Semana 2: Formulación de modelos de programación programación lineal con dos variables y solución gráfica 1. La fábrica ABC vende dos tipos de bombas hidráulicas: (1) normal y (2) extra rande! "l
proceso de manufactura asociado con la fabricaci#n de las bombas implica tres procesos: ensamblado$ pintura y pruebas de control de calidad! Los re%uerimientos de recursos para ensamble$ pintura y prueba de las bombas se muestran en la siuiente tabla: Tabla de Requerimientos de anufactura
&iempo de &iempo de &iempo de &ipo "nsamble 'intado 'rueba ormal !* 1!* +!* "xtra ,rande -!. 1!. +!* La contribuci#n a las utilidades por la venta de una bomba normal es /0+$ en tanto %ue la utilidad por una bomba extra rande es /0! "xisten disponibles por semana -$.++ horas en tiempo de ensamble$ 1$.+ horas en tiempo de pintura y ++ horas en tiempo de prueba! Las experiencias anteriores de renta se3alan %ue la compa34a puede esperar vender cuando menos ++ bombas normales y 1.+ de los extra randes por semana! A la fábrica ABC le ustar4a determinar la cantidad de cada tipo de bomba %ue debe fabricar semanalmente con el ob5eto de maximi6ar sus utilidades! '1 7A89ABL" ;" ;"C99< =1 > CA&9;A; ;" B CA&9;A; ;" B 0+ (/Eu) =1 F 0 (/Eu) =2 8"&89CC9<" &iempo de ensamble !* (hrEu) =1 F -!. (hrEu) =2 G> -.++ horas &iempo de pintado 1!* (hrEu) =1 F 1!. (hrEu) =2 G> 1.+ horas &iempo de prueba +!* (hrEu) =1 =1 F +!* (hrEu) =2 =2 G> G> ++ horas ;emanda m4nima =1 H> ++ b =2 H> 1.+ b! C<;9C9< ;" < ",A&9 ",A&979;A; 79;A; =1 H> +$ =2 H> +
2. na dietista de un hospital es responsable de la planeaci#n y administraci#n de los
re%uerimientos alimenticios de los pacientes! La especialista examina en estos momentos el caso de un paciente %ue se le ha restrinido a una dieta especial %ue consta de dos fuentes alimenticias! Al paciente no se le ha restrinido la cantidad de los dos elementos %ue se puede consumirI sin embaro$ se deben satisfacer los siuientes re%uerimientos nutritivos m4nimos por d4a: J 1+++ unidades del nutriente A! J 2+++ unidades del nutriente BI y J 10++ unidades del nutriente C! Cada on6a de la fuente alimenticia K1$ contiene 1++ unidades del nutriente A$ -++ unidades del nutriente B y 2++ unidades del nutriente C! Cada on6a de la fuente alimenticia K2$ contiene 2++ unidades del nutriente A$ 20+ unidades del nutriente B y 2++ unidades del nutriente C! Ambas fuentes alimenticias son alo costosas: La fuente alimenticia K1 cuesta /* por libra y la fuente K2 /. por libra! La dietista desea determinar la combinaci#n de fuentes alimenticias %ue arro5e el menor costo y %ue satisfaa todos los re%uerimientos nutritivos! ota: 1 libra > 1* on6as '2 7A89ABL" ;" ;"C99< =1 > CA&9;A;$ " <DA$ ;" LA "&" AL9?"&9C9A K 1 @" " ;"B" 9CL98 " LA ;9"&A =2 > CA&9;A;$ " <DA$ ;" LA "&" AL9?"&9C9A K 2 @" " ;"B" 9CL98 " LA ;9"&A C9< /*E1* 1+++ unidades utriente B$ -++(uEo6) =1 F 20+(uEo6) =2 H> 2+++ unidades utriente C$ 2++(uEo6) =1 F 2++(uEo6) =2 H> 10++ unidades C<;9C9< ;" < ",A&97< =1 H> +$ x2 H> +!
!. n expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondi#n con una
combinaci#n de carne molida de res y carne molida de cerdo! La carne de res contiene .+ de carne y 2+ de rasa$ y le cuesta a la tienda .+ ctvs por libraI la carne de cerdo contiene *. de carne y 2 de rasa$ y cuesta *+ ctvs por libra! M@uN cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondi#n$ si se desea minimi6ar el costo y mantener el contenido de rasa no mayor de 20O ". na fábrica de autom#viles y camiones consta de los departamentos %ue a continuaci#n se
enumeran: 1! "stampado de planchas metálicas 2! Armado de motores ! ?onta5e de autom#viles -! ?onta5e de camiones "l ;epartamento 1 puede estampar$ por mes$ las planchas necesarias para producir s#lo 20$+++ autom#viles o s#lo 0$+++ camiones$ o las correspondientes combinaciones de autom#viles y camiones! "l ;epartamento 2 puede armar$ por mes$ $ motores de autom#viles o 1*$** motores de cami#n$ o las correspondientes combinaciones de motores de autom#vil y cami#n! "l ;epartamento puede montar y terminar 22$0++ autom#viles$ y el ;epartamento - puede montar 10$+++ camiones! i cada autom#vil de5a una utilidad de ++ d#lares y cada cami#n de 20+$ M%uN cantidades de autom#viles y camiones deben producirse$ de manera %ue las utilidades %ue se obtenan sean las máximas posiblesO #. La compa34a financiera ?adison tiene un total de /2+ millones asinados a prNstamos para
ad%uisici#n de casas y autom#viles! "n promedio$ los prNstamos hipotecarios tienen una tasa anual de recuperaci#n del 1+$ y los prNstamos para autos una tasa anual de recuperaci#n del 12! La erencia ha estipulado %ue la cantidad total de prNstamos hipotecarios debe ser mayor o iual cuatro veces la cantidad total de prNstamos para autos! ;etermine la cantidad total de los prNstamos de cada tipo %ue debe reali6ar ?adison para maximi6ar el monto de recuperaci#n! $. uan tiene dos alimentos: pan y %ueso$ cada uno de ellos contiene calor4as y prote4nas en
distintas proporciones! n Pr! de pan contiene 2+++ calor4as y *+ ramos de prote4nas$ y un Piloramo de %ueso -+++ calor4as$ y 1 ramos de prote4nas! na dieta normal diaria exie *+++ calor4as y 2++ ramos de prote4nas! Además$ la dieta debe pesar como m4nimo 2 Pr! "l Piloramo de pan cuesta / y el de %ueso$ /0! ;eterminar una dieta para uan con el m4nimo costo! %. 9ADA 97"&?"& C<8' tiene /0+$+++ de un fondo de pensiones$ y desea invertir
en: bonos tipo A y bonos tipo B %ue producen una rentabilidad de * y 1+ anual respectivamente! 'or motivos de li%uide6 no puede invertir más del 20 en bonos tipo A$ y lo m4nimo a depositar en bonos tipo B es /1+$+++! ;eterminar un plan #ptimo de inversiones
&. 'A'"8 Corp tiene dos tipos de papel$ para libros y para revistas! Cada tonelada de papel
para libros re%uiere 2 toneladas de abeto y ton! de pino! Cada tonelada de papel para revistas re%uiere 2 toneladas de abeto y 2 toneladas de pino! La empresa debe proveer al menos 20+++ tons de papel para libros y 1++++ tons de papel para revistas por a3o! La disponibilidad anual de materiales es de +++++ tons de abeto y -0++++ de pino! 'or ra6#n de mercado la cantidad de papel fabricado para revistas debe ser al menos 1!0 veces a la cantidad de papel fabricado para libros! Cada tonelada de papel para libros da una utilidad de /210 y de revistas de /2+! ;etermine un plan #ptimo de producci#n '. 7A89ABL" ;" ;"C99< =1 > CA&9;A;$ " &<"LA;A$ ;" 'A'"L 'A8A L9B8< @" " '";" '8<;C98 '<8 AQ< =2 > CA&9;A;$ " &<"LA;A$ ;" 'A'"L 'A8A 8"79&A @" " '";" '8<;C98 '<8 AQ< C9< 210 (/E&) =1 F 2+ (/E&) =2 8"&89CC9<" AB"&< 2 (&E&) =1 F 2 (&E&) =2 G> +++++ & '9< (&E&) =1 F 2 (&E&) =2 G> -0++++ & ;"?A;A ?99?A =1 H> 20+++ =2 H> 1++++ 8AD< (8"LAC9<) ;" ?"8CA;< =2 H> 1!0 =1 !!!H 1!0=1J=2 G> + C<;9C9< ;" < ",A&97< =1 H> +$ x2 H> +!
'. na compa34a produce dos tipos de sombreros va%uero! Cada sombrero del primer tipo
re%uiere el doble de tiempo en mano de obra %ue el seundo tipo! i todos los sombreros son solamente del seundo tipo$ la compa34a puede producir un total de 0++ sombreros al d4a! "l mercado limita las ventas diarias del primero y seundo tipos a 10+ y 20+ sombreros! upona %ue los beneficios por sombrero son /. para el tipo 1 y /0 para el tipo 2! ;etermine el nRmero de sombreros %ue deben producirse de cada tipo a fin de maximi6ar el beneficio!
1(. Cats es un nuevo producto alimenticio para mascotas! Cada lata de 1* on6as de Cats es
una me6cla$ o combinaci#n$ de dos inredientes alimenticios para mascotas! ean =1 > nRmero de on6as del inrediente A en lata de 1* on6as! =2 > nRmero de on6as del inrediente B en lata de 1* on6as! Cada on6a del inrediente A contiene 1E2 on6as de prote4nas y 1E. de on6a de rasas! Cada on6a del inrediente B contiene 1E1+ de on6a de prote4nas y 1E de on6a de rasas! Las restricciones implican %ue una lata de 1* on6as de Cats debe contener cuando menos - on6as de prote4nas y no más de 2!0 on6as de rasas! i el inrediente A cuesta /+!+- por on6a y el inrediente B cuesta /+!+ la on6a! a) ormule el problema de proramaci#n lineal! b) Mcuál es la me6cla de costo m4nimo de los inredientes A y B para cada lata de 1* on6asO '1+ 7A89ABL" ;" ;"C99< =1 > ?"8< ;" <DA ;"L 9,8";9&" A " LA&A ;" 1* <DA =2 > ?"8< ;" <DA ;"L 9,8";9&" B " LA&A ;" 1* <DA C9< +!+- (/E - 2!0 1* +$ x2 H> +!
11. na compa34a petrolera %ue tiene dos refiner4as$ necesita al menos .++$ 1-++ y 0++
barriles de petr#leo de rados ba5o$ medio y alto$ respectivamente! Cada d4a$ la refiner4a 9 produce 2++ barriles de rado ba5o$ ++ de medio y 1++ de alto rado$ mientras %ue la refiner4a 99 produce 1++ barriles de rado alto$ 1++ de ba5o y 2++ de rado medio! i los costos diarios son de /2$0++ para operar la refiner4a 9 y de /2$+++ para la refiner4a 99$ Mcuántos d4as debe ser operada cada refiner4a para satisfacer los re%uerimientos de producci#n a un costo m4nimoO Mcuál es el costo m4nimoO 12. A causa de relamentaciones ubernamentales nuevas sobre la contaminaci#n$ una
compa34a %u4mica ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reempla6ar un proceso anterior en la producci#n de un %u4mico en particular! "l proceso anterior descara 10 ramos de di#xido de a6ufre y -+ ramos de part4culas a la atm#sfera por cada litro de %u4mico producido! "l nuevo proceso descara 0 ramos de di#xido de a6ufre y -+ ramos de part4culas a la atm#sfera por cada litro de %u4mico producido! La compa34a obtiene una utilidad de + y 2+ centavos por litro en los procesos anterior y nuevo$ respectivamente! i el obierno permite a la planta descarar no más de 1+$0++ ramos de di#xido de a6ufre y no más de +$+++ ramos de part4culas a la atm#sfera cada d4a$ Mcuántos litros de %u4mico deben ser producidos diariamente$ por cada uno de los procesos$ para maximi6ar la utilidad diariaO MCuál es la utilidad diariaO 1!. n fabricante de asolina para aviaci#n vende dos clases de combustible$ A y B! "l
combustible de clase A tiene 20 de asolina rado 1$ 20 de asolina rado 2$ y 0+ de asolina rado ! "l combustible de clase B tiene 0+ de asolina rado 2 y 0+ de asolina rado ! ;isponibles para producci#n hay 0 alonesEhora de rado 1$ 10+ alonesEhora de rado 2$ y 2++ alonesEhora de rado ! Los costos son + centavos por al#n de rado 1$ *+ centavos por al#n de rado 2$ y 0+ centavos por al#n de rado ! Las clases A y B$ pueden venderse a 0 y + centavos por al#n$ respectivamente! M@uN cantidad por hora debe fabricarse de cada combustibleO '1 7A89ABL" ;" ;"C99< =1 > CA&9;A;$ ,AL<"$ '<8 S<8A @" " ;"B" '8<;C98 "L C CA&9;A;$ ,AL<"$ '<8 S<8A @" " ;"B" '8<;C98 "L C 0 =1 F + =2 J +(+!20) =1 J *+(+!20 =1 F +!0+ =2) J 0+(+!0+ =1 F+!0+ =2) ?A=9?9DA8 D > 2!0 =1 F 0 =2 8"&89CC9<" ,8A;< 1 +!20=1 G> 0 ,ALES8 ,8A;< 2 +!20 =1 F +!0+ =2 G> 10+ ,ALES8 ,8A;< +!0+ =1 F +!0+ =2 G> 2++ ,ALES8 C<;9C9< ;" < ",A&97< =1 H> +$ x2 H> +!
1". na compa34a de productos "lectr#nicos produce dos modelos de radio$ cada uno en una
l4nea de producci#n de volumen diferente! La capacidad diaria de la primera l4nea es de *+ unidades$ y de la seunda es de 0 radios! Cada unidad del primer modelo utili6a 1+ pie6as de una componente electr#nica$ en tanto la seunda utili6a . pie6as de la misma componente! La disponibilidad máxima diaria de este tipo de componente es de .++ unidades! 'or otro lado el proceso productivo exie %ue la producci#n del primer modelo no exceda en más de 1+ unidades la producci#n del seundo modelo! La utilidad unitaria del modelo 1 y 2 es de /+ y /2+ respectivamente! 1#. "l ran5ero 8odriue6 tiene %ue determinar cuántos acres de ma46 y de trio hay %ue
sembrar este a3o! n acre de trio produce 20 bushel de trio y re%uiere 1+ horas semanales de traba5o! n acre de ma46 produce 1+ bushel de ma46 y re%uiere - horas semanales de traba5o! e puede vender todo el trio a - d#lares el bushel y todo el ma46 a d#lares el bushel! e dispone de acres y de -+ horas semanales de traba5o! ;isposiciones ubernamentales especifican una producci#n de ma46 de por lo menos + bushel durante el a3o en curso! ormule un modelo de proramaci#n lineal %ue maximice la utilidad del ran5ero$ lueo rafi%ue su soluci#n! 1$. La Aro &ech fabrica dos tipos de fertili6ante:
ertili6ante 1: ertili6ante 0J0J1+ (0 nitrato$ 0 fosfato$ 1+ potasio) + (.+ barro) ertili6ante 2: ertili6ante 0J1+J0 (0 nitrato$ 1+ osfato$ 0 potasio) + (.+ barro) La AroJ&ech 9nc!$ %uiere determinar la me6cla de producci#n de los fertili6ante 0J0J1+ y 0J1+J0 %ue sea más rentable! "l primero se vende a /1$0+ la tonelada y el seundo a /* la tonelada! "n el proceso de planeaci#n$ la AroJ&ech tiene %ue traba5ar dentro de la estructura de la disponibilidad de la materia prima escasa %ue se usan en la producci#n de los fertili6antes! Las materias primas son itrato$ osfato y 'otasio! Los precios de estas son /2++$ /.+ y /1*+ la tonelada respectivamenteI y hay disponible 11++$ 1.++ y 2+++ toneladas de los recursos correspondientes! tili6ando esta informaci#n 5unto con el precio de /1+ por tonelada de cantidad ilimitada de relleno (barro) y un precio de /10 la tonelada por concepto de me6clado$ plantear el modelo %ue permita maximi6ar la rentabilidad de la producci#n para la producci#n de fertili6ante tipo 1 y 2! 1%. 'ara el control de calidad de sus pie6as una compa34a tiene dos tipos de inspectores:
9nspectores ,rado 1 e 9nspectores ,rado 2! e re%uiere %ue sean inspeccionadas al menos 1.++ pie6as por d4a (. horas)! Los inspectores ,rado 1 pueden che%uear las pie6as a una tasa de 20 pie6as por hora$ con una precisi#n del .! Los inspectores ,rado 2 revisan las pie6as a una tasa de 10 pie6as por hora$ con una precisi#n del 0! Los honorarios por hora para un inspector ,rado 1 y ,rado 2 son de /-+ y /+ respectivamente! Cada pie6a mal clasificada por los inspectores tiene un costo de /2! La compa34a tiene disponibilidad para traba5os de inspecci#n$ . inspectores ,rado 1 y 1+ 9nspectores ,rado 2! La compa34a %uiere determinar la asinaci#n #ptima de inspectores %ue minimice el costo total de inspecci#n! ormule el modelo ''L y determine la soluci#n ráfica de este problema!
1&. na compa34a de productos %u4micos dispone de 2 procesos de reacci#n mediante los
cuales debe producir 2 tipos de compuestos! Con el primer proceso se producen 2 TUESrV del compuesto Aspirina y 1 TUESrV del compuesto ;ipirona! ?ientras %ue el seundo proceso produce TUESrV de Aspirina y 1 TUESrV de ;ipirona! La erencia ha determinado las siuientes condiciones: La cantidad del compuesto Aspirina no puede sobrepasar los + TPV por d4a! La cantidad del compuesto ;ipirona debe ser mayor a los TPV por d4a! Las horas %ue se e5ecuta el primer proceso no deben ser mayor a 0 TSrV en el d4a con respecto a las horas %ue se e5ecuta el proceso 2! "l máximo tiempo %ue se corre cada proceso es de TSrV! "l precio de venta del compuesto Aspirina es 2+ T/EUV$ mientras %ue la ;ipirona se vende a *+ T/EUV! "l costo por hora de proceso es /-+ y /0+$ para los procesos 1 y 2 respectivamente! A partir de los datos entreados$ se pide responder las siuientes preuntas: 8ealice un ?odelo de 'roramaci#n Lineal %ue resuelva el problema! 9ndi%ue claramente ob5etivo$ variables$ restricciones y funci#n ob5etivo! 8esuelva el ?odelo anterior (mNtodo ráfico) e indi%ue la soluci#n del problema!
'1. 7A89ABL" ;" ;"C99< =1 > CA&9;A; ;" S<8A @" &8ABAA " '8 CA&9;A; ;" S<8A @" &8ABAA " '8 2+(/EP) (2(U,ES)=1 F ( U,ES)=2) F *+(/EP) (1(U,ES)=1 F 1(U,ES)=2) J -+(/ES)=1 J 0+(/ES)=2 > *+ =1 F + =2 8"&89CC9<" A'989A (2(U,ES)=1 F (U,ES)=2) G> +U, ;9'98<A (1(U,ES)=1 F 1(U,ES)=2) H> U, 8"LAC9< ;" S<8A =1 J =2 G> 0 S<8A ?A=9?< &9"?'< ;" C<889;A '<8 '8 S<8A =2 G> S<8A C<;9C9< ;" < ",A&97< =1 H> +$ x2 H> +!
