Calculo de Golpe de Ariete en Impulsion

Golpe de ariete

1.- OBJETIVO Cualquier movimiento de un líquido en el que alguna de sus variables significativas (caudal, presión, etc) dependa en mayor o menor medida del tiempo, es un transitorio hidráulico. El caso más complejo cuando hablamos de sistemas a presión es el modelo elástico o golpe de ariete. En este se nos presenta cuando ocurren cambios bruscos de velocidad en el sistema, derivados de maniobras rápidas como el cierre o apertura de una válvula, la puesta en marcha de una bomba, su parada, etc. Al ser la maniobra muy brusca, los cambios de presión que se generan en el sistema son muy importantes y los efectos elásticos en tubería y agua deben considerarse. Hay otros modelos más sencillos en el análisis de transitorios, en los cuales, o bien despreciamos la elasticidad de tubería y líquido y sólo tenemos en cuenta la inercia del sistema (modelo rígido), o bien, al ser las variaciones de velocidad del fluido muy lentas, podemos despreciar dicha inercia (modelo cuasi-estático). En este último entraremos un poco más cuando realicemos la simulación de la red en anejos posteriores. En el presente Anejo calcularemos del Golpe de Ariete en la impulsión proyectada desde el canal hasta la coronación de la balsa, mediante el cual realizaremos el dimensionado de la impulsión en lo referido a su timbraje. El correcto análisis es fundamental, ya que un error en su determinación conduce a una de estas dos situaciones indeseables: A. Sobredimensionamiento y consecuente encarecimiento de la instalación B. Tubería calculada por defecto, con el consiguiente riesgo de una rotura de la misma

2.- DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO 1

Red de distribución para riego a presión de 140 ha en T.M. de Catadau

No entraremos aquí en una descripción exhaustiva del golpe de ariete, pero sí realizaremos una breve descripción de los fenómenos físicos que ocurren en el interior de la impulsión en el momento en que, por la razón que sea, se detiene la bomba y deviene el golpe de ariete. Admitiremos, al interesarnos únicamente una descripción física del fenómeno, que no existen pérdidas (amortiguamiento nulo en la transmisión de las sucesivas perturbaciones), y que la inercia del grupo motor-bomba es despreciable, por lo que la válvula de retención cerrará de forma inmediata. De igual forma tampoco tendremos en cuenta la altura cinética. Cuando se produce la parada en el grupo de la figura, la válvula de retención cierra y el fluido continúa en movimiento a lo largo de la tubería hasta que la depresión que se crea tras la válvula de retención provoca su detención. En estas condiciones aparece una onda depresiva que viaja hacia el depósito y que, además, va deteniendo el fluido. Si dicha perturbación se propaga con una celeridad a, al cabo de L/a toda la tubería estará en depresión con el líquido en reposo.

2

Golpe de ariete

En este momento la presión del depósito es superior a la de la tubería, por lo que del depósito fluirá agua hacia la tubería, produciéndose un retroceso abierto hacia la válvula de retención, con velocidad –Vo. Ahora nos encontramos con la presión de partida, de manera que al cabo de 2L/a segundos, toda está sometida a dicha presión inicial.

3


En la tercera fase, al ir llenándose la tubería de líquido proveniente del depósito, e irse deteniéndose con el tiempo el que ya se encuentra en ella, toda el agua se encuentra en reposo pero sometida a una sobrepresión de magnitud igual a la depresión inicial.

4

Golpe de ariete

Al final, al existir un gradiente de presiones entre tubería y depósito, el líquido comienza a salir hacia este último, con la velocidad inicial Vo e igual presión. De esta forma, transcurrido un tiempo 4L/a, la situación es la misma que al comienzo del proceso, que volverá a repetirse en ausencia de rozamiento.

5


En definitiva, el gda es un fenómeno cíclico de período 4L/a.

3.- FÓRMULA DE MENDILUCE 3.1 Estimación del tiempo de parada de una válvula de cierre Es esta una forma rápida y sencilla de obtener un valor de la envolvente del valor de la máxima sobrepresión que se presentará con la parada del grupo motor-bomba, estimando el tiempo de cierre de la válvula de retención. La dedujo Eduardo Mendiluce 6

Rosich a partir de datos de instalaciones reales, y aunque tiene muchos detractores y ninguna base científica, es de gran utilidad, y la usaremos para hallar una primera aproximación del máximo valor del gda.

Es esta una forma rápida y sencilla de obtener un valor de la envolvente del valor de la máxima sobrepresión que se presentará con la parada del grupo motor-bomba, estimando el tiempo de cierre de la válvula de retención. La dedujo Eduardo Mendiluce

Golpe de ariete

Rosich a partir de datos de instalaciones reales, y aunque tiene muchos detractores y ninguna base científica, es de gran utilidad, y la usaremos para hallar una primera aproximación del máximo valor del gda. Primero que nada vamos a explicar, tal y como hace Mendiluce en su obra "El Golpe de Ariete en Impulsiones", como se dedujo su valor, para después pasar a calcularlo en nuestra instalación. En la teoría general del golpe de ariete, el tiempo T es el intervalo entre inicio y fin de la maniobra, y es durante esta maniobra cuando se produce la modificación del régimen del movimiento del fluido. A Mendiluce y su equipo, después de unas primeras pruebas nada exitosas, se les ocurrió asimilar el caso de corte de energía en el bombeo al caso de un móvil impulsado hacia arriba por una fuerza instantánea, en un plano inclinado, en el que el tiempo T ha de ser el transcurrido entre el corte de corriente y la anulación de V. En este tiempo intervienen las siguientes energías:

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; suponiendo el crecimiento lineal de Q a O en el tiempo T

Haciendo el balance de estas energías tenemos:

Despejando se puede obtener el valor de T en segundos:

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Golpe de ariete

Esta fórmula se puede simplificar muchísimo si consideramos que la inercia del grupo de bombeo es despreciable al aumentar la longitud, lo que en realidad ocurre cuando pasamos de los 2000 m, por lo que basta con igualar la energía cinética a la suma de la gravedad y del rozamiento, obteniendo en consecuencia la siguiente expresión:

A partir de aquí, Mendiluce y su equipo comenzó a comparar los resultados obtenidos mediante dicha fórmula con los valores que aparecían en impulsiones reales. Estudiando la discrepancia entre los valores obtenidos directamente de la experimentación y los proporcionados por el cálculo, fueron introduciendo correcciones hasta conseguir la máxima aproximación con la siguiente expresión:

El coeficiente K representa el efecto de la inercia del grupo motobomba L

K

<500

2 9

Red de distribución para riego a presión de 140 ha en T.M. de Catadau ≈500 1,75 5001500 1

Al aumentar la energía cinética, y para la misma inercia y altura manométrica, llega un momento en que esta inercia puede despreciarse. En impulsiones cortas, en las que la inercia es importante, y donde K=2, ya no merece la pena calcular el golpe de ariete. El coeficiente C es función de la pendiente, siendo 1 para pendientes menores del 20%, y llegando a 0 para a partir del 40%. Su valor puede obtenerse con la siguiente gráfica

10

Golpe de ariete

B.2

Sobrepresión máxima

Ahora, una vez calculado el tiempo de cierre, elegiremos entre las fórmulas de Allievi o Micheaud para obtener la sobrepresión máxima en la conducción (junto a la válvula), mediante el siguiente criterio: -

-

Cierre lento

Michaud

Cierre rápido

Allievi

11


En el cierre lento, la válvula corta el flujo después de que la primera onda de sobrepresión, reflejada, retorne a ella. La máxima sobrepresión es menor que con un cierre rápido, puesto que la onda reflejada llega a la válvula antes de terminar el cierre y disminuirá la intensidad de la última onda. En el cierre rápido, éste se produce antes de que la primera onda reflejada llegue a la válvula. A la distancia

se le

denomina longitud crítica, y representa, para un cierre rápido, el tramo de tubería que cuando es alcanzado por la onda de sobrepresión máxima (V=0), se encuentra ya bajo la acción del contragolpe y en él la sobrepresión será menor por efecto de las ondas reflejadas que vuelven hacia la válvula. B.2

Resultados

Los datos de nuestra instalación son: Longitud 4074m Velocidad en régimen 1'26 permanente 12

Golpe de ariete

Altura manométrica K (L>1500)

124 m 1

Por lo tanto, el tiempo de cierre de la válvula de retención será:

Para saber con que expresión debemos calcular la sobrepresión máxima, necesitamos conocer la celeridad de la onda de dicha sobrepresión. La expresión que nos permite conocerla es

El tiempo que tarda la primera onda en ir y volver es el que nos marcará si estamos ante un cierre lento o rápido:

Al encontrarnos ante un cierre rápido la expresión que debemos de utilizar para calcular la máxima sobrepresión es la de Allievi

Así, la máxima sobrepresión a la que se verá sometida la tubería será de . No toda 13

la tubería se encontrará sometida a dicha presión, sino solamente un tramo de longitud crítica

No

toda


la tubería se encontrará sometida a dicha presión, sino solamente un tramo de longitud crítica Vamos a calcular, por curiosidad simplemente, el gda que habría acaecido en la tubería de DN250. Se exponen a continuación los resultados, omitiendo fórmulas y explicaciones.

14

Golpe de ariete

máxima sobrepresión

Cien metros más de presión y quinientos metros más de tubería sometida a ella. Parece un punto bastante importante a la hora de elegir entre una u otra tubería.

15


16

Golpe de ariete

4.- MODELO CARACTERÍSTICAS

ELÁSTICO:

EL MÉTODO

DE

LAS

El sistema de ecuaciones que nos permite seguir la evolución del transitorio, llevando la contabilidad de los diferentes pulsos de presión que se generan, reflejan, transmiten y modifican a lo largo de la conducción es

La primera de las ecuaciones se obtiene al aplicar la ecuación de continuidad a un volumen diferencial, mientras la segunda aparece al realizar un balance de fuerzas sobre dicho volumen. No existe expresión que proporcione la solución de este sistema de ecuaciones en derivadas parciales, por lo que la única alternativa son varias técnicas de análisis numérico, como pueden ser: el método de las características, métodos en diferencias finitas, métodos de elementos finitos, métodos de elementos de contorno, métodos espectrales… De entre todos estos métodos, el más popular y utilizado es el primero, el método de las características. B.1

Breve Desarrollo El sistema anterior puede escribirse de la forma:

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y teniendo en cuenta la expresión de las derivadas totales de VyH

podemos escribir

Si combinamos linealmente las dos ecuaciones, a las que llamamos L1 y L2 tenemos Si en esta combinación se cumple que el multiplicador es de forma que verifica la siguiente relación

entonces la ecuación puede escribirse 18

Golpe de ariete

y recordando la expresión de las derivadas totales queda

Esta ecuación en derivadas totales ya es integrable, aunque solo para los valores que satisfacen la relación anterior, en la cual la velocidad del fluido durante el transitorio se puede despreciar frente al valor de la celeridad de la onda de sobrepresión.

Esto quiere decir que es como si dispusiésemos de dos ecuaciones en derivadas totales distintas

A cambio de una mayor facilidad e operación con este sistema que con el originario, tenemos un inconveniente, y es la que dicho sistema sólo puede integrarse entre los puntos (x,t) del plano identificado por los valores λ para los cuales hemos dicho que es válido el desarrollo. Admitiendo

conocidos

los

valores

de

la

altu 19

ra piezométrica y la velocidad en los puntos (i-1) e (i+1) en el plano x-t de la siguiente figura en el instante to, lo que pretendemos es, integrando las anteriores ecuaciones, llega a poder obtener la altura y velocidad del punto i en el siguiente instante to+Δt.

Admitiendo

conocidos

los

valores

de

la

altu


ra piezométrica y la velocidad en los puntos (i-1) e (i+1) en el plano x-t de la siguiente figura en el instante to, lo que pretendemos es, integrando las anteriores ecuaciones, llega a poder obtener la altura y velocidad del punto i en el siguiente instante to+Δt.

La integración de la primera ecuación da lugar a la recta característica positiva C+, y la segunda a la recta característica negativa C-. La formulación matemática del resultado de la integración de las dos rectas definidas es:

20

Golpe de ariete

Este sistema de ecuaciones permite obtener los valores de la altura HP(i) y la velocidad VP(i) buscados. En definitiva, dada una red de características como la de la siguiente figura se puede determinar el valor de las alturas piezométricas y velocidades en los denominados puntos interiores de la tubería.

Para realizar el cálculo de una forma más rápida las ecuaciones pueden escribirse de la siguiente manera: 21


Si queremos expresarnos en función del caudal:

Los coeficientes Cp(i-1) y Cn(i+1) son valores conocidos para el instante de cálculo que se está obteniendo, así como también es dato el coeficiente Ca que depende tan solo de las características de la tubería. Al final, la solución de las ecuaciones nos queda:

Que nos permite hallar los valores de las alturas piezométricas y de los caudales o velocidades en todos los puntos interiores de la malla de cálculo representada esquemáticamente en la figura. Para

los

puntos

extremos

de

la

tube 22

ría hay que plantear la recta característica correspondiente, faltándonos una ecuación adicional, que es lo que se conoce como condición de contorno en el extremo correspondiente.

Para

los

puntos

extremos

de

la

tube

Golpe de ariete

ría hay que plantear la recta característica correspondiente, faltándonos una ecuación adicional, que es lo que se conoce como condición de contorno en el extremo correspondiente. Cada elemento genera una condición de contorno distinta, por lo que sólo hablaremos del que tengamos instalado en la tubería diseñada, y lo haremos cuando la necesitemos par los cálculos. Por último falta establecer la relación que existe entre el número de puntos que se desea escoger para resolver el transitorio y el valor del incremento de tiempo de cálculo. Para establecer dicha relación hay que saber que las rectas verifican

Admitiendo que los x considerados son todos iguales, es decir, que se trata de una red característica uniforme, y suponiendo que la tubería de longitud L se divide en N tramos iguales, entonces la relación es

4.2 Resolución Elegimos 4 puntos de cálculo, lo que nos dará un intervalo de cálculo igual a

La red de características que usaremos para guiarnos en el cálculo será la siguiente: 23


Ahora hay que dejar claro cuáles serán las condicines de contorno en cada uno de los extremos de la tubería: a aguas abajo (balsa) Aquí la condición de contorno nos marcará que la altura manométrica sea siempre constante e igual a 103 mca. Para calcular el caudal que se moverá por este punto de la tubería no se tendrá más que intersectar la recta de h = cte y la C+ que venga desde D. b

aguas arriba (salida de la bomba) 24

Golpe de ariete

En la salida de la bomba sólo se tendrá en cuenta, a la hora de calcular las condiciones de este punto, la parada de la bomba, es decir, la disminución de altura y caudal que va dando al sistema a medida que las revoluciones disminuyen desde las de régimen hasta hacerse 0, sin tenerse en cuenta ni cierre de la válvula (lo consideramos ideal, es decir, a W=0 válvvula cerrada) ni actuación de válvula de alivio. El proceso para calcular el funcionamiento de la bomba a diversas revoluciones está explicado en el siguiente apartado del método gráfico de schneyder-bergeron. Para obtener el caudal y altura en este punto habrá que intersectar esta condición de contorno con la C- que venga del punto C del instante anterior. c puntos intermedios C y D Se hallarán las características de estos puntos intersectando, para el punto C, la C+ que venga desde A y la C- desde D, y la C+ desde C y la C- desde B para hallar el punto D. Los resultados aparecen en la siguiente tabla: A instant e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

t 0 1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7 8,9 10,0 11,1 12,2 13,3

H 124,0 101,4 84,6 70,3 58,0 47,5 39,4 37,5 37,7 65,4 89,2 109,3 124,4

C Q 0,092 0,079 0,070 0,062 0,055 0,050 0,046 0,019 0 0 0 0 0

H 117,0 117,0 94,4 77,7 63,4 51,0 63,0 71,7 61,5 57,4 81,3 100,8 134,8

D Q 0,092 0,092 0,080 0,070 0,063 0,056 0,037 0,023 0,001 -0,015 -0,013 -0,010 -0,018

H 110,0 110,0 110,0 87,4 70,7 78,9 83,3 87,1 91,4 77,4 69,0 106,8 134,8

B Q 0,092 0,092 0,093 0,080 0,071 0,050 0,034 0,020 0,008 -0,011 -0,025 -0,031 -0,034

H 103 103 103 103 103 103 103 103 103 103 103 103 103

Q 0,092 0,092 0,093 0,093 0,068 0,049 0,032 0,019 0,007 -0,002 -0,030 -0,049 -0,032 25


13 14 15 16 17 18 19

14,4 15,5 16,6 17,7 18,8 19,9 21,0

172,5 204,6 176,9 153,1 133,0 117,9 69,8

0 0 0 0 0 0 0

158,5 168,7 172,8 148,9 129,4 95,4 71,7

-0,023 -0,001 0,015 0,013 0,010 0,018 0,023

131,0 126,7 140,7 149,1 111,3 83,3 87,1

-0,020 -0,008 0,011 0,025 0,031 0,034 0,020

103 103 103 103 103 103 103

-0,019 -0,007 0,002 0,030 0,049 0,032 0,019

5.- MÉTODO GRÁFICO DE SCHNYDER-BERGERON El método gráfico de Schnyder-Bergeron permite tratar y resolver problemas de golpe de ariete en forma gráfica. Puede contemplarse como un caso particular del método de las características. Tras eliminar de las ecuaciones los términos no lineales (las pérdidas y el término debido a la energía cinética), dichas ecuaciones se convierten en dos rectas de fácil manipulación gráfica que se representan en un plano definido por las variables H y Q. Ello nos permite calcular, para cada punto de la conducción y en cualquier instante, los valores H(x,t) y Q(x,t). Si considerásemos las pérdidas distribuidas, nos llevaría a curvas en vez de rectas, lo que haría poco operativo el método, de forma que en caso de que queramos tener en cuenta las pérdidas, deberíamos de concentrarlas todas en uno o varios puntos de la instalación. Recordando que

, se pueden las citadas ecuaciones

como:

26

Golpe de ariete

La primera representa una onda viajando hacia aguas abajo en sentido positivo del eje x. La segunda lo hace con una onda en dirección aguas arriba. X es un punto situado aguas arriba del P e Y es un punto situado aguas abajo del mismo. Los valores H y Q para el punto P son para un instante posterior al que corresponde a los puntos X ó Y. Las incógnitas son los valores H(P) y Q(P). Trabajando sobre las ecuaciones anteriores llegamos a

La primera corresponde a una recta con pendiente negativa (-1/Ca) en las variables H(P) y Q(P), siendo el término entre paréntesis la ordenada en el origen. Dicha recta pasa por (Q(X),H(X)). En el segundo caso nos encontramos con una recta de pendiente positiva (1/Ca) en las variables H(P) y Q(P) y que pasa por el punto (Q(Y),H(Y)). Si conocemos las valores de Q(X) y H(X) en un determinado instante, sabemos que H(P) y Q(P) para el instante posterior y el punto situado aguas abajo estarán sobre la recta C+. De igual forma, conocidos Q(Y) y H(Y) para un punto y un instante, sabemos que los valores de H(P) y Q(P) para el instante posterior y el punto situado aguas arriba estarán sobre la recta C-. Si escribimos C+ y C- en variables reducidas, y recordando el valor del parámetro adimensional de Allievi, las ecuaciones que nos quedan son:

27


Antes de concluir para dar paso al cálculo haremos una consideración. Mientras que el punto de funcionamiento de la instalación se determina considerando las pérdidas por fricción de la tubería distribuidas uniformemente en toda su longitud, a la hora de afrontar el análisis mediante el método gráfico, como hemos dicho antes, eliminamos los términos no lineales, entre los que incluye ésta. Esto origina principalmente dos fenómenos. Por una parte, el transitorio no se amortigua con el tiempo. Por otra, las condiciones finales quedan distorsionadas. Ante esta situación podemos hacer dos cosas: realizar los cálculos considerando un comportamiento ideal de la tubería, es decir, la no existencia de pérdidas a lo largo de la conducción. considerar todas las pérdidas de la conducción concentradas en un único punto en lugar de distribuidas. Aunque no es real, supone una aproximación mayor a lo que ocurre en la tubería que no considerar f = 0. Se abordará el cálculo sin tenerla en cuenta en la impulsión y, más tarde, para explicar la forma de operar, se abordará su consideración en el cálculo aplicado a la estimación del gda en el primer tramo de la distribución.

5.1 Resolución 28

Golpe de ariete

Lo primero que vamos a hacer es fijar el número de intervalos de cálculo. Para ello, hay que ser conscientes de lo que se dijo antes, es decir, f = 0. Esto implica que, por más tramos en que dividamos en la tubería, no conseguiremos conocer como se propagan las perturbaciones por la tubería. En cambio, sí hay que reconocer que, como el aumentar el número de tramos disminuye el intervalo de tiempo tras el cual recogemos información, el disminuir la duración de estos intervalos nos permitirá conocer mejor lo que pasa en los extremos de la conducción. Se escogen tres, lo que nos dará

La pendiente de las rectas en el plano h-q* será

La característica positiva tendrá la pendiente negativa, y en cambio, la curva característica negativa tendrá la positiva. *Trabajamos en variables reducidas debido a la comodidad que representa trabajar con 1 y valores decimales de no más de una cifra, respecto a trabajar con valores de centenares de mca o de centésimas de m3/s.

En esta gráfica, los triángulos representan la condición de contorno aguas arriba, es decir, en la balsa (hB = h0), mientras que los cuadrados representan la condición de contorno aguas arriba (disminución de caudal impulsado a medida que disminuye la velocidad de giro de la bomba y, en última instancia, el caudal nulo al cerrarse la válvula de retención; qA = 0). 29


La forma de trabajar será la siguiente: Conocidas las condiciones iniciales en todos los puntos de la tubería (A0, C0, D0, B0), trazaremos desde ellos, por ejemplo desde A0, la curva característica correspondiente, en nuestro caso una C+. Al mismo tiempo, desde D0 trazamos la negativa. En la intersección de ambas se encontrará el punto C1. Así haremos para hallar todos los puntos, salvo en los extremos de la conducción (puntos A y B), donde bastará con una característica y la condición de contorno respectiva para hallar las condiciones en que se encuentran esos dos puntos en el instante de cálculo concreto. Por lo tanto, a parte de la pendiente de las curvas se debe tener bien definidas las condiciones de contorno. En este primer análisis sólo jugaremos con dos de la gran cantidad de condiciones de contorno que pueden considerarse a la hora de analizar el golpe de ariete en una impulsión: el vertido en una balsa y la parada y posterior cierre de forma ideal de la válvula de retención. La condición aguas arriba está más que definida, y como dijimos anteriormente, es que la presión se mantiene constante e igual a 1 (hB = 1). El problema viene en la condición aguas abajo, ya que será distinta en función de si la válvula de retención está cerrada o no. Si lo está (t > TC), la condición es sencilla, qA = 0. Si todavía no lo está, lo que quiere decir que aún la bomba gira e impulsa algo de caudal, la situación requiere de proceso analítico para llegar a obtener como varía el comportando de la bomba a medida que disminuye su velocidad y, por lo tanto, el par-motor en el eje. Si es menor (t < TC), se usará el gráfico obtenido para el método de las características de variación de caudal y altura proporcionado por la bomba en función de n (gráfico α-β). Paro de la bomba (t < TC) 30

Golpe de ariete

Primero de todo deberemos de ajustar los puntos de las curvas de la bomba a fórmulas del tipo:

Para ello se utiliza el ajuste por mínimos cuadrados. Así, partiendo de los puntos

m3/s 0 0,02 0,04 0,06 0,0734 0,083 0,0917 0,0981 0,1073

mca 128,49 131,25 131,94 130,58 128,51 126,45 124,18 122,26 119,13

η

0,0 25,8 46,6 62,4 70,2 74,4 77,2 78,7 79,9

Mediante los siguientes sistemas de ecuaciones obtenemos los parámetros de ambas ecuaciones:

M puntos considerados

31


Q i2 0,0000000 0,0004000 0,0016000 0,0036000 0,0053876 0,0068890 0,0084089 0,0096236 0,0115133

Q i3 0,0000000 0,0000080 0,0000640 0,0002160 0,0003954 0,0005718 0,0007711 0,0009441 0,0012354

Q i4 0,0000000 0,0000002 0,0000026 0,0000130 0,0000290 0,0000475 0,0000707 0,0000926 0,0001326

H·Qi2 0 0,05 0,21 0,47 0,69 0,87 1,04 1,18 1,37

η·Qi2 0,000000 0,000103 0,000746 0,002248 0,003783 0,005127 0,006494 0,007572 0,009198

η·Qi 0,000000 0,005164 0,018652 0,037461 0,051543 0,061768 0,070816 0,077191 0,085719

obtenemos los coeficientes buscados, y las ecuaciones quedan de la siguiente forma:

Estas curvas de la bomba lo son para la velocidad nominal de giro, pero al ir disminuyendo dicha velocidad, las curvas variarán. Para tener este hecho en cuenta, introducimos el parámetro α en las ecuaciones, que no es más que la relación entre las rpm en un momento dado del eje respecto a las rpm nominales quedando

A

parte

de

las

ecuaciones

considerar 32

la variación de velocidad, también hemos de analizar como varía el par-motor al variar aquélla. Esto lo hacemos a partir de la ecuación de la inercia del grupo, la cuál, durante el transitorio, se nos convierte en:

A

parte

de

considerar

Golpe de ariete

la variación de velocidad, también hemos de analizar como varía el par-motor al variar aquélla. Esto lo hacemos a partir de la ecuación de la inercia del grupo, la cuál, durante el transitorio, se nos convierte en:

como

Esta ecuación queda, después de integrarla entre t y t+Δt,

siendo El momento de inercia del grupo es igual a 1'8841 kg·m2

Una vez ya tenemos definidas las características del grupo, vamos a pasar las ecuaciones de la bomba a variables reducidas, dividiendo entre H0 (123'95 m) y Q0 (0'917 m3/s)

Para poder construir el diagrama α-β fijamos un valor de α y observamos sobre la curva de la bomba la variación de β en función de q. Los resultados obtenidos son 33


β 1 0,9 0,8 0,7 0,6 α

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

q h q h q h q h q h q h q h q h q h q h q h

1,2 1,2971 69 0,9572 86 1,4115 7 0,7353 9 1,4359 0 0,5500 6 1,3852 60 0,3995 17 1,2751 80 0,2797 80 1,1197 36 0,1863 74 0,9305 67 0,1152 43 0,7170 44 0,0631 05 0,4867 30 0,0275 13 0,2458 97 0,0068 00 0,0000 00 0,0001 06

1,1 1,16278 1 0,97829 5 1,31867 0,75151 1,37553 0,56086 1,34817 0 0,40596 0 1,25377 4 0,28322 0 1,10830 2 0,18799 3 0,92510 1 0,11588 8 0,71486 1 0,06330 4 0,48610 9 0,02755 2 0,24582 1 0,00680 2 0,00000 0 0,00010 6

1 0,9994 02 1,0007 45 1,2042 6 0,7698 5 1,3007 8 0,5735 7 1,3023 53 0,4136 78 1,2274 64 0,2873 69 1,0943 34 0,1899 49 0,9184 64 0,1166 65 0,7122 23 0,0635 43 0,4853 60 0,0275 98 0,2457 30 0,0068 05 0,0000 00 0,0001 06

0,9 0,7989 71 1,0236 52 1,0611 1 0,7904 6 1,2063 9 0,5886 1 1,2444 72 0,4230 46 1,1943 84 0,2924 60 1,0768 95 0,1923 55 0,9102 35 0,1176 22 0,7089 73 0,0638 36 0,4844 43 0,0276 54 0,2456 19 0,0068 08 0,0000 00 0,0001 06

0,8 0,55149 0 1,04489 1 0,87908 0,81291 1,08441 0,60637 1,16935 4 0,43456 9 1,15162 3 0,29883 6 1,05452 3 0,19538 5 0,89976 7 0,11882 6 0,70486 9 0,06420 5 0,48329 0 0,02772 5 0,24547 9 0,00681 3 0,00000 0 0,00010 6

0,7 0,2452 89 1,0603 96 0,6446 0 0,8356 1 0,9227 9 0,6269 8 1,0686 73 0,4488 89 1,0943 88 0,3070 05 1,0248 23 0,1993 10 0,8860 09 0,1203 87 0,6995 24 0,0646 82 0,4817 99 0,0278 17 0,2453 00 0,0068 18 0,0000 00 0,0001 06

Pueden extrañar los valores de entrada de q. Lo que pasa es que hemos realizado el proceso al revés. Es decir, para un alfa 34

fijado, obteníamos el q y h por iteración, a partir de las ecuaciones de la bomba y de un extra para el caudal resultante de despejarlo de la ecuación de β.

Pueden extrañar los valores de entrada de q. Lo que pasa es que hemos realizado el proceso al revés. Es decir, para un alfa

Golpe de ariete

fijado, obteníamos el q y h por iteración, a partir de las ecuaciones de la bomba y de un extra para el caudal resultante de despejarlo de la ecuación de β. El resultado se encuentra en el siguiente gráfico, que muestra la variación de la curva q-h de la bomba a medida que la velocidad disminuye desde alfa=1 hasta alfa = 0

35

Red de distribución para riego a presión de 140 ha en T.M. de Catadau Curvas de la bomba para distintas velocidades de giro

Ahora se empieza a tantear para obtener la situación de los puntos Aj (es decir, las condiciones en cada momento de cálculo desde que la bomba empieza a bajar su velocidad hasta que para) en el plano h – q. Si recordamos las expresiones

Tenemos

y por tanto

Para A1

Tanteando obtenemos A1 tanteo 1

q h

0,8627 0,848

αgraf βgraf

0,92 0,82

αcalc

0,918 36

Golpe de ariete

Se da por bueno esta aproximación, así que el punto A1 será (q = 0,8627, h = 0,848) Para A2 Ahora la ecuación es Y tanteando tanteo 1 2

q h

0,7713 0,7469

αgraf βgraf

0,86 0,705

αcalc

0,850

q h

0,7621 0,7367

αgraf βgraf

0,85 0,69

αcalc

0,851

αcalc

0,792

αcalc

0,743

El punto A2 será (q = 0,7621, h = 0,7367) Para A3 Y tanteando tanteo 1

q h

0,6772 0,6428

El punto A3 será

αgraf βgraf

0,795 0,59

(q = 0,6772, h = 0,6428) Para A4 Y tanteando tanteo 1

q h

0,6149 0,5738

αgraf βgraf

0,76 0,52

37


2

q h

0,6045 0,5623

αgraf βgraf

0,74 0,505

αcalc

0,744

αcalc

0,699

αcalc

0,660

αcalc

0,630


q h

0,5437 0,495

αgraf βgraf

0,695 0,44


q h

0,4985 0,445

αgraf βgraf

0,66 0,39


q h

0,1929 0,4107

αgraf βgraf

0,62 0,28

38

Golpe de ariete

2

q h

0,2182 0,4387

αgraf βgraf

0,64 0,3

αcalc

0,629

2

q h

0,2056 0,4247

αgraf βgraf

0,63 0,29

αcalc

0,629

El punto A7 será (q = 0,2056, h = 0,4247) En el punto A8 la bomba ya no impulsa más caudal, por lo que se puede considerar que la válvula de retención se ha cerrado, siendo entonces q = 0. Así, dicho punto se obtendrá con la intersección de la C- que sale desde C8 y la vertical q = 0. A partir de aquí los puntos se obtienen mucho más fácilmente puesto que por haberse cerrado totalmente la válvula de retención, la impulsión se independiza del grupo motor-bomba, y las condiciones de contorno se simplifican mucho como se dijo anteriormente, siendo a partir de aquí qAi siempre igual a 0. De la observación del gráfico de Schnyder-Bergeron se observa que la presión máxima en la válvula será igual a 1'6831 veces H0, es decir

39


40

Golpe de ariete

6.RESOLUCIÓN INFORMÁTICO: DYAGATS

MEDIANTE

PROGRAMA

El DYAGATS (diseño y análisis de golpe de ariete en tubería simple) es un programa desarrollado por el GMMF (grupo multidisciplinar de mecánica de fluidos) de la ETSII. Se ha preferido a otras alternativas (HiTrans, AFT Impulse) a la hora de realizar el cálculo mediante ordenador por el idioma, la facilidad para entrada de datos, su buena base de datos sobre tuberías y válvulas de regulación, el modelizado que hace de las válvulas de retención, y las salidas de resultados que presenta, tanto gráfica como mediante tablas. Se basa en el método de las características explicada brevemente en apartados anteriores, despreciando también el término cinético, y necesitando, como no, las condiciones iniciales y las condiciones de contorno. B.1

Resultados

Aquí se presentan los resultados en forma de gráfico de envolvente de presiones máximas, así como las entradas de los datos al programa

41


42

Golpe de ariete

43


44

Golpe de ariete

7.- COMPARACIÓN DE RESULTADOS Y ELECCIÓN DEL TIMBRAJE En esta tabla-resumen aparecen los valores máximos de las presiones que se alcanzan en la tubería según los distintos mecanismos de cálculo empleados: Características SchnyderBergeron DYAGATS

Mendiluce

204,6 208,6 (f=0) 201

281,6

Como se esperaba, el valor obtenido mediante el método de Mendiluce es mayor que los otros, actuando a modo de envolvente.

8.- GDA EN PRIMER TRAMO DE LA RED DE DISTRIBUCIÓN Vamos a calcular ahora el golpe de ariete que se producirá en las ocasiones en que, por el motivo que sea, se cierre la válvula de mariposa situada a la entrada de los colectores de la estación de filtrado. Si consideramos que dicha estación está cercana a la entrada a la red de distribución propiamente dicha, podemos asemejar la longitud del recorrido de la balsa al colector a la longitud total del tramo 1 (859'3m)

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Aunque en un principio parecería que deberíamos timbrar la tubería de forma variable, es decir, al principio con PN6 y luego con PN10, sin embargo, y como se verá en el anejo de cálculo mecánico, se timbra en toda su longitud con PN10 por razones de estabilidad frente al aplastamiento por parte de las cargas verticales. Usaremos dos intervalos de cálculo, dado lo farragoso que resulta (como se vio en el ejemplo anterior) trabajar con más puntos sobre la gráfica, y puesto que en este caso se busca, más que obtener gran cantidad de información, ver como afecta el cierre de la válvula.

La pendiente de las curvas características será

Ya se tiene definida la tubería. Falta ahora conocer la forma de cerrar de la válvula. Una de las formas más habituales de modelizar el comportamiento de la válvula es

Siendo el incremento de H la pérdida de carga generada por la válvula en un determinado instante, diferencia entre la altura piezométrica aguas arriba y debajo de ella, y KV(t) el coeficiente de caudal de la válvula en un instante dado. Una forma de disponer de la informa ción correspondiente al comportamiento de la válvula durante la 46

maniobra de la misma es conocer el valor del coeficiente de caudal cuando la válvula se encuentra completamente abierta

Una forma de disponer de la informa ción correspondiente al comportamiento de la válvula durante la

Golpe de ariete

maniobra de la misma es conocer el valor del coeficiente de caudal cuando la válvula se encuentra completamente abierta

En catálogos comerciales se ha encontrado la siguiente curva de variación del coeficiente de caudal según el grado de cierre de la válvula.

Si queremos conseguir un cierre lento que nos lleve a obtener presiones lo más reducidas posibles, deberemos de cumplir que TC sea menor que 2·L/a. Al ser L/a 2'63s, supondremos que el cierre de la válvula se realiza en TC = 8s. De la gráfica obtenemos que la relación τ(t) para L/a, L/2·a y L/3·a aon, respectivamente, 0'62, 0'2 y 0'02, 47

y para un KV,O = 9, la ecuación de las parábolas correspondientes para esos instantes queda

De la gráfica obtenemos que la relación τ(t) para L/a, L/2·a y L/3·a aon, respectivamente, 0'62, 0'2 y 0'02,


y para un KV,O = 9, la ecuación de las parábolas correspondientes para esos instantes queda

Al expresarlas en variables reducidas, nos quedarán como q=τ(t)·(h)1/2. También, y para hacer conseguir unos resultados más parecidos a la realidad, haremos algo que no hicimos en el método de Schnyder para la impulsión, tener en cuenta la fricción. Para tenerla en cuenta, una de las soluciones más adecuadas es concentrar todas las pérdidas en un solo punto. Esta concentración la realizaremos simulando que justo a la salida de la balsa existe un elemento resistente con unas pérdidas equivalentes a las de la conducción. Así, la constante de pérdidas que debe tener el elemento resistente será

En variables reducidas nos queda que la altura en ese punto será

48

Golpe de ariete

El caudal puede ser tanto negativo como positivo, siendo las pérdidas siempre contrarias al sentido del flujo. Por eso de la representación del término del caudal en la fórmula de esa forma.

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Después de operar, nos queda el siguiente gráfico, donde se ven tanto las parábolas para los distintos valores del coeficiente de descarga como la curva que nos introduce las pérdidas de carga en el sistema. El valor máximo de la presión en la válvula será

por lo que en principio no deberíamos tener ningún problema con el timbraje PN10 con el que está diseñada toda la tubería.

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Golpe de ariete

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Calculo de Golpe de Ariete en Impulsion

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