´ ´ ARMONICOS ESFERICOS Y EL GEOIDE
Joaqu Joa qu´ ´ın Montes Mont es Fern´ ernandez a´ndez 15 de octubre de 2013
En esta pr´actica vamos a aproximarnos los arm´onicos esf´ericos desde un punto visual, para entender su significado y su utilidad. El objetivo es reconstruir distintos cuerpos a partir de las suma de arm´onicos esf´ericos. Para ello disponemos de varios programas en MATLAB que vamos a ir utilizando para trabajar con los arm´ onicos esf´ericos. ´ DE ARMONICOS ´ ´ ESFERICOS INDIVIDUALES 1. GENERACION
El programa spheriharm0(n,m,C,S) nos sirve para representar el arm´onico esf´erico de grado n y orden m, con los coeficientes (C S), es decir, que se representa sobre la esfera la funci´on: f (θ, φ) = (CS )Y
nm
(θ, φ) = (Ccos(mφ) + Ssin(mφ))P
nm
(cosθ)
donde n es el grado y m es el orden de arm´onico y C, S son los coeficientes del coseno y el seno, y cumpliendose la condici´on n > 0 y que 0 ≤ m ≤ n. Veamos la representaci´ on de un armonico esf´erico con los siguientes par´ ametros (n,m,C,S)=(2,1,1,1):
vemos que en realidad se combinan dos representaciones: Una gama de colores que nos da el valor real del arm´onico esf´erico en cada punto de la esfera. La deformaci´ on de la propia esfera, que en este programa est´a normalizada para que sea como m´aximo el 20 % del radio de la esfera.
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Representaciones de otros arm´ onicos esf´ericos: (1,0,1,1):
(3,0,1,1):
2
(3,1,1,1):
(3,2,1,1):
3
(3,3,1,1):
Respondemos a continuaci´on a las siguientes cuestiones: ¿Cu´ antos paralelos y meridianos nodales tiene el arm´onico esf´ erico de grado n y orden m? Para responder a esta cuesti´ on estudiamos el caso representado anteriormente de los arm´onicos esf´ericos de grado 3 y orden m, 0 ≤ m ≤ 3: Caso (3,0,1,1). Paralelos:3, Meridianos:0 Caso (3,1,1,1). Paralelos:2, Meridianos:1 Caso (3,2,1,1). Paralelos:1, Meridianos:2 Caso (3,3,1,1). Paralelos:0, Meridianos:3 Vemos que se cumple: Paralelos n-m, Meridianos m. ¿Cu´ a nto hay que rotar el arm´ onico esf´ erico en torno al eje vertical para que coincidan de nuevo sus m´aximos y sus m´ınimos? Volvemos a ejemplo al representado anteriormente de los arm´onicos esf´ericos de grado 3 y orden m, 0 ≤ m ≤ 3: ´ Caso (3,0,1,1). Angulo: 0
o
´ Caso (3,1,1,1). Angulo: 180
o
´ Caso (3,2,1,1). Angulo: 90
o
´ Caso (3,3,1,1). Angulo: 60
o
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Vemos que se cumple: Simetr´ıa 2π/m. ¿Qu´ e efecto tiene la variaci´ on de los coeficientes C y S? Para ver este efecto vamos a tomar un arm´onico esf´erico cualquiera, por ejemplo n = 4, m = 2, y vamos a variar los coeficientes C y S para ver como afecta al resultado visual: (4,2,1,1):
(4,2,10,1):
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(4,2,1,10):
(4,2,100,1):
6
(4,2,1,100):
(4,2,100,100):
Podemos observar que la forma y los colores son pr´acticamente semejantes, pero vemos que la escala de tonalidad de esos colores cambia, luego el efecto de la variaci´on de C y S tiene como consecuencia una mayor distorsi´on de los m´aximos y los m´ınimos con respecto a la esfera. 7
¿Qu´ e ocurre cuando var´ıa el m´ odulo de (C S)? El valor del m´odulo de C o S es la amplitud de oscilaci´on de los m´aximos y m´ınimos que forman la distorsi´on respecto de la esf´era. ¿Qu´ e ocurre cuando var´ıa la raz´ on C/S? Visualicemos los siguientes arm´onicos: (2,1,1,1):
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(2,1,10,1):
(2,1,100,1):
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Vemos que cambia la escala de colores en el mismo factor que cambia C/S luego aumentan la profundidad de los ’valles’y la altura de las ’monta˜nas’.
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´ DEL GEOIDE DE LA TIERRA 2. RECONSTRUCCION
Para esta reconstrucci´on usamos el modelo EGM96 de la web ICGEM descargando el fichero egm96.gfc . En este fichero est´an listados los coeficientes C y S correspondientes a los distintos arm´onicos Y , como podemos ver en la siguiente imagen: nm
nm
nm
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Usando el programa de MATLAB dado en las pr´acticas y introduciendo los datos hasta n = 5 obtenemos lo siguiente:
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Por otro lado, vamos a utilizar un programa de MATLAB para leer los coeficientes del desarrollo en arm´onicos esf´ ericos del geoide de la Tierra hasta un grado y orden m´as elevados, y reconstruir la funci´on resultante. En nuestro caso lo haremos hasta N = 5 y obtenemos la siguiente figura del elipsoide:
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¿Sale la misma figura que en el caso anterior cuando has introducido los coeficientes a mano? La misma a simple vista.
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Prueba tambi´ en con valores de N = 20 y N = 50. ¿En qu´e cambia la representaci´ o n del geoide cuando aumentamos el grado y el orden de los arm´ onicos esf´ ericos involucrados? N=20:
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N=50:
Se ve claramente que a mayor orden de suma se mejora la resoluci´on de las distorsiones del geoide.
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