BREVE HISTORIA DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Aunque el nombre del MEF se ha establecido recientemente, el concepto se ha usado desde Hace Hace vari varios os sigl siglos os.. El empl empleo eo de méto método doss de disc discre reti tizad zado o espac espacia iall y temp tempor oral al y la aproximacin numérica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o !"sicos es #onocido desde antiguo. El concepto c oncepto de $elementos !initos% parte parte de esa idea.
&ara encontrar vestigios de este tipo de c'lculos podr"amos remontarnos a la época de la construccin las pir'mides egipcias. (os egipcios empleaban métodos de discretizado para determinar el volumen de las pir'mides. Arqu"medes )*+-** a.#./ empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de slidos o la super!icie de 'reas. En oriente también aparecen métodos de aproximacin aproximac in para realizar c'lculos. As" el matem'tico chino (ui Hui )011 d.#./ empleaba un pol"gono regular de 01* lados para calcular longitudes de circun!erencias con lo que consegu"a una aproximacin al n2mero &i de 0.34.
El desarrollo de los elementos !initos tal y como se c onocen hoy en d"a d "a ha estado ligado al c'lculo estructural !undamentalmente en el campo aeroespacial. En los a5os 31 #ourant propone la utilizacin de !unciones polinmicas para la !ormulacin de problemas el'sticos en subregiones triangulares, como un método especial del método variacional de 6ayleigh6itz para aproximar soluciones. Fueron 7urner, #lough, Martin y 7opp* quienes presentaron el MEF en la !orma aceptada hoy en d"a. En su traba8o introdu8eron la aplicacin de elementos !initos simples )barras y &lacas &lacas trian triangul gulare aress con cargas cargas en su plano/ plano/ al an'lisi an'lisiss de estruct estructura urass aeron' aeron'uti uticas cas,, 9tilizando los conceptos de discretizado y !unciones de !orma. El traba8o de revisin de :den0 presenta algunas de las contribuciones matem'ticas importantes al MEF. (os libros de &rzemieniec;i3 y de presentan el MEF en su aplicacin al an'lisis estructural. El libro de
su uso a través de so!isticados paquetes gr'!icos que !acilitan el modelado y la s"ntesis de resultados. Hoy en d"a ya se concibe la conexin inteligente entre las técnicas de an'lisis estructural, las técnicas de dise5o )#A/, y las técnicas de !abricacin.
CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO (a idea general del método de los elementos !initos es la divisin de un continuo en un con8unto de peque5os elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos. (as ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regir'n también el del elemento. e esta !orma se consigue pasar de un sistema continuo )in!initos grados de libertad/, que es regido por una ecuacin di!erencial o un sistema de ecuaciones di!erenciales, a un sistema con un n2mero de grados de libertad !inito cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no. En cualquier sistema a analizar podemos distinguir entre@ • ominio. Espacio geométrico donde se va ha analizar el sistema. • #ondiciones de contorno. Bariables conocidas y que condicionan el cambio del sistema@ cargas, desplazamientos, temperaturas, volta8e, !ocos d e calor,... • Cncgnitas. Bariables del sistema que deseamos conocer después de que las condiciones de contorno han actuados sobre el sistema@ desplazamientos, tensiones, temperaturas,...
El método de los elementos !initos supone, para solucionar el problema, el dominio discretizado en subdominios denominados elementos. El dominio se divide mediante puntos )en el caso lineal/, mediante l"neas )en el caso bidimensional/ o super!icies ) en el tridimensional/ imaginarias, de !orma que el dominio total en estudio se aproxime mediante el con8unto de porciones )elementos/ en que se subdivide. (os elementos se de!inen por un n2mero discreto de puntos, llamados nodos, que conectan entre si los elementos. Dobre estos nodos se materializan las incgnitas !undamentales del problema. En el caso de elementos estructurales estas incgnitas son los desplazamientos nodales, ya que a partir de éstos podemos calcular el resto de incgnitas que nos interesen@ tensiones, de!ormaciones,... A estas incgnitas se les denomina grados de libertad de cada nodo del modelo. (os grados de libertad de un nodo son las variables que nos determinan el estado yo posicin del nodo. &or e8emplo si el sistema a estudiar es una viga en voladizo con una carga puntual en el extremo y una distribucin de temperaturas tal y como muestra la !igura,
el discretizado del dominio puede ser@
(os grados de libertad de cada nodo ser'n@ • esplazamiento en direccin x • esplazamiento en direccin y • ?iro seg2n z
7emperatura El sistema, debido a las condiciones de contorno@ empotramiento, !uerza puntual y temperatura, evoluciona hasta un estado !inal. En este estado !inal, conocidos los valores de los grados de libertad de los nodos del sistema podemos determinar cualquier otra incgnita deseada@ tensiones, de!ormaciones,... 7ambién ser"a posible obtener la evolucin temporal de cualquiera de los grados de libertad.
&lanteando la ecuacin di!erencial que rige el comportamiento del continuo para el elemento, se llega a !rmulas que relacionan el comportamiento en el interior del mismo con el valor que tomen los grados de libertad nodales. Este paso se realiza por medio de unas !unciones llamadas de interpolacin, ya que éstas $interpolan% el valor de la variable nodal dentro del elemento. El problema se !ormula en !orma matricial debido a la !acilidad de manipulacin de las matrices mediante ordenador. #onocidas las matrices que de!inen el comportamiento del elemento )en el caso estructural ser'n las llamadas matrices de rigidez, amortiguamiento y masa, aunque esta terminolog"a ha sido aceptada en otros campos de conocimiento/ se ensamblan y se !orma un con8unto de ecuaciones algebraicas, lineales o no, que resolviéndolas nos proporcionan los valores de los grados de libertad en los nodos del sistema.
Ecuaciones de equili!io" P!inci#io de los T!aa$os Vi!%uales Muchos problemas de medios continuos vienen expresados mediante ecuaciones i!erenciales y condiciones de contorno sobre la !uncin o !unciones incgnita. Ante la i!icultad, y en muchos casos la imposibilidad, de encontrar una solucin cerrada, se opta &or realizar una aproximacin, siendo necesaria la expresin integral del &rincipio de los 7raba8os Birtuales )&7B/.
De considera un continuo el'stico como el de la !igura sometida a unas !uerzas Duper!iciales {t } T
{t t t }
x y z
= , , y a unas !uerzas por unidad de volumen
X G { X , X , X } x y z T
= , )las !uerzas por unidad de super!icie podr"an ser presiones y el peso
propio ser"a una !uerza por unidad de volumen/. El vector desplazamientos lo notamos por uG = {u,v,w}T . (as de!ormaciones correspondientes a estos desplazamientos son
