Valutazione del carico critico in regime r egime elastico di un telaio standard soggetto a soli carichi verticali
- fig. 2.2 -
- fig. 2.1 -
Dati del problema: Dimensioni: Altezza tra i piani Lunghezza delle travi Modulo di Young Coefficiente di Poisson Modulo di elasticità tangenziale
Sezioni: Pilastri: HE300A
H = 400 cm L = 700 cm
2,1 ∙ 10 0,3 21 8076923
18260 6310 24570
n
n
Travi: IPE400
23130 1318 24448
→ ∞∞
Ipotesi: travi e pilastri flessibili ma inestensibili
Materiale:
Acciaio classe Fe 430/S275
2,75 ∙ 10
Tensione di snervamento
4,3 ∙ 10
Tensione a rottura
Il primo passo del procedimento di di soluzione consiste nella costruzione della matrice di rigidezza globale del del telaio in esame, passando per la scrittura delle equazioni di equilibro, nodo per nodo, alla rotazione e alla traslazione. Al fine automatizzare il procedimento si può far uso dei metodi di assemblaggio tipici dell’analisi matriciale. Considerata una singola trave elastica (modello di Eulero - Bernoulli – Coulomb), le equazioni di equilibrio nello spazio scritte rispetto ad un sistema di coordinate locale e con riferimento alle convenzioni adottate in figura 2.3 , possono essere poste in forma matriciale co me:
- fig. 2.3 -
0
0 0 0
0 0
0
TT 0 0 0 0 0 0 TT 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0
0 0 0
Dove la matrice dei coefficienti di rigidezza
K’
0 0 0
0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
è stata opportunamente modificata, per adattarla al modello di
trave inestensibile; sono state, cioè, eliminate quelle righe e quelle colonne che moltiplicano le componenti di spostamento assiale
ed
.
La differenza, rispetto al metodo classico di soluzione, consiste nell’adozione, per ciascun tratto soggetto ad azioni assiali, di una matrice di rigidezza scritta nell’ambito dell’analisi al secondo ordine; ovvero di una matrice ottenuta risolvendo l’equazione differenziale della linea elastica, per una trave standard doppiamente incastrata, con riferimento ad una generica configurazione deformata:
0
- fig. 2.4 -
Imponendo, volta per volta, una distorsione unitaria nelle sezioni di estremità e tenendo conto
2 2 2 2
dell’inestensibilità, si ottiene il legame costitutivo per la trave piana in figura 2.4 scritto in forma matriciale*:
(* vedi: P. Pozzati – C. Ceccoli “ Teoria e tecnica delle strutture ” Vol.III pag. 180; nota: i segni sono adattati alle convenzioni qui adottate )
All’interno della matrice dei coefficenti di rigidezza, compaiono le funzioni di stabilità che tengono conto dell’influenza del carico P sui coefficenti di equilibrio, e sono così definite :
2 2coscos sin 1cos 1cos sin cosos sin sin α EJ
in cui:
Queste funzioni vanno specificate per ogni piano che compone il telaio ( primo piano
, terzo piano
, secondo piano
). Poiché stiamo trattando il caso di una trave nello spazio, la matrice di rigidezza
sarà l’estensione tridimensionale di questo caso piano:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
0
0
0
0
0
)
0
0
0
0
( in s
0
0
−
−
s o c 2 − 2
0
0
0
0
0
0
−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
0
0
0
s o c 2 − 2
0
[
)
]
)
(
(
=
=
[
=
=
]
]
[
)
]
)
(
(
=
[
=
=
=
=
0
0
0
0
−
( in s
)
−
0
0
]
0
]
=
0
−
0
0
− 0
0
0
0
0
4 . g a P
−
0
0
0
0
−
=
0
0
0
−
: i u c n i
: n o c e
(ossia
α
Il coefficiente
, nei pilastri ( 5-9 ), ( 6-10 ), ( 7-11 ) e ( 8-12 ) il carico vale 5-9 ), 6-10 ), 7-11 ) e 8-12 )
serve a tener conto del fatto che nei pilastri ( 1-5 ), ( 2-6 ), ( 3-7 ) il carico vale 3P 1-5 ), 2-6 ), 3-7 ) e ( 4-8 4-8 )
( 9-13 ), ( 10-14 ), ( 11-15 ) il carico vale P ( 9-13 ), 10-14 ), 11-15 ) e ( 12-16 12-16 )
.
2P
(
ed infine nei pilastri
Ai fini operativi del calcolo è possibile scrivere la matrice in funzione di un solo coefficiente
λ
in modo da
avere una sola variabile:
⇒ ≅ 0,58785 87 85∙ ∙
- fig. 2.5 -
In termini del tutto generali , indicata con i’ , j’ , k’ e con i , j , k due terne di versori corrispondenti a due sistemi di riferimento nello spazio ( e nel caso in esame indicanti rispettivamente un sistema di riferimento
000
0 00
“locale” ed “locale” ed uno “globale” ), “globale” ), la matrice di rotazione del sistema locale in quello globale avrà la forma:
00 00 0 0
nella quale:
∙ ∙ ∙ ′ ′ ′ ∙∙′′ ∙∙′′ ∙∙′′
Assunto come sistema di riferimento globale p er la struttura quello concorde col sistema di riferimento locale dei pilastri, le uniche matrici che va nno ruotate prima di essere assemblate sono l e matrici delle travi.
Scelto il verso positivo dell’asse locale z’ quello ottenuto seguendo un verso di percorrenza concorde alla numerazione crescente dei nodi e mantenendo l’asse x’ sempre rivolto verso il basso ( l’asse y’ in questo modo risulterà sempre orientato verso l’esterno del telaio ), risulta immediato individuare il sistema di riferimento di ciascuna trave ( vedi figura 2.5 ) 2.5 ) e quindi anche le matrici di d i rotazione per ciascuna trave: 5-6) Tratto ( 5-6)
9-10) Tratto ( 9-10)
=
13-14) Tratto ( 13-14) 6-7) Tratto ( 6-7) 10-11) Tratto ( 10-11)
7-8) Tratto ( 7-8) 11-12) Tratto ( 11-12)
8-5) Tratto ( 8-5) 12-9) Tratto ( 12-9)
=
−
−
−
-13) Tratto (16 -13)
=
−
15-16) Tratto ( 15-16)
−
−
-15) Tratto (14 -15)
=
−
−
Le matrici scritte nel sistema di riferimento globale si ottengono sviluppando il prodotto:
=
Il telaio ha globalmente 16 nodi, di cui 4 perfettamente incastrati alla base, pertanto solo 12 possono subire spostamenti. Nello spazio i gradi di libertà di ciascun nodo sono 6 , ma, data l’ipotesi di inestensibilità, non sono possibili spostamenti in direzione Z ( cioè i pilastri non subiscono variazione di lunghezza ) e gli spostamenti in direzione orizzontale sia in X che in Y sono Y sono uguali per le coppie di nodi collegate da ciascuna trave. Ad esempio i nodi 5 e 6 subiranno lo stesso spostamento lungo l’asse X ed allo stesso modo i nodi 8 e 5 nella direzione Y . In definitiva su ogni piano ci saranno solo quattro incognite di spostamento orizzontale indipendenti. Il sistema di equazioni di equilibrio pertanto si comporrà di 36 equazioni di equilibrio alla rotazione ( ovvero tre per ciascun nodo ) più 12 equazioni di equilibrio alla traslazione ( ovvero quattro per ciascun piano ) che non sono altro che l’estensione al caso tridimensionale delle equazioni di Gehler per i telai piani. Per il nodo 5 si avrà :
- equazione di equilibrio alla rotazione
−
− + +
+
( rotazione intorno a Z ):
+
- equazione di equilibrio alla rotazione
−
+
+
+
−
( rotazione intorno a X ):
+ + + +
−
+
=
−
+
=
- equazione di equilibrio alla rotazione
( rotazione intorno a Y ):
- fig. 2.6 -
Per il nodo 6 si avrà :
- equazione di equilibrio alla rotazione
( rotazione intorno a Z ):
- equazione di equilibrio alla rotazione
−
+
+
+
( rotazione intorno a X ):
−
+
+ + + +
=
−
+
( rotazione intorno a Y ):
−
− +
+
- equazione di equilibrio alla rotazione
+ + + +
=
+
Per il nodo 7 si avrà :
- equazione di equilibrio alla rotazione
( rotazione intorno a Z ):
+
+
+ +
+
+ + +
- equazione di equilibrio alla rotazione
−
+ +
+
−
−
+
=
+ + + + =
( rotazione intorno a Z ):
+
− + +
+
( rotazione intorno a Y ):
Per il nodo 8 si avrà : - equazione di equilibrio alla rotazione
−
+
+ + + +
=
- equazione di equilibrio alla rotazione
−
( rotazione intorno a X ):
−
+
+
− + +
−
=
+
- equazione di equilibrio alla rotazione
−
+
+
+
( rotazione intorno a X ):
−
+
+ + + +
=
−
− +
Equazioni alla traslazione : - equazione di equilibrio
2
=
−
+
+
+
=
−
+
+ − −
+
+
+
+ − + 2
=
: ( traverso 7-8 in direzione X ) :
+ +
−
− +
+ − +
: ( traverso 6-7 in direzione Y ) :
− −
- equazione di equilibrio
+
−
− + 2 +
+ + +
+
: ( traverso 5-6 in direzione X ) :
−
- equazione di equilibrio
2
+ + + +
+ + +
2
( rotazione intorno a Y ):
−
+
+
- equazione di equilibrio alla rotazione
+ − −
+
+ − + 2
+
+
=
- equazione di equilibrio
( traverso 8-5 in direzione Y ) :
+ +
2
−
+ − +
−
+
−
− + 2 +
+
−
+
=
In modo del tutto analogo si possono scrivere le equazioni di equilibrio per gli altri nodi e gli altri traversi che compongono il telaio. Raccogliendo i coefficenti nella matrice di rigidezza globale K , K , è possibile ricavare il valore degli spostamenti semplicemente dalla relazione:
=[
( )]
Dalla definizione di matrice inversa, data dal rapporto tra il determinante dell’aggiunto ed il determinante della matrice dei coefficenti, si vede che gli spostamenti del vettore δ tendono ad infinito quando:
[
( )]
=0
Da questa condizione si ottiene un’equazione trascendente nella variabile .
Il valore del carico critico per perdita di rigidezza ( buckling ), buckling ), è quello corrispondente al più piccolo valore di che soddisfa questa equazione. Questa ricerca può essere condotta tracciando il diag ramma di
Dall’analisi del grafico si ricava:
= 1,757
[
( )]
:
-203
6.
µ 10
4.
µ 10
2.
µ 10
-203
-203
Da cui:
= 0,58785 ∙
= 1,0328
1.7
1.8
1.9
2.0
-203
-2. µ 10
E quindi:
=
E = , ∙ 2 , 1 ∙ 1 0 ∙ 6310 6310
lunghezza di libera inflessione pari a :
=
=
,
, ∙,∙ ∙ = 714,86 ,
Dato l’elevato numero di equazioni e la loro natura fortemente non lineare , può essere interessante tentare un altro metodo di calcolo in modo da poter confrontare i risultati. Partendo dall’esservazione che, nella configurazione variata, la matrice di rigidezza di ciascun tratto può essere messa in funzione della nuova geometria assunta, si può intraprendere un’altra strada che conduce alla soluzione. Analisi di questo tipo, uscendo dall’ambito dei piccoli spostamenti ( pur mantenedosi in quello di deformazioni piccole ), tengono conto della non linearità geometrica e possono essere trattate con gli stessi
metodi dell’analisi matriciale per le strutture in campo lineare; a causa della presenza di termini non lineari, le soluzioni delle equazioni ( quindi il valore degli spostamenti ) non possono però essere ottenute per via diretta in modo esplicito semplicemente invertendo la matrice di rigidezza, ma saranno necessarie procedure di calcolo iterativo, inoltre, anche con queste procedure, è possibile impostare la ricerca del carico critico di un telaio in campo elastico. Il primo passo per impostare il calcolo consiste nella ricerca della matrice di rigidezza di una trave pressoinflessa per spostamenti finiti piccoli (non infinitesimi). Con riferimento alla trave S-E di lunghezza H nel piano (z’, x’):
Lo spostamento di un punto interno alla trave nella generica coordinata z può essere messo in funzione degli atti di moto delle sezioni di estremità util izzando le funzioni di forma*:
1 0 1 63 2 1 42 3 0 63 2 33 22
in cui :
ξ η
e
sono parametri adimensionali.
( * J.S. Przemieniecki Przemieniecki - “ Theory of Matrix Structural Analisys ” cap. 15 pp. 388 sgg. )
La deformazione totale per grandi spostamenti in una trave soggetta sia a deformazioni assiali che flessionali è espressa come :
−
=
dove
è la funzione u calcolata per
+
1 2
= 0.
Da questa è possibile ricavare l’energia elastica di deformazione:
=
2
=
2
+
2
+
2
Sostituendo le funzioni di forma precedentemente ricavate all’interno di questa espressione, e imponendo la stazionarietà dell’energia dell’energia potenziale ( oppure in alternativa sfruttando il teorema di Castigliano ), si ricava la matrice delle rigidezze. Si può notare come dai primi due integrali a destra del segno di uguaglianza, si ricavino i consueti elementi della matrice di rigidezza elastica della trave standard (
),
mentre dal terzo
integrale si ricavino elementi elementi che tengono conto conto della variazione di rigidezza dovuta alla configurazione assunta alla trave e che possono essere ordinati in una matrice, detta appunto “matrice geometrica”
=
1 0 0
−1 0 0
0 6 5
−
10 0 6 − 5
−
10
0
−
−1
10 2 15 0 10
−
30
0 0 1 0 0
−
0 6 5
10 0 6 5
10
.
0
−
−
10
30 0
10 2 15
Il legame costitutivo può allora essere espresso come :
=
+
E’ possibile implementare una procedura di calcolo a più “step” lineari che consente di calcolare il vettore degli spostamenti
, tenendo conto di queste variazioni v ariazioni di geometria e quindi
trovare la
soluzione ( approssimata ) del problema non lineare. Ciascuno step rappresenterà un incremento di carico. Quindi la matrice
non dipenderà soltanto dalla geometria ma anche dalle forze iniziali esistenti all’inizio
di ciascuno step ( per questo motivo è anche detta “matrice “matrice delle sollecitazioni iniziali “ ). E’ da notare che allo “step 0” ( passo iniziale )
= , perchè la matrice geometrica è proporzionale alle forze interne
iniziali che sono supposte inizialmente nulle; quindi il primo step è un semplice calcolo in regime elastico lineare. Gli spostamenti totali per i valori finali del carico applicato, si otterranno come somma dei valori ottenuti al termine di ciascuno step. L’accuratezza del risultato, sia in termini di spostamenti che in termini di sforzi interni alle travi costituenti il t elaio, dipenderà dall’ampiezza dell’incremento di carico di ciascun passo. Esprimendo il carico applicato come:
=
∗
in cui
è una costante moltiplicativa e
∗
rappresenta l’intensità relativa delle forze applicate, si ha che,
come conseguenza della proporzionalità tra la matrice
In cui
e le forze all’inizio di ciascuno step, si può scrivere:
=
∗
∗
è la matrice di rigidezza geometrica per un valore unitario del carico applicato (
di rigidezza elastica
= 1 ). La matrice
può essere trattata come composta da elementi costanti per un ampio range di valori
degli spostamenti. Pertanto si può scrivere :
∗
=
∗
+
Per calcolare gli spostamenti basta invertire:
=
∗
+
∗
Gli spostamenti avranno valori infiniti ( condizione di collasso per instabilità geometrica ) quando:
∗
+
=0
La ricerca del carico critico è diventata un problema agli autovalori; il più piccolo valore di questa equazione ci da il valore
che soddisfa
che porta all’instabilità:
=
∗
Ripetendo lo stesso procedimento sul piano (z’, z’, y’) y’) e assemblando insieme le due matrici geometriche si ottiene la
per la trave nello spazio*:
=
1 0
0
0 0
0 0
0 −
−1 0
0 −
0
0
0
0
−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1 0
0 −
−
0
0
−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
0 0
0 −
−
0 0
0
0
0
−
0
−
0
1 0
0
0 0
−
0 0 0 −
0
0
0
0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
0
0 0
0 0
−
−
0
0 0 0
0
0
0
−
0 0 0
−
0 0 0 0
( * W. McGuire – R.H. Gallagher “Matrix “ Matrix Structural Analysis ” pag. 257; nota: i segni sono adattati alle alle convenzioni qui adottate adottate )
Posto P∗ = 1
, il valore di
che soddisfa la condizione di determinante nullo fornirà proprio
.
Per avere un’idea del grado di approssimazione si può ad esempio paragonare il carico critico euleriano per un pilastro incastrato alla base e con l’estremo superiore libero:
∙ 6310 3, 3 , 1 4 4 ∙ ∙ 2 , 1 10 640000 2041399,3687 lunghezza di libera inflessione:
2 H = 800 cm
7
con quello calcolato in maniera approssimata:
0
0 00 00 0 0 0
0 0
0 0 0
0
0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
4
2
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ
0 0 0 0
La condizione di determinante nullo può essere visualizzata con diagramma in funzione di 6
µ
41 10
4
µ
41 10
2
µ
41 10
1
-2 µ
41 10
-4 µ
41 10
µ
6 10
2
µ
6 10
3
µ
6 10
4
µ
6 10
5
µ
6 10
6
µ
6 10
7
µ
10
6
0 → 2069000 2069000
Un’approssimazione per eccesso dell’1,35%
Fatte queste premesse, si può valutare il carico critico del telaio in esame tenendo presente che, supposti i carichi verticali applicati in corrispondenza di ciascun nodo e perfettamente centrati nei pilastri, le travi risulteranno prive di sollecitazioni assiali e pertanto parteciperanno al calcolo col solo contributo elastico e non anche con quello geometrico
0
.
La matrice di rigidezza globale della struttura può essere ottenuta mediante semplici procedure di assemblaggio, stando però attenti a tenere conto del valore ( e del segno ) dello sforzo normale presente nei pilastri in modo da utilizzare la corretta matrice di rigidezza geometrica per og nuno. Più precisamente: Pilastri
Valore di
( 1-5 ); ( 2-6 ); ( 3-7 ); ( 4-8 );
3
( 5-9 ); ( 6-10 ); ( 7-11 ); ( 8-12 );
2
( 9-13 ); ( 10-14 ); ( 11-15 ); ( 12-16 );
∗
∗
∗
Al fine di automatizzare il calcolo può essere rimossa l’ipotesi di inestensibilità ed utilizzare le matrici complete anche dei termini estensionali.
Per il telaio ad un solo piano si avrà : 183 3.5 µ 10
183 3.0 µ 10
183 2.5 µ 10
183 2.0 µ 10
1.5 µ 10183
183 1.0 µ 10
5.0 µ 10182
6.0 µ 106
7093 7093000000 →
7.0 µ 106
8.0
6
9.0 µ 106
µ 10
1.0 µ 107
(rispetto al caso di pilastro semplice, è aumentato di quasi 3,5 volte)
con lunghezza di libera inflessione pari a :
∙
, , ∙,∙
42429
Per un telaio a due piani :
4.
µ 10
-233
2.
µ 10
-233
3.4
3478000 →
- 2. µ 10
-233
- 4. µ 10
-233
3.6
µ 10
6
3.8
µ 10
6
( si è praticamente dimezzato rispetto al caso precedente )
lunghezza di libera inflessione pari a :
6
µ 10
, , ∙,∙
∙
3478000
613
4.0 µ 10
6
Nel caso di tre piani :
24 8 2. µ 10-
24 8 1. µ 10-
6 2.8 µ 10
6 3.0 µ 10
6 3.2 µ 10
6 3.4 µ 10
-24 8
-1. µ 10
-24 8
-2. µ 10
2789000 →
lunghezza di libera inflessione pari a :
∙
, , ∙,∙
2789000
684,4,68 4343
Si vede quindi come il carico critico differisca di appena il 9% rispetto a quello calcolato col procedimento “esatto”.
Lo stesso tipo di procedimento si può eseguire nella ricerca del carico critico di un telaio piano, in cui si ha il vantaggio di poter scrivere delle equazioni di equilibrio più semplici e meccanicamente più intuitive.
Dati del problema:
Dimensioni: Pilastri: Travi:
H = 400 L
Sezioni:
cm
HE300A
700 cm
IPE400
=
Ipotesi: Travi e pilastri flessibili ma inestensibili
23130 18260
→ ∞∞
4
4
Per le strutture piane si fa ovviamente riferimento alle matrici relative a questo caso, con l’ipotesi che le travi ed i pilastri si deformino rispetto all’asse di massima inerzia. In ciascun nodo si avrebbero 3 gradi di libertà, e quindi, nel problema in esame, si dovrebbero scrivere 24 equazioni di equilibrio ( 3 equazioni per ciascuno degli 8 nodi che sono sede di deformazione ), ma l’ipotesi di inestensibilità riduce il numero di incognite a 12. Si avranno quindi 8 equazioni di equilibrio alla rotazione e 4 equazioni di equilibrio alla tralazione orizzontale. Prima di tutto vanno definite le funzioni di stabilità di ciascun pilastro, che adesso, per semplicità, possono essere messe in funzione di un unico parametro relativo ai pilastri dell’ultimo piano: à à1 − 3 (2 (2 − 4) 4)
=
( ) (1− Cos[ Cos[ ]) =
(Sin[ (Sin[ ] − Cos[ Cos[ ])
=
( − Sin[ Sin[ ])
=
( ) (1− Cos[ Cos[ ]) (Sin[ (Sin[ ] − Cos[ Cos[ ]) ( − Sin[ Sin[ ])
à à7 − 9 (8 (8 − 10) 10)
= 2 − 2 Cos − Sin[ Sin[ ]
= 2 − 2 Cos Cos − Sin[ Sin[ ]
=
=
( ) (1− Cos[ Cos[ ])
=
(Sin[ (Sin[ ] − Cos[ Cos[ ])
=
( ) (1− Cos[ Cos[ ]) (Sin[ (Sin[ ] − Cos[ Cos[ ]) ( ( − Sin[ Sin[ ])
( − Sin[ Sin[ ])
con :
=
E J
Le equazioni di Gehler in questo caso sono:
Equazioni di equilibrio alla rotazione Nodo 3 :
+
che è quello
= 2 − 2 Cos − Sin[ Sin[ ]
= (2)
=
à à5 − 7 (6 (6 − 8) 8)
=
= (3)
= 2 − 2 Cos Cos − Sin[ Sin[ ]
=
, e precisamente
à à3 − 5(4 (4 − 6) 6)
= 2 2
=
+
+
+
+
−
−
=0
Nodo 4 :
+
+
+
+
+
−
−
=0
Nodo 5 :
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
=0
Nodo 6 :
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
=0
Nodo 7 :
+
+
+
−
=0
Nodo 8 :
+
+
+
+
+
−
−
=0
=0
Nodo 9 :
+
+
+
+
−
−
=0
=0
Nodo 10 :
+
+
+
+
Equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale Traverso (3-4) : 2
(2
−
)
+ (2
−
)
+2
( )
+
−
+
+
Traverso (5-6) :
2
2
−
+ (2 +
−
)
−
+2
( )
+
+
+2
( )
+
−
=0
Traverso (7-8) :
2
(2
−
)
+(2 +
−
)
−
+ 2
( )
+
−
+ 2
−
( )
+
+
+
+
Traverso (9-10) : 2
( )
+ 2
( )
+
−
+
=0
=0
+
+
+
Componendo con i coefficenti delle incognite la matrice di rigidezza K ed imponendo la condizione di
[ ] = , si ottiene :
1 µ 10
77
5 µ 1076
1.0
- 5 µ 10
1.4
1.6
1.8
76
=
1.2
,
→
=
=
,
2,1 ∙ 10
2
182604 =
,
La ricerca della soluzione col metodo che fa uso della matrice geometrica in questo caso porta a:
1.
µ 10
-24
5.
µ 10
-25
2 µ 10
- 5. µ 10
4 µ 10
6
6 µ 10
6
6 8 µ 10
1 µ 10
7
-25
6
=
che corrisponde ad un valore del moltiplicatore :
=
=
,
Un errore sicuramente significativo, dovuto probabilmente all’adozione di un unico elemento finito per ciascun tratto compreso tra due nodi.
E’ curioso notare come il valore del moltiplicatore sia molto influenzato dal tipo di profilato usato per le 400 si fosse fatto uso di un profilato IPE 300 300 ( travi. Se,ad esempio, invece dell’IPE dell’ IPE 400
8356
),
mantenendo gli stessi profilati usati per i pilastri, si sarebbe ottenuto :
, ,
e
3.0
µ
76 10
2.5
µ
76 10
2.0
µ
76 10
1.5
µ
76 10
1.0
µ
76 10
5.0
µ
75 10
Il carico critico s’è ridotto di 3 volte. 0.5
1.0
1.5
Mentre se si fossero mantenute le travi IPE 400 e si fosse scelto per i pilastri un profilato HE 240A (
7763
) , si sarebbe ottenuto :
, ,
6
4. µ 10-
e
6
3. µ 10-
2. µ 10-6
6
1. µ 10-
Addirittura un aumento del carico critico.
1.2
Nel caso in cui il telaio fosse controventato, rimangono valide solo le 8 equazioni di equilibrio alla rotazione dei nodi, in cui però vengono cancellati tutti i termini che moltiplicano le incognite di traslazione orizzontale dei traversi. La condizione di determinante nullo in questo caso porta a: 8. µ 10-23
-23
6. µ 10
23 4. µ 10-
2. µ 10-23
2.0
2.2
2.4
2. 6
2. 8
3. 0
-23
-2. µ 10
-23
-4. µ 10
, , → , , valore quattro volte superiore alla soluzione “esatta” ottenuta per il caso senza controventi.
1.4
1.6
1.8
2.0
