ARITMETI CA I BIM. TRILCE PRIMARIA PRIMARIA LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ARITMETICA
Índice Pág Pá g .
å
Adición y Sustracción en N.................................7
å
Multiplic Multiplicació ación n y División División en N.................. N.......... ................ ........17 17
å
Números enteros (Z)........................................27
å
Adición y Sustracción en Z - Operaciones combinadas de adición adición y sustracción sustracción en Z....................... Z............... ...........37 ...37
å
Multiplicación y División en Z...........................43
å
Conjunto de los números racionales................47
å
Operaciones con fracciones.............................53
åRepaso
COLEGIO TRILCE
67
Página 2
ARITMETICA
Índice Pág Pá g .
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Adición y Sustracción en N.................................7
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Multiplic Multiplicació ación n y División División en N.................. N.......... ................ ........17 17
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Números enteros (Z)........................................27
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Adición y Sustracción en Z - Operaciones combinadas de adición adición y sustracción sustracción en Z....................... Z............... ...........37 ...37
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Multiplicación y División en Z...........................43
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Conjunto de los números racionales................47
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Operaciones con fracciones.............................53
åRepaso
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
ADICIÓN EN N A la acción de agregar, agrupar o añadir le llamamos ADICIÓN. ELEMENTOS DE LA ADICIÓN:
1. Los Los número númeross que quer querem emos os suma sumarr recib reciben en el nombre de SUMANDOS. 13 + 27 + 58 = 98
2. El sign signo o para para ident identif ific icar ar la oper operac ació ión n es una pequeña cruz (+). 3. El result resultado ado de de la operac operación ión se deno denomin mina a "suma "suma total" total".. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES: 1. Prop Propie ieda dad d de de Cla Claus usur ura. a. "Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número ______________". ______________".
Ejemplo: Si: 87 ∈ ___ y 13 ∈ ___; entonces: 87 + 13 = 100 es decir:
S i: a
N y b
N ; entonces: (a + b)
∈
___
N
2. Prop Propie ieda dad d Conm Conmut utat ativ iva. a. "El orden de los sumandos no altera la ______________".
Ejemplo: Si: 26 ∈ ___ y 14 ∈ ___; entonces: 26 + 14 = ___ + ___ = 40 es decir:
S i: a
COLEGIO TRILCE
N y b
N ; e n to n c e s: a + b = b + a
Página 3
ARITMETICA 3.aPropiedad Asociativa. "La forma como agrupamos los sumandos no altera la ______________".
Ejemplo: S i: 8
∈
___, 7
∈
___ y 5
∈
_ _ _ ; e n to n ce s: ( 8 + 7 ) + 5 = _ _ _ + (_ _ _ + _ _ _ ) = 2 0 S U M A S P A R C IA L E S
S i: a
es decir:
N, b
N y c
N ; e n t o n ce s : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3.bPropiedad Disociativa. "Es una adición, al descomponer uno de los sumandos en dos o más sumandos la suma no se ______________". Esta propiedad es recíproca de la anterior.
Ejemplo: S i: 1 2
∈
___ y 5
∈
_ _ _ ; e n to n c e s : 1 2 + 5 = (_ _ _ + _ _ _ ) + 5 = 1 7,
p o rq u e 1 2 = _ _ _ + _ _ _ S i: a
es decir:
S U M A P A R C I AL
N y b
N ; e n t on c e s : a + b = ( x + y ) + b ; p o r q u e : a = x + y
4. Propiedad del elemento neutro. "Si sumamos cualquier número natural con el ______________, el resultado sigue siendo el mismo número natural". Ejemplo: Si: 3 ∈ ___; entonces: 3 + ___ = __ + 3 = 3
es decir:
S i: a
N ; e n to n c e s: a + 0 = 0 + a = a
Nota: En el conjunto Z, el número opuesto o contrario de un número "a" es aquel número (-a) llamado elemento inverso aditivo de "a", ya que sumando nos da el módulo cero. Ejemplo: 6 + (-6) = (-6) + 6 = 0
es decir: a + (-a) = (-a) + a = 0
COLEGIO TRILCE
Página 4
ARITMETICA
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Completa el nombre de las propiedades: a. 32 + 27 = 59
________________________
b. 210 + 0 = 210
________________________
c. (7 + 3) + 12 = 7 + (3 + 12)
________________________
d. 23 + 57 = 57 + 23
________________________
e. 7 + 15 = 7 + (3 + 12)
________________________
2. Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades. a. Hallar 2 números que sumados resulten: •
10 = 1 + 9 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___
•
13 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___
•
17 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___
•
19 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___
b. Calcular mentalmente el resultado de la adición: 73 + 27 = ( 70 + 2 0 ) y (3 + 7 ) 90
10 = 100
Ejemplo: •
23 + 72 =
•
17 + 81 =
•
64 + 45 =
•
42 + 51 =
•
86 + 27 =
•
76 + 23 =
c. Calcular mentalmente, formando grupos de 10. COLEGIO TRILCE
Página 5
ARITMETICA 2 + 7 + 5 + 1 + 8 + 3 + 4 + 5 + 9 =
Ejemplo:
10 + 10 + 10 + 10 + 4 = 44
•
2+7+5+3+8=
•
1+3+5+9+7+5=
•
6+2+8+4+7+3=
•
9+5+1+6+4+9=
d. Separa convenientemente, formando decenas. 79 + 34 =
79 + (1 + 33) (7 9 + 1 ) + 3 3 80
+ 3 3 = 1 13
Ejemplo: •
529 + 32 =
•
249 + 36 =
•
739 + 13 =
•
819 + 27 =
e. Realiza las siguientes adiciones y halla: abc
f.
•
2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 22222222 = ... abc
•
1 + 31 + 131 + 3131 + ... + 1313131313 = ... abc
•
3 + 33 + 333 + ... + 33333333 = ... abc
•
32 + 323 + 3232 + ... + 3232323 = ... abc
Adiciones particulares: •
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10 =
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA n(n + 1) 2
n = _ _ _ _ = ú l t im o n ú m e r o
•
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 18 + 20 = 2 n = _ _ _ _ = ú lt im o n ú m e r o
•
n (n + 1 )
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 17 + 19 = n2
2 n - 1 = _ _ _ = ú lt im o n ú m e r o
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Relaciona correctamente de acuerdo al nombre de las propiedades. a. b. c. d. e.
4+0=4 9+3=8 7+4=4+7 18 + 7 = 18 + (2 + 5) (3 + 4) + 9 = 3 + (4 + 9)
( ( ( ( (
) ) ) ) )
Propiedad Asociativa Propiedad del Elemento Neutro Propiedad Disociativa Propiedad Clausura Propiedad Conmutativa
2. Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades. a. 423 + 17 = b. 171 + 29 = c. 524 + 236 = d. 812 + 428 = e. 6 + 8 + 1 + 4 + 2 + 9 + 5 = f. 12 + 7 + 23 + 5 + 8 + 15 = g. 5 + 25 + 525 + 2525 + ... + 2525252525 = ... ab h. 1 + 2 + 3 + ... + 15 = i.
2 + 4 + 6 + ... + 16 =
DESAFÍO
f.
1 + 3 + 5 + ... + 17 =
9 99 989
9898
...
989898 ..... 9898 20 cifras
Hallar el valor de "a + b + c"
SUSTRACCIÓN EN N Es una operación inversa a la ADICIÓN. COLEGIO TRILCE
Página 7
... abc
ARITMETICA ELEMENTOS DE LA SUSTRACCIÓN: 53
-
(M )
26
(S )
=
27
N o t a : S i: D 1 e n to n c e s : M > S
(D )
PROPIEDADES PARTICULARES:
I.
Si: 53 - 26 = 27, entonces: 53 = 27 + ___ es decir:
S i: M - S = D ; e n to n c e s: M = D + S
Veamos qué sucede cuando sumamos los tres términos de una sustracción. si: 53 - 26 = 27; entonces: 53 + 26 + 27 = 53 + (26 + 27) = 53 + ___ = 2 ( ) es decir: si: M - S = D; entonces: M+S+D= M + (S + D) M + ____ = 2 ( ) Por lo tanto, la suma de los tres términos de una sustracción es igual a dos veces el minuendo.
M + S + D = 2M
II. Sustracciones particulares
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA 4 1 2 2 1 4 1 9 8
8 3 2 2 3 8 5 9 4 = ___
abc cba xny = ___
_ _ _ + _ _ _ = _ _ _
_ _ _ + _ _ _ = _ _ _
III. Complemento aritmético (C.A.) Para: 123, su C.A. es: 1000 - 123 1000 123 877
U n i d a d e s _ _ _ - 3 = 7 D e c e n a s _ _ _ - 2 = 7 C e n t e n a s _ _ _ - 1 = 8
C
D
U
1
2
3
(_ _ _ - 1 )
(_ _ _ - 2 )
(_ _ _ - 3 ) C o m p l e m e n t o A r it m é t ic o
En general: Para: abcd, su C.A. es: 10000
abcd
UM
C
D
U
a
b
c
d
(9 - a)
(9 - b)
(9 - c)
(10 - d) C o m p le m e n t o A r it m é t ic o
IV. Relaciones de compra y venta: PV - G = Pc
Donde: • PV : ____________________________ • G : ____________________________ • Pc : ____________________________
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS COLEGIO TRILCE
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= ___ _ _ _ + _ _ _ = _ _ _
ARITMETICA 1. La suma de los tres términos de una6. Si el C.A. de abc es 327; sustracción es 4208. Hallar el hallar: a + b + c. minuendo.
7. Si el C.A. de 8ab8 es cd4a ; 2. Los tres términos de una sustracción hallar: a + b + c + d. al sumarse da 2040. Hallar el minuendo.
8. Hallar "x", si: mnp pnm x93. 3. ¿Cuál es sustracción sea 8424, sustraendo minuendo?
la diferencia en una cuya suma de términos sabiendo además que el es la cuarta parte del
9. Si se cumple: abc cba 2mn ; hallar: m + n.
4. En una sustracción, la diferencia de los dos menores términos es 44. Si el mi-nuendo es el cuádruple del sustraendo, hallar el mayor de estos 10. María vende una bicicleta por S/.750, dos términos. ganando S/.220. ¿Cuánto le costó la bicicleta?
5. ¿Cuál es el C.A. de 5782?
DEMUESTRA LO APRENDIDO COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA 1. La suma de los tres términos de una 6. Si se cumple: pqr rqp 7mx sustracción es 4800, hallar el hallar: m + x minuendo.
7. Víctor vendió un equipo de sonido por S/.970, ganando S/.145. ¿Cuál es el precio de costo del equipo de 2. ¿Cuál es la diferencia, en una sonido? sustracción donde la suma de términos es 5400, sabiendo además que el minuendo es el triple del sustraendo?
8.
9 2 5 4 5 3
9.
7 5 6 8 3 8 7 3
3. El complemento aritmético de 2753 es:
4. El complemento aritmético de Hallar: a + b + c + d
5. Hallar "a", si:
es .
10.
2 3 5 4 1 2 9 7
DESAFÍO En una sustracción la suma de sus tres términos es 240, y además la diferencia es el triple del sustraendo. Hallar el sustraendo.
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
MULTIPLICACIÓN EN N La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse muchas veces. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 5 = 15
Ejemplo:
S e r e p it e _ _ _ _ v e c e s e l 3 .
SUMANDOS
ELEMENTOS DE LA MULTIPLICACIÓN: 6
1 2 4 6 1 4 9 2 5 5 3
3 × 5 5 0 5
×
7
=
42
M u l t i p li c a n d o M u l t i p li c a d o r _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Producto
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN: 1. Propiedad de Clausura. "Si multiplicamos dos o más números naturales, el producto también es otro número natural".
Ejemplo: Si: 25
∈
N y 3 ∈ N, entonces: 25 × 3 = ____ ∈ N
es decir: S i: a
N y b
N ; entonces: (a × b)
2. Propiedad Conmutativa. "El orden de los factores no altera el producto". COLEGIO TRILCE
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N
ARITMETICA Ejemplo: Si: 12 es decir:
∈
N y 3 ∈ N; entonces: 12 × 3 = ___ × ___ = 36
S i: a
N y b
N ; e n to n c e s: a × b = b × a
3. Propiedad Asociativa. "Si multiplicamos tres o más factores y juntamos dos sin importar el orden y se reemplaza por el producto parcial, el producto no varia". Ejemplo: Si: 8 ∈ N, 3 ∈ N y 2 ∈ N; entonces: (8 × 3) × 2 = ___ × (___ × ___)
es decir:
S i: a
N, b
N y c
N ; e n to n c e s : ( a × b ) × c = a × ( b × c )
4. Propiedad del Elemento Neutro o Modulativa. "Cualquier número por UNO es igual al mismo número". Ejemplo: Si: 27 ∈ N: entonces: 27 × ___ = 27
es decir:
S i: a
N , entonces: a × 1 = a
5. Propiedad del Elemento Absorvente. "Todo número multiplicado por CERO es igual a CERO". Ejemplo: Si: 43 ∈ N, entonces: 43 × ___ = 0
es decir:
S i: a
N , entonces: a × 0 = 0
6. Propiedad Distributiva.
a. Con respecto a la Adición: "El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos parciales de dicho número por cada uno de los sumandos". Ejemplo: Si: 8 ∈ N, 3 ∈ N y 7 ∈ N, entonces: 8(3 + 7) = 8 × ___ + 8 × ___ = 80 es decir: COLEGIO TRILCE
S i: a
N, b
Página 13
∈
N y c
∈
N , e n to n c e s : a ( b + c ) = a b + a c
ARITMETICA
b. Con respecto a la Sustracción: "El producto de un número por una diferencia es igual a la diferencia de los productos parciales de dicho número por cada uno de los términos de la sustracción". Ejemplo: Si: 7 ∈ N, 23 ∈ N y 13 ∈ N, entonces: 7(23 - 13) = 7 × ___ - 7 × ___ = 70 es decir:
S i: a
N, b
∈
N y c
∈
N , entonces: a(b - c) = ab - ac
7. Propiedad de Uniformidad. "Si se multiplican miembro a miembro dos o más igualdades, el resultado es otra igualdad". Ejemplo: Si: a = 5 y b = 3, entonces: ___ × ___ = ___ × ___
es decir:
S i: a = a 1 y b = b 1 , e n t o n c e s : a × b = a 1 × b 1
8. Propiedad de Monotomia.
a. "Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número natural, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". Ejemplo: Si: 5 < 7, entonces: ___ × 5 < ___ × 7 es decir:
S i: a < b , e n t o n c e s : a × c < b × c
b. "Si se multiplican miembro o miembro dos o más desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". Ejemplo: Si: 3 < 6 y 2 < 5; entonces: ___ × ___ < ___ × ___ es decir:
COLEGIO TRILCE
S i: a < b , c < d ; e n t o n c e s : a × c < b × d
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ARITMETICA
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Completa el nombre de las propiedades: a. 3 × 1 = 3
_______________________
b. 4(5 + 45) = 4 × 5 + 4 × 45
_______________________
c. 8 × 0 = 0
_______________________
d. 7 × 3 = 3 × 7
_______________________
e. 23 × 2 = 46
_______________________
f.
_______________________
(7 × 5) × 9 = 7 × (5 × 9)
g. 5(3 - 2) = 5 × 3 - 5 × 2
_______________________
h. b = 11;c = 5 → b × c = 55
_______________________
i. j.
_______________________ _______________________
7<9→7×3<9×3 5<7y3<8→5×3<7×8
2. Métodos prácticos para multiplicar utilizando las propiedades. a. Hallar 2 números que multiplicados resultan: •
36 = 12 × 3 = ___ × ___ = ___ × ___
•
100
•
60 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___
•
72 = = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___
= ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___
b. Calcular mentalmente, agrupando factores potencia de 10. 2 × 3 × 5 × 7 =
(2 × 5) × (3 × 7) 10
Ejemplo:
×
21
= 210
•
3×5×8×2=
•
2×7×5×4=
•
7 × 25 × 8 × 4 =
•
5×9×2×3=
•
4 × 3 × 25 × 7 =
•
25 × 7 × 4 × 5 =
c. Calcular mentalmente el siguiente producto: COLEGIO TRILCE
Página 15
ARITMETICA 7 × 32
Ejemplo:
7 × 3 2 = 7 × ( 30 + 2 ) = 7 × 30 + 7 × 2 = 210 + 14 = 224
•
8 + 32 =
•
9 × 52 =
•
6 × 85 =
•
7 × 51 =
•
9 × 35 =
•
5 × 94 =
d. Calcular mentalmente el siguiente producto: 8 × 19
Ejemplo:
8 × 1 9 = 8 × (2 0 - 1 ) = 160 - 8 = 152
•
7 × 19 =
•
4 × 18 =
•
6 × 49 =
•
5 × 19 =
•
5 × 18 =
•
8 × 49 =
e. Resolver las operaciones sacando el factor común: 2 × 5 + 3 × 5 + 5 × 5 =
2 × 5 + 3 × 5 + 5 × 5 5 (2 + 3 + 5 ) 5(10) = 50
Ejemplo: •
3 × 5 + 3 × 7 + 3 × 18 =
•
8 × 19 + 8 × 3 + 8 × 8 =
•
9 × 43 + 9 × 27 - 9 × 70 =
•
a × 7 + a × 3 - a × 10 =
•
8a - 4b =
•
ab - ac + a × a =
3. Efectuar las siguientes multiplicaciones: •
234 × 56 =
•
4. Resolver las siguientes multiplicaciones: COLEGIO TRILCE
Página 16
597 × 308 =
ARITMETICA
a. Se compraron 9 libros a S/.2 cada uno, 6 lapiceros a S/.1 cada uno y 4 plumas fuentes a S/.3 cada una. Si se vende todo por S/.20, ¿cuánto se pierde? b. Un empresario ocupa los servicios de 10 obreros durante dos semanas pagándoles dominical. Si a 6 de ellos les paga S/.12 diarios y S/.10, a cada uno de los restantes, ¿cuánto desembolsa el día del pago? c. Compre 120 caballos a S/.200 cada uno, 50 se murieron y el resto los vendí a S/.229 cada caballo, ¿cuánto gané o perdí?
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Completa el nombre de las propiedades: a. 3 × 0 = 0 b. (3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4) c. 3 × 1 = 3 d. 5(7 + 2) = 5 × 7 + 5 × 2 e. 25 × 4 = 100 f. 6(9 - 4) = 6 × 9 - 6 × 4 g. 9 × 8 = 8 × 9 h. x = 4; y = 7 → x.y = 28 i. 10 < 11 → 3 × 10 < 3 × 11 j. 2 < 3; 5 < 6 → 2 × 5 < 3 × 6 Absorvente
( ( ( ( ( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Propiedad Conmutativa Propiedad del Elemento Neutro Propiedad Asociativa Propiedad de Clausura Propiedad Distributiva (+) Propiedad Uniformidad Propiedad de Monomomía (a) Propiedad Distributiva (-) Propiedad de Monotomía (b) Propiedad del Elemento
2. Resolver las siguientes multiplicaciones: a. 2 × 7 × 8 × 5 =
b. 9 × 2 × 8 × 5 =
c. 25 × 6 × 4 × 7 =
d. 7 × 25 × 9 × 4 =
e. 8 × 27 =
f.
g. 7 × 19 =
h. 6 × 39 =
i.
j.
3×2+3×5-3×6=
COLEGIO TRILCE
Página 17
9 × 52 =
5 × 29 + 5 × 21 - 5 × 49 =
ARITMETICA 3. Resolver el siguiente problema: Nataly venden 60 docenas de platos y hace 2 entregas: - La primera de 170 platos. - La segunda de 180 platos. ¿Cuántos platos le falta entregar? Dato: 1 docena = 12 unidades DESAFIO
Un padre reparte su herencia de la siguiente manera: A Luis le toca $9800, a Juan $200 más que Luis, a María $300 menos que a Luis y a Arturo tanto como a los tres anteriores. ¿Cuánto dinero repartió el padre?
COLEGIO TRILCE
Página 18
ARITMETICA
DIVISIÓN EN N "La división es una operación inversa a la multiplicación". ELEMENTOS DE LA DIVISIÓN: 32
8
=
4
Veamos qué sucede al multiplicar el divisor por el cociente: Si:
32 2
4
; entonces: 32 = 8 × 4
Es decir: El "Algoritmo de la división" es: S i:
D = q ; e n to n c e s : D = d × q d
Nota: "32 contiene cuatro veces al divisor 8". El cociente (q) indica cuántas veces el divisor (d) está contenido
en D. TIPOS DE DIVISIÓN: 1. División exacta. Es cuando en la división el residuo es igual a CERO.
Ejemplo: Si: 54 9 54 6
; e n to n c e s : 5 4 = 9 × 6 + 0 d o n d e : " e l r e s i d u o e s ig u a l a C E R O "
es decir: Si: D
d q
; e n to n c e s : D = d × q
r
COLEGIO TRILCE
Página 19
d on de : "r = 0 "
ARITMETICA
2. División inexacta. Es cuando en la división el residuo es diferente de CERO. Ejemplo: Si: 45 42 3
6 7
; entonces: 45 = 6 × 7 + 3 d o n d e : " e l re s id u o e s i g u a l a 3 "
Si: D
es decir:
d q
; e n to n c e s : D = d × q + r
d o n de : "r
0"
r
Nota: El residuo siempre va a ser menor que el dividendo
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Hallar en cada caso el elemento que falta: a. D = 85 ; q = 9 ;
d = 9;
r = ____
b. d = 11 ; q = 3 ;
r=8;
D = ____
c. D = 215
;
q = 21
;
r=5
;
d = ____
d. D = 420
;
d = 32
;
r=4
;
q = ____
2. Si el cociente de una división exacta es 853 y el divisor 23, ¿cuál es el dividendo? 3. Se reparten S/.741 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca S/.57, ¿cuántas eran las personas? 4. ¿Por qué número hay que dividir a 15 470 para que el cociente sea 17? 5. Valeria repartió cierto número de caramelos entre 19 personas y después de dar 7 caramelos a cada persona sobraron 6 caramelos. ¿Cuántos caramelos habían? 6. Vanesa repartió 260 lápices entre sus 47 amiguitos en partes iguales, le sobraron 25 lápices. ¿Cuántos lápices repartió Vanesa a cada uno de sus amigos?
COLEGIO TRILCE
Página 20
ARITMETICA 7. Esteban tenía S/.165 y lo repartió a cierto número de personas. Si a cada uno le repartió S/.23 y le sobraron S/.44, ¿cuántas personas habían?
8. En una división el cociente es 25, el divisor es 30 y el residuo es la mitad del divisor. Encontrar el dividendo. 9. Un muchacho compra el mismo número de lápices que de lapiceros por S/.90. Cada lápiz vale S/.3 y cada lapicero S/.7. ¿Cuántos lápices y lapiceros ha comprado? 10. Si al dividir "n" entre 137 el cociente es el duplo del divisor. ¿Qué número es "n"?
DEMUESTA LO APRENDIDO 1. Hallar el valor que falta: a. D = 83 ; d = 9 ; b. D = 1 874 ;
q=9 ;
d = 80
;
r = ____ r = 34
;
c. D = 102 ; r = 10 ;
q = 23
; d = ____
d. d = 8
q = 11
; D = ____
; r=3 ;
q = ____
2. Si 14 libros cuestan S/.84, ¿cuánto costarían 9 libros? 3. En una división el dividendo es 72, hallar el divisor sabiendo que el cociente y el residuo son iguales a 4. 4. Tenía S/.2 500, compré víveres por un valor de S/.700 y con el resto compré sacos de arroz a S/.60 el saco. ¿Cuántos sacos de arroz compré? 5. Si al dividir "x" entre 109 el cociente es el doble del divisor, ¿qué número es "x"? 6. Se reparten S/.731 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca S/.43. ¿Cuántas eran las personas? COLEGIO TRILCE
Página 21
ARITMETICA
7. En una división el cociente es 35, el divisor 40 y el residuo es la mitad del divisor. Encontrar el dividendo. DESAFIO
En una división el dividendo es 625 y además se sabe que el divisor es el cubo del cociente. Hallar el divisor.
S o n a q u e ll o s n ú m e r o s p o s i ti v o s y n e g a t iv o s q u e n o t i e n e n p a r t e d e c i m a l , i n c l u id o e l c e r o .
•
Ejemplos:
-2
-1 -5
6
2
+4; +3; -5; 9; -3; 0; -10
5
3
4
Z
N
-4
-6
-3
Los números enteros se representan en una recta numérica: ... - 6
*
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
...
Recordemos que el "0" no tiene signo positivo ni negativo.
1. VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO.
Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde: -
Ambos autos parten de un mismo lugar. Viajan en sentido contrario. Viajan a una misma velocidad. ¿La distancia recorrida por los autos para un mismo tiempo será la misma? Rpta.: ___________________
Partida
COLEGIO TRILCE
Página 22
ARITMETICA Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de dicho número a cero.
Ejemplo: Observa detenidamente la figura:
... - 9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
+ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ...
De la figura podemos observar lo siguiente: a. b. c. d.
|-3| = 3, se lee: valor absoluto de "-3" es 3. |+3| = 3, se lee: valor absoluto de "+3" es 3. |-7| = 7, se lee: valor absoluto de "-7" es 7. |+9| = 9, se lee: valor absoluto de "+9" es 9.
2. EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO. Es el número entero cambiado de signo, por ejemplo:
• •
El opuesto de +7 es -7 El opuesto de 5 es -5
• •
El opuesto de -3 es +3 El opuesto de -1 es +1
3. RELACIÓN DE ORDEN (>, <, =).
a. Un número entero es mayor que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la recta numérica. b. Todo número entero positivo es mayor que su antecesor. c. Todo número entero negativo es menor que su sucesor. Ejemplos: *
6 es mayor que 1, porque:
+1
+6
*
4 es mayor que 0, porque:
0
+4
COLEGIO TRILCE
Página 23
ARITMETICA *
0 es es ma mayor qu que -3 -3, porque:
*
-2 es es ma mayor qu que -6 -6, po porque:
-3
0
-6
-2
4. DESPLAZA DESPLAZAMIEN MIENTOS TOS SOBRE SOBRE LA RECTA RECTA NUMÉRIC NUMÉRICA. A.
Reglas de juego *
Núme Número ross nega negati tivo vos, s, indic indicar arán án movi movimi mien ento toss haci hacia a la izquie izquierd rda a de la recta, con respecto a cero.
*
Núme Número ross posi positi tivo vos, s, indi indica cará rán n movi movimi mien ento toss haci hacia a la derec derecha ha de la recta, con respecto a cero.
*
El pun punto de par parti tid da es es cer cero o "0" "0"..
Ejemplo: Representar sobre la recta: - 2 - 5 + 17 3° 2°
-9
-8
-7
-4
-5
-6
1° -3
-2
-1
0
+ 2
+ 3
+ 6
+ 5
+ 4
+ 7
+ 8
+ 9
+ 10
+ 11
+ 12
+ 13
5 Partida 2
Llegada
Representar: a. -2 - 3 - 1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
b. -3 + 5 + 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
c. 5 - 2 - 1 + 3
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
0
1
2
d. + 4 - 5 - 2
-8
-7
-6
-5
-4
-3
e. + 8 - 2 - 4
-8
-7
-6
-5
COLEGIO TRILCE
Página 24
-4
-3
-2
-2
1
0
1
1
0
2
1
3
4
3
2
5
4
3
6
5
4
7
6
5
8
7
6
8
7
8
ARITMETICA
¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1. Indica Indica en los los cuadrad cuadrados os si es ">", ">", "<" o "="; "="; en cada cada uno de los los siguien siguientes tes casos: a.
0
1
e.
4
b.
-8 -8
0
f.
||--3|
c.
5
+5
g.
0
-4
0
h.
0
-60
d. |-1|
0 +3
2. Comple Completa ta las siguien siguientes tes expresi expresione ones: s: a. 36 es opuesto de: ______
e. El valor absoluto de -4 es: ______
b. -73 es opuesto de: ______
f.
c. +82 es opuesto de: ______
g. El valor absoluto de -1 es: ______
d. 5 es opuesto de: ______
h. El valor absoluto de 14 es: ______
El valor absoluto de: +35 es: ______
3. Coloca Coloca (V), (V), si si la afirm afirmaci ación ón es es verdade verdadera ra y (F), (F), si es es falsa. falsa. a.
El opuesto de un número entero negativo es negativo.
(
)
b.
El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo.
(
)
c. La dist distan anci cia a ent entre re dos dos núme número ross opu opues esto toss es es el dobl doble e de de la distancia entre uno de los números y el cero.
(
)
d.
El valor absoluto de un número entero siempre es positivo.
(
)
e.
El opuesto de un número entero negativo es positivo.
(
)
COLEGIO TRILCE
Página 25
ARITMETICA f. La suma suma de los los val valor ores es abso absolu luto toss de de dos dos núme número ross opu opues esto toss es cero.
(
)
4. Traz Traza a una una rect recta a numé numéri rica ca para para cada cada caso caso y marc marca a en ella ella los los núme número ross opuestos correspondientes. (En el cuaderno). a. - 5 ; + 5 R e c u e r d a : p a ra - 4 y + 4
b. + 6 ; - 6 -4 -3
c. - 7 ; + 7
-1
0 +1 +2 +3 +4
d. 8 ; - 8 e. - 3 ; 3 5. Comp Comple leta ta el sigui siguien ente te cuad cuadro ro:: a
> ó <
b
-1 5
+2
-7
+9
+5
6
-1 3
15
-100
0
+10
-20
12
-22
4
-8
-7
-7
-1 4
+14
-1
0
-101
-3
16
+16
-5 4
52
18
-36
COLEGIO TRILCE
Página 26
|a|
>, < ó =
|b|
|a| + |b|
ARITMETICA 6. En tu cuaderno traza una recta numérica y representa en ella lo siguiente: a. - 8 + 5 b. + 4 - 10 *
c. - 7 - 2 d. + 5 + 3
Observa la siguiente información y responde las interrogantes: T e m p e r a tu r a Ciudad Abadia Iquedia C a lm a d ia Antofadia Capia Vallenilla L a S e r illa Valpedia Pudalia Q u i n t a n i l la J u a n t o r e n a C u r s im a Chillido Conexión T e m b l id o Valdivia Osodio Puertilla C o p a d ir m a B a lm a d i a Puntillas
M ín im a 14.0ºC 12.1ºC -0.8ºC 13.8ºC 5.5ºC 10.0ºC 7.9ºC 11.8ºC 5.3ºC 7.2ºC 17.9ºC 11.7ºC 14.2ºC 13.4ºC 14.6ºC 7.8ºC 7.0ºC 6.2ºC -3.8ºC -8.1ºC 0.0ºC
M á x im a 19.1ºC 17.8ºC 22.7ºC 18.1ºC 21.3ºC 20.0ºC 13.1ºC 13.6ºC 23.6ºC 23.8ºC 18.7ºC 19.6ºC 17.2ºC 14.7ºC 18.8ºC 17.4ºC 16.0ºC 14.6ºC 2.8ºC 1.3ºC 6.3ºC
7. ¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más baja? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el signo negativo en ese caso? ¿Qué indica el número (valor numérico)? 8. ¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más alta? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el número
COLEGIO TRILCE
Página 27
ARITMETICA (valor numérico)? ¿Por qué no tiene signo? Si tuvieras que ponerle un signo, ¿cuál le pondrías? 9. ¿Qué indica el cero en esa información? ¿Qué relación tiene el cero con las temperaturas con signo negativo? y ¿el cero lleva signo?
10 Resuelve: a. |-4| × |2| + |-8|
b. |-6| × |-3| + |16|
c. |-18| ÷ |-3| -
| −10 | ÷ | 2 | | −5 | d.
COLEGIO TRILCE
Página 28
ARITMETICA C o n t in ú a e s f o r z á n d o t e p o r q u e e l é x i t o d e p e n d e d e t i.
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Escribe en cada cuadrado, si es "<", ">" o "=", según convenga: a.
|-3|
-3
e. |-48|
48
b.
-1
|1|
f.
+35
35
c.
-2
-38
g.
-8
|+8|
2. Completa las expresiones siguientes: a. -8 es opuesto de: ______
d. El valor absoluto de -5 es: ______
b. 36 es opuesto de: ______
e. El valor absoluto de 13 es: ______
c. +15 es opuesto de: ______ ______
f.
El valor absoluto de +14 es:
3. Determina los siguientes conjuntos por extensión:
COLEGIO TRILCE
Página 29
ARITMETICA a. A = {x/x ∈ Z, x < 1} A = {___________________________________} b. B = {x ∈ Z/x > -4} B = {___________________________________} c. C = {x/x ∈ Z, -8 < x < 8} C = {___________________________________} d. D = {x/x ∈ Z, -1 < x} D = {___________________________________} 4. Traza una recta numérica para cada caso y representa en ella: a. + 7 - 6
c. - 10 - 2
b. - 8 + 8
d. + 3 + 12
5. Ordena los siguientes números enteros en la recta numérica: a. c. e. g.
-7 ; +6 ; 0 ; -1 -20 ; - 10 ; -6 ; 1 -10; +2 ; +5; -1 -17 ; +16 ; -15 ; 0
b. d. f. h.
-10 ; -12 ; -13 -27 ; -21 ; 1 +15 ; -13 ; -14 ; 0 +8 ; -5 ; -4 ; +3
6. Resuelve los siguientes ejercicios: | 7 | | 18 | | 3| | 6 | | 5| a.
*
| 100 |
b.
| 5 | | 25 | | 3|
2
Un submarino se encuentra sumergido a 50 metros de la superficie, luego realiza los siguientes movimientos: a. Primer movimiento: desciende 120 metros. b. Segundo movimiento: asciende 70 metros. c. Tercer movimiento: desciende 50 metros.
7. Luego del primer movimiento, ¿a cuántos metros de profundidad se encuentra el submarino?
COLEGIO TRILCE
Página 30
ARITMETICA 8. Luego del segundo movimiento ¿a cuántos metros de la superficie se encuentra el submarino? 9. Luego del tercer movimiento, ¿cuál es la distancia que separa el submarino de la superficie? 10. ¿Cuál es la mayor profundidad alcanzada por el submarino? ¿En qué movimiento?
DESAFÍO Considera un número entero "x" y realiza con él las siguientes operaciones sucesivas: multiplícalo por 2, súmale 1, multiplícalo por 3 y réstale 5. Si el resultado final fue 220, el valor de "x" es:
A. Un número primo. B. Un número par. C. Un número entre 40 y 50. D. Un número múltiplo de 3. E. Un número cuya suma de dígitos es 9.
S a b ía s q u e ... L a p r im e r a c o n s i d e r a c ió n s o b r e e l n ú m e r o n e g a t iv o n o ll e g a a O c c id e n t e h a s t a e l s ig l o X V I ; s in e m b a r g o , e n O r ie n t e , d u r a n t e e l s ig l o I V , y a s e m a n i p u l a b a n n ú m e r o s p o s it i v o s y n e g a t iv o s e n l o s á b a c o s , u s a n d o b o la s d e d if e r e n t e s c o l o r e s .
ADICIÓN
a. Sumandos del mismo signo: Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo. Ejemplo: a. (+3) + (+7) + (+10) = b. (-7) + (-3) + (-2) =
COLEGIO TRILCE
Página 31
ARITMETICA b. Sumandos de signos diferentes: Se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del sumando de mayor valor absoluto. Ejemplo: a. (-16) + (+2) = b. (+30) + (-16) = SUSTRACCIÓN Para restar dos números enteros se suman el minuendo con el opuesto del sustraendo, es decir "se transforma la resta en suma". Ejemplo:
a. (-2) - (-3) = b. (+10) - (-4) = Recuerda • El valor absoluto de un número es el valor del mismo prescidiendo de su signo. • (+4) + (-6) = 4 - 6 (-3) + (-8) = -3 - 8
¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1. Sumar los siguientes números enteros: a. 8 ; 7 ⇒ 8 + 7 = 15 b. 2 ; - 1
⇒
__________________________________
c. - 3 ; - 4
⇒
__________________________________
d. + 6 ; - 8
⇒
__________________________________
e. + 10 ; + 2
⇒
__________________________________
f.
⇒
__________________________________
g. - 3 ; - 1
⇒
__________________________________
h. - 7 ; + 9
⇒
__________________________________
-7;+2
2. Escribir ">", "<" o "=", según corresponde. a. (-9) - (-4) ______ (-3) - (+6) b.
(-8) - (+13) ______ (-7) - (+14)
COLEGIO TRILCE
Página 32
ARITMETICA c.
(-18) - (-6) ______ (-9) - (+3)
d.
(-20) - (+33) ______ (+18) - (-36)
e.
(+65) - (+7) ______ (-7) - (-65)
3. Efectuar las siguientes restas de números enteros: a. (12) - (+7) b. (15) - (8) c. (-36) - (+23)
d. (-36) - (-11)
e. (-25) - (35)
f.
g. (+8) - (-8)
g. (+9) - (+9)
(-100) - (-100)
4. Afina tu cálculo mental. a. + 4 + 6 + 9 =
b. - 8 - 3 - 6 =
c. + 11 + 15 + 12 =
d. - 5 - 12 - 9 =
e. - 5 + 16 - 14 = 5. Completa la tabla y continúa desarrollando.
a
b
c
-1
3
-2
+4
-2
5
-6
+1
4
(a + b )
(b - c)
(a + c)
(c - a)
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Halla en tu cuaderno el resultado de las siguientes operaciones: a. - 4 - 7 + 13 - 9
Rpta.: -7
b. - 13 + 14 + 27 - 18 - 38
Rpta.: -28
c. 53 - 28 + 39 - 47 + 18
Rpta.: 35
d. - 68 + 4 - 73 - 52 + 106
Rpta.: -83
e. 75 - 49 - 32 + 92 + 18 - 20
Rpta.: 84
f.
Rpta.: 84
36 + 13 + 47 - 12
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA g. - 73 + 26 - 14 - 37 + 41
Rpta.: -57
h. 45 + 80 - 5 - 6
Rpta.: 114
i.
- 8 - 16 + 10 - 40
Rpta.: -54
j.
- 10 - 15 + 35 - 14
Rpta.: -4
DESAFIO: La rana obstinada. Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 30m de hondo. En su intento por salir, la obstinada rana conseguía subir 3 metros cada día pero por la noche resbalaba y bajaba dos metros. ¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del pozo?
OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros, debemos realizar los siguientes pasos. Ejemplo: *
Efectuar: P = (+7) + (-2) - (+4) + (+10) - (-3) Primero : Transformamos las sustracciones en adiciones por el opuesto: P = (+7) + (-2) + (-4) + (+10) + (3) Segundo :
Escribimos los enteros positivos como números naturales:
P = (7) + (-2) + (-4) + (10) + (3) Tercero : Suprimimos los paréntesis: COLEGIO TRILCE
Página 34
ARITMETICA P = 7 - 2 - 4 + 10 + 3 Cuarto : Agrupamos los números positivos y los números negativos: P = 7 + 10 + 3 - 2 - 4 Quinto : Sumamos los positivos y los negativos por separado: P = +20 - 6 P = +14
DEMUESTRA LO APRENDIDO I.
Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno: a. (-5) + (-2) - (-1) + (+4) - (+6) b. (-7) - (+2) + (+8) - (-4) c. (-10) + (-2) + (-7) d. (-12) + (-11) - (+10) - (-3) e. (-6) - (-3) + (-2) - (-8) f.
(-5) + (+8) - (-3) - (+2)
g. (-4) - (+7) + (-1) - (+10) h. (-9) + (-10) - (-11) - (-1) i.
(+5) - (+3) + (+2) - (+30)
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA j.
(-10) - (-3) + (-18) - (+2)
C o n t in ú a e s f o r z á n d o t e , e l é x i t o d e p e n d e d e t i.
S a b ía s q u e . .. L o s c h in o s n o a c e p t a r o n l a id e a d e q u e u n n ú m e r o n e g a t iv o p u d i e r a s e r s o lu c i ó n d e u n a e c u a c i ó n . L o s g r i e g o s u t i l i z a r o n r e g l a s p a r e c i d a s a la s q u e u s a m o s a c t u a l m e n t e p a r a r e a l iz a r o p e r a c io n e s a r it m é t ic a s c o n m a g n i t u d e s n e g a t iv a s e n s u s d e m o s t ra c i o n e s g e o m é t r i c a s . S i n e m b a r g o , c o r r e s p o n d e a lo s h in d ú e s , h a c ia e l a ñ o 6 5 0 d . C . , e l m é r it o d e t r a n s f o r m a r e s a s p a u t a s e n r e g l a s n u m é r ic a s a p l ic a b l e s a l o s n ú m e r o s p o s i t iv o s , n e g a t iv o s y c e r o .
MULTIPLICACIÓN
COLEGIO TRILCE
Página 36
ARITMETICA (+ ) (+ ) = +
(+ ) (-) = -
E je m p lo :
(-) (-) = +
(-) (+ ) = -
a.
(+ 1 0 ) (+ 2 0 ) =
b.
(-5) (-9) =
c.
( -2 ) ( + 4 ) =
d.
( + 6 ) (- 2 ) =
DIVISIÓN (+ )
÷
(+ ) = +
(+ )
(-)
÷
(- ) = +
(-)
÷ ÷
(-) = -
E j e m p lo :
(+ ) = -
a.
(+100)
b. (-8) c.
÷
(+2) =
(-1) =
(+ 15)
d . ( -1 6 )
÷
÷ ÷
( -3 ) = (+ 4) =
Recuerda • En la multiplicación o división de dos números de igual signo, el resultado siempre será un número positivo. • En la multiplicación o división de dos números de diferentes signos, el resultado siempre será un número negativo.
¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1. Realiza las siguientes multiplicaciones: a. (+3) (+5)
f.
b. (+8) (-1)
g. (-1) (-1)
c. (-5) (-4)
h. (5) (-3)
d. (-1) (+78)
i.
(9) (-10)
e. (+12) (-12)
j.
-9 (-8)
COLEGIO TRILCE
Página 37
(+40) (+7)
ARITMETICA 2. Realiza las siguientes divisiones: a. 14 ÷ 2
f.
(-1) ÷ (-1)
b. (-12) ÷ (-4)
g. (-8)
c. 20 ÷ (-5)
h. (+25) ÷ (-5)
d. (-30) ÷ 6
i.
(+100) ÷ (+10)
e. (-10) ÷ (-2)
j.
(-144) ÷ (+12)
÷
(+8)
3. Completa la siguiente tabla: a
b
-8
a × b
a
a
b
2
+ 32
-8
-4
-1
-44
+ 11
+ 10
-5
+ 64
-4
+ 18
-9
-36
-9
-3
+3
+ 11
-11
÷
b
a × b
a
÷
b
4. Colorea los triángulos; de color rojo los productos positivos y de color azul los productos negativos:
(+4)(-5)
(-6)(3)
(-8)(4) 20 ÷(+ 4)
(-7)(+13)
(-1 0)÷(-2 )
5. Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a. - 5 × 3 + 8 - (4 - 1 × 5)
COLEGIO TRILCE
Página 38
ARITMETICA
b. - 12 × [ - 6 - 10 × ( - 2 - 3)]
c. - 3 (4 - 2 + 5)
d. - 15 ( - 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 (8))]
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Si: A = (-8) (+2) - 3 B = (+4) (-2) + 4 C =(50) ÷ (-2) - 6 Halla: a. A + B + C
Rpta.: -44
b. A × B - C
Rpta.: -45
c. 2B - 3A
Rpta.: 49
d. 2A × B
Rpta.: 152
COLEGIO TRILCE
Página 39
ARITMETICA e. A - B - C
Rpta.: 16
2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno: a. - 5 + 4 × 3
Rpta.: 27
b. 6 - 2 × 5
Rpta.: -4
c. 32 - 40 × 5 + 128
Rpta.: -40
d. (8 - 3) × 4 - 1
Rpta.: 19
e. (- 13 + 6) × (-3) + 4 (-1)
Rpta.: 17
DESAFÍO: El lechero ingenioso. Un lechero dispone de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?
1. Construcción del conjunto de los números racionales. Los números enteros y los fraccionarios pasan a integrar el conjunto de los números racionales, que se simbolizan por una "Q". Z
F r a c c io n e s
Gráficamente:
COLEGIO TRILCE
Página 40
=
Q
ARITMETICA Q
1 3
Z N
-2
-1
0
1
2 5 3
N : C o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a le s .
1 4
3
Z : C o n ju n t o d e lo s n ú m e ro s e n t e ro s . Q : C o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c io n a le s .
-3
- 2 7
- 3 4
2. Representación de Q en la recta numérica. Sabemos que el conjunto Z se representa en la recta numérica así: -3
-2
-1
0
1
2
3
También las fracciones pueden ser ubicadas en la recta numérica, sea por las divisiones sucesivas (de mitad en mitad) o por el uso de las escuadras y el compás para dividir un segmento de recta. -1
-3 4
-1 2
-1 4
1 4
0
-4 5
-3 5
-2 5
-1 5
-8 10
-6 10
-4 10
-2 10
1 5 2 10
1 2
2 5 4 10
3 4
3 5 6 10
1
4 5 8 10
De la gráfica se define que: I.
Las subdivisiones de la recta numérica son infinitas.
II. Entre dos números racionales siempre será posible hallar al menos otro número racional. III. No es posible hallar el siguiente o el anterior valor de un número racional cualesquiera. IV. Un mismo punto en la recta numérica puede ser representado por varias fracciones que son equivalentes entre sí. Por lo que se afirma COLEGIO TRILCE Página 41
ARITMETICA que el conjunto de dichas fracciones (clases de equivalencia) representa al Número Racional respectivo. 3. Densidad en el conjunto de los números racionales. Esta propiedad de densidad en Q, no la poseen los conjuntos N y Z. "Dados dos números racionales diferentes, siempre se puede encontrar otro número racional cuyo valor esté comprendido entre ambos" En forma general: Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.
( ) A. Dados dos números fraccionarios tales como a b
=
c d
a c y b d,
podemos afirmar que:
si se cumple: a.d = b.c
Ejemplos: 8 •6
4 3
ya que: 8 × 3 = 6 × 4
6 •3
10 5
ya que: 6 × 5 = 3 × 10
5 •2
30 12
ya que: 5 × 12 = 2 × 30
B. Dados dos números fraccionarios, podemos determinar que uno es mayor o menor que otro, usando la regla de los productos cruzados. Ejemplos: 8 × 11 > 9 × 7
•
11 9
7 8
entonces:
11 > 9
7 8
4 × 6 < 8 × 7
•
4 8
COLEGIO TRILCE
7 6
entonces:
4 8
Página 42
<
7 6
ARITMETICA 12 × 4 < 8 × 20
•
12 8
20 4
entonces:
12 < 8
20 4
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no. 3
1 2
-2
-
3 5
0
21 3
-
16 4
1 8
-4
-
2 3
N Z Q
2. Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=".
a. b. c. d.
e. f.
3 4
5 6
porque: 3 × 6 < 4 × 5
9
3
8
12
7
8
8
10
8
6
4
3
5
25
2
60
6
3
5
15
_______________________________________ _______________________________________ _______________________________________
_______________________________________ _______________________________________
3. Completar con ">", "<" o "=" según corresponda:
COLEGIO TRILCE
Página 43
ARITMETICA 1 2
4
3 4
2 5
7 8
2 3
3 3 6 9 4 5 2 4 6 8 7
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no pertenencia.
COLEGIO TRILCE
Página 44
ARITMETICA 3 5
6
-
2 3
0
7 9
-2
-
4 2
9 3
5 4
-
1 6
N Z Q
2. Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=": 8
12
3
3
a. 1 2
9
b. 1 3
17
3
5
d.
2
5
2
e.
7
17
c.
5
1
f.
4
3. Completar con ">", "<" o "=" según corresponda: 4 18 2 5 4 6 3 7 2 9 1 5 3
COLEGIO TRILCE
Página 45
2
3 6
5 2
7 3
9 2
3
5
7
28
5
20
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 46
ARITMETICA Con las fracciones se pueden realizar las operaciones que hemos aprendido a efectuar con números enteros: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación. I. ADICIÓN. Para efectuar la suma o adición de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados. A. Método del mínimo común múltiplo.
•
Hallamos el m.c.m de los denominadores y lo escribimos como denominador del resultado.
•
Para hallar el numerador dividimos el m.c.m. entre cada denominador y luego se multiplica por el respectivo numerador.
•
Finalmente se suma en el numerador.
Ejemplo: 3
×
2 3
3
+
5
+
7 30
2 × 10 + 3 × 6 + 7 × 1
=
30
=
20 + 18 + 7 30
=
45 30
2
=
3 2
C a lc u la n d o e l m . c .m . 3
5
30
3
1
5
10
2
1
5
5
5
1
1
1
m . c .m . [ 3 ; 5 ; 3 0 ] = 3 × 2 × 5 = 3 0
B. Regla de productos cruzados. Esta es una regla práctica, recomendable para sumar dos fracciones de términos pequeños. COLEGIO TRILCE
Página 47
ARITMETICA a
+
b
c
a × d + b × c
=
d
b × d
×
Ejemplo: •
1 5
3 7
1 7 5 3 5 7
7 15 35
22 35
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones: 3 4
+
1 2
1 7
2 3
1 3 1 5
2. Calcular "A + B", si:
a.
12 5
A
2 3
1 ; B 5
4 b. 9
2
1 3
16 c. 5
d.
5 e. 5
12 8
3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar: 5 2 3 12 9 8 a.
19 72
b.
23 72
c.
49 72
d.
73 72
e.
31 72
4. Efectuar la siguiente operación: 1 1 3 7 2 3
a.
53 6
COLEGIO TRILCE
b.
59 6
Página 48
65 c. 6
d.
68 6
69 e. 6
ARITMETICA 5. Completar con los signos ">" o "<", según corresponda: 1
I.
2
III.
+
2
5
3
6
1
1
7
9
+
1
2
II.
2
4
1
1
IV.
8
+
2
2 3
1
+
3
1
1
3
3
+
1 4
¿Cuántos signos ">" salen? a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones: +
1 2
1 3
2 5
5 4
2 5 3 4
2. Calcular "A + B", si: A
3
2 4
1 1 ; B 1 4 4
a. 4
b.
3
2 4
c.
4
3 4
d.
5
e.6
3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar: 2
1 3
a.
4 9
5 6
48 18
42 b. 36
4. Efectuar la siguiente operación:
COLEGIO TRILCE
Página 49
65 c. 18
d.
64 36
e.
72 18
ARITMETICA 2
3 2 1 5 5
a. 3
b.
3
2 5
c.
4
1 5
d.
4
e.5
5. Completar con los signos ">" o "<" según corresponda: 5
I.
8
+
7
4
8
5
3
2
III. 5
3
+
II.
3
1
1
2
1
2
4
IV. 3
+
3 4
1
+
4
1
1
5
3
+
2 5
¿Cuántos signos ">" salen? a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
DESAFÍO Un caño puede llenar un depósito en 10 minutos y otro caño puede llenar el mismo depósito en 20 minutos. ¿En cuántos minutos se puede llenar un depósito si abrimos al mismo tiempo los dos caños?
16 a. 3
18 b. 3
II. SUSTRACCIÓN. COLEGIO TRILCE
Página 50
c. 7
d.
20 3
e. 9
ARITMETICA Para efectuar la sustracción de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados. Ejemplo: Resolver aplicando el método del mínimo común múltiplo. 4
×
4
4
-
6
10
4 × 5 - 4 × 3
=
30
20 - 12
=
30
8
=
4
=
30
15
15
C a l c u la n d o e l m . c . m . 6 3
10 5
3 2
1
5
5
1
1
m . c .m . [ 2 ; 3 ; 5 ] = 2 × 3 × 5 = 3 0
Ejemplo: Resolver aplicando el método del producto en aspa o productos cruzados. 7
3 4
-
1 6
=
3 × 6 - 4 × 1 4 × 6
=
18 - 4 24
×
=
14 24
=
12
7 12
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones:
-
1 9
2 5 1 3
COLEGIO TRILCE
Página 51
2 7
1 3
1 4
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones: -
2 5
1 4
8 16
2 6
4 3 5 7
2. Calcular "A - B", si: A
2
1 2
3 ; 4
B 1
3 4
1
a.
2
COLEGIO TRILCE
b.
3 4
Página 52
3 c. 2
d.
1 4
e.
2 3
ARITMETICA
3. Indicar cuál es la menor diferencia: 2 I. 5
1 3
II.
a. I
b. II
4. Restar:
a.
5. De:
2
1 III. 4
2 6
c. III
1 5
d. I y III
e. iguales
8 c. 5
1 d. 15
3 20
3 10
3 2 de 2 5 3
3 5
3 5
4 7
4 b. 15 1 4
restar
7 a. 10
e.
3 10
e.
11 20
1 5
b.
8 12
c.
d.
DESAFÍO 1 1 Encontrar el número racional entre 7 y 4 cuya distancia al primero
sea el doble de la distancia al segundo.
a.
9 14
COLEGIO TRILCE
b.
7 14
Página 53
c.
6 14
d.
5 14
e.
8 14
ARITMETICA III. MULTIPLICACIÓN En la multiplicación de fracciones el numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores, el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores. a
×
b
Es decir:
c
=
d
a × c b × d
1 3
12 15
Ejemplo:
6
×
=
8
3
12 × 6 15 × 8 5
1 × 6
=
=
5 × 2
2
3 5
1
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada: 2 3
×
1 5
4 7
6 10
5 3 1 4
2. Calcular "A × B", si: A
3 3
3 5
5 ; B 2
3 2
1 9
2 a. 3
18 5
3 c. 5
4 b. 10
3 d. 10
5 e. 9
3. Se sabe que: A
3 5
1
1 4
4 3
4 ; 5
B
1 2
2 3
3 4
calcular: "A × B" 2 a. 5
COLEGIO TRILCE
b.
1 5
Página 54
c.1
d.
3 2
1 e. 4
ARITMETICA
4. Simplificar: 2
1 3
a.
3
1 4
1
1 3
7 9
b.
11
8 9
c.
1
3 28
d.
1 6
d.
2 25
e.
10
1 9
5. Simplificar: 6 90
a.
36 15
12 8
3 12
9 b. 50
3 50
c.
7 25
e.
1 25
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Completar el siguiente cuadro, simplificando el resultado de la operación indicada. 15 8
×
21 12
6 8
9 16
4 3 8 6
A
4 9
18 6
9 ; B 8
2. Si: calcular "A × B"
a.
6 56
b.
5 3 6 10
9 21
9 c. 56
3 54
d.
15 56
10 e. 56
3. Se sabe que: A
2 3
2
1 2
1 4
6 ; B 5
3 4
4 5
5 6
calcular "A × B"
a.
1 2
COLEGIO TRILCE
b.
1 3
Página 55
c.
2 3
1 d. 4
e.
3 4
ARITMETICA 4. Simplificar: 3
2 3
15 16
1
5 11
a. 3
3 5
b.
c. 5
d.
5 6
e.
5 9
5. Simplificar: 8 27
14 40
36 42
12 18
15 4
4 b. 9
3 a. 5
2 9
c.
d.
6 e. 5
7 9
DESAFÍO 1 1 Una tela se encoge al ser mojada 4 de su longitud y 3 de su anchura.
¿Qué longitud de la tela nueva hace falta emplear para tener 20 metros cuadrados de tela después de mojada? Esta tela antes de ser mojada tenía 8 metros de ancho. a. 2m 6m
b. 3m
c. 4m
d. 5m
e.
IV. DIVISÓN a Para dividir una fracción b entre otra no nula a primera fracción b por la inversa de la segunda
Es decir: a
c
b
d
=
a b
Ejemplo: 1
4 6
÷
8 9
=
4 6
×
9 8
=
4 × 9
=
6 × 8 2
COLEGIO TRILCE
3
Página 56
2
3 4
×
d c
=
a × d b × c
c d , equivale a multiplicar la c d.
ARITMETICA
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas 3 2
1 2
5 3
6 8
1 2 3 5
2. Escribir la expresión más simple equivalente a:
I.
7 36 5 18
4 a. 7
7 b. 10
II.
45 13 90 11
a.
1 5
11 b. 26
c.
3 d. 7
10 7
3 c. 22
d.
22 3
d.
15 7
2 e. 7
e.
26 11
e.
6 9
3. Hallar el valor de "A × B"; si: A
1 2 1 4
1 3; B
1 7
1 5 1 3
8 7
a.
24 7
c.
b. 0
c. 1
b.
12 9
4. Calcular: 2 7
3 7 8 7
5 8
a. 4
COLEGIO TRILCE
Página 57
d. 3
e. 2
ARITMETICA
5. Calcular: 1 4 18 2 3 2
a.
5 6
1 9
6 3
b.
1 4
1 15 5 2 3 c. 4
8 9
9 d. 8
7 e. 3
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas: 1 3 3 4 2 3
COLEGIO TRILCE
Página 58
2 5
1 2
1 4
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 59
ARITMETICA
ADICIÓN EN N. 1) Resolver: 109 + 291 + 300 + 150 + 50
2) Hallar el valor de "a": 1a 2a 3a ...
9a
522
3) Hallar el valor de "a": 1 a
2 a
3 .... a
9 a
15
4) Resolver: 23 + 71 + 17 + 19 + 20 5) Resolver: 49 + 39 + 21 + 31 SUSTRACCIÓN EN N.
1) La suma de los tres términos de una sustración es 4 820. Hallar el minuendo. 2) La suma de los tres términos de una sustracción es 144 y además el sustraendo es el doble de la diferencia. 3) Hallar el complemento aritmético de 32 517. 4) Hallar el valor de x + y. p q r r q p x y 3
5) Si vendo una casa en $48 000, ganando $1 300, ¿cuánto es el precio de costo de la casa? MULTIPLICACIÓN EN N.
1) Resolver: COLEGIO TRILCE
2) Resolver: Página 60
ARITMETICA 357 × 28
253 × 908
3) Resolver: 27a - 9a
4) Resolver: 7 × 12 + 7 × 8 - 7 × 19
5) En la siguiente lista de compras, sacar la cuenta: Precio
2kg
pollo
1 k g p o l lo
S/.3,20
1
leche
1 le c h e
1,50
2kg
arroz
1 k g a r ro z
1,20
1 kg papa 2
1kg papa
0,80
DIVISIÓN EN N.
1) Si: D = 347; d = 19; r = 5, hallar el valor de "q". 2) Si: D = 560; r = 8; q = 23, hallar el valor de "d" 3) Se reparten 348 chocolates entre 17 alumnos, si se sabe que fueron repartidos equitativamente y sobraron 8 chocolates. ¿Cuántos chocolates le tocaron a cada uno? 4) Un jarrón se parte en varios pedazos, Ricardo intentando recoger los pedazos, forma tres grupos (grandes, medianos y pequeños). Si se sabe que en cada grupo hay 9 pedazos y además se le perdieron 2 pedazos. ¿En cuántos pedazos se rompió el jarrón? 5) En una división el dividendo es 684, el divisor dos unidades menos que el cociente, el cociente es el triple del residuo. Si se sabe que el residuo es 9, hallar el valor del divisor. NÚMEROS ENTEROS Z.
1) Resolver: a. c.
| 10 | | 2| | 5|
2
b.
| 24 | | 6 | | 15 | | 10 | | 3|
2) Hallar el valor de: COLEGIO TRILCE
Página 61
d.
| 4|
(| 2 |)2 | 4|
| 2| | 6 | | 2| | 9 | | 2| | 4|
(| 3 | | 6 |) 2
ARITMETICA A
A
3 14
; si:
| 8 | | 3 | | 1 | | 1| | 5 | | 2 | | 1|
3) Determinar el valor de "2B", donde: B
| 8 | | 2|
| 36 | | 4 | | 20 |
4) La secuencia "22" se describe a si misma pues ella está formada por exactamente dos 2. Analógicamente la secuencia "31123315" se describe a si misma, pues está formada por exactamente tres 1, un 2, tres 3 y un 5. ¿Cuál de las siguientes secuencias no se describe a si msma? a. 2 1 3 2 2 3 1 6 c. 3 1 2 2 3 3 1 7 1 9 e. 4 1 3 2 2 3 2 4 1 5 1 6 1 8
b. 3 1 1 2 3 3 1 8 d. 2 1 3 2 3 3 2 4 1 5
5) ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor absoluto? a. 10 × 0,001 × 100 c. 100 ÷ 0,01 e. 0,1 × 0,01 × 10 000
b. 0,01 ÷ 100 d. 10 000 × 100 ÷ 10
OPERACIONES COMBINADAS.
1) - 15 × (- 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 × 8)] 2) - 3 × [ - 5 + 2 (- 3 + 6 × 8)] + 1 3) 6 ( - 5 - 4) - 8 [4 - (2 × 3 - 5) + 1] 4) [14 ( - 3 ) + 7 (- 2 × 8 + 10) + 1 ] - ( - 3 ) (5 - 4) 5) 1 - 2 {4 + 5 [ 3 - 8 (1 - 6) + 4 - 6 ] - 15} OPERACIONES CON FRACCIONES: Adición.
COLEGIO TRILCE
Página 62
ARITMETICA 3 49 1) Andrea vive a 20 km a la derecha de su escuela y Pedro vive a 7 veces
esa distancia, pero a la izquierda de la misma escuela. ¿Qué distancia hay entre las casas de Andrea y Pedro? a. 2km
b. 3
c.
7 2
d.
4
e.
9 2
2 5
2) Una persona gasta la mitad de su dinero en un almacén y de lo que queda en otro almacén. Si después de efectuadas las compras le quedan S/.2400, determinar el dinero que tenía al principio. a. S/.3600 10000
b. 4000
c. 6000
d. 8000
e.
2 12
9 24
3) Carlos destina del día para trabajar; del día, para transporte y alimentación; y, finalmente, 7 horas, para dormir. ¿Cuántas horas de tiempo libre le quedan? a. 2
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