TRABAJO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES CRECIMIENTO DE UNA POBLACIÓN
Presentado por: Balanta Muo! Jenn"##er Step$an% Cod: &'()&(&)'*) Buend+a Muo! Bra%an Ale,"s
Cod: &'()&(&(---
I.les"as Torres Torres Mar+a Ale/andra
Cod: &'()&(&(-00
Tru/"llo Castro Laura Mar+a
Cod: &'()&(&('1'
Presentado a: Pro#esor 2er3an Al4erto Losada T"rone
Un"5ers"dad Sur6olo34"ana Fa6ultad de "n.en"er+a Pro.ra3a de Petr7leos Ne"5a89u"la &'(
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
La e6ua6"7n d"#eren6"al dx = kx dt
;(<
x ( t 0 )= x0
La solu6"7n a la anter"or e6ua6"7n es: dx = kx dt dx = kdt x
∫ xdx =∫ kdt ∫
lnx= k dt lnx= kt lnx
e =e ln
kt
kt
x e = e kt
x =e ∗C
En donde k es una 6onstante= Apare6en 3u6$as teor+as #+s"6as >ue "n5olu6ran 6re6"3"ento o 4"en de6re6"3"ento? por e/e3plo en la 4"olo.+a a 3enudo se o4ser5a >ue la rap"de! 6on >ue? en 6ada "nstante? 6"ertas 4a6ter"as se 3ult"pl"6an? es propor6"onal a n@3ero de 4a6ter"as presentes en ese "nstante= Para "nter5alos de t"e3pos 6ortos? la 3a.n"tud de una po4la6"7n de an"3ales pe>ueos? 6o3o de roedores? puede prede6"rse 6on 4astante e,a6t"tud 3ed"ante la solu6"7n de ;(<= La 6onstante k se puede deter3"nar a part"r de la solu6"7n de la e6ua6"7n d"#eren6"al usando una 3ed"da poster"or de la po4la6"7n en el "nstante t 1>t 0= En esta parte de la 3ate3t"6a estud"a3os e6ua6"ones d"#eren6"ales de pr"3er orden >ue r".en el 6re6"3"ento de 5ar"as espe6"es= A pr"3era 5"sta pare6e "3pos"4le des6r"4"r el
6re6"3"ento de una espe6"e por 3ed"o de una e6ua6"7n d"#eren6"al? %a >ue el ta3ao de una po4la6"7n no puede ser una #un6"7n d"#eren6"a4le 6on respe6to al t"e3po= S"n e34ar.o? s" el ta3ao de una po4la6"7n es .rande % se "n6re3enta en uno? enton6es el 6a34"o es 3" pe>ueo 6o3parado 6on el ta3ao de la po4la6"7n= As+ pues? se to3a la apro,"3a6"7n de >ue po4la6"ones .randes 6a34"an 6ont"nua3ente? e "n6luso de 3anera d"#eren6"a4le? 6on respe6to al t"e3po= Crecimiento de una población
Sup7n.ase >ue P;t< es el n@3ero de "nd"5"duos en una po4la6"7n ;de $u3anos? "nse6tos o 4a6ter"as< 6on tasas de na6"3"ento % 3ortal"dad 6onstantes % ;en na6"3"entos o 3uertes por "nd"5"duo por un"dad de t"e3po<= Enton6es? durante un "nter5alo 6orto de t"e3po t? o6urren apro,"3ada3ente p;t< t na6"3"entos % p;t< t 3uertes? de tal 3anera >ue el 6a34"o en P;t< est dado apro,"3ada3ente por P ;8< P;t< t? ❑
( )
∆P =¿ kP , ∆ t dP = lim ¿ dt ∆ t → 0
Donde k 8= La ecuación de crecimiento natural
La e6ua6"7n d"#eren6"al protot"po
dx dt =kx 6on x ;t< G' % k 6onstante ;pos"t"5a o ne.at"5a<
se puede resol5er 6on #a6"l"dad por separa6"7n de 5ar"a4les e "nte.ra6"7n:
∫ x1 dx=∫ k dt lnx= kt + C
Enton6es resol5"endo para ,: ln x
kt + C
e =e
x = x ( t )= e e = A e C kt
kt
De4"do a >ue C es una 6onstante? as+ lo es A e
C
= Ta34"Hn es 6laro >ue A x ;'< x '? de
tal 3anera >ue la solu6"7n part"6ular de la e6ua6"7n anter"or 6on la 6ond"6"7n "n"6"al xt ;'< x oes s"3ple3ente x ( t )= x 0 e
kx
De4"do a la presen6"a de la #un6"7n e,ponen6"al natural en su solu6"7n? la e6ua6"7n d"#eren6"al dx = kx dt
Se lla3a #re6uente3ente e6ua6"7n e,ponen6"al o e6ua6"7n de 6re6"3"ento natural=
Modelos de población
dP La e6ua6"7n d"#eren6"al e,ponen6"al dT = kP ? 6on solu6"7n
P ( t )= P 0 e
kt
? 6o3o
3odelo 3ate3t"6o para el 6re6"3"ento natural de la po4la6"7n >ue o6urre 6o3o resultados de tasas 6onstantes de na6"3"ento % 3ortal"dad= A$ora se presentara un 3odelo de po4la6"7n no ne6esar"a3ente 6onstante= No o4stante la #un6"7n de po4la6"7n P (t ) ser? 6o3o se 5"o anter"or3ente? una apro,"3a6"7n 6ont"nua de la po4la6"7n real?
la 6ual por supuesto 6a34"a solo por "n6re3entos "nte.rales? esto es por na6"3"ento o 3uerte a la 5e!= Sup7n.ase >ue una po4la6"7n 6a34"a solo por la o6urren6"a de na6"3"entos % 3uertes? se 6ons"dera >ue no $a% "n3".ra6"7n o e3".ra6"7n de po4la6"ones de #uera o 6ond"6"ones de t"po a34"ental= Es 6o3@n tratar el 6re6"3"ento o d"s3"nu6"7n de una po4la6"7n en tHr3"nos de #un6"ones de las tasa de natal"dad % 3ortal"dad de#"n"das 6o3o: β ( t )=¿ Es el n@3ero de na6"3"entos por un"dad de po4la6"7n en el t"e3po t=
;t< Es el n@3ero de 3uertes por un"dad de po4la6"7n en el t"e3po t= Enton6es el n@3ero de na6"3"entos % 3uertes >ue se re."stran durante un "nter5alo de t"e3po est dado apro,"3ada3ente por
Na6"3"entos: β ( t ) P ( t ) Δt
Muertes : δ ( t ) P ( t ) Δt
Por lo tanto? el 6a34"o ΔP en la po4la6"7n durante un "nter5alo de t"e3po de lon."tud Δt es: ΔP =( Nacimientos− Muer tes )=: β ( t ) P ( t ) Δt −δ ( t ) P ( t ) Δt
ΔP As+ Δt = [ β ( t )− δ ( t ) ] P ( t )
El error a esta apro,"3a6"7n de4e tender a 6ero 6on#or3e
Δt ⟶ 0 para >ue to3ando
el l"3"te se o4ten.a la ecuación diferencial. dP = [ β −δ ] P dt
;(<
Esta es la e6ua6"7n de po4la6"7n .eneral= S" β y δ son 6onstantes= La e6ua6"7n uno se redu6e a la e6ua6"7n de 6re6"3"ento natural 6on
k = β −δ = Pero a>u+ se "n6lu%e la
pos"4"l"dad de >ue β y δ sean #un6"ones 5ar"a4les de t=
Poblaciones acotadas y la ecuación logstica
En s"tua6"ones tan d"5ersas 6o3o la po4la6"7n $u3ana de una na6"7n o po4la6"7n de 3os6as de la #ruta en un 6ontenedor 6errado? se $a o4ser5ado >ue la tasa de na6"3"entos de6re6e en la 3ed"da en >ue la po4la6"7n "n6re3enta= Las ra!ones pueden ser 3@lt"ples? desde una 3a%or so#"st"6a6"7n 6"ent+#"6a o 6ultural? $asta una l"3"ta6"7n en el su3"n"stro de al"3entos= Supon.a por e/e3plo >ue la tasa de na6"3"entos β es una #un6"7n l"neal de6re6"ente del ta3ao de la po4la6"7n P, tal >ue β = β 0− β 1 P ? donde β 0 y β 1 son 6onstantes pos"t"5as= S" la tasa de 3ortal"dad e6ua6"7n ;(< to3a la #or3a dP = [ β 0− β 1 P −δ 0 ] P dt
δ =δ 0
Per3ane6e 6onstante enton6es la
Esto es
dP = aP −b P2 dt
;&<
Donde a = β 0−δ 0
% 4 β 1
S" los 6oe#"6"entes a % 4 son pos"t"5os enton6es la e6ua6"7n ;&< se lla3a e6ua6"7n lo.+st"6a= Con el prop7s"to de rela6"onar el 6o3porta3"ento de la po4la6"7n P;t< 6on los 5alores de los par3etros en la e6ua6"7n? es 6on5en"ente rees6r"4"r la e6ua6"7n lo.+st"6a en la #or3a dP = kP ( M − P) dt
;)<
Donde k=b y M= a/b son 6onstantes
Poblaciones limitadas y capacidad m!"ima
La po4la6"7n l"3"tada de 3anera #"n"ta es 6ara6ter+st"6as de po4la6"ones lo.+st"6as dP = kP ( M − P ) , P ( 0 )= P0 dt MP 0 P (t )= Es P0+ ( M − P ) e−
kMt
0
Las po4la6"ones reales de an"3ales son 5alores pos"t"5os s"
P0= M
enton6es la
e6ua6"7n anter"or se redu6e a la po4la6"7n de e>u"l"4r"o? s"n 6a34"os? 5alores 6onstantes= El 6o3porta3"ento de una po4la6"7n lo.+st"6a depende de -
'K P0 KM? enton6es se o4ser5a >ue P (t )=
MP 0 P0+ ( M − P ) e−
kMt
0
-
=
MP0
P0 +{números positios }
<
' ¿ P0 GM? enton6es se o4ser5a >ue
MP0 P0
= M
P (t )=
MP 0 P0+ ( M − P ) e−
kMt
0
=
MP0
P0 +{nú merosne!atios }
>
MP0 P 0
= M
En a34os 6asos el n@3ero pos"t"5o o el n@3ero ne.at"5o en el deno3"nador t"ene un 5alor a4soluto 3enor >ue P0 % de4"do al #a6tor e,ponen6"al se a6er6a a 6ero 6on#or3e t⟶ " lim P ( t ) n→ "
MP 0 P0 + 0
= M
As+? una po4la6"7n >ue sat"s#a6e la e6ua6"7n lo.+st"6a no 6re6e #uera del l+3"te? 6o3o o6urre en el 6re6"3"ento natural de una po4la6"7n 3odelada por la e6ua6"7n e,ponen6"al P$ = kP En su lu.ar se apro,"3a a una po4la6"7n l"3"te #"n"ta M 6on#or3e t⟶ " = La po4la6"7n P (t ) se "n6re3enta para tender al estado per3anente Mdesde a4a/o s" 'K P0 KM? pero d"s3"nu%e tend"endo a M desde arr"4a P0 GM= a M se le 6ono6e 6o3o la 6apa6"dad 3,"3a del 3ed"o a34"ente % se 6ons"dera 6o3o una po4la6"7n 3,"3a >ue este puede soportar a lar.o pla!o= Nota $"st7r"6a: La e6ua6"7n lo.+st"6a #ue "ntrodu6"da alrededor de (01' por el 3ate3t"6o % de37.ra#o 4el.a P=F=er$ulst 6o3o un pos"4le 3odelo para el 6re6"3"ento de la po4la6"7n $u3ana= E#ercicios resueltos$
(< La po4la6"7n de 6"erta 6o3un"dad au3enta a una ra!7n propor6"onal a la 6ant"dad de personas >ue t"ene en 6ual>u"er 3o3ento= S" la po4la6"7n se dupl"6o en aos En 6unto t"e3po % dupl"6ara % 6uadrupl"6ara Co3o no d"6en 6ul es la po4la6"7n P;'< P ' Solu6"7n .eneral P;t<P'e^k t? enton6es? P;<&P;'< 9alla k 5 k
2 P 0 = P 0 e 5 k
2= e
?
ln 2=5 k ?
?
k =
ln 2 ? 5
k =0,139
Solu6"7n part"6ular P;t<Poe'?()*t T PnP' nP 0= P 0 e 0,139 t
n =e
ln (n ) 0,139
0,139 t
?
?
=t
S" n) t-?*& aos Q n1 t(' aos &< La 6o3un"dad del e/e3plo ( es de ('=''' personas en ) aos Cul es la po4la6"7n "n"6"al 6ul ser en (' aos S" t)? P('=''' 10000= P 0 e
0,139 ( 3 )
?
P 0=
10000
e
0,139 ( 3)
=6597,54, poblaci% n inicial
P t(' 0,139 (10 )
P=6597,54 e
=26488 ? la po4la6"7n es (' aos
)< De a6uerdo 6on los datos propor6"onados por =6ensus =.o5? la po4la6"7n 3und"al total a 3ed"ados de (*** al6an!7 la 6"#ra de ''' 3"l 3"llones de personas? en ese enton6es 6on una tasa de "n6re3ento de alrededor de &(&''' personas por d+a= Cons"derando >ue el 6re6"3"ento natural de la po4la6"7n 6ont"nua a esta tasa? responda: a< 6ul es la tasa de 6re6"3"ento anual k 4< Cul ser la po4la6"7n 3und"al a 3ed"ados del s".lo ,," 6< Cunto to3ara a la po4la6"7n "n6re3entarse (' 5e6es Solu6"7n a< P;t< po4la6"7n 3und"al en 3"les de 3"llones t'? t"e3po a 3ed"ados de (***? P ' =
P se est "n6re3entado &(&''' o '?'''&(& 3"les de 3"llones de personas por d+a en el t"e3po t' P ( 0 )=( 0,000212)( 365,12 ) & 0,07743 3"les de 3"llones por ao= $
De la e6ua6"7n de 6re6"3"ento natural P k P 6on t' se o4t"ene P $ ( 0) 0,07743 k = = =0,0129 6 P ( 0)
Por tanto en (*** la po4la6"7n 3und"al esta4a 6re6"endo a una tasa de (?&* anual= Con este 5alor de k ? la #un6"7n de po4la6"7n 3und"al es P (t )= 6 e
0,0129 t
4< Con t( se o4t"ene la pred"66"7n ;Po4la6"7n 3ed"a en &''< ( 0,0129 )(51 )
P (51 ) =6 e
=11,58 miles de millones de personas
6< La po4la6"7n 3und"al de4er al6an!ar los '''' 3"llones 6uando: 0,0129 t
60= 6 e
? esto es 6uando?
t =
ln10 =178 0,0129
Vue o6urr"r en el ao &(-1< En (0'' la po4la6"7n de USA as6end+a )'0 3"llones de personas % en (*'' au3ento -&(& 3"llones= 9alle el 3odelo de 6re6"3"ento natural de USA del s".lo WIW S" se to3a P')0' ;t' ser"a (0''< En el 3odelo de 6re6"3"ento natural P;t< P'ert S" t('' % P-&(&? se en6uentra >ue: ln 76212= ln5308 + 100 r ? ln 76212− ln5308 =100 r ?
(
1 76212 ln 100 5308
)=
r ?
r = 0,02664
Por lo tanto el 3odelo de 6re6"3"ento de la po4la6"7n de USA del s".lo WIW es
P (t )=5308 e
0,02664 t
< Un 6ult"5o t"ene una 6ant"dad "n"6"al N' de 4a6ter"as? 6uando t ($= La 6ant"dad 3ed"da de 4a6ter"as es )X&No = S" la ra!7n de reprodu66"7n es propor6"onal a la 6ant"dad de 4a6ter"as presentes? 6al6ule el t"e3po ne6esar"o para tr"pl"6ar la 6ant"dad "n"6"al de los 3"6roor.an"s3os= dN = kN dT
Solu6"7n .eneral Cond"6"7n
3 2
N (1 )= No
9allar Y dN =kn ? al separar 5ar"a4les? dt dN =∫ kdt ∫ N
Se "nte.ra kt
N = e +e
dN =kdt N
? se t"ene? ln N = kt + C
c
Enton6es N ( t )=C e
kt
Cuando t'? N ( 0 )=c e
k ( 0)
? enton6es? N ( 0 )=c
N;'<N'8CN'
kt
N ( t )= N 0 e
Cuando t(?
3 k ( 1) N 0= N 0 e ? enton6es? 2
3 3 =e k 'k =ln =0,4055 2 2
La e6ua6"7n part"6ular ser"a N ( t )= N 0 e
0,4055 t
Para esta4le6er el 3o3ento en el >ue se tr"pl"6a la po4la6"7n se despe/a t 3 N 0 = N 0 e
0,4055 t
ln 3 =t =2,71 (r 0,4055
< El n@3ero N;t< de personas de una 6o3un"dad >ue 5ern 6"erto anun6"o pu4l"6"tar"o se r".e por la e6ua6"7n lo.+st"6a dN = N (a −bN ) dT
In"6"al3ente N ( 0 )=500 ? % se o4ser5a >ue N;(<('''= S" se pred"6e >ue el n@3ero l+3"te de personas de la 6o3un"dad >ue 5ern el anun6"o es de ''''? en6ontrar N;t< en un "nstante 6ual>u"era= De a6uerdo 6on la d"s6us"7n pre6edente? la solu6"7n de la e6ua6"7n lo.+st"6a es: N ( t )=
at
Cae at 1 + Cb e
;(<
Las 6onstantes a? 4 % C 5"enen deter3"nadas por las 6ond"6"ones >ue nos propor6"ona el enun6"ado: N ( 0 )=500 ⇒ 500 =
N (1 )=1000
Ca 1 + Cb ;&< at
Ca e ⇒ 1000= at ;)< 1 + Cb e
Z at
Ca e Ca Ca a 50000= lim N ( t )= lim = lim −at = = ? at t →" t → " 1+ Cbe t →" e + Cb Cb b
as+ >ue a =50000 b = ;1<
De ;&< % ;1< se s".ue 500=
Ca ⇒ 500 + 500 Cb= 50000 Cb 1 + Cb
⇒
Cb (10000 −100 )=100
⇒
99 Cb=1 ⇒ Cb=
1 99 ;<
A$ora "n6orpora3os ;< a ;&< para o4tener 500=
99 Ca 50000 Ca Ca = = ⇒ Ca= 1 + Cb 1 100 99 ;< 1+ 99
Co34"nando ;)
Ca e 1000= ⇒ 1000= a 1 + Cb e
⇒
1000 ( 99 + e
⇒
99 =49 e
a
a
⇒
50000 e 99 1+
e
a
a
1+
e
a
99
=
50000 e 99 + e
a
a
99
) =50000 ea a
e =
99 49
⇒
a =ln
99 ≃ 0.7 ;-< 49
Insertando ;ue el n@3ero de personas >ue 5ern el anun6"o pu4l"6"tar"o en un "nstante 6ual>u"era t 5"ene dado por: N ( t )=
50000 e 99+ e
0.7 t
0.7 t
-< Sup7n.ase >ue en (00 la po4la6"7n en 6"erto pa+s era de ' 3"llones de $a4"tantes % #ue 6re6"endo a una tasa de -'?''' personas por ao desde enton6es= Cons"dHrese ta34"Hn >ue en (*1' la po4la6"7n era de ('' 3"llones % #ue 6re6"endo desde enton6es a una tasa de ( 3"ll7n de personas por ao= A$ora as@3ase >ue esta po4la6"7n sat"s#a6e la e6ua6"7n lo.+st"6a % deter3+nese tanto la po4la6"7n l"3"tante M 6o3o la po4la6"7n est"3ada para el ao &'''=
Solu6"7n: Al sust"tu"r en la e6ua6"7n dP = kP ( M − P) dt
Los dos pares de datos propor6"onados? se en6uentra >ue 0.75=50 k ( M − 50 ) , 1.00 =100 k ( M −100 ) )
Resol5"endo s"3ultnea3ente para M&'' % para Y'='''(= As+? la po4la6"7n l+3"te del pa+s en 6uest"7n es de &'' 3"llones= Con estos 5alores de M %
k ? % 6on
t =0
6orrespond"ente al ao (*1' ;en el 6ual P0=100 ue de a6uerdo 6on la e6ua6"7n: M P0 P (t )= − kMt P0 +( M − P0) e
La po4la6"7n en el ao &''' ser P (60 )=
100∗200 −( 0.0001 ) (200 ) (60 )
100 +(200 −100 ) e
Alrededor de ()=- 3"llones de personas=
0< La po4la6"7n de Estados Un"dos en (0' era de &)=(*& 3"llones de personas= S" se to3a P0=5.308
% se sust"tu%e el par de datos
t =50, P =23.192 ;para
(0'< % t =100, P =76.212 ;para (*''< en la e,pres"7n del 3odelo lo.+st"6o de la e6ua6"7n anter"or? se o4t"enen las dos e6ua6"ones 5.308 M −50 kM
5.308 +( M −5.308 ) e
=23.192
5.308 M −100 kM
5.308 +( M −5.308 ) e
=76.212
En las dos "n67.n"tas [ % M= Con un pro6ed"3"ento al.e4ra"6o ade6uado las e6ua6"ones anter"orepuden resol5erse 3anual3ente 6on ['='''(--(? M(00=(&(= Sust"tu%endo estos 5alores en P (t )=
M P0 − kMt
P0 +( M − P0) e
Se lle.a al 3odelo lo.+st"6o P (t )=
998.546 −(0.031551) t
5.308 +( 182.813) e
*< Sup7n.ase >ue en el t"e3po t'?(' 3"l personas en una 6"udad 6on po4la6"7n M('' 3"l $an o+do un 6"erto ru3or= DespuHs de una se3ana el n@3ero P;t< de a>uellas >ue lo es6u6$aron se $a "n6re3entado a P;(<&' 3"l= Asu3"endo >ue P;t< sat"s#a6e la e6ua6"7n lo.+st"6a? 6undo 0' de la po4la6"7n de la 6"udad 6ono6er el ru3or Solu6"7n: Sust"tu%endo P0=10 % M =100 ;3"l< en la e6ua6"7n anter"or? se o4t"ene P (t )=
1000 − 100 kt
10 + 90 e
;(<
Enton6es? la sust"tu6"7n de t(? P&' propor6"ona la e6ua6"7n 20=
1000 − 100 k
10 + 90 e
La 6ual resuel5e para −100 k
e
4
1
4
= , as+ k = ln & 0.008190 9 100 9
Con P;t<0'? la e6ua6"7n ;(< to3a la #or3a 80=
1000 −100 kt
10 + 90 e
−100 kt
=
e
La 6ual resuel5e para
1 36 = De a>u+ se 6on6lu%e >ue 0' de la po4la6"7n $a4r
es6u6$ado el ru3or 6uando t =
ln36 ln36 = & 4.42 100 k 9 ? esto despuHs de 1 se3anas % ) d+as= ln 4
('< Ut"l"!ando un 3odelo lo.+st"6o 6on 6apa6"dad sustenta4le * =100 x 10
9
? una
9 po4la6"7n 3und"al ;$u3ana< de 5 x 10 en (*0 % una ra!7n de 6re6"3"ento de
& anual? $a6er una pred"66"7n de la po4la6"7n 3und"al para el ao &'('= Cundo ser esta po4la6"7n de
32 x 10
9
Los datos pro5"stos son
apro,"3a6"ones de los datos o4ser5ados en la real"dad= En este e/e3plo tene3os * =100 Q P0=5 ;en 3"les de 3"llones de $a4"tantes del r = 0.02 = La solu6"7n de la e6ua6"7n lo.+st"6a
planeta< en (*0 %
dP P = rP (1 − ) es? dt *
de a6uerdo 6on la s".u"ente e6ua6"7n: P( t )= 1+(
* * − P( 0) P(0 )
= ) e−rt
100 100 = 100 −5 −0.02t 1 + 19 e−0.02t 1 +( )e ? en 3"les de 3"llones de 5
$a4"tantes= En el ao &'(' tendre3os t&1Q enton6es: P (24 )=
100 −( 0.02) ( 24 )
1 + 19 e
=
100 −0.48
1 + 19 e
7838904588 $a4"tantes=
9 La po4la6"7n ser de 32 x 10 en el t"e3po t 1 >ue deter3"na3os
P( t )= 1
100 −0.02 t 1
1+ 19 e
=32
− 0.02( t 1 )
100=32 + 608 e
− 0.02( t 1)
e
=
68 608
68 608 t ( 1) = & 109.5334 aos? esto es a 3ed"ados del &'*= 0.02 − ln
E#ercicios propuestos
(< En una e,plota6"7n .anadera de (''' 6a4e!as de .anado se dete6ta un an"3al 6onta."ado de un 5"rus= Se supone >ue la rap"de! 6on la >ue el 5"rus se propa.a es propor6"onal al produ6to de n' de an"3ales 6onta."ados % el t"e3po trans6urr"do= 9allar el 3o3ento en el 6ual todos los an"3ales $an s"do 6onta."ados s" se o4ser5a >ue despuHs de 1 d"as $a% (' an"3ales 6on el 5"rus &< En una po4la6"7n de ''' $a4"tantes? (' de ellos t"enen una en#er3edad 6onta."osa= La 5elo6"dad a >ue se propa.a la en#er3edad es propor6"onal al produ6to de personas 6onta."adas por las no 6onta."adas toda5+a? 6on una 6onstante de propor6"onal"dad de '?&= Es6r"4e % resuel5e la e6ua6"7n d"#eren6"al 6orrespond"ente ;e6ua6"7n lo.+st"6a < )< Las reser5as pes>ueras del $al"4ut ;espe6"e de .ran ta3ao? pare6"da al len.uado< en el Pa6+#"6o se 3odelan 6on la ED lo.+st"6a 6on 6apa6"dad sustenta4le de 0': (' ? 3ed"da en [. ;4"o3asaue de4e pasar para >ue la 4"o3asa "n"6"al se dupl">ue? es de6"r? >ue lle.ue a la 3"tad de la 6apa6"dad sustenta4le= 1< En 6ual>u"er t"e3po t la 6ant"dad de 4a6ter"as en un 6ult"5o 6re6e de #or3a propor6"onal al nu3ero de 4a6ter"as presentes? trans6urr"das )) $oras se o4ser5a >ue la po4la6"7n de 4a6ter"as en el 6ult"5o es de -''= Lue.o de () $oras $a% 1'' espe6+3enes= Cul es la po4la6"7n "n"6"al de 4a6ter"as < Un 6ult"5o t"ene una 6ant"dad "n"6"al de No 4a6ter"as? 6uando t( $ora ala 6ant"dad 3ed"da de 4a6ter"as es de )X&No= S" la ra!7n de reprodu66"7n es propor6"onal a la 6ant"dad de 4a6ter"as presentes? 6al6ule el t"e3po ne6esar"o para tr"pl"6ar la 6ant"dad "n"6"al de 3"6roor.an"s3os= < A 3ed"ados de (*01? la po4la6"7n 3und"al era de 1?- 3"les de 3"llones % au3enta4a enton6es 6on una ra!7n de &&' 3"llares de personas d"ar"as= Sup7n.ase >ue las tasas de natal"dad % 3ortal"dad son 6onstantes= En6ontrar: "< La tasa de 6re6"3"ento anual ;[<= ""< El t"e3po >ue tardar la po4la6"7n en dupl"6arse= """< La po4la6"7n 3und"al en el ao &'''= "5< El t"e3po en >ue la po4la6"7n lle.ar a ' 3"l 3"llones= -< El 3odelo de Malt$us 6onlle5a d"5ersas pro#e6+as alar3antes so4re el desarrollo de la po4la6"7n $u3ana= Se est"3a >ue la po4la6"7n $u3ana se "n6re3ent7 en un & anual en el per"odo (*8(*-'= En Enero de (* la po4la6"7n era de )=)1' 3"llones de personas? deter3"ne la le% d"n3"6a >ue r".e el 6re6"3"ento de la po4la6"7n % 6al6ule el t"e3po ne6esar"o para >ue la po4la6"7n se dupl">ue=
0< La po4la6"7n de ala 6o3un"dad se "n6re3enta a una tasa propor6"ponal al nu3ero de personas presentes en el t"e3po t= En aos se dupl"6a la po4la6"7n P;'ue la po4la6"7n es de (''''despues de ) aos= Cul #ue la po4la6"7n "n"6"al P;'<6ual ser la po4la6"7n en (' aos *< Se sa4e >ue la po4la6"7n de 6"erta 6o3un"dad au3enta a una ra!7n propor6"onal a la 6ant"dad de personas >ue t"ene en 6ual>u"er 3o3ento= S" la po4la6"7n se dupl"67 en aos? En 6unto t"e3po se tr"pl"6ar % dupl"6ar ('< Supon.a >ue la po4la6"7n de la 6o3un"dad del e/e3plo anter"or es de ('''' despuHs de ) aos= Cul era la po4la6"7n "n"6"alCul ser en (' aos
