CURSO CONCRETO ARMADO I
Comportamiento en flexión Comportamiento flexión de Vigas.Vigas.- Rango Elástico Elásti co e Inelástico.Inelástico.- Estado Elástico Elástico no Agrietado Agrietado (EENA).(EENA ).- Estado Elásti Elástico co Agrietado Agrietado (EEA) (EEA)..
Ing. Omart Tello Malpartida
Introducción Viga simplemente apoyada sometida sometida a cargas concentradas b h
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Introducción Si las cargas concentradas se incrementan, la zona de estudio (flexión pura), atraviesa las siguientes etapas: Variación de los esfuerzos y deformaciones con el incremento del momento aplicado
EENA
EEA
RANGO ELASTICO (METODO DE SERVICIO)
Concreto Armado I
f ct = f r = 2√ f´c f cc = 0.5 f´c
RANGO INELASTICO (METODO DE ROTURA)
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DISEÑO EN SERVICIO (rango elástico)
Conforme aumentan las cargas, las fisuras se van ensanchando y se dirigen al eje neutro. Si se retira las carga repentinamente, las fisuras se cerraran, pero si el elemento se recarga estas reaparecerán rápidamente.
EENA
EEA
Esfuerzos Permisibles en el Rango Elástico: Concreto:
Sección sin fisurar (a) La carga externa es pequeña, los esfuerzos de compresión y de tracción en la sección no superan la resistencia del concreto, no se presentan fisuras.
Acero: f s = 0.5 fy
Concreto Armado I
Sección fisurada (b) Se alcanza el denominado momento critico (Mcr), bajo el cual se desarrollan las primeras fisuras.
Sección fisurada (c) El concreto al agrietarse no resiste esfuerzos a tracción y este es absorbido íntegramente por el refuerzo. La sección pierde rigidez pues su momento de inercia disminuye, esto ocasiona que las deflexiones sean mayores, en esta etapa el concreto tiene una distribución de esfuerzos lineal.
Ing. Omart Tello Malpartida
DISEÑO EN ROTURA (rango inelástico)
Sección sin fisurar (d) El refuerzo alcanza el esfuerzo de fluencia, aunque el concreto no llega a su máxima resistencia. La distribución de esfuerzos en el concreto adoptan una distribución aproximadamente parabólica.
Concreto Armado I
Conforme aumentan las cargas, las fisuras se van ensanchando y el eje neutro se desplaza hacia arriba. Si se retira las carga repentinamente, las fisuras no se cerraran.
Sección fisurada (e) Conforme se incrementa la carga, la deflexión se incrementa rápidamente y las fisuras se ensanchan, el acero entra en la fase de endurecimiento por deformación y finalmente el concreto falla por aplastamiento.
Ing. Omart Tello Malpartida
Esfuerzos de flexion en vigas Existen tres estados: O C I T S A L E O G N A R
O C I T S A L E N I O G N A R
Estado 1 : EENA. No requiere refuerzo en tracción Estado 2: EEA (Diseño en Servicio) Estado 3: En condiciones Ultimas. (Diseño en Rotura)
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Estado Elástico No Agrietado (EENA) Para pequeñas cargas: La sección es analizada de acuerdo a la teoría de vigas homogéneas elásticas. (concreto : fct < fr, fcc < 0.50f’c, Acero : fs < 0.5 f y)
La sección de concreto armado (heterogénea) es remplazada para el análisis por una sección equivalente de concreto (homogénea) denominada “sección trasformada”, donde el área de refuerzo se sustituye por un área equivalente de concreto [(n-1) As], ubicada en el mismo nivel del acero
CASO A
CASO B
d As
Sección Real
SECCION REAL
Sección Transformada
Sección Transformada
At = Ac +n As
At = Ag +(n-1) As
SECCION TRANSFORMADA EN VIGAS
Concreto Armado I
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Calculo de la relación modular “n”
Acero grado 60 Concreto armado
: Es = 2x106 k/cm2, : Ec = 15000 √ f´c Kg/cm2
n = Relación modular = Es / Ec f’c (k/cm 2 )
n
175 10
Concreto Armado I
210 9
280 8
350 7
420 6
560 5
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Estado Elástico Agrietado (EEA) Concreto: Esfuerzo Compresión por flexión : fcc < 0.50f’c (Rango Elástico) Esfuerzo Tracción por flexión : fct > fr (Agrietado) Refuerzo: Esfuerzo en tracción (f s): Es calculado por equilibrio fs < 0.5f y (Rango Elástico)
E.N
Sección Real
Sección Transformada
At = Ac +n As
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Ejemplo: EENA
En la sección de concreto armado indicado en la figura, calcular los esfuerzos en el concreto y el acero, cuando se aplica el momento flector de 5.5 t-m. 25 f’c = 210 k/cm 2 fy = 4200 k/cm 2 d = 59 cm.
h = 65 cm.
As
As = 3 φ 1” M (+) = 5.5 t-m = 550,000 k-cm
6 cm. Centroide del grupo de varillas
Concreto Armado I
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Sección Transformada 25
25
d = 59 cm.
h = 65 cm.
h = 65 cm.
n A s
d = 59 cm.
(n-1) A s
As = 3 φ 1” = 3 ( 5.1 cm 2 )= 15.3 cm 2 (n-1) As =8 (15.3 cm 2 ) = 122.4 cm 2
Concreto Armado I
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Calculo de eje neutro (E.N) 25
d = 59 cm. h = 65 cm.
Elem.
Ai (cm 2 )
Y i (cm)
A i .Y i (cm 3 )
1
25x65=1625
32.5
52812.5
2
122.4
6
E.N
y
1747.4
734.4
53546.9
6 cm. (n-1) As = 122.4 cm 2
=∑
Ai .Y i
∑ A
= 53546.90 = 30.64 cm 1747.4
i
Concreto Armado I
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Calculo de IE.N 25
d = 59 cm. h = 65 cm.
Elem.
Ii (cm 4 )
d = │Y-Y i │
2 (cm 4 A i.d )
1
25x653 /12 = 572135.42
32.5-30.64=1.86
1625(1.86) 2 = 5621.85
2
0
30.64-6=24.64
122.4(24.64)2 = 74312.66
E.N
572135.42
y
79934.51
6 cm.
I E . N =
(n-1) As = 122.4 cm 2
∑ I + ∑ A .d
2
i
i
I E . N = 572,135.42 + 79,934.51 I E . N = 652,069.93 cm4 Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Esfuerzos en el concreto f cc = 28.58 k/cm 2
25
d = 59 cm. 34.36 h = 65 cm.
E.N
30.64 6 cm. (n-1) As = 122.4 f cc =
f ct =
M .Y c I M .Y t I
=
=
550000 k-cm x 34.36 cm 652069.93 cm
4
550000 k-cm x 30.64 cm
Concreto Armado I
f cs
f ct = 25.84 k/cm 2
cm 2
652069.93 c m
24.64
4
=28.58 k/cm 2 <0.5f'c=0.5(210)=105 kg/cm 2
! Rango Elástico ¡ =25.84 k/cm 2 < 2. f'c=2 210=28.98 kg/cm 2 ! No Agrietado ¡ Ing. Omart Tello Malpartida
Esfuerzos en el acero f cc = 28.58 k/cm 2
25
f cs
d = 59 cm.
h = 65 cm.
As
24.64 cm
34.36 E.N
30.64 6 cm.
=
25.84 k/cm 2 30.64 cm
f cs = 20.78 k/cm2
24.64
f cs = 20.78 k/cm 2
f ct = 25.84 k/cm 2 Esfuerzos en la Sección Transformada de concreto
Sabemos. f s = n. f c f s = 9 ( 20.78 k/cm 2 )
f s = 187.02 k/cm 2 < 0.5 f y =0.5 ( 4200 k/cm 2 ) = 2100 k/cm 2 ! Rango Elástico ¡ Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Estado Elástico Agrietado (EEA) Para cargas moderadas: Estado Elástico y la Sección Agrietada
El esfuerzo de tracción por flexión en el concreto excede el valor admisible [fr = 2 f’c], por lo tanto se encuentra agrietada en la zona en tracción El esfuerzo en compresión por flexión en el concreto no excede del admisible [0.5 f’c], por lo tanto se encuentra en el rango elástico. En la zona en tracción, como el concreto esta agrietado, el refuerzo colocado absorte íntegramente el esfuerzo en tracción.
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Calculo de Eje Neutro (E.N) f c
b
b K.d E.N
d
d
h
T = f s . A s
A s
∑ M
E.N
=0
⎡ Kd ⎤ b.Kd ⎢ ⎥ = n.As(d − Kd) ⎣2⎦ b.
( Kd )2 2 2
bd . .K 2
n A s
Haciendo:
ρ=
As b.d
: C uantia de acero en t raccion
K 2 = 2.n. ρ .(1 − K )
= n.As.d(1− K )
K 2 + (2.n. ρ ) K − 2.n. ρ = 0 K = (n. ρ )2 + 2( n.ρ ) − n.ρ
= n.As(1− K)
⎛ As ⎞ K2 = 2.n. ⎜ ⎟(1− K ) . ⎠ ⎝ bd Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Calculo de esfuerzos f c
b K.d
K.d d
h
n A s
y = K.d/3 C = (Kd)(f c ).b/2
T = f s . A s
J.d = d- K.d/3 J = 1- K/3
f c
Σ M c = 0 M = T. Jd = (As.fs)Jd
C = (Kd)(f c ).b/2
fs = M/As. Jd
Σ M T = 0
M = C. Jd = (Kd.fc.b/2).Jd fc = 2M/Kd. Jd.b Concreto Armado I
M T = f s . A s Ing. Omart Tello Malpartida
Ejemplo: EEA
En la sección de concreto armado indicado en la figura, calcular los esfuerzos en el concreto y el acero, cuando se aplica el momento flector de 11 t-m. 25 f’c = 210 k/cm 2 fy = 4200 k/cm 2 d = 59 cm.
h = 65 cm.
As
As = 3 φ 1” M (+) = 11 t-m = 11 x 10 5 k-cm
6 cm. Centroide del grupo de varillas
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Sección Transformada 25
b K.d d = 59 cm.
h = 65 cm.
As
d
h
n A s
n A s
As = 3 φ 1” = 3 ( 5.1 cm 2 )= 15.3 cm 2 n. As = 9 (15.3 cm 2 ) = 137.7 cm 2
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Calculo de Eje Neutro (K.d): b = 25
f c
b K.d = 20.53
E.N
d
d = 59
h = 65
T = f s . A s
A s
Hacien do:
ρ=
As b. d
: Cuantia de acero e n t raccion
K = 2.n. ρ .(1 − K )
ρ = 15.3/25x59 ρ = 0.0103
2
n. ρ = 0.093
K 2 + (2.n. ρ ) K − 2 .n. ρ = 0 K =
44.47
n A s
K = 0.348
( n. ρ )2 + 2( n.ρ ) − n.ρ
K.d = 20.53 cm Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Esfuerzo en el concreto ( fc) y acero (fs) b = 25
f c
b K.d / 3
C d = 59
h = 65
A s
K = 0.348 K.d = 20.53 cm J = 1 - K/3 J = 0.884 J.d = 52.16 cm Concreto Armado I
K.d = 20.53
E.N
d
J.d = 52.16
T = f s . A s
n A s
44.47
fs = M/A s .Jd = 11x10 5 k-cm/(15.3 cm 2 )(52.16cm) fs = 1378.5 k/cm 2 < 0.5 fy = 2100 k/cm 2 ! Rango Elástico ¡ fc = 2M/Kd.Jd .b = 2(11x10 5 k-cm)/(20.53cm)(52.16cm)(25cm) fc = 82.50 k/cm 2 < 0.5 f’c = 105 k/cm 2 ! Rango Elástico ¡
Ing. Omart Tello Malpartida
Conclusiones: 1.- Eje Neutro: El plano del eje neutro se ha desplazado hacia arriba de y = 30.64 cm (EENA) a y = 44.47 cm (EEA)
2.- Esfuerzos: A pesar que el momento flector se ha duplicado el esfuerzo de tracción del acero ha aumentado de 187.02 k/cm 2 (EENA) a 1378.5 k/cm 2 (EEA) aprox. 7 veces y el esfuerzo en compresión del concreto ha aumentado de 28.98 k/cm 2 (EENA) a 82.20 k/cm 2 (EEA) aprox.2.8 veces.
Concreto Armado I
Ing. Omart Tello Malpartida
Conclusiones: 3.- Momento de Inercia (I): Sección Agrietada: 25
E.N
6 cm.
K.d = 20.53
n A s =137.7
A i
I i (cm 4 )
d = │Y-Y i │
A i .d 2 (cm 4 )
513.25
25x20.533 /12 = 18027.09
20.53/2=10.27
513.25(10.27) 2 = 54133.97
137.7
0
44.47-6=38.47
137.7(38.47)2 = 203787.86
44.47 18,027,09
257921.83
I = 275,948.92 cm 4 (EEA) La Inercia se reduce en 42.31 % Concreto Armado I
I =652,069.93 cm 4 (EENA) Ing. Omart Tello Malpartida
¿ Preguntas ?
