Semana 5. Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad del modelo de programación lineal 1. Química del Pacífico es una pequeña empresa que produce diversos productos
químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materias primas primas para elabor elaborar ar dos productos: productos: un aditiv aditivo o para combusti combustible ble y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la prod produc ucci ción ón de gaso gasolilina na y otro otros s comb combus usti tibl bles es rela relaci cion onad ados os.. La base base disolvente disolvente se vende a varias empresas químicas químicas y se utiliza tanto para productos productos de limp limpie ieza za para para el hoga hogarr como como indu indust stri rial ales es.. Para Para form formar ar el adit aditiv ivo o para para comb combus usti tibl ble e y la base base diso disolv lven ente te se mezc mezcla lan n tres tres mate materi rias as prim primas as,, cuy cuya composición y disponibilidad se muestran en la siguiente tabla: Materia Materia Materia Prima 1 Prima 2 Prima 3 Aditivo para combustible Base disolvente Disponibilidad
2/5 1/2 20 ton
0 1/5 5 ton
3/5 3/10 21 ton
Esta tabla muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 2/5 de tonelada de materia prima 1 y 3/5 de tonelada de la materia prima 3. Una tonelada de base disolvente es una mezcla de ½ tonelada de la materia prima 1, 1/5 de tonelada de la materia prima 2 y 3/10 de tonelada de la materia prima 3. Debido al deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe descartarse. La contribución a la utilidad se determinó en 40 dólares por cada tonelada de aditiv aditivo o para para combust combustibl ible e y 30 dólare dólares s por cada tonelada tonelada de base base disolv disolvent ente e producido. Según la administración de la empresa, estos precios asegurarán la venta de todo el aditivo para el combustible y de toda la base disolvente que se produzca. a. ¿Cuántas ¿Cuántas toneladas toneladas de cada cada producto producto deberá producir producir Química Química del del Pacífico Pacífico para maximizar la contribución total a la utilidad? b. Una reducción reducción en precio precio hace que que la contribuci contribución ón a la utilidad utilidad para para el aditivo aditivo para combustible se reduce de 40 a 35 dólares por tonelada ¿Cambiará los valores de la cantidad a producir de ambos productos? ¿Cuál es la nueva contribución total a la utilidad? c. ¿Se llega llega a utilizar utilizar toda toda la disponibil disponibilidad idad de materia materia prima? prima? ¿En ¿En cuál de las las materias primas queda disponibilidad? ¿Cuánto? d. Supon Suponga ga que que usted usted tien tiene e dine dinero ro para para compra comprarr una una tonel tonelad ada a de materia materia prima. prima. Basándose Basándose en la contrib contribució ución n a la utilid utilidad, ad, ¿qué ¿qué materia materia prima compraría para aumentar los beneficios? e. La mater materia ia prima prima 1 está está escas escasa a y el prove proveed edor or le ofrec ofrece e camb cambia iarl rle e 1 tonelada de materia prima 3 por una tonelada de materia prima 1. Usted ¿haría ese cambio? Justifique su respuesta con cálculos.
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Microsoft Excel 8.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Libro2]Hoja1 Informe creado: 9/07/00 09:09:05 PM
Celdas cambiantes Celda
$C$5 $D$5
Valor Nombre Igual
X1 X2
Gradiente reducido
25 20
Coeficiente Aumento Disminución objetivo permisible permisible
0 0
40 30
20 20
16 10
Restricciones Celda
$E$7 $E$8 $E$9
Valor Nombre Igual
MP1 MP2 MP3
Sombra precio
Restricción Aumento Disminución lado derechopermisible permisible
20 33.33333333 4 0 21 44.44444444
20 5 21
1.5 1E+30 9
6 1 2.25
2. Financiera Orión administra fondos de empresas y clientes pudientes. La
estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Orión se le ha autorizado invertir 1.2 millones de dólares en dos fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo del mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60,000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición de riesgo de Orión, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8, y cada unidad adquirida en el fondo del mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado asociado con el fondo de acciones indica, simplemente, que se trata de la inversión más riesgosa. El cliente de Orión también ha especificado que se inviertan por lo menos 300,000 dólares en el fondo del mercado de dinero. a) ¿Cuántas unidades de cada uno de los fondos deberá adquirir Orión para el cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esta cartera? ¿Cuál es el valor del riesgo total? Para las preguntas de b) a d) contestar como casos independientes. b) Si el monto de inversión de Orión aumenta de $1.2 a $1.4 millones de dólares ¿Cómo afecta el riesgo total? ¿Variará el ingreso anual mínimo sobre la inversión de $60,000? c) Si el ingreso anual mínimo sobre la inversión que pide el cliente es de $100,000 en vez de $60,000 ¿Cómo afecta el riesgo total? d) El valor del riesgo de las unidades adquiridas en el fondo de acciones ha bajado a 6, y el valor del riesgo de las unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero ha aumentado a 4. ¿En cuánto aumentará o disminuirá el valor total del riesgo? ¿O no se puede afirmar nada con la información actual?
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Microsoft Excel 9.0 Informe de Hoja de cálculo: [Libro1]Hoja1 Minimizar Z == 8 X1 + 3 X2 Informe creado: 24/07/00 01:30:31 p.m. Sujeto a:
50 X1+100 5 X1 + 4 X2 X2
Celdas cambiantes
Celda
Nombre
$C$5 Inversión X1 $D$5 Inversión X2
Valor Igual
Gradiente reducido
4000 10000
<= 1200000 >= 60000 >= 3000 Coeficiente Aumento Disminució objetivo permisible Permisible
0 0
8 3
1E+30 3.4
4.25 1E+30
Restricciones Celda
Nombre
Valor Igual
Sombra precio
$E$7 Fondos disponibles Valor 1200000 -0.056666667 $E$8 Ingresos anuales Valor 60000 2.166666667 $E$10 el mercado de dinero 10000 0
Restricció Aumento Disminució lado permisible permisible
1200000 60000 3000
300000 42000 7000
420000 12000 1E+30
3. RIMAK Inc., es una pequeña compañía local que fabrica dos productos: RON y
GIN. A mediados de julio, el presidente, el gerente de mercadotecnia y el gerente de operaciones, concluían las decisiones de mezcla de productos para agosto del 2000. El gerente de mercadotecnia estimó que, en agosto, podían vender sin problemas hasta 40,000 litros de RON y 70,000 litros de GIN. Se estimó también que el beneficio neto por litro de RON y GIN sería de 2.40 dólares. El gerente de operaciones indicó que contaba con 100 empleados y que en agosto había 150 horas de trabajo por empleado. Se requerían 0.25 horas por empleado para producir un litro de RON y 0.20 horas para obtener uno de GIN. El proceso de producción genera un producto secundario contaminante, TOX, que se somete a tratamiento parcial y después se vierte en el océano. Cada litro de RON produce 0.1 kilos de TOX y cada litro de GIN produce 0.2 kilos de TOX. Debido a la preocupación por el medio ambiente que existe en la zona, el gobierno decretó hace algunos años que la compañía no podía desechar al océano más de 12,000 Kilos de TOX por mes. Establezca el problema como un programa lineal que ayude al equipo de administración a determinar la mezcla de productos que maximice los beneficios. Análisis de Sensibilidad
Sobre la base de los resultados obtenidos del problema con SOLVER, responder: a) ¿Cuál es la cantidad de TOX que se produce en la solución óptima? b) El gerente de mercadotecnia piensa aumentar el precio de RON en 0.50 dólares por litro, con lo que el beneficio neto por litro aumentaría en 0.50 dólares. ¿Cuál sería el efecto en los beneficios netos? c) El gerente de mercadotecnia no está satisfecho con la planificación de producción de sólo 50,000 litros de GIN y propone programar horas extras para 3
producir 10,000 litros adicionales. El costo de la hora extra es de 5 dólares. ¿Aceptaría la propuesta? Explique. ¿Cuál sería el efecto neto de la propuesta del gerente? d) El presidente considera presentar una propuesta ante el gobierno estatal para que aumente a 13,000 kilos el límite de desechos de TOX. ¿Cuál sería el esfuerzo máximo que estaría dispuesto a pagar para apoyar la propuesta, suponiendo que el aumento sólo se permitiera en agosto? e) Una empresa local ofrece una planta de tratamiento que convierte a TOX en un producto inofensivo sin restricciones gubernamentales. La empresa ha hecho una propuesta a Rimak para tratar hasta 2000 kilos de TOX. La propuesta comprende un costo mensual fijo de 2000 dólares, independiente del volumen de TOX tratado, y un costo variable de 3 dólares por kilo. ¿Aceptaría la propuesta? ¿Cuántos kilos de TOX enviaría al tratamiento y cuál sería su efecto neto en los beneficios? f) Mientras se está considerando estos asuntos, el gobierno estatal tiene una sorpresa (no muy agradable): ha reducido el límite de desechos de TOX que pueden arrojar al mar compañías pequeñas, en 2,000 kilos. Además entra en vigor en agosto del 2000. El gobierno, a sabiendas de que muchas empresas no podrán cambiar de inmediato su equipo, ha indicado que las compañías pueden pagar una multa de 4 dólares por cada kilo de TOX desechado, que exceda el nuevo límite. Las opciones de Rimak son: 1) Continuar con la mezcla de productos que decidió antes y pagar la multa; 2) Cambiar la mezcla de productos para cumplir con los nuevos límites; o 3) Obtener el tratamiento de TOX propuesto en e). ¿Qué recomendaría usted y por qué? ¿Cuál sería el efecto de su recomendación en los beneficios? Ron especial se necesita 0.10 horas por cada litro y se produce 0.15 kg de TOX por cada litro ¿Cuál es la utilidad mínima por litro que debería tener para que sea rentable producirlo? Si se tiene que : X1 = Cantidad, en litros, producida de RON X2 = Cantidad, en litros, producida de GIN La formulación sería: Maximizar 2.40 X1 + 2.40 X2 Sujeto a: RON X1 <= 40,000 GIN X2 <= 70,000 TRABAJO 0.25 X1 + 0.2 X2 <= 15,000 horas TOX 0.10 X1 + 0.2 X2 <= 12,000 kilos
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Microsoft Excel 8.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Libro1]Hoja1 Informe creado: 9/07/00 01:30:19
Celdas Celda Nombre
$C$4 X1 $D$4 X2
Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Igual reducido objetivo permisible Permisible
20000 50000
0 0
2.4 2.4
0.6 2.4
1.2 0.48
Restricciones Celda Nombre
$E$6 $E$7 $E$8 $E$9
RON GIN TRABAJO TOX
Valor Igual
20000 50000 15000 12000
Sombra Restricción Aumento Disminución precio lado derecho permisible Permisible
0 0 8 4
40000 70000 15000 12000
1E+30 1E+30 3000 2400
20000 20000 3000 3000
4. Maquinarias S.A. es una empresa importadora de autos que opera en la ciudad
de Lima. Los recientes cambios en la competencia están preocupando a sus propietarios por lo que han creído conveniente replantear toda su estrategia de marketing. En este sentido, se decidió la contratación de una empresa de consultoría en Marketing para que elabore una estrategia publicitaria. Los propietarios pensaban que el mensaje debía girar en torno a su sistema de financiamiento directo, atributo que la empresa consideraba como su mejor arma para enfrentar la actual situación competitiva del mercado. Los consultores recomendaron usar anuncios tanto de radio como de televisión; manifestaban que éstos eran los medios idóneos para llegar al público objetivo planteado para Maquinarias. Los lineamientos generales de la estrategia publicitaria planteada la expresaron de la siguiente manera: a) Para una cobertura combinada, utilizar anuncios en radio y televisión. b) No se deben programar más de 25 anuncios de radio. c) El número de anuncios que se programen por radio no debe ser menor que el número de anuncios que se programen por televisión. La estación de televisión seleccionada, ha cotizado un costo de $1,200 por anuncio, mientras que la radiodifusora ha cotizado uno de $300 por anuncio. El presupuesto total para esta campaña se ha establecido en $25,500. Los consultores tienen una evaluación global de los diferentes medios de publicidad en términos de la capacidad de recordación de los anuncios y de la audiencia que cubren. Para el caso de los medios seleccionados, las calificaciones son de 600 puntos para el anuncio en televisión propuesto y 200 puntos para el de la radio. Al propietario de Maquinarias le interesa saber cuántos anuncios de televisión y cuántos de radio deberán contratar de modo que obtengan la máxima calificación global de la campaña publicitaria. Responda a las siguientes preguntas: a) El número de anuncios de radio y de televisión recomendados. 5
b) ¿Qué es lo que limita el uso de más anuncios por radio? c) ¿Qué es lo que limita el uso de más anuncios por televisión? d) ¿Qué calificación debería tener el programa de radio a fin de que tuviera sentido incrementar el número de anuncios por este medio? e) ¿Qué calificación debería tener el programa de televisión a fin de que tuviera sentido incrementar el número de anuncios por este medio? f) ¿Qué restricciones recomendaría a Maquinarias alterar? g) ¿Cuál es el mejor uso que daría a cualquier aumento en el presupuesto? Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Libro1]Hoja2 Informe creado: 24/07/00 04:13:53 p.m.
Celdas cambiantes Celda
Nombre
$B$6 Cant. de anuncios RADIO $C$6 Cant. de anuncios TV
Maximizar Z= 200 RADIO + 600 TV Sujeto a: RADIO <= 25 RADIO – TV >= 0 300 RADIO + 1200 TV <= 25500 Valor Gradient Coeficiente Aumento Disminución Igual reducido objetivo permisible Permisible 25 0 200 1E+30 50 15 0 600 200 600
Restricciones Celda
Nombre
Valor Sombra Restricción Aumento Igual precio lado derecho permisible
$D$8 Max de anuncios por radio 25 $D$9 Mas anuncios por radio que 10 $D$1 Presupuesto para anuncios 2550
50 0 0.5
25 0 25500
60 10 12000
Disminución permisible
8 1E+30 18000
5. Una fábrica produce cuatro productos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A
requiere de 2 horas de maquinado, una hora de montaje y vale $10 en el inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y vale $5 en el inventario en proceso. Cada unidad del producto C requiere de 2.5 horas de maquinado, 2.5 horas de montaje y vale $2 en el inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, no necesita tiempo de montaje y vale $12 en el inventario en proceso. La fábrica dispone de 120,000 horas de tiempo de maquinado y 160,000 horas de tiempo de montaje. Además, no puede tener más de un millón de dólares de inventario en proceso. Cada unidad del producto A genera una utilidad de $40, cada unidad del producto B genera una utilidad de $24, cada unidad del producto C genera una utilidad de $36 y cada unidad del producto D genera una utilidad de $23. No pueden venderse más de 20.000 unidades del producto A, 16.000 unidades del producto C, y puede venderse la cantidad que se quiera de los productos B y D. Sin embargo, deben producir y vender por lo menos 10.000 unidades del producto D para cumplir con los requerimientos de un contrato.
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Sobre estas condiciones, se resuelve el problema de programación lineal a través del SOLVER y se obtienen los siguientes datos:
Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [solver ABCD.xls]Hoja2 Informe creado: 22/06/01 05:11:28 p.m.
Celdas cambiantes Celda
Nombre
Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminució Igual reducido objetivo permisible permisible
$B$5 Cantidad a producir A 10000 0 40 8 16 $C$5 Cantidad a producir B 50000 0 24 73 4 $D$5 Cantidad a producir C 0 -16 36 16 1E+30 $E$5 Cantidad a producir D 10000 0 23 73 1E+30 Restricciones Valor Sombra Restricción Aumento Disminució Celda Nombre Igual precio lado permisible permisible $F$7 Horas de Maquinado 120000 19.2 120000 16666.6666 16666.6666 $F$8 Horas de Montaje 160000 1.6 160000 50000 50000 $F$9 Inventario en proceso 470000 0 1000000 1E+30 530000 $F$10 Cant. Máxima A 10000 0 20000 1E+30 10000 $F$11 Cant. Máxima C 0 0 16000 1E+30 16000 $F$12 Cant. Mínima D 10000 -73 10000 3333.33333 3333.33333
a) ¿Cuál es la solución a este problema? ¿Cuántas unidades se producen de cada producto y en cuáles restricciones no hay inactividad o hay excedente? ¿Cuál es la utilidad óptima? b) ¿Cuánto es el valor de una hora adicional de maquinado? ¿Cuánto el de una hora adicional de montaje? ¿Cuánto el de $1 adicional en el capital de trabajo para el inventario en proceso? c) Suponer que la empresa puede invertir dinero en publicidad, a fin de aumentar la demanda de los productos A ó C. ¿Cuánto podría invertir la empresa para aumentar la demanda del producto A en una unidad? ¿Cuánto para aumentar la demanda del producto C en una unidad? d) Si el contrato para el producto D fuera de 13,000 unidades (en lugar de 10,000), ¿qué efecto tendría en la utilidad? e) Si la Utilidad por unidad del producto C fuera de $46 (y no $36), ¿cómo cambiaría la solución? f) Un nuevo producto, el producto E, está en consideración. Requiere de 2 horas de maquinado, 5 horas de montaje y $20 en capital de trabajo. La utilidad por unidad es $50. ¿Debe producirse alguna unidad del producto E?
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