BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO Uno de los ejes fundamentales del proyecto SABER HACER es elapoyo al profesorado. Sabemos que, en la actualidad, la docencia es cada vez más compleja. Asistimos a la aparición de nuevos objetivos educativos y de nuevos enfoques y metodologías, al tiempo que cada docente se enfrenta a una diversidad cada vez mayor dentro de las aulas (diversidad de estilos de aprendizaje y de niveles de los alumnos, diversidad de culturas…) y a la aparición de nuevos problemas emergentes. Para acompañar al profesor en esta situación tan compleja el proyecto SABER HACER proporciona una completa Biblioteca del Profesorado. En ella se recogen cientos de recursos que permitirán a cada profesor seleccionar aquellos que mejor se adecúan a su estilo de enseñanza-aprendizaje, a su forma de evaluar y a los requerimientos que le plantean las características concretas de su alumnado y de su centro educativo. En definitiva, es un espacio fundamental para la personalización de la enseñanza. En la ESO, la Biblioteca del Profesorado se divide en cinco volúmenes: •

•

•

•

•

Día a día en el aula Recoge los recursos destinados a apoyar al profesor en sus presentaciones y en sus necesidades más cotidianas: fichas de atención a la diversidad y evaluación. Competencias para el siglo XXI. Proyectos de área Un conjunto de proyectos especiales para el área, que favorecerán que el alumno desarrolle las habilidades que necesitan los ciudadanos del mundo en que vivimos. Competencias para el siglo XXI. Proyectos interdisciplinares Proyectos que le permitirán realizar dinámicas transversales, en coordinación con otros departamentos. Solucionario Recoge la resolución de todas las actividades incluidas en el libro del alumno. Tutoría Recursos para facilitar esta importante labor.

Además, el proyecto SABER HACER proporciona un modelo de Programación Didáctica de Aula (PDA) y de rúbricas de evaluación, en formato digital, Word modificable.

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Componentes de 1.º a 4.º ESO E1S.ºO Recursos didácticos

Recursos didácticos

• Esquema de la unidad


• Curiosidades matemáticas


• Notación matemática


• Estrategias de resolución de problemas


• Proyecto matemático • Matemáticas con ordenador

• Proyecto matemático • Matemáticas con ordenador

• Resumen de la unidad

• Resumen de la unidad

Enseñanza individualizada


• Fichas de repaso y apoyo


• Fichas de profundización


• Autoevaluación

• Autoevaluación

Recursos para la evaluación


• Pruebas de evaluación de contenidos


• Pruebas de evaluación por competencias


• Estándares de aprendizaje y soluciones


Solucionario

Resolución detallada de todas las actividades propuestas en el libro de texto


Competencias para el siglo XXI

Literatura y matemáticas


Desarrollo de la competencia matemática


Competencias para el siglo XXI

Proyectos de trabajo cooperativo


• Magos

• Detectives

• Arqueólogos

• Viajeros

Proyectos interdisciplinares

• Héroes

• Inventores

Proyecto social

Proyecto social

Inteligencia emocional y ética


La prensa en el aula


22 sesiones

22 sesiones

Agenda del tutor

Agenda del tutor

Día a día en el aula

Proyectos de área

Tutoría

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E2S.ºO

A continuación les presentamos una muestra de la PDA y el Solucionario correspondientes a la asignatura de Matemáticas 4.º ESO. Pueden consultar las Bibliotecas de otros cursos en: http://www.e-vocacion.es/

3.º ESOAPLICADAS

3.º ESOACADÉMICAS

4.º ESOAPLICADAS

4.º ESOACADÉMICAS













• Proyecto matemático

Recursos para la evaluación • Pruebas de evaluación de contenidos

• Curiosidades matemáticas • Estrategias de resolución de problemas • Proyecto matemático • Matemáticas con ordenador • Resumen de la unidad





• Autoevaluación


• Proyecto matemático

Recursos para la evaluación • Pruebas de evaluación de contenidos

• Curiosidades matemáticas • Estrategias de resolución de problemas • Proyecto matemático • Matemáticas con ordenador • Resumen de la unidad





• Autoevaluación


























• Comemos

• Comemos

• Implícate

• Implícate

• Percibimos

• Percibimos

• Navega

• Navega

• Proyectamos

• Proyectamos

• Sueña

• Sueña

Proyecto social

Proyecto social

Proyecto social

Proyecto social









22 sesiones

22 sesiones

22 sesiones

22 sesiones

Agenda del tutor

Agenda del tutor

Agenda del tutor

Agenda del tutor

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Programación Didáctica de Aula (PDA)

Presentación

El modelo de Programación Didáctica de Aula de Santillana El presente documento ofrece un ejemplo del modelo de Programación Didáctica de Aula (PDA) de Santillana para el área de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas de 4.º de ESO. La programación pretende ser una herramienta que facilite a los profesores las siguientes tareas: • •

Planificar su trabajo de forma eficaz. Reflexionar sobre el proceso de aprendizaje de los alumnos.

•

Establecer pautas claras para la evaluación.

En relación con la PDA se ha desarrollado un riguroso sistema de rúbricas para la evaluación. El conjunto de materiales compuesto por las programaciones didácticas de aula y las rúbricas para la evaluación constituye un apoyo muy valioso para orientar el trabajo docente y facilitar su aplicación en el aula. La Programación Didáctica de Aula que recoge este documento está elaborada sobre el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre de 2014, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.

Las competencias educativas del currículo ‹‹En línea con la Recomendación 2006/962/EC, del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2006, sobre las competencias clave para el aprendizaje permanente, este real decreto se basa en la potenciación del aprendizaje por competencias, integradas en los elementos curriculares para propiciar una renovación en la práctica docente y en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Se proponen nuevos enfoques en el aprendizaje y evaluación, que han de suponer un importante cambio en las tareas que han de resolver los alumnos y planteamientos metodológicos innovadores. La competencia supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz. Se contemplan, pues, como conocimiento en la práctica, un conocimiento adquirido a través de la participación activa en prácticas sociales que, como tales, se pueden desarrollar tanto en el contexto educativo formal, a través del currículo, como en los contextos educativos no formales e informales››. ‹‹Se adopta la denominación de las competencias clave definidas por la Unión Europea. Se considera que “las competencias clave son aquellas que todas las personas precisan para su realización y desarrollo personal, así como para la ciudadanía activa, la inclusión social y el empleo”. Se identifican siete competencias clave esenciales para el bienestar de las sociedades europeas, el crecimiento económico y la innovación, y se describen los conocimientos, las capacidades y las actitudes esenciales vinculadas a cada una de ellas››. Las competencias clave del currículo son las siguientes: •

Comunicación lingüística (CL).

•

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT).

•

Competencia digital (CD).

•

Aprender a aprender (AA).

•

Competencias sociales y cívicas (SC).

•

Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (IE).

•

Conciencia y expresiones culturales (CEC).

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESOMaterial fotocopiable ©Santillana Educación, S . L.

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Objetivos curriculares de la Educación Secundaria a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos y la igualdad de trato y de oportunidades entre mujeres y hombres, como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática. b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar la discriminación de las personas por razón de sexo o por cualquier otra condición o circunstancia personal o social. Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres, así como cualquier manifestación de violencia contra la mujer. d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos. e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación. f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia. g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades. h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma, textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura. i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada. j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural. k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación física y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora. l) Apreciar la creación artísti ca y comprender el lengua je de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.

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BIBLIOTECA DEL PROFESORADO MATEMÁTICAS 4.° ESOMaterial fotocopiable ©Santillana Educación, S.L.

El área de Matemáticas Orientadas a las Enseñanza Académicas

La competencia matemática, reconocida como clave por la Unión Europea, se desarrolla especialmente gracias a la contribución de la asignatura de Matemáticas. Esta competencia se entiende como habilidad para desarrollar y aplicar el razonamiento matemático con el fin de resolver problemas diversos en situaciones cotidianas; en concreto, engloba los siguientes aspectos y facetas: pensar, modelar y razonar de forma matemática, plantear y resolver problemas, representar entidades matemáticas, utilizar los símbolos matemáticos, comunicarse con las Matemáticas y sobre las Matemáticas, y utilizar ayudas y herramientas tecnológicas. Por otro lado, el pensamiento matemático ayuda a la adquisición del resto de competencias y contribuye a la formación intelectual del alumnado, lo que permitirá que se desenvuelva mejor tanto en el ámbito personal como social. La resolución de problemas y los proyectos de investigación constituyen los ejes fundamentales en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Una de las capacidades esenciales que se desarrollan con la actividad matemática es la habilidad de formular, plantear, interpretar y resolver problemas, ya que permite a las personas emplear los procesos cognitivos para abordar y resolver situaciones interdisciplinares en contextos reales, lo que resulta de máximo interés para el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico. En este proceso de resolución e investigación están involucradas muchas otras competencias, además de la matemática, entre otras la comunicación lingüística, al leer de forma comprensiva los enunciados y comunicar los resultados obtenidos; el sentido de iniciativa y emprendimiento al establecer un plan de trabajo en revisión y modificación continua en la medida que se va resolviendo el problema; la competencia digital, al tratar de forma adecuada la información y, en su caso, servir de apoyo a la resolución del problema y comprobación de la solución; o la competencia social y cívica, al implicar una actitud abierta ante diferentes soluciones. El alumnado que curse esta asignatura profundizará en el desarrollo de las habilidades de pensamiento matemático; concretamente en la capacidad de analizar e investigar, interpretar y comunicar matemáticamente diversos fenómenos y problemas en distintos contextos, así como de proporcionar soluciones prácticas a los mismos; también debe valorar las posibilidades de aplicación práctica del conocimiento matemático tanto para el enriquecimiento personal como para la valoración de su papel en el progreso de la humanidad. Es importante que en el desarrollo del currículo de esta asignatura los conocimientos, las competencias y los valores estén integrados, por lo que los estándares de aprendizaje evaluables se han formulado teniendo en cuenta la imprescindible relación entre dichos elementos. Todo ello justifica que se haya organizado en torno a los siguientes bloques para los cursos de 3.º y 4.º de ESO, fortaleciendo tanto los aspectos teóricos como las aplicaciones prácticas en contextos reales de los mismos: Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas, Números y álgebra, Geometría, Funciones y Estadística y probabilidad. El bloque de “Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas” es común a los dos cursos y debe desarrollarse de modo transversal y simultáneamente al resto de bloques, constituyendo el hilo conductor de la asignatura; se articula sobre procesos básicos e imprescindibles en el quehacer matemático: la resolución de problemas, proyectos de investigación matemática, la modelización, las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo científico ymatematización la utilización dey medios tecnológicos. Los bloques de contenido que articulan el área son los siguientes: • Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas. • Bloque 2. Números y álgebra. • Bloque 3. Geometría. • Bloque 4. Funciones. • Bloque 5. Estadística y probabilidad.


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l e r ta e r rp e t n i e s o r e m ú n e d s o p it s o t itn s i d s lo r e c o n o C

S E R A L U C I R R U C N IÓ C A U L A V E E D

a lg e d o d a c i . fi 1 - n 2 ig B s

S O I R E T I R C

D A D I N U A L E D S O D I N E T N O C S O D I N E T N O C

A P A T E A L E D S E R A L U C I R R U C S O ID N E T N O C

:d s a itc s rí e t c a r a c

. s e l a n io c a r ir e s e l a n io c ra s ro e m ú N

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Y S O R E M Ú N . 2 E U Q O L B

tc a e r la n e s o l a v r te n I

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l. a e r a t c e r la n e s ro e

ú m n e d o t n e i m i c o n o c e R

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n e s d o e r u e p m o ú n N e .n u ó q i c s c ro a e fr d e a rm fo n e e rs a s re p x e

s o d a e n r io a c m l r a e o f r s s n a a tr m ,r le e b g o r o p c r re e v l ra o a s p e , r s y e n d ó a ic d a ie p rm

rp o s u s n o . c 2 t - o 2 n j B u

. ra e t é c t e

. s le a e r s o r e m ú n e d s e r o r e y s e n o i c a m i x ro p A

A R B E G L Á

, s e n o i c ra e p o y s ro e m ú n e d s o itp s to n it is d o ls r a z il ti U

, d a d i im x o r s p á , m d u s ti e n d if a n d i, e i d p a i ro rd p a s p u , s d e a d id l s ib i a s n i u v i



. s o l a rv te n I

. o ic m é d a c a o it b m á l e d s a ri e t a m s rta o y ria ia d a d i v la n o c

y io r a n io c c ra f o ro e t n e e t n e n o p x e e d s ia c n e t o P 

s le a n io c ra ir , s le a n o i c a r s o r e m ú n s o l e d n ió c a ifc ti n e d I

s ro e m ú n s o l e d a t c e r

. s e l a re y

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. s o lli c n e s s le a c i d ra

. s e l a e r y s e la a l n n e o i n c ó i rra c i ta ,s n e e l s a e r n i p o e c R a r 

n e s e l a re s ro e m ú n s o l e d o s u y n ó i c a t e r rp te n I 

y n ió c a t o n la o d n ie g lie s o t x e t n o c s te n re fe i d

. o s a c a d a c n e s a d a u c e d a n ió c a im x ro p a

. s e l a e r s o r e m ú n e d s e n io c a

e d s o itv a l re y s o t lu o s b a

im x ro p a e d n ó i c n te b O

s re o rr e e d n ió c n e t b O



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s e n o i c a r e p O .l a n io c ra e t n e n o p x e e d s a i c n e t o P 

. s e d a d e i p ro p y

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y s o l a v r te n i e d n ió c a t n e s re p e r y n ió c p ri c s e D

. s a t c e r ir m e s

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. s e o in c a r e p o e d a í u q r ra e J

y le p im s s é r e t In . s je a t n e rc o p n .o o t c s e o l u u p c l m á o C c

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. s o d a n e d a c n e s e j ta n e c r o p y s e jt a n e rc o p e d lo u c l á C 

y s le p m i s s e s e r te n i e

n e s a c ti á m te a m s a l e d ia c n a tr

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o p im a l e d n ó i c ra o l a V

. s o t s e u p m o c

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. a n a i d ti o c a id v la e d s a m le b o r p e d n ó i c u l o s la



13

S IA C N E T E P M O C S E D A ) D I (* V I T C A

S A IC T Á M E T A M N E S E D U IT T C A Y S O D O T É M , S O S E C O R P . 1 E U Q O L B

14

O R G O L E D S E R O D A IC D IN

E J A Z ID N E R P A E D S E R A D N Á T S E

N IÓ C A U L A V E E D S IO R E IT R C

S E R A L U IC R R U C

T C M C

L C

. 7 1 . g á P

e n a d a e t n a l p n ió c a u it s

a l e d n re p m o C

y r e c a h r e b a S

. 0 3 a 7 2 . s t c a

y s a m e l b ro p s lo e d o d ia c n u n e l e

e l e s e u q s a t n u g e r p s la a e d n o p s re

. 6 3

. 9 1 . g á P

s to a d y s ro e m ú n o d n a le p m e , n a l u rm o f

A A

y 5 3 . s t c A

í. s re t n e s o d a n o i c a l re

. 8 2 1 .t c A . 6 2 . g á P

. 4 3 1 .t c A . 7 2 . g á P

n ó i c a u it s la e d n re p m o c y a c if ti n e d I

a d i v a l e d s to x e t n o c n e a d a te n la p





l e d , s o t o t x l a e e (d tn o e s c d a , n s o re m l ta p e d m b o o r s c p o y s l a o l rte z li e n a d e n o s A d e . ia n 1 . c o i n c -2 u a 1 n l B e re

). a m e l b ro p

s le b ti p e c s u s s ,d e a n d io il c a a e r u it s la a e c i d ift s n a e itc Id á . m 1 . e l -6 b 1 ro B p

, s a m e l b ro p e d

. s a id n e t b o s

to n ie m a n o z ra e d s o s e c ro p r a z i itl U

n ó i c lu o s e r e d s ia g e t . a rt -2 s 1 e B y

y s io r a s e c e n s lo u lc á c s lo o d n a z il a re

e n o i c lu o s s a l o d n a b ro p m o c

la e d s o s x o te s t e n c o o r c p n r e lla n ió ro r c a a z s it e a D . m e -6 t 1 a B m e d

T C M C

A A

. 8 2 1 t. c A . 6 2 . g á P

. 4 3 1 .t c A . 7 2 . g á P

la o rr a s e d s o ll e e d ri tr a p a y a n ia d it o c

T C M C

. 8 7 .t c A . 2 2 . g á P

ra a p o d i u g e s o s e c o r p l e a c i itf s u J

. s o c ti á m e t a m s o s e c ro p

, s o ric é m u (n a n ia d it o c d a d il a re

o s o c it s í d a t s ,s e le a n o i c n fu , s o c rti é m o e g

la e d ri tr a p a ) s o c it s íl i b a b ro p

. d a d li a e r a n l e e d s s a m a c e l it b á o r m p e l e b d o r n p ó i s c e a n c o fi i ti c n a e iu t d i s

. 3 3 1 .t c A . 6 2 . g á P

. 4 3 1 .t c A . 7 2 . g á P

. o d a e t n a l p a m e l b ro p l e r e lv o s re

. 6 2 . g á P

. 3 3 1 a 8 2 1 . s t c A

r a a p s a d a u c e d a s e d u ti t c a la l ro r a s e D

,o z r e u f s e : s a itc á m e t a m n e jo a b a rt l e





y o s e c o r p l e e r b o s a n io x e fl e R

s a d a u c e d a s e d u itt c a la l rro a s e D

s u s y l é re b o s s e n io s u l c n o c . e 1 . n -7 ite 1 b B o

. s é r e t n i e d s a m le b o r p r e n te n o c e d

T C M C

A A

a c ti á m e t a m n ió c a z il e d o m la r a r o l a V

s a m le b o r p r e v l

. s o d a lt u s e r

la o d n a u l a o v s e e r ,a ra n a ia p id t o o rs c u d c a re d il n a u re . o l -7 m a 1 o e B c d

, o rz e u f s e : s a c ti á m te a m n e jo a b a rt l e

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s lo e d o m s lo e d s e n io c ta i m il y ia c a c if e

. s o d i rtu s n o c o s o d a ilz ti u

A A

y d a d lii b i x e lf , a i c n a r e v e rs e p

n ió c a t p e c a y d a d il i ib x e lf , a i c n a r e v e s r e p

s e d tu it c a s a l r a v til u c

r e c a h e u lq a s e t y n r e a r ll e h o rr in a s s e e l D a . n o -8 s r 1 e B p

y l a ifn o t c e y o r P

. 7 2 . g á P

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. a d a n o z ra a ic t rí c a l e d n ió c a t p e c a . a iv ti n fi e

. a d a n o z ra a c tií r c la e d

d la s e o n s lo e d o m s to s e n e e c e r a p a e u q s e d a id v ti c a s la e d n ió c a n i g a p a L :

*)(


S IA C N E T E P M O C

T C M C

L C

S E D A ) ID (* V I T C A

) n ó i c a u n it n o (c S A IC T Á M E T A M N E S E D U T I T C A Y S O D O T É M , S O S E C O R P . 1 E U Q O L B

O R G O L E D S E R O D A IC D IN

. 7 2 . g á P

o d a lt u s e r o m o c e m r o f in n u a r o b la E

y s i s li á n a , a d e u q s ú b e d o s e c o r p l e d

D C

to c e y ro P

A A

. o iv t ra e p o o c

.e t n a v e l e r n ió c a rm fo n i e d n ió c c le e s



E J A Z ID N E R P A E D S E R A D N Á T S E

N IÓ C A U L A V E E D S IO R E IT R C

S E R A L U IC R R U C

s le ta i ig d s o t n e m u c o d a r o b la E . 1 . 2 1 1 B

a l e d s a í g lo o n c te s a l r a z itil U

. 2 1 1 B

, n e g a m i , n ió c a t n e s e r p , to x e (t s io p o r p o d o m e d n ó i c a c i n u m o c a l y n ó i c a rm fo n i

o d d a lt u s e r o m o c ) … o d i n o s , o e d í v

y s i lis á n a , a d e u q s ú b e d o s e c ro p

n o c , e t n a v le e r n ió c a rm fo n i e d n ó i c c e l e s

, e j a iz d n e r p a e d o s e c o r p l e n e l a tu i b a h

o d n a n o i c c le e s y o d n a z li a n a , o d n a c s u b

n e o t e rn e t In n e te n a v e l re n ó i c a rm fo n i

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y a d a u c e d a a c i g ó l o n c e t a t n e i m ra r e h la s to n e m u c o d o d n ra o b a l e , s e t n e fu s a tr o

. a v tii n if e o n ió s u c s i d u s ra a p e rt a p m o c s lo

y s e n o ic s o p x e o d n ie c a h , s o i p ro p

. n ó i s u if d

y s o m is m s lo e d s e n o i c a t n e m u rg a

s o n r o t n e n e s o t s e o d n e i rt a p m o c

. n ó i c c a r te in rla a liti c a f ra a p s o d a i p ro p a

d la s e o n s o l e d o m s o t s e n e e c e r a p a e u q s e d a id v it c a s la e d n ió c a n i g a p a L :)

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15

S A I C N E T E P M O C S E D A ) D I * ( IV T C A

O R G O L E D S E R O D A C I D N I

. 8 . g á P

y a ifc i s a l c , a n e d r o , a c fii t n e d I

. 3 y 2 , 1 . s t c A

T C M C

A A

. 9 . g á P

. 6 y 4 . s t c A

T C M C

. 9 y 8 , 7 . s t c A

. 0 1 . g á P

. s ro e m ú n e d s o p it s o t n ti is d a t n e s re p e r

a l a iz itl u y ra o d a l u c l a c la a e l p m E



A R B E G L Á Y S O E R M Ú N . 2 E U Q O L B

16

E J A Z I D N E R P A E D S E R A D N Á T S E

N IÓ C A U L A V E E D S O I R E T I R C

S E R A L U C I R R U C

s o tip s o t in t s i d s o l e c o n o c e R

. .1 1 2 B

. 2 1 t. c A . 2 1 . g á P

. 0 2 . g á P

la n e a d a u c e d a s á m n ió c ta o n

A A

. 9 4 y 7 4 . ts c A

. 8 6 y 6 6 . ts c A

. 2 2 . g á P

to c fe e d r o p y o s e c x e r o p a m i x o r p A

. s a m e l b ro p e d n ó i c u l o s e r



e s le a n o i c ra , s o r te n e , s e l a r tu a n ( s o r e m ú n

e d e o d d s a o ic f p it in s g to ls i n ti e is ra d t s re o l p r r te e n c i o e n o s C ro . e 1 - m 2 ú B n

o ri e ti r c l e o d n a ic d n i ,) s e l a e r y s e l a n o i c a rir

e r a t n e s e r p re a r a p a iz li t u s o l y , o id u g e s

, d a d s ir á a m p s , d e d a a id d li e i ib p is ro v i p d s :s u a s c e it d s í s re a t n c u a r lg a a c

n ió c a rm fo in e t n e m a d a u c e d a r a t e r rp e t n i

. c t e , d a d i m i x o r p , d u it n if in

. a v ti ta ti n a u c

o d n a le p m e a i c a c fi e n o c ra e p O

y iz p á l e d s o m ti r o lg a l, a t n e m o l u c l á c

s a m a r g ro p o a r o d la u lc a c ,l e p a p

s u s e n d o s c o o p t ti n s ju , o t s itn e n s i io d c s a r o l e r p a o z il y ti s U ro . e 2 - m 2 ú B n

e r a m r fo s n a rt , r e g o c re a r a p , s e d a d e i p ro p

. .1 2 2 B

. 2 1 . g á P

T C M C

A A

. 4 1 y 3 1 , 2 1 . s t c A

. 3 1 . g á P

l e y o e d n o d e r l e o d n a z lii t u

d e s e r o rr e s o l la u lc a c y o t n e i m a c n u tr

T C M C

. 7 1 y 6 1 , 5 1 . s t c A

. n ó i c a m i x o r p a

. 6 1 . g á P

s l o r e lv o s re a r a p s e j a t n e c r o p la u lc a C





s e n io c a itm s e a ilz a e R

n ió c u l o s re la a s je ta n e rc o p a ic l p A

s á m n ó i c ta o n a l o d n a z il ti u y , s o c it á rm o f in

. a d a u c e d a

r e v l o s re

ia r ia d a id v a l n

. o c i m é d a c a

y n ió c a rm o f in r ia b m a c r e t in

c o s o d a n io c a l e r s a m e l b ro p

ito b m á l e d s ia r te a m s ra t o y

. .2 2 2 B

s o d ta l u s re s o l i s a g z u j y te n e m ta c e rr o c

. s e l b a n o z a r n o s s o d i n te b o

. .4 2 2 B

. 6 2 y 5 2 , 4 2 . s t c A

D C

. 7 1 . g á P

T C M C

A A

y r e c a h r e b a S

. 0 3 a 7 2 . ts c a

. n a te n a l p le e s e u q s a m le b o r p

. 4 3 1 .t c A . 7 2 . g á P

. 8 . g á P

a t n e s e r p re y a c fii s la c , a n e rd O

. 3 y 2 . s t c A

a l re b o s s o r e m ú n e d s o itp s to n it s i d

A A

. 6 .t c A . 9 . g á P

. 0 1 . g á P

. 9 y 8 , 7 . s t c A

. a irc é m u n a t c e r



y s o r e i c n a n if y s o n ia itd o c s a m le b o r p e d

s o ic g ó l n o c te s io d e m e d o e l p m e l e ra lo a v

lo s o t a d s o l e d d a d ji e l p m o c a l o d n a u c

. ra e i u q e r

y a ifc s la c , a n e rd o , ra a p m o C . .6 2 2 B

s o r e m ú n e d s o p it s to n it is d ta n e s e r p e r

d o n a iz ilt u a ic r é m u n ta c re a l e r b o s

. s la a c s e s e t n e r e fi d

. a itv i n if e d a l s e o n s lo e d o m s to s e n e e c e r a p a e u q s e d a d i itv c a s la e d n ió c a n i g a p a L :

*)(


O T N IE M A P U R G A

S O C I G Ó L O D O T E M S O I IP C IN R P

N IÓ C A M A R G O R P A L E D S O T N E M E L E S O R T O

S O IC G Ó L O D O T E M S O L E D O M

. s le a u d i v i d in s a e r a T

. le b i x e fl to n e i m a p ru g A

R

R

. s a j re a P

. o p ru g o ñ e u q e P

£

R

. o p u r g n ra G

. e s la c r te in o p u r G

. s o rt O

£

£

£

. n ó i c a t n e

m ri e p x e y d a d i v ti c A

. n ó i c a ip itc r a P

R

R

. o itv i s o p x e / o v i s r u c is d o l e d o M R

. n ó i s lu c In

. n ó i c c ra te In

. d a id iv t a c i if n g i S

. d a d li a n o i c n u F

. n ió c a z il a b lo G

. a v ti a m r o f n ió c a lu a v E

R

£

R

R

R

£

£

. s re e ll a T

. o v it a r e p o o c je a z i d n e r p A

. s a re a t r o p jo a b a r T

. s o t c e y o r p r o p o j a b a r T

. s o tr O

£

R

R

£

£

. n ó i c a v it o M

. n ió c a iz l a n o s r e P

£

l. ia c n e ri e p x e o l e d o M R

S E N IO C A T N IE R O

. s rto O £

S A IC G Ó L O D O T E M


17

N Ó I C A IC F I L A C E D A M E T IS S

: a v it a ti t n a u c n ió c a c if li a C

N Ó I C A U L A V E A L A R A P S O T N E M U R T S IN

. ta c e ir d n ó i c a v r e s b O R

N Ó I C A U L A V E E D S O T N IE M I D E C O R P

te n ie d n o p s e rr o c a c ri b rú a l o ic t s ó n g a i d l e ra a a C p

. s o d i n e t n o c e d n ó i c a lu a v e e d s a b e u r P

e v a l c o m o c á r d n e t : a iv t ta il a u c n ió c a c if li



a l e d a c ir b ú r : o c ti s ó n g ia d e d to n e m le E

. d a id n R u

. o ri a i d o j a b a tr l e d ta c e ir d n ó i c a v r e s b O

s a e r a t e d n ó i c ra lo a v y is s il á n A

R

R

. n ió c a u l a v e a l ra a p s a d a e r c te n e lm a i c e p s e

. d a id n u a l a

a b e u r p , s o d i n e t n o c e d n ió c a lu a v E

. d a d i n u la a te n e i d n o p s e rr o R c

e c n a v a l e d a v ti a itt n a u c n ió c ra o l a V

.) s e n o i c a c if li a (c l a u id v i d R in

r o p n ó i c a lu a v e e d s a b e u r P 



a b e u r p , s a i c n e t e p m o c r o p n ió c a lu a v E

. s e l a tu x e t o s o ifc á r g s to n e m u c o d s rto O

. s e n o i c n e rv e t in e s te a b e D

R

£

. d a d i n u la a te n e i d n o p s e rr o R c l a u id iv d n i e c . n )s a v e a n l o e ic d a a z li v ti a u a ti tn l a u u p c y n s ió e c n o ra ic o l a a to V n ( R a

A R A P S O S R U C E R

18

. s a i c n e t e p m o c

. a t c e ri d n ió c a v r e s b O

N Ó I C A U L A V E A L

e c n a v a l e d a v ti a itt n a u c n ió c ra o l a V

. o v ti c e l o £ c

. s e l a p ru g o s e l a n o s r e p s o t c e y ro P

. s e n o i c a iz t a m a r d y s e n o i c a t n e s re p e R

. a i d e itm l u m s e n io c a r o b la E

. s o rt O

o s r u c e

R

£

£

£

n ifd e d e j ia v l e r a te s o c a r a p s e d a id v ti c a r a z i n a g r O

. o v it c e l o c

e c n a v a l e d a v ti a t li a u c n ió c ra o l a V

. s o rt O

£

£

O J A B A R T

O IV T A R E P O O C


ra a p o r e in d r a d u a c e r

). 4 1 a in g á p ( s o l a v r te in s o L ).

ra a p s e l b ia v s e d a d i iv t c a y s e n o i c c a e d s ta s e u p o r p s la e d a n u a d a c n o c e rm o f in n u r a z li a e R . a ti r c s e y l a r o n ió s e r p x E

0 1 a in g á p ( s o r e m ú n e d s o p it s o L ). 7 y 6 s a n i g á (p a

.) 7 2 a n i g á (p o s r u c e d ifn e d e j ia v l e r a e t s o c

c n a b a l e d n ió c u l o v E .l a u s i v o i d u a n ó i c a ic n u m o C

s e n io c ra e p o s e t n e r e fi d r a iz l a re a r a p ra o d a l u c l a c a l e d o s U . n ó i c a ic n u m o c a l e d y n ó i c a m r o f in a l e d s ía g lo o n c e t s la e d to n e i m a t ra t l E

a in g á p ( o s r u c e d n if e d e j ia v l e r a e t s o c a r a p o r e in d r a d u a c e r a r a p s e d a d i v ti c a y s e n io c c a re b o s n ió c a m r o f in e d a d e u q s ú B .) 2 2 y 0 2 , 2 1 s a n i g á (p

s lo a rv te n i e d n ó i c c e s r te in a l y n ó i n u a l r a l u lc a C ). 1 1 a n i g á (p o r e m ú n n u e c e n e tr e p e u q s o l a s o ic r é m u n s o t n ju n o c s lo r la l a H . o t n ie m i d n e r p m E

). 7 2

S O ID N E T N O C

)* ( S E L A S R E V S N A R T

s a r o g tá i P e d a m e r o e t l e o d n a c il p a a d a r d a u c íz ra a n u r a t n e s re p e R .) 7 1 a in g á p ( s o d a n e d a c n e s e j a t n e rc o p e d s a m le b o r p r e v l o s e R ). 5 1 a n i g á (p

l e r a e t s o c

a r a p s e d a d i iv t c a r a z i n a g r O .) 5 2 a n i g á (p s o id c u d o r p s e s e r te in s lo o d n e i b a s l a i c i n i d a id t n a c la r a l u c l a C .) 0 2 a in g á p ( s e c e v s a iv s e c u s

.) 7 2 y 6 2 s a n i g á (p a ri a i d a id v la e d s e n io c a u ti s r e v l o s e r ra a p s a c ti á m te a m s la e d ia

.) 7 2 a in g á p ( o s r u c e d ifn e d e j ia v

c n a rt o p m i a L .l a n o i c u itt s n o c y a ic v í c n ó i c a c u d E

. a v i it n if e d a l s e o n s o l e d o m s to s e n e e c re a p a e u q s e d a id iv t c a s a l e d n ió c a in g a p a L :

*()


19

Solucionario del libro del alumno

1

NÚMEROS REALES. PORCENTAJES

CLAVES PARA EMPEZAR

a) 35,47 

3547



b) 13,46 

100

1346 13 99

1333



a) 7,2

7

b)



c)

7,2

8

4

17 3

0

5

51 79



990

3

6



12

2

5

5

  2

−3

1

990

2

5

d)

7

52 31  52

c) 5,231 

99

−2

VIDA COTIDIANA Una cuenta bancaria es un servicio que ofrecen los bancos para guardar el dinero de sus clientes. A su vez, estos pueden llevar el control de lo que tienen en cada momento. • Si tenemos 1440

€ en el banco y este mes hemos gastado 480 € de nuestra cuenta, ¿qué parte de nuestros ahorros hemos gastado? ¿Qué porcentaje de lo que teníamos representa ese gasto? Nos hemos gastado

480

14 40

1 

3

de nuestros ahorros. 

1

Ese gasto representa

3





0,3

33,3 

100



33,3 %.




23

RESUELVE EL RETO Entre cada dos números racionales existe uno irracional y entre cada dos irracionales existe uno racional. a) Calcula un número irracional comprendido entre

1 y 1000

1

999

.

b) Calcula un número racional situado entre 0,12131415… y 2,12141618… Respuesta abierta. Por ejemplo: 

a) 0,001 < 0,001000100001…< 1,001 b) 0,12131415… < 0,1214 < 2,12141618…

¿Es el truncamiento siempre una aproximación por defecto? ¿Y el redondeo? Es por defecto si el número es positivo, y por exceso si es negativo. El redondeo es por defecto si el número es positivo y la primera cifra que eliminamos es menor que 5, o bien si el número es negativo y la primera cifra que eliminamos es mayor que 5; y por exceso en caso contrario.

Si disminuimos porcentualmente una cantidad C en un 10 %, ¿qué aumento porcentual habrá que aplicarle a la nueva cantidad para volver a obtener la cantidad inicial? 100  a  100 10 100





C C

 

100

 100



100

100 10 a  

100

100



00  100   a 90 1 00 00 90  00 90 a 100

100  a 90

90a

100

100

1

10 000 a100 00 9 000 1 000

90 

El aumento porcentual que habrá que aplicar para obtener la cantidad inicial es

a

1000 90



 11,1%

.

Paloma deposita 1 000 € en un banco a un rédito del 2 % anual de interés compuesto. ¿Qué cantidad de dinero recibiría si decide sacarlo a los 6 meses? ¿Y si lo hace al año y medio? Si decide sacar el dinero a los seis meses, como todavía no ha finalizado el período de inversión, no se trata de un interés compuesto.

Si aplicamos el interés simple:

I

1000 2 

C r t 





100



100

6 

12



10 €

Saca: 1 000 + 10 = 1 010 €. Si lo hace al año y medio, habrá finalizado un período de inversión, pero no el segundo. Primer período (1 año): t

Cf

Segundo período (6 meses): 1

  r  2   Ci 1   10001  1 020€  100     100 

I

10 00 2 

C r t 





100



100

6 

12



10 €

Saca: 1 020 + 10 = 1 030 €.

24


ACTIVIDADES

3

y 0,075

40



Es un número decimal exacto.



3,6 , 3,666... y

0,01 y

5 500



11 3



Es un número decimal periódico puro.




a) 2,3  2,33 2,3



2,36

2,3

2

3

2

2,33



2,4

2

3

−5

−4



4,27   4,2  

−5

3

3

2,3

b)

2

4,22   4,2

−4

−4,3

−5 −5

−4,22

−4,2

−4,2

−4

−4


25

2

3

a)

42

b)

9 4

d)

c)

94  3  2  5

13

14  2

−4

−5

 16

e)

5

f)

41 2  1  3

4

No son irracionales los números de los apartados a), c), d) y f).

a b 

9 4

a

b

. Respuesta abierta, por ejemplo:

13

9  4 3  2  5

Racionales Irracionales

→

→

25

3,121122111222...

2  3,48163264... 

26

256

3,123123123...

3,444...   



256 25

3,444... 3,121212... 3,04

3,48163264... 10



3

31

3

31

3,123123123... 

10

2

3,121212...

3,121122111222...


a)

10



0

0

26

d)



10  321

2

2

e)



17  421



2 5 1 

2

f)



26  521

1

4

5

4,9

4,8

4,89

4,90



−1

0

−1

0

2

9

10

9,4

9,5

9,42

9,43

, 7320 0 508 8

2

3

2,7

2,8

2,73

2,74

1 0

0

c) 3 9, 42477 7961

89897948 . 6..

4

b) 13 2

−1 2

1

0

a) 26 ,

2

1

2 17  4 1 

b)

c)

3 12 

1

1 2


27

a)



Es un número entero.

→

2  1,41421356 2...

b) c)

5

3

→

5

d)

625  25

→

37

5

→

225 15



 h) 21,463

21463

b)



→

 214

Es número natural.

2361



990

a) 5,0100200030004... 

Es un número irracional.


→

1125

g)


Es un número natural.

e) 3  9,4247779 6... f)

→

Es un número racional.



110

→


Irracional y real.

25  Racional y real.

14 2

c)

3



Racional y real.

6 9 6  9

28

742 100 



371 50



3  Natural, entero, racional y real.

 15

3, 87  2983...

Irracional y real.

Irracional y real.

1979 36

 Racional

y real.

93  Natural, entero, racional y real.

7 2

Racional y real.



2, 718281828 .. .  Irracional y real.

54,972 

Racional y real.

7,42 

d)



 

16  4  Natural, entero, racional y real. 5

47  6,8556 546 e

9  3 

Natural, entero, racional y real.

2,21221222122221...  Irracional y real.

9  6 3  , 38370 .. 9. 9 6

 Irracional

 1, 224744871... 

y real.

Irracional y real.


Si introducimos

8 en la calculadora, obtenemos

8  2,828427125...

Redondeo a las milésimas: 2,828  Es una aproximación por defecto. Truncamiento a las milésimas: 2,828  Es una aproximación por defecto.

Por exceso  0,121212...     Por defecto 0,121212...    

0,13 0,12

  11 Por exceso     1,2222... 1,23   9   11 Por defecto       1,2222.... 1,22    9

Por exceso  5,23888...      Por defecto 5,23888...     

5,24 5,23



Redondeo a las centésimas      1,9  2,00

Redondeo a las centésimas      4,7569  4,76

Ea 

4,7569  4,76

 0,0031



Redondeo a las décimas 2,3     2,3

E a

1 0,0333... 30

   2,3333... 2,3

Er 

0,03333... 1  2,3333... 70

 0,014285...

Aproximación   1,5 1,468 

Ea 

1,468 1,5

 0,032

Er 

Ea

1,468



0, 032  0,021798365... 1,4 68



0, 068  0,025068119... 1,4 68

Aproximación   1,4 1,468 

Ea 

1,468 1,4

 0,068

Er 

Ea

1,468

La mejor aproximación es la primera porque los errores obtenidos son menores.


29

a) (4, 8) 4 1

2

2) , b) (

d) (3, 0]  3 

8 x 4

c) [1,5)

4) , e) (

 2  x

1  

0

a)

4

a)

x 

x

f) [ 1,

1

1

4 x   0

5 

) 

b) 1  x 2

0  ( 4,0]

 [1,2]

4

x 1 

−1

5

0

d) 10  x 4  ( 4,1 0)

6

0

c)

0

2

0

b)

−3

8

0

x0

3

0

Respuesta abierta. Por ejemplo, (2, 5) [3, 6] (2, 6] .

Respuesta abierta. Por ejemplo, (4, 2)( 2, 5]  ( 2, 2)

.

a) (5,1] [0,  2] ( 5, 2] −5

0

b) (1, 5) [1,  2] ( 1, 5) −1

30

(5, 1] [0, 2] [0, 1]

1

c) [2, 4] (3, 5)

[2, 5)

[2, 4] (3, 5) (3, 4]

2

2

(1, 5) [1, 2] [1, 2]

1

2

5

d) (3, 0]( 1, 4)  ( 3, 4) −3

−1

0

3

4

5

(3, 0]( 1, 4)  ( 1, 0]

4


a) 5%de1 000  b) 38 %de800

5 1000 100 38



800

e) 112%de750 

 50

f) 0,6 %de1 430

304





100 12,3 c) 12,3 %de500  500  61,5 100

d) 122 %de300 

112  840 750 100 0,6



1 430 

8,58



100 89 g) 89 %de645  645  574,05 100

122 300  366 100

h) 43 %de529 

43 529  227,47 100

a) Es un aumento: 100  a  1012  100

(100  a) % de 10 

a

200 20 % 10

a

200 16,67 % 12

b) Es una disminución: 100  a  1210  100

(100  a)%de 12 

c) Es una disminución: 100  a (100  a) % de 80     80 100

60 

a

2000 80

25 %

d) Es un aumento: 100  a  6080  100

(100  a) %de 60 

12%de115%de1 575



12 115   1 575  100 100

C: cantidad de personas

a

217,35

fallecidas el año pasado

La mortalidad ha descendido un 12,5 % 87,5

100 33,33 % 3

→

100 %

−

12,5 %

=

87,5 %

98 100 



100 C

 

98

C

C: cantidad inicial



87,5

112 personas murieron el año pasado.

20   112   C 112   100 100 

C

112 0,224

500


31

Descuento del 20 %

100 − 20 = 80 %.

→

Aumento de 21 % de IVA

→

100 + 21 = 121 %.

80 121  Precio final      18 000 = 17 424 € pagó Raúl finalmente por el coche.  100 100 

a) b) c)

a)

94 100



260 00  244 40 estudiantes pasarán las pruebas.



2444 0



611 0 estudiantes abandonan la carrera el primer año.

(24440



611 0)

25 100 90 100



I



C r t

100

1649 7 estudiantes terminan la carrera.



C20 00, r 3, t  5



2000 3 5

I

     

300 €



100

Si ingresamos 2 000 €, al cabo de 5 años recibiremos 2 000 + 300 = 2 300 €. b)

I

Cr t



C 30, r 3, t  7



30 3 7

I

    

100

6,30 €



100

Si ingresamos 30 €, al cabo de 7 años recibiremos 30

c)

I

Cr t

100

C 4500, r 3, t 

4500 3

8 12



I

     

+

6,30 = 36,30 €.

8 12



100

90 €

Si ingresamos 4 500 €, al cabo de 8 meses recibiremos 4 500

d)

I

C r t

100

C670, r 3, t 

670 3 

30 12

I

     

100

12 

100

C

I 490, r 3,6; t 5



     

490 

3,6 5 1

490



00

90 = 4 590 €.

27,75 €

Si ingresamos 670 €, al cabo de 30 meses recibiremos 670

t r C  I

+

30



C



0,18

72 2

+

27,75 = 697,75 €.

2,22 €

El capital inicial es 2 722,22 €.

32


t

r C I

100

C 200 00, I 24 00, t 3 r       

 20 000 3 2400  100

 

2 400 r

600

t

a)

Cf

 1  Ci  

b)

Cf

t  r    2   Ci  1  C 3 400 1    C 3400, r 3,4; t    100   f

c)

Cf

t   r  C 54 00, r 3,4; t 3 1 1    Ci    Cf5 400     100  

r

 t 5  C 600, r 3,4;  1    C600   f 0 1  i

100 

4%



5

3,4 



790,18 €

 0 

i

i

2

3,4 

 

3635,13 €

100  3

3,4 

 

5969,74 €

100 

t 2   r  3,4 C 400 00, r 3,4; t 2 d) Cf  Ci  1  Cf 40 000 1       100  10 0

42766,24 €

i

Fernando: Cf

5   r t C 1000, r 2; t 5   2 1  Ci    Cf1 000 1        100   10 0

1104,08 €

i

El beneficio que obtiene Fernando es Cf  Ci

 1104,08

1 000

104,08 €.

Esther: C r

El beneficio de Esther es I

100

t

 C 10 00, r 2, t 5       I

100 0 2 5



100

1 000 €.

Es mayor el beneficio de Fernando que el de Esther.

 CC i f

 15 C 76,25 f

i

C  15 76,25

t

Ci Cf

  r  Cr  C 1576,26 t ,  5, 3 1i576,25 1   1  C  C C      i i  100   f

i

3

5   

 100

1000 0 €


33

ACTIVIDADES FINALES

a) 2,333… b) 2,345

Es un número decimal periódico puro.

→


→

c) 6,00999...

→

d) 2,435555... e) −45



g) 8,91

→

→



h) 57,432

2 3



37 15

Es un número decimal periódico mixto.

Es un número entero negativo.

→

f) 123,0


→

Es un número entero positivo. Es un número decimal periódico puro.

→


29 4

0,666... Periódico puro





7,25 Decimal exacto

196

2,4666... Periódico mixto

2



7

Entero positivo

Respuesta abierta, por ejemplo: a) 2 y 3

b) 2,33333... y 4,515151...

c) 2,4 y 6,25

d)

2 y −4

−

e)

3 5 y 2 7

5,556 < 5,565 < 5,665 < 5,69 < 5,96 < 5,966

34








0,412  0,41    0,14

a)

d)

5

17 6

2

c)

0,1

4

0

b)



0,14

5

e)

6

3

5

1

2

 1

3

7

48

0

3

2

0

6

h)

10

16

2

g)

4

5

1

0

f)

3

4

1

1

 2

7

1

 1

1 5

2

1

i)

3

1

15 7

3


2

 2

1 7

3

35



a) 2,5 

23 9

 2





5

3

2 

15



b) 0,16



90



34 9

1

e) 1,9

 3





0

18

4

1 3

2

2

1

f) 2,94 

3





9



7 9

 8

9

6

1

3

8 

0

c) 3,7 

25

d) 8,3 

9

53 18

17

2 

18

3

Respuesta abierta. Por ejemplo: a)

5 4

21 22

23

6

16

16

4



16

b) 7,16  7,1611  7,1612 c) d)

2 5

7,1613

 7,16

7 3

   1 

3 6 4 5

6 2

97

98

120

120



99

5

120

6



  324 e) 0,6 3  0,6

f)

36

8 11

85

86



110

110

0,6325

87 110

0,6 326

0,6 32 

9 10


Todas son irracionales salvo 4, 9 y

a) 24,232323... 

2423 24 99

16 , que son racionales.

2399

 Racional. 

b) 1 8  3, 82842712 5...  Irracional. c)

a)

1 8

3 2

a)

 Racional. 9  3 



6 2



3

2 44 2, 

d)

99

3

4

2

f)

1

b)

265

65 

2

 

2

2 1





Irracional.

Racional.

9, 869604401 .. .  Irracional.

 53

c)

3 1, 73205080 7...

2

 4

e)

828427125 ...

38 , 6 16441400 . 3..

1

2

6

7

1,7

1,8

6,1

6,2

1,74

6,16

1,73

b)

3

6,17

. 253.. d) 137 7  , 08276

6 2, 44948974 3... 2

3

2,4

2,44

38

1

2

2,5

7,0

7,1

2,45

7,08

6

7,09 1 37


37

a)

50

2 2 5  5 

7

2

12

b)

72

2 2  6 6 

682

22



2

2

8 2 2

6 5

2

2

1 0

a)

1

22

2

0

2

2

h  5 h  10  h25  100 75 5 3

→

2

h

 3 22      2  h 3

c)

h

2

2  A

   

2

9

h 99   h 4

3

b h A

75


2

b)

h 100  25 75

1



3

3

2

9

2

4

927

  3

4

4 2

→

3

273




2

3  2

 

2

 3

3

h 2  

h

3

4

3 2

→


3

A

b h

 A

2

3  2

A

2

a) Falsa, por ejemplo:      0

→

3 4

3

→


Es racional.

b) Falsa, por ejemplo: 9

3 

4

38

→

Es racional.

2


Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 1 2  2 , porque 

b) 1,5 





, porque

1,6

2

2 1, 41421356 2...

2

 1, 570796327...

c) 1,2  2 1,6 , porque 12



d) 1,5 

2 1, 41421356 2...



1,53

5

, porque

12 5

 1,549193338...

a) 25,37  Es un número racional, decimal exacto. b) c)



2

6



5

d)



e)



f) g) h)



17

7

Es un número racional, decimal periódico puro.

0,4  Es un número racional, decimal exacto.

12 3 , 46410..1.





90

0,07



d) e) f)

Es un número racional, decimal periódico mixto.

64  8  Es un número natural.


5 

20543 

27,35 

256  16  

5



10



c)

Es un número irracional (decimal con infinitas cifras decimales que no se repiten).

3,141592...  Es un número irracional (decimal con infinitas cifras decimales que no se repiten).

a) 2054,3 b)



24 62



90 

Es un número racional. 1031 

45


Es un número natural.

0, 628318531...  Es un número irracional.

47 


31 , 5 567764363 . ..





39

a)

17 8  1 2,123105 626

b)

17  8

...  Es un número irracional y real.

Es un número natural, entero, racional y real.

255



74... c) 8  17 3, 8768943

d)

17 8  9  3

e) 4  20  f) g)



 16



Es un número natural, entero, racional y real. Es un número natural, entero, racional y real.

h) 4  20 8, 4721359 55...

a) Racionales 7 9

35

a)

5

b)

40



12 2

2





7 7 8 5, , , 3 9 5

2  5

Es un número irracional y real.

Irracionales

→

Irracionales

→

2 5

5

3 35 →

90



8 6





2 3 86

5

→

7  8  

b) Racionales

90


0, 472135 9 ...  55

20  4 20 2  18

20  4


Es un número natural, entero, racional y real.



16 3

 5 12

8,6



3,

12 2

3

32


Como a es un número racional a)

b

2 b

2a  2  

a

b c

, donde

b

y c son números enteros.

Se puede expresar en forma de fracción. Es racional.



c

→

c

b

b)

a 

2

c) d)

c

b 

2

2a 

a

 

2 c

2





b c



a

Se puede expresar en forma de fracción. Es racional. Es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten. Es un número irracional.

Es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten. Es un número irracional.

a) 2a  Como a es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten, al multiplicarlo por 2 seguirá siendo un número decimal con infinitas cifras que no se repiten. Por tanto, es irracional. b)

a

2



Como a es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten, al dividirlo por 2 seguirá siendo

un número decimal con infinitas cifras que no se repiten. Por tanto, es irracional. c) a  Puede ser racional o irracional. Por ejemplo: Si Si

2

a  a  a

1

a

   



d)

1 a



2



1

Es un número decimal con infinitas cifras decimales. Es irracional. 1

 




Si a es un número decimal con infinitas cifras que no se repiten, su inverso también lo es. Es irracional.

2

11 1 d 

2

3

1,732050808... 


a) Falsa: todos los números enteros son racionales, ya que se pueden expresar como fracciones de denominador 1. b) Falsa: el conjunto de los números irracionales está contenido en el conjunto de los números reales. c) Verdadera: el conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales y por el conjunto de los números irracionales. d) Verdadera: un número decimal es racional o irracional. Y los números racionales o irracionales son reales.


41

a) Falso. Los números irracionales son números decimales que no se pueden escribir en forma de fracción. b) Falso. Los números irracionales son números reales que no son racionales. c) Verdadero. El conjunto de los números irracionales está contenido en el conjunto de los números reales. d) Falso. Todos los números enteros se pueden escribir como fracciones de denominador 1, es decir, son números racionales. e) Verdadero. Todos los números racionales son reales. f) Falso. Los números irracionales son números decimales que no se pueden escribir en forma de fracción. Es decir, no son racionales. g) Falso. Por ejemplo,

1 2

es un número racional que no es entero.

h) Verdadero. Los números irracionales son números decimales con infinitas cifras que no se repiten. i) Falso. Un número entero es un número racional que no tiene cifras decimales. j) Verdadero. Por definición, un número es racional si se puede expresar en forma de fracción.

a) Verdadero, porque

d l  l

2

l 2

2  l 2 

b) Falso. Por ejemplo, si el lado mide c) Verdadero, porque

42

22

d l  l

2

l

l

Si el lado es racional,

2

A

  

2 l 2

2

a2 Al  b

9, 869604401... 



a 2b



2l es irracional.

Es irracional. 

  

a

2 

 2b 

2

a

2b

2

Es racional.


27 2 25 5   9 9 9



a)

2,7





409 40  90



 b) 4,09 1,39


139 13 243 27   90 90 10

 543  54 12 1 1793   c) 5,43 1,2 90 9 270






d)

13  1

1,3 3




3

4 2 9   12  27 9 3


Por defecto     1,7 321

3  1, 732050... 

Por exceso    1,7320  

Redondeo

10 3 ,162277 ...

   3,1623 Por defecto   Aproximaciones    3,1622     Por exceso     3,1623  

La aproximación por exceso coincide con la aproximación por redondeo.

a) 11,87967575 Con4 decimales: 11,8797

Con 5 decimales: 11,87968

b) 0,66663  Con 4 decimales: 0,6667


c) 8,987656




d) 25,6543678 e) 18,010109 f) 15,908009

Con 4 decimales: 8,9877 

 

Con4 decimales: 25,6544


o Cn 4 decimales: 18,0101




Respuesta abierta. Por ejemplo: 

a) 5,6

 b) 0,97

c)

5,2 100 0



0, 0022803


43

Las aproximaciones por exceso y por defecto coinciden cuando el número decimal es exacto y aproximamos a un orden tal que todas las cifras, distintas de cero, del número son de órdenes superiores. El redondeo siempre coincide con la aproximación por exceso o por defecto; por tanto, puede coincidir con uno o con los dos.

a) 3,253  8,45 11,713 3,3  8,5

Error absoluto:

11,7

Error absoluto:

11,8

Ea



11,713

11,7





0,0 13

Ea  11,713 11,8  0,0 87

Se comete menos error redondeando el resultado. b) 53,32 18,93 34,39 53,3 18,9

Error absoluto:

34,4

Error absoluto:

34,4

Ea



E a  34,39  34,4 0,01

34,39

34,4

0,01





Se comete el mismo error por los dos métodos. c) 13,5 2,7 13,5  2,7

Error absoluto:

36,45 36,5

Error absoluto:

 36,45

Ea



36,45

36,5



0,05



E a  36,45 36,45 0

Se comete menos error redondeando los factores. 7 , d) 40,92 : 5, 3  7,72075... 7 40,9:5,3

 7 ,71698...

Error absoluto:

Error absoluto:

Ea



Ea  7,72075...

7,72075... 7 ,7 

71698... 7,

0,0 2075...



0,00377...

Se comete menos error redondeando los factores.

a)

Ea



3,59

b)

Ea



59,91

3,5





60

Er



0,0 9

Er





0,09

Er

0 09 ,



3,59



0, 025069638...

0,09

Er

59,91



3,5 9



59, 91



0, 001502253...

a) 10,4798 Redondeo → 10,480 Truncamiento → 10,479

44

Ea



10,4798

Ea



10,480



10,4798



0,0 002

10,479





0,0008

Er

0,0002 

10,4798

Er



0, 000019084...

0,0008 

10,4798



0, 000076336...


b)

12 3 , 46410 1... 

Redondeo

→

3,4641

Ea

Truncamiento → 3,4641 c)

2 3

12



Ea



3,4641

12







0,00000161...

3,4641



Er

0,00000161... 

0,00000161...



12

Er

0, 000000466...

0,00000161... 

12



0, 000000466...





0,6 



Redondeo: 0,7

Ea



0,6

Ea



0,7



0,03

Er







0,6



0,03 0 6, 



0,0 5 



Truncamiento → 0,6

Ea



0,6

Ea



0,6

0,0 6



Er







0, 6



0,06 06, 



0, 1

d) 3,125 Redondeo

→

3,125

Ea



Truncamiento → 3,125

a)

Ea



b)

Ea



3,78496 3 , 7 

7



2,65



0

Ea

Er 



0

0

Er



0

0,0849 6



0,004248.. .

Er



Er



0,08496 3,78496



0,022446737...

0,004248 7

0, 0016058...



La cota de error es 0,001; por tanto, debemos aproximar a las milésimas

→

8,976.

a) Indica que el error relativo al aproximar la cantidad de antibiótico por 1,5 g es como mucho

b)

Er

VReal 



VAproximación

VReal



VReal



V Real

1,5 

0,2 100



0,002 .

0,002 .

Si la cantidad de antibiótico es mayor que 1,5 g tendremos: VReal  1,5



VReal

0,002 

VReal



1,5 

0,998

1, 503006...

Si la cantidad de antibiótico es mayor que 1,5 g tendremos: 1,5



VReal

VReal



0,002 

VReal 



1,5 1,0 02

1, 4970059...

Por lo tanto, la cantidad de antibiótico estará entre 1, 4970059... y 1, 503006... gramos.


45

1,451,5 →

1,45

→

14

El error absoluto en ambos casos es 0,05, y por tanto, el error relativo es el mismo.



y

3, 1415926535897 ..9.

Ea 

355 

113

3, 141592920 3539 8...

3,14159265358979... 3,14159292 035398...

 0,00000 260

676418896.. .

El error cometido es del orden de las diezmillonésimas; por tanto, la aproximación es buena y podemos escribir 

355 113

.

: primera aproximación

: segunda aproximación

x1

( )1  Er x E (x )r

2



E ax(

)1 E (x )a

VReal



x2

2

VReal

Si los valores reales coinciden, los errores absolutos coinciden también. Si los valores reales no coinciden, se puede afirmar que los errores absolutos son diferentes.

46

a) [0, 5)

c) (40,  )

e) [0,1 2) ( 65,

b) 2,8  [0; 2,8]

d) [30, 60]

f) [2, 6]

 )


a) 0  x  7 0

e)

1

c)

2 

5

0

−5

x 

−2

0

1

3

−7

−3

0

1

g) 5  x  6 0

1

2

x 

7

7

4

−

d)

3

2

−4

f)

1

x

x 

7

b) 3  x  7 0

4

1

5

6

4

h) 4  x  6

3

−3

0

0

1

a) [1, 5)

e) [1, 0]

b) (5 , 1]

f) (5,0)

c) (3,

4] g) (, 

 )

d) (,3)

h) [5,  )

a) (3,  )

b) (1, 5)

1

 1 a) Falso.

3

3 b) 1 8  Falso.

5

c)

4

d)

1

4

c) (,  2]

Verdadero. 2 

4

1

9

2

  Verdadero.

6

d) (4,

2

e) f)

2 3


2

 )

 1



5

4

Verdadero.



Falso.

47

,3 

a) A



B

b) A



B  C

c) A



C

d) A

 B  C

=

=

=

(A

B)  C

=

(

 C)  B

=

ø.





−

, 5)

[2, 3] =

(A

a) Falso.

a) [0, 2) [ 2, 1)

0,1



b) Falso.

c) Falso.



, 1) [ 1 ,4) ( 3,4 ) c) (3

[ 2,1] [ 2,2] b) (1,2] 

48

a) A



B

b) A



B

c) A



B

d) A



B

e) A



B

d) [4,1)[ 2,3) [ 2,1)

=

[0, 5)

=

( 2, 4]

A  B

( 5, 0)

A  B

=

 B A [1, 3)

−

=

[ 7, 2)

=

( 1, 0)

−

−

f)

=

−

−



d) Verdadero.

=

=

A  B

(0, 1)

A  B

g) A



B

3

h) A



B

−

=

( 7, 6) −

A ø B

i) A

−

=

j)



B

A  B

( 4, 3]

=

( 1, 2]

A  B

−

=

(,2]

=

(5,

=

=

 )

(,  3] 

=

A  B

ø =

A  B (0,

A  B

=

ø =

 )

ø A  B

=

ø

[ 1, 0] −


1  x  3

a)

0y 2

→

1 x 3

1  1 0  x  3y 2 5  1,5

b)

3 12 

c)

3  0 3



0  y 2



3 (3, 3) x y3 0  y  x 2 1 3 ( 3,3)

d) Si x  0  0 00   Si x  0  0 00

x3y2 6 x y 3( 1)   3



3  x  y  6 ( 3,6)

a) (3, 3) b) Intervalo vacío, ø. c) Toda la recta real, .

a) b) c)

a) b)

16 100 8,5 100

 220 

 48 

42,6 100

20

0,16  220

0,085   48

 124  5



6

100 100 8,2 2,8 

d)

35,2

e)

4,08

0,426 124 5

530,37

f)

13 100

 349 

0,54 100 98 100

 78 

 980 

0,13   349

0,0054   78

0,  98 980

45,37

0,4212

960,4

 400  4,8

 678  0, 9184

100 100

c) d)

46



17

100 100 35



25

100 100

 3400  265,88

 6700  586,25


49

a) b) c)

25 

100

25 %

25 1 000



25 200



e)

2,5 0,025  100

12,5 0,125  100





2,5 %

f)

12,5 %

g)

25 500



25 

250

10 0,1  100

25 750

5 0,05  100





15 0,15  100



d)

a) b) c)

25



300

25 0,25  100



80 0,8  100

3 5







100

24 30

8,3



60 0,6  100

«NS/NC»

→







h)

8,3 %

25 %

d)

80 %

e)

60 %

f)

860 (301 172)

387

50



56

 C 0,56   C

100



15 %

 C

25 

60 

80

16,6 0,16  100 

150

75 0,75  100

0,03 

1 20 50





16,6%





3 0,03  100

40 0,4  100



75 %



3%

40 %

387

El porcentaje que representa es

2464

10 %



 0,083 

6 24

5%



464 2 0,56

860



45 0,45  100



45 %.

4400




a)

3 20

15

 0,15 

100

 15 %

d)

1 6



16,6

 0,16 

100



16,6%



b)

c)

8

9 14

34 100 34 100

66,6



12



42



64,

 0,6428571 

 C 646 

e)

66,6%

100

 C 646 

90 



 0,6 

285714 100



 64, 285714 %

1 34  646     C 2 100 2

17



68

 

100

34 

 C 2

C

  0,21   C

100 2

 

 100

 C

1

1020 

120,5

100

100

  1020 

100

100 75



100

+

1020  



28,  571%2 4 8



1 000

1229,1

663

1785

100

d) Calculamos el (100 1020 

100

75) % de 1 020:

175

100



571428

35) % de 1 020:

65

 1020  

c) Calculamos el (100 1020 

−

100 35

28,

20,5) % de 1 020:

100 20,5

b) Calculamos el (100 1020 

+



 0, 285714 

 17,5 %

5428, 71428

 3  1 15 15      C 0,015    C C   2 100 0,015

a) Calculamos el (100

100

 C 2646 1 292 

90

0,2

2 7

17,5

 0,175 

323

C

100

f)

7 40

−

15,75) % de 1 020:

100 15,75

84,25

100

100

  1020 

859,35


51

a) (100  32)% de C

135 

b) (100  2,4)% de C

d) (100 48)% de C 

116,8 

 

C



100

52 



240



240 0,976



205, 47945205

1,1 68

240

0

245, 9016...

240

C



 C

 



177,7

1,35

 C

240 

240

C

 

100

240

C

 

97,6 C 100



c) (100  16,8)% de C

240

C

 

100

,52



461, 538461

124

a) (100  24)% de 0,60 b) (100  24)% de 1,10





45



124

 

e) (100  24)% de 2,30

55

 1,364  1,364 

100



 1,25 

1,1



d) (100  24)% de 1,42

320

  0,744 0,744

124

c) (100  24)% de 10,45

400

 0,6 100

100

124 

100 124 

100

0,144 €/unidad de aumento. 0,264 €/ℓ de aumento.

1,1

  12,958 1 0,45 10,45 12, 958

 1,42

2,3

 1,7608

 1,7608

  2,852 2,852

1200

Subida del 22,22 %

28 20

1,42

2,3

1500

Subida del 25 %

1,2222... 

0,6



2,408

€/kg de aumento.

0,3208 €/docena de aumento.

0,552 €/kg de aumento.

 1,25 

1,4 

Subida del 25 %

Subida del 40 %

Los aumentos ordenados de menor a mayor son: Subida de 45 a 55< Subida de 320 a 400= Subida de 1 200 a 1 500 < Subida de 20 a 28

52


80 100

24

C  24  C 

0,8

100 36 100

 30

136

 34 

  34  1 ,36

100

Aumento del 30 % (100 Disminución del 15 % 130 85 

  45 

130 85

 130 85

100 100

100 100 

 

75





70

 C  125

días ha disminuido la lista de espera.

34

€ debe ser el precio final de cada artículo.

30)

46,24

%

 130

 (100 15)

110 50



%

%

85

%

49,725 € costará el artículo.

1,3 0,85 45

100 100

30 24 6

110,5 1,105 100



10 000

 0,525  C

125



110,5 % es el porcentaje sobre el precio inicial.

C  238,10

€ valía el producto.

100 100

121 118 



C

100 100

120



1,4278 C 120



 C  84,05

€ era el precio del abrigo.

No es lo mismo. Por ejemplo: 125 125

125 125 

100 100

100 100 



125 100

 C

 2C



250

  C 2,5

100

C

C

1,5625 C

→

→

Corresponde a un aumento del 56,25 %.

Corresponde a un aumento del 150 %.

No es lo mismo. Por ejemplo: 130 130 

 C

100 100

169



100

C

→

Corresponde a un aumento del 69 %, no a uno del 60 %.


53

100  a 110 100



C

100

C



100



a 110

a  100

1

 

10 000

1000

a 9,09%



11

El porcentaje de disminución es del 9,09 %.

 116  40 C 4 640 100 100 100 00



I

C r t



I

b)

I

c)

I

d)

I









I

C200 00, r 2,75, t 4  

Cr t

C r t

  C 800, r 1,8, t 2,5

C r t

C r t

100

Cr t

t

r C I

100

54



I

 C5 750, r 1,8, t  2,5

  C100, r 3,5, t 2,5

I



I

4 000

54 €

24 000 1,8 2,5

5 750 1,8 2,5 

100

100 3,5 2,5 100



1 080 €



100

258,75 €

8,75 €

1760 r

t 2

       







100

      

C10 000, I  176 0,

I  5 080

1 200 1,8 2,5

I

C24 000, r 1,8, t 2,5

      

100



36 €



100

      

100

r C I

800 1,8 2,5

I

 C1 200, r 1,8, t 2,5

2200 €



100

      

100

100

El resultado es el 46,4 % de la cantidad inicial.

2000 0 2,75 4

I

      

100

I  11760 100 00 t

C

100

      

100

a)

C 46,4

 

 10 000 2 1760  100

 

  r200

1760 r



200

8,8

% de rédito

108 0



1 080, C4 000, I 

3 t

r

      

 4000 3 1 080  100

 

r1 200 

1 080

r

1 200

0,9

% de rédito


t

r  C I 100

t  30003 C 3 000, I 225, r  3    225 

100

225 r 90

90   t 

años

2,5

t 3  3  1,25 r     a) Cf  Ci  1  C 750  1  778,48  C 750, r 1,25; t    100   f 100

€

i

t 2   r  1,25 C 53 000, r 1,25; t 2 b) Cf  Ci 1  C 53000  1   54333,28    100   f 100

€

i

c)

Cf

t 5   1,25 r    t 5  Ci  1  C 9400 1  10002,37  C 9 400, r 1,25;    100   f 100

€

i

t 4   ,25 1  r  C  62 000, r 1,25; t 4 d) Cf  Ci 1  C 62000  1   65158,61    100   f 100

€

i

Cf

5   r t C 500, r 3; t 5  3  1  Ci    Cf 500  1   579,64     100   100 i

f I  C

Cf

Ci

Cf

79,64 € de interés.

i

2 623,30  2 000

€

623,30 € de interés.

2   r t C 200, r 5; t 2  5    1  C i C200  1    1,1025  i   100   100 f

 Ci 

Ci Cf

500

t 10   2,75  r  C  2 000, r 2,75; t  10  Ci 1  C 2 000  1   2623,30   100   f 100

IC f  Ci

Ci

579,64 

€

200 1,1025

 181,41€ de capital invertido.

5 t   4 r    244, r  t 4 5 1     C  C  244   1    1126,23  CCC i i i  100   100 f

i

€ es el capital invertido.


55

Para que se conviertan en 5 500 €: Cf

t   r      Ci  1  500 5 000 51  C 5 500, r 10; C 5 000  100   f

t

10    1   100

i

t

Para que se conviertan en 6 050 €: Cf

 1  Ci  

r

t   C 6 050, r 10; C 5 000 6 000 51   050 

100 

f

t

10    2   100

i

t

DEBES SABER HACER

a)

7 3

2

1

2

c)

3

65  7 4 

2

4

2

3

0

1

b) 1,25 1

2

1,2

1,25

1,3

8

41  Es un número natural.

49

 Es un número racional.

−87  Es un número entero.

17 , 4 123105626 . ..  Es un número irracional.



17 3



Redondeo  5,6  5,7



Ea



 5,6 5,7 0,3

Er



0,3 

5, 6

 0,0588 23529...



17 3

56



Truncamiento  5,6  5,6



Ea

0, 6



 5,6 5,6 0,6

Er





5, 6



0,117647059...


−

5

−

A  B = (−5, +

3

1

)

A  B = (−1,

3]

85 121    100 100 120 123,42 € tendrá que pagar por el artículo.

Cr

a) I 

100

t

 C 1000, r 7, t  5      I

t

b)

Cf

100 0 7 5 100



350 €



C  1000 C I  f

 350

135 0 €

5

  r  C 1000, r 7 t 5   7 1  Ci    Cf 1000  1   1 402,55€    100   100 i


57

COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana.

a) Final del primer año→

100  1,90

Final del segundo año→

100 100  1,9 100

 480   3 12

 453,12   3

  489,12

12

36

  461,73

453,12 € 36

425,73 €

b) Si decidimos comprar la tableta a pesar de no tener dinero suficiente en el banco, tendremos que ingresar: •

El saldo negativo→ 510  425,73  95,27 €

•

Un 4,58% de esta cantidad→

•

39 € por quedarnos en números rojos.

4,58 100

 95,27  4,36

€

Es decir, el total que tendremos que ingresar será 95,27  4,36 39 138,63 €

58


FORMAS DE PENSAR. Razonamiento matemático.

Suponemos que

2 es racional, es decir, se puede expresar en forma de fracción irreducible: 2

a

, con

b

a b

fracción irreducible

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad, y llegamos a una contradicción: a

2 

 2

b

Pero esto no es posible, pues Por tanto,

Si

a b



3 5

a

y

a

2

b



b

2

2

a

son primos entre sí, por ser

b

2

es divisor de

a

irreducible.

b

2 es irracional.

a b →

a b



35 3 5



8

y

15

a b

35



a b

3 5



2

15

son fracciones irreducibles.

Intentamos ahora extraer una regla general: Supongamos que

ab a b

no es fracción irreducible, es decir,

ab a b

c 

con

d

d  a b .

Así: a b

c 

a b

Como

a b

es una fracción irreducible y



b c  d

d  a  x

a b

ab

c

c

a b

d

a x

 

a b a b

b c

d

es un número entero:

no puede ser una fracción irreducible.

Del mismo modo, supongamos que

  d

a

, con

b  x    a c x  d a b b d  d  a x b x a c  bx a

Por tanto,

b

( ) b (d ) a b c a 

d

x 

ab →

un número entero.

x

a b

c



(

a



)

b

, con

x

xb

es una fracción irreducible. ab

no es fracción irreducible, es decir,

a b

c 

con

d

d  a b .

Así: a b a b

Como

a b

c 



d

es una fracción irreducible y d  a  x

 x  d a b b

Por tanto,

a b

(  (d) a ) b

d  b c

 a b c

b  b c  d   d a

b a

d

d

b c

es un número entero:

a b

c

c

a b

d

a x

 

, con

x

un número entero

b c  x  a c  d  d  ax b b x a x c    a

no puede ser una fracción irreducible.

a b →

a b

x

(

a

)



b

x

, con

xb

es una fracción irreducible.


59

a) 6,325



a) 2,3

21 

 b) 0,325



c) 1,9

b) 6,356

9

7



3

2,33

325 

18 



9

c) 6,32

999

d) 6

210 

90

 0,32532

7 

3

3 2500 

999 00

325 

999

2



En los apartados a) y b) se produce este resultado porque el anteperíodo puede integrarse en el período El resultado del apartado c) se da porque considerar 1,999... con infinitas cifras decimales es lo mismo que considerar el número 2. Sí, son resultados correctos.

Para que el error absoluto por redondeo fuera menor que una millonésima, tendremos que tomar un redondeo a las millonésimas. En este caso la cota de error absoluto será de media millonésima, pero si tomásemos el redondeo a las cienmilésimas la cota de error sería de 5 millonésimas, que es mayor que una millonésima.

PRUEBAS PISA

60


a) • Es falsa: al pagar de forma proporcional al tamaño del piso, todos los inquilinos están pagando el metro cuadrado al mismo precio. • Es verdadera: si conocemos la superficie de un piso, S, y su precio, P, podemos establecer el precio del metro cuadrado,

S P

. Multiplicando este valor por la superficie del segundo piso, obtendremos el precio

del segundo piso. • Es verdadera si conocemos la superficie total del edificio, ya que podemos calcular el precio del metro cuadrado y después, con el precio de cada piso, podemos obtener su superficie. Si no conocemos la superficie total del edificio la afirmación es falsa. • Es verdadera: si se reduce el precio total del edificio en un 10 %, se reduce de forma proporcional el precio del metro cuadrado. Por tanto, el precio de cada piso se reduce en un 10 %. b) 95 + 85 + 70 = 250 m2 es la superficie total del edificio. Por tanto, al propietario del piso 2 le corresponde pagar 17 50



300000



85 250

17 

102000

50

del total. Es decir:

zeds


61

NOTAS

NOTAS

NOTAS

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

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