Bateria Ecuaciones PDF

UNIVERSIDAD UNIVERSID AD NACIONAL DEL CALLAO

Facultad de Ingeniería Eléctric a y Electrónica Electró nica

Escuela Profesional Pr ofesional de Ingeniería Eléctric a

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica CURSO

:

ECUACIONES DIFER ENCIALES

DOCENTE

:

FERNANDEZ, Juan Raymundo

TEMA

:

BATER IA 2013 -- B B

ALUMNOS

:

 VALLEJOS VALLEJOS HOLGUIN HOLGUIN CESAR

0925 09 2542K 42K

2013 1



ECUACIONES DIFERENCIALES

Escuela Profesional Pr ofesional de Ingeniería Eléctric a

Luego sumamos sumamos (1), (2) y (3) (1  x c tgx) y  xy  y  C1senx  C 1x cos x  C1x co cos x  C2 x  C1senx  C 2 x

PRACTICA PRACTICA #1

(1  x c tgx) y  xy  y  0

I) Soluciones de ecuaciones d iferencia iferenciales les b) y 1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación diferencial.



C 1e x



C 2 xe x

C 3 e

y  y  y  y  8e

x





2 x

2

e x es solución solución de

x

Solución:

a) y  C1senx  C2 x es solución solución de d e (1  xctgx xctgx) y  xy  y  0

y

Solución:

C 1e x





C 2 xe x



C 3 e

x





2 x

2

e x

y  C1e x  C2 ex  C2 xex  C3 ex  4 xex  2 x2 ex

y  C 1Senx  C 2 x

y  C1e x

y  C1cosx  C 2

x

4e

(1  x c tgx) y  (1  xctgx)( C1Senx)   C1senx  C2 xcos x ……….. C2 )   xC1cosx  C2 x ………………….

x

x

x

(1)

 4 xe

x



4e

x

4 xe



x



 4 ex

x

x

2 x

 4 xe  4 xe  2 x

e

4 xe

x



2x

2

e

x

.......… .. (1)

 y  C e x  C ex  C ex  C xex  C ex  4 ex 1

2

2

2

3

4 xe x  4 xex  2 x 2e x ……………………..… … (2)

(2) x

x

x

 y  C1e  C2 e  C2 xe  C3 e

y  C 1 Senx  C 2 x ……………..

x

 C2 e  C2 e  C2 xe  C3 e

y  C1e x  C2 e x  C2 ex  C2ex  C2 xex  C3 ex  4ex

  C1Senx y  

 xy   x(C1cosx 



x

x

 4 xe  2 x

2

ex … ….. (3)

(3) y



C 1e x



C 2 xe x



C 3 e

x





2 x 2 e x …………………..

(4)

2



( x, y)  (0, 3) 3)

Luego sumamos (1), (2), (3) y (4) y  y  y  y 

x

x

x

x

4e x  4ex  4 xe x 4e x  4 xex  4 xex  2 x 2e x C e  C e  C e  C xe  C e  4e  4 xe x

1

x

2

x

2

x

2

x

x

2 x

x

x

3

4 xe  2x e C1e  C2 e  C2 xe  C3 e x

x

x

3  2(0)  Ce0

La ecuación de d e la la curva integral es:

x

C1e  C2 e  C2 e  C2 e  C2 xe  C3 e x

Escuela Prof esional de Ingeniería Eléctrica Eléctric a

x

4 xe x  2 x 2e x C1e x  C2 xe x  C3 e x  2 x 2 ex

C





3

y  2 x  3ex

x x 3) Demostrar que es solución de y  C 1e  C 2 e 2  x y  3 y   2 y  2 x  3 y hallar la ecuación de la curva integral que pase por los los puntos puntos (0,0) y (1,0)

Solución:

y  y   y   y  8e x

y

2) Demostrar que y  2 x  Ce x es la solución de la ecuación diferencial, y y  y  2  2x hallar la solución particular para x 0, y 3 ( esto es la ecuación de d e la curva integral que pasa por (0,3)) 

Solución:

y  C1e x

 2C2 e

y  C1e x

 4C2 e



x

C 1e

 C 2 e

2x

 x

2x

1

2x

………………….…… (1)



3 y   3C1e x  6C2 e2 x  3 …….………..… (2) y  2 x  Ce x 2 y  2C1e x  2C2 e 2 x  2 x ….……………..

y   2  Ce

x

(3)

…………………….. (1) Luego sumamos sumamos (1), (2) y (3)

 y  2 x  Ce x ……………………..(2)

x 2x x 2x y  3 y   2 y  C1e  4C2 e 3C1e  6C2e  3

Luego sumamos (1) y (2)

2C

y  y  2  Ce  2 x  Ce x

y  y  2  2x

x

e

1



2C2e

2x



2x

x

y  3 y  2 y  2 x  3

3

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Facultad de Ingeniería Eléctric a y Electrónica

Escuela Prof esional de Ingeniería Eléctrica

xy  y

0 2(0) 0 0  C1e  C2 e

( x , y)  (0, 0) 0



C1



 C

2

C2

0

C 1





C1e  C1e

2

1

1



C 2  



e(e  1)

C1e(e  1)  1

1

e(e  1)

C



La ecuación de la curva integral es:

0  C1e1  C2 e2(1)  1

( x, y)  (1, 0)

2  C (1)

( x , y)  (1, 2)

C 1

 



2

y  2x

6) Comprobar que y  C1cosx  C2 senx y, y  Acos( x  B) son primitivas de y  y  0 demostrar también q ue ambas ecuaciones son, en realidad, una sola. Solución:

La ecuación de la curva integral es: x

y



e

e(e  1)



e

. y  C1cosx  C2 senx

2x

e(e  1)



x

y   C1senx  C2 cos x

4) Demostrar que ( y  C ) 2  Cx es la primitiva de la ecuación diferencial 4 xy  2 xy  y  0 y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2)

y  C1Cosx  C2 Senx ……………………..

(1)

y  C1cosx  C2 senx ………………………(2)

Luego sumamos (1) y (2) 5) La primitiva de la ecuación diferencial xy  y es y  Cx . Hallar la ecuación de la curva integral que pasa por el punto (1,2)

y y  C1Cosx  C2 Senx C1cosx  C2 senx y  y  0

Solución: . y  Acos( x  B)

y  Cx y  C



xy  xC

y   Asen( x  B)

4


y   Acos( x  B) ……………….


(3)


ln( x 2 .

y  Acos( x  B) …………………(4)

y 2 x 2

)  A  x

ln( y 2 )  A  x


e A



y  y   Acos( x  B)  Acos( x  B)

x

A

e .e

y  y  0

. Ahora demostraremos que y  C1cosx  C2 senx y son, en realidad, una sola.

y  Acos( x  B)

Como

e

A



x

y 2



y

2

es una constante e A  B

Reemplazamos en e A .e x



y2

y  Acos( x  B) 

Be

x



y

2

y  A cos x cos B  AsenxsenB 8) Demostrar que arcSenx  arcSeny  A se puede escribir así Como

AcosB y AsenB C1



son constantes, pueden asumir el valor de

AcosB

C2   AsenB



x 1  y 2  y 1  x 2  B Solución:

y  C1cosx  C2 senx  Acos( x  B) 2 7) Demostrar que ln( x )  ln(

y 2



y 2 x

2

)  A  x se puede escribir así

arcSenx

arcSeny



A

Derivamos: dx

x

Be



1  x

2



dy 1

y2



0

Solución: ln( x 2 )  ln(

y 2 x

2

)  A  x

dx 1  y 2  dy 1  x2 1  x

2

1 y

2

0




dx 1  y 2  dy 1  x2  0

10) Demostrar que Senhy  Coshy  Cx se puede escribir como

Integramos:

y  ln( x)  A



1  y 2 dx 





1  x 2 dy  0

Solución: Senhy  Coshy  Cx

x 1  y 2  y 1  x 2  B

y

e



e

2

9) Demostrar que ln(1  y)  ln(1  x)  A se puede escribir como



y 

e

y



e



y

2



Cx

e y  Cx

xy  x  y  C

ln Cx 

Solución:

ln C  ln x  y

ln(1  y)  ln(1  x)  A ln[(1  y)(1  x)]  A

y

Como

ln C

es constante entonces le damos el valor de

A



ln C

y  ln( x)  A

ln(1  x  y  xy)  A e A  1  x  y  xy e  1  x  y  xy A

Como

e

A

1

es constante, entonces puede tomar el valor e A 



II) Origen de las ecuaciones diferenciales 1) Se define una curva por la condición que cada uno de sus puntos ( x, y ) su pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. Exprese la condición mediante una ecuación diferencial.

1  C

x  y  xy  C

Solución:

6


La pendiente es

m



Sea “ q ” la cantidad de gramos convertidos en “t ” minutos, el

y 

x

numero de gramos aun no convertidos será “(100  q) ” y la velocidad de y x y



2( x  y)

conversión vendrá dada por 

2 x  2 y

x

dq dt

 K (100  q) , donde K es la constante

de proporcionalidad.

y  2 x 2  2 yx y 

2 x

2

1  2 x

4)

Una partícula de masa “m” se mueve a lo largo de una línea recta (el eje x) estando sujeto a : i)

dy dx



4x (1  2 x )  2 x 2 ( 2) (1  2 x) 2

dy dx



4 x(1  x )

Una fuerza resistente proporcional a su velocidad

Expresar la fuerza total como una ecuación diferencial

(1  2 x )2

2) Una curva esta definida por la condición que representa la condición que la suma de los segmentos x e y interceptados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2, Exprese la condición por medio de una ecuación diferencial. 3) Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido, Hállese la ecuación diferencial que exprese la

velocidad de conversión después de “t” minutos.

Sol:

ii)

Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un

punto fijo “0” en su trayectoria y dirigida hacia “0”.

5) Demostrar que en cada uno de las ecuaciones a) y  x 2  A  B b) y  Ae x  B c) y  A  ln( Bx) Solamente es esencial una de las dos constantes arbitrarias.


6) Obtener

la

ecuación

diferencial

asociada


con

la

primitiva



y  Ax  Bx  C 2

y  a 2 y  0

Solución: 9) Obténgase la ecuación x x y  Ae 2  Be  C

y  Ax  Bx  C 2

y  2 A

y

y  0



Ae 2 x

Multiplicamos

e



 x

Be x



C …………………………..

8) Obtener la ecuación diferencial y  Acos( ax)  Bsen( ax) Siendo A es una constante fija

con

la

primitiva

asociada

con

la

primitiva Derivamos respecto a

asociada

con

la

primitiva

y B constantes arbitrarias y “ ”

(1)

con la ecuación (1) ye x

diferencial

asociada

Solución:

y  2 Ax  B

7) Obténgase la ecuación x 2 y 3  x 3 y 5  C

diferencial



Aex



B  Ce x

x

ye  x  ye x  Ae x  Ce x …………………………..

(2)

a

Multiplicamos

e

 x

con la ecuación (2)

Solución:

ye 2 x  ye 2 x  A  Ce 2 x

y  Acos(ax)  Bsen(ax ) y  aAsen( ax)  aBcos( ax)

Derivamos respecto a ye2 x

 2 ye

2 x

x



ye2x

2x

 2 ye

2 x

 2 Ce

………….. (3)

y   a2 ACos( ax)  a 2 BSen( ax) ………………..(1) a2 y  a 2 Acos( ax)  a2 Bsen( ax) ….................….. (2)

Multiplicamos

e2 x con la ecuación (3)

y  2 y  y  2 y  2C

8




Derivamos

y  0

y  3 y  2 y  0

12) Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio

fijo “r” cuyos centros están en el eje x. 10) Obtener la ecuación diferencial y  C 1e 3 x  C 2 e 2 x  C 3 e x

asociada

con

la

primitiva

Solución:

Solución: 3 x

e

e

3 x

3e 9e

3 x 3 x

27e

e

6 x

2x

2e

2x

4e

2x

8e

2x

e e e

x

x

y



x

y

x

y

e

1

1

1

y

3

2

1

y

9

4

1

y 

27

8

1

y

y e

6 x



0

(2 y  12 y  22 y  12 y)  0

2 y  12 y  22 y  12 y  0 y  6 y  11 y  6 y  0

( x  a) 2  y 2

11) Obtener 2 y  Cx



la ecuación 2 C

diferencial

asociada

con

la



a

Solución:

y  2Cx

y  2C

r 2

primitiva x

y  Cx 2  C 2



1 0 

1

r



1 2

.

2



y

2

yy

2

r

2



y2

 yy r 2  y2

9



r 2  y 2   yy


2 y ( x  a )  y 2 x  ( x  a ) 2



0

r 2  y 2  y 2 ( y)2

2 y( x  a )  y 2 x  0 (1  ( y)2 )  r 2 2

y x 

2 y( x  a)

13) Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes están sobre el eje x.

Solución:

y 2  4 p( x  a )

y 2 ( x  a )



4 p

Derivamos:

10




PRACTICA # 2 SEPARACION DE VARIABLES: RESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

4.-

1.-

2 .5.-

3 .-

11




8.6.-

9.7.-

10.-

12




2.II) REDUCCION A VARIABLE SEPARABLE

1.-

3.-

13




5.-

4.-

14




6.-

8.-

7.-

15




9.-

11.10.-

16




13.-

12.-

14.-

17




15.-

16.PRACTICA # 3 I.-

Funciones Homogéneas

Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas: 1)

f(x,y) = x2y – 4y3 f(x, y) = (x)2 (y) - 4(y)3 = 3 (x2y - 4y3)

 f es homogénea de grado n=3

2)

f(x,y) = y2Tg(x/y)

 xx  2 2  x    1 y Tg   xy   y 

f(1x, 1 y) = (1y)2 Tg 

17.-

Es homogénea de grado n=2

3)

f(x,y) =

3

x 3  y3

18


f(x, y) =



(x) 3  (y) 3

3

Es homogénea de grado n=3

 x y 3

3

3

 f es homogénea de grado n=1 4)

f(x,y) =

2 2 x y

f (1x,1y) 

5)

9)

f(x,y)=x-5y+6

xy 2 2 (1x)  (1y)

(1x)(1y)

 f no es homogénea.10 )

 x 2  y 2    1   xy  0

 x   y  f(x,y) = xSen    ySen   x   y 

 1x   1y    1ySen   1x   1y 

Es homogénea de grado n=0 f(x,y) = x2 + Senx.Cosy

f (1x,1y)  1xSen

 x   y   1(xSen   ySen  )  x   y 

f no es homogénea.

Es homogénea de grado n=1 6)

f(x,y) = ex f (1x,1y)  e1x No es homogénea.

III.-

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

7)

f(x,y) = ex/y f(x, y) = ex/y = y0 ex/y

1)

(x3+y3)dx – 3xy2 dy = 0 y = x

 dy = xdy + udx

(x3+ux3)dx – 3x3u2(x du + udx) = 0

 f es homogénea de grado n=1

x3(u+1)dx – 3x4u2du – 3x3u3dx = 0 x3(u+1-3u3)dx - 3x4 u2 du = 0

8)

f(x,y) = (x2+y2)3/2 f(1x, 1y) = (1x)2 + (1y)23/2 = 13 (x2 + y2)3/2

19




dx x

 3

u

2

(1  u  3u ) 3

1

 C  Lnx  (1  xdy  ydx  x (y  x 2 Sea :



2



x

2 dx

du  C

2y 3

2

2)


3



) 4)

2

y dx  0

y 2 )dx  xdy



0

dv 2

dx x



Lnx 

 x    ArcSenv  C   x  Ce ArcSen( y / x )

 dy = xdu + udx

(2x.Senhu + 3y Coshu)dx – 3x2. C oshu(xdu+udx)

( v 2  2x  2)

 LnC

1 Ln(v 2  2v  2  2ArcTg(v  1)  LnC 2

Ln

Ln

(2x6Senh y/x+3yCosh y/x)dx – 3x. Cosh y/x = 0

( v  1)dv

 x v 2  2v  2    2Arc Tg ( v  1)   C    x  4)   2x 2  2xy  y 2  C 2 e 4 Arc Tg   x 

 LnC

1 v Lnx  ArcSenv  LnC

y = ux

(2x+3y)dx+(y-x)dy=0



2

1  v2dx  xdv

3)

Lnx  Ln(Senh y / x)  C

(v2+2v+2)dx + x(v-1)dv = 0

( vx  x  ( vx) )dx  x (vdx  xdv)  0

x

3

(2x+3(vx)dx + (vx-x)(vdx+xdv)

2



2

dy=vdx+xdv

y  vx

En (a):

dx

  Ctghu du  C

x

y=vx

...( a )

dy  vdx  xdv





3


5)

x (1+2ex/y )dx + 2ex/y (1- ) dy=0 y x



Ly



y.

du dy



U

…(1) dx dy

De (1):

2x.Senhudx – 3x2.Coshudu = 0

20


dx dy



2e u (1  u )



dy y

(1  2e ) u

(1  2e u )



(2e  U) u

y

du dy



(ux  x u  1)dx  ( xdu  udx)  0 2

U



dU

 x / y  Ln(1  2e x / y )  Ln(2e x / y )  C

dx x



du u 1 2

C x

 Lnx  Ln(x / y  ( ) 2  1)  C y

6)

(x2+3xy+y2)

dx –

x x2dy

=0

8)

y = vx

dy = vdx + xdv (x-(vx)Lnv) dx + xLnv(vd xLnv(vdx x + xdv) = 0

dx = vdx + xdv (x2+3x(vx) + v2x2)dx – x x2(vdx+xdv) = 0

dx + x Lnv dv = 0

(v2 + 2x + 1)dx = xdv



dx x



Lnx 

dv ( v 2  2v  1) 1

( v  1)



 LnC

7)

y = ux

y

 y  x  ce .    x  x

x xy

2



2

x dx  xdy  0

 dy = x.du+udx

  Lnvdv  LnC

Ln

9)

(y  y

x

 x    v  v Lnv  c 

 LnC

x  x  0   C  x  y

x  Ce

dx

Lnx + v(Lnv v(Lnv-1 -1)) = LnC LnC

Ln



(x-yLny+yLnx)dx (x-yLny+yLnx)dx + x(Lny-Lnx x(Lny-Lnx)dy )dy = 0 y = vx

 y     x 

y y (x-yarctg )dx  x.arctg dy  0 x x y=u.x

 dy = xdu +udx

(x-u.x.arctgu) (x-u.x.arctg u) dx + x.arctgu (xdu+udx) = 0

21




dx x



En (m):

  arctgu.du  C 2

y y 1  y   Lnx  .arctg  Ln(1    )  C x x 2  x 

IV.1)

Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales Reduct Re ductibles ibles a

(x0 - y0)dx0 + (x0+4y0 )dy0 = 0 Sea:

Homogéneas Homogéneas

y=1

(1-4v2)dx0 + x0(1+4v)dv



h k P( , ) 1 1

,

dx 0 x0



x=1

x=z+h

,

y=w+K

x=z+1

,

y=w+1

2(z+1)-5(w+1)+3dz - 2(z+1)-4(w+1)-6 dw = 0 * Homogénea: (2z+5w)dz – (2x+4w)dw (2x+4w)dw = 0

(1  4v) (1  4v 2 )

dv  Lnc

 1  2v  1 2   Ln(1  4v )  LnC 4  1  2v  2  y  x 0  C(1  2 0  )  x 0   y  x  C(1  2 ) 1  x  1 

Lnx 0 

 -2x-4y-6=0

 dy = vdx0 + x0dv

(x0 – vx vx0) dx0 + (x0 + 4vx0)(vdx0 + x0 dv) = 0

(2x-5y+3)dx – (2x+4y-6)dy (2x+4y-6)dy = 0 2x-5y+3 = 0

y0=vx0

3)

1

Ln

(x-4y-9)dx + (4x+y-2)dy = 0 x = x0 + h

,

y = yo+K

h – 4K 4K = 9

z  u.w 



dw w



(2u  5) (2u  7u  4) 2

 h = 1 ; h = -2

du  C

4h + K = 2

 x  1   4   x  1   1   x  1    7   4  Ln2   4  C  LnW  Ln2 2   y  1   y  1   5   y  1   2)

(x-y-1)dx + (4y+x-1)dy = 0 Sea: x=x0+h ;

y = y0+k

… (m) ; h=1 ; k=0

(x0+1-4(y0-2)-9)dx + (4(x0+1)+(y0-2)-2)dy = 0 (x0 – 4y 4y0)dx + (4x0+y0 ) dy = 0 y0 = v.x0

 dy0 = vdx0 + x0.dv

(x0 - 4v.x0)dx + (4x0 + vx0) (vdx0 + x0dv) = 0

22


dx 0

 x



(v  4) v

0

2

1

Lnx0 +  Lnx

4)

2

2 -1 =  -1   = -2

 C

 dy -2z-3 dz

y = z-2

 

( y  2)

2



K e

y  2 ( ) 4 Arctg x 1

4xz-4 dx + (3x2 – z z

-2

) (-2z-3 )dz = 0

4xz- dx - 2(3x2 – z z2) dz = 0



homogénea

 dz = x.du + udx

Z = ux

(x-y-1) dy-(x+3y-5)dx=0 (x+3y-5)dx – (x-y-1)dy=0 (x-y-1)dy=0 x=x0+2

;

4x-2 udx - (6x2 – z z2) (x.du + udx) = 0

y=y0+1



(x0 + 3y0)dx0 – (x (x0 – y y0)dy0 = 0

 dy0 = vdx0 + x0 dv

y0 = vx0

(3v-v2)dx0 + x0(v-1)dv = 0



dx 0 x0

( v  1)dv



v 2  3v

6)

 LnC

x2 

C x2

1

2

9(x  2)

2

(2u  2u ) 3



dx

 x

0

 Cosx.dx = dz

ydz +(2y-z)dy = 0

( y  1)  6(x  2)( y  1) 2  ( y  1) 3 

1/ 3

 1  yx   1  yx   1

yCosxdx + (2y-Senx)dy = 0 Sen-x=z

 v  3  Ln x 0  Ln( v  3v)  Ln   LnC 2 6  3  x 0  C( v 3  bv 2  9v)1 / 3 1

( 2u 2  6)du

    1  1  Ln  Ln (  1)   3 Ln 2  yx    

(x0 + 3vy0)dx0 – (x (x0 – vx vx0)(vdx0 + x0dv) = 0

5)


Ln.(v2+1) + 4Arc(Tgv) = 0

2

( x)



1


z=u.y



homogénea

 dz = y.du + u.dy

y(ydu + udy) udy) + (2y-uy)dy = 0

(4xy2 )dx + (3x2y-1)dy = 0 y=zx

 dy = x(zx-1 )dz

4xz2 dx + (3x2 z – 2) 2) ( .z-1 ) dz = 0

23


dy

 du  2 y


 dx   Cos zdz  C 2

 C

x Senx

 7)

y


 2 Lny  C

z 2

1

 Sen 2z  C 4

 4x-2(x+y)-Sen2(x+y) =4X=K

(2x2+3y2-7)xdx – (3x2+2y2-8)ydy = 0 Sea:

x2 = m

;

y2 = n

2xdx = dm

;

2ydy = dn

(2m+3n-7)dm m=m0+2

– (3m+2n-8)dn = 0 ;

PRACTICA # 4 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

n=n0+1

(2m0 + 3vn0)dm0 – (3m0 + 2vm0) (vdm0+m0dv) = 0

1)

(4x3y3-2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy

2(1-v2)dm0 – (2v+3)m0dv = 0 2



dm 0 m0

2Lnm 0



(2v  3) v 1 2

dv  LnC

 Ln 2( v 2  1) 

3 2

 m0 )  C 2  K n 0  m0 y2  x 2 1  2 2  K y x 3 (n 0

8)

2

Tg2(x+y)dx – dy = 0 z=x+y

 dz = dx + dy = 0

Tg2z dx – (dz-dx) = 0

 v  1   LnC   v  1 

Ln

M

N

  N  12x 3 y 2   12 x 3 y 2  2 y y x f ( x, y) M x f ( x , y)   (4 x 2 y 2  2xy)dx  g ( y )  x 4 y 3  xy  g ( y ) = x4y3 - xy + g(y)

f (x, y)  3y 2 x 4  x 2  g' ( y)  3x 4 y 2  x 2 y g' ( y )  0  g ( y )  C

N 

 f (x, g)  x 4 y 3  xy  C

24


2)


(3xc3xy - 2x)dx + e3x dy = 0 M

N

4)

  N  3e 3x   3e x 3 y x f (x, y) M x f ( x , y)   (3x 3x y 2  2 x )dx  g ( y )

N 

f ( x , y)



y

 f ( x , y )  e

3x

e 3 x  g' ( g ) y  x2



M

N

 ye x 2  x 2  g ( y ) C

N 

C

  N  Seny  Cosx   Cosx  Seny y x f ( x, y) M x f ( x , y)   (Cosy  yCosx)dx  g ( y )  xCosy  ySenx  g ( y ) f ( x, y)  xSeny  Senx  g' ( y)  Senx  xSeny y g' ( y )  0  g ( y )  C

f ( x, y)  e x 2  g' ( y)  e x 2 y g' ( y )  0  g ( y )  C

 f (x, y)  y e x 2  x 2  C

(Cosy+yCosx) dx + (Senx-xSeny) dy=C M N

N 

(2xyex2 - 2x) dx + ex2dy=0

M  N  2 xe x 2  Cosx   2 xe x 2 y x f ( x , y) M x f ( x, y)   ( 2 xye x 2  2 x )dx  g ( y )

 e 3x  x 2  g ( y )

3)


5)

(6x5y3+yx3y5 ) dx + (3x6y2 + 5x4y4) dy=0 M

N

  N  18x 5 y 2  20x 3 y 4   18x 5 y 2  20x 3 y 4 y x f ( x, y) M x f ( x, y)   (6x 5 y 3  4 x 3 y 5 )dx  g ( y )  x 6 y 3  x 4 y 5  g ( y)

 f (x, y)  xCosy  ySenx  C

25


N 


f ( x, y)  3x 6 y 2  5y 4 x 4  g '( y )  3x 6 y 2  5x 4 y 4 y g' ( y )  0  g ( y )  C

dM dy

6)

3

4

 2 ye y  2xy e dk df ( x, y) M dk

5

(2x3+3y)dx + (3x+y-1)dy = 0 M dM dy

 3

df ( x , y) dx

N 

N 

 3xy  g ( g )

f ( x , y) y

 f ( x , y) 

7)

 3x 



x

g' ( y)

 3x 

y  1  g (y)

4

2

8)

 3xy 

y



y



yC



y



yC

N

4xy

f ( x , y)

2

2

M M

2

y

(2xy2 + 2y)dx + (2x2y+ 2x) dy = 0

y 1



k





2

 N y



4xy



2

M

f (x, y)  (2xy  2y)dx  g ( y)

(y2exy2 +4x3)dx + (2xyexy2 – 3y2) dy = 0 M

f ( x, y)  2xyexy2  g '( y)  2xyexy 2  3y 2 y

 f ( x, y)  e xy 2  x 4  y 3  C

4

g' ( y )

M

g'( y )  3y 2  g ( y)   y 3  C



2

3

dx

f ( x, y)  (2x 3  3y)  g ( y) x

3 xy 2

df (x, y)

M



2



3

dx

x

f ( x, y)  ( y 2 e xy  4x 3 )dx  g ( y )

N dN

 2 yex y 2  2xy 3e xy 2

dN

 f (x, y)  x y  y y  C 6


2

= x2y2 + 2xy + g(y)

N

26


N 

f ( x , y) y

2 yx  2x  g' ( y )





0  g ( y)

x 2 y2

 f ( x , y) 



f ( x, y)  (2xy 3 yCosx)dx  g ( y )

2x 2 y  2K



2xy



C



C

N 

(exSeny + 2ySenx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0 M M y

e

x

f ( x , y ) x



 N y

e

x

Cosy  2Senx

11)



M M

x

=

exSeny

y

+ 2yCosx + g(y)

y

f ( x , y) x





M

Cosx 

 N y

 6 xy

2

Cosy  2Senx 



 N y

e

x

Cosy  2Senx

M



= e2y3 + ySenx + g(y)

N 

N 2

N

f (x, y)  (2xy3  yCosx)dx  g ( y )

(2xy3 + yCosx) dx + (3x2y2+ Senx) dy = 0

 6 xy

x

x

 f ( x, y)  e x Seny  2 yCosx  C

M

e

f ( x, y)

f ( x, y)  e x Cosy  2Cosx  g'( y )  e x Cosy  2Cosx N  y g' ( y )  0  g ( y)  C

M

(2xy3 + yCosx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0

M

f (x, y)  (e Seny  2ySenx)dx  g ( y)

10)

f ( x, y)  3x 2 y2  Senx  g'( y )  3x x y 2  2Cosx y g'( y )  0  g ( y )  C

 f ( x, y)  e x Seny  2 yCosx  C

N

Cosy  2Senx 


= x2y3+ySenx + g(y)

g' ( y )

9)




f (x , y)  3x 2 y 2  Seny  g' ( y )  3x 2 y 2  Senx y g'( y)  0  g ( y )  C

 f ( x, y)  x 2 y 3  ySenx  C * Cosx

12)

(Seny+ySenx+ M

1 x

x) dx + (xCosy. Cosx+

1 y

) dy

N

27



N 

M  Cosy  Senx y  N  Cosy  Senx x f ( x, y) M x



N 

1 y



g '( y)   f ( x , y) 

y

1

 g ( y) 

Lny  C

xSeny  yCosx  Lnx  Lny  C

FACTORES INTEGRANTES 1

1)

(x2 + y2+x) dx + xy dy = 0

y

M M y

13)

(

1 x2



x

Arctgy)dx  ( 1  y2



Arctgy)dy  0

e M

N

 2y 

2x  y y



1

xy

x

 f ( x ) 



e

N

1



y

1 x

f ( x , y )



x

2



1 1 y

2



 N x





x

y

 f ( x)

dx

x

x

1 1  y2

M

y f (x, y)  (  arctgy)dx  g ( y) 1 x2 = yarctgx + (arctgy) (x) + g(y)



 N

x(x2+y2+x) dx + x2 ydy=0

Luego: M

 arctgx

 f ( x, y)  yarctgx arctgy C

xCosy  Cosx  g '( y )  xCosy  Cosx 

1

2

g' ( y )  0  g ( y )  C

) dx  g ( y) x = xSeny + yCosx + Lnx + g(y)

y

f (x, y) x x  Arctgx   g'( y)   arctgx 2 y 1  y2 1 y x

f (x, y)  (Seny  ySenx 

f ( x , y)


M M



y

2xy 

f (x , y) y



 N x

N 

2xy

M

28



M  N  1   1 y x f ( x, y) M y



f ( x , y)  ( x 3  xy 2  x 2 )dx  g ( y )



N 



2)

x4

x2y2



4



2

x3 3

 g ( y)

f ( x, y)  x 2 y  g '( y )  x 2 y g' ( y )  0  g ( y )  C

f ( x, y) 

x

4

2



x y

4

2 

2



f ( x, y)  (

 

3

C N 

(1 - x2y) dx + x2 (y-x) dy = 0 M

3

 y)dx  g ( y )

x

 xy  g ( y )

f ( x, y)   x  g' ( y )  y  x y

g' ( y )  y  g ( y ) 

N

 f ( x, y)  

M  N  2y  y y x 2x  y 1   f ( x ) xy

1

x2 1

3

x


3)

1 x

 xy 

y

2

2

y2 2

C

(2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0

x

M

e

 f ( x ) 

e



dx x



1 x

M

2

y M

Luego:

C

1 x2

(1  x y)dx  2

M

1 x2

(x y  x )dy  0 2

3

y

 8y

3

xe 4

 2xy

(8y 3 xe 4 N

N



4

ex



2xy 4 e 4

 2xy

2

 6y

(2 xy e

1

3

2xy 4 ey  6 y 2 4

2

4



 1  2xy

2xy

3



4

ex

y)



2xy 2

 3)



4 y

 g ( y)

29


e

 g ( x )



4 dy

e

1



y


y4

Luego: 1 y4

4

4

(2xy y e

4

2 xy



3



y)dx 

1

2

4

(x y e

y4

4



2

x y

2



3y) dy  0

M  y M  y



x e  2

N 

f ( x, y)

4)

y x



y

g' ( y ) 

y



dx  ( y

M

3



2x



y

 x2



 g ( y)

1

2



x

e

 g ( y)

y

 dy

1



y

y3

y2

x2 y

 g' ( y ) 

4







y

3

1 2

x 2ey



x2 y

2



x 

3x y4

y x

dx 

1 y2

( y 3  Lnx ) dy  0



 N

N 

x

1

y2 x

M

f ( x , y)  (

 



y x

f ( x , y)

C x

y

.

2

M M

 g ( y)

1

Luego:

y

x

y

Lnx) dy  0

N

)dx  g ( y)

y3

 3x

0  g ( y) 

1



y

x 2e y

f ( x, y)  x 2 e y

x

N

M  N  2xe y  2xy 2  3y 4   2xe y  2xy 2  3y 4 y x f (x, y) M y f ( x, y)  (2 xe y 

 N  1  x y



2

e M

1


dx yx

Lnx y

 g ( y)  g ( y)

C N 

f ( x, y) Lnx Lnx  2  g' ( y )  y  2 y y y g' ( y )  y  g ( y ) 

 f (x, y) 

Lnx y



y2 2

y2 2

C

C

30


5)


(2xy3y2+4xy2 +y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0 M M y

3

2

e

3

x

2



y  x)

4x( y 2

x

y3 )

2( y 3  x 2 y  x )



x2 

M

6)

 4e

3

x2

x2

3

x y  4e xy  4e x y



3

x2

4e x y  4e x

2x

2





e x2 y 

ex2x 2 y2 2



3e x 2 4



2e x 2 xy 

2e x 2 x



e x2 y

ex2 y x

e y4 2

x2



e y2

M

3



2e

x2

y

2

 4e

x2

dx

 ex 2 y 4 2

x2

xy  4e xy

3





2 xe x 2 y  h ( x )

N

xCosy  Cosy  ySeny 



2e

x2

xCosy  ySeny

e x2 y 4

e

x2

x

 Cosy

 1  f ( x )

Luego: x2

2

 N

e  f ( x )  e  dx  e x

M



x

e x2 y 2

xCosy  Cosy  ySeny  Cosy x2

f ( x , y)



2



(xCosy-yseny) dy + (xSeny-yCosy) dy = 0

M x2

f ( x , y)  (2e y  2e x y  2e

f ( x, y)

e x2 y 2



2

M

M

e x2 y 4

f ( x, y) 

N



e x 2 x 2 y 2  2xe e 2 y  2e x 2 x 3 y 2  4e x 2 x 2 y  2e x 2 x 3 y 2  e x 2 xy 4  2e x 2 y

x2

2

y

2



 x  f ( x )

e x (2xy3 y 2  4x 2 y  2xy2 d  xy4 x  2y) dx  2e x ( y3  x 2 y  x)dy  0

 N

ex 2 y 4

h(x)  

Luego:

y

ex 2 y 4 2

 4xy  2

y

3

 e  2 xdx  e

g( x)

M

 4xy  4xy  2  4xy  2

(2xy 3  x 2



N

 4 yx  4x  4xy  4xy  2 

(4 y 3  4x 2

h' ( x) 


3

x2

2

3

x2

x2

) dy  h ( x )

e (xCosy  ySeny)dy  e x (xSeny  yCosy)dx  0

 ex 2 x 2 y 2  2 xe x 2 y  h ( x )

x 2 y 2  2xe e 2 y  h' ( x )  2x 3 e x 2 y 2

 4e

x2

x 2 y  2e x 2 xy 2  e x 2 xy 4

M  2e

x2

N

y

31



M  N  Cosye x x  e x Cosy  e x ySeny   Cosye x x  e x Cosy  e x ySeny y x f (x, y) M x



Integrando respecto respe cto a “x”: “x”: f ( x, y)  Lnx 

N 

f ( x, y)  (e xSeny  e yCosy) dy  g( y) x

x

f ( x, y) y

 Cosye

x

( x  1)  e y Cosy. ehySeny  g' ( y )

4

y

g’(y) = 0  g(y) = C e

x

xCosy

e

x

8)

7)

2

y dx

Homogéneas eas  N(dx, dy)=14 N(x,4) Homogén

M



dy

x



(x 4



y 4 ) x  ( xy 3 ) y



Entonces: 1 1 ( x 4  y 4 ) dx  5 (xy 3 )dy  0 5 x x df

df

dx

dy

2

1 x r

2

(x



2

dx

2



2



1 y( x 2 y 2 )

2

xy  y )

y( x 2 y 2

(x y )

f ( x, y)

Mx  Ny



y( x 2 y 2 )

1

Es homogénea.

Entonces:

N

Luego: 1

C

y x  ( x  xy  y ) y

4

(x4+y4) dx – xy3 dy = 0

M(dx, dy)=d4 M(x,4)

4x 4

1 2

f ( x, y)  Seny e ( x  1)  e Cosy  C

M

4

y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Luego:

x

y

 f ( x, y)  Lnx 

ySeny

g’(y) = 0  g (y) = C 

 g ( y)

4x 4

f ( x, y)  y 3  y3  4  g' ( y )  4 y x x

 Senye x ( x  1)  e x yCosy  g ( y) N 


2 2





 N

dx

dy  0

y2 ) 

x

2



2

y

2

2

(x y ) 2

M

 y  dx  g ( y) 2 2  y   x  y  1   g ( y ) f ( x, y)  Ln 2  x´ y 

  x

f ( x, y)  

N 

2 2 f (x, y) 1 1 (x  xy  y )    g' ( y )  2 2 y 2(x  y) 2(x  y) y(x  y )

32


1

g’(y) =

10)


  (x, y) 1  4 4 (2xy 2  y) x x y

 g(y) = Lny + C

y

1  x  y    Lny  C  f (x, y)  Ln 2  x  y  y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0 (2xy2+y) M



dy M

dx +

(x+2x2y  N

4xy  1

dx

–

1

x4y3)

f ( x, y)  f ( x, y) 

dy = 0

y

4xy  4x 3 y 3

x

Usamos: 

y

4

x y

 N

 N

x

4x 3 y 3 f (x )'

 (x  



f (x ) g( y)' f (x )

4



4





x

( x , y)  f ( x ).g ( y)  M

1 4.

x y M

x y

M

4

4

y

 (2 xy

2

4

x y

 x 2 y

2



4



 x 3 3y

  x 2

dx  g( y)  d

 g( y)  

3

2  y

1 2

x y



2



 x 3    g( y) 3 3y 

1 3y 3 x 3

 g( y)



y)

f (x )  x g( x )  y





g ' ( y) g ( y)

x 4

x y 

1

y

4





g ' ( y) 

f ( x, y)  

x2y2



4

x y

g( y)  Ln y

Reemplazamos: 1 1

4

x

3y 3 x 3



4



2x 2 y 4

x y

4

x 4 y3



4

x y

4

C

 Ln ( y)  C

4

FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN

1 4

x .y

4

M y

( x  2x 2 y  x 4 y 3 )



f ( x )

Lng( y)  4Lnx

( 2 xy  y)

M

4

g ' ( y) 

g( y) f ( x ' )





g ' ( y)

Lnf (x )  4Lnx

2

1 4.

f ( x )



2x 2 y  x 4 y 3 )

x 

f ' ( x )

2

f ( x, y)  N y

Pero: 2x 2 y

M

(2xy  y)

f (x, y) 2x 2 y x  4 4  4 4  g' ( y) y x y x y

 N




 N x

 N x

 

2 3

x y

3

2 3

x y

3

 

3 4

x y

4

3 4

x y

4

Ahora:

Resolver Res olver las las sigu s iguientes ientes Ecuacion Ecuaciones es Diferenciales Diferenciales 1)

ydx + x(1-3x2 y2)dy = 0 ydx + ydx – 3x 3x3y2 dy = 0 2

… Multi Multiplica plicando ndo por: 

 (xdy  ydx)  2x y dy  0 … en: 3

3

2

2 3

1 3

x y

3

33


2 ( xdy  ydx)



3

x y

x 3 y3

3

2 ( xdy  ydx)



3

3 d(

1

x y



2x 3 y 2 dy x3y3 2dy y

2

(x  y ) 2

2



(x  y ) 2

x

1

x

x

dx  0

C

xdy – ydx ydx + (x2+y2)2dx = 0

2 (x  y ) 2

2

(x 2  y 2 ) 2

0

2

(x 2  y 2 )

(x 2  y 2 )



(x 2  y 2 ) 2

1 d( x 2  y 2 )

2 

 d( y )  0

1 d(x  y ) 2

2

xdy  ydx

 4 y 3 dy  0

1 d( x 2  y 2 )

2

x2 1



y

4)

(1  x 2 )

 ( 2  1)dx  0 x2 x x 1 d( )  d( x  )  C y x



0


Sabemos que: xdx + ydx =

xdx  ydx

1

x xdy  ydx

0

 2Lny  C

2



2



(x  y ) 2

3)



xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0 xdx  ydx 4 y3( x 2  y 2 )dy

2

xdy  ydx

 2 x 3 y 2 dy  0

1 2. )  d( 2Lny)  C ( xy) 3 1

.

3

1

3 ( xy) 2)

3

2 ( xdy  ydx)





3


4

5)

(x 2  y 2 )

1

1

2 (x  y 2 ) 2

1 2

d( x 2



y2 )

dx  0

  dx  C

xC 1  x 2 y 2 dx  0

x(xdy+ydx) +

  d( y 4 )  0

Ln x 2  y 2  y 4  C

xdy – ydx ydx – (1-x (1-x2)dx = 0

x ( xdy



ydx)

x 1  x2 y2



1  x 2 y 2 dx x 1  x 2 y2

1

(xdy  ydx)

2

1 x y

 x

2

2



 1 dx 2

x

x



0

0

34


1/ 2

 d(1  x y ) 2

2

(1  x 2 y 2 )1 / 2

6)



 


(x 2  y 2 )

dx C x

(x  y ) 2



2

C

xy ( xdy  ydx) xy

(x 2  y 2 )

dx 

( xdx  ydy) x

y x

( x 2  y 2 )dy  dy  0



( xdx  ydy) x

11)

0

xdy  ydx

( xdy  ydx)

xdy  ydx

1

 2 d(x

2

0

x2  y2

y

 y 2 )   d(arc Tg ( ) )  C x



1

y ( x 2  y 2 )  arc Tg ( )  C 2 x

10)

(x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx)

0

xy( x 2  y 2 ) ( xdy  ydx) (x 2  y 2 )

0

xdy – ydx = x2 x 2  y 2 dx

x2  y2

(x 2  y 2 )

xy( xdy  ydx)

0

y Ln ( xy)  arc Tg ( )  C x

( x 2  y 2 ) ( xdx  ydy)  ( xdy  ydx)  0 ( xdx  ydy) 



(x 2  y 2 )

 d(Ln(xy))   d(arc Tg ( x ) )  0

y  2 y 2  2 2 ( x  y )  x  dx   x ( x  y )  1 dy  0 y



( xdy  ydx)

y

(x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0

x

( xdy  ydx)  xy

( xdy  ydx)

Ln x

(x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0

( x 2  y 2 )dx 

2


x

2

x 2  y2 x 2  y2

dx

 xdx  0

y x2 d(arc Sen ( ) )  d ( )  C x 2



y x2 Arc Sen ( )  C x 2

12)

x3dy – x2ydx = x5y dx xdy – ydx = x3y dx ,

para: x  0

35


xdy  ydx


1dx

 x 2 dx

xy

x 1 2

y x3 dLn( )  ( ) x 3



dx x 1 2

y x3 dLn( )  d( )  C x 3





3

y x Ln( )  C x 3

13)

15)

Multiplicamos por x2y 3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0

 d( x

3

+

d(x4y3)

= 0

y2 1



dy dx



y2 1

  d( xy)  C

ydy - yx2dy - xdy = xy2dx = ydx ydy – (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy  x 2 y 2    d( xy) ydy  d  2 

y2

x 1  y 1 2

2

Para : x  1, y  2

y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dx

y 2  1 y y 2  1 x 2  1 dx  x 2  1 x x 2  1 . y 2  1 dy  0

Todo entre :

dy

y(1  x 2 )  2

 ydy –  d

y 1 

 d( xy)  0

y( xy  1)

y 2  1 (1  y x 2  1)dx  x 2  1 (1  x y 2  1)dx  0

2

 ( ydx  xdy)  0

ydy - yx2dy – xy2dx = ydx = dy



y 3 )  d( x 4 y 3 )  C

x 3 y3  x 4 y 3  C

14)

x 1 2

y2 1 dy



dx

1dy

Ln x  x 2  1  Ln y  y 2  1  xy  C

3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0

d(x3y3)




x  1 ( ydx  xdy)  0 2

2



y2x 2 2

(x 2 y 2 ) 2 

xy



  d( xy )  C C

y2 – x2y2 = 2xy + C

Para: x=1 , C=4

1 y2 1

x2 1

Su solución particular es: y2(1-x2) – 2xy = 4

36


x  2 1  y Cosy dy


– ( ) y= (

2

16)

arseny dx + arsenydx 

1 y

xdy 1 y

2

2

0

y=

+ 3x – 2) .

y=

 2Cosydy  0


.

y=x.

y=x.∫ d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0

+ 3x – 2lnx ) + c )

y= x(

 d(x . arcseny) +  2Cosydy = C

y=

+ 3

- 2xmx + kx

x . Arcseny + 2Seny = C

3) ( x-2 )

PRACTICA 5

y= y= y= U = 4x du = 4dx dv = v= 4x = ∫ . 4xdx ∫ .4xdx = 4x . - ∫ = 2x. y= . y = 2x + .k

= +

+

4xdx

– (

) y = 2 ( x – 2 )

4)

+ ydgx =

x= Y = -4

y= y=

2

–

+ 3x – 2

+ 2 ( x – 2

y = ( x – 2 ) ( - 4x + 2c ) y= - 4 + 2cx – 2 + 8x + 4c y= -6 + 8x + 2c ( x + 2)

∫ .4xdx = ∫

=y+

=

y = . 2( x – 2 dx + c ) (∫ y= .( . 2 (x - 2 dx + c ) y = ( x – 2 ) . ( ∫( x – 2 dx + c ) y = ( x – 2 . ( 2 ∫ (x – 2) dx + c ) y = ( x – 2 ) ( 2 ( – 2x) + c )

I).- ECUACIONES LINEALES. 1) + 2xy = 4x

2) x

= y + 2( x – 2

. .

y = (sen x y = (sen x c=

. sen x dx

37



u = sen x du = cos x dx dv = dx v = . sen x -

dz = dx -

y=

-

-4 =

Reemplazando en la ecuación: -∫

sen x dx

z=

= z – x

–

sen x dx = .5

=1-

=1-

u = cos x du = sen x dx dv = dx cos x + sen x dx sen x dx = . Sen x – cos x .

y=


z-

= z – x

+ -

+

= -x

k = 6,5

5)

+ ( 2 – 3 +(

-

y=

)y=

dz = xdx

)y=1

=

.

z=

y=

+c

y= y= y=

.

y=

.

Reemplazando:

y=

6) Hacemos cambio de variable: z= lny = x – z

z = x – lny x – lny =

c=

+c

+ x - lny

38


8)

+ ey =

+ 2x


-

Resolviendo: + 2y =


De la e cuación general + 2x

p (x) = 2, q(x) =

+ 2x

y=

La ecuación general: y= y= y =

y=

y=

y=

Integrando por partes: y=

y=

)

+ cln(x)

+c 10)

9) xtnx

)(

-y=

(eln(x) – 1)

Resolviendo: De la ecuación diferencial:

+

– Ø(x)

(x) = 0

Resolviendo: De la e cuación diferencial: +

= Ø(x)

(x)

39


De la ecuación general: y=



x=

( x=

∫

y=

) x=

Integrando por partes: Integrando por partes: u=

⤳ du =

x= dx ⤳v =

dv =

x=8 y=

(

) 12)

y=

+c.

– y ctg x = 2x -

ctg x

- 1+c Resolviendo:

11)

=

=

y= ⤳

= x sen y + 2 sen 2y

= - (sen y) = 2 sen 2y, ecuación lineal en x:

y=

Simplificando: y = sen x

40



Integrando:

y = ln (1 +

y = sen x (

+ x + cosec x + c) =

+ c)

,

y=

+1=

+c

c=1

∵ y=

) ln (1 +

donde: c =

-

)

- 2xy = ln (1 +

,x

+ sen x c=

13) (1 +

+c)

+1 para: y

∵

ln (1 +

+ c sen x y = ar ctg x+x ln (1 +

x=


= 0 – 0 = 0

-

) – 2xar ctg x c=0

y= ,x

-

14)

y=

- 2xy = cos x – 2x sen x

Resolviendo: = cos x – 2x sen x

De la ecuación general: y=

y=

y=

y=

y= y = ln (1 +

⟹ (

dx + c)

41


y = sen x + e


, x varia x = -1; x = 1 x

-y=x

∵ y = sen x

15)


-

= x

= -4

+

= -4x

Resolviendo: =

=

- x de donde:

+x=

Luego:

z=

= -4

Reemplazando:

Ecuación lineal en x

+ 4z = -4x

x=

z=

Integrando tenemos:

.

x= z= x=

+c.

Resolviendo por partes:

II.- ECUACIONES DE BERNOULLI 1)

–y=x

.

u=x

du = dx

dv =

v=

(1 – n) z= 1 – (5)

42



z = -4x – 4 + c .

z=

Reemplazando: z = = -4x – 4 + c .

2)

+ 2xy + x

=0


.

z=

.

z=

.

Resolviendo por partes: z=

= 2xy = -x

.

z = 3x + 3 + c . + 2x

= -x (-3) Reemplazando z =

- 6x

= 3x = 3x + 3 + c .

Hacienda cambio de variado: z=

-

Reemplazando:

3)

+ y=

+ y=

.(

)

= 3x +

=

. ( -3 )

43


3

-

4)

=

z=


=3

+y=

+y=

– z = 2x – 1

z=

z=

.

.


.

z=

.


+

=

+

=

z=

=-

Reemplazando: - z = sen x – cos x

z=

.

z = x – 3 + c z=

.

z=

.

Remplazando z = = x – 3 + c


44


z=

.

z=

.

z=


=

Reemplazando:

z=

+

.c

Reemplazando:

=

z=

–

(1 + lnx) = 0

(1 + lnx) = 0

.

z=

.

z=

.


–(

.

z= dx = 0

– y + x

= 2 (1 + lnx )

z=

.c

5) xdy –

x


.

(1 + lnx) z=

–(

= 1 + lnx (-2) z=

–

= 2(1 + lnx)

45


Reemplazando:


z=

z=

=

z=

6) 2xdy + 2ydx = x

z=

+

= +

(

+

z=

(-2)

7)

.c

z=

.c

=

=

= -2

= -1

= xy +

z=

z=

+

Reemplazando:

+

–


- xy =

2

– 2y

(x)

(2)

=2

46



Haciendo cambio de variable: z=


=

= 2x 8)

(

-

)

= 2x

- 2yz = ( z=

-

= 2x

=

z= = Resolviendo por partes: =

z=

-

+

=

.

(x)

z=

z=

Reemplazando:

x

2x

+

+

=

(2)

=

z= Haciendo cambio de variable:

47


z=

= 2x

-

=


9) ydx + ( x -

y

) dy = 0

+x-

z=

+ -

z=

+ =



=0

=0

(

+

=

(-2)

z= -

z=

-

+c.

Reemplazando:

= -1

z=

= -2

Reemplazando:

z= =

-

= -1

+c. z=

.

48


z=


.

z=

+2(

.

z = -1 +


)

Luego: z = .c

+2(

-2sen x

= -2

)

-2sen x

Reemplazando: z=

z=

= -1 +

c

z=

10) 3xdy = y( 1 + x sen x - 3 sen x ) dx z= 3x dy = ( y + yx sen x – 3x

sen x ) dx Resolviendo por partes:

=

sen x -

-(

)

-(

sen x

sen x

)

sen x

z=

(

z = sen x – cos +

.c

(-2)

49


11) 3x


z=

- 2y =

z= -


=

+c.

.( Reemplazando:

-

=

-

z=

=

z=

= 3

-

=

12) (2x

- y) dx + 2xdy = 0

– y + 2x

2x

=

– z=

+c.

.

+

– z=

z=

z=

.

=0

=

.

=0

–

.(

=

–

. (

=

50


z=

= -2


13) 2y

Reemplazando:

+


cosec x

+

- =2 +y z=

(y)

. y

z=

+

(2)

. 2y

z=

+

. z=

z=

= 2

. Reemplazando:

z =.

+ zctg x = cosec x

Remplazando: z=

=

z=

.

z=

.

z=

51


z=


-

z=

+

.z=

z=

Reemplazando:


.

z=

.

z= z = ( x + 1). =

+ z = ( x + 1).

14)

+

+(

=

=

+

-1

=

-

z = ( x + 1)

.(

. (-1)

=

z=

Reemplazando: z =

= z=

= -

Reemplazando:

52



PRACTICA 6

1

2 2



ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “N”

2 3 e

 x






0

0

I) INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES 1)

x

1 2

  2

x

2



0............ 1

Derivando x

1 2



  2 2

x



 

0............ 2

(1) + (2) x 21 2  0   1  0

 71 y 72 son L.I

  2  0

0

 3





1



1

3) 

1

x 



 2

,  2 3



0

no aon L.I

2  2x    3 x2 2 2

1





3





2 x3 3

0

1 senax   2

1

 0.............

2



0.................. 2

 2

cos ax



2 2



1



 1 , 2 y 

n son L.I .

0

2)    x     x     x  0 1

1

2

2

3

1 e x   2  2e x   x3 e  x  0......... 1  1 e x  2 2 e x   3 e  x  0............ 2  x x 21 e  4 2 e  0

53


ax 1   2  tenemos 1

2ax   2 2bx   3 2cx  0

0   2  b  a  2bx   3  c  a  2cx  0 1 a

2

2ax   2 b 2 ebx   3 c 2 2cx  0

a 2 x 1   3  tenemos 1 e

ax

  2 ebx   3 ecx  0



a1 cos ax  a 2 senax  0 de (1) xasenax a1 sen 2ax  a 2 cos ax.senax  0 de  2  x cos ax a1 cos 2 ax  a 2 cos axsenax  0 a sen ax  a 1 cos ax  0 2



2



0   2  b  a  2bx   3  c  a  2cx  0

a 1 sen 2ax  cos 2 ax  0

0   2  b 2  a 2  2bx   3  c 2  a 2  2cx  0

a1  0  1  0   2  0

5) f1  x  1; f2  x  x; f3  x  x2 

4)



1

senax   2 senax  0

1

  2   3 x 2  0 derivando

0   2  2 3 x  0 derivando 0  02 3  0

  3  0 y  2  0;  1  0  f1  x  , f 2  x  y f 3  x  son L.I .

54


6) f1



ax

ax

ax

1

ax

1





1

a

2 senbx; f2  x  e cos bx

2 senbx   2 2ax cos bx



R



senbx   2 cos bx







0

0





 

0 derivando 2

1 xbsenbx   2  x cos bx

b1

cos

0



0   2



0

derivando

1 a

2

2ax   2 b 2 2bx   3 c 2 2cx



0

a  b x 2  3

0 

ax



bx

2 ; f 3  x

 2 (3)

2ax   2 2bx   3 ecx  0.................................. 4

 c  a a  b  c  a  2cx  0

b  a  2

bx

 0 como b  a

  2  0

f1  x  y f 2  x  son L.I . 2 , f 2  x

1

tenemos

como a  c  c  b

2



derivando



2

0  1

7) f1  x



2 2 cx 0  0   3  c  a  a  b    c  a  2  0....  6 

b 1  sen bx  cos bx   0



2ax   2 2bx   3 2cx

2ax   2 b 2bx   3 c 2cx

3



c

2



b1



0   2  b  a  2bx   3  c  a  2 cx  0................... 5

bx  b 2 senbx cos bx  0 2

b


1 a

1

b1 sen 2bx  b 2 senbx.cos bx  0 2



1

senbx   2 cos bx  0 derivando 1

b1 cos bx  b 2 senbx




 x 

2

de (4)



1

2ax  0   1  0

 f1  x  y f 2  x  son C .I .




8) f1  x   ln x; f2  x   ln x y f3  x   x2 ln x 

1

Lnx   2 xLnx   3 x 2 Lnx  0

como Lnx  0



1

  2 x   3 x 2  0 derivando

0   2  2 3 x  0

derivando

3)

0  0  2 3  0

  3  0;



2

 0 y  1  0 4)

 f1  x ; f2  x y f3  x son L.I .

WRONSKIANO

1)

5)

2)

56




6)

10)

7)

8)

III) MEDIANTE EL WRONSKIANO, DEMOSTRAR QUE CADA UNA DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DE FUNCIONES SON L.I. Para demostrar que son L.I. basta probar que la determinante es distinta de cero. 9)


= ln2 x + lnx – lnx = ln2 x

1>

2>

=


0

lnx, xlnx son L.I.

L.

L1(x L2(x

= -12 2

x

7>

0

=

=

-

=

0 cuando x

4>

=-

(

+

)=-

5>

= -2senx cosx

cos2 x

y

9>

=

0

6>

cuando x

= x

Z

-

cos

x -1

c

=

=48

=48

=

+ 12sen 3 x =

mk, K

-

1

=

sen2x cosx – 2cos2x senx + 0

0;x

son L.I.

=

10>

2sen x

=

-

=

3

=

0

=

-

+

8>

Sen 3>


=

=

=

0; x

=2

1

-1

58



IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SU WRONSKIANO ES CERO (GRAFICARLOS)

3)

SI

XE [-2, 0]

XE [ -1,0 ]

1 f 1 (X) + 1

SI

XE [0, 1]

X2 +

20

0+

=0

2 X =

1 =

=

0

2X

0

XE [0, 1]

1 f 1 (X) +

2 f 2 (X) = 0

0

0 +

0 f 1 y P 2 Son L.I.

2 =

0=0

=1 0y 1P

P2

son L.I.

2 f 2 (X) = 0

2

X2 = 0

2 = 0

WRO SKIANO EN [-2,0]

0

X3

UROSKIANO EN [-1,0] X2

2 f 2 (X) = 0

2 f 2 (X) = 0

1 f, (X) + 2

1 f 1 (X) + 3 1 X + 2

SI 1) SI


W=

0 2

3X

=0

0

=0 UROSKIANO EN [0,1 ]

UROSKIANO EN [0,1] 0

=

W=

X

0

=0

2X

2) SI XE [0, 2]

1 f 1 (X) + 10

Si

X2

0 2

XE[2, 4]

+

2

2

0

1

2X

-8 2 f 2 (X) = 0

(X-2) 2 = 0

1 f 1 (0) + 1 (X-2)

-2

=0 0

2 = 0

X

Son L.I.

2 f 2 (X) = 0

+ 0= 0

f 1 y P 2

4) f 1=

1 = 0

-X2

-1 < x < 0

2

X

2 f X2 (X) =

0
-1 < x < 0 0
WRO SKIANO EN [-0,2] (X-2) 2

0

W=

0

2(X-2)

2 1 X -

SI XE [-1, 0]

4

=0

1

X2 +

SI XE [0, 1]

WRO SKIANO EN [2,4] (X-2) 2

W=

0

2

2 X =

= 0 ( X) = 0

=0

1 = 0

2 f 2 (X) = 0

0

2=

0

f 1 y P2 son L.I.

4 UROS KIANO EN [-2,0]

0

=0 2(X-2)

2

20

1 f, (X) +

0+

0

2 2 X

X3

0

W=

= 2

3X

0

-1

59




UROSKIANO EN [0,1 ] X2

0

W=

= 0

-1

2X

-1

PRÁCTICA Nº 7 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

-1

V) DEMOSTRACIONES

I)

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMO GÉNEAS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

1)

r 2  r  2  0

A) Raíces reales distintas. 1. y" 2 y´ 15 y 

r

2

r

1



Ecuación característica

r  2 r  1

2   2 15  0  (  3) (  5)  0

3 5



yg



C1 e

0

2 x



C2 e

2x



   5

raíces de la ecuación

La solución general es:

3) r 4  r 3  3r 2  5 r  2  0

 r  1  r  3r  2   0

  3

5 x 3 x y  C 1 e  C 2 e

3

3. y"  y  0 Ecuación característica

 r  1 r  2  r 1  0

2



1  0



(  1) (  1)  

r1  1, r2  2, r 3  1

1

  1

Raícesde la ecuación

La solución general es: y  C 1 e  x  C 2 e x

yg  C1 e x  C 2 e 2 x  C3 e x

7. yg  C4 e x  C 2 e 2 x

y´´´  6 y"  11 y´  6 y  0


60


3




 6 2  11  6  0  ( 1) (  2) (  3)  0  1   2   3 Raícesde la ecuación


B) Raíces múltiples

1. y´´´  3 y"  3 y´  y 

0


1

2

1

-6

11

-6



1

-5

6

1

-5

6

0



2

-6

1

-3

0

3



9.

3 x



( 1)3  0  1

Raícesde la ecuación de múltiplicidad 3

La solución general es: y



2

C 1 e x  C 2 x e x  C 3 x e x

3. y IV  yI II  9 y II 11 y I  4 y  0

La solución general es: y  C 1 e

 3 2  3 1  0

 C e x  C e x 2

2

Ecuación característica:

3

4

y´´ 4 y´  1 0





3 3  9 2



11  4  0



Ecuación característica 3



( 1)3 (  4)



0

   1

 4  1  0

 

4

Raíz de la multiplicidad 3

 (4)  (4) . 4(1) (1) 2

 

 

 

2(1) 4 2 3 2

 1  2  3   2  2  3

( 2 3 ) x

 C 2 e( 2

2

Raíces de la ecuación

-1

-1

-1


y  C 1 e

4  12

3 ) x

1

-1

-9

-11

-4



-1

2

7

4

1

-2

-7

-4

0



-1

3

4

1

-3

-4

0



-1

4

1

-4

0

61




C 1 e



x





y

C 2 x e

x





2

C 3 x e

x





C 4 e




C 1 e  x  C 2 x e  x

9. y IV  8 y II  16 y IV

5. y



6 y

II

 12

II

y

8

y

I

0

 (

4



2

 6  12  8)  0

2

e  x

0


Ecuación característica 3

 C 3 x

4 x



 ( 1)

3

0

1

-6

+12

8 2  16

2



  0   2



2





0

( 2  4) ( 2  4)



0



4

(  2)(  2)(  2)(  2)  0



4

(  2) 2 (  2) 2  0

Raíz de multiplicidad 3

   2   

-8



Raíz de multiplicidad 2 Raíz de multiplicidad 2

La solución general es: y  C 1 e 2 x  C 2 x e 2 x  C 3 x 2 x  C 4 xe 2 x

1

2



2

-8

8

1

-4

4

0



2

-4

1

-2

0

1.



C 1



C 2 e

2 x



C 3 x e

2 x



2

C 4 x e

Ecuación característica 



2

3



3  1  0



( 1)

3



0

   1


"

 y 

0

 4



1 0

2



 1



i

Raíces de la Ec.

2 x

La solución general es: y  C 1 Cos x  C 2 senx

7. y III  3 y II  3 y I  y  0 3

y



C) Raíces complejas

" 3. y  4 y  0 Ecuación característica

 2  41  0    4 2



   2i

Raíces de la Ecuación


62



La solución general es: y  C 1 Cos 2 x  C 2 sen2 x



5. y  4 y´  13 y  0 Ecuación característica



C 1 e

 x

cos(3 x)



C 2 e

x

sen (3x)

"

" 9. y  2 y´  4 y  0 Ecuación característica

2

  4  13  0

2

 



 ( 4) 



(4) 2  4(13)(1) 2(t )



 

4  16  52





 (2)  (2) 2  4(1)(4) 2(1) 2



4  6i   2  3i   Raíces  2   2  3i

4   36 2



7.

y

"

 y´ 



C 1 e 2 (3 x) x



3i

Raíces de la ecuación 3i



C 1 e x cos( 3 x)



C 2 e x sen ( 3x)

C 2 e 2 sen (3x) x

"

10. y  6 y´  25 y  0 Ecuación característica

Ecuación característica 2     13  0

 

 1 1    2 1 

3i

2

y

y 0

 

2 2



 12 2

2 



 2   4  0

 2  6   25  0

 (1)  (1) 2  4(1)(1)

 

 (6)  (6) 2  4(1)(25) 2(1)

2(1)

 1  3 2

 1  3 i  1  2 Raíces de la ecuación     1  3 i  2 2

 

6

36 100 2

63






6


 1  3  4i Raíces de la ecuación   2  3  4i

 64 2


 4 1  0 2 2 (  1) (  1)  0

  i

  i

  1

  1

Raíces de la ecuación.

La solución general es: La solución general es:

y  C 1 e3 x cos(4 x)  C 2 e3 x sen (4 x)

y  C 1e x  C 2 e  x  C 3 cos x  C 4 sen x

D) Raíces de cualquier índole I

IV

I 4. y  2 y  y  0 Ecuación característica

III

I 1. y  4 y  0 Ecuación característica 3



4



 4   0 2

 (

 4)  0

  0

 

2i

 



2

2



1



0

2

(



III

II

C 1  C 2 cos(2 x)



  2   1  0

2

( 1)  (  1)  0



6



(  1) (  1)  0 2

La solución general es: C 1e x  C 2 cos x

i



IV

  i



2

(  

i

Raíces de la ecuación. 

 

IV II 5. y 16 y  9 y  0 Ecuación característica

 1

y

0

y  C 1 Cos x  C 2 Sen x  C 3 x cos x  C 4 x sen x

I

3




C 3 sen (2 x)

2. y  y  y  y  0 Ecuación característica 

2


La solución general es: 

1)

  i

2i

Raíces de la ecuación.

y



2

(

2

(

2



C 3 sen x

(

6 4  9 2

   

4

1) ( 

4

1) ( 

4

1) ( 

4

1) ( 

   



2



4 0 

2





2





2

5

1)  3 (2 4  3 2 1) 2



2

1)  3 (2 1) ( 1) 2

1  6



4)





3) 2

(







0 

0

0 2

1) ( 2

(





2

1) (

2

2

1) (





4)  0

4)  0

IV

3. y  y  0 Ecuación característica

64


  i



Raíz de multiplicidad 2 III

   i Raíz de multiplicidad 2


  2 i

3

  2 i

 


(  1) (

1

0 2

y  C 1 Sen x  C 2 Cos x  C 3 x sen x  C 4 x Cos x  C 5 sen (2 x)  C 6 Cos (2 x)

6. y

III

3

II

y

3

y

I

y





   1)  0

  

2

    1  0

 

1 

(1)

2

 9(1)(1)

2(1)

0

Ecuación característica 3 2   3  3  1  0

(  1)3  0    1 Raíz de multiplicidad 3

 

 1     2     1   2

 1  3i 2




C 1 e

x





C 2 x e

x





2

C 3 x e

x



2 3i 2

Las raíces de la ecuación son:

III

II I 7. y  y  y  y  0 Ecuación característica

 

 3   2    1  0

 

 2 (  1)  (  1)  0

1 2



1 2



3i 2 3i 2


(  1) ( 2  1)  0

x

  1 

x y  C 1 e  C 2 e



  i  Raíces de la ecuación    i  

3i



2

x   3 x      C 3 e 2 sen  3 x      2   2 

cos 

IV


La solución general es: y  C 1 e x  C 2 cos x  C 3 senx

65



  1  0 4

III

II I 12. y  4 y  4 y  0 Ecuación característica

(  1) (  1)  0 2

2

  1


  i

  1

  1

raíces de la ecuación

3



 4 2  4  0 2

 (  4  4)  0

 (  2)


2

0

  0

  2

1

-1

-3

-1



-1

2

1

1

-2

-1

0

y  C 1 e x  C 2 e  x  C 3 cos x  C 4 sen x


III

II I 11. y  y  3 y  y  0 Ecuación característica 3





2





3

(  1) ( 2

 

 

 



-1

-3

-1

-1

1 0

2  1)



1

 ( 2) 



( 2)

0

2

-1

 4(1)( 1)



-1

2

1

1

-2

-1

0


2(1) 2

y  C 1  C 2 e 2 x  C 3 x e 2 x

44 2

2 2

IV

III 13. y 14 y  2 y  0 Ecuación característica 4 2  14  2  0

2

2

  1 

2

  1 

2

  1 

2

  1 

2

   1

2  

Raíces de la ecuación 2  




x

C 1 e



2  

x (1 2 )

C 2 e



C 3 e

x (1 2 )

 (14)  (14)2  4(1)(2) 2(1) 14  196  8 2 14  108 2

2  

14  108 2

14  108 2   2

66



(  1) (  1) ( 2  2  2)  0

La solución general es: 14

y  C 1 e



108

x

2

 C e



14



108 2

x

2



14



 C e 3



14



 

108 2

x



 

x





2



2





2  2

2

0

-2

1

2

-2

IV

y II  9 y 

5

4

2

4

-1



1

-1

0

2

1

-1

0

2

0

1

-1

2

-2

-2

2

0

Las raices son: 1  1    1

 1 i  1  i

0

Ecuación característica 4

1

4 2

y  C 1 e x  C 2 e  x  C 3 e x cos x  C 4 e x senx

15. y 1

2

La solución es

IV

3

(2) 2  4(2)(1)

  1  i

III II 14. y  2 y  y  2 y´  2 y 00 Ecuación característica 4

 (2) 

108 2

C 4 e


2



  5  9  0 2

9 1

(4 2  9) ( 2  1)  0

4 2  9  0 2







9



4

i

3

 i 2

Raíces de la

2



1  0

   1    1

ecuación


 3  x x y  C 1 e  C 2 e   C 3  x   C 4 sen  2 

 3   x   2 

67



y’’ – 4y’ = x

PRACTICA 8


y’ = p

x

dp = ( x

y’’ = + 4p)dx

(ax – 1) + c

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS 1.- y’’ + 3y’ = 3

p=

Solución:

p=

y’’ + 3y’ = 3 y’ = p y’’ = + 3p = 3 → = 3 - 3p → U= 3 – 3p → du = - 3dp → x = -3lnu + c X = - 3ln(3 – 3p) + c 1

c1

4.- y’’ – 4y’ + 8y =

(sen2x – cos2x)

Solución:

(sen2x – cos2x) y’’ – 4y’ + 8y = y’ = p y’’ = y = px

2.- yIV – 3y’’ – 4y = - 4x 5 + 390x Solución: – 3y’’ – 4y = - 4x5 + 390x

y’’ = px

yIV

y’’’=p

yIV =

y = x3 3px – 4 x3 = - 4x5 + 390x - 4x5 + 390x + 3px + px3 dp = (- 4x5 + 390x + 3px +

px3 )dx

∫dp = - 4∫x5dx + 390∫xdx + 3p∫xdx + p∫x3dx p=-4

+ 390

+ 3p

p= -2

+ 195x2 + 3p

+ +p

p

+ c1 + c1

5.- y’’’ – 4y’ = x Solución:

y’’’ – 4y’ = x y’ = px y’’’ = p

y’’’ =

3.- y’’ – 4y’ = x Solución:

68



y = px

y’ = p


y’’ =

6.- y’’ – y’ = x2 Solución:

y’’ – y’ = x

y’ = p

2

y’’ =

9.- yIV + 4y’’ = 8 (6x2 + 5)

7.- y’’’ – y’ = x + 1 Solución:

y’’’ – y’ = x + 1

Solución:

y’ = px

y’’ = p

y’’’ = yIV + 4y’’ = 8(6x2 + 5)

y’’ = px

y’’’ = p

yIV =

8.- y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2 Solución:

y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2 69


10

.-


2y’’ – 9y’ + 4y = 18x – 4x2


Solución:

y’’ + y = sec x

y = px

2

Solución: 2y’’ – 9y’ + 4y = 18x – 4x2

y = px

y’ = p

y’ = p

y’’ =

y’’ =

⇾

3.- y’’ + y = cotgx Solución:

y’’ + y = cotgx

y = px

y’ = p

y’’ =

VARIACIÓN DE PARÁMETROS 1.- y’’ + y = cosecx Solución:

y’’ + y = cosecx

y = px

y’ = p

y’’ =

4.- y’’ + 4y = 4ctg2x Solución:

y’’ + 4y = 4ctg2x

y = px

y’ = p

y’’ =

2.- y’’ + y = sec2x

70




5.- y’’ + 4y’ + 4y = e -2e2x Solución: y’’ + 4y’ + 4y = e -2e2x

y = px

y’ = p

y’’ =

7.-

y=px

6.-

y´=p

y´´=

y´=p

y´´=

y´´+ y´=sec 2x.cscx y=px

y´=p

y´´=

8.

y´´+ y= tanx y=px

71




ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER

1.

)dx

x2y´´+xy´-y=0 X=

P= 10.-

-p

y´´-3y´+2y=cos ( y= px

)

En la ecuación diferencial

y´= p

y´´=

α=1 ; α=-1 y(t)=c1 x+

+3px-px2 +c

P=sen(

9.-

+c

2.-

y´´+ y=

x2y´´+xy´+9y=0 X=et

y=px

y´=p

t=lnx

y´´=

dp=(px+

)dx

α =

P=p

+2(

)

y(t)= y=

=∓3i =

72




y=

3.-

x2y´´-3xy´+7y=0 X=et

t=lnx

5.- .-

(x-1)2y´´-8(x-1)y´+12y=0 X-1=et

t=ln(x-1)

+7y=0 =0

α1=2+ y(t)= y=

4.-

i; α2=2-

i

+

(x-2)2y´´-(3x-2)y´+7y=0 X+2=et

α1=-4; α2=-3 y(t)= y=

t=ln(x+2)

6.-

x2y´´+xy´+y=x(6-lnx) X=et

=

=0

α1=-3; α2=1 y(t)= y=

t=lnx

; α2=-i α1=i y(t)= y(t)= yp= (At+B) Yg=-

73



y p (t)=t(At+B)

Y=yp+yg=c1cos(lnx) +c2sen(lnx) - -

7.-


y p (t)=2t2

x2y´´-xy´+y=2x

y p =

X=et

t=lnx

y=c1x3+

9.-

+

x2y´´+4xy´+2y=-2 ln2x+12x X=et

t=lnx

=

y(t)= → yp=c1x+c2xlnx Yp(t)=At 2 → Yp(t)= t 2 Yp=xln 2x Y=c1x+c2xlnx+xln 2x

=

, yg(t)= yg(t)=

8.- x2y´´-xy´-3y=-(16

lnx)

x-1

y p

X=et

t=lnx

+

(t)=At2+Bt

y p (t)=t2

yp =ln 2x- 3lnx+7+2x y= = =

10.-

(1+x)2y´´-3(1+x)y´+4y=(1+x) 3 X=et

t=lnx

, yg(t)= yg(t)=c 1x3+

74



=

yg(t)= yg(t)= y p(t)=A

]

→

y p (t)= =

ECUACIONES DE BESSEL Y GAUSS 1) Comprobar que : 2) Comprobar que : a)





K ! = (k-1)! K



(K+1)! = K! (K+1) =



=

+

Por lo tanto :

b) Debemos llegar a :

=

76


Partimos de :


4.- probar que:

Partimos de la igualdad :





Hallando el equivalente en sumatorias:

1 3   2 X  Y '  Y  0 2 4  

5.-  X  X 2  Y "  

SOLUCION:

 +  + 1 = 2 ;  = 3/2

1 1 3  Y1  F  ; ; ; X  2 2 2 

 = 1 - 

 = 1/4

78



(1 -  )  = 1/4

y1  1 

x 6



3x 2 40



5x3 112

 ..........

 -  2 - ¼ = 0 

2 -

6.- resolver mediante serie:





y2  x

1/2

F (





F (0; 0;



1 2

1; 





; x) 



1; 2   ; x )

x x

 + ¼ = 0

 = ½ ;  = ½ ;  = 3/2 ANALOGAMENTE:

y2  x1


y = Ay1 + By2



x



6

y  A 1 



3x 2 40

 B x  ..........   112 x 



5x 2

7.- probar que: a) F ( ,  ,  , x)  (1  x)  b) xF (1,1,2, x)  ln(1  x)

Solución:

a) F ( ,  ,  , x)  (1  x)  y  F ( ,  ,  , x)  F ( ,  ,  , x) Como: tenemos :    ,    ,    , x  x

Como: Análogamente:

y  1 

   (  1)  (   1) 2 x  x  1 1 x 2 x (  1)

 (  1)(  2)  (   1)(   2) La solución co mpleta será:

1 x 2 x (  1)(  2) Reemplazando obtenemos:

x 3  ....

79

UNIVERSIDAD NACION AL DEL CALLAO 1  x

y





(





(

1)(



1 x 2 x3  (  1)(







1)

1 x 2 2) 3 x 2)(

x 2





3)

1 x 2 x 3 x 4 Como :

1  x  n( n



n



1  x



1)(n



2)

3! n( n  1)(n



2)( n



x 3

n( n

x 4



1)

2!



.......

x 2







4! entonces :



3)

x 4



........

y  1  x  Entonces queda probado que: 

F ( ,  ,  , x )  (1  x) 

b) xF (1,1,2, x)  ln(1  x) y  F ( ,  ,  , x )  F (1,1,2, x ) Como: tenemos :   1,   1,   2, x   x

   1  1 x      (  1)  (   1) 2  x    y  x 1 x2 x (  1)    (  1)(  2)  (   1)(   2) 3  x   1 x2 x (  1)(  2)    ....  Reemplazando obtenemos: 2 x2 2 2 x3 x2 x3 3   x 1  x  x y  x  2 2 x2 x3 2 x3 x2 x3 x4     ....  y  x 

x 2 2



x 3 3



x 4 4



x 5 5

 ........

Como : ln(1  x)  x 

x 2 2



x 3 3



x 4 4



x 5 5

 ........

entonces : y  ln(1  x) Entonces queda probado que: xF (1,1,2, x )  ln(1  x )

Como:

ESCUELA PROFESIONAL DE INGIENERIA ELECTRICA

80 | P á g i n a



8.- probar que el cambio de variable dependiente y la ecuación y   y  0 en una ecuación de Bessel.




z x transforma

Hacemos el cambio de variable y  z x y  z x z

y   z  x 

2 x

y   z  x 

y   z  x 

z 

2 x z 



z 

2 x

en

la

ecuación

3

4 x

2

z



x

Reemplazando

z



INTEGRACION POR SERIES

3

4 x

2

obtenemos: y   y  z  x  x z   x z   2

x

3

2

4

z



x

4 x

3

 z x  0

z 4

1).-Resolver que satisfaga la condición

mediante una serie de para .

potencia de

2

 x 2 z  0, para x  0

2

x z   x z   2

z

z 

 x 2 z  0

x z   x z   ( x

2



z

4

) z  0

Vemos que con el cambio de variable de

Solución Suponiendo que la solución es de la forma: Donde determinar. Sea:

y las restantes

---( ) son constantes para

y  z x a la ecuación y   y  0 se transforma en una ecuación de Bessel.

81

UNIVERSIDAD N ACION AL DEL CALLAO

Por lo tanto:

    . .

 . . Reemplaz Reemplazando ando los valores valores de los

en la serie serie supuesta supuesta dado en ( ) se tiene: tiene:

NOTA.-

ESCUELA PROFESION PROF ESIONAL AL DE INGIENERIA ELECTRICA

82 | P á g i n a


2).- Resolve Re solverr


satisfaciendo satis faciendo la condición condición

cuando cuando


.

Solución Sea: ;

Suponiendo que: ---( ) Luego:

será de la forma:

Como

se dirá lo siguiente siguiente :

     . .

83




n Luego reemplazando reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente: siguiente:

3).- Resolve Re solverr

mediante mediante una serie se rie que que satisfaga satis faga la condición condición

cuando cuando

.

Solución La ecuación dif d iferencia erenciall será: se rá: Suponiendo que la solución solución es de la la forma: forma: Donde Sea:

y las restantes

- --- ( ) son constantes para determinar.

Por lo tanto:

   84




 .

. Reemplazando los valores de los

5).- Resolver

en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:

mediante potencias de

.

Solución La ecuación diferencial será: Además:

Suponiendo que la solución es de la forma: - -- ( ) Luego:

será de la forma:

85

UNIVERSIDAD NACION AL DEL CALLAO

Como:

Se dirá lo siguiente:

     .

n Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:

ESCUELA PROFESIONAL DE INGIENERIA ELECTRICA

86 | P á g i n a


7).- Resolver



mediante potencias de .

Solución La ecuación diferencial será: Suponiendo que la solución es de la forma: - -- ( ) Sea:

Por lo tanto:

     . Reemplazando los valores de los


87


9).- Resolver



mediante potencias de . Solución

La ecuación diferencial será: Suponiendo que la solución es de la forma: - -- ( ) Sea:

Por lo tanto:

    

88




.

Reemplazando los valores de los

10).- Resolver


mediante potencias de

. Solución

La ecuación diferencial será: Además:

Suponiendo que la solución es de la forma: - -- ( ) Luego:

será de la forma:

Como:

89




Se dirá lo siguiente:

    n Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:

11).- Resolver

según potencias de . Solución


90




Por lo tanto:

    . .

 .. Reemplazando los valores de los

13).- Resolver


mediante potencias de Solución


91




Por lo tanto:

     .

 Reemplazando los valores de los


92


17).- Resolver



mediante potencias de . Solución


Por lo tanto:

     .

 .

93


. Reemplazando los valores de los

19).- Resolver




según potencias de . Solución


94




Por lo tanto:

     .

 . Reemplazando los valores de los


+…

95



Operadores Diferenciales


Haciendo la sig. Sustitución

I) Ecuación lineal homogénea

Reemplazando en la ec. Diferencia l y Factorizando

”y” se tiene

La solución general de la ecuación homogénea es:

1.Sol: Haciendo la sig. Sustitución , Reemplazando en la ecuación. Diferencial y Factorizando

“y” se tiene

4.Sol:

La solución general de la ecuación homogénea es: La solución general de la ecuación homogénea es:

2.-

5.-

Sol: Haciendo la sig. Sustitución

Sol:

Reemplazando en la ec. Diferencia l y Factorizando

”y” se tiene



6.Sol:

3.Sol:


96





7.Sol:

11) Sol:

La solución general de la ecuación homogénea es: La solución general de la ecuación homogénea es:

8.Sol:


9) Sol:

12) Sol:


13) Sol:



10)

14)

Sol:

Sol:

97




y g  C 1e 2 x  C 2 xe 2 x  C 3e x 

  x 2

e 2 x  



II) Ecuaciones lineales con coeficientes constantes:


18



x 2  18

  

3.Sol:

1.-

;

Sol: =

; =

4.-

2.-

Sol:

Sol:

;

, multiplic idad 2; =

=

98




=

5.Sol: =0 ;

8.-

=

Sol: =0 ; =

6.Sol: =0 ; =

9.Sol: =0 ; =

=

7.Sol: =0 ;

10.Sol:

99




III) Ecuaciones lineales con coeficientes constantes (variación de parámetros, coeficientes indeterminados, otros):

=0 ;

1.-  D ²  2 D  y  e Senx x

=

=

Sol:

 

F D

D ²

yC  C 1e

11.-

0 x





2D



C 2e

0

D= 0 D=2

2 x

x

Sol:

y P 

=0 ; =



x

e Senx D D  2



e

 D  1 D  2  1

 Senx   Senx   ex  y P  e x .   D²  1   1  1

=

y P 

y g

1 2 

e x Senx

C 1



C 2 e 2 x



12.Sol: =0 ;

. Senx

2.-

1 2

xSenx

 D ²  6 D  9  y  x 2 e 3 x

Sol:

F  D   D  3²  0 D = 3 (multiplicidad 2) =

=

yC  C 1e3 x  C 2 xe3 x ………. (1) 2



y P

x e 

3 x

 D 3 D 3 

y P 



e

3x

.



e

1

 D 3 D 3 

3 x

 D  3  3 D  3  3

x

x



2



2

100


y P 

e3 x . x

2

D²

y g  C 1e

3 x



e3 x D² x²

e3 x



2

 C 2 xe  3 x

..….. (2)

e

2

y P 

Sol:

D=0



D D





2





0

D=2

y P 

D D  2

.Senx 

 D  1 D  2  1

y P 

e Senx

y P 

e Senx

y g

C 1





1

D²  2 D  3

3



1

2 x ² 3



2 x

x ³ 

9



2 x ² 

3

3

4

1

9

4

  Senx  Cosx 2 x

2 x 

9





4 

9

6.-  D ³  2 D ²  D  2 y



C 2 e x Sen 1



4

2 x



Senx  Cosx

 e x  x²

2

F  D  D³  2 D²  D  2  0 e Senx x

C 2 e 2



1 2

x

e Senx

Sol:

F  D  D²  2D  3  0



D = -1 D=1

D = -2

x

 D²  2 D  3 y  x ³  Senx x

Senx

Sol:

D²  1

1 1

2

x³

e Senx

x

x

5.-

1

x

e



D ²  2 D  3



y g  C 1e x Cos

yC  C 1e0 x  C 2e2 x …………… (1) x

x ³

y P  

x

 

y P 


  D  D²  2 D ³  x³  Senx  81   1  2 D  3  3 9 27 1 x ² 6 x 12 Senx 2  2 D y P  x ³  6    3 9 27 81 2  2 D  2  2 D

3 x

4.-  D ²  2 D  y  e Senx F D


D  1  2i

yC  C 1e Cos 2 x  C 2 e x Sen 2 x

 D  2 D  1D  1  0 yC  C 1e 2 x  C 2 e x  C 3e x y P 

e x

 D  2 D  10  1

y P 



x² D³  2 D²  D  2

5   1 1     D  D²  x² 8 32 D  1  2 4  x

e

101




1 1 x 5 y P  xe x  x²   6 2 2 4

y g  C 1e

x

2



C 2 e

x





x

C 3 e

1 

11.-

6

xe

x

1 

2

x ² 

x 2

5 

4 La solución general es:

Sol: ( D  3)( D  2) y  (1  e  x ) 1

La solución complementaria es:

14.Sol:

La solución particular es: 1 y p   x (1  e )( D  3)( D  2) Resolviendo obtenemos:

La solución complementaria es: La solución particular es:

La solución general:

13.Sol: La solución complementaria es: La solución particular es:

102





15.Sol: La solución complementaria es: La solución particular es:


103



Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN: 1) f T   1 L 1 





e

 ST

0

1dT 

e

 ST 



S

e



S

0

e



0

S



LT  



0

e  ST T dT 

 Te  ST S





 e  ST

0

S



S 3



S 2



S

7) f T   1  e 2T   1  2e 2T  e 4T 2

S

2) f T   T 

L T 3  3T 2  3T  1= L T 3 + 3 L T 2  + 3 LT  + L 1 = 6 6 3 1 S 4

1




  Te  ST e  ST  1 dT    2   2 S  0 S  S

1

L 1  2e 2T  e 4T = L 1 + 2 L e 2T + L e 4T =

S



2

S  2



1

S  4

8) f T   eT  e T   e 5T  5e3T  10eT  10e T  5e 3T  e 5T 5

u

 T  du  dT

dv

 e  ST dT  v 

3) f T  e 

Le aT  





0

L e 5T

 e  ST

1





0

e  ST  aT dT 





0

 e



 1    S  a  0 S  a

e T S  a  dT  

T S  a 

TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS:

2

L  sen2T  cos 2T   L  sen2T + L cos 2T =

S 2  4



S S 2  4

5) f T   T 2  6T  3 



6T  3



3T

e T

 10

e

 10

L T 2 + 6 L T  - 3 L

S  5



5 S  3



10 S  1





T

3T





5e

T

3



e

T

5





L e 5T  - 5 L e 3T  + 10

- Le =

10 S  1

5T





5 S  3



1 S  5

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 9) f T   e 2T cos 2T

4) f T   sen2T  cos 2T

L T 2

5e

L e T - 10 L e T  + 5 e

S

aT

e  ST e aT dT 



1 =

2 3

S

6 

2

S

L e 2T cos 2T  L cos 2T  S  S 2 

S S

2

 4 S  S 2



S 

2

S  2  4 2



S  S

2

2

 4S  8

3 

S

6) f T   T  13  T 3  3T 2  3T  1 104



10) f T   eT sen3T

16) L-1 

L e sen3T  

1



2

 S

T

3

L  sen3T  S  S 1 

S

2

 9 S S 1



3

S  1  9 2



1 S




1  2T   T  1  e S  2 

3

S

2

17) L-1 

 2S  10

1

 4 S

1  1 -1  1   4 -1  = L    L  = 1  1  S  14   S  4  4

1

e

 14T

4

TRANSFORMADAS INVERSAS: 11)

   3  S 

12)

1   4  S 

L-1

L-1

1

1

2!

1 3!

 L-1

2! 

 3 =  S 

1 2

 3!  1 L-1 =  4  S 

6

T

2

T

3

 15   -1 =   L   5S  2   S  25 

18) L-1 

19) L-1 

4T 

2 3

T

3

1 

120

T

5

 

 S  49 

4 1!

2

5 7

1 5

 7   2  S  49 

L-1 



L-1 

1

 S  5

2

  5

1

e

2 5

T

5

sen 7T

7

10S  S  -1    10 L  2   10 cos 4T 2  S  16   S  16 

20) L-1 

1 48 1 48 13) L-1  2  5   L-1  2  + L-1  5  = T  2T 4 S S S S      

 2 1  2  4 4 1 14) L-1   3   = L-1  2  4  6  = S S   S S    S 1 1  3!  -1  5!   4   L  6  =  S  5!  S 

1

   2   S 

L-1 

1!

4 3!

21) L-1  L-

2S  6 

 S  6  = 2 L-1  2   L  S  9   S  9  3 3  1  2   2 cos 3T  2 sen3T S   9 2

5

 S  1  -1  S 3  3S 2  3S  1 -1  1 3 3 1  = L   2  3  4  = = L  4 S S S   S S    S  1  1  3  2!  1  3!  L-1   + 3 L-1   + L-1   + L-1   =  S   S  3!  S  2!  S  3

15) L-1 

4

2

1  3T 

3 2

T

2



1 6

T

3

4

3

105





   S  2S  3S  6 



5

22) L-1  A

B 

24) L-1 

C 

5 

S  2S  3S  6 AS  3S  6   BS  2S  6  C S  2S  3  5 S  2



A S

S  3

S  6



2

 9 S  18  B

S

2



 8S  12 



C S

2

 5 S 

6





5

A  B  C  0 0

1

2

,

1 y C

B

 



  1 -1  1  5 1 -1  1    L    = L    L S  2 2 S  3 2     S S S 2 3 6          1   T T T 1  = e e  e  S  6  2

3

2



1

6

2

   S S  4 1

23) L-1  A



S 2

S



2

BS  C 2

A S 2

AS



4



S S 2

4



2

 S

S

2

1 4

 CS  1

 B   A   14

 =  4 

1 4

,

C



0 y D

 

1 3

 1 -1  1  1 L-1  = L      3 1 4 3 * 2   S S S  1     1  2  1  2   senT  sen2T  3 6 S 4  

L-1 

1

2

2

2

1

1

 S 

4

L-1   

1

 S  = 2  S  4 

L-1 

1 4



1 4

cos 2T

3

1 2!

 2!   3   S  S S  2

L-1 

1 2

T



2 S S  2

1

2

T e

 2T

2

1      L  L-1  2  S  6S  10   S  6S  10  1  1 1  1  2  S 6 S 9 1        1  1  T L-1  = e3 senT   L-1  2  2 S 1    S 3 1     S S 3  

26) L-1 

4 A  1  A 

1



1 3

   S  2 

C  0





25)L-1 

A  B  0

L-1 

4 B  D  1 A 0 , B 



  BS  C S  1

4 A  BS

AS 3  4 AS  BS 2  4 B  CS 3  CS  DS 2  D  1

TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

1

4  

 AS  B S 2  4  CS  D S 2  1  1

4 A  C  0

1 2

L-1

1

2

B  D  0

18 A  12 B  6C  5 

   4 

 S  1S AS  B CS  D 1  2  2 2 S  1S 2  4 S  1 S  4 2

A  C  0

 9 A  8 B  5C 

A

1


1

2

106



 1 1   L-1  -1      L  2  2  S  2S  5   S  2S  1  4   S  1  4 

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29) L-1  A

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2

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3T

sen5T

DERIVADA DE TRANSFORMADA: 30)L T cos 2T =  1 L T cos 2T =  1

d dS

 S 2  4  2S 2  d  S    2    1 2 2  dS  S  4  S 4   



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 1

107

 E


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31) L Tsenh3T    1 L  senh3T    1

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32) L T senhT   1 2

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L  senhT    1

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cos 3T

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cos 3T

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S 2

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

6S

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6S  18

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L

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

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 1

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2

2

2

34) L Te 

3T

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d 3

35) L T 3 e T senhT    13

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 1

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S

 1

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33) L Te T sen6T   1

S

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S  3     dS  S  32  9 

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2

S

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 2S   22S  2 

2

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2

4

 2S    12S  12    6S 2  12S  83S 2  2S  2S  3

2

S

2

 2S 

6

108


S

2


 2S   12S  12  3 6S 2  12S  82S  2 36S 3  108S 2  108S  36  S 2  2S 6 S 2  2S 6 2

42) L TeT 5uT  5  L T  5  5eT 5u T  5  L T  5e T 5 u T  5 L 5eT 5 uT  5 

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 36)L uT  a   e

aS

L 1 

37) L 3u T  2  e  S L 3

e aS S 3e

2

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

e

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a

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2 S

S

L T  

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 aS

L 1

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S

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39) L T  1u T  1  e S L T  

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S 2 e

2 S

S  1

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3 S

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L 3T  9  10uT  3  3e 

e

T

45) L-1 

41) L 3T  1uT  3  L 3T  1  10  10 uT  3 

L 1 

3

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S

40) L e 2T u T  2   L e T 2 uT  2  e 2 S L e T  

3 L

L TeT  5e 5 S L

 e  S   1   2 S 1   L-1  3 e  L-1 2!  S   S 

3

e

5 S

2



 aS



TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

38) L TuT  a  L T  a  auT  a  L T  auT  a  

e

43) L T  1 3 e T 1u T  1  e  S L T

44)L-1  L auT


3 S

 2T

 2 T



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3 S



S

109


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46) L-1  A

B 

S

1

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S  1



S



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48)L o

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T

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L-1 


TEOREMA DE CONVOLUCIÓN:

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S S  1

A S  1 A


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L

T

o

S

e senT   d   L 

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T

 1  1   2   S  1  S  1 

L  senT   

  1   L   L-1   S  1  S  1S  4       1 1  d      e e    e e  S  4  1

49) L-1 

T

T

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4 T 

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47) L-1  A S



B S 2



C S  1

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1

S 2 S  1

AS S  1  BS  1  CS  1 2

AS 2  AS  BS  B  CS 2  1 A  C  0

 A  B  0 B  1  A  1  C  1   2 S 1 L-1  2 e = L  S S  1 1   S 1 1    1  T  e T uT  2     e S  1   S S u T  2  T  2u T  2  e T  2 uT  2 2

T

0

e e  4 e 4 d  

T



5T  e 5  1   4T  e     e 0  5   5  5     0     1  1  -1 50) L-1   L   L-1   S  1  S  1S  2  T  1  T  T   T d      e e    e e  S  2 

e

T

 4T

e 5 d   e 

 4T

2

T

e



T

5



e

 4T

5

2

0

T

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e



e

2 T

e

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2T

0

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e

3

d 

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2T

T

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T

0

0

e

T



3

e 

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2T

2T

3



  1  -1  1    L-1  L  =  S  1   S  1  S  1 

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51) L-1 

1

2

e  e     T

T

T

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e

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e

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110


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T

e

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e

0

T

T



d   e

0

T

T

   Te 


ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA):

T

0

53) y   y  1

  S  S  -1  L-1   L 2  2  S  4   S  4 

52) L-1 

y s S  1 

 1   1   2   cos 2T  sen2T   2 S  4    

0 cos 2  1

T

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1

1 2

A

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S



T

2

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0

1

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T



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4

4

d  

0

T

  

sen 2T 

4 1

4

S S  1

1 S S  1

 1  T   1  e S  1  

1

0

1



sen2T

4 1 4

T

Tsen 2T

y 0

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cos 4 d  

0

1

Sy s  1  2 y s 

T

 sen4 d  

cos 2T

4

0

T

y s S  2  

T

1  1    1  sen 4   cos 2T  cos 4    4  0 4  4  o

sen2T  1

   1

54) y   2 y  T

1

1

1

 

Tsen 2T  16 sen2Tsen 4T  16 cos 2T cos 4T  16 cos 2T  4 Tsen 2T  16 cos 4T  2T

1



1

T

0

1

B S  1

S

 y s 

1   S 

sen2T  2 

1



1

yT    L-1    L-1 



0

 1  cos 4  d   2  1 T  1  cos 2T  sen4 d    2 0  2  1

0

A  1  B  1

T

 2



AS  1  BS  1

d  

cos 2 sen2T cos 2  cos 2Tsen2

 sen2T cos 2



y 0

Sy s  y0  ys  L 1

2

T


A

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S



B S 2



1

1 S 2

 1  y s 

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S  2



1  s 2 S 2 S  2 

1  s 2 S 2 S  2 

AS S  2   B S  2   CS 2  1  S 2 AS 2  2 AS  BS  2 B  CS 2  1  S 2 A  C  1 2 A  B  0 2 B  1  B 

1 2

 A   14  C   34

111


1  yT    14 L-1     S 


57) y   4 y  f T 

 1  3 -1  4 L 2   S 

L-1 

1 2

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

4 y s

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2

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L-1 

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4

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A

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6

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T 1 Sy s  y 0   y s  L 5u T  1 

5u

y s S  1  y s 



5e

S S  1



S S  4 2

BS  C

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S

 S

1

S

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

S



S



S S  4 2

2





2

1

1

L-1     S 

4

1

1



S  4 S S  4 1 , A  4 B  14 y C

S

1

S

e



e



0

1  S 

 S  1  2  S  4  4

1

L-1  e  S 

L-1 

4

2

1 4

4

L-

 2   2   S  4 

 S   S 1 -1  e  L 2  S  4 



1

1

1

1

1

4

4

4

2

 cos 2T  u T  1  cos 2T  1uT  1  sen2T

 S

58) y 4   y  0

S

5e  S



1

1

yT  

2T

20

56) y   y  f T  f T 

6

S  2  S  2  2



2

y S 

4

6 



y S S  4 



S

2

6 

1

S 2 y s  1  4 y s 

y 0  0 , y 0  0 55) y   4 y   4 y  T e T 2 S y s  Sy 0   y 0   4Sy s  4 y 0   4 y s  L T 3 e 2T S y s

y0  0 , y 0  1 ,

T   1  uT  1 2 S y s  Sy 0  y 0  4 y s  L1  uT  1

3  1  1 1  T  e 2T   4  S  2  4 2 3




5

S S  1

e  S

5 A B    A  5, B   5 S S  1 S S  1

1   1  S T y T   5 L-1  e  S  5 L-1  e  5u T  1  5e u T  1  S S 1      T 1 5uT  1  5e   uT  1

 

y 0



  0,

1 , y  0

y 0  1 , y 0  0 4

S y s



4

S y s



 4

y S S y S



S y0  S y 0   S y 0   y 0   y S 3

3

S



2



1 

 S

2

S S 4

S  y s 3

S



0

0

S

  S S  1  S  1 S  1S  1 S  1 2

1

2

2

2

112



A  B  0

 S    cos T 2  S  1

yT   L-1 

B  D  2 5 A  0  A  0  C  0

ECUACIONES INTEGRALES:

5 B  2  B 

T

59) f T    T    f  d   T

yT  

0

L  f T + L

 

F S

 

F S S

2



T

0



1

S

2

F S  

S 2 S S  1 2

2



61)

1

 yT  

S  1 2

 1   4 2  F S  S  S  1  4  2  F S 1   2 2  S  1  S  S 2  1  4   S 2  5   F S   F S   S 2  1   S 2  1       S



AS S 3

AS

2

   1 

2



4

S 2

 S  2S  1     S  1 

 

2

5

8

T 

sen 5T

5 5

f  d  c0 sT   d   4 e T  senT

 S

 

F S

0

B

0

2





T



   2 F S  

f T   2T  4 sen f t   d 

S

2

L-

F S

A

 5  8 1  L-1  2   2   S  5 5  S  5 

F S

T

 

5

 D  85

5

L-1 

f T   2

2

F S

2

2

T    f  d   L T 

1  1  F S 1   2 2  S  S 1  1    senT  S  1

60)


S  1

4 S  1

 1  S  1S  1 S 4 S

2

S

2

1

 S  1  4 1   F S    S  1  S  1  S  1 S  1 S  1 4 S  4 1   S  1 S  1  1S  1 2

1



2

1



2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2



CS  D S

2

5



2S S

2

2

S

A

B 

C 



4S

2



4

S  1 S  1 S  13 2 2 AS  1  B S  1  C  4S  4 S  1

2 S

2

 F S  

2  5

2

 5  BS 2  5  CS  D S 2  2S 2  2

2S S

2

2

S

2

2  5

A



4, B

2

3

8, C  8

 

 8   8   1   4   L-1   L-1     L-1  2  2  3  S  1  S  1   S  1   S  1 

f T   L-1 ' 

T T 2 T T L1 4e   8Te 4T e   Te

 5 AS  BS 2  5 B  CS 3  DS 2  2S 2  2

113




ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES: 62)

dy dT

T

 6 yT   9 y d   1



y 0

0

Sy s  y 0  6 y s  9

 

y s  S  6 

9 

y s S





0

1

S S

1

1

    y s  S  S S S 2  6S  9 S  32  1   Te 3T yT   L-1  2   S  3  T

63) y   1  senT   y  d 

y 0  0

0

Sy s  y 0 

 

y s  S 

1 



1

1

S  1 2

1



y s S 1

S

 y s  2    2 S  S S 2  1 S  1 S 2  1

y T  senT 

1

S

1 

2

TsenT

114



L T 3  3T 2  3T  1= L T 3 + 3 L T 2  + 3 LT  + L 1=

Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace

6

TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN: 1) f T   1 L 1 





e

 ST

0

1dT 

e

 ST 



S

e



S

0

e



0

S



S

u

1

L e

 Te ST S





0

  Te  ST

 e ST

dT  

S

S





e  ST 



 ST

S

1



S



2T 2

S  5

e

 1  2e 2T  e 4T 1



5e

3T



T 5

e

 10

T

e



5 S  3



5T

e

 10

10 S  1



T

3T



S

 5e  10e  10e 3T



5e

T

3T



e

 5T







T

L e

2

S  2

 5e 5T



3T

1

S  4

 e 5T

 - 5 L e  + 10 3T

- Le =

10 S  1

5T



5



S  3



1 S  5

 ST

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 9) f T   e T cos 2T

S

2

L e

5T

1



0

2

L e T - 10 L e T  + 5 e

1

  2 S 2  0 S

3) f T  e aT aT

3

8) f T   e  e

 e  ST dT  v 

e   

S



T

e  ST T dT 



3

L 1  2e 2T  e 4T = L 1 + 2 L e 2T + L e 4T =

S

 T  du  dT

dv

6

7) f T   1  e

L 



4

2) f T   T

T   0


e dT   aT



e

 ST  aT

0

dT





0



  e T  S a   T  S  a  e dT      S  a  0

1 S  a

L e 2T cos 2T  L cos 2T  S  S 2 

S S 2  4

 S  S 2

S  2

S  2  4 2



S  2 S 2  4S  8

10) f T   e sen3T T

TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS: 4) f T   sen2T  cos 2T 2

L  sen2T  cos 2T   L  sen2T + L cos 2T =

S  4 2



S



6T  3

L



6) f T   T  1

3



T

3 S

2

 9 S S 1



3

S  1  9 2

3

 S

2

 2S  10

S  4

TRANSFORMADAS INVERSAS:

2

T

L  sen3T  S S 1 

2

5) f T   T 2  6T  3 L T 2

L e T sen3T  

3

+ 6 L T  - 3 L 

3T

2



3T  1

1 =

2 3

S

6 

2

S

3 

S

1  3   S  1  12) L-1  4    S 

11)L-1 

 2!  = 3 2!  S  1  3!  L-1  4  = 3!  S  1

L-1 

1 2 T 2 1 6

T

3

115



4 -1  1  -1  48    L  2  + L  5  = T  2T S S S S        2 1  2  4 4 1 1! 4 14) L-1   3   = L-1  2  4  6  = L-1  2   S S  1!  S S    S  S  1 1  3!  -1  5!   4   L  6  =  S  5!  S 

13) L-1 

4T 

2 3

1



2

T

48 



120

T

16) L-1 

2

T

2

1 

6

T

3 S

2

2



1



1

3   2   2 cos 3T  2 sen3T  S  9    5 22) L-1    S  2S  3S  6  A

B 

3 S

3



1 S

4

C 

5 

S  2S  3S  6 AS  3S  6   BS  2S  6  C S  2S  3  5

 = 



A S

2

S  3

S  6



 9 S  18  B 

S

2



 8S  12 



C S

2



5S  6





5

C  0

 9 A  8 B  5C 

0

18 A  12 B  6C  5

3

A  1

1 5

e

2 5

, B

1 2



1 y

 

C 

 =

5

L-1 

2

 15  1 -1  1   = L    L-1    5S  2   S  25  5  S  25   5  5 -1  7  5 19) L-1  2  L  2   sen7T  S  49  7  S  49  7  10S   S  20) L-1  2   10 L-1  2   10 cos 4T  S  16   S  16 

18) L-1 

3!

1

L-

A  B

 T   T  1  e S S  2   S 1  -1  14  1 -1  1  1  17) L-1  = L    L  = e  4 S  1  S  14  4  S  14  4 1



S  6 -1   = 2 L  2   L S   9 3

2

S  2

 S  13  -1  S 3  3S 2  3S  1 -1  1 = L   = L  4 4 S  S    S  1  1  3  2!  1  3!  L-1   + 3 L-1  2  + L-1  3  + L-1  4  = S 2 ! 3 !    S   S   S  3

4

5

15) L-1 

1  3T 

2S  6 

 S  9 

5

1

3

21) L-1 


 S  2S  3S  6 

1 T 4

T

 1  T T  = e e  e  S  6    1 23) L-1   2  S S  4 A BS  C 1  2  S S  4 S S 2  4 1

1

2

2

3

1

1 2

1

2

 1   1  1   L-1    L S  2    S  3  2

L-1 

6T

2

AS  4   BS  C S  1 2

AS 2  4 A  BS 2  CS  1 A  B  0 C  0 4 A  1  A 

1 4

 B   A   14

116





 L-1   S

 =  4 

1

S

2

1 1  S  L-1    L-1  2 = 4  S  4   S  4

1

1 4



1 4

2

AS  B S

2



1

cos 2T

S

3

AS



2

2





4

4

S

 CS

4 AS  BS



2



2



4 B

S D S

1

2

2



CS

3

 



 1 4

1

CS  DS

2

 D  1

4 A  C  0 4 B  D A



1

0



, B 

1 3

,

C

 =  S  1S  4

L-1 

1

2

2



0 y

1 3

D   13 1  1  L-1  2  S  1 3 * 2

L-1 

1  2  1  2   senT  sen 2T 6  S  4  3

TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 

 1 -1  2!  1 1  T 2  T 2 e  2T L  3    S  S S  2 2 S S 2 2  S  2  2! 1 1     26) L-1  2   L-1  2   L S  6S  10   S  6S  10  1  1 1  1  2   S  6S  9  1

25)L-1 

2

2

0



1  2   e T sen2T  2 S 4    S S 1 2 2 S  5 2S  5  L-1   L-1 28) L-1    2        S 6 S 34 S 6 S 34 25 25     2 S  5      S  6S  9  25   2S  5  1  1  2S  6    1 L-1    L-1    L-1   2 2 2  S  3  25   S  3  25   S  3  25    S  3 1   2  S  3  25    5 1 1  S   L L-1    2 L-1   2 5  S  25  S S  5  S  3  25  5  1   2   S  25  S S 3

1

2

A  C  0 B  D

  1 1   -1  -1    L  2   L  2  S  2S  5   S  2S  1  4   S  1  4  1

2

L-1 

1 

2

27) L-1 

2

CS  D

 AS  B S

  1  = e3T senT   L-1  2   S  1 S S 3  S  3  1 1

L-1 

  1 24) L-1    S  1S  4


1

3

-

2 L

2

3

2e

3T

cos 5T 

1

e

3T

sen5T

5

 2S  1  3 2  S S  1 

29) L-1 

117


A

B 

C

D





2S  1

E 

S  1 S  1 AS S  1  B S  1  CS S  1 S

S

2

2

S  1

3

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4

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3

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



3 AS

A  C  0  C 

2

3

2

2

3

 AS  BS

 A 

C 




32) L T senhT    1



3 A  3 B A  3 B

B

2C  D





S  1   DS S  1  ES S

3 BS

3

2

2

2



3 BS  B



2

CS



2S  1 

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2

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3

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CS

2

3

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 DS

2

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

0

S

4 y

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

33) L Te

E  3

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3

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3 5  T  5e T  4Te T  T 2 e T 2

2

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2





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2

2 S

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2



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2

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S

2



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2

1

4

2

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S

2



2

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3

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2T

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sen6T

dS

dS  S

 1

  62S  4 d  6   2    1 2 dS  S  4S  40   S  4S  40

    36  S S 2

6 2

d 





2

   

 4S  40

2

34) L Te

d dS

2  4  s 2    S  4 2  2 2 2  S  4  S  4

 1

d dS

d

6 S

S

2

 9

2

  1 d L

3T



cos 3T



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dS

 S    2  dS  S  9  S S 3 d  S  3    1  dS  S  32  9   S 2  6S  18  S  32S  6   d S  3    1   2    1 2 2  dS  S  6S  18  S 6 S 18        S 2  6S  18  2S 2  12S  18  S 2  6S   1 2  2 S 2  6S  182   S  6S  18

e 

 S 2  4  2S 2   S   L T cos 2T =  1  2    1 2 2  dS  S  4   S  4 

  32S    3    2    1 2 2  dS  S  9    9  S  

   1 d L e

2T

 6   2 dS  S  2  36 

S

d

L  senh3T    1

 1  d    2S    2  2 dS  S  1  dS  S 2  1  d 

12S  24

DERIVADA DE TRANSFORMADA:

31) L Tsenh3T    1

2

 1

2

30)L T cos 2T =  1

dS

5

 -1  5    1  5   = L    L-1    L-1    L 2  S   S   S  1   S S  1    4  3 -1  2!  1 =  L   2  3   S  1  2!  S  1  L-1 

2

 2S  1 2  8S S 2  1 2

2  3 B

d

2

L  senhT    1 2  ES  2S  1

2

4

C  D  E  0

1, D

 



2

2



2

3 A  B


3T

   1

cos 3T

d

118


d 3

35) L T 3 e T senhT    13

3

dS



38) L TuT  a  L T  a  a uT  a   L T  a uT  a  

L

L auT  a 

 1    2  3 dS  S  1  S  S 1  d 3  1   1 3  2 dS  S  1  1  3 2 1  d d   12S  2     1 3   2    1 2  2 2  dS  S  2S  dS  S  2S   S  2S 2S  2   d  S  2S   2    2S  2 2  1   dS S  2S     d  S  2 S  2   22 S  2   S  2 S      d  S  2S    dS  S  2S    dS 

e

3

e  senhT    1 d T

2

2

4

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S

2



 

2S

2

S

2





 12 S  12  3 

S

2



2

2

6S

40) L

ae

 aS

L 1



aS 2

S



ae 

aS

S

e  S 2

S

e 2 T u T  2   L e T 2 u T  2 



S  e 2 L e

T

 e

41) L 3T  1uT  3  L 3T  1  10  10uT  3 

 2 S

S  1

L 3T  9  10uT  3  3 L

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6

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2

 12S  8



2S



3

36S 

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e

37) L 3uT  2  e 2 S L 3 

aS

S 3e 2 S S

2

 108S

S

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 36)L uT  a   e aS L 1 

L T  





3



3e

 3S

LT   10e 3 S

10e 3S

2  2   2S   22S L21   S S  S 2  2S 4 42) L TeT 5uT  5  L T  5  5eT 5u T  5  L T  5eT 5 u T  5  3 2 2 2 5 S 5S  2S    12S  12    6S  12S  83S  2S  2S  2 T 5 5e  uT  5  e 5S L TeT  5e 5 S L eT   e L  5 e  6 S 2  2S  S  12 S  1 2

2

aS



2

2



39) L T  1u T  1  e S L T  

4

2

2

e

2

2



 108S 



2 S

43) L T  13 e T 1u T  1  e  S L T

36

3

e

T



6e 

S





S



1

4

6

TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):  e 2 S  1 1  L-1  3 e 2 S  L-1 3  S 2 ! S    

44)L-1 

 2!  2S   3 e  S  1 2

1

2

T e

2

 2 S



1 2



T u T  2 2



T  22 uT  2

119



 1  e  2 S 2  1  2e 2 S  e 4 S  -1  1  -1 L    = L    2 L S 2  S 2  S  2      

45) L-1 

 1   S  e   S  2   1  4 S L-1   e  2T  2e  2T u T  2  e  2T u T  4   e  S  2  e 2T  2e 2T 2 u T  2  e 2T  4 u T  4 1

2



 2 S e = L S S  1 1 1   2 S 1 1   1  T  e T u T  2     2  e S  1   S S u T  2  T  2uT  2  e T 2 uT  2 1

L-1 

2

TEOREMA DE CONVOLUCIÓN: T 48)L o e senT   d  

 e S  -1  1   S 46) L-1  = L  e  S S  1  S S  1 

f (T )  eT

A

g (T )  senT

B 

S

1



S  1







S S  1

A

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

1







 S S  1

e

 S

1  S 

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 1   S T 1  u T  1  e  u T  1  e  S  1  e 2 S    2 S 1 47) L-1  2   L-1  2 e  S S  1   S S  1  1

A S



B 2

S



C S  1

T

o

e senT   d   L 



 1  B  1

L-1 



L

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

1 S S  1 2

AS S  1  BS  1  CS 2  1 2 2 AS  AS  BS  B  CS  1

A  C  0

 A  B  0 B  1  A  1  C  1


e  L  senT    

1  1   2   S  1  S  1 

T

  1    L-1   L  S  1  S  1S  4       1 1   d     e e    e e  S  4  1

49) L-1 

T

T

4T



4 T 

0

T



T

0

e e  4 e 4 d   

 e   e T 1    e  T       5   5 5    1  1  -1 50) L-1   L   L-1   S  1  S  1S  2  T  1  2T T  2 T   d      e e   0 e e  S  2  e  4T

T

0

5

e 5 d   e  4T 

5

4



T

e



T

5

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e

 4T

5

0

T



e



e

2 T

e

0

2

d   e

2T



0

e

3

d   e

2T

T

 e      e   3  3

T

0

e

T



3

e 

 e  T 1        3 3  3

2T

2T

3

120





ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA): 53) y   y  1 y 0  0

  1  -1  1    L-1  L  =  S  1  S  1   S  1  1

51) L-1 

2

T

e  e     T

T

e

  T  

e

0



T

e

 T

e

e d   e 

0

T

T



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d   e

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T

T

   Te 

y s S  1 

T

0

  S  S  -1  L-1  2 52) L-1  2  L 2   S  4   S  4   1   1   2   cos 2T  sen2T    S  4   2 



T

0

1

cos 2  T

 2

0

1 2

1 2

A S

2

2 d  

2

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

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0

T

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y s S  2  

0

1 4

T



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d  

0

1 4



T

sen2T

A

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0

1

S

T

 sen4 d  

cos 2T

4

1 4

T

T

Tsen 2T 

1

1 16

1

sen2Tsen 4T 

1 16

cos 2T cos 4T 

   1

y 0

1

cos 2T



1 4

B S 2



S 2

 1  y s 

S 2 C

S  2



1  s 2 S 2 S  2 

1  s 2 S 2 S  2 

AS 2  2 AS  BS  2 B  CS 2  1  S 2

T

16



1

1

AS S  2   B S  2   CS 2  1  S 2

0

1  1    1  sen 2T    sen2T  sen 4   cos 2T  cos 4   0 4 4  4  0 4  4  o

1

 1  T   1  e S  1  

Sy s  y 0   2 y s  L T 

 1  cos 4  d   2  1 T  1  cos 2T  sen4 d   2 0 2   1

1 S S  1

54) y   2 y  T

T



S S  1

1   S 

d  

0



1

yT    L-1    L-1 



 sen2T cos

B S  1

S

 y s 

A  1  B  1

cos 2 sen2T cos 2  cos 2Tsen2

1



1

AS  1  BS  1

sen2T  2 d  

T


Tsen 2T 

A  C  1 1 16

 B  0 cos4T 2 A 2T   cos 2T   2 B  1  B 

1 2

 A   14  C   34

Tsen 2T

4

121


1  yT    14 L-1     S 


57) y   4 y  f T 

 1  3 -1  4 L 2   S 

L-1 

1 2

3  1  1 1  T  e 2T   4  S  2  4 2 3 2T    55) y  4 y  4 y  T e y 0  0 , y 0  0 2  S y s  Sy 0   y 0   4Sy s  4 y 0   4 y s  L T 3 e 2T S 2 y s y s



4 Sy s



4 y s

6 

S  2



S

2



4 S  4

6

S 2 

4



S  2  S  2  2

4



S  2 

6



6 5!

 5!   6   S  S S 2

L-1 

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y 0  0 ,

T 1 Sy s  y 0   y s  L 5u T  1 

5u

y s S  1  y s 

5e



5e

 S

S S  1



5

S S  1

e  S

5 A B    A  5, B   5 S S  1 S S  1

y T  

5 L-1

1

 1   S  1  S T e  5u T  1  5e u T  1   e  5 L-1   S  1  S 

5u T  1  5e T 1u T  1

1 S

1



S S  4 2

BS  C 2



S e



e

S

1

S

e



S

 S



S



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123

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