UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE ARQUITECTURA
Profesora: Mónica Aguado. Curso: Matemática I. Tema: La Parábola. Integrantes: García Condori Angheli Castro Araníbar Alexandra Calderón Miranda Lisbeth Huamán Capajaña MariaJose Alegre Siapo Jessica Terrones Uriarte Ever Condezo De la Vega Pamela -
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INTRODUCCIÓN La puerta de entrada a la Bahía de San Francisco fue bautizada Chrysopylae, o "Golden Gate", por el explorador John Charles Fremont en 1846 porque sentía que la Gran Entrada sería ventajosa para el comercio. Antes de la construcción del puente Golden Gate, la gente se sirvió de los transbordadores que viajan entre San Francisco y Marín para realizar el trayecto o para transportar agua de manantial de Sausalito a San Francisco. Una de las estructuras más reconocibles del mundo, el puente Golden Gate fue además en el momento de su finalización en 1937 el puente colgante más largo, y lo siguió siendo durante 27 años. Entre sus dos torres elevadas de acero pasan 1280 metros de aguas abiertas.
OBJETIVO GENERAL:
Analizar la ecuación de la parábola aplicada a la obra arquitectónica el
"
Golden Gate . "
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Determinar la ecuación de la parábola y desarrollar ejercicios aplicados a la ecuación.
Analizar las biografías de los arquitectos e ingenieros autores de la obra Golden Gate .
"
"
Analizar las diferentes ecuaciones de la parábola.
CONCEPTO: Llamado en algún momento "el puente que no se podía construir," hoy en día es una de las siete maravillas del mundo moderno. Es un puente atirantado situado en California, Estados Unidos, que une la península de San Francisco por el norte con el sur de Marín. Golden Gate es también el nombre del estrecho en el cual el puente está construido La construcción del puente puso de manifiesto los avances de la ingeniería en los 20 años anteriores, reforzados por los avances en el campo de la metalurgia, el trenzado y galvanizado de cables, incrementados por los últimos descubrimientos en materia de medición de cargas ocasionadas por los vientos, permitiendo la construcción de un puente elegante, a la vez que flexible y resistente. En la década posterior a la Primera Guerra Mundial el tráfico rodado en la región de la bahía de San Francisco se multiplicó por siete, de modo que el sistema de ferris fue incapaz de absorber ese crecimiento. Catalogado como puente colgante, construido entre 1933 y 1937, con una longitud aproximada de 1280 metros, está suspendido de dos torres de 227 m de altura. Tiene una calzada de seis carriles (tres en cada dirección) y dispone de carriles protegidos accesibles para peatones y bicicletas. El puente se utiliza para el cruce de tendidos eléctricos y conducciones de combustible. Bajo su estructura, deja 67 m de altura para el paso de los barcos a través de la bahía. El Golden Gate constituyó la mayor obra de ingeniería de su época. Fue pintado con urgencia para evitar la rápida oxidación producida en el acero de su estructura por el océano Pacífico.
HISTORIA DEL DISEÑO Y LA CONSTRUCCIÓN DEL PUENTE
San Francisco creció rápidamente a principios del siglo pasado, pero el estrecho Golden Gate de una milla de ancho limitaba el acceso y el desarrollo de la ciudad hacia el norte. Para viajar hacia el norte a Marín County y más allá, a Redwood Empire, era necesario hacer un largo viaje en transbordador. En 1923, el apoyo popular para construir un puente que una ambos lados de la entrada a la bahía utilizó la consigna "Unamos la Entrada". Los partidarios de la construcción del puente convencieron a la legislatura del estado de California para crear un distrito especial llamado Golden Gate Bridge a nd HighwayDistrict, que sería la entidad encargada de financiar, construir y operar dicho puente. En 1928 se incorporó dicho distrito, el cual incluyó los condados de San Francisco, Marín, Sonoma, Del Norte, y partes de Napa y Mendocino. Un puente sobre el estrecho de Golden Gate: esa era la ambición de Joseph B. Strauss, quien tuvo que superar muchos obstáculos para obtener las autorizaciones oficiales y ganarse el apoyo del público. Strauss enfrentó la fuerte oposición de los operadores de los transbordadores, los conservacionistas, e incluso algunos miembros de la comunidad de ingeniería. Strauss formó y dirigió a un destacado equipo de ingenieros, arquitectos, geólogos y trabajadores de la construcción para diseñar y construir el puente que impuso el récord mundial del tramo más largo (la distancia que se extiende entre las torres) y unió a una metrópolis en crecimiento.
DISEÑO En 1921, el ingeniero Joseph B. Strauss presentó un diseño de un puente que cruzaría el estrecho de Golden Gate: un puente híbrido con un tramo colgante cuyos extremos se apoyarían en armaduras voladizas. Para 1929, los ingenieros consultores León S. Moisseiff y O.H. Ammann habían persua dido a Strauss para que adoptara un diseño más agraciado y totalmente colgante, que es el que vemos hoy en día. Strauss designó al ingeniero Charles A. Ellis para que, junto con Moisseiff, haga los cálculos necesarios para realizar el diseño, lo cual fue un trabajo complejo y difícil puesto que no contaban con las computadoras modernas. La "calculadora" más común que utilizaban los ingenieros estructurales en esa época era una regla de cálculo, y los planos iniciales se hacían con lápiz y papel en las mesas de dibujo. Los ingenieros se basaban en los avances recientes de la teoría de diseño de los puentes colgantes de esa época. Ellos verificaban estos cálculos con pruebas que hacían en un modelo de una torre de acero a escala 1:56 (56 veces más pequeña que una torre real). Las pruebas confirmaron que los cálculos de la torre eran correctos. La geología de la ubicación de la torre sur fue analizada antes de que iniciara la construcción. Se planeó que la torre sur se construyera a más de 1,100 pies (335 metros) de la costa, sobre roca serpentina. El geólogo consultor Andrew C. Lawson dirigió una prueba de carga que consistió en la colocación de un peso
Equivalente a un vagón de tren totalmente cargado en un área de tan sólo 20 pulgadas cuadradas (508 mm2) de roca serpentina. La roca resultó ser más fuerte de lo necesario.
EL TRABAJO BAJO EL AGUA Uno de los mayores retos de la construcción tuvo lugar en el agua. La torre sur se encuentra a más de 1,100 pies (335 metros) de la costa de San Francisco. Para construir las estructuras de la torre sur, los buzos jugaron un papel muy importante al descender hasta 110 pies (33 metros) en las turbulentas aguas del estrecho de Golden Gate. Los buzos colocaron cargas de dinamita y retiraron material suelto hasta el lecho de roca con mangueras de alta presión. Después descendieron para guiar el posicionamiento de las formas y los embudos utilizados para colocar el concreto para la barrera de la base de la torre sur. Los buzos trabajaban en el agua oscura, turbia y fría, y solamente cuando cambiaba la marea y se atenuaban las corrientes que habitualmente eran fuertes, lo que ocurría cuatro veces al día. Los tanques de aire portátiles para buceo aún no se habían inventado. La vida del buzo dependía del bombeo continuo de aire a través de una larga manguera que llegaba desde la superficie.
ESTRUCTURA Puente en suspensión Los puentes de suspensión tienen dos pilares centrales que soportan toda la estructura. De esos pilares surgen unos cables que soportan el peso de la calzada. Cada pilar soporta el peso del tramo de puente desde el pilar hasta el extremo, y el tramo de puente desde el pilar hasta la mitad del puente.
La estructura está equilibrada porque el peso de cada lado de la pila se compensa con el peso del otro lado. Imaginemos dos balanzas (de las de dos platillos) que ponemos una junto a la otra, en línea. En ambas balanzas ponemos medio ladrillo en el platillo del extremo, y un ladrillo entero sobre los platillos que quedarían en el centro, pero de forma que una mitad de ese ladrillo entero descanse sobre el platillo de una balanza, y la otra mitad sobre el platillo de la otra.
Torres El Golden Gate está suspendido sobre dos torres de 227 mts de altura sobre el nivel de las aguas. Hay luces rompe nieblas en lo alto de las torres, como también balizas para alertar a las naves y aviones de la existencia del puente.
Datos Técnicos El puente Golden Gate tiene dos grandes torres que soportan los dos cables principales. Altura de la torre por encima del agua: 227 m Altura de la torre por encima de la carretera: 152 m La media de profundidad por debajo del agua de la torre sur: 34 mts Para construir el apoyo del muelle de la torre sur, los trabajadores de la construcción bombearon 35,6 millones de litros de agua para poder levantar la defensa que se construyó primero.
Calle Tiene seis carriles para el tráfico de vehículos, con un ancho aproximado de 27 mts y una profundidad de 7,6 m.
Deformación puente, capacidad de carga: La desviación máxima de la transversal en el centro abarca: 8,4mts La desviación baja máxima en el centro abarca: 3,3 m
Cables Colgados entre dos elegantes torres, los dos cables principales del puente pesan 11.000 toneladas cada uno, y están formados por 25.000 cables individuales, anclados en los extremos. Además de sostener la calle suspendida, los cables transmiten compresión a las torres y a los amarres del puente a cada extremo de la construcción y tienen una longitud de 2332 metros
MATERIALES Las pasarelas del puente fueron montadas por secciones y luego unidas a las torres. Tanto las vigas como los cables son de acero y en cada torre se han utilizado aproximadamente 600.000 remaches. Fueron levantadas sobre 19 placas de anclaje de base, de 125mm de grosor Los anclajes de las torres son de hormigón, trabajo que se vio interrumpido en numerosas ocasiones por las grandes mareas y tormentas, sobre todo en la orilla de San Francisco abierta completamente al mar. Fue necesario levantar primero un muro de contención de hormigón para crear un compartimento estanco, dinamitar la roca base donde se iba a cimentar la torre y luego verter 20m de hormigón debajo del agua para formar la base.
ANEXOS:
Historia del Diseño y la Construcción del Puente El ingeniero en jefe Strauss revisa los planes con algunos de los consultores principales de diseño. Imagen cortesía del Centro de Historia de San Francisco, Biblioteca Pública de San Francisco
Diseño
El diseño inicial, calificado por la prensa local como "feo", requería estructuras voladizas de aspecto pesado que sobresalían de las torres.
El Trabajo Bajo el Agua
Buzos usando su equipo pesado antes de ponerse los cascos
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Imagen de arriba cortesía de la Sociedad de Historia de San Francisco, Colección Huggins, CHS.Huggins.002
HISTORIA DEL GOLDEN GATE La idea de construir un puente que atravesara la bahía de san francisco se remonta a 1872. El 5 de enero de 1933 empezaron las obras del que iba a convertirse en el puente colgante más grande del momento: El Golden Gate.
La primera vez que se pensó en construir esta obra se desechó la idea por razones técnicas, ya que los arquitectos consideraron infranqueable la distancia entre las dos orillas. Pero a principios del siglo XX, el ingeniero Joseph B. Strauss recuperó aquella osada intención. Con gran empeño y desoyendo la opinión general, Strauss prosiguió con su idea, un proyecto descomunal. Hasta entonces, nadie había creído posible unir las orillas norte y sur de la bahía de San Francisco mediante un puente colgante.
Puente situado en California, USA, en la bahía de San Francisco, une la península de San Francisco por el norte con el sur de Marín. Es el nombre del estrecho en el cual el puente está construido, recibe el nombre del estrecho en Constantinopla, llamado también la Puerta Dorada.
Las condiciones para la construcción de un puente de semejantes dimensiones parecían extremamente desfavorables. La corriente en la entrada a la bahía era muy fuerte, el subsuelo capaz de soportar los pilones del puente se hallaba en el agua a una gran profundidad, al tiempo que no podían menospreciarse los riesgos que conllevaba un posible terremoto. Por añadidura, no se podía interrumpir el tráfico en la bahía. En resumen, las perspectivas no eran buenas, incluso para un ingeniero de la experiencia de Joseph B. Strauss. Con todo, el 5 de enero de 1933 se dio el pistoletazo de salida para la construcción del Golden Gate. Las obras se revelaron complicadas desde el principio, sobre todo en los cimientos del pilón meridional, que debía erigirse a 335 m. de la costa y a una profundidad de 30 m. En ese punto, la corriente era tan fuerte que los trabajos bajo el agua sólo eran posibles durante el cambio de marea, es decir, durante un máximo de 20 minutos al día. Los dos pilones del puente tienen una altura de 227 m cada uno y se fabricaron con bloques de acero vacíos, apilados unos sobre otros y unidos entre sí con 1,2 millones de remaches también de acero. El puente se halla suspendido de dos cables de acero —que van de orilla a orilla— soportados por los pilones de la estructura. Para formar cada uno de estos cables, cuyo diámetro es de 92,4 cm., se entrelazaron más de 27.000 alambres de 5 mm.de grosor. Estos «cordones gigantes» se fijaron a potentes anclajes de hormigón dispuestos en las dos orillas.
Los dos pilares más altos del puente tienen una masa de 22,000 toneladas de acero de 230 metros de altura. La distancia entre los dos es de 1,280 metros y El piso se eleva a 60 metros sobre el mar. El cable, que se apoya en los 2 pilares y que sostiene al piso, es de unos 90 cm. de diámetro compuesto por 27572 hilos de acero. A pesar de todas las contrariedades, el Golden Cate pudo inaugurarse solemnemente el 27 de mayo de 1937. Ese día, el Pedestrian Day, unas 200.000 personas «tomaron posesión» del puente recorriéndolo a pie. Acto seguido fueron inaugurados oficialmente los seis carriles para vehículos motorizados, así como las divisiones dedicadas al paso de bicicletas y peatones. En el primer día de funcionamiento, cruzaron el puente 32.000 vehículos; en la actualidad, la media diaria es de 100.000, y la tendencia es que en poco tiempo esta cifra aumente considerablemente. Joseph B. Strauss tenía una gran cualidad: la prudencia, de manera que para él la seguridad de los trabajadores fue siempre una gran preocupación. A pesar de ello, no se pudo evitar la muerte de once personas durante los trabajos de construcción. Cabe decir también que esta gigantesca obra habría costado la vida de muchas más personas si Strauss no hubiera mandado colocar redes de seguridad bajo el puente, ya que un total de 19 trabajadores sufrieron caídas desde una gran altura y fueron a parar al tejido de protección. Aparte de algunas lesiones, las 19 personas sobrevivieron para contarlo. Tras la conclusión de los trabajos, estos obreros fundaron el Half-Way-to-HellClub.
BIOGRAFÍAS DE LOS ARQUITECTOS E INGENIEROS QUE CONSTRUYERON EL GOLDEN GATE
Joseph Baermann Strauss (9 de enero de 1870 - 16 de mayo de 1938) Fue un ingeniero estructural estadounidense que revolucionó el diseño de puentes basculantes. Fue el ingeniero jefe del puente colgante Golden Gate en la bahía de San Francisco (California). Nació en Cincinnati, Ohio, en una familia de artistas de ascendencia alemana. Su madre era pianista y su padre, Raphael Strauss, escritor y pintor.
Joseph Strauss tuvo muchas aficiones, incluyendo la poesía. Después de la conclusión del Golden Gate retomó su pasión por la poesía y escribió su poema más conocido: "TheMightyTaskis Done" ("La Gran Tarea Está Hecha").Murió en Los Ángeles (California), justo un año después de la conclusión del Golden Gate. Su estatua puede visitarse en el lado del puente más próximo a la ciudad de San Francisco.
Charles Alton Ellis (1876-1949) Fue
un
profesor,
ingeniero
estructural y matemático, fue el principal responsable del diseño estructural del puente Golden Gate . Debido a una disputa con Joseph Strauss , no fue reconocido
por
su
trabajo
cuando el puente se abrió en 1937. Ellis nació en Parkman, Maine en 1876. La disputa fue sobre el tiempo que se tomaría para completar el diseño, esto llevó a Strauss acusar a Ellis de perder tiempo y dinero, para destituirlo del proyecto. La copia de los planos de ingeniería para el puente Golden Gate en los archivos de la Biblioteca del Congreso está firmado por Ellis, pero la placa colocada en el puente en 1937 no le dio ningún crédito. No fue sino hasta el 10 de mayo de 2007 que a Ellis se le dio oficialmente el reconocimiento por su participación en el proceso de diseño del puente Golden Gate.
Irving F. Morrow (1884-1952) Fue un arquitecto estadounidense conocido por diseñar el puente Golden Gate en San Francisco, California. Morrow se graduó en la recién fundada Universidad de California, Berkeley programa de arquitectura en 1906. Luego asistió a la Escuela Nacional Superior de Bellas Artes en París desde 1908 hasta 1911. Se trasladó de nuevo a Oakland y comenzó a practicar la arquitectura en San Francisco y Oakland. Diseñó casas, bancos, teatros, hoteles, escuelas y edificios comerciales. Morrow fue contratado en 1930 por Joseph Strauss para diseñar el puente Golden Gate . Él colaboró con Strauss con el diseño, esbozando sus ideas en carbón. También fue él quien decidió que el puente debe estar pintado de color naranja internacional, tonalidad elegida para que fuera visto en cualquier condición de luz. Al principio, la sugerencia de Morrow fue considerada por las autoridades del puente como absurda, ya que se pensaba que ninguna pintura podría soportar el clima salado. Morrow encontró tal pintura, y las autoridades del puente al final cedieron.
BIBLIOGRAFÍA http://www.aulamatematicas.org/Conicas/Parabola.htm http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuacion_parabola.html http://goldengate.org/exhibits/spanish/exhibitarea4_1.php https://es.wikiarquitectura.com/index.php/Golden_Gate https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)
LA PARABOLA Definición: Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistantes de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
En la figura el punto F es el foco y la recta D es la directriz, el punto V, a la mitad del foco y la directriz (pertenece a la parábola) se llama vértice. La recta L paralela a la directriz intercepta a la parábola en los puntos P y P´ los que son simétricos, y así ocurre con todos los puntos de ella por esta razón la recta VF, que pasa por el vértice y el foco es el bisector perpendicular de PP´ y de todas las cuerdas dibujadas de modo similar. A la recta que pasa por los puntos V y F se le llama eje de la parábola y se dice que la parábola es simétrica respecto a su eje. La ecuación más simple de la parábola la conseguimos haciendo coincidir el vértice con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el eje de las abscisas, de tal manera que la directriz D, tiene la ecuación x = -a; por tanto el punto R de ella tiene por coordenadas (-a, y). Aplicando la definición de la parábola del punto P a la directriz D y al foco F se tiene:
D (P, F) = d (P, R)
( −) +(−0) = ( +) +(−) De donde:
(−) + = (+) −2+ + = +2+
= 4
Esta es laecuacion de una parabola con el vertice en el origen y foco en ( a, 0). Como a>0 , x puede tomar cualquier valor positivo o cero , pero no valores negativos , en la grafica se aleja por tanto indefinidamente en el primer y cuarto cuadrantes y el eje de la parabola es el eje positivo de las absisas. A partir de la ecuacion , resulta evidente que la parabola es simetrica con respecto a su eje ,pues se tiene que: y= ±2
√
Lado recto: A la cuerda trazada por el foco y perpendicular al eje de la parabola se le da el nombre de lado recto. La longitud del lado recto se puede deteerminar mediante las coordenadas de sus extremos. Sustituyendo ´´a´´ con ´´x´´ en la ecuacion se encuentra :
=4
= 4 Ʌ 2 y= ±
Por lo tanto los extremos son (a,-2a) y (a,2a). esto hace que la longitud del lado recto sea igual a:
L.R.= 4a Si tenemos el foco de parabola a la izquierda del origen , se escoge a<0 ,por tanto el foco se representa con F(a,0) , y la directriz con x= -a. (ver la figura). Por consiguiente considerando el punto P(-x , y) se tiene:
Aplicando la definicion de la parabola del punto P a la directriz D , y al foco F se tiene:
d(P,F) = d(P,R)
( −+) +(−0) = ( +) +(−) De donde:
(−) + = (+) −2+ + = +2+
= 4
Esta es la ecuación de una parábola con el vértice en el origen y foco en (-a, 0). En esta última expresión como a<0, la variable x solo puede tomar valores negativos para que la expresión ultima , tenga sentido.
=4 En resumen podemos afirmar. ´´La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (a, 0) es: =4. La parábola se abre hacia la derecha si a>0 y se abre hacia la izquierda si a < 0.
En resumen: Posición
Se abre hacia la
Horizontal
Derecha
Horizontal
Izquierda
Vertical
Arriba
Vertical
Abajo
Ecuación
=4 =4 =4 =4
Valor de Si a>0 , x>0. Si a < 0, x< 0. Si a>0 , y>0. Si a < 0, y< 0
Parábola con el vértice en (h, k): Ahora consideramos una parábola cuyo eje es paralelo a una de los ejes coordenados (sin estar sobre el) y su vértice en (h, k); por tanto se presentan los casos siguientes: a) Eje paralelo al eje x: Siendo la parábola de vértice (h, k), y eje paralelo al eje X, el foco está situado en F (h+a, k), como la distancia del vértice al foco es ´´ a ‘usando la traslación de ejes se obtiene en seguida la ecuación:
´ =4´ La que está en función de los nuevos eje coordenados. Para escribir la ecuación de
La parábola con respecto a los ejes coordenados originales, usamos las fórmulas de traslación. x= x´+ h; y= y´ + k Obteniendo de este modo:
(−) =4(−) La misma que tiene sentido, solo cuando a>0 y (x-h)>0; dando como resultado que la parábola se abre hacia la derecha. Tal como se observa en la figura siguiente:
Para a<0, el factor (x-h) debe ser menor o igual a cero y por lo tanto, la parábola se abrirá hacia la izquierda. El eje de la parábola esta sobre la recta y-k=0. La longitud
del lado recto es igual al valor absoluto de “4a” Se puede hacer un análisis similar, si el eje de una parábola es paralelo al eje Y, en consecuencia, tenemos las siguientes afirmaciones:
Teorema 1: La ecuación de una parábola de eje paralelo al eje X, con vértice en (h, k) y foco F (h+a, k) es:
(−) = 4(−ℎ) En vista que:
(−) = 4(−ℎ) ≥ 0 Los signos de “a” y “x-h” son siempre iguales. Por consiguiente. La parábola se abre hacia la derecha, si a > 0 y x ≥ h; y se abre hacia la izquierda si a < 0 y x ≤ h.
Observación:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Vértice: V(h , k) Foco: F(h+a , k) Directriz: L: x= h – a Eje de la parábola : y=k
Longitud del lado recto : LR = │4a│ Extremos del lado recto : (h+a , k± 2a) Longitud del radio focal: si P(x1 , y1 ) es un punto de la parábola ,entonces la longitud del radio focal del punto P es: Rf = │FP│= │x1 – h+a│
Radio focal (FP): Es el segmento que une el foco con cualquier punto de la parábola. Se le conoce también con el nombre de radio vector. Teorema 2: La ecuación de una parábola de eje paralelo al eje Y con vértice en (h, k) y foco en (h, k+a) es:
(−ℎ) = 4(−) La parábola se abre hacia arriba si: a>0 e y ≥ k aquí el vértice V se llama punto mínimo de la parábola; y se abre hacia abajo si: a <0 e y ≤ k en este caso el vértice V se llama punto máximo de la parábola.
Observación: Los elementos de la parábola de ecuación ; son:
(−ℎ) = 4(−) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Vértice: V(h , k) Foco: F(k , h+a) Directriz: L: y= k – a Eje de la parábola : x=h
Longitud del lado recto : LR = │4a│ Extremos del lado recto : (h± 2ª , k+a) Longitud del radio focal: si P(x1 , y1 ) es un punto de la parábola ,entonces la longitud del radio focal (radio vector) del punto P es: Rf = │FP│= │y1 – k+a│
ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA: Nótese que cada de las ecuaciones anteriores es cuadrática en una variable y lineal en la otra variable. Este hecho nos permite expresar dichas ecuaciones de manera más elocuente, si se efectúa los cuadrados indicados y se transponen términos para obtener las formas generales de la parábola.
=4(−ℎ) es una parábola de eje horizontal y que la (−) (−ℎ) =4(−) es una parábola de eje vertical. Si desarrollamos −4 −2+( +4ℎ) = 0 −2ℎ −4+ (ℎ +4) = 0 Y observamos que cada uno contiene un término de segundo grado, ya sea en o . Es decir que cada ecuación se puede reducir a la forma cuadrática: +++= +++=
Así tenemos: ecuación: ambas ecuaciones se tiene:
Ahora inversamente, analicemos la ecuación:
+++=
(1)
Completamos cuadrados para pasarla a la forma ordinaria se tiene:
++ 4 = − − + 4 −4
(+ 2) = −− 4 ; ≠0 Veamos que si D ≠ 0, la ecuación (1) representa una parábola cuyo eje es horizontal. Si D=0, podemos escribir la ecuación (1) en la forma:
−4 (+ 2) = 4 Ecuación que representa:
Dos rectas paralelas al eje X , si : E 2- 4F > 0 Una recta paralela al eje X , si: E 2- 4F = 0 Un conjunto vacío si : E2- 4F < 0
TANGENTES A UNA PARABOLA: De la ecuación general de la recta tangente de una ecuación de 2do grado, la ecuación de su tangente se halla empleando el método del discriminante, se presenta los siguientes casos:
Caso 1: Tangente a un punto de contacto dado Si (x1, y1 ) es un punto de la parábola dada por : y 2 = 4px , la tangente tiene por ecuación: y1 . y = 2p( x + x 1 )
Caso 2: Tangente paralela a una dirección dada. La tangente de pendiente m a la parábola P: y 2 = 4px , tiene la forma: Y= mx +
; m≠0
Caso 3 :Tangentes trazadas desde un punto exterior En este caso usaremos la condición de tangencia para una curva de ecuación cuadrática:
∆=b2 – 4ac = 0 (discriminante) Para hallar el valor de la pendiente y con ella escribir la ecuación de la recta tangente usando la “Ecuación punto – pendiente “
