Boletin 01 Semestral II A

SEMANA 01 RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN: RAZÓ N: Es la comparación que se establece entre dos cantida cantidades des,, median mediante te las operac operacion iones es de sustra sustracció cciónn o división. Ejemplo: Comparar las edades de Maria y Elena que son 36 y 12 años respectivamente. Por Sustracción: Maria Elena 36 – 12  2! Interpretación: "a edad de Maria e#cede a la de Elena en 2! años. Por División: Maria  36 3 Elena  12 Interpretación: Maria tiene 3 veces la edad de Elena. En general: $ean las cantidades a y b. RAZÓN ARITMTI!A %eterminar en cuanto e#cede una cantidad a la otra, y se obtiene mediante la sustracción. a$%&r %onde( a y b • a • b • r • -

    

RAZÓN "E#MTRI!A %eterminar cu&ntas veces cada una de las cantidades la unidad de re'e re'errenci encia, a, y se obti obtien enee mediante la división.

= E4emplos( 5  7 2  18 7 9 5 En eneral( %onde( 5 a y d  :)rminos e#tremos 5 b y c  :)rminos medios +dem&s( a ( 1er t)rmino b ( 2d 2do t)rmino c ( 3er t)rmino d ( !to t)rmino #%servación: ;na proporción dependiendo de sus t)rminos medios puede ser( %iscreta o Continua PR#P#R!IÓN ARITMTI!A Discreta !ontinua E#tremos E#tremos a

7 b  c 7 d a

t)rminos de la ra*ón +ntecedente Consecuente alor de la ra*ón aritm)tica alor de la ra*ón eom)trica

= #%servación: $ean /a0 y /b0 cantidades tal que( $ini'ica que( • /a 0 es como ' y /%0 es como ( • /a 0 y /%0 est&n en relación de ' a (. • or cada ' unidades de a , ay ( unidades de % es decir( %&( $i( a & ' entonces $i( a & ) entonces % & *+ En general:$i( a & ', % & (, entonces Nota: Cuando se mencione solamente ra*ón o relación se debe entender que se ace re'erencia a la ra*ón eom)trica.



b

7 c

Medios -: Cuarta di'erencial di'erencial Media di'erencial de a, b y c. %: Media Media di'ere di'erencia nciall o media media a ( primera di'erencial aritm)tica de a y y c de( b c y d c( tercer terceraa di'ere di'erenci ncial al b= de( a b y d

c: :ercera :ercera di'erencial de a y y %. Discreta

=K

7 b

PR#P#R!IÓN "E#MTRI!A !ontinua

=

=

-: Cuarta proporcional %: Media proporcional o media de eom)trica de a y y c. a, b y c. a( primera proporcional = de( b c y d . c( tercera proporcional c: :ercera proporcional de( de( a b y d ayb

PR#PIEDADES: = 

= $i(

= ⇒



PR#P#R!IÓN: Es la iualdad en valor num)rico, de dos ra*ones de la misma clase.

= 

1

Preparación de primer nivel

SERIE DE RAZ#NES "E#MTRI!AS E./I0A1ENTES Propie-a-es "enerales: P2*2 $i(

= = = =K ⇒

A & a, 7 & %, ! & c, D & -,

D@

:ercera di di'erencial de de 3= 3= y 21 b@ 3= c@ != e@ 8=

a@ 3! d@ !8

8. %ete %eterm rmin inee la ter tercera cera prop propor orci cion onal al entr entree la media edia proporcional de 9 y 16 con la cuarta proporcional de 1= 18 y !. a@ 2 b@ 3 c@ ! d@ 8 e@ 6

= = = =K P232 $i(

=

, entonces(

6. Calcular

/r



t0

si(



adem&s(

=K a@ 1= d@ 13

. . .

= = = =K P2'2$i(

Don-e: /n0 es el numero de ra*ones eom)tricas que se multiplican. #%servación( Serie -e ra4ones geom5tricas continuas e6uivalentes. En eneral(

$i(

⇒

c@ 12 e@ 1!

=K

entonces(

= = = =K

b@ 11

a = ek4 b = ek3 c = ek2 d = ek

= = B. $i( a@ B2 d@ 99

$i( a – c  B2. alle( /2a – b0 b@ 9= c@ 11B e@ 1=

= = . $i ( adem&s( a  b  c  !2 #  y  *  2 a@ a@ 8 b@ 2 d@ !

a  #  1= calcule( /a – #0 c@  e@ 3

PRACTICA: 1. "a ra*ón ra*ón arit aritm)t m)tica ica de de dos nCu&l es el mayor de los n
a

=

b

=

c

=

d

9. $abien iendo qu que( +dem +dem&s &s(( b  c  d  12= 12=.. Calc Calcul ular ar(( a  b  c – d a@ != b@ 3= c@ !8 d@ 6= e@ 2= 1=. 1=. "a ra*ó ra*ónn eom eom)t )tririca ca de dos dos n
= = 11. $i(

adem&s(

−

=

=

. allar /a  c0


y

SERIE DE RAZ#NES "E#MTRI!AS E./I0A1ENTES Propie-a-es "enerales: P2*2 $i(

= = = =K ⇒

A & a, 7 & %, ! & c, D & -,

D@

:ercera di di'erencial de de 3= 3= y 21 b@ 3= c@ != e@ 8=

a@ 3! d@ !8

8. %ete %eterm rmin inee la ter tercera cera prop propor orci cion onal al entr entree la media edia proporcional de 9 y 16 con la cuarta proporcional de 1= 18 y !. a@ 2 b@ 3 c@ ! d@ 8 e@ 6

= = = =K P232 $i(

=

, entonces(

6. Calcular

/r



t0

si(



adem&s(

=K a@ 1= d@ 13

. . .

= = = =K P2'2$i(

Don-e: /n0 es el numero de ra*ones eom)tricas que se multiplican. #%servación( Serie -e ra4ones geom5tricas continuas e6uivalentes. En eneral(

$i(

⇒

c@ 12 e@ 1!

=K

entonces(

= = = =K

b@ 11

a = ek4 b = ek3 c = ek2 d = ek

= = B. $i( a@ B2 d@ 99

$i( a – c  B2. alle( /2a – b0 b@ 9= c@ 11B e@ 1=

= = . $i ( adem&s( a  b  c  !2 #  y  *  2 a@ a@ 8 b@ 2 d@ !

a  #  1= calcule( /a – #0 c@  e@ 3

PRACTICA: 1. "a ra*ón ra*ón arit aritm)t m)tica ica de de dos nCu&l es el mayor de los n
a

=

b

=

c

=

d

9. $abien iendo qu que( +dem +dem&s &s(( b  c  d  12= 12=.. Calc Calcul ular ar(( a  b  c – d a@ != b@ 3= c@ !8 d@ 6= e@ 2= 1=. 1=. "a ra*ó ra*ónn eom eom)t )tririca ca de dos dos n
= = 11. $i(

adem&s(

−

=

=

. allar /a  c0


y

a@ !28 d@ 2B8

b@ 88=

c@ 328 e@ 28=

12. En una proporció proporciónn eom)trica eom)trica continua continua los e#tremos e#tremos son entre sF como 9 es a ! y su ra*ón aritm)tica es 18. allar la media proporcional. a@ 18 b@ 1 c@ 21 d@ 2! e@ 32 13. 13. En una una seri seriee de 3 ra*o ra*one ness eom) eom)trtric icas as equi equiva vale lente ntess continuas continuas el producto producto de las 3 ra*ones ra*ones es 1A2B. 1A2B. $i la suma suma de los los cons consecu ecuen ente tess es 23!, 23!, all allar ar el mayo mayorr antecedente. a@ 8! b@ ! c@ B2 d@ 6! e@ 6=

= = = 1!. $i(

+B +C

A adem&s(

3

3

3

=

. . calcule( a@ 9 d@ 1

b@ 12

c@ 18 e@ 2B

18. 18. "a suma, suma, la di'ere di'erenc ncia ia y el produc producto to de dos dos nCu&l es la ra*ón aritm)tica de los ncu&l es la suma de los los consecuentes? a@ 36 b@ != c@ 32 d@ ! e@ 8= 1B. + un evento evento deporti deportivo vo asistiero asistieronn ! ombres ombres por cada cada 8 mu4eres y 3 mu4eres por cada B niños. $i en total asisti asistiero eronn 1 6=. 6=. allar allar la ra*ón ra*ón aritm) aritm)tic ticaa entre entre el n
Calcular( a@ B2 d@ 1=

b@ 1!!

c@ 36 e@ 12=

2=. En una propor proporció ciónn eom)t eom)tric ricaa continu continua, a, el produc producto to de los los cuat cuatro ro t)rm t)rmin inos os es 1296 1296 y el prod produc ucto to de los los antecedentes es 2!. alle la tercera proporcional. a@ 6 b@ ! c@ 1= d@ 9 e@  21. 21. ;n moribu moribundo ndo de4a de4a $A. $A. 13 13 === === a dos dos sobr sobrin inos, os, tres tres sobrinas y cinco primos, advirtiendo que la parte de cada primo debe ser los 3A! de lo de una sobrina y lo de cada sobrina 8A6 de lo de un sobrino. +veriuar cu&nto le toca a una sobrina. a@ $A $A.  === b@ $A. 12 === c@ $A. 18 === d@ $A 2= === e@ $A. 2! === 22. En un momento momento de una una 'iesta, 'iesta, el n
= = 23. $i(   b  c  d0 si - es numero entero. a@ !8 b@ != d@ 3=

=

alle( /a

c@ 38 e@ 28

2!. $abiendo $abiendo que /b0 es la media media proporcion proporcional al de /a0 y /c0 y

+b

a 2

que /a0, /b0 y /c0 suman 23!. +dem&s( allar /a  b0 a@ B2 b@ ! c@  d@ 96 e@ 1=

2

=

28. En una carrer carreraa de 2 === m un atleta atleta /+0 anó anó a otro /H0 por !== m y /H0 anó a /C0 por 2== m. >or cu&ntos metros anar& /+0 a /C0 en una carrera de 3 === m? a@ == b@ 98= c@ != d@ 8= e@ !6= 26. 26. $i a, b y c son ente entero ross posit positiv ivos os que que 'orma 'ormann una proporción continua en ese orden, adem&s( 5 a  b  c  2

= = 19. 19. %ada %ada la la seri serie( e( $e cumple ( G+  H  C@ Ga  b  c@  1 296 3


2 C J1 2K C

! ! = 5 a@ 6 d@ 9

alle la media proporcional b@ B c@  e@ 8

+ 27

=

y a  c  b  3= Calcule( /b . c0 a@ !== d@ 12==

b

+ 125

=

c

+ 512

c@ 1=== e@ 96=

2. 2. $e tien tienee la siu siuie ient ntee seri seriee de ra*o ra*one ness iua iuale les( s(

= = $i el producto de los antecedentes es( 3.6I. allar el mayor de los antecedentes. a@ !8 b@ 9= c@ 3= d@ 6= e@ B8

SEMANA02 TEORIA DE CONJUNTOS * N#!I#N DE !#N8/NT#: Ente matem&tico por lo cual se puede tener una idea sub4etiva de colección arupación o reunión de ob4etos abst abstra ract ctos os o conc concre reto toss deno denomi mina nado doss elem elemen ento tos. s. E4emplos( 7 "os "os dFas dFas de de la sema semana. na. 7 "os paFs paFses es de +m)ric +m)ricaa del $ur $ur.. *2* N#T N#TA!I#N A!I#N DE !#N8/NT# !#N8/NT# %eno %enota ta a un con4 con4un unto to con con sFmb sFmbol olos os que que indi indiqu quen en superioridad y a sus elementos mediante variables o letras min
=

H  Jlos dFas de la semanaK

*23 RE1A!I#N DE PERTENEN!IA PERTENEN!IA $e establece esta relación sólo de elemento a conjunto y e#presa si el elemento indicado 'orma parte o no del con4unto considerado. /. . . pertenece a . . .0 ( /. . . no pertenece a . . .0 ( E4emplo(

= 4

*2' DETERMINA!I#N DE DE /N !#N8/NT# Consi Consist stee en prec precis isar ar corr correc ecta tamen mente te que que elem elemen ento toss 'orman parte del con4unto. uede acerse de dos 'ormas(

E4emplos( b@ 8==

C C

Por E9tensión ;orma ta%ular< Cuando se indica eneralmente a todos y cada uno de los elementos.

2B. 2B. %ada %ada la seri serie( e(

a

 8

=

y

=

Es evidente que el orden en el cual son listados los elem elemen ento toss del del con4 con4un unto to no a'ec a'ecta ta el ec ecoo de que que pertene*can a )l. %e este modo en el con4unto.

=

=

Por !omprensión ;orma constructiva< Cuando Cuando se enuncia enuncia una propie propiedad dad que caract caracteri eri*a *a a todos los elementos del con4unto, de tal manera que cada ob4eto que o*a de la propiedad pertenece al con4unto y todo todo elem elemen ento to del del con4 con4un unto to o*a o*a de la prop propie ieda dadd mencionada. Esquema( =tal 6ue>

, = + .... .......... )  * ..........    Características    ..........   o

Forma General del Elemento

propiedad común de la variable que forma el elemento

E4emplos( +  JnAn es una vocalK C  Jn2 7 1 A n es entero ∧ 1 ≤ n ≤ BK

*2?N/MER# !ARDINA1 El n
M  J#A# ∈ O ∧ 1 ≤ # ≤ 2K M es in'inito pues nGM@  . . . . ? N  J1, 2, 3, !, 8, . . .K N es in'inito pues nGN@  . . . . ?

III2 RE1A!I#NES ENTRE !#N8/NT#S: '2*IN!1/SI#N  <: $e dice que + est& incluido en otro con4unto H, si todos los elementos de + pertenecen a H. $e denota( + ⊂ H $e lee( /+ est& incluido en H0 /+ est& contenido en H0 /+ es subcon4unto de H0 Pepresentación( + ⊂ H ≡ ∀ # ∈ + ( # ∈ + → # ∈ H Qr&'icamente( A

B

E4emplos( 1@ +  Jp, qK H  Jp, q, r, sK

B A

.r

.p .q

.s

⇒ + ⊂ H

Rbservaciones( :odo con4unto est& incluido en sF mismo o es subcon4unto de sF mismo( ∀ + ( + ⊂ + El con4unto vacFo est& incluido en todo con4unto( ∀ + ( ∅ ⊂ +

'23 I"/A1DAD: $e dice que dos con4untos son iuales cuando ambos poseen los mismos elementos. E4emplo( +  J3n  2 A n ∈ N ∧ 1 ≤ n ≤ !K y H  J8, 1!, , 11K se observa( +  H

A

'2' !#N8/NT#S !#MPARA71ES: %os con4untos + y H son comparables cuando sólo uno de ellos est& incluido en el otro, es decir( + ⊂ H ó H ⊂ + E4emplo( +  J3, 8, BK  H  J1, 3, 8, B, 9K ⇒ + y H son comparables, porque + ⊂ H. '2? !#N8/NT#S DIS8/NT#S: $e dice que dos con4untos son dis4untos cuando no poseen elementos comunes. E4emplo( +  J2, 3, !K H  J8, 6, BK ∴ + y H son dis4untos Qr&'ica( B .5 .6 .7

'2(!#N8/NT#S E./IP#TENTES # !##RDINA71ES: /ara ablar de )stos con4untos de aluna 'orma, el proceso de contar sus elementos siempre termina0. 5

I02 !#N8/NT#S ESPE!IA1ES ?2*!#N8/NT# N/1# # 0A!I#: Es aquel con4unto que carece de elementos. E4emplo( +  J#A# es el actual DLC+ del er
B

.5 .14 .8 .11

$e de'ine( +  H ⇔ + ⊂ H ∧ H ⊂ +

A .2 .3 .4

%os con4untos ser&n coordinables cuando el n
. .3

.2 .!

.4 ."

/&N

?2? !#N8/NT# DE !#N8/NT#S # @AMI1IA DE !#N8/NT#S: Es aquel con4unto cuyos elementos son todos con4untos. +  J J2, 3K, J3K, JaK, J6, bK, ∅ K H  J Ja, b, cK, J2, 3, 6K, J6K, c,  K $e observa que( A es 'amilia de con4untos y 7 no es 'amilia de con4untos ?2( !#N8/NT# P#TEN!IA # !#N8/NT# DE PARTES %ado un con4unto +, el con4unto potencia de + est& 'ormado por toda la 'amilia de subcon4untos de +. Lotación(  G + @ E4emplo( +  Ja, b, cK $ubcon4untos propios de +  G+@  J ∅, JaK, JbK, JcK, Ja, bK, Ja, cK, Jb, cK, Ja, b, cK K vacFo unitarios binarios ternario 3 ⇒ n T  G+@ U  2   $imbólicamente(  G+@  JVAV ⊂ +K Rbservaciones(


$i un con4unto + tiene /n0 elementos entonces el



n
, es decir(

=

nG+ ; H ; C@  nG+@  nGH@  nGC@ – nG+ ∩ H@ – nG+ ∩ C@ – nGH ∩ C@  nG+ ∩ H ∩ C@ b@ Intersección  <: $on los elementos comunes A 7 & 9B 9 A 9 7C A

A B

B

"os subcon4untos propios de + son aquellos subcon4untos di'erentes al con4unto +, entonces(



El numero de subcon4untos propios de + 

Ejemplo: $i nG+@  8

entonces el n
subcon4untos es(  +dem&s el numero de subcon4untos propios de + es(

A

B

+ ∩ +  + +∩

ara determinar la cantidad de subcon4untos -– narios de un con4unto +, se utili*a la 'órmula(



W %e subcon4untos de /X0 elementos  Pecuerda Cacimbito( 

C

C + C + C + C + ..... + C = 2

B

A



+∩H

#8# : A $ 7

7$A A

B

A

B

A B B

B

+$ +;++

+; HH;+ +;H+

H$+ si y solo si H ;( universo

( vacFo nG+ ; H@  nG+@  nGH@ – nG+ ∩H@

+

+ $ ; 

+

+ $ H  +

+ ; + +;;;

6

+

c
A

A

+ y H dis4untos

+ ∩ H  H si y solo si H

#PERA!I#NES ENTRE !#N8/NT#S: a
+ ∩ H  H ∩ + + ∩ ;  +

+ y H dis4untos H

+

d@ Di;erencia sim5trica  < $on los elementos de la reunión que no pertene*can a ambos A 7 & 9B 9 A/7< 9 A 7

A

B

A

B

= = a@ 6 d@ 9

B

A

b@ B

c@  e@ 1=

!. $ean + H y C con4untos dis4untos que adem&s(

= +∆

+

=

+ ∆ ; 

+∆H  +;H

+ y H dis4untos

+∆ H +– H

H

−

alle a@  d@ 6!

+

c

e@ !omplemento A A
DDD@ JBK

+

DD@ J3K +

@ JJ3K K a@ 6 d@ 3

G+Y@Y + ;Y 

c@ 32 e@ 12

8. Cuantas proposiciones son correctas, para el con4unto +  J8 B J3K  JJ6KKK D@ 8

A

si nGH@  . b@ 16

+

D@ J8 BK

+

+ D@ JJJ6KKK b@ 8

+ c@ ! e@ 2

6. allar la suma de elementos de /M0. Y; G+ ; H@Y  +Y ∩ HY + ; G+ ∩ H@  + + ; G+Y ∩ H@  + ; H

G+ ∩ H@Y  +Y ; HY + ∩ G+ ; H@  + + ∩ G+Y ; H@  + ∩ H

PRACTICA: 1. alle el numero de subcon4untos propios del con4unto P P  Ja c a d e m i a a m a d aK a@ 1=23 b@ 811 c@ 12B d@ 63 e@ 31 2. allar /a  b0 si el con4unto + es unitario.

=

−

n
, adem&s a y b son c@  e@ 1=

M  J#2  1 A # a@ 32 d@ 38

NN, – 2 b@ 3!

#

!K c@ 36 e@ !=

B. $i el con4unto potencia de P tiene 86 subcon4untos ternarios, entonces el numero de subcon4untos binarios de P ser&( a@ 1 b@ 28 c@ 2! d@ 2 e@ 3=

. dado el con4unto( +  J#A Calcule nG+@ a@ 1 b@ 2 d@ ! e@ 8

9. $ea +  J G3#@ NA $ 2 # a@ 12 b@ 1! d@ 1 e@ 2=

−

,# NK c@ 6

3 K alle nG+@. c@ 16

1=. %ado el con4unto( 7


 = +a - 1* a ∈ $3 <

-

< 8

Calcule la suma de los elementos del con4unto /M0 a@ !! b@ 8= c@ 6! d@ B! e@ = 11. "os con4untos + y H son comparables tal que se cumpla con( nTG+@U – nTGH@U  192=. Calcule nG+@. a@ 9 b@ 1= c@ 11 d@ 12 d@ 13 12. "os cardinales de los con4untos +1 +2 +3Z..  +n son 1 2 3Z n respectivamente, y el producto de los cardinales de sus con4untos potencia es 1=2!. allar /n0. a@ 3 b@ ! c@ 8 d@ 6 e@ 1= 13. "os con4untos + y H son comparables tal que se cumpla con( nTG+@U – nTGH@U  192=. Calcule nG+@. a@ 9 b@ 1= c@ 11 d@ 12 d@ 13 1!. En una ciudad se publican los periódicos + y H, el 8[ de la población lee +, el 36[ lee H y el 2![ lee ambos. >Ou) porcenta4e de la población no leen estos periódicos? a@ 6[ b@ 3=[ c@ B=[ d@ !=[ e@ B6[ 18. %e los 6= alumnos que componen un salón de clase, 32 4uean 'Cu&ntos 4uean e#clusivamente un deporte si 1= no practican ninuno? a@ !3 b@ !8 c@ !B d@ 31 e@ 39 16. %e un rupo de 8= personas 2 conocen Dtalia, 32 conocen \'rica y 18 conocen ambos paFses. >Cu&ntas personas no conocen ninuno de estos paFses? a@ 8 b@ 6 c@ B d@  e@ 9 1B. %e un rupo de 1== alumnos, !9 no llevan aritm)tica, 83 no llevan eometrFa y 2B no llevan ni eometrFa ni aritm)tica. >Cu&ntos alumnos llevan un solo curso? a@ !8 b@ ! c@ 8= d@ !2 e@ 82 1. $e tiene dos con4untos + y H, tales que( nG+ ; H@  18 nG @  3 nG+@ – nGH@  2 si( nG @  . >Cu&ntos elementos tiene el con4unto CG+@? a@ 6 b@ 8 c@ ! d@ B e@  19. En un salón de la academia, ay 8 alumnos, 36 piensan seuir inenierFa, 2! piensan seuir ciencias y

8

13 otras &reas. >Cu&ntos piensan ser inenieros y cientF'icos a la ve*? a@ 6= b@ 18 c@ 23 d@ 11 e@ 3B 2=. El inreso a una 'acultad /V0 consta de dos e#&menes. El nCu&ntos rindieron al menos un e#amen? a@ 1== b@ 1!= c@ 11= d@ 13= e@ 12= 21. $i( nG+@  2.nGH@ y el n
el triple de los elementos de sólo H y nT $i nG;@  6=, allar nGH@. a@ 1= b@ 18 c@ 2= d@ 28 e@ 3=

U  1=.

22. %ados + y H subcon4untos del universo se tiene que( nG;@  B=, nG Calcule nG+ a@  d@ 1=

@  !3  nG

@  3!  nG+ – H@  19.

H@ b@ B

c@ 6 e@ !

23. %ados los con4untos + y H contenidos en ;, tales que( +   nG+@ – nGH@  ! y nTGH@U – nTG+@U  96=. >Cu&ntos subcon4untos propios no nulos tiene el con4unto +? a@ 6! b@ 63 c@ 62 d@ 126 e@ 81= 2!. $i +, H ,C son con4untos contenidos en ; tales que( D@

C

+C

c DD@ nG @  1= DDD@ nTG+ ; H@ – CU  6.nGC@ D@ nG Calcule nG;@ a@ 21= d@ 2!=

@= b@ 19=

c@ 2== e@ 26=

28. M y L son subcon4untos de ; y se cumple que(


•

•

un con4unto de relas, principios y convenios, que sirven para 'ormar a los numerales y operar con ellos.

M]L

tiene 811 subcon4untos propios

PRIN!IPA1ES PRIN!IPI#S DE1 SISTEMA P#SI!I#NA1 DE N/MERA!I#N PRIN!IPA1ES SISTEMAS DE N/MERA!I#N

-&% • •

-&%

El nCu&ntos subcon4untos tiene M^? a@ 812 b@ 2=! c@ 1=2! d@ !=96 e@ 2=!B

26. %e 88 alumnos de la universidad se supo que( 32 alumnos estudian artes 22 alumnos estudian istoria !8 alumnos estudian lenua 8 alumnos estudian los tres cursos. >Cu&ntos alumnos estudian solo dos cursos si todos estudian al menos un curso? a@ ! b@ 1! c@ 2! d@ 3! e@ !! 2B. %e una muestra recoida a 92 turistas se determino lo siuiente( 3= eran a'ricanos y != europeos 8= eran mCu&ntos de los que no son europeos no eran a'ricanos ni mCu&ntos no dominan ninuno de los ! cursos? a@ B b@ 11 c@ 12 d@ 13 e@ 18

7ase

Nom%re

!i;ras $ DGgitos $ "uarismos

2

Hinario

= 1

3

:ernario

= 1 2

!

Cuaternario

= 1 2 3

8

Ouinario

= 1 2 3 !

6

$enario

= 1 2 3 ! 8

B

eptanario

= 1 2 3 ! 8 6



Rctonario

= 1 2 3 ! 8 6 B

9

Lonario

= 1 2 3 ! 8 6 B 

1=

%)cuplo

= 1 2 3 ! 8 6 B  9

11

;ndecimal

= 1 2 3 ! 8 6 B  9 G1=@

12

%uodedimal

= 1 2 3 ! 8 6 B  9 G1=@ G11@

or convención, cuando la ci'ra es mayor que 9 se utili*an letras rieas para su representación( α  1=  β  11  γ  12  δ  13 .

=

E4emplo(

#%servación::oda ci'ra que 'orma parte de un numeral es un n
Signi;icativas Conclusión( Ci'ra  Hase

Numerales !apica ( $on aquellos en las cuales las ci'ras equidistantes son iuales(

    Descomposición Polinómica -e un Numeral -

SEMANA 03 NUMERACION Sistemas -e numeración: Es la parte de la +ritm)tica que se encara de estudiar a los n
"a descomposición polinómica nos permite allar el equivalente en el sistema decimal.

5

=

+

+ =


=

5

+

+

a@ 13 d@ 18

+ =

b@ 12

2. Calcule

=

5

!am%io -e 7ases: J !aso *: de Hase /n0 a Hase 1=.

+

+

valor

x−

− z+

a@  d@ B

b@ 9

de

/#



y



*0

si(

= c@ 1= e@ 11

3. Calcule el valor de /a  *0

Proce-imiento: %escomposición polinómica

=

el

c@ 1! e@ 1=

=

+ =

J !aso 3: de Hase 1= a Hase /n0

50 veces

Proce-imiento: %ivisiones sucesivas. Pepresentar 6B en el sistema octonario. 6B  3 1=



! 13 8



a

1 a@  d@ 2=

=

∴

PR#PIEDADES ADI!I#NA1ES ( +@ Lumeral e#presado en bases sucesivas(

b@ 16

c@ 1B e@ 18

= -

!. Calcule( /a  m  n0 a@ 8 b@ 6 d@ 

c@ B e@ 9

...

a1b 1c . ..

8. $i(

y b–a2

1. 1.7

a b0 c 0. ..

alle el valor de( a@ B! d@ 118

. . ... .

a

P b@ 11=

+a c@ 1== e@ 12=

+.2.7 6. %ado el siuiente numeral capic
H@ Lumeral 'ormado sólo por ci'ras m&#imas.

(- - 1)(- - 1)(- - 1)......( - - 1) “k” cifras

=-

-1

−

−

e#pres

a -−

PRACTICA: 1. %ados

los

siuientes

numerales

correctamente

e en base octanaria dar como repuesta la suma de ci'ras del resultado a@ 8 b@ 6 c@ ! d@ B e@  B. E#prese el numero L en base B.

representados 10

, calcule /a  b0


=

%ar como respuesta la suma de sus tres ci'ras de menor luar del resultado. a@ 12 b@ 11 c@ 9 d@ 6 e@ 

. $i( correctas(

respecto del valor de /a0 son

D@ Es un numero par DD@ Es n
= a−

c@ D y DD e@ $olo DDD

a@  d@ 12

+

1=. $i se cumple que( 17

%etermine el valor de( a@ 1=1 b@ 1=8 d@ 12=

c@ 11! e@ 112

16. allar( a  b  n, si( a@ 9 d@ 12

c@ 11 e@ M&s de 12

a &-%

100

b@ 1=

c@ 11 e@ 13

c@ +  H

12. $i( Cuantas sini'icativas se emplean en la base /n0 a@ 16 b@ 1B c@ 18 d@ 1!

11

b@ 1=

.a a -

c@ $olo DDD

1. E#prese el menor numeral del sistema eptanario cuya suma de ci'ras es 1= en el sistema de base !9. a@ 62= b@ 622 c@ 62! d@ 626 e@ B2=

=

Compare( Columna + Columna H b c a@ + S H b@ H S + d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción

c@ !2 e@ 36

 allar( 0a  b  X0 b@ B c@  e@ L.+

1B. $i( D@ $on correctas( DD@ /a0 es un numero par DDD@/a  b0 es un numero simple /n0 es un numero compuesto a@ D y DD b@ $olo DD d@ $olo D e@ DD y DDD

a

=

=

1213 1415 .. .

1 8. .. 17 a b  ec es 18

11. $abiendo que(

1!. $i( a@ 6 d@ 9

alle( Ga  b@ . n b@ 2!

18. ;na persona caritativa reparte $A.3=== entre cierto n
9. $i( ara calcular el valor de /a  b0 se necesita( D@ a2 DD@ b8 a@ $olo D b@ $olo DD c@ D y DD d@ D ó DD e@ Lo es necesario nin
18

=

aa

13. $i( a@ 3= d@ !

19. Calcular /a  b0 $abiendo que( a@ 8 b@ 6 d@ B

= c@ ! d@ 

ci'ras e@ 13


1ab1ab 1ab... 1ab =       5  -

4

(5

− 1)

2B. E#prese el numeral en el sistema de numeración de base Gn  1@. %e cómo respuesta la suma de sus ci'ras. a@ 3 b@ 1 c@ 2 d@ 8 e@ !

c&ras

2=. $i( alle el valor de /a. b. n0 a@ 3 b@ 2! d@ 3=

c@ 32 e@ 1!

21. $i M es de la 'orma(

2. Calcular /a  b  c0 a@ B b@ 9 d@ 11

c@ 1= e@ 12

>En cu&ntos sistemas de numeración M se puede e#presar con ci'ras m&#imas? a@ B b@ 8 c@ ! d@ 6 e@ 

29. Calcule la suma de bases impares en las cuales B88 se escribe con cuatro ci'ras. a@ 12 b@ 18 c@ 16 d@ 2= e@ 2!

22. El mayor numeral de tres ci'ras di'erentes de la base /n0 se e#presa en el sistema eptanario como 228. Cual es la mayor ci'ra que se puede utili*ar en la base /n  !0 a@ 9 b@  c@ B d@ 6 e@ 8

3=. $i y e#prese /b0 en base 3 y determine la suma de sus ci'ras. a@ 3 b@ 8 c@ ! d@ 6 e@ B

-−1 -−1 -−1

=

23. $i( Columna + Columna H 1= – n 1# a@ +  H b@ +  H d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción

xy%xy

=

a− a− a+

2!. $i( par. Calcule /a  #  y0 a@ 8 b@ B d@ 

xx

compare( c@ H  +

+dem&s /a0 es

=

=

semana04 CUATRO OPERACIONES A-ición( %adas dos o m&s cantidades llamadas sumandos la operación G@ consiste en reunir dicas cantidades en una sola llamada suma. +  H  C  %  ....  L  $ $umandos $uma rincipales sumas notables

c@ 6 e@ 9 1  2  3  !  ....  n 

28. Cuantos nCu&ntos numerales del sistema decimal que terminan en dos, se representan con ! ci'ras tanto en el sistema de base ! como en el de base 8? a@ 11 b@ 12 c@ 13 d@ 1! e@ 18



 -(- +1)     2  !  6   .... 2n  n Gn  1@ 1  3  8  B ....  G2n – 1@ 

12


División( Es una operación inversa a la multiplicación que dados dos n


−

− +

+

!lases -e -ivisión entera: 1.7 División e9acta ( Es cuando el residuo es iual a cero Gr  =@



+ ........ +

56

8

D

d

0

7

0

:



a

−

 Sustracción( %ados dos n
−

= −

⇒ 9 K 4 & L & *+ $ *

=x z

56

9

D

d

2

6

r d

:

=

C.+

!

9

D

d

7

7

r e

:!1

56 = 9x 7 ; 7 D = d !1 ; r Rbservaciones( • =  residuo  d • Pesiduo mFnimo  1 • Pesiduo m&#imo  d – 1 •

 residuo por de'ecto q  cociente por de'ecto

 residuo por e#ceso q  1  cociente por e#ceso

PRACTICA:

 ZZZZZZZZZ

=

=

56

1. $i( C.+

!

2.2 or e#ceso(

⇒9K4&L&n$*

!omplemento aritm5tico !2A @ ( Es al cantidad de unidades que le 'alta a un n
2.7 División Ine9acta: Es cundo el residuo es di'erente de cero. 2.1 or %e'ecto(

=

calcule el valor de(

ZZZZZZZZZ

=

a@ 188! d@ 1286

b@ 1668

c@ 1!!3 e@ 1BB6

ZZZZZZZZZ

Multiplicación( Es una operación directa que dado dos n
2. El valor de la e#presión( a@ 2!8 b@ 22= d@ 218

c@ 232 e@ 2!

3. En una multiplicación, si el multiplicando aumenta en 3 unidades el producto aumenta 18= unidades, en cambio 13


si el multiplicador disminuye  unidades el producto disminuye != unidades. allar el producto oriinal. a@ 2== b@ 1= c@ 21= d@ 28= e@ 2= !. En una división, el producto del cociente por de'ecto y el cociente por e#ceso es B2, adem&s el divisor es el triple del cociente siendo el residuo por e#ceso el triple del residuo por de'ecto. %ar como respuesta la suma de ci'ras del dividendo. a@ 3 b@ 1 c@ 1= d@ 13 e@ 18

=

       ...   

5. <& C%#-a A C%#-a B a!b 3!c a) A = B b) B ? A c) A ? B d) % se >#ede deter&-ar e) -% debe #t&&zar esta %>c&@-

6. <&

. a

. aa =

7. <& a s&#&e-te %>erac&@- se rea&za e- %s

=

-er%s -at#raes ara deter&-ar e a%r de b E aF es s#&c&e-te a. aF es >ar b. b ! a = 13 a) <%% G b) <%% GG c) G y GG d) G @ GG e) % es -ecesar&% -&-- dat% 8. H- a s&#&e-te ad&c&@-

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

9. allar la suma de ci'ras del C.+ de un numeral de tres ci'ras sini'icativas, cuya suma de ci'ras es 23. a@ 6 b@ B c@  d@ 8 e@ 9

14

b@

c@

d@

d@

=

11. $i compare( Columna + Columna H ab c m a@ + S H b@ H S + c@ +  H d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción

12. Calcule /a  b  c0 si( a@ 13 b@ 1! d@ 12

−

= c@ 18 e@ 11

c@ 3=88 e@ 3288

1!. allar un numeral de 3 ci'ras sini'icativas que aumenta en 2B= cuando se invierte el orden de sus dos primeras ci'ras y que disminuye en ci'ras de unidades y centenas. a@ 93 b@ B62 d@ B2

cuando se invierte las c@ 81 e@ 691

18. En una división entera ine#acta el residuo por de'ecto, el residuo por e#ceso, cociente por e#ceso y el divisor 'orman una proresión aritm)tica de ra*ón 6. Calcule el dividendo. a@ 1 b@ 8! c@ 12 d@ !2! e@ B=2

= ...

Cac#ar a ! b ! c ! dF a) 15

a@

13. Calcule el valor de la suma de( E  !  11  3=  Z 1==3 a@ 3=28 b@ 3!88 d@ 3=!8

C%#-a A C%#-a B a 2b a) A = B b) A ? B c) B ? A d) % se >#ede deter&-ar e) % debe #t&&zar esta %>c&@-"

          ...

1=. Calcule el complemento aritm)tico de(

16. Calcular /a  b0 si al dividir entre se obtiene por cociente 22 y como residuo 21. a@ 11 b@ 12 c@ 13 d@ 1! e@ 9 1B. %eterminar el n

1. En una división, al residuo por e#ceso la 'altan 12 unidades para ser iual al residuo por de'ecto, a este le 'altan 21 unidades para ser iual al divisor y a este 18 unidades para ser el cociente. >Cu&nto le 'alta al cociente para ser iual al dividendo? a@ 312 b@ !86 c@ 396 d@ !!6 e@ !26 19. allar el menor nCu&ntos valores puede tomar esta cantidad? a@ 3= b@ != c@ 3 d@ !2 e@ 3B 21. Ia s#a de %s tJr&-%s de #-a #t&>&cac&@es 1997. <& e #t&>&cad%r se tr&>&ca a s#a de %s -#e%s tJr&-%s es 3845$ e

#t&>&ca-d% t&e-e a %ra . <%c%rrectas a. c es -#er% >r&% b. b ! c = 8 c. a.d es #- -#er% >r&% a) G y GG b) <%% G c) <%% GG d) GG y GGG e) G y GGG 22. H- #-a d&&s&@- >%r deect% a res&d#% e ata 8 #-&dades >ara ser Kx&% y ser&a L-&% a :#&tare 13 #-&dades. <& e c%c&e-te es 10. Ia s#a de c&ras de d&&de-d% es a) 10 b) 9 c) 13 d) 6 e) 15 23. H- #-a d&&s&@- &-exacta e >r%d#ct% de %s c%c&e-tes es 156$ s& e res&d#% >%r exces% excede e- 8 a res&d#% >%r deect% y e d&&s%r es &#a a c%c&e-te. Mae a s#a de c&ras de d&&de-d%. a) 11

b) 10

c) 9

d) 12

e) 15

24. Deter&-e e a%r de a ! bF s& 

= a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

25. H- #-a d&&s&@- e-tera a s#a de d&&de-d% d&&s%r y c%c&e-te es 984. Maar e c%c&e-te$ s& e res&d#% >%r deect% es 31 y e res&d#% >%r exces% es 21. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 21

15

26. D&&d&e-d% #- -#er% de 3 c&ras e-tre %tr% de 2 c&ras se %bt&e-e 11 y 25 c%% c%c&e-te y res&d#% res>ect&ae-te. N%a-d% e c%>ee-t% ar&tJt&c% a ab%s -er%s se es #ee a d&&d&r esta ez se %bt&e-e- 7 y 19 de c%c&e-te y res&d#%$ res>ect&ae-te. Maar a d&ere-c&a de a s#a de c&ras de d&&de-d% y d&&s%r. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 27. H res&d#% >%r exces% de #-a d&&s&@- es 37. <& e %tr% res&d#% es a tercera >arte de res&d#% Kx&%$ Oae e a%r de d&&s%r Ks e res&d#% >%r deect%. a) 55 b) 57 c) 67 d) 73 e) 78 28. A rest% de #-a d&&s&@- e ata 3 #-&dades >ara t%ar s# Kx&% a%r c%% rest%. <& e d&&de-d% se e area 309 #-&dades e c%c&e-te a#e-tara e- 6 #-&dades$ e rest% serLa -#%. I#e% e d&&s%r es a) 45 b) 55 c) 60 d) 61 e) 65

29. A d&&d&r e -#er% e-tre %tr% -er% se %bt#% 150 y 215 c%% res&d#%s >arc&aes

y 1 c%% res&d#% &-a. A d&&d&r >%r 43 se %bt#% 4 res&d#%s Kx&%s Cac#e e a%r de > ! : ! c ! d ! eF a) 43 b) 42 c) 41 d) 51 e) 39

3=. El dividendo de cierta división es menor que 8==. allar cuantos valores puede tomar el dividendo si el cociente que oriina es 1 y el residuo 22. a@ 26 b@ 28 c@  d@ 6 e@ ! 31. En una división ine#acta el residuo es 3B y el cociente es 13. Calcule el valor del dividendo sabiendo que es menor que 86= y termina en !. %ar como respuesta la suma de sus ci'ras a@ 1= b@ 11 c@ 12 d@ 13 e@ 1! 32. En una división ine#acta el dividendo est& comprendido entre 2== y 3==, el divisor es 28. +dem&s el residuo por de'ecto e#cede al residuo por e#ceso en 23 unidades. >Cu&ntos valores puede asumir el cociente? a@ 1 b@ 2 c@ 3 d@ ! e@ 8 33. +l dividir un numero L entre !3 se obtuvo un residuo iual a 3=, si L se incrementa en /V0 unidades y se vuelve a e'ectuar la división se observa que el cociente aumento en 6. Entre que limites se encuentra /V0 .


a@

• por e#ceso( +  H # G-  1@ 7

b@ ∴ $i( + 





7

N#TA: /$i un n
c@ d@ e@



SEMANA 05 DIVISII!IDAD DI0ISI7I1IDAD DE N/MER#S ;n n
+ H = -

B

"a cantidad de n
  Cant. de Ws  arte entera de(

PRIN!IPI#S #PERATI0#S

K

+dición( +( n
%onde( Entonces

+ es m
+ es divisible entre H H es divisor de + H divide a + H es sub m
N#TA!I#N  EPRESI#N "ENERA1 +  mH + es m
+

mH 

$ustracción(

E

=

=

-

Multiplicación(

P otenciación(

 ∈ +

(2 TE#REMA DE AR./IMEDES O E/!1IDES /$i un módulo divide al producto de dos enteros y no tiene divisores comunes Gaparte de la unidad@ con uno de ellos, entonces divide al otro n
H#X 5 9. + 

→ +

$i + no es m
División Entera: • por de'ecto( +  H # - 

16

•

13. H 

→ H

#%servación: $i en el producto de los dos enteros, uno de los 'actores admite divisores comunes con el módulo Gaparte de la unidad@, entonces


para poder usar el teorema, primero se deber& simpli'icar tales elementos comunes, tanto en el 'actor como en el módulo.

DI0ISI7I1IDAD A1 7IN#MI# DE NET#N Primer !aso 

ac e



 -+ r  = - + r   

=

2

3

Segun-a !aso



, si /X0 es par. %e'inición( $on ciertas relas pr&cticas que aplicadas a las ci'ras de un numeral permitir&n determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.



 -− r  =  



, si /X0 es impar.

PR#PIEDADES $i un n
!riterios -e Divisi%ili-a- entre potencias -e 3:



⇔

 ⇔ 2d  e 

⇔

$i(

= 

⇔

⇒

⇔ !c  2d  e 

!riterios -e Divisi%ili-a- entre potencias -e (2

⇔

En eneral (

⇔

⇔







⇒

!riterio -e Divisi%ili-a- entre ' ó Q

$i con respecto al módulo /n0 se cumple(

 - + a   - + b   - + c  = - + a . b . c       ara un numeral escrito en base /n0(

17

⇔ a b c d 

⇔ a b c d 

!riterio -e Divisi%ili-a- entre ** ;n numeral es divisible entre 11 si empe*ando de dereca a i*quierda, la di'erencia entre la suma de sus ci'ras de orden impar y la suma de sus ci'ras de orden par es divisible entre 11.


c@ Dc DDa DDDb e@ Dc DDb DDDa

; 

⇔ a 7 b c 7d e 

!riterio -e Divisi%ili-a- entre  ;n numeral es divisible entre B si al multiplicar cada una de sus ci'ras Ga partir de la dereca@ por 1 3 2 71 73 72 1 3 . . . . y lueo de e'ectuar, la suma alebraica resultante es divisible entre B.

2.

3. "

#

"



⇔ a 7 2b 7 3c 7 d  2e  3'   

!riterio -e Divisi%ili-a- entre *': ;n numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus ci'ras Ga partir de la dereca@ por( 1 737!713! 1737! . . y lueo e'ectuar la suma alebraica resultante, es divisible entre 13.



d@ Db DDa DDDc

2 ci'ras y la suma de ellos es

Calcule el menor valor de(

entre 3 c@ = e@ !

sabiendo que(

y %ar como respuesta /a  b  c0 a@ B b@  d@ 1=

!.

Calcule el numero de soluciones de

c@ 9 e@ 11

si(

ab  + 3ab  + 5ab  + 7ab +... = 143

⇔ 7 a  !b  3c 7 d 7 !e 7 3'   

!riterio -e Divisi%ili-a- entre '' L QQ $e descomponen el numeral de dereca a i*quierda en bloques de

Cu&l es el residuo de dividir( a@ 1 b@ 2 d@ 3

a@ 3 d@ 8 8.

o

b@ 6

c@ 9 e@ B

Carlos cuenta sus canicas de 12 en 12, de B en B y de 6 en 6 y siempre le sobran respectivamente 9, ! y 3 canicas en cada caso. Calcule la menor cantidad de canicas que Carlos pueda tener. a@ ! b@ 1 c@ 3 d@ 2 e@ B

⇔

6.

$i:

>Cu&l es el

⇔

mFnimo valor de a@ B d@ 9

PRACTICA 1.

? %ar como respuesta la suma de ci'ras( b@ 6 c@ 8 e@ 

B.

>Cu&ntos pares ordenados de n
.

Calcular /p0 si( a@ 3 d@ 

Correlacione( a@ 2== D@ %el 1 al 6== son b@ !== DD@ %el 1 al 12== son

y c@ 3==

DDD@ %el 1 al 18== son a@ Da DDb DDDc

18

b@ !

c@ 6 e@ 9

pero no b@ Db DDc DDDa


G

9.

allar el valor de /1=a0, si el n
          ... al ser dividido entre B da como resto por e#ceso a !. a@ != d@ 6=

b@ 3=

1=. >Cu&ntos n
a@ 1 d@ !

c@ 8= e@ =

son divisibles por 36? c@ 8 e@ 1=

b@ 2

c@ 3 e@ 8

19. Calcular( a – b  c, de modo que( entre B92. a@ 1 b@ 2 d@ !

sea divisible c@ 3 e@ 8

2=. Fctor usta ir al cine el n
-

, si( b@ 11

c@ 12 e@ 18

12. allar la suma de ci'ras del mayor numero que cumpla la

'orma( a@ 1= d@ 1

b@ 

13. $i( a@ 1 d@ 8

alle el valor de /#0 b@ 2

1!. $i( a@ 18 d@ 1

Calcule /#  y  *0 b@ 1B

18. Dndicar el valor de /a0 si a@ 3 b@ 6 d@ 8

16. Calcular el valor de /a  b  c0 si a@ 1B b@ 18 d@ 16

1B. $i a@ ! d@ 12

21. %e la siuiente sucesión son m
c@ 12 e@ 16

22. %r:#e -#er% es d&&s&be a) 11 b) 17 d) 43

c@ 3 e@ 

c@ 19 e@ 2=

c@ 8= e@ 82

c) 7 e) 7 y 43

23. - a#-% de a acade&a d&s>%-e de 124 s%es y desea astar t%d% s# d&-er% e- a c%>ra de c#ader-%s y >#%-es c#y%s >rec&%s s%- res>ect&ae-te 3 y 8 s%es. De c#a-tas a-eras >#ede rea&zar s# c%>ra e a#-%. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 d) 7

d@ 9 e@ B

24. H >r%d#ct% de %s 70 >r&er%s -er%s &>ares a ser d&&d&d% e-tre 4 da c%% rest% a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 0

c@ 1 e@ 19

25. A-a Cet% >%drLa aO%rrar <*. 20 d&ar&ae-te$ >er% cada ez :#e sae c%- Ad%&-a asta <*. 9 y c#a-d% sae c%- s# -%&a asta <*. 6. <& t%d%s %s dLas sae c%- #-a de eas y ya t&e-e aO%rrad% <*. 258. QC#K-t%s dLas sa&@ c% Ad%&-aR a) 20 b) 21 c) 9 d) 12 e) 24

y adem&s es m&#imo calcule /a  b0 b@  c@ 12 e@ 11

1. %etermine el residuo de dividir E entre B(

19

Cu&ntas pelFculas vio en los
26.
2

=


C%#-a A C%#-a B a!3 b!1 a) A ? B b) B ? A c) A = B d) % se >#ede deter&-ar e) % #t&&ce esta %>c&@-

=

2B. $i( Calcular( a  b  c  d a@ 6 d@ 13

b@ 1=

c@ 11 e@ 9

28. Maar e a%r de xF s&

%ado un con4unto de tres o m&s n
RE"1A PARA DETERMINAR SI /N NMER# ES PRIM# a@ E#traer la raF* cuadrada, apro#imadamente por de'ecto. b@ Enumerar los nEs 139 n
x -2 x-2 a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

SEMANA 0$ NUMEROS PRIMOS NMER# PRIM# # PRIM# A7S#1/T#: Es aqu)l n
NMER#S PRIM#S ENTRE SV D#S A D#S PESI 3 a 3< 20

a@ b@

L
c@

≠ 2$ 3$ 5$ 7$11

"ueo( divisible por 2  3  8  B y 11.

es decir, 139 no es

139 es un nEs 3B1 n
a@ b@ p  J2  3  8  B  11  13  1B  19K

c@ ero 3B1 no es primo

TE#REMA @/NDAMENTA1 DE 1A ARITMETI!A TE#REMA DE "A/SS< :odo n

Solución: !ANTIDAD DE @#RMAS DE EPRESAR /N N/MER# =N> !#M# E1 PR#D/!T# DE D#S @A!T#RES: @N<

12 3$ & 5 15 45

4 12

% 24 3$ 20 $0 1%0

1% 10 30 &0

 <& D() es >ar

F(N) =

'2 40 120 3$0

; Si D(N) es impar PR#PIEDADES .1 "a serie de los n
INDI!AD#R DE /N NMER# =N> # @/N!I#N DE E/1ER: #N< $irve para determinar cu&ntos n
EST/DI# DE 1#S DI0IS#RES DE /N NMER# $ea /L0 un n
$i( Entonces( N. 1

L 1 A

Don-e: +, H, C S _actores o divisores primos

•

S E#ponentes enteros positivos.

•

$e de'inen(

*2

!anti-a- -e -ivisores -e un nmero N

32

Suma -e los -ivisores -e un nmero N

= '2

-

.

-

.

-

...

Suma -e la inversas -e los -ivisores -e

. 1

1 B

1

. 1

...

C

PRACTICA 1. $i L  36== correlacione( D@ Lumero de divisores primos DD@ Lumero de divisores DDD@ Lumero de divisores compuestos

a@ !8 b@ ! c@ 3 d@ !1

a@ D b DD a DDD d b@ D c DD a DDD d c@ D d DD a DDD d d@ D b DD c DDD d e@ D c DD a DDD b

2. >Cu&ntos divisores tiene( a@ ! b@ 22 d@ 

? c@ ! e@ !6

un nmero N

?2

Pro-ucto -e los -ivisores -e un nmero

3. $abiendo que a@ 1 d@ !

tiene 6= divisores. allar /n0 b@ 2 c@ 3 e@ 8

N

21


!. Cu&l es el valor de /n0 si la e#presión( divisores( a@ 6 b@ 8 d@ 

8. $abiendo que allar /n0 a@ 8 d@ 2

 tiene

c) <%% e) N%das

c@ B e@ 9

 tiene 96 divisores compuestos. b@ !

GGG) a ! F es >r&% a) <%% GG b) G y GGG G d) GG y GGG

c@ 3 e@ 

11. Calcule /a0 si( , tiene B2 divisores m
12. $i el numeral

 = a . (a +1) - . (a + 9)

tiene

divisores >Cu&ntos

          

6. $i ( +dem&s L tiene 16! divisores compuestos, de las siuientes proposiciones( D@ m es primo DD@ a es primo DDD@ /a  m0 es primo a@ $olo DD b@ D y DDD c@ $olo D d@ DD y DDD e@ :odas

divisores tendr& a@ 12 d@ 812

13. 7. Cac#ar e a%r de -F$ s& e -#er% t&e-e 152 d&&s%res c%>#est%s a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

e-ter%s (e- etr%s) t&e-e- #- Krea de 128 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 9. QC#K-t%s ter&-as debe te-er e s&#&e-te >r%d#ct% >ara :#e e res#tad% sea #- -#er% :#e te-a 961 d&&s%resR

b) 4

 = a . (a +1)

−

–

c) 5 e) 7

c@ !9 d@ 286

posee !2= divisores. allar /X0 b@ 9 c@  e@ 12

a@ 1= d@ 11

8. C#a-t%s tr&K-#%s rectK-#%s de catet%s

= a) 3 d) 6

? b@ 3!3

1!. >Cu&ntos tri&nulos rect&nulos cuya &rea es de 9=m2 y cuyos catetos sean n
18. Calcule /#0 si( a@ 2 d@ 8

= b@ 3

adem&s( c@ ! e@ 6

=

16. Calcular el valor de /n0, si /0 tiene 2= divisores no primos.

a@  d@ 1=

b@ 12

c@ 11 e@ 9

. (a + 9 )

          

10. <&  AdeKs  t&e-e 164 d&&s%res c%>#est%s$ de as s&#&e-tes >r%>%s&c&%-es G)  es >r&% GG) a es >r&%

22

1B. $i( , si L tiene 282 divisores m

a@ $olo D d@ D y DD

b@ $olo DD

c@ $olo DDD e@ Linuna

24. Dad%

e

s&#&e-te

-#era

abcc3 = aa . (c − 2) . 7

       

1. $i( , L tiene 3=6 divisores que no son divisibles entre 3=. allar /m0. a@ 6 b@ B c@  d@ 9 e@ 1= 19. $i la suma de los divisores del nCu&ntos de los divisores de L terminan en tres ceros? a@ 32 d@ 2!

b@ !=

c@ ! e@ 22

2=. %ada la tabla de divisores de un numero natural( 5 5 5 a 5 5 5 1 5 5 5 b %etermine el valor de a  b a@ 66 b@ BB c@ 111 d@ 99 e@ 

21. +l allar un numero par de ! ci'ras de la 'orma , tal que L    18 ;  C  ! y sabiendo adem&s que tiene 18 divisores. Oue proposiciones son correctas( D@ El numero es divisible por 11 DD@ El residuo de la división del n&ca >%r 25 e -er% de d&&s%res a#e-ta e- 10 >er% s& es d&&de e-tre 7 s# -er% de d&&s%res d&s&-#&rK e- 4. QC#K-t%s d&&s%res t&e-e e -er%R a) 12 b) 16 c) 18 d) 10 e) 20 23. Dada a s&#&e-te taba de d&&s%res de -#er% $ deter&-e a ! b ! cF cada aster&sc% (S) re>rese-ta a #- d&&s%r. S S S S S S a S S b S S c S 315 S a) 101 b) 8 c) 96 d) 120 e) 112

23

Cac#e e a%r de a ed&a ar&tJt&ca de %s

d&&s%res de s&#&e-te -#era a) 13 b) 25 c) 39 d) 65 e) 78 25. Deter&-e

e

a%r

de

-F

>ara

:#e

te-a 28 d&&s%res :#e -% s%d&&s&bes e-tre 35. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

26. $i( tiene != divisores mEn cu&ntos sistemas de numeración !! acaba en ? a@ 11 b@ 12 c@ 1! d@ 18 e@ 16 2. $e construye la tabla de los divisores de un n
29. $i(

=

− tiene /n0 divisores  entonces la

cantidad de divisores que tiene a@ n b@ 3A2n d@ BnA8

es( c@ n  2 e@ n.n

SEMANA 0' MA(IMO COMUN DIVISOR MINIMO COMUN MU!TIP!O Preparación de primer nivel

I2 MAIM# !#M/N DI0IS#R

:M2!2D2<

$e denomina asF al mayor de los divisores comunes de 2 o m&s n
⇒

L
∴ MC% G12@  !

#%servación: 5 El n
*2*23 Descomposición !anónica: Ejemplo: $ean los n
.2. $i( + 

, se cumple que( MC% G+, H@  H .3. $i( MC% G+, H, C@  d, entonces( + d α Hd β son E$D C  d γ .!. $i( MC% G+ H@  V MC% GC E@  N Entonces( MC% G+ H C E@  MC% GV N@ .8 %ados los n
$e denomina asF al menor de los m
32* @ormas PrHcticas para -eterminar el mcm: ⇒ MC% G+H@ 

E9plicación: /$e toman los 'actores primos comunes, elevados a sus menores e#ponentes0. *2*2' Divisiones Sucesivas o Algoritmo -e Eucli-es2 !aso "eneral: Calcular el MC% de + y H donde + S H. q1 q2 q3 Cocientes + H r1 r2 MC% r1 r2 = Pesiduos Ejemplo: Calcular el MC% de( 6= y 36 1 1 2 6= 36 2! 12 MC% 2! 12 = ∴ MC% G6=36@  12 *23 Propie-a-es .1. $i( +, H y C son E$D. ⇒ MC% G+, H, C@  1

24

32*2* Descomposición SimultHnea Ejemplo: Calcular el mcm de 2= y 18. Solución: 2= 7 18 ! 8 7 18 8 1 7 3 3 1 7 1 ∴ mcm G2=18@  ! # 8 # 3  6=

32*23 Descomposición !anónica: $ean los n
⇒ mcm G AB@ 

E9plicación: /$e toman los 'actores primos comunes y no comunes, elevados a sus mayores e#ponentes0. 323 Propie-a-es: .1 $i( + y H son E$D ⇒ mcm G+ H@  +.H


PRACTICA .2 $i( +   $e cumple que( mcm G+, H@  +

.3 $i( L 

1.

2. $i( MC%G+ H@  !===== donde G n S 8@

± r

L

± r

L

± r

y alle el valor de /n0 a@ 6 d@ 9

3. Entonces( L 

+.Hm.%

%onde( α y β son E$D. Pesumen( 1. $i + y H son E$D. MC%G+  H@  1 MCMG+ H@  +.H 2. Cuando se multiplica a los n
 Hd y

son E$D

!. $i el MCM G+  H@  m

+ %onde(

c@  e@ 1=

= y

alle el valor de /a  b  c  n0 a@  b@ 9 d@ 11

c@ 1= e@ 12

4. H C de d%s -er%s es 147 y a d&ere-c&a de %s -er%s es 28. Maar a s#a de %s -er%s. a) 56 b) 70 c) 84 d) 31 e) 77 5. Maa a d&ere-c&a de d%s -er%s e-ter%s sab&e-d% :#e s# CD es 48 y :#e s# s#a es 288. a) 198 b) 120 c) 182 d) 124 e) 192 6. %-e de #- terre-% de %ra recta-#ar de d&e-s&%-es 480 y 72 y se desea sebrar L-terae-te c%Krb%es e:#&d&sta-tes a % ar% y a-cO% de terre-%$ de %d% :#e Oaya #-% e- cada Jrt&ce. QC#K-t%s Krb%es serK- -ecesar&%s s& se desea e>ear a e-%r ca-t&dad de e%sR a) 80 b) 46 c) 88 d) 84 e) 82

 H y

son E$D

8. $olo para dos n
25

$i(

b@ B

± r

III2 PR#PIEDAD @/NDAMENTA1: ara dos n
El MC% de 21=X 3==X y !2=X es 12==. allar /X0 a@ 1= b@ != c@ 2= d@ 3= e@ 38

7. - b%de#er% t&e-e barr&es de ac%O% c#yas ca>ac&dades s%- 720 850 y 360 %s c#aes s%- e-asad%s e- rec&>&e-tes Ks >e:#eT%s c%- a c%-d&c&@- :#e cada barr& #t&&ce #-a ca-t&dad exacta de rec&>&e-tes c#a es a e-%r ca-t&dad de rec&>&e-te :#e se >#ede #t&&zar. a) 150 b) 188 c) 190 d) 192 e) 193


8. Maa d%s -er%s aF y bF H#esta e ay%r de e%s. a) 15 b) 22 c) 56 d) 19 e) 24

9. Calcule el MC% de + y H

b@ 1!=

c@ 18= e@ 1=

16. El MCM de dos n
=

G1= ci'ras@

=

G12 ci'ras@ b@ !8

a@ != d@ 3!2

c@ ! e@ 3!3

1=. %etermine el MCMG+ H C@ si /p0 y /q0 son primos absolutos y di'erentes(

−

−

 y $abiendo que el MC%G+ H  C@ tiene 38 divisores.

a@

b@

c@

d@

e@

11. $i al allar el MCMG+  H@, )ste posee 88= divisores,

calcular( 3  2#, si( a@ ! d@ 18

y b@ 2

di'erencian en 23. $i el mayor de estos nCu&ntos recipientes se necesita? a@ 12 b@ 18 c@ 2! d@ 3= e@ 1= 19. +l calcular el MC% de dos n
y b@ B

c@ 11 e@ 9

12. allar el valor de /n0 sabiendo que el MCM de los n
a@ 1 d@ !

a@ 12= d@ 16=

tiene 1!= divisores. c@ 3 e@ 8

13. El MC% de dos n
2=. Calcule /a – b0 si( a@ 1 d@ !

21. $i(

= b@ 2

−

c@ 3 e@ 8

, calcule /b – a0 para que

= a@ = d@ 8

b@ 1

c@ 3 e@ 

1!. El MC% de dos n
22. El MCMGa b@  . +dem&s( de a  b, es. a@ 82 b@ ! d@ 2

18. allar dos n
23. $i( MC%G2m !m 2m  1 3m@  3m – 2=. M es un numero natural , calcule la suma de ci'ras del MCMG2m 2m  1 3m@ a@ 3 b@ B c@  d@ 8 e@ 6

26

. El valor c@ 3= e@ 8


2!. "a suma de los nOu) distancia tendr& que recorrer la locomotora para que una de las ruedas de 2B= vueltas m&s que la otra? a@ 18 92 m b@ 12 !1 m c@ 16 3!! m d@ 1B !28 m e@ 1! 8!3 m 2. +l calcular el MC% de un numeral de 21= ci'ras todas ellas ! de la base 9 y otro de 1= ci'ras todas ellas tambi)n ! de la base 9. Calcular la suma de ci'ras del MC% de dicos nCu&ntas soluciones ay para el mayor de dico nCu&ntas ca4as c
SEMANA 0% NUMEROS RACIONA!ES Y DECIMA!ES

  /'0 es 'racción ⇔ a ≠ b, a ∈ N  b ∈ N

E4emplos(

' =

→ numerador → denominador

*23 !lasi;icación -e las ;racciones +.

or la comparación de su valor respecto de la unidad. J Propia: Cuando es menor que la unidad.

 =

< 1 a < b





E4emplos(

J Impropia: Cuando es mayor que la unidad.

 =

> 1 a > b

  E4emplos(

Nota: :oda 'racción impropia se puede e#presar como una 'racción mi#ta, es decir, como una parte entera m&s una 'racción propia. H. or su denominador( J Decimal: Cuando el denominador es una potencia de 1=.

 =  b = 10  - ∈ 





E4emplo(

J

#r-inaria o comn: Cuando el denominador no es una potencia de 1=.

 =  b ≠ 10  - ∈ 





E4emplo( C. or la cantidad de divisores comunes de sus t)rminos. J Irre-ucti%le: Cuando sus t)rminos sólo poseen como divisor com
 =  a y b s%- H
D. L;MEPR$ _P+CCDRL+PDR$ $on aquellos n
 



−

*2* @racción: $on aquellos n
27





E4emplos(

J

Re-ucti%le: Cuando sus t)rminos tienen m&s de un divisor com

 =  a y b -% s%- H




E4emplos(

J

Weterog5neas: or lo menos ay un denominador di'erente a los dem&s.





323 !lasi;icación -e los nmeros -ecimales 3232* Decimal e9acto: resenta un n


2

5

E4emplos(

 oriina 2 ci'ras decimales(

.

*2' Propie-a-es:

y 1.3.1 $ean

U e-ter% → b = d

%adas las 'racciones irreductibles( cumple que(

$e

E4emplo(

E4emplos(



 =

$ $

 oriina ! ci'ras decimales(

=

=,6 = =,666...

= 1,3

7 5



 =



$ $

=

arte no entera Coma %ecimal

28

5

5

5 "a cantidad de ci'ras periódicas est& dado por el menor n
:abla de los Lueves

, arte entera

= 2,=9

= =,1=8

7

II2 N/MER#S DE!IMA1ES 32* Nmero Decimal Es una e#presión en 'orma lineal de una 'racción la cual posee una parte entera y otra parte no entera, separados por una coma(

.

12,38  12,383838Z #%servaciones: 5 Estos n
 a b c  C(a$b$ c ) C     =

C

.

32323 Decimal Ine9acto: osee in'inita cantidad de ci'ras en la parte no entera. $e presentan dos casos( A2 Perió-ico Puro: resenta el perFodo, inmediatamente despu)s de la coma decimal.

$ $ CD     =   - >  C($ -$ >)



! 2

5

 

CD

 oriina ! ci'ras decimales(

'racciones irreductibles.

+ =

1.3.2

!

5

9  32 99  32#11 999  33#3B 9999  32#11#1=1 99999  32#!1#2B1 999999  3 3#B#11#13#3B


"as siuientes 'racciones son irreductibles entonces(

ac

=, abcd = $ 5

oriina 2 ci'ras periódicas G33 est& en 99@. 2 ci'ras

$i posee parte entera(

•

$ oriina ! ci'ras periódicas G1=1 est& en 9999@ ! ci'ras 5 $i el denominador de la 'racción irreductible es el producto de varios 'actores primos di'erentes, el n
ara un decimal ine#acto periódico puro(

5


B → 6 ci'ras periódicas 11 → 2 ci'ras periódicas 1=1 → ! ci'ras periódicas

Entonces la 'racción señalada tendr&( MCM G6, 2, !@  12 ci'ras periódicas.

72

=

•

ara un decimal ine#acto periódico mi#to(

Perió-ico Mi9to: resenta el perFodo lueo de una ci'ra o rupo de ci'ras despu)s de la coma decimal. E4emplo(

=, ab #y* =

2,!38B  2,!38B8BZ. #%servaciones: "as 'racciones irreductibles que oriinan estos n
= 32? N/MER#S A0A1ES 5 +val E#acto

=, abc Gn@

= =,=8368

5

5

2

= =,298!

ara encontrar la cantidad de ci'ras periódicas y no periódicas se procede se
=, abcde Gn@ •

E4emplo( "a 'racción es irreductible(

1===

3

=, abc Gn@

32' @RA!!I#N "ENERATRIZ _racción com
•

= + 2+ 3+ !+

8

+val eriódico uro(

=

3 ci'ras no periódicas 8 ci'ras periódicas

29

=

a c Gn@

Rbservación(

=

•

a #y* − a


=,12  =,1222Z.

=

ac

=, abcd =

a c Gn@ n −1 n−1 n −1

+val eriódico Mi#to(

=, ab #y*Gn@

=

a #y*Gn@ − a Gn@ n − 1 n − 1 n − 1 ==


PRACTICA 1.

2.

3.

!.

+ = 1$707070...

%os nCu&l es la di'erencia de dicos nCon cu&ntos soles inreso al traamonedas? a@ 8== b@ 6== c@ B== d@ == e@ 1=== En una reunión las mu4eres representan los 3A8 del total de personas si 1A8 de los varones est&n casados y e#isten en dica reunión 32= varones solteros. >Cu&ntas `personas est&n en dica reunión? a@ B== b@ == c@ 9== d@ 1=== e@ 12==

8.

Encuentre una 'racción entre BA11 y 29A33, cuya distancia al primero sea el triple de la distancia al seundo. a@ A11 b@ 23A33 c@ 26A33 d@ 9A11 e@ 28A33

6.

:enemos un tanque con dos llaves, la primera lo llena en ! oras y la seunda la desaua en 6 oras. En cuento tiempo se llenara el estanque si ambas llaves empe*aron a traba4ar simult&neamente cuando el estanque estaba vació. a@ 12 oras b@ 1  c@ 2=  d@ 1=  e@ 18 

B. Cuantas 'racciones propias e#isten de t)rminos impares consecutivos, que sean menores que =,333Z a@ B b@ 6 c@ ! d@ 8 e@ 3

+

+

+

+

....

2  6  12   20   

.

alle /n0 si( a@ 1= d@ 13

=

c@ 12 e@ 1!

b@ 8

Columna H

c@ H S +

11. >Cu&ntas 'racciones propias son mayores que =,6 cuyo denominador sea 18=? a@ 8B b@ 88 c@ 82 d@ 8 e@ 89 12. allar

el

valor

de

/m0

si

a@ 8 d@ !

b@ 2

cumple(

c@ 1 e@ 3

=

13. $i( %e los valor que cumplen esta condición son correctas( /a0 es un numero primo /b y c0 son n
+ D@

2

+

+ + 3

DD@

+ DDD@ a@ D y DD d@ :odas

2

+

3

4

4

+

4

+ ... =

+ + ... = 5

+

6

+ ... =

b@ DD y DDD

c@ D y DDD e@ $olo D

18. Cuantas 'racciones propias e irreductibles poseen como

c@ ! e@ 6

c@ !== e@ 3==

= 0$1c2b5a1c2b5a1c 2b5a.... 16. $i(

Columna + 30

se

0$11.. + 0$22.. + 0$33.. =

denominador a 18==. a@ 118 b@ 32= d@ !6=

+ = 0$626262... 9. allar /#  y0 si( a@  d@ 12

a y b son enteros positivos.

a@ +  H b@ + S H d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción

4$666 ...

9 9 b@ 11

1=. $i( Compare( Columna +

compare( Columna H


− a@ +  H b@ + S H d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción

n ( Es el e#ponente Gn

c@ H S +

1B. Cuantas 'racciones impropias e irreductibles tienen como

producto de t)rminos 63= a@ 16 b@ 13 d@ 

c@ 1= e@ B

N@

Teorema @un-amental: ara que un numero sea potencia per'ecta de rado /n0 es condición necesaria y su'iciente que todos los e#ponentes primos de su descomposición canónica sean m
+ es potencia per'ecta de rado 2

G @

1. allar la suma de ci'ras del periodo que enera la H , =

370370     ...

'racción( a@ 1! d@ 31

b@ 16

+

C

c@ 1 e@ 81

C es potencia per'ecta de rado 3

G @

!riterios -e Inclusión L E9clusión -e !ua-ra-os L !u%os Per;ectos 1. $e
=a+d

19. $i( , donde las 2 'racciones son irreductibles entonces calcular el valor de( a  b  c  d a@ 11 b@ 12 c@ 13 d@ 1! e@ 18

! ! 2=. allar( a  b  c, si( a@ 3 d@ 

= 1$4636363 .....

b@ !

c@ 6 e@ 9

21. >Cu&l es la
'racción( a@ 2 d@ 

H es potencia per'ecta de rado 8 G @

Z= Z1 Z2 Z3 Z! Z8 Z6 ZB Z Z9 Conclusiones:

SEMANA 0& POTENCIACION RADICACCION

c@ 6 e@ B

Y

Potenciación( Es la representación simpli'icada de una multiplicación, donde todos los 'actores son iuales. "a potenciación consiste en multiplicar un numero por si mismo varias veces. '''     ...'  =k

Z= Z1 Z ZB Z! Z8 Z6 Z3 Z2 Z9



"os n


"os n


"os n
? b@ !

Z= Z1 Z! Z9 Z6 Z8 Z6 Z9 Z! Z1

=

los valores que cumplen esta condición son( = 1 8 y 6. 32 Por la terminación en ceros: ara un cuadrado per'ecto debe poseer una cantidad m
= =

n factores

$ea(   %onde(  ( Es una potencia per'ecta de rado /n0 - ( Es la base

31

= Preparación de primer nivel

ab000   ...  0

P( radicando n( Fndice X( raF* en)sima

=

ara un cubo per'ecto debe poseer una cantidad m
!asos Particulares RaG4 !ua-ra-a: E9acta:

=

144 12 r= 0

= =

144 = 12

ab000   ...  0

N

k

r= 0

2

N =k2

Ine9acta: Por -e;ecto

=

Por e9ceso:

150 12 144 rd = 6

'2 Por la terminación en ci;ra (: Para un cua-ra-o per;ecto

13

150 169 re =1 9

2

2

150= 12 + 6

=

=

=

N

=

rd

k

k+1

N re

2

%onde( 

15 0= 1 3 - 19

2

N = k + rd

N = (k + 1 ) - re

  Pesiduo por de'ecto X  PaF* por de'ecto Propie-a-es:

Para un cu%o per;ecto

=

 Pesiduo por e#ceso X  1  PaF* por e#ceso

=

 1 =

=

 =

=

Ra-icación: Es una operación matem&tica inversa a la potenciación, que consiste en dado dos n
+sF tenemos( %onde X, n y P +dem&s(

32

 2X

n / = . ⇔ / = kn

 2X  1

RaG4 c%ica: E9acta: 3

5

125 r = 0 25 = 5 Ine9acta: Por -e;ecto:

3

3

k N r= 0 N = k

3

Por e9ceso:

alo s enteros positivos y n S 1


3

100 64

3

4

rd =3 6 3

d@

e@

3

1 0 0 3= 4 + 3 6

10 0= 5 - 25

3

k

N

5

100 125 re =2 5 N

k+1

6. %ado L 

correlacione a@ 3

rd

re

3

D@ Cantidad de divisores

3

N = k + rd

b@ 12=

N = (k + 1 ) - re

%onde(

DD@ Cantidad de divisores DDD@ Cantidad de divisores $imples  Pesiduo por de'ecto X  PaF* c
 Pesiduo por e#ceso X  1  PaF* c
a@ Db DDd DDDa d@ Db DDa DDDc

Propie-a-es:

b@ Db DDa DDDd

B. "a raF* cuadrada de 1



residuo es a@ 8 d@ B

 3XGX  1@  1

2.

b@ 3

Cu&l es el menor n
Calcular el menor valor para que( /$0 si( a@ 9= b@ 1= d@ !8=

.

= 4

c@ !8 e@ 228

!. >Cu&ntos cuadrados per'ectos de 3 ci'ras e#isten? a@ 2B b@ 2= c@ 21 d@ 22 e@ 23 8. Encuentre la relación entre el n
a@

33

y el

b@

c@

. Calcule /a  b0 b@ 

c@ 13 e@ 12

Cu&l es el menor n
= rado !. a@ 21 d@ 3=

c@ 8 e@ 1=

. 3.

.

allar el menor n
a@ 2 d@ 6

es el doble de

 3XGX  1@

PRACTICA 1.

c@ ! d@ ! c@ Db DDd DDDc e@ Da DDd DDDc

para que sea potencia per'ecta de b@ 38

c@ 1=8 e@ 21=

9. Cu&l es el menor n

a) 7 d) 11

b) 9 e) 8

d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción

c) 6

2=. Cuantos t)rminos de la siuiente sucesión( 2!G1@ 2!G2@ 2!G3@ 2!G!@Z 2!G12==@ son potencias per'ectas de rado 2. a@ 1= b@ 12 c@ 1! d@ 13 e@ 11

13. A extraer a raLz cb&ca de #- -er% >%r deect% y exces%$ se %bt#% :#e %s res&d#%s s#a- 91. <& e res&d#% >%r deect% es e d%be de a raLz >%r exces%. Mae a s#a de c&ras de rad&ca-d%. a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 8

(2a)a(

a

21. +l e#traer la raF* cuadrada de un numero se obtuvo 82 de residuo pero si le suman 1=== unidades a dico numero, su raF* aumenta en dos y su residuo se ace m&#imo. allar la suma de ci'ras de la raF* del n
)a = K 2

1!. $i( son correctas( D@ /a0 es cubo per'ecto DD@ /X0 es numero compuesto DDD@ /X – a / es un numero capic
D@ 18. allar el valor de /a  b0 sabiendo que el numero( DD@

a@ 6 d@ 9

sea un cuadrado per'ecto. b@ B

c@  e@ 1=

DDD@

16. +l e#traer la raF* cuadrada por de'ecto y por e#ceso de un n
1. $i el numeral es cuadro per'ecto son correctas( D@ a es numero compuesto DD@ /b  0 es cubo per'ecto DDD@ a y b son enteros positivos a@ D y DD b@ D y DDD c@ DD y DDD d@ :odas e@ solo D

19. +l e#traer la raF* cuadrada de

obtiene como raF* Columna + m a@ +  H

34

por de'ecto , se

y como residuo compare( Columna H n b@ + S H c@ H S +

22. +l e#traer la raF* cuadrada de , se obtuvo 1! de resto. Con respecto de las siuientes proposiciones esGson@ correctaGs@ /a0 es un numero primo /b0 es una ci'ra sini'icativa

a@ $olo D d@ D y DD

es un numero compuesto b@ $olo DD c@ $olo DDD e@ DD y DDD

23. +l e#traer la rFas cuadrada de se obtuvo por raF* /X0 y por residuo 23. Con respecto de las siuientes proposiciones es Gson@ correctaGs@. El valor de /a0 es un numero primo El valor de /X0 es un numero primo El residuo por e#ceso es 12! a@ D y DD b@ D y DDD c@ :odas d@ DD y DDD e@ $olo DD 2!. +l e#traer la raF* cuadrada a un n
25. A extraer a raLz cb&ca de -#era se %bt#% c%% res&d#% >%r exces% 259 y >%r deect% 12. <%- c%rrectas G) bF es >ar GG) aF es #- -#er% c%>#est% GGG) cF es #- -#er% >r&% a) <%% G b) <%% GG c) G y GG d) G y GGG e) &-#-a


26. <&  = es #- c#adrad% >erect%. Cac#e e a%r de a ! bF a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

2B. $i a un numero entero se le suma 28! su raF* aumenta 8 unidades y el residuo seria !. si el residuo oriinal 'ue 8. Calcular la suma de ci'ras del n
ara nuestro estudio, se entiende como manitud a todo aquello que e#perimenta cambios o variación, el cual puede ser medido o cuanti'icado Gmanitud matem&tica@. II2 !ANTIDAD Es un estado particular de la manitud en un determinado momento del an&lisis, el cual resulta de medir Gcuanti'icar@ la variación, e#presado en ciertas unidades de medida. E4emplo( M+QLD:;% C+L:D%+% "onitud !m 28 cm . . . . . . . Masa X 1!== . . . . . . Costo 2= soles 6== soles . . L de Rbreros  12 != . . . . . . . .

2. +l e#traer la raF* cuadrada de L se obtuvo un residuo m&#imo de valor 3. $i M es el mayor cubo per'ecto pero menor que L. Calcule el valor de /L – M0 a@ 1B b@ 38 c@ !2 d@ ! e@ 86

Magnitu-es Directamente Proporcionales D2P2< %os manitudes son directamente proporcionales, cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra manitud tambi)n aumentan o disminuyen en la misma proporción. 5 Lotación( A %. 7 $e lee( /A es directamente proporcional a 70 A α 7

29. $i L  valor de /a  b0 a@ B d@ !

5

es un cuadrado per'ecto. Calcule el b@ 6

c@ 8 e@ 3

3=. ;n numero de 6 ci'ras de la 'orma se un numero cubo per'ecto y que( +  ;  "  Q  D  P  1. allar el valor de /+  D0 a@ 8 b@ 6 c@ 9 d@ 1= e@ 16

Condición(

=K

$i( A %. 7 → %onde(-  Constante de roporcionalidad. 5 Dnterpretación Qeom)trica A a3 A = K a2 B a1 1 2

B

3

7 "a r&'ica de 2 manitudes %.. es una recta que pasa por el orien de coordenadas. 7 E#ceptuando el orien de coordenadas, se veri'ica(

=

=

= ..... =

=K

7 "a 'unción de proporcionalidad directa ser&( _G#@  -V

Magnitu-es Inversamente Proporcionales I2P2< %os manitudes son inversamente proporcionales, cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra manitud disminuyen o aumentan en la misma proporción. 5 Lotación( A D.. 7 $e lee( / A es inversamente proporcional A α71 7 a 70 5

SEMANA 10 MA)NITUDES PRPORCIONA!ES I2 MA"NIT/D

5

Condición( $i( A D.. 7 →

+.H-

Dnterpretación Qeom)trica A a1 a2

35

A.B=!!

a3

Preparación de primer nivel 1 2 3

B

7 "a r&'ica de 2 manitudes D.. es una rama de ip)rbola equil&tera. 7 $e veri'ica( a1 . b1  a2 . b2  . . . . . . .  an . bn  7 "a 'unción de proporcionalidad inversa ser&(

2. A es D. a a raLz c#adrada de B$ A es G. a c#adrad% de C. <& c#a-d% A es 8 B es 16 y C es 6. Cac#e e a%r de B c#a-d% A sea 9 y C sea 4. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. H- e rK&c%$ Oaar -F s& se c#>e :#e a ! b = 84

A _G#@ 

Propie-a-es: .1@ A %.. 7 ! D.. D

≡ 7 %.. A ≡ D D.. !

Rama -e /*a

a

.2@ A %.. 7 ↔ A D.. .3@ Cuando se tienen m&s de 2 manitudes como( +, H, C y % se anali*an dos a dos, tomando a una de ellas como re'erencia para el an&lisis y manteniendo a las otras en su valor constante. 5 + %.. H GC y % constantes@ + .C. =5 + D.. C GH y % constantes@ H.%. 5 + %.. % GH y C constantes@

Aplicación en los Sistemas -e Engranajes C+$R D( Cuando est&n en contacto Genranan@( El n


GWd+@ . GWv+@  GWdH@ . GWvH@ C+$R DD( Cuando est&n unidos por un e4e com
A

Re+,a

1$

%onde( X- : L
3

0 1% n

a) 20 d) 54



b) 22 e) 72

c) 36

!. + es %. a la raF* cuadrada de H, + es D. al cuadrado de C. $i cuando + es  H es 16 y C es 6. Calcule le valor de H cuando + sea 9 y C sea !. a@ 1 b@ 2 c@ 3 d@ ! e@ 8 8. Correlacione(

D@

x.

DD@

=

x

= 1

a@

3

=  

DDD@ a@ Da DDb DDDc d@ Db DDc DDDa

=

b@

c@ b@ Db DDa DDDc

= = c@ Dc DDb DDDa e@ Dc DDa DDDb

Wv+  WvH

6. $e sabe que + es % a

"#A$%&$A 1. <& a a-&t#d  es d&rectae-te >r%>%rc&%-a a a a-&t#d . <& c#a-d%  es 20$  es 35.Cac#ar  s&  es 77. a) 55 b) 50 c) 44 d) 48 e) 52

36

*

a@ 13 d@ 39

 si cuando +  68  b@ 26

. allar /+0 cuando

c@ !8 e@ 82

B. $abiendo que + es %. a y H es %. a Calcular + cuando C  ! si cuando +  32 C  6! a@ 2! b@ 12 c@  d@ 6 e@ !


.

. Pepartir 2!= %. a 2= 3= B=. compare( Columna + Columna H Mayor di'erencia El doble de la de las partes parte intermedia a@ +  H b@ + S H c@ H S + d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción 9. $e reparte 21= D. a 8 3 y 6. allar la menor di'erencia de las partes repartidas. a@ != b@ 3= c@ 12 d@ 18 e@ 1= 1=. El consumo de una persona es proporcional a su sueldo. El resto lo aorra, si su sueldo es 86= y aorra B=. $i se le incrementa el sueldo, consume 91=. >Cu&nto es el aumento? a@ !8= b@ != c@ !9= d@ 86= e@ 8== 11. $e sabe que la manitud + es D. a la manitud H. allar el valor de + sabiendo que si disminuye en 36 unidades el valor de H varia un cuarto de su valor. a@ 2! b@ 36 c@ 1= d@ 16= e@ ! 12. ;na rueda + de 2= dientes esta enranada con otra rueda H de B8 dientes. _i4a al e4e H, ay otra rueda C de 38 dientes que enrana con otra rueda % de 2= dientes. $i + da 6=PM. >Cu&ntas PM da la rueda %? a@ 2! b@ 2 c@ 36 d@ 6= e@ 21 13. $e tiene dos manitudes M y L que uardan cierta relación de proporcionalidad de acuerdo al cuado M 36 16 9 y L 2 # ! 6 Columna + Columna H # y a@ +  H b@ + S H d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción

c@ H S +

1!. Pepartir 82= %. a  y . %ar como respuesta la mayor de las partes. a@ 2== b@ 1= c@ 1!= d@ !== e@ 18= 18. $e a notado que el precio de un artFculo es %. a su precio de costo e D. al n+ qu) precio se vender& un artFculo que a costado 2= soles cada uno si se vender& 28== unidades? a@ 2! b@ 3= c@ 32 d@ != e@ !2 37

16. $e eval
a@

b@

c@

d@

e@

1B. $e desea repartir una cantidad proporcionalmente a 2 ! y 8 pero se decidió acerlo en 'orma proporcional a los nCu&nto para por la pared m&s rande? a@ B1=== b@ 2==== c@ 6==== d@ 318== e@ 28=== 19. Pepartir 1331= en tres partes( %. a 2 1 y 3 D. a 8 3 y 2 %. a 3 ! y 1. %ar como respuesta la menor de las partes. a@ 396= b@ 3!!= c@ !98= d@ !!1= e@ 66== 2=. $ean + y H dos manitudes que uardan cierta relación de proporcionalidad. + 18 28 8 y 1= m H # 1== ! 1!! * 6! Compare( Columna + Columna H my #* a@ +  H b@ + S H c@ H S + d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción 21. "as manitudes + y H uardan cierta relación de proporcionalidad. + m 12 18 21 3 H 2= = 128 2!8 L %e las siuientes proposiciones son correctas D@ m es un numero primo DD@ n es numero compuesto DDD@ /m – n0 es numero simple. a@ $olo DDD b@ $olo DD c@ $olo D d@ $olo D y DDD d@ DD y DDD

22. +l repartir 11B6!9 en partes %. a n   al mayor de corresponde 3!3 respecto del valor de /n0 son correctas( D@ Es un numero compuesto


DD@ DDD@ a@ $olo D d@ D y DD

Es E$D con 1= Es un numero cubo per'ecto b@ $olo DD c@ $olo DDD e@ D y DDD

23. ;n empresario 'orma una compañFa y cada 3 meses incorporo un socio con iual capital que al suyo, asta incorporar 1= socios. %espu)s de alunos meses se repartieron las utilidades +l empresario y al
8= 2= 2=  8 2 b@ 22

1= 16 #

3= y 3 c@ 2! e@ 2

G=

..

G=

 : en dFas

Monto en inter5s compuesto: Es cuando los intereses se acumulan al capital cuyo proceso se denomina capitali*ación

= %onde( n ( numero de periodos de capitali*ación r[ ( tasa porcentual en unidades que indique la capitali*ación c ( Capital de pr)stamo

#%servaciones( +ño comercial( 36= dFas Mes comercial( 3= dFas "a tasa de porcenta4e de intereses simple siempre debe estar en porcenta4es anuales, de no ser asF se trans'orma. r[ diario

x

r[ bimestral

3

3

1

1

2

3

C

!





!

m

n

Calcular( m  n b@ 6=

c@ 26 e@ !8

 : en meses

..

G=

r[ mensual

H

..

 : en años

r[ quincenal

26. +, H y C son manitudes que cumplen cierta relación de proporcionalidad se
a@ != d@ !!

c ( Capital r ( :asa o porcenta4e de inter)s G$imple en unidades anuales@ t ( :iempo Gaños, meses, dFas@ D ( Dnter)s

r[ trimestral

36=r[ anual x

2!r[ anual

x

12r[ anual

x

6r[ anual

x x

r[ cuatrimestral r[ semestral

!r[ anual

x

3r[ 2r[ anual

Monto M<: Es la suma del capital con los intereses producidos. M&!KI

"#A$%&$A

SEMANA 11 RE)!A DE INTERES Inter5s( Es la anancia o bene'icio que se obtiene por el pr)stamo de una determina cantidad de dinero llamado capital, en un determinado tiempo ba4o ciertas condiciones de pr)stamo. Inter5s Simple: $e llama asF cuando el capital permanece constante a trav)s del tiempo. _ormulas para el inter)s simple( 38

1. %ada las siuientes proposiciones( D@ Cuando el capital permanece constante se trata de un inter)s simple DD@ Cuando los intereses se acumulan al capital se trata del inter)s compuesto DDD@ El monto es iual al capital mas el inter)s a@ $olo D b@ $olo DD c@ $olo DDD d@ D y DD e@ DD y DDD 2. Oue inter)s produce un capital de == soles impuestos por tres años al 2[ trimestral.


a@ 1== d@ 12!

b@ 192

c@ 6! e@ 286

3. $e deposita un capital de 32= soles por un año tres meses al [ bimestral. Calcule el monto que se obtendr&. a@ 192 b@ 812 c@ !== d@ 36= e@ != !. >+ qu) tasa de inter)s trimestral se a impuesto un capital, que en 6 años 3 meses produce un inter)s que es el 6=[ del monto? a@ 6[ b@ B[ c@ [ d@ 9[ e@ 1=[ 8. + que tanto por ciento anual estuvo un capital de $A. 12== para que oriine un bene'icio de $A.2!= en 1= meses. a@ 1= b@ 21 c@ 2! d@ 26 e@ 2= 6. El inter)s de un capital impuesto al 2[ trimestral es el =[ de dico capital. allar el tiempo en años a@ 2= b@ 18 c@  d@ 12 e@ 1= B. uan impone los 2A9 de un capital al ![, y el resto al 8[, obteniendo un inter)s anual total de $A 6==. allar la mayor de las partes. a@ 18= === b@ 1B= === c@ 1!= === d@ 132 === e@ 1! === . ;na persona impone su capital de la siuiente manera( 2A8 al 3=[, su tercera parte al 38[ y el resto al !=[, obteniendo asF de anancia ! 12= anuales. Calcule el capital. a@  === b@ 1 1== c@ 9 6== d@ 12 === e@ 12 6== 9. $i el 3=[ de un capital se coloca en un banco que paa el 2[ mensual y el resto se coloca en otro banco que paa un 3=[ de inter)s. Calcule dico capital si los intereses producidos por las dos partes lueo de un ano y medio es de !6. a@ 1 8== b@ 2 === c@ 3 === d@ 2 8== e@ 2 == 1=. %urante cu&nto tiempo estuvo depositado un capital al 8[ de inter)s anal, si los intereses producidos alcan*ar el 6=[ del valor del capital. a@ 1= años b@ B c@ 18 d@ 12 e@  11. %os capitales que est&n en la relación de ! es a B, se coloca el primero al 38[, y el seundo a una cierta tasa que se pide calcular, sabiendo que despu)s de un tiempo, el inter)s del seundo es el triple del primero. a@ 36[ b@ !=[ c@ 8=[ d@ 6=[ e@ B=[

39

12. + qu) porcenta4e debe ser colocado un capital para que en 3 años ! meses produ*ca un inter)s equivalente a los 2A8 del monto. a@ 2=[ b@ 1= c@ 18 d@ 28 e@ 3= 13. El monto obtenido al depositar un capital por B meses es 1B== y en 11 meses es 21==. Calcule la tasa de inter)s en unidades mensuales. a@ 1= b@ 12 c@ 12= d@ 18 e@ 11 1!. Cierto capital, es un tiempo de imposición de 8 meses se convierte en 2 !8= y a 13 meses se convertir& en 3 =1=. Calcule la tasa de inter)s al cual 'ue impuesto. a@ 2=[ b@ 28[ c@ 3=[ d@ !=[ e@ ![ 18. $e deposita 3== soles a una tasa del 2=[ capitali*able semestralmente durante un año y medio. >Calcule le inter)s obtenido? a@ 399,3 b@ 99,3 c@ 9= d@ =,3 e@ 9=,3 16. :res capitales impuestos por separado al 12,8[ semestral ![ bimestral y 8[ trimestral eneran la misma renta. allar el mayor capital, sabiendo que el menor de los montos producidos en un año es 3==. a@ 2== b@ 3== c@ 32= d@ 3!= e@ 38= 1B. ;n capital /C0 se presto al 8[ mensual de inter)s simple y despu)s de 1= meses produ4o un monto de 12=== soles, si el inter)s anado se vuelve a prestar a la misma tasa. Cuantos meses debe de transcurrir para que produ*ca un monto iual al capital /C0. a@ 2= b@ 18 c@ 28 d@ 2! e@ 1 1. ;n capital se divide en dos partes los !AB de dico capital se impone al 2[ semestral y el resto al 8[, si el inter)s total por cada año es 31==. allar el valor del capital. a@ != === b@ 3= === c@ 1= === d@ 18 === e@ B= === 19. $e deposita un capital al 1=[ semestral capitali*able anualmente durante 2 años. Calcule dico capital si enero una utilidad de 22==. a@ 8=== b@ 28== c@ 6=== d@ B2== e@ B=== 2=. ;n capital es invertido a un tasa de 1=[ semestral capitali*able anualmente durante dos años. $i el inter)s obtenido se coloca a la misma tasa de la inversión anterior, pero aora a inter)s simple durante 1= años. >Cu&nto retira al 'inal de este periodo si el capital inicial es 8===? a@ 88== b@ 66== c@ 6== d@ B=== e@ B1==


21. %os capitales est&n en la relación de 8 a . El primer capital se coloca al 28 por B8 durante  meses y el seundo al 2= por 6= durante 2= meses, obteni)ndose de esta manera un monto total de 3 8==. >+ cuando asciende el capital total? a@ 6B 3== b@ !2 B8= c@ 8 8== d@ 63 !3= e@ B6 82B 22. $ebasti&n coloca en un banco cierta cantidad de dinero si el banco paa una tasa del 2[ mensual y cobra por el mantenimiento de la cuenta un caro 'i4o de 12 soles mensuales. Calcule la cantidad de dinero depositado por $ebasti&n, si lueo de  meses cancela la cuenta por lo que el banco le da 2 22! soles. a@ 1 8== soles b@ 1 == c@ 1 68= d@ 2 === e@ 1 B8= 23. enry deposita 6 28= a una entidad 'inanciera durante un año y cuatro meses a una tasa del r[ anual, capitali*able cuatrimestralmente, si al 'inal retiro 12 96=. Calcule /r0 a@ 8= b@ 6= c@ B= d@ = e@ 8

..

D =

( : en dFas

32Y Descuento Racional MatemHtico ó Interno: Es el inter)s que se produce el valor actual de una letra, desde el dFa que se ace el descuento asta la 'eca de su vencimiento.

Dr =

_ormulas( ( : en años ero en la mayorFa de problemas no te dan el valor del valor actual, pero si el valor nominal

Dr =

.. ( : en años

..

DES!/ENT#

Dr =

1etra -e cam%io: Es un documento comercial mediante el cual una persona llamada deudor se compromete a paar a otra persona llamada acreedor en un determinado tiempo ba4o ciertas condiciones.

Dr =

Descuento: Es el bene'icio que consiue el deudor ante el acreedor por paar la letra de cambio antes de la 'eca de vencimiento.

( : en meses

.. ( : en dFas

+dem&s( 1. %c S %r

0alor Nominal 0n<: $e llama a si a la cantidad de dinero que 'iura escrita en la letra de cambio

2. ac  ar

0alor Actual 0a<: Es la cantidad de dinero que se paa al acer e'ectiva una letra de cambio en un tiempo anterior a su vencimiento. E$ decir el valor actual es la di'erencia del valor nominal y el descuento.

3. a  n – %

!lases -e -escuento(

!. n 

*2Y Descuento comercial A%usivo ó E9terno( Es el inter)s que se produce el valor nominal de una letra, desde el dFa que se ace el descuento asta la 'eca de su vencimiento. _ormulas(

Dc =

..

.. ( : en meses

40

.

..

8. %c – %r 

 : en años

"#A$%&$A ( : en años

Dc =

..

1. %e las siuientes proposiciones son correctas( D@ El descuento es el bene'icio que lora el acreedor por paar antes de la 'eca de vencimiento. DD@ El valor actual es la suma del valor nominal y el descuento


DDD@

El monto es iual a la suma del capital m&s el inter)s. a@ $olo D b@ $olo DD c@ $olo DDD d@ D y DDD e@ DD y DDD 2. allar el descuento comercial de una letra de !== soles si se cancela 2= dFas antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 1[ a@ 1 b@ 2 c@ 3 d@ ! e@ 8 3. El valor actual de una letra es 2= si 'ue paada 3= dFas antes de la 'eca de vencimiento con una tasa de descuento del 2=[ trimestral. Pespecto de las siuientes proposiciones son correctas( D@ El valor nominal es 31= DD@ El descuento es 2= DDD@ $i solo 'altarFa 18 dFas para la 'eca de vencimiento el descuento seria de 18 soles. a@ $olo D b@ $olo DD c@ $olo DDD d@ D y DD e@ DD y DDD !. allar el descuento racional de una letra de 3=== soles que 'ue paada ! años antes de la 'eca de vencimiento con un tas de descuento de 2,8[ semestral a@ 3== b@ 38= c@ !== d@ !8= e@ 8== 8. >Cu&nto se recibir& por una letra de $A.28=== si a sido descontada racionalmente 28 meses antes de su vencimiento al 2[ anual? a@ 1=== b@ 2!=== c@ 23=== d@ 22=== e@ 21===

1=. El producto de los descuentos de una misma letra es != si la di'erencia de los descuentos es 3. allar el valor actual racional. a@ 12= b@ 96 c@ 11= d@ 1== e@ 1!= 11. "a suma de los valores nominales de dos letras es 16== y se a recibido por ambas 1686= descontadas al 3[ semestral. "a primera por dos meses y la seunda por tres meses, compare( Columna + Columna H $uma de ci'ras del total $uma de ci'ras del valor de descuento nominal descontada por 2 meses a@ + S H b@ H S + c@ +  H d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción  12. ;na letra que, descontada por ! meses al 8[ da una di'erencia de $A.2 en los descuentos. Columna + Columna H alor nominal B8== a@ + S H b@ H S + c@ +  H d@ Lo se puede determinar e@ Lo debe utili*ar esta opción 13. _alta /t0 meses para el vencimiento de una letra y la proporción del %r al n es de 1 a 8. alle la proporción del %r al %c. a@ 8 a ! b@ 3 a ! c@ ! a 3 d@ ! a 8 e@ ! a B

6. >Cu&l es el descuento que se debe acer a una letra de $A. !== si se descuenta al 8[ 'altando  meses para que ven*a? a@ 1== b@ 16= c@ 1!= d@ 13= e@ 12=

1!. El valor nominal, el valor actual comercial, el descuento comercial y el descuento racional de una misma letra suman BB82 soles. allar el valor actual racional de esta letra sabiendo que los descuentos est&n en la relación de  es a 9. a@ 366= b@ 32!= c@ 328! d@ 326= e@ 222=

B. >Cu&l es el descuento que se debe acer a una letra de $A. B2== al 8[ cuatrimestral si 'altan 18 dFas para que ven*a?. a@ 36= b@ 2B= c@ 2B d@ 36 e@ 2=

18. $i el valor nominal de una letra es de 336== y su descuento comercial es de 86== soles. allar el valor actual racional. a@ 2=== b@ 26=== c@ 26== d@ 22== e@ 2==

. ara una letra se cumple que el descuento comercial es al descuento racional como ! es 3 y la suma del valor nominal con el valor actual racional es 63==. allar el valor actual comercial. a@ 2B== b@ 2!== c@ 36== d@ 1== e@ 32==

16. "a tasa de descuento de una letra es [. $i el descuento racional es =[ del descuento comercial >Cu&l es el tiempo que 'alta para que ven*a la letra? a@ 3años 1mes b@ 3años 1 mes 18 dFas c@ 3 años 2 meses d@ 3 años e@ 3 años 3 meses

9. "a di'erencia entre los descuentos de una letra es 1= soles, si 'altan 2= meses para su vencimiento y la tasa de descuento es 3[ trimestral. allar el valor de la letra a@ 2== b@ 28= c@ 3== d@ !8= e@ 8==

1B. El %c y %r de una letra de cambio que vence dentro de 1= meses est&n en la relación de 2 a 3. $i dentro de 6 meses el descuento ser& 12==, calcule el valor nominal de la letra. a@ 3=== b@ !=== c@ 8=== d@ 6=== e@ B===

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Boletin 01 Semestral II A

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