Butler Matrix

  n   a    l   a   p   o   g   a    j   a    R    h   s    i   r   a    H   -

  e   v    i    t   c   e    j    b    O

  x    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    B    f   o   s    t   n   e   m   e    l    E

  s   e   c    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    b    8   x    8    d   n   a    4   x    4  ,    2   x    2    f   o   y    d   u    t    S

   4   x    4   r   o    f   s    t    l   u   s   e   r    d   n   a   g   n    i    t   s   e    T

  e   p   o   c   s   e   r   u    t   u    f    d   n   a   n   o    i   s   u    l   c   n   o    C

    

    

    

    

    

  s    d   o    h    t   e    M   g   n    i   n   n   a   c    S   m   a   e    B   a   n   n   e    t   n    A

  g   n    i   n   n   a   c    S   c    i   n   o   r    t   c   e    l    E

  g   n    i   n   n   a   c    S    l   a   c    i   n   a    h   c   e    M

  g   n    i   n   n   a   c    S   y   c   n   e   u   q   e   r    F

  g   n    i   n   n   a   c    S   e   s   a    h    P

   )   x    d    i   r   e    t   e   a    F   m    l   r   e   e    l    l    l    t   a   r   u   a    B    P    (

   )   x    i    d    t   r   e   a   e    F   m   s   s   e   s    i   r    l   a   e    B    S    (

   )    4    (                  )    )    3    (    2      (                     -    2   -      /     π    2    2    j    /     π    0    A   e    j    j    2    I   e   e   =    1    2    1    +    1    A    A    A    I   =   =    d   =   n    ’    1    2    1    I    I   a    I    )    1    (             -

  x    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    B    f   o   e    l   p    i   c   n    i   r    P    t   n   o   r    f   e   v   a   w    t   n   e    d    i   c   n    I

   0

   0    9   -

   2

   1

    π    j

  e    2  ,    2    A    I    +    +    2    0    /    j     π    j   e    1   e    1    A    I   =   =    ’    1    ’    2    I    I   r   o

 ,

   )    5    (               -

   2    /    2     π    /    j     π    j   e    2   e

   A    )    +    2    A    2    /     π    j    +   e    1    1    A    A    (   =    ’   =    ’    2    I    2    I   r    O

   ’    2    M    T    A    H    ’    G    I    1    E    B    R

  s   a   n   n   e    t   n    A    0    9   -

   0

   2

   1

  s    t   n   e   r   r   u   c   a   n   n   e    t   n   a    t   u   p    t   u   o

   ’    2    M    T    A    F    E    E    B    L    ’    1

     

   ’    2    I    d   n   a    ’    1    I

  s    t   n   e   r   r   u   c   a   n    t   s   n   n   e   e    t   n   r   a   r    f   u   c   o   a   s   n   e   n    d    t   e   u    t    i    l   n   a   p    t   m   u   a   p   n    I          2

     

   A    I    2    d    d   n   n   a   a    1    1    A    I

  x    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    B    f   o   s   c    i    t   s    i   r   e    t   c   a   r   a    h    C

   N   =   s    t   n   e   m   e    l   e   a   n   n   e    t   n   a    f   o   r   e    b   m   u    N   =   s   m   a   e    b    f   o   r   e    b   m   u    N   -

   N    2   g   o    l    2    /    N   =   s   g   n    i   r    d    i   r    b   y    H    f   o   r   e    b   m   u    N   -

   )    1      N    2   g   o    l    (    2    /    N   =   s   r   e    t    f    i    h   s   e   s   a    h    P    f   o   r   e    b   m   u    N   -

  s   s   o    l   n   o    i    t   r   e   s   n    i   w   o    L   -

  n   o    i    t   a   n    i   m   u    l    l    i   y   a   r   r   a   a   n   n   e    t   n   a   m   r   o    f    i   n    U   -

   0

  x    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    B    4   x    4

   0

   0    0    5    0    4    8    0    1    9    5    3      ∠      ∠    1    4      ∠    4    4      ∠    A    A    A    4    +    +    A    +    0    0    0    +    0    5    5    0    9    3    2    0      ∠    2    1      ∠      ∠      ∠    3    A    3    3    3    A    A    +    A    0    +    5    +    +    0    5    3    0    0    0    2    1    0    9      ∠    2      ∠      ∠    2      ∠    2    2    A    2    A    A    +    A    +    +    0    +    0    5    0    0    0    3    5    1    0    8    4    9    1      ∠      ∠      ∠      ∠

   1    1    1    A    A    A   =   =   =    L    R    L    1    2    2

   1    A   =    R    1

   1   2   3   4    A   A   A   A   x    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    B    4   x    4    f   o   x    i   r    t   a   m   e   s   a    h    P

   2    /     π    j   -

    π    4    4    /    /     π    j     π    j    j   -   -    3   -

    π

    π

   1    2    3    4

   A   A   A   A

  e   e   e   e

   4    /    4    /     π    /    2     π    3    5    j    j    j    j     -    0     -

  e   e   e   e     π

    π

    π    4    /    2    /    4    /    0    3     π    5    j    j   -   -    j   -    j   -

  e   e   e   e

    π

   4    /     π    3    j   -    j   -

   4    /     π    j   -

   2    /     π    j   -

  e   e   e   e   =

   R   R   L   L    2   1   1   2

   5    5   3   5    3   5    4    1   -   -    1   4    0   0    0   0    9   9   -    9   9      5    3   5   5   5    3    1    4    4   -   -    1    0   0   0   0

  =

   R   R   L   L    2   1   1   2

  n   o    i   s   s   e   r   g   o   r   p   e   s   a    h    P

  x    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    B    8   x    8

 .    t   r   o   p    L    1   r   o    f   n   o    i    t   a   u   q    E

   0    0    9    5    9      ∠  .    4      ∠    7    5  .    4    3    A    7    A    +    5   2      ∠    +    1   7    5    5    5      ∠    3    3    0    3    5   A    1    1    9    1    A   +      ∠      ∠      ∠      ∠    0    0    5    0    6    0    5    6    +   5  .    9    9    A    9    A    9    A    A   0    5   7      ∠      ∠      ∠    +      ∠    +    0    +   8  .    5    2   1    8    5    6    +    7    5    8    5    1    5   1    1    A    A    5    A    A      ∠    1     ∠    4    4    4    4      ∠    8      ∠   3    +    +      ∠    +      ∠    +      ∠    7      ∠    1    2    1    3    2    4    1    A    2   A    1   A    +    A    A    A    A    A    A    A    +    A    A   +   :   :   :   :   :   :   :   :   :    1    2    3    4    5    6    7    8    9    t    t    t    t    t    t    t    t    t   n   n   n   n   n   n   n   n   n    i    i    i    i    i    i    i    i    i   o   o   o   o   o   o   o   o   o   p   p   p   p   p   p   p   p   p    t    t    t    t    t    t    t    t    t    A    A    A    A    A    A    A    A    A

   6    5    2

   4

   1

   3

   8

   7

   9

   0    7    2      ∠    8    A    +    0    8    1      ∠    4    A    +    5    2    2      ∠    6    A    +    5    3    1      ∠    2    A    +    5  .    7    4    2      ∠    7    A    +    5  .    7    5    1      ∠    3    A    +    5  .    7    5    1      ∠    5    A    +    5  .    2    1    1      ∠    1    A   :    L    1    t   r   o   p    t    A

  x    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    B    8   x    8    f   o   x    i   r    t   a   m   e   s   a    h    P

  n   o    i   s   s   e   r   g   o   r   p   e   s   a    h    P

  x    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    B    8   x    8   r   o    f   n   r   e    t    t   a   p   m   a   e    B

  x    i   r    t   a   m   r   e    l    t   u    B    f   o   s    t   n   e   n   o   p   m   o    C

   d    i   r    b   y    h   e   r   u    t   a   r    d   u    Q   •

  r   e    t    f    i    h   s   e   s   a    h   p    d   e   x    i    F   •

  a   n   n   e    t   n   a    l   a   c    i    l   e    H   •

   d    i   r    b   y    H   e   r   u    t   a   r    d   u    Q

  r   e    l   p   u   o   c   e   n    i    l    h   c   n   a   r    B

  s   e   n    i    L   p    i   r    t   s   o   r   c    i    M

  e   r   u    t   c   u   r    t    S   c    i   s   a    B

   )   r  .   e   m   c    l   p    0    3   =   u    )   r  .   o    i   a   y    C   i   n   x    (   o   p   e    h    4    t    E  .   s   g   s    4   n   n   a   =    i   e    l    l    l      Ω    )   e    G   r    h   v    5     ε    (    4    3   a   -    t  .   c    W   R    5   n   n    F    t    3   a   =   s   s   a    i   n   r    2   g   o   m        √   n   c   m      Ω    /    i    B   o   r    i   c    6    (  .   u   r    1    0    Z    t    t    5   =   c   c   a   =    d   e    f    l   =    1    i    )   u   e    d   o   o   r   n    i    d    (    Z    Z   a   c   e    b   m   e    i   v   r   c   y    B    i    t    t   c   n   a   e   a    l    l    H    C   e    i   e    d    P    R   e   z   r    f    H    d   p   o    f  ,   e    i   m    O   G    h    d    t    i   c    1    d   e   r    f   a    t   s   o   o    i   n   =   u    b    t   s   r   y    h   e   g   e   c    t    t    4   g    i   n      i   c   a   e   e   r   a    R   s   u    t   r    h    F   s   a   q   e   e    b   r   e    h   r   u   o    h    C    D   F    S    F    T

   2    >    d    /    W  …  .    ]    }   r     ε    /    1    6  .    0      2    /    1    9      )    3  .    0    W    /    +    )    d    1    2   –    1    +    B    (    1    (    2    l   n    {    1     r   r     ε     ε    2    /    )    +    2    1    /    1    1    2   –    )    +   r   r   r     ε     ε     ε     π    (    7    (   o   =    7    +    Z    )    )    3    2   e    1   =     ε    (    t   –    B   n   a    B    t   s    2    (   n   o   n    l   c   c   –    i   r    t    1   c   –   e    l   e    B   :    i    [   e    D     π    /   a    2    l   e   v    i   u    t   =   e   r   c   e    d   e   m    f    /    h   r    f    W   w   o    E  .  .    F    1    2

  m   c    7    9   m    0   c    1  .    6    4    8   =    8    3    4    /    4   p  .    i   r    6    t    1   s   r   =   o   c    f    f    i   e   m     ε      λ        √    /   =   m   o    k      λ    5   m   c    2    3    6    4   =    2   a    1    3    3    0   r    t   p    f    3    1    1    3    i   r   o    6    9    t  .    6    3  .      Ω    4    1   s    0    6  .    3    h   o  .    0    t   r    3   =    5    5   =    i   c   g   =   r   =    d    f    /    f   m   n   o   e   e    F    B    W   W     ε      λ    L

  s   n   o    i    t   a    l   u   c    l   a    C

     Ω    9    2

   5    3  .    5    3   r   o    F

   6    8    9  .    7   =    B

  m   c    8    6    1   m    0  .   c    4    4   =    7    6    4    /    0   p  .    i   r    6    t    1   s   r   =   o   c    f    f    i   e   m     ε      λ        √    /   =   o    k      λ    5    7    9   =   c   a    4    6    1   r    t   p    f    6    3    6    i   r   o    2    t  .    2    8    4    3    2  .   s  .    3    t   r    h   =    5   =   o   c   g    i    d   =    f    /    f   m   n   e   e    W   W     ε      λ    L

  r   e    t    f    i    h   s   e   s   a    h    P    d   e   x    i    F

  s   n   o    i    t   c   e   n   n   o   c   y    t    i    t   r    h    i   g   w   e   e    t   n   c    i    )    l   a   r   e   s   a    f   r   c   e   p   s    i    t   p    l   o   n   n   o   r   a    i    h    d    C    (   e   c   e   r   e    i   r   w   o   o   p   m   s    t   e   c   e   e    d   u    h    h   e    d    t    t    h   s   n   s   e    t   o   e   z   s   z    i   e    C    i   m    d   r    i    i   m    i   e   x    t    i   n   a   v   o   r   u   m   m    O   -   -   p     •

  y    t    i   v    i    t    )   r   c   e   u    d   p   n   p   o   o   c   c   y    d   c   e   n    t   a   r   e    l   e   u   p    i   q   r   r   r   e   r   e   a    f   v   c    l    i    l    h   g   a    i    S    (   n    h   r    i   g    t   o    t   s   n   e   c   y    l    l   r   u    d   a   e   c   n    i   m   x   o   r   e   c   p   s   r   s   e   e   a    d    i    t   s   v   n    t   e   c   o   r    C   a   p   •   -   -

  e    d    )    l   n   e    b   a   n   c   a   e   e   g    l   n    i   y    h    t    h    t    f   m   r   e   o    f   o   o   y   r    t   r   g   o   e    i   n   u   r    l    f   m   u   o    d   a   r    t   e   y   g    t   e    i    t    d   r   e   y   n   g   r    l   e   u   o   a    t   s   n    P    i   s    (   g   n    l   e    l    i   a   r   c   a   p   c    i    i   a   r   p   n   r   e   s   a   e    t   a   e    h    d   n   c    h   m    t   e   u   r   c   m   o   s    i   r   n    t    i   s   g   a   e   c    t   n   r    i   e   n   u    d    l    i   n   e    i   a   s   s   e    D   m   a    b   •   -   -

  e    l    b   a   c    d    i   g    i   r    i   m   e    S

  o

  o

   1   a    f   o    t    f    i    h   s   e   s   a    h   p   s   e    d    i   v   o   r   p    1    L

  r   e    t    f    i    h   s   e   s   a    h   p    f   o   n   g    i   s   e    D

  o

   2   a    f   o    t    f    i    h   s   e   s   a    h   p   s   e    d    i   v   o   r   p    2    L

   )    2   a      1   a    (    f   o    t    f    i    h   s   e   s   a    h   p   s   e    d    i   v   o   r   p    )    2    L      1    L    (

  m   m   c   c  .    8    0  .  .    %   o   o    2   o    0    6    2    5    2    )    3    7  .  .    2    7    8  .   =   =   =    9    1    7   e    l   a   =   =    9      b      λ   r    /    1    2    5   a    i  .   c   c   a      λ   a   a    8   o    i   n    1   n    i    (   o   o    0   =    7    7    h    6    h  .  .    t   r         8    5    3    t   o   g    t   g  ,  ,    7    1   n   n   -   -         e   e   c   m   m   m   c   a    l    l    f   c   c    )   e   e   v   y    0    5    0              m   v   c    t    1    1    1   m   m    i   a   a     c    7   =   =    5   c   c    8   w   w    l  .   -   -   o    5    1    1    2    1    2   c   a   e    L    L    (    2      λ      λ    V

   1   a

   2   a

     

     

   1    L

   2    L

   t   n   e   m   e   r   u   s   a   e   m    l   a    i    t   n   e   r   e    f    f    i    D

  o

   4    2  .    2    1   m   =   m    D    5  .     π    5    /   m    S   m   m   m    4   m    3   n   m   =   a   m   m    5  .   m    0    t    0   m    3    5    5    D   c    1    2    5    3    7    4     π   r    1   a   =   =   =   =   =   =   =    D    d    L    S    A    C     α

  a   n   n   e    t   n   a    l   a   c    i    l   e    H

   6    4   =      ≥   s   n   n   r  ,    d   u    8   n    t  .   a    f    0   o   o   r    2   e      ≥    1    b      λ      ≥   m    C     α   u      ≥   n      ≥    2   o   =  .    4    N    1    1

  y   r    t   e   m   o   e   g    l   a   c    i    l   e    H

  x    i    l   e    H    f    O   s   e    d   o    M   n   o    i    t   a    i    d   a    R    d   n    A   n   o    i   s   s    i   m   s   n   a   r    T

  x    i    l   e    h   e    h    t   o    t    l   a   m   r   o  .   n   s    i   e   x   n   a   a    l   s    t   p    i   g   a   n   n   o    i    l   a  o   m   u   m   6    3   u   m    i   m  =   x    i   a   x      λ   a   s   m   n    2   m   s        √    i   s   5      λ    i   c   a   a   n   n   =   n   n   )   e    t  .   e    t   n   s   n   W   a   i   a   B   e   x   a   e   P    h    t    t    h   s    t    H    (   y   i   y   h    b   g    t    b   n    d    d   l    i    d   o   e   e   W   a    t   -    t   a   a    i   e    i   m    d    d   m    d   a   u   a   e   a   o   r   r   e   m    d    i   m    d    B   o    d    l    l    l   n    i   r   e   e   a    i   m    i   e    f    f   m    l   m   a   e   w   r   e   d    i   o   o    h   n   x    h   P    N    T  a    A    T  .  .    2    1

  g   n    i    h   c    t   a   m   e   c   n   a    d   e   p   m    I

  y    b   n   e   v    i   g   s    i    )   e   v    i    t   s    i   s   e   r    (   e    )   c   n      Ω   a    (    d   e      λ   p    C   m    0    i    l    4   a    1   n   =    i   m   r    R   e    t   e    h    t    d   e   e    f    l   a    i   x   a    h    t    i    W

  e   n    i    l    l   a    i   x   a   o   c   o    t   x    i    l   e    h   m   o   r    f   n   o    i    t    i   s   n   a   r    t    d   e   r   e   p   a    t   y    l    l   a   u    d   a   r    G

  s    t    l   u   s   e    R    d   n   a   g   n    i    t   s   e    T

  r   e    t    f    i    h   s   e   s   a    h    P    f   o   g   n    i    t   s   e    T

  x    i   r    t   a   m   r   e    l   x    t    i   r   u    t   a    B   m    4   r   x   e    4    l    t    f   u   o    B    4   n   o    i   x    t    4   a    f   m   o   r   o    f   g   n   m    i    t   a   s   e   e    T    B

   d    i   r    b   y    H    f   o   g   n    i    t   s   e    T

   t   u   o   y   a    L    B    C    P

   t   r   s   a   e   c   m   r   s   u    d   o   s   n   a   g   o    i   n   y    d   i   a   a   r    d   r   n   r   n   a    f    i   o    f    i   o    t   e   n   a   v   g   o    i   z    t    i    i   n   t   e    t   s   i   p    i   p   n   k   c   o   a   g   c   e    i   o   a   r   c   d    i    t   r   i   s   A  a   D    d   a   t   -   n         e   c    i   r   n    l   u   e   p    t    t   p   u   n    A    F   a

  s   e   c   n   e   r   e    f   e    R