BALANCE DE MOMENTO, CALOR Y MASA
BALANCE DE CALOR SISTEMAS COORDENADOS EN ESTADO ESTACIONARIO, FLUJO UNIDIRECCIONAL. INGENIERÍA QUÍMICA [Seleccione la fecha]
Es de conocimiento común qe !"#nos m!te$i!"es como "os met!"es condcen c!"o$ %&ci"mente, mient$!s qe ot$os como "! m!de$! !ctú!n como !is"!ntes t'$micos. L! condcci(n de c!"o$ en )idos *ede conside$!$se como t$!ns*o$te mo"ec"!$ de ene$#+!, *esto qe e" mec!nismo %nd!ment!" es e" moimiento de "!s mo"'c"!s constit-entes.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA DE VERACRUZ INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ACAYUCAN ACAYUCAN CLAVE: 30EIT0010B
CARRERA: INGENIERÍA QUÍMICA. RETÍCULA DE LA L A CARRERA: IQUI-2010-232. ASIGNATURA: BALANCE DE MOMENTO, CALOR Y MASA. CLAVE: IQ-1002 UNIDAD: PRIMERA NOMBRE DEL TRABAJO: TR ABAJO: INVESTIGACIÓN RE!ERIDA A LA SEGUNDA
UNIDAD. "BALANCE DE CALOR O ENERGÍA#.
SEMESTRE: QUINTO GRUPO: $0%-B TURNO: VESPERTINO. DOCENTE: ING.UAN MANUEL &ERNANDEZ ESPÍNDOLA
EQUIPO: RODRÍGUEZ TORRES EUNICE
LUIS PAVON PAVON 'ARLA DANIELA &ERNANDEZ &ERNANDE Z CASTILLO CASTILL O ANGEL AVIER CRUZ !RANCISCO REBECA MARGOT BARUC& SILVIA
FECHA DE ENTREGA: .
INTRODUCCION Esta investigación será fundamentada en la segunda unidad de la materia de Balance de momento, calor y masa, centrándose en el balance de calor y energía. La conducción de calor en fluidos puede considerarse como transporte molecular de energía, puesto que el mecanismo fundamental es el movimiento de las moléculas constituyentes. La energía también puede transportarse por el movimiento global de un fluido, y entonces se denomina transporte de energía convectiva; esta forma de transporte depende de la densidad ρ
del fluido. tro mecanismo es el del transporte de energía
difusora, que ocurre en me!clas que se difunden entre sí. "demás, la energía puede transmitirse por medio del transporte de energía radiada, que es bastante distinto en el sentido de que esta forma de transporte no requiere de un medio material como sí lo requieren la conducción y la convección. Ese compendio introduce los dos primeros mecanismos, conducción y convección. #inalmente, al combinar la densidad de flu$o de calor conductivo, la densidad de flu$o de energía convectiva y la densidad de flu$o de traba$o, es posible crear un vector de densidad de flu$o de energía combinada e, que es %til para establecer balances de energía. En esta investigación se muestra cómo varios problemas de conducción de calor se resuelven con el siguiente proceso& se 'ace un balance de energía sobre una placa o envoltura delgada perpendicular a la dirección de flu$o de calor, y este balance lleva a una ecuación diferencial de primer orden a partir de la cual se obtiene la distribución de la densidad de flu$o de calor; luego, en esta e(presión para la densidad de flu$o de calor se sustituye la ley de #ourier de la conducción del calor, que proporciona una ecuación diferencial de primer orden para la temperatura como una función de la posición. )espués, las constantes de integración se determinan usando las condiciones límite para la temperatura o la densidad de flu$o de calor en las superficies que delimitan el sistema. *ambién se proporciona un análisis de la conducción de calor en una serie de sistemas sencillos. Los resultados encuentran aplicación en numerosos cálculos típicos de ingeniería. Los problemas eligieron con la intención de introducir al principiante a varios conceptos físicos importantes asociados con el campo de la transferencia de calor. "demás, muestran
cómo usar una variedad de condiciones límite e ilustran la solución de problemas en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
2.1. CONDICIONES FRONTERA. Los problemas que se anali!an se plantean por medio de balances de energía en la envoltura. +e elige una placa o envoltura-, cuyas superficies son normales a la dirección de conducción del calor, y luego para este sistema se escribe un planteamiento de la ley de conservación de la energía. ara sistemas en estado estacionario es decir, independientes del tiempo- escribimos&
{
}{
}{
}{
}{
Velocidad de Velocidad de Velocidad de Velocidadde entrada entradade − salida deenergía + − entradade energía + de energía por energíamediante mediante transporte por transporte transporte molecular transporte convectiv o convectivo molecular
El transporte de energía convectiva, el transporte molecular de energía conducción de calor- y Los términos de traba$o molecular, pueden sumarse para obtener la /densidad de flu$o de energía combinada/ e, como se muestra en la ecuación "l establecer problemas aquí usaremos el vector $unto con la e(presión para la entalpía que se muestra en la ecuación. 0ótese que en sistemas sin flu$o para los cuales v es cero-, el vector e se simplifica al vector q, que está dado en la ley de #ourier. El término de producción de energía en la ecuación incluye& iii-
La degradación de energía eléctrica en calor, El calor producido al reducir la velocidad de los neutrones y los fragmentos
iiiiv-
liberados en el proceso de fisión, El calor producido por disipación viscosa, y El calor producido en reacciones químicas. La fuente de calor de la reacción química.
La ecuación es un planteamiento de la primera ley de la termodinámica, escrita para un sistema /abierto/ en condiciones de estado estacionario. 1na ve! que la ecuación se escribe para una placa o envoltura delgada de material, se 'ace que el espesor de la placa o envoltura tienda a cero. Este procedimiento finalmente conduce
Velocid queser trabajo sistem transporte
a una e(presión para la distribución de temperatura que contiene constantes de integración, que se eval%an usando las condiciones límite.
Los tipos más comunes de condiciones límite son a. La temperatura puede especificarse en una superficie. b. uede proporcionarse la densidad de flu$o de calor normal a una superficie esto equivale a especificar la componente normal del gradiente de temperatura-. c. +e requiere que la temperatura y la densidad de flu$o de calor normal a la interface sean continuas en las interfaces. d. En la interface sólido2fluido, la componente de la densidad de flu$o de calor puede estar relacionada con La diferencia entre la temperatura en la superficie sólida T 0 y la temperatura global del fluido T b & q =h ( T 0−T b )
Esta relación se denomina ley de enfriamiento de 0e3ton. 4ealmente no es una /ley/, sino más bien la ecuación de definición para ', que se denomina coeficiente de transmisión de calor. En esta investigación se introducirán los cuatro tipos de condiciones límite. 5ay otros tipos de condiciones limite, que se establecerán seg%n sean necesarios.
CONDUCCI!N DE CALOR CON UNA FUENTE DE CALOR EL"CTRICA
El primer sistema que vamos a considerar es un alambre eléctrico de sección transversal −1 −1 circular de radio R y conductividad eléctrica k e ohm cm . or el alambre circula
2
una corriente eléctrica cuya densidad de corriente es I amp / cm . La transmisión de corriente eléctrica es un proceso irreversible, y algo de la energía eléctrica se convierte en calor energía térmica-. La velocidad de producción de calor por unidad de volumen está dada por la e(presión 2
I e = ( 10.2 −1) k e
La cantidad
e
es la fuente de calor que resulta de la disipación eléctrica. "quí
suponemos que el aumento de temperatura en el alambre no es tan grande, como para que sea necesario tener en cuenta la dependencia respecto a la temperatura de la conductividad térmica o de la conductividad eléctrica. La superficie del alambre se mantiene a la temperatura T 0 . "'ora mostramos cómo encontrar la distribución radial de temperatura en el interior del alambre. ara el balance de en energía consideramos que el sistema es una envoltura cilíndrica de espesor ! r y longitud L véase la figura 67.826-. )ebido a que v =0 en este sistema, las %nicas contribuciones al balance de energía son& 9elocidad de entrada de calor a través de la superficie cilíndrica en r
( 2 "r# ) q r|r ¿=( 2 "r#q r )|r (10.2−2 ) 9elocidad de salida de calor a través de la superficie cilíndrica en r + ! r qr|+ $ r
( 2 " ( r + ! r ) # ) ( ¿ ¿ ( 2 "r#qr )|r +! r ) (10.2 −3)
9elocidad de producción de energía térmica por disipación eléctrica
( 2 "r!r# ) e (10.2− 4 ) La notación q r significa :densidad de flu$o de calor en la dirección r , y ( % )|r + $r significa :evaluación en r + $ r . 0ótese que la :entrada y la :salida se toman en la dirección positiva. "'ora sustituimos estas cantidades en el balance de energía de la ecuación <.626. "l dividir entre
2 "# $ r
y tomando el límite cuando $ r tiende a cero, se obtiene&
lim ( rqr )|r+ $ r − ( rqr )|r
$ r
= e r ( 10.2− 5 )
La e(presión en el miembro i!quierdo es la primera derivada de rqr respecto a r , de modo que la ecuación 67.82= se vuelve
#igura 67.826 "lambre calentado eléctricamente, que muestra la envoltura cilíndrica sobre la cual se 'ace el balance de energía. >sta es una ecuación diferencial de primer orden para la densidad de flu$o de energía, que puede integrarse para obtener q r=
e r 2
+
& 1 r
( 10.2−7 )
La constante de integración & 1 debe ser cero debido a la condición limite de que & ' # .1 : en r = 0, qr no es infinita ( 10.2− 8 )
or tanto, la e(presión final para la distribución de densidad de flu$o de calor es q r=
e r 2
( 10.2− 9)
Esto indica que la densidad de flu$o de calor aumenta linealmente con r . "'ora sustituimos la ley de #ourier en la forma q r=−k ( dT / dr ) véase la ecuación B.82 ?- en la ecuación 67.82< para obtener dT e r = ( 10.2−10 ) 2 dr
−k
@uando se supone que k es constante, esta ecuación diferencial de primer orden puede integrarse para obtener T =
− e r 2 4 k
+ & 2 ( 10.2−11)
La constante de integración se determina a partir de & ' # .2 : en r = R (T = T 0 ( 10.2− 12 )
or tanto,
T −T 0 =
& 2 =( e R / 4 k ) + T 0 2
e R
2
4 k
[ ( )] 1−
r R
y la ecuación 67.8266 se vuelve
2
( 10.2 −13)
La ecuación 67.826A proporciona el aumento de temperatura como una función parabólica de la distancia r al e$e del alambre. 1na ve! que se conocen las distribuciones de temperatura y de la densidad de flu$o de calor, puede obtenerse más información sobre el sistema& i-
Elevación má(ima de temperatura para r = 0 -
2
e R T m)x−T 0= ( 10.2−14 ) 4 k
ii-
Elevación media de temperatura 2 " R
∫ ∫ (T ( r )− T ) rdrd 0 0
⟨ T ⟩ − T 0 =
0
0 2 " R
=
e R
8 k
∫ ∫ rdr d 0 0
2
( 10.2 − 15 )
0
or tanto, la elevación de temperatura promediada sobre la sección transversal es igual a la mitad de la elevación má(ima de temperatura. iii-
+alida de calor en la superficie para un alambre de longitud L*|r = R= 2 "R#+q r|r= R =2 "R#+
e R 2
= " R 2 #+ e (10.2−16 )
Este resultado no es sorprendente, ya que en estado estacionario, todo el calor producido 2 por disipación eléctrica en el volumen " R # debe salir a través de la superficie r = R
. )urante la deducción de este resultado, qui!á el lector sintió que ya conoce este método. )espués de todo, 'ay una gran seme$an!a entre el problema del alambre caliente y el del flu$o viscoso en un tubo circular. La %nica diferencia estriba en la notación& La primera integración da
#lu$o en un tubo " rz ( r )
"lambre calentado q r (r )
La segunda integración da
V z ( r )
T ( r )− T 0
@ondición límite en r = 0
T rz =finito
q r= finito
@ondición límite en r = R
V z = 0
T −T 0 =0
ropiedad de transporte
,
k
*érmino que corresponde a la fuente
ρ (¿ ¿ 0 − ρ # )/ #
e
¿
+uposiciones
,= constante
k ( k e = constante
Es decir, cuando las cantidades se eligen de manera adecuada, las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite para los dos problemas son idénticas, y se dice que los procesos físicos son /análogos/. 0o todos los problemas en transferencia de cantidad de movimiento tienen un análogo en transporte de energía y de materia. +in embargo, cuando es posible encontrar estas analogías, puede ser %til tomar resultados conocidos en un campo y aplicarlos en el otro. or e$emplo, el lector no debe tener dificultades para encontrar un análogo en conducción de calor para el flu$o viscoso en una película líquida que desciende sobre un plano inclinado. En la industria eléctrica 'ay muc'os e$emplos de problemas de conducción de calor. inimi!ar las elevaciones de temperatura en el interior de la maquinaria eléctrica prolonga la duración del aislamiento. 1n e$emplo es refrigerar interiormente, mediante un líquido, los conductores del estator de los generadores de gran potencia (500,000 k- ) .
2.3. RADIO CRÍTICO DE AISLAMIENTO. La *ransferencia de @alor a partir de un cilindro 'ueco como se muestra en la figura- esta dada por&
T 0−T .
q=
ln 1
hi 2 " R1 #
+
R 2 R 1
R1 2 ""#k t
ln
+
R 3 R 2 R2
2 "# k a
+
1
h 2 " R3 #
Este cilindro se encuentra recubierto por un material aislante el cual esta delimitado por los radios 48 y 4A. Este material debe de disminuir el flu$o de calor, lo cual puede variar seg%n el espesor del mismos. En otras palabras, al colocar un material aislante en un cilindro se debe tener en cuenta el espesor de este ya que de esto dependerá si cumple o no con su función.
El 4adio @ritico es precisamente la medida del radio de un aislante en el que la transferencia de calor es má(ima o la resistencia del flu$o de calor es muy ba$a, por lo que al colocar un material aislante se debe verificar que el radio e(terno de este sea mayor al radio critico o que el radio critico sea menor al radio del e(terior cilindro. para que traba$e como un aislante-. El radio crítico depende de la conductividad térmica del material aislante y del coeficiente de transferencia de calor '-. Esto es lo que sucede al variar el espesor del material aislante&
El radio crítico se obtiene a partir de la siguiente relación& R&r =
k h
)ónde& C D @onstante de conductividad *érmica del aterial "islante ' D @oeficiente de transferencia de calor por convección o coeficiente de película del E(terior del @ilindro.
#$%ed #l$n$ En los casos de pared plana, entre más grueso sea el aislante, menor es la ra!ón de transferencia de calor. El área " de la transferencia de calor es constante y agregar el aislamiento siempre incrementa la resistencia térmica de la pared sin incrementar la resistencia a la convección.
Cilind%o " diferencia de lo ocurrido en pared plana, en un tubo cilíndrico o a una capa esférica el aislamiento adicional incrementa la resistencia a la conducción de la capa de aislamiento pero disminuye la resistencia a la convección de la superficie debido al incremento en área e(terior. " medida que se aade aislante a la tubería, disminuye la temperatura de la superficie e(terior pero, al mismo tiempo, aumenta la e(tensión de la superficie de disipación del calor convector. Estos dos efectos opuestos pueden lograr aumentar o disminuir la transferencia de calor en la tubería.
Rtotal = R cinv R cilindro
ln
Rtotal=
*=
( )+ V 2 V 1
2 "k#
1 2 "#h 2 r 2
T 1 −T . 2 R total
Condiciones de &%onte%$. dT ( 0, T )=0 dx d ´* =0 dr 2
T ´1 − T . 2
*= ln
( )+ r2 r1
2 "k#
d* d = dr 2 dr 2
(
1 2 "# h2 r 2
T 1 − T . 2 ln
( )+ r2 r1
2 "k#
1 2 "# h2 r 2
) (
0 =− T 1− T . 2
ln
d 0= dr 2
0=
1 2 "nk#
+
d
) dr
2
(
ln
r2 r1
2 "k#
( )+
+
1 2 "#h 2 r 2
)
r2 r1
2 "k#
d dr 2
1 2 "# h2 r 2
()
r2 1 d d 1 ln + ( ) dr 2 r 1 2 "# h2 r 2 dr 2 r 2
( ) ( )= = ()
r2 d ln dr 2 r1
d r2 dr 2 r 1
r2
r2 r1
r2 r1
1
=
1 0=
r2 2 "k#
+
1 2 "k#
( ) −1 2
r2
1
r2
0=
1 2 "k#r 2
0=
(
1
−
1
2 "# kr 2
1
kr 2
=
1 2
2 "k#r 2
−
1 2
hr 2
)
1 2
hr 2
2
k r 2 = h r2 k =r h 2
)iferenciando la ecuación con respecto a r encontraremos que la perdida de calor, es má(ima cuando el radio del aislante es igual a
r cr (cilindro =
k h
" lo que llamamos radio crítico del aislante. Este va a depender de la conductividad térmica del aislamiento C y del coeficiente e(terno de transferencia de calor por convección '. El valor del radio crítico alcan!ara un má(imo cuando C sea grande y ' sea demasiado pequeo. @ondiciones& 6. @uando r 2=radio critico La ra!ón de la transferencia de calor es má(imo ba$o estas condiciones. La resistencia va a ser mínima. 8. @uando r 2 < radio critico
La ra!ón de la transferencia de calor aumenta. or lo tanto, en realidad, aislar el tubo puede aumentar la ra!ón de la transferencia de calor del tubo en lugar de disminuirla. A. @uando r 2 > radio critico
@uando aumenta r 2 aumenta la resistencia térmica de la capa aislante pero disminuye la resistencia térmica del coeficiente debido a la mayor e(tensión de la superficie por lo tanto se logra que la ra!ón de la transferencia de calor disminuya que es lo más deseable. +e mantiene el radio crítico tan pequeo como sea posible para que la aplicación del aislante sea una reducción y no un aumento en la perdida de calor por una tubería. Esto obviamente se puede logran usando un material aislante de ba$a conductividad. Los radios críticos serán muc'os menores en la convección for!ada, con frecuencias menores a 6 mm debido a los valores muc'o más grandes de ' asociados con la convección for!ada. El radio de los alambres eléctricos puede ser menor que el radio critico ósea r 2 ¿ r cr . or lo visto anteriormente la transferencia de calor se incrementa debido al aislamiento eléctrico, de este modo se mantienen las temperaturas de operación estacionarias a niveles más ba$os y como consecuencias más seguros.
Es&e%$ +e repite el procedimiento anali!ado en el tubo cilíndrico pero en esta ocasión dirigido a una esfera&
´= *
´= *
T 1− T . Rc ond(aisl + R conv
T 1−T . r 2− r 1 1 + 4 "k r 1 r 2 h ( 4 " r 2 ) 2
r cr (esfera =
2 k
h
*omándose las mismas consideraciones anteriores.
