JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
JOSUE PAYE CHIPANA
BANCO DE PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA EXAMEN: I-2016 PROBLEMA 1 Dadas la matriz: 2 5
A3*3
6 3 5 4 6 4 k 2
Se pide: (a) Descomponer la matriz A en la forma A LDL LDLt siendo L triangular inferior (b) Hallar el valor de “k”
Solución: (a)
0 0 2 0 0 1 5 / 2 3 2 0 2 0 0 1 1 A 5 2 0 6 2 k 5 0 0 k 5 0 0 1
(b) k 15
PROBLEMA 2 Hallar los valores de la constante “a” tal que el determinante de la Adj Adj( Adj( F )) sea nulo:
Solución: a 0; a 1 PROBLEMA 3 Discutir los valores de a y b que determinen la consistencia e inconsistencia del sistema de 5a 1 x 2aby 4a 1 z 1 a ecuaciones:
4a 1 x a 1by 4a 1 z b 1 6a 2 x 2aby 5a 2 z 2 a
Solución: mismo tipo del examen 2015 EXAMEN: II-2015 PROBLEMA 1
1.
Dadas las matrices A3 x 3
i j k 1 , si i j aij i, si i j 0, si i j
y B3 x 3
i j k , si i j bij i, si i j se 0, si i j
pide (a) descomponer la matriz AB en la forma AB=L U siendo L “Triangular inferior”, U “triangular Superior”, utilizando el valor |de k N , (b) Utilizando la anterior factorización halle la inversa AB
Solución:
62k 1 2 32 k 1 12 9 2k 1 3 22k 1 32 k 1 6 3 2k 1 2k 2 2k 1 1 2 1 3 22 k 1 12 3 2k 1 2k 1 3 k 6 AB 1 2 k 1 6 2 1 3 2k 1 2k 6 3 2k 2 k
1 INGENIERÍA CIVIL
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PROBLEMA 2 Hallar el determinante de adjadjadj F siendo F la matriz indicada:
a 1 3a b 2a b 1 2b b 1 2 b 1 F a 2 0 1 a 3 a 2 a b b 1 1 Solución: adjadjadj F 0 PROBLEMA 3 Discutir los valores de "a" y "b" que determina la consistencia e inconsistencia del sistema de ecuaciones a 3 x1 2 x2 2 x3 2bx4 5
2 x1 a 3 x2
2 x3 2bx4 10 a 2 x1 2 x2 a 3 x3 2bx4 a 2 x1 2 x2 2 x3 ba 3 x4 a b
Solución: CONSISTENTE DETERMINADO: b 0 a 3 a 5 CONSISTENTE INDETERMINADO: a 5 b 0 a 3 b 12 b 0 a 6 a 5 INCONSISTENTE: a 5 b 0 a 3 b 12 PROBLEMA 4
k 2 5 5 10 y además se conoce que Si se conoce la matriz ad j B k 4 1 k 3 3 0 Det adjcofact 3 B 316 5 4 se pide: (a) Hallar el valor de “k” (b) Hallar la matriz B (c) Hallar B 1
Solución: k 3
2 1 3 5 5 5 1 7 1 10 B 4 2 1 B 1 15 6 3 0 1 1 2
EXAMEN: I-2015 PROBLEMA 1 Calcular el determinante F :
0 1 F 1 : 1
1
1
......
1
0
1
.......
1
1 0 ........ .1 : : : : 1 1 ........ 0 n 1
Solución: F n 1 1 2 INGENIERÍA CIVIL
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PROBLEMA 2
Resolver el sistema de ecuaciones:
Solución: x
2d a b c 3
y
x y z a x y v b x z v c y z v d 2c a b d
z
3
2b a c d 3
v
2a b c d 3
PROBLEMA 3 Para las matrices A y B calcular tr X si 5 AB
T
X 2 B A T
T T
1 2 1 1 A 4 0 5 3 1 2
y
1 / 2 0 0 3 B 1/ 5 0 0 0 1 Solución: tr X
241 10
PROBLEMA 4
Calcular la inversa de la matriz G
3 6 5 5 9 7 G 6 12 13 4 6 6 2 5 4
6
4
8
6
9 7 5 4 5 3
9/5 2 1 / 5 3 / 5 2 3 1 0 0 2 1 Solución: G 1 3 / 5 1 / 5 0 3/ 5 0 4 / 5 2 / 5 1 6 / 5 5 3/ 5 4 / 5 3 27 / 5
PROBLEMA 5 Siendo una matriz de orden 5 talque A
5 y M 5 A1 AT y N AT A 5 A 1
T
Calcular M N
Solución: M N 535
3 INGENIERÍA CIVIL
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EXAMEN: I-2014 PROBLEMA 1
2 0 Dadas las matrices A 2 2
1 0 1 0 1 0 2 1 0 0 1 1 0
2
0
2
y
1 0 B 0 0
0
0
0
1
1
0
0
0
encontrar las 1 0 0 0 0 1 0 0
matrices P y Q de modo que PAQ=B
Solución:
1 / 2 0 P 0 1
1 0 Q 0 0 0
0 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 1
0
0
0
1
0
1
0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 2
PROBLEMA 2
Calcular el valor de la determinante C :
0 0 C 0 0 5
0
0
0
1
0
0
2
3
0 3 4 5 4 5 6 7 6 7 8 9 Solución: C 120
PROBLEMA 3
Calcular la inversa de la matriz D
4 2 D 0 0
2
5 1
2
0
0 5 1 0 0 5 3
1 / 2 1 / 2 1 / 2 3 / 10 1 / 2 1 1/ 2 3/ 5 1 Solución: D 0 0 1 / 5 1 / 25 0 0 1/ 5 0 PROBLEMA 4 Discutir el valor de la constante para el sistema de ecuaciones y obtener su solución:
x y 2 z 2 2 x y k 2 z 2 5 x y 8 z 6 Solución: UNICA SOLUCIÓN: k 5 INFINITAS SOLUCIONES: k 5 4 INGENIERÍA CIVIL
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PROBLEMA 5 Para la matriz E calcular
1 0 0 S tr E T tr E 1 tr adj2 E E 1 2 0 1 2 3 Solución: S
23 6
EXAMEN: II-2013 PROBLEMA 1 Hallar las condiciones que debe cumplir a y b talque la matriz A se puede expresar en la forma A=LDU donde L es una matriz triangular inferior, U es una matriz triangular Superior utilice solo operaciones elementales considere las matrices 0 2 1 2 a 2 0
A
3 1 4 4 2 6
A
0 0
0 b 4 4
0
Solución: Para que se factorice en A=LDU de cumplir como única condición PROBLEMA 2
a2 b4
a 2 a 12 a 22 2 Hallar el determinante de la adjadj F : F b 2 b 1 b 22 c 2 c 12 c 22 4 Solución: adj adj F 4b a c a b c PROBLEMA 3 Hallar el valor de a y la solución completa en el sistema de ecuaciones si se sabe que Z=3
ax y 2 z 6 3 x y z 2 4 x 2 y z 11
Solución: a 2 PROBLEMA 4
x 1 y 2
z 3
4 8 4 Si se conoce la matriz adj A 7 9 5 y además se conoce que Det adj2 A 64 6 10 k Se pide: (a) Hallar el valor de k (b) hallar la matriz A (c) Hallar A
1
1 2 1 4 8 4 1 7 9 5 0 2 (c) A 1 Solución: (a) k 6 (b) A 3 4 4 2 6 10 6 5 5 INGENIERÍA CIVIL
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EXAMEN: I-2013 PROBLEMA 1 Dadas las matrices A y B encuentre las matrices P y Q. provenientes de realizar operaciones elementales de modo que: 0 2 3 4 0 0 0 0
A
2 3 5 4 4 8 13 12
2 3 4 0 0 0 0
A 0
1 / 2 3 / 2 5 / 2 2 0 1 0 0 1 0 0 L 1 0 0 Q 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 0
Solución:
PROBLEMA 2 x
0
1 x Calcular el determinante de C:
C 1
0
0
1
0
1
1 1 x 1 1 1
1
0
1
0
0
0
x
1
0 x
Solución: A ( x 2 1 x)(1 x x 3 ) PROBLEMA 3 Si DX D calculara: 2 X : T
T
1 2 3 D 1 3 4 1 4 3
2 2 0 Solución: 2 X T 7 3 1 14 2 4 PROBLEMA 4 2 x 3 y z u a ¿Para que los valores de a y b el sistema es consistente?:
x 5 y z 2u v
x 2 y 2 z 3u 0 3 x y 3 z 4u 3
Solución: a 5 b PROBLEMA 5 1
Sea el F calcular el valor numérico de E (adj(adj( F )))
1 Solución: E 9 48 6 INGENIERÍA CIVIL
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EXAMEN: I-2012 PROBLEMA 1 Reducir la matriz A, a su forma y hallar las matrices P y Q, tales que PAQ=N n 1 2 3 2
2 1 3 0 4
A 2
1 3
Solución:
1 1 / 3 4 / 3 1 / 3 0 1 / 6 5 / 6 7 / 6 Q 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 P 2 1 0 1 1 1
PROBLEMA 2
1 a B 0 0
a
0
0
0
0
0
Calcular la inversa de la matriz B: 0 1 a 0 a 0 1/ a 0 0 0 1 / a 1 / a 2 0 0 1 Solución: B 0 0 0 1/ a 0 1 / a 1/ a 2 0 PROBLEMA 3 Discutir el valor de la constante para que el sistema de ecuaciones tenga solución única, infinitas soluciones o no tenga solución: x y w 1
Solución: única solución
y z a 1w 2 x z a 2w 1 a 3 y z w b a 3 ; infinitas soluciones a 3 b 1 ;
inconsistente b 1 ;
PROBLEMA 4
x y z 2 2 x y z 1
Determinar la posición relativa de la recta y el plano: l :
y el plano Pl : 4 x y z 3
Solución: El sistema es incompatible por tanto la recta y los planos son paralelos
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EXAMEN: II-2010 PROBLEMA 1 Sea la matriz, se pide expresarla en la forma: A=LDU, Donde L es una matriz triangular inferior, 5 10 5 3 0 0
5 0 A 4 3 0 0 7
U es una triangular superior y D 0
1 5
2
6
Solución: 0 0 1 5 / 3 10 / 3 5 / 3 L 4 / 5 1 0 U 0 2 1 3 / 5 6 / 5 1 0 0 2 / 7
0 1 A LDU 4 / 5 1 3 / 5 6 / 5
3 0 0 1 0 0
0 5 0
0 7
0 5/3
10 / 3
0
2
0
0
1 2 / 7
PROBLEMA 2
0 1 0 Demostrar que la matriz B ( I A)( I A) es ortogonal si: A: A 1 0 2 0 2 0 2 / 3 1 / 3 2 / 3 1 Solución: B 1 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3 1 / 3 1
PROBLEMA 3
Se pide calcular el valor del siguiente determinante:
x y y x z u u z
z u u z x y y x
Solución: A ( x 2 y 2 z 2 u 2 ) 2 PROBLEMA 4
5 10 15 7 k De una matriz F, se conoce: ad j( F ) 29 2 4 7 (a) Encontrar el valor de k, sabiendo que: detadj(3 F ) 3 65 (b) Con el valor de k del anterior inciso, hallar la matriz F 6
2
Solución: (a) Para cualquier valor de K.
1 2 1 (b) La solución es la siguiente: F 3 1 7 2 0 5
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EXAMEN: II-2009 PROBLEMA 1 Calcular P y Q si B=PAQ
1 0 0 0 0 2 3 4 A 2 3 5 4 B 0 2 3 4 0 0 0 0 4 8 13 12
Solución:
1 / 2 3 / 2 5 / 2 2 0 1 0 0 Q 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 P 1 1 2 1
PROBLEMA 2 Calcular la Determinante:
x
0
1 x C 1
0
0
1
0
1
1 1 x 1 1 1
1
0
1
0
0
0
x
1
0 x
Solución: C x 2 x 1 x 3 x 1 PROBLEMA 3 Discutir el valor de la constante para que el sistema de ecuaciones tenga solución única, infinitas soluciones o no tenga solución: 2 x 3 y z w a
x 5 y z 2w b x 2 y 2 z 3w 0 2 x 1 y 3 z 4w 3 Solución: El sistema es consistente con a 3 PROBLEMA 4
1
Calcular E adj adj F
1 2 F 3 4
2
3
4
3
4
1
4 1 2 1 2 3
Solución: E 48 9
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EXAMEN: I-2009 PROBLEMA 1
3 1 4 2 Dada la matriz A 6 3 9 1 5
se pide hallar por medio de operaciones elementales dos
matrices, una triangular inferior “L” y otra triangulas superior “U”, tal que se cumpla :
A L.U
4 3 1 1 0 0 6 Solución: L 2 1 0 U 0 5 0 0 61/ 5 3 4 / 5 1
PROBLEMA 2 1 1 1 2 y sabiendo que: det(A)=2. Hallar el Valor de “k” y la Dada la matriz ad j( A) 10 k 7 3 1 matriz A.
1 2 3 A 2 3 4 1 5 7
Solución: k 4 PROBLEMA 3
Sabemos que la matriz X xij , satisface la ecuación: A.X= B en donde :
1 2 6 A 2 B I 2 1 4 2 2 1 Hallar la matriz X
15 5 7 3 25 4 Solución: X 39 3 1 17 1
PROBLEMA 4 Hallar el valor de “X” que hacen que F sea singular :
1 x x 1 x x 2 x x x F x 3 x x x 4 x x x x
Solución: x
12 25 10
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EXAMEN: I-2008 PROBLEMA 1 Calcular X
2
2
0 1 ; 3 X Y 1 2 1 0
Y 2 siendo X Y
Solución:
X 2
1
2 0 Y 2 0 2
PROBLEMA 2 Hallar las matrices elementales P y Q tal que: P.A.Q=D donde : 0 1 0 3 4 2
D 0 7 0 A 4 5 1 0 0 2 2 1 7 1 5 40 / 7 2 3 0 23 1 Q 0 1 15 / 7 0 23 46 Solución: P 23 0 0 14 11 1 1 PROBLEMA 3
Hallar el valor de “a” de tal modo que la matriz F sea no singular, si este cumple con la ecuación CF=A, donde:
4 5 2 1 1 3 1 8 G 3 4 2 A 2 1 2 4 a 1 a 1 2a 7
Solución: a
16 29
PROBLEMA 4 Hallar los valores de “p” y “q” tal que el sistema de ecuaciones AX 3 pX 4 X B sea consistente, consistente indeterminado e inconsistente. T
2 p 3 3 A 3 2 p 3 ; B 2 p 2 2q 4 3 3 2 p
Solución: 7 2 (a) Consistente Determinado C 0 : q , p , p 5 5 (b) Consistente determinado rango(C ) n : p q (c) Inconsistente Rango(C : D) Rango(C ) : p
7 5
2
p , q 5
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EXAMEN: II-2007 PROBLEMA 1 Hallar la inversa de la matriz D si: D= A*B donde las matrices A y B están generados por:
i * j 5 si A3 x 3 si, 0
i 5 * j si si, 0
i j i j
B3 x3
i j
i j
36 18 0 18 18 6 D 1 36 0 6 3 1
Solución: PROBLEMA 2
2 3 1 Dada las matrices: A y B 3 1 4
1 0 0 encuentre las matrices C y D provenientes 0 1 0
de realizar de operaciones elementales de modo que: CAD=B
1 / 11 3 / 11 Solución: C 3 / 11 2 / 11
1 0 1 C 0 1 1 0 0 1
PROBLEMA 3
x 5 Hallar los valores de “X” que hacen la matriz F sea singular: F 0 0 Solución: x
3 29 2
; x
3 29 2
; x
3 29 2
;x
1
0
0
x
3
0
3 x 5 0 1 x
3 29 2
PROBLEMA 4 Discutir en el sistema de ecuaciones los valores de “a” sea: (a) Consistente determinado (b) Consistente indeterminado (c) Inconsistente
4 x (2a 2) y 4 z a 3 4 x 4 y (2a 2) z 4 (2a 2) x 4 y 4 z 4
Solución: (a) Consistente Determinado a 3 a 3 (b) Consistente indeterminado a / (c) Inconsistente a 3 a 3 mj 12 INGENIERÍA CIVIL
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