Calculo del coeficiente coeficiente de descarga C d en una compuerta vertical con descarga sumergida Resumen: Sobre Sobre la base base de los resultado resultadoss obteni obtenidos dos por Cofré-B Cofré-Buch ucheist eister er para para el coeficiente de descarga Cd de una compuerta vertical descargando en forma sumergida, el valor de Cd se obtiene en forma teórica considerando un coeficiente de contracción Cc = 0.6! " un coeficiente de velocidad promedio Cv = 0.#$ o Cv = %, con un error m&'imo de ±!( para relaciones de profundidad) aguas aba*o+aguas arriba 0.#%. Introducción
or lo comn el c&lculo de la descarga / a través de una compuerta con orificio rectangular se efecta con la formula) =
/ b
= Cd a
g"%
1%2
donde, b es el ancho de la compuerta " del canal aguas arriba " aba*o, a la abertura, abertura, "% la carga de altura " Cd el coeficiente de descarga.
3igura %. 4lementos " variables b&sicas ue intervienen en la descarga de una compuerta sumergida. ara el caso de una compuerta plana vertical con descarga sumergida el valor de q es q µ y g 1 y% − ya 2 una proporción de5 ue contiene tres incógnitas5 ", " a, , lo cual complica la solución del problema " esto a su ve se refle*a en la obtención del valor de Cd en forma e'perimental como se muestra en la figura .
%
3igura , Coeficiente de descarga Cd para una compuerta plana vertical con arista viva " descarga sumergida segn Cofré-Bucheister. 7e acuerdo a 8enderson 1%#662 el valor de Cd se obtiene en forma teórica a través del planteamiento de las ecuaciones de energ9a " de momentum entre las secciones % a : de la figura % " considerando ue " = Cc;a donde Cc es el coeficiente de contracción " esta magnitud es similar al ue se obtiene en la descarga libre 1" = "a2. 4l valor de Cc en descarga libre ha sido estudiado por Ben*am9n 1%#<62, a*aratnam 1%#>>25 a*aratnam " 8umphries 1%#$2 " otros autores se?alados por @ung-3u 100%2, ue por lo comn, se?alan ue para efectos pr&cticos Cc = 0.6% %+, sin embargo, el resultado de SAamme 1%##2 para el salto hidr&ulico " los valores de Cd en Descarga libre 1ver figura 2 indican ue adem&s se debe de considerar las perdidas de energ9a generadas por el chorro de agua al pasar por la compuerta e'presadas como un coeficiente de velocidad Cv para conciliar la magnitud de estas dos variables. 4l ob*etivo del estudio es encontrar valores de Cc " Cv ue permitan determinar el valor de Cd indicado en la figura a través del modelo teórico ue se obtiene de la ecuación de energ9a " momentum. 1) Ecuaciones de continuidad, energía y momentum
or continuidad las velocidades en las secciones % " se e'presan como) % = +"% " = +" , al plantear la ecuación de energ9a entre las secciones % " considerando las perdidas de energ9a h% en términos del coeficiente de velocidad Cv se obtiene. "% +
g"%
% = "a + + − %÷ g" Cv g"
1+2
a ecuación de momentum entre las secciones " : sin considerar la fuera de fricción f a lo largo de la longitud del salto s 1ver figura %2 es) % 4l valor de Cc lo obtiene Dirchoff en forma teórica " es) Cc = E+1 F E2 = 0.6%%. Se asume ue las cotas del fondo del canal son iguales, esto es, % = .
"a
+
=
g"
":
+
g" :
1:2
Si " = Cc;a " las ecuaciones 1 " :2 se igualan por " a se obtiene Cv ": a c − = − + − v % C C " " % % ( ) ÷ CvCc a ÷ % : "% g":: g ( CvCc ) a
0.<
1!2
7e 12 " 1:2 se obtienen tres ecuaciones " una definición ue son necesarias en la aplicación pr&ctica de 1!2.
"a
Cv ": = ": % + : % − ÷ g": CvCc a CvCc ×a
=
% − ( CvCc ) 3r :
=
a ÷ "%
0.<
1<2
g ( "% - "a ) 162
g"::
1>2
Co = CvCc
1$2
4n la descarga en orificios el producto CvCc es el coeficiente de descarga, debido a ue este producto se repite con frecuencia se le define como Co. 1.1) El gasto adimensional
ara homologar el valor del gasto unitario q ue se obtiene con la ecuación 1%2 a partir de Cd de los datos de la figura " el ue se obtiene de la ecuación 12 a partir de los coeficientes Cc " Cv se desarrollan ecuaciones adimensionales para el valor de q como se indica a continuación)
grafico
=
g ×a%.<
= Cd
"% a
1#2
7onde 1#2 se obtiene se obtiene de la ecuación 1%2 " el valor Cd se obtiene de la grafica de la figura . 7e 162 se obtiene el gasto adimensional basado en el modelo teórico cu"a e'presión es la siguiente
modelo
=
g ×a%.<
= G%
"%
a
−
"a a
1%02
:
donde G% es el coeficiente ue antecede al radical de 162 Co
G% = %
−
Co
a "÷ %
1%0.%2
. Gl sustituir 162 en 1<2 " e'presando se obtiene el valor de " a+a.
"a a
=
%
−G +
G
Cv − ": Co
": "% + ! ÷ + G ÷÷ a a ÷
1%0.2
a
G = !G%
1%0.:2
Si se asume ue 1#2 " 1%02 son iguales se obtiene el valor de Cd para el modelo
Cd = G% % −
"a "%
1%0.!2
) El valor de Cd, Cv, Cc y Co en la descarga li!re
7e la curva Descarga libre en la figura se obtienen los valores de Cd para esta condición de operación. 4l coeficiente de velocidad Cv se obtiene de la ecuación e'perimental de Hibson Cv = 0.#6 + 0.0#>#
a
"%+a ≤ .< → Cv = %
"%
1%%2
4l coeficiente de contracción para la descarga libre se obtiene de 1>2 si " a = " = Cc;a " al igualar con 1%2 se obtiene Cd =
CvCc
a % − ( CvCc ) ÷ "%
% − Cc
a "%
1%2
ara "%+a = .< de la figura se obtiene ue Cd = 0.<<$, de 1%%2 se obtiene ue Cv = %, al sustituir estos valores en 1%2 se obtiene ue Cc = 0.6!. Si "%+a → ∞ de la figura se obtiene ue Cd = 0.6, de 1%%2 se obtiene ue Cv = 0.#6 " al sustituir estos valores en 1%2 se obtiene ue Cc = 0.6<.
!
or lo tanto, se puede considerar ue para valores de " %+a I .< el coeficiente de contracción es una constante) Cc = 0.6!. ara efectos pr&cticos de la aplicación de 1!2 el valor de Cv se puede considerar como el promedio de la formula de Hibson, esto es, 10.#6 F %2+ = 0.#$, por lo tanto, Co = CvCc = 0.#$;0.6! = 0.6%%<, este valor es cercano al 0.6% propuesto por 8enderson 1%#662 para el coeficiente de contracción asumiendo ue Cv = %. Sin embargo, al graficar valores de Cv;Cv = Co ue se obtienen del producto de la ecuaciones 1%% " %2 " de los datos de Cd de la figura el resultado es el siguiente)
3igura :. Comportamiento de la variable Co = Cv;Cc versus la constante 0.6%%< 7e la figura : se observa ue la constante 0.6%%< es valida para relaciones "%+a I ! " de una variación significativa de Co para valores menores, siendo la causa de la variación la constante Cv = 0.#$ propuesta para todo el rango "%+a. .1) "alor de Cv para relaciones y1#a $ %
4n forma practica, a dos d9gitos de precisión, solo se tienen dos posibilidades) Cv = % o Cv = 0.## " se opta por Cv = %, siendo el motivo ue @ung-3u 100%2 obtiene el valor de Cd asumiendo ue el coeficiente de velocidad es igual a uno, lo ue permite comprobar los resultados de la ecuación 1%0.!2. a formula propuesta por @ung-3u es)
J=
donde,
"% ":
,K =
"% Cc ×a
Si Co = Cv;Cc " Cv = % entonces Co = Cc " con esto, la nica diferencia entre las ecuaciones 1%0.% a %0.!2 versus 1%:2 se encuentra en el par&metro G de 1%0.:2 donde
<
aparece el término Cv+Co por lo tanto las constantes propuestas para estas ecuaciones son las siguientes)
3igura !. alores de Cc, Cv " Co propuestas para la descarga sumergida segn la formula propuesta. &) Condición de descarga li!re y sumergida y la magnitud del salto 'idr(ulico ys#a segn *+amme.
as ecuaciones 1%0.% a %0.!2 " la 1%:2 solo son validas si la compuerta opera en forma sumergida, de lo contrario 1descarga en forma libre2 el resultado ue se obtiene para el gasto unitario q o la abertura a es imaginario. Con el ob*etivo de eliminar en forma sistémica los puntos de la figura 12 donde se tiene una descarga libre se uso la formula de SAamme 1%##2 ue fue obtenida del estudio de a*artnam " Subrama"an 1%#6>2 " ue indica "% a
" ≥ 0.$% :÷ a
%.>
la descarga es libre de lo contrario sumergida:+
1%!2
Si se despe*a ": de 1%!2 suponiendo la igualdad entonces se obtiene una ecuación e'perimental para el salto hidr&ulico libre " claro, o sea, este se produce a una distancia a+Cc aguas aba*o de la compuerta segn Sotelo 1''''2, el resultado es el siguiente
% "% = = ÷ a a 0.$% a
":
"s
%+%.>
.< ≤
"%
a
≤ %6
1%<2
Lanto Sotelo 10002 como @ung-3u 100%2 obtiene el valor del salto asumiendo ue no ha" perdidas en la compuerta, o sea, Cv = % "s
a
=
Cc
%F
− %÷ Cca+"% ( % F Cca+"% ) ÷ %6
1%62
Si e'isten perdidas, la ecuación 1%62 se puede modificar multiplicando por Cv " con esto obtener un valor m&s preciso. "s
a
=
Cc
" − %÷ 0.#6 + 0.0#># %÷ %F a Cca+"% ( % F C ca+"% ) ÷ %6
1%>2
: ara la curva de Descarga libre de la figura los coeficientes de SAamme son) 0.$< " %.>.
6
Gl graficar las ecuaciones 1%< a %>2 se obtiene
3igura <. Gltura del salto adimensional "s+a para Cc = 0.6! en descarga libre segn cifras teóricas " e'perimentales. 4l resultado de la figura < indica ue la ecuación 1%>2 ue inclu"e el coeficiente de velocidad se apega m&s a los resultados e'perimentales de 1%<2, ue debe incluir la fuera de fricción f ue segn 8enderson 1%#662 se produce en el fondo del canal a lo largo de la longitud del salto Ms- como se indica en la figura %. %) rue!a de la 'ipótesis:
4sta consiste en seleccionar una sucesión de puntos 1" :+a, Cd, "%+a2 de la figura " calcular el valor de Cd con las ecuaciones 1%0.! " %:2 usando los coeficientes de la figura ! " comparar el porcenta*e de error de los valores de Cd. %.1) *elección de puntos
os puntos 1":+a, Cd, "%+a2 son seleccionados de la figura con las siguientes consideraciones. • • • •
Se selecciona la curva ":+a iniciando con la relación ":+a = . G continuación se selecciona Cd en mltiplos de 0. " de forma ascendente. 3inalmente se mide el valor de " %+a a*ustando este valor a mltiplos de 0.0<. ara evitar resultados imaginarios en las ecuaciones 1%0.! " %:2 se verifica la sumersión del salto en descarga libre " :+"s, usando la formula 1%<2 de SAamme.
Sobre esta base fueron seleccionados %$$ puntos, $ de ellos corresponden a valores de Cd N 0.6 " " %+a O ! donde el autor encuentra la ma"or diferencia. %.) Resultados y an(lisis
>
7ado ue el coeficiente de velocidad es variable el an&lisis se realia para, Cv = % " luego para Cv = 0.#$. Resultados para Cv - 1
3iguras 6, esultado e'perimentales de Cd versus resultados teóricos de las ecuaciones 1%0.! " %>2, para Cv = % donde " %+a !. Prdenados por error. os resultados de la figura 6 ue para el rango de valores " %+a !, tanto 1%0.! " %:2 indican ue el error es menor al Q!(Q " no se tiene un patrón de comportamiento definido ue indiue la causa de este. a medición m&s ba*a de la tabla corresponde al punto 1" %+a, ":+a2 = 1.<, 2 el cual se considera el limite inferior de la aplicación de los coeficientes de la figura !. Gdem&s, para relaciones " :+a N .< se observa ue en varios de los puntos la compuerta opera casi en descarga libre, esto es, " :+"s → %. Resultados para Cv - ./0 y valores de Cd .%
Como se indica en la introducción para efectos pr&cticos se asume ue la contracción en descarga sumergida es Cc = 0.6% " Cv = %, valores ue son mu" apro'imados al coeficiente Cc = Co = 0.6%%< ue se usa en la ecuación 1%:2, sin embargo, esta hipótesis al menos para las curvas de la figura no predice buenos resultados para coeficientes de
$
descarga Cd 0.!, por esto, se hace un an&lisis por separado de estos valores, con el ob*etivo de encontrar un patrón de comportamiento " una solución pr&ctica.
3iguras >, esultado e'perimentales de Cd versus resultados teóricos de las ecuaciones 1%0.! " %>2, para Cv = 0.#$ " Cd I 0.6. Prdenados por error. ara esta región se analiaron %06 datos " en solo 6 ha" una diferencia ma"or a Q:.0(Q para valores de Cd calculados con 1%0.!2 " un solo dato con error de 6.%( para c&lculos efectuados con 1%:2 " no se observa un patrón de comportamiento en el error. as ecuaciones 1%0.! " %:2 obtienen pr&cticamente los mismo resultados e'cepto en las relaciones de sumersión ":+"s → % donde 1%:2 obtiene un numero negativo en el radical. Resultados para Cv - ./0 y . $ Cd $ .2
3iguras $, esultado e'perimentales de Cd versus resultados teóricos de las ecuaciones 1%0.! " %>2, para Cv = 0.#$ " 0. Cd 0.6. Prdenados por Cd " " :+a. os datos analiados son >6 " en la figura $ solo se presentan %6. 4n la figura se observan tres patrones de comportamiento) %2 os valores Cd calculados con 1%0.! "
#
%:2 siempre son ma"ores ue los de la figura , 2 Conforme Cd disminu"e el error aumenta " " :+"% también, :2 ara un valor de Cd fi*o el error " " :+"% disminu"en conforme ":+a aumenta. Si al valor de Cd calculado con 1%0.!2 se le resta el de la figura " esta diferencia se grafica en función de ":+"% se obtiene una respuesta m&s sencilla a estos tres patrones de comportamiento.
3igura #. Comportamiento de la diferencia de Cd de 1%0.!2 versus los valores de Cd de la figura , para relaciones "%+a O !. " Cd 0.!. os valores de " :+"% se redondearon a dos d9gitos. os resultados indican ue conforme " :+"% el valor del coeficiente de contracción debe disminuir, esto se observa en los valores de Cd calculados con 1%:2 ue es independiente del coeficiente de velocidad, por lo tanto se tienen tres opciones) %2 Se acotan los coeficientes propuestos en la figura !. a relaciones ":+"% 0.$> lo cual reduce el rango de aplicación de las formulas 1%0.! " %:2, 2 Se disminu"e el coeficiente de contracción lo cual es impractico, :2 Se a*usta el valor de Cd a través de la l9nea recta obtenida con métodos de regresión, esto es) Si "%+a O !. " " :+"% O 0.$6< entonces, el valor original de Cd obtenido con 1%0.! o %:2 se debe corregir de la siguiente forma5
Cd = Cd − 0.%%
− 0.0#÷ "%
":
si)
"% a
> !. "
": "%
> 0.$6
1%$2
a aplicación de 1%$2 se muestra en la curva inferior de la figura # donde se observa ue la diferencia se reduce significativamente " el resultado es una l9nea de tendencia casi constante. 3) 4lgoritmo para el c(lculo de
ara el calculo de esta variable las constantes conocidas son) "%, ":, a " Cc = 0.6!.
%0
aso 1) Si . O " :+"% O 0.#% el valor resultante de Cd con 1%0.! o %:2 tienen errores ma"ores a Q!(Q " se suspende el proceso de c&lculo. aso ) Si "%+a O %$, el calculo de Cd esta mu" ale*ado de los datos e'perimentales de la figura " el calculista deber& tomar la opción de suspender el proceso o continuar. aso &) Calcular la altura del salto hidr&ulico en descarga libre " s con 1<2 para comprobar ue se trata de un problema con descarga sumergida, esto es, " : O "s, de preferencia ":+"s O %.0!, de lo contrario se suspende el proceso. aso %) Si "%+a N !, entonces Cv = %.00 " se calcula Cd con 1%0.!2 " se pasa a >. aso 3) Si "%+a O !, entonces Cv = 0.#$ " se calcula Cd con 1%0.!2.
Cd = Cd − 0.%% aso 2) Si "%+a O !. " " :+"% O 0.$6 entonces) aso 5) Calcular q con la ecuación 1%2.
− 0.0#÷ "% .
":
4ste algoritmo resume la forma en ue se debe de aplicar las ecuaciones, coeficientes " sus limites para obtener la variable Cd " finalmente de q. 4l calculo de la abertura a de la compuerta se complica debido a ue resulta una ecuación impl9cita como se observa en 16 " <2. 2) Conclusiones
as pruebas realiadas sobre los datos de Cofré-Bucheister indican ue e'iste un coeficiente de contracción nico de 0.6! con un coeficiente de velocidad variable de % o 0.#$ si se usa la ecuación 1%0.!2 o bien, un coeficiente de contracción variable de 0.6! o de 0.6%%< si se usa 1%:2, tal como se indica en la figura !. G pesar ue la diferencia entre los coeficientes es solo del ( el suponer un coeficiente constante de 0.6% para los l9mites indicados en el algoritmo resulta en un error de hasta F>(. 4l c&lculo directo del valor de Cd tal como lo plantea @ung-3u en 1%:2 no es posible segn se indica en el algoritmo para obtener q. 4n este algoritmo de siete pasos en tres ocasiones se indica ue el proceso de calculo debe suspenderse, lo cual es una limitante, sin embargo, revisando el algoritmo de Bu"alsRi 1%#$:2 para compuerta radiales en canales, escrito en 3PLG en las paginas 0$ a :, en una docena de veces aparece el mensa*e Tresults are unreliableU, por lo tanto, la solución au9 propuesta no tiene demasiadas limitaciones. Sobre la limitante ":+"s O %.0!, es conveniente se?alar ue en el traba*o de Bu"alsRi 1%#$:2 se observa ue no ha" mediciones mu" cercanas a la curva de descarga libre 1figura 6 de esta referencia2 " ue las curvas 1euivalentes a " :+a2 no se e'tienden hasta intersectar la de descarga libre. 6omenclatura
G% = par&metro adimensional5 G = par&metro adimensional5 a = abertura de la compuerta5 b = ancho de la compuerta5 Cc = coeficiente de contracción5 Cd = coeficiente de descarga5
%%
Co = Cv;Cc, coeficiente de descarga en un orificio5 Cv = coeficiente de velocidad5 3: = umero de 3roude en la sección :5 / = gasto descargado en la compuerta5 = /+b, gasto por metro de ancho5 "% = profundidad aguas arriba de la compuerta5 " = profundidad a la salida de la compuerta en la vena contra9da5 ": = profundidad de la superficie libre en la sección :5 "a = profundidad de la superficie libre en la sección 5 "s = altura del salto hidr&ulico5 Φ = "%+":, par&metro adimensional " Ψ = "%+Cc;a, par&metro adimensional Referencias
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