EJEMPLO DE CÁL CULO DE UN DINTEL DINTEL
Sea el pórtico de acero S275 de la figura 1:
1.1 6 m
=
=
=
=
=
1.1 6 m
B
0 I P E 2 2 B
0 8 1 B E H
A
A
Tornapuntas
m 1 4 . m 7 6
16 m
l e t n i D
Considérese sometido a las siguientes hipótesis de carga: A) 1,35 (G1+G2 +G3) + 1,5 QSU B) 0,8 (G1+G2 +G3) + 1,5 QV4 Se pretende comprobar el dintel .
Como se indica en la figura, se han dispuesto ocho (8) correas por faldón, con una separación entre ellas de 1,16 m; y varios tornapuntas, con objeto de limitar la longitud de pandeo lateral2. 1
Téngase en cuenta el documento “Cálculo y combinación de acciones”. El tornapuntas impide el desplazamiento lateral y la torsión de la sección en la que se encuentra aplicado. 2
1
ACCIONES
Peso de la cubierta y las correas. G2 + G3 = 1.24 kN/m
Peso del dintel G1 = 0.26 kN/m Peso de los pilares G1 = 0.50 kN/m
Carga permanente. G
1.97 kN/m
Sobrecarga de uso. Q su
2
N/ m . 5 5 k r i o r: 0 e t x e n P r e s i ó
Viento
m / N k 3 8 . 3 : r o i r e t x e n ó i s e r P
S uc ci ó n e x te r io r : 1. 6 4 k N / m
Presión interior: 3.21 kN/m
Hipótesis de viento. Qv4: • Viento lateral oeste • Situación B • Únicamente abiertos los huecos a barlovento
m / N k 9 8 . 1 : r o i r e t x e n ó i c c u S
3
A) 1,35 (G1+G2 +G3) + 1,5 QSU. Solicitaciones de cálculo
(-)23.78 kN (-) 30.86 kN Axiales
7. 2 7 m
4.20 kN
(-) 35.92 kN
Cortantes
(-) 84.92 kNm 7. 2 7 m
2. 9 8 m
45.71 kNm
43.93 kNm
Momentos flectores
4
Clasificación de la sección transversal. Flexocompresión Z 40,05 mm
R12 mm 5,9 mm
m m 0 2 2
Y
Y
m m 6 . 1 0 2
m m 2 . 9
Z 110 mm
Esbeltez del alma: c alma = h − 2 × t f = 201,6 mm c alma = 34,17 tw Esbeltez de las alas: b ⎛ t ⎞ c ala = − ⎜ r + w ⎟ = 40,05 mm 2 ⎝ 2 ⎠ c ala = 4,35 t f Factor de reducción: 235 235 ε= = = 0,92 f y 275 El dintel se encuentra sometido a flexocompresión respecto al eje fuerte (eje Y – Y). Se comienza suponiendo la sección totalmente plastificada. • Clasificación del alma: N Ed ⎞⎟ 1 ⎛ α = ⋅ ⎜⎜1 + 2 ⎝ c alma ⋅ t w ⋅ f y ⎠⎟ El mayor axial de cálculo en el dintel resulta ser N Ed = 30,86 kN (compresión). ⎛ ⎞ 30,86 ⋅ 10 3 N 1 ⎜ ⎟ α = ⋅ ⎜1 + ⎟ = 0,55 2 ⎜ 201,6 mm ⋅ 5,9 mm ⋅ 275 N ⎟ ⎝ mm 2 ⎠ c alma 396 ⋅ ε = 43,37 ≤ = 59,24 ⇒ Clase 1. tw 13 ⋅ α − 1
5
• Clasificación de las alas: Las alas están sometidas a compresión o tracción uniforme. c ala = 4,35 ≤ 9 ⋅ ε = 8,28 ⇒ Clase 1. t f Comprobación del dintel
Se van a efectuar las siguientes verificaciones: a) Resistencia de las secciones transversales. b) Resistencia al pandeo. c) Resistencia a la abolladura del alma por cortante. a) Resistencia de las secciones transversales Resistencia a cortante
VEd ≤ V pl,Rd = A V ⋅
f yd 3
A V = A − 2 bt f + (t w + 2r )t f = 15,88 ⋅ 10 2 mm 2 ≡ 15,88 cm 2 27,5 kN 2 cm = 26,19 kN f yd = cm 2 1,05 V pl,Rd = 240,12 kN ≥ VEd,máx = 35,92 kN CUMPLE VEd,máx = 35,92 kN < 0,5 ⋅ V pl,Rd = 120,06 kN ⇒ No se considera reducción del momento resistente por efecto del cortante. Resistencia a flexocompresión
M N Ed + y,Ed ≤ 1 N pl,Rd M pl,Rdy Mitad de la resistencia a tracción del alma: 0,5 ⋅ f yd ⋅ d ⋅ t w d = h − 2 ⋅ t f − 2 ⋅ r = 17,76 cm 0,5 ⋅ f yd ⋅ d ⋅ t w = 0,5 ⋅ 26,19 kN 2 ⋅ 17,76 cm ⋅ 0,59 cm = 137,21 kN cm N Ed,máx = 30,86 kN < 137,22 kN ⇒ Puede despreciarse el efecto del axial. En consecuencia, debe verificarse que: M y,Ed ≤1 M pl,Rdy M pl,Rdy = W pl, y ⋅ f yd W pl, y = 285,4 ⋅ 10 3 mm 3 ≡ 285,4 cm 3 M pl,Rdy = 285,4 cm 3 ⋅ 26,19 kN 2 = 7474,63 kNcm ≡ 74,75 kNm cm M y ,Ed,máx 84,92 kNm = = 1,14 > 1 NO CUMPLE M pl,Rdy 74,75 kNm
6
b) Resistencia al pandeo
Por tratarse de una pieza sometida a flexocompresión se debe verificar: • Pandeo en torno al eje Y-Y c ⋅M N Ed ,máx + k y ⋅ m,y y,Ed ,máx ≤ 1 χ y ⋅ A ⋅ f yd χ LT ⋅ Wy ⋅ f yd • Pandeo en torno al eje Z-Z M y ,Ed,máx N Ed,máx + k yLT ⋅ ≤1 χ z ⋅ A ⋅ f yd χ LT ⋅ Wy ⋅ f yd Pandeo en torno al eje Y-Y
Cálculo χy Longitud de pandeo en el plano de la estructura (eje de pandeo Y-Y). Se admite que L K , y = L , siendo L la longitud del semidintel. L K , y = 8,12 m Compresión crítica elástica 2
2 ⎛ π ⎞ ⎛ ⎞ π ⎟ ⋅ E ⋅ I y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 2,1 × 10 4 kN 2 ⋅ 2772 ⋅ cm 4 = 871,37 kN N cr,y = ⎜⎜ ⎟ cm ⎝ 812 cm ⎠ ⎝ L K , y ⎠ Esbeltez reducida 33,4 cm 2 ⋅ 27,5 kN 2 A ⋅ f y cm = 1,03 CUMPLE λy = = N cr , y 871,37 kN h 220 mm = = 2 ⎫⎪ b 110 mm ⎪⎪ t f = 9,2 mm ⎬ ⇒ Curva de pandeo a (tabla 6.2) ⇒ α = 0,21( tabla6.3) ⎪ S275 ⎪ Eje de pandeo Y - Y ⎪⎭
φ = 0,5 ⋅ 1 + α ⋅ (λ − 0,2 ) + λ = 0,5 ⋅ [1 + 0,21 ⋅ (1,03 − 0,2) + 1,032 ] = 1,2 1 λ < 0,2 ⎧ ⎪ 1 χ=⎨ ≤ 1 λ ≥ 0,2 ⎪⎩ φ + φ 2 − λ 2 1 1 χy = = = 0,64 2 2 2 2 + − 1 , 2 1 , 2 1 , 03 φ+ φ −λ 2
7
8
9
Cálculo k y k y = 1 + (λ y − 0,2)⋅
N Ed χ y N C,Rd
A ⋅ f y >/ 1 π E ⋅ Iy Ya calculado, λ y = 1,03 ⇒ λ y = 1 N C,Rd = A ⋅ f yd = 33,4 cm 2 ⋅ 26,19 kN
λy =
L K , y
cm 2
= 874,75 kN
30,86 kN = 1,04 0,64 ⋅ 874,76 kN Cálculo Cm,y (tabla 6.14) Ms ⎧ α = ⎪ Mh ⎪ Ms ≤ Mh ⇒ ⎨ ⎪C = ⎧⎨0,1 − 0,8 ⋅ α ≥ 0,4 − 1 ≤ α ≤ 0 ⎪⎩ m, y ⎩0,2 + 0,8 ⋅ α ≥ 0,4 0 ≤ α ≤ 1,0 45,71 kNm α= = −0,54 − 84,92 kNm C m, y = 0,1 − 0,8 ⋅ (− 0,54) = 0,53 k y = 1 + (1 − 0,2 ) ⋅
10
Ms ≤ Mh
Ms > Mh Cálculo χLT M cr = 231,21 kNm ≡ 23121 kNcm 285,4 cm 3 ⋅ 27,5 kN 2 W pl, y ⋅ f y cm = 0,58 λ LT = = M cr 23121 kNcm h 220 mm = = 2 ⇒ Curva de pandeo a ⇒ αLT = 0,21 (tabla 6.10) b 110 mm
φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT − 0,2 ) + λ LT = 0,5 ⋅ [1 + 0,21 ⋅ (0,58 − 0,2) + 0,58 2 ] = 0,71 1 1 χ LT = = = 0,90 2 2 2 2 + − φ LT + φ LT − λ LT 0,71 0,71 0,58 2
11
Comprobación c ⋅M N Ed ,máx + k y ⋅ m,y y,Ed ,máx ≤ 1 χ y ⋅ A ⋅ f yd χ LT ⋅ Wy ⋅ f yd 30,86 kN 0,53 ⋅ 8492 kNcm + 1 , 04 ⋅ = 0,75 ≤ 1 CUMPLE 0,64 ⋅ 33,4 cm 2 ⋅ 26,19 kN 2 0,90 ⋅ 285,4 cm 3 ⋅ 26,19 kN 2 cm cm Pandeo en torno al eje Z-Z (pandeo por flexión y torsión)
Cálculo χz Longitud de pandeo en el plano del cerramiento (eje de pandeo Z-Z). Se admite que L igual a la distancia entre correas. L K ,z = 1,16 m Compresión crítica elástica 2 2 ⎛ π ⎞ ⎛ ⎞ π 4 kN 4 ⎟ ⋅ E ⋅ I z = ⎜⎜ ⎟ N cr,z = ⎜⎜ ⋅ 2 , 1 × 10 ⋅ 204 , 9 ⋅ cm = 3156,06 kN 2 ⎟ ⎟ cm L 116 cm ⎝ ⎠ ⎝ K ,z ⎠ Esbeltez reducida 33,4 cm 2 ⋅ 27,5 kN 2 A ⋅ f y cm = 0,54 CUMPLE λz = = N cr ,z 3156,06 kN
K,z
es
h 220 mm = = 2 ⎫⎪ b 110 mm ⎪⎪ t f = 9,2 mm ⎬ ⇒ Curva de pandeo b (tabla 6.2) ⇒ α = 0,34 ( tabla6.3) ⎪ S275 ⎪ Eje de pandeo Z - Z⎪⎭
φ = 0,5 ⋅ 1 + α ⋅ (λ − 0,2) + λ = 0,5 ⋅ [1 + 0,34 ⋅ (0,54 − 0,2) + 0,54 2 ] = 0,70 1 1 χz = = = 0,87 2 2 2 2 0 , 70 + 0 , 70 − 0 , 54 φ+ φ −λ 2
12
Cálculo k yLT k yLT = 0,6 + λ z >/ 1 −
0,1 ⋅ λ z N Ed (c mLT − 0,25) χ z N C,Rd
L K ,z A ⋅ f y >/ 1 π E ⋅ Iz Ya calculado, λ z = 0,54 N C,Rd = A ⋅ f yd Ya calculado, N C,Rd = 874,76 kN Cálculo CmLT (tabla 6.14) c mLT = c m , y = 0,53 0,6 + λ z = 0,6 + 0,54 = 1,14 ⎫ ⎪ ⇒ k = 0,99 0,1 ⋅ λ z N Ed 30,86 kN 0,1 ⋅ 0,54 yLT 1− = 1− ⋅ = 0,99⎬⎪ (c mLT − 0,25) χ z N C,Rd (0,53 − 0,25) 0,87 ⋅ 874,76 kN ⎭
λz =
Cálculo χLT Ya calculado, χ LT = 0,90 Comprobación M y ,Ed ,máx N Ed ,máx + k yLT ⋅ ≤1 χ z ⋅ A ⋅ f yd χ LT ⋅ Wy ⋅ f yd 30,86 kN 8492 kNcm + ⋅ = 1,29 > 1 NO CUM0 , 99 2 3 kN kN ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0,87 33,4 cm 26,19 0,90 285,4 cm 26,19 cm 2 cm 2 PLE c) Resistencia a la abolladura del alma por cortante
No es preciso comprobar la resistencia a la abolladura del alma en las barras en las que se cumpla: d 235 < 70 ⋅ tw f y 177,6 mm 235 = 30,10 < 70 ⋅ = 64,40 CUMPLE 5,9 mm 275
13
B) 0,8 (G1+G2 +G3) + 1,5 Qv4 Solicitaciones de cálculo 35.81 kN
32.82 kN
34.13 kN
31.14 kN
Axiales
2.44 kN
25.29 kN
2 .39 m
34.92 kN
(-) 14.54 kN
Cortantes
(-) 46.16 kNm
(-) 28.80 kNm 4. 4 7 m
2 .39 m 6 .2 8 m
Momentos flectores
53.99 kNm
83,81 kNm
14
Clasificación de la sección transversal. Flexotracción Z 40,05 mm
R12 mm 5,9 mm
m m 0 2 2
Y
Y
m m 6 . 1 0 2
m m 2 . 9
Z 110 mm
Esbeltez del alma: c Ya calculada, alma = 34,17 tw Esbeltez de las alas: c Ya calculada, ala = 4,35 t f Factor de reducción: Ya calculado, ε = 0,92 El dintel se encuentra sometido a flexotracción respecto al eje fuerte (eje Y – Y). Se comienza suponiendo la sección totalmente plastificada. • Clasificación del alma: ⎞ N Ed 1 ⎛ ⎜ ⎟ α = ⋅ ⎜1 + 2 ⎝ c alma ⋅ t w ⋅ f y ⎠⎟ El mayor axial de cálculo en el dintel resulta ser N Ed = -35,81 kN (tracción) ⎛ ⎞ − 35,81 ⋅ 10 3 N 1 ⎜ ⎟ α = ⋅ ⎜1 + ⎟ = 0,45 2 ⎜ 201,6 mm ⋅ 5,9 mm ⋅ 275 N ⎟ mm 2 ⎠ ⎝ c alma 36 ⋅ ε = 34,17 ≤ = 73,60 ⇒ Clase 1. tw α • Clasificación de las alas: Las alas están sometidas a compresión o tracción uniforme. c ala = 4,35 ≤ 9 ⋅ ε = 8,28 ⇒ Clase 1. t f
15
a) Resistencia de las secciones transversales Resistencia a cortante
VEd ≤ V pl,Rd = A V ⋅
f yd
3 Ya calculado, V pl,Rd = 240,12 kN ≥ VEd ,máx = 34,92 kN CUMPLE VEd,máx = 34,92 kN < 0,5 ⋅ V pl,Rd = 120,06 kN ⇒ No se considera reducción del momento resistente por efecto del cortante. Resistencia a flexotracción
M N Ed + y ,Ed ≤ 1 N pl,Rd M pl,Rdy Mitad de la resistencia a tracción del alma: 0,5 ⋅ f yd ⋅ d ⋅ t w Ya calculado, 0,5 ⋅ f yd ⋅ d ⋅ t w = 137,21kN N Ed ,máx = 35,81 kN < 137,21 kN ⇒Puede despreciarse el efecto del axial. En consecuencia, debe verificarse que: M y,Ed ≤1 M pl,Rdy M pl,Rdy = W pl, y ⋅ f yd Ya calculado, M pl,Rdy = 7474,63 kNcm ≡ 74,75 kNm M y ,Ed ,máx 83,81 kNm = = 1,12 > 1 NO CUMPLE M pl,Rdy 74,51 kNm b) Resistencia al pandeo
M ef ,Ed ≤ χ LT ⋅ W pl, y ⋅ f yd Cálculo Mef,Ed, momento flector efectivo M ef ,Ed = W pl, y ⋅ σ com,Ed M N σ com,Ed = Ed − 0,8 ⋅ Ed W pl, y A 8381 kNcm 34,13 kN σ com,Ed ,máx = − 0,8 ⋅ = 28,55 kN 2 3 2 cm 285,4 cm 33,4 cm M ef ,Ed ,máx = 285,4cm 3 ⋅ 28,55 kN 2 = 8148,17 kNcm ≡ 81,48 kNm cm Cálculo χLT M cr = 217,70 kNm ≡ 21770 kNcm 285,4 cm 3 ⋅ 27,5 kN 2 W pl, y ⋅ f y cm = 0,60 λ LT = = M cr 21770 kNcm h 220 mm Ya calculado, = = 2 ⇒ Curva de pandeo a ⇒ αLT = 0,21 (tabla 6.10) b 110 mm
φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α ⋅ (λ LT − 0,2 ) + λ LT = 0,5 ⋅ [1 + 0,21 ⋅ (0,60 − 0,2) + 0,60 2 ] = 0,72 1 1 χ LT = = = 0,89 2 2 2 2 φ LT + φ LT − λ LT 0,72 + 0,72 − 0,60 2
16
Comprobación χ LT W pl, y f yd = 0,89 ⋅ 285,4 cm 3 ⋅ 26,19 kN
cm 2
= 6652,42 kNcm ≡ 66,52 kNm
M ef ,Ed ,máx = 81,48 kNm > 66,52 kNm NO CUMPLE c) Resistencia a la abolladura del alma por cortante
Ya efectuada.
17
