Aula 3_Resistência Ao Cisalhamento

Universidade Federal de Alagoas Campus do Sertão – Delmiro Gouveia Curso de Engenharia Civil

Rafaela Faciola Agradecimentos: Prof. Dr. Jefferson Lins

Aula 3 – Resistência ao Cisalhamento

- Estado de Tensões - Círculo de Mohr

- Coesão e Atrito - Critérios de Ruptura

Aula 3 – Resistência ao Cisalhamento

- Estado de Tensões - Círculo de Mohr

- Coesão e Atrito - Critérios de Ruptura

Introdução - Resistência ao Cisalhamento

Capacidade de carga de fundações

Introdução - Resistência ao Cisalhamento

Estabilidade de encostas naturais

Introdução - Resistência ao Cisalhamento Talude de corte

Introdução - Resistência ao Cisalhamento

Introdução - Resistência ao Cisalhamento

Introdução - Resistência ao Cisalhamento

Cisalhamento

Estado de Tensões - Seja considerado um corpo em equilíbrio, submetido a um conjunto de forças - Esse corpo pode ser subdividido por um plano   em duas partes S’  e S”

Estado de Tensões Isolando a parte S ’ , a área da seção de corte é  A

Estado de Tensões

Numa área elementar dA, em torno do ponto P atua uma força d F.

Estado de Tensões 



Define-se como tensão no ponto P, pelo plano   , a grandeza A tensão    é uma grandeza vetorial, com mesma direção e mesmo sentido da força d F

Tensão no ponto P, pelo plano

dF  dA  

P

Estado de Tensões A tensão    pode ser decomposta em duas componentes: uma normal () e outra tangente () ao plano .

Normal: tensão normal ( )

Estado de Tensões O módulo da tensão normal ( ) varia entre dois extremos: Quando o seu módulo atinge o valor  máximo, a tensão normal é chamada de tensão principal maior  (1) e a tensão tangencial () será nula.

Quando o módulo atinge o valor mínimo, a tensão normal é chamada de tensão principal menor  ( ) e a tensão tangencial ( )

Estado de Tensões Variando o plano pi, o módulo da tensão normal () varia entre dois extremos. •

3<

<

1

1

 plano principal maior ( = 0)

3

 plano principal menor ( = 0)

Estado de Tensões - Existe uma relação entre a tensão normal e tensão de cisalhamento que atuam num plano de ruptura:  f  =  f (σ ) - Então, existem infinitas combinações (tensão normal) (tensão de cisalhamento máxima), que podem ser representadas por um gráfico (  f ) versus (  ).

z

σz xy = yx= zy = yz =

zx xz

σx

Por Equilíbrio xz = zx=

σy=0

Estado de Tensões Conhecidas as tensões atuantes nas faces do elemento é possível conhecer as tensões geradas em um plano alfa com inclinação qualquer em relação ao plano principal maior. Basta aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções horizontais e verticais de forma a obter as seguintes relações de tensões:

xz = zx=

Estado Particular

z

σ1

σ1: Tensão Principal Maior σ3: Tensão Principal Menor

zx

PPM

σ

0

Plano  qualquer

xz

σ3 PPm

Estado de Tensões

z

Plano  qualquer

σ1 σ σ3

x

[σ - (σ + σ )/2]2 +

2

 = [(σ σ )/2]2 +

2

Círculo de Mohr •

Tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes em

qualquer plano, podem ser determinadas graficamente através do Círculo de Mohr.

Convenção de Sinais Compressão (+) =(σ1- σ3)/2 [(σ1+ σ3)/2; 0]

Círculo de Mohr

Como obter o ponto P???

σ1 zx xz

=(σ1- σ3)/2 [(σ1+ σ3)/2; 0]

σ3

Círculo de Mohr

Considerando um ponto no círculo Como obter o ponto P??? que

representa

um

conjunto

de

tensões (normal e cisalhante), para

σ1 zx

encontrar o Polo  basta traçar por este conjunto de pontos uma paralela ao plano onde atuam essas tensões. O

ponto

P  é

determinado

pela

intersecção da reta paralela com o círculo.

xz

σ3

Exercício de Aplicação 

Para o elemento de solo mostrado na figura abaixo, determinar: 

 Tensão principal maior



 Tensão principal menor



 Tensões no plano AC



 Direções dos planos principais



 Máxima tensão de cisalhamento

600 kPa

D

240 kPa

C

360 kPa 240 kPa

Exercício de Aplicação 600 kPa 240 kPa

D

C 360 kPa 240 kPa

max = 268.32 kPa

Polo Plano principal menor

(600;240)

A

Plano principal maior

(240;120)

211.67 kPa

748.32 kPa

tensão principal menor

tensão principal maior

(360;-240)

B

Exercício de Aplicação 

Para o elemento de solo mostrado na figura abaixo, determinar: 

 Tensão principal maior



 Tensão principal menor



Direções dos planos principais



 Máxima tensão de cisalhamento

Exercício de Aplicação  400 kPa 100 kPa

200 kPa 100 kPa

max

Plano principal menor

= 141.42 kPa (200;100)

Plano principal menor

3=

(400;-100) Polo

158,58 1= 441,42

Plano principal maior

Plano principal maior

Atrito e Coesão

R

N T

Fmob N

T = Fmob

/A

τ = τ mob = Fmob /A

Atrito e Coesão R

N max

Tmax Fat N τdisp = σ tg

Segundo a lei de Coulomb a resistência por atrito é função da tensão normal no plano de deslizamento relativo.

Geral

tg

Atrito e Coesão

τdisp = τf  = c + σ tg

Atrito e Coesão

τdisp = τf  = c + σ tg

Critérios de Ruptura Nos solos, são consideradas somente as solicitações por cisalhamento. De uma forma geral, os solos rompem por cisalhamento:

Fundação Direta

Talude

Superfícies de ruptura

Por isso, quando falamos em resistência de um solo, estamos implicitamente falando de sua resistência ao cisalhamento.

Critérios de Ruptura  √  São formulações que “tentam”  refletir as condições em que

ocorre a ruptura do material.  √ Existem critérios que estabelecem: -

Máximas tensões de compressão, de tração ou de cisalhamento

-

Máximas deformações

-

Consideram a energia de deformação

 √  Um critério de ruptura satisfatório é aquele que é capaz de

refletir o comportamento do material.

Critérios de Ruptura  √  A análise do estado de tensões que provoca a ruptura é o

estudo da RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO.  √ Para os solos, os critérios de ruptura que melhor representam

o comportamento, são:

Critérios de Ruptura

“não há ruptura se a tensão de cisalhamento não ultrapassar um valor dado pela expressão c + f. σ  , sendo c e f constantes do material, e σ   a tensão normal existente no plano de cisalhamento”.  √ Os parâmetros c e f são denominados de coesão e coeficiente

de atrito, respectivamente. Sendo o coeficiente de atrito, pode ser expresso como a tangente de um ângulo, denominado de ângulo de atrito interno.

Critérios de Ruptura

“não há ruptura enquanto o círculo representativo do estado de tensões se encontrar no interior de uma curva, que é a envoltória dos círculos relativos a estados de ruptura observados experimentalmente para o material ”.

B A

Critérios de Ruptura

A Envoltória de Ruptura de Mohr é representada por uma linha, na qual é curva.

Critérios de Ruptura - Para a maioria dos problemas de mecânica dos solos esta função pode ser aproximada por uma reta. Essa relação é denominada de critério de ruptura de Mohr-Coulomb.

Critérios de Ruptura

 =  f (σ)

 f 

Envoltória de ruptura de Mohr

             (

  o    t   n   e   m   a    h    l   a   s    i   c   e    d   o    ã   s   n   e

A Envoltória de Ruptura de Mohr foi ajustada à uma reta...

Critério de ruptura de Mohr-Coulomb

c

 = c + σ tg

 f 

Critérios de Ruptura

 =  f (σ)

 f 

Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb

 = c + σ tg

 f 

σ tg

c

resistência por atrito resistência por

Critérios de Ruptura

- Para um mesmo solo, os parâmetros c e  variam em função de vários fatores:  faixa de carregamento aplicada ao solo  tipo de ensaio efetuado  histórico de tensões  etc. - Por essa razão, os parâmetros de resistência não são intrínsecos do solo. - Eles devem ser obtidos de forma a atender as condições peculiares do problema em estudo. - Os parâmetros de resistência podem ser obtidos tanto em •

•

•

•

Critérios de Ruptura

c e

não são parâmetros intrínsecos do solo ’ = tensão efetiva e   =

índice de vazios  = teor de umidade w   = deformação  = histórico das tensões H   = estrutura S  T   = temperatura

laboratório e/ou ensaios in situ

Obtidos para atender as condições

Critérios de Ruptura

Obs: - Os dois critérios de ruptura apontam para a importância da

tensão normal no plano de ruptura.

Portanto...

Quando o círculo de Mohr tangencia a envoltória, em que plano se dará a ruptura?

Critérios de Ruptura

O plano de ruptura faz um ângulo  com plano principal maior.

- Segmento OB representa o plano de ruptura para um círculo que toca na envoltória. - Segmento Bd representa a tensão máxima cisalhante. Esta tensão cisalhante é menor do que a máxima indicada pelo segmento aD. - Ou seja, no plano de máxima tensão cisalhante, a tensão normal indicada pelo segmento Oa, proporciona uma resistência ao cisalhamento maior do que a tensão cisalhante atuante.

D

B

B

Critérios de Ruptura - O plano de ruptura forma o ângulo Ɵ com o plano principal maior. Se do centro do círculo “a” , traça-se uma paralela à envoltória de resistência , constata-se que o ângulo 2Ɵ é igual ao ângulo ɸ + 90 °.

α = 45°+ ɸ/2

Do triângulo fda:

ɸ + 90°

Critérios de Ruptura – Tensões Efetivas



Nos solos saturados tem-se:    =   'u



Como as tensões de cisalhamento só poder ser resistidas pelo esqueleto sólido, a equação da envoltória de Mohr-Coulomb deve ser re-escrita como:

   f  

=

c'(   u) tan  ' = c' ' tan  '

Estado de Tensões frente ao Critério de Ruptura

Estado I – Solo sob estado de tensões isotrópico

Estado II – A tensão cisalhante em qualquer plano é menor que a resistência ao cisalhamento.

Estado III – O círculo de Mohr tangencia a envoltória , onde τθ=τ caracteriza a ruptura em um plano inclinado de θr com o plano onde atua σ1.