Cadenas de Markov Absorbentes p12
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Concepto de cadena absorbente
Una cadena de Markov es Absorbente cuando algunos de sus estados son absorbentes y el resto son transitorios. Si Q es finita y absorbente, los elementos que la componen pueden ser reordenados así:
Q ' Q = 0
R
I
Q= Estados Transitorios (S-m)x(s-m) R=Transiciones de estados transitorios a estados absorbentes O= Matriz nula I= Matriz Identidad de mxm
Resultados sobre cadenas absorbentes
Proposición: El número medio de etapas que se estará en el estado transitorio j∈S antes de la absorción, suponiendo que empezamos en el estado transitorio i∈S, viene dado por el elemento (i,j) de
(I–Q’)–1
Resultados sobre cadenas absorbentes
Proposición: La probabilidad de ser absorbido por un estado absorbente j∈S, suponiendo que empezamos en el estado transitorio i∈S, viene dada por el elemento (i,j) de la matriz
(I–Q’)–1 R que se denomina matriz fundamental de la Cadena de Markov
Ejemplo 1 La situación de deudas activas de una empresa se modela como una cadena de Markov Absorbente, suponga que una empresa asume que una cuenta es incobrable si tiene mas de tres meses de atraso. Entonces al comienzo de cada mes cada cuenta se puede clasificar en uno de los siguientes estados: 1.Cuentas Nuevas 2.El pago tiene un mes de atraso 3.El pago tiene dos meses de atraso 4.El pago tiene tres meses de atraso 5.La cuenta ha sido pagada 6.La cuenta es incobrable
Ejemplo 1 Suponga que la matriz de transición es:
0 0 1mes 2meses 0 3meses 0 Pagada 0 Incobrable 0 Nueva
0.6
0
0
0.4
0
0.5
0
05
0
0
0.4
0.6
0
0
0
0.7
0
0
0
1
0
0
0
0
0 0 0.3 0 1 0
¿Cuál es la probabilidad de que una cuenta de tres meses de atraso sea pagada? ¿Cuántas transiciones pasaran para que una cuenta nueva se convierta en incobrable?
Ejemplo 2 El bufete jurídico de Mason y Burger emplea tres tipos de abogados, principiantes, experimentados y asociados. Durante un año determinado hay una probabilidad de 0.15 de que un abogado principiante sea promovido a experimentado y una probabilidad de 0.05 de que salga de la empresa. También hay una probabilidad de 0.2 de que un abogado experimentado sea promovido a asociado y una probabilidad de 0.1 de que salga de la empresa. La probabilidad de que un asociado salga de la empresa es de 0.05. La empresa nunca degrada a un abogado. ¿Cuál es la probabilidad de que un abogado principiante salga de la empresa sin ser asociado? En promedio. ¿Cuánto permanece un abogado principiante recién contratado?
Ejemplo 3
La oficina de admisiones de State College modelo la trayectoria de un estudiante como una cadena de Markov, obteniendo: 0 1 .0 8 . Pr incipiante
.
0
0
01
. 0 85.
0
0 05 .
0
. 0 05 .
0
EstudianteS0
01
EstudianteP0
0
EstudianteU0
0
0
01
0 15 . 0 8
.0
05
.0
0
85
Deserciones
0
0
0
0
1
0
Graduados
0
0
0
0
0
1
.
Ejemplo 3 El estado de cada estudiante se observa al comienzo de cada trimestre de otoño. Por ejemplo, si un estudiante está en el penúltimo año al comienzo del trimestre del otoño actual hay una probabilidad de 80% de que esté en el último año al comienzo del siguiente trimestre de otoño, 15% de que aún sea estudiante de penúltimo año y 5% de que haya sido dado de baja. Si un estudiante entra como principiante. ¿Cuántos años espera pasar como estudiante? ¿Cuál es la probabilidad de que se gradúe un principiante?
Ejemplo 4
En un juego participan dos jugadores, A y B. En cada turno, se lanza una moneda al aire. Si sale cara, A le da $1 a B. Si sale cruz, B le da $1 a A. Al principio, A tiene $3 y B tiene $2. El juego continúa hasta que alguno de los dos se arruine. Calcular:
La probabilidad de que A termine arruinándose. La probabilidad de que B termine arruinándose. El número medio de lanzamientos que tarda en acabar el juego.
Ejemplo 4
Tendremos una Cadena de Markov con un estado por cada posible estado de cuentas de A: S={1, 2, 3, 4, 5, 0}. Descomponemos Q:
0 0,5 0 Q = 0 0 0
0,5
0,5
0
0
0
0
0,5
0
0
0
0,5
0
0,5
0
0
0
0,5
0
0,5
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0 0,5 Q' = 0 0
0,5
0
0
0,5
0,5
0
0
0,5
0 0 R = 0 0,5
0,5 0 0 0
0 0,5 0 0
Ejemplo 4
Realizamos los cálculos necesarios: −1
0 1 − 0,5 0 1,6 − 0,5 1 − 0,5 0 1,2 − ( I − Q ') = = 0 − 0,5 1 − 0,5 0,8 − 0,5 1 0,4 0 0 1
0,2 0,4 −1 ( I − Q') R = 0,6 0,8
0,8
0,6 0,4 0,2
1,2
0,8
2,4
1,6
1,6
2,4
0,8
1,2
0,4
0,8 1,2 1,6
Ejemplo 4
Probabilidad de que A termine arruinándose.
La ruina de A está representada por el estado 0, que es el 2º estado absorbente, con una probabilidad de 0,4 de que A empiece con $3 y termine en la ruina.
Probabilidad de que B termine arruinándose
Como es el suceso contrario del apartado a), su probabilidad será 1–0,4=0,6.
Ejemplo 4
Número medio de tiradas que tarda en acabar el juego
Sumamos los números medios de etapas que se estará en cualquier estado transitorio antes de la absorción, suponiendo que empezamos en el 3 er estado transitorio. Dichos números medios son los que forman la 3ª fila de la matriz (I –Q’)–1. El promedio es: 0,8+1,6+2,4+1,2=6 tiradas.
Nota: si observamos la 1ª columna de (I –Q’)–1R, vemos que los valores van creciendo. Esto se debe a que, cuanto más dinero tenga al principio A, más probabilidad tiene de ganar el juego.
Ejemplo 5 Freezco Inc. Vende refrigeradores. La compañía emitió una garantía para los refrigeradores en la que se establece la sustitución sin cargos de cualquier refrigerador que se descomponga antes de tres años de uso. Se tiene la siguiente información. 3% de los refrigeradores nuevos se descomponen durante su primer año 5% de los refrigeradores con un año de antigüedad se descomponen durante su segundo año 7% de los refrigeradores con dos años de uso se descomponen durante su tercer año de operación Utilice la teoría de cadenas de Markov para predecir la fracción de los refrigeradores que Freezco tendrá que reemplazar Suponga que freezco gasta 500 dólares en reemplazar un refrigerador y que las ventas anuales de freezco suman 10.000 refrigeradores. Si la compañía redujera el periodo de garantía a dos años ¿Cuánto se ahorraría n sustitución?
