BUKU GLM SMP edisi 7 revisi.pdf

GEMA LOMBA MATEMATIKA (GLM) UNTUK SMP EDISI 7

Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika

Universitas Pendidikan Ganesha

TIM PENYUSUN BUKU GEMA LOMBA MATEMATIKA UNTUK SMP EDISI 7

Editor

: Dr. Gede Suweken, M.Sc.

Ketua

: Putri Oktalinda Muttaqina

Sekretaris

: I Nengah Adi Mahendra

Bendahara

: Ni Putu Amellia Artika

Koordinator

: I Putu Hendra Setiawan

Anggota

: 1.

Ni Wayan Karmila Putri

2.

Made Arista Dewi

3.

I Dewa Made Agus Ariawan

4.

Ni Putu Ayu Novia Dewi

5.

Kadek Gede Doni Merta Marantika

6.

Ni Putu Eka Sucipta Dewi

7.

I Wayan Kumarayasa

8.

I Made Adi Wira Nata Putra

9.

Ni Ketut Indah Tiara

10. Ni Luh Sinta Suryanti 11. A.A. Gede Surya Pujawan 12. Ni Wayan Dina Marziani 13. Ni Kadek Rita Sri Utami 14. Ni Putu Mirnawati


iii

Prakata

PRAKATA Buku ini disusun untuk memberikan gambaran yang nyata tentang Gema Lomba Matematika yang diselenggarakan setiap tahun oleh Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Pendidikan Ganesha kepada seluruh siswa SMP dan para guru. Dengan diterbitkannya buku ini diharapkan siswa dan guru yang akan mengikuti Gema Lomba Matematika maupun lomba-lomba matematika lainnya dapat mempersiapkan diri secara mantap. Buku ini berjudul GEMA LOMBA MATEMATIKA yang terdiri atas: A. Materi utama GLM dengan mengacu pada silabus Olimpiade Sains Nasional B. Soal-soal Latihan C. Soal dan Pembahasan 1. Gema Lomba Matematika SMP Tahun 2012 2. Gema Lomba Matematika SMP Tahun 2013 Penyusun menantikan kritik dan saran dari para pengguna untuk kesempurnaan buku ini pada edisi mendatang. Dalam kesempatan ini, penyusun menyampaikan ucapan terima kasih kepada Bapak Dr. Gede Suweken, M. Sc. selaku editor Buku GLM SMP dan HMJ Pendidikan Matematika Undiksha yang telah memberikan dukungan dalam penyusunan buku ini. Semoga dengan seizin Ida Sang Hyang Widhi Wasa, penyusun dapat menularkan ilmu yang bermanfaat untuk generasi mendatang.

Singaraja, Desember 2013

Penyusun


v

Daftar Isi

DAFTAR ISI

COVER……………………………………………………………………………… i TIM PENYUSUN…………………………………………………………………… iii PRAKATA…………………………………………………………………………... v DAFTAR ISI………………………………………………………………………… vii KUMPULAN MATERI DAN SOAL LATIHAN BAB I. TEORI BILANGAN 1.1 Keterbagian…………………………………………………………………... 3 1.2 Bilangan Kuadrat…………………………………………………………….. 4 1.3 Teorema Eratosthenes………………………………………………………...5 1.4 Kongruensi……………………………………………………………………5 1.5 FPB dan KPK………………………………………………………………... 6 1.6 Teorema Dasar Aritmatika…………………………………………………... 8 1.7 Persamaan Diophantine……………………………………………………… 9 1.8 Induksi Matematika………………………………………………………….. 10 SOAL LATIHAN TEORI BILANGAN ……………………………………………. 13 PEMBAHASAN……………………………………………………………………... 14

BAB II. ALJABAR 2.1 Persamaan Polinom………………………………………………………….. 19 2.2 Ketaksamaan………………………………………………………………… 20 2.3 Nilai Mutlak………………………………………………………………….. 23 2.4 Barisan dan Deret Bilangan………………………………………………….. 24 2.5 Identitas Aljabar……………………………………………………………... 28 SOAL LATIHAN ALJABAR……………………………………………………….. 31 PEMBAHASAN……………………………………………………………………... 32

BAB III. GEOMETRI 3.1 Sudut…………………………………………………………………………. 37 3.2 Segitiga………………………………………………………………………. 40 3.3 Kongruensi…………………………………………………………………… 43 3.4 Kesebangunan………………………………………………………………... 44


vii

Daftar Isi 3.5 Lingkaran…………………………………………………………………….. 44 3.6 Trigonometri…………………………………………………………………. 47 SOAL LATIHAN GEOMETRI……………………………………………………... 51 PEMBAHASAN……………………………………………………………………... 54

BAB IV. KOMBINATORIKA 4.1 Prinsip Dasar Pendataan……………………………………………………... 61 4.2 Prinsip Penjumlahan…………………………………………………………. 61 4.3 Prinsip Perkalian……………………………………………………………... 62 4.4 Permutasi dan Kombinasi……………………………………………………. 63 4.5 Probabilitas…………………………………………………………………... 66 SOAL LATIHAN KOMBINATORIKA……………………………………………. 71 PEMBAHASAN…………………………………………………………………….. 72

SOAL DAN PEMBAHASAN GLM SMP TAHUN 2012 Soal Penyisihan GLM SMP 2012…………………………………………….............79 Soal Final GLM SMP 2012…………………………………………………….......... 86 Soal Speed Test GLM SMP 2012…………………………………………………… 87 Solusi Penyisihan GLM SMP 2012………………………………………….............. 89 Solusi Final Test GLM SMP 2012…………………………………………………... 103 Solusi Speed Test GLM SMP 2012………………………………………………….. 107

SOAL DAN PEMBAHASAN GLM SMP TAHUN 2013 Soal Penyisihan GLM SMP 2013…………………………………………….............115 Soal Final GLM SMP 2013…………………………………………………….......... 122 Soal Speed Test GLM SMP 2013…………………………………………………… 123 Solusi Penyisihan GLM SMP 2013………………………………………….............. 125 Solusi Final GLM SMP 2013…………………………………………………........... 142 Solusi Speed Test GLM SMP 2013………………………………………………….. 148

SOAL LATIHAN PILIHAN GANDA……………………………………………….157 SOAL LATIHAN ISIAN SINGKAT………………………………………………... 164 KUNCI JAWABAN SOAL LATIHAN…………………………………………….. 166 Sekilas Tentang Jurusan dan HMJ Pendidikan Matematika………………………… 167 viii


KUMPULAN MATERI DAN SOAL-SOAL LATIHAN

Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif

BAB I. TEORI BILANGAN

1.1 KETERBAGIAN Definisi 1 Keterbagian Suatu bilangan a disebut membagi b jika ada bilangan bulat lain c sehingga b = ac. Kita juga akan menyebut bahwa a pembagi dari b atau b kelipatan dari a dan ditulis a│b. 1.1.1 Sifat-Sifat Keterbagian Untuk setiap bilangan bulat x, y, dan z. Berlaku sifat-sifat berikut : a) x | x (sifat refleksif), b) Jika x | y dan y | z, maka x | z (sifat transisi), c) Jika x | y dan y ≠ 0, maka |x| ≤ |y| , d) Jika x | y dan x | z, maka x | αy + βz untuk setiap bilangan bulat α dan β , e) Jika x | y dan x | y ± z, maka x | z , f) Jika x | y dan y | x, maka |x| = |y| , g) Untuk z ≠ 0, x | y jika dan hanya jika xz | yz. 1.1.2 Keterbagian oleh 2n Suatu bilangan bulat habis dibagi 2n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2n 1. Untuk n = 1 berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2. 2. Untuk n = 2 berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4. 3. Untuk n = 3 berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8. 1.1.3 Keterbagian oleh 3, 9, 11 Misalkan bilangan yang akan dibagi adalah a  an an1an2 ... a2 a1a0 . 1. Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3 atau dapat dituliskan an  an1  an2  ...  a1  a0  habis dibagi 3. 2. Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9 atau dapat dituliskan an  an1  an2  ...  a1  a0  habis dibagi 9.


3

Disiplin adalah kunci kesuksesan

3. Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang ganti tanda angka-angkanya habis dibagi 11 atau dapat dituliskan an  an1  an2  ...a0  habis dibagi 11. Contoh 1 : Suatu bilangan 6 digit X2014Y habis dibagi 72. Carilah nilai X dan Y, serta tentukan bilangan tersebut. Pembahasan : 72 merupakan KPK dari 8 dan 9. Agar X2014Y habis dibagi 72, maka haruslah X2014Y habis dibagi 8 dan 9. -

Bilangan X2014Y habis dibagi 8 jika 14Y habis dibagi 8, maka nilai Y = 4.

-

Bilangan X2014Y habis dibagi 9 jika X + 2 + 0 + 1 + 4 + Y habis dibagi 9. Karena nilai Y=4, maka X + 2 + 0 + 1 + 4 + 4 = X + 11, agar habis dibagi 9, maka nilai yang memenuhi X = 7.

Jadi bilangan tersebut adalah 720144.

1.2 BILANGAN KUADRAT Ada tiga hal penting yang perlu diketahui tentang bilangan kuadrat, yaitu : 1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, dan 9 2. 2. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1 3. Jika p bilangan prima dan p|n2 maka p2|n2 Contoh 2 : Diketahui a2 - b2 = 71, dengan a dan b adalah bilangan asli. Tentukan semua pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi persamaan tersebut. Pembahasan: Karena a dan b adalah bilangan asli, maka a > b > 0. Kemudian, a2 - b2 = (a – b) (a + b), karena a > b > 0, maka 0 < a – b < a + b a2 – b2 = 71 (a – b)(a + b) = 71 Faktor-faktor dari 71 adalah (71, 1) sehingga hanya ada satu kemungkinan yaitu Metode Eleminasi a + b = 71 a–b=1 2b = 70 b = 35, maka a = 36 jadi pasangan (a , b) yang mungkin adalah (36 , 35)

4



1.3 TEOREMA ERATHOSTENES Untuk setiap bilangan komposit n terdapat bilangan prima p sehingga p n dan p  n . Teorema tersebut mempunyai makna yang sama dengan pernyataan berikut “Jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p  n maka n merupakan bilangan prima”. Contoh 3 : Buktikan bahwa 347 merupakan bilangan prima! Pembahasan : Misalkan n = 347 dan p merupakan bilangan prima yang kurang dari akar n, maka p n p  347

Sehingga p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 yang kurang dari

347 .

Karena tidak ada nilai p yang dapat membagi 347 maka sesuai dengan teorema Erathotenes 347 merupakan bilangan prima.

1.4 KONGRUENSI Definisi 2 Kekongruenan Misalkan a, b, dan m bilangan bulat dengan m > 0. Bilangan a dikatakan kongruen b modulo jika m a  b  ditulis a  b mod m . Jika a tidak kongruen dengan b modulo m, maka ditulis 𝑎 ≢ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚 . Kekongruenan a  b mod m dapat pula dituliskan dalam hubungan a  b  km dengan k adalah bilangan bulat.

1.4.1 Sifat-sifat Kongruensi 1. Sifat Refleksif Jika p adalah suatu bilangan bulat maka p  p mod m . 2. Sifat Simetris Jika p dan q adalah bilangan-bilangan bulat sehingga p  q mod m , maka

q  p mod m .


5


3. Sifat Transitif Jika p, q, dan r adalah bilangan-bilangan bulat sehingga p  q mod m dan

q  r mod m maka p  r mod m . Teorema 1 Misalkan a, b, c, d, dan m adalah bilangan bulat positif. Jika a  b mod m dan c adalah sebarang bilangan bulat maka

a  c  b  cmod m 2. ac  bc mod m Jika a  b mod m dan c  d mod m , maka 1. a  c   b  d mod m 2. ac  bd mod m Contoh 4 : 21  3 mod 9 1.

Artinya 9 habis membagi 21 – 3 = 18, atau dapat juga dituliskan 21  3  2  9 Contoh 5 : Misalkan 21  3 mod 9 dan 10  1mod 9 , maka menurut Teorema

21  10  3  1mod 9 21  10  3  1mod 9

 31  4 mod 9 , dan  210  3 mod 9

1.5 FPB DAN KPK 1.5.1 FPB Suatu bilangan bulat positif d disebut factor persekutuan terbesar / FPB (greatest common divisor / GCD) bilangan a dan b jika : 1. d habis membagi a dan b, jadi d

a dan d b

2. Untuk setiap bilangan e pembagi habis a dan b, maka e d Kemudian, factor persekutuan terbesar d dari bilangan a dan b dinotasikan dengan

GCDa, b  d atau FPB a, b  d Pengertian relative prima Dua buah bilangan bulat a dan b disebut relative prima (saling prima) jika

GCDa, b  1 .

6


Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif Contoh 6 : GCD20,100  20

GCD25,55  5 GCD9,10  1 Teorema 2 (Teorema Euclid) Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m  nq  r dengan 0  r  n .

Algoritma Euclid Diberikan dua buah bilangan bulat a dan b dengan a  b  0 , maka GCDa, b dapat dicari dengan mengulang algoritma pembagian.

a  q1b  r1

0  r1  b

b  q 2 r1  r2

0  r2  r1

r1  q3 r2  r3

0  r3  r2



rn 2  q n rn 1  rn

0  rn 1  rn

rn 1  q n 1 rn  0 Maka rn , sisa terakhir dari pembagian di atas yang bukan nol merupakan GCDa, b

Teorema 3 Apabila d adalah faktor persekutuan terbesar dari a dan b, maka ada bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga GCD(a,b) = d = ax + by

Contoh 7 : Tentukan gcd(6409, 42823) dan nilai x dan y yang memenuhi GCD(6409, 42823) = 6409x + 42823y Pembahasan: 42823 = 6.6409 + 4369 6409 = 1.4369 + 2040 4369 = 2.2040 + 289 2040 = 7.289 + 17


7


289

= 17.17 + 0

Jadi gcd(6409, 42823) = 17 17 = 2040 – 7.289 17 = 2040 – 7(4369 – 2.2040) 17 = 2040 – 7.4369 + 14.2040 17 = 15.2040 – 7.4369 17 = 15(6409 – 1.4369) – 7.4369 17 = 15.6409 – 15.4369 – 7.4369 17 = 15.6409 – 22.4369 17 = 15.6409 – 22(42823 – 6.6409) 17 = 15.6409 – 22.42823 + 132.6409 17 = 147.6409 – 22.42823 Jadi, x = 147 dan y = -22

1.5.2 KPK Suatu bilangan positif d disebut kelipatan persekutuan terbesar bilangan a dan b jika: 1. d habis dibagi a dan b, jadi a|d dan b|d 2. Untuk setiap bilangan e habis dibagi a dan b, maka d|e Selanjutnya, kelipatan persekuatuan terkecil (least common divisor) d dari bilangan a dan b dinotasikan dengan KPK(a,b) = d atau LCM(a,b) = d Teorema 4 Untuk sembarang bilangan m > 0 berlaku LCM(ma,mb) = m  LCM(a,b)

Contoh 8 : LCM(21,14) = LCM(7.3,7.2) = 7. LCM(3,2) = 7.6 = 42 LCM(18,45) = LCM(9.2,9.5) = 9. LCM(2,5) = 9.10 = 90

1.6 TEOREMA DASAR ARITMATIKA Misalkan p1 , p2 , p3 ,... pn adalah bilangan prima berbeda. Teorema ini menyatakan bahwa setiap bilangan asli a > 1, dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian bilanganbilangan prima berpangkat, berbentuk: a  p1k1 . p2k2 . p3k3 ..... pnkn

dimana: ki adalah bilangan cacah untuk setiap i ϵ N

8



Bentuk ini dikenal dengan bentuk faktorisasi prima dari bilangan asli a Berdasarkan Teorema Dasar Aritmatika, jika: a  p1k1 . p2k2 . p3k3 ..... pnkn ; dan b  p1l1 . p2l2 . p3l3 ..... pn n l

Maka GCD(a,b) didefinisikan sebagai:

GCD(a, b)  p1min(k1 ,l1 ) . p2

min( k2 ,l2 )

. p3min(k3 ,l3 ) ..... pnmin(kn ,ln )

sedangkan

LCM (a, b)  p1maks( k1 ,l1 ) . p2

maks( k2 ,l2 )

. p3maks( k3 ,l3 ) ..... pnmaks( kn ,ln )

Catatan: Untuk suatu bilangan bulat k dan l, maka maks(k,l) dan min(k,l) didefinisikan sebagai: 

maks(k, l) = k; dan min(k, l) = l, untuk k>l



maks(k, l) = l; dan min(k, l) = k untuk k
Akibat: akibat dari kondisi tersebut melahirkan teorema bahwa hasil kali FPB dan KPK dari dua buah bilangan asli a dan b sama dengan hasil kali kedua bilangan tersebut. GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b

Contoh 9 : Berapakah FPB dan KPK dari (3528,2970) Pembahasan : 2970 = 21 × 33 ×51 × 70 × 111 3528 = 23 × 32 × 50 × 72 × 110 GCD(3528,2970) = 2min(1,3) × 3min(3,2) × 5min(1,0) × 7min(0,2) × 11min(1,0) = 21 × 32 ×50 × 70 × 110 = 18 LCM(3528,2970) = 2maks(1,3) × 3maks(3,2) × 5maks(1,0) × 7maks(0,2) × 11maks(1,0) = 23 × 33 ×51 × 72 × 111 =582120

1.7 PERSAMAN DIOPHANTINE 1.7.1 Persamaan Diophantine Linear Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah memuat dua variabel yang mempunyai bentuk umum ax + by = c dengan a, b, c anggota bilangan bulat.


9


Teorema 3 Persamaan Linear Diophantine 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari 𝑎 dan 𝑏 membagi 𝑐. Teorema 4 Jika d  GCD(a, b) dan x0 , y0 merupakan penyelesaian persamaan Diophantine ax + by = c, maka penyelesaian umum persamaan tersebut adalah: x  x0 

b a k dan y  y 0  k d d

dengan k bilangan bulat.

Contoh 10 : Tentukan penyelesaian umum persamaan diophaantine 738x+ 621y = 45 Pembahasan: GCD (738,621) = 9. Karena 9|45 maka persamaan mempunyai penyelesaian. Menentukan 9 sebagai kombinasi 738 dan 621. 9 = 117-3.36 = 117-3(621 – 5 x 117) = -3 x 621 + 16 x 117 = -3 x 621 + 16 ( 738 – 621 ) 9 = 16 x 738 – 19 x 621 Kalikan kedua ruas dengan 5 45 = 80 x 738 – 45x 621 Sehingga didapat x 0 = 80, y 0 = -95 Penyelesaian umumnya adalah: x = 80 +

621 k 9

y = -95 -

738 9

= 80 + 69k

k = –95 – 82k

1.8 INDUKSI MATEMATIKA 1.8.1 Prinsip Induksi Matematika Pertama Suatu bukti dengan menggunakan induksi matematika bahwa “P(n) benar untuk setiap n bilangan bulat positif “ terdiri dari tiga langkah: 1. Langkah basis

: Tunjukkan bahwa P(1) benar.

2. Langkah induktif : Tunjukkan bahwa P(k) → P(k + 1) benar untuk setiap k bilanganbulat positif. 3. Konklusi

10

: n P(n) bernilai benar



Contoh 11: Buktikan bahwa : 1 + 2 + … + n =

nn  1 , untuk setiap n bilangan bulat positif 2

Pembahasan : Misalkan P(n): proposisi 1 + 2 + … + n =

nn  1 2

1. Langkah basis: Untuk n = 0 diperoleh peroleh 0 = 0. Jadi, P(0) benar. 2. Langkah induktif: Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semua k, yaitu 1+2+…+n=

nn  1 2

Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu 1 + 2 + … + k + (k + 1) = Dari 1 + 2 + … + k =

k  1k  1  1 2

k k  1 , diperoleh 2

1 + 2 + … + k + (k + 1) =

k k  1 + (k + 1) 2

=

=

2k  2  k k  1 2

2k  2  k

2

k



2

2  3k  k  2

= = =

2

k  1k  2 2

k  1k  1  1 2

3. Konklusi: Jadi 1 + 2 + … + n =

nn  1 benar untuk setiap nN. 2

1.8.2 Prinsip Induksi Matematika Kedua Terdapat bentuk lain dari induksi matematika yang sering dipergunakan dalam bukti. Teknik ini dinamakan Induksi Kuat atau Prinsip kedua dari induksi matematika.


11


1. Langkah basis

: Tunjukkan bahwa P(0) benar.

2. Langkah induktif : Tunjukkan bahwa jika P(0) dan P(1) dan … P(k) benar, maka P(k + 1) benar untuk setiap k  N. 3. Konklusi

: n P(n) bernilai benar

Contoh 12 : Tujukkan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Pembahasan : P(n): proposisi “setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima”. 1. Langkah Basis P(2) benar, karena 2 adalah hasil kali dari satu bilangan prima, dirinya sendiri. 2. Langkah Induktif Asumsikan P(j) benar untuk semua bilangan bulat j, 1 < j ≤ k. Harus ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar. Ada dua kasus yang mungkin: -

Jika (k + 1) bilangan prima, maka jelas P(k + 1) benar.

-

Jika (k + 1) bilangan komposit, (k+1) dapat ditulis sebagai perkalian dua buah bilangan bulat a dan b sehingga 2 ≤ a ≤ b < k + 1.

Oleh hipotesa induksi, a dan b keduanya dapat dituliskan sebagai hasil kali bilangan prima. Jadi, k + 1 = a . b dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima. 3. Langkah Konklusi “Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima”.

12



SOAL LATIHAN TEORI BILANGAN

1.

Didepan rumah Hendra bertuliskan bilangan ab129c. Ternyata bilangan tersebut habis dibagi oleh 16. Tentukan nilai dari c yang mungkin terjadi.

2.

Jika bilangan bulat x dan y dibagi 6, maka bersisa 3. Jika bilangan x – 3y dibagi 6, maka tentukanlah sisanya!

3.

Diketahui sebuah bilangan kuadrat a0bcd, dengan b > a, c = a + 2, dan d = 2a + b + 1 dengan a, b, c, d merupakan bilangan asli. Tentukan bilangan kuadrat yang memenuhi persamaan tersebut!

4. Jika n menyatakan banyaknya angka nol terakhir dari 2000! Maka tentukan apakah n merupakan bilangan prima atau tidak! 5.

Diberikan sebuah bilangan 32008, tentukanlah dua digit terakhir dari bilangan tersebut!

6.

Tentukan himpunan penyelesaian dari 20 x2 + 11 y = 2014.

7.

Buktikan bahwa : n3 + 2n adalah kelipatan 3, untuk setiap n bilangan bulat positif.

8.

Buktikan bahwa 5n − 1 dapat dibagi 4 untuk setiap n = 1, 2, ....

9.

Diketahui suatu bilangan 232 – 1 dapat dibagi oleh dua bilangan bulat dari 200 sampai 300. Tentukan kedua bilangan bulat tersebut!

10. Jika w, x, y, dan z adalah bilangan bulat positif yang dibagi oleh 13 berturut-turut bersisa 12, 9, 11, dan 7, maka 3w + 4x – 3y + 2z dibagi oleh 13 akan bersisa…


13


PEMBAHASAN SOAL LATIHAN TEORI BILANGAN

1.

Karena 16 | ab129c, maka 4 digit terakhirnya haruslah habis dibagi oleh 16. Jadi 129c harus habis dibagi 16. c = 0 maka 1290 tidak habis dibagi 16 c = 1 maka 1291 tidak habis dibagi 16 c = 2 maka 1292 tidak habis dibagi 16 c = 3 maka 1293 tidak habis dibagi 16 c = 4 maka 1294 tidak habis dibagi 16 c = 5 maka 1295 tidak habis dibagi 16 c = 6 maka 1296 habis dibagi 16 c = 7 maka 1297 tidak habis dibagi 16 c = 8 maka 1298 tidak habis dibagi 16 c = 9 maka 1299 tidak habis dibagi 16 Jadi nilai c yang memenuhi hanyalah 6.

2.

Karena x dan y dibagi 6 bersisa 3 maka x = 6m + 3 dan y = 6n + 3, sehingga x – 3y = 6m + 3 – 3(6n + 3) x – 3y = 6m + 3 – 18n – 9 x – 3y = 6m – 18n – 6 x – 3y = 6(m – 3n) – 6 x – 3y = 6{(m – 3n) – 1} Ini berarti x – 3y habis dibagi oleh 6 Sehingga sisa pembagiannya adalah 0

3.

Diketahui nilai dari b > a, dan pasti 0 < a < 9, maka nilai a dan b yang mungkin adalah

a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 b = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Kemudian diketahui nilai c = a + 2, dan pasti 0 ≤ c ≤ 9 maka nilai a dan c yang mungkin adalah a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 c = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

14



Selanjutnya diketahui d = 2a + b + 1, dengan nilai d yang mungkin adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9 karena merupakan bilangan kuadrat, sehingga nilai a, b, c, dan d yang mungkin adalah a = 1, 2 b = 2, 3, 4 c = 3, 4 d = 5 (a = 1, b = 2) = 6 (a = 1, b = 3) = 9 (a = 2, b = 4) Sehingga bilangan yang mungkin terjadi yaitu 10235, 10336, dan 20449 

Bilangan 10235 jika dibagi 5 hasilnya adalah 2047, dan tidak bisa dibagi 5 lagi sehingga bukan merupakan bilangan kuadrat



Bilangan 10336 memiliki faktor 2517 19, sehingga bukan merupakan bilangan kuadrat



Bilangan 20449 memiliki faktor 112 132, sehingga 20449 merupakan bilangan kuadrat.

Jadi bilangan kuadrat yang dimaksud adalah 20449.

4.

Angka satuan yang menghasilkan angka nol adalah kelipatan 5 yakni sebanyak 2000  400 5

Angka puluhan yang menghasilkan angka nol sebanyak 2000  80 25

Angka ratusan yang menghasilkan angka nol sebanyak 2000  2000  16  3  19 125

625

Jadi, n = 400 + 80 + 19 = 499 p  499

Sehingga p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, yang kurang dari

499 . Karena tidak ada nilai p

yang habis membagi 499 maka sesuai dengan teorema Erathotenes n = 499 merupakan bilangan prima.

5.

Karena yang diinginkan adalah dua digit terakhir berarti maka haruslah mod 100 sehingga, 32008

= (35)400+8 (mod 100) = 243400 . 38 (mod 100)


15

Disiplin adalah kunci kesuksesan = (432)200 . 38 (mod 100) = 1849200 . 38 (mod 100) = (492)100 . 38 (mod 100) = 2401100 . 38 (mod 100) = 1100 . 38 (mod 100) = 38 (mod 100) = 1161 (mod 100) = 61 (mod 100) Jadi dua digit terakhir dari 32008 adalah 61

6.

20 x2 + 11 y = 2014 Misalkan x2 = a, sehingga menjadi 20 a + 11 y = 2014 GCD ( 20,11) = 1 Karena 1|2011 maka persamaan mempunyai penyelesaian. Dapat dituliskan dengan: 1=9–4x2 1 = 9 – 4 ( 11 – 1 x 9 ) 1 = 5 x 9 – 4 x 11 1 = 5 ( 20 – 1 x 11) – 4 x 11 1 = 5 x 20 – 9 x 11 Kedua ruas sama- sama dikalikan 2014 sehingga : 2014 = 5 ( 2014) 20 – 9 (2014) x 11 2014 = 10070 x 20 – 18126 x 11 Sehingga didapat a = 10070, y = -18126 2

Karena x = a maka :

x 2  10070 x  10070

Jadi himpunan penyelesaiaanya adalah {x , y} = { 10070 , -18126}

7.

P(n) : proposisi “n3 + 2n adalah kelipatan 3, untuk setiap n bilangan bulat positif” Langkah Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh : P(1) = 13 + 2(1) = 3 , kelipatan 3 Langkah Induksif : Misalkan untuk n = k asumsikan P(k) = k 3 + 2k adalah kelipatan 3

16



Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) = (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3 P(k + 1) = (k + 1)3 + 2(k + 1) P(k + 1) = (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 P(k + 1) = (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) P(k + 1) = (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) Karena k3 + 2k adalah kelipatan 3 dan 3 (k2 + k + 1) juga merupakan kelipatan 3, maka P(k + 1) adalah kelipatan 3 Langkah Konklusif : “n3 + 2n adalah kelipatan 3, untuk setiap n bilangan bulat positif”

8.

P(n) : proposisi “5n – 1 habis dibagi 4 untuk n = 1, 2, …” Langkah Basis : Untuk n = 1, maka akan diperoleh : P(1) = 51 – 1 = 5 – 1 = 4  habis dibagi 4 Langkah Induktif : Asumsikan bahwa untuk n = k, P(k) = 5k – 1 habis dibagi 4, akan ditunjukkan untuk P(k + 1) juga habis dibagi 4. P(k + 1) = (5) k + 1 – 1 = 5.5k – 1 P(k + 1) = (1 + 4).5k – 1 P(k + 1) = 5k + 4.5k – 1 P(k + 1) = (5k – 1) + 4.5k Karena 5k – 1 habis dibagi 4 dan 4.5k juga habis dibagi 4, maka P(k + 1) habis dibagi 4 Langkah Konklusif : “5n – 1 habis dibagi 4 untuk n = 1, 2, …”

9.

Untuk mencari kedua bilangan tersebut kita dapat menggunakan cara sebagai berikut.

   2  1  2  12  12  1 Dimana 2  1  257 dan 2  1  255 232  1  216  1 216  1 32

16

8

8

8

8

Jadi kedua bilangan tersebut adalah 255 dan 257.


17


10. Misalkan : w = 13a + 12 x = 13b + 9 y = 13c + 11 z = 13d + 7 3w + 4x – 3y + 2z = 3(13a + 12) + 4(13b + 9) – 3(13c + 11) + 2(13d + 7) = 3.13a + 36 + 4.13b + 36 – 3.13c – 33 + 2.13d + 14 = 13(3a + 4b – 3c + 2d) + 53 Karena 13(3a + 4b – 3c + 2d) habis dibagi 13 dan yang diminta hanya sisanya maka cukup diambil 53 saja, sehingga 53 = 13.4 + 1 Jadi sisa pembagian 3w + 4x – 3y + 2z oleh 13 adalah 1

18



BAB II . ALJABAR

2.1 PERSAMAAN POLINOM Bentuk persamaan polinom berderajat n dalam variabel x adalah : an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 dengan an ≠ 0

(1)

Jika a0 , a1 , ... , an bilangan-bilangan bulat dan x1 merupakan akar-akar bulat persamaan (1), maka x1 merupakan faktor dari a 0 . Jadi akar-akar bulat yang mungkin untuk persamaan (1) adalah faktor-faktor dari a 0 . Persamaan polinom (1) dapat ditulis menjadi : a n n a n 1 n 1 a a x  x  ...  1 x  0  0 an an an an

(2)

Jika x1 , x2 , ... , xn merupakan akar-akar persamaan (2) maka persamaan (2) dapat ditulis menjadi :

x  x1 x  x2 ... x  xn   0 xn   1 x1  x2  ...  xn 

n 1

Teorema 1

 ...   1  x1x2 ... xn   0 n

(Teorema Vieta) Jika x1 , x2 , ... , xn merupakan akar-akar dari suatu polinom berderajat n an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 dengan an ≠ 0, maka : x1  x2  x3  ...  xn  

a n 1 an

x1 x2  x3 x4  ...  xn 1 xn 

an2 an

x1 x2 x3  x4 x5 x6  ...  xn2 xn1 xn  

a n 3 an

 x1 x2 x3  xn   1

n

Teorema 2

a0 an

Jika f x   an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 dengan an ≠ 0 dibagi oleh x  k  , maka sisa pembagiannya sama dengan f (k) atau S = f (k), S merupakan sisa dan k merupakan konstanta.


19


Teorema 3

Jika f x   an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 dengan an ≠ 0 dibagi oleh cx  d  maka sisa pembagiannya sama dengan

 d  d f    atau S = f    , S  c  c

merupakan sisa.

Teorema 4

Terdapat suatu polinom f (x) berderajat n, cx  d  merupakan faktor dari f (x)

 d jika hanya jika S = f    = 0.  c

Tentukan nilai m agar 4 x 4 12 x 3 mx 2  2 habis dibagi 2x – 1!

Contoh 1 Pembahasan :

f ( x)  4 x 4  12 x 3  mx 2  2 f ( x) habis dibagi (2 x 1) maka

1 sisa (S)  f    0 2 1 untuk f    0 2 4

3

2

1 1 1  4   12   m   2  0 2 2 2





4 12 m    2  0 (dikali 8) 16 8 4

2  12  2m  16  0



2m   6



m  3

2.2 KETAKSAMAAN 2.2.1 Konsep Urutan dan Sifat-sifat Dasar dari Konsep Urutan Sifat penting pada bilangan-bilangan real adalah adanya urutan sehingga dapat membandingkan dua bilangan, apakah kedua bilangan tersebut sama atau tidak sama. Sifat-sifat dari konsep urutan pada sistem bilangan real yaitu:

20



1. Setiap bilangan real a hanya memenuhi satu dan hanya satu dari kemungkinan: a. a 0 b. a 0 c. a 0

2. Setiap bilangan real a dan b hanya memenuhi satu dan hanya satu dari kemungkinan a. a b b. a b c. a b 3. Jika a 0 dan b 0 maka a + b 0 4. Jika a 0 dan b 0 atau a 0 dan b 0 maka ab 0 5. Jika a b dan b c maka a c 6. Jika a b maka a  c  b  c untuk setiap bilangan real c 7. Jika a b dan c d maka a + c b + d 8. Jika a b dan c > 0 maka ac bc 9. Jika a b dan c < 0 maka ac bc 10. Jika a 0 maka

1 0 a

11. Jika a 0 dan b 0 maka

a 0 b

12. Jika 0 < a b atau a b < 0 maka

1 1  b a

13. Jika a 0 dan b 0 serta a2 b2 maka a b Sifat-sifat tersebut juga berlaku jika tanda < diganti dengan tanda ≤ atau > diganti dengan tanda ≥ , kecuali untuk sifat 12 yang mensyaratkan bahwa a dan b keduanya tidak nol.

2.2.2 Kuadrat Sebarang Bilangan Real Sebagaimana kita ketahui bahwa kuadrat dari suatu bilangan real tidak mungkin negative. Konsep ini penting untuk menyelesaikan suatu persoalan. Jika a sebarang bilangan real maka a2 ≥ 0. Tanda kesamaan terjadi hanya jika a = 0. Contoh 2

Tentukan kemungkinan yang terjadi untuk (a, b, c) bilangan bulat positif yang memenuhi pertidak samaan a 2  b 2  c 2  3  ab  3b  2c !


21


Pembahasan : a 2  b 2  c 2  3  ab  3b  2c

a 2  ab  b 2  c 2  3b  2c  3  0

b   b2     a       (b 2  3b)  (c  1) 2  1  3  0 2  4   2

2

b 3    a    b 2  3b  (c  1) 2  2  0 2 4  2





b 1    a    3(b 2  4b)  (c  1) 2  2  0 2 4  2

b 3    a    (b  2) 2  (c  1) 2  1 2 4 

Bentuk di atas dipenuhi oleh :

1  a 

b 2 2  1, b2 , dan  1  c  1  1 2 3 3

Perhatikan :

 1  c  1  1  0  c  2. Jadi, c  1 . 2 3

b2

2 3

 2

2 3

b  2

2 3

Nilai b yang mungkin adalah 1,2, atau 3 . Perhatikan :  1  a 

b 1 2

Untuk b  1  1  a 

1 1 1 1   a 1 2 2 2

a 1 Untuk b  2  1  a  1  1  0  a  2

a 1 Untuk b  3  1  a 

3 1 1 1   a  2 2 2 2

a  1 atau a  2 Kemungkinan (a, b, c) yang terbentuk adalah : (1,1,1), (1,2,1), (1,3,1), (2,3,1) dan (a, b, c) yang memenuhi pertidaksamaan hanya satu, yaitu : (1,2,1)

22



2.3 NILAI MUTLAK Definisi 2.1

Nilai Mutlak Nilai mutlak / nilai absolut dari x, dinyatakan dengan x , didefinisikan

x, sebagai x    x ,

x0 x0

2.3.1 Sifat-sifat Nilai Mutlak 1.

x  0 , untuk setiap bilangan real x

2.

x  x

3.

x x , y0  y y

4.

x  xa

5.

x  a  a  x  a , a  0

6.

x  a  a  x  a , a  0

7.

x  a  x  a atau x  a, a  0

8.

x  a  x  a atau x  a, a  0

9.

a

Jika a, b R, maka ab  a  b

10. Jika a, b R, dan b  0 maka ab  a  b 11. Jika a, b R, maka a  b  a  b 12. Jika a, b R, maka a  b  a  b 13. Jika a, b R, maka a  b  a  b

Selesaikan pertidaksamaan berikut ini 2 x  1  3 !

Contoh 3

Pembahasan : Sesuai dengan sifat 6 yaitu x  a  a  x  a , a  0 maka

2x  1  3

 3  2 x  1  3 masing-masing ruas ditambah 1


23


 2  2 x  4 masing-masing ruas dikali

1 2

1  x  2 Sehingga

x

himpunan

penyelesaian

dari

pertidaksamaan

tersebut

adalah

 1  x  2, x  R

2.4 BARISAN DAN DERET BILANGAN 2.4.1 Barisan dan Deret Aritmatika Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Selisih yang besarnya tetap disebut beda. Bentuk umum barisan aritmatika: a , a  b , a  2b , a  3b ,

Rumus suku ke-n barisan aritmatika :

U n  a  n  1b a = suku awal b = beda Deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmatika. Bentuk umum deret aritmatika:

S n  U1  U 2  U 3    U n Suku tengah suatu barisan aritmatika adalah U t 

1 U 1  U n  2

Rumus jumlah n suku pertama dalam deret aritmatika : Sn 

Contoh 4

1 1 1 n U 1  U n   n a  a  n  1b   n 2a  n  1b  2 2 2

Tentukan jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 999 yang habis dibagi 5.

Pembahasan : Barisan bilangan bulat dari 1 sampai 999 yang habis dibagi 5 adalah 5, 10, 15, … , 995. Barisan tersebut merupakan barisan aritmatika dengan beda 5 dan suku awalnya 5, serta

U n  995 , sehingga U n  995  a  n  1b  995

5  n  15  995

24



n  15  990 n  1  198  n  199

S199 

1 199 1000  199  500  99500  1995  995  2 2

Jadi jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 999 yang habis dibagi 5 adalah 99500

2.4.2 Barisan dan Deret Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan yang perbandingan di antara dua suku yang berurutan tetap (konstan). Secara umum, barisan U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un disebut barisan geometri jika

Un  r (rasio) , dengan syarat r harus konstan. U n 1

Bentuk umum barisan geometri :

a , ar , ar 2 , ar 3 ,  Rumus suku ke-n barisan geometri : U n  ar n1

a = suku awal r = rasio Deret geometri adalah jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri yaitu

U1  U 2  U 3    U n . Rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri:





a 1 rn Sn  , jika 0  r  1 1 r





a r n 1 Sn  , jika r  1 r 1

atau

dengan r ≠ 1 Rumus deret geometri konvergen tak berhingga dengan suku awal = a dan rasio = r adalah : S 

Contoh 5

a 1 r

Suku kelima dan suku kesembilan suatu barisan geometri berturut-turut adalah 16 dan 256. Tentukan jumlah sembilan suku pertama barisan tersebut!

Pembahasan : Barisan geometri dengan U5 = 16 dan U9 = 256

U 9 ar 8 256    16 U 5 ar 4 16


25




r4 = 16



r =2

U5 = 16 a x 24 = 16





a





a



Jumlah Sembilan suku pertama : S9 = =





a r 9 1 r 1





1 29  1 2 1

= 512  1  511

2.4.3 Barisan Harmonis (Selaras) Suatu barisan dikatakan barisan harmonis, jika kebalikan suku-suku barisan tersebut merupakan barisan aritmatika. 1 1 1 Contoh : 1, , , , 2 3 4

2.4.4 Barisan Bilangan dengan Pola Tertentu Untuk menentukan rumus suku ke-n dapat dicari dengan menghubungkan urutan bilangan / suku ke-n dengan barisan bilangan asli. 1. Barisan bilangan segitiga Barisan : 1, 3, 6, 10, … Deret : 1 + 3 + 6 + 10 + … Rumus suku ke-n : U n 

1 n n  1 2

Jumlah n suku pertama : S n 

26

1 n n  1n  2 6



2. Barisan bilangan persegi Barisan : 1, 4, 9, 16, … Deret : 1 + 4 + 9 + 16 + … Rumus suku ke-n : U n  n 2 Jumlah n suku pertama : S n 

1 n n  12n  1 6

3. Barisan bilangan kubik Barisan : 13, 23, 33, 43, … Deret : 13 + 23 + 33 + 43 + … Rumus suku ke-n : U n  n 3 1  Jumlah n suku pertama : S n   n n  1 2 

2

4. Barisan bilangan persegi panjang Barisan : 2, 6, 12, … Deret : 2 + 6 + 12 + … Rumus suku ke-n : U n  n n  1 1 Jumlah n suku pertama : S n  n n  1n  2 3

5. Barisan bilangan balok Barisan : 6, 24, 60, … Deret : 6 + 24 + 60 + … Rumus suku ke-n : U n  n n  1n  2 Jumlah n suku pertama : S n 

1 n n  1n  2n  3 4


27


6. Barisan bilangan genap Barisan : 2, 4, 6, 8, … Deret : 2 + 4 + 6 + 8 + … Rumus suku ke-n : U n  2n Jumlah n suku pertama : S n  n 2  n 7. Barisan bilangan ganjil Barisan : 1, 3, 5, 7, … Deret : 1 + 3 + 5 + 7 + … Rumus suku ke-n : U n  2n  1 Jumlah n suku pertama : S n  n 2 8. Barisan Fibonacci Barisan Fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku didepannya. Barisan : 1, 1, 2, 3, 5, … Deret : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … Rumus suku ke-n : U n  U n1  U n2

2.5 IDENTITAS ALJABAR Untuk x, y  R , terdapat beberapa sifat sebagai berikut. 1.

a  b  2

ab  a  b

2.

a  b  2

ab  a  b , untuk a > b

3.

x  y 2  x 2  2 xy  y 2

4.

x  y 3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3  x 3  y 3  3xy y  x





5. x n  y n  x  y  x n1  x n2 y  x n3 y 2    y n1 ; Untuk setiap n bilangan bulat positif

28







6. x n  y n  x  y  x n1  x n2 y  x n3 y 2   y n1 ; Untuk setiap n bilangan bulat positif ganjil





7. x 4  y 4  x 2  2 xy  y 2 x 2  2 xy  y 2



n n n 8. Binomial Newton : a  b      a n k b k ; n  Z k 0  k 









9. x n1  y n1  x  y  x n  y n  xy x n1  y n1 ; n  Z 10. x n1 

1 x

n 1

1  1   1     x    x n  n    x n1  n1  ; n  Z x  x   x  


29


SOAL LATIHAN ALJABAR

1.

Jika diketahui a merupakan salah satu akar bulat persamaan x3 – 8 = 0, maka tentukan nilai dari a4 + 3a !

2.

Jika a, b, c adalah akar-akar persamaan x3 – 2x2 + 1 = 0, maka tentukan nilai dari 1 1 1  2  2 . 2 a b c

3.

Tentukan sisa pembagian dari x7 – 32 oleh (x2 – 4).

4.

Suatu polinom jika dibagi oleh x – 1 akan bersisa 10, jika dibagi oleh x + 1 akan bersisa –2. Tentukan sisa pembagian dari polinom tersebut oleh x2 – 1.

5.

Jika barisan berikut ini merupakan barisan bilangan asli berurutan yang dihilangkan semua bilangan kelipatan tiga : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, … , maka suku ke-67 barisan tersebut adalah…

6.

Jika 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, … adalah barisan yang terdiri dari semua bilangan asli yang bukan bilangan kuadrat dan bukan bilangan pangkat tiga, maka bilangan 270 merupakan suku ke…

7.

Nilai jumlahan ini berikut adalah … 12 – 22 + 32 – 42 + … + 20132 – 20142 x6 1 1 maka nilai dari adalah  23 x3 x2

8.

Jika diketahui x 2 

9.

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi (x + 1) (x + 4) = |x|

10. Jika diketahui x  1 

1 1 1 1 1 1 1 1 1      ... , maka tentukan nilai dari     ... 2 3 4 5 6 3 5 7 9


31


PEMBAHASAN SOAL LATIHAN ALJABAR

1.

Diketahui persamaan x3 – 8 = 0 dan a merupakan salah satu akarnya, sehingga x3 – 8 = (x – 2) (x2 + 2x + 4) = 0 Untuk persamaan kuadrat x2 + 2x + 4, Karena D = 4 – 4.1.4 = 4 – 16 = -12, maka nilai a yang memenuhi hanya 2, sehingga a4 + 3a = 24 + 3(2) a4 + 3a = 16 + 6 a4 + 3a = 22

2.

Diketahui persamaan x3 – 2x2 + 1 = 0, dan akar – akarnya a, b, c sehingga x3 – 2x2 + 1 = 0  1 = 2x2 – x3 1 = x2 (2 – x) 1  2 x x2

Akibatnya : 1 1 1  2  2  2  a   2  b   2  c  2 a b c 1 1 1  2  2  2  2  2  a  b  c  2 a b c

1 1 1   2   2  2  6    2 1  a b c  1 1 1  2  2  62  4 2 a b c

Jadi nilai dari

3.

1 1 1  2  2 4 2 a b c

Sisa pembagian suatu polinom berderajat lebih dari 2 oleh polinom berderajat 2 akan memiliki sisa polinom berderajat 1, misalkan ax + b. Factor dari (x2 – 4) adalah (x – 2) dan (x + 2), sehingga Jika x7 – 32 dibagi oleh (x – 2) maka akan bersisa 27 – 32 = 96 = (2)a + b Jika x7 – 32 dibagi oleh (x + 2) maka akan bersisa (–2)7 – 32 = -160 = (–2)a + b Sehingga didapat 2a + b = 96 dan (–2)a + b = –160, akibatnya b = –32 dan a = 64. Jadi sisa pembagian x7 – 32 oleh (x2 – 4) adalah 64x – 32.

32



4.

Diketahui sisa pembagian oleh x – 1 adalah 10 atau f (1) = 10, dan sisa pembagian oleh x + 1 adalah –2 atau f (-1) = –2. Faktor dari x2 – 1 adalah x – 1 dan x + 1, dan sisa pembagiannya adalah ax + b, sehingga f (1) = 10 = a + b dan f (-1) = –2 = –a + b Eleminasi kedua persamaan tersebut, didapatkan a + b = 10 –a + b = –2 2b = 8  b = 4 Substitusi b = 4 ke salah satu persamaan a + b = 10  a = 6 Sehingga sisa pembagiannya adalah 6x + 4

5.

Barisan : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, … Dari angka 1 sampai 100, angka kelipatan 3 harus dihilangkan sebanyak

99  33 angka. 3

Sehingga angka 100 merupakan suku ke 100 – 33 = 67. Jadi suku ke-67 dari barisan tersebut adalah 100.

6.

Diketahui : 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, … merupakan barisan yang terdiri dari semua bilangan asli yang bukan bilangan kuadrat dan bukan bilangan pangkat tiga. Bilangan kuadrat dari 1 – 270 :

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256  totalnya ada 16

Bilangan pangkat tiga dari 1 – 270 : 1, 8, 27, 64, 125, 216  totalnya ada 6 Bilangan kuadrat yang juga merupakan bilangan pangkat 3 dari 1 – 270 : 1, 64  ada 2 Jadi bilangan 270 merupakan suku ke 270 – (16 + 6 – 2) = 270 – 20 = 250

7.

12 – 22 + 32 – 42 + … + 20132 – 20142 1 – 4 + 9 – 16 + 25 – 36 + 49 – 64 + … – 20142 –3

–7

–11

–15

–(2013 + 2014)

Ini merupakan sebuah Deret Aritmatika, dengan : a = –3


33

Disiplin adalah kunci kesuksesan b =  7   3  4 n=

2014  1007 2

Sn 

n 2a  n  1b 2

S1007 

1007 2 3  1007  1 4 2

S1007 

1007  6  1006. 4 2

S1007 

1007  6  4024 2

S1007 

1007  4030  1007   2015  2029105 2

2

8.

1 1  Perhatikan  x    x 2  2  2  23  2  25 x x 

1  Sehingga  x    5 x  3

1 1 1   3  x    x  3  3 x   , sehingga x x x  

x6 1 1 1 1    x 3  3   x    3 x   3 x x x x   3

3

1 1 1    Untuk  x    5 , maka  x    3 x    53  3  5  125  15  110 x x x    3

1 1 1    3 Untuk  x    5 , maka  x    3 x     5  3   5   125  15  110 x x x    x6 1  110 Jadi nilai dari x3

9.

Untuk |x| = x , maka

x  1x  4  x x 2  5x  4  x

x 2  4x  4  0 

34

x  22  0 KUMPULAN MATERI DAN SOAL-SOAL LATIHAN


Sehingga nilai x = –2 Untuk |x| = –x , maka

x  1x  4   x x 2  5x  4   x x 2  6x  4  0

Dengan menggunakan konsep kuadrat sempurna kita peroleh

x  32  5  0 x  32  5



x  3  5 , maka

x  3  5  8 atau x  3  5  2 Jadi nilai x yang memenuhi adalah –2 dan 8

10. Diketahui x  1 

1 1 1 1 1      ... , sehingga 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1 1      ...  x  1       ... 3 5 7 9 2 4 6 8  1 1 1 1 1 1 1 1      ...  x  1  1     ... 3 5 7 9 2 2 3 4  1 1 1 1 1     ...  x  1  x 3 5 7 9 2 1 1 1 1 1     ...  x  1 3 5 7 9 2

Jadi nilai dari

1 1 1 1 1     ... adalah x  1 3 5 7 9 2


35


BAB III. GEOMETRI

3.1 SUDUT Besar sudut biasanya dilambangkan dengan huruf m yang diambil dari dari kata measure atau u yang diambil dari kata ukuran. Contoh: besar sudut BAC ditulis m BAC . 3.1.1 Besar Sudut dalam Bangun Datar 1.

Pada segitiga Jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 1800 (α + β + γ = 1800)

a. Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o.

b. Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.


37


c. Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.

2.

Pada Persegi Persegi adalah bangun datar memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku dengan sisi-sisinya sama panjang.

3.

Pada Persegi Panjang Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.

4.

Pada Lingkaran Besar sudut pada lingkaran adalah 3600.

1.1.2 Sifat – sifat Sudut

Garis M // Garis N, garis M dan garis N memotong garis K. 1. Sudut yang bertolak belakang memiliki besar yang sama     2. Sudut dalam berseberangan memiliki besar yang sama  

38



3. Sudut luar berseberangan memiliki besar yang sama   4. Sudut yang sehadap memiliki besar yang sama     5. Sudut yang saling berpelurus (jumlahnya 1800) dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan

Contoh 1 : Perhatikan gambar berikut ini B 400 k

600

Tentukan nilai z

A

4z C

Pembahasan : Perhatikan garis AB dan k sejajar dan memotong garis BC, sehingga  ABCBCK = 400 4z + 600 + 400 = 1800 4z = 800  z = 200 Maka nilai z adalah 200


39


3.2 SEGITIGA Segitiga merupakan bentuk dasar di geometri. Dengan membuat membuat menjadi beberapa segitiga, kita dapat menganalisa bentuk-bentuk geometri lainnya. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam segitiga : 1.

Sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam lainnya.

2.

Panjang satu sisi segitiga kurang dari jumlah dua panjang sisi lainnya.

3.

Diberikan ∆ABC dan BD tegak lurus AC

Luas ∆ABC = ½ × BD × AC. Untuk selanjutnya BD dinamakan tinggi ∆ABC

4.

Diberikan ∆ABC Keliling ∆ABC = a + b + c Luas

∆ABC

dimana s 

5.

=

ss  a s  bs  c  ,

1 Keliling ∆ABC 2

Dua segitiga yang panjang alasnya sama maka perbandingan luas dua segitiga ini sama dengan perbandingan tinggi-tingginya.

6.

Dua segitiga yang panjang tingginya sama maka perbandingan luas dua segitiga ini sama dengan perbandingan alas-alasnya.

7.

Diberikan ∆ABC dan ∆PQR. Segitiga ABC dan PQR dikatakan sebangun jika terdapat korespondensi satu-satu anatara titik-titik A, B, C dengan P, Q, R sehingga sudut-sudut

40



yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang sama,

AB AC BC   . PQ PR QR

3.2.1 Garis Bagi, Garis Tinggi, Garis Berat 1. Garis Bagi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut pada segitiga sehingga membagi sudut tersebut menjadi dua sama besar.

2. Garis Tinggi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut segitiga dan tegak lurus terhadap sisi yang ada di hadapan sudut segitiga tersebut. Garis RS dan QT adalah garis tinggi.

3. Garis berat pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan membagi sisi dihapan sudut tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang. Garis CD, AE, dan garis BF adalah garis berat.


41


Teorema 1

(Teorema Appolonius) Jika D adalah titik tengah dari sisi BC pada ∆ABC, maka :

 AB 2   AC 2  2 AD 2  BD 2 

Teorema 2

(Teorema Phytagoras) Jika a, b, dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku, dengan c sisi miringnya maka a2 + b2 = c2

Teorema 3

(Teorema Menelaus) Jika sebuah garis transversal memotong sisi BC, CA, AB dari segitiga ABC di titik-titik D, E, F, maka

Teorema 4

(Teorema De Ceva) Jika titik-titik D, E, dan F terletak pada sisi-sisi BC, CA, dan AB pada ∆ABC sedemikian sehingga garis-garis AD, BE, CF adalah konkuren melalui titik P, maka :

42



Contoh 2 : Perhatikan gambar dibawah ini

Jika AD merupakan garis tinggi, BD = 8 cm, DC = 12 cm, dan luas segitiga ABC = 60 cm2, maka luas segitiga ABD adalah … cm2. Pembahasan : Perhatikan bahwa segitiga ABC dan ABD keduanya mempunyai tinggi yang sama. Sehingga perbandingan luas keduanya sama dengan perbandingan dari alas masing-masing segitiga. Diketahui luas segitiga ABC = 60 cm2, maka Luas ABC BC  Luas ABD BD BD  Luas ABC BC 8   60  24 8  12

Luas ABD 

Jadi Luas ∆ABD = 24 cm2

3.3 KONGRUENSI Definisi 1 Dua segitiga disebut kongruens (sama dan sebangun) jika dua segitiga tersebut mempunyai tiga pasang sisi yang sama dan pasang sudut yang bersesuaian juga sama besar. Dua segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR jika dan hanya jika, BC = QR

AC = PR

AB = PQ

m∠ A = m∠P

m∠B = m∠Q

m∠C = m∠R

Dalam hal ini kita menuliskan Δ ABC Δ PQR

Jadi syarat dua segitiga yang kongruen adalah: 1. Tiga Sisi (S - S - S) Jika dua buah segitiga adalah kongruen maka ketiga sisi segitiga pertama sama panjang dengan ketiga sisi segitiga kedua (sisi-sisi seletak).


43


2. Dua Sisi dan Satu Sudut Apit (S - Sd - S) Dua segitiga yang kongruen maka dua sisi segitiga pertama sama dengan dua sisi segitiga kedua, dan sudut yang diapitnya sama besar. 3. Dua Sudut dan Satu Sisi (Sd - S - Sd) Dua segitiga yang kongruen maka dua buah sudut dari segitiga pertama sama dengan dua sudut pada segitiga kedua, dan sisi di antara kedua sudut tersebut sama panjang.

3.4 KESEBANGUNAN Definisi 2 Dua segitiga ABC dan DEF dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Dalam hal ini ditulis Δ ABC  Δ DEF. Jadi syarat dua segitiga yang sebangun adalah: 1. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding (S - S - S) 2. Sudut-sudut yang seletak sama besar (Sd-Sd-Sd) 3. Satu sudut sama besar dan kedua sisi yang mengapitnya sebanding (S-Sd-S)

3.5 LINGKARAN Definisi 3 Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama terhadap suatu titik teretentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran.

3.5.1 Sifat-Sifat Penting Lingkaran 1. Sudut keliling sama dengan setengah dari sudut pusat dihadapan busur yang sama. Dari sifat ini, dapat dibuktikan bahwa: a. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.

b. Sudut keliling yang menghadap setengah lingkaran adalah 900.

44



c. Jumlah sudut-sudut berhadapan pada segiempat talibusur adalah 1800.

2. Panjang garis singgung

Panjang garis singgung dapat dihitung menggunakan rumus Phytagoras. 3. Panjang ruas garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran sama dengan akar dari kuadrat panjang sentral ditambah kuadrat dari jumlahan kedua jari-jari lingkaran tersebut. 4. Potongan garis dengan lingkaran a. Titik potong di dalam lingkaran

PA PC atau PA  PB  PC  PD  PD PB


45


b. Titik potong di luar lingkaran

PA PD atau PA  PB  PC  PD  PC PB

3.5.1 Keliling dan Luas Lingkaran Jika diketahui jari-jari suatu lingkaran adalah R, maka: Keliling Lingkaran = 2 R Luas Lingkara =  R 2

3.5.2 Juring

Panjang Busur AB

=

Luas Juring

=

 360 0

 360 0

 2 R  R2

3.5.3 Teorema-teorema Pada Lingkaran Teorema-teorema pada lingkaran pada umumnya kebenarannya dibuktikan secara kesebangunan 2 segitiga. 1. Teorema Talibusur Jika AA` dan BB` adalah talibusur-talibusur sebuah lingkaran berpotongan di titik P di dalam lingkaran, maka: PAPA` = PBPB` 2. Teorema Secant Jika AA` dan BB` adalah talibusur-talibusur sebuah lingkaran berpotongan di titik P di luar lingkaran, maka: PAPA` = PBPB`

46



3. Teorema Secant-Tangent Jika P adalah sebuah titik di luar lingkaran, garis singgung dari P menyinggung lingkaran di titik T dan garis melalui P memotong lingkaran di A dan A`, maka: PAPA` = PT2.

3.6 TRIGONOMETRI Diberikan sebuah segitiga ABC siku-siku di C dengan ABC pada titik sudut C sebagai berikut:

 adalah sudut dalam segitiga B

z x α A

C

y

Misalkan x, y, dan z berturut-turut merupakan panjang garis BC, AC dan AB. Sehingga perbandingan trigonometri untuk sudut



pada segitiga siku-siku ABC didefinisikan sebagai

berikut:

sin  

x z

csc  

z x

cos  

y z

sec  

z y

tan  

x y

cot  

y x

3.6.1 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Khusus Sudut khusus (istimewa) adalah suatu sudut dengan nilai perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan nilainya secara eksak tanpa menggunakan kalkulator. Sudut-sudut khusus tersebut antara lain: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, dan seterusnya. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 30°, 45°, dan 60° dihitung dengan memperhatikan segitiga khusus yakni segitiga sama sisi atau segitiga siku-siku sama kaki.


47


Perhatikan dua buah segitiga siku-siku di bawah ini.

Berdasarkan gambar tersebut maka didapatkan nilai perbandingan trigonometri sudutsudut khusus sebagai berikut: Table Nilai Fungsi Trigonometri 30°

45°

60°

Sin

1 2

1 2 2

1 3 2

Cos

1 3 2

1 2 2

1 2

Tan

1 3 3

1

3

3.6.2 Luas Segitiga Perhatikan segitiga di bawah ini.

C

A

t



D sin  

B

CD AC

CD  AC  sin 

48



Luas segitiga ABC =

1  AB  CD 2

Karena CD  AC  sin  1 Maka luas segitiga ABC =  AB  AC  sin  2

Contoh : Perhatikan gambar dibawah ini.

C

7  2 10

 A

B 7  2 10

Berapa nilai dari

cos  ?

Pembahasan: BC 2  AB 2  AC 2 2

  7  2 10    7  2 10     

2

 7  2 10  7  2 10

 14

BC  14 cos  

 

AB  BC



7  2 10 14

2 5 14

  2

2 5



14



28  70 2 7  10 7 7   2  10 14 14 14




49

Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif SOAL LATIHAN GEOMETRI

1.

Perhatikan gambar berikut ini.

CAD dan CED saling berpelurus. Tentukan nilai dari x : y. 2.

Perhatikan gambar dibawah ini.

D

A

45°

30°

B

C

Panjang BD = 8 cm, panjang BC = . . . cm

3.

Diketahui ABCD adalah persegi dengan panjang rusuknya 10 cm. Jika m

ABE  m EBF , hitunglah panjang AE.

4.

ABCD adalah sebuah persegi dengan panjang sisinya 4 cm. Titik E berada pada BD. Sudut dibentuk DC dengan CE adalah 60°. Luas segitiga EBC adalah . . .


51


5.

Seorang ibu berada di suatu tempat A di tepi jalan yang lurus. Ia ingin berbelanja di toko C di seberang jalan. Toko B berada tepat di seberang A. Jarak A ke toko C adalah 8 2 m dan besar sudut BAC = 30°. Tetapi sebelum ke toko C, ia ingin mampir di toko B. Jarak yang ditempuh adalah . . . m

6.

Perhatikan gambar dibawah ini. Jika lingkaran yang besar mempunyai jari-jari 4 dan lingkaran yang kecil mempunyai jari-jari 2, serta luas daerah yang tidak diarsir adalah 7 luas lingkaran yang besar, maka besar RPQ yang kecil adalah… 12

7.

Perhatikan gambar berikut ini Persegi ABCD dengan panjang sisi 20 cm, titik sudutnya

menyinggung

sebuah

lingkaran.

Kemudian dari masing-masing sisi persegi tersebut dibuat setengah lingkaran dengan diameter sisi persegi tersebut. Jika π = 3,14 , maka luas daerah yang diarsir adalah..

8.

Sebuah antena televisi berdiri tegak lurus dengan tanah. Dari titik B, C, dan D di tanah ditarik kabel ke puncak antena. Perhatikan gambar berikut ini.

Panjang kawat yang menghubungkan puncak antena ke titik B, C, dan D sama panjang. Tentukan DO + CO + BO jika AO = 12 cm, AD = 13 cm.

52



9. Sembilan lingkaran kongruen terletak di dalam persegi seperti gambar di bawah ini. Jika Keliling sebuah lingkaran 12,56 cm. Jika π = 3,14 , maka hitunglah daerah yang di arsir!

10. Perhatikan gambar berikut ini

ABCD merupakan sebuah persegi dengan panjang sisi 4 cm. E adalah titik tengah CD dan F adalah titik tengah AD. Luas daerah EDFGH adalah


53


PEMBAHASAN SOAL LATIHAN GEOMETRI

1.

CAD dan CED saling berpelurus  m CAD + m CED = 180o Karena: m CAD + m CED = 180o m DEB  mCED  180 (berpelurus) 

maka mCAD  mDEB

mCBA  mDBE (berimpit) Pada gambar di atas dapat disimpulkan ABC ~ EBD berdasarkan sudut-sudut, sehingga berlaku: AB AC 2x  5 y 2x  3y    EB ED 9 7

 14 x  35 y  18x  27 y  8 y  4x  2y  x  x 2

y Jadi, x : y = 2 : 1. 2.

D

8 45°

A

30°

B

C

Dari gambar tersebut diperoleh: cos 45 

AB AB  BD 8

1 AB 2 2 8

AB  4 2

54



AD  AB  4 2 tan 30  

AD AC

1 4 2 3 3 AC

AC  4 6

BC  AC  AB



 4 6 4 2  4 6  2

3.

Perhatikan

bahwa



ABE  FBE

berdasarkan

sisi-sudut-sudut

yaitu

EB  EB, mEBA  mEBF , mBAE  mBFE , sehingga

AB  BF  10 cm, AE  EF DB merupakan diagonal persegi ABCD, sehingga m EDF 

1  90  = 45o 2

m FED  90  45 = 45o Sehingga

DFE merupakan

segitiga

sama

kaki

dengan

DF  FE .

Didapat

DF  FE  AE .

DF = DB – FB = 10 2 cm – 10 cm = 10( 2 - 1) cm. Jadi, panjang AE yaitu 10( 2 - 1) cm.

4.

ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 4 cm.

D

C

60° 30° x 4 cm

E A

B

Misalkan CE = x


55


1 1  BC  CE  sin 30    CD  CE  sin 60  2 2

Luas BCD 

1 1 1 1 1  4 4   4 x   4 x 3 2 2 2 2 2

8 xx 3 x



 4 3 1

1 3

1  BC  CE  sin 30  2

Luas EBC  



8





1 1  4  4 3 1  2 2





 4 3 1

5.

Misal jarak A ke B = x dan jarak B ke C = y.

y

B

C

x 8 2 30°

A Jarak yang di tempuh = Jarak A ke B + Jarak B ke C

cos 30  

x

sin 30  

8 2

1 x 3 2 8 2

8 2

1 y  2 8 2

x4 6

y4 2



Sehingga jaraknya = x  y  4 6  2

56

y





6.

Diketahui :

Jari-jari lingkaran besar = 4 Jari-jari lingkaran kecil = 2 Luas tidak diarsir 

7  Luas Lingkaran Besar 12

Misalkan : RPQ  x , sehingga Luas diarsir  Luas Lingkaran Besar  Luas tidak diarsir

Luas diarsir  Luas Lingkaran Besar  Luas diarsir 

7 Luas Lingkaran Besar 12

5 Luas Lingkaran Besar 12

x Luas Lingkaran Kecil 360 x  x   Luas Lingkaran Besar  Luas Lingkaran Kecil  360  360 

Luas diarsir  Luas Lingkaran Kecil 

5 2x Luas Lingkaran Besar  Luas Lingkaran Kecil  Luas Lingkaran Kecil 12 360 x  Luas Lingkaran Besar 360 5 x x  44   22   22   44 12 180 360 20 x 2x  4  3 45 45 20 x 4 3 45 8 x  3 45

x

8  45  8  15  120 3

Jadi besar sudut RPQ  120 0

7.

Diketahui : panjang sisi persegi ABCD = 20 cm dan π = 3,14


57


Perhatikan gambar

AC  AB 2  BC 2  20 2  20 2  20 2

,

sehingga

r

20 2  10 2 cm 2

Luas arsiran 1 Luas Lingkaran  Luas Persegi   r 2  s2





2

 3,14  10 2  20 2  3,14  200  400  628  400  228

Perhatikan gambar berikut ini AB  20  rsetengah lingkaran 

Lsetengah lingkaran 

20  10 2

 rsetengan lingkaran2 2



3,14  100  157 2

Luas arsiran  4  Lsetengah lingkaran  Luas arsiran1 Luas arsiran  4  157  228  628  228  400

Jadi luas yang diarsir adalah 400 cm2

8.

Perhatikan DAO, CAO, dan BAO

AD  AC  AB AO  AO  AO m AOD = m AOC = m AOB = 90o

ODA sejenis dengan OCA sejenis dengan OBA yaitu sudut lancip. Sehingga berdasarkan sisi-sisi-sudut-sudut sejenis, DAO, CAO, dan BAO merupakan segitiga yang kongruen. Didapat DO = CO = BO. DO =

58

AD 2  AO 2  132  12 2  169  144  25  5 cm.



Jadi, DO + CO + BO = 5 cm + 5 cm + 5 cm = 15 cm.

9.

Perhatikan gambar

Diketahui : K lingkaran  12,56 , dan π = 3,14

K lingkaran  12,56

2 r  12,56  2  3,14  r  12,56  r 

12,56 2 6,28

Sehingga panjang rusuk persegi kecil = 2 . 2 = 4 Perhatikan gambar diatas Larsiran  4L persegi  Llingkaran



 4 4 2  3,14  2 2



 416  12,56  43,44  13,76

Jadi Luas daerah yang diarsir adalah 13,76

10. Diketahui

: Persegi ABCD memiliki panjang sisi 4

cm E titik tengah CD  DE = CE = 2 cm F titik tengah AD  AF = DF = 2 cm Segitiga BAF = Segitiga BCE (S-Sd-S) Karena E titik tengah CD dan F titik tengah AD maka garis BE dan BF membagi garis AC menjadi tiga bagian sama panjang  CH = GH =


59


AG =

1 AC 3

Perhatikan segitiga siku-siku ABC : AC 

AB 2  BC 2  4 2  4 2  4 2  GH 

1 1 4 AC   4 2  2 3 3 3

BO 

1 1 AC   4 2  2 2 2 2

LEDFGH  L persegi  2LBAF  LBGH

1  1   AB  BC  2 AB  AF    GH  BO  2  2  1  1 4   4  4  2  4  2     2 2 2 2  2 3 

8 24  8 16 8  16  8     8    3 3 3  3 Jadi Luas daerah EDFGH adalah

60

16 3



BAB IV. KOMBINATORIKA

1.1 PRINSIP DASAR PENDATAAN Untuk melakukan pendataan, sangat diperlukan ketelitian. Terkadang prinsip dasar ini mempermudah kalian dalam menyelesaikan soal jika kalian tidak mengingat rumus penyelesaian. Akan tetapi, perlu diperhatikan pula bahwa prinsip dasar pendataan, untuk beberapa kasus tertentu, justru menyita waktu untuk mengerjakan soal.

Contoh 1

Di warung Ibu Emi tersedia menu yang terdiri dari 5 jenis makanan yaitu: Nasi Goreng (G), Nasi Campur (N), Puyung Hai (P), Cap Cay (C), dan Sayur Hijau (S), serta 4 jenis minuman berbeda yaitu: Es Teh (T), Es Buah (B), Es Jeruk (J), dan Kopi (K). Tentukan banyaknya macam hidangan berbeda yang dapat dibuat dari satu jenis makanan dan satu jenis minuman?

Pembahasan : Masalah tersebut merupakan masalah diskrit yang dapat dipecahkan dengan metode mendata, dimana kemungkinan yang dapat diambil yaitu: GT; GB; GJ; GK; NT; NB; NJ; NK; PT; PB; PJ; PK; CP; CB; CJ; CK; ST; SB; SJ; SK. Sehingga terdapat 20 cara.

1.2 PRINSIP PENJUMLAHAN (RULE OF SUM) Definisi 1

Prinsip Penjumlahan Jika ada sebanyak m cara untuk memilih benda jenis A dan ada n cara untuk memiliih benda jenis B, maka ada sebanyak n + m cara untuk memiih benda jenis A atau benda jenis B dengan A B = .

Secara umum apabila dalam suatu pelaksanaan tugas diperoleh hal: 

tugas A dilaksanakan dengan m1 cara



tugas B dilaksanakan dengan m2 cara



tugas ke k dilaksanakan dengan mk cara

Dengan syarat tugas yang diberikan harus saling asing (disjoint), mka seluruh tugas dapat dilaksanakan dengan m1 + m2 +…+ mk.


61


Contoh 2

Dalam suatu kartu bridge yang lengkap yaitu berjumlah 52 lembar kartu. Berapa banyak cara untuk mengambil sebuah kartu jantung dan sebuah kartu laying-layang?

Pembahasan : Kartu jantung dan kartu laying-layang merupakan himpunan yang saling asing sehingga irisan keduanya adalah himpunan kosong ( ) , maka banyaknya cara untuk mendapatkan salah satunya adalah Jumlah dari banyaknya cara pada masing-masing bagian. Untuk mendapatkan jantung terdapat 13 cara, dan untuk mendapatkan kartu laying-layang terdapat 13 cara (karena kartu jantung dan laying-layang masing-masing ada 13). Jadi untuk medapatkan sebuah kartu jantung atau sebuah kartu laying-layang adalah 13 + 13 = 26 cara.

1.3 PRINSIP PERKALIAN (RULE OF PRODUCT) Definisi 2

Prinsip Perkalian Jika ada m cara untuk memilih benda jenis A dan untuk setiap pilihan tersebut ada n cara untuk memilih benda jenis B, maka total ada sebanyak m n cara untuk memilih satu benda jenis A dan satu benda jenis B.

Secara umum apabila diberikan suatu langkah yang terdiri dari beberapa tugas, misalkan sebanyak k tugas dengan ketentuan berikut: 

Jika tugas I dilaksanakan dengan m1 cara



Jika tugas II dilaksanakan dengan m2 cara



Jika tugas ke k dilaksanakan dengan mk cara

Dengan pelaksanaan yang saling lepas antara tugas satu dengan tugas yang lain, maka pasangan tugas dalam suatu langkah dapat dilaksanakan dengan m1 m2 … mk

Contoh 3

Andi mempunyai 3 buah celana dan 4 buah baju. Berapa banyak cara Andi untuk memilih celana dan baju yang akan dipakai?

Pembahasan : Karena banyaknya celana ada 3 maka banyaknya cara untuk memilih celana ada 3 cara, dan banyaknya baju ada 4 maka banyaknya cara untuk memilih baju ada 4 cara. Sehingga banyaknya cara untuk memilih celana dan baju yang akan dipakai oleh Andi adalah 3 x 4 = 12 cara.

62



1.4 PERMUTASI DAN KOMBINASI 1.4.1 Permutasi Definisi 3

Permutasi Susunan dari n unsur berbeda adalah banyaknya susunan tentu saja memperhatikan urutannya.

Misalkan terdapat n unsur yang berbeda dan akan dihitung banyaknya permutasi. Karena tidak boleh ada pengulangan, maka unsur pertama memiliki n kemungkinan, unsur kedua memiliki (n – 1) kemungkinan, unsur ketiga memiliki (n – 2) kemungkinan, dan seterusnya hingga unsur ke-n memiliki 1 kemungkinan, sehingga banyaknya permutasi n unsur adalah:

n  n  1  n  2   3  2 1  1  2  3   n  2  n  1  n Definisi 4

Faktorial Jika n bilangan asli, tulisan n!, dibaca n factorial, mempunyai arti sebagai berikut.

n! n  n  1  n  2   3  2 1 Dan 0! = 1 (didefinisikan). Sehingga permutasi n unsur yang berbeda adalah sebanyak n!. Yang dinotasikan dengan n

Contoh 4

Pn  Pn,n   Pnn  n!

Berapa banyaknya permutasi dari angka 1 sampai 6?

Pembahasan : Angka 1 sampai 6 terdiri dari 6 unsur yang berbeda, sehingga banyak permutasinya adalah P66  6! 6  5  4  3  2  1  720

Jenis-jenis Permutasi 1.

Permutasi k Unsur dari n Unsur yang Berbeda, k ≤ n Misalkan terdapat n unsur yang berbeda, dan k ≤ n, maka permutasi k unsur dari n unsur adalah banyaknya susunan terurut yang terdiri dari k unsur yang diambil dari n unsur yang ada. Pkn  n n  1n  2n  k  2n  k  1

 n  k  1n  k  2n  2n  1 n 

1  2  3    n  k  n  k  1n  k  2n  2n  1 n 1  2  3    n  k 


63




1  2  3    n  k n  k  1n  k  2n  2n  1 n 1  2  3    n  k 



n! n  k !

Jadi n Pk  Pn,k   Pkn  Contoh 5

n! ; dengan k ≤ n. n  k !

Tentukan banyaknya permutasi dari 3 huruf yang diambil dari A, B, C, D, E !

Pembahasan : Permutasi 3 huruf dari 5 huruf :

5! 5  4  3  2!   5  4  3  60 5  3! 2! Jadi banyaknya permutasi dari 3 huruf yang diambil dari A, B, C, D, E adalah 60 P35 

2.

Permutasi n Unsur dari n Unsur dengan Beberapa Unsur yang Sama Misalkan terdapat n unsur dengan beberapa di antaranya sama, yaitu terdapat sebanyak n1 unsur q1, sebanyak n2 unsur q2,..., sebanyak nk unsur qk, dengan n1+ n2+...+ nk = n. Maka banyaknya susunan terurut yang terdiri dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama yaitu:

Pnn1 , n2 , , nk   Contoh 6

n! n1 !n2 ! nk !

Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dapat disusun dari kata “MATEMATIKA”?

Pembahasan : Terdapat 10 huruf dari kata MATEMATIKA yang terdiri dari 2 huruf M, 3 huruf A, 2 huruf T, 1 huruf E, 1 huruf I, dan 1 huruf K. Sehingga banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah :

P10 2, 3, 2,1,1,1 

3.

10! 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1   10  9  8  7  5  3  2  151200 2!3!2!1!1!1! 2  13  2  12  1111

Permutasi Siklis (Melingkar) Banyaknya permutasi siklis (melingkar) dari n unsur yang berbeda yaitu banyaknya cara n unsur yang berbeda disusun terurut secara melingkar, n

64

Psiklis 

n!  n  1! n



Contoh 7

Hendra, Eka, Riri, Tono, dan Dono pergi ke sebuah rumah makan dan duduk di sebuah meja yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara mereka menempati tempat duduk yang berbeda !

Pembahasan : Mereka berjumlah 5 orang, dan akan duduk di sebuah meja yang berbentuk lingkaran, maka banyaknya cara menempati tempat duduk yang berbeda adalah 5

Psiklis  5  1! 4! 4  3  2  1  24

Jadi terdapat 24 cara untuk mereka menempati tempat duduk yang berbeda.

1.4.2 Kombinasi Definisi 5

Kombinasi Banyaknya cara memilih r unsur dari n unsur berbeda. Banyaknya kombinasi r

n unsur dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan C(n,r) atau   . r Jenis-jenis Kombinasi 1.

Kombinasi k Unsur dari n Unsur yang Berbeda, k ≤ n Banyaknya susunan tak terurut yang terdiri dari k unsur dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan

n

n C k , Cn,k  , C kn ,   . Secara umum hubungan permutasi dan k 

kombinasi dari n unsur diambil k unsur dapat ditulis: n!

Pn n! P  C  P sehingga C  kn  n k !  n  k !k ! k! Pn n k

C kn 

Contoh 8

n k

n n

n k

n! dengan k ≤ n n  k !k !

Diketahui pada sebuah kotak terdapat 10 buah kelereng. Jika dari kotak tersebut diambil 5 buah kelereng, maka tentukanlah banyaknya kemungkinan yang terjadi !

Pembahasan :

C510 

10! 10! 10  9  8  7  6    9  7  4  252 10  5!5! 5!5! 5  4  3  2  1

Jadi terdapat 252 kemungkinan yang terjadi.


65


2.

Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan Beberapa Unsur yang Sama Jika terdapat n unsur dan beberapa di antaranya sama. Misalnya ada sebanyak n1 unsur q1, sebanyak n2 unsur q2,..., dan sebanyak ne unsur qe, dengan n1 + n2 +...+ ne = n. Untuk menentukan banyaknya kombinasi yang terdiri dari k unsur dengan aturan harus terdiri dari sebanyak k1 unsur q1, sebanyak k2 unsur q2,..., dan sebanyak ke unsur qe, dengan k1 + k2 +...+ ke = k. Sehingga total susunan tak terurut adalah:  n1   n2   ne         k1   k 2   k e 

Contoh 9

Dalam sebuah komunitas pecinta Matematika yang terdiri dari 5 orang putra dan 8 orang putri akan dikirim 5 orang perwakilan yang terdiri dari 2 orang putra dan 3 orang putri. Tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman!

Pembahasan :    5! 8!      C 25  C38    5  2!2!   8  3!3! 



5! 8!  3!2! 5!3!



8765 4 3  2 1 2 1

 8  7  5  2  560 Jadi banyaknya kemungkinan pengiriman adalah 560

1.5 PROBABILITAS 1.5.1 Probabilitas Matematik Jika suatu kejadian harus terjadi dalam salah satu dari n (n ≠ 0) cara yang berbeda tetapi dengan kemungkinan yang sama. Jika s di antaranya dipandang sebagai sukses dan f  n  s cara lainnya dipandang sebagai sebagai gagal, maka probabilitas sukses dalam

suatu percobaan adalah p  q

s cara lainnya dipandang gagal, maka probabilitas gagal adalah n

f s f n . Karena p  q    1 , maka p  1  q dan q  1  p . n n n

Contoh 10

Dalam pengambilan sebuah kartu dari seperangkat kartu bridge, tentukan : a. Probabilitas terambilnya kartu Heart b. Probabilitas terambilnya kartu bukan Heart

66



Pembahasan : a. Satu kartu Heart dapat diambil dari tumpukan kartu bridge (Total kartu dalam kartu bridge adalah 52 kartu) dengan 13 cara berbeda, sehingga probabilitas pengambilan satu kartu heart adalah :

13 1  . 52 4

b. Probabilitas terambilnya kartu bukan Heart adalah : 1 

1 3  4 4

1.5.2 Kejadian Eksklusif (Saling Lepas) Dua atau lebih kejadian disebut saling eksklusif jika tidak lebih dari satu kejadian di antara kejadian-kejadian tersebut yang terjadi dalam sekali percobaan. Misalnya, pengambilan satu Jack dan pengambilan satu Queen dalam pengambilan dari setumpuk kartu adalah kejadian yang saling eksklusif, sedangkan pengambilan satu Jack dan pengambilan satu Spade adalah tidak saling eksklusif.

Teorema 1

Probabilitas dari salah satu kejadian dari sehimpunan kejadian-kejadian yang saling ekslusif yang terjadi pada suatu percobaan adalah jumlah dari masingmasing probabilitas kejadian secara terpisah.

Teorema 2

Dalam suatu kejadian yang melibatkan 2 kejadian, maka probabilitas bahwa X akan terjadi atau Y akan terjadi adalah P X  Y   P X   PY   P X  Y  ; dimana P(X) dan P(Y) menyatakan probabilitas terjadinya kejadian X dan Y secara terpisah, sedangkan P X  Y  menyatakan probabilitas terjadinya kejadian X dan Y secara bersamaan.

X  Y  a a  X atau a  Y  X  Y  a a  X dan a  Y 


67


Contoh 11

Tentukan probabilitas pengambilan satu kartu As dan satu kartu Jack dari seperangkat kartu bridge !

Pembahasan : Karena terdapat 4 kartu As dan 4 kartu Jack, maka s = 8 dan p 

8 2  . Dengan cara 52 13

lain kita dapat memperoleh bahwa probabilitas pengambilan satu kartu As =

4 1  52 13

dan probabilitas pengambilan satu kartu Jack =

4 1  . Sehingga probabilitas 52 13

pengambilan satu kartu As dan satu kartu Jack adalah

1 1 2 .   13 13 13

1.5.3 Kejadian Saling Bebas Dua kejadian A dan B disebut saling bebas jika terjadinya salah satu kejadian tidak akan mempengaruhi kejadian yang lain. Jadi, dalam pelemparan dua dadu, dadu pertama tidak akan mempengaruhi dadu yang kedua. Akan tetapi, dalam pengambilan dua kartu dari sekumpulan kartu tanpa pengembalian, probabilitas pengambilan kartu merah pada pengambilan kedua tergantung pada apakah pada pengambilan kartu pertama diperoleh kartu merah atau tidak. Dua kejadian seperti ini disebut saling tidak bebas. Secara eksplisit, jika

P X  Y   P X   PY  Contoh 12

Tiga kelereng diambil dari sebuah kotak 4 kelereng merah, 3 kelereng hijau dan 5 kelereng ungu. Tentukan probabilitas bahwa ketiganya adalah kelereng (merah, hijau, ungu) jika: a. pengambilan disertai dengan pengembalian; b. pengambilan tidak disertai dengan pengembalian.

Pembahasan : a.

Peluang terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama : PM   Peluang terambilnya kelereng hijau pada pengambilan kedua : PH  

3 12

Peluang terambilnya kelereng ungu pada pengambilan ketiga : PU  

5 12

Maka peluang yang diminta adalah P  PM   PH   PU  

68

4 12

4 3 5 5    12 12 12 144



b.

Karena pengambilan tidak disertai dengan pengembalian, maka setelah pengambilan kelereng pertama, jumlah kelereng akan berkurang, dan demikian seterusnya. Sehingga: Peluang terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama : PM   Peluang terambilnya kelereng hijau pada pengambilan kedua : PH  

3 11

Peluang terambilnya kelereng ungu pada pengambilan ketiga : PU  

5 10

Maka peluang yang diminta adalah P  PM   PH   PU  

4 12

4 3 5 1    12 11 10 22


69


SOAL LATIHAN KOMBINATORIKA

1.

Echa akan membentuk bilangan genap 3 angka yang angka-angkanya diambil dari 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika angka-angkanya boleh berulang?

2.

Berapakah cacah bilangan 8 digit (a1a2a3a4a5a6a7a8) yang terdiri dari 0 dan 1 (a1 = 1) dan memiliki sifat a1 + a3 + a5 + a7 = a2 + a4 + a6 + a8 ?

3. Diberikan himpunan bilangan H = {1, 2, 3, 4, …, 300}, ada berapa cara memilih 3 bilangan diantara anggota himpunan tersebut sehingga jumlahnya habis dibagi tiga. 4.

Misal dua dadu berbeda warna ( hijau dan putih) dilempar ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8.

5.

Lima orang siswa akan ditempatkan pada 3 kelas yang berbeda, 2 orang di kelas pertama, 2 orang di kelas kedua, dan 1 orang di kelas ketiga. Banyak cara menempatkan kelima orang siswa tersebut adalah

6.

Empat buah bola bernomor 1, 2, 3, dan 4 diletakkan didalam sebuah kotak. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak tersebut. Nomor bola yang diambil dicatat, kemudian bola tersebut dikembalikan lagi ke dalam kotak. Jika proses ini dilakukan sebanyak tiga kali dengan cara yang serupa, berapa peluang nomor bola yang terambil berjumlah 5?

7.

Suatu antrian pembelian tiket nonton konser NOAH terdiri dari 2014 orang. Jika diantara anrian 2 orang pria paling sedikit terdapat 4 orang wanita, maka banyak pria pada antrian tersebut paling banyak adalah…

8.

Lima belas bilangan prima pertama dituliskan berturut-turut pada lima belas kartu. Jika semua kartu tersebut diletakkan dalam sebuah kotak dan kemudian diambil secara acak dua buah kartu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan tertulis merupakan bilangan prima adalah ….

9.

Sebuah kelas akan memilih seorang murid di antara mereka untuk mewakili kelas tersebut. Setiap murid mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Peluang seorang murid laki-laki terpilih sama dengan

2 3

kali peluang terpilihnya seorang murid

perempuan. Persentase murid laki-laki di kelas tersebut adalah ⋅⋅⋅⋅ 10. Diketahui 5 bola merah, 6 bola putih, dan 4 bola kuning. Berapakah banyaknya kemungkinan memilih 4 bola yang terdiri dari 2 merah, 2 putih, dan 1 kuning?


71


PEMBAHASAN SOAL LATIHAN KOMBINATORIKA

1.

Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih 7 kemungkinan. Angka kedua dapat dipilih juga dari 7 kemungkinan. Karena bilangan tersebut genap maka angka satuan hanya dapat dipilih dari 4 kemungkinan yaitu 2, 4, 6 atau 8. Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 7 x 7 x 4 = 196 bilangan.

2.

a1 + a3 + a5 + a7 = a2 + a4 + a6 + a8 dengan a1 = 1

Ada 4 Kasus 

Jika a1 + a3 + a5 + a7 = a2 + a4 + a6 + a8 = 1 Maka a3 = a5 = a7 = 0 hanya ada 1 kemungkinan. Banyaknya quartel (a2, a4, a6, a8) yang memenuhi ada 4 yaitu (1,0,0 0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) dan (0,0,0,1). Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi = 1 ⋅ 4 = 4.



Jika a1 + a3 + a5 + a7 = a2 + a4 + a6 + a8 = 2 Maka a3 + a5 + a7 = 1. Banyaknya tripel (a3, a5, a7) yang memenuhi ada 3. a2 + a4 + a6 + a8 = 2 Banyaknya quartel (a2, a4, a6, a8) yang memenuhi = 4C2 = 6. Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi = 3 ⋅ 6 = 18.



Jika a1 + a3 + a5 + a7 = a2 + a4 + a6 + a8 = 3 Maka a3 + a5 + a7 = 2. Banyaknya tripel (a3, a5, a7) yang memenuhi = 3C2 = 3. a2 + a4 + a6 + a8 = 3 Banyaknya quartel (a2, a4, a6, a8) yang memenuhi = 4C3 = 4. Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi = 3 ⋅ 4 = 12.



Jika a1 + a3 + a5 + a7 = a2 + a4 + a6 + a8 = 4 Yang memenuhi hanya ada 1 yaitu 11111111. Jadi, bilangan yang memenuhi adalah 4 + 18 + 12 + 1 = 35.

3. Bentuk himpunan-himpunan bagian H n dengan anggota-anggotanya jika dibagi tiga akan bersisa sebanyak

72

n bilangan. Diperoleh :



H 0 = {3, 6, 9, 12, 15, …, 300} ; H1 = {1, 4, 7, 10, 13, …. 298} ; H 2 = {2, 5, 8, 11, 14, …, 299} Pengambilan 3 bilangan yang jumlahnya habis dibagi tiga dapat dilakukan dengan cara : -

100   cara pilih 3 diantara anggota-anggota H 0 diperoleh sebanyak   3 

-

100   cara pilih 3 diantara anggota-anggota H1 diperoleh sebanyak  3  

-

100   cara pilih 3 diantara anggota-anggota H 2 diperoleh sebanyak   3 

-

100   cara , pilih 1 anggota H 0 diperoleh sebanyak   1 

100   cara, pilih 1 anggota H 2 diperoleh pilih 1 anggota H1 diperoleh sebanyak   1  100   cara. sebanyak   1 

Karena terjadi bersama-sama dengan menggunakan prinsip

100  100  100  100       =  perkalian diperoleh pengambilan sebanyak   cara.  1  1  1   1  3

Jadi total cara memilih tiga bilangan sehingga jumlahnya habis dibagi tiga adalah

100  100  100  100  100  100    +   +   +   +   = 3   = 1498501000 cara.  3   3   3   1   3   1  3

4.

3

Bentuk elemen (hijau, putih) Untuk mendapat jumlah 4 adalah 3 cara yaitu (1,3); (2,2); (3,1) Untuk mendapat jumlah 8 adalah 7 cara yaitu(1,7);(2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2);(7,1) Jadi untuk mendapat jumlah 4 atau 8 adalah 3+7=10 cara Contoh 3 Misal dua dadu warna sama dilempar ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8. Jawab : Bentuk elemen (hijau,hijau) karena warna sama maka elemen (1,3) dengan (3,1) dianggap satu elemen Begitu juga elemen (2,6) dengan (6,2) ; (3,5) dengan (5,3) ; (1,7) dengan (7,1) jadi kemungkinannya tinggal 4 cara


73


5.

Terdapat 5 orang siswa yang akan ditempatkan pada 3 kelas, 2 orang di kelas pertama, 2 orang di kelas kedua, 1 orang di kelas ketiga, dapat diilustrasikan sebagai berikut

Banyak cara menempatkan kelima orang siswa tersebut adalah

6.

5! 5  4  3  2!   30 2!2!1! 2!2  1  1

Diketahui : Empat bola bernomor : 1, 2, 3, 4 Banyak cara terambilnya nomor bola berjumlah 5, ada 2 pola yaitu :

Banyak cara pengambilan pada pola ini adalah

3! 3  2!  3 1! 2! 1  2!

Banyak cara pengambilan pada pola ini adalah

3! 3  2!  3 2!1! 2!1

Maka banyaknya cara pengambilan dari kedua pola tersebut adalah 3 + 3 = 6 1 1 1 3 Jadi peluang nomor bola yang terambil berjumlah 5 adalah 6     4 4 4 32

7.

Diketahui : Antrian 2014 orang ⇒ diantara 2 orang pria terdapat paling sedikit 4 orang wanita Agar banyaknya pria pada antrian tersebut paling banyak, maka diantara 2 pria harus terdapat 4 orang wanita, sehingga : W W W W P W W W W P …….. P 5 berulang 5 berulang Dari susunan diatas bias dilihat bahwa setiap 5 orang pasti terdapat 1 pria didalamnya, P

sehingga : 2014 = 5. (402) + 4 Karena tersisa 4 orang lagi dan dalam 4 orang tersebut diawalnya terdapat 1 orang pria Jadi banyak pria dalam antrian tersebut paling banyak adalah 402 + 1 = 403 orang. 8.

Lima belas bilangan prima pertama : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 74



Penjumlahan bilangan prima = bilangan prima Bilangan prima hanya mungkin dibentuk dari bilangan genap + ganjil = ganjil Sedangkan untuk ganjil + ganjil = genap, jadi tidak mungkin akan membentuk bilangan prima Dari lima belas bilangan prima tersebut hanya 2 yang merupakan bilangan genap, jadi penyusunan akan dilaksanakan sebagai berikut, (2,3), (2,5), (2,11), (2,17), (2,29), (2,41)  ada 6 Karena (2,3) berbeda dengan (3,2) maka banyak penyusunannya ada 2.6 = 12 Peluang terambilnya secara acak dua buah kartu berturut-turut tanpa pengembalian adalah

1 1  15 14

Jadi peluangnya adalah 12 

9.

1 1 2   15 14 35

Misalkan jumlah murid laki-laki = m dan jumlah murid perempuan = n (m : (m + n)) : (n : (m + n)) = 2 : 3 m:n=2:3 3m = 2n Maka, m 2m 2m 2    m  n 2m  2n 5m 5

Jadi presentase murid laki-laki dikelas tersebut adalah 40 %

5 10. Kemungkinan pengambilan 2 bola merah dari 5 bola yang ada =    2 6 Kemungkinan pengambilan 2 bola putih dari 6 bola yang ada =    2  4 Kemungkinan pengambilan 1 bola kuning dari 4 bola yang ada =   1 Jadi banyaknya kemungkinan pengambilan 4 bola dengan 2 merah, 2 putih, dan 1 kuning adalah:

5   .  2

6   .  2

 4 5! 6 ! 4 ! 4  5 5  6 4   =       2  5  5  3  4  600  1  3!2! 4!2! 3!1! 1  2 1  2 1


75

SOAL-SOAL GLM SMP TAHUN 2012 DAN PEMBAHASANNYA

Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif SOAL PENYISIHAN GLM SMP 2012

1. Jika untuk setiap x, y bilangan real berlaku x*y = xy − x + y maka (x + y)*(x − y) sama dengan… A. x2 − y2 + 2x B. x2 − y2 − 2x C. x2 − y2 + 2y D. x2 − y2 − 2y 2. Luas daerah suatu persegi ABCD adalah 1m2 . Titik P, Q, R, S adalah titik tengah masing-masing sisi AB, BC, CD, dan AD. Titik T terletak tepat di tengah-tengah ruas garis SP. Luas daerah segitiga TQR adalah… A. B.

1 4

cm2

1

C.

2 cm2

8

3. Hari ini usiaku

D. 1 3

1 2 1 4

2 cm2 2 cm2

kali usia ayahku. Lima tahun yang lalu, usiaku

1 4

kali usia ayahku.

Berapakah usiaku sekarang? A. 12

C. 17

B. 15

D. 20 𝑥

4. Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan tidak nol yang memenuhi 𝑥𝑦 = 𝑦 = 𝑥 − 𝑦. Berapakah nilai x + y ? A. 

3 2

C. 0

B. 

1 2

D.

1 2

5. Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi oleh p. Nilai p terbesar adalah… A. 1

C. 5

B. 2

D. 10


79


6. Di suatu sekolah ada 5 siswa: A, B, C, D, dan E. Mereka harus memilih ekstrakurikuler, salah satu dari jenis olah raga: bola basket atau bola voli, dan salah satu dari bidang kesenian: musik atau melukis. Diantara mereka ada 3 siswa yang memilih bola basket dan dua siswa yang memilih musik. -

A dan C memilih jenis olah raga yang sama.

-

D dan E memilih jenis olah raga yang berbeda.

-

B dan E memilih bidang kesenian yang sama.

-

C dan D memilih bidang kesenian yang berbeda.

Jika ada informasi tambahan, C memilih melukis dan E memilih bola basket, maka apa yang bisa disimpulkan mengenai pilihan D? A. Bola voli dan musik B. Bola basket dan musik C. Bola voli dan melukis D. Bola basket tapi kesenian tidak bisa disimpulkan

7. Pak Widanto mengisi sebuah bak penampungan air yang memiliki kapasitas 3750 meter kubik. Berapa lama waktu yang ia butuhkan untuk mengisi bak penampungan tersebut jika dia mengisi dengan menggunakan pompa air yang memiliki kapasitas 800 meter kubik per menit, dan tanpa sepengetahuannya ternyata pada bak penampungan air tersebut terdapat kebocoran yang cukup besar yang dapat mengakibatkan sejumlah 300 meter kubik per menit air terbuang sia-sia? A. 3 menit, 36 detik B. 7 menit, 30 detik C. 8 menit D. 18 menit, 25 detik 8. Jumlah sepuluh digit pertama dari bilangan hasil perkalian 530003× 810004 adalah… A. 6

C. 10

B. 14

D. 8

9. Sejumlah 40% siswa kelas IX di SMP Giriyasa adalah laki-laki, 55% dari siswa laki-laki 2

tersebut dan 66 3 % dari siswa perempuan berkacamata, jumlah yang tidak berkacamata

80

SOAL GEMA LOMBA MATEMATIKA (GLM) SMP TAHUN 2012


adalah 76 siswa. Berapakah perbedaan jumlah siswa laki-laki berkacamata dengan yang tidak berkacamata? A. 7

C. 12

B. 8

D. 13

10. Tiga garis lurus 𝑙 1, 𝑙 2, dan 𝑙 3 mempunyai gradien berturut-turut 2, 3, dan 4. Ketiga garis tersebut memotong sumbu 𝑌 di titik yang sama. Jika jumlah absis titik potong masingmasing garis dengan sumbu 𝑋 adalah

y x

52 24

, tentukan persamaan garis 𝑙 1.

l3 l2 l 1 p q r

k

A. y = 2x – 2 B. y = 3x – 4 C. y = 3x – 3 D. y = 4x – 3 11. Bila 3𝑥 + 3−𝑥 = 4, maka nilai dari 34𝑥 + 3−4𝑥 adalah… A. 37634

C. 43734

B. 37700

D. 55202

12. Jika f(n – 1) = n2 – n + 2 maka f(n + 1) =… A. 𝑛2 + 3𝑛 + 4 B. 𝑛2 − 3𝑛 + 2 C. 𝑛2 + 3𝑛 + 2 D. 𝑛2 + 3𝑛 + 8

13. Sebanyak 120 butir kelereng dimasukkan ke dalam kaleng A dan kaleng B. Banyak kelereng di kaleng A adalah

3 7

banyak kelereng di kaleng B. Apabila sebanyak x butir


81


kelereng dipindahkan dari kaleng A ke kaleng B, maka banyak kelereng di kaleng B menjadi 3 kali banyak kelereng di kaleng A. Besarnya nilai x adalah… A. 12

C. 6

B. 8

D. 4

14. Jika 𝑓 𝑛 menyatakan banyaknya faktor prima yang berbeda dari n, maka nilai dari 𝑓(𝑓 2013 + 𝑓 2012 ) adalah… A. 503

C. 2

B. 48

D. 1

15. Bilangan 3 digit 4A7 dijumlahkan dengan bilangan 222 menghasilkan bilangan 6B9 yang habis dibagi 9. Hasil dari A × B = … A. 3

C. 9

B. 6

D. 12

16. Pusat dari tiga buah lingkaran yang berjari-jari 1 satuan terletak pada titik (0,0), (0,6), dan (8,0). Jika ketiga lingkaran tersebut merupakan tiga buah kerekan, berapakah panjang sabuk yang harus digunakan untuk mengelilingi ketiga kerekan tersebut seperti yang ditunjukan pada gambar di bawah?

A. 24 +

7π 2

B. 24 + 2π

82

C. 24 + D. 24 +

3π 2 11π 2



17. Jika a, b, c, x, y, z adalah bilangan-bilangan, dan memenuhi 𝑥

+ 𝑎

𝑦

+ 𝑏

𝑧 𝑐

=1

dan

𝑎

+ 𝑥

𝑏

+ 𝑦

𝑐 𝑧

A. 1 B.

= 0, maka nilai dari

𝑥2

+ 𝑎2

𝑦2

+ 𝑏2

𝑧2 𝑐2

=⋯

C. 0

1

D.

4

1 2

18. Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan sehingga a + b + c = 0 dan a2 + b2 + c2 = 1, maka a4 + b4 + c4 = … A. 1 B.

C.

1

1 4

D. 2

2

19. Pada gambar di bawah, C merupakan titik tengah dari DE, A titik tengah dari FE, B titik tengah dari AD, dan M merupakan titik tengah dari FA. Jika diketahui luas daerah ABC adalah 6 cm2 , luas daerah DEF adalah… M

F

B

A

E

C

D A. 42 cm

2

B. 30 cm2

C. 48 cm2 D. 36 cm2

20. Sebuah poligon konveks (poligon yang sudut dalamnya kurang dari 180o) memiliki sudut dalam yang membentuk deret aritmatika: 143° , 145° , 147° , … Berapakah banyak sisi yang dimiliki poligon tersebut? A. 18

C. 21

B. 20

D. 22

21. Lima orang siswa pergi ke toko kue untuk membeli kue. Toko tersebut menjual 4 macam jenis kue. Setiap siswa memilih 2 buah kue yang berbeda jenis, dan mereka harus membayar Rp 6.000, Rp 9.000, Rp 11.000, Rp 12.000, dan Rp 15.000. Keesokan harinya,


83


Ririn pergi ke toko tersebut dan membeli 1 buah untuk setiap jenis kue. Berapa rupiahkah Ririn harus membayar? A. Rp 17.000 B. Rp 18.000 C. Rp 20.000 D. Rp 21.000 22. Jika f  y  

a y  ay = 2, maka nilai dari f(2y) = . . . a y  ay

A.

5 4

C.

4 5

B.

3 2

D.

2 3

23. Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh tiga ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah …. hari. A. 3 hari

C. 10 hari

B. 7 hari

D. 8 hari

24. Jika x adalah bilangan bulat positif dan memenuhi 4a + 2x = b 2x + b = 2a a+b =c maka nilai terbesar yang mungkin dari a + b + c = ? A. – 10

C. – 14

B. – 12

D. – 16

25. Suatu jam dinding selalu menghasilkan keterlambatan 8 menit untuk setiap jamnya. Jika saat sekarang jam tersebut menunjukkan waktu yang tepat, maka jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat berikutnya setelah ...jam. A. 90

C. 114

B. 110

D. 124

84



26. Diketahui ∆ABC dengan AB = BC = AC = 20 cm. Pada titik tengah masing-masing sisi AB, BC dan AC dibuat titik A1, B1, C1, sehingga terbentuk ∆A1 B1 C1 . Begitupun pada titik tengah masing-masing sisi A1B1, B1C1 dan A1C1, dibuat titik A2, B2, C2, sehingga terbentuk ∆A2 B2 C2 , demikian seterusnya. Tentukan jumlah panjang keliling semua segitiga yang terbentuk… A. 40 cm

C. 120 cm

B. 80 cm

D. 160 cm 1

27. Jika abc = 1, maka bentuk sederhana dari 1 + 𝑎 + 𝑏 −1 +

1 1 + 𝑏 + 𝑐 −1

+

1 1 + 𝑐 + 𝑎 −1

adalah…

1

A. 1

C.

B. 2

D. -1

2

28. Jika x adalah jumlah 101 bilangan ganjil terkecil yang lebih dari 2013 dan y adalah jumlah 101 bilangan genap terkecil yang lebih dari 10, maka x + y = ... A. 221536

C. 224927

B. 223344

D. 232457

29. Jika A. B.

1 2

1

1

1

3

1

2

2

2

− 𝑎∙𝑏 − 𝑏∙𝑐 − 𝑐∙𝑑 − ⋯ = 5 maka tentukan nilai dari 3 + 𝑏∙𝑎 + 𝑐∙𝑏 + 𝑑∙𝑐 + ⋯

16

C.

30 13

D.

30

4 30 7 30

30. Diberikan segitiga siku-siku sama kaki ABC dengan sudut siku-siku di C, seperti gambar di bawah. Luas daerah segitiga ABC adalah 8 satuan luas. Busur l adalah busur lingkaran yang berpusat di A dan membagi segitiga menjadi dua bagian yang sama luasnya. Busur m adalah busur lingkaran yang berpusat di B dan menyinggung busur l di titik yang terletak di AB. Tentukan luas daerah yang diarsir. A. 4π − 8 π + 4)

C. 8π − 4 π

B. 8 π − 4π

D. 8π + 4


85

Disiplin adalah kunci kesuksesan SOAL FINAL GLM SMP 2012

1. Tentukan semua pasangan bilangan yang memenuhi sistem persamaan berikut. x(y + 2) = y2 – 4 y(x + 2) = x2 – 4

2. Terdapat sebuah persegi panjang ABCD, dengan panjang a dan lebar b. Persegi panjang tersebut kemudian dilipat berdasarkan diagonal BD sebagaimana tampak pada gambar berikut. D

A

B

E

C

Tentukan perbandingan luas daerah ADE dan luas daerah BDE!

3. Saat ini umur Andre dan umur Buda kurang dari 100 tahun. Jika umur Andre dan umur Buda ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat digit (angka) yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli. Dua puluh tiga tahun kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, maka diperoleh bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli. Berapakah umur mereka saat ini?

86


Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif SOAL SPEED TEST GLM SMP 2012

1. Cahya suka memotong kertas. Pertama-tama dia memotong selembar kertas menjadi 10 potongan, kemudian selembar dari 10 potongan tersebut dipotong lagi menjadi 10 potongan, dan kegiatan tersebut dilakukan sampai jumlah potongan seluruhnya menjadi 352. Tentukan berapa kali Cahya memotong kertas tersebut! (Waktu 2 menit skor 10)

2. Aku adalah sebuah bilangan. Bila aku ditambahkan 25 akan menghasilkan sebuah bilangan kuadrat dan bila aku dikurangi 24 akan menghasilkan kuadrat lain. Bilangan berapakah aku? (Waktu 3 menit skor 20)

3. Diketahui Agus adalah siswa laki-laki dan Ani adalah siswa perempuan. Saat ini mereka duduk di kelas IX pada suatu sekolah. Mereka mencatat banyak siswa kelas IX di sekolah 5

mereka. Ani mencatat, 20 dari total siswa di kelas IX adalah laki-laki, sedangkan menurut catatan Agus ,

1 6

dari total siswa di kelas IX selain dirinya adalah laki-laki. Banyak siswa

laki-laki kelas IX di sekolah mereka adalah… (Waktu 3 menit skor 20)

4. Barisan dari bilangan-bilangan t1, t2, t3, … didefinisikan dengan t1 = 4 dan tn+1 =

(𝑡 𝑛 −1) (𝑡 𝑛 +1)

untuk setiap bilangan positif n. Tentukan t2012. (Waktu 4 menit skor 30)

5. Diberikan a, b, c adalah anggota bilangan riil (nyata) yang memenuhi sistem berikut.

abc 8  1 1 1 9     a  b b  c c  a 20  Nilai

a b c    ... bc ca ab

(Waktu 5 menit skor 40)


87


6.

Perhatikan gambar di bawah. Jika jari-jari bangun setengah lingkaran yang besar adalah 12cm, dan nilai 𝜋 = 3,14, maka tentukan luas daerah yang diarsir.

(Waktu 5 menit, skor 40) 7.

Jika sebuah persegi dibagi menjadi 3 daerah yang luasnya sama dan jarak dua garis sejajar adalah 1, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut, tentukan luas daerah persegi tersebut!

1

z

x

y

(Waktu 6 menit skor 50) 8.

Jika 3 + 4 32 + 42 34 + 44 38 + 48 316 + 416 332 + 432 364 + 464 = 4𝑥 − 3𝑦 , maka 𝑥 + 𝑦 = ⋯

(Waktu 7 menit skor 60)

88


Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif SOLUSI PENYISIHAN GLM SMP 2012

1. Jawaban: D x*y = xy − x + y maka (x + y)*(x − y) = (x + y)(x − y) − (x+y) + (x−y) = x2 − y2 −2y

2. Jawaban: A Perhatikan gambar berikut. P

A

B

T S

Q

D

R

C

Karena luas ABCD = 1 1

Maka AB = 1, 𝐴𝑃 = 𝑃𝐵 = 𝐵𝑄 = 2 1

1

Dengan dalil phitagoras didapat 𝑃𝑆 = 2 2, 𝑃𝑇 = 4 2 Dengan dalil phitagoras diperoleh 𝑄𝑇 =

1 4

10

1

Segitiga QRT sehingga diperoleh tinggi = 2 2 𝑐𝑚 1 1

1

1

Jadi, luas segitiga QRT adalah 2 . 2 2. 2 . 2 = 4 𝑐𝑚2

3. Jawaban: B Misalkan usiaku hari ini = x dan usia ayahku hari ini = y. 𝑥=

1 3

𝑦………………………..1

𝑥−5=

1 4

(𝑦 − 5)……….........2

Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2, diperoleh 1 1 𝑦−5= 𝑦−5 3 4


89

Disiplin adalah kunci kesuksesan 1 1 5 𝑦−5= 𝑦− 3 4 4 1 1 5 ⟺ 𝑦− 𝑦 = 5− 3 4 4 4𝑦 − 3𝑦 20 − 5 ⟺ = 12 4 𝑦 15 ⟺ = 12 4 15 ⟺𝑦= × 12 4 ⟺

⟺ 𝑦 = 45 𝑥=

1

1

𝑦 = 3 × 45 = 15 3

4. Jawaban: A Perhatikan 𝑥 𝑥𝑦 = = 𝑥 − 𝑦 𝑦 Persamaan diatas dapat dibuat menjadi 2 persamaan seperti di bawah ini. 𝑥𝑦 = 𝑦

𝑥

………1

𝑥

=𝑥−𝑦

………2

𝑦

Dari persamaan 1 diperoleh 𝑥

𝑥𝑦 = 𝑦 ⟺ 𝑥𝑦 2 = 𝑥 ⟺ 𝑦 2 = 1 ⟺ 𝑦 = ±1. Dari persamaan 2 diperoleh 𝑥 𝑦

𝑦2

= 𝑥 − 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑥𝑦 − 𝑦 2 ⟺ 𝑦 2 = 𝑥𝑦 − 𝑥 ⟺ 𝑦 2 = 𝑥 𝑦 − 1 ⟺ 𝑥 = 𝑦 −1 . 𝑦2

1

Karena 𝑥 = 𝑦 −1, maka tidak mungkin y = 1, sehingga y = −1 dan x = − 2. 3

x + y = −2 . 5. Jawaban: B Misalkan bilangan tersebut a, a + 1, a + 2, dan a + 3. a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6. 4a + 6 selalu habis dibagi oleh 2, sehingga p = 2.

90



6. Jawaban: A Misalkan olah raga yang bisa dipilih adalah x dan y kesenian yang bisa dipilih adalah a dan b

x

olah raga

x

A

B

C

D

a

E a

kesenian

D dan E memilih olahraga yang berbeda, artinya salah satu dari mereka memilih x dan yang lainnya memilih y. Misalkan D memilih x, maka E memilih y. Karena ada 3 siswa yang memilih basket, maka x adalah basket dan y adalah voli. Tapi ini bertentangan dengan informasi yang diketahui (E memilih basket), sehingga haruslah D memilih voli, sedangkan A, C dan E memilih basket. C dan D memilih bidang kesenian yang berbeda, artinya salah satu dari mereka memilih a dan yang lainnya memilih b. Misalkan C memilih a dan D memilih b. Karena yang memilih musik ada 2 orang maka a adalah melukis dan b adalah musik. Ini sesuai dengan informasi tambahan yang diberikan, sehingga dapat disimpulkan B,C dan E memilih melukis, sedangkan A dan D memilih musik. sehingga dapat disimpulkan D memilih voli dan musik.

7. Jawaban: B Misalkan kecepatan air yang dialirkan masuk = vm kecepatan air yang terbuang = vb waktu untuk membuat penuh bak = t volume bak = vm.t – vb∙t ⟺ 3750 = 800t – 300t ⟺ 3750 = 500t ⟺ t=

3750 500

= 7,5 menit.


91


8. Jawaban: D 530003 × 810004 = 530003 × 23

10004

= 530003 × 23×10004 = 530003 × 230012 = 530003 × 230003 × 29 = 1030003 × 29 = 512 × 1030003 Jumlah sepuluh digit pertama hasil perkalian tersebut adalah 5 + 1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 8.

9. Jawaban: B Misalkan jumlah seluruh siswa = S. Siswa laki-laki = 40%S. Siswa perempuan = 60%S. 55

Siswa laki-laki yang memakai kacamata = 100 × 40%S = 22%S. Siswa laki-laki yang tidak memakai kacamata = 18%S. 66

2 3

200

Siswa perempuan yang memakai kacamata = 100 × 60%S = 300 × 60%S = 40%S. Siswa perempuan yang tidak memakai kacamata = 20%S. 18%S + 20%S = 76 ⟺

18S+20S 100

= 76 ⟺ 38S = 7600 ⟺ S = 200. 4

Selisih = 22%S– 18% S = 4% S = 100 × 200 = 8. 10. Jawaban: A l1 bergradien 2 melalui (r,0) dan (0,k), sehingga l2 bergradien 3 melalui (q,0) dan (0,k), sehingga l3 bergradien 4 melalui (p,0) dan (0,k), sehingga

−𝑘 𝑟 −𝑘 𝑞 −𝑘 𝑝

=2

r=

=3

q=

=4

p=

−𝑘 2 −𝑘 3 −𝑘 4 52

Karena jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu 𝑋 adalah 24 maka: 52

p + q + r = 24 −𝑘 4 −6𝑘 24

92

+( −

−𝑘 3 8𝑘 24

−𝑘

)+(2 )= −

12𝑘 24

=

52 24

52 24



−26 k = 52 k = −2 Sehingga persamaan garis l1 bergradien 2 melalui (0, –2) adalah : y – y1 = 2(x – x1) y – (–2) = 2(x – 0) y + 2 = 2x y = 2x – 2.

11. Jawaban: A 𝑥

−𝑥

Bentuk 3𝑥 + 3−𝑥 = 4 dapat ditulis sebagai: 32 + 3 2 = 4. Bila kedua ruas dikuadratkan diperoleh bentuk: 3𝑥 + 3−𝑥 + 2 = 16 ⟺ 3𝑥 + 3−𝑥

= 14

sebagai acuan menjawab soal yang ditanya: 32𝑥 + 3−2𝑥 = (3𝑥 + 3−𝑥 ) (3𝑥 + 3−𝑥 ) – 2 32𝑥 + 3−2𝑥 = (14) (14) – 2 = 196 – 2 = 194 sehingga, 34𝑥 + 3−4𝑥 = ( 32𝑥 + 3−2𝑥 ) (32𝑥 + 3−2𝑥 ) – 2 = (194) (194) – 2 34𝑥 + 3−4𝑥 = 37636 – 2 = 37634.

12. Jawaban: A

f (n  1) = n 2  n  2 Misalkan n  1  m  n  m  1

f (m) = (m  1) 2  (m  1)  2 = m 2  2m  1  m  1  2 = m2  m  2 Jadi, f (n  1) = (n  1) 2  (n  1)  2 = n 2  2n  1  n  1  2 = n 2  3n  4 .


93


13. Jawaban: C Misalkan banyak kelereng di kaleng A = a, dan banyak kelereng di kaleng B = b. 3

Diketahui a = 7 𝑏 3

⟺ a + b = 7𝑏 + b ⟺ 120 =

10

b

7

⟺

b = 84

⟺

a =

3 7

3

𝑏 = 7 × 84 = 36.

x butir kelereng dipindahkan dari kaleng A ke kaleng B sehingga banyak kelereng di kaleng B menjadi 3 kali banyak kelereng di kaleng A. 3 ( a – x) = ( b + x ) ⟺ 3 ( 36- x) = (84 + x ) ⟺ 108 – 3x = 84 + x ⟺

4x = 24

⟺

x = 6.

14. Jawaban: D Jika 𝑓(𝑓 2013 + 𝑓 2012 ) Banyaknya faktor prima dari 2012 adalah 2 yaitu 2 dan 503. Banyaknya faktor prima dari 2015 adalah 2 yaitu 5 dan 403. Banyaknya faktor prima dari 2 adalah 1 yaitu 2. Sehingga 𝑓 𝑓 2013 + 𝑓 2012

= 𝑓 𝑓 2013 + 2

= 𝑓(𝑓 2015 ) = 𝑓 2 = 1.

15. Jawaban: A Perhatikan bilangan 6B9 merupakan bilangan yang habis dibagi 9. Karena bilangan satuannya adalah 9, jadi bilangan 9 habis dibagi 9, sehingga yang perlu diperhatikan berikutnya adalah sisa dari bilangan tersebut yaitu bilangan 6B0. Bilangan untuk B yang mungkin adalah 3 karena jika 630 : 9 = 70. Sehingga dapat dipastikan B bernilai 3. Untuk memperoleh nilai A, dapat dicari dengan menjumlahkan kedua bilangan tersebut, 4A7 + 222 = 639 sehingga diperoleh nilai A= 1. Jadi, A × B = 1 × 3 = 3. 94



16. Jawaban: A Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar tersebut, kita dapatkan : AB = 6 = DE BC = 8 = FG CA = 10 = HI 1

Panjang busuf EF(kecil) = 4 keliling lingkaran =

1

1

x 2π x 1 = 2π 4

∠DAI + ∠DAB + ∠BAC + ∠CAI = 3600 ∠DAI + 900 + ∠BAC + 900 = 3600 ∠DAI + ∠BAC = 1800 ……………………. (1) ∠BCA + ∠ACH + ∠HCG + GCB = 3600 ∠BCA + 900 + ∠HCG + 900 = 3600 ∠BCA + ∠HCG = 1800 …………………..(2) Berdasarkan segitiga ABC, maka ∠BCA + ∠BAC = 900 Maka persamaan (1) dan (2) dapat disederhanakan menjadi ∠DAI + ∠HCG = 2700 ... (3) Panjang busur DI (kecil) = (∠DAI /3600) x keliling lingkaran = (∠DAI /3600) 2π Panjang busur GH (kecil) = (∠HCG /3600) x keliling lingkaran = (∠HCG /3600) 2π Panjang busur DI (kecil ) + Panjang busur GH (kecil) = (∠DAI /3600) 2π + (∠HCG /3600) 2π = 2π {(∠DAI + ∠HCG) / 3600} Dengan menggunakan hasil (3), maka kita dapatkan Panjang busur DI (kecil ) + Panjang busur GH (kecil) = 2π

270 0 360 0

= 2π


3 4

=

3π 2

95


Panjang sabuk yang digunakan adalah = DE + FG + HI + Panjang busuf EF(kecil) + Panjang busur DI (kecil ) + Panjang busur GH (kecil) = 6 + 8 + 10 + 2π +

3π 2

17. Jawaban: A 𝑥

𝑦

𝑧

Misalkan 𝛼 = 𝑎 , 𝛽 = 𝑏 , 𝛾 = 𝑐 . Maka, 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 1 (𝛼 + 𝛽 + 𝛾)2 = 1 ⟺ 𝛼 2 + 𝛽 2 + 𝛾2 + 2(𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾) = 1. 𝑎 𝑥

+

𝑏 𝑦

+

𝑐 𝑧

1

=0

𝛼

+

1 𝛽

+

𝛼𝛽 +𝛼𝛾 +𝛽𝛾 𝛼𝛽𝛾

1 𝛾

=0

=0

𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾 = 0 𝛼2 + 𝛽 2 + 𝛾2 + 2(𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾) = 1 𝛼2 + 𝛽 2 + 𝛾2 +2(0) = 1 𝛼2 + 𝛽 2 + 𝛾2 = 1 𝑥2 𝑎2

+

𝑦2 𝑏2

+

Jadi, nilai dari

𝑧2 𝑐2 𝑥2

=1

+ 𝑎2

𝑦2

+ 𝑏2

𝑧2 𝑐2

adalah 1.

18. Jawaban: B a2 + b2 + c2 = 1

 (a2 + b2 + c2)2 = 1

 a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) = 1 a + b + c = 0  (a + b + c)2 = 0

 a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 0

 1 + 2(ab + ac + bc) = 0  2(ab + ac + bc) = −1 1

 ab + ac + bc = − 2 Kuadratkan kedua ruas, kita dapatkan: 1

1

(ab + ac + bc)2 = (− 2 )2  a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2(a2bc + ab2c + abc2) = 4

96


= 24 +

7π 2

Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif 1

 a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(a + b + c) = 4 1

 a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(0) = 4 1

 a2b2 + a2c2 + b2c2 = 4 Substitusikan pada persamaan berikut: a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) = 1 1

 a4 + b4 + c4 + 2( 4 ) = 1 1

 a4 + b4 + c4 + 2 = 1 1

 a4 + b4 + c4 = 1− 2  a4 + b4 + c4 =

1 2 1

Jadi, a4 + b4 + c4 = 2. 19. Jawaban: C Misalkan luas ABC = S = 6 cm2, maka Luas BCD = Luas ABC = S karena memiliki panjang alas dan tinggi yang sama. Luas ACD = Luas ACE = 2S. Luas DEA= 4S. FA=2MA AFD = AMB, berdasarkan kesebangunan diperoleh: Luas FAD = 22ABC = 4S. Luas DEF = 8S = 8(6) = 48 cm2.

20. Jawaban: A Misalkan n adalah banyak sisi yang dimiliki oleh poligon tersebut, maka

n  2180  n 2 143  n  12 2

180n  360  n143  n  1 180n  360  n 2  142n n 2  38n  360  0

n  18n  20  0


97


Jadi, n = 18 atau n = 20, karena segi-n adalah konveks, maka semua sudut dalam poligon harus kurang dari 180 o. Untuk n = 20, maka 143 + 19∙2 = 181 > 180 (tidak memenuhi). Untuk n = 18, maka 143 + 17∙2 = 177 < 180 (memenuhi).

21. Jawaban: D Kita misalkan bahwa harga setiap jenis kue adalah a, b, c, dan d. Total harga 2 buah kue yang mungkin adalah jumlah dari a + b, c + d, a + c, b + d, a + d, b + c. Karena semua siswa membayar dengan jumlah yang berbeda dan jumlah yang harus dibayar adalah 5 dari keseluruhan. Perhatikan bahwa pasangan pertama dan kedua adalah a + b + c + d, begitu pula dengan pasangan ketiga dan keempat serta pasangan kelima dan keenam. Maka di sini, sepasang siswa akan memiliki tagihan yang sama.  6.000 + 9.000

= 15.000

 6.000 + 11.000 = 17.000  6.000 + 12.000 = 18.000  6.000 + 15.000 = 21.000  9.000 + 11.000 = 20.000  9.000 + 12.000 = 21.000  9.000 + 15.000 = 24.000  11.000 + 12.000 = 23.000  11.000 + 15.000 = 26.000  12.000 + 15.000 = 27.000 Kita lihat bahwa hanya ada satu pasangan yang jumlah tagihannya sama, yaitu 6.000 + 15.000 = 21.000 dan 9.000 + 12.000 = 21.000, jadi a + b + c + d = 21.000. Maka tagihan yang harus Ririn bayar adalah Rp 21.000.

22. Jawaban: A Perhatikan f y 

a y  ay 2 a y  ay

a y  a  y  2a y  2a  y

 3a  y  a y

98





3  a2y

f 2 y  

a 2 y  a 2 y a 2 y  a 2 y

1 3  1 3 3 3

10 8 5  4 

23. Jawaban: B 7 ekor kambing  7 kali lapangan sepak bola  7 hari 1 ekor kambing  7 kali lapangan sepak bola  49 hari 1 ekor kambing  1 kali lapangan sepak bola  7 hari 1 ekor kambing  3 kali lapangan sepak bola  21hari 3 ekor kambing  3 kali lapangan sepak bola  7 hari Waktu yang diperlukan adalah 7 hari.

24. Jawaban D Misalkan 4a + 2x = b

............................................................... (1)

2x + b = 2a

............................................................... (2)

a+b =c

............................................................... (3)

Perhatikan persaman (1) dan (2). Dengan metode substitusi, didapat 4a + 2x = 2a – 2x sehingga 2a = – 4x., sehingga a = –2 x . Hal ini berakibat b = –6𝑥 dan c = –8𝑥. Jadi a + b + c = – 2x – 6𝑥 – 8𝑥 = –16𝑥. Diketahui x adalah bilangan bulat positif, maka nilai terbesar a + b + c = –16𝑥 = –16.

25. Jawaban: A Suatu jam akan menunjukkan waktu yang sama setelah 12 jam. 12 jam = 12 × 60 menit. Karena setiap jam mengalami keterlambatan 8 menit, maka jam tersebut akan


99


menunjukkan waktu yang tepat lagi setelah

12 x 60

= 90 jam

8

26. Jawaban: C 15

Deret panjang keliling segitiga sama sisi yang terbentuk = 60 + 30 + 15 +

2

+.....

1

Dimana a = 60 dan r = 2 Sehingga: S∞ =

60 1 2

1−

= 120.

Jadi jumlah panjang keliling segitiga yang terbentuk adalah 120 cm.

27. Jawaban: A Jika abc = 1, maka c = 1 1+𝑎

+ 𝑏 −1

1

+

1+𝑏

+ 𝑐 −1

1 𝑎𝑏

+

atau

1 𝑐

= 𝑎𝑏

1 1+𝑐

+ 𝑎 −1

1

=

=

1+𝑎

1 + 𝑏

1 1+𝑎

= = = =

+

1 + 𝑏

1 𝑏 +𝑎𝑏 +1 𝑏

+

+

𝑏 𝑏 +𝑎𝑏 +1 1+𝑏+𝑎𝑏

+

1 1+𝑏

1 + 𝑐

+

1 1 + 𝑏 +𝑎𝑏 1 1 + 𝑏 +𝑎𝑏 1 1+𝑏+𝑎𝑏

1

+ +

+

1 𝑎

1+𝑐 + 1 1+

1 𝑎𝑏

1 𝑎

+

1 𝑎𝑏 +1+𝑏 𝑎𝑏

𝑎𝑏 𝑎𝑏 +1+𝑏

1+𝑏+𝑎𝑏

1

28. Jawaban: C Misalkan x adalah jumlah 101 bilangan ganjil terkecil yang lebih dari 2013. Maka x = 2015 + 2017 + 2019 + ….. + U101 merupakan deret aritmetika dengan a = 2015 dan b = 2. Sn = ½ ∙n(2a + (n – 1)b) x = S101 = ½ ∙101(2 2015 + 100 2) x = S101 = ½ ∙ 101∙4230 x = S101 = 213615.

100



Misalkan y adalah jumlah 101 bilangan genap terkecil yang lebih dari 10, maka y = 12 + 14 + 16 + ….. + U101 merupakan deret aritmetika dengan a = 12 dan b = 2. y = S101 = ½ ∙101(212 + 1002) y = S101 = ½ ∙101∙224 y = S101 = 11312. Jadi, x + y = 213615 + 11312 = 224927.

29. Jawaban: C 1 2

1

1

1

3

− 𝑎∙𝑏 − 𝑏∙𝑐 − 𝑐∙𝑑 … = 5

Dari sini diperoleh 1

1

1

3

1

1

− 𝑎∙𝑏 − 𝑏∙𝑐 − 𝑐∙𝑑 … = 5 − 2 = 10 Sehingga 1 3

2

2

2

1

1

1

1

1

2

4

+ 𝑏∙𝑎 + 𝑐∙𝑏 + 𝑑∙𝑐 … = 3 − 2( − 𝑎∙𝑏 − 𝑏∙𝑐 − 𝑐∙𝑑 − ⋯ ) = 3 − 10 = 30

30. Jawaban: B Luas daerah yang diarsir = luas segitiga siku-siku ABC – luas sektor lingkaran dengan busur l – luas sektor lingkaran dengan busur m. Luas daerah yang diarsir = 8 – 4 – luas sektor lingkaran dengan busur m = 4 – luas sektor lingkaran dengan busur m Hitung luas sektor lingkaran dengan busur m

Untuk menghitung luas sektor BEF , hitung panjang BF ! Misalkan kedua busur l dan m bersinggungan di titik F pada garis AB. Segitiga ABC siku-siku sama kaki, maka panjang AC = BC , dan besar sudut A = sudut B = 450 Luas segitiga ABC = 8 satuan luas 1/2 x AC x BC = 8


101


AC x BC = 16 , maka panjang AC = BC = 4 , dan panjang AB = 32 = 4 2 Luas sektor ADF = 4 45 0 360 0 1 8

x π x AF 2 = 4 x π x AF 2 = 4 AF 2 =

Maka, panjang AF =

32 π 32 π

Sehingga panjang BF = panjang AB – panjang AF Panjang BF = 32 − 1

Luas daerah yang diarsir = 4 − 8 x π x 1

Luas daerah yang diarsir = 4 − 8 x π x

32 π

32( π − 1)

=

π

32( π−1)

2

π 2 32( π−1) π

= 4 − 4( π − 1)2 = 4 − 4(π − 2 π + 1) = 8 π − 4π.

102


Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif SOLUSI FINAL GLM SMP 2012

1. Diketahui: x(y + 2) = y2 – 4 …………..(1) y(x + 2) = x2 – 4 …………..(2) Cara 1 Dari persamaan 1: x(y + 2) = y2 – 4 x(y + 2) = (y + 2)(y – 2) Jika y = − 2, masukkan ke persamaan 2 y(x + 2) = x2 – 4

 −2(x + 2) = x2 – 4  − 2x − 4 = x2 – 4  x2 + 2x = 0

 x(x + 2) = 0 x1 = 0 atau x2 = − 2 Jadi, himpunan penyelesaian (x,y) = {(0 , −2); (−2, −2)} Jika y ≠ − 2 maka: x(y + 2) = (y + 2)(y – 2)

 x = (y – 2)

 y = x + 2 (nilai y substitusikan ke persamaan 2)  y(x + 2) = x2 – 4 …………..(2)  (x + 2)(x + 2) = x2 – 4

 (x + 2)2 = x2 – 4  x2 + 4x + 4 = x2 – 4

 4x = − 8 x=−2 Substitusikan nilai x ke persamaan: y=x+2

 y = − 2 + 2, sehingga y = 0 Himpunan penyelesaiannya (x,y) = (− 2, 0)


103


Jadi, seluruh pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan di atas adalah {(0, −2); (−2 , −2); (−2, 0)}

Cara 2. Dari persamaan 2: y(x + 2) = x2 – 4 y(x + 2) = (x + 2)(x – 2) Jika x = − 2, masukkan ke persamaan 1 x(y + 2) = y2 – 4

 −2(y + 2) = y2 – 4

 − 2y − 4 = y2 – 4  y2 + 2y = 0

 y(y + 2) = 0 y1 = 0 atau y2 = − 2 Jadi, himpunan penyelesaian (x,y) = {( −2, 0); (−2, −2)} Jika x ≠ − 2 maka: y(x + 2) = (x + 2)(x – 2)

 y = (x – 2)  x = y + 2 (nilai x substitusikan ke persamaan 1) x(y + 2) = y2 – 4 …………..(1)

 (y + 2)(y + 2) = y2 – 4  (y + 2)2 = y2 – 4

 y2 + 4y + 4 = y2 – 4  4y = − 8 y=−2 Substitusikan nilai y ke persamaan: x=y+2

 x = − 2 + 2, sehingga x = 0 Himpunan penyelesaiannya (x,y) = (0, − 2). Jadi, seluruh pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan di atas adalah {(0, −2); (−2 , −2); (−2, 0)}.

104



2. Misalkan: L.ABD = Luas daerah ∆ABD, L.BCE = Luas daerah ∆BCE, L.BCD = Luas daerah ∆BCD, L.BDE = Luas daerah ∆BDE, a = ukuran panjang persegi panjang ABCD. b = ukuran lebar persegi panjang ABCD. x = ukuran panjang AE.

Jelas L.ABD = L.ADE + L.BDE L.BCD = L.BCE + L.BDE Karena L.ABD = L.BCD, maka diperoleh fakta bahwa L.ADE = L.BCE. ……… (*) 1

L.ADE = 2 × 𝑥 × 𝑏 1

L.BDE = = 2 × 𝑎 − 𝑥 × 𝑏 Jadi L.ADE : L.BDE = 𝑥: 𝑎 − 𝑥 Perhatikan ∆BCE! Panjang BC = b dan panjang CE = x

(karena (*))

Maka: BE2 = BC2 + CE2

 (a – x)2 = b2 + x2 a2 – 2ax + x2 = b2 + x2 a2 – b2 = 2ax. 2

2

 𝑥 = 𝑎 2𝑎– 𝑏 . Dan, 𝑎 − 𝑥 = 𝑎 −

𝑎2 – 𝑏2 2𝑎

=

2𝑎 2 −𝑎 2 + 𝑏 2 2𝑎

=

𝑎2+ 𝑏2 2𝑎

Jadi L.ADE : L.BDE = 𝑥: 𝑎 − 𝑥 =

=

𝑎2 – 𝑏2 2𝑎

∶

𝑎2 + 𝑏2 2𝑎

𝑎2 − 𝑏2 𝑎2 + 𝑏2

3. Kejadian saat ini: Misalkan umur Andre =  pq < 100 , dan umur Buda = rs < 100.


105

Disiplin adalah kunci kesuksesan Dengan  pq  10 p  q , dan rs  10r  s . Jika umur keduanya ditulis secara berurutan diperoleh bilangan 4 digit yang merupakan kuadrat sempurna. Atau dapat ditulis  pqrs  x 2 . Sehingga: 1000 p  100q  10r  s  x 2 …………… (1) Yang terjadi 23 tahun kemudian: Umur Andre = pq + 23= 10 p  2  q  3 , dan umur Buda = rs + 23 = 10r  2  s  3 Jika umur keduanya ditulis secara berurutan maka diperoleh bilangan 4 digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna, sehingga:

1000 p  2  100q  3  10r  2  s  3  y 2 1000 p  2000  100q  300  10r  20  s  3  y 2

1000 p  100q  10r  s  2323  y 2 ............................(2) Jika kedua ruas persamaan (2) dikurangi persamaan (1) diperoleh :

1000 p  100q  10r  s  2323  y 2

1000 p  100q  10r  s  x 2 y 2  x 2  2323

 y  x y  x  2323 Bilangan 2323 hanya dapat dinyatakan dengan perkalian 2323 x 1 dan 101 x 23 Karena y + x tidak mungkin 2323, maka 2323 dinyatakan dengan 101 x 23 Sehingga diperoleh

 y  x y  x  101x23 Karena y dan x bilangan asli maka :

 y  x  101  y  x  23

-

 2 x  78  x  39

 pqrs  x 2   39 2   1521 umur Andre =  pq = [15] dan umur Buda = rs = [21] Jadi umur mereka saat ini adalah 15 tahun dan 21 tahun.

106



SOLUSI SPEED TEST GLM SMP 2012

1. U1 = 10 U2 = 9 + 10 = 19 U3 = 18 + 10 = 28 Begitu seterusnya sampai jumlah potongan menjadi 352. Terlihat bahwa banyaknya potongan yang dihasilkan membentuk sebuah deret aritmatika dengan beda 9. Sehingga jika n melambangkan banyaknya melakukan pemotongan, maka U𝑛 = U1 + 𝑛 − 1 𝑏 352 = 10 + 𝑛 − 1 9 352 = 10 + 9𝑛 − 9 351 = 9𝑛 39 = 𝑛 Jadi Cahya memotong kertas tersebut sebanyak 39 kali. 2. Misalkan aku = x. Bilangan kuadrat pertama adalah p2 dan bilangan kuadrat kedua adalah q2 sehingga: x + 25 = p2 x – 24 = q2 49 = p2 - q2 ( p – q)( p + q) = (1)(49) Hal ini berarti: p–q=1 p + q = 49

p + q = 49 +

p–q=1

2p = 50

2q = 48

p = 25

q = 24

-

Substitusikan p = 25 dan q = 24 ke persamaan sehingga: x + 25 = p2 ⟺ x = p2 – 25 ⟺ x = 252 – 25 = 600 Jadi bilangan aku adalah 600.

3. Misalkan x adalah banyak seluruh siswa, dan p adalah banyak siswa laki-laki di kelas IX. 5 20 5 20

dari total siswa di kelas IX adalah laki-laki, maka: x=p


107

Disiplin adalah kunci kesuksesan 1

Menurut Agus, 6 dari total siswa di kelas IX selain dirinya adalah laki-laki, sehingga 1 6

(𝑥 − 1) = p – 1 1

⟺6 𝑥−1 + 1=p 1

5

⟺ 6 (𝑥 − 1) + 1 = 20 x Kedua ruas dikalikan 120 diperoleh: 20x + 100 = 30 x ⟺

10x = 100

⟺

x = 10.

Jadi banyaknya siswa laki-laki di kelas tersebut adalah 10 orang.

4. t1 = 4 (𝑡 1 −1)

t2 =

(𝑡 1 +1) (𝑡 2 −1)

t3 =

(𝑡 2 +1)

(𝑡 3 −1)

t4 =

(𝑡 3 +1)

(𝑡 3 −1)

t5 =

(𝑡 3 +1)

=

=

=

=

(4−1) (4+1) 3 5 3 ( +1) 5

( −1)

=

3 5

2 5 8 5

−

=

1 4 1 (− +1) 4

(− −1)

5 3 5 (− +1) 3

(− −1)

=−

1 4

5 5 4 3 =−3 4

−

=

8 3 2 =4 − 3

−

=

Perhatikan bahwa untuk t5 = t1. Jadi, formula di atas berulang dengan periode 4. 2012 4

= 503

Jadi, t2012 = 𝑡(4×503) = t4 = −

5.

5 3

2

=−1 . 3

a b c 8  (b  c) 8  (c  a) 8  (a  b)      bc ca ab (b  c) (c  a ) ( a  b) 

a b c 8 8 8    1 1 1 b  c c  a a  b (b  c) (c  a ) ( a  b)



 1 a b c 1 1     8    3 bc ca ab  (b  c) (c  a) (a  b) 

108





a b c  9  60    8   bc ca ab  20  20



a b c 72  60 12 3      . bc ca ab 20 20 5

6. Perhatikan gambar berikut

C x

(12 – x) 6

A

Y 6

B

(6 + 𝑥)2 = (12 − 𝑥)2 + 62 36 + 12𝑥 + 𝑥 2 = 144 − 24𝑥 + 𝑥 2 + 36 36 + 12𝑥 = 144 − 24𝑥 + 36 36𝑥 = 144 𝑥 =4 1

Luas daerah yang diarsir = Luas daerah lingkaran dengan pusat A + Luas daerah

2 1 2

lingkaran dengan pusat B – (Luas daerah

1 2

lingkaran dengan pusat Y + Luas daerah

lingkaran dengan pusat C) 1

1

1

Luas daerah yang diarsir = 2 . 𝜋𝑟12 − ( 2 . 𝜋𝑟22 + 2 . 𝜋𝑟32 + 𝜋𝑟42 ) 1

1

1

= 2 . 𝜋. 144 − ( 2 . 𝜋. 36 + 2 . 𝜋. 36 + 𝜋. 16) = 226,08 − 𝜋(36 + 16) = 226,08 − 𝜋(52) = 226,08 − 163,28 = 𝟔𝟐, 𝟖𝟎 cm2.


109


7. Akibat dari pembagian daerah tersebut maka terbentuk sebuah jajar genjang dengan tinggi x dan panjang alas y, dari itu dapat dibuat persamaan 1

xy = 3 x2 𝑥

y = 3. Di lain pihak, berdasarkan Teorema Phythagoras didapat persamaan: z2 = (x – y)2 + 𝑥 2 𝑥

= (x – )2 + 𝑥 2 3

=( =

𝑧=

2𝑥 2 ) + 3

13𝑥 2 9

1 3

𝑥2

maka,

13𝑥

selain itu didapat luas jajar genjang yang alasnya z dan tinggi 1 1×𝑧 =

1 2 𝑥 3

1

1

1 × 3 13𝑥 = 3 𝑥 2 1 3

1 13𝑥 = 𝑥 2 3 𝑥=

13.

Jadi luas daerah persegi = 𝑥 2 = 13 cm2.

8. 32 − 42 = 3 + 4 3 − 4  3 + 4 = 32 + 42 = 34 + 44 = 38 + 48 = 316 + 416 =

110

32 −42 3−4 34 −44 32 −4 2 38 −48 34 −4 4 316 −416 38 −4 8 332 −4 32 316 −4 16



332 + 432 = 364 + 464 =

364 −464 332 −4 32 3128 −4128 364 −4 64

Maka, 3 + 4 32 + 42 34 + 44 38 + 48 316 + 416 332 + 432 364 + 464 = 4𝑥 − 3𝑦





32 − 42 34 − 44 38 − 48 316 − 416 332 − 432 364 − 464 3128 − 4128 × 2 × 4 × × 16 × 32 × 2 4 8 8 16 32 3−4 3 −4 3 −4 3 −4 3 −4 3 −4 364 − 464 𝑥 𝑦 = 4 −3

3128 − 4128 = 4𝑥 − 3𝑦 3−4

 4128 − 3128 = 4𝑥 − 3𝑦 Jadi nilai x + y = 128 + 128 = 256


111

SOAL-SOAL GLM SMP TAHUN 2013 DAN PEMBAHASANNYA

Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif SOAL PENYISIHAN GLM SMP 2013

1.

Bilangan asli a terkecil sedemikian sehingga 39 𝑎 + 38 + 36 merupakan bilangan kubik adalah… A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. Rata-rata umur Ayah, Ibu, dan semua anaknya adalah 18 tahun. Sedangkan rata-rata umur Ibu dan semua anaknya adalah 14 tahun. Jika umur Ayah 38 tahun, maka banyak anaknya adalah…

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.

Misalkan a dan b adalah digit-digit pada bilangan ab dan ba, sehingga 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 = 63. Maka nilai yang mungkin dari 𝑎2 − 𝑏 2 adalah… A. 48, 62 dan 77 B. 48, 63 dan 85 C. 49, 63 dan 77 D. 49, 63 dan 85

4.

Diketahui 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 masing-masing adalah bilangan positif yang semuanya berbeda. Jika

𝑎+𝑏 𝑐

𝑎

𝑏

= 𝑏 = 𝑎−𝑐 , maka 𝑎 ∶ 𝑏 = ⋯

A. 1 ∶ 2 B. 2 ∶ 1 C. 3 ∶ 2 D. 2 ∶ 3 5.

Bentuk sederhana dari

9 − 17 − 9 + 17 adalah...

A. − 2 B.

2

C. − 10 D.

10


115


6.

Diketahui untuk suatu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 berlaku 𝑓 0 = 2𝑓 1 = 3𝑓 2 . Jika 𝑓 3 dinyatakan dalam 𝑓 2 , maka 𝑓 3 akan berbentuk… A. B. C. D.

7.

4 3 3 2 5 2 9 4

𝑓(2) 𝑓 2 𝑓(2) 𝑓(2)

Diketahui hasil kali tiga bilangan kuadrat berurutan adalah 14400. Jumlah kuadrat ketiga bilangan tersebut adalah… A. 50 B. 77 C. 110 D. 225

8.

Titik-titik E, F, G, dan H masing-masing adalah titik tengah sisi persegi panjang ABCD. Titik K adalah titik tengah ruas garis HE. Jika persegi panjang ABCD memiliki luas 12 m2, berapakah luas segitiga KFG? A. 4,5 m2 B. 4 m2 C. 3,5 m2 D. 3 m2

9. Jumlah digit-digit dari hasil kali bilangan 999999999 dengan 987654321 adalah... A. 81 B. 90 C. 102 D. 126 10. Jika 𝑝 = 92 + 102 dan 𝑞 = 112 + 122 , maka nilai dari 1 − 2( 𝑝 + 𝑞) + 4 𝑝𝑞 adalah…

116

A.

473

B.

437

C.

474

D.

447



11. Gambar di bawah ini (berturut-turut dari kiri ke kanan) menunjukkan pola bilangan yang terbentuk dari bulatan-bulatan hitam dan putih. Berapakah banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-𝑛 ?

A. 2𝑛 B. 3𝑛 C. 2𝑛 + 3 D. 3𝑛 + 2 1

1

1

1

1

1

1

12. Jika 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ = 𝑎, maka nilai dari 3 + 5 + 7 + ⋯ = ⋯ A.

1 4 1

B.

3

C. D.

1 2 3 4

𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1

13. Nilai 𝑥 yang memenuhi sehingga 5

3

3

4

5

2

4

4

3 − 5 + 3 + 5 = 10

𝑥+2−2 𝑥+1

adalah...

A. 𝑥 = 4 atau 𝑥 = − 4 B. 𝑥 = 4 atau 𝑥 = − 3 C. 𝑥 = 2 atau 𝑥 = − 3 D. 𝑥 = 5 atau 𝑥 = − 3 4

2

14. Himpunan penyelesaian persamaan 𝑥 2 + 𝑥 2 − 7 𝑥 + 𝑥 + 16 = 𝑝 , dimana nilai 𝑝 adalah hasil dari cos 10 . cos 20 . cos 30 . … . cos 1780 . cos 1790 cos 1800 adalah… A. 1, 2 B. 2 − 2, 2 + 2


117


C. 2 − 2, 1, 2 + 2 D. 2 − 2, 1, 2, 2 + 2

15. Sebuah barisan bilangan asli disusun seperti di bawah ini 1

10

2

3

4

5

6

7

8

9

11

12

13

14

15

16

Bilangan ke-4 pada baris ke-40 adalah... A. 1255 B. 1525 C. 2155 D. 2515 16. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 22012 . 52013 ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 17. Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶 siku-siku di 𝐵. Titik 𝐷 pada 𝐵𝐶 sedemikian hingga 𝐶𝐷 = 2𝐵𝐷. Jika 𝑚𝐵𝐴𝐷 = 𝑚𝐴𝐶𝐷 = 𝑥, nilai 𝑥 adalah... A.

15°

B.

30°

C.

40°

D.

45°

18. Emi mengalikan 3 bilangan prima berbeda sekaligus. Ada berapa faktor berbeda dari bilangan yang dihasilkan? A. 3 B. 6 C. 8 D. 12

118



19. Jika 𝑥 − 𝑦 = A. B. C. D.

6− 2 2

dan 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, maka nilai dari 𝑥 3 − 𝑦 3 adalah…

2 2 2 3 3 2 3 3

20. Jumlah tiga bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masingmasing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 1 : 3. Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 5 : 6. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah... A.

1

B.

2

C.

4

D.

6

21. Sebuah mobil angkutan antar kota biasa menempuh perjalanan dari kota 𝐴 ke kota 𝐵 dengan kecepatan 80 km/jam. Pada suatu ketika, mobil itu mengalami kerusakan sehingga harus menurunkan kecepatan sebesar 40 km/jam tepat di tengah perjalanan, dan menyebabkan sampai di kota 𝐵 terlambat 2,5 jam dari waktu biasanya. Berapakah jarak dari kota 𝐴 ke kota 𝐵? A. 400 km B. 450 km C. 500 km D. 650 km 1

1

1

22. Misalkan 𝑚 dan 𝑛 adalah bilangan bulat dan 0 < 𝑚 < 𝑛. Jika 𝑚 + 𝑛 = 3 maka 1 𝑚

1

−𝑛 =⋯ A. B.

2 3 1 6

C. −

1 6 2

D. − 3


119


23. Lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 5 satuan memotong sumbu 𝑥 positif, sumbu 𝑦 positif dan sumbu 𝑦 negatif berturut-turut di titik 𝐴, 𝐵 dan 𝐶. Dibuat Garis singgung di titik 𝐵 sedemikian hingga garis yang melalui titik 𝐶 dan titik 𝐴 memotong garis tersebut di titik 𝑃. Tentukan koordinat titik 𝑃. A. (6,5) B. (8,5) C. (10,5) D. (12,5) 24. Jika 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 dan 𝑡 membentuk barisan aritmatika dengan 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = 125, maka di antara kelima suku tersebut yang dapat di tentukan nilainya adalah suku ke... A. Pertama B. Kedua C. Ketiga D. Keempat 25. Enam belas bilangan prima pertama dituliskan pada enam belas kartu. Jika semua kartu tersebut diletakkan dalam sebuah kotak dan kemudian diambil secara acak dua buah kartu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan tertulis merupakan bilangan prima adalah… A. 6/105 B. 7/105 C. 8/105 D. 9/105 26. Kotak-kotak persegi seperti gambar di samping harus diisi dengan bilangan 1, 2, 3, . . . , 9. Setiap bilangan muncul tepat satu kali. Bilangan-bilangan yang ditunjukkan oleh tanda panah pada bagian kanan dan bawah

merupakan hasil perkalian tiga

bilangan pada setiap baris dan kolom yang bersesuaian. Bilangan yang dinyatakan dengan tanda * adalah... A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

120



27. Sebuah segitiga samasisi, sebuah lingkaran dan sebuah persegi memiliki keliling yang sama. Urutan bangun tersebut dari yang mempunyai luas terbesar ke bangun yang mempunyai luas terkecil adalah... A. Segitiga sama sisi, persegi, lingkaran B. Persegi, lingkaran, segitiga sama sisi C. Segitiga sama sisi , lingkaran, persegi D. Lingkaran, persegi, segitiga sama sisi

28. Hasil dari 64 + 2005 × 2007 × 2013 × 2015 adalah … A. 3999983 B. 3999889 C. 3999893 D. 3999999

29. Berdasarkan hasil sensus, diketahui bahwa penduduk kabupaten Buleleng tak lebih dari 10.000 orang dan penduduk dewasa 30% lebih banyak dari anak-anak. Tentukan jumlah terbesar yang mungkin dari penduduk kabupaten Buleleng tersebut? A. 9976 B. 9980 C. 9982 D. 9990

30. Perhatikan gambar di samping Jika

panjang

𝐴𝐵 = 12 𝑐𝑚,

𝐵𝐶 = 8 𝑐𝑚,

𝑀𝐿 = 4 𝑐𝑚. Berapakah panjang 𝐾𝑀 ? A. 2 𝑐𝑚 B. 2,5 𝑐𝑚 C. 3 𝑐𝑚 D. 3,5 𝑐𝑚


121


SOAL FINAL GLM SMP 2013

1. Wiliam (dari Sydney, Australia) dan Hans (dari Berlin, Jerman) sering berkomunikasi (chatting) lewat internet. Tentu saja mereka harus mengakses internet pada jam yang sama. Untuk menentukan waktu yang sesuai, William melihat kumpulan/daftar jam dunia dan mendapatkan informasi sebagai berikut:

Greenwich Mean Time Tengah malam

Berlin pk. 01.00 (dini hari)

Sydney pk. 10.00 (pagi)

a. Jika di Sydney jam 7 malam, jam berapa di Berlin? b. William dan Hans tidak bisa berkomunikasi dari jam 9 pagi sampai jam 4.30 sore malam waktu setempat, karena mereka ada di sekolah. Mereka juga tidak bisa berkomunikasi dari jam 11 malam sampai jam 7 pagi waktu setempat karena mereka tidur. Tentukan jam berapa mereka bisa berkomunikasi? (waktu setempat)

2. Titik 𝑃 adalah titik yang terletak di dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶. Tiga buah garis dibuat masing-masing melalui titik 𝑃 dan sejajar sisi segitiga 𝐴𝐵𝐶. Luas segitiga yang terbentuk dengan 𝑃 adalah salah satu titik sudutnya adalah 4 𝑐𝑚2 , 16 𝑐𝑚2 dan 100 𝑐𝑚2 . Berapakah luas segitiga 𝐴𝐵𝐶?

3. Tentukan sebuah bilangan 4 digit 𝑎𝑏𝑐𝑑 yang memiliki sifat 4 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 𝑑𝑐𝑏𝑎.

122



SOAL SPEED TEST GLM SMP 2013

Soal untuk 3 Menit 1.

Perhatikan gambar disamping. Gede berjalan dari titik A menuju titik B, sementara Wayan berjalan dari titik C menuju titik B. Jika mereka

berangkat

bersamaan,

maka

tentukan

perbandingan kecepatan Gede dan Wayan agar keduanya tiba di titik B dalam waktu yang bersamaan!

2. Bilangan A adalah bilangan asli terkecil yang merupakan hasil kali dari 3 bilangan prima terkecil pertama. B dan C adalah dua buah bilangan di antara 200 dan 300 yang mempunyai faktor prima yang serupa dengan bilangan A . Tentukan (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)? Soal untuk 4 Menit 1. Sebuah fungsi dinyatakan dengan rumus: 5𝑔 𝑥 2 + 7𝑔

1 𝑥2

= 9𝑥. Maka nilai dari

𝑔(121) adalah…

2. Dalam sebuah segitiga ABC siku-siku sama kaki dan siku-siku di titik A, dibuat persegi PQRS sebagai berikut : Titik P pada sisi AB, titik Q pada sisi AC, sedangkan titik-titik R dan S pada sisi miring BC. Jika luas segitiga ABC adalah x, berapakah luas persegi PQRS ?

Soal untuk 6 Menit. 1.

Kata “CANTIK” dapat dibuat kata-kata lain dengan menukar posisi huruf-hurufnya. Jika kata-kata tersebut diurutkan secara alfabetis, maka kata yang menempati urutan ke-365 adalah...

2. Dalam sebuah segitiga, panjang salah satu sisinya sama dengan tiga kali panjang sisi kedua. Panjang sisi yang lainnya adalah 19. Berapakah selisih keliling maksimum dan keliling minimum dari segitiga tersebut jika panjang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat?


123


Soal untuk 7 Menit 1. Misalkan 𝑚 dan 𝑛 dua bilangan asli yang memenuhi 𝑚2 − 2013 = 𝑛2 . Tentukan semua nilai mn yang mungkin! 2. Diketahui 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan real yang memenuhi syarat: i)

𝑎3 − 3𝑎𝑏 2 = 30

ii)

𝑏 3 − 3𝑎2 𝑏 = 10

Tentukan 𝑎2 + 𝑏 2 = ⋯

124


Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif SOLUSI PENYISIHAN GLM SMP 2013

1.

Jawaban : A Pembahasan : 39 𝑎 + 38 + 36 = 36 33 𝑎 + 32 + 1 = 32

3

27𝑎 + 10

= 93 27𝑎 + 10 Agar bentuk terakhir merupakan bilangan kubik, maka 27𝑎 + 10 harus merupakan bilangan kubik. Bilangan asli 𝑎 terkecil yang memenuhi adalah 2 karena 27 2 + 10 = 64 = 43

2.

Jawaban: C Pembahasan:

Misalkan: 𝑖 = Umur Ibu 𝐴 = Jumlah umur beberapa anaknya 𝑛 = Banyak anak 𝑥𝐴 = Rata-rata umur beberapa anaknya Rata-rata umur anak = 𝑥𝐴 =

𝐴 𝑛

𝐴 = 𝑛 × 𝑥𝐴

Jadi,

 Rata-rata umur Ayah, Ibu, dan beberapa anaknya adalah 18, maka: 38 + 𝑖 + 𝐴 = 18 2+𝑛 38 + 𝑖 + 𝑖+

𝐴 = 36 + 18𝑛

𝐴 = −2 + 18𝑛 ... (𝑖) 𝑖+ 𝐴

 Rata-rata umur Ibu dan beberapa anaknya adalah 14, maka: 1+𝑛 = 14 𝑖+

𝐴 = 14 + 14𝑛 ... (𝑖𝑖)

Karena (𝑖) = (𝑖𝑖) maka : −2 + 18𝑛 = 14 + 14𝑛 4𝑛 = 16 𝑛=4 Jadi, banyaknya anak adalah 4 orang


125


3.

Jawaban: C Penyelesaian: Misalkan digit bilangan ditulis 𝑎𝑏 = 10𝑎 + 𝑏, dan 𝑏𝑎 = 10𝑏 + 𝑎 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 = 63 10𝑎 + 𝑏 − 10𝑏 + 𝑎 = 63 9𝑎 − 9𝑏 = 63 𝑎−𝑏 =7 Karena 𝑎 dan 𝑏 digit maka diperoleh: (1) 𝑎 = 9, dan 𝑏 = 2, sehingga 𝑎2 − 𝑏 2 = 81 − 4 = 77, atau (2) 𝑎 = 8, dan 𝑏 = 1, sehingga 𝑎2 − 𝑏 2 = 64 − 1 = 63, atau (3) 𝑎 = 7, dan 𝑏 = 0, sehingga 𝑎2 − 𝑏 2 = 49 − 0 = 49 Maka nilai yang mungkin adalah 49, 63 dan 77

4.

Jawaban : B Pembahasan : 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏 = = 𝑐 𝑏 𝑎−𝑐 𝑎+𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑏 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎𝑐…………………… (1) 𝑏 𝑎−𝑐

𝑎

=𝑏

𝑏 2 = 𝑎2 – 𝑎𝑐…………………….. (2) Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh : 𝑏 2 = 𝑎2 – (𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎2 – 𝑎𝑏 – 2𝑏 2 = 0 (𝑎 – 2𝑏 ) ( 𝑎 + 𝑏 ) = 0 𝑎 = 2𝑏 (diterima) atau 𝑎 = −𝑏 (ditolak, karena 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah bilangan positif) 𝑎 𝑏

=

2𝑏 𝑏

= 2 atau 𝑎 ∶ 𝑏 = 2 ∶ 1

Jadi, rasio dari 𝑎 dan b adalah 2 ∶ 1

126



5.

Jawaban: A Pembahasan: 𝑛=

9 − 17 − 9 + 17 (Bilangan negatif)

𝑝=

9 + 17 − 9 − 17 (Bilangan positif)

𝑝2 = 9 + 17 − 2

9 + 17 9 − 17 + 9 − 17

𝑝2 = 18 − 2 81 − 17 𝑝2 = 18 − 2 8 𝑝=± 2 𝑛=− 2 Jadi, bentuk sederhana dari 9 − 17 − 9 + 17 adalah − 2

6.

Jawaban: B Pembahasan: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dan 𝑓 0 = 2𝑓 1 = 3𝑓(2) 𝑓 0 = 𝑎(0)2 + 𝑏 0 + 𝑐 = 𝑐

………… (1)

𝑓 1 = 𝑎(1)2 + 𝑏 1 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

………… (2)

𝑓 2 = 𝑎(2)2 + 𝑏 2 + 𝑐 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 ………… (3) 𝑓 0 = 2 𝑓 1 = 3𝑓 2 ⇔ 𝑐 = 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3(4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐) 𝑐 = 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 ⟺ 𝑐 = −2(𝑎 + 𝑏) ……………… (𝑖)

𝑐 = 12𝑎 + 6𝑏 + 3𝑐 ⟺ 12𝑎 + 6𝑏 + 2𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −6𝑎 − 3𝑏 ………………. (𝑖𝑖) 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 12𝑎 + 6𝑏 + 3𝑐 ⟺ 10𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = 0 …………... (𝑖𝑖𝑖) Substitusi persamaan (𝑖) ke persamaan (𝑖𝑖) diperoleh: ⟺ −2 𝑎 + 𝑏 = −6𝑎 − 3𝑏 ⟺ −2𝑎 − 2𝑏 + 6𝑎 + 3𝑏 = 0


127


⟺ 4𝑎 + 𝑏 = 0 ⟺ 𝑏 = −4𝑎 ….. (𝑖𝑣) Substitusi persamaan (𝑖𝑣) ke persamaan (𝑖𝑖𝑖) diperoleh: 10𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = 0 ⟺ 10𝑎 + 4 −4𝑎 + 𝑐 = 0 ⟺ 10𝑎 − 16𝑎 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = 6𝑎 …… (𝑣) Sekarang, substitusi persamaan (𝑖𝑣) dan persamaan (𝑣) ke f 2 diperoleh: 𝑓 2 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 4𝑎 + 2 −4𝑎 + 6𝑎 = 2𝑎 ⟺𝑎=

1 𝑓 2 2

3 jadi, 𝑓 3 = 𝑎. 32 + 𝑏. 3 + 𝑐 = 9𝑎 + 3 −4𝑎 + 6𝑎 = 3𝑎 = 𝑓 2 2 7.

Jawaban: B Penyelesaian: Misalkan 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2 dimana n adalah tiga bilangan bulat berurutan. Sehingga 𝑛2 , 𝑛 + 1 2 , 𝑛 + 2

2

merupakan tiga bilangan kuadrat berurutan.

𝑛2 (𝑛 + 1)2 (𝑛 + 2)2 = 14400 [𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)]2 = 1202 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛 − 120 = 0 atau 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛 + 120 = 0 (𝑛 − 4)(𝑛2 + 7𝑛 + 30) = 0

atau

(𝑛 + 6)(𝑛2 − 3𝑛 + 20) = 0

𝑛 = 4 atau 𝑛2 + 7𝑛 + 30 = 0 atau 𝑛 = −6 atau 𝑛2 − 3𝑛 + 20 = 0 Karena nilai diskriminan persamaan kuadrat 𝑛2 + 7𝑛 + 30 dan 𝑛2 − 3𝑛 + 20 kurang dari 0, maka tidak ada bilangan bulat n yang memenuhi 𝑛2 + 7𝑛 + 30 = 0 . Jadi haruslah berlaku 𝑛 = 4 atau 𝑛 = −6 sehingga: untuk n = 4 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 = 42 + 52 + 62 = 77 untuk n = −6 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 = (−6)2 + (−5)2 + (−4)2 = 77

128



8.

Jawaban: D Pembahasan:

Misalkan panjang persegi panjang ABCD adalah p dan lebarnya adalah l, maka 𝑝𝑙 = 12 Luas daerah segitiga AHE = luas segitiga GCF = ½ x ½ p x ½ l = ⅛ x 12 = 1,5 𝑚2 Selanjutnya kita harus mencari luas daerah DGKH dan FBEK. Untuk mencari luas kedua daerah, kita dapat menambahkan beberapa garis pada gambar sebagai berikut :

Daerah DGKH kita bagi dua menjadi dua segitiga, yaitu segitiga DKH dengan alas DH dan tinggi KI dan segitiga DGK dengan alas DG dan tinggi KJ. Luas segitiga 𝐷𝐾𝐻 = ½ 𝑥 ½ 𝑙 𝑥 𝐾𝐼 = ¼ 𝑙 𝑥 𝐾𝐼 Luas segitiga 𝐷𝐺𝐾 = ½ 𝑥 ½ 𝑝 𝑥 𝐾𝐽 = ¼ 𝑝 𝑥 𝐾𝐽 Daerah FBEK kita bagi dua menjadi dua segitiga, yaitu segitiga FBK dengan alas FB dan tinggi KK dan segitiga BEK dengan alas BE dan tinggi KL. Luas segitiga 𝐹𝐵𝐾 = ½ 𝑥 ½ 𝑙 𝑥 𝐾𝐾 = ¼ 𝑙 𝑥 𝐾𝐾 Luas segitiga 𝐵𝐸𝐾 = ½ 𝑥 ½ 𝑝 𝑥 𝐾𝐿 = ¼ 𝑝 𝑥 𝐾𝐿 Luas segitiga DKH + luas segitiga FBK = ¼ 𝑙 𝑥 𝐾𝐼 + ¼ 𝑙 𝑥 𝐾𝐾 = ¼ 𝑙 𝑥 (𝐾𝐼 + 𝐾𝐾) Karena KI + KK = p ,maka Luas segitiga DKH + luas segitiga FBK = ¼ 𝑝𝑙 = ¼ 𝑥 12 = 3 𝑚2 Dengan cara yang sama kita dapatkan pula : Luas segitiga DGK + luas segitiga BEK = ¼ 𝑝𝑙 = ¼ 𝑥 12 = 3 𝑚2 Sehingga luas daerah persegi panjang di luar daerah segitiga FGK adalah 1,5 + 1,5 + 3 + 3 = 9 𝑚2 Maka luas daerah segitiga FGK = 3 m2


129


9.

Jawaban: A Pembahasan: 999999999 𝑥 987654321 = 1000000000 − 1 (987654321) = 987654321000000000 − 987654321 = 987654320012345679 Maka jumlah digit-digit hasil kali bilangan 999999999 dengan 987654321 adalah = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 = 81

10. Jawaban : B Pembahasan : Misalkan 9 = 𝑎 , maka 𝑝 = 92 + 102 = 𝑎2 + (𝑎 + 1)2 = 𝑎2 + 𝑎2 + 2𝑎 + 1 = 2𝑎2 + 2𝑎 + 1 2𝑝 – 1 = 4𝑎2 + 4𝑎 + 2 – 1 = 4𝑎2 + 4𝑎 + 1 = (2𝑎 + 1)2 𝑞 = 112 + 122 = (𝑎 + 2)2 + (𝑎 + 3)2 = 𝑎2 + 4𝑎 + 4 + 𝑎2 + 6𝑎 + 9 = 2𝑎2 + 10𝑎 + 13 2𝑞 – 1 = 4𝑎2 + 20𝑎 + 26 – 1 = 4𝑎2 + 20𝑎 + 25 = (2𝑎 + 5)2 Misalkan 𝑥 =

1 − 2( 𝑝 + 𝑞) + 4 𝑝𝑞, maka 𝑥=

1 − 2( 𝑝 + 𝑞) + 4 𝑝𝑞

𝑥= 𝑥=

(2𝑝 – 1)(2𝑞 – 1) (2𝑎 + 1)2 (2𝑎 + 5)2

𝑥 = (2𝑎 + 1)(2𝑎 + 5) Dengan mensubtitusikan kembali nilai 𝑎 = 9 didapatkan 𝑥 = (19)(23) 𝑥 = 437 Jadi nilai dari 1 − 2( 𝑝 + 𝑞) + 4 𝑝𝑞 adalah 437

11. Jawaban : C Pembahasan : Jika panjang sisi segitiga adalah 𝑘 titik maka banyaknya bulatan hitam = 2𝑘 − 1. Pada gambar ke-n panjang sisi segitiga = 𝑛 + 2 titik. Banyaknya bulatan hitam = 2(𝑛 + 2) − 1 = 2𝑛 + 3 Banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-𝑛 adalah 2𝑛 + 3

130



12. Jawaban : C Pembahasan : 1

1

1

1

1+2+3+4+5+⋯= 𝑎 1 1 1 1 + + + +⋯=𝑎−1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +⋯= 𝑎−1− + + + + ⋯ 3 5 7 2 4 6 8 10 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +⋯= 𝑎−1− 1+ + + + +⋯ 3 5 7 2 2 3 4 5 1 1 1 1 + + +⋯= 𝑎−1− 𝑎 3 5 7 2 1 3

1

1

1

+5+7+⋯=

2

𝑎−1

13. Jawaban : A Penyelesaian: 3 − 5 + 3 + 5 = 10

x+2−2 x+1

…………………..(1)

Misalkan p = 3 − 5 + 3 + 5 𝑃2 = 3 − 5 + 3 + 5 + 2

3 − 5 3 + 5 = 6 + 2 4 = 10 1

Jika kedua ruas dipangkatkan ½ diperoleh : p = 102 ……………..(2) Misalkan 𝑞 =

x+2−2 x+1

𝑞2 = 𝑥 + 2 − 2 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 + 1 − 2 𝑥 + 1 =

𝑥+1−1

2

Jika kedua ruas dipangkatkan ½ diperoleh : 𝑞 = 𝑥 + 1 − 1 atau 𝑞 = 1 − 𝑥 + 1 ⟹ Untuk 𝑞 = 𝑥 + 1 − 1 Dari (1), (2), dan 𝑞 = 𝑥 + 1 − 1 diperoleh : 1

102 = 10

𝑥+1−1

Persamaan ini dipenuhi jika 𝑥+1−1= 𝑥+1= 𝑥+1=

1 2

3 2

9 4


131


5

𝑥=4 ⟹ untuk 𝑞 = 1 − 𝑥 + 1 Dari (1), (2), dan 𝑞 = 1 − 𝑥 + 1 diperoleh : 1

102 = 101−

x+1

Persamaan ini dipenuhi jika 1− 𝑥+1= 𝑥+1= 𝑥+1=

1 2

1 2

1 4

3

𝑥 = −4 5

3

Jadi nilai 𝑥 yang memenuhi adalah 𝑥 = 4 atau 𝑥 = − 4 14. Jawaban: D Pembahasan: 𝑝 = cos 10 . cos 20 . cos 30 . … . cos 1780 . cos 1790 cos 1800 = 0, karena cos 900 = 0

𝑥2 +

4 2 − 7 𝑥 + + 16 = 0 𝑥2 𝑥

2 𝑥+ 𝑥

2

2 𝑥

2

𝑥+

2 2 − 2. 𝑥. − 7 𝑥 + + 16 = 0 𝑥 𝑥 −7 𝑥+

misal 𝑥 +

2 + 12 = 0 𝑥

2 =𝑎 𝑥

maka: 𝑎2 − 7𝑎 + 12 = 0 𝑎−4 𝑎−3 =0 𝑎 = 4 atau 𝑎 = 3 Untuk 𝑎 = 4, maka: 𝑥+

2 =4 𝑥

𝑥 2 + 2 = 4𝑥

132



𝑥 2 − 4𝑥 + 2 = 0 𝑥= 𝑥=

−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 − −4 ±

2

−4 2.1

𝑥=

4 ± 16 − 8 2

𝑥=

4±2 2 2

− 4.1.2

𝑥 =2± 2 Untuk 𝑎 = 3, maka: 𝑥+

2 =3 𝑥

𝑥 2 + 2 = 3𝑥 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 𝑥−2 𝑥−1 =0 𝑥 = 2 atau 𝑥 = 1 Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah 2 − 2, 1, 2, 2 + 2

15. Jawaban : B Pembahasan : Perhatikan barisan bilangan berikut Baris ke 1

1

Baris ke 2

2

3

4

Baris ke 3

5

6

7

8

9

Baris ke 4

10

11

12

13

14

15

16

Atau Baris ke 1

12

Baris ke 2

12 + 1

12 + 2

22

Baris ke 3

22 + 1

22 + 2

22 + 3

22+4

32

Baris ke 4

32 + 1

32 + 2

32 + 3

32 + 4

32 + 5

32 + 6

42 Sehingga bilangan ke m baris ke n adalah


133


(𝑛 − 1)2 + 𝑚, dengan m bilangan asli, 𝑚 ≤ 2𝑛 Bilangan ke 4 pada baris ke 40 adalah (40 − 1)2 + 4 = 392 + 4 = 1525

16. Jawaban: C Pembahasan: 22012 . 52012 . 5 = 5. 102012 Jadi jumlah digit-digit bilangan tersebut adalah 5

17. Jawaban : B Pembahasan :

∆𝐷𝐴𝐵 ~ ∆𝐴𝐶𝐵. karena,

𝐵𝐷 𝐴𝐵

𝐴𝐵

= 𝐵𝐶 atau

(𝐴𝐵)2 = (𝐵𝐷)(𝐵𝐶) = (𝐵𝐷)(3𝐵𝐷) = 3(𝐵𝐷)2 . Pada ∆𝐷𝐴𝐵, (𝐴𝐷)2 = (𝐴𝐵)2 + (𝐵𝐷)2 = 3(𝐵𝐷)2 + (𝐵𝐷)2 = (2𝐵𝐷)2 maka 𝐴𝐷 = 2𝐵𝐷 = 𝐷𝐶 dan 𝑚∠𝐷𝐴𝐶 = 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 𝑥, maka: 180° = 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 + 𝑚∠𝐵𝐴𝐶 + 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 180° = 90° + 2𝑥 + 𝑥 90° = 3𝑥 𝑥 = 30°

18. Jawaban : C Pembahasan : Bilangan prima adalah bilangan asli yang tepat mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misalkan ketiga bilangan prima yang dikalikan Emi masing-masing adalah x, y dan z. Karena ketiganya merupakan bilangan prima maka x mempunyai faktor 1 dan x, y mempunyai faktor 1 dan y serta z mempunyai faktor 1 dan z. Akibatnya, bilangan baru yang dihasilkan mempunyai faktor 1, x, y, z, xy, xz, yz dan xyz. Jadi terdapat tepat 8 faktor baru yang dihasilkan dari perkalian 3 bilangan prima x, y, dan z.

134



19. Jawaban : A Pembahasan : 6− 2 2 ) 2

(𝑥 − 𝑦)2 = (

⟺ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 = ⟺ 1 – 2xy =

4

⟺ −2𝑥𝑦 = 1 −

2 12 4

2 12 4

= 3− 1

3−1

⟺ xy = 3

2 12− 4 4

4

8 − 2 12

⟺ 1 − 2𝑥𝑦 = 2 −

⟺ 2xy =

6+2−2 12

2

3

x − y = (x − y)(x 2 + xy + y 2 ) = (x − y)( 1 + xy) =(

6− 2

= 2

2

)( 1 +

3–1 2

Jadi 𝑥 3 − 𝑦 3 =

(

3+1 2

3−1

)

2

)=

2 2

2 2

20. Jawaban : D Pembahasan : Misalkan ketiga bilangan itu berturut-turut a, b, dan c. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi 1 memiliki rasio 1 : 3 artinya: a−1 1 = b−1 3 1 1 a−1= b− 3 3 1 2 a= b+ 3 3 Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah 3, maka diperoleh rasio 5 : 6, artinya b+3 5 = c+3 6 6 18 c+3= b+ 5 5


135


6 3 c= b+ 5 5 Jumlah tiga bilangan adalah 19, sehingga a + b + c = 19 subtitusi nilai a dan c pada persamaan terakhir diperoleh 1 2 6 3 b + + b + ( b + ) = 19 3 3 5 5 Kedua ruas dikalikan 15 didapat 5𝑏 + 10 + 15𝑏 + 18𝑏 + 9 = 285 38𝑏 = 285 – 19 𝑏 = 266 ∶ 38 𝑏 = 7 1

2

7

6

3

42

2

Subtitusi b = 7 pada a = 3 b + 3menghasilkan a = 3 + 3 = 3 Subtitusi b = 7 pada c = 5 b + 5menghasilkan c =

5

3

+5 =9

Jadi selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 9 – 3 = 6

21. Jawaban: A Penyelesaian:

Misalkan : 𝑥 = Jarak dari A ke B 𝑡 = Waktu yang ditempuh dari A ke B 𝑡1 = Waktu yang ditempuh dari A ke C 𝑡2 = Waktu yang ditempuh dari C ke B 80 km jam =

𝑥 𝑡

⟹ 𝑥 = 80𝑡

Perjalanan dari kota A ke kota C 80 =

1 𝑥 2 𝑡1

80 =

1 .80𝑡 2 𝑡1

1

𝑡1 = 𝑡 2

Perjalanan dari kota C ke kota B 1

40 km jam = 2𝑡

136

𝑥 2



40 =

1 .80.𝑡 2 𝑡2

𝑡2 = 𝑡 Karena terlambat 2,5 jam, maka: 𝑡1 + 𝑡2 = 𝑡 + 2,5 1 2 1 2

𝑡 + 𝑡 = 𝑡 + 2,5 𝑡 = 2,5

𝑡=5 Karena 𝑡 = 5, maka: 𝑥 = 80𝑡 𝑥 = 80.5 𝑥 = 400 km Maka jarak dari kota 𝐴 ke kota 𝐵 adalah 400 km

22. Jawaban: B Pembahasan: 1 1 1 + = 𝑚 𝑛 3 3𝑛 + 3𝑚 = 𝑚𝑛 𝑚𝑛 − 3𝑛 − 3𝑚 = 0 𝑚−3 𝑛−3 −9=0 𝑚−3 𝑛−3 =9 Artinya, 𝑚 − 3 dan 𝑛 − 3 faktor dari 9, yaitu 1,9 , 3,3 , (9,1) 𝑚 − 3 = 1 → 𝑚 = 4 𝑛 − 3 = 9 → 𝑛 = 12 𝑚 − 3 = 3 → 𝑚 = 6 𝑛−3=3→𝑛 =6  𝑚 − 3 = 9 → 𝑚 = 12 𝑛−3=1→𝑛 =4 Karena 0 < 𝑚 < 𝑛, maka 𝑚 dan 𝑛 yang memenuhi 𝑚, 𝑛 = (4,12) 1 1 1 1 1 − = − = 𝑚 𝑛 4 12 6


137


23. Jawaban : C Pembahasan :

Garis 𝐶𝐴 melalui titik 𝐶(0, −5) dan titik 𝐴(5,0) sehingga garis 𝐶𝐴 adalah garis 𝑦 = 𝑥 yang digeser 5 satuan ke kanan atau garis 𝑦 = 𝑥 yang digeser 5 satuan ke bawah. Jadi, persamaan garis 𝐶𝐴 adalah 𝑦 = 𝑥 – 5. Karena garis 𝐶𝐴 dipotong oleh garis 𝐵𝑃 yaitu garis y = 5, maka garis 𝐶𝐴 melalui titik 𝑦 = 5. Akibatnya 𝑦 = 𝑥 – 5 5 = 𝑥– 5 𝑥 = 10 Jadi koordinat titik 𝑃 adalah (10,5)

24. Jawaban : C Pembahasan: Misalkan: 𝑎 = suku pertama 𝑏 = beda Karena membentuk deret aritmatika, maka 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = 125 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 + 𝑎 + 3𝑏 + 𝑎 + 4𝑏 = 125

138



5𝑎 + 10𝑏 = 125 𝑎 + 2𝑏 = 25 Jadi suku yang dapat ditentukan nilainya adalah suku ke-3

25. Jawaban: B Pembahasan: Bilangan prima = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51 Penjumlahan bil prima = bil prima 2 + 3 = 5, 2 + 5 = 7, 2 + 11 = 13, 2 + 17 = 19, 2 + 29 = 31, 2 + 41 = 43, 2 + 51 = 53 Banyak pengambilan = 15C2 = 105 Peluang =7/105

26. Jawaban: C Pembahasan: Pertama, dimisalkan terlebih dahulu angka-angka yang akan dimasukkan dinyatakan dengan huruf a, b, c, d, e, f, g, h, dan i seperti pada gambar di bawah ini.

Huruf 𝑕 = 5, karena 5 merupakan faktor dari 20 dan 105. Perhatikan bahwa hanya 20 dan 105 yang habis dibagi 5. Bilangan lain tidak memiliki faktor 5 tersebut. Huruf 𝑒 = 7, karena 7 merupakan faktor 105 dan 126. Dengan cara yang sama didapat 𝑏 = 3 dan 𝑓 = 2. Selanjutnya, 𝑔 dan 𝑖 bernilai 4 atau 1. Begitu juga 𝑎 dan 𝑐 bernilai 6 atau 8. Ternyata, 𝑖 = 4 dan 𝑔 = 1. Jadi, bilangan yang harus dimasukkan ke dalam persegi dengan tanda * adalah 4.

27. Jawaban: D Pembahasan: Misal masing-masing keliling bangun = K


139


Untuk segitiga sama sisi jelas 3s = K, sehingga 𝑠 = =

𝐾 3

1

maka Luas = 2 𝑠 2 sin 60°

1 𝐾2 1 1 . . 3= 3𝐾 2 2 9 2 36 𝐾2

𝐾

Untuk lingkaran, 2𝜋𝑅 = 𝐾, sehingga 𝑅 = 2𝜋 maka Luas = 𝜋𝑅 2 = 4𝜋 Untuk persegi, 4𝑠 = 𝐾. Karena 𝑠 =

𝐾 4

maka Luas = 𝑠 2 =

𝐾2 16

Karena 𝜋 = 3,142 ⋅⋅⋅< 4 dan 3 < 2 , maka ∴ Karena

1 16

>

3 36

1

> 4𝜋 , maka urutan bangun dari yang mempunyai luas paling

besar ke bangun yang mempunyai luas terkecil secara berturut-turut adalah Lingkaran, persegi, segitiga sama sisi. 28. Jawaban: A Pembahasan: Andaikan 𝑥 = 2010, maka bentuk di atas dapat ditulis sebagai: 𝑥 − 5 𝑥 − 3 𝑥 + 3 𝑥 + 5 + 64 =

𝑥 − 5 𝑥 + 5 𝑥 − 3 𝑥 + 3 + 64

=

𝑥 2 − 25 𝑥 2 − 9 + 64

=

(𝑥 2 )2 − 34 𝑥 2 + 225 + 64

=

(𝑥 2 )2 − 34 𝑥 2 + 289

=

(𝑥 2 − 17)2

= 𝑥 2 − 17 = 2010

2

− 17 = 4.000.000 − 17 = 3999983

29. Jawaban: C Pembahasan: Misalkan : 𝑁 = jumlah seluruh penduduk 𝐷 = jumlah penduduk dewasa 𝐴 = jumlah penduduk anak-anak Dari informasi pada soal dapat ditulis: 𝐷 = 𝐴 + 30%𝐴 ⟺ 𝐷 = 130%𝐴 𝑁 = 𝐴 + 𝐷 = 100%𝐴 + 130%𝐴 = 230%𝐴, sehingga 𝑁 = 230%𝐴 ⟺ 𝑁 = 2,3𝐴, karena 𝑁 bilangan bulat maka 𝐴 haruslah kelipatan 10. Misalkan 𝐴 = 10𝑥, maka 𝑁 = 23𝑥

140



𝑁 ≤ 10.000 23𝑥 ≤ 10.000 𝑥 ≤ 434,782608, 𝑥 haruslah bilangan bulat, maka: 𝑥 = 434 Jadi jumlah terbesar yang mungkin dari penduduk kabupaten Buleleng tersebut adalah 𝑁 = 23 𝑥 434 = 9982 30. Jawaban: A Pembahasan: Perhatikan gambar berikut!

Misalkan ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝑈𝑉𝑊 dengan ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑈𝑉𝑊, ∠𝐵𝐶𝐴 = ∠𝑉𝑊𝑈 dan ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝑊𝑈𝑉 Perhatikan bahwa : ∠𝐾𝐿𝑀 = 90𝑂 − ∠𝑈𝐿𝐾

∠𝐾𝐿𝑀 = ∠𝐾𝑈𝐿 = ∠𝑊𝑈𝐶 = ∠𝐶𝐴𝐵

∠𝐾𝑈𝐿 = 90𝑂 − ∠𝑈𝐿𝐾 ∠𝑀𝐾𝐿 = 90𝑂 − ∠𝑊𝐾𝑀

∠𝑀𝐾𝐿 = ∠𝑀𝑊𝐾 = ∠𝑉𝑊𝑈 = ∠𝐵𝐶𝐴

∠𝑀𝑊𝐾 = 90𝑂 − ∠𝑊𝐾𝑀 ∠𝐿𝑀𝐾 = 180𝑂 − ∠𝐾𝐿𝑀 + ∠𝑀𝐾𝐿 ∠𝑀𝑊𝐾 = 180𝑂 − ∠𝑉𝑊𝑈 + ∠𝑊𝑈𝑉 ∠𝐿𝑀𝐾 = 180𝑂 − ∠𝐾𝐿𝑀 + ∠𝑀𝐾𝐿

∠𝐿𝑀𝐾 = ∠𝑈𝑉𝑊 = ∠𝐴𝐵𝐶

∠𝑈𝑉𝑊 = 180𝑂 − ∠𝐾𝐿𝑀 + ∠𝑀𝐾𝐿 Maka ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐿𝑀𝐾 sehingga 𝐴𝐵 𝐵𝐶

𝐿𝑀

= 𝑀𝐾

→

12 8

3

=𝑥

→𝑥=

3.8 12

=2

Jadi nilai 𝑥 adalah 𝑥 = 2


141


SOLUSI FINAL GLM SMP 2013

1.

Pembahasan: a. Karena selisih jam di Sydney dengan di Berlin 9 jam, yaitu dari Sydney ke jam Berlin mundur lagi 9 jam, maka jika di Sydney jam 7 malam maka di Berlin jam 10 pagi.

b. Diketahui : William dan Hans tidak bisa berkomunikasi dari jam 9 pagi sampai jam 4.30 sore waktu setempat juga tidak bisa berkomunikasi dari jam 11 malam sampai jam 7 pagi besoknya waktu setempat Ditanyakan: Jam berapa mereka bisa berkomunikasi? Jawab: Menurut informasi maka didapat:  William tidak bisa berkomunikasi dari jam 11 malam sampai jam 6.30 pagi dalam GMT (Greenwich Mean Time) Hans tidak bisa berkomunikasi dari jam 8 pagi sampai 3.30 sore dalam GMT  William tidak bisa berkomunikasi dari jam 1 siang sampai jam 9 malam dalam GMT Hans tidak bisa berkomunikasi dari jam 10 malam sampai 6 pagi dalam GMT Jadi didapat, William dan Hans tidak bisa berkomunikasi dari jam 10 malam sampai jam 6.30 pagi serta dari jam 8 pagi sampai jam 9 malam. Maka kesimpulannya: William dan Hans bisa berkomunikasi antara jam 6.30 pagi sampai 8 pagi dan antara jam 9 malam sampai 10 malam. (Dalam GMT) Maka :  Hans bisa berkomunikasi antara jam 7.30 pagi sampai 9 padi dan antara jam 10 malam sampai 11 malam  William bisa berkomunikasi antara jam 4.30 sore sampai jam 6 sore dan antara jam 7 pagi sampai 8 pagi.

142



2.

Pembahasan: Cara I Diketahui

: Luas 3 segitiga dengan P adalah salah satu titik sudutnya adalah 4 𝑐𝑚2 , 16 𝑐𝑚2

dan 100 𝑐𝑚2 Ditanya : Luas segitiga ABC Jawab

:

Perhatikan gambar! Misalkan: 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏 dan 𝐴𝐵 = 𝑐

Karena ketiga garis sejajar maka segitiga yang terbentuk akan sebangun dengan segitiga ABC  Misalkan 𝐼𝑃 = 𝑘. 𝐴𝐵 = 𝑘𝑐. Karena ∆𝐼𝑃𝐻 sebangun dengan ∆𝐴𝐵𝐶 maka 𝐼𝐻 = 𝑘. 𝐴𝐶 = 𝑘𝑏  Misalkan 𝐷𝐸 = 𝑚. 𝐴𝐵 = 𝑚𝑐. Karena ∆𝐷𝐸𝑃 sebangun dengan ∆𝐴𝐵𝐶 maka 𝐷𝑃 = 𝑚. 𝐴𝐶 = 𝑚𝑏  Misalkan 𝑃𝐹 = 𝑛. 𝐴𝐵 = 𝑛𝑐. Karena ∆𝑃𝐹𝐺 sebangun dengan ∆𝐴𝐵𝐶 maka 𝑃𝐺 = 𝑛. 𝐴𝐶 = 𝑛𝑏 Karena garis 𝐷𝐺 sejajar 𝐴𝐶, 𝐸𝐻 sejajar 𝐵𝐶 dan 𝐼𝐹 sejajar 𝐴𝐵 maka 𝐺𝑃 = 𝐶𝐻, 𝐷𝑃 = 𝐴𝐼, 𝐼𝑃 = 𝐴𝐷 dan 𝑃𝐹 = 𝐸𝐵 𝐴𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐵 = 𝑐 ⟹ 𝐼𝑃 + 𝐷𝐸 + 𝑃𝐹 = 𝑐 ⟹ 𝑘. 𝑐 + 𝑚. 𝑐 + 𝑛. 𝑐 = 𝑐 ⟹ 𝑘 + 𝑚 + 𝑛 = 1 1

 Luas ∆𝐼𝑃𝐻 = 2 . 𝐼𝑃. 𝐼𝐻 sin 𝐴 1

= 2 . 𝑘𝑐. 𝑘𝑏 sin 𝐴 1

= 2 . 𝑘2 𝑐𝑏 sin 𝐴 1

= 𝑘2 2 𝑐𝑏 sin 𝐴 = 𝑘2 . 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 1

 Luas ∆𝐷𝐸𝑃 = 2 𝐷𝐸. 𝐷𝑃 sin 𝐴 1

= 2 𝑚𝑐. 𝑚𝑏 sin 𝐴 1

= 2 𝑚2 . 𝑐𝑏 sin 𝐴


143


1

= 𝑚2 2 𝑐𝑏 sin 𝐴 = 𝑚2 . 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 1

 Luas ∆𝑃𝐹𝐺 = 2 . 𝑃𝐹. 𝑃𝐺 sin 𝐴 1

= 2 . 𝑛𝑐. 𝑛𝑏 sin 𝐴 1

= 2 𝑛2 𝑐𝑏 sin 𝐴 1

= 𝑛2 2 𝑐𝑏 sin 𝐴 = 𝑛2 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶

Luas ∆𝐼𝑃𝐻 + Luas ∆𝐷𝐸𝑃 + Luas ∆𝑃𝐹𝐺 =

𝑘2 . 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 + 𝑚2 . 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 +

𝑛2 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 ⟹ Luas ∆𝐼𝑃𝐻 + Luas ∆𝐷𝐸𝑃 + Luas ∆𝑃𝐹𝐺 = 𝑘 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 + 𝑚 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 + 𝑛 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 ⟹ Luas ∆𝐼𝑃𝐻 + Luas ∆𝐷𝐸𝑃 + Luas ∆𝑃𝐹𝐺 = (𝑘 + 𝑚 + 𝑛) 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 ⟹ 4 + 16 + 100 = (1) 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 ⟹ 2 + 4 + 10 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 ⟹ 16 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 ⟹ 256 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 ⟺ 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 = 256 𝑐𝑚2 Jadi luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 = 256 𝑐𝑚2

Cara II Diketahui

: Luas 3 segitiga dengan P adalah salah satu titik sudutnya adalah 4 𝑐𝑚2 , 16 𝑐𝑚2 dan 100 𝑐𝑚2

Ditanya : Luas segitiga ABC Jawab: Perhatikan gambar! Misalkan: 𝐷𝐸 = 𝑎1

𝑃𝐽 = 𝑡1

𝑃𝐹 = 𝑎2

𝐺𝐾 = 𝑡2

𝐼𝑃 = 𝑎3

𝐻𝐿 = 𝑡3

Karena ketiga garis sejajar,

144



maka segitiga yang terbentuk akan sebangun dengan ∆𝐴𝐵𝐶.  Pada segitiga 𝐼 dan segitiga 𝐼𝐼 𝑎1 = 𝑎2 𝑘 𝑡1 = 𝑡2 𝑘 𝑎1 𝑡1 = 𝑎2 𝑘 𝑡2 𝑘 1

1

2 2 𝑎 𝑡1 = 2 2 𝑎2 𝑡2 𝑘2 1

2.100 = 2.16. 𝑘2 𝑘2 = 𝑘=

100 16

10

5

4

=2

𝑎

𝑡

5

Jadi 𝑎1 = 𝑡1 = 𝑘 = 2 2

2

 Pada segitiga 𝐼 dan segitiga 𝐼𝐼𝐼 𝑎1 = 𝑎3 𝑚 𝑡1 = 𝑡3 𝑚 𝑎1 𝑡1 = 𝑎3 𝑚 𝑡3 𝑚 1

1

2 2 𝑎1 𝑡1 = 2 2 𝑎3 𝑡3 𝑚2 2.100 = 2.4. 𝑚2 100

𝑚2 = 𝑚=

4

10

5

2

=1

𝑎1

𝑡

5

Jadi 𝑎 = 𝑡1 = 𝑚 = 1 3

3

Maka dapat disimpulkan bahwa: 𝑎1 ∶ 𝑎2 ∶ 𝑎3 = 5 ∶ 2 ∶ 1 𝑡1 ∶ 𝑡2 ∶ 𝑡3 = 5 ∶ 2 ∶ 1 Karena 𝑎𝑏 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 𝑎𝑏 = 5 + 2 + 1 𝑎𝑏 = 8 

𝑎1 𝑎𝑏

𝑡

5

𝑎

5

= 𝑡1 = 8 ⟹ 𝑎1 = 8 𝑏

𝑏

8

⟺ 𝑎𝑏 = 5 𝑎1 𝑡

5

⟹ 𝑡1 = 8 𝑏


145


8

⟺ 𝑡𝑏 = 5 𝑡1 Maka luas ∆𝐴𝐵𝐶 adalah: 1

18

8

𝑎 . 𝑡 = 2 5 𝑎1 5 𝑡1 2 𝑏 𝑏 1 2 1 2 1 2 1 2

64 1

𝑎𝑏 . 𝑡𝑏 = 25 2 𝑎1 𝑡1 64

𝑎𝑏 . 𝑡𝑏 = 25 . 100 𝑎𝑏 . 𝑡𝑏 = 64.4 𝑎𝑏 . 𝑡𝑏 = 256

Jadi luas ∆𝐴𝐵𝐶 adalah 256

3.

Jawaban: 2178 Pembahasan: Karena 𝑎𝑏𝑐𝑑 dan 𝑑𝑐𝑏𝑎 adalah bilangan 4 digit maka 𝑎, 𝑑 ≠ 0 𝑎, 𝑑 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 𝑏, 𝑐 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 4 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 𝑑𝑐𝑏𝑎 4 1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑 = 1000𝑑 + 100𝑐 + 10𝑏 + 𝑎 4000𝑎 + 400𝑏 + 40𝑐 + 4𝑑 = 1000𝑑 + 100𝑐 + 10𝑏 + 𝑎 3999𝑎 + 390𝑏 = 996𝑑 + 60𝑐 Untuk menentukan nilai 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝑑 kita harus menyamakan bilangan ruas kiri dengan bilangan ruas kanan. Bilangan maksimum untuk ruas kiri adalah 8964 + 540 = 9504, jadi untuk ruas kanan nilai 𝑎 yang mungkin adalah 1 dan 2.  Untuk 𝑎 = 1, maka bilangan ruas kiri akan memiliki nilai satuan 9 dan di ruas kanan harus memiliki nilai satuan yang sama yaitu 9. Di ruas kanan yang mungkin akan memiliki nilai satuan adalah 996𝑑, akan tetapi untuk nilai 𝑑 yang nilainya di antara 1 sampai 9 tidak ada yang memenuhi, maka untuk 𝑎 = 1 (tidak memenuhi).  Untuk 𝑎 = 2, maka bilangan ruas kiri akan memiliki nilai satuan 8 dan di ruas kanan harus memiliki nilai satuan yang sama yaitu 8. Di ruas kanan yang mungkin akan memiliki nilai satuan adalah 996𝑑, sehingga nilai 𝑑 yang mungkin adalah 3 dan 8.  Untuk 𝑑 = 3 maka: 3999𝑎 + 390𝑏 = 996𝑑 + 60𝑐 7998 + 390𝑏 = 2988 + 60𝑐 5010 + 390𝑏 = 60𝑐

146



Karena di ruas kiri nilai minimumnya adalah 5010, sedangkan di ruas kanan nilai maksimumnya adalah 540, maka untuk 𝑑 = 3 tidak memenuhi.  Untuk 𝑑 = 8 maka: 3999𝑎 + 390𝑏 = 996𝑑 + 60𝑐 7998 + 390𝑏 = 7968 + 60𝑐 30 + 390𝑏 = 60𝑐 Untuk menyamakan bilangan di ruas kiri dengan di ruas kanan, maka dengan melihat nilai maksimum untuk ruas kanan adalah 540, sehingga nilai 𝑏 yang mungkin adalah 1 atau 2.  Untuk 𝑏 = 1, maka: 30 + 390𝑏 = 60𝑐 30 + 390 = 60𝑐 420 = 60𝑐 𝑐=7  Untuk 𝑏 = 2, maka: 30 + 390𝑏 = 60𝑐 30 + 780 = 60𝑐 810 = 60𝑐 (tidak memenuhi) Sehingga bilangan 4 digit 𝑎𝑏𝑐𝑑 adalah 2178


147


SOLUSI SPEED TEST GLM SMP 2013

Pembahasan untuk 3 menit 1.

Jawaban: 2: 3 Pembahasan:

D

Tarik garis tegak lurus dari titik B ke garis AC, dan memotong sisi AC di titik D. 

Perhatikan segitiga ADB 𝐵𝐷

𝐵𝐷

𝐴𝐵 = sin 60 0 = 1 2



3

Perhatikan segitiga BDC 𝐵𝐷

𝐵𝐷

𝐶𝐵 = sin 45 0 = 1 2

2

Maka perbandingan jarak yang dilalui oleh Gede dan Wayan adalah 𝐴𝐵: 𝐶𝐵 = 𝐵𝐷 1 2

3

𝐵𝐷

:1 2

𝑠

2

= 2: 3 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘

𝑣 = 𝑡 = 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 Karena waktunya bersamaan mulainya sama, dan berakhir dalam waktu yang sama juga maka: 𝑡𝑤𝑎𝑦𝑎𝑛 = 𝑡𝑔𝑒𝑑𝑒 = 𝑡 Jadi: 𝑣𝑔𝑒𝑑𝑒 = 𝑣𝑤𝑎𝑦𝑎𝑛

𝐴𝐵

2

𝑡 𝑤𝑎𝑦𝑎𝑛 𝐶𝐵

𝑡 3

𝑡 𝑔𝑒𝑑𝑒

=

=

2 3

𝑡

Maka perbandingan kecepatan gede dengan wayan adalah 2: 3

148



2.

Jawaban: 540 Pembahasan: A= 2 . 3 .5 = 30 Jadi bilangan B dan C adalah 24 . 3 .5 = 240 dan 2. 33 . 5 = 270 Maka 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 30 + 240 + 270 = 540


Jawaban:

−5382 264

−2691

atau

−897

atau

132

44

atau −20,386

Pembahasan: Misalkan: 1

𝑥 = 𝑥 → 5𝑔 𝑥 + 7𝑔 𝑥=

1 𝑥

1

→ 5𝑔

𝑥

= 9 𝑥 ……………….(I) 9

+ 7𝑔 𝑥 =

𝑥

……………….(II)

𝑥

Persamaan (I) dikali 5 dan persamaan (II) di kali 7, maka 1

25𝑔 𝑥 + 35𝑔

𝑥 1

49𝑔 𝑥 + 35𝑔

𝑥

= 45 𝑥

−24𝑔 𝑥 = 45 𝑥 − 24𝑔 𝑥 = 1

𝑔 𝑥 = 24 1

𝑔 𝑥 = 24

63 𝑥

63

=

-

𝑥 63 𝑥

− 45 𝑥

63 𝑥 63 𝑥

− 45 𝑥 − 45 𝑥 , maka:

1

63

𝑔 121 = 24

121

1

63

𝑔 121 = 24

11

− 45 121

− 45.11

1

63

45.121

1

63

5445

𝑔 121 = 24

− 11

𝑔 121 = 24

− 11

11 11

1

−5382

= 24

11

=

−5382 264

=

−2691 132

=

−897 44

Alternatif lain: Ambil 𝑥 = 121 = 11 → 5𝑔 121 + 7𝑔 Ambil 𝑥 =

1 121

1

= 11 → 5𝑔

1 121

1 121

= 99 ………………. (𝑖) 9

+ 7𝑔 121 = 11

………………. (𝑖𝑖)

Kalikan (𝑖) dengan 5 dan (𝑖𝑖) dengan 7, sehingga menghasilkan:


149


1

25𝑔 121 + 35𝑔

121 1

49𝑔 121 + 35𝑔 1

Eliminasi 𝑔

121

= 495 ............... (𝑖𝑖𝑖) 63

= 11 ................... (𝑖𝑣)

dari SPL (𝑖𝑖𝑖) dan (𝑖𝑣), diperoleh:

121 63

24𝑔 121 = 11 − 495 ⟺ 24𝑔 121 = ⟺ 𝑔 121 = −

2.

Jawaban:

5382 264

=−

2691 132

=−

897 44

63−5445 11

⟺ 24𝑔 121 = −

5382 11

= −20,386

𝟒𝒙 𝟗

Pembahasan:

Misal 𝑃𝑄 = 𝑄𝑅 = 𝑅𝑆 = 𝑃𝑆 = 𝑘 ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝑃𝑄 = ∠𝐴𝑄𝑃 = ∠𝐵𝑃𝑆 = ∠𝐶𝑄𝑅 = 45° Maka 𝐵𝑆 = 𝐶𝑅 = 𝑘 𝐵𝑃 = 𝐶𝑄 = 𝑘 2 𝑃𝐴 = 𝐴𝑄, maka 𝑃𝑄 2 = 𝑃𝐴2 + 𝐴𝑄 2 𝑘 2 = 2𝑃𝐴2 1 𝑃𝐴2 = 𝑘 2 2 1 𝑘2 2

𝑃𝐴 = 𝑃𝐴 =

1 2

𝑘=

1 2𝑘 2

1

1

Luas ∆𝐴𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 2 𝐵𝑃 + 𝑃𝐴 𝐶𝑄 + 𝑄𝐴 1

1

⟺ 2 𝑘 2+2𝑘 2 1 3

⟺2

150

𝑘 2 2

3 2

1

𝑘 2+2𝑘 2 = 𝑥

𝑘 2 =𝑥



9

⟺ 4 𝑘 2 2 = 2𝑥 ⟺ 𝑘2 =

4𝑥 9

Luas persegi 𝑃𝑄𝑅𝑆 =

4𝑥 9


Jawaban : KACTIN Pembahasan : Huruf-huruf pada kata “CANTIK” jika diurutkan secara alfabetis, menjadi: A, C, I, K, N, T. Misalkan A = 1, C = 2, I = 3, K = 4, N = 5, T = 6 Kasus I: Jika angka pertamanya 1, maka ada 5 kebebasan menyusun angka 2, 3, 4, 5, dan 6. Banyaknya cara ada 5! = 120 Kasus II: Jika angka pertamanya 2, maka ada 5 kebebasan menyusun angka 1, 3, 4, 5, dan 6. Banyaknya cara ada 5! = 120 Kasus III: Jika angka pertamanya 3, maka ada 5 kebebasan menyusun angka 1, 2, 4, 5, dan 6. Banyaknya cara ada 5! = 120 Sehingga sudah terhitung 120 × 3 = 360 Kasus IV: Jika angka pertamanya 4, maka Bilangan ke-361 adalah 412356 Bilangan ke-362 adalah 412365 Bilangan ke-363 adalah 412536 Bilangan ke-364 adalah 412563 Bilangan ke-365 adalah 412635 = KACTIN

4.

Jawaban: 17 Pembahasan: Misalkan panjang sisi kedua 𝑆2 = 𝑥 Maka panjang sisi pertama 𝑆1 = 3𝑆2 = 3𝑥 dan 𝑆3 = 19 Berdasarkan ketaksamaan segitiga di peroleh:  Kasus pertama 𝑆1 + 𝑆2 > 𝑆3 ⟺ 3𝑥 + 𝑥 > 19 ⟺ 4𝑥 > 19


151


⟺𝑥>

19 4

⟺ 𝑥 > 4.75 𝑥 ≥ 5 ………I (Dipilih bilangan bulat)  Kasus kedua 𝑥 + 19 > 3𝑥 ⟺ 19 > 2𝑥 ⟺𝑥<

19 2

⟺ 𝑥 < 9.5 𝑥 ≤ 9 ………II (Dipilih bilangan bulat) Dari persamaan I dan II diperoleh 5 ≤ 𝑥 ≤ 9 Agar keliling maksimum maka 𝑥 yang di pilih adalah 9 dan agar keliling minimum maka 𝑥 yang dipilih adalah 5, 𝑥 = 9 → 𝐾𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 3𝑥 + 𝑥 + 19 = 27 + 9 + 19 = 55 (keliling maksimum) 𝑥 = 5 → 𝐾𝑚𝑖𝑛 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 = 3𝑥 + 𝑥 + 19 = 15 + 5 + 19 = 39 (keliling minimum) 𝐾𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝐾𝑚𝑖𝑛 = 55 − 39 = 17 Jadi selisih keliling maksimum dan keliling minimum dari segitiga tersebut adalah 17


Jawaban: 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟎𝟒𝟐, 𝟏𝟏𝟐𝟓𝟓𝟖 dan 𝟖𝟑𝟒𝟐 Pembahasan: 𝑚2 − 2013 = 𝑛2 𝑚2 − 𝑛2 = 2013 (𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛) = 2013 Ada tiga kemungkinan yaitu : 1. jika 𝑚 + 𝑛 = 2013 dan 𝑚 − 𝑛 = 1 𝑚 + 𝑛 = 2013 𝑚 − 𝑛 = 1

+

2𝑚 = 2014 𝑚 = 1007

152



𝑚 + 𝑛 = 2013 1007 + 𝑛 = 2013 𝑛 = 2013 − 1007 𝑛 = 1006 Sehingga m = 1007 dan n = 1006 ∴ mn = 1007 ⋅ 1006 = 1013042 2. jika 𝑚 + 𝑛 = 671 dan 𝑚 − 𝑛 = 3 𝑚 + 𝑛 = 671 𝑚 − 𝑛 = 3

+

2𝑚 = 674 𝑚 = 337 𝑚 + 𝑛 = 671 337 + 𝑛 = 671 𝑛 = 671 − 337 𝑛 = 334 Sehingga m = 337 dan n = 334 ∴ mn = 337 ⋅ 334 = 112558 3. jika 𝑚 + 𝑛 = 183 dan 𝑚 − 𝑛 = 11 𝑚 + 𝑛 = 183 𝑚 − 𝑛 = 11

+

2𝑚 = 194 𝑚 = 97 𝑚 + 𝑛 = 183 97 + 𝑛 = 183 𝑛 = 183 − 97 𝑛 = 86 Sehingga m = 97 dan n = 86 ∴ mn = 97 ⋅ 86 = 8342


153


2.

Jawaban: 10 Pembahasan: 𝑎3 − 3𝑎𝑏 2 = 30 ⟹ 𝑎3 − 3𝑎𝑏 2

2

= 302

𝑏 3 − 3𝑎2 𝑏 = 10 ⟹ 𝑏 3 − 3𝑎2 𝑏

2

= 102

⟺ 𝑎6 − 3𝑎4 𝑏 2 − 3𝑎4 𝑏 2 + 9𝑎2 𝑏 4 = 900 ⟺ 𝑎6 − 6𝑎4 𝑏 2 + 9𝑎2 𝑏 4 = 900 ⟺ 𝑏 6 − 3𝑎2 𝑏 4 − 3𝑎2 𝑏 4 + 9𝑎4 𝑏 2 = 100 ⟺ 𝑏 6 − 6𝑎2 𝑏 4 + 9𝑎4 𝑏 2 = 100

+

𝑎6 + 3𝑎4 𝑏 2 + 3𝑎2 𝑏 4 + 𝑏 6 = 1000 𝑎2 + 𝑏 2

3

𝑎2 + 𝑏 2 =

154

= 1000 3

1000 = 10


SOAL-SOAL LATIHAN GLM SMP 2014

Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif SOAL-SOAL LATIHAN GLM SMP 2014

PILIHAN GANDA 1. Nilai dari

1225

3

  2

 20253  20253  12253 15 6  135 6  245 6  5 6



2

adalah…

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 2. Sisi – sisi sebuah segitiga siku - siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa sama dengan 30, maka keliling segitiga tersebut adalah… a. 52 b. 56 c. 64 d. 72 3. Tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah 65. Jika suku ke-3 dikurangi 20 terbentuk deret aritmatika, maka rasio barisan tersebut adalah… a.

1 atau 2 2

b.

1 atau 3 3

c.

1 atau 4 4

d.

1 atau 5 5

4. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku – suku yang bernomor ganjil adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah… a.

2 27

b.

2 25


157


c.

2 13

d.

3 32

5. Nilai x yang memenuhi persamaan : x x x...  5 x  5x  5 x  ...

a. b. c. d.

3 4 5 6

6. Tandai satu buah kartu dengan angka 1, dua buah kartu dengan angka 2, tiga buah kartu dengan angka tiga hingga lima puluh buah kartu dengan angka 50. Semua kartu tersebut dimasukkan ke dalam kotak. Berapa buah kartu minimal yang harus diambil agar dapat dipastikan terdapat sekurang-kurangnya 10 buah kartu dengan tanda angka yang sama? a. 756 b. 755 c. 754 d. 753

7. Peluang Arema menang atas Persija

adalah 85% sedangkan peluang Sriwijaya FC

menang atas Persija adalah 80%. Berapakah peluang Arema atau Sriwijaya FC menang atas Persija? a. 0,80 b. 0,85 c. 0,92 d. 0,97

8. Dari hasil penelitian pada suatu wilayah didapat : 20% penduduk memiliki TV, 40% memiliki radio serta 15% memiliki TV dan radio. Berapakah peluang seorang penduduk di wilayah tersebut yang dipilih secara acak untuk memiliki TV atau radio? a. 0,25 b. 0,35

158

SOAL LATIHAN GLM SMP TAHUN 2014


c. 0,45 d. 0,55

9. Sebuah kartu diambil secara acak dari 1 set kartu bridge. Berapakah peluang bahwa yang terambil itu adalah kartu berwarna merah dan Jack? a.

5 26

b.

9 26

c.

14 26

d.

17 26

10. Kejadian A dan B adalah kejadian saling bebas tetapi tidak saling lepas. Jika p(A) =

1 3

3 dan p  A  B   , maka p(B) adalah… 5 a.

2 5

b.

3 5

c.

4 5

d.

3 7 3

11. Jika x =

3

 1 4  3 2  1 , maka nilai dari 1   adalah…  x

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 12. Perhatikan barisan bilangan 500, 465, 430, 395, …. Suku negatif yang pertama adalah…. a. -50


159


b. -25 c. -10 d. -5

13. Misalkan Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmatika. Jika Uk = t dan Ut = k maka nilai dari suku ke-(k+t) adalah… a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 14. Pada segitiga ABC, diketahui AB=9 cm, BC=7 cm, dan AC=5 cm. Jika titik D terletak pada sisi AB sehingga Panjang AD=3 cm. dari titik D ditarik garis tegak lurus terhadp AC di E, dan dibuat lagi sebuah garis dari D tegak lurus BC di F. maka berapakah perbandingan panjang DE terhadap DF ? a. 7:10 b. 3:8 c. 5:9 d. 7:13 15. Jika x, y, dan z merupakan bilangan real dan xyz=1, maka berapakah nilai dari 2 xy 2 yz 2 xz   ? 1  y  xy  1  z  yz  1  x  xz 

a. 1 b. 2 c. 4 d. 6 16. Pada segitiga ABC titik-titik X, Y, Z masing-masing terletak pada sisi BC, AC dan AB o

sehingga AY = AZ, BX = BZ dan CX = CY dengan besar sudut XZY = 40 dan ∠ZYX = o

75 . Besar sudut A adalah ⋅⋅⋅⋅ a. 250 b. 350 c. 400 d. 500

160



17. Pada jajaran genjang ABCD, E terletak pada sisi BC. Garis DE memotong diagonal AC di titik G. Perpanjangan DE dan perpanjangan AB saling berpotongan di titik F. Jika panjang DG = 6 dan panjang EG = 4, berapakah panjang EF? a.

2

b.

3

c.

4

d.

5

18. Pada persegi panjang ABCE, titik F dan G terletak pada sisi AB sehingga AF = FG = GB dan titik E merupakan pertengahan sisi DC. Diagonal AC memotong sisi EF di H dan EG di J. Jika luas persegi panjang ABCD sama dengan 70 maka luas segitiga EHJ adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 19. Diketahui segitiga sama kaki ABC dengan AB 10 cm dan CE sebagai garis sumbu dengan panjang 6 cm tentukan luas daerah yang diarsir.....

a. b. c. d.

24 28 40 48

20. Dalam tabung inkubasi pada pukul 12.45 terdapat 2 bakteri . Setelah diamati setengah jam kemudian jumlah bakteri bertambah menjadi 4. Pada pukul berapa bakteri tersebut sejumlah 1024.... a. 13.00 b. 16.30 c. 17.15 d. 18.15


161


21.

Masing-masing bentuk yang sama menunjukan nominal yang sama. Tentukan +

1391

−(

+

) ......

a. 2 b. 4 c. 6 d. 8

22. Jika 3 x  3 x  5 , maka 32 x  32 x  ........ a. 13 b. 18 c. 23 d. 27 23. Berapakah nilai dari

5 5 5 5 5 5.........

a. 0 atau 5 b. 1 atau 0,5 c. 0 atau 0,05 d. 1 atau 0,005

24. Banyaknya segitiga yang panjang setiap sisinya merupakan bilangan bulat dan panjang sisi terpanjangnya 100 satuan adalah… a. 4028 b. 3250 c. 2250 d. 2014 25. Agar bilangan 2 0  21  2 2  ...  2 n sedekat mungkin pada 2014, haruslah n sama dengan … a. 8 b. 9 c. 10 d. 11

162


Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif 26. Jika  ,  ,  adalah akar-akar persamaan x3-x-6 = 0 nilai dari …. 1  1  1    1 1  1 

a.

2 3

b. 

1 3

c. 

5 3

d. 1

27. Tentukan

nilai

dari

bilangan

real

x

yang

memenuhi

persamaan

berikut

2 x  5 x  4 x  10 x  25 x  1

a. 4 b. 3 c. 0 d. 1 28. m, dan n adalah bilangan asli yang memenuhi m2n + mn2 = 1122 , mn + m +n = 83, berapakah m2+n2 ....... a. 157 b. 158 c. 159 d. 155 29. Misalkan f sebuah fungsi yang memenuhi f (x) . f (y) – f (xy) = x + y. Untuk setiap bilangan bulat x dan y. Berapakah nilai f (2014) a. 2000 b. 2012 c. 2013 d. 2015


163


30. Perhatikan gambar dibawah ini

Maka nilai dari mA  mB  mC  mD  mE adalah…. a.

5400

b.

3600

c.

240

d.

1800

ISIAN SINGKAT 1.

Diketahui a dan b adalah digit-digit pada bilangan dua digit ab dan ba, sehingga (ab)2  (ba)2 1089 . Berapakah nilai dari a 2  b 2 ...

2.

Kupu-kupu terbang dari titik (0,0) menuju 1 unit ke atas (arah vertical), ½ unit arah kanan (horizontal), ¼ unit turun (vertical), 1/8 unit ke kiri (horizontal), demikian seterusnya membentuk deret geometri untuk arah vertical dan horizontal. Pada kordinat berapakah kupu-kupu berhenti saat ia kelelahan?

3.

Diketahui persamaan (5 x  25)3  ((25) x  5)3  (5 x  (25) x  30)3 , berapakah jumlah dari semua bilangan riil x yang memenuhi persamaan tersebut…

4.

Diberikan tempat air berbentuk kerucut, seperti terlihat pada gambar. untuk mengisi air sampai pada ketinggian 1/2t diperlukan air sebanyak 38,5 liter. Berapa liter lagi air yang diperlukan untuk memenuhi tempat itu…

2014  2014  2014  2009  2009  2009 …. 2014  2014  2014  2009  2009  2009

5.

Berapakah hasil dari

6.

Di ruang baca Pak Yudi terdapat 4 buku bahasa inggris, 3 buku bahasa jerman, dan 2 buku bahasa spanyol. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan jika Pak Yudi ingin meletakkan 9 buku tersebut di rak buku dengan aturan, buku yang sejenis diletakkan berdekatan…

164



7.

HMJ Pendidikan Matematika UNDIKSHA mengadakan Gema Lomba Matematika yang jumlah pesertanya adalah kurang dari sama dengan 2014 orang yang terdiri dari peserta laki – laki yang lebih banyak dari peserta perempuan. Jika peluang juara 1 dan 2 dari jenis kelamin yang sama adalah

1 , berapakah jumlah peserta perempuan… 2

20142012 2  ... 20142010 2  20142014 2  2 3

8.

Tentukan nilai dari

9.

Sebuah rumah bagian alasnya mempunyai bentuk segitiga dengan keliling 30 meter dan luas 30 meter persegi. Taman rumah tersebut merupakan bidang yang merupakan kumpulan titik-titik dengan jarak 5 meter dari tepi rumah terdekat. Tentukan luas taman beserta rumah tersebut…

10. Pada segitiga ABC dibuat garis berat CE, pada sisi BC terletak titik D sehingga BD : DC = 1 : 2. CE dan AD berpotongan di S. Lalu dibuat garis g sejajar CE melalui D. Tentukan AS : SD… 11. Dalam segitiga ABC ditarik DE // AB sehingga CD : DA = 2 : 3 dan DF // BC. Jika AC = 15, AB = 12 dan BE = 10, hitunglah keliling daerah BCDF… 12. Diketahui AB // CD dengan AB = 10, CD = 4. Sementara itu DE ⊥ AB dengan DE = 3. Perpanjangan AD berpotongan dengan perpanjangan BC di T. Hitunglah luas daerah yang diarsir jika FB = 6…

13. Diberikan a, b, dan c adalah digit-digit dari bilangan 3 digit yang memenuhi 49a + 7b + c = 286 dan a . b . c = 150 maka nilai dari a + b + c =..... 14. Jika a, b, c adalah bilangan asli yang memenuhi a – b – c ≥ 1, b – c – a ≥ 2, a + b – c ≤ 3.

c

c

c2 

Carilah nilai tertinggi dari a     …  a b ab  15. Jika a, b, c akar-akar dari persamaan 3x 3  2 x 2  1  0 , maka tentukan nilai dari

1 1 1  2  2… 2 2a 2b 2c


165


KUNCI JAWABAN

PILIHAN GANDA 1. B

11. A

21. A

2. D

12. B

22. C

3. B

13. B

23. A

4. D

14. A

24. C

5. D

15. B

25. C

6. A

16. D

26. C

7. D

17. D

27. C

8. D

18. B

28. A

9. D

19. D

29. D

10. A

20. C

30. A

ISIAN SINGKAT 1. 7

11.

562 7 atau 37 15 15

2 4 2.  ,  5 5

12.

27 5

1 2

13. 16

4. 269,5 liter

14. 0

5. 5

15. –1

3. 3

6. 1728 7. 946 8.

1 2

9. 258,5 m2 10. 3 : 2

166



SEKILAS TENTANG JURUSAN DAN HIMPUNAN MAHASISWA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

1.

Jurusan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika mendidik mahasiswa agar menjadi calon guru yang berkompeten dalam matematika dan pembelajarannya serta menguasai teknologi informasi.Kurikulum program S1 disusun berdasarkan paradigma yang berbasis kompetensi yang terdiri atas kompetensi utama, kompetensi pendukung, dan kompetensi lainnya yang bersifat khusus dan gayut dengan kompetensi utama.Jurusan Pendidikan Matematika menerima mahasiswa baru melalui jalurSNMPTN Undangan dan Ujian Tulis. Selain membuka kelas reguler, Jurusan Pendidikan Matematika juga membuka kelas RKBI atau Rintisan Kelas Berstandar Internasional yang sudah dilaksanakan sejak tahun 2009. Prestasi membanggakan yang berhasil diraih Jurusan Pendidikan Matematika adalah dimenangkannya Hibah Due-Like selama 5 tahun (2000-2005).Pada tahun 2006, Jurusan Pendidikan Matematika berhasil memenangkan dua hibah sekaligus, yaitu Hibah Kemitraan dan PHK-A2.Sumber Daya Manusia (SDM) Jurusan Pendidikan Matematika dilihat dari kualifikasinya sangat memadai.Saat ini Jurusan Pendidikan Matematika memiliki 21 tenaga pengajar.Staf pengajar ini adalah lulusan berbagai perguruan tinggi ternama dalam dan luar negeri.Jurusan Pendidikan Matematika selalu memfasilitasi mahasiswa dalam meraih segala prestasi dalam bidang akademik maupun non akademik.

2.

Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Undiksha merupakan suatu wadah atau tempat organisasi yang mencakup kegiatan intelektual mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika.HMJ Pendidikan Matematika mempunyai Visi dan Misi dalam pelaksanaan setiap program kerja yang direncanakan.Visi HMJ Pendidikan Matematika adalah eksistensi jati diri manusia dalam bingkai persatuan dan kesatuan mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Undiksha.Sedangkan Misi HMJ Pendidikan Matematika adalah meningkatkan kualitas kader yang memiliki intelektualitas dan loyalitas terhadap organisasi Badan Eksekutif Mahasiswa.Dengan demikian HMJ Pendidikan Matematika mempunyai tujuan untuk membentuk kader- kader mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika yang religious, humanis, nasional, dan berpikiran progresif. HMJ Pendidikan Matematika memiliki program kerja utama yaitu Pekan Gema Matematika yang di dalamnya meliputi Gema Lomba Matematika tingkat SD, SMP, SMA,


167


dan SMK, Gema Kreasi Matematika, dan Gema Expo Matematika yang memamerkan hasil karya mahasiswa HMJ Pendidikan Matematika. Di samping itu, program kerja lain yang dimiliki oleh HMJ Pendidikan Matematika dikembangkan menjadi empat bidang yang memiliki arah pengembangan khusus tersendiri dengan tujuan, dan arah pengembangannya masing-masing adalah sebagai berikut. 1. Bidang Penalaran dan Keilmuan Pengembangan kegiatan kemahasiswaan dalam bidang ini ditunjukkan dan diarahkan untuk: (a) membina dan mengembangkan etika mahasiswa dalam menemukan dan mengkomunikasikan kebenaran ilmiah; (b) meningkatkan apresiasi mahasiswa terhadap kegiatan-kegiatan ilmiah seperti penelitian dan seminar; dan (c) melatih mahasiswa dalam menemukan kebenaran dengan prosedur ilmiah.

2. Bidang Minat dan Bakat Kegiatan minat dan bakat ditujukan dan diarahkan untuk (a) mengembangkan minat dan bakat mahasiswa sehingga kelak mereka memiliki kegiatan penyaluran minat dan bakat yang baik serta dapat menghindari kegiatan penyaluran minat dan bakat yang kurang baik; (b) membina kesegaran jasmani dan rohani mahasiswa melalui kegiatan olah raga; (c) menumbuhkan kepercayaan diri mahasiswa. Adapun program utama yaitu melaksanakan Matematika Cup, yaitu pertandingan bola voli antara jurusan di lingkungan Fakultas MIPA.

3. Bidang Kesejahteraan Mahasiswa Kegiatan ini ditujukan dan diarahkan untuk: (a) membantu mahasiswa agar mereka dapat belajar tanpa hambatan yang berarti; (b) membantu mahasiswa dapat menyelesaikan studi dalam waktu singkat; (c) menumbuhkan kreativitas dalam menemukan alternatif dalam mengatasi kesulitan hidup. Adapun program utama bidang ini yaitu melaksanakan kegiatan Pelepasan Calon Wisudawan dan Wisudawati HMJ Pendidikan Matematika.

4. Bidang Bakti Sosial Kegiatan ini ditujukan dan diarahkan untuk menumbuhkan kepekaan sosial mahasiswa terhadap lingkungan sekitarnya dan meningkatkan apreasiasi mahasiswa terhadap jasa dan keberhasilan orang lain. Adapun program utama yaitu melaksanakan Ramah Tamah setiap tahun ajaran baru. 168

SEKILAS TENTANG JURUSAN DAN HMJ PENDIDIKAN MATEMATIKA


Demikian sekilas tentang profil Jurusan dan HMJ Pendidikan Matematika Undiksha. Informasi lebih lanjut mengenai Jurusan Pendidikan Matematika Undiksha dapat menghubungi:

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA Jl. Udayana Singaraja-Bali 81116 Telp. (0362) 25072 Fax. (0362) 25335 Website jurusan: http://www.undiksha.ac.id/fmipa/matematika Website HMJ: http://www.matriks-web.com


169

BUKU GLM SMP edisi 7 revisi.pdf

Recommend Documents