UNIVERSITA’ DELLA CALABRIA
DIPARTIMENTO DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA EDILE - ARCHITETTURA CORSO DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI
RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE -Telaio spaziale (metodo rigoroso)Prof. G. SPADEA
A.A. 2013/2014 I Semestre
TELAIO SP SPAZIALE AZIALE E’ necessario risolvere il problema spaziale quando ricorre una di queste circostanze: circostanze: Edifici complessi; Distribuzione irregolare delle masse e
delle rigidezze;
Edifici alti;
Controventi comunque Controventi
orientati
Problema spaziale: 6 g.d.l. per ogni nodo ESEMPIO: Edificio con 20 pilastri e 5 piani
6 x 20 x 5 = 600 incognite
Dimensione del problema anche proibita per edifici modesti
TELAIO SPAZIALE Semplificazione del problema
MODELLO PSEUDO-TRIDIMENSIONALE
Le ipotesi che si fanno sono:
Solai infinitamente rigidi nel proprio piano
Pilastri con rigidezza torsionale trascurabile
Consideriamo un impalcato generico:
i=1, N numero di piani ui, vi, θi componenti di spostamento al piano i-esimo (impalcato rigido) Fix, Fiy, mi componenti della forza applicate all’impalcato i-esimo nel baricentro delle masse
TELAIO SPAZIALE Si definiscono i seguenti vettori:
F 1 x F 1 y m1 ... F ix F F iy m i ... F Nx F Ny m N
3N componenti
Vettore delle forze generalizzate di piano
u1 x v1 y 1 ... uix D viy i ... u Nx v Ny N
3N componenti
Vettore degli spostamenti generalizzati di piano
TELAIO SPAZIALE Consideriamo M telai o controventi comunque disposti
x( s ) y( s ) ( s )
(1)
( 2 )
x( s ) cos x( s )
y( s ) x( s )
( s )
Individuiduano la posizione e l’orientamento del controvento s rispetto al riferimento generale
y( s ) cos y( s )
TELAIO SPAZIALE Prendiamo in esame il controvento s nel suo piano (riferimento locale)
( s ) N
R
( s ) d N
Ri( s )
i= 1, N
Forse applicate al controvento s in corrispondenza di ogni piano e parallele alla direzione s ( s ) i
R
d i( s )
d i( s ) R1( s )
d 1( s )
i= 1, N
Spostamenti di piano del controvento s paralleli alla direzione s
TELAIO SPAZIALE Si definiscono quindi:
R1( s ) ... ( s ) ( s ) R Ri ... ( s ) R N Vettore delle forze applicate al controvento s nel suo piano
d 1( s ) ... ( s ) ( s ) d d i ... ( s ) d N Vettore degli spostamenti di piano del controvento s nel suo piano
Quindi ogni controvento può essere studiato come una struttura piana qualora siano note le sue caratteristiche geometriche e le forze ad esso applicate
TELAIO SPAZIALE Se si impone al controvento s uno spostamento unitario al piano i-esimo e zero agli altri piani, si può determinare il sistema di forze che provoca, per il controvento s tale campo di spostamenti.
R ji( s )
( s ) Ni
R
d i( s ) 1
Rii( s )
- Coefficienti di influenza
Si determinano assegnate le caratteristiche del controvento, mediante un metodo di risoluzione dei telai piani S=1,M – Indice controvento j=1,N – Indice di piano
R1(i s )
i=1,N – Indice del piano al quale si impone lo spostamento unitario
TELAIO SPAZIALE La forza risultante agente al piano i-esimo del controvento s può essere espressa come somma dei prodotti dei coefficienti di influenza per i rispettivi spostamenti di piano.
Ri( s )
N
R
( s ) ij
d j
j 1
s ) ( s ) d 1( s ) ... R1(i s ) d i( s ) ... R1( N d N ( s ) R1( s ) R11 ... ( s ) d N ( s ) Ri( s ) Ri(1 s ) d 1( s ) ... Rii( s ) d i( s ) ... RiN
... ( s ) ( s ) ( s ) R N ( s1) d 1( s ) ... R Ni d i( s ) ... R NN d N ( s ) R N
TELAIO SPAZIALE Il precedente sistema di equazioni con notazione matriciale diventa:
R11( s ) ... ( s ) K Ri(1 s ) ... R( s ) N 1
... R1( si )
s ) ... R1( N
...
...
...
... Rii( s ) ...
...
( s ) ... R Ni
... ( s ) ... RiN
... ... ( s ) ... R NN
Matrice di rigidezza laterale della struttura s (controvento) per spostamenti nel suo piano. Tale matrice è da interdersi nel riferimento locale del controvento
R K d ( s )
Nx1
( s )
NxN
(s)
Nx1
TELAIO SPAZIALE Vettore delle componenti delle forze applicate al controvento s nel riferimento globale.
F 1 x( s ) F 1 x( s ) x( s ) R1( s ) ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) F R F y y 1 1 1 y m1( s ) m1( s ) ( s ) R1( s ) ... ... F ( s ) F ( s ) ( s ) R( s ) ix x i ix( s ) F F iy F iy( s ) y( s ) Ri( s ) 3N componenti m ( s ) mi( s ) ( s ) Ri( s ) i ... ... F ( s ) F ( s ) ( s ) R( s ) Nx x N Nx F Ny( s ) F Ny( s ) y( s ) R N ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) (s) m R m N N N
mi( s )
F iy( s )
Ri( s ) F ix( s )
y( s ) x( s )
( s )
TELAIO SPAZIALE Definiamo la matrice di trasformazione del controvento s:
0 ( s ) 0 y ( s ) 0 ( s ) 0 x 0 ( s ) y ( s ) 0 A( S ) ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( s ) x
...
0
...
0
...
0
...
0
...
0
...
0
...
...
... x( s ) ( s ) y ( s )
...
... ...
0
...
0
...
0
0
x( s ) 0 ( s ) ( s ) y 0 ( s ) 0 0 0 ... 0 0 3N x N 0 x( s ) ( s ) y ( s )
( S ) 0 A( S ) ... 0 0
0
...
0
0
( S )
0
...
...
...
...
0 ...
0
0
( S )
0
0
0
0
( S )
Si può scrivere quindi: ( s )
F
A
( s )
R
(s)
Relazione che fornisce il vettore F ( s ) a 3N componenti come prodotto della matrice A( s ) di 3N righe ed N colonne per il vettore R( s ) a N componenti.
TELAIO SPAZIALE Per quanto riguarda gli spostamenti, è necessario, assegnati gli spostamenti di piano u i, vi, θi (nel riferimento globale), calcolare gli spostamenti dsi nella direzione del controvento s (nel riferimento locale).
vi y( s )
ui, vi, θi – Sono uguali per ogni punto del piano, essendo i solai infinitamente rigidi nel proprio piano (ipotesi di base).
vi
d 1( s ) x( s ) u1 y( s ) v1 ( s ) 1 ...
ui
ui
( s ) x
y( s ) ( s )
x
d i( s ) x( s ) ui y( s ) vi ( s ) i
... ( s ) d N x( s ) u N y( s ) v N ( s ) N
( s )
i ( s )
TELAIO SPAZIALE Indichiamo con:
x( s ) y( s ) ( s ) 0 0 0 ... ... 0 ( s ) ( s ) ( s ) 0 0 0 0 ... 0 x y T ( S ) A ... ... ... ... ... ... ... ... ... ( s ) ( s ) ( s ) 0 ... 0 0 0 0 x y ( ) ( ) ( ) s s s 0 y 0 ... 0 0 0 x Si può scrivere:
d ( s )
D A
( s ) ( T )
( s )
d
Matrice a N righe ed 3N colonne
A D ( s ) ( T )
Vettore a N componenti Vettore degli spostamenti dell’impalcati (3N componenti) Matrice ad N righe e 3N colonne
TELAIO SPAZIALE
R K d K ( s )
( s )
( s )
( s )
A
( s ) 1
D
( s ) T
R A F ( s )
( s ) 1
(s)
A F K A D ( s )
( s ) T
( s )
F A K A D ( s )
( s )
( s ) T
( s )
K A K A ( s )
M
( s )
M
F K ( s ) D F ( s ) j 1
j 1
( s ) T
( s )
matrice di rigidezza del controvento s nel riferimento globale
F M vettori, ciascuno a 3N componenti ( s )
TELAIO SPAZIALE M
F K D ( s )
Quindi:
DPuò essere portato fuori dal
j 1 M
K K
( s )
Indicando con:
j 1
F K D
Matrice di rigidezza dell’edificio. Somma delle matrici di rigidezza dei singoli controventi nel riferimento globale
1
D K F
D si possono ricavare le forze da applicare al controvento s:
Determinato
R K ( s )
segno di sommatoria, essendo il vettore degli spostamenti generalizzati di piano uguale per gli M telai
( s )
A
D K A K F
( s ) T
( s )
( s ) T
1
TELAIO SPAZIALE Definiamo:
K A K ( s )
R
( s )
( s )
( s ) T
(s)
1
( s )
F F
matrice di ripartizione delle forze esterne per la struttura s. Dipende dalle caratteristiche di rigidezza del controvento s, dalla sua posizione rispetto al riferimento e dalla rigidezza totale della struttura Vettore delle forze sismiche generalizzate
RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE -Telaio spaziale (applicazione)-
TELAIO SPAZIALE Baricentro delle rigidezze (Gk)
Consideriamo il generico piano p
k yi xi xk k yi y k xj y j k k xj k yi
k xj xi y j
Per calcolare il baricentro delle masse (Gm) si fa riferimento all’effettiva distribuzione delle masse.
xm
W x W
i i i
ym
W y W i
i
i
i 1,V j 1, O
Rigidezza dell’i -esimo telaio diretto secondo y
Rigidezza del j-esimo Telaio diretto secondo x Distanza dell’i-esimo telaio rispetto ad y Distanza del j-esimo telaio rispetto ad x
e y yk ym e x xk xm
TELAIO SPAZIALE Fh
S d (T 1 ) F h W g
tagliante alla base λ coefficiente pari a 0,85 se la costruzione ha meno di tre orizzontamenti e se T 1 < 2TC, pari ad 1,0 in tutti gli altri casi W peso complessivo della costruzione Sd (T1) ordinata dello spettro di progetto
La forza da applicare a ciascuna massa della costruzione è:
F i F h
z i W i z i W i
i 1, N
Fh tagliante alla base Wi peso dell’i-esima massa di piano zi quota rispetto al piano fondale Fi forza da applicare all’i -esima massa di piano E’ applicata nel baricentro delle masse di ogni impalcato Va considerata in ambo i versi. Il valore è analogo in entrambe le direzioni essendo lo spettro orizzontale uguale
TELAIO SPAZIALE
Taglianti di piano:
T N F N T N 1 T N F N 1
T i
Tagliante al piano i-esimo
F i Forza al piano i-esimo
A ogni piano prendiamo l’origine degli assi coincidente con il baricentro delle rigidezze, applichiamo alternativamente i taglianti in direzione x ed in direzione y e valutiamo separatamente gli effetti. Quando applichiamo il tagliante in direzione x, il tagliante al p-esimo piano, del j-esimo telaio in direzione x è:
( p) T xj
(
K xj
K xj
K xj y j e y (c)
(c )
( p)
I KX I KY
)T X
il tagliante al p-esimo piano, al j-esimo telaio in direzione y è:
( p)
T yi
(
K yi xi e y (c)
(c)
I KX I KY
( p)
)T X
(c) I KX
(c) I KY
K xj y j2 K yi xi2
Noti i taglianti ci ricaviamo le forze di piano che sono pari ai gradini del diagramma di taglio. Quando applichiamo il tagliante in direzione y, i taglianti ai vari piani si ottengono dalle formule appena viste, scambiando tra loro gli indici x e y.
