Calculo Diferencial y Integral de Medina

MATRICES

\.

Axl !

I

!

,NTEGRAL lng, Washington Medina M.Sc.

Matrices y Cálculo Diferenciale integral

lng. M.Sc. Washington Medina G.

PRESENTACION

La presente obra está estructurada para ser base de consulta de /os cursos de Cálculo Diferencial e lntegralgue se impaften en ,as

Facultades de lngeniería, pañicularmente, para la Facultad de lngeniería en srbfemas de la Universidad Técnica de Ambato, tomando como referencia Ios contenidos programáticos de conformidad al Pensum de esfudrbs. La intención de su contenido va dirigida al hecho de que, srn ser rigurosa a caer en la modalidad exagerada de la teorización excesiva, facilite el acceso agradablemente práctico que permita al estudiante vencer el temor tradicional gue causa este tipo de asignaturas. Se desanotla la obra con un ligero y práctiio recorrido de ta teoría de matrices, determinantes y sus drVersas fórmas de cálculo, para concluir con la solución de sísfemas de ecuaciones /lneales y sus diferentes casos.

En lo referente al Cálculo Diferencial lntegral, se óusca dar un enfoque que perm¡ta comprender el surgimienfo de esfas teorías y sus diyersas aplicaciones a casos prácticos, planteando /as yías de solución. Como puede percibirse, no se busca exponer novedades, cambios

o modificaciones a tada una historia científica, sino, dotar de un documento que facilite al estudiante una seguimiento de /os contenidos por el a aprehender; y, disponga a la mano de una herramienta de consulta para su presente y futuro reco¡rido por la carrera

un

iversitaria.

ELAUTOR

Matrices y Cálculo Diferenciale

integral

2


con rEfvroos MATRICES

1.

Matrices

6

Matriz cuadrada, igualdad de matrices, matriz nula,

2. Mat¡ices

especíales

7

Matriz triangular superior, matriz triangular inferior, matriz inversa,

matriz traspuesta, matriz simétrica, matriz antisimétrica, matriz canjugada, matriz hermítica y antihermítica.

3. Casos páltibutates dé matrices

4. Operaciones con

cuadradas

I I

matrices

Suma algebraica de matrices, muttiplicación de matrices.

..,---;

5. Matriz

equlvalente

11

Transformacrbnes elementales de linea 6. Matríz inversa

13

Cálculo de la matriz inversa.

7.

Determinañtes

14

Re§ resentación, determi n antes de tercer orden

8. Propiedadéé de los 9

.:1,

de

segu ndo orden, determ i nantes

determinantes

15

. Métodos de cátcuto de determinantes de orden n

17

UeIoAo de /os cofactores, cofactor, método de variante de cofáctores, método de /os elementos de la diagonal, método pivotar. 10. Sísúema5 de ecuaclones

lineales

25

Ecuaciones lineales

11. Sislemas de ecuaciones lrneales de n ecuaciones con n Srbfema no homogéneo ecuaciones

incógitas

26

de ecuaciones, srsfema homogéneo de

12. Sistemas de m ecuaciones con n

incógnitas

28

Slsfemas redu ndantes, slsfemas defecfuosos 13. Métodos de solución de sísfemas de ecuacíones

lineales

31


Matrices y Cálculo Diferencial e integral

Matriz ampliada (método de Gauss), método de Crammer, método de la matriz inversa, método de Gauss-Jordan o eliminación gausslana,

CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL 74. Teoría de límites

36

lnte¡valos, Función de una variable

15. Límites y continuidad

38

76. Teoremas sobre límites

39

17. Límites laterales

40

18. Límites infinitos y timites al infinito

40

19. Límttes partículares

37

20. Formas de levantar la indetermínacíón

42

Cálculo de límites con cambio de variable

21. Límites que no exísúen

42

22. Continuidad y díscontinuidad de una funcí6n

43

23. Variación

44

I

ntroducción, comparación de incremenfos, incrementos

24. El problema de la tangente 25. El

i:]

46

problema de ta vetocídad

47

26. Derivación

18

27. Regla de derívación

49

28. Principales regla de derivación

5o

29. Fórmulas de de¡ivación de las

principalesfunciones

50

30. Derivación de funciones compuesfas

51

31. Derivadas de funciones no explicitas

52

Derivación de funciones inversas, derivada de funciones implicitas, derivadas logarítmicas, derivada de funciones p

aramétricag derfuadas sucesrvas.

S2.lnterpretacíón física de la segunda derívada

54



33. Ejercicios generales de derivación

54

31. La diferencial

56

35. Apliqaciones de derivación

57

36. Construcción de gráficas de funciones con sus

punfos característicos

57

Crecimiento y decrecimiento de una función, máximos y mínimos de una función, definición de máximos y mínimos, puntos de inflexión, dirección de la concavidad, asínfofas, asíntota oblicua, asíntota horizontal, asíntota vertical, puntos de cruce con el eje x, procedimiento para gráficas.

S7.Aplicaciones de la derivada a problemas de optimización 38. Velocidad

y aceleración

39. Teoremas del

64 65

vator medio

65

I

Teorema de Lagrange, Teorema

de Rolle, Teorema de Cauchy

:l ,l

40. Aplicación de détlVációtt al cálculo de límites (Reyla de L'Hopital)

67

4T.lntegración

68 ;

42. Ffllmulüs de inte§lación

I

43. Técnicas, métodos

o artilicios de intégración

68 70

Método de sustitución, sustituciones trigonométricas, integración

por partes, integrales de la forma ax2 + bx + c, aplicación de la teorfa de las fracciones racionales, función racional entera, integración de funciones irracionales, intégración de diferenciales binomias, integración de funciones trigonométricas.

4,j

44. Constante de integración

77

45. lntegral indefínida

79

80 4.7 Aplícaciones de

la intégral

81

48 Areas en coordenadas polares

82

19 Longitud de arco de una curua

83

50 Centros de gravedad

85

51 Areas laterales o superficies de revolución

87

d2Volúmenes de sófídos de revolución

88


lng. M.§c. Washington Medina G.

53. I ntegral es m ú lti pl es

90

54. Volúmenes en el espacio

91

55. Ejercicios de aplicación

91

Ecuación diferencial

98

56.

57. Aplicaciones a las ecuacíones diferenciales

98

58. Tipos de una ecuación

98

59. Orden de una ecuación diferencial

99

60. Grado de una ecuación

99

61. Solución de una ecuación díferencial

99

62. Solucíón general

y partícular de las ec. Diferencíales

63. Ecuaciones diferencíales de primer orden y primer grado

ecuaciones con variables separadas, ecuaciones homogéneas, ecuacianes diferenciales /¡neales, ecuaciones diferenciales exacfas factores integrantes, determinación de factores integirantes; ft'aerlciones

100 101

que pueden reducirse a la forma lineal.

61. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

112

64. Ecuaciones díferencíales lineales homogéneas de

Orden superior con coeficienúes consúanfes

114

65. Ecuaciones diferenclales lineales no homogéneas de Orden supertor con coefícienúes corsúanúes

114

66. Sísfemas de ecuacrbnes diferenciales lineales h

om ogéneos

con coeficientes consúanfes

67. La transformada

de Laplace.

119

126

69. Definición de transformada de Laplace

126

70. Transformadas de funciones elementales

128

71. Derivadas de transformqdas .: .. 72. Transformadas de deriuadas

128

7 3.T ran

sform adas i nversas

129

130

74. Aplícación de transformadas a problemas de valores íniciates

131

75. Funciones periódicas, Funcíón Gamma, Convolucíón

131

TS.Teorema de ta tardanza, Series de Fourier

132

üL

134

E1'ercíc

ios generales



2. MATRICES ESPEC'ATES Matriz triangular superíor e inferior.- Una matriz cuadrada A cuyos elementos ag- 0 para i>j se llama triangular superior, una matriz cuadrada A cuyos elementos aq= 0 para i
I an

Qtz

I O

?ts

loodssás¿l

Lo o o

átt

ár¿ \

dzz azs Qz¿

0a

0

Ozt 8zz 0 Qy ?sz Qss €¿t €¿z d¿s

I

,*_)

matriz triangular superior

m atriz

0 0 A¿¿

tri a n g u I a r inferior

Cuando una matriz es triangular superior e inferior se denomina Matriz Diagonal.

(u,, o

D=lo

[o

o) ozz ol

o ,,,)

Se representa por: D= diag ( átt, 8zz, oas...........-dnn) Si en esfa matriz diagonal se verifica eue

ott =

á22

escalonada, Ejemplo 3:

e:r.= K, D recibe el nombre de matriz

z 3) la Lo o al

Si K = 1, la matriz se llama Matriz lJnidad y

ejemplo 4:

=

'- ll

se representa por ln o simplemente fior

=ll i

?)

l,

1)

Matrtz inversa.- Sean A y B dos matrices cuadradas de forma que AB = BA = /, en esfas condiciones, la matriz B es inversa de A, B = A'1 Ejemplo 5:

(1 2 3) (6 -2 -3)

[, ',',)l-i

x)

"

(t o

=LB

o'\

I i)

Matriz fraqpuesfa.- La matriz fraspuesfa de la matriz A de orden mxn es la matriz rA de orden nxm, se'obtiene permutando las filas por las columnas.

A= f'ui r) 2 s) tJ Oóséryese eue

ai¡

de A es an de rA

rA=ll

,il



Propiedades.-

1.-r¡rA¡ = ¡ 2.-r(k*A) = k*rA 3.-r(A+B) =rA +rB a

-r¡e+q =rg *r¡

simétrica y antisimétrica o hemisímét¡ica.- lJna matriz cuadrada es simétrica cuando'A=A, es antisimétrica o hemisimétrica cuandorA --A

Natriz

Se aplícan las siguientes propiedades

l. SiA es simétrica,

entonces K*A = K*rA

Ejemplo 6: Verificar si 3*A = 3*rA Siendo:

(t

2 3)

e=lz 4 -s ls \ -5 6)

Solución:

Ar=

I I

i -fl ,*= ft, Ls -s

,,o=6 ,i,,e iz,,} G

2.- Si A es una matriz cuadrada de.orden n, la matriz A +rA es simétrica.

A+rA=r(A+rA) Ejemplo 7:

^=G

v.]..))

rA- hfi2s) 4 -sl

i-:]

^=Gi

U-5

*]. Gi í] .:,.

Porlotanto A + rA

=

6)

E i,,il

4 6-'l ,(e+rA)= f2 I la -10-1ol 12) L6

='(A *'A)

Matriz conjugada.- srbndo a y b números reales, y, i =

JT,h

expresión z = a +

representa a un número complejo. Si una matriz esfá representada por números comptejos, la matriz conjugada reemplazar ipor -i. A la matriz conjugada se la identifica con Á.

bi,

se obtiene at



Ejemplo 8: Encontrar la matriz conjugada de

§=

A,

siendo A:

,;l

V,,

TA=

(

1-4i

,.rl

O

[

Matriz hermítica y antihermítica.- Una matriz cuadrada cuando la transpuesfa de la conjugada es igual a A.

A

es hermítica o autoadjunta

'(A)=e

Una matriz cuadrada A es antihermítica cuando la transpuesta de la conjugada es -A-'

'(A ) =-A Matriz ottogonal.- Una matriz cuadrada es oñogonal cuando: A*rA=

I

3. CASOS PARTICULARES DE MATRICES CUADRADAS.. Matrices Permutables y No Permutables.t;'

Si; A * B = B * A son matrices permutables Sr:

A

*

B

= -B * A

o conmutativas son matrices no permutaóleso anticonmutativas.

Matriz ldempotente.- Cuando A2 = A Matriz Periódica.-Cuando la matriz cuadrada.

Ak*1

=A

Matriz Nilpotente.- Cuando Ap = la matriz Nilpotente.

0

siendo k = número entero

siendo

y

positivo, ltamado período de

p = número entero y positivo, Ítamado índice de

Matriz tnvotutiva.- Cuando A2 = I

4. OPERACIOA'ES CON MATRICES.Suma algebraica de matríces.-La suma o diferencia de matrices es posrb/e realizarla siempre y cuando las matrices que interuengan tengan el mismo orden. cij = s¡ * bü

(

a,,

A- |u"

L ,,,

PROPIEDADES..

atz

brr')

I)Gr)+B =l*,: b,,

ázz

áu

(",, c- Ic, L"r,

1.- conmutativa 2.- asociativa 3.- siendo k un escalar 4.- existe una matriz d talque

bnI brz

c,, ) czz I cr, )

) p,)

rrrr)

A+B=B+A A+(B+C)= (A+B) +C

k(A+B)

A+D =

B

=

kA+kB = (A+B)k

10

Matrices y Cálo:lo Diferencial e ¡ntegral

M ulti pl i cacion


de m atrices.-

Multiplicacion de un escalar por una matriz.Sea: (

Ay

átt

átz

'l

dzz )

Lr¡

k es un escalar:

k*A =

fz::)

lfz:,

ejemplo 9: multiplicar 3 por la matr¡z indicada:

A=ln 2 6 . ::r

il

3*A

?)

= hz 6 tB

21)

Multiplicacion de dos matrices.Para multiplicar dos mafnbes, su condición fundamenfal es de que el número de /as columnas de la primera matriz sea igual al número de fitas de la segunda matriz , el resultado tendrá por lo tanto como orden mxn donde: m = número de filas de la primera matiz n = número de columnas de la segunda matriz ejemplos:

\11

Asrz* Buz =

Cyz

Asra* Bart =

Csrt

Amxp"Bpxn =

Cmxn

Para multiplicar dos matrices A, I se muttiplica cada elemento de ta fita de la primera matriz por su conespondienfe de la columna de la segunda matriz, la suma de /os productos parciales será elelemento de la matriz resultante C.

( átt atzl ( bn br, ór¡'l ( attbtt+ btzbx dttbtz + íttzbzz e11b1s +...1 L a1 a22)* lb21 b22 órrJ =L dxbtt + ázzbx dztbn+ ezzbzz a21brr+...) (2x3)

( A*B =

I I

anbt¡ ; aflb¡2 ; ailbil a¡zbt¡ ;dizb¡z ;a¡zb¡s I a¡sbt¡ ; albP

; a¡sb¡s )


11


Ejemplo 10: multiplicar la matriz A con la matriz B siendo:

A

(, (, 2 - [z sl -6) á ó ¡zrz) '= L (28 + s*s;

A"B=

2*2 +

[r=. ( 6). 5;

5*0'

7*2+¡_6)*0;

(2x3)

2*7+5*(-1) 7*7+5*¡-11

s)

f"4 (--s

A*B =

,-) :1)

*)"*"

14

Propiedades.- Suponiendo que A, B, C son matrices del mismo orden respecto de y producto, se tiene: 1.-

A(B+C)

2.- A( BC

AB + AC

=

( AB

)

)C

la suma

Distributiva Asociativa

Sin embargo:

B t AB = AB =

BA Q

generalmente

implicanecesariamentequeA=0óB=0

AC . implica necesariamente

que B = C

5. Matriz equivalente.-

Dos matrices se drben equivalentes fila (cotumna), si la matriz A sucesión de transformaciones elementales de filas (cotumnas).

A ÉB Los cambios

o

(Matriz A

es

se altera

mediante una

equívalente a ta matriz B).

transformaciones elementales apticados

lineales, no alteran /as so/uciones.

a un sistema de

ecuaciones

Tran sformacíones elementales de linea.son /as operaciones con matrices que no modifican a la matriz originat. Se pueden realizar las srgubafes operaciones:

o cambiar filas. (Permutar o cambiar columnas). 2.- Multiplicar Cada elemento de una fila por un escalar no nulo. (Multiplicar cada elemento de una columna por un escalar no nulo). 3--La suma de /os elementos de una fila o columna con los correspondientes de fita o columna multiplicado por un escalar. 1.- Permutar

Las transformaciones elementales según sea e/ caso se denominan:

- Transformaciones Hementales de Fita.


integrat

12


- Transformac¡ones Elementales de Columna. lVo

es conveniente MEZCLAR las transformaciones de fitas con las de columnas

Ejemplo 11: 1.- Dada una matriz

A, transformarla en una matriz triangular superior y diagonat.

23) 5 78)

'f= li

ll i il'' tl

ll i'il*' ü G 1,tr,, (, o lo t

G

2

-3

6l

3')(-5)

le)

2

zl

i}-ur

-3 -ol ta)

Lo

Lo o -l tz¡

?A

(t2a)

ls --3 -jr-rn,

i 4,,,G i (t lo

,)

ft,i,)0,,[

-ol

o 1

N,,,A

it

q

o

Ejercicios:

1.4

1.

Transformar la matriz A en matriz triangular superior y matriz triangutar inferior

6

1 -3 -3)

lz

1 o

f= lo

1

2.

kol,

1l

".s1

2. Transformarla matriz indicada en matriz triangular superior

(t 2s) t' 1o")

lz l7 4 s

I I

13



Obtener la matriz triangular superior, triangular inferior y diagonalde /as srgur'enfes matrices:

s)

4)

3,ií;l 0,:;:, IsztoI I I 11 t7o-1

o)

l' \'-) fiii) E;0,0,?) 1-o

6. Matriz ínversa

Sean A Y.p.los-matrices cuadradas de orden n de forma que A*B = *A = de cumptirse esta condiciÓn: B es la matriz inversa de A y reciprocamente A es la inversa de B; es decir:

I

B=A'i

^

A-B-i

No todas las matices tienen inversas, la condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada posea inversa es gue sea regular (Determinante * 0). En'et capituto de determinanfes se analizara gue es una matriz regular con más profundidád. Calculo de la matriz inversa.\

.:.:.)

Para calcular una matriz inversa se escnbe la matriz amptiada o aumentada de las transformaciones de fila se debe obtener la siguiente equivalencia:

(A.l J - [ |. BJ

y

con la ayuda

(Bserá tamatriz inversadeA.)

Para comprobar que la matriz inversa esia bien catculada, se deóe realizar

operación:

ta

siguiente

A*A-t = A*B = I Ejemplo 12:

f2432

1000\(1/2)(1

ls 6 s 2 o I o ol lz s 2 -3 o o 1 ol trs1414 o o o r)

f, 2 3n 111/2 o 0

U ?'?,:4'{

23/2

1/2 0

0 ls 6 s 2 o t o o0)(-3) l-J lz s 2 -s o o 1 o (f s t4 14 o o o r) 1

I

olr-a(,¿)(1

2

s/2 1t1/2

I i ,)'¿ ?,i izl'.t s,)

2 y2 11 1/2 0,",.0 ;h ft ft 1 -1 -sl-1 o 1 ole4etlo lo o 1/2 -tl-y2

o

7/2

-1

11 t5/2

-sl -t

lo -3 B tot-2 1 o ol I lo o 1/2 -t l-Sn o o ilV Lo o s -sl-s (t o

o

1

ft 1 -1 -s -t o 1-2o)-.' lo ol1 I lo lo o 1 -2 -3 2 o ol(1)(-7/2)(.01 t 0 V o 5-s -s o 3 y' L, 7/2

11

s/2

o o

I o o 1 o o

0 1

o 0

0 -2 0 1 1 0 0 3

la 13 _7 _2

s

-7

-42 -32

10 -10

oo) o ol t ol o t-) o) ol

o).{z)

-2 ó) 1 0l

ool 3 r)orct


li

0 1 0 0

(t o l0 l0

1 0

L00o

14


a 18 113 -T -2 0 -71-4 2 I 1 -2 l-3 2 O' 0 1 12 -2 3/5 o 0

I

o 0 0 1

.23 29 -&t/5 10 -12 26/5

1 -2 2 -2

Ejercicios de lnversa de Matrices.-

n 'tio e ft i_i k -3-1,

A/5

3/5

q(i .?

i, il

7. DETERMINAÍVTES Es un número real asrciado a una matriz cuadrada, o es e/ número representativo de una

matriz.

Represenúacián.- SíA es una matriz cuadráda, eldeterminante dé Ase representa por:

Det.A Ó A Ó A Determinanúes de segundo orden.- tJn determinante de segundo orden se represen

o,

=

l,Í,'

:r)

(

=

ott

tu,

ta

así:

árel

ar,)

H cálculo de esfe determinanfe se /o define así:

? o

Az= Ejemplo 13:

lt

tl

6J

Determinantes de orden J así:

ofb2-

Az= 3x6- 7x4 =

( tercer orden).-

á2*b1

18

- 28 =

-10

Una determinante de orden 3 se represenfa



;l = Vf, Z';: ;;]

o,=fl', Z',

r'

15

?3

Elcálculo se lo define así: 1.- lncrementando dos mlumnas ( I y 2 )

(r, Ar= | a2 \a, A3

bz

át

+

oe

ua2b3 - asbzct

2.- lncrementandodos filas.-

( an an dts dttar, -) ar, áp á27 á22 I a, | asr A¡e á3s d31 á3j L )

i;l br)

Q2

cs

bs

atbzca +brczas

=

c1 c2

bt

-

b*zat

-

csazbt

bajo similar procedimiento, elresultado será el mismo.

Ejemplo 14:

I

(t

l¿

2

3

[s 7 ¿t=

r-)

2l

a)

(s21s

14 3 2 L57-35

4

,

A=-27+20+29-15-42+24 A= -12

8. PROPIEDADES DE LOS DETERMINA'VIES

Es

conveniente aplicar algunas propiedades de

determinanfes de otden n, esfas son;

En una matriz cuadrada.l.- S, los elementos de dos filas determinante es igual a cero

.

l-a b pI = ¿=l m n 'r'cl b cl l_a

o

Ios

determinantes

para

calcular

dos columnas son iguates o proporcionales, el

A=0

2.- Si los elementos de una fila o de una columna son rguales a cero, el determinanfe es cero:

fa

z=l o L,"

b

o n

c-l

o

|

pJ

=

A=0

16



3.- Si /as filas de un determinanfe se cambian por las columnas conespondientes, el valor del determinante no se altera (el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta):

fa,bn |LJ

brl

fa, Lh,

az

",

=

e1b2 - d2b1

1

br) = d1b2-o2b1

4.- Si se intercambian dos filas o dos columnas de una matriz, el determinante cambia de signo (un cambio de signo por elintercambio de dos f/as o dos columnas )

[s

'z

[¿ i

l

i]

a los elementos de una fila o columna se /es multiplica determinante queda muÍtiplicado por dicha constante.

5-- S,

I

ka,

l-a,

kb,

I

b, J

= k a1b2- kazbt

- k(agrazb)

k puede sertambién un factor común

por una constante k, el

fot

=

n"Lr,

y,7

de los de una fila o columna

6.- Si cada elemento de una fila (o columna) es igual a la suma de dos cantidades, el determinante puede escnb¡ise como la suma de dos determinantes.

l:,.r';,) = lo;, r,7

.lr t:7

7.- Sicada elemento de cualquierfila (o columna ) de una matriz se multiplica por un número k y el resultado se suma (ó se resta) al elemento conespondiente de otra fila ( o columna ), el valor del determinanfe no se altera.

(nbc) ld e

rl

[o n ,):

o,.=

lzo*t i rl=fi z i] ) L, [_

¡a¡n

i+kc

h

Eiemplo 15. Comprobar en los siguientes ejercicios las propiedades indicadas: Propiedad 1.-

A-

[:

t)

A=3x4-3x4=0

17


lng, M.Sc. Washington Medina G.

Propiedad 2.-

[=

fo L,

3l

A=0

?1

A=28-4O=

?l

A=28-40=

5-l 7J

A= -12

n

A=40-28=

Propiedad 3.-

r=f¿ [a

n=ú

,rrrr)

Propiedad 4.-

f¿ La r8

L¿

12

( se da elcambio

de signo)

Propiedad 6.-

t2

5l

[-

3l=[? 3]+t";l

s+¡

L t*t

9J

9x6-10=44

= 27 -

.lú n)

5+ 27 - 5= 27 + 27 -

10 = 44

Propiedad 7.-

[1 e¡

=

44-42=2 -28+30=2

g. METoDos DE cÁLcUI:Q DE

DETERMINAII,TES

En este caso, se mult¡pl¡có a la primea fila por -3 y se resto a la segunda fila

DE

C,RDEN

n

Como pudo verse, ta resotución de determtinantes de segundo y tercer orden se la realiza directamente con diagonales, para determinantes mayores de orden 3, se aplica los srgurenfes métodos: 1.- Método de tos cofactores 2.- Método de variante de cofactores 3.- Método'de los elementosl de la diagonal 4.- Método Pivotal

NOTA.- Esfos son aplicables a cualquier arden (lncluido 2 y 3)

Matrices y Cálculo Diferencial e

integral

18


Método de los cofactores.- Esfe método utiliza los menores complementarios, donde'el determinanfe es e/ resultado de la suma de /os cofactores. Menores complementarios.-El menor complementario de un elemento aij es el determinante resultante de eliminar las fila i y la columna jdelelemento escogido. Ejemplo 16: Calcular el menor complementario

sl l-s 2T 3)

[, u ?1 21

la siguiente matriz:

5-l

Mu=

n=lf j

Msz=l-6

coractor -

de

13 "') lf

A- lt

L, O 1)

¡r;

M32

= 6-5=

1

t¿ il4-l =16-12=4

';,':;::,:i:::i::,::;:i:iáy;::,3'{iÍil,Y¿3:;:,!"'"' CÜ

comptementario

=(-1)¡*i*Mi

Ejemplo 17: Calcular los cofactores de /os ejercicios anteriores:

17 Msz= 4

Crr= (-1)3+2 * 17 = (-1)S * lT = -17

M3z=

Q=

(1)3+2 * 4 = (1)5* 4=

_4

lJna vez identificados los meno res complementarios definido por:

y

los cofactores,

el

determinante viene

A=É or*c, j=r n

a =L,=rau* ?l)<,*»

*.,,i El procedimiento

det

cáilcuta

en este métodoes

M,¡

e/ srgur'enfe:

l.- Se escoge

una fila o columna para hace;r ta éxpansión por los cofactores, de preferencia la que contenga la mayor cantidad de ceros.

2.- Se calcula los cofactores 3.- Se realiza la sumatoria de /os productos de cada elemento de la fita o columna escogida por su correspondiente cofactor.

Matrices y Cátculo Diferencial e integral

19

lng. M.Sc- Washington Medina G.

Ejemplo 18.

Catcylareldeterminante-delassrgurbnfesmatrices:

l-s

2

I¿ 3

Ls r

11

2l sJ

Escogemos la fila 2:

341

c2¡=(1)2*1

t 3J b11

c22*(-i)2*2

P-J

fz 3Jil lt

[;

3]

c6=(1)xs[;

*f

=-($7)=l = ($-5) = 4

=-(21-10)=-11

N

' Czt * On* Czz + €lze' Czs 1+3* 4-2* 11

2101 3 1 o 2

1 3

o

I

2l

3J

I par tener más ceros:

M

ca3={.1)3*"

I i,il=*

C3a =

00

A=

(-l)34

a3/# a n:csz + a ocr?Ác*

Gif

= -15


Matrie¿s y Cálculo Diferenciale integral

A=2',(21)+2*15 *44=-12 Ejercicios. Catcular tos determinanfes de las siguíentes matrfces

VtI) lzrii)

s). ft

3

tqf l

2f

1 o

A- 0

t1

4=-56

Método de variante de cofactores.- Cuando elteorema se aplica a determinantes de orden elevado, el desanollo completo requiere de una gran cantidad de operaciones aritméticas, enfonces es conveniente utilizando las propiedades ya indicadas (especialmente la propiedad 7) transformar a ceros la mayor cantidad de elemenfos de la columna o fila escogrda y aplicar el método de /os cofactores, ejemplo 20 :

h;iA [;;iil l:,îil ', ', ',)", p i ', ? ', lz

ca=(1)8

liLa 3 z *';)

z!.ut

V

3]

rl [-s 2 t, [ A 111.(1)

o)

l2

La

A=7*

201o

1

2

4

[;

11

á]

I

o_l

,l

A=a31 *C31 = 1'(-1)t*'

l-s 2 [; 2

=-12

EJERC'C'O§.I 1).

t,

t, I

12).

11

s)

11

lo lz [o

I

1 3 2

0

4 1 o

11

t 4l z)

I

Método de los elementos de la diagonal.- Transformando la matriz triangular superior, triangular inferior o diagonal, el determinante

21


lng. M.Sc. Washingrton Medina G.

se calcula multiplicando los elementos de la diagonalde la matriz equivalente. A = att * azz * d3g.-............................* ann Ejemplo 21:

f t

164 1 6l ?)

1

lz l¿

4

Z

1

lz4

Como matriz triangular superior.

ft 1 lz 4 l¿ 1

1

I 2

lz42

lt

a 1(.2)(-t)(-z)

6lfr

eH ,-f

Itlt6

14 t-llo 10216

Ls 20s

I

2r

P2os

1'u,li

ft lo

1 6l 4 2T t tt

olo [o

1 1

o o

o

116 216 3 215

-rn

I

116 1427 0 748 0I59

ft

h

1 1 6I

lz',2 o', :,s lo [o ri

]

I 16 I

I o 1427

l* 'lz: "':'F I

A4=(1 *7*7.-29)(-l)

I

A4 = +29

_l

Ejemplo 22. Con matriz diagonal, dernostrar que transformando a matriz diagonal la matriz indicada, eldeterminante es -12

l-s 2 I¿ 3 Ls t

tA

2l s)

Método pivotal Dada una matriz:

f ar,

'l

| ,r,

átz

ote...............................án

Qzz

á23...¡.1,-......

dnz

Qñ...............................4M

.................á¡

I

I ilnt I

L Esta puede disminuir su orden con

Siendo el Pivate elelemento

2t{

el siguiente procedimiento:

Mafices y CálaIo Diferencial e integral

6

dtz dzz

átz dsz

l r"'

(a,,)*"

E

,*l

Ejemplo 23.-

13

2

11 l0

l.

s 0

lt

1

I

ft

l?tt

€lr

ozt

l"'

dzt

€tt €|il

9n

l0tt

áu

"'

o3a

I

átt Qnl

lss

ljj

'z11

='"' fú I

I

l"'

Au €nl

101 oI 2 2l

3 3l 1

0 3

it it t; t?

131

4

ZI

I

tlf

€ts I latt

8ñ

I

3

3t

r-.7.J

ofi

3

3t

(3)*'

(7)"

átt Qzt

f

átz

\

lng. M.Sc. Wash¡ngton Medina G.

1t

,,

12

:l

c

il".'ú l =o,ostft:s

5 nl)

Ejercicios, calcular el determinante aplicando el método piwtat

'f t lo

13).

lz

3 7

I

i)''li i i

I

tlj

= -12

23



Cuando una matriz esté afectada W una factor amún, se debe entender que este pertenw a cada uno de los etementos, lo que implica que al calcular el determinante, cada fila ó alumna tendrá su factor amún, pr lo que el cálculo del determinante implicará también el facfq smún elevado a n donde n es el número de

ejemplo.

slrendo

.

El determinante será

=ll)' ^ \ 20/

*

;l

(-2\

Calcular eldeterminante por fodos los métodos: 15).

f t l+ l0 It It lz L

s 2 0

4 I 4

s 1 3

2 1 3

2

I 0 o 1

2

111 o ol

16). Calcular el determinante por cualquier

métdo:

1o-3021 1 -11 -2 0 1 o o o 3l o 2 I -1 4l -1-102o_l 2

I

,rrl21-1 4 5 5

-2

I

4

2 2

-2

5-I

4l 6l

1)

Aplicación de determinantes al cálculo de la inversa (utilizando la matriz adjunta). S.e

. . , . .

recomrbnda el siguiente procedimiento Calculamos eldeterminante L, Calculamos la matriz de los menores complementarios) Calculamos la matriz de /os cofactores Calculamos la matriz adjunta (transponiendo la matriz de los nfactores) Calculamos la matriz inversa considerando que

I. matriz

adjunta

? Maúices,y Gálcrdo Dibnencidr iartegral

Ejemplo 24. Calcular

lqg.

M.S,

Washingto{r ü¡tedina G.

la inversa de t..:

li

23) 4l 43)

3

Solución: Date¡minante = -2 Matrlüde

Jo.s

merry.e

s wnpWpntarhs -'.

Matriz de los

.:;l

.- -

'

fi í

*f

,

oof-acforcs

2,3 V

Matriz adjunta

Vi

-) -12

lnvers

Calcular la

la)

f

i¡yelsa utilizando la matríz adjunta.

I n3 :"'l s)

L, 's,

?ot

ii

11, -s t, l:, [z

il

',-1

-1,

;'"1

r)

,,-l

.,,:)

rLl

Matrices y Cálorlo Diferencial e

1

25

integral

O.S ISTÉ,MAS


DE ECUAC'O'VES LIN EALES

El estudio del álgebra de matrices nos lleva a buscar fas soluciones de un sistema de m ecuaciones con n incógnifas sea esfe de m x n donde :

m=n

m> m<

n n

Recordando que una ecuación es un igualdad entre dos expresiones, y que esta puede transformarse en una identidad para cieftos yalores particulares asrgnados a las variables, se drbe que todo número que satisface a una ecuacón es raíz o solución. Ejempto

25:

x' -

Se cumple la igualdad

5x + 4 =

0

(para expticarlas rarbes

o soluciones exclusivamente)

para X = 1

X=4

Por lo tanto la ecuación se transforma en una identidad:

X=1 t X=4 +

1-S+4=0

16-20+4=0

Srbndo las solucion"" 3= {1,4} Ecuaciones líneales.- tJna ecuación lineat es una ecuación cotn variable de primer grado. Donde a 0 Esde laforma ax + b=

0

Consideremos et siguienfe sisfema

*

de ecuaciones:

ottxt+ ooXz* cloXt* """""oux,=bt dlztXt* AzzXz* OztXt* """""AznX^= bz ClztXr* azzXz* azzXz* """""C|*Xn= b,

OntXt* A,zXz* An Xr* .....-.-.'QnoXn= bn A esfe srstema puede expresarse matricialmente así:

Att Clo On"":,""'Au Xr Clzt Clzz Orr"""'"iLzn Xz

b,

Clnt Clnz O,2"""""O*

b^

Xo

b,

Y en forma simplificada:

A* X =

B

A = Coeficientes B = lncognitas C = Términos lndependientes


Donde:

integral

26


e=( aü)

X = ( xr, x2, \, x........ x¡ ) B = ( br, bz, bs, b-....... bn )

11. Sistemas de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incognitas ( n x n ).Tipos y metodos de solucion.Una de las aplicaciones para resolver los srsfemas de ecuaciones es la regla de KRAMER; que haciendo uso de los determinantes permite elcálculo de las incqnitas así:

A, f,=?A, xr=ff A= A

j

A, x,=T

SiemPreYcuandoa*o

ó determinatnte delsisfema j correspondiente a los coeficienfes de la incógnita que la en el columna =Determinante Xj se la reemplaza por la columna de /os términos independientes. Determinante de /os coeficientes A

Pero, dependiendo del valor del determinante de los coeficienfes se presentan /os srgurbnfes casos.' 1.- S¡ A * 0, elsrsfema tiene una solución única, y se dice que elsr'sfema es compatible. 2.-Si A=0yporlomenosunAi*0elsrsfemanotienesoluciónysellamaincompatible 3.- S¡A= 0y Ai= 0 para fodos/os valoresde ihaydosposibilidades: 3.1.- Que el sistema sea incompatible 3.2.- Que tenga un número infinito de soluciones (cuando tiene un n(tmero infinito de

so/ucrbnes se denomina dependiente o indeterminado) 4.- Si A = At = Az = As...".....-....= An, e/ slsfema puede o no ser compatible (puede o no tener

solución)

Sistema no homogéneo de ecuaciones.Un srsfema Ax = B. Es no homogéneo siy so/o si B * 0 Un sistema no homogeneo de ecuaciones tiene solución (tnica si y solo si A que A sea una matriz regular.

-',',,

*

0, es decir

Sisúema homogeneo de ecuaciones.- lJn sistema de ecuaciones Ax = 8. Es homogeneo si fodos /os términos independienfes son iguales a cero ( B = 0 ) En este caso, slbmpre /r = Az= As..............= An= 0

n

lJn sistema homogetneo dé"ecuac¡ones lineales de n ecuaciones con incógnitas tiene solución trivial cuando A *0, es decir sus so/ucrbnes son todas iguales a cero y es la única solución Xt = Xz -

Xs. ........ ..................= Xn = 0

Un sistema homogeneo de ecuaciones lineales de solución distinta de la trivialsi y so/o si A = 0

n ecuaciones con n incógnitas tiene

" El tener solución distinta de la trivial inplica tener infinitas soluciones "

27

Matrices y Cálanlo Diferenciale integral

lng. M.Sc. Washingúon Medina G.

Ejemplo 26: Resolver el g.sfema homogeneo.-

2x+3y- z=0 x- y-32=0 *+3Y+ z=0

23-r) 1 -1 o+3*il A= 1*(-1)a

tí

-31

[? :,)

=>

-3 -4 +3

12

-12

=>

l,) A=

A

IIEÎE SO¿UCIOTVES Dí§IWTAS DE LA TRMAL <=

Para obtener fales solucíones se procede asl:

lntentamos resolver dos de las ecuaciones para dos de las incógnitas en función de la terrera:

2x+3y-z=0 ' Y-32=0 La tercera incógnita pasa a sertérmino índependiente

2x+3y=z

x'Y

A=

Ax=

ay=

t1 1

1", ;]

li

i)

= 32

=-5*0 =-z-92=-102

=62-z*52

x= -102 - 2z -5

x= 5z =-z . -5

' ..:

'"

Reemplazando para comprobación:

= =

2x+3y-z=0

x -y-32=0

42-32-z=0 2z+y-32=0

= =

0=0 A=0

Por tanto podemos obtener tantas soluciones como deseemos, asignando valores arbitrarios a la variable z y calculando valores de x e y, así:

Para z=7

x=2

y=-1

=

Comprobación: 2 (2) + g(-1) - 1

=0

0= 0


Para z=4

x=9

28

$-12+4=0

=

y=-4

integral


O=0

Ejemplo 27 :

x- y +22=0 2x-2y+42=0 3x-3y+62=0

ftr2') 2

4l 6)

A=lZ

Ls 3

anái'sis con /as ecuaciones

x-y=-22 2x-2y=47

=O(doscolumnasiguates)

Iy2

¿!= ft

-fl

-4

L2

anátisis con las ecuaciones 1 v 3

x-y=-22

3x-3y=-62

¿!=

=-l+l=Q

-rl

lí\3

-3)

=Q

anát'sis con las ecuaciones 2 y 3 7t= 2x - 2y =

-47 3x-3y=-67

(Z 2l L3 'il

=Q

Como en los fres casos A= 0 (pues las ecuaciones son equ¡valentes), se podrá resolver despejando x en función de y e z y damos valsres arbitra¡ios

x=y_22

=>

'

Pafa

y=1, Z=2,

X=-3

Paray=2, z=0, x=

2

/:'j

Ejercicio: Resolver

21)

el

siguiente s,lsfepa

de eanaciones:

3X+4Y-Z+W=0 3X+4Y_Z+W=0 .X+2Y-Z =Q X + Y +Z + W = 0

12. Sistema de m ecuaciones

clon

n incognitas

Sísfemas redundantes.- ( m > n ) Se los conoce así a Ios sr.súemas que tienen mayor n(tmero de ecuaciones gue de incqnitas.

29



Su solución se la encuentra una vez que se comprueóa, si la solución sarlsface a las m - n ecuaciones resfanfes, entonces el sistema es compatible, caso contrario es incompatible.

teorema.- Una condición necesaria para que un sisfema lineal no homogeneo redundante de m ecuaciones con m -1 incognifas sea compatible es que el determinante de orden m formado con los coeficientes y los términos independienfe sea igual a cero. Eldeterminante así calculado se llama determinante eliminante. Ejemplo2S . - Reso/yer el sisfema;

*:a:li 5x+2y=11

A=

ii)= i lZ lz 2 11) [s Lá

i ';i i 2

11 s

fl2r

A=1 65 + 220 + 68 - 255 - 110 - 88 = O

Sil = 0

=> ES COMPATIBLE

Tomo las ecuaciones (

5x+4y=17 2x+3y=11

I y 2 ).

=>

x=1 Y=3

Para que sea compatible se comprueba en la tercera.

5*1+2*3=11 =>

11 = 11

SI ES COMPATIBLE

Eiemplo 29. Calcular el valor de k para el cual el siguiente srsfema redundante tenga única sotución, y hallar la solución del sistema.

2x+Y+z=k x-Y-22=-2 3x'Y+z=2k x+2y+Z=1

.1,''':tt

Para que sea compatible debe cumplirse que eldeterminante eliminante sea cero.

r2 |-@T)(-? I t

1 'l'.1 1 2

kr

3

4.¿

L;',ifl (o

5

2I =

o

(t

, " Lg ', I 3*J E

It

t

2

2l

t.H)'.|,

5 3

i,4

l


(3

5

2

integrat

4+k)

30

;t

7 6+2kl 1 1 ) (-2)(-3) [t -3*7*(-1)o(2 l+kl -3. 1

Ls

4+2k

lng. M.Sc. washington Medina G.

021+k -3* 0 5 111

4+2k

)

A = -3 (8+4k-*Sk) = -3 (3-k) - 3 (?k) = g

E3

Comprobación resolviendo el sisfema:

2x+y+z=3 x-y-22=-2 3x-Y+z=6 x+2y+z=7

Por ser un srsfema redundante, resolvamos oon /as tres primeras ecuacrbnes:

.j:,

A=-11

4=-11 Az= 11 As=-22

x=

1

y=-1 Z= 2

Reemplazando en la ecuación restante:

:,

I - 2 (1) + 2 = 1

SÍsfe¡nas defecfuosos (m

1

=

<

1

(concluimos que para k=3,e/srsfema tiene sotución)

n).- Son aquellosen /os cuales el número dE ecuaciones es

menor que el número de inúgnitas.

Esfos sisfema§ poseen infinito número de sotuciones. En general, en un sr.sfema defectuoso es posible despejar y determinar m incógnitas y asignar valores arbitrarios a esas n - m resfanfes. Ejemplo 30: Reso/ver elsiguiente srbfema de ecuaciones

*:i

X1

+ X2+

2Xi + 5X2 -

x3=4

2X3 = 3

Primera forma.- (Por sustitución)

de 1) XZ = i','Xt - X3 Reemplazo en 2) : Dpspejo X2

2X1

+5(4-Xi-X3)-2X3=3

2Xl+20-5X1 -5X3-2X3=3 -3X1 -7X3=-17 17

- 7x3

X1 = 3 Una vez despejado, asumo un resultado general para X3:

integral

Matrices y Cálanlo Diferenciale

31


Xt=a

t7

t7

r,=T -Ta 54 Xz=-1+1a

Segunda Forma .- (Por determinantes)

X3

X2

Se consrdera como x3 oomo término independiente

X1 + =42X1 +5X2 =3+2X3

l= At=

.r1

az =

1

1l

2 5l 4-X3

=5-2=3(*0) 1l

3+2X3 5 I

1 2

4-X3

= 20-5X3- 3-2X3 = 17-7X3 I

3+2X31

=3+2X3-8+2X3 =-5+4X3 Xt=a

t7

t7

Xt= ¡3 . --o

54

Xz=-i¡3* -o 13. Métodos

de soluciónde sísfemas de ecüacíones líneales.

Mafiiz amplíada (metodo de gauss) Se lo conoce también como rnétodo de eliminación parcialde Gauss, cons,.sfe en formar la matriz ampliada con los coeficientes y los términos independientes.

i.,;.,i

$riangular superior de preferencia). Por último, por eliminación calculamos /as rniognifas. :: ,. Este método es aplicable a sr.sfemas de m ecuaciones con

Expre,sando tendríamos:

el sr.sfema de ecuaciones en forma (ar, |

"r, Lar,

Ztz €tzz lsz

dts á,zs Qea

br')

brl

b')

n incógnitas, así.

maticial, en una matriz ampliada,


integral

32


matriz equivalente (utilizando transformaciones de fila) &&

&& &&

&& && &&

&& && && &&

EJEMPLO 31: resolver elsr.sfema 2x1 + 3x2

-3xi-2x2 3xl -4x2

2 s -ol -3 -2 -tl 3 -4 -sl

-tl

-ol.Ct) -ol

ii,ál ,ilff'' i¡r--l

1-1 01 05

,ll

-2ol -

- 6x3 = -1 - X3= -6 - 5x3= -§

2 s -ol -11-H) 3 2 tl ol I -) 3 -4 -sl -61 1-1 tl tl o 5 -zol -tsl -)

2 3 -ol -tl 1-1 tltl 3 -4 -sl -ol 1-1

1-1

oo

tl

tl

7

o 5 -zol -ts o t zalzt

o -1 -261 -ztl-¡-r¡

o 1

tils, -)

&& && && &&

tl

261 ztl -tsol -tsol

$={

1 ,1, 1}

Ejercicios. Resolver los siguientes sisfemas redundantes de ecuaciones, aplicando transformaciones de fila:

22) 2X+Y+Z X-Y-22 3X- Y+Z X+?Y+Z

23)

=3 =-/ =§ =I

X+2Y+Z=2 3X+Y-22=l 4X-3Y-Z =J 2X+4Y+22=4

Ejemplo 32. Resolver elsiguiente srsfema de ecuaciones (defectuoso)

X+2Y-32-4W=6 X+3Y+ Z-2W=4 2X+5Y-22-5W=10

1 2 -3 -¿l 6i-l

o t 4 zl o 1 4 3l

1o

-11 -sl loli. -2ll

o 1 4 zl o o o tl

olq)

W=0

Y+42+2W=-2

Y+42=-l si Z=A + Y=-2-4a

-zl.H) -21-)

10-11 0142 o001

Cz). 0

1 2 -3 -¿l ol o t 4 2l-2ll

oootlol tol 3l


integral

33


X-112=10+X=10+lla Método de Crammer Se lo aplica en sisfernas homogéneos y no homogéneos de m ecuaciones con n incógnitas. Para este método se debe recordar que:

-

Si A *0 elsisfema tiene solución única Si A = 0 y por lo menos un ai *0 ei sistema es incompatible Si A = At = A2 = ¿!, =.....-......An = 0, el sLsúema puede sar compatible o indeterminado.

r\ ?tz ,,, l [rr ] l o, I 1",, ,'*ll*z l;',', i) l= loz ;; ;;UVá L;;; ) L o, J

I

Calculamos los e,onespondientes determinantes.

( att

ztz

{ zzt zzz ^ L ,r, osz ( b,

A,

Ztz

I bz dzz L O, ?sz ( an

bt

ars

)

azsI ass

)

ars

)

?zs ase

I

)

arg ''l

) zzt bz zze bs ass ) ( ?tz b, I A, I ",, zzt zzz bz L ,r, zsz b, )

I

^, L ,r,

I

A,

Xt=T ';t)

A,

Xr= L""

A,

X,= L

Método de solución de sísfemas de ecuaciones co¿ apticación de la matrlz

inversa.

A*X=B .1.

.:,.x=! A

X=A-t*B Donde A'' es ta matriz inversa de A. Se debe recordar gue para que una matriz tenga inversa, A *0 (matriz regular).

.!,


integral

34


Ejercicio 33:

2x+3y+ z=9 x+2y+32=6 3x+ y+22=6 231 ¿t= 1 2 3

3

x

=

(1/18)

(1 ¡1

I 2 (t -s ze)

=(1/18) lt

t5 7

1 -5 6 | 7 I 6)

lt [s

Método de Gauss-Jordan

-52') I -Sl 1)

$,={21/18, ss/18, 1/6}

o eliminación gaussiana

Este método es de mayor utilidad pues en base a transformaciones (re@mendable de fila), se lleva a una matriz equivalente de tipo escalonada, de elementos unüarios en la diagonal.

'--:r

Ejemplo 34. Resolver el siguiente srbfema:

3X+2Y+Z-2W=4 2X-Y+22-5W=15 4Y+2Y-W=1 3X-22-4W=1 Ejercicios. resofverfos srgurbnfes ejercicios por los métodos indicados.

24) Por Crammer

Xl+X2+X3+X4=0 Xl +X2+X3 _X4=4 Y1 +X2-X3+X4=-4 Xl-X2+X3+X4=2 ,:. .-j,'

25)

Por Gauss

-

S=ll,_2,2,_2]

Jordan

2X+ Y- Z+ W=4 X+2Y+22-3W=6 3X _ Y- /+Ql,\/;,=g 2X+3Y+Z+4W=:5,.

S=fl,-2,3,_lj

26) Usando la inversa:

+4X2+3X3+2X4=2 3X1+6X2+ 5X3 +2X4-3 2X1 +5X2+2X3 -3X4=5 2X1

4Xl + 5X2 +14X3 + 14X4 = 2

3={-41

,17,4,2}

27) Comprobar si el srsfema siguiente tiene solución:

Matrices y Cálculo Dtbrencial e integral

35


X-3Y+22=4 2X+Y-32=-2 4X-5Y+Z=5 28) Comprobar siel srsfema tiene solución

y resolver

4X-2Y+62=8 2X-Y+32=5 2X-Y+32-4 29) Resolver

2X-3Y+42=O

X+Y -22=0

3X+2Y-32=0

30) Reso/ve r el siguiente srsfema

X+3Y-22=0 2X-4Y+Z=0 X+Y-Z =Q 31) Hallar el valor de K Para el cual el g.sfema tiene solucién disfinfas a

2X+KY+Z+W = Q 3X +(lGl)Y-22-W = 0 x-2Y+42+2W = Q 2X+Y+Z+2W =Q 32) Determinar si el s.sfema es compatible

X-3y+22=4 2x+y-32=-2 4x-5Y+z=5 33) Determinar si e/ sr.sfema es compatible y resolver

2X+Y-22=4 X-2Y+Z=-2 5X-5Y+Z=-2 34) Resolver el sistema de ecuaciones

XÍ+x2-2x3+x4+3x5=1 2x1-x2 + 2x3 +'2x4+6x5= 2 3x1 + 2x2 - 4x3 - 3x4 - 9x5 =3 ,

35) Resolverérsisfema

X1+2x2+x3 + x2-2x3

=l =l 4x1-3x2-x3 =J 2x1+4x2+2x3 ={ Sxl

la t¡ivial. (Rsp = -11


integral

36

lng. M.Sc. Washingüon Medina G.

14. TEORIA DE LIMITES.-

Variables y constantes.Una variable es un símbolo al cual se le puede asignar en un problema diversos valores, generalmenfe se /o designan por las últimas letras del alfabeto, o por las letras del alfabeto griego así;

w,x,y,z, ,

,

,

etc.

Las consfa ntes pueden ser numéricas o absolutas, cuando conservan fodos /os problemas así; e, -7 , 2, 2, etc.

el

mismo valor en

o aleatorias cuando mantienen un valor ftjo para un problema en pañicular, por ejemplo: la aceleración de la gravedad, el módulo de elasticidad, etc. Se /o como

y,

constantes

representa generalmente por las primeras letras del alfabeto así; a , b, c, d, e, g, E, etc.

.=./.

lntervalos.Se llama intervalo al conjunto de todos /os yalores numéricos de X, comprendidos entre 2 números arbitrarios a y b.

Siet intervato

no consideÁ los

extremo.s, es

un intervato abieño.

lnterualo:Ja,b[; a
(a,b) a
(a,b(asX
)a,b) a
extremios ao.esfán defínidos tos interuato.s se denorn inan infinitos

[a,+ a 1 a
Función

¿e un" variahle.-

valor de esfa variable independiente X, le un único valor de la variable dependiente Y, las funciones pueden

Tenemos una función cuando para cada

corresponde

representarse en forma analítica, tabular o gráfica así;

forma analítica

Matrices y Cálado Diferencial e integral

37


y=5x+2 f(x)=$¡¡+2

x v

5,2

v ar¡abl e indepe n d ie nte variable dependiente con§fanfes

forma tabular

fotma grffica

,J

*,

que cotresponden Las funciones pueden ser confínuas @mo por ejempto Y. = parábola, en la cual el valor de X puede tomar cualquier valor numérico así;

Y=x2

x

-2

Y 4

f '.:-:.

-1

I

)-::'/

0

0

'

1

I

2

4

Los valores que puede tomar x se denominan Dodf/iNIO de la función

Df= (- a, + a) Los mlores de la funciüt flx) se denominan CODONINiO Qf

= (-a+ t)

o

reoonfolo de la función

a una

38

Matriees y Cálculo Diferencial e integral


Las funciones también pueden ser D¡scont¡nuas, por ejemplo Y = 2 / x , que corresponde a una hipérbola cuadrada en la cual el valor de X no puede tomar el valor igual a cero, toda vez que la división para 0 no esfá definida así;

-2

-1

-1

-2

0

a (no está definido

1

2

2

I Dominio de la función ( en eleje x)

Df=(n,0) (0,+a)

Cadominio de la función (en el eje y) Cf

=(-a,0),t(0,+a¡

15. Limites y continuidad

Límites: Cuando se habla de la velocidad límite, el llmite de la resistencia, el estirar un resorte hasfa su límite, nos lleva a pensar que el límite es una medida que a veces puede no ser alcanzable y otras puede ser superable. Analizaremos la siguiente función: y = 2x +

3

ó

f(x)=)1¡+3

Si esfablecemos una tabla para conocer el compoñamiento de t(x) cuando x tiende a cero (xo =0 valor escogido al azar para fines explicativos) se oóserya que para valores de x, tanto mayores y menores que cero el valor f(x) se aproxima a 3, por tanto decimos gue el límite de f(x) cuando x tiende a cero (0) es igual a 3, para el efecto hemos utilizado valores € menores y mayores al valor xo escogido para el análisis.

xo-€

f(x)+e F(x)

X

-0.5

2

2.8 2.98 -0.041 2.998 0.000 3.000 0.001 2.998 o.01 2.98 0.1 2.8 0.5 4 -0.1 -0.01

xo =

f(k) =

xo+€ s = f(k)-

f(x\


Sí

(x)

3

= 2x +

ljgf

integral

39


(x) =Z

En los límites queda excluida la división para 0, por no estar definida, así:

f(x)=r--5-r+6 ,*'-' Reemplazando x=3, se obtiene 0 / 0 que es una indeterminación Solución:

lx+3)(x-3) x+3 t(x)=(-r+3)(x-2) =-=ó x-2 16. Teoremas sobre limites.-

En el cálculo de límites se aplicarán /os srgturbnfes feoremas, donde u, v, w, son funciones de una variable x y c es una constante: a) Límite de un polinomio. Sif(x) es un polinomio, su límite se calcula por sustitución directa.

tjy"f(x)= f(c) b) Límite de una consfanfe. Siendo f(x) = K, tjglf @) = r,

c) Limite

de una suma algebraica la suma algebraica de funciones es rgrual a la suma de sus límites

El límite de

lim (u+v+w) = lim

d)

:...:.

u

+ lim

v

+ lim w

Límite delproducto de funciones El límite del producto de funciones es igual al producto de sus llmites

lim (u*v*w) = lim u * lim v * lim w

e)

Limite de una constante por una función

lim (c*v)

= c * lim v,

Alcance: lim (v+c)

= lim v + c

f) Límite det cociente Ae Aá§ funcdnes t¡m! x+0

='# . queda excluida la divisién para

s lirlU

lim9 = :.c x+o y

liol,

g)

queda excluida la

división para

cero

cero

Límite de la Patencia

El límite de la función elevada a un exponente n es igual al límite de la función 'todo" elevado a la n.

41


Por eiempto,

x

,j¡:=l=


o

Y 10

0.1

140 1000 10000

0.01 0.001

0.0001

€

0

Pero, en el ejemplo anterior puede observarse que cuando x tiende al infinito, la función se acerca a cero, de lo que, en resumen:

Iim f$\

=

a límites

=

L

X -+Cr

limf@) X-rta

lím¡res

al

inf inito s tnf inito

19. Límites particulares.'..'.1

Son cr'ertos límites útiles para hallar el limite del cociente de 2 polinomios, cuando la variable sea infinita o cero.

En tos siguientes límites x es la variáble independiente y c una constante diferente de cero (0).

FORMA ABREVIADA

FORMA DE LIMITE

,-c

c

llm* = d r-+0 ¡

-=d

lim9 = A

9=o

Ir*cx=ü

c*d=d

0

x+a x

a

,-x

d

llm- = d r-ra

-=a c

c

'.::.:.

Conceptos de apoyo i;:.1

cuondo Ol g

cusndo

a>1>

Ao =O

A'=o

lndetemtinacfones; Cúando no es factible realizar una operación convencional, se dice que existe una indeterminación, prduciéndose los stgur'enfes casos.' 10

G*c

0'a

a*a

o/0 a/a 0n a *a 6

-C

43

Matrices y Cálatlo Dfferencial e integral

2. Catcutar siguiente et tímite: l¡m r-r-t

L¡

g


I

Como ta función

Y = 1 / (X +1) tiende a valores

Z|;:,f,§:":?:,,fr?¿':,'Xi:?:!'o 3.

Analizar et límite de

diferentes segÚn se se acerque a cero por ta derecha'

:l¡mL x+0 y¿

función I =lx2

tiende a valores diferentes segÚn se por o por la derecha, enfonces este límite la izquierda acerque a cero no existe o podríamos asumir que:

Como la

lim\ x-f) ¡'

=

q

Eiercicios sobre limites

t. 2.

3.

,- x'-x ltm r+0 ¡r^ .- ¡

,. x' -7 x+lo htn x+o yL^ -x-2 xz +2x+l lim ¡

4-

5.

::'

.

11.

-r4

lim ¡+3

i 1x-t x'-3x

lim

7.

lim

x3

-3x+2

f14

x2

14.

(3x+t¡'z(3x-1)2

x+a

xa

..

3¡-1 ,-, ¡ -5-rl ¡ hfll-

9.

. ttr+l ltm-

t-+o .¡g+1 .. sen4x

ltmr-+0

5X

x/

v

tjyl*sen2x) .. x-5 llfn x+s

^

f -)J

15.

,. Jl+x-2 um¡+0 X

16.

ltm

+l

8.

10.

13.

x'-4x+3 (x +2)2

,-o\4 ,

7 4x+g

lim ¡-rl

6.

12.

,. sen .r - sen 5 um¡+5 ¡-5 fi*(3* t\'

.. _Jt+ * -z

¡+3

-3

. vi-t

17.

llfllx+r

18.

llm¡¡+0

+4

X

{/¡ 4 [

.. l-J"rs, X' 3x

/ I \,*r

19.

t:*li)

24.

t t¡^( ,-"\r+3,/\'

22. Continuidad y dicontinuidad de una función. lJna función f(x) es continua si cumple Ias srguienfes cond¡ciones:

./2t


44


1. f (c) está definido 2. tjyif@ existe

3.

rjylf@= f(c)

lJna función f(x) es discontinua en el punto xo, quer pertenece al campo de existencia de dicha función o que es punto frontera de dicho campo, sl en esfe punto no se verifica la condición de continuidad de ta función, fal es e/ caso de la función 1/(x-1) que no está definida en x=l.

23. Variación.-

lntroducción. Vamos a analizar el valor de una f(x) al variar. El problema fundamental del cálculo diferenciales el esfablecer con toda precisión una medida de esfa variaciÓn. La ivestigación de problemas de este tipo llevó a Nev,tton al descubrimiento de los principios fundamentales del Cálcuto lnfinitesimal, constituyéndose esfe en el instrumento científico más poderoso del matemático moderno. El incremento Ai de una variable que pasa de un valor numérico a ofro es la diferencia que se /a se obtiene restando el valor inicial del valor final. El incremento de la variable representa con el signo b< que se lee delta x, el incremento Ay si en y = f (x) la variable incremento Ay, entonces Ay iniciará el incremento toma independiente correspondiente de la función f (x).

x

x

un

Ejemplo 35:

Sea y = x , calcular el incremento Ay para, x=5, y=5, Ax =

1, Ax = 5 , Ax

= 10

yily=x+Ax AY= x+Ax-Y

conAx=1 Ay*5+1-5-1

con Ax= 5 Ay= $+5- 5 = 5 con Ax=10 Ay=5+10-5=10

Comparación de incrementos.-:l

.-_¿

f

Considerando ta función y = , si a la variabte x le incrementamos valores pequeños Ax, se concluye que la función f (x) se altera en un incremento Ay, por lo tanto si vamos a dar valores a Ax, es factiblg calcular Ay de acuerdo al siguiente análrsrs: Si

:

y = yz cabular Ay a;l:incrementar Ax en la función planteada

y+^y=(x+Ax)2 Ay= zxAx+Ax2

Si y = x2 +4x - 2, calcular Ay al incrementar Ax en la función planteada y + Ay = (x+Ax)2 + 4(x+Ax) - 2 * 2xAx + + 4x +4Ax -2 y + Ay = Ay = 2x Ax +Ax2 + 4Ax

f

tf


45


lncrementos: Delanálisís anterior sobre comparaciÓn de incrementos, se oÓserua que el incremento de una variabte que pasa de un punto a otro es la diferencia entre el valor final y elvalor inicial, así:

(xr,Yl

Es factibte encontrar la razón Ay/Ax Ax tienda a cero, así: y- = x2

> fl PX

y=x2 +4x-2

=2x+

>

px

Ay=X

liry(Zx+

F+1)

Ax+Ax2

,

así como et valor límite al cual se acercaría cuando

fi) =2x

+4Ax> 4=Z** P+4 fi

,iyr(r*+ P+4)=2x+4

ta siguiente tabta tomamos para análisis et eiempto y = x2 de donde Ay / Ax = 2x + Ax sí x = 4, eltímite de ta función f(x) = srrá 8, obseruemos elcompodamiento de la razón

En Ax

/

Ay

cuando Ax -»

Xo

xf

0

Ax

y el incremenfo es decreciente

yo

yf

Ay

451162599 46216362010 4.8 0.8 16 2 3.04 7.04 4 16 21.16 5.16 4.6 0.6 4 4.5 0.5 16 20.25 4.25 4 4

4.1

0.1

16 16.81 0.81

8.8 8.6 8.5 8t.1

frlrf(x'l =t

Bajo este criterio et anátisis indicado nos lleva a concluir que podemos hacer que el valor de la razón Ax . Ay sea tan próximo a como deseemos, con solo tomar a Ax lo suficiente mente peq ue ño.

/

I

Etdesanotlo delcálculo infinitesimal surgió de 4 problemas básicos: El problema de la tangente El problema de la velocidad y aceleración Et problema

de máximos y mínimos

El problema del área.

Matrices y Cálodo Dlbrenciale integral

21.

46


El problema de la tangente:

Cuando se hable de la recta tangente a una curua en un punto, en un círculo se interpretaría como la peryendicular al radio, así:

pero en cuyas más variables, el problema de definir la tangente se torna difícil, eiemplo:

Conceptualmente,

el problema de haltar ta tangente en un punto se reduce a hallar

pendiente de la cu¡va en dicho punto:

((x+Ax), f(x+ .:l

Se enfiende que (Y+¿Y¡ =f(x+Áx) Considerando que una recta secanfe pase por los puntos (x, f(x)) y ((x+Ax), (x+Ax)) La línea secanúe tiene como pendiente: frsec = Ay/ Ax

la

47


rTrsec


= f(x+Ail)-f(x) AX

Sj se desea obtener mayor aproximación a la tangente de un punto, se tendrá que aproximar a cero elincremento Ax:

((x+dx), f(x+

De to expuesto, tomando los concepfos de tímites se define que la PENDIENTE DE LA TANGENTE ES Et LIMITE DE LAS RECTAS SECAilTES CUANDO b( TIENDE A CERO.

p,s= ily,m*=

*!rÍ9#9

Ejempto 36. Encuentre la pendiente de la tangente a la curua Y = x2 en cualquier punto de la curua, y la inclinaciÓn cuando x = 1.

m= lim(x+ Ax+0

Lx)2

A,

-x2 - ,'*

xz

^r+0

+ZxLx +

Lx2

- x'

A.{

,. ZxLx+ - Lxz -2x lim- Ar+0 AX

com1 m=tagQ=2*7=2

g=arctg2=63.40 25. El problema de la velocidad. El movimiento de un cuerpo u objeto de un punto a otro mantiene una velocidad promedio

gue puede calcularse como la razón entre

la

distancia reconida

y el tiempo utilizado,

entendiéndose gue, si gl espacrb recorrido depende del tiempo utilizado, s = f(t). ,: ,.

Pero,

si registraríaffios con un velocímetro verlamos

que en el reconido se

marcÓ

velocidades diferentes (que no es precr'samente la velocidad media), en forma más precisa,

si un objeto es dejado caer libremente, mientras mas tiempo transcurre incrementa su velocidad.

De to explicado, se puede deducir que la velocidad promedio calculable así:

o

velocidad media es

49

Matrices y Cálc,ulo Diferencial e integral


A ta derivada se la puede representar med¡ante símbolos, como: dy / dx ; y' ; f ' (x) Ejemptos: Derivar las squienfes funciones aplicando el criterio de incrementos:

37) Y=4x-3

y+Ay=4(x+Ax)-3 AY= 4(x+Ax)-3-Y AY= 4(x+ Ax)'3-Hx-3)

Ay= 4x+4Áx-3-4x+3 aY= 4Áx aY= 4Áx AY/dx= 4 Y'= lim(aqlax) = 4

3S) Y=3x2-2x+5 y+Ay = 3 ( x + Ax)' - 2 (x+ax) + 5 Ay = 3 ( x + lx )2 - 2 (x+tx) + 5 - Y

2x4x +¿x2) - 2 (x+Ax) + 5 - pf - 2x +5) Áy = 3*' + 6xux + 3^f - 2x - 2!x + 5 - 3i + 2x - 5 Ay= 3Ax2+6xAx-2Ax Ay/Ax = slx +6x-2 A

y= 3¡*

+

y' = lim Ax

(Ay/ax) = 6x - 2

>0

27. Reglas de de¡ivacíón.lJna vez aprcndido el concepto de derivada, para resolver derivadas de cieña compleiidad

es conyenrbnte ayudamos de reglas pre-establecidas deducidas del análr.sis

indicado,

aplicando simitar criterio de conformidad a cada caso, como en la siguiente explicación: :-1,.1

Deduzcamos una fórmula para derivar y

Y+ LY =.r*Ax

Ar

á

=

i

:.

=, +Ax-x

9=t

x

Concluimos que la derÍvada

N=x+Lr-y 'LY

--

l¡mN _ ^¡-+0

de x es igual a

t fi{i

1 _ ..,

Af

El proceso para deducir la fümula de derivación de la función sen x sería:

=t


-),

integral

50


= senx

Y+LY=sen(x+Ax) Ay =sen(¡+Ax)-senx

a, ----t -J= 2"oJ'*

,.

&*')r"nl'* *-') = z*J., *4r)r"nAr 2 [ \ 2 i \ 2) 2

/im sen§ . z/im(cos¡cor* Ly Á"+o' 2 ' a'+o 2 2 -r"nrr"n4I)*

*AG=

Ar

,'-§ =a¡+o fimcosx+ t¡*n", z Ii,!!i ar+o Ar t* 2

Concluimos que la derivada del sen x es igual a:

d

;(senr)

= cosx

Av

>-n'

= cosr lim? ¡¡ag l\f

En esfa forma, se puede crear una sene de fórmulas de derívación para una aplicaciÓn directa paftiendo de fas princípales reglas.de derivación, pudiendo resumirse en las más fundamentales o más utilizadas que son /as stgutbnfes:

28. Principales rcglas de de¡ivación:

29. Fórmulas de derivación de las principales funciones:

5't

Matrices y Cálotlo Dibrencial e integral

d[

"\

AW l=nx

á(*r d dx

d dx

r) =

lng. M.§c. Washhgton Medina G.

n-l

"o,

(t, 90s x),

*

s€n

,7 N, (,r tg¡ sec-.r lrx)=,Se{

d

(c rBI)= (c tg =.-c -c§ec -c selc 'r ;(1Í dx

d,

I t xl'--IarCSen ,lr_ *, d (*cos¡)=-¿

dx, , dtc' '

,lr- *' \_,

ft@"*d=#

ftb**r)=-# {@nsu*)=--+-&\"'----'-' *rl*'=

{(or"cur)=--+ (R x,lx" _t *ro', - s'tna ft<á = d **",

= v'-ttt' +ln

u * r¿'v'

I

:.-:/

4onr) cbc = x

4tor,r) dx

=xfila 'L -logoe x

30. Derivación de iunciones compuesfas. Supongamos

quey=f(u)yque u= g(x), esdeci4 y=Íg(x)l,taderivadadeyconrespecto

a x vendrfa dada por:

!',= y',*u', en otrg

notoción',

Ú.

*du

dx=dy du

dx

Esta forma de derivación

52

integral


lng. M.Sc. Washington Medina G'

es conocida como la regta de la cadena y es aplicable a cualquier

número de funciones denvables, ejemplo 39): derivar Y = (x2 + 2)2

y'= 2$2

+

2f(É

+

4'

Y'= 4(x2 + 2) 31. Derivadas de funciones no explícitas'

Detivación de funciones inversas-' resolución de derivadas algunos ejercicios se presenfarán de considerando a y como variable indepeñdiente, en esfe caso f (x), inyersas y x' (deiivada de x) podrá calcularse de la siguiente forma:

En

. ,

ta

la forma X = f (y), t (y) son funciones

:,]:],

si y=f(x) = Concluimos

+=+dx clx/. /dv

,1

que:

Xr=

-y"

eiemplo 40) Catcutar x' de la siguiente funciÓn: Y = xz + 4x - 5

y'=2x+4 = eiemPto 41) Catcular

x'de:

/ = Sen x -/'= COS-tr

it'i

r'=J; 2x+4

-

f'=

1

cosf

derivada de funciones lmplícitas.'

8i ta dependencia entre'ix'," y, viene dada por la función f(x, y) = 0, es decir en forma implícita, ta derivada con respecto a x puede calcularse en la forma convencional y luego despejar y':

Ejemplo 42): Derivar la siguiente funciÓn con respecto a la variable x. a,rz

+2f y-y'x=0

2ax + 2(3x2 y + xt y')

t,,,-2ax+6x'Y-Y' yux -zxt 7

-

(7 yu y'

*

+ Y' ) = 0


integral

53


Derivadas logarítmicas.Es la simple aplicaciónde los conepfos togarítmicos para facilitar la derivaciÓn, tomando en cuenta que en algunos casos será necesario recordar ta relación entre logaritmos vulgares y logaritmos naturales, relación que viene expresada por:

log,x

=W

Ejemplo 43) Derivar la función:

'(x+l)2(x-2)5 (x+3)

-

v-

ln

y = 21vr1*+ 1) + 5 ln(x -

2)

- ln(r + 3)

y'251

y x+l x-2 _2 5

-=-T-

-'x+[-+-!'=x x-2

x+3 I

x+3'

Derivadas de tu nclones paramétricas.-

tJna función paramética se

la

identifica cuando tas variabtes

x, y dependen de

otro

parámetro (t). Para su derivación, se deóe rem¡dar el siguiente anáhsis:

dy

x=f(t) y=f(t) = Ü-=+ dx a drc

ejempto 44) derivar la función paramétrica indicada con respecto a la vaiable x:

.Y=r+senf x=t2 !"= l+cosf

, ::

=

l+cot -, Y'.=---2t

x'r=2t Derivadas sucé§ívas (o de o¡den supertofl .Las derivadas de orden superior son los gue veces.

se obtienen derivando una función varias


54


Ejempto 4í):Obtener la tercera derivada de la funciÓn:

!=x5-x'+x'-l l'=

5xa

-3x2 +2x

l"=2Ax3 -6x+2 Y"'= 60x -6

Para identificar las derivadas superiores se puede optar por las srguienÚes formas:

y(n, .f(^r(r\ # 32.lnterpretación frsica de la segunda derivada: Reardando et análisis de la vetocidad instantánea (razÓn de cambio del espacio con respecto altiempo), ta primera derivada de la vetocidad no es más que la razÓn de cambio de'ta velocidad con respecto at tiempo, a esfe resultado se o conoce como aceleración:

si:

=4dt dv ,*,, o=a=\at=

33. Ejerciciós generales

u

dzs

dr,

de de¡ivación:

Derivar las siguientes funciones:

2t.

tr

31.

23.

v=-x-x -5x -2 ! =3xa -7xt + Jl

24.

mxn

25.

1_.3 -*x'* xx'

26.

(ln 2)'

22.

'--.',:.i

!=x3-3x+1 5

a3

+tü^ "

4/

27.

!=J¡/s **-t

28.

'29. 30.

2+x

'V=-2-x xz

+2x+l

::"

y =arctgx-areclgx sen .r - cos x tagx

-,

33.

* v=J*+ " lnr

34.

/=e'(5'+1)

35.

.y

36. 37.

y = (x')* y=sen(ln(r'z-r+1))

38.

Y=

39.

! = 4**'

40.

!=1n6"*Ñ.»

= logx*(arcsenx)

4

q'


41

.

::.t--,I a.t

r--l

=4x'-'Jl* JF

y

43.

j/ = afCCOS L x'-l ./ = ln( nJ(' + ra^)

x

45.

!=tag(-+r'+ xx'

46. 47.

! = 5 /ú¡

y=(x+1)(x+5Xx-3)

48.

'v--

,)

e-' (x +7)sen 32' +

x

Jx+5

'

50. 51 .

y=sen

(*'+ 4X4x' + 4

Y

r'

='41

colcular

I

52.

v=lx-x5-3¡3 '2

53.

./=sen x+orctagx

54. !=xz* ax" -l l_.3 y--+x'*--; 55. xx56.

y = (ln 2)' + xhz

57. 58.

f=41+.r+r' y=32'+e-'

59.

r,v* -

r---'-----'---:

.' :'. I

calcular

6l . 62.

2+ x

¿-x -

/&

ú,/

-y=senf .f=cosf v--

'

.1

t'+l x = t2 +l

v=Jt"nr x = ltagl

1.

y=

^[¡' -1

64.

x!

65.

'Y = afCCOSx'-l

66.

x2

=xz +

x'Y'

x

+2ry = ln(¡/) xn

68.

ye =e' /=cos'(¡+y)

69.

y =(x+

70.

/ = co{a+r)

67.

y\x- y){x-3)

x=sen(a-f)

71.

x+y t-¿*ffi'

72.

/=sen¡+cos/

73.

yó,

Y=JV*t

63.

x,/

-a

49.

60.


cos(ln x) t-1-

42.

44

55

. **Ji*r' "U=lll: x-"Jx'-a'

74. "2 , = lr- yt -3x3 75. Y=sen(I+arctagx\ 76. y=y2* "'= ax -I y' calcular 77 . .Y =sen2 x 78. y=(ln2)'+xb2 79. y=[***; 80. y=32'+e-' calculmy"

gl. v=2+x ' 2-x .l 82. t - t'+l x=t2+l 83. y = (sen.r)' 84 )V =4'

85. y=+ x'


integral

56


31. Difercncial.

La difercncial primera de una función {=f¡¡¡ no es mas que el incrementto Ay, es prdudo de su derivda po la difercncial de la variaMe indopendiente x.

decir: el

Una de sus rnayores qp/rbacones es el cáAx¡lo aproximado, crlrno por ejemplo:

46) Suponiendo queno se d'spone de calculadon, calcular por aproximaciones la J4.6 analizamos en

el

hecho

de

que síendo

y=

Jl

, si

x

cambia

de

4 a 4.6, y varía

entonces:

=) x=4

*=** I

dv=-:-:0.6=0.15 2"14

por lo

taflto:

J¿.0 = 2+0.15 =2.15 '\=-/,"

Ytj

&=0.6

deJ[

+ dy

,

59



lndependientemente de /os extremos del interuato I A, B] , los puntos máximos o mínimos están ubicados en aquellos puntos donde f '(x) = 0 o no esta definida, es decir, donde la pendiente es horizontal, concluyéndose que: f(x) es máximo si f ' (x) = 0 o nó esta definida y f ' (x) cambiasu srgno de + a --. f(x) es mínima si f ' (x) = 0 o nó esta definida y f ' (x) cambiasu srgno

Los punfos donde se ubican los punfos máximos cR rrcos.

y

de

- a +.

mínimos se denominan pIJNTOS

Definición de máximos y mínimos. aplicando b prtmera derivada.-

1. Calculamos la primera derivada. 2. lgualamos a cero la primera derivada y encontramos /as raíces reales o soluciones. 3. Ubicamos /os punfos críticos. 4. Definimos el signo de la primera derivada para valores ligeramente menores y mayores al punto crítico

y concluimos si es máximo

o mínimo.

NOTA: Según lo sugiere GranVille, "se debe inctuir también como valores crífrbos /os valores de x para los cuafes f ' (x) se vuelve infinita, o lo que es /o mjsmo, los valores de x gue safr.sfacen la ecuación l/f '(x) = Q". Aplicando la segunda derivada. 1.- Calculatmos /a segun da derivada. 2.- Definimos los puntos críticos ( f '(x1 = g 1 3.- En la segunda derivada reemptazamó.s /os valores obfenrdos aplicamos el siguiente análisis:

f"(Pc)<0 f"(PQ>a f " (Pc) = 6

de los puntos

críticos y

esmáximo esmínimo el método no es aplicabte.

Puntos de inflexion:

::

j.j

Son punfos que separan arcos que tienen sus concavidades en senfidos opuestos.

Para definir /os punfos de inflexión basta con iguatar a cero las raices reales.

ta segunda derivada y calcular


60


Dirección de la concavidad.

Se drbe que la gráfica de una función derivable Y = f(x) es cóncava hacia abajo en el interualo (a,b), si el arco de la curva esfá gfuado debajo de la tangente trazada en cualquier punto del interualo (a,b), caso contrario será cóncava hacia arriba.

Cóncavo hacia abajo

Cóncavo hacia arriba

Definición de puntos de inflexión y a concavidades: 1. Calculamos F"(x) 2. lgualamos a cero la segunda derivada y definimos puntos de inflexión 3. ldentificamos la concavidad del arco dando valores cercanos al punto de inflexión 4. Comprobamos sÍ e/ punto definido es un punto de inflexión recordando que: Si F"(x)

5.

cambia de signo (camhia inflexión.

el sentido de la concavidad), tenemos un

punto de

Para determinar la dirección de la concavidad , se aplica el siguiente criterio:

Si F"

(x) > 0 =

La curva es cóncava hacia aniba

SiF' (x) < 0 + La curua es cóncava hacia abajo

Asíntotas.Son recfas que permiten graficar con mayor facilidad una función, con la particularidad de o asíntota.

que ningún punto de la función cruza por dicha recta

Asíntota Oblicua.Se puede calcular de dos formas:

1

y el grado del numerador es mayor en un grado at y= .función X enominardor, ó igual que el del denominado,; se puede realizar la división correspondiente y expresar el quebrado como el algoritmo de la división. Siendo la

N -=coclenle+ D

residuo

-

D


integral

61


La asíntota estará representada por el cociente (Y=cociente) (como se indica en el ejemplo 46).

2.

la función no presenta la característica det numeral 1, recordando que la base a ecuación de la recta es y = ax + b, se puede calcular los coeficienbs A, b, "n la resolución de /os siguientes límites (como se indica en el eiemplo 47): Cuando

para asíntota oblicua derecha b=timff(x)-a*xl a=¡¡*f(x) Í+a x++a x f (x) b = fimlf @)* a* x] para asíntota oblicua izquierda a = ¡¡* x+d x-+-d x

Asíntota horizontal. una vez calculados los coeficientes ta horizontal será: asíntota entonces

Se

ta define

a, b,

si el coeficiente O es igual a cero

Y=b NOTA: si existe asíntota oblicua, no existe asíntota horizontal Asíntota vertical.

La asíntota verticalse /a representa como tjyif @ = d, ha de entenderse que cuando x tiende a un valor c la función tiende al infinito, se produce siempre y cuando la función tenga en el denominador la variable x, por lo tanta la asíntota vertical se podrá calcular igualando a cero el denominador y despejando la variable.

Puntos de cruce con el eje x. Para definir /os punfos de cruce, será suficiente igualar la función a cero y definir las raices ó soluciones.

Procedimíento para graficar funciones utilizando los punúos caracterísücos:

1. Calcular la primera y segunda derivadas 2. Definir los puntos críticos igualando a cero la primera y segunda derivadas 3, Elaborar un cuadro qué contenga /os interualos creados y permita definir /os punfos máximos, mínimos, inflexión, interualos decrecimiento, decrecimiento y concavidades

4. Definir las asínfotas 5. En forma opcional definir los puntos de cruce con el eje x (siendo y = f$) 6. Graficar la función. Ejemplo 46) Graficar ta función indicada utilizando los puntos característicos.

y=

x3 +-2x-+l

x -l

63

Maúices y Cáleulo Diferencial e integral

4.

lngi M.Sc. Washingüon Medina G.

Definición de asínfofas

Aslntota vertical: iguatamos el denominador a

ero: x = I es ta asíntota verticat

Asfntota oblicua: dividimos el numerador para el denominador:

'V =

x3

+2x+l ^ 2 x'-l =.tr+J+x-l

@mo ta asíntota obticua viene representada por el coc'rente, oblicua

5.

Defrniciónde punfos de cruce con

(¡+t)2-o "v=o x-l = x=-l

el

eje

x

tl

=X+

3

es ta aslntota


Ejempto 47) Definir

integral

64

lng. M.Sc. washington Medina G.

la asíntota derecha de la función y = {i -

Asíntota vefticalrío exr'sfe por

no

+

haber denominador con variables

{7=

a= limf@) = r.*î*'-4 = x-+aXrlaXxlaI\X'

lr*T

=

-[l

=,

x b=

tim(y-m)

t)a

=

{r; -3 1r limgff -a-¡) = (Jx, 4-x)* ^[i-q** x-+a

Asíntota oblicua derecho'. y=a)c+á

*

=

#- -4

!=x

37. Aplicaciones de la derlvada a prcblemas de optimización.

Como una.aplicación práctica de la teorla de máximos y mínimos, se sugr'ere para la solución dibujar el esquema det probtema, escribir ta fórmuta gue se va a maximizar o minimizar y aplicar los cñterios conocrUos para definir los punfos máximos y mínimos.

vi

Ejemplo 48) Se de,sea construir un cenamiento atrededor de dos tenenos adyascentes rectangulares cuya área fofal es de 600 metros cuadrados, calcular las dimensiones de /os tenenos para las cuales la longitud de cenamienfo sea mlnima.

X Y

Y

X Area

'\-/;'

=

600

600 =2xy

-+

y=300/x

i

Afea = 2xy

L l:=4x+3y Longitud =

"

r:"

L = 4x + 3"300/x -- 4x + 9gg¡*

!-'=4-900/f L'= 0 4f-9oO=O

x=

15mt 20mt Y=

v

65


38. Velocidad


y aceleración.

Recordando que el movimiento de un cuerpo velocidad promedio que puede calcularse así:

u objeto de un punto a otro mantiene

una

As

Ve*= N

Si deseamos conocer la velrcidad en un instante de tiempo, es lógico pensar que cuando mas corto sea el tiempo, mas nos acercamos a la velocidad al instante, por lo tanto: v=

velocidad itatantanea

v=

il%ve*,=

,JXf

Recordando et anátisis de la velocidad instantánea (razón de cambio del espacio con respecfo altiempo), la primera derivada de la velocidad no es más que la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, a esfe resultado se lo conoce como aceleración:

si: , =Q dt dv .ds. (-)'A =

-

ejemplo 49) Siendo la ecuación del movimiento rectitineo s= velocidad y la aceleración en el instante t = 5 s = 7*52

=

7f

-

-3

= 67m/ seg

3t, calcular

el

espacio reconido, la

-3* 5 =150m

, = ú =r4t -3= dt

. o =* dt

dzs

-dt 'dt' dt'

14*5

=l4mlsegz

39. Teoremas del Valor medio

Teorema de Rolle. Se refiere al hecho de que si una función continua, en el intervalo A,B se anula en sus extremos, y en dicho interualo exlsfe en cada punto una derivada, existe por lo menos un punto en donde dicha derivada es cero.

"f(a)=f(b)

f'(")

=o

66



ejemplo 51) Verificar que la función

y=f

-

3x cumple tas condiciones del teorema de Rotte para el

interualo {0,31 y encontrar los valores correspondientes.

La función es derivable

.f'(*) =2x *3

2x-3=0 :+

x=

y, f(0) = f(3) = 0

3

2

Teorema de Lagrange: Se refere al hecho de que si la gráfica de una función continua tiene una tangente inclinada en un punto C del interualo A,B , entonces por to menos hay un punto C cuya tangente eis paralela a la secante A,B.

!.{l

Ejemplo 50)

f -

Dada la función y = 3x2 medio en el intervalo {0,11

- x +1 calcular

-6x-l f(l)-f(0) =-2*r =_r 1-0 -1 =3x2 -6x-l + 3c2 -6c-l

los puntos donde se cumple elteorema detvalor

yt =3xz

1

= -1

= g=0

cz=2

Tqrema de Cauchy. Se refiere at hecho de que si dos funciones f(x), g(x) son continuas en todo el inte¡valo (A,B) y'la derivada de la función g(x) no se anula denlro del interualo, para algún valor del. interualo se cumple:

- -f (a'l _ f'(c) s(b)- s@) g'(c)

f

(b)

integral


67


40. Aplicación de derivación al cálculo de límites indeterminados(Regla de L'hopital) Anteriormente se analizaron algunas formas indeterminadas fales como 0/0, da, a - a, así como las sugerenclas para levantar dichas indeterminacrbnes indicadas en el numeral 20 (pág 37) y encontrar la conecta solución, a continuación y, con los conocimientos de derivación estudiaremos la técnica planteada por L'hopital para la solución de límites indeterminados con la aplicación de la derivada, de acuerdo al siguiente teorema:

"Cuando enfonces..

f\4- rArpt" s(r)

alguna forma

de

indeterminación 0/0

ó da,

¡¡*f9,=¡¡*f',\*! supuesúo gue esfe timite exista (ó que s(x) g'(x)

sea infinlto) Recomendaciones:

.

Cuando se presenfe la forma indeterminada

. .

0*a *

recomienda reescribir el límite en la

forma 0/0 ó a/a Cuando se presenfe la forma indeterminada 1", do, Ú, se recomienda utilizar conceptos logarítmicos en combinación con el teorema de L'hopital. Se debe reconocer también como indeterminaciones algunos casos como:

d+d1a - d- d,-+- a

ü -+0

0-o -+ a Ejemplo 53) catcular e! tímite de (senx

:i:,1

-

x'

-ra8r){ _ cox -sec' x

(r'){ (cox

senx --tagx

sec2

3xz

x){ _ *

(3r'){

senx

-

2sec2

xtagx

6x

(-senx -2secz xtagx){ _ -cosx

(6x){,,o62

-2sec2 x +Zsecz xtag2x _

_l


68

integral


GALCUTO INTEGRAL 41. INTEGRACION. Muchas de las

apl¡caciones

de cálculo están relac¡onadas con el

problema inverso así:

la inversa de ta potencia la radicación, etc. o función primitiva a paftir de una función original buscar una una función es lntegrar derivada propuesta. La integración es la inversa de la derivaciÓn. La

inversa de ta multipticación es la división,

Para identificar la integración, se utiliza primera representación de la suma.

b,=

'-=r,')

T

el signo de la suma "deformado", esfe signo fue la

O,A

= Pd"------+diftrencial

[dt

y = [y'dx+C El cátculo integrat podríamos expresarlo como:

'Dado eldiferencial de una función hallar su función original" La función gue se obtiene se denomina lnteqratde la expresión diferencial dada. El procedimiento para hallar dicha integral se denomina

lntegración.

Y=x3)yl=3x2 dy=3fdx I3x' dx = x'

..-,!

42.

FORMULAS DE TNTEGRACTON

Previo a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constante puede escribirse delante del signo de integración asl también, la integral de una suma algebraica es igual a la misma suma algebraica de sus férmrnos.

/adx

=

a/dx

/(du +dv +dw).

ftu +/av

+ldw

Fórmul as elementales de íntegración

1. ftv=x+c Demostración

y=x+c dY/dx =

dY=dx

1

69


/ay =ft


ax

Y=frx+C

2. If

y=

Av

f*,

dy / dv

-

f*l

/n +1

/n+1 + C

= (n+1) fY(n+t¡

dY/dv=tl dY =

fdv

3. .fry/v=lnv+C Y=lnv+C Y'= 1 /v

IdY=/avlv 4. Ian dv = (av)/ln a + C 5. Ie'dv=e'+C 6. .{senvdv=-cosv+C

7. .{Cos vdv=senv+C 8. ISec2vdv= tagv+Q 9. fCsévdv=-Ctgv+C l0.IsecvTgvDv=Secv+C ICsec v Ctg vdv = -Csec v + c 12. ÍTg v dv =-Lncos y + C = Lnsec y + C

1 1.

13.Íctgvdv=LnSeny+C I n (Sec v + Tg v ) + C ln (Csc v - Ctg v ) + C

14. ISec v dv = 15. /Csc v dv =

rc.[-!-=l arcTg' +v a a 'v+a-

n.t+-=|rn\!*, LS.l-!-=J-6osu ¡g -o za o-v -v

:..tl

,o.ffi=uo*JlT,-)*c n. [",[d * v' av =

i,A-, * { *"s"n**,

zz.

;J7

fi7-xa'd,

=

t o' *

{rno

*.!7 x *

¡

*

c

NOTA. Si blbn es cie¡to que toda función es factible de deriva¡la, no toda integración puede ser resuelta directamente. Para cuando se presenfe esfos casos, su solución reouiere de métodos aoroxit

Mafices y Cálculo Diferenciale

ejemplo

integral

70


54

[xax=xr*'/l+l+C = xz l2+c

ejemplo

55

[tti -sx*ttx)dx4[ ,ldx-s! xdx+ [ at *

:3f =x3

$.

.>l.r

l3-5x212+1nx+C

-5x212+hx+c

TÉCNICAS, ÚITÉTODOS O ARNFrcrcS DE INTEGRACIÓ¡,T:

Método de sustituclón. Cuando no se puede aplicar directamente la fÓrmula de integración se debe sustituir al ejercicio planteado por otras variables que permitan encontrar su solución' Ejempto 56)

["a*\"-,)= "[*t("-*) de sustitución

Proceso

tt = a

*x

du = -dx

-aldu/u = -alnu+C = *aln(a- x)+C

=

Ejenplo 57)

:':-) \*1'.':

!e'''d*lx'

= -k'*.dtpc2 lxz

u

= _!e"du .n ^, +C = e'

=llx

duldx = -Ll xt dx =

$

_du)c2

u stitu c i o n e s

=

er,,

+C

fi i go n om élri c a s

Es aplicable esta sustltución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada, sugiriendo el reemplazo conespondiente:

1. ^{r'-f

I

-"' -+ J. "{7.7 -+

2.

"t7

x=aSen(t)ó x=a?os(t) x = aSec(f) x

= aTag(t)

----__--lng. M.Sc. Washington Medina G.

71

Matrices y Cálculo Dihrencial e integral

ejemplo 58)

cdx l----:' xix' +l

x =tEQ

secz

&10

se,cM0 ------+ rtlcsecQd? tgo

sec'H0 ln(csecá

dx =

-ctg9)

sohrción-+

h(+-!¡*" 'J"+1 x'

lntqración por partes Si considenamos que la integral original siguiente igualdad.

a resolver es u * dv su resultado vendrá dadó

por la

[uav=uv- [vdu (u* v)'= u'v + uv' d(u* v) = vdu +udv

[ra":";-[ra, Dondeu*dv e§ ta integrat ptanteada y las expresiones u, v y de acuetdo a la facitidad de resolución que pre*nten.

el no

du

son valores

a

determinarse

existir una regla establecida para la determinación de las expresrbnes u,v, es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar la

recornendable asumir que dv es integración directa.

Matrices y Cálct¡lo Diferenciale

En

integral

algunos casos para llegai

72


a Ia respuesfa será necesario apt¡car

varias veces la

integración por paftes.

Ejemplo 60)

Ejemplo 59)

lxCos3xdx Lfo"os*d* w=3x dw=3&+ 9J

Ir lnxd¡

n=w-> du=dw

f,y- xdx o=t2

1-

4rnr-Ít.e 12 2 x'x' Lln*-?*,

v=senrr

dv=caswdw-+

r-r.

u=ln¡ du=*x

r

=-llwsenw-fr"nwdw)

x

= !13rsen 3r + cos 3x) + C

9'

INTEGRALES DE

A

FOROTA

A*

+

8X + C

Para resoÍver la integra{ que presente la forma indicada y siempre y cuando no se pueda aplicar fórmulas de integnción es conveniente transfo¡mar el trinomio de tal forma que

pd amo s e x pre sarlo como :

f *a'ó 'il

a2

tf

ejemplo 61)

vr'

rdx tJ

x2

+2x+5

completanú

. ¡dx ¡J1x+l)2 w=x+1 dw=dx

+4

el tritomio nos

quedaría:

73


lng. M"Sc. Washington Medina G.

I w ,dw I ¡+l l-, = -afgtq-*c = -&tCtg-+c Jw'+4 "2 " 2 2 2 CASO ESPECIAL. Cuando la integral presenfe la configuración siguiente:

ai

+bx+c

Se sugiere utilizar el reemplazo

laforma

mf

+ n -- 1/t.

mx+n = 7/ t, añificio gue es apticabte también

a la forma

43.a. Aplicac¡ón de la teoría de las fracciones racionales

función racional entera Función racional es aquella cuya variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios. Si una integrales una fracción racional es decir, tanto el numerador como el denominador son funciones racionales y el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador, la fracción puede reducirse realizando la división, es decr

{'=c*

R

DxD

Pero, en caso de que la fracción R/D de posibilite la integración directa o la integración aplicando los métodos hasta el momento conocidos, es posible descomponer la expresión en fracciones parcrales aplicando el método de /os coeficientes indeterminados.

Para descomponer fracciones vamos a considerar /os slguienfes casog cada uno con un ejemplo explicativo: .

Prtmer caso. Los factores del denominador son fodos de primer grádo y ninguno se repite

ejemplo

62)

2x+5ABC x{x-2\(x+3)--+-+x x-Z

x+3

-2C\ + (4A) x(x-2)(x+3) _A(x2 +x-6)+B(x2 +3x\+Cx(x2 -2x) (A + B + C)x2 + x(A + 38

x(x-2\(x+3) 2x + 5 = xz (A + B + C) + x(A

+38 -2C) - 6A

-r Matrices y Cálorlo Diferencial e

A+B+C

integral

74


=Q

A+38-2C=2

64= 5

9 l--1.¿= -c=- 15 l06' 1

2x+5

5 =--+x(x - 2)(r + 3) 6x

9 lO(x - 2)

I l5(x + 3)

Sqgundo caso. Los facto¡es del denomínador son fodos de primer grado y algunos se repiten.

ff ff /v - il * ff =+..........+ '+ (x-m)'' (x-m)" (x-m)" (x-m)"-' (*-m)"-' ejemplo

63)

D x3+1, A B C x(r-l)' x (¡-l)' (¡-l)" (¡-l)

---...-...--------T_-.-.--.-=-T-...-.---.----=T

+l _ A(x-l\3 + Bx+Cx(x-l)+ Dx(¡-l)z r(r-1)3 r(¡-1)3 xi

aplicando

'--,,i,

el método de

x': A+D=l x': -3A+C*2D=0 xi 3A+ B-C + D =0 xo: -A=1

coeficientes indeterminadosz


75

¡ntegral


'Íercer caso. El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite.

N

Ax+B

.')

x'+ Px+Q x'+ ejemplo

Px+Q

64)

2x+5 (x2 +6)(x2

=

+5)

Ax+B

Cx+D

+6

*2 +5

xZ

-++ x(Cx + D)(x2 + 6)

= (Ax + B)(x2 + 5 )

-- (C + A)x3 + 12 ¡a

*

D) + x(5A + 6C) + 58 + 6D

A=1 B=-5 C=2 D=5 2+5 --r-2x-5 2x+5 (x2 +6)(x2 +5) x2 +6 x2 +5

Cuarto caso. El denominador contiene factores de segundo grado

N

Ax+B

Cx+D

I-I-I

y

algunos se repiten

F,¡c+F

Para los casos cuando n es mayor que 2, para la integración es conveniente utilizar fórmulas de reducción, como la siguiente:

l#a r = x*Fl"*. Ejemplo

. ,:,i.,.

)2"

-r I@#T¡7

65)

r x2+8x+7 ,

I6:r--*Vd*=

r x'-8x-7

l6-5)T*+zfd*

AB.CD . -----.=T-T.--------.....8T(x-5)" x-5 (x+2'¡'" x+2 2o

,q= -L.n = .c 49' 343' =!.o 49' = -20 343 --

8cI-a- dx 20rdx 27e dx 20rdx t-a ll' +l J(x-5)' 343 Jx -S' -49 J1¡+2)' 343 Jx+2

8

27

20. lx-sl 49(x-5) 49(x+2\ 343 lx+21 !_lñlJ


76

integral

lng. M.Sc. Washingiton Medina G.

INTEGRACION DE FUNCIOA'ES IRRAC'O'VALES

ta integral contiene potencias fraccionarias de /a forma X ó (a + bxf- , donde n es el mínimo común múltiplo de las raíces exisfenfes, es conveniente asumir la siguiente Cuando

sustitución:

x={ ó (a+bx) = ¿

INTEGRACION DE DIFERENC'AIES BINOMIAS lJna diferenciat de la forma

[*^@ + bx')Pdx donde Ít,

fr,

p

son número.s raclonales, se

llama diferencial binomia. Para su sotución se plantea fres casos; CASO l. Cuando p sea entero positivo, será suficiente desanollar elbinomio de Newton o aplicar otra forma conveniente de integraciÓn..

'=:'i

cASo

tt. cuanda * *l ,,

igual a un número entero

n

fracción r/s , se efectúa la sustituciÓn a +

CASO ttt. Cuando

m

+l NS

*L

es

iguat a

bf

ó cero, y, p se

f

=

un número entero ó

fracción r/s, se efectúa la sustitución a +

bf

=

asuma como una

ff

cero, y, p

se asuma como una

.

INTEGRACION DE FUNC'O'VES TR'GONOMETR'CAS

Para su solución se plantean diyersos casos, en los cuales se utilizan reducciones tri g o n o m é t ri c as sencfl/as.'

CASO

l.

lntegrates de /a forma

[sen*xCos"xdx

-

Si m ó

-

formas óásrbas conocidas. S, m y n son ambos números enteros, pares positivos, se recomienda usar las srguienfes entidade 9 trigonométricas :

''l.'

-:l

n son números impares, enteros, posifivos se sugiere aplicar las entidades trigonométricasSen2x=1-coszx ó coszx = | - sen'x,y,resolverlaintegralenlas

::,"

senrx=!(1_"or2r) 2',

cos'r=l(,* senxcos.r =

ll.

I 2

cos2x)

,"n2,

forma: [senmxcosmxdx, Jt"n*, senradx Donde m * n, se recomienda el uso de las slguienfes fórmulas: CASO

tntegrate.s de /a

lcosmxcos.ru,dx


integral

senmxcosrü =

![.*{.

77


+ n)x + sen(m

-

n)*1

+ ,)rl n)x |["o.(, - -cos(rn rh +cos(. + r)r) cos,,, cosz?n = |Go.{. -

senmJrsen,4r =

CAS0

lll.

lntegrales de la forma

xdx,

[cE" [tg^ Se recomienda usar las fórmulas:

xdx

tgzx=sec2r-1, tu.

lsec"

xdx,

ctg2 x

[csec"

xdx

=csec2x-l

CONSTANTE DE INTEGRACION

Es et valor que atdopta ta constante C para un caso particular de ta variable, geométricamente, permite la graficación de un númerc infinito de curuas (familia de cuwas) de igual pendiente, pero en diferente lugar geométrico. Ejemplo 66) Encontrar la gráfica de la funcit5n cuya pendiente as y'= 2x-3

t = !r'd.r = !tz*4)e =z[xdx-z[dx ! = xz -3x+c cálculo de la constante:S=9-9+c =

y

pasa por el punto(3,S)

c=5

!=xz-3x+5 Ejemplo 67)

En cada uno delos siguienfe s ejercicio a), b)

hatlar ta ecuación de datos ta pendiente y un punto (x,y) por donde pasa la gráfica:

i¡

a) y'= x ;

P(1,1)

lt'dx y=t+c l=!+C 2-22 ,=t*L t=

x:l Función

!=l

C:;

originat: 2y

=

f

+

1

la curva. Si se

tiene como

78

Matsirnsyeáhr¡loDiferemc¡al.e'¡ntegral

lng. M.So. Washiirgrton Medina

xy (3,5)

b) y'=

G.

.

:

dv

*=xY dx

ÍQ=Í* J Jy ¡=3

4 = r.d* y

' ={+c 2'-

tny

!=5 qs h5=í+C c=1.6-a 22 n2 lnv -'-/= :--Z.g

C=:2,.9

2

\..--l.l i'::"1

Ejempto 68)

En cada

punto de cieúa wrua

punta {l ,O) y, es fangenfe a

la

f = ffif rec/ra F, =

. c20

17ü =

derivamos

!'=

I i ¡.lf :r -i

5*Sr ,-;¡

y,=

,*iáu;* §d; .r

:::

10 y'_-V+c

la recta ! = 5x-6

5

como

las

pendientes

son

iguales,

c para x=l -10 5=-T+c + c=15

calculamos 1',

,= f(-#+l»,,,.e r=f+ rlx+e,,, calculamos

c pard

.tr

= 1,

.!

0=19+15*1+c =+ c=15 I y- 10-+l5x-25

=

X

,,'')

,'"'; '

:

=,§

-\

que ta

curua pasapu el

79



4S.INTEGRAL DEFINIDA Delteorema " La diferencial de área limitada por una curva cualquiera, el eje de las x, una coordenada fija y una ordenada variable es igual al producto de la orden variable por el diferencialde Ia abscrsa coffespondiente "

¿tt=ydx Si la curua AB es el lugar geométrico de y = f(x), enfonces 6u = y dx.

Sr'endo du la diferencial de área entre la curua, al eje de las x se indica en la siguiente figura:

y dos coordenadas a, b, como

lntegrando tenemos.

"=[¡{l0a* = ;-

-'

F(x)+C

:'/

Para determinar C, obseruamos que u = 0 cuanda x= a Sustituyendo esfos valoreee¡ ,a ecuación anterior se obtiene:

obteniéndose':

0=F(a) +

C;

u =F(x) -

F(a)

El área CEFD gue se prde es el valor de u

C=-F(a)

en u = F(x)

Area CEFD

- F(a) cuando

= F(b) -

F(a)

x = b, luego:

80



ae [ldx para x=a y x=b da et área timitáda por ta curva cuya ordenada es y, el eje de las x y las coordenadas correspondientes a x=a, y, x=b". TEOREMA "La diferenciade los valores Esta diferencla se representa por: b

[ra>*

ó

fua.

Que se lee: "La integral desde a hasta b de ydx". La operación se llama operación entre límites.' a es límite inferior y b es limite superior. Puesto que siempre tiene un valor definido, asume el nombre de INTEGRAL DEFINIDA. TNTEGRAL DEFINIDA.- La integraldefinida es un valor resultante de la suma de valores infinitamente pequeños este concepto aplicado al concepto de áreas nos indica que la O. integral definida considerada como el área bajo la curva es el límite cuando Ax

)

'lxna,=ffufu@»** 46. TNTEGRAL IMPROPIA: Se /e da esfa denominación a aquellas tnfegrales cuyos límites son infinitos, en esfos casos se propone para su solución la aplicación de los conceptos de límites. qb

ffov, = !!*[r*¡a* Cuando la

función y = f(x) es discontinua en un punto ubicado enfre los límites (lo que

puede detectarse para valores de x cuando el denominador es igualado a cero), se asumirá

para los nuevos límites un valor

t

menor

y mayor al valor donde se produce lo

discontinuidad (asumimos el punto c), y se resolverá aplicando:

t:-":i

c-t

b

I¡a»a.

=

!* ltt-¡dx+tiry "!f @)dx

81



47. APLICAC'OÍVES DE LA INTEGRAL Cálculo de áreas: La teoría de integración permite el cálculo de áreas bajo la cunla como un método exacto, cabe indicar que dichos cálculos son también realizables con métodos aproximados como el de Simpson, de /os trapecios y otros, que no son consrderados en el presente estudio pues se /os puede enfocar en un tratado de Métodos Numérias.

Criterios para el cálculo de área bajo la cu¡va

1. Et área baio la curva se encuentra

2. 3.

aplicando ta

fórmula

,e

=

fldx,

(deducida det área

del una franja verticalde base A,, altura V: Ao=4*r, considerando siempre que a
I

n

= lStdx,

nos dará un valor resultante de áreas.

,t= ftdx-

fr*

4.- Cuando se desea calcular el área comprendida entre 2 cuvas, se deberá calcular los puntos de intersección y apticar

la

siguiente fórmula:

A= t}l-

yZYx, donde h es la

función que abarca mayor cantidad de área. 5.- Cuando se busca el área comprendida entre 2 curvas es necesanb tomar en cuenta que los límites máximos a, b son puntos de intersección de las curuas.

= (yl b

Itr,

-

y2)L^x

- yz)dx

6.- Cuando los límites asumidos a, b se extiende más allá de /os puntos de intersección vuelve a producirse una resultante de áreas considerando como eje divisorio a una de las curvas lo cualdeberá definirse en el gráfico.

82



Ejemplo 69 Calcutar el área timitada por

y = ftg,

ubicada en el primer cuadrante, limitado entre x=0 y

x=2.

Procedimiento: 1.- Ubicar la franja de análrsr.s

2.- Calcular el área hajo la cu¡va indicada limitada entre los puntos a, b tomando como referencia el eje.x

A_

A_

Ire

'lp

A_ (*),

'\--l,1 )

4^ A=-¿' 9

48. AREAS EN COORDE'VADAS POTARES

Deducción de la fórmula de área

tagdo

>-/) ,

-

arco

p

orco = p* tagd9 como tagd9 x d0

:) arco: p* d0 dA=

p*

de 2

tp A= L l prae.

2;

83



Ejemplo 70

Calcularelárealimitadapor P = a Sen 0+bCos9 entre a=0y §= d2.

n=;-!("*no +bcosol do A=

:

[b'srn' e + Zabsenuos e + b' cos2oPo

0 4, 1a' bz ¡cos'za e + {*fsrnvw 2i 4d' u'ht ' - l\

o = l*ÍG'

t

=l "'

q'e

L4 l_='

-

o' (a2

:u' 8

r"nzo -

!cos2o*\ 4

+b2\II ab -L--'

ab

844

, (o'+bz)t 8

Nota: En el cálculo de coordenadas polares, en ejercicios como el que antecede, la gráfica no tiene trascendencia, dependiendo del tipo de función ,se deberá realizar la gráfrca pues en funciones trigonométricas se pueden superponer áreas, igual análisis se reamienda para el cálculo de áreas comunes de dosfunciones. Se deja a irtterés del lector esfas observaciones y su

49. LONGITIID DE ARCO DE UNA CIIRVA

"

.-:,/

lng, M.§c. Washington Medina G.

Matrlces y Cálotlo Dibrencial e integral

Lxz

+

Ay2

*=FCF As¡v&

J[*gft, s=rJG6fh

a" =

por

.). \-?¿ri

analogía:.

r=f,.{Wú Longitud de arco de curvas en «xltdenadas pofares.'

§=

f ^t{;G'Í\t

Éiemplo 71) Calcular ta longitud del areo de la cu¡va anya ecuacbn es

y:

x2 + l enfre'/os ffmltesx r = 3

Sz

t

.

7:l

§=

I ,{1.Úf e

3

s = IJt +4xzdx s

=; [Jt+7*

,S

= 40.21

L-

/ Matrices y Cálculo Diferencial e integral

85


50. CEA'TROS DE GRAVEDAD Es el punto cg(x,y) en elque se encuentra elcuerpo en equil¡brio Para el cálculo delcentrc de gravedad, se requierc del uso del efecto llamado Momento (momento es el efecfo que una fuena causa a un punto situado a una distancia de la ubicación de dicha fuena) Mc = Longitud * Distancia

Ma=Area*Distancia

DeducciÓn defÓrmulas

My=A*d

l,{x = A* d

My = (ydx)X My = xYdx

*

b

]n[*

uy = lxrdx

=

=Lr'&, 2-

*=r'!r,* Ejemplo 72)

Catcutarelcentrode gravedad del áreatimitada primer cuadrante

l,lx = YLXL 2

]rr.

l,h

=rtr,* =l[rx,r* 4

*')u *,=l '

My = xYLx

uy = lxrax uy =

fx'ax 4

*=l+7'

pory=f , x= 4y que está ubicadaen et

e= lra*

t= f xrax

l,ty

=Á*i

;My

,=[+],

/

¡* = ¿*i

Lro l

¡ _ tv[x A

i,Ix = t02.3

My:64

CG (3, 4.8) centro de gravedad

X=3

A

A:-64 J

Y=3



Ejemplo 73) Calcular el centro de gravedad de la figura

,_

4-- [l*=

fJro -x'&=4t¡(Jnidadesz

0

tkru

LoÍur*= l 7J' ?J' ' = oo +¡

u, - xr\dx =128 3

Iurx.

l-

My, =

[*e = JrJto - x'dx = 9u, J

'2

4= [N* ="[,[l-áax = r(Jnidadesz 0

rvr)c,

=I',lr'* =*'{ro- x')dx =)u' 2_o

My, =

!*e = lxJ44;e =1u' 0

'.*,jr

FIGURA

A¡

Mxi

1

4r lf

128/3 16/3

3¡t

112J3

2

ftestarl

.ü

fi,21 lulx=A*i = y= lz 3t¡

My=A*i centro

= ;=t4 3r

de gravedad: :)

Mvi 64/3

v3 56/3

'9r

tt2

:+ i=56 ur¡¿o¿, 9r ccts6 '9n' -l!4.t

9r'

87



51. AREAS LATERALES O SUPERFICIE§ DE REVOLUCION "Un área lateral o superfic¡e de revolución se engendra al hacer girar alrededor de un eje un arco limitado de la curva y = f(x)". Deducción de la fórmula de supefficie de revolución:

Considerando la superticie de revalución delgráfico, donde la longilud de arco está definida por:

^,

=

fi*úd,)^,

Al hacer girar dicha longitud de una curua alrededor de un eje, siempre engendra una circunferencia y por ende crea un volumen de revolución'CUBIERTO POR UN CASCAROII EXTERNO DENOMTNADO AREA LATERAL O SUPERFICIE DE REVOLUC\ON", esta superficie es calculable aplicando el siguiente análisis:

AAr: AS*2,Y

dA, = 2rYds B

A, =2r [Yd* A

B

Por

analogía

.A

A, =2n [xds

Se debe recordar gue ds representa la langitud de arco de una curua y es calculabte por:

^,

= (1+

U,yb,

=

(t*G)'by

^s

Se aplicará una de ellas de acuerdo a la facilidad de resolución del problema.

88



52. VOLUMEÍVES DE SOLIDOS DE REVOLUCION:

Al hacer girar dicha tongitud de una curva alrededor de un eje, siempre engendra una circunferencia y por ende crea un volumen de revolución, esfe volumen es calculable aplicando el siguiente análisis: 1.- Girando ta franja indicada alrededor det eje

x,

manteniendo la base de ta frania fiia en et

eje de giro, se crea un volumen en forma de una moneda, de donde se deduce que: * Volumen = área del círculo espesor

>=<.')

Franja a girar una revolución en eleje x

LV

* -- 7rY2 Lx b

r =rlt'ax

89



2.- Si se gira una franja horizontal alrededor del eje x tomando como base un radio Y, la franja se movilizará en su totalidad haciendo un reconida de 22, formando un cilindro hueco cuyo volumen vendría dado por:

LV =2nY* X* Ly b

v

=zn[*ú

En forma similar, se puede deducir fórmulas cuando se trabaje con el otro eje. El sentido de la franja, horizontal o vertical para el análisis, dependerá de la que elplanteamiento presente para la solución del

Ejemplo 74) Catcutar el volumen gue se engendra al girar el área limitada por x=0, x=4, la función Y=X2 ubicada en el primer cuadrante: a) alrededor deleje x, b) alrededor del eje y.

a)

alrededor del eje x

a.:-)

4 v

=

7r

[y'úc = "

4 =

lrtlo

!*o* "L;

.j,

256 5

,

90


b)


alrededor deleje y

r, = zonlxyd* = zrnlnr,

o

o

& = rrl

+1' L4l'

= t2vtt

53. I NTEG RALES M U LTI P LES

Permite resolver en forma objetiva problemas de cálculo de las aplicaciones anteriores, y en especial de volúmenes en el espacio (tres dimensrbnes), se debe tomar en cuenta el siguiente criterio: " cuando se consídera a una de las variables como tal, /as ofras petmanece n como constantes". Ap,licación

de integrales dobles;

Se trabaja con dos diferenciales y se va creando las fórmulas.

bv2

M=

Lt* Ly

,a- [a** [ay ayl

bv2

A- Y [o'n* ayl

Nota: Se deóe integrar primero la diferencial correspondiente a las funciones.


Julxx

=


91

b y2

br

a yl

.|l I 6Lt Jyl

I IYdYa*=

-ly2

*

d-

=r'yrz-rtY*

by2

Mw= I I.o* = [,fyr- YtV* ayl a En forma smilarse puede aplicar al cálculo de áreas y volúmenes de revolución.

54. VOLUMENES EN EL ESPACIO

De acuerdo al siguiente análisis y gráfico se deduce que elvolumen viene definido por: bv2

v=

II**

ayl

donde Z es la altura delcilindro cúbico Se recomienda previo al análisis, y, con ta finatidad de definir los tímites de /as integrales, trabajar previamente en el plano XY que por lo gerteralconstituye /a óase donde se ya a

desanollar elvolumen.

ffi

Áy

b(

, J...]

''.:.1

55. EJERCICIOS DE Apliéación tdentificada el área timitada

-

por las funciones indicadas, calcular:

El área limitada por las funciones indicadas Elcentro de gravedad de dicha área El perímetro que bordea dicha área E¡volumen g{,re se engendra algirar dicha área alrededor deleje x El volumen gue se engendra algirar dicha área alrededor deleje y El Area lateral que cubre al volumen engendrado algirar el área mencionada alrededor del eje x

Matrices.y Cálculo

-

Diferenciale,integral 92

hg. M.Sc. Washingúon Medina G.

El área lateral que cubre al volu¡nensrrgefúrado. al girar.el área,mencionada

del eje y.

86. 87. 88. 88. 89.

al@edor

!=x x=5, !=0 !)xz .r=5, !=0 l=x2 .r=5, f=0 y2 +x2 =4 .r=5, !=3 !=5, y=5*x, y=xz

91. Y=x2, y=4x-x2 Catcutar el

,

\*1,

vdumen ubicado en et Wimer rctante, timitado por las funciones indicadas

92. l=5-x

z=6*x-!

94. !=2=x

z

=5-x2

)

Matrices y Cálculo Diferencial

SOLUCTOT{ DE

eintegral

tOS PROBLEIíAS PLANTEA:OOS

MATRICES 1.

2. 3.

4. E J.

6.7 -1 -1 7.

-3 01 10

-3

0.196 0.261 -0.304 0.022 0.217 -0.043 0.217 -0.086 -0.522 0.304 0.478 0.609 -0.065 -0.087 0.435 A326

'

8.

0.214 -0.071 0.357 0.357 0.214 -0.071 -0.071 0.357 0.214

9.

28

10.8 11.28 12.8 13.28 14.8 15. -6

16. -30

17. -11 18. símilar al ejercicio 6 19. similar al ejerciclo 7

.

93

20. similar at ejercicio ü,^ 21. infínito número de sofucrbnes

22. Sol(1, .-1, 2)

(1, 0, 1) 24. Sol(1, -1,2, -2) 25. Sol (1.19, 1.44, -2.49, -2.30) 26.Sol(-0.16, 1.16, -0.23, A.U) 23. Sol

27. No tiene solución

lrq.'M.Sc. Washington Medina G.

Matries y Cáledo Difercncial e

intogrral

28. No tiene solución

(0, 0, 0) 30. So/ (-7, -11, -20) 29. So/

31.

32. Notiene slución

(0, 0, -2) 34. So, (0, 22, -3q) 35. Sol (1, 0, 1) siescompafible 33. Sol

CALCI'LO DIFERENCIAL

\-tl

)

1. I 2. -5 3. 2il7

4.ü 5. t2 6. I 7.9 8.3 9.0 10.4/5

11.cos5 12.1 13. e

,

14.1/10

,

15.1/4 16.1/4 17. O

18. 1

1/4

0

9. O (sugerencía: llmiie'

20.

iat

expanente)

1 (sugerencia: tqaritmos)

94

lng. M.Se. Washir§fion Med¡na G.

95

Matrices y Cálcr.rlo Dihrcncial e integral

21.

3rz

-

lr¡9. M.Sc. Washingüon Medina G.

3

22. !-rtn -gr' )

23. t:'3-Zt2* y'zJ,

/

24.. ,*n-l * ***-l

l-r6 -_5¡ 23

2526. 27.

28.

(ln2)¡ tn(ln2)

q*-% -tr-s 9x lúg - e-r 2

29. (2

- ,\2

-4r2 -8¡*3

2x3 :-t.1

-,

-D312

2cm¡-oos3

r-rrr?,

2(*2 2

31.

l+

x2

,rr2, 33.

34.

!

1

*

= ----=

24x

3x2

ln2

r

(5e)'(t+ln5)+e' x"*'(zln L2x2

--ln4

x+

-

4"

40.

lnx * x2

lose -

35.

37.

l)

x

;=uros(ln(x2

.il. (r2 -

l)sen ln

(x' +l)(arctg(¡'+1)) t2x512:2r516 2a,e

^n(ri*l+{*\, ^{ + rom

- r + l))

_'

z; t:

r + 2¡2 eos ln ¡

*1rz -t¡2

r.:' ' '

tBg2i t2 -

los¡ ----:Jl- *'

4*ctw lo4 ,h- 12

39.

't,

42

-

arcsetu +

+ ¡3

43.

t+

,2 -2, -l

$-]¡stz

--r

96


45.

46.


2.-l '+.r-5 .-2 --3.")sec-(.x - +3x ^-2-) -(x '+5¡--6" +6x s"c2r. 5sezrlcos"r¡n5 47. 3x2 + 6x -13 - (¡

48.

+ ?) cos(e-

¡ + l) - e- ¡se¡(¡

+ 7 + l) + 9'sez(¡ ln 9 + 7 ln 9 - l)

{x + 7)2 senzx

4-l}x-x2

49.

50.

ser{xl¡senx

xser{xctgx+

I

51.

,E

G2 + q\2

I

52.

l+

53.

o.s-5x4 *gx2

{*

54.

:.::.::,,

1:2

-r)2

55.

5

2)

-

60.

F;

ctgt

-y

y(2x2

+Zxy-l)

x(Zxy 2x

-l'l

70.

l+2y cos.r

I + seny

I

-

2

+ l0y4

73-

t8x2

/).

sen(a +

cos(a

(r2 - rlJra

t)

- Scos 2¡

80.

(ln4 9)9' + ¿-

78.

6g. * 2x2

7r.

- t)

x2

'x2 +t

sen2(x + y) l+senZ(x+Y)

+2ry

+4*(x2 ++¡2

;ñw

,'t'F*r,^.tF-; ,3+r+l *J+r*l

er(ax-a-l)

--

l+x2

71.

,2 +l

y"tl - r' xe' -e^x

O/,

62. cost'' t

65.

,-2?y

1¡2*r

2

- 1¡2 +t\-

61.

2x +2xy2

t-

74.

flng-e-x

l+3¡2

4

72.

,1.

ln(ln 2)

ss. Q- i2 63.

,2 _l

+, + 13 ,*-

2{t

I

(lnr

+ 12 cos¡ + I

"*,

+ax{ -aex -ex

Lx(ax-l)2

56.

x2

(ax

(ln(ln2»4ln¡

-

2 79.

t)2

(l

-

zy)

0

lJi:ll

':::-l

83.

20s¿n3¡cos¡

86.

árca

r -

81.

8(2

-.r)-

ht4

x4

-2

85.

6

x4

centro de gr€vodad

volumen(x) = 130.87, volumen(y)

=

6t2

sz

(r2 + t)3

42x

Srrrf*"

= 12.5,

3

=

= 261.82,

(3.33

;

1.67), Perímetro

=

7.07

área lateral(x) = 111.07, área lateral(y)

111.O7.

87.área = 41.66 centro de gravedad

1963.49, votumen(y) 1316.87.

=

= (3.75;7.50), perímetrc =

54.38 volumen(x) =

981.75, área lateral(x) -- 3946.36, área lateral(y)

=

Mafiices y Cálcr.rloDiferenciale

=


(1.31i0.77), perímetro = 4.57 volumen(x) = 6.35, 10.74, área taterat(x) = 32.02, área tateral(y) = 76.

88.árca = 1.31 centro de gravedad

votumen(y)

97

integral =

= 11.86, centro de gravedad = (2.93;1.45), perímetro = 15.14 volumen(x) = 107.88, volumen(y) = 218.91, árealateral(x) = 173.35, árealateral(y) = 263.87-

89.área

90 área = 2.03, cent¡o de gravedad - (1.34;4.37), perlmetro volumen(y) = 17.12, área lateral(x) = 182.09, área lateral(y)

= 10.A3,

centro de gravedad

=

92 área = 2.64,

centro de gravedad

= (1.011;2.132),

= volumen(x) =

55.69,

52.92.

(4.29;3.60), perímetro = 19.49 votumen(x) 233.95, volumen(y) = 279.07, área lateral(x) = 522.99, área lateral(y) = 512.28.

91área

perímetro = 9.29 volumen(x) =

35.31, volumen(y) = 16.77, área lateral(x) = 46.209, área lateral(y) 93. 33.33 94. 48.60 95. 8.66 96. 28.75

..i:::1

=

=

72.82.


integral

98

lng- M.Sc. Washington Medina G.

EC U ACI O N ES D'FER E N C I ALES

CONCEPTOS BAS'COS

ECUACION

.:_<.,

56.

ES DIFERENCIALES

ecuación diferencíal.

Es una función o una ecuación en la que interuiene dicha función, y, una o más de sus derivadas, es decir es una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x, ta función buscada y = 0(x) y sus derivadas y', y", y"', y /n) Simból icamenfe se representa como: F( x, y, Y', Y", Y"',

y.../4)

=o

Otra forma de representar es:

r 6, y,!,(!,............0i ux

ux

dx':

=o

57. Aplicacr'ones a las ecuacíones diferenciales.

El campo de acción de esfas ecuaciones es ilimitado permitiendo resolver problemas de Física, Química, Biología, lngeniería, crecimiento de población. 58. Tipo de una ecuacion. ..;.l-,

.'

Dependiendo del número de variables independienfes, las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales.

Ecuacion diferenciat o?etinaría

. Es una ecuaó¡ón que tiene una so/a variable

ihdependiente, así:

y"+3y-3 = 0

tx*tú dx'

dx

- z=o

Ecuación diferencial parcial. Cuando una función depende de 2 o más variables, /as derivadas serán parciales, por lo que dicha ecuación se denomina "Ecuación en derivadas parciales " así.

100



12e-2' +se-r +3(-6e-2* -5e-') + 2 (3e-u +5e-')=0 12€2x +5e-'-18e-u -1 5,eo +6e-u+10e-*

0= 62. Solución general

0

=0

(Sí es solución)

y particular de las ecuaciones diferenciales

Solución paúicular. Es cualquier solución gue se obtiene asignando valores específibos a la constante arbitraria C. Es decir la solución pafticular es el resultado específico de una solución general a la cual se le desrgna valores de x y y conocidos corno condiciones que pueden ser, dependiendo de cómo se establezcan de dos tipos de problemas: de valores iniciales y de valores en la frontera. Problemas de valores iniciales. Se constituye de una ecuación diferencial de orden n y un conjunto de condiciones independientes, fodas ellas válidas para el mismo punto inicial, así; sila ecuación es:

f', f", Y"',.../n)) = 0 (ecuación que define et problema) Y@) Y'@) = Y'@) y"¡¿1 = f"¡o¡ y"' = y"'(o) /n) (") = /d t l F( x, y,

y, x = al punto inicial, yG)=

Gráficamente, la solución de un problema de valores iniciales se representa así:

F(x,y) = o

X=a

Problemas de valores en la ftontera. Esfe tipo de problemas deben esfab/ecerse con condiciones de frontera en todos y cada uno de /os punfos del dominio , por ejemplo; en pafticular, si x = a b, es decir que el dominio de soluciones esfá en el intervalo cerrado b

ax

yx-

Ejemplo 77

*

Verificar si la solución de la ecuación diferencial xy' -3y y=2 solución paúicutar para" la condición inicial x =

3

Derivando la solución: Y'= 3cf Reemplazando en la ecuación diferencial:

-3cf =o 0=0 y=cf Siessolución ) -2=c(3)3 C---27 y = -2/27 f @olución particular) 3cx3

XPcf)

-3

= 0 es y = cx3, calcular la

@f) = O


101


Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial dada, representa una familia de curvas conocidas como curvas solución, una por cada valor asignado a la constante arbitraria.

UNA ECUACION DIFERENCIAL SE CO'VS'DERA RESUELTA CUANDO SE HA REDUCIDO A UNA FjíPRE$ON EN TERII'A'OS INTEGRALES, PUEDA o rvo EFECTU ARSE

LA

INTEG RACI ON

63. Ecuaciones diferencrales de 1o orden y de 7" grado. Este tipo

de ecuaciones puede reducirse a la forma Mdx + Ndy = 0, donde M y N son y. Las ecuaciones diferenciales gue pertenecen a esfa c/ase o forma

funciones de x o de son.' t.

Ecu aciones d iferenci ales con v ari a b/es separadas

il.

Ecuaciones homogéneas Ecuaciones Lineales Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal.

1il.

tv.

Ecuaciones con variables separadas.

.¡

Cuando los términos de una ecuación diferencial pueden reducirse a la forma F(x)dx+ F(y)dy =0 (1) donde F(x) es función de x únicamente y F (y) es función de y únicamente. El procedimiento de resolución se conoce como de "Separación de variables" y la solución se obtiene por integración directa así:

lF(r)dr+lrOVy=c dgnde C es una cons;tante,brbitraria.

Ecuaciones homogéneas.

FUNCION HOMOGENEA: la función f(x,y) se llama homogénea de grado N con respecto a las variables x, y, si para todo valor ). se cumple la siguiente ldentidad fQx, by) = f(x,y) donde es una constante arbitraria o un número real.

l

f


1OZ


Ejemplo 78. Comprobar si las funciones indicadas son'homogéneas e identificar el

grado.

f (x,y) ='.[*' * y' f(x,y)=

*fi,y)

f(k,uy)='lffi;Qrf f7x,ty)=W *f ; f(k,uy)= úF *V f (k'XY)

=

lf (x'Y)

En conclusión, la función es homogénea y de grado 1 (ó primer grado) f(x,y¡= xy -

f

f ttu,hy)

=

(k){hy)- (xy)z

i'Y-i" f(tx,xy): f @-r'» "f(L',lY) = f Í@,Y) Í(k'hY)=

La función es homogénea de grado 2 (el grado viene dado por el exponente de

A).

Ecuaciones homogéneas de primer grado y de primer orden: La ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es homogénea cuando M y N son funciones homogéneas de x, e, y, y del mismo grado. Para su resolución se susfifuye y = Vx lo cual nos da como resultado una ecuación diferencial dependiente de las variables V, x, luego de lo cual se puede separar las variables y para su resolución aplicar el método de separación de variables.

Mdx+Ndy=g Mdx = - Ndy dy=- M

dxn

y = Vx son variables

dJ= :-¿:

dx

V

+ xdv dx

luego de reemplazar dy/dx por-M/N, se tendrá la ecuación diferenciat en función de NOTA: "La resolución'd"

om ecuación diferenciat

f(x) ó de una integrat, puedá'ó

no ser resuelta"

Ejemplo 79

I#.t+-[rL-:c u:l+ x2 du dx

=2,

w

=l+ y'

dw _-¿v dy

imptica

la

y

X.

búsqueda de una función

y

V

=

103

Matries y Cálado Dihrencial e integral


-L2Jfd"u +bu -L2JÍ4v

=

"

=" -Lrnu+L**LhI, 22

-i*u+x'¡

rnr-]rnO

+

ln .,r - lnJlt + x2 ¡1t * y') = ln

L='^'

*

y') = c

"

J1t+xe¡1t+y2¡

,=cJ(l +x'yt+y"¡ ejemplo

80

{sohrción gercral)

(2 + y)dx - (3 - x) dy = 0

:tj1

(2+ y)dx ___n (3 - x)dy (2 + y)(3 (2 + y)(3 - -r)

x) Í=É-- l-Ú'-=s '(3-¡) t(2+y) (3-r[2

+

+

ln(3-¡)+ln(2+y)

Y)rC (solwión gercml)

eiempto 81. Hatlar

la

un punto cualquiera

ú =-**y dJc x

ecuación de la curua qué pasa por et punto (2,1)

es: y'= -Q+Z¡ x

+

xdy+(x+ y\dx=0

?=Y

dv -l-xdv l=vx + ,*=v "dx dx "

M(x,y)dx + N(x,y) dy =O (son homqéneas de grado 1)

y cuya pendiente en

104


xdv x+ y dxx

rtI..............._

-

rra-

--

vdx+xdv+(1+v)dx=0 dx(l+Zv) + xdv =O (L+2vdx ----- _ fl \_ ----- r xdv

(l+Zv)x

(1+ 2v)"r


xdv x+vx dxx

rÍ4*Í-!-=o x r(l+2v¡

lnx+ jln(l+2v)=s

+2ry

+2*2*l ,.--/. '.:

x2

'.,

= lnC

=c

"=JB

+2ry-8=0 (solucíon particular)

Ecuaciones diferenciales lineales Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma y'+ Py = Q donde P y Q son func¡ones de x únicamente, ó consfanfes" Cuando en este tipo de ecuaciones, Q es diferente de cero es una ecuación lineal NO HOMOGENEA, cuando Q = O es Homogénea.

PROCEDIMIENTO DE RESOLUCION:

Método

Se

Io

1.

conoce como el método

de VARiAC]ON DE LA COIVSIANIE AIRBITRARjA

(Demidovich pág 355) y su procedimiento es el silluiente: a. Se encuentra la solución general de la conespondiente ecuación lineal homogénea. b. Suponemos que en esta solución, C es función de x y derivamos con respecto a x. c. Calculada y' e y, reemplazamos en la ecuación propuesta y obtenemos la solución general. Ejemplo

82: Resolver

lA

ecuación y' = ytg(x) + cosx

y'= ytg(x) + Cosx o y' + Py = Q y'- ytgx = 0 (Ecuación homogénea) Solución de la'ecuación homogénea: Y

= C/cosx


!

=C

<,t*sec(r)

reemplazo

:+

integral

,'= !9sec{*¡

en lo ecuación

105 + C * sec(x)


tg(¡)

propuesta

C +"og fdx.'cos.r*C*t"Y=tg¡* cos-.r cosf =f +lsenzr+g, (¡'24

Cr,r

=c6.¡*secx )Y =(C,. L*ir"nz*)*r"",

Y

Método 2: (Granville pá9. 468) sugiere el siguiente procedimiento:

a. b.

Reemplazamos fuz , siendo u, z funciones de x Derivamos Y: Y'= uz' + tt'z Reemplazamos Y=uz e Y'en la ecuación propuesta:

c.

"+.(+*r,) dx \á ) d.

Determinamos

*z=e

u integrando

*dx + Pu =O

Por facilidad de resolución, en el cálculo de u es conveniente asumir la constante de integración igual a cero.

e. f.

Detetminamos et valor de

z

integrando -dx

u*

=Q

El valor de u que se reemplaza es el obtenido en el numeral d.

El resultado se obtendrá reemplazando u, z en y = uz

ejemplo 83 Reso/ver la ecuación y'= ytg(x) + cosx

!=tt*z ) ,ii:, ''t','-,r

!=r**ug dx dx dx

zdudzl\ - +u--ltgxpz &

dx

=Cos.r

dz (du \lz cosx u-+l = -utgx ") dx \úk :." du --l--utgx=A = il=sec.x dx dzdzll ?J--:*=COS,t' SeCt =COS.¡ dxdx24

!=uz

=

Z=

)X+:Sen2X+C

,=r""r(lr*lr"nZr*C) \2 4 )

y,=ytg(x) +cosx o y, +

ü

=e


integral

106


Método 3.Este método pa¡te del hecho de deducir una fórmula general para la solución de la ecuación

y'+py

= q.

Resotviendo

la

ecuación

4

* pu= 0 fenernos:

d'c

nu+ [rax=

hK

lna = lnK

- [r*

'dx ", ,4 = Q ar=9J'*e integrando y K

u=

Ke-l'*

SustituYendo

considerardo comt)

sustituyendo

un factor

en /=uz

integrawe, u = J'*

! =u-'|.(¡"oa-*c)

X

Se recomienda este método siempre y cuando la integral sea favorable en su proceso de solución

eiemplo

84. ,'*[-

resolver

*)r=Q+,ft ¡

ll=€t

Y=

,'-#=Qfi%

I

2dt

' - x+l=e -tn(r+t)2

e^'*"

U¿-w'*''t'

* 1x+t¡%ax+c)

t =!O+t)% +c "t*'*r)' En

el segundo miembro de la respuesf4 se puede resolver el exponente

logarltmico así: z

-

lnz = ln(i+-

"tnd'*t)

!\i

*1""

* (x+l)2 2. t/ 7

-y =|k+l\/z 3'

+

C(x+

l)'

É,cuaciones diferenciales exacúas (EDE). "La ecuación de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy la diferencial total de una función u(x,y).

=0

(1) se llama EDE si su primer miembro es

La condición necesaria y suficiente para que

(1)

sea EDE es:"

Matrices y Cálctrlo Diferencial e

dM dy

integral

107


dN dx

Para la soluciónde esfe tipo de ecuacionesse sugieren varios métodos, que los explicaremos en el proceso de resolución de ejercicios:

Método sugerido por Earl Rainville: Ejempto 85. resolver la ecuación 3x(xy

-

2)dx +

(f

+

2y)dy = g

1.- Comprobamos sí es una EDE:

M

=3x2v-6x 'dy

dM

=3*'

*d' =dN ¡ dy dx :.;.,

dN

N = x3 +2y

2. Determinamos

=3*'

F tomando M = dF/dx

DF/dx = M

EDE

ó

N = dF/dy según la facitidad

que

presente.

=3x2y*6x entonces: F = xsy-3*+Co¡

Se integrórespecúo a X manteniendo consta¡¡te Y Determinamos C¡9 considerando que la función F calculada safi.sface también a dN/dy:

dF dy

:;;j

- *'

*c'(r) e

ff=

nr = x3

+2y

C'(»=ZY :) C{rt = !' F=x3y-3x'+y' como F =C = x3y-3x2 * y' =C

(Solución)

elmQto 86 . resolver ef sigyiente problema utilizando la sugerencia de Kisietov-Makarenko.

!t&*

xy'dr+ x'ydy

+

ytú =a

Se comprueba que es EDE; y, a continuación:

Matrices y Cálct¡lo Diferencial e

x'dx+ )cy'dx+ x'ydy

x'&

108

integral


+ y'dy=o

+ xy(ydx + xdy') +

y'dy =O

si: w=x! á ff=r*.*

dw=t&+xdy

x'dx+wdw+ y'dy=0

xt

w'

424

yn

L:-=^

-a-

xa +2(ry)2 * Yn

=C

Solución

'i:r.;l

Factores intqrantes

Para aplicar esfos factores integrantes, es sufcienfe presentan exactas que frecuentemente

*

reordar

las síguíenfes diferenciales

d(xY\ = xdY+ Ydt a1!¡ = Y&1xdY

vy'

a(-¡

=

xy-

xdY -rYdx

tY ='1x x-+y'

d@ctgL¡

.,} Dete¡mi nación

de factores integrantes ..:,

Se sgrue

"

el siguiente procedimiento

siendo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, aceptemos una función p(x,y) gue sea factor integrante de talmanera que la ecuación lMdx + ¡Ndy = Q sea exacfa.

Matrices y Cálculo Dibrencial e

htegral

109

tng. M.Sc. washington Medina G.

* fuu'''''('"') ) = fr{u"''''N""'"\ udN *Ndl'=udM +u4L 'dxdxdydy dt, _n dy

dN --du dM _+Iy, =tl dx dx '*1'l Ú ,t

F(*l

.dN dM. du *- ú)---u<*'>á

Hurl

p,_t(¿u_dM)

l-ivl.d, - e)

l' = ¡urrción exchuiva de p

x

De lo anterior, se deduce que:

,

t,

#)= fb)

*(#

lÍGt* \"*

dt , - s, !({-

U\¿y

es tunción exctusiva de x

será factor

,

entones

integrante

= sO) es tunción exdusiva de y, entones +l dx t

o

"-lt
será factor

ntegrante

& verifica,la ecuación no tiene ningún factor de integración grre see funci6n excluslvamente de x o de y.

Si ninguna de las condicbnes indicadas

Matrices y Cálarlo Diferencial e

integral

110

lng. M.§c. Washingrton Medina G.

Eiemplo 86

(2*'y-2y' +zxy\du+(¡t dM a2 2x2

dy

-4Y+2x

Zy)dy=O

dN ]=2x dr

f(x)=+g-*»-w-'-2Y) N' dy dx' (*' -2y\ -z gÍr<,w=€fza, =e 2x

d'[(z*'y -zy' +zry)dx +(xz -2y)úl=o Í(z*'ye" -zy' eu +zÍye21&+@, d" -2ye'\dyl=o derivando

se

compruebo, ry- =+ dy dx

r = [u*= t1z*rtd'-2y, f'+zxysf'¡ax .=/,,

.,

I¡ = x'y e" dF¡2x^2x

!'

gu

+ crr,

*c'e¡

Or='" e--ZYeC'Ot =0 = c0) = 0 F = x'ye" - y'e"

-'1V

=

*'ye'* - y' e" =c

Ecuacíones que pueden ¡educlrce a la Jo¡ma ltneal y.+ py =

ef

Si n = O Es una ecuación lineal Si n = I se puede resdver por separación de variable

Sin> l Noeslineal Y=uz

.\='; ,

ry*+*puz=eu,zn & dx a, calculamos u manteniéáilo ta constante de integracifun C=0. b. Calculamos z (como en et análisis dettema anterior, manteniendo es decir:

u4

dx

= ounzn

ta

iguatdad a

e tlnl

,

Matrices y Gálo.rte Dihrencial e

111

integral

: lng. M.Sc. Washingrton Medina

G-

Ejemplo 87. Resolver la ecuaeión diferencial indicada xdY

dx

.Zv y'--' -z x

-2v =2x

. A y'+py =Q

v =rz o9* r!!-z*u*' 'dxdxx

=z

dz ( ¿u 2z\lz - ¿ u-+l dx [dr --- x)

(4-4\=o e x) \á dz-2 u--z dxx l=ltz

u=x,

:+ z=c-3

y=cxz -2x

Sugerencia; Resolyer et ejercicio anterior con separación homqeneidad de lasfunciones, de sernecesario.

xdv-2Y=2¡a dx

dv.- -Zv.= 2

dxx

xdy-2ydx=2xdx

, dfl=-

(2x+2y\& x

->

M(x,y)dx+N(x,Y)dY=0

:,r¡

M(x,Y) = 2x +

2Y

MQx, bY) = 2)'x

+

N(x,Y)

21!

MQx+ty) = 1{x+2y)

.

"" ..:

Y=vx dy= vdx +

xdtt

=

x

N)x,Y) = Ax

una ecuación homogénea

de variables, y comprobando la

Matrices y Cáliulo Diferencial e

112

integral


,, , fu _2x+2vx I t-

dxx

V

+*& =2+2V &

'& =2+v dx *=[* lnx-ln(2+v)=6

r ln2+v =lnC x' 2x+ y

2cx+cy- xz =0

x' -Zcx c

61. Ecuacíones diferenciales lineales de orden superior Ecuaciones diferencíates lineales homogéneas

de ll orden con

coeficientes

consfanfes.

0

(1) donde P, Q son consfanfes, para encontrar la Sea /a ecuación Y" + PY' + QY = solución general es suficiente considerar la solución particular partiendo de:

!=e" Derivando:

!'= reo

\*:,,

!"=

r2eo

Sustítuyendo: rzeo +Preo +qeo

".^(r'

*pr+

=0

g):o

5,.",.0' *Pr+g)=

g

lz1

Entonces, si res ta sotución de la ecuación (2), será ta sotución de la ecuación (1).

A ta

ecuación

(2) se la DE LA

CARACTERISTTCA (2), se presentan fres casos: 1

.

Si

conoce camo SOLUCÍON AUXILIAR O ECUACION y, dependiendo de las soluciones de la ecuación

ECUACION,

r1 y 12 son raíces reales e iguales

La

soluciÓn se /a escrlbe como:

!

=

(r1 = 12)

Cr€" * Cr*d'


integral

1

13

88 : resolver la ecuación y" +2y' +4y

Ejemplo

Ecuación característica:

f

g

=

+ 2r + 4 = 0

(r+2)2--0

+

!=C&

+XCr€-'

r1


=r2=-1

y r2 son raíces reales y distintas (r1 * A)

2. Si 11

Ejemplo

89.

resolver la ecuación y" +y'- 2 = 0

I * r - 2 -- 0 (r+2)(-1)=0 + 11 =-2 (2=1

Ecuación característica:

y=creu'*crd

Si r1 y 11

12 son raíces imaginarias:

f

+

pr + q = 0

=a+bi

12=a -bi y = C reb'u't' * C r"r"-u'\' = ¿f (C reu" * C re-u'') Efectuado el análisis algebraico, la solución finalse la expresa como:

y = {(Crcosáx+ frsenáx) donde a, b se determinan resolviendo

la

ecuación cuadrática por medio de la fórmuta

Af +

Bx+C. Para una mejor comprensión, la ecuación característica se

Ia expresará con D en lugar de r,

lo que permitiná relacionar con la DERIVADA. Ejemplo 90: Encontrur la soluciÓn particular de la ecuación y" + 2y' + 5y = 0 x=0, y'=1. Para las condiciones iniciales

f0,

D2

i:,:

+2D + 5= 0 susoluciónes.' D =-1 x2¡

y = Qrg-'cos2x+ y' = 0

C r{* e-'

a

Qrg-'sen2x (solución

=-7, b = 2 general)

g' senZx) + Q r? e " sen2x + 2 g-" coslx\ (r{osenO = Cr=0

cos 2x

= Creocos}+

I

-

2

i= gr{-eosen0+2g-ocos0) =

Cr=:

I y = *i'senlx solución particular) '2" eiemplo 91. resolver la ecuaciÓn y" + 2y' + y = 0 gP+2D+1=0*Dl=D2=-1

Y=C§-'+CzXe''

integral


1

15


[(D-a)'z+62¡. Lo que se deberá considerar simplemente es gue sien la solución pañicular existen

coeficientes, esfos son inelevantes, Ejempto

92:

Encontrar la ecuación homogénea de y = 4e2* + 3eo

4e* -+Cea -+ m=2 3e-' -+ Ce-' -+ m = -1

-)

-+

(m-2) (m +

1)

(D-2)(D+1)=0 D2 - D-2 = o -->Y' -Y'-2Y = o tJna vez concluido este estudio, la solución de una EDLNH se puede resolver aplicando el METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS, que consrsfe en definir o calcular dichos coeficiente, tomando en cuenta que el método es aplicable solamente cuando el

miembro derecho de la ecuación es una solución particular de alguna ecuación diferenci al li neal hom ogénea con coeficí entes consúanfes. Se debe recordar que la propuesta del método es conveftir a en una EDLHcon coeficientes consfantes.

93 Reso/ver la ecuación:

Ejemplo

1.- Calculamos Y¡;

4ocos2¡

eo'+xeo' =

Y'-

2Y =

2X- 40cos2X

(D+z)(D-l)=0 = lr=ct€'+cre-"

+D-2=0

D2 2.- Construimos Yc;

2x ?

Y" +

D=0, D=0

a=0, b=2 f1»-"¡'+u'l 3

3..

D2+22

Expresamos /os facfores de /a parte homogénea ecu ación h om og é nea factorizad a :

(D +2)(D Yg =

4.

cre-"

la EDLNoH propuesta

y la pañe particular en una sola

-r)D'(D' +4) :0 +

cre'

+ A + Bx + C cos2x + Dsen2x

Determinamos /os coeficientes de Yc:

yc = A + Bx + C cos2x + Dsen2x

y'c = B -ZCsen2x+2Dco$.2x jy" = 4C coslx - 4DseniDx

"

5.

Reemplazando en la ecuación original, se calculan los coeficientes indeterminados formando previamente un sistema de ecuaciones:

6C+2D=40 2C-6D=0 28=2

B-24-0


integral

A=--

I

1

B=-1

16

C=6

lng. M.Sc. Washington Medina G

D=-2

2

6.

Construimos la solución. Yg =

cr"-"

+

cre' -

I

i2 - "r + 6cos2x -2seta

Hemos v¡sto que el método de /os coeficientes indeterminados es apfbable a la solución de ciertas ecuaciones diferenciales: aquellas en las que el segundo miembro es una solución pafticular de la E.D.L.H. con coeficienfes consfanfes. A continuación estudiaremos uno de /os métodos aplicables a ecuaciones que no presentan la restricción menc¡onada en el párrafo anterior, en lo que respecta al segundo miembro, método conocido como VARIACION DE PARAMETROS.

Método de variacián de parámetros. Siendo la ecuación f(D)y = R(x), suponemos que el miembro derecho tiene un compoftamiento adecuado para que las integrales que encontremos exisfan, este método sugiere el siguiente análisis, tomando como base una ecuaciÓn de segundo orden de la forma

-,)

Y"+aY'+bY = R(x)

1.

Definimos

la

solución

de una ecuación

homogénea f(D)y =

I

do ndec t, c z so ttconsfantes rrn,rrr:,:: ;';;;*:;""

.'

2.

Reemplazafios c* c2 por funciones desconocidas de x: A, B, considerándolas como nuevas variables dependientes.

3.

Luego delanálisis, el proceso de solución es: y" = Ayr+ By,

i" nos imponemos como condición

'r.a.:,)

= Ay, + By| + A'y, + B' y,

A'yr* B'y, = 0

Y'r= AY':*BY', /" = Al" t* BY" r+ A' Y' r+ B' Y', "

Reemplazamos en la ecuáción original (ecuación planteada), y, organizando en términos semejantes obtenemos:

A(y"r+ay'r+byr) + B(y"r+ay'r+byr) + A'y'r+B'y'r= R(x)

l-t

0

lr

0

(tratamiento como homogéneas)

A'y'r+B'y'r: ft(x)

4.

De esfe análisrs se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas, que nos permitirán calcular los coeficientes A y B, y por ende conocer Yo :


ejemplo

integral

95: resolver y"'-y'

118


=x

(D'-D)Y=* D(D-l)(D+1)=6 ln

=

ct+

crd + ae

lo=A+B¿+Ce' t'o = Bei -c e' + A' + B' d *c' e' A' + B'

d *C' €'=0

ttl

Yo=Bd*ce'

Y;:Bd*ce-'+B'¿-c'e' B'

,"..ii

d -C' e'=o

t21

Y';=Bd+ce'' li = B ¿i _C e, + B' ¿ +C' e, reemplazandg en la original:

B¿ -Ce. *B' d +C' e'-Bd +Cs2'=y B' g; +C'

e-'

=

*

bI

Del sistema de fres ecuaciones formado en el proceso anterior, su solución nos da:

A'

=0

=l22xe-*

B'

C' =Lxe',

resultados que al serinfegrados se obtiene los srgurbnfes resu/fados finales:

.x'

\r-7:

/l___ )

.r

B=

j:"

-Lxe-' 22

-!e-'

B --l xe' -l e' 22

La solución general será:

!e

= Ct+

Crd + Cre'

lc

= Ct+

Cre + Cre

r-xll

+ A+ B gi +C

--x'

e.


66.

Srctemas consfanfes.'

integral

1

19


de ecuaciones diferenciales lineales homogéne(xr.con coeficientes

tJn sistema de EDLHCCes de /a forma:

*dti=fA'.orx j+ f Q): o

Para su solución se plantean dfversos métodos, como: el método de Reducción de un sisfema a una ecuación de N-simo orden, el método de Euler (entre los de mayor uso) así como el de Combinacrbnes integrales y el de variación de las consfanfes; para nue§ro estudio, será suficiente elconocer los dos primeros méfodos mencionados. Método de la reducción de un sistema e una ecuación de n-simo orden. Consisfe en reducir e/ sLsfema a una ecuación de orden n, es recomendable en sisfemas de bajo número de ecuaciones ( 2 ó 3).

'

,r I

:'

Ejemplo 96: lntegrar el siguiente srsfema

4=r*3 dt

Q=x+3 dt

Procedimiento: r,

-

dx ^{ - -

'- -dt

dv

dzx

dt-

dt'

d2x

dtr-x-3:0

= x"-x=3

resolviendo la última ecuación (x"-v = 3), se obtiene

.i:.','"1

la solución

x,

luego, derivando este

siguiente solución:

;

!=ct€t *cre-t +3 y:cÉ -c2e -J

Método de Euler: Como lo plantea Makarenko, para ecuaciones:

el

análisis se examina el siguiente slsfema de tres


integral

12O


dx

-- -=LJC+by+cz

dt

dy

..1

i=or*+Srf+grz dz

fr=or*+br!*czz

*=lCi' y=pd' ,=re" Reemplazando las vaiabtes x, y,z en el sr'sfema de ecuaciones forma un sisfema de ecuaciones gue permrte calcular 1, p, u

y

simptificando con efr, se

(a-r)l+bp+cv=0 /\ ArX+lbr-r)pl g,v =0

,,J:

ArX + brF + (gr* r)v = 0

La ecuación anterior permite calcular el valor

r

considerando que al ser un slsfema homogéneo,'se iguala a cero y se procede a calcular el determinante, formando previamente la ecuación caracterí stica :

A =

a- r dt O2

b fu-r bz

c

ü Cz-

Í

=

Q

Asumiendo que las raíces de la ecuación característica 11, r2, 13 son reales sustituyendo r por r1 se obtiene )u1, pl, vl, r por r 2 se obtiene A.2, ¡t2, v2,

obtiene 13, p3 v3, en base

a esfe

y

distintas,

r por 13 se

proceso se obtiene fres srsfemas de solucrbnes

pafticulares:

),re'" xr= ),rer" xt,= 1r","

xr=

Fr€'" !r= flrd" !r= llr€,',

!r=

zt=

vrdl

zr.=vr,er" zr= Vre,,,

Una vez efectuado el procedimiento indicado, la solución generalse presenfa así:

x = CrXt+ CzXz+ Ctx,

y = Ct!t+ Cz/z+ CzV, z = CtZt+ CrZz+

Crzt

En el siguiente ejemplo planteado por Makarenkq se observa mas claramente la solución.


integral

121


dx

d'=t*-Y+z Eiemplo 97. Resolverelsisfema,

* = -x+5y dz 7ü = x- Y+32

z

la ecuación característica es:

ls+ -1 1 l-t s-r -1 -t 3-r ll

I

l=o I

Luego de resolver el determinanfe, se obtiene:

_,...,, :it

f - tlf + 36r - 36 = o Sus raíces son: 11 = 2, 12 = 3, ecuación característica,

se

13 = 6, y, reemplazando cada una de las raíces en la resolverían tres sisfemas de ecuaciones que nos permiten

calcular lo siguiente:

4=l L=l 4=l

l4=0 l1r=l l4=-2

vt=*t vz=l

vt=l

At ser un sistema homogéneo que posee infinito nitmero de soluciones, Ia solución de los tres sistemas indicados se to hizo tomando en cuenta que son DEFECTUOSOS.

Las so/uciones pafticulares serán:

€'' !r--o zr= -e'' zr= d' xr= e't !r= e'' xr= eu' !r= -2eu' zr= eu' xr=

x=Ct€2t +crg3t+cre 6t ,' .

3r^6t !: Cz€ - ¿Ct€ z=-Ct€2t +Cre3,+Cre 6t

En forma general, los sistemas de ecuacion¿s difereneiales lineales paeden ser homogéneos y no homogéneos, en igual forma, su solución dependení del tipo de raíces que se oblenga, los que pueden ser con: YALORES PROPIOS

REALES

Y

DIFERENTES, VALORES PROPIOS

REPETIDOS Y VALORES PROPIOS COMPLEJOS.

r

122

integral

Matdces y Cálanlo Elferencial e

lng. M.Sc. Washington Medina G-

Soluctón con valores prcpios rraares dife¡entes: Ejemplo Resolver

( 4 -r)

x'=[\-4 f

4)

|

x

o-^t-s")=g -rl -+

[-+

-,-] [ I n-u4-o)lcr) ",-'|

[-+

vi

)i=6;12=2 Ct=1]Cz=-2

=Q

l,f r,r[Sl =e+ cs=1,c¿=2 Ia solucón es;

ed .",[

.="{.;]

)" otra forma de expresarlos resulfados es la siguiente:

x = Cteü +Czez Y = -2Ctee +2Cz& Solución con valorcs popÍos rcpeffdos: V1'-l .' ,j

Eiemplo ResolYer

(

I -lYx':\

{'=L 4

',LvJ,:."

l r-^ -rl

L 4 n-d=Q+

l';'o,,,iJ

)"1

[sl=,

=10;12=10

c,= t;c2=-2

Matrices y Cálcr.rlo Diferenciale

,,=

e'^.,=[',),"'.[:]

[l] y

derivamos X2


+e1ü

reemplazamos en la original, obteniéndose los valores de las nuevas a2, de lo cual, la soluciÓn es:

incógnitas a1

y

x= Xt +

Xz

f,=

123

integral

+ *l'rl "- + ,,[;] ",llo, t,l

e'*

Solución con valores propios complefos: Ejemplo Resolver

,'=[ f

'r:J; ]

-ul ,-^ -¿-)=o*

il =-1+i;)2=-1 -i

Iz

para ].1 =

-1+i: ct = s;oz=

a-

i >[;,]

e(1+t)t

[] [:.1] Parte rcal del vector propio ( Re

La respuestase expresa

con

)

Parte imaginaria del vector propio ( lmg

la sigubnte fórmula:

X = e{cos{C fie + C ztmg) + e{senú Donde el exponente de

ea

)

proviene

de X'1 = -1 + i

La solución por lo tanto nos quedaría:

(C t

tmg

-

C 2Re)

Maüices y Cálanlo Diferencial e

[ul lJ

x=etcosr Solución

de

1,.|."1

[o]

;.| LsJ LtJ

",

124

integral

+e{senr",|.;

[ul

LtJ .| "lLs,J

no homqéneo

unsJsfema


por el método

de vari*íón de

Ejemplo Resolver

o '-l ,. ['I

x'=f

[-z s)' f

LrJ

u^s!^) ,I =o '+

L5' V,i

con

tl

= 2;.x2 = I

11:

(-, [-z

,l[",1

, )l:4

=Q + ct=1,c2=2

con 12

,ll"J =Q + f-, 2 L-2 JLC.J \ri

xr=

[; ]"

Ce=1,C¿=l

" {; ],

lá solución homqénea sría:

,l

t *n =",11

""

+

t,l

" [rJ

,

parámeürcs,

125

Matries y Cálanlo Diftrencial e integral

lng. M.Se. Washington Medina G.

la solución paúicular se wstiuye asumierúo a las constanfes Cr , Cz crittto variables:

xp=

derivando Xp

y

a'4;]

ez

+ az'[;

reemptazando en

la

]

e'¡

originat se calculan las va;riables at $)

,

az $)

(o r) f,"1 x'p=l s)l.xp*ll L2J t-2 r:.'.:11

calculadas las ¡nencionadas vañables, reemplazamos en Xp, luego suma de la sdución homqénea mn la sluciÓn pafticular-

xs=

:::::l

",[;]"."{

, :]

{;],

. ,[;]," .[:]

el

resuftado final será la

J

126



67. LA IRAflSFORMADA DE APLACE: (Resumen tomado de Ecuaciones D¡ferenciales de Earl Rainville) En igual forma que es factible considerar un factor transformador de determinadas funciones en otras funciones corno es e/ caso del factor D (út¡l para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constanfes); se puede considerar otra transformación cuyo papel es cada vez más impoftante en matemáticas puras como en aplicadas, esfa es /a transformada de Laplace, cuya efectividad se visualiza en el estudio de problemas de valor inicial que contengan ecuaciones diferenciales lrneales con coeficienfes consfanfes.

Previo al análisis de la transformada de Laplace, conozcamos a/go referente a la función continua por tramos o seccionalmente continua, necesaria para entender el dominio de L.

La función seccionalmente contínua, en su reconido tiene cortes permanentes, lo que impide que una sola función represente dicha gráfica ejemplo,

67. Definición de la transformada de Laplace:

"Sea F(t) una función tal que las integraciones encontradas puedan ser legítimamente reatizadas para F(t). La transformada de Laptace de F(t) es desrgnada por t/f¡t1/ y se define por:

$r\=

Ír-',

F(t)dt =.f(s)

Esfa expresión es conocida como transformada de Laplace o también es considerada como elfactor que transforma cada función F(t) de un ciefto conjunto de funciones en una función

f(s)

:: ,.

Se observa cie¡tas particutaridades como:

Se utiliza la letra t como variable independiente , considerando el hecho de que en la mayor pafte de los problemas de valores iniciales la variable independienfe es e/ tiempo.

Como generalmente no se consideran valores negativos de tiempo, es meior restringir elanálisis al intervalo [0,a) en eleje horizontalt. La continuidad por tramos no garantiza la existencia de L[t(t)], por lo que la expresión representativa de Laplace debe converger cuando B-+a, al menos para


127

integral


un valor de s, para asegurar esta convergencia, se debe cons¡derar que f(t) esté afectada por alguna función exponencial, de esta manera se requiere que e EXP st f(t) tienda a cero rápidamente a medida que t tienda al infinito (que t crezca). Si fenemos una función F(t), deberá tener caracferísfrbas de continuidad; asociamos a esfa la transformaila de Laplace, por ser una integral impropia puede converger o divergir, esto depende de s (A la transformada de Laplace se la identifica también como f(s)). Por conveniencia, se acosfumbra a escribir así:

¿{rfrl}=

l* f ¿ st trqt¡dt

Ejemplo 98:

u=t du=dt

L(t¡=§*f"-"r0, ,

=

-:,

uv

- [vdu =

*lIu"o,)',,

¿,-""dt

-:"" *l !e'"a,

]s[- lu-" Hs[- l"-" 1 -s*o -- b -sá -. t -ra 0 -s.o*?e

-i."],

*;e ',!*-;e -',*7e . , +o+1 -rim-l b+a ,2 sb b+a , sb-tim-l S' CUANDO:

S=0 S<0 S>0i

DIVERGENTE DIVERGENTE (tiende alinfinito)

htl

(converge a cero) 77+o+; * ¿{r(r)}=¡! (siempre y cuando s>o)

Si S es menor o ¡gtuat.p"cero, no existe transformada de Laptace porque ta integrat es divergente. .De

lo

-

H factor de laplace transforma una ecuación diferencial con coeficienfes consfanfes en

antes indicado, podemos considerar que:

una ecuación algebraica para la función transformada. El interés de esfe tema consiste en la aplicación de la transformada de Laplace para re solver ecu aciones d iferenci ales. una de las razones del estudio de la Transformada de Laplace es su utilidad como menos elementales, instrumento para resolver problemas en aplicaciones rnas particularme nte proble mas de v alor i nici al en ecu acione s diferenci ales.

o


-

128

integral


En et cátcuto etemental encontraremos gue discontinuidades finitas o sa/fos finitos del integrante no inbrtieren en la existencia de la integral.

68, Transformadas de funciones elemenúafes: Son transformadas de ciertas funciones trigonométricas exponenciales y de algunos polinomios, mismas que pueden ubicarse en un formulario de transformadas básrbas. Eiempto 99: demostrar

que I{cosKr) =

L{F(t)\ = f g-" cosktdt

u

-

d"or*- f r*', enktdt f

-

iror* * \

igualando

al original y

-r-s, ktd, =lf e"

f,,

>0;

t-[oi

e-"

¿u =

sení

¿"

¿Y =

,S

>0

dt

g "' dt

! e " costadt despejando

.iQ
"r,

PARA S

-5

¿",rn.

=coskt u=

para

?: U

n0

s

l'

cosfrr)_].

cuando f -+ co

Qrsenk*o-scosfr

.o)]

Z{coskr} = ---{-

F+?

(s >

k'+s'

0)

(lqqd)

69. Derivadas de Transformadas:

-.,,,.. .'

Esfe teorema es útil en varias formas, una aplicación inmediata conssfe en ayudarnos a hacer una lista de transformadas con muy poco trabaio. Teorema: "Si F(t) es una función de cfase A, se deduce de L{F(t)} = f(s) que, para cualquier número positivo entero n,,1,"

'*

as

F(t\\ \-/, \-/ = L{(-t)' ¡A> -(\ -/ _

eiem 100: sabemos

por

lo

tanto, con

eiemPlo:

de

ta

(-l)' * t ¡«» á' L{t'F(t)\= t , -(- - \ ,, dsn

acuerdo a lasfórmutas que.'

apticación

,k

= L{send\

del teorema, es decir, derivando los dos miembros del

129

integral



2k. . L{-tsenkt} = L{Lsenlal = - (s2 + k2¡2 -'*zk"""'"' - --l--: (s2 + k2 ¡2 eiempto 101. recordando derivando con respecfo

a

que

= Z(cos/rr)

,:p

S:

k'-t='==L{-tcosh} (s2¡lrz¡z-"t

si

agregamas

s2 +É

+'k'-,'

1,1u-

-+ § +r

= L{lsenlo\ K

=L{i'entd-rcosh}

en consecuencia: I I _, = L{*¡'"nH -tcostal

G+W

:1 :':\

)t:,/

en los ejemplos anteriores podemos

obseruar como pueden definirse otras fórmulas de

tran sform ac ión d i recta.

70. Transformadas

de derivadas.

El teorema a plantearse es básrbo en el empleo de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones difercnciales lineales con coeficienfes consfanfes, puesto que permite transformar tales ecuaóiones en ecuaciones algebraicas Teorema: "Si F(t), F'(t),.....F''1)¡t¡ son continuas para t>=0 t-+a, y sil^)¡t¡ es seccrbnalmente continua, de:

y de orden exponencial cuando

L(F(fl) = ¡6¡ Se deduce:

(t)\=,S'l(s) - !S'-'-*f<*r1O¡ se denrue stran a Ái¡rrr"¡an, a manera de

L{F@ Atgunasde

las

transformadas

ejemplo:

4rQt g7¡= .§'l(s) - sr(o).- F (o) ilr'(') 1r¡¡ = ,s'/(s) - s'?F(o) - sr'(0) - F"(0) .L{F(\ (t)} = sol(s) -

^y3F(0)

-,s2F'(0) - sF"(0) -

ejempto 102. encontrar la transformada

para y@= A

y

Y'@= 0

de

F{3) 10\,etc.

y- +3y' + 5y = s3*

130

integral



s'-f(s) - §/(o) - /lo¡ + 3{s/(s) - !1,¡\+ 5/(s) = *

,f(sXs'+3s+5)=+ s-J

-:--l-

-f(s) = (s2 +3s+5)(s-3)

71. Tnnsformada inversa: su inversa, corno es e, caso de la derivada y la integral, puede la inversa de la transformada, a la vez disponer de un definir se en igual forma fácil de encontrar las transformadas inversas de Laplace es lJna forma básico. formulario construir una tabla de transformadas y usarla a la inversa. Recordando que toda función tiene

siL{F(t)} = f(s), F(t) = ¡"{16)}

lJn teoremasenc¡7/o y útit para manipular transformadasinversas de

."/..

,f(s) =

f

es

""r{r¡a,

rt

{,f(r)} = g"'

1f G

- a\}

Se lo demuestra así:

,f(s) = f,

e-"r{,'¡*

f(s - a\ = f sl'''\' F(t)dt = t r'{.f(§)} = F(r)

""

{d' ra\a,

r'{.f(t-¿)} = é'rQ)= ii'rt1¡1s¡¡ r'{.f(s)}

=

e'

D' {f(s

-a)}

eiemplo 102. encontrar

t'{F#

* rr}

15

'

G;*

+,

.:Qgmo t^

«Tfu)

= senld

rr'{ffi}=5* ¿''r'1}-\ L-r

eiempto 1a3. catcutar

la

tts'+4s . 15

i,'*

S* Y

= +13-"

inversaAe i-11 ^-t1L-1 2 +6.r+25t

sen3t


131

integral


(s+3)-2 , L-'{+*l*2-2' L4?--!lf-\= '-r' lG+3f +16' (s+J)- + lo t"*¡t' *rO' " L-'tifrr ="''1, tpl*r-r'{#c}] =

"'"

=."[t'rft*t-*'^,eh'] rr1--JJ1-y

72. Apticación de Transformadas a la frontera

;.:.;

a

=¿ "1cos qt-Lsen4t)

problemas elementales de valores

Como vimos anteriormente, el factor Laplace transforma una ecuación diferencial con coeficientes constanfes en una ecuación algebraica para la función transformada. Desde el principio, este método es et meior, cuando las condiciones limítrofes son condiciones iniciales y dan el valor de la función y de sus derivadas en el tiempo cero. Eiemp,tos

104. resolver y-

+

y

=0 para !$) = 0

y'10¡ =

1

s',f(s) - s!bt - lis¡ +/(s) = 0 s',f(s) - s * 0 - I + s/(s) -0 = 0

s'.r(r)+/(s)=1 I

f(s)=s- +l

-

APLICAMOS LA FORMA TRADICIONAL (es decir ecuaciones diferenciales linealx), EL RESULTADO ES ilACTAMENTÉ EL MISMO

Sl

Al ser la intención de este capítulo es presentar conceptos básicos rec,omienda al lector siguientes temas en la bibliosrafía indicada al final

. de ecuaciones diferenciales elementales, se

IYI*H[Jos

73. Funciones peñódicas: Supongamos que F(t) es una función periÓdica de período w: F(t+w)=p¡¡¡,


LtF (t)\ =

L f."" ¿=0

L{F')t)\ =

"F

integral

132

lng. M.Sc. Washington Medina G'

ltydt

"'

( ¿"n7¡a,* f" e"F1t7dt+ f e-"rl\dt+...-..--.

Resolvrbndo la serie, se obffene;

¿{F(r)} =

donde

W

w es er

período

74. La Funcíón Gamma. 1Nos permite obtener la Transfotmada

de Laplace de potencias no integrables de

t.

r(x) = f e-'§'âB

f(x+r) = f,eor'.t-td§-- [,"-o§'aP Aplicando integración Por Partes

I(x

+ 1) =

* f de

p'''d/ :)

f(x

+ 1) =

I(x)

15. Teorema de Convolución para encontrar la transformada inversa. Este teorema permite definir ta transformada inversa de un producto de transformadas.

si L{F(t» = f(s) Y t{g(t)} = s(s):

rr{/1s¡g(s)\ =

[r ¡P¡G(t - fidP

76. Teorema de la tardanza (Función escal6n).

rt

7e-* ¡1s)) = F(r - c)a(t - c)

77. Series de Foutier.

Yi:,j

La siguiente ecuación se denomina serie de Fourier

f (x) =Lo.*i{a,"or!9

+

fi,senry

donde:

o,=1"!"

f{x)coslLdx

b,=l ! f@\senlLdx

n =1,2,3,4,-...

n=r,2,3,4,..

integral


133


FORM U LARI O DE TRANSFOR M AD AS /NYERSAS

Tomado de: Ecuaciones diferenciales elemenfales de Earl Rainville, Edit. Trillas, México 1974, pág 235,236

L{rG\l

"f(s) =

f(s-a)

f

{as + b'¡

!"*'c>o e* Íb),

c>0

F(t'l

d re\

l"'",tt»

a(t-c)=0,03t1c=l,t)c F(t-c)a(t-c\

l(")"f,(s)

f ,,@'t,,(t - hdo

1

I

s

I

t"

§

nl

-t

*,r, _t/

5,,

tt

f(x

e

s+a "f(s) = L{F(t)\

(r."fr k

l)

(ñ)-%

I

I

+

-al

r(r)

t'g^ nl senkt

-'* k' .s

coslr

t\ k' k

senhld

§

cosh k¡

7:F 74 2k1

G'-frT

senkt

-

la cos kt

Maffices y Cálculo Diferencial e

1U

integral


tsenld

2ks

G;Ff h(l

+

l¡

l* e' t

^§

2senhh

h(tl¿r

t

^s-ft

r"o-41

21t-coshh)

rnlr+{)

?p-coskt)

k arctan-

senb

t

s

::','r:

80. Ejerciciostomados del libro ECUACTONES

DIFERENCIALES

de Earl Rainville

Ejerciciossoóre separación de varíables (Pág. 35) 1. (4 +

x)y'=

f

Sot.

Zftn¡c¡n+4] =

-1

2. cosxcosydx + senxsenydy =OSoL Senx = ccosy

ZxdY So. .f = "f * + + 4. (xy+x)dx 8'f x2 f + l)dY^ Sol. Ln(x'+1)= f -2y+4ln{c(y+1)}

3. 3ydx =

Ejerciciossoóre *uaciones homogéneas (Pág. 41)

yi,

1. (x - Zy)dx +(2x + y)dy = 0 sol: ln(x2 + y') +4A¡ctan ( y/x ) = s

2(2x"+Y2)dx-xydy=0 so/: x4 =c"(4x2+yz¡ q xy dx - ( f * 3y2 ) dy,ag sol: x'= 6y'tn ( y/c ) 4 3xYdx+(x2 +Y" )dY=0 2.

5. (x-y)

6"

(4x + y) dx + x(íx-Y) dy=0sol: x(y +v ) "= c

( x2 + 2xy

-

4y2

(y-2x )

- 4y2 ) dy = 0 sol:x'+4y'=c(x+y¡

) dx - ( x" - 9xy

9. (x' + y') dx-xydy=O

sol : y2-- 2x2ln

10. v2dx +x (v-4x)

sol:

dv

=0

(x/c)

xv2=c(v-2x)

integral


11.

135


(2x+y)2dx=xydy so/;,f (x+y) =cexp(y/x)

12. ( 3x' - 2xy + 3yz¡ dx = 4xy dy.sot: ( y- x ) ( y *3x )t = cf 14. xcsc

(

y/x)-yl

dx +x

dy=g

sol: ln

(x/c)= cos (y/x).

15. x dx + senz ( y/x ) [ y dx -

x dy ] =g sol : 4x ln ( x/c ) - 2Y +

sen ( 2Y/x

)

= g.

y-

y ln y + y ln x ) dx + x ( ln

17. I x -

yArctan ( y/x )] dx + x Arctan ( y/x ) ly = 0 sol : 2y Arctan ( y/x ) = x ln [ é( x' + y" )tyx4 ].

sol (x -

+

ú )du+

u

19. (y"- 4 xy2-2x3

,,,,ir,

x

16. ( x-

18. v (ú

20-

(x-v

)

Q¡a

+ ( 3x

ln x ) dy = O y ) ln v + y ln y = cx +y

(f *ú ) dv=o ) dx + x" ( 2y + 4 ) dy = 0 sol : f ( y- 2x ) z = c2 ( x'

+Y,,?,10_*

22. ( y + [ x' + y"]% )dx ( y/x )

+ Y"

)

.

,"i?ilíí ,Í'rr_=*irl =o

21. (y-[x"+y']% )dx-xdy=0 cuandox=3h f sol: x2=g-6y.

23. [x cos'

.

1;

x= 3*, y= sol.'x2 = 2y +1

x dy =0 cuando

1;

-y ] dx + x dy =Acuando x= 1, y = n / 4 sol : tan ( Ylx ) = ln ( e /x ).

24. ( y" + 7xy +16x2 ) dx + x2 dy =Qcuando x=1, y= 1 . so/.'x-Y=5(Y+¿x)ln x 25.

..:ii:\ ,, rr

Y2

dx + ( x2 + 3xy +4 y2 ) dy = 0 cuando x= 2, y= 1 .

sol:4(2Y+x)lnY=2Y-x.

26 xydx +2 (x2+2Y')dy=0 cuandox=O, y= 7 . so/ : yo ¡ 3x' + 4y') = 4. 27. y( 2x'- xy + y') dx - x2 ( 2x -y ) dy = |cuando x= 1, y= y2 . 28. y ( x" + y') dx * *'*r,.?oí,)i/

2e

(16x + 5y ) dx

sol : Y2 ln x = 2Y" +xY - x2. =2, y = I;

_f.y,iii!3.x

.(r;;,r/

:r;; : ("iÍfft f,?,tr: i:;a 30. v ( 3x + 2v )dx - x2 dv = 0 cuando v= l, v= /. Sol :2x3 +

2x2v- 3v = 0.

por et punto

(1,

_3

)

136



EJ ERCICIOS SOBRE ECUACIONES FJíáCTAS(P á9. 48)

Examínese cada una de las siguienúes ecuaciones para saber si son exacfas y resuélvase la ecuación .Las ecuaciones que no son exacfas pueden , por supuesfo resolverse por los métodos drscufrUos en /as secclbnes precedentes .

1. (x+y)dx+(x-Y) dy=0

2.

so/.'x2+2xy-Y'=c.

(6x +y"1 dx + Y (2x-3y) dy=0sol:3x2+

xY'-y"=c.

3. (2xy-3y")dx + (x2+y) dy =Oso/ : x2y-x'+ !Áy'=c. 4. (y"-2xy

+ 6x)

dx-(x"-2xy +2¡ dy=

5. (2xy+Y)dx+(x'-x)dy=O 6.

( x-2y

) dx +2

x) dy = g

(Y-

Haga elejercicio 6 por r:.t ' .l

2

métdos

0

sot

:y=cx(x-1 )'3.

so/

x2

¡ 2Y'= 4xy +s

( 2x - 3y ) dx + ( 2y-3x )dy

8.

Haga elejercicio anterior por otro método v (2uv2-

.

.

7.

9.

sol: xy"-x'y + 3x2- 2y= s.

=0

sol x2 + Y" = 3xy

+c.

.

3) du + ( 3ufu2 - 3u +4v ) du =0

sol:v(uT"-3u+2v)=c.

10. ( cos2y-3x2y')dx

+ (cos

2y-2x

sen

2y-2 x!)dy =Q - x"Y'=

sol : 14 sen 2Y + x cos 2Y

11.

(1+ y2 )dx +(

iy

+ y)

dy

=O

sol: 2Arctanx +ln (l+yz

12.

(1 +y'+ xy2)dx + (x'y+y+/yy)f,y=Q sol:2x+yt(1 +x)"=c.

13.

(w'+wz2-z)dw(23+w2z* w)dz=0

14.

(2xy-tan y)

)=6

sol:(w'+z')2=4wz+c.

dx + (

x'-x

sec2

sol

( cos x cos

16' (r

6

+ sen B

v-

corx )

p1;i:ÍJ

- cos B ) dr.

y) dy = 0 :x2Y-xtanY=9.

iÍ"I ii : f, ( c sen x )

{"(,i7!.1it::;?

y;: ^

17. x( 3xy

)

=c

.

- 4y3 +6 ) dx + ( x3 -6x2y2 -1 )dy = g sot:x!'2x2¡+3x'-y=s.

18. (xy'+y-x ) dx +x (xy 19. 3y(x'- 1 )dx

+

+1) dy

=

so/.'x'y'+2xy*x2=c.

(x3+8y-3x)dy=0; cuandox=0,y=l sol : xY( x2-3 ) = 4 ( 1- Y' ).

.


20. (1

integral

137

-xy)-zdx+[y'+ x'( I -xy) ''ldy=0; cuando x=2, sol : xya -f+ $xy-3x= 5.

21. ( 3 + y + 2y2 sen2x ) dx + ( x +Zxy-y sol: yzsen 2x

22.


2x [ 3x +y

-

23. ( xy' + x -

y exp (

-x2

)] dx sol:

+[

y=1

sen 2x) dy = 0;

y

= c+ 2x ( 3+

+ y2 ).

x" + 3y4 exp ( -xz ] dy= 0 + ?x3 + y exp( -x2 ) = ¡

x! + f

2y + 3)dx + xT dy = Z(x+y) dy para x = 1, y='l; Sol : ( xy -2 )2 + ( x+3 )2 = 2y2 +12

É,CUACIONES LINEALES DE PRTMER ORDEil (Pá9.52)

(f+3y)dx-xdy=g Sot.2y=f + C¡f 2. Y' = X - 2Y Sol. 4y=2x-1+ce-u 3.Y'=x-4xY Sot.4y=1+Ce-2'2 4. y'= cscx +J¿cfgx SoL Y= Csenx-cosx 1.

,í,.'j

5. (y *x+xyctg x)dx + xdy = g 5o¡. xysenx = c + §enx

6. y' =

7.

1 + 3ytg

9. (l

+

(4x- y)dy=

+ cos x)y'

xcosx

Sol. 3yoos3x=c+3senx-sen3x

resolver el ejercicio 3 por otro

8. (y + l)dx

10.

x

-

métdo

OSoL ZOx =

iy-

1+

c(y + 1)4

= senx(senx + sen x cos x - y) §oL y = (1+cpsxfic+x-sen x)

y'=f - 2xy; para x = 1, Y= I So/. 2y = f - 1 + 2s0-xz¡

FACTORES|NTÉGRANTES (Pás. 77)

.

.


l.

138

integral


(r2 * y2 + l)ak + x(x -Zy)dy =S ", sol x'-y'+ry-l=cx 2y(*2 -y+x)dx+(*2 -Zy)dy=0 sol y(*2 -y)=ce-2x y(2x - y +l)dx+ x(3x - 4y +3)dy =0 sol ,y3 (* - y +l'¡ = ¿ y(4x+y)d.x-2(r2 -y)dy=0 sol 2x2 +xy+2ylny=cy (xy+l\dx+x(x+ 4y-Z)dy=O sol- rry+lnx +2y2 -2y=" 1

2. 3. 4. 5. 6- (2y2 +3ry -2y +6x)dx+x(x+ 2y -l)dy =$ 7. y(y +2x *z)dx -2(x + y)dy = 0 sol y(Zx + v)cex 8. y2&+(3ry+tz -t¡dy=¡ sol y202 +4ry*2'¡=s g. Zy(x+y+Z)dx+(y2 -*2 -4*-l)dy=s sol. *2 +2*y + y2 + 4x +l = c!

../,,. ',,,',,

l0'

2(2y2 +5xy-2y+4'¡dx+x(Zx+2y-l)dv=g

sol ECUACTÓN

l.

(3x

*4 (y2 +2ry

- y +2\ = s

DE BERNOULL'(Pág. S2)

-2y

-2Y +3)dY = g 5(x+ y+c)=21n¡15;-lOY+

+ l)dx + (3x

sol

ll)

2. seny(x+ seny)dx +2x2 cosydy =0 sol *3 r"nz y = c(3x + reny¡2 3. r' = (9x + 4y +l)2 sol 3tag(6x + c) =Z(gx + 4y +l) 4. y'= y - *3"*2x sol "2x = y27x2 + c) 5. y'= sen(x + y) sol x + c = tag(x + y)- sen(x + y) 6. rydx+(x2 -3Y)dY =g sol *2Y2 =2f +c 7. (3tpx -2cosy)sec2 xdx + tagxsenydy =0 sol cosytan2 x = tan3 x + c 8. (x+2y*l)dx+(2x+4y-3)dy =Oresolver por dos métodos --.ij

sol (x+2y-l)2 =Zy+c

-.::-..

g' 10.

2t3 y'-

,1r2 +z*?)resolver por dos

t Y21c - x¡ =']3' (3seny - 5x)dx +2xlctgydy = 0 sol

métodos

so

*3 lrrny

- ,)2

= *r"nz

ECIíACIONES DE N ORDEN HOMOGENEAS(Pág.146)

1.

(Ú+3D2+3D+l)Y = 0

2,

¡Ot -

3.

(D6 +9D4 +

2Ú-

13Ú + 38D - 24)Y = 0

24Ú + 16)Y = 0

y


4. 5. 6. 7. 8. e. 10.

(8D'- 4Ú -2D + l)Y

139

¡ntegral z

lng. M.Sc. Washingflon Medina G.

o

(Da+2Ú+l)Y = 0 (Da+5D2+4)Y = 0

(D5+D4-9Ú- 13Ú+8D+12)Y = 0 (Dt-ZÚ+D-2)Y = 0

Q-lfÉ+Ú+ l)Y = 0 (4Du-8Ú-$Ú-17D-3)Y = 0

En /os sigurbnfes ejercicios obténgase en forma factorizada una ecuación diferencial lineal, coeficientes tineales, reales, consfanfes, gue sea safisfecña por [as relaciones dadas.

an

:.'::

:':',

l. y = 4eZx +3e- x sol. (D -2\(D+l)y = s 2. '2" r=7*z*+Le' sot. D27o-+¡y=g 4. !=sen2x 3. y=x2 +4e' 5. ! = sen2x +3cos2x 6. y = 4ensZx -3sen3x 7. !=senx+.rcos.r 8. y=x2 -*+e-*1*+cosx) g. !=e-2'*r, 10. !=2+r**2+cos2x ÉcuActoMEs No HotúoGENEAS lPág. 157,286) I.(DZ

2.

+D\y=-cos.r sol y=Cl+Cre-x*!*., -!r"* (O2

*2D+l)y=l+3x+x2

sol

. 3.

!=Cle-x +Cr"-z*

(D2 +9)y = 5ex -162x2

..,]

sol

y =Clcos3¡+

Crsen3x.lr"'

4. y"-3Y'4y = l6x -'50cp-s2¡ 5' Y"-Y="* -4 6. (D2 *l)Y =coscxctgx iol y = Clensx +Crserlx 7.

*1"'

(»2 *1)y

= s"c3

x sol

y = yc*

-18x2 +4

xsenx-cosxlnsenr

1r"", 2

Maüices y Cálculo Diferencial e integral

140

lng- M.Sc. Washingüon Medina G.

+1)-2 sol y=yc+r'ln1l+"'¡ Q.2 -3D +2\y = 12'("2' *l\-l sol y = yc +exarctage-x -Lrzxhlt+e-2x¡ 2 10. (D - IXD '3)Y =".o.r-' sol y = yc * r"n"-* -rb *"r-'

8. 9.

@2 -zD+l)y="2*("*

"3*

STSTE UAS

DE ECUACIONES D,FERENCIALES (Pag. varias)

1. x'= 4x+5y Y'=-4x-4Y 2. x'=

8x

Y'= 4x +

3. x'=

4x

v 12v

+ly

Y' = '4x +8y

.4.

5.

x'= x +-3y +32+}at Y'=-x +4Y -32-3¡t Z'=-2X+Z+W w'= x x'= 4x+f y'=-8x-8y

6. x'= 2x+y+tefr

l'

,::

.,J

= '4x +2Y - e^

7. x'= 12x - 17y y'= 4x-4y

8. x'= 3x + 3y"+ t^ Y'='x - y +:1 " 9. x'= l+2y+32+t Y'= 4x- z+1

z'=5x +2y

EJERC/ICIIOS SOARE

fRAn SFORiTADAS DE tAPtACE.(Pág lSS)

Matrices y Cálanlo Diferenciale

integral

1. L(tz -3r+5) sot. +-+-1 .sJ sZ §

2.

L@-4t +3e-2t

)

sor.

encontrar t(f(t\) f(t)=4 o
J.

f(t')=3

lng: M.Sc. Washington Medina G.

141

("ro)

##%

(s >

-2)

donde:

r>1

sol'(u-r-")

(s>o)

§

L(f(t\) f(t)=o o
4.

donde:

f(t)=t l2

*?¡"-2' sot r**!¡r-" -(+ ,' § s'

(>o)

§

.

ilr

t(f(t\) donde: f(t)-senzt oE o) sor 2(t - e-B ) (> ' "2*4 6. eneontrar llf«)) donde: ., f(t)=t' o6 5.

encontrar

EJ ERCICIOS §OBRE TRAIVSFOR'T'A DA DE DERIUADAS. Encontrar

lafunción t(s) de los sígurbnfes eiercicios, dande x o y dependen de t:

.1:-j

1. x' + x = 7as2t

2. Y+4x'+2= 4e-4 . 3. Yo'+ Y' = Senf t:" 4. xo + 6x'= ff 5. f +3Y=l*t 6. x" - 4x'+4x = 3cosf 7. x"+ =12 8. 3x"'+ x"+x = ez

9.2X'+x+1= 10.{ +1 = e&

3senf


142

¡ntegral

lng. M-Sc. Washington Medina G'

EJ ERCTCIIOS SOBRE fRAft SFOR \IAOA TTVVERSA .(Pág-

21

0'

221 )

Encuéntrese la transformada inversa de f(s)

sl

+2s

+5

2

sol

z.

e4lcnszt

-lrrnzt

-Js" +2s+5 - e-zt -),t.^lzrnsst - senst) sol 3. -ñ-2s-l so + 4s +29 4. 3s + l_ sot e_t (1? '2 _lr3l 3 (s+l)a 5s -2 sol t -2+ - 2t 5. --r-"t "s'(s+2[s-l)

t

6.

2s2 +l -----s(s +

--al

sol l+e-t -3tu-t

l)"

l.: l:.:'r

i

:.j '-:r

P RO B LEM AS

DE

ÉLEtú ENTALES

VALO RESA L*.fRO,t, TERA.( P ág. 227)

En tos siguientes ejercicios resolver aplicando la transfannada de Laplace.

1.

¡u¡!,1¡¡¡!,¡¡ =

-)t 4e-''

.

para

x(o) = -1;r'(o) = d

sol x(t¡ = ¿-2t 72t2 +2t -l'¡ 2. r"+x = 6c,osf para x(o) = 3;x'(o) = | sol x(r) = 56ott + sent -ZcosZt 3. y"-y =5sen2t para y(o) = 0;Y'(o) = I

sol

r'-l:¡,

lG) =3senht - sen1t y"+y = 5sen2t para y(o) = 0;Y'(o) = |

4. 5. y,,+4y,+9y=612r-3t para y(o)=0;y'(o)=e sol ,(t\ = L/ 2' "-3t

6.

f (t') pqra ;:i¿) = 0;x'(o) = Q en el f(rl=4 Oc.tcZ f(t).=t+z t>2

x"+x =

cual

sol x(r) = 4 - 4cosr + «r - 2') - sen(t -2\\a(t -2'l 7. x'+x = ,f(f) para x(o) = 1;r'(o) = $ en el cual

fft\=3 0clc4 f(t):zt-s t>4 sol x(t)

=

3

-

2anst + 2{(t

-4-

sen(t

- 2)ld(t -

2)


143

integral

lng. M.Sc. Washington Medina G-

BIBLIOGRAFIA DEM1DOVICH, B. Probtemas edición , 1976, Madrid.

y

ejercicios

de

análisis matemático, Edit. Paraninfo, quinta

M))RRAY, Spiegel, Algebra Superior, Edit. McGraw-Hil!, 1969, México ¿ARSON, Rotand. Cátcuto y Geometría Analítica, Edit. McGraw-Hill, tercera ediciÓn, 1989, México. PURCEL, Edwin. Cátculo diferencial e integral, Edit. Prentice Hall, 1992, México KAPLAN, Wi;lfred, Cátculo avanzado, Edit. Continental, décima edición, 1960, México.

TAYLOR, Howard, Cátcuto diferencial e integral, Edit. Limuna, décimo quinta ediciÓn, 1976, México. GRANVTLLE, Smith, Cálculo diferenciale integral, Edit. Hispano América, 1973, México.

,13

LANG, Serge, Cálculo l, Edit. lnteramericano, 1973, E.U.A. APOSTOL, Tom, Cálcutus, Edit. Rer,rgÉÉ, 1965. RAINVILLE,

Earl, Ecuaciones diferenciales, Edit. Trillas, 1974, México

KREI DEt, Donald, Ecuaciones diferenciales

ELSGOLTZ, Moscú

-':-: )\

L.

Ecuaciones diferenciales

y

cálcuto variacionat, Edit. Mir,

1g77,

Calculo Diferencial y Integral de Medina

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