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Assemblages boulonnés I. Introduction : Les assemblages boulonnés sont sans aucun doute les systèmes de liaison les plus utilisés en mécanique. Compte tenu de leur nombre et de leur importance dans la construction mécanique, ils représentent un enjeu économique certain. Ils permettent d’assembler d’une manière démontable des pièces entre elles et doivent éviter tout glissement ou décollement de celles-ci au cours du fonctionnement. Ils doivent assurer ces fonctions au moindre coût (étude, choix des vis, réalisation,…). Ce sont des assemblages fortement sollicités en fatigue, qui assurent la liaison des pièces essentielles d’un mécanisme ou d’une structure. Ils sont réalisés par des boulons ou des vis ou des goujons (figure 1) HR (haute résistance) qui ont la particularité d’admettre des valeurs de résistance à la rupture très élevées (R >1000 MPa) alors que leur résistance en m

fatigue est très faible (σ ≈ 50MPa). Ceci implique d’utiliser des modèles de calcul a

suffisamment précis pour évaluer avec une bonne précision la contrainte alternée dans la vis, lorsque les assemblages sont soumis à des efforts extérieurs d’intensités variables.

Figure 1 : Trois cas d'assemblages filetés Lorsque les chargements sont axiaux ou très faiblement excentrés, le modèle linéaire développé dans les règles VDI 2230 donne des résultats satisfaisants, lorsque les chargements sont très excentrés on doit utiliser le modèle non linéaire développé par GUILLOT. Pour les cas plus complexes il est nécessaire d’avoir recours à des modélisations en éléments finis adaptées. Dans tous les cas ces modélisations impliquent la connaissance précise de la raideur du boulon et des pièces, ce qui n’est pas toujours facile à obtenir, lorsque la forme des pièces est compliquée ou dans le cas d’empilages de pièces de dimensions et de matériaux différents.

II. Éléments théoriques associés aux assemblages boulonnés : 1. Normalisation : Les normes relatives aux éléments filetés sont publiées sous la référence E 25. Elles définissent :  Les couples de dimensions (diamètre nominal et pas) pour la boulonnerie à pas fin et à pas gros (pas normal);  La section résistante des filetages As : section équivalente. Cette section correspond à la section d'un cylindre de résistance équivalente à celle de la partie filetée de la vis. Elle donne également la même rigidité en traction. Cette donnée essentielle permet de passer, ENSAM Meknès

Éléments et architectures des machines

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au cours des essais réalisés sur la pièce filetée (ou au cours des calculs), des efforts aux contraintes Elle se définit comme suit : 𝝅 𝝅 𝒅𝟐+𝒅𝟑 𝟐 𝑨𝒔 = 𝒅𝒆𝒒 𝟐 = ( ) 𝒆𝒕 𝒅𝒆𝒒 = 𝒅 − 𝟎, 𝟗𝟑𝟖𝟐𝑷 𝟒 𝟒 𝟐 d : diamètre nominal D1 : diamètre intérieur de l’écrou d2 = D2 : diamètre sur flancs d2 = d – 0,6495.P d3 : diamètre du noyau d3 = d – 1,2268.P r : rayon de filet P : pas Diamètres caractéristiques d’un filetage  Les caractéristiques mécaniques des matériaux (dureté HB ou HR, résistance à la rupture Rm, limite apparente d’élasticité Re ou Rp 0,2, allongement relatif) ;  La description de tests sur les produits ;  Les classes de qualité des composants (ensembles de caractéristiques requises) qui "vont certifier" que les caractéristiques des éléments utilisés répondent bien aux spécifications des essais de caractérisation. 2. Le filetage : Les caractéristiques d’un filetage sont :  Diamètre nominal : D au sommet des filets pour la vis et d au fond des filets pour l’écrou. Pour l’assemblage on a D = d ;  Pas : Le pas est normalisé (voir tableaux correspondants). On distingue : le pas gros ou usuel, pour la boulonnerie classique et le pas fin pour appareil de mesure, écrou de faible épaisseur, filetage sur tube mince ;  Sens de l’hélice : l’hélice peut être à droite ou à gauche ;  Profil du filetage : on distingue le profil métrique ISO ou les profils spéciaux (trapézoïdal, rond, dissymétrique, profils pour gaz cylindriques ou coniques). 3. Couples de dimensions/pas et section résistante d’un filetage :

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4. Symbolisation des classes de qualité : Vis : Les classes de qualité des vis et des goujons sont désignées par un symbole composé de deux nombres séparés par un point ou tiret. 𝑅𝑚 𝑟é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛 𝑎𝑙𝑒 à 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 (𝑀𝑃𝑎 ) 1er nombre = = 100 100 10 𝑅𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑′é 𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑡 é ème 2 nombre = 𝑅𝑚 = 10 × 𝑟é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐 𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 à 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 = 1er nombre × 2ème nombre × 10 Exemple : vis de classe 6-8 : Rm = 100 ∗ 6 = 600 𝑀𝑃𝑎 ; Re = 8 ∗

600 10

= 480 𝑀𝑃𝑎.

On remarque donc que la classe de qualité d’une vis n’est fonction que des caractéristiques du métal constitutif. Écrou : Pour l’écrou on ne dispose que d’un chiffre. Exemple : classe 6. Ce chiffre correspond au 1/100 de la contrainte minimale (en MPa) exercée sur la vis sans déformation notable de l’écrou lors de l’épreuve sur mandrin fileté. Boulon : Un boulon de classe 10-9 doit être constitué :  D’une vis de classe 10-9 ;  D’un écrou de classe 10. On choisit un écrou dont la contrainte d’épreuve est celle d’une vis de classe immédiatement supérieure, ce qui fait qu’en pratique il n’est pas utile de vérifier sa résistance. 5. Relations entre classe de qualité et caractéristiques mécaniques :  Pour les vis, goujons et tiges filetées (d’après norme NF EN ISO 898-1) :



Pour les écrous (d’après norme NF E 27-005) :

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III. Dimensionnement des assemblages boulonnés : Les méthodes de dimensionnement des assemblages boulonnés à choisir sont selon deux cas :  Pas ou peu d’efforts et peu de sollicitations extérieures : surdimensionnement systématique ;  -

Effort moyens ou importants, nécessité d’analyser :

Détermination par analyse non optimisée – méthode A : ce sont les assemblages pour lesquels on estime arbitrairement qu’un choix optimisé ne se justifie pas pour des raisons économiques directes ou indirectes (coût de l’étude,…). On ne tient pas compte des effets dynamiques. On peut résumer les étapes de détermination des assemblages non optimisés par cette méthode A comme suit : Estimation des efforts extérieurs FE : effort extérieur de traction TE : effort tangentiel

-

1

Estimation du nombre de vis Calcul de la précharge F0

2

Estimation de la classe de qualité et du diamètre d Estimation de (F0)max et (F0)min Estimation du couple de serrage Cs

3

Vérification de la résistance mécanique (critère de VON MISES)

4

Vérification au matage

Vérification fine – optimisation– Méthode B : ce sont les assemblages qui sont soumis à des contraintes de sécurité ou (et) à de fortes sollicitations, à des contraintes de fatigues importantes, ou qui appartiennent à un système ayant des contraintes de poids ou d’encombrement et dans le cas de chargement faiblement excentré. Dans le cas des efforts excentrés importants, calcul spécifique par la norme (modèle flexion circulaire et poutre fléchie : modèle ne sera pas présenté ici) ou calcul par logiciels spécifiques.

1. Dimensionnement des assemblages boulonnés non optimisés par la Méthode A : Cette méthode, qui ne permet pas de déterminer un assemblage vissé optimisé, ne prend pas en compte la résistance à la fatigue. Ce calcul permet seulement de vérifier la bonne tenue de l’assemblage. L’absence d’optimisation, qui nécessite de prendre une marge de sécurité pour pallier les incertitudes des estimations, conduit nécessairement à un surdimensionnement des fixations et entraîne souvent des dimensions excessives et un surcoût qui dans le cas d’assemblage de série peut être important. ENSAM Meknès



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Étape 1 : Estimation du nombre de vis et calcul de la précharge Le nombre de vis est prédéterminé en tenant compte des solutions existantes, de la configuration des pièces à assembler, de leur géométrie, de l’expérience. On suppose que les efforts se répartissent uniformément sur chaque vis : -

FE : effort extérieur de traction sur chaque vis TE : effort tangentiel sur chaque vis

On détermine la précharge F0 qui garantit le non décollement et le non glissement des pièces assemblées : F0 > FE + TE/tan(φ) avec tan(φ) coefficient de frottement entre pièces assemblées Étape 2 : Estimation de la classe de qualité et du diamètre d Le tableau donné en annexes (page 16) précise pour chaque classe pour un diamètre nominal donné et dans quatre cas de précision de serrage : - Le couple de serrage CS - Les valeurs maximum et minimum de F0 que l’on peut obtenir. Les coefficients de frottement moyen tan(μ) dans le filetage et sous la tête sont : - tan(μ) = 0,10 Visserie phosphatée ou zinguée, lubrification adaptée de bonne qualité. - tan(μ) = 0,15 Visserie noire ou zinguée, lubrification sommaire (état de livraison). - tan(μ) = 0,20 Visserie revêtue ou non, montage à sec. Dans le cas d’un assemblage non optimisé il est probable que les conditions de pose soient peu précises (C ou D). Étape 3 : Vérification de la tenue mécanique (critère de VON MISES) (σéq) ˂ 0,9*Re min avec Re min limite d’élasticité minimale de la classe de qualité du boulon et 𝑭 𝟏𝟔 𝑪′ ′ ; 𝜻 = σéq = 𝛔𝟐 + 𝟑𝜻𝟐 ; 𝛔 = 𝟑 et 𝑪 = 𝑪𝒔 − 𝑪𝒇 𝑨𝒔 𝝅𝒅𝒆𝒒 Avec Cs : couple de serrage et Cf (couple de frottement sous tête) = F0 moy*rmoy*tan(μ) rmoy : rayon moyen de la surface d’appui tête/pièce (tableau suivant) valeur moyenne équivalente à (ρ1 + ρ2) / 2 ou ρmoy ≈ ρ = 2 / 3 * (ρ23 − ρ13) / (ρ22 − ρ12). Caractéristiques des écrous H

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Étape 4 : Vérification de la tenue au matage On vérifie que la pression de contact sous tête (P) est inférieure à la pression de matage pour le matériau le moins résistant (Padm : contrainte maximale admissible tableau cidessous). Critère : P ˂ Padm. Avec P = (F0)max / Am et Am = π(De2 – Db2)/4 De : diamètre extérieur d’appui sous tête ou sous écrou ou sous rondelle. Db : diamètre du trou de passage de la vis.

Si la pression de contact est trop importante, il convient de modifier la forme de la tête ou d’interposer des rondelles d’appui adaptées. 2. Dimensionnement des assemblages boulonnés optimisés par la Méthode B : La démarche proposée est issue de la norme E 25-030. Le calcul suppose que la géométrie est entièrement définie. Pour cela, le concepteur utilise l’expérience acquise, sa connaissance des solutions existantes. Il prend en considération :  La place disponible et la géométrie des pièces autour de la vis;  Le nombre de pièces, leurs dimensions, les matériaux et les états de surface ;  La possibilité d’utiliser ou non le taraudage ;  L’importance de la série et les conditions de maintenance. A partir de ces éléments il présélectionne :  Le nombre de vis et leur position ;  Un diamètre, un pas, une longueur filetée ;  Une forme de tête et un choix d’outil de serrage ;  Les dimensions des trous de passage des vis ;  Les conditions de montage (état des produits, lubrification, …) ;  Les moyens de serrage. L’étude des efforts mis en jeux permet d’analyser et de quantifier : 

La nature des sollicitations :

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

 Tangentielles au plan de joint ;  Axiale par rapport à l’assemblage (avec ou sans déport par rapport à l’axe de la vis) ;  Composées. Les modes de sollicitations :  Statique ;  Dynamiques.

Remarque : les calculs s’effectueront pour la vis la plus sollicitée. Les étapes de détermination des assemblages boulonnés par la méthode B sont les suivantes: Étape 1 : Analyse des données nécessaires au calcul 𝝅 𝟐 a) Section résistante de la vis : 𝑨𝒔 = 𝒅𝒆𝒒 𝒆𝒕 𝒅𝒆𝒒 = 𝒅 − 𝟎, 𝟗𝟑𝟖𝟐𝑷 𝟒 les tableaux 1 et 2 (page 2) donnent aussi les valeurs de As. b) Surface d’appui sous tête ou sous écrou ou sous rondelle : Am = π/4(De2 – Db2). c) Influence de la raideur de l’assemblage : il faut assurer en permanence le contact entre les pièces assemblées. On préconise des ratios entre la précharge et les efforts extérieurs. Dans le cas d’étanchéité plane, il faut après application des charges que la pression de contact reste suffisante. Il faut alors des boulons rigides et des pièces élastiques. Pour diminuer les contraintes dans les vis il faut des boulons élastiques et des pièces rigides. - Etat de contraintes dans la vis : Dans le cas général de sollicitations axiales d’assemblages sans flexion, la vis est tendue par un effort FB et tordue par un moment de torsion MB = C’ = F0 (0,16 P + 0,583.d2.tan(μ)) En un point A de la périphérie du noyau, on aura donc un état combiné de traction et de torsion : σA = Kt1.σ Avec Kt1 coefficient de concentration de contrainte en traction et σ = 4 FB / (πdeq2) = effort de traction / section du noyau. ζA = Kt2.ζ avec Kt2 coefficient de concentration de contrainte en torsion et ζ = 16 C’ / (π deq3) = contrainte de torsion dans le noyau. L’application du critère de Von Mises permet d’obtenir la valeur de contrainte normale équivalente σeq : σeq = [ (Kt1.σ)2 + 3 (Kt2.ζ)2 ]1/2 critère σeq ≤ 0,9.Re min

Dans le cas d’une sollicitation supplémentaire de flexion, la contrainte de flexion multipliée par son coefficient de concentration de contrainte viendra s’ajouter à la contrainte de traction. Le calcul de la contrainte équivalente resterait inchangé. Ce calcul, bien que parfaitement correct pour la partie filetée située loin des zones d’application des charges, ne permet pas d’avoir une idée exacte de la résistance de la vis. Remarques :  La rupture d’une vis au serrage ou en utilisation se produit pratiquement toujours au niveau du premier filet en prise (Figure 2). Les autre cas de rupture constatés sont toujours dus à des anomalies de forme ou de type métallurgique qui auraient normalement dû entraîner ENSAM Meknès



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l’élimination de l’élément fileté lors du contrôle de fabrication. C’est la conséquence de la répartition non uniforme de la charge entre les filets de l’écrou et de la vis. Dans le cas d’un écrou normal, le premier filet supporte environ 34% de la charge totale (Figure 3). Il est donc soumis à un état de contraintes complexe qui dépend de nombreux paramètres.

Figure 2 : Répartition de la charge entre les filets de l’écrou et de la vis

Figure 3 : Répartition de la charge entre les filets d’un écrou normal

 La répartition des efforts entre les filets est forcément influencée par le niveau d’introduction de la charge sur l’écrou. Ainsi, on obtiendra une diminution importante de la contrainte supportée pas les vis en utilisant des écrous suspendus ou des écrous de forme spéciale (Figure 4). On obtiendra alors également une forte amélioration de la tenue en fatigue de la vis en diminuant la valeur de la pointe de contrainte qui amorce la rupture.

Figure 4 : Répartition de la charge entre les filets de divers écrous

-

Résistance des boulons sous charge statique : Compte tenu des remarques précédentes, il serait illusoire de réaliser un calcul prenant en compte tous les paramètres. La vis sera considérée comme une tige cylindrique de section AS, les valeurs de contraintes de références (valeurs limites) seront directement déduites d’essais de traction réalisés sur la vis équipée de son écrou. De cette manière, l’ensemble des défauts de forme et la non-homogénéité du matériau due au forgeage de la tige et au roulage des filets sont globalement pris en compte au cours de l’essai.

 Traction axiale : Lorsqu’un boulon est soumis à un effort de traction axiale, l’effort maximal qu’il peut supporter sans se déformer notablement de façon permanente peut être calculé de la façon suivante : FB max = 0,9 Re min.AS Avec AS section résistante de la tige de la vis ; Re min limite élastique minimale de la classe de qualité considérée.  Traction et torsion combinées : C’est le type de sollicitation à laquelle est soumis un boulon mis sous tension avec un serrage à la clé. On calcule la contrainte équivalente, par l’application du critère de Von Mises, sur la vis modélisée par une tige cylindrique de

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section AS, soumise à un effort normal FB et à un moment de torsion MB=C’. On obtient ainsi : σeq = [σB 2 + 3.ζB2]1/2 Avec σB = FB / AS et ζB = 16.C’/π.deq3 (AS, C’ et deq déjà définis auparavant). Comme précédemment, on peut dire que la contrainte normale équivalente maximale que peut supporter le boulon sans se déformer notablement est égale à σeq max = 0.9 Re min.  Traction, torsion et flexion combinées : C’est pratiquement le cas de tous les assemblages car il est très rare que les efforts soient appliqués suivant l’axe des boulons. Le calcul est le même que précédemment mais il est souvent difficile d’évaluer le moment de flexion dans la tige. Un essai a été mis au point pour s’assurer que la vis pourra subir ces sollicitations supplémentaires (courantes) sans abaissement important de ses performances. C’est l’essai de traction avec cale biaise défini par la norme NF E 27-00. Dans cet essai, la vis doit satisfaire aux exigences minimales de résistance à la rupture de sa classe de qualité, sa tête étant appuyée sur un plan incliné, ce qui introduit un fort moment de flexion dans la tige au voisinage de la tête et doit entraîner une importante déformation plastique. Une contrainte de flexion supplémentaire diminuera toujours la tenue d’un boulon et on devra l’éviter, dans la mesure du possible, par un dessin judicieux des pièces (voir tableaux en annexe, page 17, donnant les règles de conception des liaisons par assemblages boulonnés). -

Rigidité de la vis : soit F0 l’effort de serrage initial (précharge). L’allongement de la vis 𝟏

(boulon) dû à cet effort de serrage est : 𝜟𝑳𝑩 = 𝑲 𝑭𝟎 avec 𝑲𝑩 rigidité du boulon. Pour 𝑩

calculer la rigidité de la vis, on prend comme modèle un arbre épaulé, de module d’élasticité longitudinale EB soumis à un effort de traction F0. Pour prendre en compte la rigidité totale du boulon, l’influence de la rigidité de la tête et de la liaison filetée vis-écrou, on introduit deux longueurs équivalentes supplémentaires égales à 0,4d où d est le diamètre nominal du boulon (figure suivante) :

En écrivant que 𝜟𝑳𝑩 est la somme des allongements des deux parties du modèle, on 𝟏

𝟏

𝒍 +𝟎,𝟒𝒅

obtient : 𝑲 = 𝑬 [ 𝟏 𝑩

-

𝑩

𝑨

+

𝒍𝟎 +𝟎,𝟒𝒅

𝜋𝑑 2

𝑨𝒔

4

] avec 𝐴 =

et 𝐴𝑆 =

2 𝜋𝑑 𝑒𝑞

4

Rigidité des pièces assemblées : l’étude statique permet d’écrire que la contraction des 𝟏

éléments assemblés est : 𝜟𝑳𝑨 = 𝑲 𝑭𝟎 avec 𝑲𝑨 rigidité des pièces assemblées. Pour 𝑨

calculer la rigidité des pièces assemblées, on prend comme modèle un empilage de n tronçons de section Sm, de longueur Lki, de module d’élasticité longitudinale Ei, associés aux n pièces assemblées et soumis à une compression pure (figure page suivante). Sm est donc une section moyenne équivalente du cône de distribution de la charge qui apparait dans le tableau donné en annexe page 17, cône dont la petite base est de diamètre W = De+Lk.

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En écrivant que 𝜟𝑳𝑨 est la somme des contractions des pièces 𝟏

𝟏

𝑳𝒌𝒊

𝒎

𝑬𝒊

assemblées, on obtient : 𝑲 = 𝑺 𝑨

.

𝑳𝒌𝒊 représente la hauteur (dans le sens de l’assemblage de la ième pièce assemblée). 𝑬𝒊 est le module de Young de cette pièce.

L’expression de Sm dépend de la géométrie de l’assemblage on trouve ces valeurs dans le tableau suivant : 𝑫é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 é𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒑𝒊è𝒄𝒆𝒔 𝒂𝒔𝒔𝒆𝒎𝒃𝒍é𝒆𝒔 (𝑺𝒎 )

𝑫𝒂 ≤ 𝑫𝒆 𝑺𝒎 =

𝝅 𝟐 (𝑫 − 𝑫𝟐𝒃 ) 𝟒 𝒂

𝑫𝒆 < 𝑫𝒂 < 𝑫𝒆 + 𝑳𝑲 𝑫𝒂 ≥ 𝑫𝒆 + 𝑳𝑲 𝝅 𝟐 𝝅 𝑺𝒎 = 𝑫 − 𝑫𝟐𝒃 𝑺𝒎 = 𝑫𝟐 − 𝑫𝟐𝒃 𝟒 𝒆 𝟒 𝒆 𝝅 𝝅 + 𝑫𝒆 𝑫𝒂 − 𝑫𝒆 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝑫𝒆 𝑳𝑲 𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟖 𝟒 𝑳𝑲 𝑫𝒆 𝟏 𝑳𝑲 𝑫𝒆 𝟏 ) 𝟑 𝒔𝒆𝒓𝒓𝒂𝒈𝒆 𝒑𝒂𝒓 é𝒄𝒓𝒐𝒖 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒙 = ( 𝟐 ) 𝟑 𝒔𝒆𝒓𝒓𝒂𝒈𝒆 𝒑𝒂𝒓 é𝒄𝒓𝒐𝒖 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒙 = ( (𝑳𝑲+𝑫𝒆 )𝟐 𝑫𝒂 𝟎,𝟐 𝑳𝑲 𝟎,𝟐 𝑳𝑲 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒙 = 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒙 = 𝑫𝒂 𝑳𝑲 + 𝑫𝒆 𝒔𝒆𝒓𝒓𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒕𝒓𝒐𝒖 𝒃𝒐𝒓𝒈𝒏𝒆 𝒔𝒆𝒓𝒓𝒂𝒈𝒆 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒕𝒓𝒐𝒖 𝒃𝒐𝒓𝒈𝒏𝒆

Remarque 1 : dans le cas où la surface de reprise des efforts est tronquée (figures suivantes), on utilise la formule du cas n° 2 en prenant : 𝑫𝒂 =

𝒂+𝒃 𝟐

avec (a et b) ˂ 3De.

Remarque 2 : on a vu dans les dispositions constructives à privilégier (annexe tableaux règles de conception) que l’on devrait s’efforcer de rapprocher le plan d’application de la charge du plan de joint des pièces à assembler. On utilise donc une longueur corrigée Ψ qui est proportionnelle à Lk (Ψ = α.Lk) afin de prendre en compte les différents niveaux où s’applique l’effort extérieur. On retrouvera et on utilisera cette distance Ψ dans le calcul du rapport de rigidité λ. ENSAM Meknès



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-

𝒎 𝒏

𝑲𝑩 (𝟏+ 𝜹)

Rapport de rigidité λ : dans le cas général 𝝀 = 𝜶 𝑲

𝑨 +𝑲𝑩 (𝟏+𝜹)

Avec 𝜹 =

𝒏𝟐 𝑺𝒎 𝑰𝒙𝒙′

(figure ci-contre) ;

øW : diamètre estimé de la surface de reprise des efforts (W=De+Lk min), Lk min étant l’épaisseur de la pièce la moins épaisse parmi les pièces assemblées. O : centre de la surface réelle de reprise des efforts (ici centre de la surface grisée). O1 : trace de l’axe de la vis. m : distance de FE (effort extérieur) à O. n : distance de O à O1 affectée du signe (+) si FE et F0 sont du même coté de l’axe x’ox, du signe (-) si FE et F0 sont de part et d’autre de l’axe x’ox. Sm : section équivalente des pièces assemblées (voir tableau définissant Sm). Ixx’ : moment d’inertie par rapport à x’ox de la surface de reprise des efforts. Le calcul de Ixx’ peut être obtenu à l’aide de logiciels de CAO-DAO. Remarque : dans le cas particulier où FE s’exerce dans l’axe de la vis (m = 0) et où la surface de reprise des efforts n’est pas tronquée de manière dissymétrique (n = 0 et O ≡ O1) l’expression de λ se simplifie sensiblement : 𝝀 = 𝜶 𝑲 𝟏

𝑲𝑩

𝑨 +𝑲𝑩

𝟏

. Pour les assemblages les 𝟏

plus classiques on peut admettre que 𝚿 = 𝟐 𝑳𝒌 (𝜶 = 𝟐) on obtient alors : 𝝀 = 𝟐 𝑲

𝑲𝑩

𝑨 +𝑲𝑩

Étape 2 : Calcul de la contrainte dynamique et vérification de la tenue de la vis a) Cas de la sollicitation dynamique (FE dyn) exercée suivant l’axe de la vis et au niveau du plan de joint tête de vis/pièce : dans ce cas 𝝀 = 𝑲

𝑲𝑩

𝑨 +𝑲𝑩

 Cas d’une charge extérieure dynamique (FE) de traction ondulée : 𝑭𝑩 𝒅𝒚𝒏 =

𝑭𝑩 𝒎𝒂𝒙 −𝑭𝑩 𝒎𝒊𝒏 𝟐

=

𝝀(𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 −𝑭𝑬 𝒎𝒊𝒏 ) 𝟐

Ce qui permet d’écrire : 𝛔𝐝 = 𝝀

𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏 𝑨𝒔

= 𝝀 . 𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏 =𝝀

(𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 −𝑭𝑬 𝒎𝒊𝒏 ) 𝟐𝑨𝒔

 Cas d’un effort variable (FET) de traction et (FEC) de compression : 𝑭𝑩 𝒅𝒚𝒏 = 𝝀 .

(𝑭𝑬 𝑻 +𝑭𝑬𝑪 ) 𝟐

qui permet d’écrire que 𝛔𝐝 = 𝝀

(𝑭𝑬 𝑻 +𝑭𝑬 𝑪 ) 𝟐𝑨𝒔

La contrainte dynamique 𝛔𝐝 doit rester inférieure à la contrainte dynamique admissible 𝛔𝐚 𝐦𝐚𝐱 (tableau ci-après) qui reste faible du fait d’une plastification en fond de filet de la vis. Cette plastification se produit même dans le cas de charges statiques faibles. La contrainte 𝛔𝐚 𝐦𝐚𝐱 est indépendante de la classe de qualité. Dimensions de la vis M4 à M8 M10 à M16 M18 à M30 ENSAM Meknès


𝛔𝐚 𝐦𝐚𝐱 en MPa 60 50 40 Assemblages boulonnés

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b) Cas de la sollicitation dynamique (FE dyn) exercée parallèlement à l’axe de la vis : Dans ce cas le calcul prend en compte les contraintes dues à la flexion. Par analogie avec le résultat du cas précédent, on pose : 𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏

𝛔𝐝 = 𝝀[

𝑨𝒔

+

𝑴𝑩 𝒅𝒚𝒏 .𝒅𝒆𝒒 𝟐𝑰𝒆𝒒

]

Avec : 𝝀 : Rapport de rigidité précédemment calculé ; 𝑰𝒆𝒒 : Inertie en flexion de la partie filetée du boulon 𝑰𝒆𝒒 =

𝝅𝒅𝒆𝒒 𝟒 𝟔𝟒

;

𝑴𝑩 𝒅𝒚𝒏 : Partie du moment de flexion dynamique (dû à l’effort excentré supporté par le 𝑲

𝒏

boulon) 𝑴𝑩 𝒅𝒚𝒏 ≈ 𝑲𝑭𝑩 𝟏 − 𝒎 𝝀 𝒎 . 𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏 ; 𝑭𝑨

𝑲𝑭𝑩 : Rigidité en flexion de la vis ; 𝑲𝑭𝑨 : Rigidité en flexion des pièces assemblées ; 𝒎 : Distance de 𝑭𝑬 𝒅𝒚𝒏 au centre O ; 𝒏 : Distance de O à O1 affectée du signe (+) si FE et F0 sont du même coté de l’axe x’ox, du signe (-) si FE et F0 sont de part et d’autre de l’axe x’ox. Par analogie avec le calcul de rigidité en traction : 𝟏 𝑲𝑭𝑩 𝟏 𝑲𝑭𝑨

𝟏

𝑳

𝑳

= 𝑬 [ 𝑰 𝟏 + 𝑰 𝟎 ] avec 𝑰𝟏 = 𝑩

=𝑰

𝟏 𝒙𝒙′

𝟏

𝟎

𝑳

[ 𝑬𝒌𝟏 + 𝟏

𝑳𝒌𝟐 𝑬𝟐

𝝅𝒅𝟒 𝟔𝟒

et 𝑰𝟎 = 𝟏

+ ⋯ ] c-à-d 𝑲

𝑭𝑨

=𝑰

𝟏 𝒙𝒙′

𝝅𝒅𝒆𝒒 𝟒 𝟔𝟒 𝑳𝒌𝒊

= 𝑰𝒆𝒒 ;

𝑬𝒊

Avec 𝑬𝒊 : module de Young de la ième pièce assemblée ; 𝑳𝒌𝒊 : longueur dans le sens de l’assemblage de la ième pièce assemblée ; 𝑰𝒙𝒙′ : moment d’inertie par rapport à l’axe x’ox de la surface de reprise des efforts. Le calcul de 𝑰𝒙𝒙′ peut être obtenu à l’aide de logiciels de CAO-DAO. La vérification de la tenue dynamique de la vis est obtenue si 𝛔𝐝 est inférieure aux valeurs admissibles (voir tableau p : 11) déjà définies dans le cas précédent : 𝛔𝐝 < 𝛔𝐚𝐝𝐦 . Étape 3 : Calcul de la tension minimale requise dans la vis La relation qu’il convient d’utiliser pour le calcul de la tension minimale requise dans les cas les plus courants s’écrit : 𝑻

𝑻𝒓 = 𝒕𝒂𝒏𝑬𝝋 + 𝟏 − 𝝀 𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝑨𝒔 avec les efforts en N et 𝑨𝒔 en mm2. Le premier terme représente l’effort pour éviter le glissement de l’assemblage. Le deuxième terme représente l’effort pour éviter le soulèvement dû à l’effort axial. Le troisième terme représente les effets de fluage ou supplémentaire dans le cas d’étanchéité. Dans le cas d’excentration importante, la norme propose d’autres relations spécifiques. Étape 4 : Calcul de la contrainte maximale et choix de la classe de qualité La précharge à appliquer à la vis est 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 = 𝑻𝒓 . Pratiquement il existe une grande incertitude sur la relation entre couple de serrage et tension de la vis. Dans le cas général on définit donc une précharge maximale 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 telle que : 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 = 𝜸𝑻𝒓 où 𝜸 est un coefficient d’incertitude sur le serrage, avec : 𝜸=

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𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏

.



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En pratique on adopte les valeurs de 𝜸 (d’après NF E 25-30) données dans le tableau suivant : 𝜸 𝜸

𝜸

𝜸

Le couple maximum sollicitant la vis dans le cas où la précharge est 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 s’écrit : 𝑪′ = 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 (𝟎, 𝟏𝟔𝑷 + 𝟎, 𝟓𝟖𝟑𝒅𝟐 𝒕𝒂𝒏𝝁) La contrainte de torsion a pour valeur : 𝜻𝒎𝒂𝒙 =

𝟏𝟔.𝑪′ 𝒎𝒂𝒙 𝝅𝒅𝒆𝒒 𝟑

L’effort maximum sur le boulon, dans le cas où la précharge est 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 , vaut : 𝑭𝑩𝒎𝒂𝒙 = 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 + 𝝀𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 La contrainte de traction a pour valeur : 𝝈 =

𝑭𝑩𝒎𝒂𝒙 𝑨𝒔

La contrainte équivalente (Von Mises) a donc pour expression : 𝝈𝒆𝒒 𝒎𝒂𝒙 =

(

𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙+𝝀𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 𝟐 ) 𝑨𝒔

+ 𝟑𝜻𝟐 qui ne doit pas excéder la limite d’élasticité du matériau

constituant la vis (voir valeurs des caractéristiques mécaniques des vis et goujons tableau 3 page 3). Étape 5 : Calcul du couple de serrage On a déjà vu à l’étape 4 que 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 = 𝑻𝒓 et 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 = 𝜸𝑻𝒓 . La tension initiale moyenne peut donc s’écrire 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚 =

𝑻𝒓 𝟐

(𝟏 + 𝜸) soit 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚 = 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏

(𝟏+𝜸) 𝟐

.

Si l’on note (𝒕𝒂𝒏𝝁𝒇 ) le coefficient de frottement au niveau du filet et (𝒕𝒂𝒏𝝁𝒕 ) le coefficient de frottement au niveau de la tête : 𝑪𝒔 = 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚 (𝟎, 𝟏𝟔𝑷 + 𝟎, 𝟓𝟖𝟑𝒅𝟐 𝒕𝒂𝒏𝝁𝒇 + 𝒓𝒎 𝒕𝒂𝒏𝝁𝒕 ) avec 𝒓𝒎 : rayon moyen de la surface d’appui tête/pièce. Étape 6 : Vérification de la pression sous tête ou sous écrou ou sous rondelle 𝑷𝒂 =

𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 +𝝀𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 𝝅 (𝑫 𝟐 −𝑫𝒃 𝟐 ) 𝟒 𝒆

il faut que 𝑷𝒂 < 𝑷𝒂𝒅𝒎 (voir valeurs de 𝑷𝒂𝒅𝒎 tableau page 7).

3. Règles pratiques de conception des assemblages boulonnés : Choix des éléments de fixation :  

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Il est conseillé d’utiliser des produits normalisés de préférence à pas gros ; Le choix de l’entraînement de la vis (tête hexagonale, fente, empreinte, …) dépend de divers paramètres : passage de l’outil, couple, type de montage, … ;



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 



On préfère les écrous hexagonaux plutôt que les carrés (sauf cas particulier), à hauteur normale ; Dans le couple vis-écrou les normes prévoient que dans un assemblage serré jusqu’à la rupture, la vis doit céder avant l’écrou : exemple d’association 8.8 pour la vis 8 pour l’écrou ; Pour le choix d’une rondelle (il n’y a pas de classe de qualité) on se bornera à choisir une rondelle de dureté au moins égale à celle de la vis.

Dégagements pour outils : Dans la géométrie des zones d’assemblage, il ne faut pas oublier la place pour les moyens de montage et de démontage (systèmes mécaniques, manuels, …).

État de surface : Il est déconseillé de rectifier les surfaces de contact. Une surface trop lisse ne permettant pas de conserver un film lubrifiant éventuel au moment du serrage (augmentation de la dispersion sur le coefficient de frottement, risque de grippage,…). Longueur Filetée : Pour obtenir une répartition optimale des contraintes, il est souhaitable de prévoir au minimum 6 pas libres sous la surface de portée de l’écrou. L’extrémité du filetage doit en général comporter 2 pas libres. La longueur de filets en prise pour un taraudage est au moins égale à d (diamètre nominal de la vis) : 1 x d dans l’acier ; 1,5 x d dans la fonte ; 2 x d dans l’aluminium et ses alliages. Choix particuliers : Dans le cas où les efforts sont assez importants, pour éviter un nombre trop grand de vis ou des tailles trop importantes, il est recommandé d’éviter de solliciter les vis en cisaillement,

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on préférera la transmission d’efforts par adhérence ou par l’intermédiaire d’obstacles supplémentaires (goupilles, …). 4. Les procédés de serrage : Serrer correctement est un facteur de sécurité et un problème économique (les éléments surdimensionnés sont coûteux). Quelques méthodes de serrage : Serrage au couple On serre jusqu'à l'obtention d'un couple résistant. C’est la méthode la plus utilisée, facile à mettre en œuvre (manuelle par clé dynamométrique ou automatique par couplemètre dans la chaîne de vissage). La dispersion est élevée au niveau de la force de précontrainte (±𝟐𝟓%) car elle dépend du coefficient de frottement, sur le filetage et sous la tête, qui est difficile à maîtriser. Cette dispersion est mieux maîtrisée en utilisant une lubrification au niveau des filets grâce à des vernis spéciaux mais qui ont pour inconvénient d'augmenter le prix de revient de l'assemblage. Serrage à l'angle Il consiste à détecter la mise en place des pièces de l'assemblage en observant la montée en couple, puis à visser d'un angle déterminé. La valeur de l’angle est généralement déterminée expérimentalement sur une série de boulons équipés de jauges pour obtenir une force de précontrainte. La dispersion des résultats est faible, la difficulté réside en la détection de la montée en couple qui sert de point départ pour le comptage de l'angle. Ce type de procédé est essentiellement automatique. Serrage à la limite d'élasticité Cette méthode consiste à arrêter le vissage lorsque l'on atteint la limite élastique du matériau. Elle peut être utilisé manuellement (par des clés spéciales) ou automatiquement. Cette méthode à la propriété d'être de haute précision (7% d'erreur sur la précontrainte), il n'y a pas de plastification de la vis. Il faut parfaitement dimensionner l’assemblage et avoir un contrôle de qualité de la visserie. On ne peut pas mettre de rondelle dont le glissement perturberait la mesure. Les vis peuvent être réutilisées en toute sécurité sans risque de rupture. Mesure par ultrason On mesure l'allongement de la vis et son état de contrainte par la différence de temps de trajet et son amortissement. Le résultat est assez dépendant de l’état de surface de la tête du boulon, un parallélisme entre les deux faces du boulon.

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