BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Dalam bagian ini kita akan membahas sebuah metode untuk menyelesaikan persoalan linear. Pandang sebuah garis pada bidang secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan : a1 x1 +a2 x2 = b dimana a1 = a2 dan b bilangan riel persamaan persamaan ini disebut persamaan persamaan linear dalam bentuk x 1 dan x2. Secara umum persamaan linear dalam bentuk x 1 x2 !!! xn dapat dinyatakan dalam bentuk : a1 x1 + a2 x2 + !!.. + an xn = b dimana a1 a2 !!!! an dan b adalah bilangan riel Dari pernyataan diatas terlihat bah"a ciri dari persamaan linear adalah #ariabel$#ariabelnya tidak memuat hasil kali atau akar #ariabel. %ontoh berikut adalah persamaan linear : &=
1 2
x + 'y + (
x1 +x2 $( x) = * %ontoh yang berikut bukan persamaan linear y cos x = , x12 + x2 +( x) = ' xy + 2x + y = adi terlihat bah"a persamaan linear tidak memuat /ungsi trigonometri /ungsi logoritmik atau /ungsi eksponensial. Sebuah penyelesaian persamaan linear a1 x1 + a2 x2 + !!.. + an xn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan katakanlah katakanlah s 1 s2 !!!. sn dan jika bilangan$bilangan tersebut disubstitusikan x 1 = s1 x2 =s2 !!!!. xn = sn pada persamaan persamaan tersebut maka maka persamaan persamaan tersebut akan akan dipenuhi. dipenuhi. %ontoh %arilah himpunan penyelesaian untuk persamaan ) x1 + 2 x2 = ( a"ab 0ntuk mencari penyelesaian persoalan ini ambil sembarang nilai x 1 untuk mencari penyelesaian x 2 maka kita dapatkan x1 = t dengan t sembarang bilangan ) x1 + 2 x2 = ( ) t + 2 x2 = ( 2 x2 = ( ) t 2 = 2 $ 3 t 2
adi didapat rumusan penyelesaiannya adalah x1 = t x2 = 2 $ 3 t 2
34
Perso Persoala alann diatas diatas juga juga dapat dapat disel diselesa esaika ikann dengan dengan menet menetapk apkan an x 2 = t deng dengan an mene meneta tapk pkan an t sembarang bilangan untuk mencari nilai penyelesaian x 1 maka kita dapatkan ) x1 + 2 x2 = ( ) x1 + 2 t = (
)x1 + ( 2 t x1 = 4 $ 3
2 3
t
adi didapat rumusan penyelesaiannya adalah x1 =
4 3
$
2 3
t
x2 = t adi penyelesaian masih dalam bentuk parameter t "alaupun kedua rumusan tersebut berbeda namun namun rumusa rumusann ini ini mengh menghasi asilk lkan an himpun himpunan an penyel penyelesa esaian ian yang yang sama sama untuk untuk lebih lebih jelasn jelasnya ya 3 perhatikan perhatikan rumusan yang pertama dengan mengambil mengambil t = 2 maka akan didapat x1 = 2 dan x2 = 2 $ 2
.x 2 = $1 4 x1 = 4 $ 2 3$14 = $ 2 = 6 = 2 3 3 3 3 3 adi pemecahannya sama yaitu apabila x 1= 2 maka x2 = $1 dan sebaliknya
%ontoh Selesaikan himpunan penyelesaian untuk persamaan linear berikut x1 ( x2 + ' x) = * a"ab 0ntuk menyelesaikan persoalan ini kita harus mengambil sembarang bilangan untuk 2 #ariabel untuk menyelesaikan menyelesaikan #ariabel yang ke$). 5isalnya jika kita menetapkan menetapkan nilai sembarang untuk x 2 dan x) maka x1 dapat diambil x2 = s s sembarang bilangan x) = t t sembarang bilangan x1 ( x2 + ' x) = *
x1 = ( x2 + ' x) + * =(s't+*
adi salah satu rumusan penyelesaian persoalan diatas adalah x1 = ( s ' t + * x2 = s x) = t Sebua sistem persamaan linear adalah sebuah himpunan berhingga dari persamaan linear. Sedangkan Sedangkan sebuah urutan n bilangan katakanlah katakanlah s 1 s2 !!!.. sn disebut penyelesaian dari sistem persamaan persamaan linear dalam #ariabel x 1 x2 !!!.. xn jika kita substitusi x 1 = s 1 x2 =s2 !!!!. xn = sn pada setiap persamaan pada sistem persamaan tersebut akan memenuhi setiap persamaan. Sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian sedikitnya sebuah penyelesaian disebut 678S9S;8 dan sebaliknya jika sebuah sistem persamaan linear tidak ada penyelesaiannya disebut 9D<6 678S9S;8. 678S9S;8. 0ntuk itu perhatikan perhatikan kemungkinan$kemung kemungkinan$kemungkinan kinan yang terjadi pada 35
Perso Persoala alann diatas diatas juga juga dapat dapat disel diselesa esaika ikann dengan dengan menet menetapk apkan an x 2 = t deng dengan an mene meneta tapk pkan an t sembarang bilangan untuk mencari nilai penyelesaian x 1 maka kita dapatkan ) x1 + 2 x2 = ( ) x1 + 2 t = (
)x1 + ( 2 t x1 = 4 $ 3
2 3
t
adi didapat rumusan penyelesaiannya adalah x1 =
4 3
$
2 3
t
x2 = t adi penyelesaian masih dalam bentuk parameter t "alaupun kedua rumusan tersebut berbeda namun namun rumusa rumusann ini ini mengh menghasi asilk lkan an himpun himpunan an penyel penyelesa esaian ian yang yang sama sama untuk untuk lebih lebih jelasn jelasnya ya 3 perhatikan perhatikan rumusan yang pertama dengan mengambil mengambil t = 2 maka akan didapat x1 = 2 dan x2 = 2 $ 2
.x 2 = $1 4 x1 = 4 $ 2 3$14 = $ 2 = 6 = 2 3 3 3 3 3 adi pemecahannya sama yaitu apabila x 1= 2 maka x2 = $1 dan sebaliknya
%ontoh Selesaikan himpunan penyelesaian untuk persamaan linear berikut x1 ( x2 + ' x) = * a"ab 0ntuk menyelesaikan persoalan ini kita harus mengambil sembarang bilangan untuk 2 #ariabel untuk menyelesaikan menyelesaikan #ariabel yang ke$). 5isalnya jika kita menetapkan menetapkan nilai sembarang untuk x 2 dan x) maka x1 dapat diambil x2 = s s sembarang bilangan x) = t t sembarang bilangan x1 ( x2 + ' x) = *
x1 = ( x2 + ' x) + * =(s't+*
adi salah satu rumusan penyelesaian persoalan diatas adalah x1 = ( s ' t + * x2 = s x) = t Sebua sistem persamaan linear adalah sebuah himpunan berhingga dari persamaan linear. Sedangkan Sedangkan sebuah urutan n bilangan katakanlah katakanlah s 1 s2 !!!.. sn disebut penyelesaian dari sistem persamaan persamaan linear dalam #ariabel x 1 x2 !!!.. xn jika kita substitusi x 1 = s 1 x2 =s2 !!!!. xn = sn pada setiap persamaan pada sistem persamaan tersebut akan memenuhi setiap persamaan. Sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian sedikitnya sebuah penyelesaian disebut 678S9S;8 dan sebaliknya jika sebuah sistem persamaan linear tidak ada penyelesaiannya disebut 9D<6 678S9S;8. 678S9S;8. 0ntuk itu perhatikan perhatikan kemungkinan$kemung kemungkinan$kemungkinan kinan yang terjadi pada 35
sistem umum persamaan linear. 0ntuk lebih mudahnya perhatikan sebuah sistem umum persamaan linear dengan dua persamaan linear dengan #ariabel x 1 dan x2 yaitu a11 x1 + a12 x2 = b1
a11 a12 bilangan yang ,
a21 x1 + a22 x2 = b2
a21 a22 bilangan yang ,
ra/ik persamaan ini adalah garis$garis katakanlah garis l 1 l2 pemecahan dari sistem tersebut adalah titik potong dari kedua garis tersebut sehingga dapat diambil kemungkinan yang terjadi adalah : 1. Sebu Sebuah ah pem pemec ecah ahan an jik jikaa l 1 > l2 berpotongan 2. ?anya ?anyakk penye penyeles lesaia aiann jika jika l 1 > l2 berpotongan 3berimpit4 ). ak ada ada pen penyel yelesa esaian ian jika jika l 1 > l2 sejajar adi dapay disimpulkan bah"a untuk sembarang sistem persamaan linear adalah ada sebuah penyelesaian penyelesaian atau tak terhingga terhingga banyak banyak penyelesaian penyelesaian atau tidak tidak ada penyelesaian. penyelesaian. Pandang sembarang sistem yang terdiri dari m persamaan linear dengan n #ariabel sebagai berikut a11 x1 + !!!!!!!. + a1n xn = b1 a21 x1 + !!!!!!!.. + a2n xn = b2 . . am1 x1 + !!!!!!!.. + anm xn = bm dimana sij adalah konstanta untuk persamaan yang ke i dan #ariabel yang ke$j i = 1 2 !!!!!.. m j = 1 2 !!!!!.. n selanjutnya selanjutnya jika kita perhatikan perhatikan letak dari + x dan = dapat kita singkat dengan hanya menuliskan empat persegi panjang dari bilangan$bilangan : a11 a12 !!!!!!a1n b1 a21 a22 !!!!!!a2n b2 . am1 am2 !!!!!!amn bm Susunan empat persegi panjang ini disebut 5<@96S D9P;@?;S<@ 3<05;8;D 5<@94.
METODA DASAR UNTUK MENYELESAIKAN MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
36
5etoda dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah mengganti sistem yang diberikan menjadi sistem baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama tetapi lebih mudah cara penyelesaiannya. Sistem baru ini didapat dengan cara operasi baris elementer 37?;4 yaitu : 1. 6alikan sebuah persamaan baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol 2. Pertukarkanlah letak dua persamaan baris ). ambahkanlah kelipatan dari satu persamaan baris kepada yang lain %atatan Penggunaan baris jika sistem persamaan linearnya sudah dirubah dalam bentuk matriks diperbesar %ontoh entukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut : x1 x2 + x) x1 $ x) + x( 2x2 + ) x) $( x1 + x(
= 2 = 2 = 1) = ,
a"ab Sistem persamaan linear tersebut dibuat dalam bentuk matriks diperbesar adalah sebagai berikut : 1
$1
1
,
2
1
,
$1
1
2
,
2
)
,
1)
$(
,
,
1
,
?1 + 314 ?2
?2 + 3$14 ?1 ?( + 3(4 ?1
1
,
$2
1
2
,
1
$2
1
,
?) + 3$24 ?2
,
,
'
$2
1)
?( + 3(4 ?2
,
,
$(
*
?1 + 314 ?)
1
,
,
,
1
?2 + 324 ?)
,
?( + 3(4 ?)
,
?1 + 3$*'4 ?( --3 7
1
$1
,
,
2
,
1
$2
1
,
,
2
)
,
1)
,
$(
(
1
-
1
,
$1
1
2
,
1
$2
1
,
,
,
1
-2 7
-
,
,
$(
*
5 7
27 7
1
,
,
5 7
27 7
,
3 7
26 7
,
1
,
3 7
26 7
,
1
-2 7
13 7
,
,
1
-7 2
13 7
,
,
27 7
108 7
,
,
,
1
(
1
,
,
,
1
,
1
,
,
2
1 7
?)
7 ?( 27
adi : x1 = 1 37
13 7
-
x) = )
?2 + 3
4 ?(
?) + '2?(
,
,
1
,
)
,
,
,
1
(
x2 = 2
x( = (
Penyelesaian di atas penulis hanya menekankan pada pemahaman perhitungan dan kalu memilih langkah akan dibahas pada ?ab selanjutnya. Aatihan 1.1 1. Bang manakah dari persamaan berikut yang merupakan persamaan linear dalam x 1 x2 dan x) C a) x1 + 2 x2 + x) = 2 d4 x1 = 2 x) $ x2 + ' b) x1 + x2 + x) = sin k e4 x1 + x2$1 ) x) = * c) x1 + ) x2 + 2 x)E = ( /4 x1 = x) 2. %arilah himpunan pemecahan untuk : a4 F x ' y = ) c4 $) x1 + ( x2 ' x) +- x( =* b4 2 x1 + ( x2 ' x) = d4 2 # " + ) x + y ( & = , ). %arilah matriks yang diperbesar untuk setiap sistem persamaan linear berikut : a4 x1 2 x2 = , c4 x1 + x) =1 ) x1 + ( x2 = $1 2 x2 x) + x* = 2 2 x1 x2 = ) 2 x) + x( =) b4 x1 + x) = 1 d4 x1 =1 $x1 + 2x2 x) = ) x2 = 2 (. %arilah sebuah sistem persamaan linear yang bersesuaian dengan setiap matriks yang diperbesar berikut : a4
b4
1
,
$1
2
2 ,
1 $1
1 2
) (
1
,
,
, 1
1 $1
, 1
c4
d4
1
2
)
(
*
*
(
)
2
1
1
,
,
,
1
, , ,
1 , ,
, 1 ,
, , 1
2 ) (
*. 0ntuk nilai$nilai manakah konteks sistem persamaan linear yang berikut tidak mempunyai pemecahan persis satu pemecahan dan tak mempunyai pemecahan : x y=) 2 x 2 y = k F. injaulah sistem persamaan$persamaan : ax + by = k cx + dy = l ex + /y = m erangkan kedudukan relati/ dari garis$garis tersebut diatas bila : a4 Sistem tsb tidak mempunyai pemecahan b4 Sistem tsb mempunyai satu pemecahan c4 Sistem tsb mempunyai tak terhingga banyak pemecahan '. unjukkanlah bah"a jika soal nomor F sistemnya konsisten maka setidak$tidaknya satu persamaan dapat dibuang dari sistem tersebut tanpa mengubah himpunan pemecahan : -. 5isalkan k = l = m dalam soal nomor F. unjukkan bah"a sistem tsb harus konsisten apakah yang dapat dikatakan titik potong dari ketiga garis tsb jika sistem tsb mempunyai satu pemecahan. G. injaulah sistem persamaan$persamaan : x +y +2& =a x + &=b 38
2x+y+)&= c Perlihatkan bah"a supaya sistem ini konsisten maka a b dan c harus memenuhi c = a + b H 1,. ?uktikan jika persamaan linear x 1 +kx2 = c dan x 1 + lx2 = d mempunyai himpunan pemecahan yang sama maka persamaan tsb identik
ELEMENASI GAUS
Dalam bagian ini akan dibahas cara sistematis atau pemilihan langkah$langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear cara ini didasarkan atas pemikiran mereduksi matriks yang diperbesar. Si/at$si/at matriks yang berbentuk eselon baris yang direduksi sebagai berikut : 1. Sebuah baris yang tidak semuana nol maka bilangan yang tidak nol pertama adalah 1 3yang dinamakan 1 utama4I 2. Sebuah baris yang seluruhnya nol maka semua baris yang seperti ini dikelompokkan bersama$sama di ba"ah matriksI ). Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang tidak semuanya nol maka 1 utama diatas lebih kekiri daripada 1 utama yang ba"ahI (. Setiap kolom yang ada 1 utama harus nol ditempat lain. 39
ika ada sebuah matriks hanya mempunyai si/at$si/at 1 2 dan ) disebut matriks dalam bentuk eselon baris. Sedangkan #ariabel yang bersesuaian dengan 1 utama didalam matriks diperbesar disebut #ariabel$#ariabel utama. %ontoh 1 5atriks dalam bentuk eselon baris yang direduksi : 1
J
,
,
,
J
1
,
,
G
,
,
1
,
,
J
,
1
,
-
,
,
,
1
,
J
,
,
1
(
,
,
,
,
1
J
5atriks dalam bentuk eselon baris : 1
J
J
J
J
J
1
J
J
J
,
,
1
J
J
J
,
1
J
J
,
,
,
1
J
J
,
,
1
J
,
,
,
,
1
J
%ontoh 2 ika diketahui matriks yang dipebesar untuk sistem persamaan linear telah direduksi menjadi bentuk eselon baris yang direduksi : 1
,
,
,
,
1
)
,
,
,
,
1
entukan penyelesaiannya :
a"ab : Pada baris yang ketiga didapat persamaan : 7x1 + 7x2 + 7x) = 1 karena persamaan ini tidak pernah dapat dipenuhi maka sistem tsb tidak ada penyelesaiannya. Selanjutnya kita akan memberikan sebuah cara yang sistematis yaitu : 1. ;lemenasi <0S B7@D<8 2. ;lemenasi <0S ;A;5;8
%ontoh : Selesaikan persamaan linear berikut : x1 + ( x2 + ) x) + x( = * 2 x1 + ) x2 + ( x) ) x( = $2 ( x1 + x2 2 x) + x( = ( ) x1 2 x2 + * x) + ) x( = 2 a4 Dengan metoda ;lemenasi aus b4 Dengan metoda ;lemenasi aus Bordan a"ab : a4 5etoda aus Dalam bentuk matriks diperbesar 1 2 ( )
( ) 1 $2
) ( $2 *
?) + 3$)4 ?2 ?( + 3$)4 ?2 1 , , , ?( + 3$(4 ?)
( 1 , $*
1 $) 1 )
* $2 ( 2
?2 + 3$24 ?1
1 , , ,
?) + 3$(4 ?1 ?( + 3$)4 ?1
1 , , ,
( $* , 1
) $2 $2
1 $* 12 1*
) 2 2 $2 1 , ,
1 1* $) $* ( 1 ,
* 2) ?( + 3*4 ?2 $* $12 ) 1 * ) 1* 2) 2 $) $*
,
,
,
-2
* $12 2, 2)
12)
$
1 4
3 2
x) = $ x) = $
3 2 5 2 5 2
-
( 1 , , 1 , ,
) ) 2 ( 1 ,
1 * 1* 2) $) $* ', 1,) ) 1 * 2 1* 2) 1 $ 3 $ 5
?(
,
,
,
?)
1 2
1 2
substitusi persamaan 3)4 + +
3 2 3 2
x( 3 2
1 4
=$
x2 = 2) 2 x ) $ 1* x( x2 = 2) 2 $
1 4
$ 1*
3 2
substitusi persamaan 324
=1
x1 = * $ ( x2 $ ) x) $ x( 1 4
3 2
1 4 41
* $12 $1F $1)
1 , , ,
Dengan menggunakan substitusi balik didapat : x( =
1 $* $) ,
?2 $$$$$ ?(
5 2 3 2
x( =
) $2 $1( $(
?)
5atriks terakhir sudah berbentuk matriks eselon baris 6alau ditulis dalam bentuk sistem : x1 + ( x2 + ) x) + x( = * x2 + 2 x) + 1* x( = 2) x) $ x( = $
( $* $1* $1(
12
32 2
= * ( 314 $ ) $
$
=
adi penyelesaian sistem tersebut adalah : 1 4
x1 =
x) = $
x2 = 1 b)
x( =
1 4 3 2
5etoda aus Bordan yaitu melanjutkan matriks terakhir pada penyelesaian metoda aus yaitu yang sudah berbentuk eselon baris. 1 ( ) 1 * ,
1
2
1*
,
,
1
3 2
,
,
?1 + 3$)4 ?)
?2 + 3$24 ?)
adi :
x1 =
,
1
?1 + 3$14 ?(
2) $
5 2 3 2
?2 + 3$1*4 ?( ?) +
3 2
?(
1
(
)
,
,
1
2
,
,
,
1
,
,
,
,
1
$
7 2 1 2 1 4 3 2
1
(
,
,
9 2
1
,
,
,
1 4
,
1
,
,
1
,
1
,
,
1
,
,
1
,
,
,
1
,
,
,
,
1
,
,
,
1
1 4
x) =
x2 = 1
x( =
$
1 4 3 2 1 $ 4 3 2
?1 + 3$(4 ?)
$
1 4 3 2
A<9K<8 .2 1. Bang manakah dari yang berikut yang dalam bentuk eselon baris yang direduksi C a4
b4
c4
1 , ,
, , ,
, 1 1
, 1
1 ,
, ,
,
,
,
1 , ,
1 1 ,
, , ,
d4
e4
/4
1 , ,
2 , ,
, 1 ,
) 1 ,
, , 1
,
,
,
,
,
1 ,
, ,
, 1
* )
,
1
,
(
1 ,
, 1
) 2
1 (
2. Bang manakah dari yang berikut dalam bentuk eselon baris C a) 1 2 ) c4 1 1 , , , , , 1 , , , 1 , , , 42
e4
2 , ,
) 1 ,
( 2 )
b)
1
$'
*
*
,
1
)
2
d4
1
)
,
2
,
/4
,
,
,
1 , 2 2 , , , , , , , , 1 , , , , , , , , ). Dalam tiap bagian misalkanlah bah"a matriks yang diperbesar untuk sebuah sistem persamaan persamaan linear telah direduksi oleh operasi baris elementer menjadi bentuk eselon baris yang direduksi seperti berikut. unjukkanlah pemecahan sistem tsb : a4 1 , , ( c4 1 * , , * $1 , 1 , ) , , 1 , ) 1 , , 1 2 , , , 1 ( 2
b4
4.
d4
,
,
,
,
1
2
,
,
1
,
,
)
2
,
1
,
$1
(
,
,
1
,
,
,
1
1
2
,
,
,
1
,
,
Dalam setiap bagian misalkan bah"a matriks yang diperbesar untuk sebuah sistem persamaan linear telah direduksi oleh operasi baris menjadi bentuk eselon baris yang direduksi pecahkan sistem tsb H a4 1 2 , 1 , ,
$( $2 1
2 $1 2
c4
b4
1 , ( ' 1, d4 , 1 $) $( $2 , , 1 1 2 *. Pecahkanlah setiap sistem yang berikut dengan
1 , ,
* , ,
$( 1 ,
, 1 1
$' ' (
$* ) 2
,
,
,
,
,
,
1 2 2 2 , 1 ) ) , , , 1 menggunakan elemenasi aus Bordan dan
elemenasi aus H a4 x1 + x2 + 2 x) = $ x1 2 x2 + ) x) = 1 ) x1 ' x2 + ( x) = 1, b4
2 x1 + 2 x2 + 2 x) = , $2 x1 + * x2 + 2 x) = , $' x1 + ' x2 + x) = ,
c4
x y + 2 & " = $1 2 x + y 2 & 2 " = $2 $x + 2 y ( & + " = 1 )x
)"=$)
F. Pecahkanlah sistem$sistem berikut dimana a b dan c adalah konstante H a4 2 x + y = a 43
)x+Fy=b b4
x1 + x2 + x) = a 2 x1 + 2 x) = b ) x2 + ) x) = c '. 0ntuk nilai$nilai a yang manakah sistem berikut : a4 idak mempunyai pecahan : $( b4 Satu pecahan : ( ak terhingga banyaknya pecahan ( x1 + 2 x2 ) x) = ( )x1 x2 + *x) = 2 ) x1 x2 + 3a2 1(4 1) = a + 2 -. unjukkan bah"a jika ad bc L , maka : Sistem ax + by = k cx + dy = l 5empunyai persis satu pemecahan : c)
JJJJJJJJJJJ
SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN
Dalam suatu masalah sistem persamaan linear mungkin kita akan meneliti berapa banyak pemecahan yang dimiliki oleh sistem tersebut. Dalam bagian ini kita lihay beberapa kasus yang terjadi pada sistem persamaan linear homogeny. Sistem persamaan linear homogeny cirinya adalah semua suku konstan sama dengan nol kalau ditulis dalam bentuk aljabar : 44
a11 x1 + a12 x2 + !!!!!! + a1n xn = , a21 x1 + a22 x2 + !!!!!! + a2n xn = , . . am1 x1 + a12 x2 + !!!!!! + amn xn = , Perlu diingat bah"a sistem linear homogen adalah sistem yang konsisten ini karena x 1 = , !. xn = , selalu merupakan penyelesaian. 6arena sistem persamaan linear homogen sistem yang konsisten maka aka nada 2 kemungkinan pemecahannya yaitu : 1. Sebuah pemecahan yaitu x1 = , !.. xn = , yang biasanya disebut pemecahan @9M9
2
$1
,
1
,
1
1
$2
,
$1
,
$1
$1
2
$)
1
,
$1
$1
2
$)
1
,
1
1
$2
,
$1
,
2
2
$1
,
1
,
1
1
$2
,
$1
,
2
2
$1
,
1
,
,
,
1
1
1
,
,
,
1
1
1
,
?2 + 314 ?1
?)
?1
1
1
$2
,
$1
,
1
1
$2
,
$1
,
,
,
$)
,
,
,
,
1
1
1
,
,
)
,
)
,
,
,
)
,
)
,
,
1
1
1
,
,
,
,
$)
,
1
1
$2
,
$1
,
1
1
$2
,
$1
,
,
1
1
1
,
,
,
1
1
1
, ?(
?2
, ?) + 3$24 ?1 , ,
, ?)
1 3
?) + 3$14 ?2
, 45
,
,
1
,
1
,
,
,
,
$1
,
,
,
,
$)
,
,
,
,
,
$)
,
1
1
$2
,
$1
,
1
1
$2
,
$1
,
,
1
1
1
,
,
,
1
1
1
,
,
,
1
,
,
,
,
,
1
,
,
,
,
$)
,
,
,
,
,
,
,
, ,
, ?( + 3)4 ?)
, ?) 3$14 , , Sistem persamaan yang bersangkutan adalah : x1 + x2 2 x)
$ x* = ,
x) + x( + x* = , x(
=,
Dengan memecahkan #ariabel utama 3ingat 1 utama4 didapatkan : x( = ,
substitusi persamaan 2
x) = $x( x* = $t
ambil sembarang bilangan x * = t substitusi persamaan 1
x1 = $x2 + 2 x) + x*
ambil sembarang bilangan x 2 = s
= $s + 2 3$t4 + t = $s t adi penyelesaian sistem tersebut adalah : x1 = $s t
x( = ,
x2 = s
x* = t
x) = $t A<9K<8 ): 1. anpa menggunakan kertas dan pensil tentukanlah yang mana diantara sistem homogen berikut yang mempunyai penyelesaian tri#ial a4 ) x1 + ( x2 + ' x) = , x1 + x2 $ - x) = , b4
x1 + x2 = , ( x1 + ( x2 = ,
c4 F x1 + * x2 + x) = , x2 + ( x) = , 2 x) = , 46
2. Soal seperti nomer 1 pecahkanlah sistem persamaan homogen tsb H ). 0ntuk nilai a yang manakah sistem persamaan linear homogen berikut mempunyai pemecahan yang tak tri#ial C 3a)4x+
y=,
x+3a)4y=, (. Perhatikan sistem persamaan : ax + by = , cx + dy = , ex + /y = , ?icarakanlah kedudukan relati/ dari garis$garis : ax + by = , cx + dy = , dan ex + /y = , bila : a4 Sistem tersebut mempunyai penyelesaian tri#ial b4 Sistem tersebut mempunyai penyelesaian tak tri#ial *. injaulah sistem persamaan$persamaan : ax + by = , cx + dy = , a4 unjukkan bah"a jika x = x , y = y, adalah suatu pemecahan dan k adalah suatu konstanta maka x = kx , y = ky, adalah juga sebuah penyelesaian. b4 unjukkan bah"a jika x = x ,I y = y, dan x = x 1I y = y1 adalah sembarang dua penyelesaian maka x = x, + x1 y = y, + y1 adalah juga pemecahan. F. injaulah system persamaan$persamaan: ax + by = k ax + by = , 3i4 3ii4 cx + dy = l cx + dy = , a4 unjukkan bah"a jika x = x 1I y = y1 dan x = x 2I y = y2 kedua$duanya adalah pemecahan dari 3i4 maka x = x1 x2 y = y1 y2 adalah sebuah pemecahan dari 3ii4I b4 unjukkan bah"a jika x = x 1I y = y1 adalah sebuah pemecahan dari 3i4 dan x = x ,I y = y, adalah sebuah pemecahan dari 3ii4 maka x = x 1 + x, y = y1 + y, adalah sebuah pemecahan dari 3i4
JJJ JJJ
BAB IV RUANG – RUANG VEKTOR
Sebelum membahas ruang #ektor namun perlu kita lihat dulu ruang #ektor @ n De/inisi 47
@uang #ektor @ n adalah himpunan dari semua tupel n terorder 3urutan dari n bilangan riel4 yang dinotasikan dengan 3a 1 a2 !! an4. ika n = 2 dan n = ) biasanya dide/inisikan istilah pasangan terorder dan tripel terorder dan bukan tupelo 2 terorder dan tupelo ) terrder. De/inisi 1. 6esamaan dua #ector dide/inisikan x = 3x 1 x2 !!.. xn4 N @ n dan # = 3# 1 #2 !.. #n4 N @ n maka x dan # dikatakan sama jika dan hanya jika unsure yang terletak bernilai sama yaitu x 1 = #1 I x2 = #2 !.. !!.. xn = #n 2. 7perasi$operasi # standart untuk @ n 2.1 umlahan dari #ector dide/inisikan sebagai berikut x + # = 3x1 x2 !!.. xn4 + 3#1 #2 !.. #n4 = 3x1 + #1 x2 + #2 !!.. xn #n4 adi terlihat hasil dari jumlahan 2 #ektor di @ n adalah dengan menjumlahkan komponen$ komponen yang seletak. 2.2 Perkalian #ektor dengan skalar dide/inisikan sebagai berikut kx = k3x1!!.. xn4 = 3kx1 kx2 !!.. kxn4 k N @ adi terlihat hasil 36 adalah dengan mengalikan setiap komponen pada #ektor x dengan k. Si/at$si/at penjumlahan #ektor > perkalian skalar dan gabungan operasi ;7@;5< 3?ukti sebagai latihan4 0ntuk x # " @ n dan k l N @ maka 14 Si/at tertutup @ n terhadap penjumlahan x + # N @ n 24 6omutati/ x+#=#+x )4
%<<<8 eorema 1 sampai dengan * berkaitam dengan operasi penjumlahan F sampai dengan berkaitan dengan operasi perkalian skalar dan operasi perkalian skalar. Aatihan (: 1. 5isalkan x = 3( $- 2 *4 # = 3) F ( 24 dan " = 32 , ( G4. KitungH a. '# + (" b. x + # c. - 3x+#4 2. 5isalkan : x1 = 3$1 ) 2 ,4 x)= 3' 1 1 (4 x2 = 32 , ( $14 x( = 3F ) 1 24 %arilah skalar$skalar k 1 k 2 k ) dan k ( sehingga k 1x1 + k 2x2 + k )x) + k (x( = 3, * F $)4 3. ?uktikan. ika x x N @ n O N @ maka a. , x = , 48
b. O , = , c. O x = , maka O = , atau x = , @0<8 M;67@ 0505 6alau kita bicara ruang #ektor umum maka kita memerlukan himpunan benda$benda yang unsure$unsurnya mungkin berbentuk dari system bilangan riel system matriks yang berukuran m x n lain$lain dan selanjutnya kita akan menyatakan sehimpunan aksioma$aksioma yang jika dipenuhi oleh sekelompok benda tersebut disebut M;67@. D;989S9 @0<8 M;67@ ika M adalah sembarang himpunan benda dan dide/inisikan dua operasi yaitu penjumlahan dan perkalian skalar jika 1, aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda x # dan " didalam # dan skalar k dan l maka # disebut @0<8 ;67@ dan benda$benda tersebut disebut M;67@. 1, aksioma tersebut adalah ertutup penjumlahan x + # N # 2. x + # = # + x ). x + 3#+"4 = 3x+#4 + " (.
%ontoh ika diketahui # = 3x 1 x24 x1 N @ 2 x2 N @ 2 dan dide/inisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut 3x1 x24 + 3y1 y24 = 3x1 y14 + 3x2 $ y24 O 3x1 x24 = 3Ox1 Ox24 Selidiki apakah # merupakan ruang #ektor 5isalnya : x # " dan k l adalah skalar ambil aksioma 2
x+#=#+x x + # = 3x1 x24 + 3y1 y24 = 3x1 $ y14 + 3x2 $ y24 = 3$ 3y1 $ x14 $ 3y2 $ x244 = $ 3y1 $ x1 y2 $ x24 = $ 33y1 y24 + 3x1 x244 = $ 3# + x4 x + # = $ 3# + x4 adi aksioma 2 tak terpenuhi
adi # dengan operasi penjumlahan dan perkalian scalar bukan ruang #ektor %ontoh ika diketahui # adalah semua pasangan bilangan 3x1 x24 dimana x1 x2 N @ 2 dan dide/inisikan operasi$operasinya sebagai berikut 49
3x1 x24 + 3y1 y24 = 3x1y1 x2y24 O 3x1 x24 = 3O + x1 O + x24
Selidiki apakah M merupakan ruang #ektorC a"ab 5isalnya x # " N M dan k l N @ Dimana x = 3x 1 x24
1x = x 1x = 13x1 y14 = 31 + x1 1 + y14 L x
Didalam latihan 1$1( sebuah himpunan benda$benda diberikan bersama$sama dengan penambahan dan perkalian skalar. entukan himpunan mana yang merupakan ruang #ektor diba"ah operasi yang diberikan. 0ntuk himpunan yang bukan merupakan ruang #ektor da/tarkan semua aksioma yang gagal dipenuhi. 1. Kimpunan semua tripel bilangan riil 3x y &4 dengan operasi$operasi 3x y &4 + 3xQ yQ &Q4 = 3x + xQ y + yQ & + &Q4 k3x y &4 = 3kx y &4 2. Kimpunan semua tripel bilangan riil 3x y &4 dengan operasi$operasi 3x y &4 + 3xQ yQ &Q4 = 3x + xQ y + yQ & + &Q4 k3x y &4 = 3, , ,4. ). Kimpunan semua tripel bilangan riil 3x y4 dengan operasi$operasi 3x y4 + 3xQ yQ4 = 3x + xQ y + yQ4 k3x y4 = 32kx 2ky4 (. Kimpunan semua tripel bilangan riil x dengan operasi$operasi penambahan standard an perkalian standar *. Kimpunan semua pasangan bilangan riil yang berbentuk 3x ,4 dengan operasi$merupakan standar pada @ 2 F. Kimpunan semua pasangan bilangan riil yang berbentuk 3x y4 dimana x R , dengan operasi$ '. -. G. 1,.
operasi standar pada @ 2 Kimpunan semua tripel n bilangan riel yang berbentuk 3 x x 2 x)!.. xn 4 Kimpunan semua pasangan bilangan riel 3 x y 4 dengan operasi$operasi : 3 x y4 + 3 x 1 y14 = 3 x+x1+1 y+y1+14 k 3 x y 4= 3 kxky4 Kimpunan semua bilangan riel positip x dengan operasi$operasi : x + x = xx kx = xk Kimpunan semua matrix 2x2 yang berbentuk 50
a 1 1 a dengan penambahan matrik dan perkalian skalar 11. Kimpunan semua matrik 2x2 yang berbentuk a 1 , a dengan operasi penambahan matrik dan perkalian scalar. 12. Kimpunan semua /ungsi bernilai riel / dengan dide/inisikan di semua titik pada garis riel sehingga / 314= , dengan operasi standart 1). Kimpunan semua matriks 2x2 yang berbentuk : a a+b
a+b b
dengan penambahan matriks 2 perkalian sklar.
1(. Kimpunan yang elemen satu satunya adalah bukan operasi$ operasinya bukan + bukan = bukan k 3 bukan 4 = bukan 1*. 5isalkan # adalah sembarangan ruang #ektor ut# dan k sebuah scalar maka buktikan : a. au = , b. k, =, c. 3 $ 14 u = $n d. ika ku=, maka k = , atau u = ,
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
BAB V SUB RUANG
D;989S9 51
ika diketahui " adalah sub himpunan dari ruang #ektor # maka " disebut S0? @0<8 dari # jika " itu sendiri merupakan sebuah ruang #ektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian scalar yang dide/inisikan pada #. 5enurut de/inisi diatas jelas bah"a sub ruang itu harus memenuhi 1, aksioma karena sub ruang itu merupakanruang #ektor. 0ntuk mengetahui " adalah sub ruang dari ruang #ektor # kita tidak perlu membuktikan 1, aksioma tetapi menurut teorema berikut yang diperlukan hanya aksimo ( dan * ;7@;5< ika " adalah sebuah himpunan yang tidak kosong dari sebuah ruang #ektor # maka " disebut S0? @0<8 dari # jika 2 syarat yaitu : 1) " tertutup terhadap penjumlahan $$$ u + # N " I u # N " 2) tertutup terhadap perkalian skalar $$$ ku N" I k# N " dan k scalar. ?069 ika " adalah sebuah ruang bagian 3 sub ruang 4 dari # maka semua aksioma ruang #ektor harus dipenuhi anggap syarat 314 dan 324 berlaku karena syarat 314 dan 324 juga untuk ruang #ektor maka kita hanya perlu membuktikan bah"a " memenuhi aksoima yang lain yaitu aksioma 2 ) ( * ' - G 1, padahal aksioma 2 ) ' - G 1, secara otomatis dipenuhi oleh #ektor$#ektor didalam " karena aksioma$aksioma tersebut dipenuhi oleh semua #ektor didalam # maka untuk melengkapi bukti tersebut yaitu aksioma ( dan *. 5isalkan u adalah sembarangan #ektor didalam " menurut syarat 324 maka ku berada dalam " untuk setiapk dengan mengambil k=, maka , u = , N " aksioma ( terpenuhi yaitu ada #ektor , N " dengan mengambil k = $1 naka $1 u = $ u N" aksimo * terpenuhi yaitu ada #ektor u N ". adi terbukti bah"a " juga merupakan ruang #ektor. %787K 1. Diketahui " adalah semua matriks yang berbentuk a dimana a + d = ,. <= c entukan apakah " merupakan sub ruang atau bukan H <
Syarat Sub @uang 14 ertutup penjumlahan 24 ertutup perkalian skalar 5isal: u = $d1 b1 N " c1 d1 14
24
u + # = $d b1 + c1 d1 = $d1 + d2 b1+ b2 c1+ c2 d1+d2
u+#N" ku N" # = $d2 c2
I
d c2
$ 2
b2 d2 N "
52
d d2 c1 + c2
= $ 1$
b2 d2
b1 + b2 d1 + d2
N "
b d
k u = k $d b1 k b1 N " = $ k d1 c1 d1 k c1 k d1 6arena syarat sub ruang terpenuhi maka " adalah ruang dari 5 22. %787K 2. ika " adalah /ungsi nol dan /ungsi polynomial riel yang berderajat n dimana n bilangan bulat positi/. entukan apakah " merupakan sub ruang dari ruang #ektor semua /ungsi bernilai riil. <
misal :
# = a,2 + a12 x + a22 x2 + !. + an2 xn 14
u = 3a1 b1 c14 N " dimana b 1 = a1 + c1 + 1 # = 3a2 b2 c24 N " dimana b2 = a2 + c2 + 1
(1)
u+ # N "
u + # = 3 a 1 b1 c1 4 + 3 a2 b2c2 4 = 3 a1 a1 + c1+1c1 4 + 3 a2 a2 + c2 +1 4 = 3 a1 + a2 I a1 + a2+c1+c2+2 c1 + c2 4 N " 53
erlihat u + # N " 6arena syarat pertama tidak diketahui maka " adalah semua #ektor yang terbentuk 3 a b c 4 dimana
b = a + c + 1 bukan merupakan sub ruang dari @ ).
A<9K<8 *: 1. unakan teorema diatas untuk menentukan yang mana diantara berikut yang merupakan ruang bagian dari @ ). a4 Semua #ektor yang berbentuk 3 a , ,4 b4 Semua #ektor yang berbentuk 3a 1 14 c4 Semua #ektor yang berbentuk 3 a b c 4 dimana b = a+ c. 2. unakan teorema ( untuk menentukan yang mana diantara berikutnya yang merupakan sub ruang dari 522. a) Semua matriks yang berbentuk a
b
dimana a b c dan d adalah bilangan$bilangan
bulat. c d b4 Semua matriks ( yang berukuran 2 x 2 sehingga <= k 2 adalah bilangan riel.
54
BAB VI BASIS & DEMENSI 6.1 KOMBINASI LINEAR
De/inisi 6ombinasi Ainear Sebuah Mektor M dinamakan kombinasi linear dari #ektor$#ektor x 1 x2 !!!! xn jika dapat dinyatakan Persamaan Mektor M = k 1x1 + k 2x2 + !!!!!! + k nxn dimana k 1 k 2 !!!. k n scalar %ontoh ika diketahui #ektor$#ektor x 1 = 31 2 $14 dan x 2 = 3F ( 24 didalam @ ). entukan : a.
F 1 ,
G 2 ,
Sehingga # = $)x 1 + 2x2 jadi # 6ombinasi Ainear dari x 1 dan x2 b4 Supaya " 6ombinasi Ainear dari x 1 dan x2 maka harus ada k 1 dan k 2 Sehingga " = k 1x1 + k 2x2 3( $1 -4 = k 1 31 2 $14 + k 2 3F ( 24 3a, + a1x + a2x24 = 3$(k 1 + Fk 2 + -k )4 + 3k 1 + *k 2 + (k )4x + 3)k 1 + 2k 2 + k )4x2 Dari sini didapat sistem persamaan linear $(k 1 + Fk 2 + -k ) = a, k 1 + *k 2 + (k ) = a1 )k 1 + 2k 2 + k ) = a2 $(
F
-
k1
a,
1
*
(
k2
a1
)
2
1
k)
a2
det
$(
F
-
1
*
(
=
$(3* $ -4 F31 $ 124 + -32 $ 1*4
)
2
1
=
$ (3)4 F3$114 + -3$1)4 = $2F L ,
6arena det < L , ini berarti untuk sembarang nila a , a1 a2 sistem Persamaan Ainear tersebut konsisten dan dapat disimpulkan bah"a himpunan #ektor S merentang P 2 karena sembarang #ektor # dapat dibuat kombinasi Ainear dari M 1 M2 M). %atatan %ara lain untuk mengetahui merentang atau tidak yaitu system persamaan Ainear diatas diselesaikanlah kalau didapatkan nilai k 1 k 2 dan k ) berarti merentang dan sebaliknya jika tak didapatkan k 1 k 2 dan k ) berarti tidak merentang. %ontoh 2 entukan apakah M 1 = 31 1 24I M2 = 31 , 14 dan M) = 32 1 )4 merentang @ ) atau bukan. a"ab
= k 1M1 + k 2M2 + k )M)
3b1 b2 b)4
= k 131 1 24 + k 231 , 14 + k )32 1 )4
3b1 b2 b)4
=
3k1 k 1 k 14 + 3k 2 , k 24 + 32k ) k ) )k )4
3b1 b2 b)4
=
3k1 + k 2 + 2k )4 3k 1 + k ) 2k 1 + k 2 + )k )4
=
3k 1 + k 2 + 2k )4 k 1 + k ) 2k 1 + k 2 + )k )4
Didapat sistem k 1 + k 2 + 2k ) = b1 3( $1 -4
= 3k 1 + Fk 2 2k 1 + (k 2 $k 1 +2k 24
Didapat sistem k 1 + Fk 2 = ( 56
2k 1 + (k 2 = $1 $k 1 +2k 2 = 6alau ditulis dalam bentuk matriks diperbesar 1
F
(
2
(
$1
$1
2
-
1
F
(
,
1
G-
,
-
12
?2 + 3$24 ?1 ?) + ?1
?) + 3$-4 ?2
1
F
(
,
$-
$G
,
-
12
1
F
(
,
1
G-
,
,
)
?2 3$1-4
6alau ditulis dalam sistem lagi x1 + Fx2 = ( x2 = G7x1 + 7x2 = ) erlihat pada persamaan yang ketiga 7x1 + 7x2 = ) adalah persamaan yang tidak pernah terpenuhi maka system diatas tidak konsisten ini berarti tidak ada nilai k 1 > k 2. adi bukan 6ombinasi Ainear x 1 > x2 6.2 RENTANGAN DARI RUANG VEKTOR
De/inisi : ika #1 #2 !!. #n adalah #ektor$#ektor didalam ruang #ektor M dan jika tiap$tiap #ektor didalam M dapat dibuat 6ombinasi Ainear dari # 1 #2 !!. #n maka himpunan #ektor$#ektor # 1 #2 !!.. #n disebut 5;@;8<8 di M. %ontoh : entukan apakah himpunan #ektor S = 3# 1 #2 #)4 didalam P 2 dimana M1 = $( + x + )x2 M2 = F + *x + 2x 2 M) = - + (x + x 2 5erentang pada P2 atau bukanC a"ab :
Pada bab yang lalu telah kita ketahui bah"a sebuah #ektor M direntang oleh sebuah himpunan #ektor S = # 1 # 2 !!. #n jika tiap$tiap #ektor didalam M dapat dibuat 6ombinasi Ainier dari # 1 #2 !!. #n Kimpunan$himpunan perentang sangat berguna dalam ruang #ektor M dengan mempelajari terlebih dahulu #ektor$#ektor perentang tersebut. Persoalan untuk mendapatkan himpunan perentang S yang terkecil untuk sebuah ruang #ektor bergantung pada pengertian kebebasan linier. De/inisi ika himpunan #ektor S = U # 1 #2... #nV didalam ruang #ektor M maka #ektor$#ektor # 1 #2 !. #n dikatakan M;67@ S
De/inisi Suatu himpunan #ektor$#ektor S = U # 1 # 2... #nVadalah sebuah himpunan #ektor$#ektor yang berhingga didalam # maka S disebut ?
(1)
0ntuk membuktikan apakah S saling bebas linier perhatikan persamaan #ector k 1 #1 + k 2 #2 + k ) #) = , k 1 31 1 14 + k 2 31 2 ,4 + k ) 31 ) 24 = 3, , ,4 3k 1 + k 2 + k ) 2k 2 + )k ) k 1 + 2k )4 = 3, , ,4 Didapat sistem : k 1 + k 2 + k ) = , k 1 + 2k 2 + )k ) = , k 1 + 2k ) = , 1 1 1 k1 , 1 2 ) k2 = , 1 , 2 k) ,
1 1 1 det 1 2 ) = 13(4 13$14 + 13$24 = ) 1 , 2 det < L , ini berarti bah"a S adalah bebas linear (2) 0ntuk membuktikan apakah S merentang di M ambil sembarang #ektor M = 3b1 b2 b)4 @ ) Perhatikan persamaan #ector k 1 #1 + k 2 #2 + k ) #) = b k 1 31 1 14 + k 2 31 2 ,4 + k ) 31 ) 24 = 3b 1 b2 b)4 k 1 + k 2 + k ) = b1 k 1 + 2k 2 + )k ) = b2 k 1 + 2k ) = b) 1 1 1 k1 b 1 1 2 ) k2 b 2 1 , 2 k) b )
1 1 1
1 2 ,
1 ) 2
=)L ,
det < L , ini berarti S adalah merentang di M karena syarat basis dipenuhi jadi S adalah ?
k ) = a2
det
1 , ,
1 , , 1 $1 ,
1 $1 , 1 $2 1
1 $2 1
k1 k2 k)
a, = a1 a2
= 13$14 13,4 + 13,4 = $1
det < L , ini berarti berapapun nilai a , a1 a2 sistem konsisten sehingga dapat disimpulkan bah"a S adalah merentang P 2 24
det
1 1 1
1 2 ,
1 ) 2
k1 k2 k)
a, a1 a2
k 1 + k 2 + k ) = , $k 2 $ 2k ) = , k ) = ,
1 1 1
1 2 ,
1 ) 2
= 1 L , karena det 3<4 L ,
9ni berarti bah"a system tersebut mempunyai penyelesaian tri#ial sehingga dapat disimpulkan bah"a S adalah #ektor$#ektor yang saling bebas linear. erlihat bah"a syarat basis dipenuhi maka S adalah ?
;7@;5< 3?069 S;?<<9 A<9K<84 ika S U #1 #2 #)V adalah sebuah basis untuk sembarang #ektor M maka tiap$tiap himpunan #ektor dengan lebih daripada n #ektor akan tidak bebas linear. De/inisi Sebuah ruang #ektor tak nol M disebut ?;@D;5;8S9 ?;@K98< jika ruang #ektor tersebut mengandung sebuah himpunan #ektor yang berhingga # 1 #2 !! #n yang membentuk sebuah basis dan jika himpunan #ektornya tak berhingga disebut ?;@D;5;8S9 <6 ?;@K98< ambahan ruang #ektor nol tidak ada basisnya karena tidak ada himpunan #ektor yang bebas linear. ;7@;5<
60
Setiap dua basis untuk sebuah ruang #ektor berdemensi berhingga mempunyai banyak #ektor$ #ektor yang saling bebas linear maka menurut teorema diatas m T n demikian juga S 2 adalah #ektor$#ektor yang saling bebas linear maka n T m dari dua pernyataan diatas dapat diambil kesimpulan bah"a m = n jadi terbukti bah"a S 1 dan S2 mempunyai jumlah #ektor yang sama.
;7@;5< 3?069 S;?<<9 A<9K<84 ika S = U #1 #2 !! #nV adalah basis untuk ruang #ektor M maka tiap$tiap #ektor # di M dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari # 1 #2 !! #n secara tunggal. D;989S9 D;5;8S9 M adalah ruang #ektor berdemensi berhingga. 5aka demensi dari M adalah banyaknya #ektor didalam basis M dan jika untuk ruang #ektor nol demensinya 3ingat tidak ada basis4 %ontoh entukanlah sebuah basis dan demensi untuk ruang pemecahan dari system homogen 2 x1 2 x2 x)
+ x* = ,
$ x1 x2 + 2 x) ) x( + x* = , x1 + x2 2 x)
x* = ,
x) + x( + x* = , a"ab Pada bab 9 telah diperlihatkan bah"a penyelesaian soal ini adalah himpunan #ektor x1
$st
x2
s
x)
$t
x(
,
x*
t
Aalu dari penyelesaian itu yaitu semua #ektor yang berebentuk $st s x
=
$t , t
akan kita tentukan basis dan demensinya $st
$s
$t
s
s
, 61
x =
$t
+ k2 ,
,
,
,
t
,
t
=s
5isal #1
$1
$1
1
,
,
+ t
,
,
,
1 $1
1
, #2 =
t
1
$1 ,
=
1
,
,
,
1
(ii)
k 1
$1
$1
,
1
,
,
,
+ k 2
$1
=
,
,
,
,
,
1
,
Didapat sistem $ k 1 k 2 = , k 1
=, $ k 2 = , k2 = ,
jadi k 1 = , dan k 2 = ,
adi #1 dan #2 #ektor$#ektor yang salah bebas linier. Syarat basis dipenuhi oleh # 1 #2 adi himpunan #ektor U # 1 #2V adalah basis dan demensinya untuk adalah 2 3jumlah #ektor dalam basis4 ;7@;5< 62
ika kita kebetulan mengetahui ruang #ektornya mempunyai demensi n 3ini berartibanyak #ektor dalam basisnya adalah n katakanlah U # 1 #2 !.. #nV maka kita hanya membuktikankan merentang saja atau bebas linier saja sudah cukup membuktikan ?
p( = $2 + 2x 2 x 2
(. Diketahui S = U#1 #2 #)V N @ ) dimana #1 = 31 $1 14 #2 = 3$1 2 24 dan #) = 3$) * F4 entukanlah apakah merentang @ )
A<9K<8 ': 6;?;?
d4 1 + )x + )x2 x + (x2 * + Fx + )x2 ' + 2x x2 (. 0ntuk nilai riel t yang manakah #ektor$#ektor yang berikut membentuk himpunan yang tidak bebas linier didalam @ ) #1 = 3t $ E $ E4 #2 = 3$ E t $ E4 #) = 3$ E $ E t4 *. 5isalkan S = #1 #2 !!. #n adalah sebuah himpunan #ektor didalam sebuah ruang #ector #. unjukkanlah bah"a jika salah satu dari #ektor$#ektor tersebut sama dengan nol F. ika #1 #2 #) adalah sebuah himpunan #ektor$#ektor yang bebas linier. unjukkan bah"a U# 1 #2V U#1 #)V U#2 #)V. U#1V U#2V U#)V adalah yang merupakan himpunan bebas linier '. ika #1 #2 #) adalah himpunan #ektor$#ektor yang tak bebas linier didalam ruang #ektor #. unjukkan bah"a # 1 #2 #) adalah tak bebas linier dimana # adalah sembarang #ektor -. entukan nilai k sehingga himpunan #ektor U31 1 24 I 3k 2 14 I 32 ) 24V a4 ?ebas linier b4 ?ergantung linier A<9K<8 -: ?
erangkanlah mengapa himpunan #ektor$#ektor berikut bukan merupakan basis untuk ruang$ruang #ektor yang ditunjukkan 3pecahkan persoalan$persoalan ini berdasarkan pemeriksaan4 a) x1 = 31 24 x2 = 3, )4 x) = 3( '4 untuk @ ) b) x1 = 3$1 ) 24 x2 = 3F 1 14 untuk @ ) c) k = 1 + x + x 2 1 + x 1 untuk p2 d4 < = 1 1 ?= F , %= ) , 2 ) $1 ( 1 ' D= * (
1 2
;= ' 2
1 G
untuk 522
2. Bang manakah diantara tiap$tiap #ektor yang berikut merupakan basis untuk @ 2C a4 32 14 3) ,4 b4 3( 14 3$' $-4 c4 3, ,4 31 )4 d4 3) G4 3$( $124 ). Bang manakah diantara himpunan$himpunan #ektor yang berikut merupakan basis untuk @ 2 a4 31 , ,4 32 2 ,4 3) ) )4 b4 3) 1 $(4 32 * F4 31 ( -4 c4 32 $) 14 3( 1 14 3, $' 14 d4 31 F (4 32 ( $14 3$1 2 *4 (. Bang manakah diantara himpunan #ektor yang berikut merupakan basis untuk P 2 a4 31 )x + 2x24 31 + x + (x + 2x 24 31 'x4 b4 3( + Fx + x24 3$1 + (x + 2x 24 3* + 2x $ x 24 c4 31 + x + x24 3x + x24 x2 d4 3$( x )x24 3F + *x 2x 24 3- + (x $ x4 *. Perlihatkan bah"a himpunan$himpunan #ektor yang berikut merupakan basis untuk 5 22 ) F , $1 , $- 1 , ) $F $1 , $12 $( $1 2 F. 5isalkan M adalah ruang yang direntang oleh # 1 = cos2 x #2 = s2x #) = cos x a4 unjukkanlah bah"a s = 3# 1 #2 #)4 bukan merupakan basis untuk M b4 %arilah sebuah basis untuk M '. entukan basis untuk subruang @ ) yang berikut : 64
a4 ?idang )x 2y + *& = , b4 ?idang x y = , c4 aris : x = 2t y = $t & = (t d4 Semua #ektor yang berbentuk 3a b c4 dim b = a + c -. entukan basis dan demensi dari ruang pemecahan sistem a4 x1 (x2 x) x( = , b4 2x1 -x2 + Fx) 2x( = , c4 2x1 + x2 + )x) = , x1 + x) = , x2 + x) = , G. entukanlah demensi dari subruang @ ( untuk semua #ektor yang berbentuk : a4 3a b c d4 b4 3a b c d4 dimana d = a + b c=a$b c4 3a b c d4 dimana a = b = c = d 1,. entukanlah demensi dari subruang P ) yang terdiri dari semua polinominal a, + a 1 x2 + a2 x2 + a) x) dimana a, = , 6. " RUANG BASIS# KOLOM MATRIKS$ RANK$ PENGGUNAAN PADA PEN%ARIAN BASIS
De/inisi ika diketahui matriks m n yaitu
<
=
a11
a12 !!!! a1n
a21
a22 !!!! a2n
: : am1
: : am2
: : amn
maka #ektor$#ektor : r 1 = 3a11 a12 !! a1n4 r 2 = 3a21 a22 !!. a2n4 : : r m = 3am1 am2 !! amn4 Disebut #ektor$#ektor kolom dari < @0<8 ?
adalah semua #ector yang direntang oleh #ektor$#ektor baris dan ruang baris ini merupakan sub ruang dari N @ n
@0<8 67A75 adalah semua #ector yang direntang oleh #ektor$#ektor kolom dan ruang kolom ini merupakan sub ruan dari @ m 65
;7@;5< 7perasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matrik < ?ukti 5isal #ektor$#ektor baris matriks < adalah r 1 r 2 !.. r m dan matriks ? didapatkan dari ? dengan 7?;.
+am1 k m = ,
a12 k 1+ a22 k 2 !!..!!
+am2 k m = ,
: : : : a1n k 1+a2n k 2
..........................
+
amn k m = ,
Sistem ini mempunyai penyelesaian tri#ial yaitu : k 1 = k 2 = !!! = k m = , jadi terbukti bah"a a 1 a2 !! am saling bebas linier.
;7@;5< 3?069 S;?<<9 A<9K<84 66
Mektor$#ektor baris yang tak nol dalam sebuah bentuk echelon baris dari sebuah matriks < membentuk sebuah basis buntuk ruang baris dari < %ontoh : %arilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh #ektor$#ektor #1 = 31 $2 , , )4 I #2 = 32 $* $) $2 F4 #) = 3, * 1* 1, ,4 I #( = 32 F 1- - F4 a"ab @uang yang direntang oleh #ektor$#ektor # 1 #2 #) dan #( adalah ruang basis dari matriks
<=
1
$2
,
,
)
2
$*
$)
$2
F
,
*
1*
1,
-
2
F
1-
-
F
5atriks < ini dibuat matriks echelon 1
$2
,
,
)
1
$2
,
,
)
2
$*
$)
$2
F ?2 + 3$24 ?1
,
$1
$)
$2
,
,
*
1*
1,
,
,
*
1*
1,
,
2
F
1-
-
F ?( + 3$24 ?1
,
1,
1-
-
,
1
$2
,
,
)
1
$2
,
,
)
,
1
)
2
,
,
1
)
2
,
,
*
1*
1,
, ?) + 3$*4 ?2
,
,
,
,
,
,
1,
1-
-
, ?( + 3$1,4 ?2 ,
,
$12 $12 ,
1
$2
,
,
)
1
$2
,
,
)
,
1
)
2
,
,
1
)
2
,
,
,
$12 $12 , ?) + 3$ E4
,
,
1
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Mektor$#ektor yang tidak nol pada matriks echelon tersebutt adalah : "1 = 31 $2 , , )4 "2 = 3, 1 ) 2 ,4 ") = 3, , 1 1 ,4 67
#ektor$#ektor ini membentuk sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh # 1 #2 #) dan #(. 9ngat ruang basis dari matriks 1 $2 , , ) 2
$*
$)
$2
F
,
*
1*
1,
,
2
F
1-
-
F
@uang kolom dari suatu matriks sama seperti ruang baris dari trans/ernya. Dengan demikian kita dapat mencari basis untuk ruang kolom < melalui pencarian basis untuk ruang baris < dan kemudian mengubah kembali #ektornya menjadi bentuk #ertikal kembali. %ontoh : entukan basis untuk ruang kolom dari < =
1 ) ,
, 2 (
1 * (
1 1 $(
a"ab ?asis untuk ruang kolom < = ?asis ruang baris < kita cari dulu ruang baris < sebagai berikut 1 ) , , 2 ( < = 1 * ( 1 1 $( 6ita buat bentuk echelon baris 1 , 1 1 1 , , ,
) 2 * 1
, ( ( ?) + 3$14 ?1 $( ?( + 3$14 ?1
1 , , ,
) 2 2 $2
, ( ( $(
?2 3$ E4
1 , , ,
) 1 2 $2
, 2 ( $(
) , 1 2 didapat basis untuk ruang baris < adalah , , "1 = 31 ) ,4 I "2 = 3, 1 24 , , Dengan demikian basis untuk ruang kolom < adalah: 1 , "1 = ) "2 = 1 , 2
;7@;5< ika < adalah sembarang matriks maka ruang baris dan ruang kolom dari < mempunyai D;5;8S9 yang sama. ?ukti 5isalnya : a11 a12 !!!! a1n <
=
a21
a22 !!!! a2n
:
:
: 68
: am1
: am2
: amn
dengan #ektor$#ektor baris < adalah r 1 = 3a11 a12 !! a1n4 r 2 = 3a21 a22 !!. a2n4 : : r m = 3am1 am2 !! amn4 misal ruang baris dari < mempunyai demensi k dan basisnya adalah S = Ub 1 b2 ........ bk V dimana bi = 3b i1 bi2 ......... bin4. 6arena S adalah baris berarti r 1 =
k 11 b1
+k 12 b2 !!!..!+ k1k bk
r 2 =
k 21 b1
+k 22 b2 !!..!!+ k2k bk
: : : : r m = k m1 b1
: : +k m2 b2
+k mk bk
substitusi komponen$komponennya didapat 3a11 a12 !! a1n4 = k 11 3b11 !. b1n4 + 3b21 !. b2n4 + k 1k 3bk1 !. bkn4 3a21 a22 !!. a2n4 = k 21 3b21 !. b2n4 + k 2k 3bk1 !. bkn4 : : : : 3am1 am2 !! amn4 = k m1 3b11 !. b1n4 + !!. + k mk 3bk1 !. bkn4 0ntuk komponen yang ke j 3 j = 1 !!. n4 pada < adalah a1j = k 11 b1j + k 12 b2j + !!..! k1k bkj a2j = k 21 b1j + k 22 b2j + !..!! k2k bkj : : : : : : amj = k m1 b1j + k m2 b2j + !!!. kmk bkj atau a1j k 11 k 12 k 1 a2j = b1j k 21 + b2j k 22 + !. + bkj k 2k : : : : : : : : amj k m1 k m2 k mk ruas kiri merupakan #ektor$#ektor kolom pada < untuk kolom yang ke j j = 1 2 ..... n terlihat bah"a setiap #ektor kolom dari < dalam ruang yang direntang oleh k #ektor pada ruas kanan jadi ruang kolom dari < mempunyai demensi T k karena k = dim 3ruang baris dari <4 diperoleh 69
dim 3ruang kolom dari <4 T dim 3ruang baris dari <4 ...................... 3J4 untuk < sembarang jadi boleh < sehingga dim 3ruang kolom dari < 4 T dim 3ruang baris dari < 4 padahal 3ruang kolom dari < 4 = 3ruang baris dari < 4 3ruang baris dari < 4 = 3ruang kolom dari <4 Sehingga dim 3ruang baris dari <4 T dim 3ruang kolom dari <4 ...................... 3JJ4 Dari J dan JJ dapat disimpulkan bah"a dim 3ruang baris dari <4 = dim 3ruang kolom dari <4 De/inisi Demensi ruang baris dan ruang kolom dari matriks < disebut @<86 dari < Perubahan basis ika S = U#1 #2 ....... #nV adalah sebuah basis untuk ruang #ektor M maka skalar k1 k2 ..... kn disebut 677@D98< relati/ kepada basis S jika # = k1 #1 + ....... + kn #n M;67@ 677@D98< dari # relati/ kepada basis S dinotasikan dengan 3M4 s yang merupakan #ektor didalam @ n yang dide/inisikan 3M4 s = 3k1 k2 ....... kn4. Sedangkan 5<@96S 677@D98< dari relati/ kepada basis S dinotasikan dengan 3M4 s yang merupakan matriks yang dide/inisikan k 1 XMYs = k 2 : k n %ontoh ika diketahui S = U#1 #2 #)V adalah sebuah basis untuk @ ) dimana #1 = 31 2 14 I # 2 = 32 G ,4 dan #) = 3) ) (4 a4 entukan #ektor koordinat dan matriks koordinat dari # = 3* $1 G4 terhadap basis S b4 entukan #ektor M didalam @ ) yang #ektor koordinatornya terhadap basis S adalah 3M4 s = 3$ 1 ) 24 a"ab a4 Perhatikan persamaan #ektor M = k 1 #1 + k 2 #2 + k ) #) Dalam bentuk komponen 3* $1 G4 = k 1 31 2 14 + k 2 32 G ,4 + k ) 3) ) (4 Didapat sistem k 1 + 2k 2 + )k ) = * 2k 1 + Gk 2 + )k ) = $1 k 1 + (k ) = G dengan menyelesaikan system ini didapatkan k 1 = 1 k 2 = $1 k 2 = 2 3buktikan4 maka 3M4s = 31 $1 24 dan XMYs = 1 $1 2 b4 3M4s = 3$1 ) 24 = 3k 1 k 2 k )4 M = k1 #1 + k2 #2 + k) #) M = 3$14 31 2 14 + 3)4 32 G ,4 + 324 3) ) (4 M = 311 )1 '4 %ontoh ika basis S = U#1 #2 #)Vuntuk P 2 dimana #1 = 1 #2 = x dan #) = x2 tentukan #ektor koordinat dan matriks koordinat p = a , a1x + a2x2 terhadap basis S a"ab P = k 1 #1 + k 2 #2 + k ) #) a, + a1x + a2x2 = 3k 14 314 + k 2 3x4 + k ) 3x42 70
