ALCANTARILLADOS MODELO MATEMÁ MATEMÁTICO TICO DE LA L A DBO La ecuación que ayuda a analizar la DBO se presenta a cntinuación! y = L ( 1−10
) = L ( 1 −e−k ´t )
−kt
Dnde y ! De"anda #iqu$"ica de %i&en' "&(L L ! De"anda #iqu$"ica de %i&en ulti"a' "&(L
k ! Tasa de reacción de pri"er rden' d$a )* k ´ ! Tasa de reacción de pri"er rden en #ase e' dia )*
t ! Tie"p en d$as
1. EJERCIC EJERCICIO IO Se requi requier ere e calcu calcular lar ls +alr +alres es de
L '
k
y k ´ crrespndientes a ls
si&uientes dats de DBO! t' d$as y' "&(L
* /0
, 12
*-,
. */3
/ *0,
Ests +alres de#en calcularse usand ls "4tds n"#rads a cntinuación! *5 ,5 -5 .5 /5 35 05
M$ni M$ni" "ss cuadr cuadrad ads s M"ents *' , y - d$as $as *' ,' -' . y / d$as d$as T6"as Di7eren Di7erencia cia diaria diaria de tsi+&l tsi+&lu u 8u9i" u9i"t t
1.1. 1. 1. MÍ MÍNI NIMO MOS S CUADR CUADRAD ADOS OS El "4td de "$ni"s cuadrads cnte"pla el prces de a9ustar una cur+a a un cn9unt de dats e%peri"entales' de tal "anera que la su"a de ls
cuadrads de ls residus :di7erencia entre el +alr de ls dats cncids y la cur+a interplada en cada un de ls punts #ase; sea "$ni"a5 Cn #ase a este "4td' es psi#le enca9ar di7erentes tips de cur+as para un "is" cn9unt de dats5
Se calcula la pendiente =ara deter"inar ls ce>cientes a y # usads para 6allar L y ? se usan las si&uientes ecuacines! '
na + bΣy − Σ y =0 aΣy + bΣ y
2
− Σy y ' = 0
Aplicand el prcedi"ient para ls dats prpuests se tiene l si&uiente! '
y 1=
'
y 2=
98−0 2 ( 1 −0 )
=49
132 − 57 2 ( 2 −1 )
=37.5
Se cnstruye una ta#la dnde se resu"en ls c@lculs para tds ls dats D$a * , . /
DBO :"&(L; /0 12 *-, */3 *0, Suma
Entnces 4 a + 443 b −135,5= 0 443 a + 54613 b −13416 =0
a =65.61
y
y,
y
yy
/05 125 *-,5 */35
-,.15 13.5 *0.,.5 ,.--35
.15 -05/ ,15 ,5
,01-30/ -2,2 -*,
443.00
54613.00
135.50
13416.00
b =−0,287
k =−b→ k =0,287 dias L=
−a b
−1
→ L=228.612 mg / L
1.2. MOMENTOS 1, 2, Y 3 DÍAS Este "4td 7ue desarrllad pr Mre' T6"as y Sn' en el cual se a9ustan ls +alres cn una cur+a de pri"er rden que tiene sus pri"ers ds Σy y Σ ( ty )
""ents
i&uales a ls de ls punts e%peri"entales5 Las
ecuacines que e%presa esta cndición para una serie de +alres n de y en una secuencia cualquiera especi>cada de tie"p' en la que i denta el rden nu"4ric de las secuencia sn' para el ""ent cer'
n
n
∑ y i=∑ L ( 1 −e
−k t i
i =0
)
i =0
Si"ilar"ente' para el pri"er ""ent'
t n
(¿ ¿ i y i )=∑ L t i ( 1− e−k t ) i
i =0 n
¿ ∑ = i 0
Aplicand las ecuacines se tiene l si&uiente!
t t n
287 (¿ ¿ i y )= =0,442 ∑ 649 = i
i 0
n
y ∑ =
i
(¿ ¿ i y i )=649 ; ¿ i 0
n
n
y = 287 ; ∑ ¿ ∑ = = i
i 0
i 0
En la &ra>ca de Mre' T6"as y Sn se #tienen ls +alres de ? y L
−1
'
k = 0,120 dias
−1
'
k =2.3025 k → k =0,2763 dias n
y ∑ = i 0
L
i
=1,23 → L=
287 =233.33 mg / L 1,25
1.3. MOMENTOS 1, 2, 3, 4 Y 5 DÍAS t t n
615 (¿ ¿ i y )= =0,2883 ∑ 2133 = i
i 0
n
y ∑ =
(¿ ¿ i y i )=2133 ; i n
n
i
0
¿
y =615 ; ∑ ¿ ∑ = = i
i 0
i 0
En la &ra>ca de Mre' T6"as y Sn se #tienen ls +alres de ? y L
−1
'
k = 0,125 dias
−1
'
k =2.3025 k → k =0,2883 dias n
y ∑ = i 0
L
i
=2.68 → L=
615 =229.478 mg / L 2.68
A cntinuación se "uestra la &ra>ca de Mre' T6"as y Sn dnde se leen ls dats de ? y L
Figua 1. !a"#$% &$ '() 0.434' *aa mag+iu&$% -a"-u"a&a% &$
&$
∑y L
∑y ∑ yt
a"#$% &$
*aa $%#% a"#$% &$ '( *aa %$-u$+-ia% &$ $% / &$ -i+-# &a%. D$ M##$, T#ma% / S+#.
*5.5 TOMAS El "4td de T6"as est@ #asad en la se"e9anza de ds series de 7uncines5 Es un prcedi"ient &ra>c sustentad en la 7unción 1
−t
3
Y
2 1
= ( 2.3 KL ) 3 +
K 3 3.43 L
1/ 3
Dnde F es DBO e9ercida en el tie"p t' ? es la cnstante de reacción en #ase * y L la DBO Glti"a5 La ecuación tiene la 7r"a de una l$nea recta Z = A + Bt
Dnde
()
Z =
t y
1 3
− 1/ 3
A = (2.3 K L ) 2 3
B=
k
3.43 Lo
1 3
Se &ra>ca H +s5 t' deter"in@ndse la pendiente B y el intersect A' ls cuales pueden usarse para calcular ? y L5
K =2.61
B ( 11) Lo= 1 3 A 2.3 K A
=ara deter"inar ls +alres de k la cnstante espec$>ca de +elcidad de reacción y el +alr de L ' la de"anda ulti"a >nal de DBO se #tienen a partir de las cndicines iniciales del e9ercici la relación "uestra a cntinuación5
t' d$as
*
,
-
.
:t(y;*(- c" se
/
y' *- */ *0 "&( /0 12 , 3 , L :t(y; 5, 5, 5, 5, 5*(3 0- 2- 1/ 0
Se &ra>ca :t(y;*(- cntra t de acuerd a ls dats "strads y se #tiene la si&uiente &ra>ca!
5-, 5-* 7:%; 5*% J 5,/
5- 5,1
/13
5,2 5,0 5,3 5,/ 5,. *
*
,
,
-
-
.
.
/
/
3
&a% 789-# 1 D$$mi+a-i:+ &$ "a% -#+%a+$% -i+;i-a% *# $" m;#&# ga9-# &$ T#ma%.
Realizand una re&resión lineal resulta que la ecuación de la &ra>ca es
t y
1 /3
=0.0115 y + 0.2375
Ls +alres de k y L se deter"inan utilizand las si&uientes 7r"ulacines! k =6.01 L=
b a
1 3
2.3∗k a
Dnde b es la pendiente de la &ra>ca y
a la intercepción en el e9e de la y5
De acuerd a la ecuación #tenida se tiene que!
b =0.0115
a =0.2375
Ree"plazand ls +alres de a y b en las ecuacines de tiene que!
k =
6.01∗0.0115 0.2375
L=
= 0.291 dias−1 1
2.3∗ 0.2613∗0.2564
3
=256.807 mg / L
k y L se
'
'
k = 0.43429 k → k = 0,1134 dias
−1
1.5. DIFERENCIA DIARIA DE TSI!O7
Si se i&uala esta e%presión a R se tiene − Kt
R= k L o e
Dnde R representa la +elcidad cn que el %$&en disuelt es utilizad5 T"and el l&arit" natural de la ecuación anterir
(
− Kt
ln R = ln k Lo e
)
ln R = ln k Lo−kt
La ecuación anterir representa una recta &ra>cada en papel se"il&arit"ic5 =ara la #tención de las cnstantes ? y L' se &ra>can las di7erencias sucesi+as de la DBO' c" rdenadas en escala l&ar$t"ica cntra el tie"p de #ser+ación c" a#scisas en escala arit"4tica5 La ecuación representa a una l$nea recta dnde ln:?L ; es la intercepción y ? es la pendiente5 Entnces a partir de ls si&uientes +alres se 6ace la &r@>ca para detectar dats at$pics5 t' d$as
*
,
-
.
/
y' "&(L
/0
12
*,
*/ 3
*0 ,
789-# 2 D=O % Ti$m*#.
Fa que n se #ser+a nin&Gn dat at$pic se realiza el cuadr de incre"ents parciales "strad a cntinuación!
t
DBO :"&(L; Di7erencias
Kalres "edis de ls inter+als
)
*
/0
/0
5/
,
12
.*
*5/
-
*-,
-.
,5/
.
*/3
,.
-5/
/
*0,
*3
.5/
Cn ls +alres de las clu"nas . y / se #tiene la si&uiente &ra>ca!
*
7:%; 3050/ e%p: )5-* % ;
Di>$$+-ia%
* 5/
* *5/ ,
,5/ - -5/ . .5/ /
&
789-# 3 C8"-u"# &$ ?( Y < *# $" m;#&# &$" &i>$$+-ia" &iai#.
Realizand una re&resión la ecuación de la l$nea resultante es! y 3050/*e)5-2% De acuerd a l descrit anterir"ente
k ' representa el +alr ne&ati+ de la
pendiente' en este cas! −1
k ' =0.308 d
L0=
67.751 mg =219.971 0.308 L
El +alr de k ' crrespnde a! k =2.3025 k '
k =0.709
1.6. FUJIMOTO
En este "4td se cnstruye una &ra>ca cn la relación entre la DBO en ls tie"ps t J * 7rente al +alr de la DBO en ls instantes t5 el +alr de la intersección de esta cur+a cn la recta de pendiente unidad crrespnde al +alr de la DBO ulti"a5 De esta 7r"a se presenta el si&uiente an@lisis!
D$a
DBO :"&(L;
DBO:tJ*; :"&(L;
/0
*
/0
12
,
12
*-,
-
*-,
*/3
.
*/3
*0,
/
*0,
Se calcula la tendencia de ls punts realizand una re&resión lineal' dnde se tiene l si&uiente! y =0,7457 x + 56.93
La cnstrucción de la &ra>ca "uestra l si&uiente!
7:%;
, */
* D=O i@1 mg< DBO:tJ*; +s DBO /
Linear : DBO:tJ*; +s DBO;
Recta :"*;
,
.
3
2 * *, *. *3 *2 ,
D=O i mg< 789-# 4 M;#&# &$ Fuim##
Se tiene entnces que el punt dnde se interceptan las l$neas de tendencia y la recta de pendiente unidad "uestra el +alr de L' de la ecuación
y =0.7457 x + 56.927
Se i&uala % a y x =0.7457 x + 56.927
Entnces '
y = Lo=
56.927 1− 0.7457
y
L=223.858 mg / L
A6ra cn la ecuación
y t = L− Lt = L ( 1 −e
)
−kt
132= L− L3 =223.858 ( 1−e
)
− 3 k
−1
k =0,297 dias
1.B COMARACIN DE MTODOS A cntinuación se "uestran ls +alres calculads para cada un de ls "4tds anterir"ente e"pleads5
Recrdand que ?ln:*;?
M4td
L :"&(L;
M$ni"s cuadrads
,,253*,
5,20
533*
/ ,,15.02
5,22
533.
- ,--5---
5,03
53-3
T6"as
,/3520
5,1*
530
8u9i"t
,,-52/2
5,10
532.
Di7erencia diaria
,*1510*
5-2
501
M"ents
? :d)*; ? :d)*;
Se puede #ser+ar entnces que el +alr de L #tenid pr el "4td de T6"as es el "ayr entre tds' "ientras que en ls trs "4tds ls +alres cntenids est@n en ran&s cercans' "strand as$ una tendencia que puede ta"#i4n puede ser ilustrada al ta#ular ls +alres de las ecuacines #tenids "ediante el c@lcul de +alres esti"ads de DBO5
1. MTODO DE RE
