Teoría - Golpe de Ariete

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FAC. REG. C. DEL URUGUAY 3º AÑO INGENIERÍA CIVIL - Cátedra: HIDRÁULICA GENERAL Y APLICADA Profesor: Ing. ALEJANDRO A LEJANDRO ZABALETT

UNIDAD 6. Escurrimiento Impermanente en Conductos UNIDAD 6. Escurrimiento Impermanente en Conductos ...................... ................................. ....................... ....................... ....................... ........................ ....................1 ........1

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Introducció Introducciónn ...................... .................................. ....................... ....................... ....................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..................... ...................... ....................1 .........1 Definición de Golpe de Ariete...................................................................................................................2 Estudio de las Sobrepresiones en los Conductos.......................................................................................4 Descripción física del fenómeno fenómeno ......................... ............ ........................... .......................... .......................... ........................... ......................... .......................... ..................... ....... 5 Estudio Analítico: Teoria de Allievi........................................................................................................10 ................................. ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ....................... ...................... .................. ....... 10 6.5.1 Hipótesis de Base ..................... ............................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ...................... ......................10 ...........10 6.5.2 Variables y Ecuaciones .................... 6.5.3 Ecuaciones Diferenciales: .................... ............................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... .................. ....... 14 6.5.4 Interpretación física de F1 F1 y F2: ....................... .................................. ...................... ...................... ..................... ..................... ....................... .................. ...... 15 6.6 Celeridad..................... Celeridad................................ ..................... ...................... ........................ ....................... ...................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... .............. ... 15 6.7 Condiciones en los límites.......................................................................................................................16 6.7.1 Solución grafica de las ecuaciones de Allevi por el método de Bergeron: ..........................18 ................................. ...................... ...................... ..................... ..................... ....................... ........................ ....................... ....................... .................. ...... 21 6.7.2 Cierre lento: ...................... 6.8 Cierre rápido rápido ..................... ................................. ....................... ....................... ....................... ...................... ...................... ...................... ..................... ..................... ...................... .................. ....... 22 6.9 Cierre lento..............................................................................................................................................27 6.1

Introducción

El estudio del movimiento permanente en tuberías llega a definir distintos tipos de funcionamiento de estas independiente de la variable “tiempo”. En este capitulo corresponde analizar los movimientos cuyas características varían con el tiempo (Impermanentes). El análisis de estos movimientos (llamados transitorios), son mucho más complejos de analizar ya que interviene una nueva variable adicional. Los transitorios siempre están presentes cuando se establece un escurrimiento cualquiera hasta que el mismo adquiere las características de permanencia que le corresponde. Debemos distinguir entre aquellos en los que la impermanencia se produce en forma lenta y aquellos que lo hace en forma brusca. Los primeros pueden considerarse como una sucesión de movimientos permanentes con distintas características. Si tomamos como ejemplo el cierre de una Q válvula muy lenta, es un escurrimiento a presión, en el que la variación variación del caudal con el tiempo se produce en un tiempo de cierre Tc (fig. Nº 1), cuando termina la maniobra de Q1 cierre se establece un nuevo caudal Q2 constante, distinto del Q1 primitivo y Q2 correspondiente a un nuevo estado del sistema. t0

t Tc

Fig. N°1 Pág. 1

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En cambio, si el tiempo de cierre de la válvula es muy breve se produce una brusca

impermanencia. En este caso el movimiento no se puede considerar como una serie de

movimientos permanentes, pues los intervalos interesados serán demasiado pequeños. Por otra parte si la maniobra de la válvula es Q suficientemente rápida o brusca, no se produce solamente un rápido cambio en el gasto, sino que, como se aprecia en la Fig. Nº 2, el nuevo caudal Q2, no se establece inmediatamente Q1 después de terminada la maniobra de cierre, dado que en la tubería se advierten Q2 fluctuaciones del caudal, velocidad y presión. Estas oscilaciones se amortiguan con el tiempo hasta que se establece un un nuevo caudal caudal Q 2. t t0 T0 Este fenómeno que se produce en tuberías, cuando la impermanencia es brusca, se denomina Golpe De Ariete. Fig. N° N°2 2

6.2

Definición de Golpe de Ariete

Se denomina Golpe De Ariete a la oscilación de presión presión por encima o debajo debajo de la normal, originada en las conducciones como consecuencia de rápidas fluctuaciones de velocidad en el escurrimiento Al producirse el cierre de una válvula, la energía cinética de la masa de agua que escurría por la conducción, se anula bruscamente, transformándose en trabajo elástico de deformación, energía vibratoria, ondulatoria y térmica, que serán equivalentes a la energía cinética anulada. Para tener una idea sobre este fenómeno hidráulico se analizará lo que sucede en una cañería que alimenta a una turbina por efecto del cierre y la apertura de la válvula de admisión. A

Golpe de Ariete Positivo

M

hA Carga Estatica

N

hA A

H

O

Al producirse una rápida disminución de la carga de trabajo del alternador (acopiado a la turbina), el regulador automático de la turbina hace cerrar la admisión del agua, actuando sobre el obturador O. De esta manera la cantidad de movimiento que traía la masa liquida se Pág. 2

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debe reducir a cero muy rápidamente, dando origen a una gran presión sobre la válvula y a una onda de presión que se traslada hacia aguas arriba del obturador. Además, como se explicará más adelante, el fenómeno está influenciado por la elasticidad de la cañería y por la compresibilidad del líquido. Como consecuencia de esa detención brusca se percibe un golpe característico y se pone en evidencia una línea piezométrica transitoria AM, que por simplicidad se supone rectilínea. Si se colocara un piezómetro en un punto intermedio I, se observaría una altura de sobrepresión hA sobre el plano de carga hidrostático MN. El máximo valor de estas alturas de sobrepresiones se produce en correspondencia con el obturador y se la indicará con HA, para diferenciarla de la altura de carga hidrostática ho. Al cesar el movimiento de cierre del obturador esas alturas de sobrepresiones positiva oscilan hasta la línea MB, próximamente simétrica a la MA con respecto al plano de carga hidrostático MN estableciéndose una fluctuación de alturas de sobrepresiones y depresiones entre las posiciones extremas MA y MB, que se van amortiguando hasta quedar anuladas como consecuencia de los frotamientos, los torbellinos y los cambios de dirección de los filetes líquidos. El proceso explicado hasta aquí constituye el golpe de ariete positivo.

Si, por el contrario, se origina un rápido aumento de la carga de trabajo del alternador, el regulador automático de la turbina abre la admisión del agua, al actuar sobre el obturador; y el aumento de energía cinética de la masa líquida que escurre por la cañería se efectuará a expensas de su energía potencial de presión. Por tal causa, la cañería sufrirá un golpe de ariete negativo, caracterizado por una serie de alturas de depresiones decrecientes desde el obturador O al origen P de la cañería según la línea piezométrica transitoria AM. Oscilación de Golpe de Ariete Negativo

N

Carga Estatica

A M B

Cuando cesa la apertura del obturador, las alturas de depresiones MA oscilan hasta la línea piezométrica MB, que forma con el plano de carga hidrostático MN un ángulo mucho menor que el que forma la línea MA. También como en el caso anterior, se establece aquí una fluctuación de alturas de depresiones y sobrepresiones, respecto al plano de carga MN, entre las posiciones extremas

Pág. 3


MA y MB, las cuales se van amortiguando hasta quedar anuladas por las mismas causas del caso anterior. Este fenómeno lleva a que las tuberías forzadas deben proyectarse para resistir una presión en cada punto correspondiente a la máxima del golpe de ariete positivo y su trazado debe ser tal que la línea de depresiones máximas que de por encima de la arista superior de la conducción para evitar la aparición de vacíos parciales que podrían destruirla por aplastamiento. Ejemplo

Consideremos una tubería de 500 m de longitud y 0,5 m de diámetro por la que escurre agua a una velocidad de 4 m/s. La energía cinética por unidad de peso será : H =

U 2

2. g

16 m 2 / seg 2 = = 0.8 1 5m 2 * 9 .8 m / seg 2

la energía cinética de la masa liquida que escurre : E = H . G = E =

U

2

2. g

.γ . Ω. L

0815 . m * 1000 .

2 Kg π (0.5m)

m

3

.

4

.500m

E = 81633Kgm

Si esa energía se anula en un segundo, deberá desarrollarse un a una potencia de: P1 =

1 .0 8 8 C V

Si en cambio se anula en 10 segundos, la potencia se reducirá a: P 1 0 = 1 0 9 C V Como se observa las potencias en juego son considerables y por ende no pueden dejarse de tenerlas en cuenta en el estudio y programación del equipamiento de una central hidroeléctrica. 6.3

Estudio de las Sobrepresiones en los Conductos

En el fenómeno de golpe de ariete como consecuencia de la variación brusca del caudal, se produce una variación de la energía cinética de la masa liquida que genera una serie de

Pág. 4

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En el estudio teórico del fenómeno no se toman en cuenta, en primera instancia las perdidas de energía por frotamiento, de allí que las expresiones que resultan representan ondas de amplitud constante.

En la practica, existe frotamiento en el interior de la tubería que producen un amortiguamiento, a veces muy rápido de las ondas, que lleva a la desaparición progresiva y al cabo de un cierto tiempo se restablece el régimen correspondiente a las nuevas condiciones de escurrimiento. 6.4

Descripción física del fenómeno

Para interpretar el fenómeno de golpe de ariete, se lo estudiara en todas sus etapas, para el caso particular de una tubería que nace en un gran deposito, por la que escurre agua y se produce un cierre total instantáneo una válvula ubicada en su extremidad agua abajo. Los parámetros que intervienen en el proceso son: t : tiempo t0: instante en que se produce el cierre de la válvula. X : distancia medida en la tubería desde el obturador hacia el deposito ρ : masa especifica del fluido D : diámetro de la tubería U 0: velocidad media del escurrimiento antes del cierre

U : velocidad media del escurrimiento en un instante cualquiera posterior al cierre.

P0 = γ . H : presión antes del cierre

P = . H + ∆H : presión en un instante cualquiera posterior a : celeridad Las distintas etapas para el caso considerado se describen a continuación: 1. Para un instante t < t 0

Aun no se ha producido la maniobra de cierre y no hay modificación del caudal en el escurrimiento. Esta situación corresponde a un esquema como el de la figura 6.5.1, en el que se desprecian las perdidas de energía y se coloca la tubería horizontal. En toda la tubería el diámetro es D, la masa especifica es ρ , la velocidad V y la altura representativa de la presión es H. Pág. 5


2. Para el instante t = t 0 En este momento se produce instantáneamente el cierre total del obturador. El esquema será el mismo que en la figura 6.5.2 y con la única diferencia que ahora el obturador esta cerrado 3. Para el instante posterior al cierre t = t 0 + ∆t

Como se ve en la figura 6.5.3 junto al obturador la velocidad del liquido es nula (V =0) , la presión se incrementa en un valor ∆ H y el diámetro es de la tubería esta incrementado en un ∆ D . Los fenómenos señalados se propagan desde el obturador hacia el deposito con una celeridad a. Como consecuencia, al cabo de un lapso ∆ t , esos fenómenos se habrán propagado hasta una distancia: X = a . ∆ t ⇒

∆ t = x a

con lo cual el instante correspondiente a la figura podrá caracterizarse como: t = t

0

+ ∆ t → t = t

0

+ x a

4. Para el instante en que alcanza el depósito

Para este caso, (Ver Figura), se tendrá para toda la longitud L de la conducción una presión H + ∆ H , un diámetro D + ∆D , una masa especifica ρ + ∆ρ y una velocidad U = 0. El tiempo que debe transcurrir es tal que permita al fenómeno desplazarse la distancia L con una velocidad a, entonces : ∆ t = L a y t = t 0 + L / a .

Pág. 6


5. Para un instante ∆t posterior a la llegada al depósito

El tiempo será : t = t 0 + L / a + ∆ t La situación descriptiva en un punto anterior no puede ser estable porque la presión en el tubo se ha visto incrementada en un valor ∆ H , en tanto en el deposito no puede producirse una variación sensible de ese parámetro debido a que se admite que la superficie del deposito es muy grande, lo que impide que se produzcan modificaciones de nivel. Como consecuencia de la diferencia de presiones entre el deposito y la conducción, existe una tendencia en el fluido a escurre hacia aquel, o sea de la zona de mayor a menor presión, lo que trae aparejado la descompresión del fluido en el tubo, que vuelve a retornar a su diámetro original. Como puede verse en al fig. 6.3 para un tiempo ∆ t posterior a la llegada de la onda al embalse, se tendrá en una distancia L - X las mismas condiciones iniciales de presión, masa especifica y diámetro de la tubería, pero con el escurrimiento produciéndose en sentido contrario, es decir con una velocidad U = − U 0 La distancia L - X, será recorrida por la onda en un tiempo ∆ t , entonces : L − X = a ∆ t

t = t 0 +

L a

y ∆ t =

+ ∆ t = t 0 +

L − X a L a

+

, siendo el tiempo

L − x a

, o sea: t =t 0 +

2 L − x a

6. Para un instante en que la modificación llega al obturador

Cuando la onda llega al obturador, (Fig. 6.6) se tiene en toda la longitud L del tubo la presión H, la masa especifica ρ , el diámetro D y la velocidad de escurrimiento es − U 0 . 2L La situación descripta se verifica en el instante t = t 0 + a

Pág. 7


7. Para un instante ∆t posterior a la llegada al obturador

La situación descripta en la etapa precedente no es estable, por cuanto si bien las condiciones de ρ , D y H son las originales, la velocidad del escurrimiento es de sentido contrario. Un instante ∆ t posterior a la llegada de la modificación al obturador (Fig.), en un cierto tramo x de la tubería el fluido se hallara en reposo pues no existen posibilidades de alimentar un escurrimiento hacia el depósito desde aguas abajo. Pero el resto de la tubería (L-x) se sigue produciendo ese escurrimiento; el flujo de partículas se realiza a expensas de la masa contenida en el tramo x. Para que lo expresado anteriormente sea posible, en dicho tramo se reduce el diámetro de la tubería y el fluido se descomprime pasando su masa especifica al valor ρ − ∆ ρ y su presión H − ∆ H . Durante el intervalo ∆ t la onda habrá recorrido una distancia x = a ∆ t , y la situación descripta se presentara en un instante t = t 0 +

2L a

+

x a

= t 0 +

2 L+ x a

8. Para un instante en que la modificación llega al depósito

Para este instante toda la tubería tienen las condiciones reinantes en el tramo x de la etapa anterior, como puede apreciarse en la figura 6.8. esta circunstancia se presenta para el instante 3 L t = t 0 +

a

9. Para un instante ∆t posterior a la llegada de la modificación al depósito:

Pág. 8


Tal como ocurrió en las etapas 4 y 5, la situación descripta no es estable debido a que las presiones en la conducción son menores que el embalse, donde aquellas no se modifican. Como consecuencia se produce un escurrimiento desde él deposito hacia el obturador, restableciéndose las condiciones originales de presión, masa especifica, diámetro y velocidad. La situación descripta puede apreciarse en la figura Nº 6-9 en la cual, en el tramo x de la conducción se tendrá: Velocidad: V= 0 Presión: H − ∆ H Diámetro: D − ∆ D Masa especifica: ρ − ∆ ρ Y en el resto de la tubería, en el tramo L – x, será: Velocidad: V= V0 Presión: H Diámetro: D Masa especifica: ρ El intervalo ∆ t es el tiempo en que la modificación recorrió desde el embalse la distancia L – X, por consecuencia el instante en que se produce la situación descripta es: t = t +

0

3 L a

+∆ t = t 0 +

t = t +

0

3 L a

+

( L − x) a

4 L − x a

y esta situación se mantiene en tanto x tenga valores comprendidos entre L y 0. 10. Para el instante en que el fenómeno llega al obturador

Pág. 9


Para este instante, la situación descripta para el tramo L-X en la etapa anterior se generaliza a toda la conducción, como consecuencia se restablecen las condiciones originales del escurrimiento. En esta circunstancia corresponde a la Figura Nº 6-10 y se dará en el instante: 4 L t = t + 0 a . En este instante la situación es análoga a aquella de la etapa, aunque no exactamente igual a ella, pues si bien los valores característicos: V0 , H, D y ρ son los mismos, en la etapa 1 el obturador estaba abierto y en la etapa 10 no lo esta. 6.5

Estudio Analítico: Teoria de Allievi

Allievi estudio el Golpe de Ariete en 1904, dando una solución general al problema del movimiento fuertemente impermanente en tuberías, estableciendo la compresibilidad del fluido y la deformabilidad de la tubería. TEORIA DE ALLIEVI

6.5.1 Hipótesis de Base En el desarrollo de la teoría se hacen las siguientes hipótesis: a) No se toma en cuenta la real distribución de velocidades en la sección plana normal al escurrimiento. Se acepta V = U en todo punto en consecuencia α =1. b) Se supone a la sección suficientemente pequeña para que en todo punto de ella, la presión sea igual a la presión en el eje. c) Se consideran al fluido compresible d) Se considera a la tubería deformable. e) No se tienen en cuenta las perdidas de energía en la conducción (j=0), despreciándose los frotamientos interiores del liquido. f) Se considera a la tubería de característica única, es decir que su diámetro D, su modulo de elasticidad E y su espesor e se mantienen constantes en toda su longitud L. 6.5.2 Variables y Ecuaciones Considera variables que corresponden a la conducción, al fluido y al movimiento, siendo la sobrepresión: Pág. 10


H = f ( D, e, L, E, ρ,, ε, H0, Hi, U0, U, t0, t , Tc, x) Donde: D: diámetro de la tubería e. espesor de la tubería L: longitud de la tubería E: Modulo de Elasticidad de la tubería ρ: Masa especifica del fluido ε : Modulo de elasticidad cúbico del fluido H0: Presión hidrostática en columna de agua antes del cierre. Hi : Presión hidrostática mas la sobrepresión debida al golpe de ariete. Uo : velocidad media del escurrimiento, antes del cierre. U : velocidad media del escurrimiento, después del cierre. t0 : tiempo inicial t: tiempo transcurrido Tc: tiempo que dura la maniobra de cierre x: longitud en el sentido del eje de la tubería, considerada a partir del obturador.

Para encontrar las funciones que ligan la velocidad y la presión de cada elemento de la masa fluida con la posición y con el tiempo; se utilizan dos ecuaciones: la de Euler y la de continuidad, esta ultima con el auxilio de dos leyes de la mecánica, la de Hooke y la de Mariotte. Aplicación de la ecuación de Euler: Se plantean esta ecuación según el eje de la tubería:

X −

1 ∂ p ρ

∂ x

2

=

d x dt 2

donde X= -g sen ∀ ( fuerzas gravitatorias por unidad de masa)

Pág. 11


∂ p = ∂ x

γ

∂ H (fuerzas de presión por unidad de masa) ∂ x

además, siendo U=f(x,t), con U = − dx dt 2

d x dt

2

d u

=−

dt

=

∂ u ∂ u d x ∂ u ∂ u − U + = ∂ t ∂ x dt ∂ t ∂ x

El ultimo termino puede despreciarse frente al anterior, entonces al ecuación de Euler puede escribirse

∂ H ∂U γ =− γ ρ ∂ x ∂ t ∂U ∂ H = g ( sen α + ) ∂t ∂ x

− g sen α −

1

En esta primer ecuación diferencial de primer orden aparecen las cuatro variables (U,H,x,t) que intervienen en el fenómeno Aplicación de la ecuación de Continuidad Considerando el elemento de la tubería comprendido entre las secciones A-A y B-B, la masa liquida que ingresa por A-A es

   

dm e =  u +

∂u  dx  Ω ρ dt ∂ x 

saliendo al mismo tiempo por al cara B-B dm S = U Ω ρ dt quedando almacenada en el elemento de tubería la diferencia:

dm i = dm e − dm s =

∂u dx U Ω ρ dt (1) ∂ x

Esta masa se almacena por dos causas: a) Por la compresibilidad del agua que experimenta una disminución de masa en el mismo volumen ( dm1)

Pág. 12


− dm1 = ρ d τ siendo: d τ = −

1

∆ L

τ dp

ε

L

=

σ E

(Hooke)

con: τ = Ω dx y dp = γ dH como H=f(x,t)

d H =

∂ H ∂ H dx + dt ∂ x ∂t

Pero considerando que dx es infinitamente pequeño, la variación de H con x va a ser infinitamente pequeña en relación con la variación de H con t, entonces:

d H = y dm1 =

∂ H dt . ∂ t

1 ∂ H dt * * Ω * γ ρ dt ∂t ε 1

dm1 = ρ γ Ω ε

es:

∂ H dx dt ∂t

b) Por la dilatación del tubo, el aumento de la capacidad de transporte de masa (dm2) dm2 = ρ d τ

d Ω = d (

,

π D

d τ = d Ωdx

2

π

) = DdD 4 2 La tensión a la que está sometido el material de un tubo cilíndrico de diámetro D y espesor e, en el cual reina una presión p, está dada por la ley de Mariotte y es: σ =

pD

2e

1 ( pdD 0 + Ddp ) 2e Siendo mas importante la variación de dp, que dD, dσ =

σ =

D

2e

dp

con dp = γ dH = γ reemplazando d σ =

dH dt

dt

1 dH D γ dt 2e dt

además por ley de Hooke:

dD D

=

d σ E

con lo cual, dD = D dσ/E

o Pág. 13


=

dD

1 2 eE

2 D γ

dH dt

dt

, llevando este valor en la formula anterior de dm2

dm 2 = ρ .

π

4 eE

. D 3 .γ .

dH dt

.dx .dt

luego, completando la ecuación: dmi = dm1 + dm2 dU 1 D dH ] = γ [ + dx

En esta ec.

1 ε

eE dt

ε

tiene en cuenta las características del fluido y D/eE ,las de la tubería.

1 D g En esta ec. Puede hacerse en forma arbitraria la exp. homogénea γ [ + ] = 2 ε

Con a = celeridad. Finalmente la ecuación queda dU dx

=

g dH a

2

dt

eE

a

, que es la segunda ec. Diferencial de primer grado que incluye a las

variables del fenómeno (U, H, a, x, t) 6.5.3 Ecuaciones Diferenciales: Derivando la ecuación (T) respecto del tiempo y la ecuación respecto de x, se tiene: ; Resultando en consecuencia

Derivando ahora la ecuación (1) respecto de x y la ecuación (II) respecto de x:

que en consecuencia, resulta:

Pág. 14


En las ecuaciones diferenciales de 2° orden (III) y (IV) , U y H están ligadas a las variables x y t. Cada una de ellas tiene, la misma forma matemática que la ecuación de la cuerda vibrante de D`Alembert. La solución dada por Riemman se presenta a continuación. Para la ecuación primera es: y para la segunda

(V) (VI)

ecuaciones (V) y (VI) son las ecuaciones integrables del golpe de ariete, y en ellas, H 0,x designan la presión estática en el punto considerado, U0,x es la velocidad inicial del agua en el Conducto antes del comienzo de la maniobra considerada, y F1 y F2 son dos funciones cuya expresión depende da las condiciones del problema que no han sido aun fijadas. 6.5.4 Interpretación física de F1 y F2: F1 y F2 son funciones arbitrarias de la sobrepresión. Si para un tiempo (t + dt) la absisa cambia a (x + dx) y x= a.t + constante dx = a dt entonces F1 (x.+ dx - a(t+dt) = F1 (x + dx – at - adt) = F1 (x - at) Se puede apreciar que F1 es una onda de presión moviéndose en la dirección de +x con una velocidad a. Este análisis puede hacerse para F2, llegando a la conclusión que F2 (x+at) es una onda de presión moviéndose en la dirección de -x 6.6

Celeridad

Se había definido en la ecuación

Pág. 15


En la ecuación 9, como del sonido.

es la velocidad del sonido en el agua y además,

, la celeridad a de la onda de sobrepresión es menor que la celeridad

Considerando la tubería rígida, (E=∞) será a = a(sonido) y siendo ε= 20*108 N/m2, resultando la celeridad del agua a =1.425m/s. Allevi de la sig. expresión para el calculo de la celeridad para el agua a 15°C.:

En la que K es un coef. con los sig. valores: Hierro y A° : K= 0.5 • • Fundición: K= 1 Pl y H°: K= 5 • Madera: K=10 • Los valores de la celeridad a pueden variar entre limites muy extensos. La máxima será 1.425m/s para tubos rígidos y la mínima de 15m/s para caucho y arterias, los valores normales para el agua varían entre 900 y 1200m/s. 6.7

Condiciones en los límites

Comportamiento en el embalse (x=L) en un instante cualquiera t.

La ecuación (V) queda: Como la cota en el embalse no varia, será: O sea que para cualquier instante t, en el embalse la función F2 es igual a F1 en el mismo lugar e instante pero con signo cambiado (las ondas se reflejan) La ec. 11 puede escribiré también

para todo instante t, F2 en el embalse es igual a F en el obturador con un signo cambiado, un instante L/a antes. Comportamiento en el obturador un instante cualquiera

La ec. anterior es valida para todo instante, inclusive t1= t - L/a por lo que queda Pág. 16


Por lo tanto F2 recién existe en el obturador en un instante 2L/a posterior a la existencia de F. En un Pto cualquiera en un instante cualquiera:

en un instante de 11 para t 2 = t + (L - x)/a

Es decir que la función F2 en un pto cualquiera y en cualquier instante, toma el mismo valor que la F1 cambiado de signo en el mismo punto en un instante 2(L-x)/a antes. Sintetizando:

a) F1 y F2 se propagan sin deformarse "La primera desde el obturador hacia el embalse y la segunda en sentido contrarío. b) F1 y F2 son nulas hasta el instante de producirse el cierre. c) La F2 en el embalse es constantemente igual a -F1. d) Como F1 es nula para t menor o igual a 0, de (12) resulta que en el embalse F2 es nula hasta el instante 0 + L/a, o sea cuando F1 llega al embalse. e) F2 se desplaza con celeridad -a, y demorara L/a en recorrer el camino embalseobturador a donde llega entonces en un tiempo 0 + 2L/a = θ desde la maniobra (t = 0). Esta condición surge también de la (13) ya que la F2 en obturador puede existir un semiperíodo después que exista la F1 en el obturador. f) La F2 en un t cualquiera y en un x cualquiera, tiene el mismo valor que la F1 cambiada de signo en el mismo punto un instante 2 (L - x)/a antes. XI. Aplicaciones de la Teoría de Allievi:

Pág. 17


Analizando lo visto, surgirá que un cierre brusco produce un golpe de ariete superior a uno lento, En efecto; en el embalse se produce una reflexión de La onda con cambio de signo, la que viaja hacia el obturador. Su llegada a este se produce un instante t = 2L/a después de iniciarse la maniobra de cierre. Si en ese lapso la maniobra se completo, habrá llegado a tenerse la máxima sobrepresión en algún tramo de la tubería. Pero si no termino el cierre y llega la onda que resta, la máxima sobrepresión no se alcanza en ninguna sección. Habría un tiempo limite T c = 2L/a para el cierre Tc. Si Tc < 2L/a, cuando la onda que resta llega de regreso al obturador, ya por lo menos en este se ha producido la máxima sobrepresión y el cierre es brusco. Si por el contrario Tc > 2L/a, la maniobra de cierre no alcanza a completarse en ninguna sección antes de que llegue la onda de retorno y consecuentemente no alcanza a desarrollarse la máxima sobrepresión y el cierre es lento. Y sea en un cierre lento o brusco la sección mas comprometida es la del obturador (sección mas alejada del embalse). 6.7.1 Solución grafica de las ecuaciones de Allevi por el método de Bergeron: Haciendo pasajes de términos en las ec. V y VI H t , x − H 0, x = F 1 ( x − at ) + F 2 ( x − at )

− (U t , x − U 0, x )

a g

= F 1 ( x − at ) + F 2 ( x − at )

sumamos y consideramos U 0, x = U0 y H 0, x =H0

Consideramos dos puntos B(x1, t1) y C(x2, t2) en la figura y un observador moviéndose desde B hacia C en la dirección +x (-u) con velocidad a:

Escribiendo la ec. 15 para B y C:

Pág. 18


reemplazando en la ec. 16 y restando la 17 de la ecuación 18 se tiene:

Expresando la VII 1 en función del gasto

En el sistema coordenado H, Q los puntos que representan las condiciones están x1, t1 y x2, t2 están sobre una línea recta de pendiente a/g Ω , llamada línea característica positiva Fig. 9. En forma similar un observador moviéndose en la dirección -x(+U) pasa por los puntos de una línea característica negativa de pendiente (- a/g Ω).

Para hallar H y Q para un punto en un tiempo cualquiera hay dos posibilidades a) El punto está dado por 2 observadores viajando en dirección opuesta y llegando al punto al mismo tiempo, o sea, que el punto está dado por la intersección de dos líneas características. b) La presión y/o el gasto en el punto sigue una cierta ley, llamada ley característica de extremo. Leyes características de extremo: Embalse: H = cte; ∆H=0 Válvula cerrada: Q=0 Cavilación: Puede ocurrir que en un pto de la tubería se produzca una depresión y que el método de Bergeron indique que la presión relativa es menor que la presión de vapor, como consecuencia de ello la ley de extremo es una horizontal con H=pv. Válvula con ley H-Q conocida: Pág. 19


La ley esta dada por , que es la ec. de una parábola, ya que para cada valor de H hay un valor de Q que marcan juntos un pto. de funcionamiento sobre ella, para cada apertura de la válvula. además se debe conocerla variación del área de escurrimiento de la válvula Ωv f(r) la cual da para cada valor de Ωv una parábola sobre la que se ubican los nuevos puntos de funcionamiento H, Q de la tubería. Bombas: Para cada η (n° de revoluciones por minuto) el fabricante de la bomba da las curvas H-Q. Si η varia cuando la bomba por ejemplo para, es posible conocer las sucesivas leyes características (n0,n1,...nn) de la bomba en función del numero de revoluciones.(Fig)

Aplicación a una tubería con una válvula

Considerando una tubería de long L, y área Ω con una válvula en su extremo de sección Ωv. La válvula tiene una ley de cierre en la cual

con ti= t.i y Ωv0 el área de la válvula totalmente abierta.

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Por simplicidad se toma la unidad de tiempo como t = L/a e i toma los valores 1,2,...hasta que t i=Tc . La ley característica del extremo B es H=H0 pues se trata de un embalse grande y la del

extremo A es entonces, 6.7.2 Cierre lento: Consideremos

por

ejemplo

un

tiempo

de

cierre

Para el la ley característica del extremo B es Q, que en el plano H;Q da 6 parabolas y una recta vertical Q=0

para efectuar la construcción grafica ubicamos los distintos puntos de acuerdo a las consideraciones siguientes: Condición inicial: corresponde a la presión H0 y el gasto Q0. Esta condición se mantiene en A, hasta el tiempo 0, en el que comienza la maniobra de cierre y en B hasta el tiempo 1, en que recién llega la onda de sobrepresión Marcamos entonces, A0 y B 0-1 en la intersección de ambos. Punto A2: Ubicado el "observador" en B en el Tiempo 1, se mueve en la dirección de -x (+U) hacia el obturador sobre una línea característica negativa llegando al punto A en el tiempo 2, que debe encontrarse sobre la ley característica para este extremo la parábola representativa del área de la válvula. Pág. 21


Punto B3: sobre la línea característica del extremo B, la recta H = H0, (o ∆H = 0) , y sobre la, línea característica positiva que pasa por A 2 (Un "observador" dejando el punto A en el tiempo 2 y viajando en la dirección +x (-Ub, llega a B en el tiempo 3) Punto A4: Sobre la línea característica positiva pasante por B3 y sobre la parábola para Ω4

Puntos sucesivos: B 5 se encuentra en la Intersección de la línea característica negativa que pasa por A4 y la horizontal H = H0 y A6 sobre la característica negativa que pasa por B 5 y la vertical

Los demás puntos coinciden

Valor de la máxima sobre presión para cierre lento:

como puede observarse en el diagrama de la figura numero 13 -la máxima sobrepresión se produce en el punto A2- que corresponde al obturador (x2 = 2L) y para un tiempo t 2 = 2L/a. Se toma como tiempo y longitud de referencia las correspondientes al obturador en el momento inicial de la maniobra de cierre (t1 = 0 ; x1 = 0). Según muestra el diagrama el movimiento se produce sobre una línea característica negativa, de pendiente -a/gΩ, quedando la ecuación:

donde el signo negativo está dado por la característica negativa, con ∆H = 0 y

Como el punto 2 corresponde a la máxima sobrepresión

expresión conocida como "expresión de Micheaud". La máxima sobrepresión se produce para un tiempo t = 2L/a después del comienzo de la maniobra de cierre. 6.8

Cierre rápido

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Se aplica de igual forma para un tiempo de cierre Tc = 2L/a obteniéndose inmediatamente la máxima sobrepresión. Por ejemplo si Tc = L/a, usando como unidad de tiempo t = L/a se tiene:

Valor de la máxima sobrepresión para un cierre rápido:

En la fig. anterior se observa que la máxima sobrepresión se produce en el punto A 1 . Planteando la ecuación VII para t1 = 0 y x1 = 0 (instante inicial en el obturador, Punto A0) y t2 = L/a.

Expresión de Allevi, que da la m’axima sobrepresión en un cierre r’apido. Otras aplicaciones: Son numerosas: entonos los casos en que se produce golpe de ariete: apertura de una válvula, encendido y apagado de una bomba, aplicando las leyes características de extremo correspondientes a cada caso. Es posible incluir la perdida de energía concentrándolas en algunas secciones. También se pueden analizar tuberías de carácter’isticas múltiples, bifurcaciones, by pass etc... Maniobras lineales del obturador con distintos tiempos de cierre:

a) instantáneo Tc = 0 1- Variación de la sobrepresión

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Diagramas de sobrepresión a lo largo del conducto:

Diagrama de sobrepresión en el obturador

Diagrama de sobrepresión para una sección a la distancia l.

Variación de la velocidad Para el obturador

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para una sección cualquiera a la distancia l del obturador.

CIERRE BRUSCO: Se designa cm cierre brusco aquel que se realiza en un tiempo menor que el de la duración de la fase en el obturador de modo: Xx 1) Tiempo de cierre menor a L/C. La envolvente máxima de sobrepresiones se reduce para el tiempo t = L/c + 1/2 Tcb Diagrama de sobrepresiones a lo largo del conducto.

II) Tiempo de cierre menor a2L/C pero mayor a L/c.

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La envolvente máxima de sobrepresiones se produce como el caso anterior en el tiempo t = L/C + 1/2 Tcb Diagramas de sobrepresiones a lo largo del conducto.

Cierre brusco

Sobrepresión en la sección del obturador

Sobrepresión en la sección de abscisa

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Sobrepresión en la sección

Sobrepresión en la sección de abscisa 6.9

Cierre lento

Se designa como cierre lento a aquel que se realiza a en un tiempo mayor que el de duración de la fase en el obturador. De modo que Tcl > 2L/C En este caso, la sobrepresión máxima en el obturador no alcanzará a cU/g y estará dada por la expresión

Expresión que había deducido Michaud anteriormente al desarrollo realizado por Allievi. La envolvente, de sobrepresiones máximas se produce en el tiempo t = 2L/c Diagrama de sobrepresiones a lo largo del conducto

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Cierre Lento

Sobrepresión en la sección de abscisa l = o para Tc >2L/C

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Sobrepresión en la sección de abscisa l para TcLim > 2L/C Cierre Límite

En este caso la sobrepresión calculada por la formula de Michaud y de Allievi tienen el mismo valor:

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Teoría - Golpe de Ariete

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