Caida de Bola

Determinación de la viscosidad de tres fluidos mediante el método de Caída de Bola Cindy Lorena M. Suarez a; Johan Javier S. Tirano b y Vanessa C. Cabrera c c [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected] a, b, c

Universidad Santiago de Cali, Facultad de Ciencias Básicas, Programa de Química Cali- 2010

RESUMEN Se determin determinó ó la velocidad velocidad límite límite de una partícula partícula esférica esférica de hierro hierro y el coeficien coeficiente te de viscosidad de tres fluidos, las cuáles fueron: Agua, Glicerina y aceite, utilizando el método de caída de bola y aplicando la ley de Stokes. La parte experimental experimental consistió en utiliz utilizar ar una probet probeta a de 100mL 100mL llena llena del fluido fluido en estudio, estudio, en la que se tomó tomó una distancia de 10cm (probeta). Posteriormente, se lanzó una bola de hierro desde una marca superior especificada, hasta una marca inferior, midiéndose el tiempo que demora en pasar la bola entre las dos marcas especificadas. especificadas. Con el tiempo medido y la distancia se halló la velocidad limite que recorrió la bola de hierro en cada fluido; Conociendo Conociendo además el radio y la densidad de la esfera, y las densidades de los tres fluidos en estudio, se determinó la viscosidad de cada líquido, observándose observándose que el valor promedio determinado es mucho mayor que la viscosidad teórica, siendo esta una de las mas altas probabilidades, probabilidades, el hecho de que la toma de tiempo fue insuficiente, es decir, que el procedimiento procedimiento no estuvo exenta de errores. Finalmente, Finalmente, se concluye que a medida que la densidad aumenta, el tiempo tiempo aumenta y la velocidad límite disminuye, disminuye, por lo tanto entre mayor es la densidad mayor es la viscosidad, tal como se observa con la glicerina, que a pesar que el dato del tiempo no es confiable tuvo una densidad mayor de 28,67mPas en comparación con el agua y aceite; sin embargo este valor se aleja de la viscosidad real que es de 1,3923mPas; 1,3923mPas; lo cual sucedió también con los otros fluidos. Palabras clave: clave: viscosidad, velocidad limite, ley de Stokes.

1. INTRO NTRODU DUCC CCIIÓN

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1.1.

VISCOSIDAD

La viscosidad es la propiedad de un fluido que da lugar a fuerzas que se oponen al movimiento relativo de capas adyacentes en el fluido. En otras palabras, la viscosidad es una medida de la resistencia del fluido a derramarse o fluir por el interior de un conducto. Las unidades de viscosidad en el sistema cgs son g/cm·s, llamadas poise o centipoise (cp). En el sistema SI, la viscosidad se expresa en Pa.s (N·s/m 2 o kg/m·s). Las unidades de viscosidad más utilizadas son los milipascales por segundo [mPa·s]. Además, el sistema cegesimal aún se sigue usando, siendo la unidad de medida el centiPoise [cp]. La conversión de unidades entre los dos sistemas es:

En la tabla 1 se presenta una tabla resumen de las unidades de viscosidad dinámica y cinemática.

Algunas veces, la viscosidad se expresa como µ/ρ o viscosidad cinemática, en m 2/s o cm2/s, donde ρ es la densidad del fluido. La tabla siguiente es una aproximación del valor de la viscosidad para sustancias muy conocidas a temperatura y presión ambientales:

1.2.TIPOS DE VISCOSIDAD









Existen tres tipos de viscosidad: la viscosidad dinámica, la viscosidad cinemática y la viscosidad aparente. 1.2.1.

La viscosidad dinámica o absoluta.

Denominada “ɳa ”. Si se representa la curva de fluidez (esfuerzo cortante frente a velocidad de deformación) se define también como la pendiente en cada punto de dicha curva.

1.2. 1.2.2. 2. La visc viscos osida idad d apar aparen ente te “η” se define como el cociente entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación. Este término es el que se utiliza al hablar de “viscosidad” para fluidos no newtonianos.

1.2. 1.2.3. 3. Visc Viscos osida idad d cinem cinemáti ática ca Por último último existe existe otro otro término término de viscosidad viscosidad “ Ѵ” deno denominad minadaa viscosida viscosidadd cinemátic cinemática, a, que relaciona la viscosidad dinámica con la densidad del fluido utilizado. Las unidades más utilizadas de esta viscosidad son los centistokes [cst]. (1 stoke = 100 centistokes = cm 2/s). Su ecuación es la siguiente:









1.3. VISCOSIDAD DE CAÍDA DE BOLA Un método que puede emplearse para la caracterización, y que es particularmente útil para velocidade velocidadess vahas vahas de cizallamien cizallamiento, to, es el viscosímet viscosímetro ro de caída de bola. Se determina la velocidad límite de una partícula esférica y la viscosidad eficaz del fluido se calcula aplicando la ley de Stokes. (Coulson, Richardson, 2004)

1.3. 1.3.1. 1. La ley ley de de Sto Stoke kess Se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes tras resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier-Stokes. En general la ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas partículas esférica esféricass pequeña pequeñass moviéndo moviéndose se a veloc velocidades idades bajas. bajas. Puede Puede escribirse escribirse como: como: 1

1.4 OBJETIVOS. 1.4.1. Objetivo General •

Establecer el coeficiente de viscosidad cinética de la glicerina, agua y aceite, mediante el método de caída de bola.

1.4.2. Objetivo Específicos • • • •

Utilizar la Ley de Stoke para hallar la viscosidad correspondiente para cada fluido Hallar la velocidad que recorre la bola de hierro en cada fluido Realizar el montaje de un viscosímetro de caída de bola Determinar la viscosidad de diferentes líquidos alimenticios

2. PROCE PROCEDIM DIMIE IENTO NTO EXPER EXPERIME IMENTA NTAL L









el interior de tres fluidos, los cuáles fueron el agua, el aceite y la glicerina cuya viscosidad se determinó. Se repitió la experiencia diez veces con la misma esfera en cada fluido.

3. DATO DATOS S Y RES RESUL ULTA TADO DOS S Tabla 3. Tiempo y velocidad limite de la esfera. Ensayo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Promedio Tiempo (s) Velocidad Limite (m/s)

Agua (mS) 25 28 19 18 22 25 22 22 25 25 23,1 0,02

Glicerina (mS) 56 30 38 50 37 47 41 34 47 31 41,1 0,04

Aceite (mS) 25 85 25 25 18 35 22 28 22 25 31 0,03

4,33

2,43

3,23

Tabla 4. Datos adicionales y cálculo de la viscosidad de los fluidos.

Distancia Dis tancia (m) (m) 0,1

Radio Esfera (cm) 2,2

Gravedad (m/s2) 9,8

Densidad Densidad Agua Esfera (g/cm3) (g/cm3) (g/cm3) 7,88 0,99 Viscosidad (g/cm*s) 16,78 Viscodidad (mPas) 16.78 Viscodidad Teorica (mPas) 0,00105

Densidad Glicerina (g/cm3) 1,261

Densidad Aceite (g/cm3) 0,88

28,67

22,87

28.67

22.87

1,3923

0,391









Grafico 1. Velocidad Limite promedio vs tiempo promedio de la esfera en el fluido agua.

Grafico 2. Velocidad Limite promedio vs tiempo promedio de la esfera en el fluido aceite.











Grafico 3. Velocidad Limite promedio vs tiempo promedio de la esfera en el fluido Glicerina. 4. ANÁL ANÁLIS ISIS IS DE DE RESU RESULT LTAD ADOS OS Se utilizo una esfera de hierro lisa de masa m=8.4 g y diámetro D=4.4 cm. Cuando la esfe esfera ra se lanzó lanzó desd desdee una una marc marcaa supe superio riorr y al desp despla laza zarse rse a travé travéss del del fluido fluido,, internamente sobre él actúan tres fuerzas, la fuerza de gravedad (F=m*g) que actúan hacia abajo, el empuje hidrostático (Ē) que actúa hacia arriba y la fuerza ascendente de rozamiento debida a la viscosidad del fluido, como se observa en la Figura 2. Esta última fuerza que es de sentido opuesto a la velocidad, viene dada por la ley de Stock Ec (1) 2. F = 6π R η v ⋅

⋅

⋅

Ec (5)

El peso es el producto de la masa m, por la aceleración de la gravedad; y por ende la masa es el producto de la densidad de la esfera, De, por el volumen de la esfera, Ve, de tal forma que:









Figura 2. Fuerzas que actúa entre la esfera y el fluido Sin embargo, hay que tener en cuenta que todo cuerpo que se mueve en un líquido actúa la fuerza de rozamiento de sentido opuesto al movimiento, pero esto depende de la función geométrica de la esfera de hierro, de su velocidad y del rozamiento interno del líquido, es decir que hay una interacción entre el fluido y la esfera de acuerdo a su diámetro y a la masa de este. Por eso resulta posible obtener información sobre la forma o el tamaño de un objeto pequeño pequeño si se determina determina la fuerza de arrastre arrastre que este experimenta experimenta en su movimiento movimiento 4, pero este no es el caso, caso, ya que solo se busca busca la viscosidad viscosidad que experimenta experimenta la misma esfera en distintos fluidos. Al caer verticalmente la esfera de hierro sobre el Agua (ver figura 3) se obtuvo un promedio promedio de tiempo tiempo de 0.02 0.02 segundos, segundos, seguido seguido del del fluido Aceite Aceite con 0.03 0.03 segundos segundos y por último la glicerina con 0.04 segundos; evidentemente se observa que mayor tiempo recorrido indica que esa fuerza de rozamiento que ejerce el fluido, hace que la esfera demore mucho más tiempo en recorrer una distancia arbitraria en el fluido a tratar; por









Figura 3. Montaje de la parte experimental para hallar la viscosidad de los fluidos: agua, aceite y glicerina. De acuerdo a lo anterior se resume que dependiendo del fluido, inicialmente la esfera experimenta una aceleración y su velocidad velocidad aumenta si la viscosidad del fluido es menor, y por ende la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad limite o máxima alcanzada por la esfera, esfera, lo que que hace hace que que también también disminuy disminuyaa la resiste resistencia ncia al movimiento. movimiento. Independientemente de la viscosidad de cada cada uno de los fluidos, la esfera a través de un cierto tiempo se movió con una velocidad velocidad constante (v), y las fuerzas que actuaron actuaron sobre ella se encontraron en equilibrio (la Fuerza de rozamiento, el empuje hidrostático, y la fuerza gravitacional). Para que la esfera alcanzara esa velocidad límite se necesita que las fuerzas estén totalmente equilibradas; de esta forma la fuerza de la gravedad gravedad debió ser compensada compensada por la suma del empuje hidrostático y la fuerza de arrastre, entonces la aceleración de la esfera será nula y su velocidad no seguirá aumentando. Por tanto la ecuación del movimiento será:









Sustituyendo las ecuaciones 5, 6 y 7 en 9 se tiene que:

De Ve g - Df 4 π r3 g = 6π r η v 3 ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Ec (10)

La velocidad, v, será la velocidad límite, y, que tiene la siguiente expresión:

V = 2r2 ( De – Df)g 9η

Ec (11)

Esta expresión se conoce como formula de Stockes y explica la velocidad de caída de una partícula partícula esférica esférica en en un medio medio viscos viscosoo 5. Posteriorment Posteriormente, e, se realizó realizó la gráfica 1, 2 y 3 tomando los datos promedios promedios de las tres velocidades límites por cada fluido y el respectivo tiempo promedio en segundos. Se obse observ rvaa que que cada cada grafic raficaa obtu obtuvo vo una una líne líneaa rect recta, a, sin sin emba embarg rgoo lo menc mencio iona nado do anteri anteriorme ormente nte la velocid velocidad ad tendría tendría que ser una velocida velocidadd de caída caída con consta stante nte en el momento de haber alcanzado su máximo, en este caso se debe apreciar la situación en que los datos fueron tomados, ya que hubieron fuentes de error y porque se tuvo una menor distancia de 10 cm por la cual la bola no alcanzo su punto de equilibrio y por ende no se mostró en cada grafica la velocidad máxima. La razón por la cual se relaciona la velocidad límite con el tiempo es porque mediante la gráfica se indica la velocidad máxima por la cual la esfera recorre a una distancia ya establecida, debido a que las fuerzas que actúan se contrarrestan y se anulan. Luego de hallar las velocidades limites de cada ensayo por fluido, se logra hallar las viscosidades de los líquidos utilizando la ecuación 11, una vez conocido el diámetro y densidad de la esfera y las densidades de los tres fluidos en estudio. Por ende se comprueba que la viscosidad esta en función de la velocidad limite siendo esta ultima inversamente proporcional a la viscosidad, ya que se observo que a medida que aumenta la viscosidad (glicerina) la velocidad va disminuyendo. Los valores de las viscosidades calculadas se encuentran en la tabla 4.









La viscosidad viscosidad es inversamente inversamente proporcional proporcional a la velocidad velocidad límite pero es directamente directamente proporciona proporcionall al diámetro diámetro de la bola; y a la densidad de un fluido, para un cierto material (esfera); y se puede confirmar con la ecuación 11.

5. APLIC LICACIONE IONES S La viscosidad es un parámetro de los fluidos que tiene una gran importancia en sus diversas aplicaciones industriales, en la que la viscosidad de las sustancias puras varía de forma importante con la temperatura y en menor grado con la presión. Principalmente, se utiliza utiliza el efecto efecto de la viscosida viscosidadd en los motore motores, s, transm transmisio isiones nes,, compr comprens ensore oress y reduct reductore oress en diferent diferentes es temper temperatu aturas ras ope operac raciona ionales les,, que muchas muchas veces veces se busca busca las 6 técnicas de reducción de mantenimiento y el aumento en la vida útil del equipo .

5.1 Variación con con la velocidad velocidad de deformación: Una gran cantidad cantidad de fluidos, casi todos de interés industrial, presentan desviaciones de la ley de Newton al ser ser su viscosidad una función función de la velocidad de cizalla aplicada; la diferencia básica entre el el comportamiento Newtoniano y el no Newtoniano es la longitud de la moléc molécula ula del fluido, fluido, de forma forma que aquell aquellos os fluidos fluidos con con moléc molécula ulass de pequeño pequeño tamaño tamaño como como el agua, agua, metan metanol, ol, etanol, etanol, entre entre otros, otros, presen presentan tan un compo comportam rtamient ientoo Newtoniano Newtoniano en contraposició contraposiciónn de aquellos aquellos (disolucione (disolucioness de polímeros, polímeros, polímeros polímeros fundidos etc.) que posean moléculas moléculas de mayor mayor tamaño. En la tabla 5, se muestra muestra el rango de velocidades de deformación utilizados en diversos procesos industriales y situaciones cotidianas.

Tabla 5. Intervalos aproximados de velocidades de cizalla en diversos procesos industriales.











Lo prese presenta ntann aqu aquell ellos os fluido fluidoss que ven aument aumentada ada su viscosi viscosidad dad al increme incrementa ntarr la velocidad de cizalla aplicada, causado por reorganizaciones en su microestructura. Los fluido fluidoss que que sigue siguenn este este comp compor orta tamie mient ntoo son son poco poco nume numero roso sos, s, podr podría íamo moss citar citar suspensiones de almidón en agua, y ciertas suspensiones de PVC.

5.1. 5.1.22 Co Comp mpor orta tami mien ento to plás plástic tico: o: La plasticidad es un fenómeno que muestran ciertos materiales que se comportan como sólidos elásticos, almacenando una cierta cantidad de energía, cuando estos materiales son someti sometidos dos a esfuer esfuerzos zos menore menoress con cierto cierto valor valor umbral umbral (esfue (esfuerzo rzo de rendim rendimien iento); to); mientras que con un esfuerzo superior al umbral se deforman continuamente como un fluido, siendo el esfuerzo una función, lineal o no, de la velocidad de deformación. Ejemplos típicos de este tipo de materiales son la pasta dentífrica, mayonesa, mermelada, clara de huevo y nata batidos.

5.1. 5.1.33 Co Comp mpor orta tami mien ento to pseu pseudo dopl plás ástic tico: o: Son materiales que ven reducida su viscosidad al aumentar la velocidad de deformación. Muchos materiales muestran este tipo de comportamiento en mayor o menor grado y es el comportamiento más común. Así por ejemplo, numerosas sustancias que se encuentran en emul emulsio sione nes, s, susp suspen ensi sion ones es,, o dispe dispers rsion iones es son son ejem ejemplo ploss de este este tipo tipo de fluido fluidos. s. Disoluciones de polímeros y polímeros fundidos muestran este tipo de comportamiento, siendo la pseudoplásticidad más o menos marcada dependiendo de la distribución de pesos pesos moleculare molecularess y de la estructur estructuraa del políme polímero ro en cuestió cuestión. n.









En este trabajo se determinó el coeficiente de viscosidad cinética de la glicerina, agua y aceite mediante el método método de caída de bola, utilizando la Ley de Stock. Posteriormente, hubo fuentes de error con respecto a la toma del tiempo, ya que se manejó manualmente el cronómetro, y debido a que la distancia fue muy corta y las viscosidades del agua, el aceite y la glicerina fueron menores, menores, no permitió tomar el tiempo exacto exacto que recorrió recorrió la esfera en cada fluido, de esta manera las velocidades y las viscosidades van a depender del tiempo tomado y como estos fueron erróneos entonces el valor de la velocidad máxima de la esfera y la viscosidad del fluido no serán los mejores ni tan cercanos cercanos a lo reportado en la literatura. Finalmente , se concluye que a medida que la densidad aumenta, el tiempo tiempo aumenta aumenta y la velocid velocidad ad límite disminu disminuye ye,, por lo tanto entre entre mayor mayor es la densidad mayor es la viscosidad tal como se observó en la glicerina que relativamente fue viscosa en comparación con el agua y el aceite.

7. CUES UESTION TIONA ARIO RIO •

De las las defi defini nici cion ones es para para los los sigu siguie ient ntes es conc concep epto tos: s: índi índice ce de cons consis iste tenc ncia ia,, comprensión, tracción, extensibilidad, tensión interfacial y tensión superficial. Indique la importancia de estos conceptos en el estudio de los fluidos y explique la relación que estos tienen con la viscosidad.

Índice de consistencia El índice k es una medida de la consistencia del fluido. Cuanto mayor sea el valor de k, más viscoso es el fluido 8









Tensión interfacial Se llama tensión interfacial a la energía libre existente en la zona de contacto de dos líquidos inmiscibles. Esta energía es consecuencia de las tensiones superficiales de los dos líquidos, y evita que se emulsiones espontáneamente 12.

Tensión superficial Las fuerzas de atracción que existen entre las moléculas de un líquido, son de diferente magnitud dependiendo de la zona del líquido considerada. Las moléculas moléculas en su seno del líquido están lo suficientemente cerca para que el efecto de las fuerzas de atracción sea considerable, pero tienden a equilibrarse. Por el contrario, las moléculas de la zona superficial no están rodeadas completamente por otras moléculas del líquido y por lo tanto estas moléculas están desequilibradas desequilibradas con un efecto efecto neto hacia el seno del líquido. Esta fuerza neta es normal a la superficie y será más baja mientras más pequeña sea dicha superficie. Es decir, para una superficie mínima se cumple una energía mínima y por lo tanto pode podemos mos decir que la superficie superficie de un líquido líquido tiende tiende a contraerse contraerse y el efecto efecto resultante de estas fuerzas de contracción es lo que da origen a la tensión superficial, permitiendo permitiendo además además que la superficie superficie sea estable estable13.

Relaciones de algunas propiedades con la viscosidad: Como se menciono anteriormente, la viscosidad es una medida de la resistencia en fluir a









Muchos de los fluidos no newtonianos como el pseudoplatico y el dilatante, son difíciles de mane maneja jar, r, y se pue puede denn mode modela larr adec adecua uada dame mente nte dentr dentroo de un inte interva rvalo lo útil útil de velocidades de corte mediante la ley de Ostwald que viene dada por:

τ = C (y)n

Ec (11)

donde, n: constate del índice de comportamiento del flujo, que nos da una idea del grado de desviación del fluido con respecto al newtoniano C: índice de consistencia El índic índicee de cons consis iste tenc ncia ia C es una una medid medidaa de la visco viscosid sidad ad newt newton onia iana na a baja bajass velocidades de deformación por corte, para saber qué tan viscoso es; que en este caso es independiente del tiempo, lo cual lo convierte para un flujo unidimensional, ya que el fluido se comporta como un sólido que se excede un esfuerzo de deformación mínimo, denominándose así una viscosidad aparente 16. Por Por otro otro lado lado,, los los líqui líquido doss elás elástic ticos os no newt newton onian ianos os exhi exhibe benn comp comport ortam amie iento ntoss extensionales muy diferentes de los newtonianos. Se pueden considerar tres tipos de flujo exte extens nsion ional al:: unia uniaxi xial al (a), (a), biax biaxial ial(b (b)) y plano plano (c), (c), de mane manera ra que que se defin definen en tres tres viscosidades extensionales, η E, η b, η p diferentes.









Figura 5. Tracción de un fluido con alta viscosidad extensional 17 Por otra parte, la tensión superficial, no solo se refiere a la propiedad de la superficie de un líquido que se resiste a la fuerza, sino mantiene el líquido en conjunto, que es causado por las llamadas llamadas fuerzas fuerzas intermolecu intermoleculares lares para reducir al mínimo el área superficial del fluido. Posteriormente, la viscosidad está relacionada con la resistencia de un líquido para que que se defo deform rmee o se muev muevee, caus causad adoo por por la fric fricci ción ón entr entree dich dichas as molé molécu cula las. s. En comparación con la viscosidad, la tensión superficial es un fenómeno simple, es básicamen básicamente te estable, estable, modificado modificado principalmente principalmente por la temperatur temperaturaa y productos químicos químicos que modifican las características de unión de las moléculas. Sin embargo la viscosidad depend dep endee de las fuerza fuerzass intermo intermolec lecula ulares res dentro dentro del líquido líquido (mante (mantenie niendo ndo juntas juntas las moléculas), mientras que la tensión superficial surge de la diferencia entre las magnitudes de estas fuerzas dentro del líquido y en la superficie; un ejemplo muy claro es el mercurio que que tiene tiene la tensi tensión ón supe superfi rficia ciall más más alta alta que que cual cualqu quie ierr otro otro líqui líquido do a temp temper erat atura ura ambiente, pero este no fluye de la manera ordinaria, por eso se rompe en pequeñas gotas que ruedan en forma independiente 18. •

Realice un ensayo de 500 palabras sobre la determinación de la viscosidad con la











fuerza resistiva del medio; queda en un estado uniforme. La ecuación para poder explicar esto es la siguiente:

Figura 4. Maquina de Atwood Después de eso se pudo concluir que al hallar la velocidad de un cuerpo esférico moviéndose en un líquido variando la masa pero manteniendo el volumen constante, a partir de los los resultados resultados obtenid obtenidos os se pudo pudo encontra encontrarr a relación relación entre la la velocidad velocidad final final y la den densida sidadd del del cue cuerpo rpo que que fue fue sume umergid rgidoo en el flui fluido do;; esta sta rela relacción ión obte btenida nida experimentalmente se puede comparar con los resultados encontrados en la ecuación antes mostrada.









3. Lección Lección de clases: clases: Separadore Separadoress de sentinas y depurado depuradoras ras centrífuga centrífugass [Anónimo][en [Anónimo][en línea] [Citado el 09 de Mayo de 2012]. Disponible en: http://es.scribd.com/doc/54959401/1/LEY-DE-STOKES. 4. GÁ GÁLV LVEZ EZ MART MARTÍN ÍNEZ EZ,, F.J F.J.. et al . Op cit, p. 95 5. Lección Lección de clases: clases: Separado Separadores res de sentinas sentinas y depurado depuradoras ras centrífuga centrífugass [Anónimo] [Anónimo] Op cit. 6. WIDMAN, R. La rel relación ión entre tre la visc iscosida idad, la vida ida útil y el costo de mantenimiento. En: Widman international SRL SRL,, 2006. no. 36. p 1. 7. Tema Tema 2: Flui Fluido doss visc viscos osos os [Anó [Anónim nimo] o][e [enn líne línea] a] [Cita [Citado do el 09 de Mayo Mayo de 2012 2012]. ]. Disponible en: http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/3623/1/tema2RU http:// rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/3623/1/tema2RUA.pdf. A.pdf. 8. MUHA MUHAMM MMAS AS,, Essa Essa.. CFD CFD stud studie iess of comp comple lexx flui fluidd flow flowss in pipe pipes. s. Docto octorr of philosophy philosophy.. University University of Birmingham. Birmingham. Department Department of chemical chemical engineering. engineering. 2009. 2009. p 86. 9. Tracción. ión. [en [en líne ínea] [Cit [Citaado el 11 de Mayo de 2012]. 2]. Disp isponibl ible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Tracci%C3%B3n. 10. HERNAND HERNANDEZ EZ LUCAS, LUCAS, M.J. Viscosidad Viscosidad extensional: extensional: Textura reología. [en línea]

Caida de Bola

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