Practica n.-1 I)
Soluciones de ecuaciones diferenciales
1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación diferencial. a) y C1senx C2 x es solución de (1 xctgx ) y xy y 0 Solución: y C 1 Senx C 2 x y C1cosx C 2 y C1 Senx (1 x c tgx) y (1 xctgx)( C1 Senx) C1 senx C2 x cos x ……….. (1)
xy x(C1cosx C2 ) xC1cosx C2 x …………………. (2) y C 1 Senx C 2 x …………….. (3) Luego sumamos (1), (2) y (3) (1 x c tgx) y xy y C1senx C1x cos x C1x cos x C2 x C1senx C2 x (1 x c tgx ) y xy y 0
b) y C 1e x
C 2 xe x C 3e x 2 x 2 e x es solución de
y y y y 8e x
Solución:
C 1e x C 2 xe x C 3e x 2 x 2 e x y C1e x C2e x C2 xe x C3e x 4xe x 2x 2e x y C1e x C2e x C2e x C2 xe x C3e x 4e x 4xe x 4xe x 2x 2e x C1e x C2e x C2e x C2e x C2 xe x C3e x 4e x y y
4e x 4 xe x 4e x 4 xe x 4 xe x 2 x2 e x .......… .. (1)
y C1e x C2e x C2e x C2 xe x C3e x 4e x 4 xe x 4 xe x 2 x 2 e x ……………………..… … (2)
y C1e x C2e x C2 xe x C3e x 4xe x 2x 2e x … ….. (3) y
C 1e x C 2 xe x C 3 e x 2 x 2 e x ………………….. (4)
Luego sumamos (1), (2), (3) y (4) y y y y C1e x
C2e x C2e x C2e x C2 xe x C3e x
4e x 4e x 4 xe x 4e x 4 xe x 4 xe x 2 x 2 e x C1e x C2e x C2e x C2 xe x C3e x 4e x 4 xe x 4 xe x 2 x 2 e x C1e x C2e x C2 xe x C3e x 4 xe x 2 x 2 e x C1e x C2 xe x C3e x 2 x2e x y y y y 8e x
2)Demostrar 2) Demostrar que y 2 x Ce x es la solución de la ecuación diferencial, y y y 2 2 x hallar la solución particular para x 0, y 3 ( esto es la ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))
Solución: y 2 x Ce x y 2 Ce x …………………….. (1)
y 2 x Ce x ……………………..(2) Luego sumamos (1) y (2) y y 2 Ce x y y ( x , y)
2 2x
3 2(0) Ce 0
(0, 3) 3)
La ecuación de la curva integral i ntegral es:
2 x Ce x
3 C
y 2 x 3e x
x 2x 3) Demostrar que y C 1 e C 2 e x es solución de y 3 y 2 y 2 x 3 y hallar la ecuación de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)
Solución: y
C 1e x C 2 e 2 x x
y C1e
2C2 e 2 x 1
y C1e
4C2e2 x ………………….…… (1)
x
x
3 y 3C1e x 6C2e 2 x 3 …….………..… (2) 2 y
2C1e x 2C2 e 2 x 2 x ….…………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3) y 3 y 2 y C1e x
4C2e2 x 3C1e x 6C2e2 x 3 y 3 y 2 y 2 x 3
( x, y ) (0, 0) 0)
0 C1e0 C2e2( 0) 0 0 C1 C 2
C2
C 1
2C1e x 2C2e2 x 2x
( x , y ) (1, 0) 0)
0 C1e
1
C2 e 2 (1) 1
0 C1e C1e2 1 C 1
1
C1e (e 1) 1 C 2
e(e 1)
1 e( e 1)
La ecuación de la curva integral es: x
y
e
e(e 1)
e
2x
e(e 1)
x
4) Demostrar que ( y C ) 2 Cx es la primitiva de la ecuación diferencial 4 xy 2 xy y 0 y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2) 5) La primitiva de la ecuación diferencial xy y es y Cx . Hallar la ecuación de la curva integral que pasa por el punto (1,2)
Solución: y Cx
y C
xy xC
xy y
( x , y ) (1, 2) 2)
2 C (1)
La ecuación de la curva integral i ntegral es:
y
2 C
2x
6) Comprobar que y C1cosx C2 senx y, y Acos ( x B ) son primitivas de y y 0 demostrar también que ambas ecuaciones son, en realidad, una sola.
Solución: . y C1cosx C2 senx y C1senx C2 cos x y C1Cosx C2 Senx …………………….. (1)
y C1cosx C2 senx ………………………(2)
Luego sumamos (1) y (2) y y
C1Cosx Cosx C2 Sen Senxx C1cosx cosx C2 sen senxx y y
0
. y Acos ( x B ) y Asen ( x B ) y Acos ( x B ) ………………. (3) y
Acos ( x B ) …………………(4)
Luego sumamos (3) y (4) y y
Acos ( x B) Acos ( x B) y y
0
. Ahora demostraremos que y C1cosx C2 senx y y y
y
Acos ( x B ) son, en realidad, una sola.
Acos ( x B )
A cos x cos cos B AsenxsenB Asenxs enB
Como AcosB AcosB y Asen AsenB B son constantes, pueden asumir el valor de C1
AcosB
C2
y C1cosx C2 senx
7) Demostrar que ln( x ) ln( 2
y
2
x
2
AsenB
Acos ( x B )
) A x se puede escribir así y 2
Solución: ln( x ) ln( 2
2
ln( x .
y
y
2
x
2
) A x
2
x 2
)
A x
ln( y ) A x 2
e
A x
A
e .e
Como e A es una constante e A B Reemplazamos en e A .e x
y2
Be Be x
y 2
x
y 2 y2
Be x Be
8) Demostrar que arcSenx arcSeny A se puede escribir así x 1 y 2
y
1 x 2
Solución: arcSenx
arcSeny A
Derivamos: dx 1 x
2
dx 1 y
dy 1 y
2
0
2 dy dy 1 x 0 2 2 1 x 1 y 2
dx 1 y 2
ddyy
1 x2
0
Integramos:
1 y dx 2
x 1 y 2
y
1 x dy 0 2
1 x2
B
9) Demostrar que ln(1 y ) ln(1 x ) A se puede escribir como xy x y x y C Solución: ln(1 y ) ln(1 x ) A ln[( 1 y )(1 x )] A ln(1 x y xy x y) A
1 x y xy e A 1 x y xy e A
Como e A 1
es constante, entonces puede tomar el valor
e A 1 C x y xy
C
10) Demostrar que Senhy Coshy Cx se puede escribir como y ln( x ) A
Solución:
Coshy Cx e y e y e y e y Cx Senhy
2
2 e Cx ln Cx y ln C ln x y y
Como ln C es constante entonces le damos el valor de A ln C y
ln( x ) A
B
II) Origen de las ecuaciones diferenciales 1) Se define una curva por la condición que cada uno de sus puntos ( x , y ) su pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. Exprese la condición mediante una ecuación diferencial.
Solución: La pendiente es
m
y x
y x y x
2( x y) 2 x 2 y
y 2 x y
dy dx
2
2 yx
2 x
2
1 2 x
4 x(1 2 x ) 2 x (2) 2
(1 2 x )
2
dy dx
4 x (1 x) (1 2 x )2
2) Una curva esta definida por la condición que representa repr esenta la condición que la suma de los segmentos x e y interceptados por sus tangentes en los ejes ejes coordenados es siempre siempre igual a 2, Exprese la condición por medio de una ecuación diferencial. 3) Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido, Hállese la ecuación diferencial que exprese la velocidad de conversión después de “t” minutos.
Solución Sea “ q ” la cantidad de gramos convertidos en “ t ” minutos, el numero de gramos aun no dq convertidos será “ (100 q ) ” y la velocidad de conversión vendrá dada por K (100 q) , donde dt K es la constante de proporcionalidad. pr oporcionalidad. 4) Una partícula de masa “m” se mueve a lo largo de una línea recta (el eje x) estando sujeto a : i) ii)
Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo “0” en su trayectoria y dirigida hacia “0”. Una fuerza resistente proporcional a su velocidad
Expresar la fuerza total como una ecuación diferencial
5) Demostrar que en cada una de las ecuaciones a)
Solución
⇒+
Debido a que la suma b)
son constantes la suma será igual a una constante k
Solución
⇒ 2 20 ⇒ 0 2 3 3 5 0 22 33 3 3 5 5 0 0 2 2 Debido a que
es una constante la reemplazamos por k
c)
Solución
Debido a que
es una constante la reemplazamos por k
Solamente es usual una de las dos constantes arbitrarias 6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva
Solucion ′
′′
′′′
la ecuación diferencial asociada es:
′′′
7) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva
Solución
′
′
′
′
8) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva
Solución ′
′′
′′
9) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva ′′
Solución ′
′
Derivando
y 2 0 yy 2 2 2 0 y 2 B 3 2 0 3 2 13 12 11 927 48 279 84 11 22121222221212 0 0 6 11 6 0 2 20 ′′
′
′′
′
′′
′
′′
′
Derivando y acomodándolo: ′′′
′′
′
10) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva
Solución:
′
′
′′
′′
′′′
′′′
= = =
′′′
′′′
′′′
′′
′′
′′
′
′
′
11) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva
Solución ′
′′
′′′
12) Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo “r” cuyos centros están en el eje x
0 1 12 − 2
La ecuación de una circunferencia es: Derivando
′
13) Hallar la ecuación diferencia de la familia de parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes están sobre el eje x
Solución:
4 xy 4p 2xyxy y 0 22
La ecuación de la familia de la parábola es: Donde el vértice es (0,0) y el foco F (0, p) Derivamos
′
′
′
PRACTICA n.-2 I)
SEPARACIÓN DE VARIABLES
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. 1) X3dx + (y+1)2dy = 0
Sol:
∫ X3dx + ∫ (y+1) 2dy = c X4/4 + c1 + (y+1)3/3 +c2 = c (y+1)3/3 = k - X4/4 (y+1) =
3k X
y=
-1
2) x2(y+1)dx + y2(x-1)dy = 0
Sol:
+ − − + − + − + − + dx +
dx +
dy = 0
dy = 0
∫ dx + ∫ dy = c Sea µ = x-1 x = µ+1 dµ=dx dµ = +2 µ+ln µ+c 1 ∫
µ+µ µ − −
+2(x-1)+ln(x-1)+c1 +2(x-1)+ln(x-1)+c1 +
Sea: v = y+1 y=v-1 dv=dy = - 2v + lnv + c 2 ∫
+
v− v +
- 2(y+1) +ln (y-1) + c 2
- 2(y+1) +ln (y-1) + c 2 = c
−
+2(x-1)+ln(x-1) +
3) 4xdy – ydx = x2dy
+
- 2(y+1) +ln (y-1) = k
Sol: (4x-x2)dy – ydx=0 dy dx =0
− − − − ∫ − − − + -
= 0
- ∫
= c
Lny + c1 - ln ( Lny = ln (
) +c2 = c
)+k
y=
4) x(y-3)dy = 4ydx
Sol:
− − ∫
+ – – dy =
dx
dy - ∫ = c
y – 3lny +c1 – 4lnx + c2 = c lny = y= y=
5) (y2 + xy2)dy + (x2-x2y)dx = 0
Sol:
+ − − + −+ − + − + − + dy +
∫
dy + ∫
dx= 0
dx = c
-(ln(1-y) – 2(1-y) +
) + c1 +
-ln (1-y) + 2(1-y) -
+
6) x
Sol:
- 2(x+1) + lnx = k
1 y2 √ 1 x2 + y
+√ ++ √ +√ ++ ∫√ 1√ x2+ ∫ 1+y2 dx +
dx +
dy = 0
1 y2 √ 1 x2 1 x2 √ √ 1+y2 = (k y= ±
y’ = 0
dy = c
+ c1 + =k-
+ c2 = c
)2
- 2(x+1) + lnx + c 2 = c
7) Hallar la solución particular de: (1+x 3) dy – x2ydx = 0, que satisfaga las condiciones iníciales x=1, y=2.
Sol:
+ + + + dy -
∫ - ∫
dx = 0
dx = c
Lny +c1 - ln(1+x3) + c2 = c Lny = k + ln(1+x3) Para x=1,y=2: Ln(2) = k + ln(1+13) K = 0.46
8) Hallar la solución particular de: Sol:
+ + g + + dx +
secydx + (1+
) secytgydy = 0, cuando x=3, y=60 .
dy = 0
∫ dx +∫ tgydy = c Ln (1+ex) + c1 + ln (secy) + c 2 = c Ln (secy) = k – Ln (1+ex) Para x=3, y=60 . °
3 K=l n (2)+ln (1+e )
9) Hallar la solución particular de: dp =p
tan
d , cuando =0, p=1.
ttaann
Sol: dp =p d d ∫ =∫ Lnp+c=ln(sec )+c1 Lnp- ln(sec )=k Para =0,p=1. Ln1-ln1=0 K=0
II)
REDUCCIÓN A VARIABLE SEPARADA
1) Resolver : (x+y)dx + (3x+3y-4)dy = 0
Sol: (x+y) dx + (3x+3y-4) dy = 0………. (I) Sea: z = x+y dz=dx+dy = 1+
= – 1……………… (II) Reemplazando en (I) Z + (3z-4) ( – 1) = 0 -2zdx + 3zdz – 4dz + 4dx = 0 ∫-2zdx + ∫3zdz – ∫4dz + ∫4dx = ∫0 -2zx +c1+ +c2 -4z + c 3 +4x + c 4 = c
z
°
-2(x+y) x +
+
– 4(x+y) + 4x = k
2) Resolver : (x+y) 2y’ = a2
Sol: (x+y)2y’ = a 2...................(I) Sea: z = x+y dz = dx+dy = 1+
z +z + +
= – 1……………… (II) Reemplazando en (I) (x+y)2 ( – 1) = a2 Z2 ( – 1) = a2
∫ dz = ∫dx Z – a.arctg ( ) = x + k X + y – a.arctg ( ) = x + k y – a.arctg ( ) = k
3) Resolver: y’ = cos 2 (ax+by+c) / a ≠ b, a y b son constantes positivas.
Sol: Sea: z = ax+by+c =a+b
∫ √ √ +√ √ √√ √ √
, y’= cos (ax + by + c)…….. (I)
- a= b
( – a) = ……………. (II) Remplazando (II) en (I) ( – a) = Cos2 (z) - = Cos2z
- a = b Cos 2z = bCos2z + a
= ∫dx
arctg (
×ar ctg (
+ C1 = C2
Cos (ax + by + c))
4) Resolver : y’+1=
Sol: y’ + 1 = Sea: z = x+y
+ + + + z z z + + z−+ −m+ z−m+ −m+
x+k
+++ m+
………….. (I) dz = dx+dy = 1+
z
= – 1……………… (II) Reemplazando en (I) ( – 1) + 1= ) dz = ∫ dx ∫( n-m ∫ (z + z p-m) = ∫ dx + = x+k
=
+
(p-m+1)(x+y) (n-m+1) + (n-m+1) (x+y) (p-m+1) = (x+k) (p-m+1)(n-m+1) 5) Resolver : xy2(xy’+y) = a 2
Sol: xy2 (xy’+y) = a 2…………….. (I) xy2y’ + xy3 = a2 Sea: z=xy y= Reemplazando (II) en (I):
− z
z z
z
y’ =
− z
…………. (II)
(x + ) = a2, simplificando z2dz = a2xdx, integrando + c = a2 + c1 3 2 2 2x 3 y = 3a x + k
6) Resolver : (lnx+y 3)dx - 3xy2dy = 0 Sol: Sea: z = lnx +y 3
z
z z
= + 3y2y’, de donde 3xy 2y’ = x – 1
Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: z – (x – 1) = 0
z +
(z+1) - x = 0, separando las variables: = 0, integrando se tiene: lnx – ln (z+1) = lnc
-
lnx + y3 + 1 = kx , donde k=
z+1 = kx
3 y = kx – lnx - 1
7) Resolver : y’ = tan(x+y) – 1
Sol: Sea: z = x+y =1+ Reemplazando en la ecuación diferencial: - 1 = tanz - 1
+
zz
= tanz , = dx, ctgzdz = dx Integrando: Ln (senz) + c 1 = x + c2 Ln(sen(x+y)) = x + k = sen(x +y)
8) Resolver : (6x+4y+3)dx+(3x+2y+2)dy = 0
Sol: Sea: z = 3x+2y =3+2 Reemplazando en la ecuación diferencial: (2z+3) dx + (z+2) ( ) = 0 Simplificando y separando las variables: Dx + dz = 0 Integrando ambos miembros: z + 2lnz + x = c
z+z
−
dy =
−
4x + 2y + 2ln (3x+2y) = c
9) Resolver : cos(x+y)dx – xsen(x+y)dx +xsen(x+y)dy
x = c (z+1)
Sol: Sea: z = x+y =1+ dy = dz – dx Reemplazando en la ecuación diferencial: Coszdx = xsenzdx + xsenz (dz-dx) Simplificando y separando las variables: = tanzdz Integrando miembro a miembro:
xcos(x+y) = c
10) Resolver : y(xy+1)dx + x(1+xy+x 2y2)dy=0
z z++zz – z z+zz z Sol: Sea: z = xy
=y+x
z
dz = dx + xdy
(z+1)dx + = 0 Simplificando y separando las variables: dz + = Integrando miembro a miembro: Lnz +c1+ lnz2 + c2+ lnz3+ c3 = lnx + c 2 3 Ln (xy) + ln(xy) + ln(xy) = lnx +k
11) Resolver : (y-xy2)dx – (x+x2y)dy=0
Sol: Sea: z = xy =y+x dz = dx + xdy Reemplazando en la ecuación diferencial: ( - ) dx – (x+zx) ( )=0 Simplificando y separando las variables: 2 = dz Integrando: 2lnx + c1 = z + lnz + c 2
−
z z +
z
2lnx – ln (xy) – x y = k
12) Resolver : (1-xy+x 2y2)dx + (x3y-x2)dy=0
Sol: Sea: z = xy =y+x Reemplazando en la ecuación diferencial: (1+z2-z) dx + (zx2 – x2) = 0 Simplificando y separando las variables: + dz - = 0 Integrando:
z Ln x +
z–z
– xy = k
13) Resolver : cosy’=0
Sol : Como : cosy’=0
π
= (2n+1) Integrando:
π
y’ = arccosα = (2n+1)
dy = (2n+1) dx
y = (2n+1) x + k
14) Resolver : ey’=1
Sol: Como: ey’=1 Integrando:
y’ = 0
y=
15) Resolver : lny’=x
Sol: ex = y’ Integrando: y=
+c
dy =
dx
16) Resolver : x2y’cosy+1=0/ y=16 ; x
Sol: y’Cosy + = 0 , de donde : cosydy + integrando: seny - = c , como y=16 cuando x c = sen (16 )
∞
= 0
∞
Seny - = sen (16 )
17) Resolver : tgy’=x
Sol: Como tgy’ = x dy = (arctgx + nπ)dx Integrando:
∈
y’ = arctgx + nπ, n N
2 2y = 2xarctgx – ln(x +1) + 2nπx + c
Practica n.-3 I) FUNCIONES HOMOGENEAS
, 4 ,, 44 ⇒, , , , tan⁄ ,, ttaann⁄⁄ ⇒, , , , ,
Determinar cuales de las siguientes funciones son homogéneas
1)
Solución:
La
es homogénea de grado 3
2)
Solución:
La
3)
Solución:
es homogénea de grado 2
,, , ⇒ , − , , ,, , ⇒ , , ,, ≠ , ⇒ , , ,, ≠ , ⇒ , , ,, ⇒, , , , ⁄ ,, ⁄ ⇒, , , , 5 6 ,, ≠ 5, 6 ⇒ , , ⁄⁄ ⁄ ⁄ ,, ⁄ ⁄ , , La
es homogénea de grado 1
4)
Solución:
La
es homogénea de grado 0
5)
Solución: La
no es homogénea
6)
Solución: La
no es homogénea
7)
Solución:
La
es homogénea de grado 0
8)
Solución:
La
es homogénea de grado 3
9)
Solución: La
10)
Solución:
no es homogénea
⇒ , , , 0 , , 0 , , , , 1 , ⇒ , 1, 1, 1,, 11, ,⇒1, , 1, , 1, ⇒ 1, 0 0 La
II) Si
es homogénea de grado 1
es homogénea, demostrar que
se separan las variables
Solución: ………………… (#) Debido a que Es homogénea se cumple que: Y …………………………………… (1) Haciendo que …………………………………………………………………………………….. (2) Reemplazando (2) en (1)
……………………. (3)
……………………….. (4) ………………………………………………..(5) Ahora como Reemplazando (3), (4), (5) en (#) obtenemos: Simplificando y agrupando obtenemos:
III) ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
3 0 ⇒ 0 1 33 3 0 12 3 0 3 212 1 2 2 12 12 0 ⇒ 0 0 1 1 0 Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas 1)
Solución:
La ecuación diferencial es homogénea de grado 3: ………………………………(α) Reemplazando (α) en la ecuación original
………………………………………………..( ) Reemplazando (α) en ( ) Levantando el logaritmo obtenemos:
2)
Solución: La ecuación diferencial es homogénea de grado 1: …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original
√ 1 2ℎ 3ℎ 3ℎ 0
………………………………………………..( ) Reemplazando (α) en ( ) 3)
Solución:
⇒ 3ℎ 2ℎ 3 ℎ 0 22ℎ 3 ℎ 3 ℎ 3 ℎ 0 3ℎ 2 ℎ ℎ 2 3 ℎ 2 3 0 ⇒ 2233 0 0 221 1 0 2 2 12 2 1 0 ⇒ 1 22 2 1 202 0 2 2 1 2 2 0 11 22 1 2 1 2 3 0 La ecuación diferencial es homogénea de grado 1: …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original
………………………………………………..( ) Reemplazando (α) en ( )
4)
Solución: La ecuación diferencial es homogénea de grado 1: …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original
Reemplazando (α) en ( ) 5)
+
Solución: La ecuación diferencial es homogénea de grado 0: …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original +
………………………………………………..( ) Reemplazando (α) en ( )
6)
Solución: La ecuación diferencial es homogénea de grado 2:
⇒ 3 2 0 0 1 1 + 0 ⇒ 1 0 0 √ √ 1 1 2 1 0 0 ⇒ 0 0 ∫ ∫ 0 ⇒ 0 0 1 121 2 …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original
………………………………………………..( ) Reemplazando (α) en ( )
7) Solución: La ecuación diferencial es homogénea de grado 1: …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original
………………………………………………..( )
Reemplazando (α) en ( )
8)
Solución: Transformamos la ecuación diferencial:
La ecuación diferencial es homogénea de grado 1: …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original
………………………………………………..( ) Reemplazando (α) en ( ) 9) Solución: La ecuación diferencial es homogénea de grado 1: …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original
………………………………………………..( )
Reemplazando (α) en ( )
0 ⇒ 0 0 0 0 10)
Solución:
La ecuación diferencial es homogénea de grado 1: …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original
11)
Solución:
⇒
La ecuación diferencial es homogénea de grado 1: …………………………..……… (α) Reemplazando (α) en la ecuación original
………………………………………………..( ) Reemplazando (α) en ( )
IV) ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGÉNEAS Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas
2 5 3 2 4 6 2 53 ℎ , 0 1 , 1 ⇒ ℎ 1 , 1 2 46 1 , 0 1 , 225 15 213 2 4 14 16 ⇒ 22 53 4 2 4 0 2 5 0 2 5 2 3 4 1)
Solución:
La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera: Resolviendo
Además Reemplazando (α) en la ecuación diferencial
………………………… (α)
………………………………………………………………( ) Es una ecuación homogénea de grado 1: ………………………………………………………………..( ) Reemplazando ( ) en ( )
2 3 4 √ −√ ⇒ −− 1 4 3 1 1 1 7 2 1 1 2 2 1 3 14 2 √ 23 √ 23 ( ) 1 4 1 1 ℎ ,0 1 , 0 ⇒ ℎ 1 , 0 4 11, 0 , 4 0 ⇒ 4 4 0 1 0 1 4 ⇒ 4 − 1 1 2 4 12 21 4 9 4 72 4 ℎ9, 0 1 , 2 ⇒ ℎ 1 , 2 4 72 1 , 0 2 , 4 4 0 ⇒ 41 4 0 4 0 4 18 1 − ⇒ + 8 12 11 2 35 ………………………………………………………………. (θ) Como Reemplazando en (θ)
2)
Solución:
La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera: Resolviendo
………………………… (α) Además Reemplazando (α) en la ecuación diferencial ………………………………………………………………( ) Es una ecuación homogénea de grado 1: ………………………………………………………………..( ) Reemplazando ( ) en ( )
………………………………………………………………. (θ)
Como Reemplazando en (θ)
3)
Solución: La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:
Resolviendo Además ………………………… (α) Reemplazando (α) en la ecuación diferencial ………………………………………………………………( ) Es una ecuación homogénea de grado 1: ………………………………………………………………..( ) Reemplazando ( ) en ( )
………………………………………………………………. (θ)
Como Reemplazando en (θ) 4)
Solución:
1 ℎ ,0 2 , 1 ⇒ ℎ 2 , 1 3 25, 0 1 , 3 0 ⇒ 3 0 2 1 121 1 0 + 1 ⇒ −− 3 2 23 4 31 ⇒ − −− 4 3 −0 − 2 1− 1⇒− 2− ⇒ ⇒ 2 44233 2 0 0 ⇒ 4 −23 0 − 03 3 1 , − 1 3 − ⇒ − 3 1 3 5 1 1⇒ 12 3 0 2 ⇒ 3
La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera: Resolviendo
………………………… (α) Además Reemplazando (α) en la ecuación diferencial ………………………………………………………………( ) Es una ecuación homogénea de grado 1: ………………………………………………………………..( ) Reemplazando ( ) en ( )
………………………………………………………………. (θ)
Como Reemplazando en (θ)
5)
Solución:
………………………………. (θ) Sea Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial …………………………………….. (1) Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse: Reemplazando en la ecuación diferencial
Es una ecuación diferencial homogénea de grado 2 ……………………………………………………………….. ( ) Reemplazando ( ) En la ecuación diferencial De donde simplificando y separando la variable se tiene , integrando se tiene
Como se tiene: 6) Solución: Sea ………………………………. (θ) Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:
Simplificando ……(3) es una ecuación diferencial homogénea de grado 2 ……………………………………………………………….. ( ) Reemplazando ( ) En la ecuación diferencial
⇒ 1 − 2 0 2 ⇒, 0 ⇒ 22−1 0 ∫2 ∫ 20 2 3 7 3 2 8 0 ⇒ 2, ⇒ 2 22 33 77 20 ⇒ 322,1 8 2 0 3 2 8 2,0 1 2 3 3 2 0 ⇒ 2 23 13 1 ⇒ ,1 2 1 1 1, 2 2 3 | 4 4 2 3| 2 13 4 ⇒ 4 ⇒ 4 4 4 1 24 41 242 4 4 2 0 ⇒ ⇒ 0 0 0 Como
se tiene
7) Solución:
Reemplazo en la ecuación diferencia dad se tiene: ……(1) es una ecuación diferencial homogéneas de grado 1 ………. (2) Reemplazando y simplificando (2) en (1) Integramos
8) Solución: Sea Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial
Sean
………………………………. (θ)
reemplazando
Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse: ……………………………………………………………….. ( ) Reemplazando ( ) En la ecuación diferencial
Como
se tiene
9) Solución:
………………………. (1)
Reemplazando (1) en la ecuación diferencial
Asiendo en cambio de variable respectivo la solución será: 10) Solución:
Reemplazando (1) en la ecuación diferencial
……………………………………(1)
2 2 22 2 2 0 ⇒ − − 22 2 0 − 2− 0 2 2 232 ⇒ − − 4 ⇒ ⇒ 4 − − − − 1 4 4 8 0 0 2 2 2 ⇒ 11 2 4 0 1 3 30 0 1 3 13 3 ⁄ 1 3 ⁄ ⁄ 3
11) Solución: ………………………………. (θ) Sea Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial
………………………………………………………………( ) ………………………………………………………………..( )
Reemplazando ( ) en ( )
Reemplazando
PRACTICA # 4. I)
Ecuaciones diferenciales exactas:
Resolver las siguientes ecuaciones: 1) (4x3y3 – 2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy = 0 Sol: (4x3y3 – 2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy = 0 M(x, y) N(x, y) 3 2 = 12x y – 2x =
∂M∂, ∂f∂, ∂f∂,
∃
Entonces f(x, y) /
∂N∂, ∂f∂,
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= 4x3y3 – 2xy f(x, y) = ∫ (4x 3y3 – 2xy)dx + g(y) f(x,y) = x4y3 – x2y + g(y) , derivando con respecto a “y”. = 3x4y2 - x2 + g’(y), pero como: = N(x,y) 4 2 2 Se tiene: N(x, y) = 3x y – x 3x4y2 - x2 + g’(y) = 3x 4y2 – x2 g’(y) = 0 4 3 2 f(x,y) = x y – x y + c
∂f∂,
4 3 x y – x 2 y = k
2) (3e3xy – 2x)dx + e 3xdy = 0
Sol: (3e3xy – 2x)dx + e 3xdy = 0 M(x, y)
N(x, y)
g(y) = c
∂M∂, ∃ ∂f∂, ∂f∂, = 3
=
Entonces f(x, y) /
∂N∂, ∂f∂,
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= 3e3xy – 2x f(x, y) = ∫ (3e 3xy – 2x)dx + g(y) f(x,y) = y – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”. = + g’(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = e 3x + g’(y) = g’(y) = 0 g(y) = c 2 f(x,y) = y – x + c y
∂f∂,
– x 2 = k
3) (cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0 Sol: (cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0 M(x,y) N(x,y) = -seny + cosx = . Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
∂M∂, ∂N∂, ∂f∂, ∃ ∂f∂, ∂f∂, ∂f∂, Entonces f(x, y) /
= M(x, y), de donde:
= 3e3xy – 2x f(x, y) = ∫ (3e3xy – 2x)dx + g(y) f(x,y) = y – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”. = + g’(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = e 3x + g’(y) = g’(y) = 0 g(y) = c f(x,y) = y – x2 + c y
– x 2 = k
4) 2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0 Sol: 2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0 M(x,y)
∂M∂, ∂f∂,
= 2x ex2 =
∃
Entonces f(x, y) /
N(x,y)
∂N∂, ∂f∂,
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= 2x(yex2 – 1) f(x, y) = ∫ (2x(ye x2 – 1))dx + g(y) f(x,y) = y ex2 – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f∂,
∂f∂,
= ex2 + g’(y), pero como: Se tiene: N(x, y) = e x2 ex2+ g’(y) = e x2 g’(y) = 0 f(x,y) = y ex2 – x2 + c
= N(x,y)
g(y) = c
x2 ye - x 2 = k
5) (6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0 Sol: (6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0 M(x,y)
∂M∂, ∂f∂, ∂f∂,
N(x,y)
∂N∂, ∂f∂,
= 18x5y2 + 20x3y4 =
∃
Entonces f(x, y) /
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= 6x5y3 + 4x3y5 f(x, y) = ∫ (6x 5y3 + 4x3y5)dx + g(y) f(x,y) = x6y3 + x4y5 + g(y) , derivando con respecto a “y”. = 3x6y2 + 5x4y4 + g’(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 3x 6y2 + 5x4y4 3x6y2 + 5x4y4 + g’(y) = 3x6y2 + 5x4y4 g’(y) = 0 f(x,y) = x6y3 + x4y5 + c
∂f∂,
g(y) = c
6 3 5 x y + x 4 y = k
6) (2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0 Sol:
(2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0 M(x,y)
∂M∂, ∂f∂,
= 3 =
∃
N(x,y)
∂N∂, ∂f∂,
Entonces f(x, y) /
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta. = M(x, y), de donde:
= 2x3 + 3y f(x, y) = ∫ ( 2x3 + 3y)dx + g(y) f(x,y) = + 3xy + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f∂,
= 3x + g’(y), pero como: Se tiene: N(x, y) = 3x + y – 1 3x + y – 1 + g’(y) = 3x + y – 1 f(x,y) = + 3xy + c 4 2 x + 6xy + y = k
∂f∂,
= N(x,y)
g’(y) = 0
g(y) = c
7) (y2
+ 4x3)dx + ( 2xy
- 3y2)dy = 0
∂M∂, ∂N∂, ∂f∂, ∃ ∂f∂, ∂f∂, ∂f∂, Sol:
(y2
+ 4x3)dx + ( 2xy
M(x,y)
N(x,y)
+ 2xy3
= 2y
- 3y2)dy = 0
Entonces f(x, y) /
=
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= y2 + 4x3 f(x, y) = ∫ (y2 + 4x3)dx + g(y) f(x,y) = + x4 + g(y) , derivando con respecto a “y”. = 2xy + g’(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 2xy - 3y2 g’(y) = - 3y2 2xy + g’(y) = 2xy - 3y2
g(y) = - y3
3 + x 4 - y
f(x,y) =
8) (2xy2 + 2y)dx + (2x 2y + 2x)dy = 0 Sol: (2xy2 + 2y)dx + (2x 2y + 2x)dy = 0 M(x,y)
∂M∂, ∂f∂, ∂f∂,
N(x,y)
= 4xy + 2 =
∃
Entonces f(x, y) /
∂N∂, ∂f∂,
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= 2xy2 + 2y f(x, y) = ∫ (2xy 2 + 2y)dx + g(y) f(x,y) = x2y2+ 2xy + g(y) , derivando con respecto a “y”. = 2x2y + 2x + g’(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 2x 2y + 2x 2x2y + 2x + g’(y) = 2x2y + 2x g’(y) = 0 2 2 f(x,y) = x y + 2xy + c
∂f∂,
2 2 x y + 2xy = k
9) (exseny – 2ysenx)dx + (e xcosy + 2cosx)dy = 0 Sol: (exseny – 2ysenx)dx + (e xcosy + 2cosx)dy = 0 M(x,y)
N(x,y)
g(y) = c
∂M∂, ∂f∂, ∂f∂,
∂N∂, ∂f∂,
= excosy – 2senx =
∃
Entonces f(x, y) /
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= exseny – 2ysenx f(x, y) = ∫ (e xseny – 2ysenx)dx + g(y) f(x,y) = exseny + 2ycosx + g(y) , derivando con respecto a “y”. = excosy +2cosx + g’(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = e xcosy + 2cosx excosy +2cosx + g’(y)= excosy + 2cosx g’(y) = 0 x f(x,y) = e seny + 2ycosx + c
∂f∂,
g(y) = c
x e seny + 2ycosx = k
10) (2xy3 + ycosx)dx + (3x 2y2 + senx)dy = 0 Sol: (2xy3 + ycosx)dx + (3x 2y2 + senx)dy = 0 M(x,y)
∂M∂, ∂f∂, ∂f∂,
N(x,y)
∂N∂, ∂f∂,
= 6xy2 + cosx =
∃
Entonces f(x, y) /
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= 2xy3 + ycosx f(x, y) = ∫ (2xy 3 + ycosx)dx + g(y) f(x,y) = x2y3 + ysenx + g(y) , derivando con respecto a “y”. = 3x2y2 + senx + g’(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 3x 2y2 + senx 3x2y2 + senx + g’(y) = 3x 2y2 + senx g’(y) = 0 f(x,y) = x2y3 + ysenx + c
∂f∂,
g(y) = c
x2y3 + ysenx = k
11) (Seny + ysenx + )dx + (xcosy – cosx + )dy = 0
Sol: (Seny + ysenx + )dx + (xcosy – cosx + )dy = 0 M(x,y)
∂M∂, ∂f∂,
∂N∂, ∂f∂,
= senx + cosy =
∃
Entonces f(x, y) /
N(x,y)
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= Seny + ysenx +
f(x, y) = ∫ ( Seny + ysenx + )dx + g(y) f(x,y) = xseny – ycosx + lnx + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f∂,
= xcosy – cosx + g’(y), pero como:
Se tiene: N(x, y) = xcosy – cosx +
∂f∂,
= N(x,y)
xseny – ycosx + lnx + g’(y) = xcosy – cosx + f (x,y) = xseny – ycosx + l nx + l ny
+ + ∂M∂, + ∃ ∂f∂, + + ∂f∂, + 12) (
Sol:
(
+ + +∂f, ∂N∂, ∂
+ arctgy)dx + (
+ arctgy)dx + (
M(x,y)
=
+
g’(y) =
g(y) = lny
+ arctgx) dy= 0
+ arctgx)dy = 0
N(x,y)
=
Entonces f(x, y) /
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
= M(x, y), de donde:
= + arctgy + arctgy dx + g(y) f(x, y) = ∫ ( f(x,y) = yarctgx + xarctgy + g(y) , derivando con respecto a “y”. = arctgx + + g’(y), pero como: = N(x,y)
+ + +
Se tiene: N(x, y) =
+ arctgx
arctgx + + g’(y) = f(x,y) = yarctgx + xarctgy + c
∂f∂,
+ arctgx
g’(y) = 0
yarctgx + xarctgy = k
II)
Factores Integrantes
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. 1) (x2 + y2 + x)dx + xydy = 0 Sol: (x2 + y2 + x)dx + xydy = 0 M = 2y ;
∂M∂, ,− , , − ∂M∂, ∂f∂,
∂N∂,
N = y
= f(x) e∫f(x)dx es un fi =
e∫ dx es fi = elnx = x x(x2 + y2 + x)dx + x2ydy M N = 2xy = la ecuación diferencial es exacta. Entonces : = M(x,y)
∂N∂,
g(y) = c
f(x,y) = + + + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo los pasos en los problemas anteriores de ecuaciones diferenciales exactas. = x2y + g’(y)
∂f∂,
2) (1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0
2 3x 4 + 6x 2 y + 4x 3 = k
Sol: (1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0 M
∂M∂, ,− , , − +− – ∂M∂, ∂f∂, ∂f∂,
= - x2 ;
N
∂N∂, ∂N∂,
= - 3x2 + 2xy
= f(x) e∫f(x)dx es un fi = -
e∫- dx es fi = ( (1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0 M
= -1 = Entonces : = M(x,y)
N la ecuación diferencial es exacta.
f(x,y) = - - xy + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo los pasos en los problemas anteriores de ecuaciones diferenciales exactas. = -x + g’(y)
3)
2 xy - 2x 2 y - 2= kx
(2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0 M
N
M 8y 3 xe 4 2xy 4 e 4 6 y 2 1 y M 2 xy 4 e x 2 xy 2 3 y 3 4 4 2 4 x 2 (8 y xe 2 xy ey 6 y 1 2xy e 2 xy 3) 4 g (y) 4 4 3 y ( 2 xy e 2xy y) e
g ( x )
Luego:
e
1 y
4
4 dy y
1 y4
(2xy 4 y 4 e 4
M
2xy 3 y)dx N
1 y
4
(x 2 y 4 e 4
x 2 y 2 3y) dy 0
M N 2 xe y 2 xy 2 3y 4 2 xe y 2 xy 2 3y 4 y x f ( x , y) M y
f ( x , y) (2 xe
y
x e 2
y
2x
y
x2
y
1 y
3
x y
3
)dx g ( y )
g (y)
2 f ( x, y) 3x x 3x 2 y 2 y N x e 4 g' ( y) x e 2 4 y y y y
0 g ( y) C
g'( y)
f ( x , y) x 4)
y x
dx ( y 3
e
y
x2 y
x y3
C
Lnx ) dy 0
M
N
M y M y e
2
g(y)
Luego:
1
N 1 y x
x 1
2
x
e
2
y
1 y
y
.
2
dy
y x
g ( y)
1 y2
dx
1 y
2
M
(y3
Lnx ) dy 0 N
M 1 N 1 y y 2 x x y 2 x f ( x, y) M x
f ( x , y) (
N
dx yx
Lnx y
g ( y) g (y)
f ( x, y) Lnx Lnx 2 g' ( y ) y 2 y y y
y g ( y)
g'( y)
Lnx
f ( x , y) 5)
y
y
y
2
2
C
2
C
2
(2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y 3+x2y+x) dy = 0 M M y
(4 y
N
3
2
3
2
M
3
g(x)
3
2
x x
e
2 xdx
x2
3
Luego:
4x ( y
y x)
e
2
e (2xy y
2
4xy 2
y
4x 4xy 4xy 2 4xy 2
(2xy
e
3
4 yx 4x 4xy 4xy 2
4x
2
2( y
2
3
x
x
2
3
y )
x f ( x )
y x)
x2
2
4
x
2
y 2xy d xy x 2y) dx 2e (y
3
x
2
y x)dy 0
M N
M 4e x 2 x 3 y 4e x 2 xy 4e x 2 x 3 y 3 2e x 2 y N 4e x 2 x 3 y 4e x 2 x 2 4e x 2 xy 4e x 2 xy 3 2e x 2 y
f ( x , y)
M
dx
f ( x , y) ( 2e y e x2 y 4
M
f ( x, y)
2
ex y
x
h ' (x )
x2
2 e
ex
2
y
2
x2
x y
2
2
x2
x y
2
ex y
e
4
x2
e y
2 x2
2xe
e2
3 x2
y h ' ( x ) 2x e y
2
4e
x2
2
x2
2
e
2
x2
xy
x y 2e xy
x2
xy
4
2e
4
2
ex 2 x 2 y 2 2xe x 2 y h ( x )
4
2
h (x)
2e x 2 x 2 y 3 2e x 2 ) dy h ( x )
3
e y
2
2xe
2
x2
e y
2 4
x2
3
y 2e x y
2
2x
e
x2
y
2
4e
x2
x2
2
2
e x y 2
2
x2
3e
x x2
e y4 2
e
x2
y
2
2xe x 2 y h ( x )
e
x2
4
x2
3
x y 2e x y
e y
2
f ( x, y)
e2
2e
x2
xy
2e
4
2e
x2
y
x2
x
e
x2
y
x2
y
6)
(xCosy-yseny) dy + (xSeny-yCosy) dy = 0 M
N
M N xCosy Cosy ySeny Cosy y x xCosy Cosy ySeny Cosy 1 f ( x ) xCosy ySeny
e
f ( x )
Luego:
e dx e x 2
e x ( xCosy
ySeny )dy e x ( xSeny yCosy )dx 0
M
N
M N Cosye x x e x Cosy e x ySeny Cosye x x e x Cosy e x ySeny y x f (x, y) M x
f ( x , y) (e xSeny x
e x yCosy ) dy g( y)
Senye x ( x 1) e x yCosy g ( y) N
f ( x, y) Cosye x ( x 1) e y Cosy. ehySeny g' ( y) e x xCosy e x ySeny y g’(y) = 0 g(y) = C
7)
f ( x , y) Seny e ( x 1) e Cosy C x
4
(x4+y4) dx – xy3 dy = 0 M
N
M(dx, dy)=d4M(x,4) N(dx, dy)=1 4 N(x,4) Homogéneas Luego: 1 Mx Ny
1 (x 4
y 4 ) x ( xy 3 ) y
Entonces: 1 1 4 4 ( x y ) dx ( xy 3 )dy 0 5 5 x x df
df
dx
dy
Integrando respecto a “x”: f ( x , y) Lnx
y
4
4x
4
g ( y)
1 x r
f ( x, y) y 3 y3 N 4 g' ( y) 4 y x x g’(y) = 0 g(y) = C
f ( x, y) Lnx 8)
y
4
4x
4
C
y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Luego:
Es homogénea.
1 y 2 x (x 2
Entonces: 2 y dx
xy y 2 ) y
1 y( x 2 y 2 )
xy y 2 ) dy 0 2 2 2 2 y( x y ) y( x y ) M x 2 y 2 N x 2 y 2 2 2 2 2 2 2 dy
(x
2
dx
(x y )
f ( x, y) dx
(x y )
M
y x 2 y 2 dx g ( y) x y 1 g ( y ) f ( x, y) Ln 2 x ´ y 2 2 f ( x, y) ( x xy y ) 1 1 N g' ( y ) 2 2 y 2( x y) 2( x y) y( x y ) f ( x, y)
g’(y) =
10)
f ( x , y )
1
g(y) = Lny + C
y
1 2
x y Lny C x y
Ln
y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0 (2xy2+y) dx + (x+2x 2y – x4y3) dy = 0
M dy
4 xy 1
N dx
1 4 xy 4 x 3 y 3
M N y x Usamos: M N
y
x
N
f ' ( x ) f ( x )
M
g ' ( y) g ( y)
4 x 3 y 3 ( x 2x 2 y x 4 y 3 )
f ( x ' ) f ( x )
( 2 xy 2 y)
g ' ( y) g ( y)
f ( x )'
4
f ( x ) g( y)'
x
4
f ( x )
x
Lnf ( x ) 4Lnx
f ( x ) x
4
Lng ( y) 4Lnx
g( x ) y
4
( x , y) f ( x ).g ( y) M M
1
( 2xy
.
x 4 y4 1 .
f ( x , y)
2
( 2xy
( 2xy
y)
4
x y
x 2 y2
4
2
2x y 4
g ' ( y)
x 4
x y
1 y
4
3y 3
g ( y)
x x4y4
g ' ( y)
1 x 2y2
1
3y 3 x 3
g ( y)
g ' ( y)
x 2 y2
2
x 4
x y
4
2x y 4
x y
4
x y
4
3
4
4
x y
g( y) Ln y C
Reemplazamos: 1 1
f ( x, y)
x 2 x 3 g ( y) dx g ( y) d 2 3 y 3 y
f ( x, y) N y
Pero:
4
N 2 3 3 3 4 4 x x y x y
y)
2
x 3
f ( x, y) 2x 2 y 4 4 y x y
x y
M 2 3 3 3 4 4 Ahora: y x y x y
y)
2
M N y x ( x , y) 1 4 4 x x y
x 4. y4
( x 2x 2 y x 4 y 3 )
x 4 y4
f ( x , y)
1
3y 3 x 3
Ln ( y) C
FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales 1)
ydx + x(1-3x2y2)dy = 0 ydx + ydx – 3x3y2 dy = 0 … Multiplicando por:
2 3
( xdy ydx ) 2x 3 y 2 dy 0 … en:
1 x 3y3
2 3
2 ( xdy
ydx )
3
3
2 ( xdy
ydx )
3
3
2 ( xdy
ydx )
3
3
x y x y x y 1
3
3
3
2x 3 y 2 dy 0 3
2
2 x y dy
2dy
3
x y y
3
0
0
1
d( (xy ) 2. 3) d(2Lny ) C 1
1
.
3 ( xy ) 2
2)
2Lny C
xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0 2 2 xdx ydx 4 y3( x y )dy
0 2 2 y2 ) (x y ) xdx ydx 4 y 3 dy 0 2 2 (x y ) 2 2 1 d( x y ) d( y 4 ) 0 2 2 2 (x y ) 2 2 1 d( x y ) 2 ( x 2 y 2 ) d( y 4 ) 0 (x
1 2
3)
2
Ln x
2
y2 y4 C
xdy – ydx – (1-x2)dx = 0 xdy ydx (1 x 2 )
x2
x2 1
xdy ydx
( 2 1)dx 0 x2 x x 1 d( ) d(x ) C y x
y x
4)
dx 0
x
1 x
C
xdy – ydx + (x 2+y2)2dx = 0 Sabemos que: xdx + ydx = xdy ydx (x 2 y 2 ) 2
2 (x y ) 2
1
(x 2 y 2 ) 1
2 (x 2 y 2 )
d(x 2
y2 )
2
(x 2 y 2 ) 2
1 d( x 2 y 2 )
2
1
dx 0
dx C
xC
5)
1 x y dx 2
x(xdy+ydx) + x ( xdy
x 1 x y 2
d(1 x 2 y 2 )
1 x y 2
1/ 2
(1 x y ) 2
6)
2 1/ 2
2
x 1 x y 2
( xdy ydx )
1 2
2
x
1 x y dx 2
ydx )
0
2
2
1 2
dx
x
2
dx x
0
0
C
x
Ln x
C
2
(x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0 (x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0 y 2 y 2 2 2 ( x y ) dx ( x y ) 1 x dy 0 x y
( x 2 y 2 )dx (x 2 y 2 )
x
dx
y x
( xdx ydy ) x
( x 2 y 2 )dy dy 0
( xdx ydy ) x
0
( x 2 y 2 ) ( xdx ydy ) ( xdy ydx ) 0 ( xdy ydx )
( xdx ydy )
(x 2 y 2 )
y d ( x 2 y 2 ) d (arc Tg ( ) ) C 2 x 1 2 y ( x y 2 ) arc Tg ( ) C 2 x
10)
1
0
(x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx) 2 2 (x y ) ( xdy ( xdy ydx ) xy 2 2 2 (x y ) (x
ydx ) 0 2 2 xy xy ( x y ) ( xdy ydx ) ( xdy ydx ) 0 2 2 xy (x y ) ( xdy
ydx )
ydx ) 0 y2 )
xy ( xdy
y d (Ln ( xy )) d (arc Tg ( ) ) 0 x y Ln ( xy ) arc Tg ( ) C x
11)
y 2 dx
xdy – ydx = x2 x 2 xdy ydx x y 2
2
xdy ydx x y 2
2
x
x 2 y2
2
x y 2
2
dx
xdx 0 x2
y
d(arc Sen ( x ) ) d( 2 ) C x2
y
Arc Sen ( ) C x 2
12)
x3dy – x2ydx = x5y dx xdy – ydx = x3y dx xdy ydx x 2 dx xy y
x
para: x 0
,
3
dLn ( ) ( ) x 3 y
x
3
dLn ( x ) d( 3 ) C y
x
3
Ln ( ) x 3
13)
C
3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0 Multiplicamos por x2y 3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0 d(x3y3) + d(x4y3) = 0 3 3 4 3 d ( x y ) d( x y ) C
3
x y
1 (1 y
y2
14)
x 4 y3 C
3
x2
x2
1 (1 x
y2
1)dx 0
y
2
1 y y 2 1 x 2 1 dx x 2 1 x x 2 1 . y 2 1 dy 0
y
2
1 x 2 1 y 2 1 x 2 1 ( ydx xdy ) 0 1
Todo entre : y
1dx x 1
2
dx x 1
x 1
Ln x
y 1 dy y 1 2
dx 2
1dy 2
2
1)dx
2
1 x2 1
( ydx xdy ) 0 d ( xy ) 0
dy y 1 2
d ( xy ) C
x 2 1 Ln y
y 2 1 xy C
15)
dy
y( xy 1)
dx y(1 x 2 ) 2 y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dx ydy - yx2dy - xdy = xy 2dx = ydx ydy - yx2dy – xy2dx = ydx = dy ydy – (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy
Para : x
1,
y 2
x 2 y 2 d( xy ) ydy d 2
ydy – d y
2
2
y x
2
2
(x y ) 2
d( xy ) C
2
xy 2 2 y2 – x2y2 = 2xy + C
C Para: x=1 ,
C=4
Su solución particular es: y 2(1-x2) – 2xy = 4
x 2 1 y Cosy dy 2
16)
arseny dx +
arseny dx
1 y
xdy 1 y
2
2
0
2Cosydy 0
d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0 d(x . arcseny) + 2Cosydy = C x . Arcseny + 2Seny = C
2 4
Ecuaciones Lineales: 1.
−∫− ∫ 4 −[24 ] 21 2. 3 2 3 2 −∫−1∫− 3 2 3 2 33 2 3 2 2
2 2 2 2− 2 2 −∫− − ∫− −− 2 2 2 2 2 2 2 22 22 4 4 2 5 ∫ 5 −∫ −− 5 5 − 5 − − 5 4 5/π/2− π/2− 4 5 1 − 5 − 2 3 −∫ − ∫ − 1 1 −1 −− 1 2 2 ln −∫ ∫ −− − −1 −− 1 2 1 2 22 1222csc2 ∫− 1222csc2 −∫− − 1222csc2 3-
4-
para: x=π/2
Despejando C:
La ecuación es:
5-
6-
7-
&
y= -4
8-
9-
10-
11-
12-
l2 csc22 2 c sc2x2 c s c 2 | | | 2 l n c s c 2 2 2 n|csc2 2 2 2 2cos22 2 2 2 2 2 −∫− ∫ 2 − 2 1 2 − 22 1 2 2 2 −2 2 21 1 − 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1− 2 2 2 2 − −3 ln1 −∫− 3ln1 ∫− −3 ln1 ∫−− −−3 ln1 ln − 3 ln1 ln 3 ln1 ln ln.ln ´ ´ 0 ´ ´ −∫−´ ∫´ ´ − ´ 1 − + 22 −∫−− ∫− 22 − 22cos 1cos − 2
∫− 2 −∫− || −|| 2 csc2 csc2 c sc csc 2 , 1 1 1 ln1 22 ln1 21 2 l l 1 n 1 1 1 n 1 −∫−+|++| −∫−|++|+1 1 1 2 1 2 ln1 1 11 12 ln1 ln1 ln11 1 1 2ln1 ln1 ln1 1 1 2 ln1 ln1 ln11 1ln1 ln1 ln1 1 l n1 ln1 1 ln1ln1ln1 2 2 ∫− −∫− 2 ∫ ∫ 2 2 2 . 2 . − −∫− ∫ − Dato:
Entonces la ecuación es :
13-
14-
15-
− 2 −
2 − − − − − − 4− 4 4 −∫− ∫ 4 − 4 1 4 − − 4 1 − 4 2 0 2 − 2− 6− 3 3 − 3− 6 3 −∫− −∫− 3 − 3 − 3 1 − 1 13 12 − 12 − − − 2 1 − 3− 2 1 −∫− −∫− 2 1 2−21− − 2211 − − − − II.Ecuaciones de bernoulli: 1multiplicando por multiplicando por -4 tomando
-4
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma :
2-
multiplicando por
multiplicando por -3 entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
Tomando
3-
por -3 Tomando
multiplicando por
multiplicando
4-
multiplicando por -1
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
multiplicando por
− −∫− −∫− − − − 1 − 1 0 −− 1 − 2−− 22 2 − 2− 2− 22 −∫− ∫ 22 − 22 − 22 221312 9 − − 213 92 − 3 9 − − 2 2 −− − 2−− 1 2 − 2− 2− 1 −∫− −∫− 1 − 1 − 1 − + − 2 2 2 2 2 −∫− −∫− 2 − 2 − 1 tomando
−
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
5-
tomando
multiplicando por
6-
multiplicando por entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
multiplicando por
multiplicando por
tomando
7-
multiplicando por 2
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
multiplicando por tomando
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
8-
` 2 − 2 −∫− ∫ − 9 9 2 3 2 − 6 18 18 multiplicando por
multiplicando por 2
tomando
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
0 − 1 − − 2− − 1 −∫−−∫− 1 − 1 − 1 − + − 3 1 3 + − 3 + − − − 3− 1 3 + + ∫ 3 −∫ + −− 3 3 3− − 3 3 2 3 3 −∫− −∫− 3 − 3 3 9-
multiplicando por
multiplicando por -2
tomando
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
10-
tomando
multiplicando por
multiplicando por -3 entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
11-
multiplicando por 3
multiplicando por
tomando
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
− − 2 2 0 − 1 − 2 − 2 − 2− 1 2 −∫ − ∫ 2 1 2 12 − 1 − 2 2 −∫ − ∫ .. + 1 + 1 − − + 1 − − + 1 −∫−++ −∫−++ 1 12 1 1 12 1 1 11 2 1 12 1 1 − 116 1 6 1 1 12-
multiplicando por
multiplicando por -2
tomando
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
13-
multiplicando por
tomando
multiplicando por 2 entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
14-
multiplicando por
multiplicando por -1
tomando
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
I.Indendencia lineal de funciones: En cada uno de los casos, averiguar si las funciones dadas son o no, linealmente independiente.( por definición algebraica ). 1-
= , = −
de la forma
∝ ∝ 0
∝ ∝ − 02 ∝ 0 ∝ 0 ∝∝ 0 ∝ − 0 , − ∝ =2∝, = 2∝ ,−−=0… 1 ∝∝ 2 ∝∝ ∝ ∝− 0 0 2 ∝, , 0 ∝ 0 ∝ 2 ∝ ∝ 2 ∝, ∝ 2 , 0 ∝ 2∝∝ 2 ∝∝ 0 ∝ 0 2 ∝ 0 ∝ 0 ∝ 2 ∝ , , ∝ ∝ cos, 0cos ∝ ∝∝ sen ∝ 0 0 ∝ ∝ , ∝∝ ∝1 , , ∝2 ∝ 0∝ ∝ 2 ∝∝0 0 ∝ 0 , ∝ 0 ∝ 0 , , ∝ ∝ ,cos cos0 ∝ ∝ 0 ∝ ∝∝ ∝ ∝ ∝∝∝ cos 0 2 ∝ ∝ ∝ ∝ , . ∝ = ∝, = ∝, = 0 , ≠ ≠ ∝ ∝ ∝ 0 ∝−0 ∝ −−∝− ∝∝0 ∝0 ∝− 0∝ − ∝ 0 , , ∝ 0 ∝ 0 ; ∝ ∝, ∝. , 0 .∝ . ∝ . ∝ 0 ∝ ∝ 2∝ ∝∝2 2.∝∝∝0 ∝∝0 0∝ 0∝ 0 , , 1, , , … , − > 1 , ∶ 1, ∶ 1, , 1, , 10 1 1 100 10 22 010 1x0 2x2 36x 12 0 0 0 6 1 ⋮ ⋯⋱ −⋮ 0 ⋯ n 1! ∈ ⋀+ ≠ , , ℎ, cosℎ …(1)
Derivando
Sumando (1)+(2) : .
y
2-
…(2) ; entonces son linealmente independiente
de la forma Derivando y
Sumando (1)-(2) : independiente 3-
de la forma Derivando Derivando ; entonces no son linealmente independiente
y
4-
…(2) ; entonces no son linealmente
de la forma Derivando ; entonces no son linealmente independiente
5-
.
de la forma
0 Derivando Derivando ; entonces son linealmente independiente
6-
.
de la forma Derivando
Como
entonces :
; entonces no son linealmente independiente
.
7-
de la forma
derivando
,
, ; derivando entonces son linealmente independiente
,
.
8-
de la forma
Derivando
,
Derivando entonces son linealmente independiente
,
y
.
II. Wronskiano; hallar el wronskiano de los siguientes conjuntos de funciones: 1Generalizando : para para : para = 2
Entonces :
= 0! 1! …(n -1)! = W
2-
3-
.
cosℎℎ, cosℎℎ ℎ cosℎ 1 W 1 , 1cos 2 , cos2 cos 2 cos2cos2 22 0 122 −−, −−− − −− − − − − 1, − , 2 10 −−− 24 8 4 12 0 2,cos,8cos2 20 senx cos 2sen cos22 2senx4cos22cosxcos2 8 0 cosx 4cos2 −−2, − cos2 2− 2− 3− cos−−222 cos2 − 3−−222cos 3− coscos222 2 − 3 22cos2− 2− ,1lnx lnxlnx lnx lnx ≠ 0 , 1,1 −−−, 22 00 − 48 8 4 12 ≠ 0 1, −, 2 −///, −/// − − − 2 3 3 2 6 ≠ 0 para x ≠ 0 /, / , cos ≠cos0 a cos cos 4-
5-
6-
7-
8-
9-
10- -
III.Mediante el wronskiano, demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes: 1entonces las funciones
:
entonces las funciones
:
son
linealmente independientes. 2-
linealmente independientes. 3-
entonces las funciones : 4-
son linealmente independientes.
son
≠0 cos cosa cos , cos 11 , , 1 1 00 2cossen22xx senxcosx sen2xcosx2cos2xsenx 2senx ≠ 0 ≠ 0 1 , , 1 1lnn1 1,1 1 1 1 2 l nln1l 11 11 0 0 1 1 1 ≠ 0 , para x ≠ 1 l n 1l n 1, 1 √ 1 , 1 −/ 1 1 1 −/ 1 −/ ≠ 0 , ≠ 1 1 √ 1 , , 2 12 cos2x sen2x sen2x2 12 cos2x ≠ 0 , , , 2x2 12x4x 56x8x 224x 24x 16x 8x 96x 112x 48x ≠ 0 ≠ 0 , , , , 2 2 4 4 2 22 22 4 2 2 2 , , entonces las funciones : son linealmente independientes.
5-
,para
entonces las funciones 6-
:
entonces las funciones
:
son linealmente independientes.
son linealmente independientes.
7-
entonces las funciones
:
son linealmente independientes.
8-
entonces las funciones 9-
:
son linealmente independientes.
entonces las funciones
:
son linealmente independientes.
10-
entonces las funciones
:
son linealmente independientes.
IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SU WRONSKIANO ES CERO (GRAFICARLOS) 1) SI
XE [ -1,0]
1 f 1 (X)
1X
SI
XE [0, 1]
→→
UROSKIANO EN [-1,0]
=
X2
0
2X
0
=0
UROSKIANO EN [0,1]
2 + 1 f,
20
+
2 f 2 (X)
=0
(X) +
=0
1 = 2 f 2 (X)
0 + 2 X2 = 0
0
=f 1 y0P2 Son L.I.
2 =
0
=
0
X2
0
2X
→ →
2) SI XE [0, 2]
=0 1 f 1 (X)
2 2 (X-2) = 0
10 +
Si
XE [2, 4]
1 f 1 (0)
1 (X-2)
+ 2 f 2 (X) = 0
2+
∝
f 1 y P2
2 =
+ 2 f 2 (X) = 0
∝
0= 0
1 =
0
Son L.I.
0
WROSKIANO EN [-0,2] (X-2)2
0
W=
0
4
=0
2(X-2)
0
4
2
WROSKIANO EN [2,4] (X-2)2
0
2(X-2)
0
W=
3)
SI
=0
XE [-2, 0]
SI
XE [0, 1]
→ →
1 f 1 (X) 1X
3 +
2
1 f 1 (X)
0 +
+
2 f 2 (X)
=0
∝
P1 1y = P2 0 son L.I.
0 = 0
+ 2 f 2 (X) = 0
2
X2 = 0
-2
0
2 =
0
WROSKIANO EN [-2,0]
W=
X3
0
3 X2
0
=0
UROSKIANO EN [0,1]
W=
0
X2
0
2X
=0
1
-8
X
4) f 1=
-X2
-1 < x < 0 X2
0
f 2 (X) =
X2
-1 < x < 0 0
2 1 X -
SI XE [-1,0]
2 1 X +
→ →
SI XE [0, 1]
2 X
20
1 f,
2=
=0
0 (X) = 0 1 =
0
(X) + 2 f 2 (X) = 0
0 + 2 X2 = 0
2
f 1 y P2 =0
son L.I.
UROSKIANO EN [-2,0]
W=
X3
0
3 X2
0
= -1
UROSKIANO EN [0,1]
W=
0
X2
0
2X
=
-1
-1
-1
V) DEMOSTRACIONES 1) r 2 r 2 0 r 2 r
1
r 2 r 1
yg C1 e2 x C2 e2 x
3) r 4 r 3 3r 2 5r 2 0
1 r=1
13
-1
-3
1 0
0 -3
-2
2 0
r 1 r 3r 2 0 r 1 r 2 r 1 0 r1
1, r2 2, r 3 1
yg
C1 e x C2 e2 x C3 e x
yg
C4 e x C2 e2 x PRACTICA # 7
I)
Ecuaciones diferenciales Lineales Homogeneas
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. A) Raíces reales distintas: 1) y’’ + 2y’ – 15y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 2 + 2r – 15 = 0 Solución general:
r 1= 3, r 2= -5
y = c e3x + c e-5x 1 2
2) y’’’ + y’’ – 2y’ = 0 Sol: Sea: P(r) = r 3 + r 2 – 2r = 0 Solución general:
r 1= 0, r 2= -2, r 3=1
x y = c e-2x + c 1 + c 2 3e
3) y’’ – y =0 Sol: Sea: P(r) = r 2 - 1 = 0 Solución general:
r 1= 1, r 2= -1
-x y = c ex + c 1 2e
4) y’’ + y’ – 6y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 2 + r - 6 = 0 Solución general:
r 1= 2, r 2= -3
y = c e2x + c e-3x 1 2
5) y’’ – 3y’ + 2y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 2 - 3r + 2 = 0 Solución general:
r 1= - 2, r 2= -1
-x y = c e-2x + c 1 2e
6) y’’’ – 2y’’ – y’ + 2y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 3 - 2r 2 – r + 2 = 0 Solución general:
r 1= 2, r 2= -1,r 3= 1
x y = c e2x + c e-x + c 1 2 3e
7) y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 3 - 6r 2 + 11r - 6 = 0 Solución general:
r 1= 6, r 2= -1, r 3= 1
x y = c e6x + c e-x + c 1 2 3e
8) y’’’ – y’’ – 12y’ = 0 Sol: Sea: P(r) = r 3 - r 2 - 12r = 0 Solución general: y = c e-3x + c e4x 1 + c 2 3
r 1= 0, r 2= -3, r 3= 4
9) y’’ – 4y’ + y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 2 - 4r + 1 = 0 Solución general:
√i
y = c e2x cos 1
r 1= 2 +
2x + c 2e sen(
√i
√i
, r 2= 2 -
√i
)
10) 2y’’’ – 7y’ – 2y = 0 Sol: Sea: P(r) = 2r 3 - 7r - 2 = 0 Solución general: y = c e- 1 - x + c 1 2e - 1 +
√
√
r 1= -1 +
√
r 2= -1 -
√
,r 3= 2
x
+ c e2x 3
A) Raíces múltiples 1. y´´´ 3 y" 3 y´ y 0 Ecuación característica 3 2 3 3 1 0
( 1)3
0
1 Raíces de la ecuación de múltiplici dad 3
La solución general es: y C 1 e x C 2 x e x C 3 x 2 e x 3. y IV yI II 9 y II 11 y I 4 y 0 Ecuación característica: 4 3 2 3 9 11 4 0
( 1) ( 4) 3
0
1 4 Raíz de la multiplici dad 3
-1 -1 -1
1
-1
-9
-11
-4
-1
2
7
4
1 1 1
-2 -1 -3 -1 -4
-7 3 -4 4 0
-4 4 0
0
La solución general es: y C 1 e x C 2 x e x C 3 x 2 e x
C 4 e4 x
5. y IV 6 y II 12 y II 8 y I 0 Ecuación característica 3 2 ( 6 12 8) 0
( 1)
3
0
0 2
Raíz de multiplici dad 3
1
-6
+12
-8
1
2
-8
8
1 1
-4 2 -2
4 -4 0
0
2
La solución general es: y C 1 C 2 e 2 x C 3 x e 2 x 7. y III 3 y II 3 y I y 0 Ecuación característica 3 2 3 3 1 0
C 4 x 2e2 x
( 1)
0 1 3
Raíz de multiplici dad 3
La solución general es: y C 1 e x C 2 x e x
C 3 x 2e x
9. y IV 8 y II 16 y 0 Ecuación característica
8 2 16 0 4 2 4 2 4
4) ( 2 4) 0 ( 2)( 2)( 2)( 2) 0 ( 2) 2 ( 2) 2 0 2 Raíz de multiplici dad 2 Raíz de multiplici dad 2 2
(
La solución general es: y C 1 e 2 x C 2 x e2 x
C 3 x 2 x C 4 xe2 x
B) Raíces complejas : 1) y’’ + y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 2 + 1 = 0 Solución general
r 1= i , r 2 = -i
y = c cosx + c 1 2s enx
2) y’’ – 2y’ + 10y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 2 – 2r + 10 = 0 Solución general
r 1=
− +√ i −−√ i , r 2 =
√
e-x/2cos y = c 1
x
√
-x/2 sen + c 2 e
3) y’’ + 4y’ = 0 Sol: Sea: P(r) = r 2 + 4r = 0 Solución general -4x y = c 1 + c 2 e
x
r 1= 0, r 2 = - 4
4) y’’ + 25y’ = 0 sol: Sea: P(r) = r 2 + 25r = 0 r 1= 5) y’’ – 4y’ + 13y = 0
− +√ i −−√ i , r 2 =
Solución general
e-25x y = c 1 + c 2
Sol: Sea: P(r) = r 2 + 4r = 0 r 1= 2 + 3i, r 2 = 2 – 3i Solución general 2x y = c e2x cos3x + c 1 2 e sen3x 6) y’’ + y’ + y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 2 + r + 1 = 0 r 1= Solución general -x/2sen , x y = c e-x/2 cos , x + c 1 2 e
√
7) y’’ + 2y’ + 2y = 0
√
Sol: Sea: P(r) = r 2 + 2r + 2 = 0 Solución general e-xsenx y = c e-x cosx + c 1 2
− +√ i −−√ i , r 2 =
r 1= - 1 + i, r 2 = - 1 - i
8) y’’ – 2y’ + 4y = 0 Sol: Sea: P(r) = r 2 - 2r + 4 = 0 Solución general x y = c ex cos x + c 1 2 e sen x
√ 3
r 1= 1 +
√ 3
√ 3 √ 3 i, r 2 = 1 -
i
" 9. y 2 y´ 4 y 0 Ecuación característica 2 2 4 0
( 2) (2) 2 4(1)(4)
2(1) 2
12 2
2 2 3i 2
La solución general es:
1 1 2 1
3i 3i
Raíces de la ecuación
y
C 1 e x cos( 3 x) C 2 e x sen ( 3x)
" y 10. 6 y´ 25 y 0
Ecuación característica 2
6 25 0
(6) (6) 2 4(1)(25)
2(1) 6
36 100 2
6
1 3 4i Raíces de la ecuación 3 4 i 2
64 2
La solución general es: y
C 1 e3 x cos( 4 x) C 2 e3 x sen (4 x)
B) Raíces de cualquier índole III
1. y
4 y I
0
Ecuación característica
4 0 2 ( 4) 0 3
0
2i
2i
Raíces de la ecuación .
La solución general es: y
2. y
III
C 1 C 2 cos( 2 x) C 3 sen (2 x)
II
I
y y y 0
Ecuación característica
2 1 0 2 ( 1) ( 1) 0 3
( 1) (
1) 0 i i 2
1
Raíces de la ecuación .
La solución general es: y C 1e x C 2 cos x
3. y
IV
C 3 sen x
y 0
Ecuación característica
1 0 2 2 ( 1) ( 1) 0 i i 1 4
La solución general es:
1
Raíces de la ecuación .
C 1e x C 2 e x C 3
y
I
IV
4. y
2 y I y
cos x C 4 sen x
0
Ecuación característica 4 2 2 1 0
( 1) 2
i
0 i
2
Raíz de multiplici dad 2
La solución general es:
C 1 Cos x C 2 Sen x C 3 x cos x C 4 x sen x
y
5. y
IV
16 y IV 9 y II 0
Ecuación característica
6 4 9 2 4 0 2 4 2 4 2 ( 1) ( 1) 3 ( 2 3 1) 0 2 4 2 2 2 ( 1) ( 1) 3 ( 2 1) ( 1) 0 2 4 2 2 ( 1) ( 1 6 3) 0 2 4 2 2 2 2 ( 1) ( 5 4) ( 1) ( 1) ( 4) 0 ( 2 1)2 ( 2 4) 0 6
i
Raíz de multiplici dad 2
i Raíz de multiplici dad 2 2 i 2 i
La solución general es: y
C 1
Sen x C 2 Cos x
C 3 x sen x C 4 x Cos x
C 5 sen (2 x) C 6 Cos (2 x)
6. y
III
3 y II 3 y I y
0
Ecuación característica 3
3 2 3 1 0
( 1)
3
0
1 Raíz de multiplici dad 3
La solución general es: y C 1 e x C 2 x e x
7. y
III
y II y I y
0
Ecuación característica
C 3 x 2 e x
2 1 0 2 ( 1) ( 1) 0 2 ( 1) ( 1) 0 1 i Raíces de i 3
la ecuación
La solución general es: y
8. y
III
y
C 1 e x C 2 cos x C 3 senx
0
Ecuación característica
1 0 ( 1) ( 2 1) 0
3
2
1 0
1 2 1 2
1 3i 2
1
(1)
2
9(1)(1)
2(1)
3i 2 3i 2
Las raíces de la ecuación son:
1 2
3i
1
2
3i
2 2 La solución general es: x 3 x C 3 e 2 sen 3 x y C 1 e C 2 e cos 2 2 x
x
10. y
IV
y
2
0
Ecuación característica
1 0 2 2 ( 1) ( 1) 0 1 i 1 4
1
raíces de la ecuación
La solución general es: y
C 1 e x C 2 e x C 3 cos x C 4 sen x
11. y
III
y II 3 y I y
0
Ecuación característica
2 3 1 0 2 ( 1) ( 2 1) 0
1
-1
-3
-1
-1
2
1
1
-2
-1
0
3
( 2)
(2)
2
-1
4(1)(1)
2(1) 2
44 2
2 2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Raíces de la ecuación
La solución general es: y
12. y
III
C 1 e x C 2 e x(1
4 y II 4 y I
2)
C 3 e x
(1 2 )
0
Ecuación característica 3 2 4 4 0 2
( 4 4) 0
( 2) 0
-1
2
0
2
Raíz de multiplici dad 2
1
-1
-3
-1
-1
2
1
1
-2
-1
0
La solución general es: y
13. y
IV
C 1 C 2 e2 x C 3 x e2 x
14 y III 2 y
0
Ecuación característica
4
14 2 2 0 ( 14)
2
14
2
14
2
(14)
2
4(1)(2)
2(1)
196
8
2
108
2
2
2
14
108 2
14
108 2
La solución general es: 14 108
y
C 1 e
2
2
C 4 e
IV
C 2
14 108
14. y
x
14 108
e
2
x
C 3 e
14 108 2
x
2 y III y II 2 y´ 2 y 00
Ecuación característica 4
2 3 2
2 2 0
1
-1
1
-2
1
2
-2
1
-1
0
2
1
-1
0
2
0
1
-1
2
-2
1
-2
2
0
Las raices son: 1 1 1 i 1 i 2 ( 1) ( 1) ( 2 2) 0
(2)
(2) 4(2)(1) 2
2 2
1 i
4 2
x
La solución es y
15. y
IV
C 1 e x C 2 e x C 3 e x cos x C 4e x senx
5 y II 9 y 0
Ecuación característica
5 2 9 0 2 9 4 2 1 4
4
2
( 4
9) ( 2 1) 0
2
4 2
9 0
Raíces de la
9
3 2
4
i
2
1 0
1 1
i
ecuación
La solución general es: y
3 3 C 1 e x C 2 e x C 3 x C 4 sen x 2 2
I) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1) Solución Sea la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
′′ 3′ 3 − 3 0 ⇒ 0, 3 ⇒ ′ ⇒ ′′ 0 03 3 ⇒ 1, − 4 13 ′′ 2′15 15 − 215 0 ⇒ 3, 5 ⇒ ′ 2 ⇒ ′′ 2 24 2 15 15 15 15 4 13 15 15415 22 15 15 4 13 15 1 22 ⇒ 4 15 4 0 , 15 13 1 1 − 1 3′′4 4 390 − 3 4 0 ⇒ 2, 2 , , Como
Por lo tanto La solución estará dada por 2) Solución Sea homogénea es:
Reemplazando en la ecuación Es decir
la ecuación general de la ecuación diferencial
Como
Por lo tanto La solución estará dada por 3) Solución Sea diferencial homogénea es:
Reemplazando en la ecuación
Es decir
la ecuación general de la ecuación
⇒ 205 12 4 36 2 2 24 6 ′ 60 120 24 120 24 3240 39012 6 24 44 4 0 1 604 0 ⇒ 15 36 4 0 0 120 18 4 390 {, 24 12 4 15 0 − 15 ′′ 3 − 3 0 ⇒ 0, 3 ⇒ ′ ⇒ ′′ 3 ⇒ , − ′ 4′ 4 0 ⇒ 0, 4 22 42 4 42 16 2 42 42 16 2 4 8 ⇒ , − 0 ⇒ , 1 − 2 ⇒ , ′′ 4′8 2 2 4 8 0 ⇒ 22, 22 2 2 Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 4) Solución Sea es:
la ecuación general de la ecuació n diferencial homogénea
Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto
La solución estará dada por Es decir 5) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto
La solución estará dada por Es decir + 6) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Como
Reemplazando y reduciendo en la ecuación Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 7) Solución Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
2 2 2 2 2 2 − ′′ ′2 − 2 0 ⇒ 1, 2 , − 24−− 45−− 2−− − − ⇒ 1 , 15 − − − ′ ′ 4′ 4 −0 ⇒ 0, 2 , 2, ⇒ ′ 82 1222 12 3 26 128 0 13⁄⁄1632 165 11 ⁄ 1 5 ⇒ 5 0 0 12 1 ⁄ 1 12 8 0 { ⁄ 1 8 6 4 0 , 2 3 − 2 3 2 2 − − − 2 2 0 ⇒ 1, 1 − − ⇒ 0, , 1, 0 − − − − − 0 ⇒ 0, 1 36 2 2 La solución estará dada por Es decir 8) Solución Sea homogénea es:
+
la ecuación general de la ecuación diferencial
Como
Reemplazando y reduciendo en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 9) Solución Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
Como
Reemplazando en la ecuación e igualando los coeficientes se tiene:
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 10) Solución Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
Como Reemplazando y reduciendo en la ecuación Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 11) Solución Sea la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es: Como
Reemplazando en la ecuación
=
2 632 − 3 6 2 2 ⇒ , 1 , 2 2 4 5 5 2 −4 5 0 ⇒ 5, 1 0 04 5 5 5 4 5 5 ⇒ 1, , − 1 − 0⇒ 0, 1, 1 22 ′ 0 02 1 − ⇒ , 1 , − − 4 4 4 4 44 0 ⇒ 2, 2 0 04 4 4 4 4 4⇒ 41,4 0, 4 4 2 2 2 1 − 2 2 0 ⇒ 1, 1 Por lo tanto
La solución estará dada por Es decir 12) Solución Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 13) Solución Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 14) Solución Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
Como
Reemplazando en la ecuación +
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 15) Solución Sea homogénea es: Como
la ecuación general de la ecuación diferencial
22 24 2 2 2 2 2 1 21 ⇒ 1, 2 0 , − 2 2 − 1 0 ⇒ 1, , 22 ′ 0 02 2 2 2 ⇒ 1,2 0,2 4, 22 4 − 4 4 86 5 4 0 ⇒ 0, 0, 2 , 2 2 2 412 36 ′ 2424 6 4612 6 12 6 6 12 8 610 5 ⇒ 1, 0, 4 , 4 2 2 3 3 2 2 4 3 3 1 0 ⇒ 1, 1, 1 22 ′ 0 06 6 3 4 ⇒ 1,66,68 , 3 4 6 8 2 9 4 18 4 6 8 Reemplazando en la ecuación +
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 16) Solución Sea diferencial homogénea es:
la ecuación general de la ecuación
Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 17) Solución Sea diferencial homogénea es:
la ecuación general de la ecuación
Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 18) Solución Sea diferencial homogénea es: Como
Reemplazando en la ecuación y comparando Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 19) Solución
la ecuación general de la ecuación
2 9 4 0 ⇒ 4, 22 418 9 4 4 4 18 4 4⇒ 1,184 49 4 18 4 0, 1, 1 2 5 1 2 1− 0 ⇒ − 1, 1, 1 , 1 22 ′ 00 04 ⇒ 1, 0,4 1, 5 5 1 − − 1 1 1 0 ⇒ , , 0 0 0 . 1 ⇒ 1 ⇒ . . 0 . . . ⇒ ⇒ . , 4 4 . 4 0 ⇒ 2, 2 2 2 2 2, 240 222 22 Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
Como
Reemplazando en la ecuación
=
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir 20) Solución Sea diferencial homogénea es:
la ecuación general de la ecuación
Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir II) VARIACION DE PARAMETROS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir 2) Solución Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
La solución particular de la ecuación diferencial es: De donde
tal que
0 2 4 22 0 42.2 2. 2 ⇒ 4 2 22 22 2 0 2. 4 4 22 2 22 ⇒ 2 2 2 22 22 4 2 42 4 2 2, 2 2 42 4 22 1 0 ⇒ , , 0 0 . 0 . . ⇒ . 0 ⇒ . .. . , . ′′ . 1 0 ⇒ , , 0 0. . ⇒ . 0 0... .. . ⇒ . . . , ′′ . 1 0 ⇒ , , 0 Entonces la solución particular será:
Tal que
La solución estará dada por Es decir 3) Solución Sea
+
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será:
Tal que
La solución estará dada por Es decir 4) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será:
Tal que
La solución estará dada por Es decir 5) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es: De donde
tal que
0 0 . ⇒ . . 0 . . . . ⇒ . , . 1 0 ⇒ , , 00 . 0. ⇒ . 0 1 ⇒ . .. , ′′4 42 4 0 ⇒ 2, 2 2 2 2 2, 240 2 2220 22 2 0 4 2. 2 422 2 22 ⇒ 2 2 2 22 22 2 0 2. 4 2 4 2 22 2 2. 2 ⇒ 2. 2 2 2 2 2 22 22 2.2 2 , ′′2 22 −2 2. 2 2 − 2 2 0 ⇒ 1, 1 − − − , − 402 2′22′2 Entonces la solución particular será:
Tal que
La solución estará dada por Es decir 6) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir 7) Solución Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será:
Tal que
La solución estará dada por Es decir 8) Solución Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
La solución particular de la ecuación diferencial es: De donde
tal que
0 2 0 4 2. 2 422 2 22 ⇒ 2 2 2 22 22 2 0 2. 4 2 22 4 2 22 2 22 2 2 22. 2 ⇒ 2.2 2 2.2 2 , 2 2 2. 2 2 − − ′′4 4 − 4−4 0 ⇒ 2, 2 − − , − − 2− ′ ′ −− 0 −− 0−− − − 0−−− −− −2− − − −2 −2−− 2 − 2 0 −2− −−− − −−−−− − − 2− −2 − 2 2 − −, − − − − 1 0 ⇒ , , 0 0 . 0. . ⇒ . 0 . ⇒ . .. , 1 0 ⇒ , Entonces la solución particular será:
Tal que
La solución estará dada por Es decir 9) Solución Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir + 10) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir 11) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
, 0 0 0 . . . 0 . . . . . ′′2 1. 2 1 0 ⇒ 1, 1 , 0 0 1 1 0 1 21 0 1 1 1 2 1 1 3 2 1− 3 2 0 ⇒ 2, 1 , 20 0 1− 1− 2 0 2 1− 1− 2 0 1− 1 − 1− 2 − 1 − − − 1 ′′ 1 0 ⇒ , La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir 12) Solución Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir 13) Solución Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será:
Tal que
La solución estará dada por Es decir 14) Solución Sea
+
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
, 00 0 . . . . 0 . . .. ′′ 1 0 ⇒ , , 0 0 0 . . . ⇒ . 0 ⇒ . .. . , − − . −1 0 ⇒ 1, 1 − −, −0 − 0−− − − − − − − − . . − −− 2 2 − 0 − −− −− − ⇒ − 2 2 − 2 − − − − − − ′′3 2 3 2 0 ⇒ 2, 1 , La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir 15) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será:
Tal que
La solución estará dada por Es decir 16) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Integrando y reemplazando en se obtiene: Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir 17) Solución Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
0 2 0− − −− ⇒ − − 2 02 2 0 2− − −− ⇒ − − − 1 0 ⇒ 1, 1 − − , 0− − 0 − − 2. − 2. − − 0 − 2 2 − , − 1 0 ⇒ 1, 1 − − − , 0− − 0 . − − − −− 2 2 0 − 2 2 + − , − ′′ De donde
Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir 18) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Integrando y reemplazando en se obtiene: Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir
19) Solución Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es: De donde
Integrando y reemplazando en se obtiene: Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por Es decir 20) Solución
+
tal que
1 0 ⇒ , , 0 0 0 . 0 . . . . . . 0 ⇒ , − ; − − − 0 0 1 0 ⇒ 1, 1 − − 1 2 2 0 ⇒ , − ; − − 2− 2 0 2 0 −2 0 ⇒ 1, 2 − 1 9 0 ⇒ , − ; − − − 9 0 9 0 9 0 ⇒ 3, 3 3 3 Sea
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
La solución particular de la ecuación diferencial es:
tal que
De donde
Entonces la solución particular será: Tal que La solución estará dada por
Es decir III) ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Pero
2) Solución Sea: además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
Pero
3) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
Pero
4 83 9 0 3 ⇒ , − ; − 4− 8− 9 0 4 12 9 0 4 12 9 0 ⇒ , 4 3 7 0 ⇒ , − ; − − 3− 7 0 4 7 0 4 7 0 ⇒ , 4 2 17 7 0 ⇒ , − ; − ; − − 2− 17− 7 0 3 18 7 0 . 3 −.187 0−.⇒ 6.125, 0.42289, 2.7023 .. −.−. −. −. 2 3 2 3 0 2 ⇒ 2, − ; − − 3− 3 0 2 3 0 − 2 3 0 ⇒ 3, 1 − + + 2 4) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
Pero
5) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
Pero
6) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea de la ecuación diferencial homogénea es:
la ecuación general
Pero
7) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
Pero
212 222 1 4 0 2 1 ⇒ 2 1, 2 − ; − − 2 4− 4 0 2 4 4 0 2 2 0 ⇒ 1, 1 +2 1 0 +212 1 0 121 8121 1220 1 2 1 1 ⇒ 1, − ; − − 8− 12 0 4 8 0 − 7 12− 0 ⇒ 3, 4 − −− −0 −− 1 2 1 52 1 8 0 2 ⇒ 2, − ; − − 5− 8 0 4 8 0 − 4 8 −0 ⇒ 22, 22 −2−2 220 −−2 2 2 − 2 2 2 − 2 2 2 6 ⇒ , − ; − − − 6 6 1 0 ⇒ , 2 8) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
Pero
9) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
Pero
10) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea diferencial homogénea es:
la ecuación general de la ecuación
Pero
11) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea Como
2 2 22 22 −2 6 6 ⇒ , , 2 72 7 9 1 2 2 ⇒ , − ; − − − 9 1 9 1 −9 0 ⇒ 3, 3 39 98 1 1 ⇒ , 1, 1 − 1 −−181 1 − 1 8 1 2 ⇒ , − ; − − − 2 2 2 2 1 0 ⇒ 1, 1 2 2 2 2 Reemplazando en la ecuación +
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
12) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
+
+
13) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea Como
Reemplazando en la ecuación
⇒ 22, 2 2 2 2 4 2 2 ⇒ , − ; − − 4− 2 2 3 2 2 − 3−2 0 ⇒ 1, 2 ′ ′′ 0 03 2 2 2 ⇒ − − 1−1 −3 32 3216− ⇒ , − ; − − −− 3 16− 2 3 16 2 3 0 ⇒ 1√ 8, 1√ 8 − √ 8 √ 8 ′ − − − ′′ − 2− − − − −2 ⇒ − − 1−1 −2 32 2 Por lo tanto La solución estará dada por Es decir la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es: + 14) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea homogénea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial
La solución particular será
Reemplazando en la ecuación =
Pero
15) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea diferencial homogénea es:
la ecuación general de la ecuación
La solución particular será
Reemplazando en la ecuación
=
Pero
9 ⇒ , − ; − − − 9 3 9 3 9 0 ⇒ 3, 3 3 3 ′ 3 3 33 ′′ 3 33 93 33 33 93 93 3 ⇒ 3 33 3 43 2 2312 3 ⇒ , − ; − − 4− 2 2 3 2 2 − 3−2 0 ⇒ 1, 2 ′ ′′ 0 03 2 2 2 ⇒ − − 1−1 −3 32 2 3 4 ⇒ , − ; − − 3− 4 16) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
La solución particular será
Reemplazando en la ecuación =
Pero
17) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea homogénea es:
La solución particular será
Reemplazando en la ecuación =
Pero
18) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
la ecuación general de la ecuación diferencial
4 4 4 4 0 ⇒ 2, 2 11 2−∓422 6 − ⇒ , , 2 72 7 1 2 3 1 4 21 1 ⇒ 1, − ; − − 4 − 3 4 4 4 4 0 ⇒ 2, 2 39 92 12 ⇒ Por la tanto1 12 +, 1+1, 12 +, 1 2 2 13 21 2 1 ⇒ , − ; − − 2 − 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0 ⇒ 1, 2 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
19) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea es:
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
Reemplazando en la ecuación diferencial
Pero
20) Solución Sea además Reemplazando en la ecuación diferencial
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir: Sea
3 31 2−∓422 6 ⇒ − , , 2 72 7 2 2 Como
Reemplazando en la ecuación
Por lo tanto La solución estará dada por Es decir la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
OPERADORES DIFERENCIALES I) ECUACION LINEAL HOMOGENEA RESOLVER 1) Solución:
6 0 6 60 0 22, 3 3−0 12 0 ′′ 12 120 0 44, 33,− 00 2 5 6 0 2 5 126 00 22, 11,−3 3 0− 3 3 1 0 3 33 310 0 11, 11, 1 1 0 6 5 24 36 0 6 65 524 243636 0 0 11,6 6, 136 0 12 √ 223 , 12 √ 223 2) Solución:
3) Solución:
4) Solución:
5) Solución:
− 9 114√ 2230 √ 223 9 911 1144 0 0 11,−4 4,1− 1, 1 −10 2 10 0 2 102 10 0 0 13 , 133 3 4 0 ′′ 4 04 0 0, 4 2,0 2 2 2 2 3 0 9 911 1144 0 0 11,−4 4,1− 1, 1 −10 5 36 0 5 536 036 0 2,9 2,4 − 03, 3 2 5 03 3 2 15 0 2 152 15 0 0 3, 5− 2 0 2 20 0 0,1 1,2 2−0 6 13 12 4 0 6 613 13 12 1244 0 0 11, 11, 22, 2 2 0 9 24 16 0 6) Solución:
7) Solución:
8) Solución:
9) Solución:
10) Solución:
11) 12) Solución:
13) Solución:
14) Solución:
15) Solución:
9 92424 2424 1616 160 0 ,1 ,4 22 4 220 , 2, –2 2 22 22 2 3 2 3 2302 0 2,2, 1 1 1 1 − 2 2 1 1 2 2 1 1 − 3 4 3 34 04 0 1,1, 2,2−,− 2− 1−1 22 − − − 2 1 6 − 18 32− − 181 − 3 2302 0 2,2, 1 22 1 1 5 25 1 12 12 5 4 3 2 5 4 0 ,
II) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES RESOLVER 1) Solución:
Calculando la solución particular
2) Solución:
Calculando la solución particular
3) Solución:
Calculando la solución particular
4) Solución:
4,4 ,− 51 −4 0 − 432 4 1 1 2 9− 32 3 2 5 16 −5 8−4 5 58 48 4 0 0 1,1, 2,2, 2 1122 2−2 2 6 1 − 2 2 9 2 12 − 9 05 4 0 , 33 3 33 3 9 2 9 2 18 81 8 11881 8 64 3 3 8 64 4 2 3 3 4 04 0 222 , 22 2 4 2 4 Calculando la solución particular
+
5) Solución:
Calculando la solución particular
6) Solución:
Calculando la solución particular
7) Solución:
Calculando la solución particular
2 2 9 18 4 9 18189108 0 3,3, 6 3 3 6 6− 9 4 3 19 4′ 3403 0 3,3, 1 13 44 y 5 13 4′4′ 04 0 0,0, 4 ° 45 54 4 y 545 4′4′ 40 0 0,0, 4 ° 45 54 4 y5 54 4′4′ ′ 0 8) Solución:
Calculando la solución particular
9) Solución:
Calculando la solución particular
10) Solución:
Calculando la solución particular
11) Solución:
Calculando la solución particular
12) Solución:
0, 04, 00, 2, − 2 ° 54 54 5 − 1 4 0 1 0 1, 1− 4−1− 12 2 10 1− 12 210 0 1 0 , 2 1 11 32 2− 3 2320 0 2, 1 − 2− 1− − − − − 2 Calculando la solución particular
13) Solución:
Calculando la solución particular
14) Solución:
Calculando la solución particular
15) Solución:
Calculando la solución particular
+ III) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES (VARIACION DE PARAMETROS, COEFICIENTES INDETERMINADOS, OTROS) RESOLVER 1)
2′ 02 0 0, 2 2 12 3 3 0 1 0 , 1 11 2 2 6 9 − 6 9690 0 3, 3 3−3− − 31 −3 − 2 3 2 3230 0 1, 2 Solución:
Calculando la solución particular
2)
Solución:
Calculando la solución particular
3)
Solución:
Calculando la solución particular
4)
Solución:
Calculando la solución particular
1 1 2− 1 2 − 2 2 2 2 2 2 0 0 1, 1,− 2− 1 1 1− 2 1 1 2 − − − 4 4 4 4440 0 2, 2 2 2− 21 2 − 20 6 4 2 20 6 5)
Solución:
Calculando la solución particular
6)
Solución:
Calculando la solución particular
7)
4 0 4 0 2,2 22 Solución:
Calculando la solución particular
2 4 28 2 2 28 1 0 1 0 , 1 11 2 4 422 4 0 4 0 2,2 22 4 2 4 22 2 2 2 4 3 1 2−− 4 3430 0 3, 1 − − − − 1 1 1 3− 1− 3− − 1 1 − − − 1 1 0 1 0 1,− 1 − − − − − − 1 1 1 1 1 8)
Solución:
Calculando la solución particular
9)
Solución:
Calculando la solución particular
10)
Solución:
Calculando la solución particular
11)
Solución:
Calculando la solución particular
−− − − 2 2 2 0 2 0 √ √ 2,2 √ 2√ 2 2 2 √ 222 √ 2 √ 2 √ 222 1 2 1 0 1 0 1,− 1 2 1 −1 1− 1 21 2 − 2 2 2 2220 0 1 , 1 − − 22 23 − − . 3 2 ⇒ 2 2⇒ 3 , 12)
Solución:
Calculando la solución particular
13)
Solución:
Calculando la solución particular
14)
Solución:
Calculando la solución particular
INTEGRACION POR SERIES
1).-Resolver para . Solución Sea:
mediante una serie de
;
potencia de que satisfaga la condición
. ⋯ ⋯ 3 0 ′ ′ 2 3 4 ⋯ − ⋯ 3 3 ⋯ ⋯ 3 −3−2 1 +3 1⋯ 4 ⋯ 2 3 0 3 3 0 2 0 0 34 10 0 ∗ 5 0 ∗∗ ⇒ ! ≥ 3 13 ∗ 22⋯ !2 ⋯ . 2 : ∴ ! ! … ! ⋯ ⋯ ∀ 1,2⋯ , … 1 12 − 1+ + ⋯ 3 ⋯ ⋯2 2++ ⋯ 1 2 2 2 3 2 4 ⋯ n1 1 ⋯ + 0 2 n1 2 13+ 2 4 ⋯ ⋯ 2 2 00 1 Suponiendo que:
---( )
Luego:
será de la forma:
Como
se dirá lo siguiente:
n
Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:
Solución La ecuación diferencial será:
Suponiendo que la solución es de la forma: Donde Sea:
3)Resolver . Por lo tanto:
y las restantes
---( ) son constantes para determinar.
mediante una serie que satisfaga la condición
cuando
2 34 00 ∗ n1− ∗ ∀ 1≥ + 0 ⋯ ∴ ∗∗ ∗ ⋯ ∗ 1 ⇒ 1⇒2 , 1 1 2 0 ⋯ ⋯ − 1 22 ⋯ 3 4 ⋯ 4 ⋯ ⋯ 2 2 1 2 0 2 12 0 0 3 34 2 00 ∗− ∗∗ 3 5 0 ∗∗∗ ⇒ + −−+ ≥ 2 6 13 2 2∗3 2 2∗3∗4 ⋯ 2∗3∗4∗5 13 2! 3! 4! 65! ⋯ 1 : ∴ ! ! ! ! ⋯
.
. Reemplazando los valores de los
5).- Resolver
en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
mediante potencias de
.
Solución La ecuación diferencial será: Además:
Suponiendo que la solución es de la forma:
---( )
Luego:
será de la forma:
Como:
Se dirá lo siguiente:
.
n
Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:
7).- Resolver
mediante potencias de .
Solución La ecuación diferencial será:
⋯ ⋯ 1 230 6 12 12 20 20 30 2 ⋯ 6∗1 − ∗ 1 ⋯ 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 3 12 8 20 15 30 ⋯ 1 1∗ 2 + ⋯ 0 1 6 1∗ 3 2 12+ 8 ⋯ 20 15 30 ⋯ 6 0 0 0 38 1220 00 0 2 0 0 0 16 ⋯ ∴ … ⋯ ⋯ 2 20 30 ⋯ 6 ∗12 − ⋯+ + ⋯ ⋯2 24 4 2 4 4 4 6 48 41 10 ⋯4 ⋯ 2 2 2 2 20 44 2 2306 6 4 4 212 2 4 1 ⋯ 1∗ 2+ 2 2− 4− ⋯ Suponiendo que la solución es de la forma:
---( )
Sea:
Por lo tanto: . Reemplazando los valores de los
en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
9).- Resolver
mediante potencias de .
Solución
La ecuación diferencial será:
Suponiendo que la solución es de la forma:
---( )
Sea:
20 44 0 2 30 26 6 4 4 2 12 2 4 1 ⋯ 1∗ 2+ 2 2− 4− ⋯ 6 42 22 00 − 1 1220 24 44 10 0 0 − 30 6 4 0 − 1∗2+ 2 2− 4− 0 1 − − 0 − ⋯ ∴ ⋯ ⋯ 2 ⇒ 2⇒ , 1 1 0 ⋯ ⋯ 1 2 612 2 212 303 4⋯ ∗4 1 ⋯ − ⋯− ⋯ ⋯ ⋯ 222 2 6 3 3 12− 4 1 4 2 20+ ⋯ ⋯ 1+ 1 1 0 −− 2 22 0 − 2 6 0 34 34 1220 00 +− Por lo tanto:
.
. . Reemplazando los valores de los
10).- Resolver
en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
mediante potencias de Solución
La ecuación diferencial será: Además:
Suponiendo que la solución es de la forma:
---( )
Luego:
Como:
Se dirá lo siguiente:
será de la forma:
.
⇒ + ++ ≥ 22 2 6 4 48 4 4240 20 ⋯ 2 6 12 60 ⋯ 2 3 12 12 ⋯ ∴ 2 : ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ − 1 2 ⋯2 3 3 4 4 ⋯ ⋯ ⋯ 2 3 4 2 ⋯ n 1 + 1 ⋯ 0 ⋯2 ⋯3 4 2 ⋯n 1 + 1 2 0 0 0 34 2 00 00 n 1 + 1 0 ∴ . n
Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:
11).- Resolver
según potencias de . Solución
La ecuación diferencial será:
Suponiendo que la solución es de la forma:
---( )
Sea:
Por lo tanto: . . .. Reemplazando los valores de los
13).- Resolver
en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
mediante potencias de
Solución
La ecuación diferencial será:
′ ⋯ ⋯ − ′33 2 333 4 3 5 3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯3 2 2 5 3 3 ⋯3n 13 + 3 12 4 ⋯ 3 0 3n1 3 + 31 3 2⋯ 4 3 5 3 ⋯ 33 00 3 34 33 20 0 +∗+ ∗∗ + 5 3 0 ∗∗∗ n 1 + 1 0 9 4 2∗3∗4∗5 99 4 ⋯ 3 32 92∗3 4 32∗3∗4 3 3 9 ∴ 3 2 9 43! 4! 5! ⋯ ′ ⋯ ⋯ 2 6 ∗12 20 ⋯ 30 ⋯ − 1 2 3 4 5 6+ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 203 30 42 6 ⋯ 12 2 1∗ 2 + − ⋯ 0 26⋯ 12 2 20 3 30 4 1∗ 2 + − ⋯ 26 0 0 0 Suponiendo que la solución es de la forma:
---( )
Sea:
Por lo tanto:
.
.
Reemplazando los valores de los
17).- Resolver
en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
mediante potencias de . Solución
La ecuación diferencial será:
Suponiendo que la solución es de la forma:
---( )
Sea:
Por lo tanto:
1220 23 00 30 4 0 1∗ 2 + − 0 6 12 340 90 ⋯ ∴ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 20 30 ⋯ 6 ∗12 − 1⋯+ ⋯⋯ 1 1 20 30 2 1 ⋯ 6 1 12 1 1∗2+ − ⋯ 0 2 16 1∗2 1 12 + 1− 20 ⋯ 30 ⋯ 26 11 00 1220 10 0 − 30 0 1∗ 2+ − 0 1 1 2 6 12 20 60 ⋯
.
. . Reemplazando los valores de los
19).- Resolver
en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
según potencias de . Solución
La ecuación diferencial será:
Suponiendo que la solución es de la forma:
---( )
Sea:
Por lo tanto:
.
. Reemplazando los valores de los
en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
∴ ⋯ ⋯
+…
ECUACIONES DE BESSEL Y GAUSS 1) Comprobar que :
d dxJ J ∞ n1! 2x J ∑1 = J 12x 21! 2 31! 2 …. 1 n1! 2x + + ! ! ! ! … 1 ! +! !! !! … 1+ ! +! + ∞ 1 x + d dxJ ∑1 =d J n! n 1! 2 J dx xK J xK J− ! ! +! ! +! … ! +! } xK J ! ! +! − … !+! + ! +! ! +! ! +!! + ! … !−++ ! } xK J ! ! +! − … ! + ! ! + ! … − +} ]
2) Comprobar que : a)
=
! +! ! +! xK J − ! ! ++! k2 x kn … 2! k 2! 2 n! k n! xK J − ! ! ! +
! +!
! ++!
=
=
− … ! +! ! +−!
xK J xK J− x−K J x−K J+ x−K J+ x−K + + ! ! +! ! +! … ! ++ ! x−K J+ X + ! ! K+! ! K+! … ! K++ ! x−K J ! ! +! … } ! + ! ! + ! − − + −! +! −X ! + ! ! + ! … ! ++! } ! +! !+−! x ! +−K! J + − ⋯ ⋯ 1 −⋯ 1 −⋯⋯ ∑∞ =−∞ − ⋯ ⋯ −⋯ −⋯ Por lo tanto :
b)
Debemos llegar a :
Partimos de :
4)probar que:
Partimos de la igualdad:
2 1 ln1× ln ×⋯ln × ⋯ln1 × − ⋯ 1 × − ⋯ l n 2 1 ln1lnl n ln ⋯lnln ⋯ln1 1ln− ⋯⋯ l n ⋯ln − 2 1 ln ××⋯××⋯ln −×⋯×−×⋯ ln1 × × × ⋯× × ⋯ln 1 × 1 × ⋯× 1 × ⋯
Hallando el equivalente en sumatorias:
2 1 ∑l=∞ n =−∞∑− ln =∑l∞ n =−∞∑− ln 2 1 ∑l−∞∞ n ∑l−∞∞ n 2 1 ∑[−∞∞ ln l n] 2 1 ∑l−∞∞ n × ∞ × − ∑ −∞ ∞ 1 1 − ∴ ⋯ ⋯ −⋯ −⋯⋯ =−∞∑ 5) X
3 1 X 2 Y " 2 X Y ' Y 0 4 2
SOLUCION:
+ + 1 = 2 ; = 3/2
1 1 3 Y1 F ; ; ; X 2 2 2
= 1 -
= 1/4
(1 - ) = 1/4 y1 1
x 6
3x
2
40
5x
3
112
..........
- 2 - ¼ = 0 2 - + ¼ = 0 = ½ ; = ½ ; = 3/2
ANALOGAMENTE:
y2 x1 F (
1; 1; 2 ; x )
y2 x 1/2 F (0; 0;
1 2
; x)
x x
y = Ay1 + By2 2 2 x B x 3x 5x .......... y A 1 40 112 x 6
´ ´ 4´ 1 ´ 2 0 4 , 2 ,411 24 , 0, : 1 , 2 , 4 ,
6.- resolver mediante serie: Solución:
Análogamente:
1 1,,1, ,3 : 1 …… 2 10 5 2 − 1,2 −1,−2,2,1, , 2, 2 12.. 1 2 103 15 ……−12..
La solución completa será:
7.- probar que: a) F ( , , , x) (1 x ) b) xF (1,1,2, x ) ln(1 x ) a) F ( , , , x) (1 x) y F ( , , , x) F ( , , , x) Como: tenemos : , , , x x Como: ( 1) ( 1) 2 y 1 x x 1 1 x 2 x ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 1 x 2 x ( 1)( 2) Reemplazando obtenemos: 1 x
y
(
(
1)(
1 x 2 x 3 ( 1)(
1)
1 x 2 2) 3 x 2)(
x
x 2
n( n
n
1 x
1)( n
2)
3! n( n 1)( n
2)( n
x
3
4! entonces : y
1 x
3)
1 x 2 x3 x 4 Como :
1 x
....
3
n(n
x
4
1)
2!
x
........
2
3)
x
4
........
Entonces queda probado que: F ( , , , x ) (1 x )
b) xF (1,1,2, x ) ln(1 x ) y F ( , , , x) F (1,1,2, x) Como: tenemos : 1, 1, 2, x x Como:
1 x 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 x y x 1 x 2 x ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 3 x 1 x 2 x ( 1)( 2) .... Reemplazando obtenemos: 2 x 2 2 2 x3 x 2 x3 3 x 1 x x y x 2 2 x 2 x3 2 x3 x 2 x3 x 4 .... y x
x
2
2
x
3
3
x
4
4
x
5
........
5
Como : ln( 1 x) x
x 2
2
x 3
x 4
3
4
x 5 5
........
entonces : y ln( 1 x) Entonces queda probado que: xF (1,1,2, x ) ln( 1 x )
8.- probar que el cambio de variable dependiente y z x transforma la ecuación y y 0 en una ecuación de Bessel. Hacemos el cambio de variable y z x y z x y z x y z x y z x y y
z
x z x z 2
x
3
2 x z
z
2 x
2 x
z
z
x x z 4
4 x z x
3
z 4
z Reemplazando en la ecuación obtenemos:
4 x
3
2
2
z
4 x
3
z
x
0
2
x 2 z 0, para x 0
2
x z x z 2
z
x 2 z 0
x 2 z x z ( x 2
z ) z 0 4
