*n2 x i

4

Q

15^5

4 s t * ! i 2 x - l ,^ 4 t se n 2 v

C - / ~ s' ?Jri ~ -4 Ln |eos x - sen x |+ C

=

j * y — ^ -r- -^í x -i- Ln| sen x + e o s x ¡) f C

eos3 x

dx = Ln

1^5?

- 11 ^

^/tg2 x + tg x + 1

- 4

3

arctg ’

&

+C

Otras Integrales: @

I = J / t g x dx Hacer ^/tg x = í Se obtiene:

I = í - ^ r dt , 1 + í 4 = 1 + í 4 + 2 í 2 - 2 t 2 = (1 + í 2 )2 - 3 í 2

Jl +í4

/= f— —J (1 + t ) - 2t

se integra por fracciones parciales

I = -j= [ Ln{ sen x + co sx - V s e n 2 x ) + arcsen ( sen x - c o s x )] + C

©

J © T s e ñ x dx = 2 ( sen

- eos -|) + C

s e n f +c o s | L 0

1= J ^ / l+ c o s e c x d x = 2 arcsen ,/ s e n x + C

& —

—4

1 ■+■Jcos -

+ 2 arctg J eos £ - Ln — V

^

1 —*/eos ■

+C

2

147



(T )

C a lc u la r :

tg x

1= J j

-J

dx

2

+ t g x + tg x senx cosx

■ í =1

2

Redu cir a sen o y co sen o

<

Multiplicar y dividir p o r 2

2 dx

\ -f senx + sen x cosx _ senx • cosx

■ í

<

1 + sen x ■c o sx

< jx

< ------ H acer:

s en 2 x . ^ 2 + s en 2 x

dx =

I —sen
D ividir

1 2 + señé? U U

■ 2 * í| c\

2x = 0 => x = L @ ¿

sen 6 + 2

Í

^— 7z d 0

<

í

Sustituir ■!

sent? + 2

1

. 2dt

-^ V + 2

l +r

1/3

I

i Ti 2

l + t2 '

1 + t2

<----- Completar cuadrados: t2 + i + —- —

dt

I

1 ± 6 2

0 ,, d 0 = _2 dt

1 + t2

cir

J

1 /) _

] sen0 =

V

t + i1

2

\2 + , 3

t+ arctg -7=4J 3/2

2

| 2

2 ' '

| _ v

2

'3v-rtrr í

2 tg x - 1

= x - -4= arctg — ■£=— = x - -f= arctg y¡3 \ J3 ) 73 173

©

J = J .| .,.,>'4 ,,-,- = Í S X - t 1* lt3x

©

í=

"1— — “ = 3 JÍ t 4-3eo s x +osen x 0

21+ 5 ' ié ~ ' - ^ Ln|C0SX^+ C

a rc tg ( 3 t g x ) ^ - C

146


La Antiderivada y La Integral Indefinida

E

l -

f

_ cos2x-15

J tsc-Kr ~ 1Í3Í4 - soh2jc) dx

4 .a,w ,i r 4&{'n2x-l 15 ^ 5 4 . sen2 x

(A )

/ = J f ~q'•|" '7 dx -

(T )

/ = j*—-^7— - rj ( x - LnJ sen x + cos x |) -t- C

©—

fJ— 5 sen

n

- ic-üy ~ ~g--:X1- ^ Ln [cos x - sen x [ +C

dx = Ln ^

\/tgx-l| — 1-

^/tg x + t g x + 1

73

- ^

arctg

2 tgx +l 73

+ C

Otras Integrales:

©

/ = J / t g x dx Hacer ^/tgx = í Se obtiene:

/ = J "~ ~ r di > 1 + £4 = 1 + í 4 + 2 í2 - 2£2 = (1 + í 2 )2 - 3 í2

I = j * - ~2^r 2 2 se inteSra P or fracciones parciales 1 = -^- [ Ln(sen x + cos x - Vsen 2 x ) + arcsen ( sen x - cos x )] + C

©

/ ^ J ©

T ^ dx = 2 ( s e n f - c o s f ) + C

,s i

sen f + c o s | , 0

/ = j*^ l + cosec x dx = 2 arcsen yjsenx + C

I = f

J sen y eos3 §

= - 7=¿ - + 2 arctg . / cos -§ - Ln — p = = ¿ + C

-y cos f

1 - Jeos -§2

147



H a lla r las integrales:

®

¡7Ü7-,

©

í i (1+x2)'

©

1/ 1- xj

©

í í

r

©

dx

®

J ^x2(1 -x)

[

x dx

x5

dx

í :K^jl - +* X2- +X6

i*

©

X

dx

f

J

dx

x jx 4 - 2 x 2- l

J

dx

1+ x4 + x8

Respuestas: ©

i 3xJ

- 5x

1 X+x"

©

2\2

(1 - * ©

®

16

Ln

y 1- x Vx

4)

¿ (8 -4

x2

©

i arctg x

+3

l +x

-iL n

, x > O )^ 1 +

l + xV3 ■

4>/3

@

- ■ ¿ ( 1 5 + 10 x + 8 x 2 ) >/x ( 1 -

©

- j- V i - x 2 - Ln —

2V3

l- x V 3 -

©

x2

©

Ln

•v/3 arctg

arctg

x

2 + x° +

i02 are eos

x\¡3 ) + | are sen V x (0 < x < 1)

148


2-Jl

x +1 x s¡2

1—X

.... ([ x| < 1)

2z - 1

1 -x

donde

1 -x

x4

iLn 1(i- +z+z rz2

+ x3 + x6

V3


INTEGRALES INDEFINIDAS

EJERCICIOS G R U P O I: I N T E G R A L E S I N M E D I A T A S

C a lc u la r:

Q j

X e 1. i —— d x Vx

dx

0

3x dx

0

0

©

dx

(5 x - 2) :d 2

x

0

©

©

2 - 5x

a

0

í— — dx

dx

x * dx (8x° f2 7 ) A

•e

-x 2

e* dx 2 + ex

*

©

©

©

x 2 y l + x 2 dx

x

ax

1

í— ~

1

Q t]

,

@

dx

.

-r = = --- =--- dx

J îsenx - co sx

senx-cosx

J y a2senx + b2eos2x

I

sen x

J Teos2x

©

J V sen 2 x

©

J

1 .cos-x

|

dx

dx

arcsenx i2^ r \ 1 1 - x'

Ln {x -4 J 1 + x ‘~

1+

® J

isenx ----— ax

©

f

(24J

J Vcos^ X

I

sen x + 2 eos" x

í 14 x2 dx

1 dx I x Ln x L n (L n x )

I

dx

í

arctg x

dx

I sen x -r eos x

©

dx ex +e~x

¡«j

Í¿ L ! j 1 - ex

J

©

Í í

dx

^[2 + c o s2 x

s e n x eosx

_

2y •3" 9X - 4 x

>

_dx

dx

x 2 (2 - 3x 2 )2 dx

29

sen2 x \¡tfQx

Ln LL—dx 1 x

eos x • dx

(SI L _>

[2 8 ]

1- X2

dx

í

x ( l — x )10 • d x

-149



(1 -x)-100

©

J -á

dx

a

1+ X - X

í Ja

dx

í

(i-x r

dx

x + (árceos 3 x )

5xdx

©

dx

f -f i

dx

■dx

dx (x + J

x¿ -1

1 + eos2 X

©

t 1 + c os 2x

©

(l + 2 x 2 ) x2( l + x2 )

37

38

dx

f

3 • 2X - 2 • 3*

dx

í

x (4 - Ln x )

í

dx

dx

senx • c o sx

® í

jo c o s a - e o s 2 x ) dx

are cos-^-

dx

^ 2 - se

e arctsx + x L n ( l + x 2 ) + l

l + x¿ 39

íI e x sen (e x ) dx (L n x )n

secx tg x

í:

dx

dx

í

sec2 x

+1

c o s2 x 4 + eos2 2 x

dx

-dx

En los siguientes integrales, previamente se divide antes de integrar. 61

x + 4

3+ x 3- x

(1 + X ) d

dx

63

í

dx

64

J ttt

x2 + 1

dx

dx

150


65

f J

66

r x +2 dx J 2x " 1

x 2- l X2 + l

dx

dx


Para hallar las siguientes integrales se requiere: I o Sumar y restar constantes que hacen falta para hallar antiderivadas conocidas. 2o Completar cuadrados para encontrar fórmulas conocidas de integración inm e diata.

5x - 3 x 2+ 6 x +12

681

í

_ dx

|

2x + 5x + 1

x + 5

í :x 70

a

í

85

í í

+x - 6

+ 7x - 3

x + 1 + 6x + 9

x - 2 3x

Q i)

f

+ 2x + 3

6 - 2x

S) J:

791

, 3x 1■■=dx

I

í

dx

- 4x - 4x

x

4 - 3x

2x - 1

dx

.i

i

4x

4^

5 x 2 + 6 x + 18

821

dx

- 4 x + 17

®

^ 4 x 2~t- 9 x + 1

l-x

b

-ü - d x

2 - 5x

dx

+ 2x + 2

^ 9 x 2 + 6x + 2

3- x

k x -x 2

dx

x + 3

dx

J'

dx

6x + 20 6x

j:2 x

72

dx

f e

dx

— dx

- 4x + 5

2x - 8

5x

- 2x +1

dx

dx

J x 2 + 2x + 2

Integrales p o r Partes:

[86]

Jx-sen2xdx

©

J* cos x dx 8]

Jx •eos2 xdx

Jx •tg2dx

90

©

92

Jx Ln

Jx3 •sen xdx

I

x n Lnxdx,n

J*Vx Ln2x c íx

-1

94

| ^ - 1 ) dx

J xZLn( l T 7 h x 151



[95]

J(Lnx)2 dx

(t06j

[_96_1

J Ln (x2 + 1) dx

©

®

Jü& dx

©

©

J vV *d x

ÍÍOÜ)

íx 3 ex dx

[ioTj

J\2 ax

dx

[l03|

je x ■cos3x dx

x +' x arctg x

a/T7x^

dx

f r■ arcseny'x

J

a/"L

!ll8¡

[120

(ñ oj

J( arctg x )2 dx

©

Jsen (Ln x ) dx cos

\/l + >c2 xe

arctg x

xe‘

dx

dx

(l + X2)3/2

1 + X2) 3/2

+ x2

J(arc sen x)2 dx

i

:L n (x + a/i + x 2 }

a r c tg x

dx

¡109Í

©

(T02J Jex sen x dx

su r

aresenx

dx

dx

(x +

l)¿

[lili

e

sen x - dx

[T22J

e^x dx

(Lnx) dx

sen p

d x

K -x dx

dx

©

i

fiijl

Jx2 ex senx •dx

[lZs] (l26 |

[1Q4¡

Jlírc cos x •dx

©

J s e n x • L n ( tg x ) d x

(ios)

í x •are tg xdx

©

j L n ( x + V l + x 2" ) d x

arctg x

-dx

x 2(l + x 2 ) O x arctq x

t

dx

INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES BE FUNCIONES RACIONALES 11271 128

I;( x

í í

2~

3

- 2 ) ( x + 5)

dx

(x + l ) ( x + 2){x + 3)

dx

(x + 1) (2 x +1)

2x

- 3x - 2

dx dx

152s


1 +xq x(x

-1)

dx

x - 3x + 2 x ( x 2+ 2 x + 1)

dx


i» 1

/

x3 + 5x2 + 8x + 4

xó + 1

í í í e 138)

139

(Í4Í1.

i

x4 -x2

J J

(x

dx

¡149

fl

ÍI

-1

dx

ü*

(j53l

■dx

+ 1) ( x

+ x)

8x - 4x2 + x (x x + 4

dx

dx

—4)

x ( x ¿ + 4)

x -4

x - dx ( x - 2) ( x

í

- 4 x + 5)

61 (l5 5 j

dx

dx

( x - l ) 2 ( x 2 + 1)

X5 + 2 x 3 + 4 x + 4

í

í í

1 (x

dx

x 4 + 2x3 + 2 x2

l + x

í

í

l

y

restar

2 x 2 en el de

nominador factorizar

dx

( * 2 +2)

y

dx x (x ¿ + 4 )(x ¿ +1)

dx

9f

f e

J

dx

-dx ... Sug. Sumar

x 3 + X -1

jd x

.2

í

- 2 x + 3)

+ 1)

- X

144

148

dx

dx X (x

X

í

©

( x — 1) ( x 3 — 4 x 2 + 3 x )

í

143

dx

3 x 2 +1

f e

í

(146J

(x 2 - l ) 3

xJ -1

©

dx

„Z

,3

dx

2x (1 + x ) (1 + X

2 \2 )'

(x + l f ( x 2 + 2 x + 2)s 5 x 2 -12 x 2 - 6 x + 13 )z

dx

dx dx

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

©

J

i (x z + 4 )¿

dx

V( 1 -x

( x V x 2 + a2 dx 159

u

(x2 + 4)3 dx

161

x¿ - 2

2 ,3

dx

dx

f r 1 dx J 'J (x H-a2) «153



í í 16^

dx

, J¿

,2

l

dx

x 2 a/x ^ T 4

t.

1

[174

(ü (¡§ ([§

2

1 - eos x (1 - coser • senx)^

1_______ dx

sen x + eos x

1

dx

(185)

1

dx

N

1

V2

dx

dx

1

2 - senx

_ i ______ dx

3 c o s x + sen x + 1

2 + eos x

íí

1 - tg x

^

í— L

J 1 - ser

h


dx

r

dx

dx

dx

5 + 4 senx

(¡8 9 }

dx

dx

5 - 3 eos x

(¡8 7 )

dx

sen x + co sx +

180

1 - a eos x

‘gafe

i

2 - 1 6 ) 3/2

1 - 2 a eos x + a2

1183!

a2 + b 2 - 2 a b c o s x

j(x

1

a c o s x + b s en x + c

5 + 4 cosx

^

c o sx + 2 sen x + 3

}182~[

sen ^ ^ 1 + senx

senx - sena

2ax - x d x , a > O

dx

j181 j

dx

c o sx - cosa

169

I = J*R( sen x , eos x ) dx

+ senx + cosx

1 + 2 cosx

173

1

í

J (1+ Í í )3/2

Jt

dx

X (x 2 - a2 \ I 2

INTEGRALES DEL TIPO

m

(7 + 4 x + x 2 )3/2

dx

dx dx dx

dx


RESPUESTAS GRUPO 1: 1

j x V x + 2V x - 2 Ln |x|

2

-| ^ 2 -5 x

3

-1 (1 -3

4

x

2 15 (5 x - 2

5

-> /l - x 2

6

id

18

--y=-Ln |x¡2 c o s x + x/cos2x |

19

-are sen {x¡2 s e n x )

) 4/s

c tg

20

)3^2

21

4 i a rc t5 \ T 2

22

( arctg x ) ¿

+ x 3 ) 4/3

i

23 x +27

7

24

2

8.

25

9

Ln (2 + e x )

10

arctg e x

26

11

-2 Ln (e~~x - 1 )

27

12

- L n ( e~x + >/l + e ‘

13

i Ln3x

14

Ln |Ln (Lnx)|

17

-2x

30 31

\/l - s e n 2 x I p

ya

28 29

2

15 16

x

o

2

9

sen x + b eos x

a2 * b ¿

32 33

Ln3^2 | x + ^ 1 + x 2 lL n 2 i ü 4

1- x

1 are sen

sen x

1 arctg (tg 2 x ) 1

In

2 (L n 3 - Ln2) L' u 4 y 3 _ 12 v 5

3x

5x

3 X + 2X

9

+ yx

7

í i - x r + u - x ) 12 11 12 99 (1 - x

)99

1 49 (1 - x

)98

97 (1 - x

)97

4 - 4 + 4 - 4 + x - Ln^ +1) 8+ 3 0 x 375


(2 -

5 x ) 3/2


34

2x

-

12x - 6

35

■i ( tg x + x ) + c

36

arctg x - — + c

37

3x - ;

38

O

52

■+ C

3Vx

2 (l- 5 )x i

' +

Ln 1 •5

53

C

55

56 c - c o s (e x )

40

Lnm +

1x

,

,m ^ 1

=— be m+ 1

Ln |Lnx|

’

Ln |Ln x | + c

42

are sen *

43

2

Ln 2

are sen

44

57

58

are sen — + c

46

e

+e

+c

48

■|Ln ( x 2 + 9 )--i-a r c tg -J + c

49

\ arctgx 2 ~ \ L n ( x 4 +

51

2 - Lnx

(are cos -|)

2 are sen ^

l) + c

2

e a rc tg * + Ln ( U -

x

2

y

—7==-Ln 4V5

61

x —4 L n |x + 4 ¡ + c

62

- x - 6 L n |x —3 ¡ + c

63

4 r + 3 x + Ln ( x 2 + 1 ) - 3 arctg x

2 2

V 5 + sen x V 5 - sen x

- x - arctg x

65

x - 2 arctg x

66

•i-x + 4 L n | 2 x -l|

67

4 Ln( x 2 +

- 2"s/l - x 2 - J - ^ a r c sen x )" are sen x + J í -

) + ^

60

64

47

50

2 + Lnx

Ln ( sec x + 'Jsec2 x +1

+c

-i- are tg - ^ + c

Ln

59

•+ C

45

■x + c

y y

+ c , sim = -1

41

c - i [ V T - 9 x 2 + (a r c c o s 3 x )3

54

x • cos a - -^sen 2 x + c

39

are sen x + • ■+ c Vi + * 2

+c

156-


6x + 12 ) -

a rctgL iE '


68

l Ln ( 2 x 2 + 5 x + l ) + 15^

69

ÍL n (x 2 + x -6 ) + ^ L n ( ^ | ) + c

70

f L n (6 x 2 + 7 x - 3 ) + f L n ( | ^ ) + c

71

4 Ln (2 x

72

jr Ln (3 x 2 + 2 x + 3 ) - ^ a r c t g | ^ ~ j + c

73

L n ^ 4x + 5 + j ^

+ 6 x + 9) - | arctg y— ^— j + c

-\¡ 3 + 2x - x 2 + 3 are sen

x-l

—

,

|+ C

74

| v 8 - 4 x - 4 x 2 + | are sen ( 2>3'-- ) + c

75

\^4x - x 2 + are sen í

76

|- \/9x2 - 4 - 4 Ln 3 x + y ¡ 9 x 2 - 4 + c

77

3 1 Ln ( 4 x 2 - 4 x + 1 7 + | arctg

78

H Ln 18x + 9 + 4 \f^x2 + 9 x + 1 1-

79

3-y/x2 + 2x + 2 - 4 L n j x + l + ^ x 2 + 2 x + 2 j + c

80

|- ^ 9 x 2 + 6 x + 2 +

81

|| arctg 5x9+ 3 -

82

•| Ln ( x 2 - 4 x + 5 ) + 4arctg ( x - 2 )

83

-2 ^ j 1 - x - x 2 - 9 aresen

|+ c

4 1 ~] + c ^ 4x 2 +9x + l + c

Ln ( 3 x + 1 + ^ 9 x 2 + 6 x + 2 ) + c Ln (5 x 2 + 6 x + 18) + c

2 x +1

V5

157



84

-L ^ 5 x 2 - 2 x + 1 + ^ ^ L n

85

V x2 + 2 x + 2 + 2 L n ( x + 1 + V x2 + 2 x + 2 ) + c

86

•L sen 2 x - g - x c o s 2 x + c

104

x • are eos x

87

x sen + eos x + x

105

x +1 arctg x —f + c 2 2

88

gj- + j x sen x + -g-eos 2 x + c

106

2 V x +1 are sen x + 4a/1 _ x + c

89

x •tg x -

107

V i + x 2 arctgx- Ln(x + V i + x 2 ) +

90

c - x 2 cosx+3x2senx+6xoosx--6senx

91 92 93 94 95

n+

1

xV5 -

+ Ln |eos x |+ c

( Lnx

L_

[ LnX

1

n+

o

110

2(>/2 - V x-1

L

x- 2 + c

are sen

j Ln -1-X

1 -x l +x

- 2 x L n x + 2x + c

x ( aresenx) 2-2arcsenx\/2-x2 -2 x + c x z+ l

— (arctgx) - xarctx + -|Ln(l + x ) + c

111

•| ( sen Ln x - eos Ln x ) + c

112

(eos L n x + s e n L n x ) + c

113

x -2 x +

2e

+c

96

x L n (x

97

c - - ~ (L n 3x + 3 L n 3x + 6Ln x + 6)

98

c - e~x {x +1)

99

c - e~x (2 + 2 x + x 2)

116

x L n (x + L + x 2 )- V T +

100

e x (x 3 - 3 x 2 + 6 x - 6) + c

117

^ 1 + x 2 Ln ( x + V i + x 2 ) - x

101

ax M -

L™

+ 1 ) - 2 x + 2 arctg x + c

2x Ln ¿x

Ln°a

114 :^ [ (x 2 - l ) s e n x - ( x - l ) 2 cosx]ex + c 115

118

L n tg | --c o s x L n tg x

(1 -

x ) e arctgx

2,Jl + x 2

102

¿ (s e n x - cosx)

^

119 103

3 e x se n 3 x

10

| e x c o s3 x

10

¡ c

c

Vx ) i + c

l +x

- i v - 2 - 1 Ln 11 —x ¡ + 4 - L n 3X 3 x (L n x )

108 109

l- x 3/2 í Ln2x ~ --| L n x

1-x 9 ¿

+ ^ 5 x 2 - 2x + 1

( l + x ) e arctsy 2tJi + x 2

158


x2


120 121

122

1 (2 - s e n 2 x - c o s 2 x ) 2 e ^ ( y f x - l )+c

1233 1( l - \íx2 ) eos y f x + 2 \ f x

sen y fx

134

x + — + Ln

135

1 + lL n

136

c

x t

124

125 326

xarc s e n x

/-.

— =- + f Ln (1 - x V l~ x 2

— f

Vi + x2

x

128

|Ln

129

Ln

130

H

131

4 r + Ln

132

Ln

\ k (x -

z

x

2 )(x + 5)| (x

¿

(x

+ 2)4

+ 1) (x + 2 ) +c

+c

(x -

x2 x + 1

(x ¿ + l )

+c

x +1

, Ln

+ C

|x|

138

Ln J*L_ ' tJx2 +1

139

¿ L n - y -— — r -4^ arctg O v3 12° xv'1- xv 4 +.1 i V

140

i Ln

141

Ln

142

—Ln

143

2 x + Ln

144

ia r c t g f + Í L n | - ^ j + c

145

x - arctg x + Ln

+ c

2x -1

146 x

147

Ln

148

Ln V L -l l + 1 arCtg

149

+ C

4

—4 x + 1

x¿ - 4x + 1

arctg ( x - 2 ) +

+

c

+ 1 arctg 2x + l + c ^x

+ x +1

1+ X

1- x

V3

^ arctg x + c

(x + l ) 2 (x2 + l)

x

V3

+x 2 -- + (x +

2)°

2

arctg x + c

c

+ —^ - + 0

+ 2 + L

x

-1

j+ c

x • arctg x - i (a rd g x 2) - - 4 (arctgx)2 + c

Ln

i

x

2 \ ,

\ ( arctgx )2 + c

Lxi-¡=M= - - arctg x -

127

133

i T

x-1

2u l

+c

,2 - i1t2 (x¿ y

i+ c

137 .

(x - ir

4x + 7 2 (x + 1 )

+1 + c

+ Ln (x + 1 ) + c

k

•c

2 x - —+ 2 Ln ( x 2 + 2 x + 2 )- 2 a r c t g (x + l ) + c



150

151 152 153 154

155

nrcf0 ir a rc ts T T ? + c

1 I n x2 + xa/^ + 1 ¡ J V f Ln ¿ - x ó + l + T 2 -x

L n (x

-

4 (x

+ 2)

+—

+2)

¿ L n x -- 7+ L n ( x 16

18

216 (x

+ 9)

i

,

x

arctg -f=- + c

----- i _ ... 1

+ l ) + 7¿ 5- L n ( x 288

36 (x + 9)

+ 648

+ 4 ) - - — ^----- + C 24 (x +

arCtS f + C

— ----------- 7j-L n | x + l| 4 - - Í- L n (l + x 2 ) + c

2 (x

+

9)

2

i

arctg ( x + 1 ) 13x - 1 5 9

4

8(x 53

+

,

2x + 2 )¿

x - 3

+ C

156

8( x.2 - 6x + 13)

157

x + l 4 arc‘S f2+ 1 ^ +T4 + C 8 x2

158

| -(2 x + a2 ) ^ x 2 + a 2 - ^ - L n ( x + ^ x 2 + a2 ) + c

159

^ x ( x 2 + 1 0 ) yj x 2 + 4 + 6 Ln ( X + y fx 2 + 4 ) + c

160 161 162

163 164 165

4)

+ i f arct3 —

+c

1— yj x 2 - 2 + L n 2 /„2 ,

W a 2 + x 2 - ^ - L n (x + V a 2 + x 2 )

4x

•+ C

+ V2 +

166

1 3

167

— ,1

+c

+ 4x + x

a 2 y x 2 - a2

168

^■arcsen^^-

169

<¿

170

Vl+V2

2x + 7 ¿

171

2

a re s e n

- -L. are sec — + c n a¿

h

■+ k

Ln |tg j + 1 1+ c

160 •


O

2^ -^21+4x-x2 +k

x-a

16y[x*-16

+c

2

(x-aw 2 a x-x2 ------- -

+5

,

|x |> 4

+k


172

a/3

•t/3 + tg-

Ln

^[3 - tg ^

■+ C

si - -y/3 < tg f < V 3 2

173

+c

tg f + l

tg |- + 1 | + c

181

arctg

182

~ + arctg

1+ a l- o t g #

tg 4—cosa arctg— con, ------ + -

183 .

sen2a

a - b

Ln

175

176

Ln

+

tg f+ tg f

C

184

# - ¿ L n (c o s x + s e n x ) + c

185

¿ arctg (

186

fr arctg — |—

o

2 tg | -j

5 tg f + 4

M

|-arctg V

a

2 - ¿>2

3

arctg

187

+c

2 (/ 2

179

-

180

¿Ln

tg f + ^

ic o

/

a+ b

t g f+ t

-2

+ c

Ln(2 + eos x ) + -ârctg í

tg

+ c

cosx(cosx-senx)

1r

i

1+ c i

lo o

------!— ^---------- - - | L n | c o s x - s e n x ¡ + c

189

2 tg x

190

Ln-

2 -1

tg f

+ c

+ c

tg -f -c o tg -í 2 o. x \

178

tg f-co sa

tg f-2cosa t g f + l

(c - a )t g f+ c

arctg -¡ = = = á = = - + c

174

177

+c

+ ^ a r c t g ( V 2 tg x ) + c

\$9x'-

6,„2x + tgx +1

fa r c tg ^ i +c

+ c


161


Integral in d e fin id a - Cálculo integral 1 . M É T O D O S M A S S IM P L E S D E IN T E G R A C IO N ♦

En los ejercicios del 01 al 27 hallar las integrales, usando la tabla de integrales y aplicando las reglas elementales para la integración.

01.

JVxdx

02. j*^/xn dx

03. J ^ f

04.

J lO x dx

05. J axe xdx

06. J a

07.

Ja

08. J 3 ,4 x ~ ° ’17dx

09. J ( l - 2 u ) d u

10. J(\/x + l ) ( x - V x + l)d x

11. J4íLi2L£-__lE_ ¿x

12. J (2 x -1'2 + 3 x -0'8 - 5 ° ' 38)dx

13. J ( ^ ) 2 dz

f (1+3^ )3 dx

14.

f^ ¿ d x

15.

17.

Jf /7s&A

18. f - — — — dx

19.

dx Jr1i++cocos!,s 2x

20.

í — cos2x J eos x • sen

21.

ít g 2 xdx

22.

f J

23.

J

f2 s e n 2 f dx

24.

í (1¥—

25.

J

26.

I ----- —— ñ— J co s 2x + sen x

27.

♦

J

x

dx

2

J

J J

2

X2(l +x2)

16.

dx

f

(1 + x )

dx

x (l + x 2)

I (arcsen x + árceos x )d x

En los ejercicios 28 al 105 hallar las integrales, aplicando el teorema sobre la invariancia de las fórmulas de integración.

28. Jsenxd(senx)

29. J tg3x d (tg x )

30. J -jí,= = J -

162



31. J (x + l)15dx

32.

dx (2x - 3)!

33

34. j* ^ / (8 - 3 x )6 dx

35.

x/8 - 2 x d x

36.

+1 dx

38.

x v l - x 2 dx

37. J 2 x V x 40. 43. 46. 49. 52.

x dx

í ^]x^7l

41.

(6x - 5)dx

I cosx dx

J 1^/sen2dx (arctg x )2dx

Jcos3xd(3x)

55. j*(c o s a

-cos2x)dx

58. J[cos(2x--|) 60.

J

l +x

4dx

2

63- f i Í T

sen x cos x dx

47.

cos x sen2x dx

-2

)2 tJl

-

x

x 3 dx

J tV /- x + T

í

sen x dx

dx

í:

dx (arcsen x

2

c-Jl + tg:

53.

d(l + lnx) eos2(1 + lnx)

54.

Jcos3xdx

56.

s e n (2 x - 3 )d x

57.

Jcos(l-2x)dx

59.

J e x(senex)dx

dx 61.

(2x - 3)dx x2 -3x^8

d (arcsenx)

64.

dx x + rn

x dx

66.

J X3+l

67.

ex dx ex + 1

68. J-,2x

69.

J tg x dx

70.

ctg x d x

71.

72.

j*ctg(2x + l)dx

73.

sen2x dx 1+ eos2X

I Ü 2 + ld x

76.

e Senxd(senx)

79.

a x dx

75. 78.

í-

| a 3x

dx

( c * 1)

b (a + bx)‘ -dx j*

44.

50.

l + x^

a + bx)c

J x 2 >/x3 + 2dx

'

Í 2^¡3^~-^5x~^ f

x

dx

í;

e 2x dx

Jtg3xdx

í

dx x lnx

:senx cos xdx

■ í-

:_3x+1 dx -163



81.

84.

J e x2xdx

82.

f ,

85.

f—

88.

f T

91. f - í ^ -

J^25^

87.

2x2+ 9

J

90.

-

J >/¡2^ 4

93.

f- l^ -

J e

x+4

83. J

J 1+ 9x

f —^

86.

J ^/4^

J x4+ 1

89.

J x4+1

Jx

94.

d( f)

J e * 3x 2dx

J

dx f- r=

92.

+4

95.

y l - 4X

f-| ^

J a + se

96. j — ^ - d x

97. J ( e x + 1 ) 3dx

98. J-^=

"•

10°- f í l *

10L í

102.

f l^ L c fc c J yj{

105.

103.

f

* ----------

104.

f 2 x y arcsenxck

J

J ( x + s jx 2 - l f

^/l

f x + (arcos3x) 2

J ♦

1-X2)3

x(l-x

V1-9*

En los ejercicios del 106 al 115 hallar las integrales, despejando la parte entera de la fracción bajo el signo de la integral.

106.

} ^ dx

109. 112. 115.

♦

Jf llX+2 x , 2 d x f +1

107.

-dx

108.

110.

í Í^ Ild x

111.

dx

114.

113.

x-2

X2 -1

X +1

I ..........d x a + bx

J

f z x - l*

x 4dx J x 2+1

En los ejercicios del 116 al 132 hallar las integrales aplicando el m étodo de des composición de la expresión integrando y el m étodo para despejar el cuadrado perfecto.

>16'

l l 7 ' J l^ T T )

, 1 8 ' J (x + l ) f 2 x i 3 )

164



í 122.

í

125

í í

128

120

dx

123

í

126

í

129

í

x

2+ 3 x - 1 0 dx

(x - 1

)2 + 4

dx

4x

J ♦

fx 2+l

dx (a - x )íb - x )

2+ 4x + 5 dx +

6x -

9xl

121

dx

dx 4x

2-

124.

9

dx

x

2+ 2 x

dx

J -x 2 - 7 x

t

2 - 3x

+ 10

2

127 8------&

d

+ 3

dx

x -x

dx

í

y jl-(2 x + 3?

2-2 ,5

dx

132

^ 2 -

6x

-9x

2

En los ejercicios 133 al 156 hallar las integrales aplicando fórmulas trigonométri cas para transformar la expresión integrando.

133. Jcos2 x d x .36. j \

dx

1 + senx

134.

I sen2x d x

137.

í

d

139.

í<

I (tg2x + tg4x )d x

40.

142.

| co s2 x co s3 x dx

43.

145.

í1 ^

d

t

148

3

eos x dx

•

138

1 + eos X eos

2x d x

1 + sen x co sx

1

I sen 2 x sen 5 x dx

í

COSX

1 - eos X

1-

sen x

c o sx

í f ^

J yjeosa

135.

dx

da

141.

í1 l

dx - eos x

1 + senx 1 - senx dx

1 co sx sen 3 x dx

/■

144.

I eos x eos 2 x eos 3 x dx

147.

t| = ! + d x

150.

Y

d

dx

151. Jcos3 x d x

52. J tg4 x d x

153. Jsen5xdx

154. Jsen4 x d x

55. J tg3 x d x

156.

f J !

dx

2 . M É T O D O S P R IN C IP A L E S D E IN T E G R A C IÓ N Integración por partes:

♦

En ios ejercicios del 157 al 193 hallar los integrales.

157.

d

x sen 2 x d x

158.

d

xeos xd x

159.

íI x e


x dx


160. j x3 x dx

161. J x nlnxdx ( n * - 1)162. Jxarctgxdx

163. Járceos xdx

164. J arctg yfx dx

166. Jxtg2xdx

167.

■ I

x arctg x

i

1■ aresenx ,— ...

165 168

x eos2xdx

í

lgx

. CAJk

dx

í J l + x 2 dx

170.

f (1

173. f f *

174. j x 2ln(l + x)dx

175. |x 2e~x dx

176. \x3e xdx

177. J x V d x

178. |x sen x dx

179. f x 2 eos 3xdx

180. Jln2xdx

181

i

ln

x

dx

+ x 2 )*

3x

171. Jln(x2 + l)dx

fs H S Ü d x

J

dx

183. J(arc senx)2dx

dx

184. J(arctg x )2xdx

185, Je sen xdx

186. J e3x (sen 2x - eos 2x)dx

187. Je ^ eos nxdx

188. I sen Inxdx

189. Jeos ln x dx

191. I Va2 + x 2dx

193. J

190.

x

f

dx

f T

2

2e x dx 2)2

x

(x +

193. J x 2e*sen x dx Cambio de variable:

♦ En los ejercicios 194 al 229 hallar las integrales. (susl’luyenci° * + l = z

. J j^ = . 199. 202 .

J ((x x --2 2 )r3 dx

J 1 + -J x

í

*

dx

197. f J

x^jx + 1

200

_Jg_

203

J

J

x (x +

1) dx

dx ax + b + m

x

dx

195. C — ,

1

198 201 204

í x^Jx " ‘

dx

J,.,-J x d x

J*

xfx - \/x

166


(sustituyendo x = z


*•

206- j v í t t

l. j * 4

-0*

(sustituyendo € x + 1 = z 4 )

dx

210.

212 . f — lUMií— dx J

215.

217.

218.

221.

sen x • c o sx

f

J x 2 a/x2 + a

Í

¿

213.

J^/a

214.

3- x 3

f

J (x

x2adx

22 - 4/m) 2

(sustituyendo x = - , o x = a tg z , o x = a sh z z

(sustituyendo x = - , o x = —2— , o x = a ch z z

f¿ ^ d x

f

211. J V l + cos2 x • sen 2 x • c o s 2 x dx

(sustituyendo x = a sen z)

I — -M=., =

J

dx

209. j*-

2

J

dx

x6 (-2 ^ 2)3

227.

J xi --41 4dx

cosz

219. f £ ^ ¿ d x

*4

221 J

♦

2

J xdx2-a2

J

207- J

222.

}

220.

X2

f

x

2^

223.

9

225. J x 2 ^ 4 - x 2 dx

09 Q 228.

f

dx

f-r ^

■&—

f

J x f i^ 2

226. j -------x

ooq

~

dx — í ^ ----

) ^ a 2 + x 2y

I

2 + 4 ) y /4 x Z + l

(x + l)d x

229. í -----------

J a/x-x2

J

x (l + x e x )

En los ejercicios 230 al 234 hallar las integrales efectuando primero el cambio de variables y luego integrando por partes. 231. J sen y fx d x

230. J e ^ d x

233.

^dx

J 1+ X 2

234.

f- ^

V

J x 2 (l + x

)

232. j -

dx

167



Diversos Problemas: ♦

E n los e je rc ic io s 2 3 5 a l 1 8 0 h a lla r las in te g ra le s :

235. + l) V ). JI ((xx + V x 2 + 2x dx

240.

238

iI x cos x cdx

241

j * ( 2 - 3 x 4 )5 x 3dx

244

l e x (3 + e x )

í -^ L d x

247

i

2 x -l

í

250

|

Inxdx

í 246. '

i f

252.

1

255

í

258

f

253

l +x‘

sen 4x dx

x 3 dx

259

• JT7T

x dx

í jT + 2

261

262

x

265

d267.

dx

í fizx-9x2 -2 (x - 3) dx

270

í ■<¡2>- 2x - x

273

í

276

2

(x - 2) dx x 2 - 7 x + 12 (4 - 3x) dx

■ í ^ 5 x 2 + 6 x +18

268 271

274 277

242.

l - 2 -x ^ 33x4 - d x

245

1 -------- ^ e \ 1 -e '

248

^ d x

I g COS X dx

dx

,

251

J x ( l - ln2 x)

d
f

1 + 3x

4

254.

J sen^"

256

cos6 x

I ( l + e 3 x )2 e 3 x d x

I senx

í ^Vx7=- dx yfx dx

236.

X

-x

- X+ 1

^ Tr °i ri r

dx

Í S 2 | X dx

J

COS

257. J ( l - t g 3 x ) 2 dx r

x dx

260

' J<

4

x dx AJ2 + 4 x

j,- v a + x dx

263.

f

266.

í y¡9x

269

J - (x + 2)dx

dx

J ^5 - 2x + X (8x - 11) dx

í \¡5+~2x

(3x - 1) dx

m

2x + 5 y 9 x 2 + 6x + 2

f

( 2 - 5 x )d x

J

y¡4x2 +9x+~l

dx

dx 2 - 6x + 2

x 2 + 2x + 2

-~ x2

■ í 4 x 2 - 4 x + 17

í

s e n x + c o s x ) “ dx

. j

275.

168-


I

(3x - 1 ) dx yjx2 + 2x + 2

2x

A *

-3 x + l

dx

x dx

•\/3x2 -11 x + 2


281- j arct9 xdx

279. 282. 285. 288. 291. 294.

j* x s e n x c o s x dx

J

f-co-s- | x dx

J

284. J*e2xx 3 dx

286. f ^ - d x

287. f

J In sen x

X

eos

283. J *x2 c o s a x dx

289. ¡V

sendx

J

[ e 2x2 + lnx ^

- dx

296.

297. | ^ ~ d x

298. J e xsen2x dx

299.

300.

301.

302.

303. 306.

309.

312.

315.

318. 321.

324.

fi- ^ d x tgx

f

305.

f x 3 e xZ dx

307. f e ~ x Z x 5 d x

308.

L

310. í ^

x)

J

i l í -

JV o ^ F

dx

304.

J *j3co$íp + sen
[L B E c l x

J (1 + sen

J Í+ + 1

f

316.

f

310.

¡ X ( ^ + ^ )

f

J

dx

322i

[ax + b ) 4 x

f -,-—

J sjx^ + 4

^

J

313.

X4

senx

J

{^ L d -d x

J

J

325.

J

dx

x

dx

X6

¡L Ib ± d x

¡4^1-1 ¡

f i - ^ d x

J

X

x

f - ^

311.

—

i x a rcsen x

f= = T J ^ 1—X

,

d

j

(1 + t g x ) d x sen 2x

J

1. + sen x

sen x dx

n ln x ^

f “ l£ d x

J

xx

x 3 dx

J Vi+2*2 J

x 4^

T 4

3 1 4 .-f ----317. í

J

320. 323.

13

Jyfx(x-l)

2 2x

J

J j 2 + 2x2

J 1+

4 - cos

293. í € eX+xdx

ex +1i d x

295.

J

4)2

sen 2 x d x

I

292. i —

J e +1

(l + x

290. f

1-s e n á x

J

x 7 dx

J

326.

(2 + x ) J l + x

f

x

dx

J ( 1- x2)5 f

J

x dx

( l - x 4) l

¡f^ e b e J x 2 Vx

169



•

f ~~—T T

328.

J (l +x2)3

.

329.

831. J ü i ^ ü i d c dx

. J are eos r

f-J ^,-(1---_ e2x

+ e x ) dx

e x

332.

334. j*ln (x + >/l + x 2 ) dx

dx

335. j*

dx

J eos 3 x

3.

fJ -*2 -xp^1 arctg* x dx

yjsen2x

TIPOS PRINCIPALES DE LAS FUNCIONES INTEGRALES

Funciones fraccionarias racionales:

♦

En los ejercicios 337 al 346 hallar las integrales.

1)

El denominar tiene solo distintas raíces reales.

QQ7

|

990

340.

f 3
* dx

337' J T x+ ÍT Í2 J T T )

343. 345.

2)

f

m

dx

|

nQQ

J 2x2 - 3 x-2

m

f ^ X 4 - 8 dx J x - 4x

342.

-----------------------

J (2x -1) (4x - 16x +15)

f

2x + 41x —91

t

J (x ~ "ÍT (~x~t~3)'(x - 4) <**

1 dx

f ’ t

J 4x - x J

344.

í

4- 3 x 2 + 2

346. f * 6 - 2* ,:4 4 ++33^ *J - 9 x ¿ +4 dx J 5~ 5 x 3+ 4 z

¡ - {l x- 2~ ^ dx J x -5 x +6

El denominador tiene sólo raíces reales; algunas raíces son múltiples.

347.

J

Jf

x (x

? ldx

2 + 2x + 1)

■y/ +

350.• Í -x¡ - +- {V dx

•

X 3 - X 2

f ------ 4 ^ ---- 2

J

(x + 2 ) 2 (x + 4 ) 2

. f ----- L ÍÉ L ----

J ( x - l ) 2 ( x2 - l )

348. 351.

f f i í ± 2 \ 2 dx

J l * - 1/

J

349.

*

(x - 2 )

5 dx

352.

í - ^ — 4 ^ -------

J x

fJf . ,dx ¿

354. f-x 3 ~ 6X3 + 9x + 7 dx

355. f

357. f — ^ 2- 2x + 3)dx—

m

J

(x - 2)

(x - 5)

J (x-l)(x3-4x2+3x)

170


+5x

J

f

J

+

8x + 4


359.

3)

f x33 2-x-2 +24 dx

J

x

360.

(x -2 )

í~ d x

J (x 2 - l ) 3

El denom inador tiene distintas raíces complejas.

361. 364. 367.

i—

362. f - ^

J x íx S l)

J (x - 1) (x

363. f

J l + X°

365

- 2x + 5)

í- y - ^ S

3

366.

2+ x -1

J x ' - x

368. í

J (x 2 + l)(x 2 +x)

-----

369.

J (x + 1)2 ( x 2 +1)

4)

í

(3x 2 + x + 3) dx

J ( x - l ) ° ( x 2 + l)

( x 3 - 6) dx x 4 + 6x 2 + 8

dx

1+ x

El denominar tiene raíces complejas múltiples.

373.

[ — 9—

J (x

Í

376 379

í

J 1- x

j

S7,

370.

372. J

x dx

J

+ 2)

(x +

l dx

1)

374.

í ------ ------------ r

J x (4 +■x

f

dx

( x 2 + 2x + 2 )3

'

(1 + x

m í (*

)

375.

070

dx

J (x 2 x

•fa fr

)

+9 )3

‘

í

2 - 1 2 )d x 2 - 6x + 13 }2

(5 x

J (x

2x dx

r

J (l + x ) ( l + x

2)2

9dx - 1)

5 ) M étodo de Ostrogradskí. . f

1 7Í -2 , dx

382.

J (X ¿ + X + 1 ) 2

384

386 .

J ( x - 1 ) 2 ( x 2 +1 )2

— 2

387.

J x 4 (x 3 + l)2

J (x

f y 5 ¡ x ----26x! ~ f x ~ f - dx (x

+ 4 x + 5)

(x

í

X 2 4- X + 1

J

.2 n2 385. Jí (l + x ) ( l + x 2,3

f X-6x+3 X---¡-4-X-2?t2 3 (x 2 + l)2

J

J

383.

+4)

+ 2x + 10)

=-

388.

f

(x +

2) dx

J ( x 2 + 2 x + 2 )'

390. f J


3x

4+ 4


Algunas funciones irracionales:

♦

En los ejercicios 393 al 414 hallar los integrales. ax + b

Funciones de la forma R x, ny ™ + ^ ■, d { M ai* + h y a-¡x +

1)

x dx

393

■ L v ítv ? )

396■

m

W

2)

bi

**■ J —

397. J

399. J ^ j f ^ d x

g

d

x

& *

¡

(x + l ) 2 + (x + l ) 3

40°-

Binomios diferenciales x m {a + h x n) p dx

401.

J a/ x (1 + ^ x )4 dx

402.

403. 406. 409. 412.

404. f ~¿£—

407.

f ^ ^ d x

410.

1 + x4

J

x

J p r fH r

J x 5 ^ ( l + x 3)2dx

405.

f^ -^ d x

408.

f — V fe --

411.

J f x ( l - x 2)dx

414.

J

Xb

J x ^ l + x8

413.

J x 1 (1 + x 1)”3 dx tfr+ x'3

J J

P ^ jE d x

W

f^ E ld x

X

dx

Funciones trigonométricas:

♦

1

394 J w + v W *


415. Jsen 3x cos 2 x 418. í ^ x dx J cos¿ x

421.

f tt~~~T

J (1 ~ cosx)

2

dx416.

419.

J-^ y v dx

fJ - - ?idx

.

cos x sen x

f—

422-J

K%

(1 —cosx)

217. J 420.

fJ í

dx

cosx-sen x

sen4x c c

423- Jeos 6x dx

172



424

. j*ctg 4x dx

427.

J

sen

x

J t g 5x d x

42 6 .

428.

J

429.

J

432.

Ii tgx • cos2x

----------------If sen x & + co sx

430 .

434

J se n x -c o so x

5

+4

Í

442 .

f

J

.

450 .

1 -s e h

í—

J sen

440

| _________ J (se n x +

dx______________

, ^ 2—

eos

x

Jl + sen x dx

Jv

451.

x

J V

454.

f r - dx-

—

f

'cos2x~- 3i¿ í=

eo s 4 x -^4 - ctg

x

sen 2x dx 1 - tg x dx ________

J 5 - 4senx + 3cosx

446. 449.

452.

J ^/sen3x eo s5 x J

dx

441|

2 s e c x )2

a sen x +b

448. f

x

fI

438.

443.

J

( J l + cosec x dx

453

'

445. f ,

x

f ^ n3-2 x . dx

J sen

'

I

x + 5sen x

x - eos

f

J 5 - 3 eos x

o—

J 4 -3 co s

f

444

435

f 2l-+ c5o^sx - dx

437.

senx

dx 4 + t g x + 4 c tg x

439

í

I 1 + tgx

436 • I V # — J

eos x - sen x

|-------------J431. a eos x + osen x

f^ c o s fx *

433

j*t gdx8 x

425.

f-

J1

dx____

i

J sen 2x + tg 2x

í

J senx cosx dx f-p ---------

J yl - sen

455.--- f --------- —

J

456.I jJ yv t g x d x Funciones h ip e rb ó lic a s : ♦


457. JI cch h xx dd xx 460 •

fI

u— % •

chx + shx

463. j * t h 2 x d x

-----------------------

458. 461.

Jshxdx

459. J-

f (sh 2ax + sh 2ax) dx

46 2 .

I '

464. J c t h 2 x d x

dx

ch2x

|sh2x dx I

465. J *s h 3 x d x

— -------------------------------------------------------------------------------■ — --------------173



466. J ch 3x d x

467

469. j*cth 5x d x

470

í

473 .

Ü * x dx

dx

472.

(1 + ch

x )‘

■ í

th 4x dx

468. j*s h 2x c h 3x dx

dx

l

471

shxchx

dx

sh x x

dx

í . ch

x

e 2x dx

475.

sh x

Funciones racionales de: x y *Jax 2 + bx + c . ♦

En los ejercicios 476 al 499 hallar las integrales

I

Xaj x

+ x dx

479

Jf x\¡2r += x

482

í

1

+1

dx

x\j x 2 + 4 x - 4

___

480.

(2x - 3 ) ^ 4 x - x 2

483.

í

A/2x + x

2 x - l dx

«Í

dx

485. | V l - 4 x - x 2 dx 486. J 488. J 491. 494.

í

ek

. [- ,

J

1 + a/ x 2 + 2 x + 2 3 x 2 - 5x

dx

492

| - ;x-' - 8 - ~ 3 dx

495

497.

3 -2 x + x'

a/ x

- 4x - 7

-\/l + x 2 2 + x"

x 2 dx

r

3 x 3 dx a/ x 2

+ 4x + 5

f x 4 dx J -Jx2 + 4x + 5 J*

dx

■x + 1

a/1 - 2 x - x

f

J

dx

(x-l)dx 2 x +1

dx

478

í : Xa/ x 2 + 2 x - 1 f

481

J (x-

484.

dx 1)a¡ x 2 + x +1

j*Ví!3 x

487- Í ~

- 3 x + l dx dx

,----- ^

J x (x + a/1 +

490.

499

)

■2 x + 5

493. 496

x

a/ x 2

r

J

-x - 1- dx

+ 2x + 2

dx ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1) a/ x 2 + 2 x - 3

f

' J(

(2x + 3) dx

(x ¿ + 2 x + 3)a¡ x 2 + 2 x + 4

Diversas funciones: ♦

En los ejercicios 500 al 555 hallar las integrales

500. {

x 3 dx

(x -D 12

rn.

501.

1

J:

xdx

502. J x ^ / o T+ xx dx

174



x 4 dx

503. 506.

504'

Jl*

505' j

507'

5°8'J

509. j * ( x 2 + 3 x + 5) cos 2 x dx

516.

j se n -v /x dx

512. J* jx e ^ d x

515. J ( x 3 - 2 x 2 + 5 ) e 3 x d x

517.

j

518. f ---------

522.

( í ± ± p l dx

520.

f-

523.

J

x6

J X

525.

- &

J (l + x ) ‘

- ^ -ó -

s e n 2 x - 2 senx

&— -

526.

3 (x - 1 )2

f-ílíL

521. f .— _

[É ^ -d x

524. f ^ ^

J

f — .-

J'

J1 +l COS + c o sX2 x

J

ln x

527.

531.

x2ex cosxdx

532. |xex (x2 +1)dx

537. 540. 543. 546.

x

\jtq2x + 2

dx

538.

x arctg x

7 2xdx. x+

sen

x

f — £ L = ^ 2¿ L . = J x J x 4 +3x2 +1 ( x e x dx

x e x dx

(l + x ) 2

( l + x 2) 2

f

J eos

J

dx

(e3x + e x ) dx -e 2x +

1

544. 547.

533. j - - ndx

J -Jsen0 x cos'x

f

J

539.

r_arctgx ^ J íl + x

í

536.

542.

Jl + e x

f J

dx r =. =. = (2 x -3 )J 4 x -x 2

(arctg x d x J

f

(1 - 2 )

J

-. -

1 + senx + cosx

f

)3

J e 2x J ^Jli ++ ee xx ++ e 2x

,

dx

^ 2 -^

J

J

535.

f-~ -

JJ ^ ( - i ^ c o s 2 *

ln x 530. f - JilHL

529.

x cos

x 15- l

J

x

x ln (1 + x3) dx

sen

dx

JV l +^

¡ y p T l

528.

534.

arcsen x dx

514.

x

519.

ln(x +1) dx

510. j* x 2 sh x dx

511. j * a r c t g ( l + V x ) dx 513. j e ^ d x

(x 2 - 1 ) ( x + 2 )

548.

í

J J

tg x dx

1+ tgx +


t g 2x

■175


. J s e n 8x dx 552

f - 4 -^ - 4-

J

558.

sen x + cos

x

550. J ~ ~ 4 y r ^

551- J

553.

554.

cosx

J

(x

- 3x - 1 0 ) '

2- l

f 2

J

x

+1

r

dx + x

Ií e seiix x P°s 3 x ; senx d x M étodos para calcular integrales definidas Integrales Im propias

1 . M É T O D O S D E IN T E G R A C IÓ N E X A C T A . Aplicación directa de la fórmula de Newton Leibniz:

♦

En los ejercicios 556 al 583 calcular las integrales 1

,JVr J V I + x dx

556.

o

-i 557

-13 dx

558.

2

9(

559.

|-M -d x

16

560.

I sen {

-
(ex - l) 4ex dx

563.

I í

[ ¿ ^ ( b > a > 0 )

564

1

0

e

1

0 3 2

e

X i j l - (lnx)

566.

2 ,

i

I i-^ d x

567

l

1 1

e3

V3 2

x n_1 dx

\ja

dx

J jx +9-4x 0

2a

0 dx

f

561

0 562.L j I,

|

‘ i

■ í (11 + 5 x ) "

dx

- J

:,J l + ln;

570.

176-


x dx

( x.2* +, li)\2 i

e x dx

x

dx

í í 1 M 2


2

í 0

i Qdx (x-a)(x-2a)

572.

2

1 l

dx J 2 x 3 +3x - 2

7Z

i dx

575

í

-0,5

dx s¡8 + 2x ■

J c o s 5 x senx 2 x dx

577.

dx

■ í x 2 + 4x + 5 O

■)

578.

n_

’__K 4

(0 579. Jsen 2 (¿yx +
580.

0

581.

12 J c t g 4
a

♦

J ^ / c o s x - e o s 3 x dx _7C 2

0

Jt 4

dx

1 + COS X

*sen ■

582. I—^ d x

f

í

eos x dx

2 583.

J c o s í sen^2í - -jJ di

En los ejercicios 584 al 593 hallar las integrales integrándolas por partes.



2 594.

J e o s n x dx y

Deducir las fórmulas de recurrencia para calcular las integrales o J2L

J sen nx dx (n es un entero positivo o cero) y calcular las integrales; o

a)

Jsen ^xdx;

b)

0

Jcos’ x * ;

c)

0

J s e n ^ x dx o

595. Deducir la fórmula de recurrencia para calcular la integral

J s e n mx c o s n x dx o

( m y n son enteros positivos o ceros; examinar los casos particulares de valores pares e impares de m y n). o 596. Deducir la fórmula de recurrencia y calcular la integral J x ne x dx (n es un en-1 tero positivo). 597. Demostrar la fórmula de recurrencia;

f J

________ x__________| 2n - 3

dx (l + x 2 ) n

Zln-lMl + x 2 ) " - 1

2 ( n - l)

f J

dx (i + x 2 )'1' 1

1 dx

(n es un entero positivo) y mediante ésta calcular la integral 0 e 598.

Demostrar que si J m =

j*ln m x dx , se tiene

2\4 • (l + x )

J m = e - m J m_ j (es un entero po-

1

sitivo). 1 599.

Hallar la integral J x p (1 - x ) q dx (p y q son enteros positivos).



Cambio de variable en la integral definida:

♦

En los ejercicios 600 al 620 calcular las integrales. 9

600.

1

J

-^ _ d x

601.

4

f- E ^ L

J 1+Vx

604.

3

1 _____

23

L£L¿L,

Jsen6|-dx

606.

607.

0

3

n 4

1

j*eos72x dx

o 1

J ^ ~ Id x

V2

2

1

2

J--JY ~

J

611. J ¿ Í l l d x 1

_____________

l 614. j x 2^ l - x 2 dx

o

-ln 2_ _ _ _ _

o

a

616.

0

f

3 r

2

J x + JV a a2 - x " x2

617. • f1— <*-

2

J

*, ( x O ^

O

f i l 2j - - x.2I 3 dx

J

2,5

x

5 2 +3\2)

2V2

5____ ___________

618.

____

2

613. j V ( l - x 2) 3 dx

V2 X

\ j l - e 2x dx

____

610. J ^ - ^ d x

1

612.

x 2 dx

608. J

o

609.

í - ^(- x 2)L ~ dx

J 3+mx- 2 ) 2

0

S

615.i

605.

J J e x +e~x

0

¡ 4 ^

J 4^4

0

1

603.

602.

J 1+X

619.

f

J

0

(2 x 2

+ l) \ jx

620. +1

f -

J

x ^ (x 2

----

- 2);

Distintos problemas:

621. Calcular el valor m edio de la función y = V * + -4= en el intervalo [1, 4 ]. dx 622. Calcular el valor m edio de la función / (x ) = —E — en el intervalo [1; 1,5]. X

+ X

623. Calcular el valor m edio de las funciones / (x ) = sen x y /(x) = sen2x en el in tervalo [0, n ] .

179



624. Calcular el valor m edio de la función /(x) = — -— en el intervalo [0, 2]. e x +1

625. ¿Para qué valor de a el valor m edio de la función y = ln x en el intervalo [1, a] es igual a la velocidad media con que varía la función en este intervalo? ♦

En los ejercicios 626 al 642 calcular las integrales. i

2_

y ¡2

626. f- & - T

Jx

627.

+ x 3

1

f

0J

J

0

#2

629.

f

,

628. í

J

(1 + X 5 ) 3

0

2

630.

n + x 8 ^5

(1 + x )

í

-......

+ l1)) 3 : 0J J x + 1 + J/(( x +

631.

x

ln 5

633. | x 5J l 7 x 2 dx

x 2 dx 0

634. j

0

3

f

^

í

fx s e n x , 636, J c o s 3 x d X

f

0

0

f

1

16

0

639. J*(arcsen x )4 dx

g

(X 2

1

2

f _ ( 3 x ± 2)dx_

641.

640. J arctg-y/Vx - 1 dx

0

i

x+g

637‘ J 2cosx + 3

l

6'

____

0

63fi

638. J ————-

x 2 dx

J

-a

V3

632.

3 dx

- 3x + 2

+a

n

1

x

x

642_ f

+ 4 x + 1)2

J

senx cosx dx a 2 eos2 x + b 2sen2x

2

643.

Mostrar que

J

0

I —5—

— 5- = ~ , donde a y b son cualesquiera números

a 2 cos2 x + b 2sen2x

2

y

reales distintos de cero.

644.

Resolver la ecuación

I — ,-A. =, = -S.

J xJ^TI

<2

V2

180


M


645. Resolver la ecuación

I -¡= M = r = -J

J

Jex ~ 1

6

ln 2

646. Al quedarse convencido de la validez de las desigualdades ~ > ln x > 1 para 4

x > e , mostrar que la integral

I

J yin*

es menor que 1, pero m ayor que 0,92.

3

1 647. Mostrar que f « 0 , 523 <

6

f - r===M ==-= < —

J J4 ^ 2 ^ ¥

0

4^2

« 0,555

0,5

648. Mostar que 0,5

< | -= ^ = - < -2- « 0,523 (n>l) J 0

6

649. Valiéndose de la desigualdad sen x > x -

3

, que es válida para x > 0, y de la X 2

desigualdad de Cauchy - Buniakovski, evaluar la integral J ^ x s e n x dx . o i 650.

Mostar que 0,78 < í {i o

< 0,93

651.

Hallar los valores máximos y mínimo de la función J (x ) = I - ~ l- ' -•— dt en el

Jt2

o

- 2 t + 2

intervalo [-1 ,1 ]

652.

Hallar el punto extremo y los puntos de inflexión de la gráfica de la función



♦

En los ejercicios 653 al 665 demostrar la validez de las igualdades sin calcular las integrales.

* If xx iUsenyx 10sen9x dx dx == 00

653. }.

654. 654. f I —~ z ^ í-± 2 x- ~ - d x = 0

J

_

1

eos" X

J

s 8

-1 1 2

1

655. J e cosx dx = 2 J e cosx dx -i

656. j eos x ln

o

dx = 0

-1 A

657.

a)

j*/(í) dt

Mostrar que si f ( t ) es una función impar,

es una función par, es

a

-X decir, que

X

J f ( t } dt = J f ( t ) dt a

a x

b)

¿Será la función j f ( t ) d t impar, se la función f ( t ) es par? a 1

658. Demostrar la validez de la igualdad

7

1—~

-

J i +r

i —™

J 1+ r

X

tg x

659.

Demostrar la identidad

J

1

ctg x

I

i

660. Demostrar la identidad

(x > 0)

l + t¿

s-

I —

J

i

t(i

+t¿ )

sen x

j*

- 1

eos

aresenx f t d t +

0

661. Demostrar la validez de la igualdad

j*

x

árceosx¡td t = ~

o 1

i

j* x m( l - x ) ndx = J x n( l - x ) mdx

182



b

b

662. Demostrar la validez de la igualdad J f ( x ) d x = J*f ( a + b - x ) d x a

2L 663.

Demostrar que

a

Ü

J*/(eos x) dx = J / (s e n x ) dx . Aplicar el resultado obtenido 0

o JL

JL

para calcular las integrales j*cos 2 x dx y j*sen 2x dx . o

o

664. Demostrar que: n

71

J x / (s e n x ) dx = f j*/ (s en x ) dx o

o

'

2

K

2

• 2 x J / (s e n x ) dx = n J / (s e n x ) dx . o

o 71

Aplicar el resultado obtenido para aplicar la integral

I—

J 1+ eos

0

X

dx

665. Mostrar que si la función f ( x ) es periódica cuyo período es igual a T, se tiene a+ T

que

I / (x ) dx no depende de a.

180



Integral in d efinida - Cálculo in te gra l 1. M E T O D O S M A S S IM P L E S D E IN T E G R A C IO N . ü-+i

01. | V x ° + C

02. **■

04. * 0,4343 • 10 x + C

05.

07. ,/^k + c

08. « 4 , l x 0,83 + C

n+

m

(ae)x

1 + Ina

+ c

03. C - i

X

+c

06.

Vx + C

09. u - u 2 + C 2 _ ~ e x +ln|x| 2

10. f x - v x

11. C —

12. C - 1 0 x “ 0,2 + 1 5 x 0,2 - 3 , 6 2 x 1’38

13. z - 2 1 n | z | - - + C

14.

2x2 -12x-6 3-v/x

+ C

15. |-Cc^" +

-y -

x V x + -| x \ / x ^

-” X 2 V x + C

17. -4=-arcsenx + C V3

16. 18.

+

3x>/x

2(1,5 )J

+c

1 9 .-|(tgx + x ) + C

20. C - c tg x - t g x

21. tg x - x + C

22. C - c t g x - x

23. x - s e n x + C

24. arctg x ~ — + C

25. ln |x |+ 2 arctg x + C

26. tg x + C

27. £ x + C

28. &SLJL +c

29. ^

30

3 x

¡n 1,5

+ x z +C (a + bx)

b (l-c)

+c

31.

1) 16

(X +

16

+c

32. C -

34. C - ^ ( 8 - 3 x ) 5

W (x 2 +1)

3+c

35. C -

+ C

8 (2 x - 3)

yj(8 - 2 x )3

2\3

36. ~ ^ V a + bx + C

37.

39. | ^ ( x 3 + 2 )6 + C

40. ^/x2 + 1 + C

41. 1 ^ 4 + x 5 + C

42. | ^ ( x 4 + 1 ) 2 + C

43. ^ 3 x 2 - 5 x + 6 + C

44. -^sen4x + C

45. s e c x + C

46. 3 ^ jse n x + C

47. C - f e o s 5 x

48. f ^ ( l n x ) 3 + C

49. ^ £ ¿ + C

50. C

38. c - i ^ / a

184


2(arcsenx)¿


51. 2,Jl + tg x + C

52. sen 3 x + C

54. ¿ s e n 3 x + C

55. xcos¿r - ¿ s e n 2x + C 56. C - ¿ c o s ( 2 x - 3)

57. C - ¿ s e n ( l - 2 x )

58. ¿ t g ( 2 x - f ) + C

59. C - c o s (e x )

60. ln (l + x 2) + C

61. ln |arcsen x |+ C

62. ln (x 2 - 3 x + 8) + C

63. ¿ l n | 2 x - l | + C

64. ¿ ln |ex + m |+ C

65. ¿ ln (x 2 + 1 ) + C

66. ¿ ln |x 3 + 1 1+ C

67. ln (e x + 1 ) + C

68. ¿ l n ( e 2x + a 2) + C

69. C - ln |cos x |

70. ln |sen x |+ C

71. C - -jln ¡ cos 3 x |

72. j ln |sen(2x + 1 ) |+ C 73. C - ln (1 + cos 2 x)

74. ln |ln x |+ C

75. lnm+1x + C >si m * m +1

76. e senx + C

77. e senx • C

78. -flf- + C 31na + °

79. C -

80. r °

81. 0 , 5 e x V

ln a

e1~3x 3

53. t g (l + ln x ) + C

ó

\-(tg 4 x - s e c 4 x ) + C

1 y

ln |ln x |+ C , si m = -1

2 +C

82. C - i e - 3

83. arcsen j + C

84. -i- arcsen 5 x + C

85. ¿ arctg 3 x + C

86. arcsen— + C

87. ^ a r c t g f x + C

88. i arcsen - y + C

89. -■arctg x 2 + C

x2 + C 90. 1 arcsen —

91. ¿ arctg — + C

1 4 /"i 92. —arcsen x + C

93. ¿a rctg

94. arcsen 2X , In2 + °

95. a1 arctg C ° sena+ a

96. e x + e ~x + C

2

a

+ C

97. i e sx + | e 2x + 3 e x + x + C

98. arcsen x - ^ l - x 2 + C

99. -|ln ( x 2 + 9) - ¿a rctg

100. arcsen x + V l - x 2 + C

+ C

101. Tj-arctg x 2 - ¿ l n ( x 4 + 1) + C

102. arcsen x

+C

103. f [ x 3 - < ¡{x2 - l ) 3 ] - x + C 104. C - 2^1 - x 2 - -y- ^(arcsen x ) 3 105. C - -i [^1 - 9 x 2 + (árceos 3 x ) 3]

106. x - 4 1 n | x + 4| + C

185



107.

2' [ x

"2 ln |2 x

~

108. y-j^x - yin ( bx + a |] + C

+ 1 II + C

110. 2 x + 3 ln ¡ x - 2 |+ C

109. C - x - 6 1 n | 3 - x

111 .

1

2 "

+ ~ ln I 2 x - 1 1+ C

112. x + ln(x

14

114. C - - r X 4 - 4-x3 - i - x 2 - x - ln 11 - x

113. x - 2 arctg x + C

4

O

¿

x + arctg x + C

115. 117.

X + 1

123. — ln 12 1

126.

-1

X+1

2x - 3 2x + 3

-c

121.

+c

2x - 3

x +1

x - 5 4 -ln o x

-2

+c

X 4

127.

+c

122.

¡->

3x -1

y in

x

+c b -x

-2

x + 5

+c

+c

125, j arctg ~ ~ + C

2,arctg _ +„ — 1- 2x f c

128. 44 arcts~~o~~ + C 2

130. arcsen (x - 2) + C

129. 4-arcsen (2 x + 3) + C i

Ix - 1

119. -r-M n b -a

V2 + xV3 124. - V l n + C 2V6 4 2 - xS

arctg -j^ - + C

1

116. ln

118. -J-ln 5

'+ C x

1 2 0. x + ln

+ 1) + C

132. -4arcsen —X.1 + c

133. f +

135. C - ctg-|

136. t g ( f - f ) + C

137. 2 tg — - x + C

138. 2tg(-| + ■ —) — x + C

139. y t g 3x + C

140. ln(2 + sen 2 x ) + C

141. C ~

131. y arcsen — ^— + ^ 134.

sen 2 x 2

4

c

3

V3

- 2

+ C

+ c o s2 x ) 142. — sen 5 x + 4 sen x + C

143. 4-sen3x - —rsen 7 x + C o

14

144. y-(2x + sen 2 x + 4-sen4x + -4Se n 6 x ) + C 147. c o £ ^ _ i n |co sx l + C 2

146. ln (l + sen x ) + C 149. 2 4/cosa - - z 151. sen x -

145. ln j tg (y + ^)| + C 148.-4---------------+ C senx

3sen x

150. t g x + 4-tg3x + C

+C

152. j t g 3x - tg x + x + C

154. J-x - 4-sen2x + -i-sen 4 x + C

153. C ~ cos x + |-ctg3x - 4 co s5x 155. -y tg2x + ln |co sx ¡ + C

156. C - ctg x - y ctg 3x - -4ctg 5x

186



2. MÉTODOS PRINCIPALES DE INTEGRACIÓN. Integración por partes: 157. js e n 2 x - ~ x co s2 x + C

158. x s e n x + c o s x + C

159. C - e ~ ~ x (x + 1)

160.

161. ¿ L ± ( i n x _ _ J ^ ) + c

162 .

r¡

1

+1

n

- x"2 + C

163. x árceos x -

3

(xln 3 - 1) + C

X +1 2 a rc tg x ~ ~ + C

164. x arctg yfx - x/x + aertgx/x + C

165. 2 ^ J x T T aresen x + 4 ^Jl~~~x + C

166. x tg x - 4^- + ln |eos x | + C

+ -jj-x sen 2 x + 4 Co s 2 x + C

167.

ln

168. C - “ j l s (xx/e)

169. \/l + x 2arctgx - ln(x + y l + x 2 ) + C

170. 2(x/x - ^/x - 1 aresen x/x) + C

171. xln ( x 2 + 1 ) - 2 x + 2 arctgx + C

172. C

+ 4 arctg x

2(1+ x-

173. x 2^ l + x 2 ~ § / ( 2 + x 2) 3 + C 174

( x 3 + 1) ln(2 + x)

x3

x2

3

9

6

x 3

, p

176. e x ( x 3 - 3 x 2 + 6 x - 6 ) + C 178. C - x

q

175. C - e “ x (2 + 2 x + x ‘ 177. a x ¡ r ~ ~ lna

ln

a

+ - 4 — 1+ C in a

o

co sx + 3 x senx + 6 x c o s x - 6 sen x

179. ~ x 3 + -|-x2sen 2 x + 4 XCOs 2 x - 4 sen 2 x + C

180. x (ln 2 x - 2 1 n x + 2) + C

181. C - —(ln 3 x + 31n2 x + 61nx + 6 )

182. C - ~ 4 ^ ( | l n 2+31n x + 2)

183. x(arcsen x) 184.

■2 + +11 2

+ 2 aresen x •y¡2 - x

rotor x vt (arctg )

o

28Í 1 4

-2 x + C

i 9 -—xvaprrHrt r c t g xv 4 +- 4-ln (1 + x ) + C

185.

e

(senx-cosx

+c

. 3x

186. -j-j- (sen 2 x - 5 eos 2 x ) + C 187. 189.

(n sen nx + a eos nx) + C

188.

^-(coslnx + sen ln x ) + C


|-(senlnx - c o s ln x )+ C


190. C - j y j l - x 2 + j arcsenx x dx

(Poner du =

r I

,== =-, y luego

l-Jl - x

yjl —X

2

J

dx transformar a la forma

1 - 7 = dx)

J j l - X 2

191. |-y/a2 + x 2 + — -ln(x + -y/a2~+ x 2 ) + C 193.

1 1 —x 2

-|-[(x2 - l ) s e n x - ( x - l ) 2 c o s x ] e x

192. ^ ^ a x + C

C

Cambio de Variable: 194. 2 [V x ~TT - ln (l + V x T T )] + C 195. ^ E I ( 5 x 3 35

x +1-1

197. ln

,

¡X+ 1+1

+ 6 x 2

+ 8 x

+ 16) + C

196. C -------

x- 2

2(x - 2)

+ C

198. 2 V x - 2 + V2 arctg V “ "^"~ + C

199. 2 [ V x - l n ( l + V x )] + C

200. 2 arctg V x + C

201. 2 (V x - arctg V x ) + C 202. | (x + 1)^ -

3(x +

1)3 +

31n 11 +

- 1 1+ C

203. ~[^¡clx + b - m ln | yjax + b + m |] + C 204. x + P p

+p p

+ 2-sJx + 3 V x + 6 1 n | V x - l | + C

205. 3 V x + 31n |V x - 1 1+ C 207. f[\ / x ^ + 21^ 209. ln 211.

3 + 2 1 n | 1^

~x + C

J l + e x +1

206. 2V x - 4 V x + 41n(l + V x ) + C - l ¡ ]

215. C -

p 3-

a

'° x

208. | r ( 3 e x - 4 )V c e ^ T T )^ + C

210. 2^/í + ln x - ln |ln x |+ 21n |J l + ln x - 1 1+ C

0.4-^(1 + e o s 2 x ) 3 (3 - 2 c o s 2 x ) + C

213. C - 1

+ C

x 3 (2a 3 + x 3)

212. -i-ln2 t g x + C + 4 ln |x 2 - 4 1+C

214.

a

216. -—-aresen— - 4\/a2 - x 2 + C Z


Z

’


217. C - -ârcsen 219. C -

221. C 223. ln

a/

218. C

|x|

a

Í^ 2

220

arcsen x

X

.2 ,5

x/(9^

45x1

1+ a X¿ +1

222.

+c

a 2-v/x2 + a 2

9x

2_ i

226.

4 a/Í5

a

+C

+c

{ ^ 9

224. C

225. j ( x 2 - 2)-y4 - x 2 + 2 a r c s e n + C r 227. á r c e o s

3x;

a /x

ln

-a

c>/Í5 + 2-J-4 x

+1

c7 Í5 -2 a/4x 2 +1

+c

(- C (Se puede realizar la sustitución x = ^

228. 2 arcsen V x + C (Se puede realizar la sustitución x = sen 2z ) 229. ln

+ C

1 + xe '

(Multiplicar el numerador y el dominador p or

e x , y poner

xex = z) 230. 2 z ^ * {4 x - 1 ) + C 232_

231. 3 [ ( 2 - C c 2 ) c o s ^ + 2 ^ s e n ^ x ] + C

x a ^ c + ¿2i n (i _ x~ 2 / )+ c Vi

234. ln

233. x a r c t g x - ( a r c t g x 2) - ^ ( a r c t g x ) 2 + C

—arctg x - - i(a rc tg x )2 + C

/1+X'

Diversos Problemas: 235. ¿ a/(x 2 + 2 x ) 3 + C

236. i ( l + e 3x) 3 + C

237. 2

238. e

239. C - | ( l - e x ) 2

240. ^ s e n x 2 + C

242. C - i l n | l + 3 x 3 - x 6 j

243. f l n ( l + x 2) + C

C 4

6

241. C - ^ - ( 2 - 3 x 3 ) 5 244. C - l n ( 3 + e “x )

+C

245. C - arcsen e ~x

246. 2yjl + x 2 + 31n(x + sjl + x 2 ) + C 247. | [ 2 ^ 9 ^ 2~ ^ 4 - 3 1 n | 3 x + >/ 9 ^ 2^ 4 |] + C

248. 2sQn4x + C



249. árese n -^4 + C V3

252.

(arctgx)r

n+ 1

250. C -

+ C , si n ^ - 1

253. C - 2ctg 2
ln 11 - ln

x

+ ln(x + \ x

251.

+ 1 ) + C-

y L n jarctgx'l, si n = - 1 .

254. 2 x - t g x + C

255. -píg Jx + C

256. ^-^/tg5x (5 t g 2x + 9) + C

257. i ( t g 3 x + ln eos 2 3 x ) + C

258. ^ ¿ - ^ ¿ + x - l n | x + l| + C

259. C - - i T

260.

+ C

X” 1

2— =-

2(x - 1)

261. x y [ i + 2 x - \ y ¡ 0 ^ + 2 x ) 3 + C

262. ~ ( 3 x - 2a)^{a + x ) 3 + C a mx b !

263. f + Is e n 2 x - + 1 % /ü tñ x - co sx + C

e

m ln a + nlnb

265. C - ln[ 1 - x + V 5 - 2 X + X 2 ] 267. -i-aresen — ~ 3 V2

266. i l n ( 3 x - l + > / 9 x ^ 6 x + 2 ) + C

+ C

268. C - 8-^5 + 2 x - x 2 - 3 aresen-^-pi v6

269. ~2 ln (x

270. C - a/3 - 2 x - x 2 - 4 aresen-^-^

271. | ln(4x 2 - 4 x + 1 7 )+ i ardg-^r-i + C

272. 3>/x2 + 2 x + 2 - 41n(x + 1 + a/x + 2 x + 2 ) + C

+ 2 x + 2) + arctg (x + 1 ) + C

273. ln

[X

0¡

+ C

274. | ^ 9 x 2 + 6 x + 2 + ^ l n {3x + l + y ¡ 9 x ^ + 6 x ~ + 2 ) + C 275. C - ln |2 x 2 - 3 x + 1 1 276. -||arctg — ^ ■- - -^-ln ( 5 x 2 + 6 x + 18) + C 277. f i l n |8 x + 9 + 4 ^ 4 x 2 + 9 x + 1 j - | - ^ 4 x 2 + 9 x + l + C 278. W 3 x 2 - l l x + 2 + - l U n 3 V

279. ~ ^ 2 x 2 + 3 x

6x/3

A^ln (x +

X

+ f

11

x2-^ x +f

+ C

2 + 4^-) + C

280. y f { a - x ) ( x - b ) - {a - b)arctgj-^—~ + C

281. x a r c tg x - -i-ln (1 + x 2) + C



283. - \ [ { oj2x 2 - 2) sen cox + 2 ojx eos cox] + C Ü)

282. ~ s e n 2 x - ~ x co s2 x + C ® ^ 284. € 2x ( i j X 3 - | -x 2 + j X - -|) + C

285. t g x • ln {cosx) + tg x - x + C

286. In |ln sen x | + C

287. \

288. ¿ (ln | t g ^ | + c o s 3 x ) + C

289. i l g ( J + ^ ) + C

290. C - l l n

—i —

291. i n - ^ - + C

2) + C

293. e e

8

292. 21n (e

2 - eos

2+e

294. \ e

2x

+C

ex+1

295.

2s£ t ^ + c os2x)

+C

[3 ln (x i ^1

296. x ~ y j l - x 2arcsenx + C 298. sL{\ _

1 ‘ l. -+• X'

297. C - -- (—

sen x

+ c

+ c tg x )

299. ¿ ( t g x + ln |tgx|) + C

c

300. ln |sen x + eosx| + C

301. j \n tg{ f + f )

302. sec x - t g x + x + C

303. sen x - arctg sen x + C

304. V 2 1 n | tgf! + C

305. ln x • ln ln x - Inx + C 306.

307. C - I e _x 2 ( x 4 + 2 x 2 + 2 ) 309. C - x ^ 2^1^ 310.

-a

308. ¿ (x ^ - 1)^/1 + 2 x ¿ + C

2

2)5 - ~

24x

-L + c 27x

+C

- âresen x

311. J - l - 2-{xl z l l + C 314.

X2 2

i/ (x

2 - a 2)3

+a

312,

4V x 2 - a 2

24x

m

+ c

+ a 5arcsen ■ —+C 313.

120x°

+ C

_ ln (4/^3 + ! ) ] + c 3

316. x + 4^/x + 1 + 41n (^/l + x - 1) + C

317. 2 arctg^/l + x + C



319. - J x 2 + 2 x ln |x + 1 + < j x 2 + 2 x ¡ + C

318. ln 320.

C (Es conveniente la sustitución x = sen u

8 (1 - x ‘

321. - ^ a r c t g J f + C

322. C

324. 4-x a/x

+ 4 - ln (x " + J x

326. C - J-J-

j— - J-arcsenVx 3

327. C -

3x 4(1 + x

329. arcsene 330. 2
8,2

(1 + X ° j

12 x

"

+ 4) + C

, 3arctg x

2x

tC

2\/l - x

325. ln

328.

-j----------- ----------

8(1 + x ‘

- a/1 - e

323. -

x -1 Vx +1

+c

(x ~ + 1) arctgx

2y[x + C

c

1 - 2aYctg*Jex - 1 + C

331. C —-i- ln 2 (1 + —) (sustituyendo u = 333. x árceos

1+

—

332. arctg x + — ---- ^ + C a

X

3x

- V x - arctgVx + C

334. x ln(x + y[i + x 2 ) - yjl + x 2 + C

_3_3/+„ 5

335. 55

3x (5 tg

x + ll) + C

336. ^ ( t g 2x + 5 ) 7 t g x + C 3 . T IPO S PRINCIPALES DE LAS FUNCIONES INTEGRALES Funciones fraccionarias racionales: 337. ln 339. ln 341. y

7 2 X + 1

+ C

(x - 3 )‘

338. íjrln [(x - 2 ) 2 .n/ 2 x + 1 ] + C + C

+ — + 4 x + ln

340. y i n |3x + 1 1+ y i n |2 x - 3 | 33

x (x - 2)"

(x + 2y

+ C

342. j x + ln|x| - ^ l n | 2 x - l | - ^ ln | 2 x + l| + C 16 ‘


ln|xr| + C


343. ln |2x- 1| - 61n|2x-3| + 5 ln | 2 x - 5 ¡ + C

345. - V l n 2V3

347. in

+c

&

ln

2^3

■V3

6

i —T

353. 21n

350. x + i

^

3(x - 2 )

2(x - 2)

x +4 x+2

x 2 + 6x + 8

5x +12

f - ln ! x + 11 356.

-+

1

359 { l n 361. ln-

3

+c

354.

(x +1) (x

1i

369. { [ln

lx -11

+1)

a r c t g + C

364. ln

arctgx + C

366. { l n

>/3

- {a r c t g x + C

+ arctg x -

+ ln |x - 5 ¡ + C

(x - l)‘

362. U n 1]n

365. - ^ ¿ + ln- l* - l|

+c

x +1

360. C ------ ^ — :

¿(x-¿)

V3

1*1

358. ¿ - f l n | x | + 201n|x-3| - { f l n | x - 2 | + C

-^t- H y + C

4 x 12 + x +1

2(x - 2) ‘

c

(x -l)‘

x —1

. ¿

+ O

+ -^ ln |x - 1 1+ {ln | x + 1 1+ C

1*1 ,/x2 +1

367. 4-ln-

X

+ C.

+c

+ C

x-2

* =. Vi ■■ +

363.

352. i + i l n

4 (x -l)

1*1

X - 1

x +2

ln

+ ln I x - 2 I

3(x + 1 ) 1

4 (x -l)2

357. - L - +

x ( x - 2)J(x - l ) ( x +1)"

348. 41n j x ¡ ~ 3ln|x-~l|

+ ln |x + 1 1+ C

c

+c

x 2 ^l

346. 4^ + ln

x +1

x +1

349. 351.

x-V 2 x + \¡2

x 2 -2

344.

(*-1 )

r]

(x + 1)

i

2x + 5)

1 + X 1 —X

,

2x - 1

n

+ -4= arctg— — + C

| arctg -irr'try — X ~ ^ +l C + g C

{ arctg x + C

368. {ln | x + l| - { l n ( x

+ C

370. ^ - - 2 x - f + 2 l n ( x z + 2 x + 2 )- 2 a r c t g (x + l ) + C aw,4 «x 3^2 xV2 371. ln * ¿ + 4 + ^3 arctg f - arctg + C x ¿ +2


2 + 1 )-

2~Jt T) + ^


372.

—

1 |n x 2 + xV2 + 1 + ^2 — L

4n/2

In

x 2 - x / 2+1

arctg c/2 + C (En el denom inador de la expresión inte-

4

w 1 -x*

grando sum ar y restar 373.

__________^ ln(x 2 -x 4 (x 2 + 2) ^

+ 2)

o

x

2

— i-7 =-arctq-r=- + C

2

4 + V2

V2

c

1 i „ /., 2

374. Y^ln |x |- —-ln (x £‘ + 1) + ^ l n ( x " + 4)

375.

13x -159

377. -------378. 07n

379.

384.

16

x -3

. ^

„„„

arctg - /p 4 + C

-

.. __ l in | x + 1 1+ l l n ( l + x 2 ) + C

r J

15x

36(x

+ 9)

+ 4 0 x ° + 33 x

------------ — -----+ 48(1+ x 2) 3

48

648

- x

+ ln

x2+1

1 4- ln -\J.x x 2(x 2 + 1)

386. f i n

x d +1

1

+ arctg x + C

1

x ¿ 4-2x 4-10 3

- - x+ 1 x

• 2x

2x4-5 8 ( x 2 + 4)

2 ( x 2 + 4 x 4 - 5)

392. ( —d x '

194*

2

4

+ |x 4

1

5 '

2

+

X - 1

c

41n

2x + C 12x ¿ - 5x - 1

2(x3 - x 2)

c 18(x +1)

+

2

(x 2 +2x4-10)“

H-

X

4(x

+ 2x + 2 )‘

— arctg

x(3 - 2x 2*2

391.

8 /6

+c

■+ c

- arctg (x +

16

+ 1) ‘ 2

2x"

383. C - 6 ln

390, C - — - t l ^ E 32 -^ .a rc tg x 8x(x

-

11

385. d — - - d ~o + \ • — — + 4-arctgx + C (1 + X x“ +1

+1)

3(x + l)

X + 1

388. d arctg (x + 1) + 389. C -

3(x

X -1

2 ln (x 2 + x + 1) 4-d r

+1 + C

3x

arctg

387- d s

380,

a

s

( X - I ) ( x 2 + 1)

3

arctg x -t- C

—+ 2_ arctg -2x+j. 3x

8 (x “ + 2x 4- 2}"

+ --------- 5- + -JL arctg f + C

4- 9)

±

. 6x J + 15x 2 + 18x 4- 8 ^ £

3 _ W v -x .1 \

376. - arctg (x + 1 )

216(x

381.

382.

+

8 (x 2 - 6x + 13)

24( x ¿ t- 4)

ln

2

)

3 - 7x - 2 x 2 2 (x 3 - x 2 - x + 1)

V3 4- x / 3

/ 3 —x / 2

+c


+ ln-

- 1!

(x + l ) ‘

+c


Algunas funciones irracionales: 393, In(l + %

10

) 10

10

5

31n(l + lxfx)

394, 2%/x - 3\/x - 8 \/x + 6\/x + 4 8 + 33L-./6r :

12/77 , r »

-ln(\/x -

395. 8

Jx + 1 - J 1 -

398. in

d

388. 6 d (l + x ■i|

399, ín —

/ 4

y ti

4' U

2

171

-■+-2 ) ....^

¿(x + l )2 - l ( x X

16

arctg

2 %

-1

+ l )3 +-i(x

+ l) 6

ÍT 2 are'c t3 y u ,

C

**}2

C

"31^3 ~ 2f x ~2

C

7X

i+ x

/x arctg

C

(x + 1) + -p{x + 1)6 -

\{x + 1) : + c

397. (V x - 2)x/l - x - arcsenVx + C

+i U c f C , donde u = 3

-8

1 4- X

+ C , Multiplicar el numerador y el denom inador de la fracción por

400.

f T - 1, y sacar los multiplicadores fuera del signo de radical. 401. f x V x + f f - x v x 5 + f | x 2^ / x + | x 402. 3 in

3,C

242 + 3 1 2(1 +

r X 3f

~ x

2v x ^

+C

+ C

403. i l n ( f x " + l - l ) - | l n [ ^ ( x 404. 1 3

2 a/x +

2 + 1 )2

+ 4 x 2 + 1 + 1] + ^

arctg

406. | l n ^1 + x4 +x - f1 arctg 4/1

+c

■+ C

jx d +1

407.

4-ln a / l I í l I i Í _

408. f ( 4 ^ + x[x - 3) ^¡ 1 + x¡x + C

6u +

_ _ _ _ _

3^5 ~ ± M + X á) ü + C

405. 4in ---+-uí .i---- 1 arctg — ¿-1- + C , donde u 43 (u -l)‘

409.

' 3/x 2 + 1 + 1

21n -jd!—L = - 2x/3 arctg -—, ! 1 + C , donde u = \/l + V x y u2 + u + 1

43


-+ c


410.

ah

411.

^

n

l

-

+ -^ a rc tg

*3

+ C , donde u = \fl + x

11+ x 1 *. 2 $ l 7 ^ C — ------ + -f--arctg-J— f=x

412. C

413.

n

\ju2 + u + 1

V3

1

3'1! + x 3) 2 + x ^ l + x ú + x ‘

l+ * ‘

1

2 V

1+x

u+ 1 i . 2u - 1 l —X' l i n ___— = = • — 1 arctg a r c—t ¡=g + C , donde u = 3i

y

2(u 3 +1)

414. 12

lln

xV3

10

5

6

u+ i

+ C , donde u = 1 + x/x

10

13

S

2V3

Funciones trigonométricas: 415. ^ - c o s 3 x (3 c o s 2 x ~ 5 ) + C

416.-— K,--------— - + C

417. l n l t g x l

418. t g x + - j s e n 2 x - - f x + C

15

1

1

^ - +C

2 sen x

3 eos x

cosx

4

2

419. - i{t g 2x - c t g 2x ) + 21n |tg x |+ C 4 2 a (tg V l ) ( l g 4x t 10tg2x-^l)+ c 3 tg x

421. .....1 + C co s x -1

422. l c t g | - l c t g 3 | + C

423. ^ - x + ^ -s e n 2 x | c o s 4 x + y-cos 2 x + yy j + C

4x - y t g 3x

424. x - y - c t g 3x + c tg x + C

425. j t g

426. x - y c t g 7x + | -c tg 5x - - | c t g 3x + c t g x + C

427. C — -c-s| - +yln | tg| -|

428. -|-lnl 't--!-- 1+ 4 s e n x e o s x + C

429. C - y - 4 —

430. ^f-ln

431. -J— 1---- ln t g —

4

432.

196

1-tg x

yjcos2 x

2

+C

- ln|cosx| + C

1 + tgx x + arctg-2-

Ja2 + b 2

433.

ln

y l - 4 sen2


o -^

+c


434. y [ x + ln |sen x + c o s x |] + C 9

435. y arctg {2. tg-|j + C

5tg-- + 4

436. - a r c t g — |-----h C 437. ln (2 + eos x ) +

arctg |~|=- tg -|j + C

. 00 eosx(eosx - senx)

i ,

¡

.

^

438. ----- -— ^-------- 1- y in I eo sx - sen x j + C

431 é * - ¿ H * x+2l+5iifr 2T-éNcosxl + c „ ,n cos2x - 15 4 4sen2x +1 --aresen 4 + sen2x x— 440. j r p — +■ 15(4 + sen2x) \5-Jl5 441. — l---- f C 2 - tg-,

444. i

tg x -f ^

^

+C

442, y arctg (3 tg x) + C

443. -j=- arctg (x/2tg x ) + C

arctg (V2íg x) + C

445. ~V nh arctg ab

448. C - - ¿ c tg x + 4 * arctg %

447. ln

42

V2

448. 2 (s e n | --c o s | -j + C

|?/tgx-í' t g ¿x + tgx + 1

b b

+C

- — arctg-

2 tg x +1

°

^3

C

para los valores de x que satisfacen la desigualdad

sen-| + eos — > 0 , y -2 ^ se n | -- eos-y} + C para los valores de x que satisfacen la desigualdad sen-| + cos-| <

0

4 /2

449. 2^/tgx + C

450. C - - — --^ctg Jx (Poner u = ctg x

451. 4 4 / tg x + C

452.- ^ ln (V 2 t g x + ^Jl + 2 tg ^ x ) + C

453. 2arcsen yQen x

V2

C

454. C - y tg x (2 + tg 2x)a/4 - ctg 2x 456.

455.

1 + ./COSt

JcO Sj

+ 2arctgJcos-| - ln — ^ = 2. + c V

1 - Jcos-|

jL [ln (sen x + eos x - ■ sj s e n 2 x ) + arcsen(sen x - eos x )] + C

Funciones hiperbólicas: 457.

sh x + C

458.

460.

x +C

461.

ch x + C

459.

th x + C

7j-sh2ox + C

462.

■ fh x jch x-x+ C

¿a



464. x - cth x + C

483. x —th x + C

465. ~ ch ° x - ch x + C

466. sh x + I s h 3x + C

467. x - th x - ft th ° x + C

468. ~sh 3x + 'f sh 5x + C

489. ln |sh x ¡

470. ln ¡ thx |+-C

472.

o

5

471. inith-hi + C

1t gthx 473. "fin - arctgy th x + C 2 |l-~,Jthx¡

girvh

¿

c

474. x t h x

hcíh ¿ x - --^crh ‘hx : C

h í i i 2 h"-i

o

:.h.

C

in ch x 1 C

475. C - ~ £ 3shJx

Funciones racionales de: x y \jax 476. ln —

-f fax + c

477. ~ árceos -

lyjx 2 + X + 1

V2 ,

479. C - ~ l n V2

478. aresen-

1

~r 2\¡2

480. ln ! x +1 + ^Í2x + x ^

3 + 3x

481. C - - U n S

+C

V2x + x x + l)

x -1

482. C - - 4 = in

x + 6 + x60 x - 15x ‘

V I5

483. \ (x - 1) V e 2 - 2x - 1 - ln ¡ x - 1 + V x 2 - 2 x - 1 1+ C

484. 1 ( x -

- 3 x + 1 + - ~ = ln V 3 x ^ - 3 x + l + ^ . ( 2 x - 1 ) sVs

jv 3x

2/

A

485.¿ (x + 2 h/T 4 x - x

486. C -

198

2{2x - 1 -

2

x +1

r

X+2]

+ o aresen -

fs J

C

■|ln ¡ 2 x - 1 - 2 \¡x 2 - x + l + |21n|x - V x 2 - x + 1 j


La Antiderívada y la Integral Indefinida,

x + -Jx " + 1

487. ln

I + X '

J

488.

4 1 +. yjx 1

+ in (x

X-

' '

-

H2

'

‘

' ■

14,

'

.

' >¡ •*

2x r 2 i + O

.

!

■

.

• > ’

492, ( x " - 5 x - 2 0 )7 x

+ 4x + 5

1

*•’

‘

495. { 4 x 'J

Áx

2+~

x

+2

‘

! + 2 x“

t

'

i + 2 )4 -0

v *

x " -t- 4 x + 7 + 4 r

2 \+ C

4 *

(x •+• 2 + y x 2 4 4 x

5) -¡- C

o

+■ln(x -x -\jx^ + 1 )-i- (".

x¡2 .-2 x :

- 2x 488, : k E l

.

l a. arccos •— r 4-C s )i

8íx 4 m

497.

,

<.

1

X-4X,X-X;>

2

15 ín (x + 2 \/>c ¿ + 4 x + 5 ) + C

1

+2' ■

496, ^

■-I-c

I

i- 4

3'arctg 2 2

499. ln 1 2 4 2 Jx2-

+ 2x i- 4)

x+1

+c

Diversas funciones: 590. C - — 4 8( x - l ) ° 501, X x

2

x

1

.

3

,

3(x- l'L

2 - 1)3 ] x C

503- 2 x a rc,s( e " ' 2 7 ) + c

10( x- l ) lü

_L

l l ( x - l ) TI 502.

3(4x -■3a)%(a 28

504. 4. arasen x


X

■+ C T2

Vi

x

+C


505. 4 - 2 x + i i n ^ l ^ f í + C

506. ~ l n

|x + l|;

K-------- 3_ jj-. x —1

507. -§ arctg x

16 m x + 1

4 (x 4 -1 )

+c

1 + X 1 - X

+ -i-arctg x + C

508. 2 a/x + 1 [ln |x + 2| - 2 ] + C

509. (-jjj-x + | -)cos2 x + l j x 2 + ~ x + ~ )s e n 2 x + C 510. x 2c h x - 2 xsh x + 2 c h x + C

511. x a rc tg (l + V x )-\ G c + ln |x + 2 V x + 2 ¡ + C

512. ln

1 - J l - X ‘

•+ C

513. 3 e ^ { \ [ x ^ ~ 2 $ [ x + 2) + C 514. 3 e ^

- 5

515. e 3x { ~ x 3 - x 517.

+ 12oVx -1 2 0 ) + C

+ 20x- 6 0 ^

2 + -|x + ^ - j

+C

516. 2(sen>/x - -s/xeos>/x) + C

+ ^-arctgVx - 1 + C 4

4x

518. 2 ¿ + ^ V x 2 - l - i l n [ x + V x 2 - 1 | + C 519. ln(x + j T+~ x ) 2 520. ( | x

3-fx

W x

2 + l+ fln (x

521. 3[ln|u| - ln (l + > / l-u 522.

15x

;

524. ^

15

+ # ln °

Z +Z+1

y/T77i

3x3

x

+ V x 2 +1) + C

V íT Í + i

- \/3 arctg

+c

2z + 11

x/3

8sen¿|

527.

b sen2a

ln

sen(a - x) sen (a + x)

+c

) - aresen u ] + C , donde u = \/x + x -1

i5<

+ 5 x -2

2 ¿ ----

4x Jl + x

jn + x ¥ 5x5

523.

529. j ^ + C lnx

200

3) - |

x

ln

y¡2x + 1-1

yj2x + 1+1

C , donde z = x ' 526. -^ a rc tg ^ ¿ - + C

+ C , donde a = árceos £ , si a 2 < b 2 ;

- — a r ^c c otn grv + C >, donde a = á r c e o sn - ', si a 2 > 528. -|-x2 ln (l + x

C - J jE íll. + X

2 + ¿ ln (x 2 - x

2

+ l)- i- ln (x + l) + ^ a r c t g - ^ = i + C 530. arctg yj.x 2 - l


lnx i x^-1

+c


531. d e x [(x 2 *9 x - 3 3 . ¡iny-

- l)c o s x + ( x - 1 )

c

sen x ] + C

532.

■+ C

534. Jjr(tg 4x - ctg 4x ) + 2(tg 2x - c tg 2x ) +

535. a r d g (tg xx ) + C.

6 ln |tg x

|+ C

536. Inj 1 + t g d l- f C

537. arctg -=J§iL===- + Sn(y 2 + tg Xx + tg x + C \ 2 + tq 2x

538, ln—

540.

1 + X

itiíi+ n d

+C

542. I h l l C 6 v2 ll„

544. din 4

x + 6 + \/60x - 15x"

539. C - - p i n

2x -

vi 5

541. 2 x V l + e x - 4 V l + e x

araS

|x + l¡

arctgx

i

^ / T l

2(1+ x ) 2

4(x + l)

545. x - lo g 2 11 - 2 X j + 1 Sn2

1 1- 2X

+1

arctg x

543. C

6x ‘

3x J

,/l + e

C arctg x

2(1 + x )

4(1 + x ‘

+c +•

1

2(1 - 2 ;

546. arctg (e x - e ~ x ) + C

1

+C

3(1 - 2 ;

547. ln

1+ e x - 41 + e x" -i- e ‘

c

r>¿X 1 e + J1+ e X +, e

548. x - -Jd arctg d/d+Ei + C 549.

sen 4 x + ~ s e n 32 x + j ^ - s e n 8 x + C

x - ~ sen 2 x +

550. | x

¿

2 + | ln (l ¿

+ x x) + -

2 v2 (1+ xz)

552. C a r c t g ( v / 2 c t g 2 x ) 554.

c

551.

49 (x-5 )-

x- 5 27 30 +, /Hrln 48(x + 2) 343 x+2

+c

553. x t g f + C

árceos-qr~~ + C (Dividir el numerador y el denom inador por x +1 la sustitución x + ~ = z ) . X

555. e senx(x - s e c x ) + C


2

y realizar


M é to d o s para calcu lar in teg ra le s d e fin id a s in te g ra le s Im p ro p ia s 1.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EXACTA

Aplicación directa de la fórmula de Newton-Leibniz: 556. - § (4 8

1)

557.

559. 7 {

558. ..5 (^ 1 6 - 1 )

580. {

e

o

s

561.12

562. 0 , 2 ( e - l )5

563. 3 f n ^

564. {

565. f

566. 1 + { l g e

567. e - / e

2

‘

1.2

6n

571. l n f

570. 4

572. 0 ,2 1 n {

¿

573, a rc tq x §

O

°

574. § ln f-

575.

f

576.2

577. §

578.

•§

579. ¿

581. - + 1- - a + U ~ ~ c i ^ a

580. -0,083... 582.1

583. - V 2 / 3

585.7r/2 — 1

586. - 4 4 ^ x 4 , + i

588. 2

5

8

9

.

584. 1 - 2/e 587.

1 592.

594 al — ' ' 15 ,

bl 1' 5,3,1 . rc ~ fi A?Q • o; 8.6.4.2

j._ n -

t'm,n

1

r

m+ na m,n-2

593. 6 - 2 e

__ m ~ 1 r

m+ n

Si rt es impar, se tiene: J l si m es impar, se tiene: J

’n

-

m’ n

si m es par y n es par, se tiene: 1

nnn

y

1

’

tcj -- 6 rc

590.

591. ^

kqc

/

r ) 10-8 ■6 •4 •2 __ 256 cj n . 9. 7 . 5.3 693

2,n (n —l)(n-3)...4-2

(m + n)(M + n - 2)...(m + 3)(m + 1) ’ (m - l)(rn - 3)...4 •2 (m + n)(m + n - 2)...(n + 3)(n + 1) ’ r

m>n

=

(n ~ 1)(n - 3)....3 ■1 •(m - l)(m ~ 3)...3 •1

1-(m 7—+ n)(m w ----- ^ ----------------„ + n - 2)(m + n - 4)....4 •2



1 /i

596. ( - l ) nn!

I

e\nl ' (n - 1 )!

4-

-4-

1!

5 71

4“ "I

64

598. 599.

. Poner x = sen z y aplicar el resultado del ejercicio

(p + q + 1)!

Cambio de variable en la integral definida: 600. 7 + 2 ln 2 601.

2

602. —

- f

604.

21 n 2

603. §

605. 8 + ^ - n

1 + V2

2

606. —r i i . Poniendo x = 2z transformarnos la integral dada en 2 j sen 6z dx

. Poner x

607.

608. ^

609. y ¡ 2— ^ + l n ^ | V3

610. ^

1 + V2

15

611. x/S ——

612.

614. f 6

615.

617. | §

618. f

( ir n ^

8)

4- ln(2 - %/3)

613. 616. f 619. arctg 1

2

R2Í1 2¡E. 4- K'fc WU* 27 + ^ T

Distintos problemas: 621.

y

622. 2 1 n | « 0,365

623.

625. Para a = e

626. ^ln

b

624. 2 + In -rr— +1

628. 81n3-151n2 + ¿2-

ti

2

¿

5

629. ^ ( 5


+ 7

^

)

Moisés Lázaro Carñón

630. fO

631. a 2 [ V 2 - l n ( V 2 + l ) ]

632. V 3 - l l n ( 2 + V 3)

633.

634. 4

635. ln

105

ti

v5

640. 1Ó7

24

3

-v'E

2^3

642. .2 . 2 ln - b‘

643.

644. x = 2

645. x = ln4

647.

7 + 2y7

638.

637. U=-arctg-fl

636. f4 - l¿ 639. “ g- - 3 ti '

-

646. 4 - 2 x
Utilizar las relaciones 4 - x “ > 4

son validas para

0 < x <1 648. Utilizar las desigualdades V"1 ~ x “ - r/1 - x ¿" < 1 , donde - 1 < x < 1 v n 649. 1,098 < / < 1,110 650. Para evaluar la integral por abajo, utilizar la desigualdad 1 + x

4 < (!

+x V

,y

para evaluar por arriba, emplear la desigualdad de Cauchy - Buniakovski. 651. 1(1) ^ 1,66 es el valor máximo,

-0,11 es el valor mínimo.

652. El mínimo existe para x = l(y = -1 7 / 1 2 ), los puntos de inflexión son (2. -4 / 3 ) y (4/3,-112/81). 653.

654.

655.

656.

657. a) Sustituir la variable de la integración de acuerdo con la formula i

- x , divi

dir el intervalo [a, - x] teniendo en cuenta que la integral de una función impar sobre el intervalo [--a, a] es igual a cero. b)

No, si a x 0 ; si, si a = 0

658. Poner t = I j z 659.

660.

661.

663.

Cada una de las integrales es igual a /t /4

664.

Poner x = n - z . La integral es igual a n /4


662.

665.


EJE R C IC IO S D IV ERSO S 1 ;

666.

Un acuario tiene 5 pies de longitud, 2 de ancho y 3 de profundidad y está Heno de agua. Calcule (a) la presión hidrostática sobre el fondo del acuario; (b) la fuerza hidrostática sobre el fondo; íc) la fuerza hidrostática sobre un extremo. Los tanques de almacenamiento que están a la derecha tienen extremos vertica les con la forma exhibidas en las figuras y están llenos de agua. Explique cóm o se aproxima la fuerza hidrostática sobre un extremo del tanque con una suma de Rlemann, Luego exprese la fuerza com o una integral de Riemann y evaíúeta.

667.

669.

668

■lOni-

I2 pies

.

670.

671. Un canalón se llena con un liquido cuya densidad es 840kg /rn . Los extremos del canalón son triángulos equiláteros de 8m de lado y vértice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrostática sobre uno de los extremos del canalón. 672. Un cubo de 20cm de lado está en el fondo de un acuario en que hay lm de agua. Calcules la fuerza hidrostática sobre (a) la cara superior del cubo y (b) uno de los lados verticales. 673. Una alberca mide 20 pies de ancho por 40 de largo y su fondo es un plano in dinado; el extremo bajo tiene 3 pies de profundidad, y el hondo, 9 pies. Calcu le la fuerza hidrostática sobre (a) el extremo bajo; (b) el extremo hondo: (c) uno de los lados, y (d) el fondo de la alberca.



cb

674. Emplee la fórmula F = I

Ja

pgxw{x)dx

para demostrar que:

F = (pgx)A ,

donde x es la abscisa del centroide de la placa y A es su área. La ecuación indi ca que la fuerza hidrostática contra una región vertical plana es igual a la que se presentaría si la región estuviera horizontal y a la profundidad de su centroide. 675. Se colocan las masas m¡ en los puntos P ¡ . Halle los momentos M x y M y y el centro de masa del sistema: m1 = 4 ; m2 = & ; P i ( - 1,2) ; P 2 (2,4 ) ♦

Dibuje la región limitada por las curvas y estime visualmente la posición del cen troide. Luego, encuentre las coordenadas exactas del centroide.

676. y = x 2 , y = 0 , x = 2 677. y = e x , y = 0 , x = 0 , x = 1 ♦

Halle el centroide de la región limitada por las curvas:

678. y = s e n 2 x , y = 0 , x = 0 , x ~ n / 2 679. y = senx , y = eos x , x = 0 ,

x

= tt/4

680. Halle el centroide de la región limitada por las curvas: x = 5 - y 2 , x = 0 ♦

Calcule los momentos M x y M y , y el centroide de masa de una lámina con la densidad y forma indicadas.

681. p = l

■\—1

682. Halle el centroide de la región limitada por las curvas y =

/\

\ <1

y y = x

o

,

0<

x <

2

, has

ta el tercer decimal. Dibuje la región y mar que el centroide para ver si su respuesta es razonable.

/

-1

2

. 1

X



683. Demuestre que el centroide de cualquier triángulo está en el punto de intersec ción de sus medianas. [SUGERENCIAS: coloque los ejes de m odo que los vérti ces estén en (a ,0 ), ( 0 ,b ), y (c, 0 ). Recuerde que una mediana es el segmento de la recta que va de un vértice al punto m edio del lado opuesto. También, re cuerde que las medianas se intersecan en un punto que está a dos tercios de: la longitud de la mediana, partiendo de los vértices). ♦

Halle el lugar del centroide de la región que muestra cada figura, no por integra ción, sino localizando los centroides de los rectángulos y los triángulos (de acuerdo con el resultado del Ejer, 683) y aplicando la aditividad de los m om en tos. 685. Un cono de altura h y radio de la base r. 686. Demuestre las ecuaciones: í

Ja

i

i

* [/ (* )■ S ( x ) ] d x

i

687. La función de costo marginal C ’(x ) se definió com o la derivada de la función de costo. Si el costo marginal para fabricar x unidades de un producto es C' { x) = 0 .0 0 6 x2 - 15x +

8

(en dólares por unidad) y el costo fijo de arranque es

C (0) - $1,500,000, dólares, aplique el teorem a del cambio total para hallar el costo de producción de las primeras

688.

2000 unidades.

El costo marginal de producción de x unidades de cierto producto es

74 + l . l x - 0.002x 2 + 0.0 0004x3 (en dólares por unidad). Encuentre el aumen to de costo si el nivel de producción se eleva de

1200

689. Se da una curva de dem anda por p = 450/(x + sumidor cuando el precio de venta es de

10

8 ).

unidades a 1600. Halle el superávit del con

dólares.

690. Una curva de oferta está representada por p = 5 -jL-n/x . Calcule el excedente de productor cuando el precio de venta es $ 10 . 691. Una

compañía

P = -8°°$(y>2d ooo—

m odela

la

curva

de

demanda

para

un producto

con

use una gráfica para estimar el nivel de ventas cuando el precio



de venta es $16, Luego, encuentre aproximadamente el excedente de los con sumidores para este nivel de ventas. 692. Si el capital que tiene una empresa en el momento t es f { t ) , entonces la deri vada,

se llama flujo neto de inversión. Si el flujo neto de inversión es de

■nJt millones de dólares anuales (t representa números de años), calcule el au mento de capital {la formación de capital) desde el cuarto hasta el octavo año. 693. Aplique la ley de Poiseuille para calcular el flujo en una artería humana normal, en

donde

podem os

suponer que

77= 0.027,

R = O.OOScm ,

/ = 2 cm , y

P = 4000dinas / cm 2 . 694. Se em plea el m étodo de dilución de colorante al fin de medir el trabajo cardia co, con 8mg de colorante. Las concentraciones del mismo, en m g / /, están ex presadas por c(t) - y ¿(12 - 1) , 0 < t < 12 , donde t se da en segundos. Determine el trabajo cardiaco. Respuestas: 666. (a) 187.5 lb/ft2 667. 6 .5 x lO ó N 670. 10005 7ir3N

(b) 1875 Ib 688. 1 .5 6 x l0 3lb (b) 353N

673. (a) 5 .6 3 x lO 3Ib 674.

(b) 5 .0 6 x 104 lb

678.

(7r/4,Ji/8)

680.

(2, 0)

683.

686

.

687. $14,516,000 690. $4166.67

689. 3 . 4 7 x l 0 4 lb

671. 5.27 x 105iV

672. (a) 3 1 4 N

675.40, 12, ( l , ^ )

(c) 562.5 Ib

(c) 4 . 8 8 x l 0 4 lb

676.(1.5, 1.2)

(d) 3 .0 3 x 105ib

677. (l/ (e - 1 ), (e + 1)/4)

679. (( 71V 2 -4)/[4(>/2 - 1 )], l/[4(>/2 - 1 )]) 681. j , 0, ( 0 , | )

682. (0.781,1.330)

684. (O i )

685. j n r 2h

688. $43,866,933.33 691.3727 ; $37,753

689. $407.25

692.

16(2-\/2 - 1)/3 « $9.75 millones

694.

¿L / s

693. 1 .1 9 x l0 ~ 4 cm 3 /s



EJE R C IC IO S D IV E R S O S 2: 895.

La función de costo marginal C '( x ) se definió com o la d.'-m.U d on de costo. Sí el costo marginal para fabricar x: unida L

.> '

J

es: C' { x) = 0 .0 06xz' - l,5 x + 8 (en dólares por unidad) y el costo fijo de arran que es C (0 ) = $1,500,000 . dóim"~ hallar el costo de producción de 898.

El costo

' ,:que ei teorem a del cam bo total para eras 2000 unidades.

marginal de producción de •x unidades de cierto producto

74 + l . l x - 0,G02x2 + 0.00004x °

(en dólares por-unidad).

es

Encuentre el

aumento de costo si el nivel de producción se eleva de 1.200 unidades a 1600.

897.

Se da una curva de dem anda por p = 450 / (x + 8 ). Halle el superávit del consumidor cuando el precio de venta es de 10 dólares.

898.

Una curva de oferta está representada por p

Calcule el exce

dente de productor cuando el precio de venta es $10. 899.

Una compañía m odela la curva de demanda para un producto con _ 800,000e x"'5000

P ~~ ' x + 20 ,000 “ "

use una gráfica para estimar el nivel de ventas cuando el precio de venta es $16. Luego, encuentre aproximadamente el excedente de los consumidores para este nivel de ventas.

700.

Si el capital que tiene una empresa en el momento t es f ( t ), entonces la d e rivada, f ' { t ) , se llama flujo neto de inversión. Si el flujo neto de inversión es de yft millones de dólares anuales (í representa número de años), calcule el aumento de capital (la función de capital) desde el cuarto hasta el octavo año.



701.

Aplique la ley de Poiseuille para calcular el flujo en una arteria humana nor mal, en donde podem os suponer que rj - 0.027 , R = 0.008 cm , / = 2 c m , y P = 4000 dinas/cm2 .

702.

Se em plea el m étodo de dilución de colorante a fin de medir el trabajo car diaco, con 8 m g de colorante. Las concentraciones del mismo, en mg/1, están expresadas por c(t) = j t { 12 - t ) , 0 < t < 12 , donde t se da en segundos. D e termine el trabajo cardiaco.

Respuestas: 695.

$14,516,000

696.

$43,866,933.33

697.

$407.25

698.

$4166.67

699.

3727 ; $37,753

700.

16(24 2 - 1 ) / 3 * $9,75 millones

701.

1.19 x 10~4 cm 3/s

702.

i LVs


CAPITULO 2

APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA 1. Area de las reg io n es planas en gooroenadas : CARTESIANAS, PARAMlTRICAS Y POLARES 1.1 Area en co o rden ad as ca r te sia n a s Para hallar el área de una región R es necesario conocer las funciones que acotan y los límites de integración. Las integrales a calcularse pueden ser con respecto a “x ” o con respecto a “ y este criterio dependerá de la forma que tenga la región. Podem os resumir 4 casos:



1

La región R es: R = { (x, y)/0 < y < f ( x ) , a < x < b :

f

2 | ) región R es: R - { (x, y)/0 < x < f ( x ) , c < y < df

r-/(x)

dy; I i i dx

dA = y • dx=> A = I

Ja

b

y • dx , y = /(x)

dA = x • dy A-

La función / : [a, b] -> JR es continua en [a,b]

x = /(y)

x • dy

y f(x) > 0 , V x e [a, b] .

La regla R es: R. ■- {(x,y)/g(x) < /(x) , a < x < b )

La región R es:

R = í (x. y)/s(y) ^ / (y ), c < y < d •

/.z:

-/(y)

dA = [/(y) - g(y)]dy A=

[f(x)~ g(x)]dx

A-

í

[/ (y)-g (y)]d y

En el cuadro tener en cuenta las siguientes notaciones: En el C aso I: La notación

dA = y • dx

indica: el diferencial del área del rectángulo es igual al producto de su altura “y ”

multiplicado por su

base dx - base del rectángulo altura del rectángulo —diferencial de área (rectángulo elemental)

donde: y ■- f { x ) es una función definida en el intervalo cerrado [a,b] y es continua en [a,b] Geométricamente y = f ( x ) es una curva o recta con dominio [a,b].


Aplicaciones de la Integral Definida

Sí integramos la ecuación diferencial dA = y • dx desde “ a” hasta u5!'

y -f f

obtenemos:

u • dx

i4

dA :

es ei diferencial de are a,

dx :

es el diferencial de x.

Calcular el área de la región R limitado por las gráficas de:

E je m p lo 1.

y -

, 5 i x i - 5 v - 9 -- 0

S olu ción :

[ jf jjá i]

Graficar la región R.

4x

x >0

1 + x2

-4x

x <0

1+ x2

5 x - 5y - 9 = 0 , x > 0

5 ¡x [ - 5 y + 9 = 0

- 5 x - 5y - 9 = 0 , x < 0

El valor absoluto que aparece en cada función subdivlde la fundón. Debemos graficar cada función: a)

Gráfico de /(\) = - - - - -

.

x x 0

Derivar, para averiguar si tiene máximos o mínimos: / '(* ) =

(1 -i- x2) (4) - 4x{2 x )

{i + x d 0 -c> x ó 1 ■4:.v-

i.

(1 + x 2 ) 2

/' + 0

a

f- i x x <

x > 0 *í= > x = 1

1

a

x > 0]

/’ : 0 -o [(x < - 1 v x o 1) /\ x > 0]


y y x <1 x > 1

Moisés Lázaro Carríón

c)

Visto en un diagrama:

Gráfico de: 5 x -5 y -9 = 0 , x > 0

3 niax

f> 0

/'< 0

creciente

decreciente

máx (/) = /(1) = 2

X

Gráfico de

g (x )

-4 x

1 + x2

1

9 5

y

4 5

h(x) = y = x ■

d) Gráfico de: -5 x -5 y - 9 = 0, x < 0

mín (/) = /(O) = 0

b)

0

, x < 0 se

opera de manera similar, obtenién

X

y

0 9 5

1 4 5

J (x ) = y = ~ x - |

dose: m áx (/) = / ( - l ) = 2 mín (/) = /(O) = 0

Nota: El gráfico de la región R nos permite 4 cosas básicas: a)

Nos permite ver la disposición de las funciones que son fronteras de la re gión. En este problema tenemos:

01/1



Fronteras superiores

Fronteras inferiores

b) nos permite intuir cóm o se podrá INTEGRAR. Si la región se barre vertical mente se integra respecto a x; pero si se barre horizontalmente, se integra respecto a y. La elección de una u otra forma dependerá de la disposición de las funciones frontera. En este problema se integra con respecto a x, porque es más sencillo “barrer” verticalmente. c) nos permite intuir los límites de integración. En este problema los límites de integración son: x = - 3 , x = 0 , x = 3. d) nos permite visualizar si la región es simétrica con respecto al eje “y” o con respecto al eje “x ” . Cuando la región es simétrica con respecto a uno de los ejes coordenados, bastará hallar el área de la mitad de la región para luego ser duplicado. En este problema, la región R es simétrica con respecto al eje Y. Paso 2 |

Hallar los límites de integración.

Los límites de integración se hallan resolviendo sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. En este problema se debe resolver los sistemas:

y

-4 x

4x

y = 1+

l + x2

y = x -f

y = -x Las soluciones son:

Las soluciones son:



P a s o 3j

Cálculo del área por integrales definidas. Porque la región es simétrica con respecto al eje Y, bastará calcular el área de la mitad de la región. C om o R ■---

u R? y

Id •= R 2 , entonces:

Á rea de R = 2 (área i?2 ) * —

dos veces el área ele R<¿

El área de R.~> es: A

<^2)=r Jo

[f(x )-h {x )]d x

| íjÍX,-/:Udd;-. Jo

1 t 'm -i'-íij''i - 4 • I

Luego:

Ejemplo 2.

I.n (l i- x 2 ) - - y i | x

1"2 Ln 10 4

A IR'- --- 2

i-4g( 3 ) ]

| '2 L n l - O i O ¡ = 2 L n 1 0 ¡ ^

2Ln 10 + Á l ¡ - ( 4 LnlO - dQ ); )u¿

Hallar el área de la región S limitada por las gráficas: y = (x - 2)2/3 + 1 S:

x - 6y + 36 = 0 4 x + 3y - 1 8 = 0

Solución: 1. Graficar la región S. 2. Hallar ios límites de integración.



Gráfico:

f y = ( x - 2 ) 2/3 + 1

Resolver los sistemas:

x - ó y + 36 = 0 x - 6y + 36 =■ 0 L4 x + 3 y - 1 8 = 0

1 ^ (X ' 2)2/3 J l ¡ 4 x + 3y - 1 8 = 0 3.

>

A = (-6 ,5 )

>

B = (0.6)

C = (3,2)

¿Cóm o integramos?, ¿con respecto a x o con respecto a y?. Eso dependerá de la disposición de las funciones - frontera. En este problema, la disposición de las funciones - frontera están dadas para in tegrar con respecto a x .

Nota: Antes de integrar conviene dar una mirada a la región S para tom ar decisio nes sobre tres aspectos muy importantes:



a) ¿De dónde a dónde se va a integrar para hallar el área de la región S ? b) ¿El área de la región S se calculará con una sola integral o con varias integraIes? c)

Al ubicarse en un punto interior de la región S, ¿qué funciones frontera están hacia arriba y hacia abajo?

Estas tres preguntas usted debe plantearse para hallar el área de una región cu yas fronteras son ecuaciones cartesianas en dos variables (x ,y ) . Respondamos las tres preguntas para el presente problema: a) Se integrará desde x =

6 hasta x = 3 .

b) El área de S, no se podrá calcular con una sola integral. ¿Por qué? Para responder está pregunta sugiero al lector hacer mentalmente lo siguiente : Tom e una RECTA VERTICAL y recorra verticalmente desde x -- 6 (que es el princi pio de la región S) barriendo la región hasta x = 3 (que es el final de la región S). A medida que va recorriendo verticalmente, va mirando la función frontera de arriba y de abajo. Si usted encuentra en este recorrido una “esquina” o un cam bio de función, entonces trace una vertical, la cual definirá una nueva subregión. Del número de subregiones, dependerá las veces que se van a integrar. En el presente problema hay tres subregiones: S j , S 2 y S 3 . La región S 1 es barrida desde el vértice A hasta el vértice B. La región S 2 es barrida desde el vértice B hasta el vértice D. La región S 3 es barrida desde el vértice D hasta el vértice C. Com o:

S = S j u S 2 u S 3 y S¡ n S } = <¡> , V i x j v S¡ n Sj = recta vertical V ix j A ( S ) = A ( S 1) + A ( S 2 ) + A ( S 3) área de S.

Donde:



J

=

-g-x + 5 - (x - 2 )2//3 ] dx =

x2 + 5 x-

{ x - 2 )5^3 J ^

= f ^ 4 + 7 .8

ii)

A(S2)=

J

[ - j x + 6 - ( ( x - 2 ) 2/3+ l ) ] d x

= J [^ —| x + 5 - (x - 2 ) 2/3 Jdx = ^ —| x 2 + 5x - - | (x = - f ^ iü)

A (S 3 ) = J

[ ■ f x i 6- ( íx

+f

2)2^3 ■■1 ) ,dx

- f x 2 + 5 x - f ( x - 2 ) 5'3 ";¿ ■" 2.4

Por tanto: A (S ) * 17.5333 ...

Ejemplo 3.

Hallar el área de la región: { y2 = 4x o .> I 2x - y - 4 = 0

S o lu c ió n : 1) Graficar la región S. 2) Hallar los límites de integración resol viendo el sistema: y 2 - 4 x ..............................

( i )

2 x - y - 4 = 0 -> y = 2 x - 4 ... (II) (II) en (I): (2 x - 4 )2 = 4 x 4 x 2 - 16x + 1 6 = 4 x


- 2)5//3


4 x 2 - 2 0 x + 16 = O x 2 - 5x + 4 = O

X'i =1 - » yj = -2

(x - 4 )(x - l) = 0

x2 =

4

y2 =

4

3) Cálculo del área de S. Se puede hallar de dos maneras: a)

Si deseamos integrar con respecto a x, tendremos dos subregiones

y S2

S = Sj u S2 , S, n S 2 = d

Com o: =>

A (S ) = A (S 1) + A (S 2)

Donde: A (S 1)= : í [ / 4 x - ( - / 4 x ) l dx Jo = í [ 2-\/4x]dx Jo =

ri _ i 4V xdx Jo

[> /4 x - (2 x - 4 ) ] dx

f4 = J [ 2-Jx - 2 x + 4 )] d x

= 2 • | x 3/2 - x 2 + 4 x ^ = [ f (4 )3/2 - 1 6 + 1 6 ] - [A - 1 + 4 ’

4 , 2 x 3/2 1 1

3

A (S 2 ) = J

A(S2) = f - f

Jo

=f

A (S l ) = f Luego: b)

A (S ) = § + yy = 9u2

Si deseamos integrar con respecto a “y " , tendremos una sola integral: A (S ) =

J

.4

[/ (y )- g (y )]d y



De: y

Donde:

O

H O

= 4 x , despejar x ; x = ^ y

= g (y )

De: 2 x - 4 = 0 . despejar x : x = —y + 2 = / (y)

Nota:

Cuando se integra con respecto a “y” hay que barrer la región con una recta horizontal ‘‘imaginaria” desde y = - 2 hasta y --- 4 . teniendo a la derecha, la 1

'*

*í

9.

función /(y) = -|y + 2 y a la izquierda, la función g (y ) = —y .

xy =

Ejemplo 4.

Hallar la región de

S :

1

y (x 2 + 1 ) = x x> l

Solución: 1)

Graficar la región S.

1

-----> y =

a)

xy =

b)

y (x 2 + 1 ) = x

c)

x >

7 > y = -r-y X + 1

1

2) Los límites de integración son: x =

1

y

x

->

+oo

3) El área de S, es:



= Ln 1 + 1 Ln 2 = 0+i A (S ) = - L n 2

Ejem plo 5.

Hallar el área de la región R, limitada por los gráficos de: y = |x3 - 3 x 2 - x + 3|, x = 3.5 eje x .

Solu ción : 1.

Graficar la región R. a) Gráfico de y = x 3 - 3x2 - x + 3 y = ¡(x + l ) ( x - l ) ( x - 3 ) j

En primer lugar se gráfica. o

f(x) = x l - 3 x

o

- x + 3 por derivada

1)

f ' ( x ) = x 3 - 6 x ~1

2)

f'(x) = 0 Xl = 1 - 0 . 2

x2 = ! + -£ ,*

3)

/'(O) > 0 =>

4)

x < -0 .2 v x > 2.2

f'{x) < 0 =>

5)

2.2

- 0.2 < x < 2.2

3 m áx de / : máx • f = (- 0 .2 ) = 3.07 3 mín de / : mín • / = /(2.2) = -3,0 7 En segundo lugar, se gráfica el valor absoluto.


Aplicaciones de la, integral Definida

El gráfico de f ( x ) nos conduce a qraficar

v - I f(x )i

-

" '

Lo único que se hace es invenir la gráfica de

-/ .

-■i [- / (x )

,

sí / ( x ) < 0

En

1,5.

v = - i , x = 1, x

3 . a' - 3.5 dividen a ia región R en cuatro subregiones: K ,

R 2 . Ff¿ y í?4 . Antes de integrar, debem os analizar ios -signos del valor absoluto / (x ) = ! ( x - l ) ( x - l ) { x ~ 3 ) | Una form a práctico de analizar los signos, es observando en la recta real desde x --- -1 .5 hasta x •- 3.5 dibujando ios puntos críticos del valor absoluto. ■ ' f

' "-•* ■

of X == —1..

Los puntos críticos de /(x) = !(x •+ l)(x ' - l ) ( x - 3)j

.

son j x = 1

Signos de f ( x ) - |(x + l ) ( x - l ) ( x - 3} j .

15

-1 .5 -1 .5 < x < -1 -1

ó

o ------------------------------------- « p -------AfVjiC.i!

Analizar co a x --- -1.2 v - ! í .)í- ó 5

Allí

y

entonces:

i

-------

1 -o

A - i

Analizar con

j { a )[

cnionoos:

y = -yx + l ) ( x - l ) ( x - 3)

l< x < 3

* ...-..- ■ ................ .............

..(x + l ) ( x - - l ) ( x - 3)

x ---■ 2

y - - (x - t IHx - l ) ( x - 3 )

; * = - 1

t x - 1

|x = 3 [ x = 3.5 R = R 1 cu R2 u R3 u /?4 =x>

/ r con x a 3 .2

entonces:

Los límites de integración, en orden, son

Com o:

3 < x < 3 .5 ' ---- -------------------

«../ --- !(-;-)(+-)(-(-))

V’

í x - -1 .5 2.

3

A{ R) - A { R l ) + A ( R 2 ) + A ( R o ) + A ( R 4 )


y - (x + 1 ) (x - 1 ) (x - 3)

-f


Donde: M R i)=

í 1 (-f)d x J -1 .5

i

-1 - (x

3 -3 x 2 -x

+ 3 ) I dx = 1.015625

-1.5

1 (f)dx

A (K 2) = J

x 3 - 3 x 2 - x + 3 ] dx = 4

■ í A ( R 3) = £

( - / ) dx

■ r

[ - ( x 3 - 3 x 2 - x + 3 )]d x = 4

z.3.5

A(RA =

J3

(f)dx

.3.5

J

Luego:

[ x 3 - 3 x 2 ~ x + 3 ]d x = 1.265625

A ( R ) = 10.28125

Ejemplo 6.

Hallar el área de la región acotada por la función:

—-— / (* ) =

1+ ex

1 + e'

,

si x >

0

,

si x <

0

y el eje x.



S olu ción : 1.

El gráfico de la región es:

A = 8 lim í • dx b-»+°o Jo e X+1 -8

lim L n (e ~ x +1) L b->+oc i,J

-8 lim ( Ln( e~° + 1) -- Ln( e ü + 1 ) ) b—>+x-'

/

- 8 (L n (0 + l)- L n 2 ) 8 Ln 2 2. C om o la región es simétrica respecto al eje Y, entonces el área es: A = 2

l

1-i-e '

• dx

Nota: También se puede integrar haciendo !a siguiente sustitución: e v -■//

b

x - lm u

f

4 = 2 lim ■dx b—>oo Jo 1 + e :

dx = — ■dit

como e x > 0 , V x e R se puede multiplicar y dividir por e ' .

2

í

4e

Luego:

lim dx ►+°c jJo 0 e * +1

Ejemplo 7.

I — -— dx = I • — • du J i +ex J l + /i // ■ Fácil de Integrar -

Hallar el área de la región limitada por las funciones: y = x 3 e 8 “ 2x , y = 4 x .

Solu ción : 1.

Graficar las funciones. a)

Graficar

y = x 3 e 8 ~ 2x

Tabulando algunos valores para x no es suficiente. Ayudém onos con la deri vada para hallar los máximos y mínimos:



De

y = x 3 • e 8 2x" y' = 3x 2 • „8 e 2x

+ ^3 _g8- 2x' (_4X)

= x 2e 8^2x (3 - 4x" Analizar: %)

y' = O => x = O , x — 2

a2 ) y es creciente: c=o

y' > O

»

x 2 e 8“ 2x2( 3 - 4 x 2) > O

<=>

3 - 4 x 2 >0

xeí

2.

Límites de integración. Se obtienen resolviendo el siguiente sistema: y = x' •e

2 ’ 2 /

i- 2;

( 1)

(2 )

y - 4x

a3 ) y es decreciente:

Igualar (1 ) con ( 2) .

y' > O

j ?\ , ,/s

-co.-^yu i^.co 3 mínimo

= 4X

x3 , e8

2 _ 8-2x

x = 0 v x" •e

X = ± 2

3 máximo

(T\

3. H1 área es:

DECREC.

A -2

i

mínimo = y ( - ^

x(x2 -e8 2x —4) —0

^

\

^ 4 ^

I= — J- e * - 4 3 1 .5

máximo = y ^ yp-) =

e 6,5

6 5

1=

i

£

Ix

I

3

( x 3 • 6 8 2x —4 x ) • dx se integra por partes „ S

■e

- 2 x “-

Ja m i

» 431.5


es directo

dx


Luego: 9

dju = 2 X ' dx<-

A = 21 -4-x2 -e8 2x - L e 8 2x' -2 *% 1

_ i , 2

4

Ejemplo 8.

~i x = 2

2x 2 ]

J x =0

= ¿e8 -9~

i

|x . e 8~2*2 . dx

8 - 2 x ¿' _ 1 „ 8 - 2 x^

8

Calcular el área de la región limitada por las líneas: Ln x

y = -47-,

T

y = x • Lnx

.

S olu ción : 1.

Sin necesidad de graficar, podem os hallar los límites de integración y luego inte grar. LÍMITES DE INTEGRACIÓN.-

A l igualar las ecuaciones obtenemos:

Lnx

T7

= x • Ln x

L n x = 4 x 2 Ln x L n x - 4 x 2 •L n x = 0 Ln x ( 1 - 4 x

)= 0

/~

,

x >0

> Ln x = 0 -» l - 4 x 2 =

=>

0

x=1

x =■

2 . El área, es el valor absoluto de la siguiente integral definida:



4- (Ln x )2 -

x 2 • Ln x + -L x 2

Ln

X = 1

16

16

Ejemplo 9.

Calcular el área del triángulo curvilíneo limitado por el eje de orde nadas y las líneas y = t g x e y = -| eo sx .

S olu ción : 1.

Hallemos la intersección de las curvas: tg x = J-cosx -5211--- = eos x , eos x ^ 0 cosx ó O

3 s e n x = 2 eos x = 2(1 - sen2 x) o

2 sen x + 3 s e n x - 2 = 0 (2 sen x - l)(s e n x + 2) = 0 sen x = j



2.

A -

El área es:

j

0

( tf co sx

A = ~ sen x

fg x jcíx

Ln cosx

¡x- o

LnV8

E je m p lo 10.

Hallar el área de la región comprendida entre la línea .2

y - x •€ 2 Solución:

y su asíntota.

v2

1, Graficar la curva y - x • € a) Dominio:

2 ,

x e R

b) Hallar máximos y mínimos. _£

h i } Derivar:

._£

y' - 1 • e 2 + x • e 2 . (_ x) x2 = e~"2" ( 1 - x 2 )

W

í^\

_i mínimo = y (-1 ) = -e 2 _I m áxim o = y (1) = e 2 c) A S ÍN TO T A : X2

lim

x e

2 = 0

=u>

y = 0

es asíntota horizontal



El gráfico es:

2. El área es;

f

A = 2 i

= -2e~

x •€

2 ■dx

2

= 2

Ejemplo 11.

Hallar el área de la figura comprendida entre la cisoide y

o

3

=..... ..y y su. asíntota.

Solución: 1.

El gráfico de la cisoide es:

y = ± x

2a - x



2.

El área es:

Í

2a

x ^ j-jL -d x

= 2 * í

=

t . - A a í — .dt 1; r ;! -.-fr

í JU 16 cr í Jeo

, ' 1’ ‘ i

= t

, hacer:

i

— X— = f2 2a - x

y --

J MA i er

dx^-M rrrdt (i + t f

r ' * t i l t r y ó dt - Por partes \ av ■E l ¡ A ) '"3 di \

ai/ = 36' * di *----- - v

Ejemplo 12.

n o

Hallar el área de la región limitada por la línea x y la recta que pasa por sus puntos de inflexión.


= 4 ( x - 1) y


S olu ción : 1.

Graficar la linea

x 2 y2 = 4 { x -1 ¡ y

a) Dominio:

x -1 > 0 x > l

b) Es simétrica respecto al eje x, porque al cambiar y por - y , no varía la ec. c)

Derivar la función

y =

y =

x . 2 <—~=2Jx - 1

,/x 1

c2 c3

d)

Asíntota horizontal: y = 0 porque

lim

V E I=o

X —> + 0 0

e)

Puntos de inflexión: hallar la segunda derivada



Haciendo y "

0 , obtenernos:

x =

C om o la curva es simétrica respecto al eje x. los puntos de inflexión recaen en

x =

2.

6

3.15

El área es:

6 2 43

í ■J-

2 Jx - 1

A = 2•

X - 1

■J: i J

dx

dx

= í x - 1 = t2

2 1 • dt

,2 i X — É +1 dx = 2t • dt

• dt

1

dt

í= 3+2j 3

8 - [ f-arctg* ] ‘

'

3

1 + 2 f - attíaJ l + 2 g

Ejemplo 13.

Hallar el área de la región acotada por las líneas y = 2 x 2 e x e y = - x 3e x

.

Solu ción : 1.

Límites de la integración:



y = 2x2 •e x

Resolver el sistema

y = -x 3 ex

2x2 e x = -X 3 e ' x 2 e x (2 + x ) = 0 2.

=í>

x = 0 v x = -2

El área es el valor absoluto de la siguiente integral:

í

A = !

I 2 x 2 e x - ( - x 3e x ) \dx

= 2- J

•

e

j

-Por partes dos veces

x 3e xrfx 1 — Por partes tres veces

18 _ o

_2

^

3. El gráfico es:

Donde: a)

lim ,X

b)

Ejem plo 14.

2xêx = 0

> -CC

lim - x 3 e x = 0

Hallar el área comprendida entre la curva y = e x • eos x y el se mieje x positivo.



°S olu ción : 1. Límites de integración: ' i.

'

..........

'

,

X.

Dichas intersecciones se hallan haciendo y ---■ü , Luego:

crA ■eos x ■-->

0

eos x = 0

a

■+■k o . k e. IN

■■■ (2 b i I)-f _ 2. Gráfico de

y - e ' -" - cosx

a)

La exponencial b h D v €b'

b)

Máximos y mínimos:

m asaltóte.

i/-■ -G A - c o s x ...€ A - sen. ■■■ € A (eos x asen x j

Hacer

y' ~ 0 =>

eos x + sen x ~ 0

5 o

co sx s --jLsenx -■ 0 /o

s

ser

:

sen ( f

m

v-

tí f-1-X^kyT X = k7T -f

Los máximos y mínimos están en c)

x -• kn - ~

Tabulando erigimos valores para x.

""i tifkdtxsx: V.Sxrr:: bmb: f 4 U;2■<: édi rye- eco SI ¿"A y = €~x ' cosx re ti sM aa i-p? cnA ce X



3.

El área es:

A = S0 +

, donde:

r2 Sq = I £ x ■eo sx • dx

a)

Jo

y

I

S -

'— Es por partes circular

'2 _ 1

(sen x - eos x ) •

x =0

a

/c*=0

\Sk

l +e 2

Supongamos que S k es el área entre una onda y el eje x, entonces x varía

b)

entre (21c-1)-|- y ( 2k + l ) ~ .

Es decir:

( 2 k - l ) - ~ < x < (21c+ 1 )^ .

Por tanto, el área S k estará expresado por la integral en valor absoluto:

í

{Zk + l)

e

• eos x |• dx

,

k=1

x = ( 2 k + !)■§■

■i (sen x - e o s x) € x 2 2 \x = (2k-l ) ■

sen(2k + l ) f - cos(2/c + 1)§ ) e " (2k + ^ 2 - ¿ ( sen(2¿c - l ) f - cos(2k - l ) f ) e

:i((-l)fc-0)e_(2fc+1)2 - l ( ( - i ) fc- 1-0)e(2fc_1)^ Sólo fines educativos - FreeLibros


En valor absoluto, el área de S k será:

jS^ |= €'

-kn

e 2 +e 2

[

C om o k varía desde 1 hasta +oc, entonces el área e todas las regiones S-, , es:

S= I

k --1

!sfc! (

= p

k=l

-

2 eos h-

= eos h j • ]T

-k;r

e

k=1

Y e -/CTT fc= i

eos h f • lim

= eos h ~ • lim Z~n n —> co

1 -e 1 -e

- eos h ~ • z~n — — 2

1-e"'

eos h— • 2 e 2 | e 2 _e ~2

=j-e

El área total es:

sen h-

2 -ctg h f

A = S() + S

2} + | e

2 -ctgh-|



Á R E A S DE C O O R D E N A D AS C A R T E S I A N A S

Problema 01. Calcular el área comprendida entre la curva. A

2

c;d

■

5 H b

;

v = ± !L < r -

x‘

Solución: Por ser la elipse en el cuadrante t

será 4 veces el área encerrada

f

4 I —Ved - ■.A dx Jlo o 0 v cd - x 2 dx

x = a sen t dx = a eos t di

f Jo

/a 2 -

= j yj cd - cCsenÁ a eos t dt = | y a2 (1 - serd t) a eos t dt = j*a 2 eos2 í dt = ac j*cos¿ tdt = a2 J í —

= a2 ^ ± + l sen2 2t J + C

! 1aliamos ios nuevos lurures de integración



Problem a 02. Calcular el área de la región del plano limitado por la curva f ( x ) = \) ■2 —4 x + 3¡ y el eje Ox . x2 - 4x + 3 = 0 x / (x) =

x =1

x = 3

-4 x + 3

si

x < 1

- ( x 2 - 4 x + 3)

si

1< x < 3

x2 -4 x + 3

si'

x > 3

S olu ción :

A=

f

J - ( x ¿ - 4 x + 3)dx = -

^ - - 2 x 2 +3x

û2 3U

Problem a 03. Hallar el área de la figura limitada por: y = x

n

, y = x ,x = 0 ,x = 2

Puntos de corte de la parábola y la recta y = x .



Solución:

De x = O a x = 1, la recta queda por encima de la parábola, A

•i

fJo

( x - X )dx = \

_

0

De x =■ 1 a x - 2 . La reda queda por debajo de la parábola. /V A ■

r2 J (x 2

u

6

x) dx

3 z l2 c 2 2L_ - v_ ■■¿ i r 3 2 o <>

- i- r

Problem a 04. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y la tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje Ox . Puntos de intersección: 4 x - x 2 = 0

x (4 - x ) ■= 0

(0,0)

Solu ción : Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0,0): y' = 4 - 2 x y -0 = (x-0)

m = f' { 0) = 4 y = 4x


(4,0)


Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4,0): y' = 4 - 2 x

m = / '(4 ) = - 4

y - 0 = (x - 4)

y = - 4 x +16

\y = - 4 x -t-16

A=

[

Jo r

X

í

[ 4 x - ( 4 x - x ¿ )]dx + I

J2

3 -1 2

3

0

+

r L

¿ _ 8 ¿ + 16x

[ ( - 4 x + 1 6 ) - ( 4 x ~ x ¿ )]dx

= fu 2

En los problemas del 5 a 12 determine el área de la región acotada por las curvas dadas:

Problem a 05. y = -x + 3

, y = - i x + -| , x = - 2

, x =1

Solu ción : Según el gráfico:

- r 2[ < - ) d A =

í j -t-f)

dx

dx = I - 4 - x 2 + | x j

2 = 6 i/

Problem a 06. y = 2x + 4

,

y =x -l

,

y =-2

y

y = 2



Solu ción : y x = l y - 2 / ...2

/

/

/

/

/

r --A

Luego:

X

X

/ „

A = |

x = y +

...........

tipo II, por lo que debem os despejar la va riable x.

X >-

y = 2x + 4

■-2

x = --y

y - x - 1

(/(y) ■ g (y ))d y =

J

¡ (y i D

íp j

m>

2

x = y+1

2 ) dy

= J ( | + 3)dy = ^ + 3y J ^2 = 12^ Problem a 07. x - 2y = - 5

x +y= 4

,

2x - y = 5

S o lu ció n : Sean: L 1 : x - 2y = - 5

, L2 : x + y = 4

L3 : 2x - y = 5 Para realizar el gráfico encontremos los puntos de intersección entre las rectas, resolviendo los siste mas de ecuaciones: L¡ : x - 2y = - 5

L 1 : x - 2y = - 5

L2 : x + y = 4

L3 : 2x - y = 5

L2 : x + y = 4 L3 : 2x - y = 5 Así: L1 n L 2 = (1,3)

,

L 1 n L 3 = ( 5,5)

,

L 2 n L 3 = (3,1)

Resolvemos el problema por los dos métodos:



M é t o d o 1: (Tipo í)

(integración con respecto a ía variable x) Consideramos dos regiones, y. 1 , Lp : g (x j A- 4 2 L o

a, 2 X ~ 5

: h { r )

A a; área de IL -+■área de J?? <

A -

í>

A

J

| ( f ( x ) - g (x j)d x + J

(f ( x ) - 1 x))dx

*3

'(3,1)

-

|(-^x + ^ ) ' - ( 4 - x ) ] d x

|*

j (e

x

-4-

-

(2 x -.5

)

' dx

Luego: /\~f |

i

X - !!* +§ [

Z J3

(—x -f- b)dx =-

A p - x | +%\ ~ - 3 x

-L. ¿

ni

-I. Z

M é t o d o 2: (Tipo II) (integración con respecto a la variable u) Consideramos dos regiones, i I-i : / ( y ) - 2 y - 5

(5,5) ÍD- // / /¿-3

1-2

: S ÍL")

4

-

V

L 3 '■M y )=■ 2a + ^

V (3 ,i)

A = Area de R-t + Área de Ro 5

Í

í

Jl

3

j

/»5

(M y) - g(y))c/y +

+

( % ) - /(y))dy

dy+

í

J3

(ib + § ) - ( 2 y - 5 )

dy


3 + 3 -- 6 u^


Problem a 08. x = y2 , x = 2 - y2

Hallamos los puntos de intersección entre las curvas:

y

O

= 2- y

O

9

+=> 2y^ = 2 => y ± 1 luego los

puntos son (1,1) y (1, —1 ).

C om o la región es simétrica con respecto al eje X, entonces:

A = 2 | [ ( 2 - y 2) - y 2 ]dy = 4 f

1

( l - y 2)dy = f u 2

Problem a 09. y = x 3 - 4x

, y =0

S olu ción : Intersecando la curva y = x x3 - 4x = 0

o

con y = 0 (eje x)

x (x 2 - 4) = 0 => x (x - 2 )(x + 2) = 0

x = 0 , x = -2

, x = 2

Determinaremos en qué intervalos y = x (x + 2 )(x - 2) es positivo o negativo. Luego el bosquejo de la gráfica es:

y <0

y >0

y <0

y >0

(Si se desea hacer un gráfico más detallado debemos hallar los máximos, mínimos). Luego:

A=

(•0 p2 I [(x 3 - 4 x ) - 0]dx + I [0 - (x 3 - 4 x )]d x = 4 + 4 = 8u2

J-2

JO



P r o b le m a 10, y = x ° - 12x

. y = x¿

Solución: Grafíquemos la curve

Zx , halle -

rnos puntos críticos, rr

ínirnos.

y = 3x“

12 - 3 (x + 2)(x: ~ 2) ~ 0 => Punto Máximo: (-2,1 6)

f x = -2 px. ¡ [x = 2

y =' X° - 12x

Punto Mínimo: (2 ,-1 6 )

Calculamos los puntos de intersección entre las curvas: x 3 - 12x - x "

x":’ - a"6 - 12x = 0 :.r> x (x - 4 )(x + 3) = 0

x -- - 3 m> A ( - 3 3 )

Luego:

x = 4

m> fí(4 , ló )

x -- 0

=> C (0 ,0)

f

A =

| [(x J- 3 i ~ a~ L 4

r

- 12x) -- x ^ jd x + I [x “ - ( x ° - 1 2 x ) ] d x Jo - ox

gx~ i á

j ....3

¡ „o i_0

1 4

, e. , 2 14 _ 99 160 _ 397 9 —Pf- + —x¡~u jo 4 0 1¿

+ 1 y x ,:> - 4 x 4 -+ 6 x “ i

Problem a 11. x = x

, y = 2x , y = x

S olu ción : Intersección:



•\¡2 /.l A = 2 ! (2 x - x 3 )dx - 2 J (x - x 3 )dx

i

V2

l x2 _ ! x4 2 4

oo|co

A = 2

Nota: lisie ejercicio pudo resolverse dividiendo la región en dos partes, según tipo I y tipo i!.

Problem a 12. y = Lnx

y --- Ln x

S olu ción : Intersección: L n x = Ln“ x => L n x (l - L n x ) - 0 ==> L n x = 0 v L n x = 1 => x = 1 v x = e => (1,0), (e ,l)

f

A ~= | (Ln x - Ln2x)d x =

I

J

L n x dx -

J

Ln x dx - e L n e - e - (Ln 1 - 1 ) = 1

Resolvemos la segunda integral por partes:


Ln2x d x


Problem a 13. Halle el área de la reglón por debajo de la fundón f ( x ) = [x] y encima del eje X, V x e [ tt, 5 ], S olu ción : Notem os que la función es seccionalmente continua, por ello:

f 1 f(x)dx + í

A =

— f

k

J;r

A= J

<•4

'

[x ]d x +

.4

A4

5

J

fix'jdx

I

f5

f»5

[x ]d x +

[x]dx

|*5

I

j

f 43 3dx+

í

J 71

4dx

x

Problem a 14. Halle el área de la región comprendida entre la línea x y 2 = 8 - 4 x y su asíntota. S olu ción :

Í2

C om o y - ± 2 J — —- y \

x

lim 2 J - — /-xi V x-*0

= + x , entonces x = 0 es asíntota de la curva

dada. Para

integrar

V=

8

con

respecto

a

y

despejamos

y2 +4

j4= f

d +h4 dv J-oo y~ !■' + 4

=2 í

J[

A +4

dy

>t

= 16 lim

I

í —>oo J q

— dy =

y+ 4

F

16 lim 3-are tan 3í^-ccL

A = 8 lim ( aretan 3 - are ta n O ) = 4>tu2 f— >co '

4


/

4


Problem a 15. Bosqueje y encuentre el área de la región limitada por la parábola y = - x 2 + 4 x - 3 y las tangentes a la misma en los puntos (0 ,-3 ) y (4 ,- 3 ). S olu ción : y = -x

2

+ 4x - 3

=>

y - l = - (x

v 2)'"', es una parábola con vértice en (2,1)

, ,y

i)

Cálculo de L j : pasa por (0 ,-3 ) y' = - 2 ( x - 2 ) = m

=>

L x : y - (- 3 ) = 4 (x - 0)

m1 = - 2 ( 0 - 2 ) = 4 =>

L1 : y = 4x - 3

ii) Cálculo de L 2 : pasa por (4,-3) y ' = - 2 (x - 2) = m

=>

m2 = -2 (4 - 2) - - 4

L 2 : y - (- 3 ) = - 4 ( x - 4 ) => L 2 : y = - 4 x + 13 íntersecando

con L 2 : 4 x - 3 = - 4 x + 13

==>

x = 2

=>

P (2 ,5)

Nótese que la región es simétrica; luego:

Í

2

[(4x ~ 3) - (-x 2+ 4x - 3}] d x “ 2J [ x2dx = f x3] q = f u2 2

Problem a 16. Sea A l el área de la región fí} encerrada por la curva /(x) = 4 x - x 2 y el eje X, y A 2 el área de la región R 2 encerrada por la curva / (x ) = 4 x - x 2 y y = mx . Sí se sabe que

a2

= 8 , halle el valor de m.

S o lu c ió n : / (x ) = 4 x - x 2

o

- 4 = - ( x - 2)2

Parábola de vértice (2 ,4 ) .

248



Iníersecando ía parábola con el eje X: 4>c

/

/

0 ::x> x (4

0

- 0, X - 4 , 32

A, = j (4 x ■ x~ )dx — U)

\

Iníersecando la paraboia y = 4 x - xX

sí /

la recta

y = mx : 4 x - x 2 - m x m> 'x(4 - m - x) ~ 0

x - 0 .

x = 4- m

A> =

í

mx i

2(4 - r r if - ~-(4 - m )° --~ m { 4 ~ r n f A¿ = (4 - m 'r {2

Com o: -4- = 8 «2

=>

-- 4 (4 .... m)3 A

4 .. m)

— 2__ (4- m)°

(4 - m f J =

4 - m= 2

=>

m= 2

Problem a 17. Dada la región Rj limitada por / (x )

=eos

r>

x y el eje X; dada la región R

2acotada

por g( x ) = 2a/Vx y el eje X. Determine el valor de a, si ambas regiones tienen la misma área en el intervalo [0, n ) . S olu ción :



Í

n eos 2 x d x =

A2 = í

Jo

A^ —■A 2

2J

(1 + COs2 x )d x

= t^ X + S€22jCJQ = §

2ax~1/2dx = 2 o [2 x 1/2]q 4 a V ^

^

-g- = 4 a^fñ

q=

Problem a 18. Si A (r) es el área de la región limitada por las curvas y = 1, y = tan hx , x = 0 , x = r , halle

lim A (r) X— >+00

S olu ción : A (r) =

í

Jo

(1 - tanhx)dx = [ x - Ln|coshx|]q

= r - Ln|coshr| lim A { r ) = lim (r -L n | cosh r| ) X-> +co x~> + o-j =

lim A (r) = lim j r - L n X—» +cO X—»+ =

|1

+e 2e

■ 2r ^

! '~

lim ( r -

1 n( e" +e

r

l~ - T" lim (r Ln n (1 +' ~~2r e ) + L n (2 e “ r ))

X~>-fOC'

lim ( r - L n ( l + e 2 r) + Ln 2 - r L n e ) = L n 2

x —> + «

Problem a 19. Halle el área de la región limitada por el eje x y la función



S olu ción :

«•co

A = I

J-oo

*>co -í f { x ) d x = 2 I — ~ d x = 4 lim i

Jo 1+ e

Integrando por sustitución: ií = ex = u - 1

Pero:

Luego:

=>

= Jro ê* +1

1 + ex

du = ( u - l)d x ’

f J*

==>

U -

1

du = e xdx = dx

du (u - l)u

Integrando mediante fracciones parciales:

1

U—1 ( d T - u ) du = Ln|u“ 1 | _L ri| 'i| = Ln

Entonces: dx

f e x +i Jo

Ln

ex = Ln i + ef i + e v CO

Ln( d =Ln

e -‘ +i

- -Ln je'^ + 1| + Ln2 Luego:

A = 4 lim (-Ln |e 1 -> 1| ~ Ln2) = 4Ln2u2


dx

Jo i + e x

Ln 1 tLn 2


P R O B LE M A S P R O P U E S T O S ! Á R E A E N C O O R D E N A D A S C A R T E S IA N A S . m m t Hallar el área de cada región limitada por las gráficas de las ecuaciones que se dan a continuación. y - |2 x - 1 ¡ ,

x = 0

,

f {x) = y[ x

,

© )

y = x kJ

y = 2x~x2

( 4/

f(x ) ^ x 3

2)

(V )

,

g (x ) = x 2

R p ta . 1/3 R p ta . 37/12

g (x ) ^ x

,

y = - x 1' + 4x^ - 3 x

©

y2 + x + 4 = 0

®

x 2 - 3x + y = 0

© )

xy =

1

Rpta. 5/2

x = 2

R p ta . 1/2 ,

y

x " - 3x^ 4

2x

eje Y ,

R p ta .

5253 96

R p ta . 32/3

x3 - 3x2 + y = 0

Rpta. 37/12

y (x 2 + l ) = x

,

a la derecha de la recta x - 1

Rpta. 2 Lr¡2

®

2=

Rpta. e - l - f

®

y=

, X2

y= © ,

y = a ■sen x

,

'

X= 1

y =© Y

Rpta. rr

y = b •eos x

R p ta .

8 ab

2+ b2

Rpta. 32

12)

y = 4x2 - x 4

13;

y2 - 4 x = 0

14)

x 2 - 6x + y = 0

252

y

3

,

y - 2x + 4 = 0 ,

x2 -2 x - y = 0


R p ta . 9

Rpta. ^


©

y = x3 =

(l6)

y2 = x2 - x4

Rpta. ~

_ v-4 /v _j_ a \ y2 = x (x + 4 )

R p ta . 4096

U)

6x 2 + 8x

,

eje x.

Rpta.

8

105

(18)

y 2 = x 2 (a 2 - x 2 )

R p ta . ^

(19)

9 a y 2 = x (3a - x) 2

Rpta. 8^ a ■

(20)

y =| x 2 —4 | ,

y = 2

R . Los límites de integración son: ->/6 , - 2 , - V 2 , V 2 ! 2 , V 6 Hay tres regiones.La región essimétrica respecto al eje Y.

@

y = e x , y = e “x , x = G , x = 2 2)

l(23)

y = x ■e x

,y = 0

y la ordenada máxima

Las dos ramas de (2 x - y )2 = x 3 , x = 4

Rpta. e 2 + ± - 2 Rpta. ~ j 1 - — ■ Rpta. 128

y = 25 - x 2 3y

Rpta. 98 3

- 256 x = 0

9 x 2 - 16y = 0

25)

y = 4x - x 2 eje X

x = 1. x = 3

y =■ x * Vx + 5 . eje x. x - -1 , x = 4

Rpta. ^ ( 40 n/5

f(x ) ■ - x ¿ y J x -3

28)

y -- x 3 - 6x2 + 8x . y -- x2 - 4x

Rpta. 71

y = 2 - x2 . y - -x

Rpta. |

@

1<

X


Rpta.

42,804

27)

.

< 12

Rpta. —■

175

6

20 )


©

y2 - x2 . x - 3y y2 - x - 2 - . y2 x y - 2x3 - 3x2 y x3 3x y y x2 . x x +4 - 0

0

-

-

|x |,

V — |!-a. x

y

9x

,

+i 1x jj +i

-

-

8-

y2

=

0

-

""2 ¿w ,

x

a

,

x

=

4

-

y

+

12

-

Rpta. § Rpta. X Rpta. J f

1

Rpta. ~

x - 3

R p ta .

x\

R p ta . ¿ f -

y

@ )

y=

®

y = x2

©

y=^¿

(41J \ /

y = X2-t- 1

©

X 2/3 + y 2/ 3 = a2/°

©

Hallar el área de la región comprendida entre la hipérbola equilátera

x

=

2a 2 + a

,

,

1

Rpta. 7i a2

eje X

y = -¿ ,

=

0

R p ta . 64

©

=

x¿ , 4x

1.

-

0 o ,

¡j ✓xv jI , yy -

x 3 - x 2 + 2xy

2x2

-

1

=

x2, y

6- 0

+

Rpta. &-J2

,

y =

2x

y = 4 - -|x 2

x2 > y = 2 ^

Rpta. R p ta . - f- ^ r R p ta . -g- 7Ta 2

x 2 - y 2 = 9 , el eje O X y el diámetro. (44)

Rpta. 4

Rpta. -|Ln3

Calcular el área de las dos regiones que la parábola y 2 = 2 x divide al círculo



GRUPO 2 (T )

Calcular el área de la región limitada por la curva C : x 2y 2 + x +1 = 0 y la recta vertical x = - 4 .

(Y )

Sea la región R = i)

j (x ,y ) e R 2/ 1 < x < 4

,

0< y

<~

|

Hallar el número real "a" tal que la recta x = a , divide a R en dossubregiones de igual área.

ii) Hallar en número real "b" tal que la recta y = b , divide a R en dos subregiones de igual área. ®

Hallar el área de la reglón limitada por la gráfica de f ( x) =

en el pri_

mer cuadrante del plano, su asíntota vertical, el eje X y la recta x - 8 . (4 j)

Dada la función

/(x) = x 2 • e x , se tiene:

Jl, es la recta que pasa por el punto m áxim o de / cuando x <

0.

£ es paralela a la recta tangente a / en el punto ( l,e ) . Hallar el

área de la re

gión encerrada por la gráfica d e / y Ib (IT )

Sea R la región del plano limitado por las curvas descritas por las ecuaciones: x 2 + y 2 = 4 ; x 2 + (y - 5) = 0 ; 3|x| = 2y +

6

.

Hallar el área de R. (jf)

Sea la región Hallar:

(T )

lim

b—^+co

R = (x , y )/ o < y < x 2 • e

~ x

, 0< x
( A rea ( R ) ) .

A l graficar las ecuaciones y 2 -- x 4 . (x - 5)2 + y 2 - 25 se determinan tres re giones acotadas. Hallar el área de cada una de dichas regiones. Sugerencia: Factorizar la ecuación y

(T )

= X

Hallar el área de la región limitada por la curva y 2 - xlx ~~

y su asíntota,

haciendo previamente la gráfica de dicha curva. (jT )

Hallar el área de la región acotada por la curva a x 2 - 2bxy + by2 - 1 - 0 . donde a, b, h son constantes reales positivas tales que I r < ab . Sugerencia: hacer rotación de ejes.



10J Hallar él y >

área

de

la

región ¡imitada por la cua'a y 2 + x y - 2 x 2 - 4 - 0 .

0 . por sus asíntotas y

ias recias x - -

1.

x - I .

@

Calcular el área de la región acotada por: y =

• e A y su asíntota.

(l2 )

Hallar el área de la región encerrada por la curva y 2 -- x ■e

(L3)

Calcular el área de la región acotada por V x -+- y y

y a . a > 0 y por los ejes

coordenados positivos. 0 4,1 Determinar si es posible asignar un número finito para representar la medida del área de la región acotada por la curva cuya ecuación es y = X 15]

.X -1

, el eje

(x > 2) y la recta x -- 2 .

Hallar el área de la región limitada por los ejes coordenados positivos y la cmva: (x 2 + y2)5 = (a¿x 0 + b 2y 3)2 .

1_6)

La curva: x

- 2 y ' = p p divide a la circunferencia x

+y

-a

en tres re

giones. Calcular las áreas de dichas regiones. 17J

Calcular el área de la unión de regiones comprendidas entre la curva y = e " x •sen x y el semieje X positivo.

Rpta. ( l 8j

* cotg h -|-

Hallar el área de la unión de regiones comprendidas entre las funciones /(x) = e ~ x • c o s x y g (x ) = - e ~ x • c o s x cuando [ 0,+oo>.

Rpta.

(1 + e ^ ) +

0

^ . cotgh-|

Hallar el área de la región limitada por la línea cerrada y 2 = (1 - x 2 )3 .

Rpta. 201

y

Calcular las áreas de las regiones acotadas por las curvas


+ y2 = 1 y


Sj = S 3 - n - ^

R p ta ,

(l\ )

2 (tt -

Dada la función y -

Ln 3 - 2 arcsen

S í)

1 ' 2x x1" - 2x +1

Hallar el área de la región limitada por la curva, el. eje de las abscisas y las ordenadas x = 2 , x - 3 . R p ta . (22)

Hallar el área de la región acotada en el primer cuadrante por la curva y =

3f x { a - x )

R p ta .

(23)

2 Ln 2 + 4

y las rectas y = 0 , x = 0 , x = a .

.

a3 (r(f ))z 1 l3//

rlt)

Hallar el área de la región acotada por la curva y = b- l - y la recta y = ~ x

Rpta.~ - -2 Ln 3

(24)

Calcular el área limitada por la curva y

. la recta tangente a la misma

en el punto de cibscisa x = 0 . y el eje OX.

Rpta. (25)

§

Hallar el área de la región acotada por la curva y -

—-, el eje X y la recta

vertical que pasa por el punto de inflexión de la curva.

Rpta. (26)

4 ^ / ÍT J -a r c t g ^ r ;^

: p i : s s : , c ; v ; y . s ; : /n y i s s ; y i ; . ; ; : i'V , .:

Calcular el área de la región limitada por la curva, y =

Rpta.

30 - 32 Ln 2


y ei eje X.


7)

Hallar el área de la región limitada por las curvas

y =~

— , y

cuando x varía en los siguientes intervalos: a)

- 3< x < - 2

b)

2< x < 3

c)

x >3

S o lu c ió n :

a)

-^Ln-§

ÍLn2

b) Í L n 4

Demostrar que el área “sombreada” es ■| del área del paralelogramo A C D E . El segmento

ED

paralelo

al

segmento

A C es tangente a la parábola. R Pta *

L^ E : V = ~ X ~ 4 Area Som breada = 125/6 A rea paralelogramo =

Calcular el área de la región limitada por la curva x y las rectas y =

Rpta.

+y

Los límites de integración son: x = |y, x = 4 , x =

6y + 21

=0

, x =^ .

x 2 - y2 = 1 , x = 0,

^ ■ + ÍL n

(2

+ V5)

Calcular el área de la región form ada por los puntos (x ,y ) del plano que v e rifican las siguientes condiciones: x 2 + y 2 - 36 < 0 , y 2 > 9 x .

Rpta.

258

-

0.

Rpta.

1)

8x

; y =

Hallar el área de la región acotada por: x 2 + y - 7 = 0 , y =

-

24;r - 3y¡3



1.2

AREA DE IIHA REGIÓN limitada por una curva param ítrica .

1. INTRODUCCIÓN Veam os la región R en dos gráficas:

Ci

[ x = x (t) [ y = y (í) í e [ a , /?]

C,

En el primer gráfico, la región R está acotada por dos curvas G y d 2 que se intersectan en los puntos A y B. Si las curvas

y d2 están expresadas pos sus corres

pondientes ecuaciones cartesianas, entonces el área de la región R es: Area (R) =

f [ / ( x ) - g ( x ) ] • dx Ja

En el segundo gráfico, se tiene la misma región acotadas por las mismas curvas G y

cuyas ecuaciones paramétricas, respectivamente, se conocen.

En este caso, el área de la región R se halla por una fórmula que se deduce a partir del Teorem a de Green (Integrales curvilíneas). El área de la región R encerrada por las curvas dx y C2 es: Cuando se quiere integrar sobre una curva

Area (R ) =

cerrada C, la notación usada es: (j*

A ^

^2

Integral a lo largo de la curva C2 Integral a lo largo de la curva Cj

Donde

62 es

Ia concatenación (yuxtaposición) de

que encierran a la región R

siguiendo una orientación antihoraria y la fórmula de cada integral curvilínea está dada por:



J

=2

|

(x d y - ydx) l2

J í; 2 - i f

(xdy - ydx)

Estas fórmulas son válidas, siempre que se cumplan las siguientes hipótesis: hi :

Cada curva es regular de clase C 1 en todo ei recorrido de t de su dominio La curva d, es REGULAR de CIASE C 1 . V t con a < t < ¡3. La curva d;, es REGULAR de CLASE C 1 . V i con t2 < t < t 2 -

h¿ :

1.a orientación d e las curvas d 5 y d. que encierran a la región R, está dada en el s e n t id o d e LA REGIÓN R (es el

sentido que sigue una curva de tai

m anera que la región R esté siem pre a la izquierda d e la curva).

REMEMBRANZA , x = x (t) Sea la curva d : -l

[ y = y(C

t e [ a , (3]

1. La curva d es de clase C 1 si las funciones x ( t ) , y (í) y sus derivadas x '( t ) , y'(f) son continuas V t e [ « , / ? ] .

2. La curva d, es REGULAR si:

E je m p lo 0 1 .

[ x '( í

)]2 + [ y '( í )]2 d

0

;

V te [a ,j3 ]

Hallar el área de la región encerrada por la curva d, donde. [ x - a - eos t C : t y = a • sen t

t e [0 , 2;r]

S olu ción : 1.

El gráfico de la curva C, es una circunferencia de radio a, a > 0 .



l

0

o

i

t

i%

\

/ ! \

*

\ \ Cuando i recorre de 0 a 2 n la cuna.recorre desde (a, 0) hasta. (a,0)

\ y

. i

™$(3ÜÍ

v

siguiendo el sentido antihorario

cerrándose la curva, 2.

Una sola curva encierra la región R (Círculo) La curva ó (circunferencia) es REGULAR y de clase C 1 V i ,

0 < í < 2n . Adem ás

la curva tiene orientación antihoraria cuando t recorre desde 0 hasta 2 n (es el sen tido según la región R, porque la región R está a la izquierda de Ó). Luego, el área de la región R encerrada por la curva L, está dada por: Area (R) =

=■ ~

j . 2*

( xdy - yd x )

/•2/r I [(a eos í)(a eos i d i ) - ( a sen £)(-a • sen i)d i] Joo p2jz

- i

f

[a2 eos2 t + a 2s e n A ]d í «2;r

=j ° 2 | Jo

di

= n • a2 E je m p lo 0 2 .

Hallar el área de la región encerrada por la curva C:

x = a (2 eos i - eos 2 1) y = a ( 2 sen í - s e n 2 í ’

S o lu c ió n : 1.

La curva se cierra en sentido antihorario cuando t varía desde 0 hasta 2 n es

decir i e [ 0, 2 zr ].



[

. %

0

2.

•>

] ¿

,

71

( y

je

El área es: p 2n Area (A ) =

=

3.

(x • dy - y • dx)

6 r r a 2

El cálculo se puede abreviar cuando la curva es simétrica respecto a uno de los ejes coordenados o cuando alguna curva-frontera de la región es uno de los ejes coordenados. En este caso: la curva es simétrica respecto al eje X y el área total de la región R es el doble del área de la región R 1 .

L e'1

B

! Le 2

f

D

A

. X

La región R1 está cerrada por la curva C que es la unión de Q

con C 2 , por lo tanto:

si entonces

1

* c2 Area de R

O* Donde: Cj es el arco AB, cuyas ecuaciones paramétricas están dadas en el problema.



a)

=¿

-

( x -• d dyy-- y d • dxx))

I ( [a • ( 2 co sí - co s 2 í ) ] [a( 2 c o sí Jo

- [ a (2 sen t - sen 2 t )] [a ( 7C o

(1 -

2 sen t

2 cos2í ) ] )

+ 2 sen 2 t ] ) d t

eos t ) dt

= ^ {6a27r)

b)

Hallemos las ecuaciones paramétricas de C2 que coincide con el segmento BA C om o B A es un segmento contenido en el eje X, cada punto es de la form a (x, 0) con - 3 a < x < a . Hallemos las ecuaciones paramétricas del segmento B A que tenga sentido de B hasta A. Bastará hacer x = i y cóm o y = 0 , entonces las ecuaciones paramétricas de la curva C2 son: t g [ - 3a , a]

donde:

dx = 1- dt dy =

0

y la integral curvilínea a la lo largo de

es:



c) P or tanto, el área de la región fí 1 es: Area (P t ) =

= j*

+ J

= 3 a 2 ti + 0 = 3a 2 7z d)

Area (fí) = 2 =

E je m p lo 03 .

A rea ^ )

6a 2/r Determinar el área encerrada por el lazo de la curva descrita por x —t

—4 t , y = t ~ 4 .

S olu ción : Cuando se trata de hallar el área de una región encerrada por un LAZO, todo lo que se necesita es hallar los PUNTOS DOBLES. Hallar íj

Supongamos que

y t-¿ tal que

( x f o ), y ^ ) ) = (x (t2), y ( t 2 )) ( ¿i ~

, í j - 4 ) = ( t f , ¿2 —- 4 )

t 2 - 4C - t f - 4t 2

(

*1

~

^2

1)

(2 )

íf - 4 = tf - 4

=>

íj

~ ^ ( ti - í 2 )

fri2 - r

2

- í 2 ) ( i 2 + % t2 + t f ) - 4 ( íq - í 2 ( ¿i —¿ i) ( ^ + í 2 ) =

0



C om o se quiere fj & í 2 , entonces se reduce a: \

+ ¿i 12 ^'^2 ~ ^

|

t| + ¿2 —0

(2 )

en ( 1 ):

íf ~

............................ ........... ...........,... ( 1 ) -L>

¿2

........................... ( 2 )

E = ~L¿

+ E? = 4 d —2

t| ~ 4 Sustituir en (2):

v

f2 = 2

=> ^ = - 2

í 2 = -2

=> ti = 2

Si

¿2

~

-2

De esto podem os deducir que la variable t recorre el intervalo

2

Cuando

t - -2

=>

El primer punto del LAZO es (0,0)

Cuando

t~ 2

=>

El segundo punto del LAZO es (0,0)

<

t <

2,

En consecuencia el área de la región encerrada por el LAZO es:

A rea (i?) = j? J

2 ¡•2

í Dondem ^ x = í° ^ 4í

(x - d y - y d x )

[ ( í 3 - 4 í) { 2 t ) - { t ¿ - 4 ) ( 3 í 2 - 4 ) ] di

\ 2

- 12

' dx = ( 3 í 2 - 4 ) di

f 2

I .

[- t

-2

r2

= 4 .2 J

_

+

8í

[- i4 +

í55 +, !8¿¿3 ° -1 6 t

- 1 6 ] dt

8í 2 - 1 6 ]

es simétrica

] d y = 2 i . di

di

t =2 í =0

256 15

Nota: E l resultado negativo es porque el Lazo se genera en sentido horario (la región R no está a la izquierda). En este caso bastará anteponer el signo menos a ¡a fórmula de la integral curvilínea



C o n clu s ió n :

A rea { R ) = % & jli2

2. TEOREMADEGREEN 1.

S ea

{o = A ( x , { , ’ )d x + B(x,ij)d\¿

A (x, y ) y

B (x ,y )

una

fo r m a

s o n fu n c io n e s re a le s cié c ia s e

d ife re n c ia ! C 1

sobre

,

donde un c o n

ju n to a b ie r to U c: I? ¿ , 2.

S e a R u n a r e g ió n c e r ra d a y a c o ta d a (s u b -c o n ju n to d e

R2)

con

F R O N T E R A u n a c u m a C c e r ra d a , s im p le , R E G U L A R y d e c la s e C 1 . 3.

L a c u rv a C está o r ie n t a d a e n s e n t id o a n tih o r a rio .

Entonces:

TESIS

JI»

óy

i

dx • c/y = Q

(A (x ,y )d x + B (x ,y )d y )

(1 )

-INTEGRAL CURVILÍNEA DE LA FORMA DIFERENCIAL ú) = A(x, y)dx + B(x, y)dy A LO LARGO DE LA CURVA F ■INTEGRAL DOBLE DE LA FUNCIÓN |E Í - 4^- ) SOBRE LA REGIÓN R.



ACLARACIONES DEL TEOREMA DE GREEN a) Se dice que las funciones reales en dos variables: A (x ,y ) y B (x ,y ) son de clase C 1 , si las derivadas parciales

1

dy

y ~

*

dx

son continuas en el conjunto abierto U. J

b) Se dice que una curva b cuyas ecuaciones paramétricas son x = x ( t ) , y = y (í) t e [ a , / 3 ] , es de clase C 1 si sus derivadas x ' ( t ) , y'(£) son continuas en el inter valo a < t < f3 en el que la curva está definida. c) Intuitivamente, una curva C es cerrada y simple, cuando tiene una las siguientes formas.

N o son simples las siguientes curvas:

d)

Intuitivamente, una curva C es regular cuando no tiene puntos angulosos (pun tas-agujas).



e)

La fórmula (I) se utiliza frecuentemente para reducir el cálculo de la integral d o ble al de una integral curvilínea. Para hallar la integral curvilínea Q (0 , se procede del siguiente modo. I o Hallar las ecuaciones paramétricas de la curva C , si no se conocen. 2o Hallar el intervalo cerrado [ a j í ] que recorre " i " tai que la curva empieza en (x(¿2 ) , y(cz))

y

termina

(x{J3), y(/?))

en

cerrándose

la

curva

cuando

(x (c r), y(o ')) = (x (/ i), (/?)). La curva se orienta en sentido antihorario. Reemplazar en la integral curvilínea: x, y, dx. dy en términos de t. Así tendre mos:

i g)

{A >

r

\

,

.

|

d f},y (í)) ■x' ( t ) + B(x{t). pít)} • y '(í)j • dt

>Y-

IN TE R PR E TA C IÓ N FISICA. La form a diferencia

0) = A (x, y ) • dx + B (x ,y) • dy C0 = ( A ( x , y ) . B ( x , y ) i . (dx • dy)

€0 = Entonces la integral W

F (r (£)) • r ’ (t)dt A

£

...

F i r i í ) ) • r'(í)df

expresa el trabajo que desarrolla la fuerza F

cuando una partícula se desplaza

por el camino r ( í ) desde el punto P - r í o ') hasta el punto Q = r (/?) • El camino r ( í ) es la función vectorial r : [a , A j - *

f? 2

t m r (t) = ( x (í ), y ( f )) El vector velocidad es r ' ( t ) = ( x ' ( t ) , y '( O h)

En la fórmula (I) si d = d } cv d 2 u d 3u ... u dr

,1

donde cada curva d, es regular de clase C , entonces:

9fifi



cj' i)

(o

= J

co +

j*

(tí + .+. ....-+ -+ J* I a)

F : IR2

Sea la función

-x

U,y)

donde co = A ( x , y)dx + J3(x,y )dy

R z-F {x,y)

cF

dF = ~

El diferencial de F es:

0) ,

''

sp

' dx + V t * dy

co = A * dx: + B • dy COROLARIO

j*J

Si en la fórmula (I):

se hace

b)

j*j* dx

/y x

entonces: a)/

B = ~9 x

A = - ~9 yf

( x d y - y d y ) ...... ( 1 )

integral de línea sobre la curva cerrada c, que es la frontera de la región R

S i la r e g ió n R está lim ita d a p o r la curva Y, eí eje x y

x = a ,

las recta s

A{R) = -

y

«y

4

dy

área de la región R

c)

\

^ v

j j A - ^ j d x * dy = (j^ A ( x , y)d x + B(x, y)d y ,

x ~ b , el área d e la región R es

y (£ )x ' (t) * dt

|

Ja

Y

C está p a r a m e t r iz a d a p o r :

x=

*

s

~ x -b

r : [ « , / ? ] - > IR 2

—> r ( t ) = (x

t

d)

S i la r e g ió n

R

Ja

r

x (f)y

: [a , /?] -» t

R

a

= d, e l

(£) • dt

á r e a d e la r e g ió n R es:

c

b

y= d

e s tá lim ita d a p o r la c u r v a ñ el e je Y y

las rectas y = c, y

A(R) = I

(£ ), y (t ) )

d

está p a r a m e t r iz a d a p o r:

2

- > r(£ ) = ( x ( í ) , y ( t ) )

y e

N o t a : La integral de línea a lo largo de una recta horizontal o vertical es cero.


*


E je m p lo 0 4 .

Hallar el área de la región R, dado en el gráfico adjunto.

P a s o s a s e g u ir: Debem os dar el sentido que corresponde a las fronteras de la región R (dicho

1.

sentido es tal que la región R esté a la izquierda). 2.

™ = 1 desde el punto A hasta el punto B.

Debemos parametrizar la elipse •

< i+ ¿ = 1 Una elipse dada por la ecuación cartesiana -Ar c2 b2 x = a eos t

se parametriza haciendo

y = b sen t

donde “f” es el ángulo entre el eje Ó X y el radio vector Ó P x - 4 eos t

Para el problema dado, será donde

0 < t< ^ , a

=

porque

p

2 senf A = (4 c o s 0 ,2 s e n 0 ) = (4 ,0 ) B = ^ 4 c o s -| ,2 s e n | -) = (0 ,2 ’

3. Cálculo auxiliar: x '( í ) = - a s e n í

4. Aplicar la fórmula:

í

k ¡2

A (R ) = - |

(2 s e n f) (~ 4 s e n í)d f

*n¡2 I sen 2 t - 2 n

Jo 270



E je m p lo 0 5 .

Hallar el área de la región limitada por

las gráficas de las ecuaciones: x = |y (, x 2 + y 2 = 8 . Solución: •

Después de darle sentido a las fronteras de la región R, cerrando el circuito, se parametrizan cada frontera:

a) La parametrización del segmento O A es: r{ t) = (0 ,0 ) + f [ ( 2 , - 2 ) - ( 0 , 0 ) ] r ( í ) = (2 t ,- 2 t ) , 0 < i

,

0 < t < 1

<1

b)

La parametrización del arco A B es: r (í) = (y¡8 c o s í,V 8 s e n í),

c)

La parametrización del segmento B O , es: r( t) = (2 ,2 ) + 1[ ( 0 , 0 ) - ( 2 , 2 ) ] , 0 < t < l

r (í) •

(2 - 2 í

0
El área de la región R es:

= •

, 2 - 2 í) ,

fl

c^/4

(xdy-ydx) + | J

( xdy - y d x ) + \

fJo

I ( xdy - y d x )

Hacer los cálculos auxiliares para obtener A ( R ) = 2tt

Ejemplo 06. Hallar el área de la región limitada por la curva: e

x —4 —4t y = 2 -2 tl

S o lu c ió n : 1. La gráfica de la curva es: 2. Los límites de integración se hallan en los puntos de intersección con el eje X. La intersección de la curva con el eje X se halla haciendo y = Si

y = 0

0.

0 = 2 - 2 12 => t = ± 1

Luego

l < t <1


y el eje X.

Moisés Lázaro Carríón

La función vectorial continua que parametriza a la curva ó es:

•

r : [- 1 ,1 ]

->

R 2

t

-»

r ( t ) = (4 - 4 t , 2

2 12 )

En este caso, por la forma que tiene la región, conviene aplicar la fórmula dado en c) del corolario.

í

y (í) x'(t)dt

J

(2 -

2 í 2 )(-4)dft

(1 -

1¿ )dt =

A (R ) = ~ f

E je m p lo 07.

8 | t~

”] t rJ i]

1

3 ..! t = -1

-

32

Hallar el área de la región R.

Solu ción : El área de la región R, es:

i

A (R ) = i

x dy - y dx

e v OA u A B

=i

2

f"+ f ^

r

a)

ÓÁ

í

0)

AB

Para calcular la integral de línea jty , debem os parametrizar el arco de circunfe

rencia B O del siguiente modo. Si tomamos com o polo, el origen (0 ,0 ) y O P es el radio vector, el punto (x ,y ) en coordenadas polares es ( 1 ) -j

x = r eos t y = rsen t

donde r se obtiene de: x 2 + y 2 = 6x r 2 = 6r eos t r = 6 eos t


(2 )


Al reemplazar (2) en (1), obtenemos la función vectorial R ‘ t

>

r { t ) = (6 eos 2 í , 3sen 2 t)

|* i®nfl j x dy - ydx = J [(ó c o s 2 t) ( 6 c o s 2 í) - (3 se n 2 f) ( - 12 cosf sen f)]d t

2

rd

Jo b)

36 eos t d t = 97r

I co se obtiene parametrizando el segmento dirigido A B

La integral de línea AB

r (t) - A + t ( B ~ A ) , 0 < ¡t < 1

del siguiente modo:

r ( t ) - (3 + 3 t,-3 + 3 t ) , 0 < f < 1 Luego:

j* x d y - y d x =

J

[(3 + 3 í)( 3 ) - ( - 3 + 3 t)(3 )] = 18

AB

CONCLUSIÓN:

El área de la región R, es: A ( R ) = t> ( 9 n + 0 + 1 8 } = j 7 r + 9

E je m p lo 0 8 .

Hallar el área de la región limitada por el lazo x

q

q

+ y' - 3axy = 0

Solu ción : 1.

Parametrizar la curva con la sustitución, y = t x . x 3 + f 3x 3 - 3 ax • tx = 0 x =

3 at

ü ? 3 at2 1 + t3

2.

C om o la curva forma un lazo, hallemos los puntos dobles, que van a ser preci samente los límites de integración.



y t-¿ tal que

Hallar í¡

Supongamos que:

r-¡ * h>

( x (t2), y (íx) ) = ( x (í2), y (t2) )

Igualar componentes y resolver las ecuaciones: 3aíj

_ 3 aí2

1+íf 1+

(1 )

3 a íf _

(2 )

1 + f3

3 at§

1 + í|

íl (1 + t‘2 ) - t<¿ (1 + t f )

=>

1+

(1 )

1 + í'i )

~

(2 )

( 1 ) en ( 2 ) : tf • | (l + íf)= tfll + tf) =’> tj ■Í (1 + tf ) — t| íf (1 + íf ) 2

=>

í 1 t2(1 + t f ) (¿i - t 2) =

^¿2 (1 + í f

=>

ti =

=>

)=

0 v t 2‘

0

com o t j ^ t 2

0 0

=

v

L = -1 No puede ser, porque D x,,„ = R - { - 1 J

En este caso, solo tenemos una única solución real: t = 0 Cuando

t= 0

=> x

= 0

a

y = 0 . Punto inicialP = (0 .0 )

Deseamos hallar otro valor de t tal que x = 0 en este caso se cumple: x = 0 cuando y -

0

cuando

Por tanto, los límites de integración son:

a

y =0

i ->

+x

t

+ oe

t - 0 y t


x


3.

El área de la región es: x = A = 2 ^

(x • dy - y • dx)

C:

Sai

oaP

1+r =

En la forma diferencial: co =.- x • dy - y • dx

1 2

i:

i

I " _ 9gÓ

í

X 2 -d t

(1 + í 3 .,2

Multiplicar y dividir por x ¿y = x

• dt

'~2 •di

t 2 { l + t3

=

3a¿

x ■dy - y ■dx

x2 _^

obtenemos: — - í

El área de A es: A

Nota:

:

= x 2 • d | “ •j , al dividir

+00

2" 9 a 2 Í Jo

r>

i ¡ / ^- ' ÂT d7 n

..... (III)

Sin hacer ningún artificio, igual resultado se obtiene cuando en Ja o) = x d y ~ y d x

forma diferencial

se sustituye las ecuaciones pa-

ramétricas y las diferenciales.

Ejemplo 09.

Hallar el área de la región limitada por la curva C: x = 1 - eos 21 , y = 4 eos t y el eje Y.

Solu ción : 1.

Al graficar la curva ó se obtiene:

t

x -

1-

eos

0 1

Tí

4

0

0

21

y - 4 • eos t

^4

2x¡2


2

3 n/

1 -2V2 /4

71

0

-4


2.

El área de la región R, es:

A {R ) =

x dy - y dx

Si aplicamos el corolario, porque d2 es un segmento vertical, la fórmula se redu ce a la forma: A (R ) =

j* x (t) e2

r n lo

•lo

e

y'{t)dt , donde dy = y '(t)d f

X •dy

..........

e l s ig n o - e s p o r q u e e s t a m o s c a m b i a n d o e l s e n t i d o d e la p a r a m e t r iz a c ió n d e c 2 ( q u e n o s ig u e la d ir e c c i ó n s e g ú n la r e g i ó n R ) .

(1 - eos 2t) ( - 4 sen f) • dt

n

•lo

( - 4 ■sent + 4 sen f • co s2 f) • 4t

14 2 // 3

Ejem plo 10.

Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las curvas: [ x = ij(f2 +2) e 1 :\ 2 [ y =t

- 2
f x = 3+t ¿ 2 :\ [ y = -2 + í

S olu ción : 1.

El gráfico es:


0
6


La curva Cj tiene orientación horaria (- ) y la curva d 2 tiene orientación antihoraria

2.

(+), entonces al área de la región R es: A ( R ) = — ( J

x dy - y dx = -|

J +J 10

(Ü

r1 u a)

El cálculo de

J ® se hace con la parametrización de ír:1, o

C om o la parametrización de id no si , ,. , , ., „ gue la dirección según la región R, entonces: b)

El cálculo de

J

J _2

x d y - y d x = - (- 3 ) = 3

J o se hace con la parametrización de d 2 >es^° es:

c'2 J o = [ x d y - y d x = 15

C O N C L U S IÓ N :

A [ R ) = 8 + 15 = 18

PRO BLEM AS PR O PU ESTO S ÁREAS DE REGIONES LIM ITADAS PO R CURVAS PARAMETR1ZADAS (TJí

Hallar el área de la región limi

¡J3j

tada por un arco de la cicloide x = a(t - sent) y =

a (l

Hallar el área del lazo de la línea x = 3t

- co s í) el

, y = 3t - t

.

eje de las abscisas.

Hallar el área del lazo de la línea

Calcular el área de la región limi

x =

¿2 - 1

, y = t3 - t .

tada por la astro ide: * [ 5j

3

Hallar el área de la figura limitada por la rama de la trocoide: I x - a t - b sen t ( y = a - b eos t

[ 6j

3

x = a • eos t , y = a • sen t

< ^ < Qj

y la tangente a la misma en sus puntos interiores.

Hallar el área de la región limitada por la curva con ecuaciones paramétricas x = 2t —1 , y = 121 - 4 t 2 y el eje X.



f~7~)

Calcular el área de la región encerrada por el lazo de la curva ó, cuyas ecuaciones paramétricas son: x = t

( 8j

- t , y=t

Q

- 3 t.

Hallar el área de la región limitada por la curva con ecuaciones paramétricas x

y ;

O

;

4 r ’ . í > 0 y las líneas de las ecuaciones x = 1 y x - 4 .

H •y -

*

* •-

d la región encerrada por el lazo de la curva Ó : x = t° ~ t ,

are a

de

ia

región

encerrada

por

la

curva:

x = eos3 1 .

e n í. ¡11}

t íallar e! área de la región limitada por la curva Ó: x -- 2 * sen2ó . y = 2sen¿0 * tg d y su asíntota ^ en esta caso

0<

9 <~ j ,

Hallar el área de la región limitada por la curva ó: x = 2 • ctg 6 , y = 2 • sen 2 6 , 0 < 6 < n y el eje X . 13]

Hallar

el

2

y = b • sen 14 j 115 ^

área

de

Q

9

t , (c

la

= a

9

región

acotada

por

la

curva:

x = — • eos

9

- b ), (envoluta de la elipse) a ■sen2 1

Calcular el área de la región acotada por la curva: x = a • eos t , y = ^

2 + sení

Hallar el área encerrada por el lazo de la curva: ó : ]

-f-

[ y- t

^

-3 t

t e R

R ESPU E STAS: 3 TIO2

a

7r{b2

0 9

278

i 60

3 _„2 ^na

0 + 2a b )

0 Qñ)

0

fÓ 3

36

0

20

8

©

81

371

2


0 0 ©

ó


1.3

Area de una rebiú n lim ita d a po r una c u r v a EN COORDENADAS POIARES

1. INTRODUCCION Intu itivam ente, la fórm u la q u e nos perm ite hallar el á rea d e u na regió n lim itada p o r una cu rva en co o rd en a d a s polares, se d ed u c e a partir d e la fórm u la q u e corres p o n d e al á rea d e un sector circular.

Veamos: a)

P o r regla d e tres sim ples ten em os: Si al a rco 2 n co rresp o n d e el á rea n r 2 e n ton ces al a rco 6. ¿ Q u é á rea correspon d erá?. 2n

n r2

A

T = radio de la circunferencia.

A - ^ r20

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR DEARCO 6 Y RADIO r

b)

El área q u e co rresp o n d e al sector d e arco d d es: dA = j r 2 - d d

,

r = f{0)

P o r tanto, el á rea q u e co rresp o n d e a la lim itada p o r r = f ( 0 )

A = j

D o n d e la fu n ción f -.\a,/3] - >

REGIÓN

y los ra yos a y f f será:

r 2 ■d d

E es contin u a en [ a , f i ] y r > 0 , \/de\a.p\

0 -*■ r = f ( 0 )


Moisés Lázaro Carriórt

c)

Sea la región R = ( ( r , 6 ) e

Jf?2/o <

g (0 ) < f ( 6 ) , a < 6 < ¡3 donde las funciones:

f : ¡ a ,/3) - * ¡R S

g :[a ,/]]-> E

son continuas en [ a , p ]. Entonces el área de la región R, es:

de

Ja

O b s e rv a c ió n j

La fórmula definida en h) se puede hallar aplicando suma de Riemann.

Veamos: TEOREMA

Sea la región R

j ( rj i ) e R ¿ j r

f { 0) > (Km < 0 < fi j donde la fun

ción /: [ d/. A] - * í R es continua en ei intervalo [ar./i]. entonces el área de la región R es: “''" '" 'ir

.

AIR) = 1 f ' ¡ 2 (tí)-d O .

D e m o s tra c ió n : Deseamos hallar el área de la región R (ver fig. 2)



1. Consideremos una partición P de [ a j í ] definida por: P = ( a = Oq , tf , 6 ,..., 0¡ _ ^ tal que

a = d0 <

donde:

A 6*r - 6i -

2. Sea:

¿3»- e

,..., dn = ¡3)

< ... < tf_ i, <0, < ... < 0n = (3

, /= 1 , 2 ,

n

3. El área del sector circular de radio / (d ¡) y arco A¡9¡, está dada por:

y He,)}

2

■ c u o . - i . 6’,]

ésta área existe en cada intervalo [ 0 ¡ p , 6* 1 . C om o existen n intervalos, entonces la suma de las medidas de las áreas de los n sectores circulares es:

/ =i 4. Si j¡ A| = máx { Aí?f / / = 1,2,....n ] , entonces:

Km y

||A||-o° ^

E je m p lo 0 1 .

Encontrar

2 -

el

"

área

-

de

la

¡' 'JW f-dO

Ja

región

acotada

por

r = 4cos2é?. S olu ción : 1. Hacer una breve discusión de la ecuación para graficar la curva, a)

INTERSECCIONES: Con el eje polar, eje

0

0

Y

4

71

0

-4

, eje n , eje 3 n/

h

0


la

gráfica

de


b) S IM E T R Í A S : Cuando la ecuación polar es función solo del coseno, siempre existe simetría respecto al eje polar. Para probar, bastará hacer el cambio (r,-<9) y se observará que la ecuación no varía. c) EXTENSIÓN: C om o el coseno es acotado, se tiene:

-1 =>

< eos 0 <

1

- 4 < 4 eos 0 < 4 |4 eos 0 |< 4 Este resultado nos indica que la curva esta acotada por una circunferencia de radio 4.

d)

LIMITES d e INTEGRACIÓN: Sí existen soluciones para la ecuación r = 0 , se obtendrán los límites de integración.

Asi:

4 eos 3(9 = 0 eos 3(9 = 0 30 = f + kn fi —H L -l L l ^ 6£L ' 3O

La función coseno es decreciente en el primer cuadrante desde “4 ” hasta “0 ” , luego r disminuye desde 4 hasta 0, cuando: 0 < c o s 3 (9 < l

=>

2~ > 3 0 > O ¿

2. Para hallar el área total bastará calcular el área de la región limitada por un solo

=>

f> 6 > > 0 O

5t¡

6

71

6

pétalo.

JL

6


Aplicaciones de la Integral Definida,

A(R) = 2 4

í 6 r2 - d0

Jo

= í 6 (4 eos 3 66 2 • dd Jo

= 16 j 6eos"" 30

dd-■=16 | 7~+ iVsen6í? |' 0

Jo

= ~ f~ - < r—

L¿

16

J

0=0

área de la re gió n en cerrada p o r un pétalo

El área total es; A = 3 ^4—| = 4 n

Ejemplo 02.

Hallar el r2

=4

área de laregión acotada por la gráfica de la ecuación

sen

26 .

S olu ción : 1.

Breve discusión de la gráfica de la ecuación: a) INTERSECCIONES: Con el eje polar, eje j , con n y con

r

0

n

2 0

*

~2 O

0

O

6

b) L im ite s d e I n t e g r a c i ó n : Si existen soluciones para r = 0 , se obtendrán los límites de integración.

Veamos: Si r = 0

0 = 4 sen 2#

0 = sen 2 0 26 = kn e = >f Este resultado nos explica que el radio se reduce a cero cuando el arco es 0 o, Y 2 1 711

3/"2 . (que serán los límites de integración). Sólo fines educativos - FreeLibros


c)

E x te n s ió n :

Se cumple:

r

9

> O 4 • sen20 > O

=>

sen26 > O

=?>

O <26 < O < 6 < f

v

2n

V

n < 6 < ^ f

< 26 < 3 tt

En estos intervalos está definida la curva. c) S

im e t r ía s

:

Sólo existe simetría respecto al origen, porque al hacer el cambio {r, 6 ) por (r, tt + 6 ) no cambia la ecuación. d) T a b u la c ió n : Tabular en los intervalos 0 < 6

v

n < 6 <^~

JL

2

JL 4

0

71

271

2

2. El área es: También se puede hacer:

A = 4 -| j Q 4 r 2 -d 6 • sen 2 6 d 6

= 4.

= 4



Ejemplo 03.

Encontrar ei área de la región que está acotada por el rizo más p e queño de la gráfica de la ecuación r = 1 + 3 s e n # .

S olu ción : 1. Hacer una breve discusión de la ecuación para graficar; a)

IN T E R S E C C IO N ES :

0

0

r

1

4

Tt

2*Á

1

-2

b) L im it e d e I n t e g r a c i ó n :

Si

r

0

0

~ú

■ 1 -i- 3 sen Ó

0

arasen ( - ^ )

Este resultado nos explica que ei radio de r se reduce a cero cucindo el arco es 0 = arcsen (

) que será un límite de la integral a calcularse.

c) Sim etría : Porque la función sólo depende de sen 0 . entonces es simétrica respecto al eje f . Al hacer el cambio (r , tt - 0 ) no varía la ecuación. d) C om o la curva es simétrica respecto al eje (-

2 , 3 n/ 2.)'-

y pasa por los puntos ( 4 . K/ 2 ) , hasta -■

ent ° nces bastará tabular desde

pasando por

arcsen ( - 3 ) •

-2

-

1.1

arcsen ( - j ^ )

- 0.02

0

o

r

- n/ /4

i

~n Á

O CM

9

-2 5 ° -

0.2


10°

45°

0.47

3.1

-

4


El área d e la región encerrada p or el rizo m ás p eq u eñ o es:

A =2 4

farcsen(-¿)

í:

1 ; r 2 -d6

1 (1

A=J

.2

+ 3 se n # )

• dO

~T ü ■tí - ~ arcsen

- 3>/2

4

N o ta :

Tener en cuenta lo siguiente:

eos

arcsen

(4)

2V2 3

(o b s e r v a c ió n ] C o m o p o d rá observar el lector hasta el m om en to, hallar el área n o reviste dificultad si se con o cen los límites de integración. El gran p rob lem a es hallar los límites d e in tegración.



Si la región está encerrada por una curva, los límites de integración se hallan te niendo en cuenta las siguientes recomendaciones: 1) Resolver la ecuación r = 0 . Se presentan dos casos: existe solución o no existe solución. a) Si existen soluciones, dichas soluciones serán los límites de integración. b) Si no existe solución y la curva es cerrada, entonces los límites de integración se pueden escoger los extremos de [0,2/r] o cualquier 6 0 en radianes y

0 = 0q +

2 /T , 0q

e [ 0, 2 re ] .

2) Observar las simetrías.

E je m p lo 0 4 .

Hallar el área de la región encerrada O O r = a ' eos 2# (lemniscata de Bernoulli).

por

la

curva

S olu ción : 1. Breve discusión de la ecuación, a)

¡NTERCEPTOS:

0

0

r

±a

*A

L im ite s d e I n t e g r a c i ó n :

b)

Si: r = 0

7T

=>

3A

0 = eos 26

±a

i

0 = a2 - e o s 26

26

’ + kn: — E- 4- ^7T

“ 4 2

Lim ites

c) SIMETRÍAS: Hay simetría respecto al eje polar (hacer el cambio por { r , - 6 ) ) y respecto al origen hacer el cambio por (r , 6 + n ) , la ecuación no se altera. d) E x t e n s i ó n : r2 >

0

Vr

a 2 • eos 26 > eos 2 6 > f <

2d

< f

0

0 4f

t

<

2d

< 6 < 5?r 4

L1— Son los f límites de Integración —t1 Sólo fines educativos - FreeLibros


e)

T a b u la c ió n :

Aprovechando las simetrías, bastará tabular en el intervalo \^0,~

JL 4

Ejcmplo 05.

Calcular el área de la región limitada por las curvas r = 2a eos 0 y r = a (l + cos<9).

S olu ción :

Nota: Cuando una región está limitada por dos o más curvas, hacer dos co-

1) Resolver el sistema

: r

2a • cosO

. r

2(1 - eos 0) <

<—

circunferencia cardioidc

para hallar los límites de iníegración. 2) Graficar.

Veamos: 1.

2a eos 6 = a (1 + co s 0)

2 eos 0

= 1 + eos 0

eos 0 = 1



2.

G ráfico:

H a y sim etría respecto al eje polar.

P orq u e el círculo está con ten id o dentro de la cardioide, el área es la diferencia d e las áreas limitadas p o r las dos curvas.

A =

2

•i

=

Ejemplo 06.

Calcular

J

| [ 2 a e o s <9] 2 -

[ a ( l + eo s<9) ] '

_ ¿¡-a2 =
el

área

del

interior

de

las

curvas:

r = a (l + c o s 0 ), a > 0 .

Solu ción :

1.

Graficar. r = a sen <9, es una circunferencia d e centro en ( 0 >§ ) y radio j r = a (1 + e o s 6 ), es una cardioide.


r = asen0

y

Moisés Lázaro Carrign

2.

Límites de integración. La intersección de las curvas se obtiene resolviendo. a ' sen ¿9 - a (l + cosa) send =

1 -+ cqsO

sen 6 - eos 0 = 1 =i>

sen O *

- eos 6 ~

=

sen

0^0 0=f 0 - JT -Límites

3.

C álculo del área. Observar el gráfico: Al girar el radio vector r desde el eje polar O X . en sentido antihorario, barriendo toda la región, pasa por A - ( '§ '■ a ) hasta llegar hasta

Porque A es un p u n t o a n g u lo s o , el área se halla con dos integrales:

A =

Ejemplo 07.

J “ (a

• s e n # )2 dO + ^

j* í~ a (l + c o s d ) ] ~ • d d

Encontrar el área de la región que está acotada por las gráficas de las dos ecuaciones dadas:

Jr =2 { r = 3 - 2 • eos 0



S olu ción : 1.

G ra fic a r c a d a cu rva. a)

r - 2 es una circunferencia de centro en el origen y radio 2,

b)

r = 3 -2 c o s < 9 . bd

Intersecciones: r

10 | r

i

\ Sí

n j 3?^

0 2

5 i i

m

0 = 3 - 2 eos

r=0

3

, esta igualdad implica que no existe solución .

eos 6 '—

Es mayor que uno

El máximo valor de coseno es 1, En este caso el conjunto solución es vacío. Geométricamente este resultado nos indica que el radío r nunca se reduce a cero. c)

Extensión:

- 1 < eos 9 < 1 2 > -2 eos 9 > -2

C om o Por -2 Sumar 3

5 > 3 - 2 eos 6 > 1

Este resultado implica que la curva es cerrada de radio mínimo r = 1 y radio m áximo r = 5 . El gráfico es: 2. n t e

t e

Hallar las intersecciones: 2 = 3 - 2 eos 9

5

i = eos 9

/i 71

\

0 = 2kn ± \ \

0

V A t e

Necesitamos:

S V

, 3

e = -%



3.

El área de la región que es intersección de los planos encerrados por dos curvas se halla sumando dos integrales, porque A es punto anguloso. A = 2 -1

j * 3 ( 3 - 2 eo s<9)2 • d& + 2

= iu

n S

=

ÍE/3

3

E je m p lo 08 .

3

J * 2 2 • dd

2

2

Calcular el área de la región que es interior a la curva r = a y exterior a la curva r = a ( 1 - eos 6 ).

S olu ción : 1.

El gráfico es:

2.

La intersección de ambas curvas se hallan resolviendo la ecuación: a = a (l- c o s a )

1

=

eos 6 =

1-

eos 6

0

_

7T_

—

3;r

+ k , se necesitan
292

2 2



3. Porque hay simetría respecto al eje polar, el área es: í

A - 2 ■i

| Jo = a¿'

Jo

{ a 2 - [ a { 1 -c o S (9 )]2 ]

dO

[ a2 - a 2 + 2a 2 * eos 6 - a 2 • eos 2 0 ] • d9

I

í,

[2 eos 9 -

eos4* 1 • d<9

a2 F 2 serié? - ~ 9 - —sen 2# 2 41

(z -f) E je m p lo 0 9 .

Hallar el área de la región que es interior a la curva r = 2 sen26* y exterior a la curva r =

1

.

S olu ción : 1. El gráfico es: 2. I n t e r s e c c i ó n : 1 = 2 - sen29 j = sen 2 6 29 = kn + (—l ) fc j

- Son las intersecciones

¿i _ n n 5 ti 19 — 23 & 19 12 5’ 12 ’ 12 71 ’ 12 Por la simetría existente, necesitamos sólo d = — y d = 4 para integrar. 12

3. El área es:

A =

8 -Jf

t

I “ [ ( 2 sen 2 éi)2 - l]d é > 12

2;r



Ejem plo 10.

Hallar el área de la región encerrada por las curvas r = 3 + eos 4(9 y r = 2 - eos 4 6 .

S olu ción : 1.

Discutir la ecuación: r = 3 + eos 40 a)

b)

Intersecciones:

0

0

r

4

n

372

4

4

r = 3 + eos 40

4

Veamos si el radio r se reduce a cero: r = 0

Hacer:

=>

0 = 3 + eos 40 - 3 = eos 40 \— ------ Absurdo

Este resultado nos indica que el radio nunca es cero.

c) Extensión: Se cumple

- 1 < eos 40 < 1

Sumar 3

2 < 3 + eos 40 < 4

Esto implica que la curva es cemada y está acotada por las circunferencias de radio 2 y radio 4. Es decir el mínimo valor que tiene r es 2 y el máximo valor es 4. d) Simetría:

e)

Es simétrica respecto al eje polar

Cambiar por ( r , - 0)

Es simétrica respecto al eje - j

Cambiar por (r, n - 9 )

Es simétrica respecto al

Cambiar por (r, n + 6 )

Monotonía:

PO LO

(Crecimiento y decrecimiento de la función).

Estudiemos la variación de Si

0 < 40 < |

0

<

0

y r en cada cuadrante: 4 >r>3

(Decreciente)

0<£



Si

<4$ < n

Sí

n <20 n g

Sí

3 >r> 2

Deciente'

23 < 2/ ere

0<

4

(Decreciente)

(Creciente)

4"

T a b u la c ió n : Dando

i '~á , Oí H O

la mon diente es: 2. Discutir la ecuación

r= 2

eos 43

S u g e re n c ia : Analizar de manera similar, 3. In te rs e c c ió n : Igualar las dos ecuaciones y resolver 3 + eos 43 - 2 - eos 4 9 eo s4 0

-A ¿

A 6 ^ 2k n ± kn i n_ 2 ~ 6

4. C a lc u lo d e l Á re a : Porque hay simetría respecto a desde 0 hasta ~ pasando por

Así:

A| —

j*^6 (2 - eos

El área total, será:

A =

(punto anguloso).

4 0 ) • dd + ~

8 Ai

, bastará calcular el área

j 4 (3-4- eos 4 £

9)

ó

5-s/S



PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS - RESUELTOS Problem a 01.- Determine los límites en forma que para región acotada por el círculo x 2 + y 2 = 4 y la recta y = \/2 . S olu ción : Se procede de la misma manera para identificar las regiones

en

coordenadas

rectangulares, esto se hace

2 1

un dibuja de la región y se traza el rayo de prueba. El rayo L siempre entra en la región por la recta y = \¡2 x

o

+y

p

y sale por la curva

= 4 Estas ecuaciones en coordenadas polares son, para la curva. {reosO )2 + (rsenO )2 = r 2 (cos2 <9+ sen 2# ) = 4 r2 = 4

y para la recta:

r sen# = V 2 r =

J L

send

r = \ ¡ 2 escQ El ángulo mínimo es la intersección de la recta con la curva. r = 2 = -^

sen #

4% _ 71

6 = are sen-

y el ángulo máximo es J-, la región se especifica como:



Í

/» 7T/2 /®2 I f (r ,0 )d A = I I J tt/4

JR

f ( r , 0 )rdrd&

J d2. esc O

Á r e a e e c o o r d e n a d a s p o la re s Al igual que el coordenadas rectangulares, sí / (x ,y) = 1, el resultado de la integral doble es el área de la región plana, esto es:

Jt

Area = | j

rdA

dónde dA = drdd = dO dr . Y para los sólidos sobre la región plana en el plano xy limitado por la superficie / (x ,y ), la integral doble que da el volumen se transforma en: V = J j* f ( r e o s (9,r s e n d j r d A donde la ecuación de la superficie se convierte a coordenadas polares al sustituir x = r eos 6 y y = r sen 0 .

Problem a 02.- Calcular el área entre los círculos de radio

1

y radio 2 con el mismo

centro. Solu ción : Por facilidad, se considera que el centro de ellos en el origen (0,0), por lo que las ecuaciones de ellos son: x

o

+y

9

x“ + y

o

9

=

1

, y en coordenadas polares r =

1

= 4 , y en coordenadas polares r = 2

Puesto que las ecuaciones de los círculos son más sencillas en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares, se calcula el área en coordenadas polares. Para el análisis, se hace un bosquejo de la región (con winpiot) y se traza un rayo desde el origen que cruce la región.



El rayo entra por el círculo de radio 1 y sale por el círculo de radio 2, y el ángulo es desde 0 hasta 2 n para que el rayo pase por toda la región. La región se especifica con: E = { (r. (9) 10 < d < 2 ,1 < r < 2 } Los límites para ambos, 0 y r son constantes, por lo tanto, se puede utilizar cual quier orden de integración dr d0 o dOdr . La integral doble para el cálculo del área es.

J>2 n í*2 o

I

_0 rd rd H

„

[b

2 J,

■ dd= J

0

(ic 4 - D )d e = j o

i^ = fir = 3 ,

Problem a 3.- Calcular el área de la superficie limitada por la curva r = 1 - eos 6 . S olu ción : Se hace un bosquejo de la región (con winplot en coordenadas polares) y se traza un rayo desde el origen. En la figura se observa que el rayo, entra a

**

la región por el origen y sale por la curva r -

1-

eos 6 ,

0

sea, que los límites son

0y

. A

am

1 - eos 0 . A l girar el rayo para cubrir toda la región, el ángulo varía de 0 a 2tt . La re gión se especifica como: R = { (r,é?) |0 < 0 < 2 ^ ,0 < r < 1 - eo s 0 } La integral doble para calcular el área es: fZK • 2 7T p í»l ~ C O S 0

Jo

Jo

7T

rdr, dO =

1 2 1 ^~cos ^ d 0

2 r Jo

i

2 71

^ • - (1 - c o s 0) dO

j - cosO + j eos 2 OjdO

Í '2 n „ nao -------

« -

cos 9 + ^ + —eos 2 9 ) d 0



^■0 - s e n O +

4

~ o

El área es ^ nu

O

^ser\26 T 8 Jo

2 71 ~ s e n %7T + s e n 0 ~ 0

+ ~ sen 4 ,T -^-senO = ~7t

.

Problem a 04.- Calcular el área encerrada por la leminiscata r¿ = 4 eos 20 Solu ción : Se hace un bosquejo de la región: Se observa que la región es simétrica, y el área es 4 veces la de la sección del primer cuadrante. Los límites de r son cero y y 4 c o s 2 0 . Al m over el rayo (lado positivo del eje x), o sea 0o , hasta el punto contrario, cuando r = 0 , el ángulo final se calcula con r =

0=

-n/4 eos 20 , que da

0 = -f

.

La región se especifica con: R = { (r, 0 ) |0 < 9n / 4 ,0 < r < V i c o s 20 }

y el área se calcula como: , * * ' 4 p / 4 cos2 0

Area = 4 |

f f Jo Jo |

rd rd O

f ' ~ 4r .

4J

[V r

, - , ^ 1^

J0

27;

P ‘ -4

JP o

d0- - - 4\

2cos 2 0 d O

= 4 sen 2 0 ] * ' 4 = 4 (s e n (2 m '4 )-s e n 0 ) = 4

Problem a 05.- Determine el área de la región por la curva o curvas, según sea el caso: r = 4sen0 S o lu c ió n :

r = 4sen0 , se trata de una circunferencia con centro en (0,2) y radio 2.



P r o b le m a 0 6 .» Determíne el área de la región limitada por la curva o curvas, según sea el caso: r = 4send S olu ción : r = 4sen$ , se trata de una circunfe rencia con centro en (0,2 ) y radio fd

A=¡il

= 16 I

Jo

f

fW

H

2

2.

(4sen 9)d6 '

sen 2 0 d 0

r = 1 + eos(;r - 9)

=>

r = 1 - eos 0

- r = l + cos(-¿?)

=>

-r =

o

1 + eos 0

La gráfica tampoco es simétrica con respec to al polo, debido a que: - r - 1 + eo s<9, r=

o

1 + cos(/T + 0 )

300


=>

r=

1-

eos 0


A = 2 1~ i (1 +- e o s O)2 dO } =

j*

(1 + 2 e o s 0 +

eos2 )dü

j*

=

^1 +

2

eos 0 + -• (1

+

eos 2 dfj df)

t /T

=~ J

jo

(2 + 4 c o s 0 2 0 )d 0 = —I 30 + 4sen f? + ~ s e n 2 4 Jo - l ] 3 ( ^ - 0 ) + 4 ( 0 - 0 ) + i ( 0 - 0 )

i A = 4(3/r)iri

P r o b le m a 7.- r = 2 eos 46* S o lu c ió n : Para realizar la gráfica analizamos la simetría con los ejes y el polo. •

Con respecto al eje polar: r = 2 c o s 4 (- 0 )

•

Con respecto al eje /r / 2 : r = 2 co s4 (;r - 6 )

•

Con respecto al polo: r = 2 co s4 (;r + 6 ) 0

0

6

4

n

n

3

;r 2

r

2 -1

-2

-1

2

n

r = 2 e o s 4 0 , es simétrica. r = 2 eo s40 , es simétrica.

=>

r = 2 eos 4 0 , es simétrica.

Determinando en período para el cual, r= 0

=>

2 eos 4 0 = 0

=a

40 = f

e

eos 40 = 0

Luego: A = 161 i L

Í <7T¡ 8

J>;r/8 o

4 eos 2 4 0 c/0

o *nl 8 = 32

= 161

Jo

(2 c o s 4 0 )2d0

J0

ÍU c o s í

0 + -|-sen80

A = 2;ru2


dd

16 ( | + 0 )


Problem a 08.- Dentro de r =

2sen6 y fuera de

r= 1

Solución: Note que r = 2 s e n $ es una circunferencia de radio 1 y centro en (0,1). Mientras que r = 1 determ ina una circunferencia de centro en (0,0) y radío 1. Intersección entre las curcas: 2sen.d = 1 ra> sen 6 = -k -=> 0 = f O 0= de

, esto implica que los puntos intersección

son

(1 , tt/6)

y

( 1 , 5/r/ó). Luego: A

f

Ja

ra i 2‘ A =21

J/T/6

C'r /2 •ot/6

(1 -

([2 s e n 0 r ~ [llN d d

Í vt/2 t /6

í

n/2

(2sen4¿ 0 - l )d0

,n 2cos3)d3 = [3 - sen 2 d ] ^ = | /

0 --J

1 - eos 2$

r /6

l ) d0

o / + ^ = | + c/A.\u2

P r o b le m a 09 .- Dentro de r = eos 0 y fuera de r = v 3 sen0 . S o lu c ió n : V em o s qu e r ~ eos 0 representa una circunferencia d e radio 1/2 y centro en (1 ,2.0). r ■ 4?> s e n 3 representa una circunferencia d e radio

y centro en ( 0 . V 3 / 2 ) .

A h ora d eterm in em os los puntos d e intersección entre am bas curvas: se.nO w

e o s 3 -■ uunto (>uí

'

2

Süüíi -

4;;

ra n < V -N ^

2»

0 - -p , d e d o n d e ob ten em os el

()

i| .

■ (»;

P e ro cu ando r = 0 tenemos:



COS 6= 0

=>

0 = jr

=>

0

:=>

send =

0

a/3send =

J»7T/(3

[f^f) 6 =n

=>

(0,/r)

—>

/•n! 2 (eos 2 (9 - 3sen 2 d)d9 + ^ i cos“ d d d

0 • ir ¡ 6

j*

í

(1 - 4sen 2d)dd + j

1 -4

1 - cos 2 0

eosL QdO

|

fJo '0

c w + i ' " 2 1 * cos2í; dd

7 r /ó

/r /

2 cos 26* - l) d d + ™

^-[ sen 2 d - d ]q '

Jo

r/2

1 + 4~[^

Jo

2

(1 + cos 2(9) dd

+ 2'Sen 2 d

ir 12

Problem a 10.- Dentro de r = 1 + cos 0 y fuera de r = cos d . S olu ción : Vem os que r = cosd representa una circunferencia de radio 1/2 y centro en (1/2,0). Por otro lado, r = 1 + cosd , representa un cardioide. Ahora determinamos los pun tos de intersección: 1 + cos <9 = cos 6 < = > 1 = 0 , de donde concluimos que no exis te intersección. Pero cuando r = 0 tenemos: f ]

A =2

*71

1 + cos 0

= 0

co sd = - l

cos 0 = 0

(1 + cos d )2 d 0 -

área de la cardioide

—

-i

J

2L 2

0= n

=> (

0

,

tt/

=>

2)

*TC! 2 cos 2 d d d área del círculo


(0, 7r)


í

Jo Í

1 + 2 eos 0 + — JT

(2 + 4 eos 0

J

1de -

+ eos 26)d6 -■ ~

* n! 2

1 + cos2O

0

J

d0

*7 *7T¡2 ( l + co s2 9)d0

4-f 3 0 + 4sen 0 + 15-sen 20 1 - \ \ 0 + -i-sen20 ! 2L

¿

jo

P r o b le m a 11.- Dentro de r

¿

4

Jo

= eos 20 y fuera de r

= sen 0

S olu ción : Según la gráfica vem os que ambas ecuaciones describen curcas que son simétricas, por lo tanto trabajaremos sólo con la parte positiva. C om o r 2 = eos 20 , entonces eos 20 >

0 ==> 20

e ^

J , de donde

0e

~

, ~ |, lo que significa que esta cur

va está definida en ese intervalo. Por otro lado, tenemos que r 2 - sen20 implica. sen 20 >

0

=+

20

e [ 0 ,tt] =>

La intersección entre las curvas ocurre cuan do 0 = —, pues: eos 0 = sen 20 => tan 20 = 1 => 20 =

de donde 0 = 4 •

304

0 e| 0 , ~

Ahora determinaremos el área de la región sombreada (de la derecha) i)

Calculamos el área de la región limita da por r2 = eos 20 .



Ai = -

2

f

P7t!A i f

a eos 26) d 0

=

2 |-k

J

/ t/4 eos 2 0 dO = [ i s e n 2 e i : ‘' = ¿ [ l -

0] = i u 2

í'i) Calculamos el área de la región limitada por ambas curvas. ?r/8

/•tt/4

f 1 sen2dd<9 sen2 0 d 0 + Ií

J0

c o s 2 0 d6

J;

d [ - c o s 2 e ] 5/8 + [sen 20 ] ^ )

_1

-42

\

4 —^ - +

* 42 1 +1 - ^

=

\

í 2

- - 4

l

}u ¡

Luego, el área de la región sombreada a la derecha (gráfico 1 ) es:

A1, -~'A ,2 = 42 - 44( 2 - 7 2 ) = # . Por lo tanto el área de toda la región sombreada será:

'

A = 2( Al - A ¿ ) = 2 ( f f ) = & u 2

P r o b le m a 12.- La región es interior a las curvas r = 3 + eos 4 0 y r = 2 - eos 4$ . S olu ción : Ambas curvas son simétricas con respecto al eje polar, al eje n y al polo. Luego, pa ra graficar las curvas tenemos: r = 3 + eos 4<9

0

4

1

7T

6

2.5

2.5

7t

2

3

n

2.5

2.5

n

4

1

4

3

2

r=

2 - e o s 4$

0



Podem os determinar el área de la región sombreada (más oscura) y multiplicamos

ésta por 8 para obtener el área total sombreada. Necesitamos hallar el punto de in tersección entre las curvas (para obtener los límites de integración. Así, 3 + eos 4 0 = 2 - eos 4 0 = - j

40 = ^

v

40 = ^

=>

—

Para nuestro caso empleamos 0 = ~ .

A l = \ \I

7116

Jo0

T

= 2

J

J

P7t¡A

(2 ~ c o s 4 0 )2d0 + Ii

J; 6 Jtt/

(3 + c o s 4 0 )2d0

(4 - 4uos40 + eos 2 4 0 ) d 0 +

*7r/4

J

(9 + 640 + cos^ 4 0)d 0

*7TÍ6

0

4 - 4 eos 4 0 + 1+ c

o s 8 » W +

|

Í9 + 6cos4i9 + 1+ c?si” ldi9

7r/ 6

Continuar.


2L 3


PROBLEMAS PROPUESTOS

GRUP01 H allar el área d e la región som breada.




www.FreeLibros.org Aplicaciones de la Integral Definida

G R IF 0 2 Encontrar el área de la región acotada por la gráfica de la ecuación dada.

[

03)

r = Seos 3 ó

[l? )

Un pétalo de r ^ 2 eos 30

(I]

Un pétalo de r - c o s —

¡jj)

Interior de r = 1 ...sen 9

ÍO'7. i

Interior de

[ff)

Lazo interior de r

[ir )

r --- a (1 - sen 0)

[f0~[

r - a ’ sen 30

m u m m

l + 2cos£/

3

Encuentre el área de la región que está fuera dela curva r - 2 o señó

1

y de

ntro de la curva r = a (1 -eos ó ) . [

12]

r = 4 • eos 6 y fuera de

Hallar el área de la región que está dentro de la curva la curva r -- 2 .

13

Calcular el área de la región que está dentro de la curva r = 3 • c o s d y fuera de la curva r = 1 + eos 0 . Hallar el área de la región interior encerrada por las curvas: r = 2 + eos 2 # , r = 2 - eos 49 .

(T Í |

Encontrar el área de la región que es interior a r = r=

[Te]

2 -f sen #

2 + cos 2 d

y exterior a

.

Hallar el área de la región limitada por la curva r =

2a

• eos 30 , que está fue

ra del círculo r - a .



17

Hallar el área limitada por la curva x 4 + y 4 = x 2 + y 2 S ugerencia:

Conviene pasar a polares, obteniéndose: r 2 =

1

eos46 + sen46

Hacer ¡os propio con los problemas: 18, 19, 20, 21. Hallar el área de la región limitada por la lemniscata de Bernoulli: (x 2 + y 2 )2 = a2 {x 2 - y 2 ) 19 I

Hallar el área de la región limitada por la lemniscata de Bernoulli que se halla dentro de la circunferencia.

20

2 x 2 + 2 y 2 = a2

Hallar el área de la región limitada por la curva (x 2 + y 2)2 = a2 x 2 + b 2y 2 Hallar el área de la figura acotada por la línea (x 2 + y 2 )3 = 4 a 2x y (x 2 - y 2)

m

Hallar el área de la región limitada por la línea

r 2 = a 2 ■cos n d , n e Z +

Hallar el área de la figura comprendida entre la parte externa e interna de la línea r = a • sen 3 j .

Respuestas:

© ! ?' T

©

6tc

TV

6

09 | 13

3

n

na

© 06 2 10 T ~ '

2

S I

3n

ti a2

©

¡

37 n

6

3 tt

4

©

27t ^¡3

©

~2

ti a

© ( 2 tt -3 y ¡3 )/ 2

¡2}

5lV3 16


4 (3 V 3 + 2 ^ ) a2 ( f + #

Calculo integral y sus aplicaciones - Moisés Lázaro Carrión-.pdf

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