MICROECONOMÍA I EJERCICIOS RESUELTOS Profesor Francisco Javier De la Fuente M. & Ayudante Rodolfo Ignacio Salazar A.
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Industrias, Economía & Negocios
1
Índice I
INTRODUCCIÓN
3
1. AYUDANTIA I
3
1.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4. PREGUNTA IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2. AYUDANTÍA II
8
2.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3. AYUDANTIA III
10
3.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.4. PREGUNTA IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II
TEORÍA INTERMEDIA DE LA DEMANDA
4. AYUDANTÍA IV
14 14
4.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.3. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4. PREGUNTA IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. AYUDANTIA V
17
5.1. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6. AYUDANTIA VI
20
6.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.3. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2
Parte I
INTRODUCCIÓN 1. 1.1.
AYUDANTIA I PREGUNTA I
Nos encontramos en las Galias en tiempos del Imperio Romano. Después de tantas guerras contra los romanos Asterix y Obelix son los únicos habitantes galos que quedan. En esos tiempos solo se podían hacer dos cosas: cazar jabalíes o hurtar gallinas a los romanos. Asterix puede cazar 4 jabalíes por hora o hurtar 10 gallinas por hora. Obelix, sin embargo, puede cazar 8 jabalíes por hora o hurtar 11 gallinas por hora. Disponen de 15 horas al día para llevar a cabo estas actividades. 1. Grafique la Frontera de posibilidades de producción de Asterix. 2. Grafique la Frontera de posibilidades de producción de Obelix. 3. Calcule el coste de oportunidad para Asterix de robar una gallina romana. 4. Calcule el coste de oportunidad para Obelix de robar una gallina romana. 5. ¿Cuál debería especializarse en cazar jabalíes y cuál en hurtar gallinas? SOLUCIÓN Para las preguntas 1 y 2, se asume que las funciones de producción son lineales pues las horas “no tienen especialización” y que los interceptos de tales funciones vienen dados por la producción máxima de cada bien. Gráficamente se puede ver que:
Figura 1: Fronteras de Posibilidades de Producción Asterix y Obelix.
donde las funciones de producción de Obelix está por sobre la función de producción de Asterix en el primer cuadrante (Ventaja Absoluta). La producción de ambos puede ser representada por: 3
Asterix: 15 =
J G + 4 10
15 =
G J + 8 11
Obelix:
En cuanto a la pregunta 3, el costo de oportunidad de Asterix de robar una gallina romana equivale a 1/10 de hora, que se traduce en dejar de producir 4/10 de Jabalí. En cuanto a la pregunta 4, el costo de oportunidad de Obelix de robar una gallina romana equivale a 1/11 de hora, que se traduce en dejar de producir 8/11 de Jabalí. Dado que el costo de oportunidad de Asterix de cazar gallinas es menor al costo de oportunidad de cazar gallinas de Obelix, el primero debería especializarse en cazar Gallinas Romanas y por lo tanto, Obelix debería especializarse en cazar Jabalíes. (El reciproco de los costos de oportunidad conlleva al mismo resultado)
1.2.
PREGUNTA II
Considere una nación que produce dos bienes representativos, x e y, donde la Frontera de Posibilidades de Producción está determinada por: 2x2 + φy 2 = 225 Donde φ = 1 Determine algebraicamente la Relación Marginal de Transformación; ∂y/∂x. ¿Qué indica la RMT para los valores de x = 10 e y = 5? ¿Que podría decir del costo de producir una unidad más de y? ¿y de producir una más de x? Suponiendo que φ = 0, 5, ¿qué podría decir que ha sucedido a la producción de y? ¿Qué puede decir de la nación, si ante esta nueva situación mantienen una producción de x = 10 e y = 5?
SOLUCIÓN Por derivación implicita, se obtiene la expresión, 2(2x) + 2y
TMT = −
dy =0 dx
dy 2x = dx y
cuando x = 10 y y = 5, un punto que vive sobre la curva de FPP, se tiene que T M T = 4, esto indica que para mantener una condición de producción eficiente, un aumento de 1 unidad de producción de x equivale a dejar de producir aproximadamente 4 unidades de y. Análogamente, esto equivale a decir que para producir una unidad más de y se debe renuncia a 1/4 de unidad de x. Al tener φ = 0, 5, se aprecia que este cambio es una mejora tecnológica de la producción de y, gráficamentese aprecia esto en la figura 1.1, puesto que con al cota de recursos de 225, gracias a ese factor de eficiencia, la cantidad máxima de producción de y aumenta. Notar que la cantidad máxima de producción de x no se ha modificado. Dadas las condiciones de producción anterior, con la nueva tecnología, se tiene que 2(102 ) + 0,5(52 ) = 212, 5 < 225, por lo tanto, la combinación de producción constituye un punto ineficiente de producción. 4
Figura 1.1: Cambio tecnológico en y
1.3.
PREGUNTA III
Suponga un mercado perfectamente competitivo, donde la demanda se encuentra bien modelada según la función de demanda inversa p(y) = a − by considerando que a, b ∈ R+ son parámetros de la función. Supongamos además 3 casos posibles para modelar la oferta descritos según: A: La elasticidad precio punto de la oferta es igual a cero. B: La elasticidad precio punto de la oferta tiende a infinito C: La función es lineal y además se sabe que (y0 , p0 ) = (0, 0), (y1 , p1 ) = (20, 10) son puntos de la curva de oferta. Suponiendo además que el equilibrio de las tres situaciones enfrentadas a la curva de demanda es el mismo. 1. Obtenga las expresiones de la curva de oferta para los casos A, B y C, y determine el equilibrio en función de los parámetros a, b. Se recomienda graficar.
Solución 1. Si se sabe que todas las funciones tienen el mismo equiibrio, y ademas la función en la situación C al ser lineal será 2a a y = 2p. De ello, el equilibrio de mercado será y ∗ = 1+2b , p∗ = 1+2b , con ello la función de oferta en A es totalmente 2a inelástica al precio y por tanto descrita por y = 1+2b . Análogamente, la función de oferta de la situación B será a totalmente elástica al precio, y con ello se describe según la expresión p = 1+2b . Gráficamente se tiene la forma a continuación. 5
Figura 1.2: Situaciones A, B, C del mercado. 2. En el caso A todo el impuesto será imputado al productor y por tanto, el precio de equilibrio se mantendrá y será a . En el caso B se tendrá que todo el impuesto será imputado a los consumidores y por lo tanto el precio p∗ = 1+2b a del comprador será el precio del productor, constante, más el impuesto, o sea, p∗ = 1+2b + t. En el caso C ambos agentes sufriran los efectos del impuesto, según p∗ = t + pvendedor ycomprada = yvendida dicho sistema tiene como equilibrio p∗ =
a+2bt 1+2b .
3. En el caso A, la P IE = 0 puesto que no se reduce el nivel de producto transado. En el caso B la P IE = t2 . caso C se tendrá una P IE = 1+2b
t2 2b .
En el
4. En conocimiento de que en el caso A, la función de oferta toma todo el impuesto, el precio del comprador no varía, ∗ ∗ a por lo tanto ∂p (a,b,t) = 0. En el caso B se sabe que la funciónp∗ (a, b, t) = 1+2b + t, y por lo tanto ∂p (a,b,t) = 1, lo dt dt cual es lógico, puesto que en este caso, todo el impuesto será adjudicado al consumidor, y por tanto, un aumento de un peso en el impuesto es, en efecto, un aumento de un peso en el precio del comprador p∗ .
1.4.
PREGUNTA IV
En el mercado de los motocicletas de la Ciudad de Santiago de Chile, las curvas de oferta y demanda se detallan a continuación: yo = 1750 + PM otocicleta − 50 ∗ PCombustible yd = 1500 − PM otocicleta + 0, 25I 2 Actualmente, se puede decir que el ingreso, I, del mercado es de 100 u.m. Además el Precio del combustible, PCombustible está a 35 u.m. el litro. 1. Determine el equilibrio actual de mercado. 2. Determine la elasticidad punto de la oferta y la demanda en el equilibrio. Concluya al respecto. 6
3. En las noticias, se comunica un alza en el precio de los combustibles, dado un problema en Medio Oriente, ¿Qué repercusiones puede traer esto al mercado? Justifique. 4. Encuentre una expresión para la Elasticidad Ingreso, en función del Precio de las Motocicletas y del Ingreso. ¿Existe alguna relación entre PM otocicletas e I, donde el bien se vuelva inferior? Solución 1. Por ceteris paribus, se tiene que las funciones de demanda y oferta serán yd = PM yo = 4000 − PM ∗ dado que el equilibrio será donde yd = yo , se obtiene el equilibrio en PM = 2000, y ∗ = 2000.
2. La Elasticidad precio punto de la oferta será Eo =
∗ ∂yo PM =1 ∂PM yo∗
La elasticidad precio punto de la demanda será Eo = −
∗ ∂yd PM =1 ∂PM yd∗
con lo anterior se puede decir que en el equilibrio, un aumento de un 1 % en el precio, provoca un aumento de un 1 % en la cantidad ofertada, y una disminución de un 1 % en la cantidad demandada. Es interesante notar que para la oferta, esta situación no depende del punto, pues es lineal y parte desde el origen. 3. Un alza en el precio de los combustibles, dado que este está modelado como un factor subyacente de la oferta, pro∂yo vocará una contración de la curva de oferta, puesto que ∂P < 0 pues la dependencia es lineal y se signo negativo. C Gráficamente se tiene lo descrito por la figura 1.
Figura 1.3: Equilibrio y Repercusión de Variaciones en el precio del combustible 4. Se expresa de la siguiente forma, digamos, EI =
∂yd I 0, 5I 2 = ∗ ∂I yd 1500 − PM + 0, 25I 2 7
de lo anterior, el numerador será siempre positivo, por lo tanto, si se desea una elasticidad negativa, el denominador debe ser negativo, por lo tanto, 1500 − PM + 0, 25I 2 < 0 PM > 1500 + 0, 25I 2 mientras la condición anterior se cumpla, el comportamiento de las motocicletas será normal.
2. 2.1.
AYUDANTÍA II PREGUNTA I
Suponga una función de demanda de la forma: Qd =
1000 P2
1. ¿Esta curva cumple con la ley de la demanda? 2. Determine la expresión de Elasticidad Precio de la Demanda. 3. ¿Para qué valor del Precio, la Elasticidad Precio será unitaria? Solución 1. Para que cumpla la ley de la demanda, ∀P, Q ∈ R+ ,
∂Q ∂P
6 0. Con ello, se pude ver que:
∂Q 2000 =− 3 ∂P P lo cual es negativo para cualquier P > 0. 2. La expresión se puede obtener en base a las funciones 1.1 y 1.2 según, ∂Q P 2000 P = − 3 1000 = −2 ∂P Q P P2 3. De la ecuación, se puede decir por tanto, que la Elasticidad nunca será unitaria, pues no depende del Precio.
2.2.
PREGUNTA III
Usted como asesor gubernamental del Ministerio de Salud, se le comunica la preocupación por el actual consumo de alcohol, determinado por un estudio que entrega la siguiente información. Q = 2000 − 2P Q = 2P − 800 Se le requiere determinar: 1. Excedente del Productor y del Excedente del Consumidor. El ministerio le ofrece como herramienta de control la implementación de un impuesto específico “t”, tal que la Recaudación Fiscal sea igual a la Pérdida Irrecuperable de Eficiencia. 2. Establezca el valor del impuesto “t” que puede implementar. 3. Con este impuesto “t”, determine el Precio del Comprador, el Precio del Vendedor, la Cantidad Demandada, y la Cantidad Ofertada. 4. Cuantifique Variación del Excedente del Productor, Variación del Excedente del Consumidor, Recaudación Fiscal y Pérdida Irrecuperable de Eficiencia, con el valor de “t”. 8
Solución 1. Para obtener ambos excedentes, se requiere del valor del equilibrio (Q∗ , P ∗ ) = (600, 700), dado por la condición de equilibrio donde se vacía el mercado. Con ello, se tendrá que los excedentes son:EC = (1000 − 700) ∗ 600/2 = 90,000, EP = (700 − 400) ∗ 600/2 = 90,000.
Figura 2.1: Condición del Mercado 2. Dado que el impuesto máximo a utilizar debe cumplir que la Recaudación Fiscal sea igual a la Pérdida Irrecuperable de Eficiencia, se tendrá que: RF = P IE tQt = (Q∗ − Qt )
t 2
Donde Qt es la cantidad transada en el mercado ante la existencia del impuesto. Eliminando t a ambos lados, se tiene que Qt = 200. Evaluando Qt en las funciones de demanda y oferta se tendrá que PC = 900, PV = 500 y por lo tanto, el impuesto será t = 400. 3. En base al punto 2, se tiene que el precio del comprador es PC = 900, el del vendedor PV = 500, y la cantidad demanda y a la vez ofertada será QO = QD = Qt = 200. 4. De los resultados del punto anterior, se tiene que: RF = 400 ∗ 200 = 80,000 P IE = (600 − 200) ∗
400 = 80,000 2
4EC = (1000 − 900) ∗ 200/2 − 90,000 = 10,000 − 90,000 = −80,000 4EC = (500 − 400) ∗ 200/2 − 90,000 = 10,000 − 90,000 = −80,000 Nótese finalmente que la suma de los excedentes iniciales es igual a la suma de la recaudación fiscal, la PIE y los excedentes despues de impuesto. Este resultado confirma el proceso y sirve como un buen checkpoint en la realización del análisis. RF + P IE + ECt + EPt = 180,000 = EC + EP 9
3. 3.1.
AYUDANTIA III PREGUNTA I
Suponga el mercado de automóviles donde la demanda nacional esta determinada por y = 200p−1,2 y la oferta nacional esta dada por y = 1, 3p. En el largo plazo los equilibrios muestran que p∗ = 9, 87 y y ∗ = 12, 8. Suponga que el precio internacional de automóviles es de 9. 1. Determine gráficamente y explique la situación actual, en cuanto a los excedentes percibidos por cada agente. 2. Suponga que el gobierno implementa un arancel de 0,5. determine gráfica y cualitativamente los efectos. Comente.
Solución 1. Gráficamente, se tiene la situación de mercado mostrada en la figura 6.1, donde los excedentes de consumidor serán representados sobre el área bajo la curva de demanda, pero sobre el precio mundial p = 9, los excedentes del productor nacional, están representados por el área sobre la curva de demanda, pero bajo el precio mundial p = 9. Es interesante notar que la situación actual considera un consumo por sobre la cantidad de producida nacionalmente, donde yd = 14, 32, mientras yo = 11, 7, con ello las importaciones son de yimp = yd − yo = 2,62.
Figura 3.1: Situación del Mercado de Automóviles 2. Si el gobierno implementa un arancel la situación de mercado será descrita como la figura 6.2, ocurre que la cantidad demandada disminuira a yd = 13, 42 y la cantidad ofertada aumentará a yo = 12, 35, con ello la cantidad importada tiene un valor de yimp = 1, 07, lo cual es esperable dado que un arancel desincentiva las importaciones. Considerando lo anterior, el excedente del consumidor disminuye, ya que su precio de compra es de p = 9, 5, en vez de p = 9., el excedente del productor aumenta, dado que venden más unidades a mayor precio. Se puede cuantificar la ecaudación fiscal como RF = 0, 5∗1, 07 = 0, 535. Finalmente, se puede determinar que aquella área del excedente del consumidor que se ha perdido, y no ha sido tomada por los productores ni el recaudador fiscal, será una pérdida irrecuperable de eficiencia. 10
Figura 3.2: Situación del mercado con arancel
3.2.
PREGUNTA II
El mercado de Café en Grano es un mercado altamente estable durante el año. En general, se puede asumir que su comportamiento está en base a los supuestos de competencia perfecta. Finalmente, después de un largo estudio, se logro determinar que el mercado se comporta de manera tal que: A. La Demanda se comporta como una función lineal, descrita por:
Qd
=
5000 − 2PCaf e´ + PT e´ − 0, 5PAzu´car
B. La Oferta se comporta como una función lineal donde en un punto (Qo , P ) = (1500, 750), la Elasticidad Precio de la Oferta toma una Valor de Epo = 1, 50 Si actualmente, PT e´ = 800, PAzu´car = 600. 1. Caracterice las funciones de Oferta y Demanda en Ceteris Paribus, en función del precio de mercado. Grafíque. 2. Obtenga el Equilibrio de Mercado. 3. Obtenga los Excedentes del Consumidor y del Productor. Solución 1. La función de Demanda se describe por: Qd = 5000 − 2PCaf e´ + PT e´ − 0, 5PAzu´car = 5500 − 2PCaf e´ La función Oferta tiene la propiedad de ser lineal, y por tanto: Epo =
∂Qo PCaf e´ 750 =m∗ = 1, 5 PCaf e´ Qo 1500
En consecuencia, m = 3, y con ello la función de oferta es: Qo = 3PCaf e´ − 750 11
2. Por condición de Equilibrio: Qo = Qd 5500 − 2PCaf e´ = 3PCaf e´ − 750 PCaf e´ = 1250, Q∗ = 3000 3. Los excedentes del consumidor y del productos vienen dados según lo siguiente: EC = (2750 − 1250) ∗ 3000 ∗ 0,5 = 2250000 EP = (1250 − 250) ∗ 3000 ∗ 0, 5 = 1500000
3.3.
PREGUNTA III
Dadas las condiciones descritas en la Pregunta 3.2, y por normativas asociadas a un programa de desarrollo gubernamental, se ha decidido imponer al mercado un impuesto específico de 500. 1. Cuántifique las pérdidas irrecuperables de eficiencia, la recaudación fiscal y la cantidad transada en el mercado, bajo esta nueva situación. 2. ¿Qué parte del mercado soporta de mayor manera el impuesto, en términos de “Excedente Perdido”?
Solución 1. Por condición de Equilibrio: Qo = Qd PComprador = PV endedor + 500 5500 − 2PComprador = 3PV endedor − 750 5500 − 2(PV + 500) = 3PV − 750 4500 − 2PV = 3PV − 750 PV endedor = 1050, PComprador = 1550, Q∗T ransada = 2400 La pérdida irrecuperable de eficiencia será determinada por: P IE = (3000 − 2400) ∗ 500 ∗ 0, 5 = 150000 La recaudación fiscal tiene ua magnitud de: RF = Q∗T ransada t = 2400 ∗ 500 = 1200000 2. Para responder se debe calcular que parte de los excedentes se cede al mercado:
Agente Demanda Oferta
EXC → P IE 90.000 60.000
EXC → RF 720.000 480.000
En consecuencia, quien entrega más excedente es el consumidor. 12
TOTAL 810.000 540.000
3.4.
PREGUNTA IV
Dadas las condiciones descritas en la Pregunta 3.2, y por normativas asociadas a un programa de desarrollo gubernamental, se ha decidido imponer un precio máximo de 1100. 1. Cuántifique las pérdidas irrecuperables de eficiencia y la cantidad transada en el mercado, bajo esta nueva situación. 2. Explique cuantitava y cualitativamente por qué esta medida tiene efectos peores para los productores que para los consumidores. Solución 1. Como se sabe que el precio de equilibrio de mercado actualmente es mayor al precio máximo, la implantación de la política tiene efectos en la industria y el mercado, de manera que: Qo (PM ax ) = 2550 Qd (PM ax ) = 3300 Claramente la cantidad demanda no podrá ser satisfecha, por lo que la cantidad transada será la cantidad ofertada, Qo = QT ransada PV endedor = PComprador = PM ax = 1100, Q∗T ransada = 2550 Además de lo anterior, PDemanda (QT ransada ) = 1475, con estos datos, se puede obtener la pérdida irrecuperable de eficiencia determinada por: P IE = (3000 − 2550) ∗ (1475 − 1100) ∗ 0, 5 = 84375 2. Cualitativamente, la implantación de un precio máximo, provoca una PIE que afecta a ambos agentes del mercado, pero, dado que el precio establece una cota fija, parte del excedente del productor pasará a manos del consumidor, dado que aunque hay una menor cantidad del bien, la demanda accede a el a un precio menor al inicial. Cuantitativamente, se puede determinar que el consumidor incluso aumenta su excedente, mientras que el productor lo ve fuertemente reducido, como confirma la tabla a continuación: Agente Demanda Oferta
13
∆EXC 331875 -416250
Parte II
TEORÍA INTERMEDIA DE LA DEMANDA 4. 4.1.
AYUDANTÍA IV PREGUNTA I
1. Establezca los supuestos principales de la teoría del consumidor y las curvas de indiferencia. 2. Explique como se determina la expresión del Principio de Equimarginalidad, y describa su significado conceptual. 3. Describa 3 situaciones donde la forma de las curvas de indiferencia puede derivar en soluciones de esquina. 4. Explique porque las curvas de Leontief no encuentran un óptimo de esquina, ni tampoco uno que cumpla con el principio de equimarginalidad. Fundamente gráficamente.
Solución 1. Completud, Transitividad, Monotonicidad o No saciedad. 2. Por el método de Lagrange. Conceptualmente significa que la utilidad a obtener por el siguiente peso gastado en un bien, debe ser la misma para todos los bienes, según ∂U ∂U = ... = =λ pi ∂Xi pj ∂Xj 3. Sustitutos, Preferencias de un solo bien o indiferencia ante uno (curvas verticales u horizontales), curvas que tocan el eje. 4. No cumplen con el principio de equimarginalidad, puesto que las curvas de complementos perfectos no son diferenciables en su vértice. No tiene soluciones de esquina, dado que las curvas no tocan los ejes. Las soluciones siempre se encuentran en el vértice.
4.2.
PREGUNTA II
Un consumidor posee la siguiente función de utilidad por los bienes X, Y y Z: U (X, Y, Z) = X 0,5 Y 0,5 (1 + Z)0,5 Los precios de los bienes son px , py y pz , y el ingreso monetario del individuo es I. 1. Plantee el problema de maximización de utilidad del consumidor. 2. Encuentre la Tasa Marginal de Sustitución de Y por X (ceteris paribus). 3. Encuentre las soluciones óptimas de X, Y , Z, en función de los parámetros precios e ingreso. 4. ¿Es Z un bien normal o un bien inferior?
14
Solución 1. Dada la función de utilidad, se tendrá el problema de maximización dado por: maximize U (X, Y, Z) = X 0,5 Y 0,5 (1 + Z)0,5 s.a. px X + py Y + pz Z − I = 0 donde se define la funcion L de Lagrange, L = X 0,5 Y 0,5 (1 + Z)0,5 − λ(px X + py Y + pz Z − I) donde para el óptimo se tendrá ∂L = 0, 5X −0,5 Y 0,5 (1 + Z)0,5 − λpx = 0 ∂X ∂L = 0, 5X 0,5 Y −0,5 (1 + Z)0,5 − λpy = 0 ∂Y ∂L = 0, 5X 0,5 Y 0,5 (1 + Z)−0,5 − λpz = 0 ∂Z ∂L = px X + py Y + pz Z − I = 0 ∂λ de los sistemas anteriores, podemos obtener las relaciones, px X = py Y py Y = pz (Z + 1) reemplanzado en la restricción presupuestara se tiene que I = 3px X − pz I = 3py Y − pz I = 3pz Z + 2pz finalmente se obtienen los consumos óptimos dados por X∗ =
I + pz 3px
Y∗ =
I + pz 3py
Z∗ =
I − 2pz 3pz
2. La TMS de renunciar a Y por más de X es TMS = −
dY UX 0, 5X −0,5 Y 0,5 (1 + Z)0,5 Y = = = dX UY 0, 5X 0,5 Y −0,5 (1 + Z)0,5 X
3. Citadas al final del punto 1. 4.
= 3p1z , donde dado que el precio de Z es siempre positivo, la tasa de cambio de Z óptimo ante variaciones en el ingreso es siempre positiva. Por lo tanto el bien es normal. 15 ∂Z ∂I
4.3.
PREGUNTA III
Francisco consume de los bienes B y F . Las preferencias de Francisco se pueden representar por la siguiente función de utilidad: U (B, F ) = (B −φ + F −φ )−1/φ donde φ = 2. El ingreso monetario de Francisco es $I por mes y los precios de B y F son pB y pF . Responda las siguientes preguntas: 1. Confirme que el comportamiento de la función de utilidad es convexa desde el origen para el valor de φ = 2. 2. Determine la situación cuando φ = −1, ¿que puede decir ante esta nueva situación? 3. Encuentre óptimos para la situación descrita en 1. y la situación descrita en 2. Suponga que pB = 2pF . Solución 1. La TMS, TMS = −
(−0, 5)(−2)F −3 (B −2 + F −2 )−3/2 dB B3 = = 3 −3 −2 −2 −3/2 dF F (−0, 5)(−2)B (B + F )
debe tener magnitud decreciente, por lo tanto,
∂T M S ∂F
3
+ = −3 B F 4 < 0, siemrpe que B y F están en R .
2. Ante tal cambio de parámetro, se tiene que U (B, F ) = B + F , representando una situación de sustitutos perfectos. 3. De acuerdo a la situación 1. , por igualación de pendientes se tendrá que
B3 F3
=
pF pB ,
y dado que pB = 2pF ,
F = 21/3 B con ello,
I = pB B + 2−1 21/3 pB B B=
I (1 + 2−2/3 )pB
I = (2)(2−1/3 )pF F + pF F F =
I (1 + 22/3 )pB
En caso de la situación 2., la T M S = 1, y por tanto, dado que pB = 2pF , se puede decir que la solución será de esquina y solo se consumirá el bien F = I/pF
4.4.
PREGUNTA IV
Considere la función de utilidad de la forma: U (X, Y ) = X 3/4 ∗ Y 1/4 Donde el precio de X es 100 y el precio de Y es de 50. Su ingreso I es de 1.000. Ante el aumento del precio de Y en 20 %, responda: 1. Óptimo previo, y posterior, al cambio de precios. ¿La situación de equilibrio conlleva a una mejora en la satisfacción del individuo? 2. Verifique el cumplimiento de monotonicidad y no saciedad del individuo en los bienes X e Y . 3. Determine la como se relacionan X e Y , ¿existe alguna relación de complementariedad o sustitución? 16
Solución 1. Por equimarginalidad,
UY UX = px py (3/4)X −1/4 Y 1/4 (1/4)X 3/4 Y −3/4 = px py
con ello, 3py Y = px X Finalmente, evaluando en la restricción, I = 4py Y , I = (4/3)px X, obteniendo como óptimos, Y∗ =
I 4py
X∗ =
3I 4px
evaluacion antes del precio se tendrá queY1∗ = 5, X1∗ = 7, 5. Después de cambio de precio, Y2∗ = 4, 16, X2∗ = 7, 5 2. Para verificar no saciedad, o sea mayor consumo implica mayor utilidad, y monotonicidad, o sea, siempre el comportamiento anterior, se tiene que determinar UX > 0 en X, UY > 0 en Y , con ello, UX = (3/4)X −1/4 Y 1/4 > 0, para todoX > 0, y UY = (1/4)X 3/4 Y −3/4 > 0, para todoY > 0. Con ello, se verifica. 3. No, no existe pues óptimo de X.
5.
dY dpx
= 0, y
dX dpy
= 0, de hecho, el cambio de precios en Y no tuvo ningún efecto en el consumo
AYUDANTIA V
PREGUNTA I Responda las siguientes preguntas, bajo un marco teórico adecuado y fundamentado. 1. Es evidente que el consumo de productos que otorgan mayor utilidad marginal debe ser preferido ante productos que otorgan menor utilidad marginal, por lo que el consumo debe concentrarse en los primeros. Comente. 2. Para cualquier situación de elección de canastas de bienes, la solución óptima cumplirá con la igualdad entre RMS y la Relación de Precios. Comente. 3. Cada vez que se le pregunta a Dante si está satisfecho, el dice que ya tiene mucho, por lo tanto para el es suficiente. Comente. Solución 1. Esta afirmación carece de una parte fundamental: la utilidad marginal de los bienes deber ser ponderada por su costo de adquisición, en general, su precio. Por lo tanto esta afirmación no es cierta. Como base se debe considerar el principio de equimarginalidad, el cual postula: UY UX = = ... = λ pX pY 2. Esto es falso para los casos de sustitutos perfecto, complementos perfectos, bienes neutrales, y curvas cuasilineales. En general, estos problemas ocurren cuando las curvas de indiferencia no son suaves, causando problemas de diferenciación, y por ende, en el uso del método de Lagrange. 3. Falso, puesto que se tiene como supuesto general el de monotonicidad, en que problema de maximización de la utilidad, siempre se querrá tener más. 17
dU dx
> 0, para todo x ≥ 0. Bajo un
5.1.
PREGUNTA II
Carmen define sus curvas de indiferencia de la siguiente forma, en base a una ecuación del tipo Cobb-Douglas como la vista en 5.1 U (C, F ) = C α · F β
(5.1)
donde C son chocolatitos y F son flores. Usted al ver que un chico le ha regalado siete chocolatitos y tres flores, ella le comenta que estaría dispuesta a entregar un chocolatito por una flor más. Su mejor amigo, que está loco por Carmen, también quiere regalarle Chocolatitos y Flores, y le comenta que tiene $8.000 para comprarlos, en una tienda que ofrece chocolatitos a $700 y flores a $1.200. Ayude a su amigo a conseguir el corazón de Carmen. 1. Determine la expresión de la curva de indiferencia de Carmen, junto al valor de α y β. ¿Qué bien impacta más en la felicidad de Carmen? 2. Dados los gustos de Carmen y el presupuesto de su mejor amigo, aconseje la combinación de chocolatitos y flores que hará más feliz a Carmen. Ante la situación, Carmen le comenta a Ud. que saldrá con el chico que la hizo más feliz con su regalo. ¿Es su mejor amigo quien saldrá con Carmen? Argumente.
Solución 1. Asumiendo que la función de utilidad es Cobb Douglas, homogénea de grado 1, se tendrá que α + β = 1. En caso de que (C, F ) = (7, 3), se postula que la RM S = − ∆C ∆F = 1. Por lo tanto, se puede establecer que la RM S es de la forma: UF βC RM S(C, F ) = = UC αF β 7 en el punto donde la RM S = 1, se tiene la condición RM S(7, 3) = α 3 = 1, por lo que 3α = 7β. Del sistema entre la 3 7 , β = 10 . Finalmente la función ecuación anterior, y la condición impuesta por Cobb Douglas, se tiene que: α = 10 de utilidad de Carmen se representa por:
U (C, F ) = C 0,7 F 0,3 donde el bien C tiene mayor ponderación sobre la curva. 2. Si m = 8000, pC = 700, pF = 1200, entonces la condición de equimarginalidad indica que RM S(C, F ) =
UF βC pF = = UC αF pC
3C 1200 = 7F 700 C = 4F y bajo las condiciones de la recta presupuestaria 8000 = 700C + 1200F , se tiene la solución óptima (C ∗ , F ∗ ) = (8, 2). La pregunta busca responder si su amigo otorga mayor felicidad a Carmen. Por tanto, comparese: U (8, 2) = 5, 28 U (7, 3) = 5, 43 Finalmente, su amigo no gano el corazón (o interés) de Carmen. Note que a pesar de que la canasta de su amigo tiene una mayor cantidad de Chocolates, que impacta de mayor forma en la Utilidad, no otorga mayor utilidad. Este caso confirma el postulado sobre los consumidores, quienes prefieren canastas equilibradas. 18
5.2.
PREGUNTA III
Suponga las curvas de indiferencia determinadas por las ecuaciones 5.2 y 5.3. U (x, y) = min{αx, βy}
(5.2)
U (x, y) = γx + δy
(5.3)
La primera es una curva de Leontief que representa dos bienes complementarios y la segunda es una curva que representa bienes perfectamente sustitutos entre si; con parámetros de forma α, β, γ, δ > 0. 1. La expresión de la curva de demanda de un individuo para ambas preferencias. 2. Muestre que sus curvas de demanda son homogeneas de grado 0 en px , py , I. 3. Suponga que el bien x sufre la implementación de un impuesto t > 0. ¿Cómo influye en el caso de preferencias Leontief?¿En el caso de las preferencias como la ecuación 5.3, existe alguna cota para la demanda de x? Solución 1. Para el caso de las curvas de Leontief, su curva de expansión de la renta se encuentra en los vértices de la curva de indiferencia cuandopx , py > 0. Con ello, se tiene como condición de optimalidad que αx = βy. Dada una recta presupuestaria m = px x + py y, se tendrá que las curvas de demanda vienes dadas por: x(px , py , m) = β
m αpy + βpx
y(px , py , m) = α
m αpy + βpx
Para el caso de las curvas de sustitutos perfectos, la canasta óptima siempre será una solución de esquina, donde se determinará la curva según la pendiente de la relación de precios y de la curva de sustitutos perfectos. Con ello se determina que: px γ py > δ 0 x(px , py , m) = Indef inido ppxy = γδ m γ px px py < δ m py y(px , py , m) = Indef inido 0
px py px py px py
> = <
γ δ γ δ γ δ
2. Es simple mostrar que para un escalar positivo h, x(hpx , hpy , hm) = h0 x(px , py , m) = x(px , py , m) y(hpx , hpy , hm) = h0 y(px , py , m) = y(px , py , m) Se deja al lector corroborar en las ecuaciones del punto 1, que el postulado anterior se cumple. 3. Para el caso de las curvas de Leontief, se tiene que la aplicación de un impuesto por unidad a x, se modelará como un precio ptx = px + t. Con lo anterior, se tendrá que: x(ptx , py , m) = β
m αpy + β(px + t)
y(ptx , py , m) = α
m αpy + β(px + t)
Con ello, se concluye que la aplicación del impuesto a un bien afecta el consumo de ambos bienes. En el caso de las curvas de sustitutos perfectos, la aplicación de un impuesto t tendrá efectos siempre que la condición 19
inicial indique x(px , py , m) > 0, o sea que la solución de esquina sea (x, y) = (0, pmy ). En el caso contrario, donde si existe consumo de x, se tendrá que el nuevo consumo será: m x(ptx , py , m) = px + t siempre que se sostenga la condición para la función de demanda: ptx γ < py δ Si se desea una cota para t, con tal de que se disminuya el consumo de x, pero sin que se comienze a consumir y, entonces la condición anterior se debe mantener: px + t γ < py δ γpy − δpx = θ∗ δ Manteniendo la magnitud del impuesto en t < θ∗ , se podrá controlar el consumo sin caer en el consumo de y. En el caso contrario, t > θ∗ , todo el consumo se volcará al bien y. t<
6. 6.1.
AYUDANTIA VI PREGUNTA I
Su amigo, le pregunta a Ud., si el efecto ingreso y el efecto sustitución siempre están presentes ante cambios de precio. ¿Qué puede decirle a su amigo? En caso de existir casos en que alguno de ello no este presente, muestra gráfica y analíticamente su afirmación. Solución Ver Varian, Microeconomia Intermedia , págs. 150 -151. Casos de Complementos Perfectos y Sustitutos Perfectos.
Figura 6.1: Efecto Renta y Efecto Sustitución en Curvas de Complementos y Sustitutos Perfectos. Fuente: Varian, H., INTERMEDIATE MICROECONOMICS, 8th Edition. El efecto renta puede estar presente en Sustitutos Perfectos, si la solución inicial está en el mismo eje que la solución final. 20
6.2.
PREGUNTA II
Ya conocemos la adicción de Don Pepe Lota al consumir maní y cerveza durante los partidos de futbol, y por ello, se prepara para el partido Chile - Paraguay. Como sabemos, su función de utilidad es igual a: U (M, C) = M 2 ∗ C 2 El ingreso nominal disponible de Don Pepe es de $1.000. El precio de cada bolsa de maní era de $10 y el de las cervezas de $20. Ahora, el maní experimento una baja de 50 % en su precio. 1. Determine la Curva de Engel de Don Pepe. 2. Obtenga el efecto Renta y el efecto sustitución de la variación en el precio, por medio de Hicks y Slutsky. ¿Qué puede decir de los resultados obtenidos? Solución 1. El principio de equimarginalidad permite obtener las relación: pM M = pC C que muestra todos los óptimos. Para algún nivel de renta m, se tendrá la recta presupuestaria: m = pC C + pM M En base a las dos ecuaciones anteriores, se tendrá que las curvas de demanda de ambos bienes son: M (pM , m) =
m 2pM
m 2pC La representación de estas curva frente a una variable independiente m, representan las curvas de Engel de ambos bienes. C(pC , m) =
2. Bajo las condiciones iniciales, se sabe que la solución es M 1 (10, 1000) = 50, C 1 (20, 1000) = 25, mientras que a los nuevos precios la solución es M 2 (5, 1000) = 100. Lo que resta saber es el efecto sustitución y el efecto renta. Según 0 Slutsky, se debe buscar algún nivel de renta, donde a los nuevos precios pM , pC sea posible consumir la canasta antigua (no necesariamente de forma óptima). Con ello: 0
m = p’M M 1 + pC C 1 = 5 ∗ 50 + 20 ∗ 25 = 750 Dado que la canasta M 1 , C 1 no es óptima (porque la función es convexa), existe algún punto sobre la recta pre0 0 supuestaria de poder adquisitivo constante, m = pM M + pC C, de forma que se obtenga un óptimo. La función de demanda marshalliana de M sigue siendo válida, por lo que la solución óptima en la recta de poder adquisitivo constante con los nuevos precios será M S (5, 750) = 75. Finalmente según Slutsky, el efecto sustitución sera ∆MSS = M S − M 1 = 25, y el efecto sustitución será ∆MRS = M 2 − M S = 25. 00 Según Hicks, se tiene que lo que se desea obtener es una renta m que, bajo los nuevos precios, indique una canasta óptima que mantenga el nivel de utilidad previo al cambio de pM . Con ello, se puede decir que bajo un problema dual de minimización de costo, la condición de optimalidad sigue siendo válida, pero se tendrá que la restricción es: U (50, 25) = M 2 C 2 = 12502 mientras por optimalidad
0
pC C = pM M si se multiplica por M , se tiene
0
pC M C = PM M 2 √ 0 si M C = 1250, pC = 20 y pM = 5, se tendrá que M H = 50 2 ≈ 70, 7. Finalmente, el efecto sustitución será ∆MSH = M H − M 1 = 20, 7, mientras el efecto renta será ∆MRH = M 2 − M H = 29, 3. En terminos comparativos, ∆MSH < 4MSS . 21
6.3.
PREGUNTA III
Dante es un sibarita amante de la buena mesa y el aire libre. El ama la Cerveza Artesanal, con un maridaje de Charqui Equino. Mes a mes, el dispone de un Ingreso de 3000 u.m., que gasta en estos dos bienes. Una botella de 500cc de buena cerveza cuesta 3 u.m y una porción de Charqui de Pura Sangre cuesta 6 u.m. Dante expresa que no vale la pena consumir un bien sin el otro, y de hecho, su combinación perfecta es de 2 botellas de Cerveza (B), con 1 porción de Charqui (D). 1. Determine la restricción presupuestaria de Dante, y grafique su curva de indiferencia. ¿Cuál es la relación de los bienes de Dante? 2. Encuentre el consumo óptimo de Cerveza y Charqui. 3. ¿Cuál es el efecto renta y el efecto sustitución dado por la variación de estos bienes? Solución 1. La recta presupuestaria está dada por 3000 = 3B + 6D. Su curva de indiferencia está dada por un relación de complementos perfectos, donde la relación es: 1 D = B 2 B = 2D con ello, la función que representa sus preferencias será: U (B, D) = min{B, 2D} Gráficamente, la relación es igual a la de las curvas mostradas en Varian, Microeconomía Intermedia, pág. 81.
Figura 6.2: Complementos Perfectos, Ejemplo. Fuente: Varian, H., INTERMEDIATE MICROECONOMICS, 8th Edition. 22
2. Bajo esta situación, el óptimo de consumo está en el vértice de las curvas de indiferencia. Dado 3000 = 3B + 6D y B = 2D, con lo que la solución es D = 250,B = 500. 3. Dado que son complementos perfectos, el efecto sustitución siempre será cero. Por lo tanto, se sabe que la curva de demanda de ambos bienes será: m D(pD , pB , m) = 2pB + pD B(pB , pD , m) =
2m 2pB + pD 0
por lo tanto, ante un cambio de precio, supongamos en pB , el efecto renta será el cambio en B, o sea, B(pB , pD , m) − B(pB , pD , m). Desarrollando, se llega a la identidad: ∆B =
−2m ∗ 2∆pB 0 (2pB + pD )(2pB + pD )
Un buen ejercicio sería preguntarnos, ¿Que ocurre si el cambio en ∆pB → 0? Este análisis se deja al lector.
23
