PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
KETIDAKPASTIAN HEISENBERG FISIKA KUANTUM 1. 2. 3. 4.
KELOMPOK 1 BERKAT PANJAITAN FAJRUL WAHDI GINTING RAMEYANTI TAMPUBOLON ROULI NATALINA PAKPAHAN
ASAS KETIDAKPASTIAN HEISENBERG A. Ketidakpastian Heisenberg Prinsip Ketidakpastian Heisenberg merupakan salah satu konsep dasar dari Quantum Fisika, dan merupakan dasar untuk realisasi awal ketidakpastian mendasar dalam kemampuan suatu percobaan untuk mengukur lebih dari satu variabel kuantum pada suatu waktu. Mencoba untuk mengukur posisi suatu partikel dasar untuk tingkat akurasi tertinggi, misalnya,
mengarah ke
meningkatnya ketidakpastian untuk dapat mengukur momentum partikel ke tingkat yang samaakurasi yang tinggi.
Prinsip Heisenberg biasanya ditulis secara matematis dalam salah satu
dari dua bentuk: ΔE Δt ≥ h / 4π
Δx Δp ≥ h / 4π
Pada intinya ketidakpastian energi (ΔE) kali ketidakpastian dalam waktu (Δt) – Atau alternatif, ketidakpastian dalam posisi (Δx) kali ketidakpastian dalam momentum (Δp) – lebih besar atau sama dengan suatu konstanta (h / 4π). Konstanta h disebut Planck konstan (tempat h / 4π = 0,527 x 10 -34 Joule detik). B. Rumusan Umum Ketidakpastian Heisenberg Kenyataan bahwa sebuah partikel bergerak harus dipandang sebagai group gelombang de Broglie dalam keadaan tertentu alih-alih sebagai suatu kuantitas yang terlokalisasi menimbulakan batas dasar pada ketetapan pengukuran sifat partikel yang dapat diukur misalnya kedudukan momentum. Untuk menjelaskan faktor apa yang terlibat, marilah kita meninjau group gelombang dalam gambar berikut
Gambar. Group Gelombang Partikel yang bersesuaian dengan grup gelombang ini dapat diperoleh dalam selang grup tersebut pada waktu tertentu. Tentu saja kerapatan peluang
2
maksimum pada tengah-tengah grup,
sehingga partikel tersebut mempunyai peluang terbesar untuk didapatkan di daerah tersebut. Namun, kita tetap mempunyai kemungkinan untuk mendapatkan partikel pada suatu tempat jika
2
tidak nol. Lebih sempit grup gelombang itu, lebih teliti kedudukan partikel itu dapat
ditentukan (Gambar a).
(a)
(b) Gambar. (a) Group gelombang de Broglie terbatas. Posisi partikel dapat ditentukan secara tepat tetapi panjang gelombangnya (karena momentum partikel) tidak dapat ditentukan. (b) Lebar group gelombang. Kini panjang dapat ditentukan secara tepat tetapi bukan posisi partikel) tidak dapat ditetapkan. Namun, panjang gelombang pada paket yang sempit tidak terdefinisikan dengan baik; tidak cukup banyak gelombang untuk menetapkan λ dengan tepat. Ini berarti bahwa karena
h maka mv
momentum mv bukan merupakan kuantitas yang dapat diukur secara tepat. Jika melakukan sederetan pengukuran momentum, akan diperoleh momentum dengan kisaran yang cukup lebar. Sebaliknya, grup gelombang yang lebar seperti pada gambar b memiliki panjang gelombang yang terdefinisikan dengan baik. Momentum yang bersesuaian dengan panjang gelombang ini menjadi kuantitas yang dapat ditentukan dengan teliti, dan sederetan pengukuran momentum akan menghasilkan kisaran yang sempit. Akan tetapi di manakah kedudukan partikel tersebut? Lebar grup gelombang tersebut menjadi terlalu besar untuk menentukan kedudukan pada suatu waktu. Jadi kita sampai pada prinsip ketidakpastian : Tidak mungkin kita mengetahui keduanya yaitu kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat yang bersamaan. Prinsip ini dikemukakan oleh Werner Heisenberg pada tahun 1927, dan merupakan salah satu hukum fisis yang memegang peranan penting. Persoalan berikutnya adalah mencari suatu besaran yang mampu menampung dan mempresentasikan sifat-sifat partikel sekaligus sifat-sifat gelombang. Dengan demikian kuantitas tersebut harus bersifat sebagai gelombang tetapi tidak menyebar melainkan terkurung di dalam ruang. Hal ini dipenuhi oleh paket gelombang yang merupakan kumpulan
gelombang dan terkurung dalam ruang tertentu. Analisis yang formal mendukung kesimpulan tersebut dan membuat kita mampu untuk menyatakannya secara kuantitatif. Contoh yang paling sederhana dari pembentukan grup gelombang, perhatikan kombinasi dari dua gelombang bidang berikut :
1 x, t A cos 1 t k1 x 2 x, t A cos 2 t k 2 x Prinsip super posisi memberikan : x, t =
=
x, t 1 x, t 2 x, t 2 k k2 AR cos 1 t 1 x 2 2
Dengan amplitude AR 2 AR 2 A cos 1 2
k1 k 2 x 2
t
Dalam bentuk grafik
Gambar. Superposisi dua gelombang tunggal
Bila gelombang tunggalnya diperbanyak
Gambar. Superposisi dari n gelombang
Tampak dari gambar di atas bahwa paket gelombang terlokalisasi di daerah yang sebesar Δx dan lokalisasi ini yang diharapkan sebagai posisi partikel klasik.
Gambar. Kemungkinan posisi partikel di daerah Δx Setelah mendapatkan objek yang dapat menyatakan partikel sekaligus gelombang berikutnya harus dicari perumusan matematisnya. Formalis mematematis untuk paket gelombang yang terlokalisasi tersebut tidak lain adalah transformasi Fourier. f ( x)
g ( k ) e ikx dk
Sebagai contoh, jika distribusi gelombang dengan vektor gelombang k, g(k), diberikan seperti gambar.
Gambar. Distribusi g(k)
Maka distribusi gelombang di dalam ruang koordinat f(x),
ikx g (k ) e dk
f (x) =
=
1 e ikx iax
=
1 eiax / 2 e iax / 2 a x i
=
2 sin a x / 2 ax
a / 2
a / 2
1 ikx e dk a
a/2 a / 2
Grafiknya :
Gambar. Transformasi Fourier dari g(k) Dari uraian contoh dan gambar transformasi Fourier di atas, diperoleh hubungan antara Δx dan Δk (atau Δp). Hubungan antara Δx dan Δk bergantung pada bentuk paket gelombang dan bergantung pada Δk, Δx didefinisikan. Perkalian (Δx) (Δk) akan minimum jika paket gelombang berbentuk fungsi Gaussian, dalam hal ini ternyata transformasi Fouriernya juga merupakan fungsi Gaussian juga. Jika Δx dan Δk diambil deviasi standar dari fungsi Δ(x) dan g(k), maka harga minimum Δx Δk = ½. Karena pada umumnya paket gelombang tidak memiliki bentuk Gaussian (bentuk lonceng), maka lebih realistis jika hubungan antara Δx dan Δk dinyatakan sebagai berikut : X k
1 2
Panjang gelombang de Broglie untuk sebuah partikel bermomentum p adalah :
h p
Bilangan gelombang yang bersesuaian dengannya adalah : p
h k 2
Oleh karena itu, suatu ketidakpastian Δk dalam jumlah gelombang pada gelombang de Broglie berhubungan dengan hasil-hasil partikel dalam suatu ketidakpastian Δp dalam momentum partikel menurut Persamaan : p
h k 2
Karena x k
1 1 , k 2 x 2
x p
h 4
Dan (prinsip ketidakpastian)
Persamaan ini menyatakan bahwa hasil kali ketidakpastian kedudukan benda Δx pada suatu saat dan ketidakpastian komponen momentum dalam arah x yaitu Δp pada saat yang sama lebih besar atau sama dengan h / 4π. Kita tidak mungkin menentukan secara serentak kedudukan dan momentum suatu benda. Jika diatur supaya Δx kecil yang bersesuaian dengan paket gelombang yang sempit, maka Δp akan menjadi besar. Sebaliknya, Δp direduksi dengan suatu cara tertentu, maka paket gelombangnya akan melebar dan Δx menjadi besar. Ketidakpastian ini bukan ditimbulkan oleh alat yang kurang baik tetapi ditimbulkan oleh sifat ketidakpastian alamiah dari kuantitas yang terkait. Setiap ketidakpastian instrumental atau statistik hanya akan menambah besar hasil kali Δx Δp. Karena kita tidak mengetahui secara tepat apa partikel itu atau bagaimana momentumnya, kita tidak dapat menyatakan apapun dengan pasti – bagaimana kedudukan partikel itu kelak dan seberapa cepat partikel tadi bergerak. Jadi, “kita tidak dapat mengetahui masa depan karena kita tidak mengetahui masa kini”. Kuantitas h/2π sering muncul dalam fisika modern, karena ternyata kuantitas itu merupakan satuan dasar dari momentum sudut. Kuantitas ini sering disingkat dengan“ ħ (baca ; h bar)” :
h 1,05 x 10 34 J .s 2
Selanjutnya, dalam buku ini kita akan memakai ħ sebagai pengganti h/2π. Dinyatakan dalam ħ, prinsip ketidakpastian menjadi : x p
2
C. Perhitungan Δx Δp Untuk Berbagai Keadaan
Tetapan Planck berharga sangat kecil – hanya 6,63 x 10-34 Js, sehingga pembatasan yang ditimbulkan oleh prinsip ketidakpastian hanya penting dalam dunia atomik. Dalam skala ini, prinsip ini sangat menolong untuk mengerti banyak gejala. Perlu diingat bahwa batas bawah ħ/2 untuk Δx Δp sangat jarang dicapai : biasanya Δx Δp ~ ħ. Bentuk lain dari prinsip ketidakpastian kadang-kadang berguna. Mungkin kita ingin mengukur energi E yang dipancarkan pada suatu waktu selama selang waktu Δt dalam suatu proses atomik. Jika energi berbentuk gelombang elektromagnetik, batas waktu yang tersedia membatasi ketepatan kita menentukan frekuensi υ dari gelombang itu. Marilah kita anggap paket gelombang itu sebagai satu gelombang. Karena frekuensi gelombang yang sedang dipelajari sama dengan bilangan yang kita hitung dibagi dengan selang waktu, ketidakpastian frekuensi
Δυ dalam
pengukuran kita adalah :
1 t
Ketidakpastian energi yang bersesuaian ialah : E h
Sehingga : E
h t
atau
E t h
Perhitungan yang lebih teliti berdasarkan sifat paket gelombang mengubah hasil tersebut menjadi : E t
2
Contoh : 1.
Atom hidrogen berjari-jari 5,3 x 10-11 m. Gunakan prinsip ketidakpastian untuk memperkirakan energi elektron yang dapat dimilikinya dalam atom itu. Penyelesaian : Di sini kita dapatkan untuk Δx = 5,3 x 10-11 m, p
≥ ≥
2 x
9,9 x 10-25 kg.m/s
Elektron yang momentumnya sebesar itu berperilaku sebagai partikel klasik, dan energi kinetiknya adalah : K
p2 2m
≥
9,9 x 10 kg.m / s 2 x 9,1 x 10 kg
≥
5,4 x 10-19 J
25
31
Yang sama dengan 3,4 eV, sebenarnya energi kinetik elektron pada tingkat energi terendah dalam atom hidrogen adalah 13,6 eV.
2.
Sebuah elektron yang tereksitasi mengeluarkan kelebihan energinya dengan memancarkan sebuah foton yang memiliki frekuensi karakteristik tertentu. Periode rata-rata yang berlangsung antara eksitasi elektron dan saat memancarkannya adalah 10-8 s. Cari ketidakpastian energi dan frekuensi foton itu. Penyelesaian : Energi foton tertentu dengan besar :
E
≥ ≥
h 2 t
≥
1,054 x 10 34 J .s 2 x 10 8 s
5,3 x 10-27 J
Ketidakpastian frekuensi cahaya diberikan dalam bentuk :
≥
E h
≥
8 x 10 6 Hz
