Caderno V10

2008

MATEMÁTICA

DEMA- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CADERNO DE APOIO AO ALUNO

Marisa Oliveira, Susana Nicola Araújo Instituto Superior de Engenharia do Porto

Descrição: Estes apontamentos destinam-se ao acompanhamento das aulas de matemática do curso Maiores de 23. Contém, para cada capítulo, uma explicação teórica seguida de um conjunto de exercícios resolvidos e de exercícios propostos. Em relação aos exercícios propostos alguns serão resolvidos nas aulas em conjunto e os restantes serão resolvidos pelos alunos para consolidação das matérias expostas nas aulas.

Introdução: Nos dias de hoje, a Matemática ocupa um lugar de destaque, pois o homem como parte integrante da sociedade actual necessita de conhecimentos matemáticos. Na verdade, dado o progresso das tecnologias na nossa sociedade, é necessário criar uma Matemática cada vez mais forte, que permita a sua contextualização na sociedade. Um dos objectivos principal destes apontamentos é proporcionar aos alunos uma aprendizagem, de tal modo que se sintam motivados e aprendam de facto. Apresentar uma visão da Matemática agradável, aplicável e simples. Esperar que os alunos sintam alguma diferença na sua relação com a disciplina e que a sua ideia da própria Matemática, como ciência se altere para algo positivo e importante para a vida. Resumindo, procuraremos motivar os alunos para a análise e estudo dos conteúdos desenvolvidos durante o curso mostrando a importância da matemática usandoa de maneira que seja compreendida. Objectivos: Pretendemos que os alunos consigam: •

Desenvolver a capacidade de comunicar conceitos com clareza e rigor lógico;

•

Usar correctamente o vocabulário específico da Matemática;

•

Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção do real;

•

Descobrir relações entre conceitos de Matemática;

•

Desenvolver o sentido de responsabilidade pelas suas iniciativas e tarefas;

•

Desenvolver a confiança em si próprio;

•

Autonomizar o processo de aprendizagem;

•

Adquirir o hábito de estudar por iniciativa própria;

•

Criar motivação e auto-confiança para o estudo da matemática;

•

Adquirir rapidez e exactidão nos cálculos;

2

Marisa Oliveira, Susana Araújo

Capítulo 1

OPERAÇÕES E PROPRIEDADES EM IR

3


Operações em IR Adição. Subtracção. Multiplicação Divisão. Potenciação e radiciação Objectivos: Utilizar as propriedades das operações para simplificar os cálculos; Conhecimento do conjunto dos números racionais, das diferentes formas de representação dos elementos desses conjuntos e das relações entre eles, bem como a compreensão das propriedades das operações em cada um deles e a aptidão para usá-las em situações concretas; Aptidão para trabalhar com valores aproximados de números racionais de maneira adequada ao contexto do problema ou da situação em estudo; Aptidão para operar com potências.

Pré-requisitos: Operações com números relativos.

4


1. Operações em IR

IR

Q

Z

IN

1.1 Números inteiros positivos

{

}

IN – conjunto dos números naturais = 1, 2, 3, ....

Neste conjunto a adição é sempre possível pois, se considerarmos dois números a e b, existe sempre um número natural c que é a soma de a com b. A multiplicação também é sempre possível. Quer a adição quer a multiplicação são: - comutativas: quaisquer que sejam os números naturais a e b a+b=b+a axb=bxa - associativas: quaisquer que sejam os números naturais a, b e c (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) - sendo ainda a multiplicação distributiva em relação à adição (a + b).c = a.c + b.c a.(b + c) = a.b + a.c 5


Sendo a e b números naturais, se conseguirmos determinar x, tal que: b.x = a a

ou x = a : b, o que é o mesmo que

x = b

dizemos que x representa o quociente exacto de a por b. a diz-se dividendo; b diz-se divisor. Exemplo: 5 = 15 : 3 pois 5 x 3 = 15 Mas a divisão exacta nem sempre é possível no conjunto dos números naturais. Não existe nenhum número natural x, tal que 3.x = 2. Para que a divisão exacta se torne possível, é preciso ampliar o conjunto dos números naturais, acrescentando-lhe os números fraccionários positivos. No exemplo anterior, o quociente de 2 por 3, que não era possível em IN, representa agora o número fraccionário

2

, em que 2 é o numerador e 3 o

3

denominador. 1.2 Números inteiros positivos, negativos e o zero Z – conjunto dos números inteiros relativos =

{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ....}

É claro que as propriedades já enunciadas, para a adição e multiplicação, permanecem válidas ao alargar o conjunto dos números naturais. 1.3 Números inteiros e números fraccionários relativos Q – conjunto dos números racionais

6


Números racionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de fracção

x

com y ≠ 0 , x e y inteiros. Estes números podem ser representados

y

por dízimas finitas ou infinitas periódicas. Repare que duas fracções podem representar o mesmo número, dizendo-se fracções equivalentes.

Exemplo:

12

e

6

8

representam o número natural 2.

4

12

e

6

8

são fracções equivalentes.

4

Exemplo: São ainda equivalentes, por exemplo, as fracções

2

e

7

8

. Se

28

dividirmos ambos os membros da segunda fracção por 4 obtemos 2

.

7

Exemplo:

2

é uma fracção irredutível.

7

Exemplo:

8

é uma fracção redutível.

28

Dadas duas fracções com o mesmo denominador elas serão equivalentes se tiverem o mesmo numerador, caso contrário será maior a que tiver maior numerador.

Exemplo:

3

é maior do que

5

1 5

.

7 3

é maior do que

4

.

3

Só podemos somar fracções com o mesmo denominador, sendo

a c

7


a + b

b +

= c

c

Exemplo: 5

a)

=

2

2

2

1

=

10 =

4

4

5 =

4

2

. Como as fracções não têm o mesmo denominador, teremos

+ 5

= 4 2

3+ 7

7 +

4

8 =

2

3

b)

Exemplo:

5+3

3 +

3

que reduzi-las a um denominador comum. m.m.c. (5,3) = 15 2×3

2 =

2

1 +

5

Para

6

15

5

= 3

1× 5

1 =

5×3

5

Logo,

6 =

+

5 =

3×5

3

15

11 =

15

15

15

multiplicar

fracções,

multiplicamos

numerador

com

numerador,

denominador com denominador.

Exemplo:

11

11 × 2

2 ×

=

7

22 =

7×3

3

21

A divisão em Q é sempre possível. Dividir

a b

a

c

pelo inverso de

b

d

a

c

a =

: b

d

;

d

d ×

b

ad =

c

Exemplo:

bc

2

7

2 =

: 5

8

.

c

3

3 ×

5

6 =

7

35


por

c d

, é o mesmo que multiplicar

1.4 Números racionais e números irracionais IR – conjunto dos números reais

Números irracionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de fracção. Estes representam-se por dízimas infinitas não periódicas.

IR ⊃ Q ⊃ Z ⊃ IN Nos inteiros positivos (IN) os

N inteiros relativos (Z) Nos racionais (Q) Nos reais (IR)

Zero Nos inteiros negativos

N os fraccionários– dízimas infinitas periódicas Nos irracionais – dízimas infinitas não periódicas

1.5 Operações com números reais 1.5.1 Adição a + b com a, b ∈ IR 1) Adicionar um número real com 0, dá o próprio número, pois 0 é o elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0 = a,

∀ a ∈ IR

2) Adicionar os números simétricos a e – a: (- a) + a = a + (- a) = 0,

∀ a ∈ IR

3) Se as parcelas têm o mesmo sinal: (+…) + (…+) ou (-…) + (-…) a soma tem esse mesmo sinal e o seu módulo é igual à soma dos módulos 4) Se as parcelas têm sinais contrários: (+…) + (-…) ou (-…) + (+…)

9


O sinal da soma é o da parcela com maior módulo e o módulo da soma é igual à diferença dos módulos das parcelas. Exemplo:(+ 5) + (+ 2) = + (5 + 2) = + 7 (- 3) + (- 2) = - (3 + 2) = - 5 (- 4) + (+ 2) = - (4 – 2) = - 2

Porque |- 4| > |2| (+ 5) + (- 3) = + (5 – 3)= 2

Porque |5| > |-3|

1.5.2 Subtracção a - b com a, b ∈ IR Subtrair ao número a o número b é adicionar ao número a o simétrico de b. a – b = a + (-b) com a, b ∈ IR

Exemplo:

1 7 −

= 7 + 2

 − 1  = 14 +  − 1  = + 13      2 2  2 2

1.5.3 Multiplicação a . b com a, b ∈ IR 1) Qualquer que seja o número a, a.0 = 0.a = 0, o que traduz que 0 é o elemento absorvente da multiplicação. 2) O produto tem sinal + se os factores tiverem o mesmo sinal e tem sinal – se os factores tiverem sinais diferentes. 10


Podemos traduzir isto pela tabela seguinte:

Exemplo:

.

+

-

+

+

-

-

-

+

 1 5 +  =  2 2

+5.

5 −

. 2

 − 3  = + 5.3  7  2.7  

 + 2  = − 3.2    5 5

−3.

2 +

. 3

15 = + 14 6

= − 5

− 1  = − 2    7  3.7

2 = − 21

1.5.4 Divisão a : b com a, b ∈ IR e b ≠ 0 Dividir a por b, não é mais que multiplicar por a o inverso de b.

1   b

a a : b =

= a× b

Exemplos: Calcular: a)

1 = 2.3 = 6

2: 3 1

1 :5 =

2 7

11

5

5

4 =

:

10

5

20 =

. 3

1 =

2

4 3

1 .

7

21


 1 2 4 +  + 5 3  15

= 2−

 12  5 3

2

13

1

b)

2−

1 13 2 . + =

= 2 −

5

3

17 +

1 + 3

3 2

15

15

4  2 5

:

1 +

15

2 +

15

15

  2 1

8 .

3

2

2 =

15

13 −

1 +

=

15

30 =

4   .2  25 

2 =

1 (15 )

2 +

19

1

2×

−

 2 + 3  15

1 +

=

15

c)

15

2

=

1

5

8 +

3

10

2 =

4 +

3 (5)

5 (3)

10 =

12 +

15

15

22 = 15

1.6 Valores aproximados 1.6.1 Dizimas As dízimas podem ser finitas, infinitas periódicas e infinitas não periódicas Exemplo: 0,111…. Ou 0,(1) é uma dízima infinita periódica de período 1

12


Exemplo: 0,123123… ou 0,(123) é uma dízima infinita periódica de período 123 Exemplo:

1,15893571973… é uma dízima infinita não periódica (não há

repetição de algarismos ou de sequência de algarismos)

1.6.2 Valores aproximados, erro máximo cometido e valores 3casas decimais

exactos

3casasdecimais

1, 414 < 2 < 1, 415 Valor aproximadode

2 , por excesso a menos de0,001

Valor exacto 3casasdecimais

Valor aproximado de

2 , por defeito a menos de0,001

O erro máximo cometido é a diferença entre valor aproximado por excesso pelo valor aproximado por defeito: 1,415 - 1,414 = 0,001. Neste caso o erro máximo cometido é uma milésima. Exemplo:

7 ~ 2, 64575...

O valor aproximado de

7

às milésimas por defeito é 2,645


7

às milésimas por excesso é 2,646


7

às centésimas por excesso é 2,65


7

a menos de uma décima por defeito é 2,6

O valor exacto de

7

13

7

é


=?

Exemplo:

2 +

7

1, 414 + 2, 645 <

2 +

7 < 1, 415 + 2, 646

4, 059 <

2 +

7 < 4, 061

2 +

7

= 4,061 é o valor aproximado por excesso a menos de 0,001

2 +

7

0 4,059 é o valor aproximado por defeito a menos de 0,001

O erro máximo cometido é 4,061 – 4,059 = 0,002 1.7 Potências Regras de Cálculo: I)

p

q .a

a

p+q = a

Na multiplicação de potências, com a mesma base, mantém-se essa base e somam-se os expoentes. Exemplo: a)

5 3 5+3 8 2 .2 = 2 = 2

b)

 1  . 1      2 2

3

II)

p a

.b

p

4

1 =   2

( )

3+ 4

1 =   2

7

p

= a .b

Na multiplicação de potências, com o mesmo expoente, multiplicam-se as base e mantém-se esse expoente.

14


Exemplo: 3

a)

b)

 1  . 5      3 2

( −3)

2

4 .  3

p

III)

a

:a

2

q

3

5 =   6

3

 12  = −   3

2

= ( −4)

2

= 16

p −q

= a

Na divisão de potências, com a mesma base, mantém-se essa base e subtraem-se os expoentes.

Exemplo: 3

2

a)

( −4)

b)

− 1  : − 1       5  5

: ( −4)

3

IV)

a

p

:b

p

= ( −4)

2

a =   b

3− 2

= −4

1

 1 = −   5

=

 1 −   5

p

Na divisão de potências, com o mesmo expoente, dividemse as base e mantém-se esse expoente.

15


Exemplo:

a)

( −5)

1 :  3

3

3

 1 =  −5 :   3

4

5 :1     4 2

b)

V)

( ) p

a

q = a

4

3 = ( −5 : 3)

5 1 =  :  4 2

4

3

= ( −15)

5  =  .2  4 

4

3

 10  =   4

4

5 =   2

4

pq

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efectuar este cálculo mantém-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplo:

Nota:

a

n

2

a)

( −2)3   

b)

 1 5      2  

= ( −2)

3

15

1 =   2

é sempre não negativa se o expoente é par; tem o sinal de a se o

expoente é ímpar; por convenção Exemplo: a) 16

6

( −3)

3

= −27


a

0

= 1

e

a

1

= a

.

Nota: ( −4)

2

−4

2

≠ ( −4)

2

b)

( −4)

c)

2

d)

5

3 2

pois

2

= +16

= 8 = 25

−4

2

(a base da potência é 4) e

= − (4 × 4) = −16

= ( −4) × ( −4) = +16

Se quisermos efectuar a operação

2 3

5 : 3

3 = 3

Mas por III)

Então

1 3

3

= 3

3

2

−3

2

3 =

5

: 3

5

2

2 3 3 .3

= 3

2−5

3

2

: 3

5

?

1 = 3

= 3

3

−3

que se trata de uma potência de expoente negativo.

VI)

a

−n

1 =

n a

1 =   a

n

, com

a ∈ IR , a ≠ 0 e n ∈ IN

O que significa que uma potência de expoente inteiro negativo é igual ao inverso da potência de base igual e expoente simétrico.

Exemplo: Transformar em potência de expoente positivo: a)

17

2

−3

.2 : 2

−5

= 2

−3+1


: 2

−5

= 2

−2

: 2

−5

= 2

−2 +5

= 2

3

b)

 1    5

−5

−5

 2  .  − 10  : −      3  3  −5

−2

 1   3   10  =   . −   5   2  .  − 3  −2

5

 10   10  = −  . −   3  3

−5

 1   2   10  =  5  :  − 3  .  − 3  −2

 10  = −   3

−5

 3   10  = −  . −   10   3  5− 2

 10  = −   3

−2

−2

3

p

O radical

VII)

q

p a

= a

q

com

p a > 0; q ∈ IN e

∈Q q

Exemplo: Escrever como uma potência de expoente fraccionário: 3 3

a)

2

= 2

2

1

b)

1 5

 5   2 1

= 2

1

c)

d)

4

7 = 7

− 2

4

1 3

=

1 3 −1 2 = 3 2

18


Exercícios Propostos:

1. Calcule:

a)

b)

 1 −   5

( −3)

2

2 × ( −5)

×2

( −2)

c)

d)

( −1)

30

2

2

−1

× ( −6)

×3

1 :  3

3

3

2

 1  −3 3 2  +   :5 ×2  10    

1   5

−5

2

1 : 5 ×   10  2 −1 −3 2   1 3 1         ×   ×     3   2   2   2

2

1 6 ( −1) + 5 ×   ×   3 5 9 2 3 −3  3  (2 ) : 2 ×  2  : 37 11

e)

19

3

2


2

2. Transforme em radicais: 1

a)

3

2

1 −2 5

b)

( )

c)

 3   5

d)

 1   6     3  

5

2 2

5 3

3

            1

2

e)

4

2

5

20


21

−3

f)

 14  4   

g)

 − 23   5    7    

5


Capítulo 2

POLINÓMIOS

22


Polinómios: Operações com polinómios. Zeros de um polinómio. Casos notáveis da multiplicação de binómios. Decomposição de um polinómio em factores. Objectivos: Operar com polinómios simples; Decompor um binómio ou trinómio em factores; Determinar o quociente e o resto da divisão de um polinómio por outro pelo algoritmo da divisão inteira de polinómios; Usar a regra de Ruffini e reconhecer a validade da regra; Decompor um polinómio em factores, encontrando por tentativas uma raiz e depois usar a regra de Ruffini; Determinar os zeros de um polinómio.

Pré-requisitos: Operações com monómios e polinómios.

23


2. Polinómios Comecemos por analisar um exemplo da vida real onde existem, sem darmos por isso, expressões com polinómios. O Miguel depositou no banco Y, 10 contos. A taxa anual de juro praticada é x. Observando

a

figura

10(1 + x ) representam

conclui-se

que

as

expressões

o dinheiro que terá o Miguel

3

10(1 + x )

2

e

ao fim de 2 e 3 anos

respectivamente.

10 10(1 + x ) 10(1 + x ) 10(1 + x ) 2

Miguel

3

anos 0

1

2

3

A expressão 10(1 + x ) pode ser escrita de outra forma: 3

10(1 + x ) = 10(1 + x ) (1 + x ) 3

2

( ) = 10(1 + 2 x + x + x + 2 x = 10(x + 3x + 3x + 1) = 10 1 + 2 x + x 2 (1 + x ) 2

3

2

+ x3

)

2

= 10 x 3 + 30 x 2 + 30 x + 10 As expressões 10(1 + x ) e 10 x 3 + 30 x 2 + 30 x + 10 são equivalentes e ambas são 3

polinómios, mas a segunda está escrita sob a forma de polinómio reduzido e ordenado. Chama-se polinómio na variável x a a toda a expressão do tipo:

a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an em que n ∈ ℵ0 e a0 , a1 ,..., an −1 , an ∈ ℜ

24


No polinómio: a0 x n + a1x n −1 + ... + an −1 x + an , a0 x n , a1 x n −1,..., an −1 x, an → são os termos a0 , a1,..., an −1, an → são os coeficientes an → termo independen te Nota: Designação de polinómios “especiais”

Números de termos

Designação do polinómio

Um termo. Exemplo: −

Monómio

x 4

Dois termos. Exemplo: 3x +

Binómio

1 4

Três termos. Exemplo: 2 x 2 + 3x + 1

Trinómio

Reduzir um polinómio é escrevê-lo de forma a que não apareçam monómios

semelhantes. Exemplo: 3x +

3 x + 1 → polinómio não reduzido . 2

Resolução: Os termos 3x e

3 x são semelhantes uma vez que têm a mesma 2

parte literal. Adicionando-os obtemos: 9 x + 1 → polinómio reduzido 2

Ordenar um polinómio é escrevê-lo segundo as potências crescentes ou

decrescentes de x . 25


Depois de reduzido e ordenado o polinómio, é fácil de identificar o seu grau e verificar se é ou não um polinómio completo. Exemplo: O polinómio 5x 4 + 3x 2 + 2 x + 1 tem grau 4 e é incompleto porque

tem nulo o coeficiente do termo em x 3 . Exemplo: O polinómio 3x 2 + x + 2 tem grau 2 e é completo. Exemplo: O polinómio 0 x 2 + 0 x + 0 tem os coeficientes todos nulos, é um

polinómio nulo e tem grau indeterminado. 2.1 Operações com polinómios

Qualquer polinómio fica determinado pelos seus coeficientes, ou seja se A(x) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an e B(x) = b0 x m + b1 x m −1 + ... + bm −1 x + bm são polinómios de grau n e m, respectivamente, então tem-se A = B se e só se n = m e a0 = b0 e a1 = b1 e... e an = bm .

2.1.1 Adição

Para adicionar dois polinómios aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes

Exemplo:

(4x

2

) (

)

+ 3x + 1 + 2 x 2 + 1 =

= 4 x 2 + 3x + 1 + 2 x 2 + 1 = = 6 x 2 + 3x + 2 Ou, usando o algoritmo da adição:

4 x 2 + 3x + 1 +

26

2x 2 + 0x + 1 6x 2 + 3x + 2


2.1.2 Subtracção

Para obter a diferença de dois polinómios aplica-se a seguinte propriedade dos números reais: Para subtrair dois números adiciona-se, ao aditivo, o simétrico do subtractivo.

Exemplo: 2 − 3 = 2 + (− 3 )

a − b = a + (−b )

(

) ( ) + 3x + 1) + (− 2 x − 1)

Exemplo: 4 x 2 + 3x + 1 − 2 x 2 + 1 =

(

= 4x 2

2

= 2 x 2 + 3x 2.1.3 Multiplicação

Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.

(

) (

)

Exemplo: 4x 2 + 3x + 1 × 2 x 2 + 1 =

= 8 x 4 + 4x 2 + 6x 3 + 3x + 2 x 2 + 1 = = 8 x 4 + 6x 3 + 6 x 2 + 3x + 1 Exercícios Resolvidos: 1. Considere os polinómios A, B e C definidos por

A(x) = x3 + x2 + 3, B(x) = x2 + 2x + 1 e C(x) = 2x + 4. Calcule os coeficientes e o grau do polinómio A - BC. Resolução:

A(x) - B(x)C(x) = (x3 + x2 + 3) - (x2 + 2x + 1) (2x + 4) 27


= x3 + x2 + 3 - (x2 + 2x + 1) 2x - (x2 + 2x + 1) 4 = x3 + x2 + 3 - (2x3 + 4x2 + 2x) - (4x2 + 8x + 4) = x3 + x2 + 3 - 2x3 - 4x2 - 2x - 4x2 - 8x - 4 = (x3 - 2x3) + (x2 - 4x2 - 4x2) + (-2x - 8x) + (- 4 + 3) = -x3 - 7x2 - 10x - 1, logo os coeficientes do polinómio A - BC são a0 = -1, a1 = -10, a2 = -7 e a3 = -1, e o seu grau é 3. 2. Calcule os coeficientes do único polinómio A de grau 2 que verifica

A(-1) = 2 e A(0) = 5 e A(1) = 3. Resolução: Se a0, a1 e a2 são os coeficintes de A, temos

A(x) = a2x2 + a1x + a0, para qualquer x ∈ ℜ . e portanto: A(-1) = a2 (-1)2 + a1 (-1) + a0 = a2 - a1 + a0; A(0) = a202 + a10 + a0 = a0; A(1) = a212 + a11 + a0 = a2 + a1 + a0. Vemos assim que o polinómio A verifica A(-1) = 2 e A(0) = 5 e A(1) = 3 se e só se a2 - a1 + a0 = 2 e a0 = 5 e a2 + a1 + a0 = 3, ou ainda a2 - a1 = -3 e a0 = 5 e a2 + a1 = -2.

28


Logo os coeficientes de A são a0 = 5, a1 = 1/2 e a2 = -5/2. 2.1.4 Divisão Inteira de Polinómios

No conjunto dos números naturais, ℵ , efectuar a divisão inteira de um número D (dividendo) por um número d (divisor) é encontrar um número natural q (quociente) e um natural r (resto), tais que:

D = d × q + r , com r < d Se o resto é zero , então D = d × q

Recorde que para quaisquer polinómios A(x ) e B (x ) existem polinómios únicos Q(x ) e R (x ) que verificam simultaneamente: 1. A(x ) = B (x ).Q(x ) + R (x )

2. R (x ) é o polinómio nulo, ou grau R (x ) < grau B (x ) . Os polinómios Q(x ) e R (x ) chamam-se respectivamente quociente e resto da divisão inteira de A(x ) por B (x ) . Se R (x ) é o polinómio nulo temos A(x ) = B (x ).Q (x ) , e dizemos neste caso que A(x ) é divisível por B (x ) .

Exercícios Resolvidos: 1. Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de

A(x) = 4x3 + 8x2 + 1 por B(x) = 2x2 + 3x - 1. Resolução: Recorde que o algoritmo da divisão inteira de polinómios

permite calcular o quociente e o resto da divisão inteira de dois quaisquer polinómios. Neste caso obtemos:

29


e portanto Q(x) = 2x + 1 e R(x) = 2 - x. Descrição do algoritmo da divisão: a) Começa por se escrever, ordenadamente, o dividendo e o divisor segundo as potências decrescentes de x, escrevendo também os termos nulos do dividendo. b) Dividem-se os termos de maior grau do dividendo e do divisor. Exemplo: 4 x 3 : 2 x 2 = 2 x c) Multiplica-se o divisor pelo termo de maior grau do quociente, escreve-se o simétrico desse produto e adiciona-se ao dividendo, obtendo assim o resto parcial. Neste caso o resto parcial será, 2x 2 + 2x + 1. d) Divide-se o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau do divisor. Exemplo: 2 x 2 : 2 x 2 = 1 . O resultado é o segundo termo do quociente. Repete-se em seguida todo o processo. 2. Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de

A(x) = x3 + 6x2 + 7x - 1 por B(x) = x + 3. Resolução: Implementando o algoritmo da divisão obtemos:

30


logo Q(x) = x2 + 3x - 2 e R(x) = 5. Alternativamente poderíamos utilizar a regra Ruffini. Recorde que este algoritmo permite determinar o quociente e o resto da divisão de A(x) por B(x) quando (e só quando) B(x) = x - a. Neste caso teríamos

1 -3

6

7

-1

-1

-3

x

1

3

1

6

7

-3

-9

1

3

-2

1

6

7

-1

-3

-9

6

-3

x

-3

x

1

3

-2

5

e portanto Q(x) = x2 + 3x - 2 e R(x) = 5. 2.2 Raízes (ou Zeros) de um Polinómio

Dado um polinómio A( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an

diz-se que um número α ∈ ℜ é uma raiz real de A(x ) se .

A(α ) = a0α n + a1α n −1 + ... + an −1α + an = 0

As raízes reais de um polinómio A(x ) são portanto as soluções reais da equação polinomial

31


.

a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an = 0

Note que se A(x ) é um polinómio e α é um número real, então o resto da divisão inteira de A(x ) por x - α é A( α ). Isto significa que existe um polinómio Q (x ) tal que

A(x ) = Q(x )(x − α ) + A(α )

(1)

e portanto

α é raiz de A(x ) ⇔ A(x ) é divisível x − α .

(2)

Recorde que esta equivalência fundamental desempenha um papel importante no cálculo das raízes reais de um polinómio. Em particular permite demonstrar que qualquer polinómio de grau n não pode ter mais do que n raízes. Exercícios Resolvidos: 1. Considere o polinómio

A(x) = x6 - x5 - 2x4 + x2 - x - 2 e os números -1, 1, -2 e 2. Verifique que dois destes números são raízes de A. Resolução: Temos:

A(-1) = (-1)6 - (-1)5 - 2 (-1)4 + (-1)2 - (-1) - 2 = 0, A(1) = 16 - 15 - 2 (1)4 + 12 - 1 - 2 = - 4, A(-2) = (-2)6 - (-2)5 -2(-2)4 + (-2)2 - (-2) - 2 = 68 A(2) = 26 - 25 - 2 (2)4 + 22 - 2 - 2 = 0. Vemos assim que A(-1) = 0, A(1) 0, A(-2) 0 e A(2) = 0. Logo, dos números -1, 1, -2 e 2, apenas -1 e 2 são raízes de A.

32


2. Considere o polinómio

A(x) = x3 + x2 - 2x -2. Calcule o resto da divisão de A por x − 2 . Verifique que A é divisível por x − 2 .

( )

Resolução: Sabemos por (1) que o polinómio R (x ) = A 2 é o resto da

divisão de A por x − 2 . Assim basta calcular

( ) ( 2) + ( 2) − 2

A 2 =

3

2

2 −2 =

= 23 + 2 2 − 2 2 − 2 = 0 para concluir que R(x) é o polinómio nulo. Isto demonstra que A(x) é divisível por x − 2 3. Calcule as soluções reais da equação

2x2 = 3x + 1. Resolução: A equação

2x2 = 3x + 1 é equivalente a 2x2 - 3x - 1 = 0. Recorde que para resolvermos a equação polinomial ax2 + bx + c = 0, devemos distinguir dois casos: 1º Se a = 0 e b 0 ficamos na presença de uma equação do 1ª grau.

Neste caso a equação tem solução única dada por

α =−

33

c . b


2º Se a 0 ficamos na presença de uma equação do 2º grau. Neste caso

a existência de soluções para esta equação depende do descriminante ∆ = b2 - 4ac.

Se ∆ > 0 a equação tem exactamente duas soluções

o

dadas por

α1 =

−b+ ∆ −b− ∆ e α2 = 2a 2a

Se ∆ = 0 a equação tem solução única dada por

o

α =−

b . 2a Se ∆ < 0 a equação não tem soluções reais.

o

Neste caso temos a = 2, b = -3 e c = -1 e portanto ∆ = (-3)2 - 4 (2) (-1) = 17 > 0,

logo a equação tem duas soluções irracionais dadas por

α1 =

3 + 17 3 − 17 e α2 = . 4 4

4. Calcule as raízes do polinómio

(

)(

A( x ) = x 2 − 2 x − 3

)

Resolução: Temos

(x

2

)(

)

− 2 x − 3 = 0 ⇔ x2 − 2 = 0 ∨ x − 3 = 0

assim, porque as raízes do polinómio x 2 − 2 são − 2 e única raiz de x − 3 , vemos que as raízes de A(x) são − 2 ,

34


2, e

3é a

2e 3.

5. Sabendo que o número 2 é uma raiz do polinómio

A(x) = x3 - 2x2 - 3x + 6, calcule todas as raízes reais de A. Resolução: Porque 2 é raiz de A sabemos por (2) que existe um

polinómio Q tal que A(x) = Q(x)(x - 2). Note que Q é o quociente da divisão de A(x) por x - 2. Assim, pela regra de Ruffini:

2 x

1

-2 2

1

0

-3 0 -3

6 -6 0

vemos que Q(x) = x2 - 3 e portanto A(x) = (x2 - 3)(x - 2).

Temos então

(

)

A(x ) = 0 ⇔ x 2 − 3 = 0 ∨ x − 2 = 0 , logo as raízes de A(x) são 2, − 3 e 3. 6. Sabendo que uma das raízes do polinómio

A(x) = 2x3 + 14x2 - x - 7 é um número inteiro, calcule as raízes de A.

35


Resolução: Recorde que se o polinómio

A( x ) = an + an −1 x + ... + a0 x n é tal que an ,..., a0 ∈ Z e an ≠ 0 , e α ∈ Z é uma raiz de A(x), então temse an

α

∈Z ,

(3)

ou seja an é divisível por α. Este facto, útil na determinação das raízes inteiras

de

um

polinómio

com

coeficientes

inteiros,

decorre

imediatamente da definição de raiz. Vemos assim por (3) que qualquer raiz inteira α de A(x) = 2x3 + 14x2 - x - 7 terá de verificar −7

α

∈Z .

Isto significa que as possíveis raízes inteiras de A(x) se encontram entre os elementos de {-7, -1, 1, 7}. Assim basta calcular A(-7) = 0, A(-1) = 6, A(1) = 8, A(7) = 1358 para concluir que -7 é a única raiz inteira de A(x). Para calcular as restantes raízes de A(x) podemos recorrer a (2) para factorizar A(x). Dividindo A(x) por x + 7:

36


2 -7 x

2

14

-1

-7

-14

0

7

0

-1

0

vemos que A(x) = (2x2 – 1) (x + 7) e portanto

(

A( x ) = 0 ⇔ 2 x 2 − 1 = 0 ∨ x + 7 = 0

Logo as raízes de A são -7, −

)

2 2 e . 2 2

3. Casos notáveis da multiplicação de binómios

A multiplicação de dois polinómios pode processar-se sempre do mesmo modo. No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência e com variadas aplicações em Matemática e que nos merecem especial atenção: o quadrado do binómio e a diferença de quadrados. Assim chamam-se casos notáveis da multiplicação ao produto de dois binómios iguais (a + b )(a + b ) = (a + b ) ou ao produto de dois binómios conjugados 2

((a + b )(a − b )) . Nota:

Área do quadrado a

A

=a2

Área do rectângulo A

=ab 37


a

b

Entre todos os produtos de polinómios há três casos que têm um interesse particular, não só pela sua aplicação a muitas situações, como pela sua ligação à geometria. 1. O quadrado da soma

Vejamos se (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2

Temos (a + b ) = (a + b )(a + b ) 2

Aplicando a regra geral do produto de polinómios temos:

b2

ab

b

ab

a2

a

a+b

(a + b )2 = a 2 + ab + ab + b 2 (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2

A=A + A +A +A Logo,

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 2. O quadrado da diferença (a-b) a

(a − b )2 = (a − b )(a − b ) = aa - ab - ba - b(- b ) = = a2 − ab − ab + b 2 = = a2 − 2ab + b 2 Logo,

(a − b )2 = a2 − 2ab + b 2

38


2

a-b

ba ab

b

3. Diferença de quadrados a+b

Vejamos se (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2

a-b

Temos

(a + b )(a − b ) = a 2 + ab − ab − b 2

a b

= a2 − b2 Logo,

(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2

4. Decomposição de um polinómio em factores

Decompor um polinómio em factores ou factorizar um polinómio é escrevêlo sob a forma de um produto de factores do menor grau possível.

x 2 − 25 = (x − 5)(x + 5) Polinómio não factorizado

Polinómio factorizado

x 2 + 2 x + 1 = (x + 1)(x + 1) Polinómio não factorizado


(x − 3)2 − 16 = (x − 3 − 4)(x − 3 + 4) (x − 3)2 − 16 = (x − 7)(x + 1) Polinómio não factorizado

39



Existe um teorema que diz o seguinte:

Seja P (x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an um polinómio de grau n, com n raízes x1, x 2 ,..., xn , então P (x ) pode ser decomposto em factores do seguinte modo: P (x ) = a0 (x − x1 )(x − x 2 )...(x − x n )

Se, por exemplo, x1 = x 2 , diz-se que a raíz x1 é dupla. RELEMBRE: Fórmula Resolvente

Um polinómio pode ter raiz dupla, tripla, etc. Exemplos: Decompor em factores

1. Calcule-se as raízes dos trinómios. 2

a) 2 x − 7 x + 3 Resolução:

2x 2 − 7 x + 3 = 0 7 ± 49 − 24 4 7±5 x= 4 1 x = 3∨ x = 2 x=

Raízes: 3 e

1 2

1  Então, 2 x 2 − 7 x + 3 = 2(x − 3) x −  2 

b) 2 x 2 − 12 x + 18

40


ax 2 + bx + c = 0 x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

Resolução:

2 x 2 − 12 x + 18 = 0 dividindo tudo por 2 x 2 − 6x + 9 = 0

(x − 3)2 = 0 x = 3 (raíz dupla ) Raízes: 3 (raíz dupla) Então, 2 x 2 − 12 x + 18 = 2(x − 3)(x − 3) c)

x 2 − 4x + 5

Resolução: x 2 − 4 x + 5 = 0

x = 2± 4−5 Equação impossível Raízes: não tem Então, x 2 − 4 x + 5 não se pode decompor de modo que os factores tenham grau inferior ao polinómio dado. No conjunto dos números reais um polinomio de grau n tem no máximo n raízes reais.

41


Exercícios Propostos 1. Indica o coeficiente e a parte literal de cada um dos seguintes monómios: 1.1 5xy 2 1.2 − xy 2 z 1.3

4 b 5

2. Reduzindo os termos semelhantes, simplifica cada uma das expressões seguintes: 2.1 a + b + 3a − 3b + 7a 2.2 x + 3x 2 −

x 2 + 7x 2 + x 2 3

1 mn 2.3 mn + m + 3n − 7m + 2n − 2 3

2.4

1 2 1 8 7 z + yz + z − yz − z 2 3 4 3 5

1 1 2 2.5 2u 2v − u 2 − u 2v + 3u + u 2 2 4 5

3. Depois de reduzir e ordenar o polinómio:

3x 2 + x 3 1 + x +3 0,1 2 Indique o grau, os termos nulos e o termo independente. 4. Dados os polinómios

R = x 3 − 3x 2 + 3

4.1

S=

1 2 x − 2x + 1 2

R + S +T

4.2 R − S − T 4.3 − R + S − T 42


T = x2 − x +

3 2

4.4 − R − S − T 5.Efectua e simplifica

(

5.1 3 4 − 5x 2

) (

5.2 x (3 − 2 x ) − 3 − x 2 − 8x + 2

)

5.3 a 2 b(2 − 3a ) − 4a(ab + b − 1) 1 5.4 3mn 2 (m − n ) + m 2 n − m 2 + 1 2

(

)

6. Apresenta sob a forma de polinómio reduzido 6.1 (a + 3)(b + 4) 6.2 (a − 3)(a − 4) 6.3 (a + 6)(3a + 8) 6.4 (2 − x )(3 + 5x )

(

6.5 (a − 2) 2a 2 − 3b + 4

(

)

)(

6.6 2 + 3m 2 − n 2m − 5n 2 + mn

)

6.7 (x − 3) + 3 2

6.8 (y + 2 ) − 3 2

 x 2 2x 1   2x 2 1  6.9  + −  −  −  3 5 4 3 4   

[

(

)]

6.10 − 2 x 2 − − 5x − 6 + 2 x − 3x 2 + x − 2 7. Qual o polinómio que se deve subtrair 7 x 3 − x − 3 , para se obter 2 − x 2 − 3x ?

43


8. Calcule aplicando a fórmula do quadrado do binómio 8.1 (2 x − 3)

2

8.2

(x + 7 )2

1  8.3  y +  2 

2

8.4 (4a − 3b )

2

8.5 (− x − 1)

2

8.6

(x + 1)2

9. Calcule, aplicando a diferença de quadrados 9.1 (x + 5)(x − 5) 9.2 (2 x − 1)(2 x + 1) 9.3 (1 − x )(1 + x )  1  1  9.4 1 − x 1 + x   2  2 

10. Completa 10.1 (x + ....) = .... + .... + 25 2

10.2 (y − ....) = .... − .... + 1 2

10.3 (z + ....) = .... + 8z + .... 2

10.4 (n + ....)(n − ....) = .... − 49 10.5 (.... + 4 ) = 9 x 2 + .... + .... 2

44


11. Usando o algoritmo da divisão, calcule o quociente e o resto da divisão de: 11.1 4 x 2 − 3x + 1 : x + 1; 11.2

1 2 x − 3x 3 + 2 x : 3x − 2; 2

11.3 4 x 3 − 3x 2 + 13x + x 5 : x 2 − 2 x + 3 12. Usando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão:

( ) 12.2 (x + 3x + 5x + 1) : (x − 2) 12.3 (4 x −3x + 1) : (x + 1) 12.1 x 2 + 3x + 1 : (x − 3) 3

2

2

1  12.4  x 2 − 3x 3 + 2 x  : (3x − 2 ) 2 

12.5

x3 + x2 + x +1 x +1

12.6

x5 +1 x+3

12.7

3x 3 + 5 x 2 + x − 5 3x − 1

13. Calcule o valor numérico do polinómio A(x ) = x 3 − 7 x 2 + x + 5 para: 14.1 x = 0 14.2 x = 1 14.3 x = −1 14. Averigue quais dos seguintes números: − 1; 3; − 2 e 5 são raízes do polinómio x 3 − 7 x 2 + 7 x + 15 . 15. Determine a e b de modo que o polinómio x 4 − ax 3 + bx 2 + 3x + 1 seja divisível por

45

(x − 1)(x + 1) .


16 . Determine as raízes de cada um dos seguintes polinómios e decomponhaos em factores: 16.1 2 x 2 − x − 1 16.2 5 x 2 + 19 x + 5 16.3 2 x 3 − 8 x 16.4 x 3 −

1 2 9 x − 9x + 2 2

17. Averigue a multiplicidade da raíz −2 em cada um dos seguintes polinómios e, em seguida, decomponha-o em factores: 17.1 x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4 17.2 x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4

Soluções: 1.1 coeficient e : 5 parte literal : xy

1.2 coeficient e : -1 2

2 parte literal : xy z

1.3 coeficient e :

4 5

parte literal : b

2mn 13 13 1 2 7 2 2 7 2.1) 11a - 2b; 2.2) 10x + x;2.3 ) + 5n − m; 2.4) − z − 2 yz; 2.5) − u + u v + 3u 6 3 2 20 10 4

3 ) 10x

3

+ 30 x

2

+

x 2

+ 3; 4.1) x

3

−

3 2 11 1 9 11 3 9 2 3 5 2 3 3 2 x − 3x + ; 4.2) x − x + 3 x + ; 4.3) − x + x − x − ; 4.4) − x + x + 3 x − 2 2 2 2 2 2 2 2

1 4 1 2 2 2 2 3 2 2 3 1 2 5.1) 12 − 5 x ; 5.2) x + 27 x − 6; 5.3) − 2a b − 3a b − 4ab + 4a; 5.4) 3m n − 3mn + m n − m + m 2 2 2

2 2 2 6.1) ab + 4a + 3b + 12; 6.2) a − 7a − 12; 6.3) 3a + 26a + 48; 6.4) - 5x + 7 x + 6; 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6.5) 2a − 4a − 3ab + 4a + 6 b − 8; 6.6) 4m - 10n + 6m − 15 m n + 3 m n + 5 n − mn ; x 2 2x 2 2 2 6.7) x − 6 x + 12; 6.8) y + 4 y + 1; 6.9) ; 6.10) - 5x + 8 x + 4 + 3 5

46


1 2 2 2 2 2 2 2 8.1) 4 x - 12x + 9; 8.2)x + 14x + 49 ; 8.3) y + y + ; 8.4) 16a - 24ab + 9b ; 8.5) x + 2x + 1; 8.6)x + 2 x + 1 4 1 2 1 2 2 2 2 2 1 9.1) x - 25 ; 9.2) 4x - 1; 9.3)1 - x ; 9.4) 1 - x ;11.1)Q (x ) = 4 x-7 R(x) = 8; 11.2)Q (x ) = − x − x + R(x) = ; 4 2 3 3 3 2 11.3)Q (x ) = x + 2 x + 5 x + 1 R(x) = −3;

2 12.1)Q (x ) = (x + 6 ) R(x) = 19; 12.2)Q (x ) = x + 5 x + 15 R(x) = 31; 12.3)Q (x ) = 4 x − 7 R(x) = 8; 12.4)Q (x ) = −3 x −

3 2 x + 1 R(x) = ; 1 2 3

2 4 3 2 12.5)Q (x ) = x + 1 R(x) = 0; 12.6)Q (x ) = x − 3 x + 9 x − 27 x + 71 R(x) = −212; 2 12.7)Q (x ) = 3 x + 6 x + 3 R(x) = −4; 13.1)A (0 ) = 5; 13.2)A (1) = 0; 13.3)A (- 1) = −4; 14) As raízes são 3 e 5 ; 15) a = 3 b = -2; 16.1)Raíze s : -

1 - 19 + 261 - 19 − 261 e 1;16.2)Raí zes : e ; 16.3)Raíze s : - 2,0 e 2; 2 10 10

16.4); 17.1)Multi plicidade 2; 17.2)Multi plicidade 2;

47


Capítulo 3

Equações e Inequações do 1º e 2º Grau

48


Equações Equações do 1º grau o Equações com denominadores o Equações literais

Equações de grau superior ao 1º o Operações com polinómios (adição algébrica, multiplicação) o Lei do anulamento do produto, disjunção de condições e reunião

de conjuntos o Casos notáveis da multiplicação de binómios

Objectivos: Interpretar o enunciado de um problema Traduzir um problema por meio de uma equação Procurar soluções de uma equação Escrever o enunciado de um problema que possa ser traduzido por meio

de uma equação dada Resolver equações do 1º grau a uma incógnita Resolver equações literais em ordem a uma das incógnitas Operar com polinómios simples Decompôr um binómio ou trinómio em factores Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações Interpretar e criticar as soluções de uma equação no contexto de um

problema

Pré-requisitos: Resolução de equações do primeiro grau: soluções, equações

equivalentes, redução de termos semelhantes Resolução de problemas

49


3 Equações do 1º grau

Embora todos os dias se resolvam situações que envolvem cálculos mais ou menos simples (contar dinheiro, programar o tempo, etc.), nem sempre a solução é imediata e daí a necessidade de, por vezes, equacionar o problema. Equação Igualdade que contém pelo menos uma letra de valor desconhecido. Incógnita Letra ou letras que aparecem na equação e que representam valores desconhecidos. Resolver uma equação Descobrir o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Esse valor é a raiz ou solução da equação.

Numa equação o sinal membros.

=

separa a equação em duas partes, os

Cada membro é formado por um ou mais termos.

Para verificar se um dado número é ou não raiz ou solução da equação: Substitui-se, na equação, a incógnita pelo número dado; Observa-se a igualdade obtida: Se for verdadeira, esse número é raiz ou solução da equação Se for falsa, esse número não é raiz ou solução da equação Equações equivalentes são as que admitem as mesmas soluções

3.1 Regras usadas na resolução de equações 3.1.1 Regra da adição

Adicionando ou subtraindo o mesmo número aos dois membros da equação, obtemos uma equação equivalente à dada, o que, na prática, se traduz por: Numa equação podemos mudar um termo de um membro para o outro trocando-lhe o sinal.

50


3.1.2 Regra da multiplicação

Numa equação podemos multiplicar ou dividir ambos os membros pelo mesmo valor (diferente de zero), que obtemos uma equação equivalente à inicial.

3.2 Classificação de equações:

Determinadas Possíveis

Indeterminadas

Impossíveis

As equações com mais do que uma variável chamam-se equações literais.

Exemplo: 3x + 2 y = 5

Monómio é uma expressão em que apenas surge a multiplicação a ligar constantes e/ou variáveis.

Exemplo: 5xy

(coeficiente: 5 ; parte literal: xy )

Grau de um monómio é a soma dos expoentes das variáveis.

Exemplo: 2 3 xy z

51

- monómio de grau 6


Os monómios que têm partes literais iguais chamam-se monómios semelhantes

Exemplo:

2 xy

e

1 xy

são monómios semelhantes

2

Grau de um polinómio é o maior dos graus dos seus termos

Exemplo: x

2

3 + 3x + 3x + 1

-polinómio de grau 3

Adição Algébrica

Para adicionar dois polinómios, utilizam-se as propriedades usuais da adição (comutativa, associativa, etc.) e segue-se o processo já estudado para adicionar monómios.

Etapas

Exemplo (3 x

2. Desembaraçar parêntesis

de

3. Pela propriedade comutativa pode-se juntar os monómios, ou termos, semelhantes 4. Adicionam-se os termos semelhantes até obtermos um polinómio reduzido

52


3x 3x

2x

2

2 2

2

− 2 x + 1) − ( x

− 2x + 1 − x −x

2

2

2

+ 7 x − 8)

− 7x + 8

− 2x − 7x + 1 + 8

− 9x + 9

3.3 Equações do 1º grau com denominadores

Etapas

Exemplo 3 x+ 5

3

3   x − x  + 135 = x 8 5 

1. Desembaraçar a equação de parênteses • Usar a propriedade distributiva da multiplicação para eliminar os parêntesis 2. Desembaraçar a equação de denominadores • Multiplicar ambos os membros da equação pelo m.m.c.(5,8,40) = 40

3

3 x+

5

8

(x8)

(x5)

24

9 x−

(x40) (x40)

15 x+

40

x + 135 = x 40

9 x−

40

5400 x+

40

40 =

40

• Suprimir os denominadores 3. Agrupar: • Termos com incógnitas num membro • Termos sem incógnita noutro membro Ao trocar um termo de membro mudar o sinal

24 x + 15 x − 9 x + 5400 = 40 x

4. Reduzir os termos semelhantes

−10 x = −5400

5. Dividir ambos os membros de equação pelo coeficiente de x (regra da multiplicação)

x = 540

53


24 x + 15 x − 9 x − 40 x = −5400

x 40

Verificação:

Substitui-se na equação x por 540:

3 × 540 +

5

3

3   540 − × 540  + 135 = 540 8 5 

3 324 +

× 216 + 135 = 540

8

324 + 81 + 135 = 540

540 = 540

54


Exercícios propostos: 1. Resolva cada uma das seguintes equações: a)

x−2

3 +

4

b) c)

x =3 2

1 x + 2



2

4

2x − 1

 

3 −

1 =

8

2 − 4x −

3

+x

4 x −1 =

5

15

2. Três irmãos decidem comprar um CD para oferecer à mãe no dia do seu aniversário. O irmão mais velho paga metade; o segundo paga a terça parte e o mais novo paga 3 €, que é o que falta. Qual é o preço do CD? 3. Resolva cada uma das equações em ordem à letra indicada entre parêntesis a) 3 a + b = a − 2b

(a)

b) P = 2π r

(r )

(

)

c) 3 x − 2 1 + y = 5 y + 2

( y)

4. Um agricultor dispõe de 200€ para vedar um terreno rectangular. A vedação deve ser feita do seguinte modo: um dos lados com tijolo e rede nos restantes três. Cada metro de rede custa 2€ e cada metro de parede em tijolo fica por 4€. a) Escreva uma equação que y

x

Relacione x e y.

x

b) Resolva a equação obtida,

y

em ordem a y. c) Complete o quadro ao lado.

55


10

20

30

5. Considere as expressões: A( x ) = −

1 2 x + 2x − 5 ; 2

3 1 2 3 B ( x ) = 4 x − 5 x + 1 ; C ( x ) = −2 x + x + 7 x 3

Determine: a) A + B b) A − B + C c) 2 A − (3C − B ) Soluções: 1a )S =

{2}; b )S = − 3 ; c )S = 10 ;2O preço do CD é de 18€;3a )a = − 3 b; b )r 

7

4a )200 = 6 x + 4 y ; b )y = 50 −

 21

=

P 2π

; c )y =

3x − 4 7

3 3 1 2 3 1 2 x; c )y = 35, y = 20, y = 5;5a )4 x − x − 3 x − 4; b ) − 6 x − x + 14 x − 6; 2 2 6

3 2 c )10 x − 2 x − 22 x − 9;

56

2


3.4 Intervalos de números reais

Condição

Recta real

Intervalo

{x∈IR:a< x
] [ ] [ ] ]

[ [ ] ]

a, b

a

b

a

b

a

b

a

b

{ x∈IR:a≤ x
a, b

{x∈IR:a< x≤b}

a, b

{x∈IR:a≤ x≤b}

a, b

{x∈IR:x>a}

[ [

a , +∞

a

b

a

b

{x∈IR:x
−∞ , b

3.4.1 Reunião e intersecção de intervalos de números reais

A reunião do intervalo A com o intervalo B representado por

A∪ B

é constituído

por todos os elementos de ambos os intervalos. Exemplo: A = 0;5

e

B =  −3;3 ,

-3

na recta real temos:

0

A∪ B =

3

5

] ] −3; 5

A intersecção do intervalo A com o intervalo B representado por constituído por todos os elementos comuns aos dois intervalos. Exemplo: A = 0;5

57

e

B =  −3;3 ,

na recta real temos:

Marisa-3Oliveira, Susana Araújo 3 0

5

A∩ B

é

A∩ B =

[ [ 0; 3

3.5 Inequações do 1º grau

Uma inequação é uma expressão onde está presente uma ou mais variáveis e um sinal de desigualdade (>, <, ≤ ou ≥). Exemplo: 2x − 5 ≥ 3 2º membro 1º membro

Solução de uma inequação é o valor ou conjunto de valores que ao serem

concretizados na variável, obtêm uma proposição verdadeira. Exemplo: 2x + 1 ≥3

5 é uma solução da inequação pois substituindo x por 5 temos: 2.(5) + 1 ≥ 3

⇔

10 + 1 ≥ 3

⇔

11 ≥ 3 proposição verdadeira

Este é o processo que utilizamos para verificar se um número é solução de uma inequação. Duas ou mais inequações são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução. 3.5.1 Resolver uma inequação

Significa determinar o seu conjunto solução. Os passos a seguir, na resolução de uma inequação são os seguintes: a) Desembaraçar de parênteses, caso os haja. b) Desembaraçar de denominadores, se existirem. c) Todos os termos com incógnita passam para o 1º membro e os restantes para o 2º membro. d) Isolar a incógnita. 58


e) Apresentar o conjunto-solução.

3.5.2 Princípios de equivalência de inequações

1º Se substituirmos um ou os dois membros de uma inequação por uma expressão equivalente, ainda obtemos uma inequação equivalente à primeira. Exemplo: − ( x + 2) ≤ 2( x − 2) ⇔ − x − 2 ≤ 2 x − 4

2º Se numa inequação mudarmos um termo de um membro para o outro trocando-lhe o sinal, ainda obtemos uma inequação equivalente à primeira. Exemplo: −x − 2 ≤ 2x − 4 ⇔ −x − 2x ≤ 2 − 4

3º Quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma inequação pelo mesmo número positivo, ainda obtemos uma inequação equivalente à primeira. Exemplo: x

x

≥ 2 ⇔ 3. 3

≥ 3.2 ⇔ x ≥ 6 3

4º Quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma inequação pelo mesmo número negativo, teremos de inverter o sentido da desigualdade para obtermos ainda uma inequação equivalente à primeira. Exemplo:

−2 x ≥ 3 ⇔

59

−2 x 3 3 ≤ ⇔ x ≤ − −2 −2 2


3.6 Disjunção e conjunção de inequações

À disjunção (v) de inequações está associada a reunião ( ∪ ) de conjuntos. Exemplo: x + 1 ≥ 2 ∨ x < −3 ⇔ x ≥ 1 ∨ x < −3

-3

0

1

]− ∞;−3[ ∪ [1;+∞[

conjunto-solução da disjunção das duas inequações.

À conjunção ( ∧ ) de inequações está associada a intersecção ( ∩ ) de conjuntos. Exemplo: x −

x ≥ −1 ∧ x − 3 > −3 ⇔ −

2

.( −2) ≤ ( −1).( −2) ∧ x > −3 + 3 ⇔ x ≤ 2 ∧ x > 0 2

0

2

] ] ] [ ] ] −∞ ; 2 ∩ 0, +∞

60

=

0; 2

conjunto-solução da conjunção das duas inequações


Exercícios propostos:

x −1  1. Considere as condições A , B, C e D : A =  x ∈ IR : − 1 ≥ x + 2 2   1 x  B =  x ∈ IR : 3 x + < 5 +  2 2  C = { x ∈ IR : −5 ≤ x < 3}

D = { x ∈ IR : x > 1} Represente sob a forma de intervalo de números reais: a) O conjunto A b) O conjunto B c) O conjunto C d) O conjunto D e)

C ∪ D

f)

A∪ B

g)

A∩ B

h)

( A∪B ) ∩ 2;+∞ 

i)

C ∩ D

j)

( C ∪D ) ∩ 2;+∞ 

2. Considere a inequação

2( x + 1)

3( x − 2) +1 ≤ 2−

3

a) Verifique se

3

5

é solução da inequação.

2

b) Qual é o conjunto-solução da inequação? c) Que conjunto solução se irá obter se fizer a conjunção dessa inequação com a inequação

2x − 1 4

61


x − 2 + 2 >1− 2

?

3. Resolva cada uma das seguintes condições apresentando, sempre que possível, o resultado sob a forma de intervalo de números reais.

a)

( x − 2)

2

+ 1 > ( x − 1)

2

1 − 2

b)

x ( x − 1)

x ( x + 2) −

≤

2

c)

1

x − 2

d)

3

≤ x −1∧

x −1 3

3

x

2 −1

6

−1≤ 1

{

x − 1 > 2x − 1

2 x + 1 < 3x − 1

e)

x −5

3 − x >

2

x −1 4

1 x +

f)

2

0 ≤

≤ 5

3

4. Considere que

f ( x ) = −2

 x − 1 + 1    3 

a) Resolva as equações: a1

f ( x) = 0

b1

f ( x) = 1

b) Resolva a inequação

f ( x ) ≥ −5

c) Quais os dois maiores números inteiros que verificam a condição f ( x ) ≥ −5 ?

d) Determine os valores de x para os quais

5. Considere a inequação

x −1

é positiva.

x + 3 +

2

f ( x ) não

< x +1 5

a) Verifique, sem resolver a inequação, que 2 pertence ao conjuntosolução, justificando a sua resposta. b) Qual o menor número pertencente a dada? 62


Z

−

que satisfaz a inequação

c) Resolva a conjunção da inequação dada com a seguinte: 2( x + 2)

3( x − 1) −

+1≤ 0

3

2

d) Apresente o conjunto-solução da disjunção das duas inequações. 6. Resolva os seguintes problemas: a) A diferença do dobro de um número pela sua terça parte é maior que o quíntuplo da soma desse número com dois i. Traduza para linguagem matemática o enunciado do problema. ii. Determine o maior número inteiro que satisfaz a condição enunciada. b) Determine

o

conjunto

dos

números

inteiros

que

verificam

simultaneamente as condições seguintes: - A diferença entre cada um deles é quatro e negativa. - A soma de quádruplo de cada um deles com dois não é negativa. c) A família da Sofia foi de férias no Verão passado à ilha de São Miguel, nos Açores, e aí decidiram alugar um carro para visitar a ilha. Tiveram a possibilidade de escolha a agência de aluguer de automóveis “Popó” e a “Calhambeque”. A primeira praticava o preço de 9 euros fixo mais 15 cêntimos ao km e a segunda 14 euros fixo mais 12 cêntimos ao km. O pai da Sofia optou pela agência “Calhambeque”, tendo percorrido 850 km. Terá sido a escolha mais económica? Justifica a tua resposta.

63


Soluções: 9 9   1a )A = ]− ∞;−7]; b )B =  − ∞; ; c )A ∪ B = B =  − ∞; ; d )A ∩ B = A = ]− ∞;−7]; e)( A ∪ B ) ∩ [2 : +∞[ = B ∩ [2 : +∞[ = ∅ 5 5   3 23  9 4   1 23   6   2a) não é solução da inequação ; b )x ∈  − ∞; ; c )x ∈  ; ;3a)C.S =  − ∞; ; b)C.S =  ;+∞ ; c )C.S =  − ∞; ; 2 19  4 3   4 19   7   6 2    1 29  5  d )C.S =  ;10 ; e)C.S =  − ∞;− ; f )C.S =  − ; ;4a1 )C.S =  ; a2 )C.S = {1}; b )C.S = ]− ∞;10]; c )9 e 10; 5 3    2 2 2  5   23  d )C.S =  ;+∞ ;5a )2 é solução da inequação; b ) − 2; c )C.S =  ;+∞ ; d )]− 3;+∞[; 2  5  x 6a1 )2x − > 5(x + 2); a2 ) − 4; b ){0,1,2,3}; c ) sim a escolha foi acertada em termos económicos. 3

64


3.7 Equações do 2º grau Objectivos: Traduzir o enunciado de um problema da linguagem corrente para

a linguagem matemática. Decompor um binómio ou trinómio em factores, com vista à

resolução de equações Resolver equações do 2º grau, procurando utilizar o processo

mais adequado a cada situação ( lei do anulamento do produto, fórmula resolvente, noção de raiz quadrada). Interpretar e analisar as soluções ou a impossibilidade de uma

equação no contexto de um problema. Discutir, apresentando argumentos, o processo usado na

resolução de um problema.

65


Equações do 2º grau

Toda a equação que seja equivalente a uma equação do tipo que a, b e c são números reais e

a ≠ 0,

ax

2

x

2

x

c – termo independente 3.7.1 Classificação das equações do 2º grau

As equações do 2º grau podem classificar-se em: Completas quando

b ≠ 0

Incompletas quando

e

c ≠ 0

b = 0

2

ax

c = 0 b = 0

e

c = 0

+c = 0

2

+ bx = 0

ax 2

ax

= 0

Factorização de um polinómio

Factorizar é transformar num produto uma adição algébrica. Colocação em evidência do factor comum x é o factor comum

ax + bx = x ( a + b ) adição

produto

66


em

em que a,

dizemos que a equação está escrita na forma

a ≠ 0

b – coeficiente do termo em

+ bx + c = 0

+ bx + c = 0 ,

canónica.

a – coeficiente do termo

2

é uma equação do 2º grau.

Quando uma equação do 2º grau está escrita na forma b e c são números reais e

ax

Exemplos: 2 3x

+ 2 x = x (3 x + 2)

( 2 x + 3)( x + 3) − ( 2 x + 3) = ( 2 x + 3)( x + 3 − 1) = ( 2 x + 3)( x + 2)

Lei do anulamento do produto

O produto de dois ou mais factores é zero quando pelo menos um deles é zero. a×b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

Exemplos:

a) (2 x + 3)( x + 2) = 0 ⇔ 2 x + 3 = 0 ∨ x + 2 = 0 b) a(a − 3) = 0 ⇔ a = 0 ∨ a − 3 = 0 3.7.2 Resolução de equações do tipo ax 2 + b = 0, a ≠ 0

 se  b  2 2 ax = b ⇔ x = se a   se 

b < 0 a equação é impossível a b b > 0 a equação tem duas raízes distintas x = ± a a b = 0 a equação tem uma única solução x = 0 a

Exemplos:

2 x2 − 5 = 0 ⇔ 2 x 2 = 5 ⇔ x2 =

a)

b)

67

5 5 ⇔x=± 2 2

 5 5  C.S . = − ;   2 2 

2 x 2 + 5 = 0 ⇔ 2 x 2 = −5 equação impossível C.S . = {

}


`

2 x2 = 0 ⇔ x2 =

c)

0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0 2

C.S . = {0}

3.7.3 Resolução de equações do tipo ax 2 + bx = 0, a ≠ 0

ax 2 + bx = 0 ⇔ x( ax + b) = 0 ⇔ x = 0 ∨ ax + b = 0 ⇔ x = 0∨ x = −

b a

 b C.S . = 0; −  a 

Exemplo: 2 x 2 − 4 x = 0 ⇔ x(2 x − 4) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 2x − 4 = 0 4 ⇔ x = 0∨ x = = 2 2 C.S . = {0; 2}

3.7.3 Equações do 2º grau completas ax 2 + bx + c = 0

1º Caso - Se for possível transformar o 1º membro no quadrado de um binómio

( cx + d )

2

= 0 ⇔ cx + d = 0

d c  d C.S . = −   c ⇔ x=−

Exemplo: x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 = 0 ⇔ x−2 = 0 ⇔ x = 2 C.S . = {2}

O primeiro membro de uma equação do 2º grau completa escrita na forma canónica nem sempre é o desenvolvimento do quadrado de um binómio.

68


2º Caso – Usando a fórmula resolvente Fórmula resolvente das equações do 2º grau:

x=

−b ± b 2 − 4ac 2a

Onde a, b e c são os coeficientes dos termos da equação, com a ≠ 0

Exemplo:

x 2 + 3x − 70 = 0 ⇔ −3 ± 32 − 4 × 1× (−70) 2 ×1 −3 ± 9 + 280 ⇔x= 2 −3 ± 289 ⇔x= 2 −3 ± 17 ⇔x= 2 14 20 ⇔x= ∨x=− ⇔ x = 7 ∨ x = −10 2 2 C.S . = {−10;7} ⇔x=

69


Exercícios Propostos: 1.

Resolva as seguintes equações, através do método que considere mais

adequado:

a)

x2 = −4( x + 2) 2

b) ( x + 4 )2 = 25 c) ( x + 3)2 = 7 d) x 2 + 18 x − 19 = 0 e) x 2 − 10 x + 22 = 0 f)

x 2 + 3 x − 70 = 0

g) x 2 = 5 ( − x + 1) 2.

Um terreno rectangular tem 666 m 2 . Calcule as dimensões do terreno

sabendo que o comprimento excede em 19 m a largura. A = 666 m 2

x - 19

x

3.

O triplo da idade do Ricardo é igual ao quadrado da sua metade. Qual é

a idade do Ricardo?

Soluções:

70

{

}

1a )C.S = {− 4}; b )C.S = {− 9,1}; c )C.S = − 3 − 7 ;−3 + 7 ; 2 )compriment o = 37, l arg ura = 18;3 )12


3.8 Inequações do 2º grau

3.8.1 Gráfico da função de segundo grau

O gráfico da função definida de IR em IR por f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) é uma curva chamada parábola, que terá concavidade voltada para cima se a > 0 ou para baixo se a < 0. O gráfico de qualquer função f(x) corta o eixo Ox nos seus zeros (ou raízes). No caso da parábola, isso ocorre dependendo do valor do discriminante ∆ . Se ∆ > 0, a parábola intersecta o eixo Ox em dois pontos (a função tem

•

duas raízes distintas). Se ∆ = 0, a parábola intersecta o eixo Ox num único ponto (a função

•

tem uma raiz dupla). Se ∆ < 0, a parábola não intersecta o eixo Ox (a função não tem raízes

•

reais). A parábola possui um eixo de simetria que passa pelo vértice V. O vértice V pode ser um ponto de máximo (a < 0) ou um ponto de mínimo (a > 0) da função. O vértice da parábola é dado por V  − , −  .  2a 4a  b

∆

Para resolvermos uma inequação do 2º grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequações são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < . Exemplo: x 2 − 3x + 2 > 0 x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2

71


Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço do gráfico e ver quais os valores de x para os quais isso ocorre.

Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2 C.S. = {x ∈ IR: x<1 ou x>2} = ]−∞;1[ ∪ ]2; +∞[ Exemplo: −8 < x 2 − 2 x − 8 < 0

1º Passo) Separar as inequações, obedecendo o intervalo dado. Temos: I)

x 2 − 2 x − 8 > −8

II)

x2 − 2x + 1 < 0

e

2º Passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas pela separação x 2 − 2 x + 1 < 0 . I) x 2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 II) x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 (raíz dupla)

72


3º Passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.

I) x < 0 ∨ x > 2 II) x ≠ 1 4º Passo) Calcular a solução S, que é dada pela intersecção dos intervalos de S1 e S2.

Observação: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.

0 1 2

C.S . = ]−∞; 0[ ∪ ]2; +∞[

3.8.2 Inequação produto e inequação quociente

São as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 0. f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente. Exemplo:

a)

(x

2

− 9 x − 10 )( x 2 − 4 x + 4 ) ≤ 0

1º Passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente

73


x 2 − 9 x − 10 = 0

(I)

x2 − 4x + 4 = 0

(II)

2º Passo) Determinar as raízes das funções (I)

x1 = −1; x2 = 10

(II)

x1 = x2 = 2

3º Passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.

I) x < −1 ∨ x > 10

II) x ≠ 2

4º passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da função de origem, isto é: > intervalo positivo e bolinha fechada > intervalo positivo e bolinha aberta < intervalo negativo e bolinha fechada < intervalo negativo e bolinha aberta

Observação1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem

em: f(x) positivo e g(x) positivo o h(x) = f(x). g(x) será +, assim temos: + e + = +;+e-=-;-e+=-;-e-=+

74


Observação2: Na inequação quociente nos zeros do denominador aparece

S.S o que irá influenciar o C.S.; Nos zeros do denominador que aparecem no

C.S. o intervalo será sempre aberto. x

-∞

-1

2

10

+∞

x 2 − 9 x − 10

+

0

-

-

-

0

+

x2 − 4x + 4

+

+

+

0

+

+

+

Produto

+

0

-

0

-

0

+

Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em x < −1 e x > 10 . Logo:

75

C.S . = ]−∞; −1[ ∪ ]10, +∞[


Exercícios Propostos 1.

Complete com >,< ou = a)

b)

c)

d)

e)

f)

2. Determine ,em IR, o conjunto solução das condições: a)

(x

b)

x2 + 1 ≤0 x 2 − 3x

2

+ 1)( x 2 − 3x ) ≤ 0

c) ( 3 − x ) ( x 2 − 1) > 0 d)

76

3− x >0 x2 − 1


e) 2 ≥

1 x2

f)

x 2 − 8 x + 16 ≤0 2x −1

g)

x2 − 1 > −x x

h)

1 1 ≤ 3x + 1 x

i)

x3 − x ≤0 3x + 1

Soluções: 1. a) a > 0; ∆ > 0 ;b) a > 0; ∆ < 0 ;c) a < 0; ∆ > 0 ;d) a > 0; ∆ = 0 e) a < 0; ∆ = 0 ; f) a < 0; ∆ < 0 2. a) 0,3] ; b) ]0,3[ ; 

 2  2 ; +∞  ;f) ∪ 2   2 

e)  −∞; − 

 1



1



h)  − ;0  ∪  ; +∞  ;  3  2 

77

c) ]−∞; −1[ ∪ ]1;3[ ;d) ]−∞; −1[ ∪ ]1;3[ ;



  1 2   2   −∞; 2  ∪ {4} ;g)  − 2 ; 0  ∪  2 ; +∞        1

e)  −1; −  ∪ [ 0;1] 3 


Capítulo 4

NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA

78


Noções básicas de geometria: Composição e decomposição de figuras geométricas planas. Cálculo de perímetros, de áreas e de volumes Semelhança de triângulos Objectivos: Decompor um polígono em triângulos e quadriláteros; Por composição de figuras, obter uma figura dada; Resolver problemas, relacionando entre si propriedades das

figuras geométricas; Resolver problemas, no plano e no espaço, aplicando o Teorema

de Pitágoras; Usar critérios de semelhança de triângulos e as relações entre os

elementos homólogos na justificação de raciocínios; Relacionar os perímetros e as áreas em triângulos semelhantes; Usar a semelhança de triângulos na análise de figuras;

79


Determinar áreas e volumes de sólidos e de objectos da vida real.

Pré-requisitos: Semelhança de figuras (ampliação e redução de figuras,

polígonos semelhantes); Áreas e volumes de sólidos.

4. Noções Básicas de Geometria

O estudo da Geometria contribui para uma maior compreensão do mundo que nos rodeia e que é essencialmente geométrico. Historicamente falando, a Geometria é uma técnica inventada pelos Babilónios e pelos Egípcios transformada numa ciência pelos Gregos. 4.1 Decomposição de figuras e áreas Decompondo e compondo um figura geométrica

Analise o que se passa em cada conjunto de figuras.

D e co m p o n d o

Compondo C o m p o n d o

80


e

Para calcularmos a área de um polígono qualquer podemos decompô-lo em triângulos e quadriláteros . 4.1.1 Unidades de área : 100

: 100

km 2

hm 2

X 100

X

: 100

: 100

m2

dam 2

100

: 100

X 100

dm2 X

100

: 100 cm2

X

100

mm 2 X

100

2 2 Exemplos: 1cm = 100mm

0,1m 2 = 10dm 2

Para passarmos de uma unidade para a unidade imediatamente inferior, multiplica-se por 100

0,001dam 2 = 10dm 2

(dam

2

→ m 2 → dm 2

)

× 100 × 100 Exemplos:

1hm 2 = 0,01km 2

Para passarmos de uma unidade para a unidade imediatamente superior,divide-se por 100

0,1cm 2 = 0,001dm 2 1000mm2 = 0,1dm 2

(dm

2

← cm 2 ← mm 2

)

: 100 : 100 4.1.2 Áreas.

A = L2

Q u a d ra d o lL L

R e c tâ n g u lo

A = c×L

L

c h

81

A =

Marisa Oliveira, Susana Araújo T riâ n g u lo

b×h 2

b

Pa ra le lo g ra m o

h

A = b×h

Exercícios Resolvidos:

A figura mostra a área de um terreno. Determine a sua área.

5 7

5 5 4 6

8

Resolução: As linhas a tracejado foram desenhadas para ajudar a

resolver o problema.

A

2 =25 m

+

+ A = 8 × (6 + 7 )m 2 = 104 m 2

4.2 Teorema de Pitágoras 82


A = 4 × 7m 2 = 28 m 2

=

Atotal = 157m 2

Conta a lenda que Pitágoras, filósofo e matemático grego, ao olhar para o chão verificou que:

A=25

A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo rectângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

A=9

A=16

Desta relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre os lados de um triângulo rectângulo surgiu o Teorema de Pitágoras.

5 3 4

52 = 32 + 42

Teorema de Pitágoras

Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos

Exercícios Resolvidos: 1. Determine o x da figura:

xcm 12cm

5cm

83


Resolução: x 2 = 122 + 52 x 2 = 144 + 25 x 2 = 169 x = 169 x = 13

Logo, x = 13cm

Determinação da altura de um poste.

Resolução: Imaginemos que o poste é um segmento de recta

perpendicular ao plano do chão e que a escada é outro segmento de recta. Aplicamos assim o teorema de pitágoras no espaço. Considerando x a altura do poste, vem: 152 = x 2 + 32 225 = x 2 + 9 225 − 9 = x 2 216 = x 2 x = 216 x = 14,7(1c.d )

Logo, a altura do poste é aproximadamente 14,7 m. 2. Determinação da diagonal de um cubo 84


Resolução: Comecemos por calcular a diagonal de uma das faces. x 2 = 52 + 52 x

x 2 = 25 + 25

5

x 2 = 50

5

x = 50

Desenhemos o triângulo em que a hipotenusa é a diagonal do cubo. d2 = d 5

( 50 ) + 5 2

2

d 2 = 50 + 25 d 2 = 75

50

d = 75

Logo, o comprimento da diagonal é

75 .

3. A figura representa um trapézio rectângulo [ABCD ] em que:

D m c 2 A

C 2,5cm

B

Resolução:

Vamos calcular a área do trapézio. Comecemos por calcular DC . 85


Cálculo de DC 3,52 = 2 2 + DC

Cálculo de AB 2

AB = 2,52 + 3,52

2

2

2

AB = 18,5

DC = 3,52 − 22 2

DC = DC

AB = 18,5

2

DC = 8, 25

Área do trapézio = B + b × h = DC + AB .2 = DC + AB = 8, 25 + 18,5 2

2

4.3 Semelhança de triângulos 4.3.1 Contexto Histórico: Tales de Mileto, matemático e filósofo grego, VI

a.c, certa vez, apresentou-se ao Rei Amasis, do Egipto oferecendo-se para calcular a altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento. Nas proximidades da pirâmide, fincou uma estaca de madeira no solo. Concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da pirâmide fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide

seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base.

O raciocínio de Tales nas pirâmides

estaca

A pirâmide de Quéops, situada a dez milhas a Oeste do Cairo, na planície de Gizé, no Egito, a 39 metros do vale do rio Nilo, foi construída a cerca de 2500 a.C. Considerada uma das sete maravilhas do mundo antigo, ela tem 146 m de altura. Sua base é um quadrado, cujos lados medem cerca de 230m.

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES NA PIRÂMIDE 86


Altura

Altura

da pirâmide

da

(H)

estaca (2 m )

115 m base

250 m sombra

5m sombra

H = 115 + 250 → 5 H = 365 x 2 → 5 H = 730 → H = 730 → H = 146 2 5 5

Altura da Pirâmide : 146 metros

•CONCEITO MATEMÁTICO “Se dois triângulos têm os ângulos respectivamente congruentes, então seus lados são respectivamente proporcionais”

R A

C AB = AC = BC RS RT ST

B e

T ^ ^ C ≡ T

S ^ ^ B ≡ S

^ ^ A ≡ R

Essa propriedade tem inúmeras aplicações práticas: Um topógrafo, para calcular a largura de um rio, sem atravessá-lo, faz uso do teodolito - aparelho para medir ângulos, estabelecendo uma distância de sua posição à margem do rio. Com essas informações, desenha-se um triângulo semelhante às medidas traçadas ao rio.

87


4.3.2 Casos de semelhança de triângulos

Vamos ver os casos de semelhança de triângulos recordando os casos de igualdade de triângulos Existe um grande paralelismo entre os casos de igualdade de triângulos e os casos de semelhança de triângulos.

Casos de igualdade de triângulos

Dois triângulos são iguais se os três lados de um são iguais aos três lados de outro.

Dois triângulos são iguais se tiverem dois lados e o ângulo por eles formado iguais.

LLL

Dois triângulos são iguais se têm um lado igual e os dois ângulos adjacentes a esse lado iguais.

ALA

LAL

Casos de semelhança de Triângulos

Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um são proporcionais aos três lados do outro

Dois triângulos são semelhantes se têm dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual.

Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos iguais.

C′

B′ b′

a′

a′ C′

b′

c′

B′

A′ A′ C

B 88

Marisa Oliveira, Susana Araújo b

a

c

a C

A

b

A

B

Exercícios Resolvidos: 1.

Observe os triângulos. Os números representam as medidas, em centímetros, dos segmentos a que estão associados. I U 3 L

4,5 7,5

5 A

6

R

O 9

1.1 Mostre que os triângulos são semelhantes e indique uma razão de

semelhança que permita construir um a partir do outro. 1.2 Escreva as relações entre os ângulos dos dois triângulos. Resolução: 1.1 Para verificarmos se os triângulos são semelhantes teremos de

ver se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.

6

=

5

=

3

→

Comprimentos dos três lados do triângulo [LUA] por ordem decrescente

6 5 3 = = → Comprimento dos três lados do triângulo [RIO] por ordem 9 7,5 4,5 decrescente Como 89

2 2 2 = = os triângulos [LUA] e [RIO] são semelhantes. 3 3 3


A razão de semelhança é r =

2 . 3

1.2 Em triângulos semelhantes, a lados correspondentes opôem-se

ângulos iguais. Logo, Rˆ = Lˆ,Uˆ = Iˆ e Aˆ = Oˆ .

4.3.2 Relações entre perímetros

e entre áreas de triângulos

semelhantes.

Vamos considerar três triângulos semelhantes. B 5

Q C

A 10

3

y 2 x

R

z

Uma vez que são semelhantes, podemos concluir que:

[XZ ] = 4cm e [QR ] = 6cm E de acordo com o quadro e comparando a 1ª com a 3ª colunas, podemos concluir que:

90

Razão de

Cálculo das

Razão das

semelhança

áreas

áreas

∆[ABC ] ∆[XYZ ]

5 2

25

∆[ABC ] ∆[PQR ]

5 3


4 25 9

25 4

25 9

∆[XYZ ] ∆[PQR ]

2 3

4 9

4 9

A razão das áreas é igual ao quadrado da razão de Ay semelhança = r2 Ax

De modo análogo, A razão dos perímetros é igual à razão de semelhança Py =r Px


Os perímetros de dois triângulos semelhantes são, respectivamente, 16 cm e 48 cm. Calcule a área do segundo triângulo sabendo que a área do primeiro é 20 cm2. Resolução:

Comecemos por determinar a razão de semelhança: r=

P2 48 = =3 P1 16

A razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão semelhança: A2 A = 9; 2 = 9; A2 = 20 × 9 A1 20 Logo, a área do segundo triângulo é 180cm2.

91


de

4.4 Áreas e Volumes 4.4.1 Áreas de figuras planas

Já vimos no item 4.1.2 algumas áreas de figuras planas. Área do Círculo = πr 2

4.4.2 Áreas e Volumes de Sólidos

No cálculo da área dos sólidos temos de distinguir: Área Lateral - Al ; Área da base – Ab

; Área Total - At

Se quisermos calcular a área lateral de uma pirâmide regular, calculamos a área de uma face lateral e multiplicamos pelo número de faces laterais. l × apot 2 4×l A= × apot 2 A = 4×

face lateral

Pb × apot 2 At = Al + Ab Al =

base

No cálculo das áreas e volumes dos sólidos, iremos usar as seguintes fórmulas: Paralelipípedo

At = Al + Ab Al = 2(ac + bc )

c

Ab = ab At = 2Ab + Al

a

V = a ×b×c

b

Cubo

92


a=b=c

At = 6a 2 V = a3

Prisma recto

Pirâmide Regular

Cilindro de Revolução

Al = Pb × h At = 2 Ab + Al V = Ab × h

Pb

Perímetro da base

h

altura

Al = n × Af

n

Pb Al = × apot 2 At = Al + Ab

apot

1 V = Ab × h 3

Al = Pb × h At = 2 Ab + Al V = Ab × h

Cone de Revolução

93


Pb ×g 2 At = Ab + Al 1 V = Ab × h 3 Al =

Af

Número de f aces Área da f ace Apótema da pirâmide

Exercícios Propostos: 1. Determine a área da figura ao lado, considerando como unidade de área:

1.1 A área do 1.2 A área do

2. Calcule a área das seguintes figuras. (As medidas indicadas são em

centímetros.) 2.1

2.2

2.3

3. Calcule a área, em m2, do seguinte trapézio. 19cm

20cm

94

Marisa Oliveira, Susana Araújo 46cm

4. Todos os rectângulos da figura têm 7 cm por 4 cm.

4.1 Qual a área de qualquer dos rectângulos? 4.2 Qual a área de cada um dos triângulos sombreados?

5. Se a área de

for 0,5 cm2, qual a área de cada uma das figuras?

6. Sabendo que o lado do quadrado mede 12 cm, determine a área da zona

sombreada de cada figura.

95


7. Utiliza o teorema de Pitágoras para determinar a medida indicada:

8. Classifica, quanto aos ângulos, cada um dos triângulos em que as medidas

dos lados são: 8.1 3,4 e 5 cm 8.2 3,4 e 6 cm 8.3 3,4 e 3 cm

9. Qual o comprimento da diagonal de um quadrado com 18 cm de lado? 10. A diagonal de um quadrado mede 30 cm. Qual é a área do quadrado? E o

perímetro? 11. Dois navios navegam, um para norte e outro para oeste, respectivamente

com as velocidades de 30 km/h e 40 km/h. Sabe-se que largaram à mesma hora e que se encontraram ao fim de 15 horas. A que distância se encontram os dois portos de onde largaram os dois barcos?

96


Pretende-se ligar por um tubo condutor de água os pontos U e A de um

12.

terreno [UVAS] de forma quadrada e que tem 324 m2 de área. Qual será a despesa, se cada metro de tubo custa 2,50€.

13. O volume do cubo da figura é 27 m3.

Determine: 13.1 O comprimento da diagonal [PQ]. 13.2 O comprimento da diagonal [PR]. Sabendo que são semelhantes os pares de triângulos e que os números

14.

representam as medidas, em cm, dos lados a que estão associados, determine x. ( Utiliza-se o mesmo símbolo para indicar que os angulos são iguais.) 14.1

14.2

Observe a figura e, de acordo com os dados, determine x.

15.

97


16. Considere o seguinte paralelipípedo com as medidas apresentadas na

figura. Determine: 16.1 A área total do paralelipípedo. 16.2 O volume do paralelipípedo.

17. Uma esfera está inscrita num cubo de aresta 20 cm. Determine:

17.1 A área da superfície esférica. 17.2 O volume da esfera. 17.3 O volume do cubo. 17.4 O volume do cubo não ocupado pela esfera.

18. A figura representa uma pirâmide quadrangular. A aresta da base mede 10

cm, a altura da pirâmide é de 20 cm e E é o ponto médio da aresta da base [DA]. Determine: 18.1 A área total da pirâmide. 98


18.2 VÊO

Soluções:

1.1 8u.a; 1.2 48u.a; 2.112cm 2 ; 2.2 270cm 2 ; 2.3 88cm 2 ; 3 0,065m 2 ; 4.1 28cm 2 ; 4.2 14cm 2 ; 5 a) 3cm 2 ; b) 4cm 2 ; c)6cm 2 ; d) 4,5cm 2 ; e) 6cm 2 ; 6a)31cm 2 ; b)31cm 2 ; c)31cm 2 ; d)31cm 2 ; 7 a)13 ; b)17 ; c) 52; d) 10; 8.1 rectângulo ; 8.2 obtusângul o ; 8.3 acutângulo ; 9 25,5cm; 10 A = 450cm 2 P = 84,9cm; 11 750km; 12 63,75€; 13.1 PQ = 18 ≅ 4,24cm; 13.2 PR = 27 = 5,20cm; 14.17 ; 14.2 6,6; 15 4,5 ; 16.1A t = 175cm 2 ; 16.2 V = 125cm 3 ; 17.1 400πcm2 ; 17.2

4000 4000  3  πcm3 ; 17.3 8 000cm 3 ; 17.4  8000 π cm ; 3 3  

18.1100 + 200 5cm; 18.2 63 o 24′

99


Capítulo 5

NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA

100


Objectivos Determinar razões trigonométricas de um dado ângulo agudo (por construção,

utilizando tabelas, usando calculadora). Determinar um ângulo agudo conhecida uma das suas razões trigonométricas

(por construção, utilizando tabelas, usando calculadora). Determinar uma razão trigonométrica de um ângulo agudo, conhecida outra. Procurar estratégias adequadas para determinar distâncias a locais

inacessíveis, alturas de edifícios, etc.

Competências o A compreensão do conceito de forma de uma figura geométrica e o

reconhecimento das relações entre elementos de figuras semelhantes. o

A aptidão para resolver problemas geométricos através de construção, nomeadamente envolvendo igualdade e semelhança de triângulos, assim como para justificar os processo utilizados.

o

A tendência para procurar invariantes em figuras geométricas e para utilizar modelos geométricos na resolução de problemas reais.

o

A aptidão para visualizar e descrever propriedades e relações geométricas, através da análise e comparação de figuras, para fazer conjecturas e justificar os seus raciocínios.

101


5.1 Razões Trigonométricas de um ângulo agudo

As razões trigonométricas mais conhecidas são o seno, o coseno e a tangente. Assim, em qualquer triângulo rectângulo com ângulo θ , como o do exemplo, as raízes trigonométricas são: ____

BC

senθ =

___

=

AB

cateto oposto hipotenusa

B hipotenusa Cateto oposto

____

AC

cosθ =

___

=

AB

cateto adjacente hipotenusa

θ

A

Cateto adjacente

C

____

tgθ =

BC ___

=

AC

cateto oposto cateto adjacente

5.2 Fórmula fundamental da trigonometria B

No triângulo da figura, e de acordo com o teorema de Pitágoras,

a

c C

α b

b2 + c 2 = a 2

Dividindo ambos o membros por a 2 , vem 2

2

b2 c2 a 2 b c + = ⇔   +  =1. a2 a 2 a 2 a a

Mas, senα =

c b e cos α = . a a

Então ( cos α ) + ( senα ) = 1 2

Ou sen 2α + cos 2 α = 1

102

2

Fórmula Fundamental da Trigonometria


β

A

5.3 Fórmulas secundárias:

Partindo da fórmula fundamental: sen 2α + cos 2 α = 1

Dividindo ambos os membros por sen 2α e cos 2 α ,obtemos respectivamente as seguintes equações : 1+

1 1 = 2 tg α sen2α

tg 2α + 1 =

1 cos 2 α

3.4 Valores especiais

Considere-se o seguinte triângulo escaleno.

60º

2 30º 3

Observando a figura vem: 1 2 3 cos30º = 2 1 3 tg 30º = = 3 3 sen30º =

103


3 2 1 cos 60º = 2

sen60º =

tg 60º = 3

1

•

Considere-se o seguinte triângulo isósceles, tendo os catetos uma unidade de comprimento:

2

sen 45º = cos 45º =

1

45º

2 2

1

tg 45º = 1

Em resumo, tem-se:

θ

30º

45º

60º

sen θ

1 2

2 2

cos θ

3 2

tg θ

3 3

2 2 1

3 2 1 2

3

Exemplo: Seja senα =

3 5

. Então, sen 2α + cos 2 α = 1 ⇔ cos 2 α = 1 − sen 2α ⇔ 2

9 3 ⇔ cos 2 α = 1 −   = 1 − ⇔ 25 5 ⇔ cos 2 α = cos α =

104


3 5

16 16 ⇒ cos α = ± ⇒ 25 25


1. Uma cegonha tem o seu ninho num poste de alta tensão, com 20 metros de altura, no qual foi colocada uma placa especial de modo a que a cegonha não corra qualquer perigo. Do seu ninho, a cegonha vê um alimento no chão e voa em direcção a ele numa inclinação de 35º. Qual foi a extensão do voo da cegonha?

2. O Tiago mede 1,80 m. Qual é o ângulo de elevação da lua, quando numa noite de lua cheia, a uma certa hora, a sombra do Tiago mede 3 metros?

3. Utilizou-se um teodolito como auxiliar para medir a altura do Padrão dos Descobrimentos, em Belém. Tenha em atenção a figura e considere que α = 2º , β ___

= 39º e PT = 60m. Qual é a altura do Padrão dos Descobrimentos?

105


4. O Rui quer mudar uma lâmpada. Usou um escadote como se representa na figura ao lado. Tendo em atenção as medições que ele efectuou, as quais são indicadas na figura, determine a que altura se encontra a lâmpada do topo do escadote.

5. O Rui quer colocar a bengala do avô numa caixa com a forma de um paralelepípedo, como se mostra na figura e com as dimensões assinaladas. Será que a bengala do avô do Rui cabe na caixa?

6. Calcule sen β sendo: 1

a)

cos β =

b)

tg β = 2,5

5

7. Mostre que : a) 1 − sen x =

cos 2 x 1 + sen x 2

b)

( cos α + senα ) + ( cos α − senα )

c)

1 − sen 2 x = cos x cos x

d) cos 2 β − sen 2 β = 2 cos 2 β − 1

106


2

=2

Soluções: 2 5 º ; b)senβ = 0, 93 1. 24m; 2. α = 59 ; 3.51m; 4 70cm ou 0,7 m ; 5 A bengala do Rui cabe na caixa ; 6a)senβ = 5

107


Capítulo 6

NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES

108


Objectivos Indicar situações da vida quotidiana ou das ciências onde a estatística

presta relevantes serviços; Identificar, num estudo estatístico, a população, a amostra, a unidade

estatística e o tipo de variável; Identificar variável discreta e contínua; Construir tabelas de frequências absolutas, relativas, e acumuladas, a

partir de dados; Construir e interpretar gráficos de barras, poligonais, circulares e

histogramas; Usar o símbolo Σ nos cálculos; Calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados;

109


6.1 Noções Básicas de Estatística

É objectivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. No estudo de um problema envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planear a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo a que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm. Uma noção fundamental em Estatística é a de conjunto ou agregado, conceito para o qual se usam, indiferentemente, os termos População ou universo.

População Colecção de unidades individuais, que podem ser

pessoas ou resultados experimentais, com uma ou mais características comuns, que se pretendem estudar.

Exemplo

Por vezes, identifica-se População com a característica populacional que se pretende estudar. Por exemplo a população das alturas dos alunos curso de preparação para a prova de Matemática do Concurso Maiores de 23 anos; a população das notas obtidas no exame; Nem sempre é possível estudar exaustivamente todos os elementos da população porque, por exemplo: - a população pode ser infinita. 110


Exemplo: a população constituída pelas pressões atmosféricas, nos

diferentes pontos de uma cidade; - o estudo da população pode levar à destruição da população. Exemplo: a população dos fósforos de uma caixa;

- o estudo da população pode ser muito dispendioso. Exemplo: sondagens exaustivas de todos os eleitores, sobre

determinado candidato; Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra. Amostra – conjunto de dados ou observações, recolhidos a partir de um subconjunto

da população, que se estuda com o objectivo de tirar conclusões para a população de onde foi recolhida. Exemplo:

Relativamente à população das alturas dos alunos matriculados no ISEP, consideremos a seguinte amostra, constituída pelas alturas (em cm) de 20 alunos escolhidos ao acaso 175, 163, 167, 162, 176, 169, 180, 177, 168, 167, 171, 172, 170, 168, 176, 180, 168, 177, 161, 182

É muito importante a escolha da amostra pois esta deve ser tão representativa quanto possível da população que se pretende estudar, uma vez que vai ser a partir do estudo da amostra que vamos tirar conclusões para a população. A análise estatística envolve duas fases fundamentais, com objectivos distintos: - Estatística Descritiva onde se procura descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as propriedades;

111


- Estatística Indutiva onde conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra), expressas por meio de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na população). Esquematicamente, temos:

Exemplo:

O gerente de uma fábrica de detergentes pretende lançar um novo produto para lavar a loiça pelo que, encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado de “estimar” a percentagem de potenciais compradores desse produto População- conjunto de todos os agregados familiares do país. Amostra- conjunto de alguns agregados familiares, inquiridos pela empresa. Problema- pretende-se, a partir da percetagem de respostas afirmativas, de entre os

inquiridos sobre a compra do novo produto, obter uma estimativa do número de compradores na população. Podemos classificar os dados que constituem a Amostra, ou dados amostrais, em dois grupos fundamentais: - Dados qualitativos representam a informação que identifica alguma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias modalidades;

112


Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as

categorias solteiro, casado, viúvo e divorciado. Os são organizados na forma de uma tabela de frequências que apresenta o número de elementos – frequência absoluta – de cada uma das categorias ou classes numa tabela de frequências. Além das frequências absolutas também se apresentam as frequências relativas, onde

frequência relativa =

frequência absoluta dimensão da amostra

Exemplo: Num inquérito realizado a 150 indivíduos, estes tiveram de assinalar

o sexo – M ou F, e o estado civil – Solteiro, casado, viúvo ou divorciado. Uma forma de resumir informação contida nos dados, no que diz respeito ao estado civil, é construir uma tabela de frequências em que se consideram para as classes as diferentes modalidades que o estado civil pode tomar Tabela de frequências classes

Frequência absoluta

Frequência relativa

solteiro

78

0,52

casado

50

0,33

viúvo

5

0,03

divorciado

17

0,12

Total

150

1

- Dados quantitativos representam a informação resultante de características susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta (descontínua) – dados discretos, ou contínua – dados contínuos. Exemplo: Consideremos uma amostra constituída por 10 alunos de uma turma

em que se pretende saber o número de irmãos de cada um: 3, 4, 1, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 2. Estes dados são de natureza discreta. Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm): 153, 157, 161, 160, 158, 155, 162, 156, 152, 159 obteremos dados do tipo contínuo.

113


Dados discretos – Estes dados só podem tomar um número finito ou infinito

numerável de valores distintos, apresentando vários valores repetidos – é o caso, por exemplo, do número de filhos de uma família ou o número de acidentes, por dia, em determinado cruzamento. Os dados são organizados na forma de uma tabela de frequências, análoga à construída para o caso de dados qualitativos. No entanto, em vez das categorias apresentam-se os valores distintos da amostra, os quais vão constituir as classes.

Exemplo:

Apresentação de dados de variáveis discretas Consideremos a amostra constituída pelo número de irmãos dos 20 alunos de uma determinada turma: 1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2 A tabela de frequências é a seguinte: Tabela de frequências Classes

Frequências absolutas

Frequências relativas

0

4

0,20

1

8

0,40

2

4

0,20

3

3

0,15

4

1

0,05

Total

20

1

Exemplo:

Apresentação de dados de variáveis contínuas Fez-se um estudo sobre as alturas, em metros, dos jogadores de uma equipa e os dados obtidos estão indicados em baixo. 1,60

1,70

1,62

1,80

1,83

1,82

1,71

1,68

1,68

1,65

1,62

1,64

1,80

1,81

1,78

1,76

1,69

1,64

1,63

1,67

1,68

1,83

1,70

1,71

1,6

114


Vamos construir uma tabela com os dados agrupados em 5 classes. Tabela de frequências xi

Frequências

Frequências

absolutas

relativas

[1, 60;1, 65[

6

6 = 0, 24 25

[1, 65;1, 70[

7

7 = 0, 28 25

[1, 70;1, 75[

4

4 = 0,16 25

[1, 75;1,80[

2

2 = 0, 08 25

[1,80;1,85[

6

6 = 0, 24 25

n = 25

1

6.2 Medidas de localização 6.2.1 Média

Considere-se x1 , x2 ,..., xn , uma amostra de n observações

__

Definição: Chama-se média aritmética ou simplesmente média e representa-se por x

ao valor assim obtido: Para os dados não classificados n

__

x=

x1 + x2 + ... + xn = n

∑x

i

i =1

n

Para os dados classificados

m

__

x=

115

f1 x1 + f 2 x2 + ... + f n xn = n

∑fx

i i

i =1

n


Onde: m é o número de classes m

fi é a frequência absoluta da classe i, n = ∑ f1 i =1

xi é o valor correspondente da classe i

Se os dados são discretos ou contínuos e as classes são intervalos então, xi é o ponto médio da classe i. Neste caso o valor da média é um valor aproximado e não um valor exacto.

Exemplo

Média em dados simples Perguntou-se a 10 alunos as suas classificações em Estatística e obtiveram-se os seguintes resultados: 12

15

13

14

13

16

15

15

16

16

Para determinar a classificação média destes alunos aplicamos directamente a definição de média

__

x=

12+15+13+14+13+16+15+15+16+16 = 14,5 10

Exemplo:

Média em dados classificados Suponhamos que os dados do exemplo anterior eram apresentados através da seguinte tabela

116


xi

fi

12

1

13

2

14

1

15

3

16

3

∑f

i

= 10 = n

Para determinarmos a média aproveitamos a tabela anterior para reduzir o número de parcelas da soma xi

fi

xi fi

12

1

12

13

2

26

14

1

14

15

3

45

16

3

48

∑f

i

= 10 = n

∑x f i

i

= 145

m

__

x=

f1 x1 + f 2 x2 + ... + f n xn = n

∑fx

i i

i =1

n

=

145 = 14,5 10

Exemplo:

Média – dados classificados em classes A tabela seguinte refere a área, em hectares, das quintas de uma dada região: Área (ha)

Frequência

[0,5[

31

[5,10[

12

[10,15[

8

[15, 20[

5 n = 56

117


Neste caso, como os dados estão agrupados em classes, recorre-se ao cálculo do valor central da classe. Este valor xi (marca da classe) obtém-se determinando a média dos extremos. Por exemplo x1 =

0+5 = 0,5 2

Deste modo, este caso reduz-se ao anterior. Classe

fi

Valor central

fi xi

xi

[0,5[

31

2,5

77,5

[5,10[

12

7,5

90

[10,15[

8

12,5

100

[15, 20[

5

17,5

87,5

∑f

__

Temos x =

i

= 56

∑fx

i i

= 355

355 = 6,3 (1 c.d .) 56

Duas outras medidas de localização são a mediana e a moda.

6.2.2 Mediana Definição: A mediana é o valor que divide a amostra, depois de ordenada, em duas

partes com o mesmo número de observações cada. Pode ser assim calculada

 x n +1  n ímpar   2   x = x n + x n      +1   2  2  n par   2

__

Onde

x(1) ≤ ... ≤ x( n )

são as observações ordenadas correspondentes à amostra

x1 , x2 ,..., xn .

118



1. Determinação da mediana em dados simples Determine a mediana para cada um dos seguintes conjuntos de dados 12

14

15

15

16

16

17

18

20

20

20

20

21

21

22

23

Resolução:

Os dados estão escritos por ordem crescente. O número de dados é 16. Os valores __

centrais são 18 e 20. Então x =

18 + 20 = 19 2

2. Perguntou-se a 37 crianças de uma turma que número calçavam. As respostas foram registadas na tabela seguinte. Número de sapato, xi

28

30

32

34

36

Frequência, fi

3

16

9

6

3

Calcule o número mediano. Resolução:

n = 37, n é ímpar. Vamos construir uma tabela de frequências absolutas acumuladas.

xi

fi

Fi

28

3

3

30

16

19

32

9

28

34

6

34

36

3

37

n = 37 119


O número de termos é 37. A ordem do temo mediano é:

t=

37 + 1 = 19 2

Na coluna Fi aparece o número 19. ~

A mediana é o valor x19 , ou seja, x = 30 .

3. Calcule a mediana para os dados da seguinte tabela:

xi

28

30

32

34

36

fi

5

10

15

6

3

Resolução:

Vamos construir a tabela de frequências absolutas acumuladas.

xi

fi

Fi

28

5

5

30

10

15

32

15

30

34

6

36

36

3

39

n = 39 O número de termos é 39, logo, a ordem do termo mediano é

k=

39 + 1 = 20 2 ~

A mediana é o valor x20 , ou seja, x = 32 .

120


4. Calcule a mediana para os dados da seguinte tabela:

xi

fi

Fi

28

4

4

30

10

14

32

12

26

34

5

31

36

3

34

n = 34

Resolução:

O número de elementos é 34, n é par.

k1 =

34 = 17 2

k2 =

34 + 2 = 18 2

Percorrendo a coluna Fi , não encontramos nem o 17 nem o 18. Como ambos são maiores do que 14 e menores do que 26, assinalamos a linha ~

correspondente a 26, da coluna Fi . Logo x = 32 . 5. Calcule a mediana para os dados da tabela.

xi

fi

Fi

28

4

4

30

13

17

32

10

27

34

4

31

36

3

34

n = 34 Resolução:

O número de elementos é 34.

121


k1 =

34 = 17 2

k2 =

34 + 2 = 18 2

Neste caso, procurando estes valores, na coluna Fi encontramos apenas o número 17. O outro valor (18) está na linha seguinte (18 > 17 e 18 < 27). Logo, os termos a considerar são x17 = 30 e x18 = 32 . ~

Logo, x =

30 + 32 = 31 2

6. Calcule a mediana para os dados da tabela.

xi

fi

Fi

28

4

4

30

13

17

32

11

28

34

3

31

36

1

32

n = 32 Resolução:

O número de elementos é 32.

k1 =

32 = 16 2

k2 =

32 + 2 = 17 2

Neste caso, procurando estes valores, na coluna Fi encontramos o número 17. Um dos valores que vai entrar no cálculo da mediana é x17 = 30 . O outro valor, x16 , será também determinado na mesma linha (16 > 4 e 16 < 17). Logo, os termos a considerar são x17 = 30 e x18 = 32 . ~

Logo, x =

122

x16 + x17 30 + 30 = = 30 2 2


7. Determinação da mediana: dados classificados em classes A tabela seguinte mostra os resultados de um estudo estatístico sobre as distâncias percorridas pelos táxis de uma companhia durante um ano. Calcule a classe mediana desta distribuição. Distância

[80,85[

[85,90[

[90,95[

18

25

30

[95,100[ [100,105[

(milhares de km) Frequência

22

5

Resolução:

Para determinar a mediana, construamos uma tabela de frequências absolutas e acumuladas. Classe

fi

Fi

[80,85[

18

18

[85,90[

25

43

[90,95[

30

73

[95,100[

22

95

[100,105[

5

100

n = 100

Como a distribuição apresenta os dados agrupados em classes, admite-se que os valores da variável se distribuem igualmente em cada uma delas e considera-se a mediana o termo de ordem

n , não se fazendo distinção se n é par ou ímpar. 2

Como o número de elementos é 100, a ordem do termo mediano é t =

100 = 50 . A 2

mediana é o termo de ordem 50, que, apesar de não aparecer na coluna Fi , corresponde a F3 = 73 . Então, x50 ∈ [90,95[ . Logo, [90,95[ é a classe mediana.

123


6.2.3 Moda Definição: A moda, mo, é a observação mais frequente, se existir.

Caso discreto – é o valor que ocorre com maior frequência. Caso contínuo – só faz sentido definir-se sobre dados agrupados – é um valor do intervalo de classe com maior frequência.

Exercícios Resolvidos

1. Determine a moda para cada um dos conjuntos de dados. 1.1 1

3

5

3

5

6

3

2

7

8

5

Resolução:

A moda é 5; 1.2 1

3

2

Resolução:

Há duas modas: 2 e 3; 1.3 1

2

3

4

5

Resolução:

O conjunto de dados não tem moda; é, portanto, amodal.

124


2. Pediu-se aos 21 alunos de uma turma para indicarem o género de leitura que preferem: livros de cowboys (C); aventuras (A); ficção (F); viagens (V); animais (Na); outros (O). Os resultados obtidos foram os seguintes: F

A

An

F

C

O

A

V

C

F

F

A

F

F

F

F

A

An

F

O

V

Qual é a moda? Resolução:

Por observação directa, verificamos que o valor mais frequente é F. Logo, a moda é F. Assim, podemos dizer que para este grupo de alunos os livros preferidos são os de ficção.

3. Observe a seguinte tabela:

Temperatura mínima (ºC)

Número de dias

em Julho, xi

ni

12

3

14

4

15

6

16

7

17

5

18

6

Qual é a moda? Resolução:

Por observação da tabela conclui-se que o valor da variável xi que aparece com maior frequência é 16. Logo a moda é 16.

125


4. Pesaram-se 100 sacos de arroz embalados por uma máquina programada para produzir embalagens com 1 kg. A tabela seguinte sintetiza os resultados da observação. Peso (g)

Nº de sacos

[994,996[

4

[996,998[

15

[998,1000[

35

[1000,1002[

40

[1002,1004[

6 n = 100

Qual é a classe modal? Resolução:

A classe [1000,1002[ tem maior frequência. Logo, podemos dizer que a moda pertence à classe [1000,1002[ e que esta é a classe modal. Exemplos:

1. Um agricultor estudou o crescimento de plantas da mesma espécie em ambiente de estufa: Crescimento em, cm, de 11 plantas 3

5

6

8

6

9

4

7

7

10

6

Calculou o crescimento médio das plantas em estudo e dividiu pelo nº total de plantas: 3+6+7+5+9+10+6+4+6+7+8 11

Concluiu que o crescimento médio é de 6.5 cm.

126


2. Observou-se o nº de cartões amarelos mostrados por um árbitro em 12 jogos de futebol consecutivos Nº de cartões amarelos 3

5

6

1

6

9

8

6

1

8

3

6

A medida mais simples que se usa para representar este conjunto de dados é a moda, ou seja, o valor da variável que ocorre com maior frequência. Nos dados apresentados verifica-se que o dado que aparece com maior frequência é o 6. Logo a moda é o 6. Para um conjunto de dados, pode existir mais do que uma moda ou até nem existir moda. Se o conjunto de dados tiver uma única moda, esse conjunto diz-se unimodal; Se o conjunto de dados tiver duas moda, esse conjunto diz-se multimodal; Se o conjunto de dados não tiver moda diz-se amodal.

3. Em cinco testes de Matemática o João obteve as seguintes classificações: 30%

50%

25%

80%

65%

Por ordem crescente as classificações são as seguintes: 25%

30%

50%

65%

80%

Mediana Mais tarde o João fez um sexto teste e agora os dados são: 25%

30%

50%

65%

Valores centrais

Mediana =

127

50%+65% = 57,5 2


80%

85%


1. Uma amostra de 25 caixas de bombons foi seleccionada de um stock de 100 caixas. O peso em gramas de cada caixa foi o seguinte: 93

100

106

104

98

97

98

104

92

94

101

103

96

100

108

100

108

97

103

100

94

104

95

101

102

a) Construa uma tabela de frequências, agrupando o peso das caixas em intervalos de amplitude 5g. b) Determine, em percentagem, as frequências relativas de cada classe. 2. As alturas, em centímetros, de um grupo de alunos são: 160

162

152

159

155

155

161

155

153

154

Determine a: a) altura média; b) altura mediana; c) altura modal.

3. As classificações obtidas por uma turma de 24 alunos num teste de matemática, cotado de 0 a 100 pontos, foram as seguintes:

128

46

64

50

35

85

42

47

72

31

42

53

47

51

31

15

81

80

72

60

52

53

47

32

50


Determine: a) A classificação média; b) A classificação mediana; c) A classificação modal. 4. As horas de sol por dia, registadas numa praia durante um período de 61 dias, foram as seguintes Horas de sol Frequência (dias)

5

6

7

8

9

10

11

6

12

10

9

8

8

8

a) Determine o número modal de horas de sol por dia; b) Determine o número mediano de horas de sol por dia; c) Determine o número médio de horas de sol por dia. 5. Pediu-se aos alunos de uma turma que contassem o número de objectos que tinham nos seus bolsos. Os resultados obtidos apresentam-se na tabela seguinte Nº de objectos Frequência

[0,5[

[5,10[

[10,15[

[15, 20[

[ 20, 25[

6

11

6

4

3

Determine o número médio de objectos e as classes modal e mediana. Soluções:

129


6.3 Estatística e Probabilidades

Objectivos: Reconhecer que em determinados acontecimentos há um grau de incerteza. Identificar resultados possíveis numa situação aleatória. Calcular, em casos simples, a probabilidade de um acontecimento como

quociente entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis. Compreender e usar escalas de probabilidades de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Usar conscientemente as expressões “muito provável”, “improvável”, “certo”,

“impossível”,… Compreender e usar a frequência relativa como aproximação da probabilidade. Competências Específicas: o Sensibilidade para distinguir fenómenos aleatórios e fenómenos deterministas e

interpretar situações concretas de acordo com essa distinção. o Aptidão para entender e usar de modo adequado a linguagem das probabilidades

em casos simples.

130


Quando realizamos várias vezes a experiência deixar cair um prego para dentro de um balde de água, verificamos que fatalmente o prego se afunda. Existe, no entanto, outro tipo de experiências cujo resultado final não é assim tão certo. A uma experiência cujo resultado depende do acaso, ainda que repetida nas mesmas condições, chama-se experiência aleatória.

Exemplos: São experiências aleatórias:

- lançamento de uma moeda; - lançamento de um dado; - tirar ao acaso uma bola de um saco com bolas numeradas; - tirar ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas. Apesar de não sabermos qual vai ser o resultado de uma experiência aleatória, é possível identificar quais são os resultados possíveis. Assim, no lançamento de um dado, embora não se saiba qual será a face que ficará voltada para cima, conhecem-se todos os resultados possíveis {1, 2,3, 4,5, 6}

Ao conjunto de todos os resultados possíveis numa experiência aleatória chama-se espaço de resultados ou espaço amostral. Acontecimentos certos são aqueles que se verificam sempre. Exemplo:

No lançamento de um dado “sair número menor do que 7” é um acontecimento certo. Acontecimentos impossíveis são aqueles que nunca se verificam. Exemplo:

No lançamento de um dado “sair número negativo” é um acontecimento impossível. Exemplo:

No lançamento de um dado é tão provável “sair número par” como “sair número ímpar”, ou seja, são acontecimentos equiprováveis.

131


6.3.1 Probabilidade de um acontecimento

A probabilidade de um acontecimento A, P(A), é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis

P( A) =

número de casos favoráveis número de casos possíveis

Exemplo:

No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número par” é:

P(“”sair nº par) =

3 1 = 6 2

Acontecimentos equiprováveis P(“”sair nº ímpar) =

3 1 = 6 2

Exemplo:

No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número negativo” é:

P(“sair nº negativo”) =

0 =0 6

Acontecimento Impossível

Exemplo:

No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número menor do que 7” é:

P(“sair nº < 7”) =

6 =1 6

Acontecimento certo

A probabilidade de um acontecimento certo é 1 (100%) A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (0%) A probabilidade de um acontecimento pode variar entre 0 e 1 (entre 0% e 100%).

132


Exemplo:

Num saco estão 10 bolas idênticas e numeradas de 0 a 9. Tira-se uma bola desse saco ao acaso. Qual a probabilidade da bola extraída: A- “ser a bola com o número 7”? B- “ser uma bola com número primo”? C- “não ser uma bola com número par”? D- “ser uma bola com número ímpar ou com número primo”?

P(A) =

1 4 5 = 0,1 = 10%; P(B) = = 0,4 = 40%; P(C) = = 0,5 = 50%, 10 10 10

P(D) =

6 = 0,6 = 60% 10

A contagem do número de casos favoráveis e do número de casos possíveis necessária na determinação de uma probabilidade (aplicando a Lei de Laplace) nem sempre é tarefa fácil. Nos problemas mais complexos é usual recorrer-se a esquemas que permitem conhecer mais facilmente o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Entre estes esquemas destacam-se os: - diagramas de Venn; - diagramas de dupla entrada; - diagramas de árvore.

Exemplo:

Utilização de um diagrama de Venn Interrogaram-se os 80 trabalhadores de uma fábrica sobre o jornal que costumam ler diariamente. Dos 80, 25 declararam que lêem diariamente o jornal Alfa, 40 o jornal Beta e 10 afirmam que lêem ambos. Escolhem-se aleatoriamente um desses 80 trabalhadores.

133


Elaborando o diagrama de Venn respectivo, temos

Ω

B 10

A

30

15

25

Ω =

{trabalhadores da fábrica}

A =

{trabalhadores que lêem o jornal Alfa}

B =

{trabalhadores que lêem o jornal Beta}

Com a ajuda do diagrama de Venn facilmente se determinam as probabilidades:

P(“ler apenas o jornal Beta”) =

30 3 = 80 8

P(“não ler nenhum dos jornais”) =

25 5 = 80 16

P(“ler pelo menos um dos jornais”) =

134


55 11 = 80 16

Exemplo:

Utilização de um diagrama de dupla entrada Lançam-se dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade de a soma dos pontos saídos ser 5?

Dado 2

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Dado1

Observando a tabela de dupla entrada facilmente se verifica que a probabilidade pedida é: P(“a soma dos pontos ser cinco”) =

135


4 1 = = 0,1111 = 11,11% 36 9

Exemplo:

Utilização de um diagrama de árvore Lança-se uma moeda equilibrada ao ar três vezes seguidas. Qual é a probabilidade de se obter duas vezes euro e uma vez face?

E

→

(E E E )

F

→

(E E F )

E

→

(E F E )

F

→

(E F F )

E

→

(F E E )

F

→

(F E F )

E

→

(F F E )

F

→

(F F F )

E E F

E F F

Observando o diagrama de árvore, verifica-se que: P(“obter duas vezes euro e uma face”) =

3 = 0, 375 = 37, 5% 8

6.3.2 Frequência relativa e probabilidade

Lei dos grandes números: Para um número muito elevado de experiências, a

frequência relativa de um acontecimento é um valor muito aproximado da sua probabilidade.

136


Exercícios Propostos: 1. Escreva alguns acontecimentos: a) Prováveis; b) Certos; c) Impossíveis. 2. Quais dos seguintes valores não correspondem à probabilidade de um acontecimento:

2 7 9 1 ,1, , , 0, , 2 ? 3 8 8 2

3. Escolheu-se ao acaso um número entre 1 e 11. Qual a probabilidade de escolher um número ímpar? 4. Qual é a probabilidade de escolher uma carta de copas num baralho de 52 cartas? 5. Lançou-se um dado perfeito. Calcule a probabilidade de obter: a) O número 6; b) Um número par; c) Um número ímpar; d) Um número menor que 5. 6. Uma caixa contém 6 bolas vermelhas, 5 verdes, 8 azuis e 3 amarelas. Determine a probabilidade de, escolhendo uma bola ao acaso, ela ser: a) Verde; b) Vermelha; c) Amarela; d) Azul.

137


7. A professora de Matemática colocou 4 bolas pretas e 1 vermelha numa caixa. Pediu aos alunos para determinarem a probabilidade de sair uma bola vermelha quando se tira da caixa uma bola ao acaso. A Maria disse que era disse

1 , porque há uma bola vermelha e quatro pretas. O Miguel 4

1 , porque das 5 bolas só uma é vermelha. 5

a) Qual das respostas está correcta? Explique porque é que a outra está errada. b) Qual é a probabilidade de sair uma bola preta? 8. Uma caixa contém 40 chocolates com a mesma forma e tamanho: 6 são de chocolate com avelã, 15 de chocolate preto, 10 de chocolate de leite e os restantes de chocolate branco. Retirando ao acaso um chocolate da caixa , qual a probabilidade de: a) Ser de chocolate com avelã? b) Ser de chocolate de leite? c) Ser de chocolate branco? 9. Um saco contém 3 bolas pretas e 2 brancas. Calcule a probabilidade de tirar (sem reposição): a) Uma bola branca; b) Três bolas brancas (em 3 extracções consecutivas); c) Três bolas pretas (em 3 extracções consecutivas); d) Uma bola azul; e) Uma bola branca ou preta (numa só extracção).

138


Capítulo 7

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL: AFIM, QUADRÁTICA E MÓDULO

139


Funções reais de variável real Gráfico cartesiano de uma função em referencial ortogonal Definição de função, gráfico e representação gráfico de uma função. Estudo do domínio, contradomínio, pontos notáveis e extremos relativos e absolutos. Objectivos: Definir função; Identificar uma correspondência entre dois conjuntos que seja

uma função; Distinguir a variável dependente da variável independente; Usar a simbologia das funções; Identificar o domínio, o contradomínio, pontos notáveis, monotonia

e extremos (relativos e absolutos) de uma função quando possível. Determinar o domínio de uma função quando definida para uma

expressão algébrica; Identificar uma função afim; Conhecer as designações função linear e função constante como

casos particulares de uma função afim. Definir zero, extremo absoluto, extremo relativo e intervalo de

monotonia de uma função. Pré-requisitos: Definição de função 140


7. Funções

Na resolução de problemas práticos usamos muitas vezes relações entre grandezas que variam. Por exemplo, a distância percorrida numa viagem e o tempo gasto, o número de impulsos e o preço de uma chamada telefónica a temperatura do ar e a altitude. Em Matemática estas grandezas que variam damos o nome de variáveis e a algumas relações entre elas chamamos funções. 7.1 Definição, domínio e contradomínio

Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma correspondência que associa a cada elemento a ∈ A um e

um só elemento b ∈ B

(correspondência unívoca). É usual a notação f :A→B

para representar uma função f de A em B. Para cada a∈ A o correspondente elemento b ∈ B é a imagem de a por f e é usualmente representado por f(a). O conjunto A é o domínio de f, também representado por Df . O conjunto B é o conjunto de chegada de f. O conjunto das imagens dos elementos de A por f, isto é, o conjunto

{f (a ) ∈ B : a ∈ A} é o contradomínio de f, usualmente representado por CDf. Naturalmente, temse que CDf ⊆ B. Uma função está definida quando se conhece o seu domínio, o seu conjunto de chegada e o modo de identificar ou calcular a imagem de cada elemento do domínio.

141


Uma função pode ser definida de diversas formas. Por exemplo, a função f de A = {1, 2, 3, 4, 5} em B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro pode ser definida indicando explicitamente a imagem f(a) de cada elemento a ∈A: f :A→B f (1) = 2 f (2) = 4 f (3) = 6 f (4) = 8 f (5) = 10

Observe-se que se tem CDf = {2, 4, 6, 8, 10}. Pode também utilizar-se um diagrama:

Este tipo de diagrama designa-se usualmente por diagrama de Venn. Pode também recorrer-se a uma expressão designatória, neste caso a expressão designatória 2x, e escrever f :A→B f (x ) = 2 x para x ∈ A

Para simplificar pode omitir-se a referência “para x ∈A” e escrever f :A→B

x → f (x ) = 2 x 142


ou ainda f :A→B x → 2x

Pode também recorrer-se a mais de uma expressão designatória para definir uma função, caso em que se diz que a função está definida por troços ou ramos.

Por exemplo, a função

associa a cada real não negativo x o seu quadrado e a cada real negativo x o simétrico do seu quadrado. Exemplo: Seja f : IN → IN

a

correspondência

que

a cada

natural

x ∈IN faz corresponder

o

natural x ∈IN . Trata-se duma correspondência unívoca nos naturais, logo temos uma função. Esta função é conhecida como função identidade nos naturais. Neste caso, o domínio Df é o conjunto dos naturais e contradomínio Df′ coincide com o conjunto de chegada , isto é Df = CDf = IN

Ao gráfico desta função pertencem os pares (1,1), (2,2), (5,5), por exemplo. Em geral, escrevemos para o gráfico

cuja representação gráfica (conjunto de pontos discretos) se vê na Fig. 1.

143


Fig. 1. Representação gráfica da função f Observe-se que é possível efectuar um teste simples à representação gráfica para determinar se se trata da representação gráfica duma função (teste do gráfico): se qualquer recta vertical intersectar o gráfico em, no máximo, um ponto, pode concluir-se que se trata da representação gráfica duma função. Se se considerar g : IR → IR

a correspondência que a cada real x ∈IR associa o real x ∈IR também se obtém uma função, que é conhecida como função identidade nos reais. Observe que neste caso, o domínio Dg é o conjunto dos números reais, bem como o contradomínio CDg, e por isso f ≠g . A representação gráfica desta função pode ver-se na Fig. 2.

Fig. 2. Representação gráfica da função g

144


Vamos considerar a correspondência h que a cada x ∈IR0+ associa

e

. Trata-se duma correspondência que não é unívoca. Por exemplo, temos que a x = 1 corresponde o valor 1, mas também o valor -1, logo não temos uma função. Conforme se pode ver na Fig.3, a curva representada não é o gráfico duma função (observe que falha o teste do gráfico).

Fig. 3. Representação gráfica da correspondência h

7.2 Funções reais de variável real Funções reais de variável real são funções cujo domínio é um subconjunto de

IR e o conjunto de chegada é IR. Ao definir uma função real de variável real f através de uma expressão designatória f(x), se não se indicar explicitamente o domínio de f deve sempre assumir-se que este é o conjunto de todos os reais a tais que f(a) representa um número real. Por exemplo, quando se diz “f é a função real de variável real definida por

pois

no seu domínio” tal significa que f é a função

é precisamente o conjunto dos reais a para os quais

representa um número real.

145


De igual modo, quando se diz “f é a função real de variável real definida por no seu domínio” tal significa que f é a função dado que

é o conjunto dos reais a para os quais

representa

um número real.

7.2.1 Gráfico

Seja f uma função real de variável real. O gráfico de f é o conjunto

A representação gráfica de G é constituída pelos pontos do plano cartesiano que representam os pares (x, f(x)) com x

Df . É usual designar a

representação gráfica do gráfico de f simplesmente por representação gráfica de f ou gráfico de f. Considerando o sistema de eixos Oxy na Fig. 2,

Fig. 2. Sistema de eixos Oxy a recta Ox é usualmente designada eixo das abcissas ou eixo dos xx e a recta Oy é usualmente designada eixo das ordenadas ou eixo dos yy.

146


Note-se que Df se identifica graficamente com o conjunto das abcissas dos pontos do gráfico (a azul na Fig. 2) e que CDf se identifica graficamente com o conjunto das ordenadas dos pontos do gráfico (a cor de laranja na Fig. 2).

Fig. 2. Representação gráfica do gráfico G de uma função f com Df a cor azul e CDf a cor de laranja.

7.2.2 Igualdade de funções

Duas funções reais de variável real f e g são iguais se •

Df = Dg

•

f(x) = g(x) para cada x Df .

7.2.3 Zeros e sinal de uma função

Seja f uma função real de variável real a ∈Df . Diz-se que •

a é um zero de f se f(a) = 0

•

f é positiva em a se f(a) > 0

•

f é não negativa em a se f(a) 0

•

f é negativa em a se f(a) < 0

•

f é não positiva em a se f(a) 0

147


Diz-se que a função f é positiva num subconjunto A de Df se f é positiva em a para cada a ∈ A. De igual modo se define função não negativa, negativa e não positiva em A.

Fig. 3. Gráfico de uma função f Na Fig. 3 encontra-se o gráfico de uma função f real de variável real, com domínio Df=[-2,11/2[. Observe-se que •

-2 e 2 são zeros da função f

•

f é positiva em ]2,11/2[

•

f é não negativa em [2,11/2[

•

f é negativa em ]-2,2[

•

f é não positiva em [-2,2] 7.2.4 Monotonia de uma função

Seja f uma função real de variável real e seja A um subconjunto de Df . Diz-se que •

f é uma função crescente em A se f(a) > f(b) para cada a, b ∈A tal que a > b

•

f é uma função crescente em sentido lato em A se f(a) f(b) para cada a, b ∈A tal que a > b

148


•

f é uma função decrescente em A se f(a) < f(b) para cada a, b ∈A tal que a > b

•

f é uma função decrescente em sentido lato em A se f(a) f(b) para cada a, b ∈A tal que a > b

Designa-se também por estritamente crescente e estritamente decrescente em A uma função crescente e decrescente em A, respectivamente. A função f diz-se monótona em A se for crescente em A ou se for decrescente em A. Quando A = Df, pode omitir-se a referência a A. Neste caso, fala-se então simplesmente de função crescente, função decrescente, função monótona, etc.

Fig. 4. Gráfico de uma função f Na Fig. 4 encontra-se o gráfico de uma função f real de variável real, com domínio Df=[-2,11/2[, decrescente em [-2,0] e em [4,11/2[ (a cor de laranja na Fig. 4) e crescente em [0,4] (a azul na Fig. 4).

149


7.2.5 Extremos de uma função

Vizinhança

Recorde que uma vizinhança de a ∈ IR é um intervalo

com ∂∈IR + .

Seja f uma função real de variável real, a Df. •

Extremos relativos – f tem um máximo relativo em x = a se existir uma vizinhança I de a tal que

para todo o

– f tem um mínimo relativo em x = a se existir uma vizinhança I de a tal que •

para todo o

Extremos absolutos – f tem um máximo absoluto em x = a se

para todo x Df ; f(a) é

o maior valor de CDf e é o maior dos máximos relativos – f tem um mínimo absoluto em x = a se

para todo x Df ; f(a) é

o menor valor de CDf e é o menor dos mínimos relativos

Fig. 5. Gráfico de uma função f

150


Na Fig. 5 encontra-se o gráfico de uma função f real de variável real, com domínio Df=[-2,11/2[. A função f tem um mínimo absoluto com valor -2 em x=0 e um máximo absoluto com valor 3 em x=4. 7.2.6 Função par e função ímpar

Seja f uma função real de variável real tal que x Df se e só se −x Df , para . Diz-se que

todo o x •

f é uma função par se f(−a) = f(a) para todo a Df

•

f é uma função ímpar se f(−a) = −f(a) para todo a Df

Fig. 6. Gráfico de uma função ímpar a preto e de uma função par a azul Note que um gráfico de uma função par é sempre simétrico relativamente ao eixo Oy. 7.2.7 Função injectiva, sobrejectiva e bijectiva

Seja f uma função real de variável real. Diz-se que •

f é uma função injectiva se para quaisquer a, b Df tais que a b se tem f(a) f(b)

•

151

f é uma função sobrejectiva se


para cada b •

existe a Df tal que f(a) = b

f é uma função bijectiva se é injectiva e sobrejectiva

7.2.8 Função periódica

A função real de variável real f diz-se periódica se existe um número real P diferente de 0 tal que para todo o x Df •

x + P Df e x − P Df

•

f(x + P) = f(x)

Exemplo de funções periódicas são as funções trigonométricas seno, coseno e tangente. 7.2.9 Função inversa

Seja f uma função real de variável real injectiva. Chama-se função inversa de f à função que se designa por f−1 e é tal que •

Df−1 = CDf

•

dado y CDf , ou seja y = f(x) então f−1(y) = x.

Observe-se que f(f−1(x)) = x para todo o x Df−1 e que f−1(f(x)) = x para todo x Df. Note-se também que CDf−1 = Df. Note-se ainda que (f−1)−1 = f.

152


Fig. 7. Diagrama de Venn de uma função f (setas a preto) e de f-1 (setas a cor de laranja).

7.2.10 Operações sobre funções

Sejam f e g função real de variável real. •

A função f + g é a função real de variável real tal que – Df+g = Df Dg – (f + g)(x) = f(x) + g(x).

•

A função f − g é a função real de variável real tal que – Df−g = Df Dg – (f − g)(x) = f(x) − g(x).

•

A função f × g é a função real de variável real tal que – Df × g = Df Dg – (f × g)(x) = f(x) × g(x). A função f x g pode também ser designada por fg.

•

A função fn, com n

, é a função real de variável real tal que

– Dfn = Df – (fn)(x) = (f(x))n.

153


•

A função

é a função real de variável real tal que

–

– •

.

A função

, com n

ímpar, é a função real de variável real tal que

– – •

.

A função

, com n

par, é a função real de variável real tal que

– – 7.2.10 Composição de funções

Sejam f e g função real de variável real. A função composta de g com f é a função real de variável real que se designa por

e é tal que

• •

.

As funções f e g dizem-se permutáveis se

154


.

Fig. 8. Diagrama de Venn de f e g (setas a preto) e da composição

(setas as

cor de laranja).

7.2.11 Extensão e restrição de função

Seja f uma função real de variável real. •

Uma extensão, ou prolongamento, de f a um conjunto

tal que

é uma função real de variável real g tal que – – g(x) = f(x) para cada Note que se quando •

.

existem muitas extensões de f a C, pois o valor de g(x) pode ser um qualquer valor real.

A restrição de f a um conjunto

é a função real de variável real g tal

que – – g(x) = f(x) para cada

.

É frequente usar a notação

para representar a restrição da função f ao

conjunto C. 7.3 Funções cujos os gráficos são rectas. Função afim.

Existem muitas situações que podem ser traduzidas e resolvidas por funções lineares ou afins. Estas funções constituem uma família e a representação gráfica de cada elemento dessa família é sempre uma recta.

155


Qual o significado do número 4 nas expressões que definem as funções? As rectas que representam as funções intersectam o eixo dos yy no ponto de ordenada 4. Qualquer das funções representadas tem a designação de função afim.

Uma função afim é definida por uma expressão algébrica do tipo y = ax + b, a, b ∈IR ou y = mx + b , m designa o declive da recta e b a ordenada na origem. O gráfico de uma função afim é uma recta.

y=x

y = −4 x y =

1 1 x y =− x 3 3

7.4 Função Módulo

O valor absoluto ou módulo de x representa-se por x e é definido do seguinte modo:

 x se x > 0  x se x ≥ 0  x se x > 0  x = ou x =  ou x = 0 se x = 0 − x se x < 0 − x se x ≤ 0 − x se x < 0  A função real de variável real, f :→ y = x é chamada a função módulo ou valor absoluto.

156


Outra forma de encontrar o valor absoluto de um número é elevar o número ao quadrado e em seguida determinar a raiz quadrada.

y =

x2

x = x2


Escreva a expressão algébrica das funções representadas. Resolução:

g (x ) = x − 4 + 3 ;

i ( x ) = −( x + 6 ) − 2 ;

157


h (x ) = −

2 x; 3

j (x ) = − 2(x − 7 ) − 2 .

7.4.1 Gráfico da função f (x ) .

O que poderá acontecer ao gráfico de uma função se substituirmos

f (x ) por f (x ) ?

Nas funções y = x as imagens são sempre positivas. A parte do gráfico da função y = x que estava “abaixo” do eixo dos xx aparece simetricamente colocada relativamente ao eixo dos xx. 158


7.4.2 Gráfico de função f (x )

Quando se substitui x por x , na expressão designatória de unma função, obtém-se uma nova função que é necessariamente uma função par. Seja f :→ y =

x

O domínio da função f é ℜ0+ .

Seja g : x → y =

x

O domínio da função g é ℜ

7.4.3 Generalização dos gráficos das funções f (x ) e f (x )

a) Valor absoluto de variável dependente

159


O gráfico da função y = f (x ) obtém-se do gráfico da função

y = f (x ) mantendo os pontos de ordenada positiva ou nula e transformando os pontos de ordenada negativa por uma simetria em relação ao eixo dos xx.

O gráfico de f (x ) está “acima” ou “sobre” o eixo dos xx.

f (x ) ≥ 0 b) Valor absoluto de variável independente

O gráfico da função y = f (x ) obtém-se do gráfico de f (x ) mantendo os pontos de abcissa positiva e transformando os pontos de abcissa negativa de modo a que pontos de abcissas simétricas sejam simétricas em relação ao eixo dos yy.

160


7.4.4 Resolução de equações com módulos

Note que

+4 =4 −4 =4

a > 0, x = a ⇔ x = a ∨ x = −a

x = 4 ⇔ x = 4 ∨ x = −4 P →4 Q→2

A distância de P a Q é de 6 unidades

Utilizando a definição de módulo, vem:

x = x −0

Representa a distância do ponto de abscissa x ao ponto de abscissa 0 (de origem)

x−y

Representa a distância do ponto de abscissa x ao ponto de abscissa y.

Assim, a distância entre P e Q é:

− 3 − 2 = 5 2 − (− 3 ) = 5 De um modo geral, se a > 0

x − y = a ⇔ x − y = a ∨ x − y = −a

161


Exemplo:

Resolver a equação com módulos 2 x + 2 = 12 2 x + 2 = 12 ⇔ x + 2 = 6

⇔ x + 2 = 6 ∨ x + 2 = −6 ⇔ x = 4 ∨ x = −8 Graficamente: Considerem-se as funções y = x + 2 e y = 6 . As soluções da equação são as abcissas dos pontos de intersecção: 8e4.

Exemplo:

Resolva a equação x − 3 = 2x + 3 x − 3 = 2 x + 3 ⇔ x − 3 = 2 x + 3 ∨ x − 3 = −2 x − 3

⇔ − x = 6 ∨ 3 x = 0 ⇔ x = −6 ∨ x = 0

162


Graficamente:

7.4.5 Inequações com módulos

x − y < a ∧ a > 0 ⇔ x − y < a ∧ x − y > −a

x − y > a ∧ a > 0 ⇔ x − y > a ∧ x − y < −a

Exemplo:

x − 3 < 2 ⇔ x − 3 < 2 ∧ x − 3 > −2

⇔ x < 5∧ x >1 A condição é uma conjunção de inequações. S = ]1,5[

163


7.5 Função Quadrática

Uma função real de variável real f definida para cada x ∈ IR por f(x) = ax2 + bx + c com a ∈ IR \ {0} e b, c ∈ IR , designa-se função quadrática. Recorde que esta função tem as seguintes propriedades, onde ∆ = b2 - 4ac (binómio discriminante): •

Domínio: IR

•

Zeros e Sinal: o

se ∆ < 0: não tem zeros se a > 0 é sempre positiva se a < 0 é sempre negativa

o

164

se ∆ = 0:


tem um zero em z =

−b 2a

se a > 0 é positiva em IR \{z} se a < 0 é negativa em IR \{z}

o

se ∆ > 0:

tem dois zeros em z1 =

− b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac e z2 = 2a 2a

se a> 0 é positiva em ] - , z1[ ]z2, + [ e negativa em ]z1, z2[ se a< 0 é positiva em ]z1,z2[ e negativa em ] - , z1[ ]z2, + [

165


•

Extremos e Monotonia: o

se a < 0: não tem mínimos tem um máximo absoluto de valor −

∆ b em m = − 4a 2a

crescente em ] - ,m] e decrescente em [m, + [

o

se a> 0: não tem máximos tem um mínimo absoluto de valor −

∆ b em m = − 4a 2a

crescente em [m, + [ e decrescente em ] - ,m] •

Contradomínio: o

∆  se a< 0:  − ∞,−  4a  

o

 ∆  se a> 0: − ,+∞   4a 

•

A função é contínua no seu domínio

•

A função é par se b=0

•

A função não é injectiva e não é sobrejectiva

•

Gráfico é uma parábola com: o

166

∆   b vértice no ponto do plano de coordenadas  − ,−   2a 4a 


o

concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a <0

Nas figuras Fig. 1, Fig. 2 e Fig. 3 encontram-se representados os gráficos de três funções quadráticas.

Fig. 1. Gráfico da função quadrática f(x)=x2-2x-3

Fig. 2. Gráfico da função quadrática g(x)=-x2+2x-3

167


Fig. 3. Gráfico da função quadrática h(x)=x2+4x+4

Exercícios Propostos: 1. Faça um estudo completo da função definida por f (x ) = 4 x − 7 . 2. Represente graficamente, num mesmo referencial, as funções definidas em IR por x: y = x;

y = 2 x;

y = 3 x; y = − x; y = - 2 x; y = −3 X

2.1 Indique as coordenadas do ponto comum aos gráficos de todas elas. 2.2 As funções representadas são todas do tipo y = mx . Relacione o valor de m com a inclinação da cada recta. 2.3 Relacione m com a monotonia da função. 2.4 Indique para cada função os intervalos onde ela é positiva e onde é negativa. 3.Considere a função definida por f (x ) = 4 x − 5 3.1 Calcule f (0 ); f (2,5 ); f (− 1) 3.2 Represente graficamente a função 3.3 Resolva as seguintes condições: f (x ) = 11; f (x ) ≤ −3; f (x ) > 4,5 4. Numa caçada assiste-se a certa altura a uma perseguição de um gato a um rato que surge de repente e se lança em fuga. Quando o gato se apercebe da 168


persença do rato já este tem 11 metros de avanço. Sabe-se que a velocidade média de fuga de um rato é aproximadamente de 10m/s e a do gato 12m/s. 4.1 Das expressões que se seguem identifique a que traduz a fuga do rato e a que traduz a perseguição do gato: e = 12t e = 11 + 10t

4.2 Em que momento da perseguição o gato apanha o rato? Resolva analiticamente e graficamente esta questão.

5. Represente no mesmo referencial os gráficos das seguintes funções: f (x ) = x

g (x ) = x + 2

h (x ) = x − 3

Que conclusões se podem tirar destes gráficos? 6. Represente no mesmo referencial os gráficos das seguintes funções: f (x ) = x

g (x ) = x − 5

h (x ) = x + 4

Que conclusões se podem tirar destes gráficos? 7. Represente graficamente a função m(x ) = 2x − 4 − 3 . 8. Resolve as seguintes condições: 8.1 9 x + 8 = 10 8.2 3 x − 4 < 5 8.3 5 − 4 x − 7 > 0 8.4 5 − x =

1 2

8.5 2 x + 1 ≥ −13

169


9. Representa graficamente a função y = 3 x − 6 − 1 a partir da função y = 3x − 6 .

10. Esboça os gráficos das funções y = f (x ) e y = g (x ) e escreve as respectivas expressões.

11. Defina por ramos as seguintes funções: 11.1 m(x ) = x − 3 + 1 11.2 p(x ) = 2 x − 10 11.3 t (x ) = 4 − 2 x − 5 12. Considere a função: f : x → y = x 2 − 3 x . Obtenha as representações gráficas das funções: 12.1 f (x ) 12.2 f ( x ) 13. Diga qual o sentido e concavidade do gráfico das seguintes funções: 13.1 y = − x 2 + 3 2

13.2 y = −2(x − 1) + 3 13.3 y = 1 − x − x 2 14. Determine o eixo de simetria e o vértice da parábola que representa graficamente a função:

170


14.1 y 1 = x 2 − 4 x + 3 14.2 y 2 = −2 x 2 − 4 x + 16 15. Determine os zeros das seguintes funções: 15.1 f1 (x ) = x 2 + 3 x − 10 15.2 f2 (x ) = − x 2 + 8 x + 30 15.3 f3 (x ) = − x 2 + 4 x − 4

16. A partir do gráfico da função y = x 2 , esboça o gráfico das seguintes funções: 16.1 y = x 2 − 2 16.2 y = − x 2 + 2 16.3 y = 2 x 2 − 4 2

16.4 y = (x + 3 )

2

16.5 y = (x − 5 ) − 1 2

16.6 y = 2(x + 1) − 2 17. Observe os gráficos e faz corresponder a cada um deles a respectiva expressão analítica: 17.1 y = x 2 17.2 y = x 2 − 3 17.3 y = x 2 + 3 x 2

17.4 y = (x + 3 )

171


18. Considere a seguinte função y = − x 2 − 3 x + 4 : 18.1 Quais são os zeros da função? 18.2 Quais são as coordenadas do vértice da parábola correspondente à função? 18.3 Esboçe o gráfico da função 18.4 Indique o conjunto solução da condição y ≥ 0 . 18.5 Indique o extremo da função e os intervalos de monotonia.

19. Considere a função real de variável real definida por: f (x ) = x 2 − 2 x − 3 2

19.1 Escreva f (x ) na forma (x − h ) + k , com h , k ∈ IR . 19.2 Indique as coordenadas do vértice e escreva a equação do eixo de simetria da parábola que representa o gráfico da função. 19.3 Determine os zeros da função. 19.4 Para que valores de x a imagem da função é negativa? 20. No instante t=0, uma bola é lançada na vertical de um ponto situado a 1,5 metros do solo. Após t segundos, a distância da bola ao solo, em metros, é dada por: h = −2t 2 + 6t + 1,5 20.1 Determine a altura máxima que a bola consegue alcançar. 20.2 Determine, a menos de uma décima de segundo, o instante em que a bola atingiu o solo. 20.3 Determine, a menos de uma décima de segundo, quanto tempo a bola permanece acima dos 3 metros de altura.

172


Caderno V10

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