Aritmetica - 1 Bim - Aful

o r o . r e n d m n e a e e P d e , e d d r e i A g r u 2 d i 1 m a u l P E M

m a d d i a a s z e i r r s l a . d d a l n n a A g n ó p s a o a ó e a i i l e M s d r t c u e n i a d s i o i t g i g n a a t m o d u t i e o r z á i s o r m o n e c c u I n r I a j a t u P a n e ñ d X l l i a s a e r o e I m e s m r e a P d l d t n n n l e e e n i a P S o r d o n i e a a . e m r e e d d r e í l r n a e i e a n t P é r i i r t r ó a n r

: o p m e i T e d a e n í L

l e t i b d s s a c g e n o t u , u n d g á e o i c t l s I n u a x u e e I c d d P l E l á C

. a n u o s s a u t e s o i s d o l i a n t a i e l v d r a u n n t n t n u g i e o i l e l a d p t a m e i r n x r l e e o e e r a d l t , a e a b r t o n c m o s a t a i i c ó n a x e d o c m á d o u l i d l A e c e g i s o g i b n m s i i o M s e e r r u e r e t R p t P p d s e r

o . r , d a m n e a n P e o d l , A e e a c c ñ a r g a i N a p u B s P E

0 6 9 1

0 6 9 1

o e . s s e d n f a d a t c o a s r o s s d o n a c i u c t a g n f i a c a s r u i g o b e f l a P l A l n l m u a

8 5 9 1

6 4 9 1

1 2 9 1

0 0 9 1

5 4 9 1

s e s e e s a . d e e o b d d a a , t t a d m n s m a r u i i e o t k o i n g a o c h b m a u y s s a s a s a r o g i e 2 a v o l i a t d n c i c o i n a H 9 r e o i m o e N y a p t y ó z u n d s 6 n t e a r l l a a l p r E u

s o n l l e r o t , r a e e n a r e P . b c a m e r t m o a a d b e i v o r s i c s t i e a r s r e d e e H e n r p u d o p o p 7 a s l l j e E

1 4 9 1

4 1 9 1

a r r e l . a u l a i a G l d l a n a r t s e u E i M m r P

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Cálculos Básicos I ARITMÉTICA Número Conjuntos Numéricos

OBJETIVO 

Efectuar operaciones aritméticas con cálculos sencillos a fin de adquirir habilidad operativa.

1. ARITMÉTICA Es la parte de la Matemática que tiene por objeto el estudio del número. En aritmética se estudian las propiedades, las operaciones, las medidas y las comparaciones que se realizan utilizando números.

2. EL NÚMERO Es un ente abstracto, es decir, que no existe en el mundo real. Es la idea de cantidad que se forma en nuestra mente al observar los elementos de un conjunto. Por ejemplo, cuando observamos los dedos de una mano se forma en nuestra mente una idea de cantidad a la cual llamamos cinco: esta idea es un número.

La invención de los números data de los albores de la humanidad, de allí que el profesor Puig Adam de la Real Academia Española de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales dijera que ‘‘la ‘‘ la Matemática es tan vieja como el instinto de propiedad, es decir, tan antigua como el hombre’’. Y agregara: ‘‘Éste se sintió matemático en cuanto el afán de retener lo suyo lo llevó a contar sus rebaños y a medir sus tierras’’. Pero, ¿cómo contaban sus ovejas, sus bueyes o sus caballos? Pues por medio de guijarros (piedras), que iban colocando en un recipiente de barro, uno por cada animal que hacían entrar en el redil . He aquí como se manifestaba su instinto de propiedad. También, y con el mismo fin, solían hacer marcas en los árboles.

3. CONJUNTOS NUMÉRICOS A) Los Números Naturales (N) Son aquellos que se obtienen de la observación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

B) Los Números Enteros (Z) Son aquellos que se obtienen como la diferencia de dos números naturales. Ejemplo: 5 – 2 = 3, 4 – 4 = 0 y 3 – 7 = –4 Z = {... , – 3, –2, –1, 0,1,2,3, 0,1,2,3, ...}

CHICLAYO CHICLAY O - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE

C) Los Números Racionales (Q) Son aquellos que se obtienen como el cociente de dos números enteros. Ejemplo: , –3 = -6 , 0 = 0 3 2 4 5 1 0,5 = , 2,5 2,5 = , 0,3 = 1 2 2 3 0,25 = 23 90 2=

6

Q={ a/b / a Z, b Z, b≠0}

D) Los Números Irracionales (I) Son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. Los números irracionales tienen expresión decimal infinita no periódica. I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

73

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E) Los Números Reales (R)

Ejemplo: 2 = 1,4142....

e = 2,7182...

π = 3,141593...

I = { x/x tiene expresión decimal no periódica }

Contienen a los números racionales e irracionales. R={x/x es racional o irracional} R=QI

Pedro Puig Adam (1900 – 1960) Fue uno de los matemáticos españoles que más trabajó en la didáctica de las Matemáticas. Fue, salvo entre los círculos profesionales españoles, un desconocido. Catedrático del Instituto San Isidro de Madrid y de Metodología de las Matemáticas en aquella universidad, compaginaba su contacto real con la enseñanza y con sus inquietudes pedagógicas, influyendo en los nuevos profesores. Su preocupación por los problemas de la enseñanza lo llevó a ser un destacado miembro de la C.I.E.M. (Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas), logrando que la XI C.I.E.M. se celebrase en Madrid Madrid en 1958. 1958. En este este mismo año redactó el Decálogo del Profesor de Matemáticas, en el que recogía sus opiniones sobre la enseñanza de las matemáticas en los Institutos de Bachillerato. El Decálogo, siempre en vigor, nos muestra como los actuales pontífices didácticos no nos descubren nada nuevo.

Nivel I

1) El producto de dos números naturales es 420. Calcula el mayor de éstos, sabiendo que son consecutivos. a) 20 b) 21 c) 22

2) Calcula el mayor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 240. a) 12 b) 15 c) 16

I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

74

d) 18 e) 20

3) Calcula el menor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 182. a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

4) Calcula el menor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 90. a) 15 b) 45 c) 20

Aquí se ve el famoso Omnipoliedro y el Icosaedro construidos por él en el Instituto San Isidro.

d) 25 e) 26

d) 19 e) 23

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

7) El producto de 2 números impares consecutivos es 783. Halla el mayor. a) 21 b) 31 c) 33

d) 27 e) 29

8) El producto de 2 números pares consecutivos es 5624, halla el mayor de ellos. a) 74 b) 72 c) 76

d) 78 e) 82

9) Dos números difieren en 3 unidades y su producto es 208, calcula el mayor de ellos. a) 13 b) 16 c) 18

d) 9 e) 6

5) El producto del mayor y el menor de tres números consecutivos es 288, calcula el número intermedio. intermedio. a) 15 b) 17 c) 13

6) El producto de tres números consecutivos es 90 veces el menor. Halla el mayor de ellos.

d) 20 e) 21

10) Dos números están en la relación de 3 a 5 y suman 80, calcula el mayor de ellos. a) 50 b) 30 c) 20

d) 15 e) 10


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11) Dos números suman 200 y están en la relación de 13 a 7. El mayor de ellos es: a) 70 b) 65 c) 130

d) 120 e) 180

d) 40 e) 20

13) Calcula el menor de 2 números cuya diferencia es 52 y estén en la relación de 7 a 3. a) 13 b) 60 c) 91

d) 52 e) 39

14) Las edades de Pedro y su hijo son como 9 a 7. ¿A qué edad tuvo Pedro a su hijo si actualmente tiene 81 años? a) 45 b) 36 c) 18

d) 50 e) 60

A 3 15) Si B = 2 y 7A – 4B = 26, halla A + B. a) 9 b) 10 c) 12

d) 15 e) 20

Nivel II

16) ¿Cuántos novenos hay en 3 1/3? a) 90 b) 30 c) 24

d) 27 e) 18

17) ¿Cuántos octavos hay en 4 1/4? a) 16 b) 32 c) 34

a) 4/3 b) 11/9 c) 10/9

d) 12/15 e) 12/3

19) Auméntale a 4/5 sus 4/5.

12) Calcula el menor de 2 números cuya diferencia sea 50 y estén en la relación de 12 a 7. a) 120 b) 100 c) 70

18) Auméntale a 2/3 sus 2/3.

d) 64 e) 100

a) 36/25 b) 16/25 c) 16/5

d) 36/5 e) 32/25

20) ¿Cuántos cuartos hay en 5 1/2? a) 11 b) 22 c) 33

d) 2/5 e) 41/150

d) 10/16 e) 31/32

23) Disminúyele a 4/5 sus 3/8. a) 17/40 b) 12/56 c) 1/2

d) 1 e) 11/56

24) Un lingote pesa 6 kg más la cuarta parte de su peso total. ¿Cuánto pesa el lingote? a) 6 kg b) 8 kg c) 10 kg

d) 16 kg e) 12 kg

25) Simplifica: 1+ 1 1+1 2 3 1 ... 1 + 31

( )( )( ) ( ) a) 15 b) 16 c) 16,5


2+ 1+


27) Simplifica:

d) 44 e) 10

21) ¿Qué parte de 3 1/3 es lo que le falta a 1/9 para ser igual a los 2/3 de 3/5? a) 11/45 b) 9/150 c) 13/150

26) Simplifica: 1 3 + 4 ÷4 20 1 – 14 15 a) 1,5 d) 4,5 b) 7,5 e) 8 c) 6

1 + 1 ... 4

d) 16,5 e) 7

a) 10,5 b) 11 c) 21

47 4 2 3+ 1 4 d) 21,5 e) 22

28) Si 221 excede a un número en sus 4/13, calcula el número. a) 156 b) 91 c) 169

d) 182 e) 195

29) ¿Cuántos décimos hay en 2 1/5? a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

30) ¿Cuántos veinteavos hay en 2 1/4? a) 25 b) 29 c) 31

d) 37 e) 45

Nivel III

31) Un paquete pesa 8 kg más la tercera parte de su peso. ¿Cuál es el peso del paquete? a) 6 kg b) 14 kg c) 12 kg

d) 18 kg e) 24 kg

32) Un niño pesa 24 kg más la séptima parte de su peso total. ¿Cuál es la cuarta parte del peso del niño? a) 21 kg b) 14 kg c) 12 kg

d) 7 kg e) 28 kg


75


33) Auméntale 2/5 en sus 3/7. a) 13/35 b) 3/35 c) 4/7

d) 29/35 e) 5/14

40) ¿En cuánto aumenta el producto de 123 x 128 si a cada factor se le aumenta 1? a) 253 b) 251 c) 242

d) 252 e) 262


d) 3/49 e) 3/7

35) Auméntale a 3/5 sus 3/5. a) 24/25 b) 3/5 c) 6/5

d) 21/25 e) 9/25


d) 15/8 e) 25/8

37) Un galón de pintura rinde para 30 m 2. Si con los 2/5 de los 3/4 de 8 galones se han pintado los 2/3 de los 4/5 de una pared, ¿cuál es la superficie de dicha pared? a) 720 m2 b) 270 m2 c) 135 m2

d) 13,5 m2 e) 520 m2

38) Si una batería termina de consumirse en 4 días, ¿en cuántos días se habrán consumido los 5/7 de ésta? a) 15/7 días b) 10/7 días c) 16/9 días

d) 20/7 días e) 15/9 días

39) Si los números A, B, C y D están en la misma relación que 3, 5, 2 y 7 halla A + D, sabiendo que la suma de los cuatro es 221. a) 120 b) 123 c) 130

d) 150 e) 195


76

41) ¿En cuánto aumenta el producto de 597 x 403 si se aumenta cada factor en 1? a) 1 b) 318 c) 682

d) 1000 e) 1001

42) ¿Cuántos dígitos tendrá el producto de 212 x 58? a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) más de 12

d) 15 e) más de 15

44) Si se efectúa 2137753, la cifra de las unidades del producto final es: a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

45) ¿En qué cifra termina (5235+543x123321–234)x 629+1? a) 1 b) 3 c) 5

a) 33/140 b) 17/120 c) 11/140

3/5 5/15 25/15 5/25 d) 13/120 e) 29/140

48) Simplificar:

(1 – 13 )(1 – 14 )(1 – 15 ) ... 1 – 1 ( n) a) 1/n

d) n

b) 2/n

e) 1 n–1

c) n – 1

43) ¿Cuántos dígitos tendrá el producto de 216 . 512? a) 12 b) 13 c) 14

47) Simplifica: 4/25 + 2/5 12/15 + 4/5

d) 7 e) 9

49) Un granjero ha llevado a la ciudad cierta cantidad de gallinas, vende primero la mitad de las que traía, luego vende los 2/3 de lo que le quedaba y por último vende 3/5 del nuevo resto, quedándose tan solo con 10 gallinas. ¿Cuántas gallinas llevó a la ciudad? a) 110 b) 120 c) 130

d) 140 e) 150

50) Resta 1/3 de 1/2; 1/4 de 1/3; 1/5 de 1/4. Suma las diferencias. Multiplica las mismas. Divide la suma por el producto. Calcula la tercera parte del cociente. La raíz cuadrada del resultado es: a) 1 b) 5 c) 8

d) 12 e) 15

46) Un ladrillo cuesta 3 soles más medio ladrillo. ¿Cuánto cuesta un ladrillo y medio? a) S/. 3,50 b) S/. 6,00 c) S/. 7,50

d) S/. 8,00 e) S/. 9,00

CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE


1) Calcula el menor de 3 enteros positivos consecutivos cuyo producto sea 336. a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 10

3) Si m = 7 y m+n =100, calcula «m». n 13 a) 28 b) 63 c) 49

d) 35 e) 140

2) Las edades de A y B están en la razón de 39 a 33. Si B, el mayor, tiene 65 años, calcula la edad de A dentro de 5 años. a) 40 años b) 45 años c) 50 años

d) 55 años e) 60 años

4) Si se efectúa 31563, la cifra de las unidades será: a) 5 b) 6 c) 1

d) 4 e) 7

5) Auméntale a 2/3 sus 3/4. a) 7/6 b) 1/2 c) 17/12

d) 13/12 e) 11/12

Nada es valioso de veras, si puede conseguirse sin pena ni fatiga. Juan Addinson



77


Cálculos Básicos II OBJETIVO 

Operar con fracciones en forma correcta y rápida.



Plantear ejercicios con enunciados.

MOTIVACIÓN: * De un cilindro de 60 litros con agua, se extrae 12 litros. ¿Qué parte de lo que no se extrae se extrae? Rpta: ..................................................

2) Efectúa: 4 5 1 a) + 3 9 6 3 5 b) 2 - + 5 4 6 c) 7 - 5 +13 12 3 4 2 d) 4 - 11 + 5 3 e) 5 - 3 + 7 8 16 24 8 f) +3- 4 27 9 3) Simplifica las siguientes fracciones: a) 45 270 b) 240 168 c) 343 98 567 d) 324 1212 e) 808

* De un grupo de 30 alumnos, hay 18 mujeres. ¿Qué parte del total representan los hombres? Rpta: .................................................. * Disminúyele a

5) Efectúa: a) 6 2 + 5 1 - 1 1 3 5 6 1 3 -2 b) 6 4 4 1 1 c) 24 - 15 4 5 2 d) 1+ 5 e) 4 - 17 13 8 f) 6 + 15

4

es sus 4/5. 5 Rpta: ..................................................

4) Número Mixto: Es aquel que consta de parte entera y fracción. 4

Nivel I

1) Efectúa: 2 7 4 a) + 5 5 5 3 7 20 b) + 11 11 11 2 - 3 c) +1 15 15 6x 2x 5x d) + + 7 7 7 I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

78

3 7 fracción entero

Obs.: 4 3 <> 4 x 7 + 3 = 31 7 7 7 19 6



19 6 , luego 19 = 3 1 6 6 1 3

6) Efectúa: a) 4 x 9 x 21 3 14 5 b) 4 x 15 + 13 5 22 11 c) 5 ÷15 - 4 ÷ 8 12 32 3 9 7) Efectúa: a) 4 de los 27 de los 14 de 200 9 16 15 b) 55 de los 32 de 4 1 85 15 4 8) Algunos asuntos importantes I) El triple de un número o tres veces el número. Ejemplo: Número 8 N

Triple 24 3N


Educamos para la VIDA y también para la UNIVERSIDAD II) Tres veces más el número. Número Triple Tres veces más 8 24 8 + 24 = 32 N 3N N + 3N = 4N III) A excede a B en E. Se puede escribir de 2 formas conocidas. A=B+E A- B=E Ejemplo: 18 excede a 15 en 3. 18 = 15 + 3 18 - 15 = 3

9) Calcula el valor entero positivo que satisface las siguientes igualdades: a) n(n+1) = 42 b) n (n+1)=90 c) (n + 1) (n + 2) = 132 d) (n – 1) (n + 3) = 165 e) (2n + 1)(n + 1)= 276 f) n2 + 4n = 357 g) n3 + n = 2210

10) ¿Qué número, incrementado en 8 unidades,origina un resultado igual al que se obtiene dividiéndolo entre 3 ? 5 15 a) 7 d) 15

7 b) 15 e) 12

3 c) 8

11) ¿Cuál es el número cuya mitad más su doble, su tercera parte y su triple origina el número 1435? a) 426 d) 462

b) 642 e) 168

c) 246

12) Se extraen 4000 litros de una piscina llena hasta sus 2/3, quedando llena hasta sus 3/5. ¿Cuántos litros faltan para llenar la piscina? a) 30000 L b) 12000 L c) 24000 L

d) 22000 L e) 60000 L

13) El filtro de un cigarro es 1/4 de cigarro. Un jugador consume los 7/8 de la parte fumable y cada pitada consume 1/64 de la parte fumable.¿Cuántas pitadas da el fumador? a) 56 d) 60

b) 63 e) 28

b) 840 e) 360

c) 630

A=1+1 x1+1 x1+1 x...x1+ 1 4 5 6 199 halla el valor de A. b) 45 e) 60

c) 50

Nivel II

16) Efectúa: a) 32+15x8-2x4 b) 72÷6+8x4 c) 82 x 26-32 x 26 d) 15x64+30x28-30x14 e) 942x101+18x101+40x101 f) 6,40÷0,16-3 x 0,8 x 90 g) 24(32-18)+(11+16÷4).3 h) 248x316-124x68-31x12 i)(15÷3+12x4)-36x18 (18+14x3)÷2

17) Una persona compró 420 artículos a S/. 2,50 c/u y lo vendió a S/. 4,20 los 300 primeros y en los restantes perdió S/.0,70 en cada uno. ¿Cuánto ganó? a) S/.426 b) S/.515 c) S/.620 d) S/.148 e) S/.248


19) Resuelve: x 6 a) = x+8 7 b) x+3 = 31 x+7 33 c) x–11 = 59 x+3 61

x 53 = x+12 54 e) x+6 =206 x+15 209 f ) x+3 = 37 x+12 40 d)

20) Indica los valores que toma A y B en:

15) Sabiendo que:

a) 40 d) 55

a) 20 y 24 b) 84 y 56 c) 200; 360 y 270 d) 560; 1008 y 1400 e) 360; 840 y 900

c) 42

14) Si me deben una cantidad igual a los 7/8 de 960 y me pagan los 3/4 de lo que me deben. ¿Cuánto me deben aún? a) 330 d) 210

18) Halla el m.c.m de:

a) A = 7 ; B 5 A 15 b) = ; B 11 c) √A = 3 ; √B 4 2 2 d) A = B ; 48 75 e) A = B ; 168 98

A+B =108 A-B =48 A+B=750 A+B =162

21) Dos números son proporcionales a 3 y 8. Si la suma de ambos es 154, indica el menor. a) 14 d) 36

b) 28 e) 48

c) 42

22) Mi auto tiene una velocidad de 3km/h. ¿Cuántos metros recorreré en 18 min? a) 180 d) 480

b) 1800 c) 900 e) 4500

23) 18 docenas de cuadernos cuestan S/.540 ¿Cuánto costarán 4 quincenas de cuadernos? a) S/. 300 b) S/. 150 c) S/. 75 d) S/. 120 e) S/. 240 I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

79


24) 36 peones avanzan 1 200 metros de zanja en un cierto tiempo; en ese tiempo,¿cuánto avanzaran si se aumentan 9 peones? a) 600 m b) 1500 m c) 1200 m d) 360 m e) 1800 m

25) Una cuadrilla de "A" hombres hace un trabajo en "d" días; al aumentar 2A hombres, ¿en cuántos días se haría el mismo trabajo? a) d 2 d) 3d

b) 2d

c) d 3

e) d

26) Calcula: a) 20% de 480 .......................... b) 12% de 640 .......................... c) 85% de 340 .......................... d) 2% de 80 ............................ e) 15% de 2,4 ............................

27) ¿Cuál es el 24% del 15 % de 1600? a) 57,6 d) 5,7

b) 5,76 e) 4,2

c) 4,32

28) Me ofrecen un producto a S/.300, pero me descuentan el 20%, entonces lo adquirí a: a) S/.120 b) S/.60 c) S/.240 d) S/.200 e) S/.280

29) ¿De qué número 81 es el 54%? a) 140 d) 300

b) 150 e) 90

c) 120

30) Un número aumentado en su 30% es 780, entonces el número aumentado en su 20% es: a) 420 d) 180

b) 720 e) 1000

c) 700


80

Nivel III

31) La suma de dos números es a su diferencia como 6 es a 1. Si el producto de los dos números es 5040, indica la diferencia de los números. a) 20 d) 12

b) 16 e) 18

c) 24

32) Dos números están en la relación de 5 a 13. Si uno excede al otro en 72, ¿cuál es el mayor? a) 104 d) 221

b) 117 e) 195

c) 91

33) El dinero que tiene Luis es al dinero que tiene Pedro como 11 es a 7. Si Luis diese $40 a Pedro ambos tendrían la misma cantidad. ¿cuánto tiene Luis? a) $ 110 b) $ 220 c) $ 88 d) $ 99 e) $ 165

34) La suma de 2 números es 814. Si su razón es 4/7, ¿ cuál es su diferencia? a) 144 d) 222

b) 189 e) 148

c) 216

35) Las edades de dos personas están en la relación de 9 a 5. Dentro de 8 años será de 11 a 7. ¿en qué relación estuvieron dichas edades hace 4 años? a) 2 : 1 b) 3 : 2 c) 3 : 1 d) 4 : 1 e) 4 : 1 A B C 36) Sean 3 = 11 = 15 , además: 11A+3B+C=54 calcula "C". a) 12 d) 20

b) 15 e) 30

c) 10

37) Dos números son proporcionales a 3 y 7; el doble del segundo y el triple del primero difieren en 45. Halla el menor. a) 18 d) 24

b) 27 e) 33

c) 21

38) ¿Cuál es el mayor de las tres partes en que se divide 216, de tal manera que la primera sea a la segunda como 3 es a 5 y la segunda sea a la tercera como 1 es a 2? a) 75 b) 80 c) 100 d) 120 e) 60 39) La edad de Eduardo es el doble de la edad que tiene Lidia; hace 15 años la edad de Eduardo era el triple de la edad que tenía Lidia.¿Qué edad tiene Eduardo? a) 58 años b) 60 años c) 62 años


40) Dentro de 10 años mi edad será el doble de la edad que tuve hace 10 años.¿Qué edad tenía hace 3 años? a) 27 años b) 28 años c) 29 años


41) Si a un número se le quita 30, queda los 3/5 del número. ¿Qué cantidad se le debe quitar al número inicial para que se obtenga como resultado los 2/3 del mismo? a) 20 d) 35

b) 25 e) 40

c) 30

42) Se tienen 15 botellas de 4/3 de litro cada una. Si se extrae los 3/5 del contenido de las 15 botellas, ¿cuántos litros quedan? a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

43) Encuentra la suma de dos números impares consecutivos, cuyo producto sea 575. a) 42 d) 52

b) 46 e) 64

c) 48

44) ¿Cuál puede ser la suma de 2 números que disminuidos en 4 y 3, respectivamente, se obtiene como producto 11? a) 23 d) 17

b) 19 e) 27

c) 21



45) Halla un número cuyo exceso sobre 68 equivale al exceso de los 3/5 del número sobre 1/6 de dicho número. a) 100 d) 60

b) 120 e) 80

c) 140

46) Si la mitad del tiempo que ha pasado desde las 7 horas es igual a la tercera parte del tiempo que falta para las 22 horas, ¿qué hora es? a) 11 h d) 14 h

b) 12 h e) 15 h

47) La anchura de una alfombra rectangular es a su largo como 2 es a 3. Si se le corta por los 4 lados una tira de 10 cm de ancho. La superficie disminuye en 56 dm2. ¿Cuál es el largo de la alfombra?

a) 12 % b) 36 % c) 37,5 % d) 40 % e) 30 %

50) 8 amigos tienen que pagar una deuda en partes iguales, como 2 de ellos no tienen, los otros deben poner S/. 10 más cada uno. ¿Cuál era la deuda?

a) 21 dm b) 15 dm c) 28 dm d) 12 dm e) 18 dm

48) De 350 espectadores en un cine, 98 son mujeres. ¿Qué porcentaje son varones?

c) 13 h

a) S/. 200 b) S/. 300 c) S/. 210 d) S/. 240 e) S/. 600

a) 40 % b) 54 % c) 63 % d) 72 % e) 60 %

1) Indica el mayor de 2 números consecutivos cuya suma sea 43. a) 21 b) 22 c) 23

2) ¿Cuántos novenos hay en 2 1/3? a) 7 b) 15 c) 16

d) 24 e) 25

d) 21 e) 28

4) Disminúyele a 4/5 sus 3/8.


49) Si son las 3 p.m. de un día, ¿qué porcentaje del día falta transcurrir?

a) 17/40 b) 12/56 c) 1/2

d) 10/16 e) 31/32

d) 1 e) 11/56

5) Si 91 excede a un número en sus 2/11. Calcula dicho número. a) 11 b) 33 c) 55

d) 77 e) 88

El que aprende y no practica lo que sabe, es como el que ara y nunca siembra

Pericles



81

n e i e . c a r e c s a i u n M o P b i F

a s i P e d o d r a n o e L . o p m e i T e d a e n í L

. s s o a s e l t e n e i u c o e l í s t g d e a í n n a e a r n a d t t e u m s c e q i a i a r o m n c l v u a d e p e r t e d e o ó t s u r i m b t m o e i n n a u r i s c ó , p i n á d x s c e s c a m a o a r e a a c n u p t r i o a a b a o t c r q b r l ú i b n n e e a c F o i a r b u u l r o c c , ) . e a i , l a t n o m e s n r e a e a m z ó i d d e r i g d r c b c s a o u a a é d a f a y r r l w e y u i u a e a a h s p v p a c s d n e K m r e s m o f u r u i l d a o a c n n c s c l o A e a a r d e s r e e u i v c p l v u l P i y o m a e a p q u e a d s c i n a m t o c e e r e ( a d t a i r d u b v e r s l t t o i i e r a s g s i n e á u o e m l l m c b i d s e e V e r d a d á r m o r r f a t -

n s a u ó i o l i . r s s e c a t e s g e e a a s r c e b o A i a n i m a t r d c á r o m e m f a a l r e u a e a m n d e d r t s o u e a d n e a o s L l m m g m o i r a r d r a t c p

) a a i . s i i c P l a t I c a n e a n o r e o b c i a h a F N (

0 5 2 1

9 4 2 1

. a o í a n e r t r a n p o b s c e p i e o t a o r a t s s l B e n a m e a e x l e t d e r b m e i s a g r r r a v e l t n o c p l i R s e o c e h

5 2 2 1

0 0 2 1

2 9 1 1

0 7 1 1

0 0 2 1

5 9 1 1

6 7 1 1

l n j e o o u l a m o e n o - e l r . i b i o ) i h n u t e t r g s r ó C h o c n o r r a s c n t s o e t r P l s E a T K d o ( o s

o , i l . , l n a o t o e o n o u e a d o g t d a n d e u n a a o d t c S t n P m u A a r a o l e l l e m e N P n d d a S , a o j n o l e . a R r l n a g a o e b p n u L r a s a m e B d d a o e t c a d l o t l o a s r i r t a e c a d r B p é o j r n a e l t o s s n a E l


Numeración 1. CONCEPTO

3. Contar en base 4:

Es la parte de la aritmética que estudia la formación, escritura y la lectura de los números.

3

2 (4) Base

La numeración puede ser:

1.1 Escrita o simbólica Es aquella que emplea símbolos llamados cifras, guarismos o caracteres.

Base 10: 14

Base 4: 32(4); "Se lee: tres dos en base cuatro".

4. Contar en base 3:

1.2 Oral o hablada Es aquella que emplea VOCABLOS o PALABRAS. 2. SISTEMA DE NUMERACIÓN Es el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y lectura de los números mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras.

2

1

2(3) Base

Base 10: 23

Base 3: 212(3); "Se lee: dos uno dos en base tres".

2.2 Características de un Sistema de Numeración

2.1 Base de un Sistema de Numeración Es aquel número que nos indica la cantidad de unidades, de un orden cualquiera, que se requieren para formar una unidad de orden superior.

a) En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor de la base y con las combinaciones de ellas se pueden formar todos los números posibles de dicho sistema.

1. Sistema de Base 10: Diez unidades forman una decena (unidad de segundo orden). Diez decenas forman una centena (unidad de tercer orden), etc.

c) La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo mayor que 1.

2. Sistema de Base 4: Cuatro unidades de primer orden forman una unidad de segundo orden. Cuatro unidades de segundo orden forman una unidad de tercer orden. Cuatro unidades de tercer orden forman una unidad de cuarto orden, etc.

b) El mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base.

d) La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera de las cifras que se usan en dicho sistema. Ejemplo:

4271(5);

numeral mal escrito.

314(7);

numeral bien escrito.

1358(6);

numeral mal escrito.

64103(8);

numeral bien escrito.



83


2.3 Nomenclatura de los Sistemas de Numeración

Base

Nombre del Sistema

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . . n

Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario u octal Nonario o nonal Decimal Undecimal Duodecimal . . . Enesimal

NOTA: h Para bases mayores que diez se usan los símbolos α, β, γ, etc. que representan las cifras diez, once, doce, etc. respectivamente. También se pueden emplear las letras del abecedario. cifra diez: cifra once: cifra doce: cifra trece:

α β γ φ

= = = =

a b c d

= = = =

A B C D

4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

Cifras utilizadas 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β, . . . 0, 1, 2, 3, 4, .............., n - 2, n - 1

En todo Sistema de Numeración, cualquier número se puede escribir como la suma de los valores relativos de sus cifras. Ejemplos:

632 = 600+30+2 [Base 10] 5479 = 5×103+4×102+7×10+9 [Base 10] 235(7) = 2×72+3×7+5 [Base 7] 4523(8) = 4×83+5×82+2×8+3 [Base 8]

Ejemplos:

5. ORDEN DE UNA CIFRA

34A5(12); "Se lee: tres cuatro A cinco en base doce". 62B7C(15); "Se lee: seis dos B siete C en base quince".

Es el lugar que ocupará una cifra empezando de derecha a izquierda. Ejemplos: 5 3 2 4(8) 1.er orden o unidades

3. VALORES DE UNA CIFRA

2.° orden

3.1. Valor Relativo o Posicional (V.R.) Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número.

3.2. Valor Absoluto o por su forma (V.A.) Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene.

3.° orden En cualquier Sistema de Numeración: "La cifra de primer orden, es la de unidades".

Ejemplos: 5 7 3 9

[Base 10] = 9 { VA VR = 9 unidades = 3 { VA VR = 30 unidades = 7 { VA VR = 700 unidades


84

3 2 1 4 (5) = 4 { VA VR = 4 unidades = 1 { VA VR = 1×5 unidades = 2 { VA VR = 2×5 unidades CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE


6. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO Cada cifra de un número puede ser representado por una letra del abecedario y todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlas de las expresiones algebraicas.

8.2.Caso II: De base 10 a base "n" Se efectúa empleando el método de "divisiones sucesivas", para lo cual se divide el número dado entre "n" (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que "n", se divide este nuevamente entre "n" y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que "n". El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda.

ab(n) : Representa cualquier número de dos cifras de la base "n". abc

: Representa cualquier número de tres cifras de la base 10, puede ser: {100; 101; 102; 103; ... ; 998; 999}

ab37 : Representa cualquier número de cuatro cifras de la base 10 que termina en 37, puede ser: {1037; 1137; 1237; 1337; ... ; 9837; 9937} ab4(6) : Representa cualquier número de 3 cifras de la base seis que termina en 4. Puede ser: {104(6); 114(6); 124(6); ... ; 544(6); 554(6)} a(2a)b(5): Representa cualquier número de 3 cifras de la base cinco, donde la cifra de segundo orden es el doble de la cifra de tercer orden, puede ser: {120(5); 121(5); 122(5); ........ ; 244(5)}

Ejemplo: Convierte 328 a la base 6. 328 28 4

6 54 0

7. NÚMERO CAPICÚA Es aquel número que se lee igual de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, también se dice que es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos:

6 1

último cociente

328 = 1304(6) 8.3. Caso III: De base "n" a base "m" (n,m ≠10)

En general:

414(a) ;

aba(n)

7557(9) ;

abba(n)

53235(8) ;

abcba(n)

8. CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA BASE A OTRA

En este caso, primero se convierte el número de base "n" a la base 10 y el resultado se convierte a la base "m". Ejemplo: Convierte 413(8) a la base 5. Primero: 413(8) a la base 10

Se presentan tres casos:

8.1. Caso I: De base "n" a base 10 En este caso se calcula el número de unidades simples que posee dicho número, para esto es suficiente realizar la descomposición polinómica del número y efectuar las operaciones indicadas. Ejemplos Convierte 324(7) a la base 10.

6 9 3

413(8) = 4×82+1×8+3 = 267 Luego: 267 a la base 5 267 17 2

5 53 3

5 10 0

5 2

324(7) = 3×72 + 2×7 + 4 = 165 Entonces: 324(7) = 165


413(8) = 2032(5) I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

85

Educamos para la VIDA y también para la UNIVERSIDAD 

Luego:

PROPIEDAD Si un número es expresado en dos sistemas de numeración, se cumple que: " a mayor representación aparente le corresponde menor base y viceversa".

6

1

7

4(8)

110 001 111 100(2)

Ejemplos: Mayor representación

 61748 =

+

-

413(8) = 2032(5)

9.2 De base n a base nK (k Z+)

-

+

Menor base

+

Como de la base n a nk " aumenta" la base, entonces la representación "disminuye". Ello implica que el proceso es inverso al caso anterior. Por cada "k" cifras de base "n" debe salir una cifra en base n k y para ello separamos en bloques de k cifras de la derecha a la izquierda y cada bloque se pasa a base 10, obteniéndose así las cifras en la base nk.

-

512(7) = 312(9) -

+

* Aplicación: -

+

-

25a(m) = 3ab(n) +



n
-

1100011111002

+

27(a) = 2m1(b) +



Ejemplos:

a>b

-

Convierte 10210112(3) a base 9. Resolución

9. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN

Por cada dos cifras de base 3 (9=3 2) debe salir una cifra en base 9.

9.1. De base n K a base n Al convertir el número de base n K a base n como la base "disminuye", la representación "aumenta", de modo que por cada cifra de base n K deben obtener "k" cifras en base "n" y si no fuese así se completa con ceros a la izquierda.

10 21 01 12(3) (9)

Ejemplos: Convertir 6174(8) a base 2. Resolución Se sabe que por cada cifra de base 8 = 23 deben obtenerse 3 cifras en base 2, veamos:

6

1

7 4(8)

* 4 2 0 2 2 0 1

* 7 2 1 3 2 1 1

4 = 1002

7 = 1112

* Como 1 es menor que 2, colocamos el 1 con dos ceros a la izquierda. 1 = 0012

* 6 2 0 3 2 1 1 Pasamos cada cifra de base 8 a base 2.


86

6 = 1102

Pasando cada bloque a base 9. * 103 = 1 × 3 + 0 = 3 * 213 = 2 × 3 + 1 = 7 * 013 = 1 * 123 = 1 ×3 + 2 = 5

Luego: 10

21 01

12(3)

3

7

5(9)

1

 10210112(3) = 3715(9)



9.3 Propiedades

a) (n-1)(n-1)....(n-1)n = nk-1 1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de cuarto orden ocupa el quinto lugar?

k cifras * 2223 = 33 - 1 = 26 * 77777 8 = 85 - 1 = 32767 b) 1m 1n

= m+n+p+q+x 1p1q

* 1213

15 8

a) 3

b) 4

c) 5

Primero ubiquemos la cifra de quinto lugar (de izquierda a derecha).

__ __ __ __ __

x







1.er 2.°

= 2+3+5+8= 18



3b 4c d

3.er 4.° 5.° lugar

4to 3er 2do 1er 







__

__

__

__

__

__

__ __











2.°

3.

4.°

5.° lugar

1.

er

er

Orden

Se tiene 8 cifras 

= 7+20×2 =47

El numeral tiene 8 cifras.

Clave ah

2. Un numeral decimal esta formado por tres cifras, en el cual la cifra de mayor orden es el doble de la cifra de menor orden, y la cifra central es igual a la suma de las cifras extremas. ¿Cuántos números cumplen dicha condición?

127

=2a =2a (12d+3c+b) 3b (4d+c)

a) 5

b) 4

c) 2

d) 1

e) 3

Resolución

= 24d + 6c + 2b + a * 2325

32



Como la cifra de 5.° lugar es de 4.° orden ahora a partir de dicha cifra descendemos hasta el 1.er orden.

c) 1a =n+k×a 1a 1a .. k veces .1a n

d) 2a

e) 7

Resolución

= 3+5+7+12= 27 * 1315 1712

* 12 12 12 .. 20 veces .

d) 6

=23 25 7

23

Si la cifra de menor orden es "a", la cifra de mayor orden será el doble, "2a", entonces según la condición la cifra central será la suma.

=23 = 105 51

N = (2a) (3a) a 

 

3.er 2.° 1.er Orden  Tres números

Del cual notamos que "a" puede ser 1, 2 ó 3. El numeral N = 231; 462; 693.

cumplen la condición.

Clave e CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE


87


3. Si el numeral siguiente es capicúa: (a+1) (c+1) b (2b) (6-a)(7-a) Halla el valor de (a + b + c). a) 2 d) 5

b) 7 e) 6

231 13 13 17 13 13 1 91 4 10

c) 4  El número es: 14(10)(13)=14α(13)

Resolución Como el numeral es capicúa se debe cumplir que las cifras equidistantes son iguales.

* a+1 = 7 - a

........... (1)

* c+1 = 6 - a

........... (2)

* b = 2b

........... (3)

De(1) : 2a = 6

a=3

Clave d

Resolución En el sistema heptal se emplean las cifras {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Para formar el mayor número de tres cifras debo utilizar las tres mayores cifras, siendo estas {4; 5; 6}. El mayor número es: 6547 y debemos convertirlo al sistema duodecimal (base 12). 1.° 6547 = 6.72 + 5.7 + 4 = 333 2.° E x p r e s a n d o a b a s e 1 2 (duodecimal)

5. Expresa en el sistema duodecimal el mayor número de 3 cifras diferentes del sistema heptal. a) 461(12) b) 333(12) c) 231(12)

333 24 93 84 9

d) 762(12) e) 239(12)

12 27 12 24 2 3

 El número es 239(12)

Clave e

De(2): c+1 = 6 - 3  c = 2 De(3): b = 2b 

b=0

a + b + c = 3+2+0 = 5 Clave d

4. El menor número de 4 cifras diferentes del sistema senario expresado en el sistema de base 13 es: a) 1αβ(13) b) 1α4(13) c) 186(13)

d) 1γ6(13) e) 14α(13)

Resolución Las cifras que se utilizan de base 6 son: {0; 1; 2; 3; 4; 5}

Nivel I

1) Al multiplicar un número de dos cifras por 3, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por 8 al número que se obtiene al invertir el orden de sus dígitos. ¿Cuál es dicho resultado?

•

•

•

Para formar el menor número de cuatro cifras diferentes debo utilizar las cuatro menores cifras y estas serían: {0; 1; 2; 3} El menor número es: 10236

1.° Pasando a base 10. 1023 6 =1.6 3 +2.6+3=216+ 12+3=231 2.° Ahora lo pasamos a base 13. I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

88

a) 27 d) 216

b) 36 e) 144

c) 72

2) Un número de 3 cifras terminado en 3, es igual a tres veces el número formado por sus dos primeras cifras pero en orden inverso. Halla la suma de cifras del número inicial. a) 6 d) 11

b) 8 e) 12

c) 9

3) Si a un número de dos cifras se le coloca al inicio y al final la cifra 4, es 54 veces el número de dos cifras. Halla el número de dos cifras e indica el producto de sus cifras. a) 15 d) 9

b) 14 e) 12

c) 10

4) Si un numeral capicúa de 4 cifras es igual a 99 veces la suma de su cantidad entera de centenas y la unidad, calcula la suma de cifras del numeral capicúa. a) 10 d) 16

b) 18 e) 24

c) 12

5) Si a(a-1)4n = (a-1)1n6 , calcula (a + n). a) 7 d) 11

b) 8 e) 9

c) 3



6) Si se cumple que: 222 ...22(3) = abc , {

k cifras

Calcula a + b + c + k, a) 15 d) 22

b) 1838 e) 14

c) 11

11) Si: abcd5 = x 2x (x-1) , ( 2 )( 3 ) 6 halla (a + b + c + d).

ab = 4(a + b) abc = 19 (a + b + c) abcd = 118 (a + b + c + d)

a) 3 d) 8

indica el valor de a×b + c×d.

b) 5 e) 10

c) 7

a) 18 d) 60

12) Si 3001(x) = 3yz , 7) ¿En cuántos sistemas de numeración el número 271 se escribe como un número de 2 cifras? a) 12 d) 10

b) 16 e) 11

15 = (2a)a(2a) 15 15 .. n veces .15 15 a(2a) a) 35 d) 42

b) 41 e) 47

c) 40

9) Halla a+b+x+y si se cumple: 17 17 17 .. 40 veces .

b) 23 e) 18

c) 24

13) Halla m2 si: m m m ( 3 )( 3 )( 3 )(m)= (m+2)m a) 25 d) 64

b) 36 e) 81

c) 49

1717 xy

b) 14 e) 17

14) Si un número se expresa en dos sistemas de numeración de bases consecutivas como 50 y 42 respectivamente, ¿cuál es la suma de dichas bases? a) 11 d) 17

b) 13 e) 19

c) 15

b) 12 e) 15

a) 14 d) 4

b) 8 e) 3

c) 5

c) 15

18) Si a un numeral de cuatro cifras diferentes se le añade la suma de sus cifras, se obtiene 8799. ¿Cuál es la suma de sus cifras? a) 16 d) 30

b) 22 e) 19

c) 29

19) Si se cumple: 3a(c) + c1(b) = 14(a) + b2(8) ,

a) 12 d) 16

b) 21 e) 20

c) 18

= 1xyz21 20) Si: 2323 2323 (4) (4)

a) 5 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

21) Halla (a + b) si: a(a+1)(a-2)7 = 1(2b)b9

Nivel II

c) 13

c) 20

halla (x + y + z).

indica el valor de a + b + n.

abc = ( x )( x )( x ) 2 3 6 8

b) 19 e) 64

calcular: a + b + c.

15) Si abab(n) = xxxx(2) ,

10) Halla el máximo valor de (a + b + c) si:

a) 11 d) 14

a) 21 d) 19

= aba

Además 10 < xy < 20. a) 13 d) 16

halla x + y + z.

c) 8

8) El mínimo valor de n en:

17) Sabiendo que:

a) 1 d) 4

16) Determina un numeral capicúa de tres cifras que excede en 728 al numeral capicúa de tres cifras que resulta de permutar sus cifras diferentes. Indica como respuesta la suma de sus cifras. a) 19 d) 16


b) 21 e) 23

c) 17

b) 2 e) 5

c) 3

22) ¿Cuál es el mayor número capicúa del sistema de base 12 que se escribe con 5 cifras en el sistema de base 5? Indica como respuesta la suma de sus cifras. a) 14 d) 26

b) 18 e) 30

c) 22


89


23) Halla K, sabiendo que al convertir 20(K-5)(K+3) al sistema de base (K+2), el producto de cifras del numeral obtenido resulta ser 240. a) 6 d) 11

b) 8 e) 12

c) 9

24) Si 3a9 + 63b + bba = cd(a+b) , halla el valor de c × d. a) 30 d) 72

b) 56 e) 40

c) 42

25) Durante una fiesta a la que asistieron ab hombres y ba mujeres, en un momento dado el número de hombres que no bailan es (2a - b) y el número de mujeres que no bailan es la suma de las cifras del total de las mismas. hallar el número de asistentes. a) 88 d) 99

b) 154 e) 165

b) 279 e) 369

calcula "a". a) 1 d) 4

b) 2 e) 7

c) 3

29) Si aa0a(6) = bb0b4(5) , calcula E = a2 + b2. a) 25 d) 16

b) 10 e) 13

c) 9

30) Al expresar en base "n" el número ab(8), se escribe con las mismas cifras pero en orden invertido. ¿Cuál es la mayor base del sistema de númeración en que esto se cumple? a) 8 d) 50

b) 7 e) 92

El número 40 Es un número que, asociado a la unidad, ha sido muy recurrente en la Biblia. Moisés pasó 40 días y 40 noches en el Monte Sinai. Jesucristo pasó 40 días de penitencia en el desierto. El Diluvio Universal duró 40 días. Los grandes reyes judíos Salomón y David reinaron 40 años, los mismos que el pueblo judío estuvo errante en el desierto.

40

c) 15

c) 77

Nivel III

26) ¿Comó se representa 234x en base (x - 1)? a) 269 d) 379

28) Si aaaa = 94 , aa

c) 299

31) Dado abcd=19 (3×ab+2×cd) indica el mayor valor de: a+b+c+d

27) Se arrojan tres dados, el resultado del primer dado se multiplica por 7, se suma el resultado del segundo dado, y se multiplica por 7, por último se suma el resultado del tercer dado obteniéndose así 136. ¿Cuál fue el resultado de cada dado? Da como respuesta el menor. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3


90

a) 25 d) 18

b) 16 e) 19

c) 17

32) Si (a+1)a (a-1) × 9 = aaa3 y (b+1)b(b-1)×8=(

a 3 a a , 2 ) ( 2 )( 2 )

halla (a + b). a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

Un palíndromo (del griego PALIN "de nuevo" y DROMOS "carrera, andar" es una palabra o una frase que se lee igual de izquierda a derecha, que de Palíndromos derecha a izquierda. Por ejemplo: Amo la pacífica paloma. Existen en todos los idiomas y han interesado a personajes famosos, como a Lewis Carrol, el autor de Alicia en el país de las maravillas.



33) Sabiendo que: a a abba =( )( )(2b)(2b) , 2 2 2

b) 6 e) 8

halla a × b - c + d. b) 10 e) 12

c) 0

35) Halla la suma de cifras del número que excede en 27 a 10 veces la cifra de las unidades. a) 10 b) 16 c) 17 d) 18 e) Hay más de una solución.

36) Si: x x ( 4 )1 (x-12)( 3 ) = mnpq(11) , halla m + n + p + q + x. a) 12 d) 24

b) 14 e) 96

c) 21

37) Sabiendo que:

a) 10 d) 6

halla (a + b + c) - (x + y).

halla a+b+c+m+n+p. b) 21 e) 19

c) 8

halla a × b + n. a) 15 d) 20

b) 17 e) 22

c) 19

42) Un número se representa como 455 y 354 en dos bases consecutivas. Halla dichos números en el sistema decimal. a) 129 d) 336

b) 236 e) 450

c) 248

=( k )(k-1)(k2)k 3

halla a × b × c. a) 10 b) 12 d) 20 e) 27

c) 12

c) 14


b) 255

a) 121(9) b) 112(9) d) 102(9) e) 101(9)

c) 110(9)

46) Calcula la suma de valores de: K=a+b+c si: 432 + cba6 = 2a5c6 + 1b46. a) 10 d) 21

b) 12 c) 20 e) más de 21

47) Si mn30(x) = xxx5 1515 = aba 15.. .15 xy mn veces halla a + b + x + y + m + n. a) 23 d) 14

b) 18 e) 16

c) 20

48) Determina a + b + c + d si:

a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

49) Sabiendo que: a>b>c>d>0 resuelve la ecuación: 2a + 2b + 2c + 2d = 2328 Indica el valor de a+b+c+d.

44) ¿Cuántos de los elementos del conjunto: A = {1,2,3,4,5,...,19531} se puede expresar con el sistema quinario utilizando únicamente las cifras 0 ó 1? a) 1025

E = a37 + 2ba + 1cb + 23c

30 24 12

43) Si se cumple: abc(n-1) = 2 × cba(n-1) xx.. .xx 3

45) Expresa "E" en base 9 si se cumple que:

( m )( m )( m )(1m)= abcd1m (2)

c) 10

38) Si abc9 = mnp8 = 3127 ,

a) 20 d) 23

b) 9 e) 7

41) Si aba(n+1) = bban y a+b=7,

n veces

1247 = abc12 = xy40 ,

b) 12 e) 14

c) 7

40) En una balanza de dos platillos se desea pesar un paquete de 1,43 kg utilizando pesas de 1 g, 6 g, 36 g, 216 g, etc. ¿Cuál será el mínimo número de pesas a usarse?

xxxx

a) -14 d) -12

b) 6 e) 9

c) 10

34) Dado abcd = 2 × ab × cd ,

a) 11 d) 16

calcula m + n + p. a) 5 d) 8

halla a × b . a) 2 d) 4

39) Dado mnp(a) = (a-4)2(a+2)8 ,

a) 10 d) 42

b) 20 e) 26

c) 30

c) 423 I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

91


1) Calcula "x" si 43(x)=23.

2) Calcula "a" si 2a3(5) = 68.

a) 4 b) 3 c) 5

d) 6 e) 8

d) 4 e) 0

4) Si se cumple 321(n) = 86, halla "n".

3) Si aba(5) = 2ba(7), halla a.b a) 4 b) 5 c) 6

a) 2 b) 3 c) 1

d) 7 e) 8

a) 6 b) 7 c) 5

d) 8 e) 4

5) Si se cumple 2a1(6)= 1aa(8), halla a2+a. a) 29 b) 2 c) 6

d) 20 e) 12

"Hace falta una verdadera tormenta en la vida de la persona común y corriente para hacer que comprenda cuánto se ha estado preocupando por lloviznas pasajeras." Almafuerte


92



Repaso

6) Expresa ααα102 en base 12.

Nivel I

3

1) Convierte 2α3(11) a base decimal. a) 351 d) 342

b) 352 c) 355 e) 365

2) ¿Cómo se escribe 999 en base 9? a) 1130 b) 1020 c) 1030

d) 1430 e) 1530

3) Convierte α 10 (12) al sistema undecimal. a) 1010 b) 1020 c) 1030

d) 10α e) 1100

4) Convertir 1352 a base 12. a) 948 b) α28 c) 1 α 8

d) 848 e) 548

5) Convierte 131 21 11 al sistema 5 decimal. a) 208 b) 210 c) 212

d) 209 e) 211

a) 92α b) 1α c) 11α

d) βα e) 80α

7) El mayor número de 3 cifras del sistema octal, ¿cómo se escribe en el sistema de base 11? a) 42511 b) 38511 c) 3α511

d) 31511 e) 41111

8) Expresa el mayor número de 4 cifras del sistema ternario en el sistema octal. a) 101 b) 111 c) 121

d) 131 e) 141

9) R e s p o n d e l a s s i g u i e n t e s preguntas: a) ¿Cuál es el menor número de 3 cifras del sistema octal? b) ¿Cuál es el menor número de 4 cifras diferentes del sistema senario? c) ¿Cuál es el mayor número de 4 cifras del sistema heptal? d) ¿Comó se expresa el mayor número de 4 cifras diferentes del sistema nonal? e) ¿Comó se expresa el mayor número de 3 cifras del sistema de base "n"?


10) Expresa cada uno de los números en la base indicada. a) 2146  base 10 b) 5128  base 10 c) 1211  base 6 d) 3217  base 8 e) 15329  base 7

11) Expresa los posibles valores que puede tomar "a" en cada uno de los casos. a) 13a

d) a2210(3)

b) 5a31a(7)

e) 314(a)

c) 846m(a)

12) ¿Cuál de los siguientes numerales es mayor? a) 2114 b) 1001002 c) 538

d) 1215 e) 11033

13) ¿Cuál(es) de los siguientes números es impar al expresarlo en base decimal? I. 2101(4) II. 143(5) III. 233(6)

IV. 151(9) V. 255(7)

a) Sólo I b) Sólo V c) I, III y IV

d) I y II e) III, IV y V


93


14) ¿Cuántos capicúas de 2 cifras del sistema de base 15 son capicúas de 2 cifras del sistema septenario? a) Ninguno b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

15) ¿Cuántos números de 2 cifras del sistema septenario son iguales a 3 veces la suma de sus cifras en base 10? a) Ninguno b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

Nivel II

16) Calcula: 7(11)4 + 7(11)2 + 7 en base 11. a) 777 b) 7077 c) 70770

d) 70707 e) 70077

17) Convierte a base 8 la siguiente expresión: 10(8)4 + 3(8)2 + 12(8) + 14 a) 1031214 b) α3γ4 c) α03γ14

d) 12456 e) 120456

18) Si abc7 = cba9 , cba9 halla ab en base c. a) 1212 b) 1111 c) 1313

d) 1221 e) 1331

19) Calcula un número del sistema decimal que convertido a base 5 y base 8 se escriben con las mismas 3 cifras pero en orden inverso. a) 98 b) 95 c) 94

d) 93 e) 91


94

20) Un número al ser convertido a 2 bases consecutivas se escriben 161 y 134. Halla la suma de las cifras de dicho número en base decimal. a) 10 b) 11 c) 12

d) 15 e) 16

a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

26) Calcula a + x si: 1a,0x(8) = aa,01(x) a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

halla m + n. d) 5 e) 6

d) 10 e) 11

a) 49 b) 64 c) 81

halla a + b + c + d + e + n.

12,24(m) = 7,pq (1m)

28) Si mn4(mn) = 212 ,

30) De un grupo de 100 personas 35 son mujeres y 43 son hombres. ¿De cuántas personas constaba el grupo en el sistema decimal?

24) Si abcden = 212(3) ,

25) Calcular m + p + q si

d) 9 e) 11

a) 7 b) 8 c) 9

d) 16 e) 17

d) 8 e) 9

1n

halla a + b + n.

halla a + b + n.

a) 5 b) 6 c) 7

..

29) Si ababn = 208,

23) Si aba(9) = 1107(n) ,

a) 13 b) 14 c) 15

1n .

n veces

a) 2 b) 3 c) 4

d) 17 e) 19

22) Si 354(n) = 2ab(7) , halla a + b + n. a) 12 b) 13 c) 14

693(11) = nn 1n

a) 6 b) 7 c) 8

d) 13 e) 14

21) Un número se convierte a 2 sistemas de bases consecutivas y se obtienen de resultado 225 y 324. Calcula la suma de ambas bases. a) 11 b) 13 c) 15

27) Calcular "n" si:

d) 100 e) 121

Nivel III

31) Si los siguientes numerales están bien representados, calcula mxnxp si: 1m1(4); nn(p); 12p(m) a) 5 d) 18

b) 6 e) 15

c) 12

32) Halla a+b+c si los numerales están correctamente escritos: 256(a); 2a4(b); 43b(c); 75c a) 24 d) 20

b) 22 e) 36

c) 32



33) Halla "n" en:

40) Representa en base ocho, el menor número de tres cifras diferentes de la base seis.

1330(n) = aaa(6) a) 5 d) 4

b) 7 e) 11

c) 9

34) ¿Cuántos números enteros se escriben con tres cifras, tanto en base cinco como en base ocho? a) 36 d) 61

b) 48 e) N.A

c) 53

35) Si a 412(n) le falta 102(n) para ser igual a 514(n), ¿cuánto le falta a 43(n) para ser igual a 206 (n)? Expresa el resultado en base 10. a) 48 d) 55

b) 51 e) 57

c) 53

36) ¿En qué sistema de numeración el numeral 313(5) se escribe como el menor numeral de 3 cifras diferentes de dicho sistema? a) nonario d) octal b) decimal e) heptal c) cuaternario

37) Si a56(8) = (a+1)60(n) , Halla a+n. a) 8 d) 4

b) 9 e) 10

c) 12

a) 56(8) d) 11

b) 46(8) e) N.A

c) 72(8)

41) ¿Cómo se expresa N en base 17? N =4X174+6X173+9X172+56 a) 46956(17) b) 40695(17) c) 46933(17)

a) senario b) quinario c) heptal

d) nonario e) octal

43) Si 121(n )= 6ab y a<5 , halla a + b + n. b) 30 e) 27

c) 29

44) Si a un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha se obtiene otro número que es igual al número original aumentado en 4752. Halla el número original. a) 36 d) 48

b) 38 e) 56

c) 46

45) Expresa 252x en base (x+2). 38) Si abc(4) + bc(3)+c(2)= pq y además a≠b≠c, halla p xq.

a) 24 d) 32

b) 36 e) 56

c) 30

39) Si el numeral 1331 de la base "n" es igual al menor número de cuatro cifras de la base 6, halla "n". a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

a) 1x1(x+2)

d) 1(x-1)0(x+1)

b) 1xx(x+2)

e) x1x(x+2)

46) Al convertir 1333(n) al sistema de base (n+1) resulta un numeral cuya cantidad de cifras más la suma de las mismas es igual a n. Halla n-2.


b) 36 e) 25

b) 10 e) 14

c) 12

48) Calcula a+b+p, si:

abc

a) 5 d) 8

ab

ab

= 9c(11) ab(p)

b) 6 e) 9

c) 7

49) Se desea repartir 1642 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que le corresponda sea: S/. 1, S/. 7, S/. 49, S/. 343, etc. y que no más de seis personas reciban la misma cantidad de dinero. Halla el número de personas beneficiadas. a) 13 d) 16

b) 14 e) 17

c) 15

50) Si se sabe que: xyzabab=ab[2ba -7]+10 4.xyz , Calcula el valor de a+b. a) 15 d) 12

b) 8 e) 13

c) 9

Etimología *Resta: Del latín restare, estar demás, sobrar, quedar. *Operación: Del latín operatio, derivado de Opus, obra, todo lo que hace.

c) 1(x-1)0(x+2)

a) 7 d) 6

a) 8 d) 13

d) 46953(17) e) 46935(17)

42) ¿En qué sistema de numeración los números 30; 36 y 44 están en progresión aritmética?

a) 31 d) 28

47) ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a “n” veces la suma de sus cifras?

c) 49

*Diferencia: Del latín diferrentia, resto. *Complemento: Del latín complementum, lo que completa.


95


2) Si se cumple

1) Si aab(5) = 136(8), halla a+b. a) 7 b) 8 c) 10

a 4

a 2

( ) ( )( )

=bcd ,

expresa bd (a+1) en base diez.

d) 11 e) 9

a) 18 d) 20

3) Convierte el menor número que se pueda escribir con todas las cifras impares del sistema heptal al sistema nonario. a) 87 b) 73 c) 83

a 6

b) 12 e) 13

c) 15

4) Convierte 7 α 4 (12) a base "7". a) 3205(7) b) 5766(7) c) 4432(7)

d) 78 e) 63

d) 6666(7) e) 432(7)

5) Convierte 469 a base 4. a) 13311(4) b) 133112(4) c) 13113(4)

d) 11111(4) e) 22222(4)

"Cada uno de nosotros tiene dentro de sí un pozo sin fondo que contiene más potencial para la creatividad de lo que podemos imaginar." Wayner W. Dyer


96



Conteo de Números 1. INTRODUCCIÓN En el presente capítulo abordaremos conceptos y problemas que fueron tratados por grandes matemáticos hace miles de años, tal es el caso de lo registrado en el papiro RHIND, hallado por éste a fines del siglo XIX, que fue escrito unos 2000 años antes de nuestra era. Entre los problemas aritméticos que figuraban en dicho papiro está el de "la repartición del pan", que lo plantearemos como un desafío más adelante. Por otro lado, la naturaleza nos muestra que muchos fenómenos pueden ser analizados según su recurrencia, por ejemplo: el cometa Halley es visible desde la Tierra cada 76 años; así también en nuestra vida encontramos aplicaciones sencillas Ejemplo inductivo: Un médico recetó a Esmeralda tomar una pastilla cada 5 días a partir del 7 de marzo y durante dicho mes. Completa el siguiente esquema:

i. El conjunto: 7, 12, 17, 22, 27 es un conjunto ordenado, donde a cada elemento llamaremos término. ii. Cada término tiene un orden designado o número ordinal, el cual guarda una correspondencia con su respectivo término. Del ejemplo: primer término: t1 = 7 = 1 × 5 + 2 segundo término: t2 = 12 = 2 ×5 + 2 tercer término: t3 = 17 = 3 × 5 + 2 cuarto término: t4 = 22 = 4 × 5 + 2 quinto término: t5 = 27 = 5 × 5 + 2 iii. La característica fundamental de este tipo de conjuntos es que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera es siempre un valor constante que llamaremos razón aritmética (r). Del ejemplo:

t1

{

7

t2

{

12

Además: I. La tercera toma fue el día _____ de marzo. II. La última toma fue el día _____ de marzo y fue la _____ toma.

{

{

17

22

t5

{

27

2. DEFINICIÓN Una progresión aritmética es un conjunto de números ordenados, de tal manera que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera (el de mayor orden menos el otro) es siempre una constante llamada valor de la razón aritmética (r). N.º ordinal: 1.º

Ejemplo:

Término :

  

7 ... ...

t4

razón aritmética: r = +5 +5 +5 +5 +5 "A un conjunto con esta característica lo llamaremos progresión aritmética".

Nº de toma:1.º 2a 3a ... Día: :

t3

2.º

3.º

4.º









5

8

11

14

+3

...

n.º 

...

3n+2

+3

+3 razón aritmética: r = +3 Según el signo del valor de la razón aritmética, las progresiones aritméticas pueden ser:

2.1. Progresión aritmética creciente Cuando la razón es positiva ( r > 0).

III. La diferencia de días entre dos tomas consecutivas es _____ días. De este ejemplo se observa que: CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE

6 , +7

13 , +7

20 , +7

27 ,

34 ,

+7

...

razón: r = +7


97


2.2. Progresión aritmética decreciente Cuando la razón es negativa ( r < 0). 20 ,

14 ,

-6

8 ,

-6

2 ,

-6

-4

,

Dada la siguiente progresión artimética, halla el término enésimo (tn).

...

-6

N.º : 1.º ordinal

razón: r = - 6



3. CÁLCULO DE UN TÉRMINO DE LA P.A. CUYO LUGAR ES "n":

4.º ... n.º







7, 4 ,

Se recomienda establecer una correspondencia entre cada término y su respectivo número ordinal.

-3

1 , -3

 -2

... tn

-3

razón: r = -3

Ejemplo inductivo: Luego:

Dada la P.A. : 6, 10, 14, 18, ...

t1 t2 t3 t4

Halla: i. El término de enésimo lugar (tn). ii. El término de vigésimo lugar (t20).

N.º ordinal: 1.º

2.º

3.º

4.º









6 ,

10 ,

14 ,

18 ,

+4

+4

= = = =

7 7 - 1(3) 7 - 2(3) 7 - 3(3)

. ..

Resolución

Término :

2.º 3.º

+4

tn = 7 - 3(n - 1)

... n.º





tn = 10 - 3n

En general: Dada una progresión aritmética, el término de enésimo lugar (tn) se calcula:

... tn ...

tn = t1 + (n - 1) . r i. Cada término se deberá expresar en función de su número ordinal y la razón. t1 t2 t3 t4 .. .

= = = =

6 6 + 1(4) 6 + 2(4) 6 + 3(4) .. .

t10 = 6 + 9(4) .. .. . . tn = 6 + (n - 1)(4)

tn = 4n + 2


98

ii. A partir de "t n" hallaremos "t 20 ", para lo cual n = 20 (lugar 20). t20 = 4(20) + 2 = 82

Ejemplo: Halla el término de enésimo lugar para cada una de las siguientes progresiones aritméticas: i. 57, 64, 71, 78, ... ii. 29, 18, 7, -4, ... iii. 1, 7, 13, 19, ... Ejemplo: Calcula los cuatro primeros términos para cada una de las tres P.A., si sus respectivos términos de enésimo lugar se expresan así: i. tn = 120 + 9n ii. tn = 13 - 8n iii. tn = -20 + 6n



4. CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS DE UNA P.A.

PROBLEMA GENERAL Dada la siguiente progresión aritmética finita, calcula el número de términos (n ).

5. CÁLCULO DE LA CANTIDAD DE CIFRAS AL ESCRIBIR LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA FINITA

"n" términos t1 ,

t2 ,

r Sabemos :

t3 , r

t4 , ... , tn r

Ejemplo inductivo: Calcula cuántas cifras se utilizarán al escribir los enteros consecutivos desde 56 hasta 499.

tn = t1 + (n - 1) . r

Despejando "n", tenemos:

n=

tn

-

r

t1

Resolución

+ 1

* Observa que para calcular el número de términos "n", necesitas:

r : razón aritmética tn : último término t1 : primer término

# términos =

último - primero +1 razón

* Aplicación: ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.? 20, 31, 42, 53, ... , 669

Observa que del 56 hasta el 499 todos los números no tienen la misma cantidad de cifras, por lo que nos conviene formar grupos de números que tengan igual número de dígitos. En este caso:

i. Números de dos cifras: 56, 57, 58, ... , 99 * Número de términos: 99 - 55 = 44 términos * Cantidad de cifras: 44 × 2 = 88 cifras

Resolución

cada término tiene dos cifras

Nos piden el número de términos (n) para lo cual necesitamos:

r = 31 - 20 = 11 t1 = 20 tn = 669

n=

669 - 20 649 + 1 = 11 11 + 1 = 60

 La P.A. tiene 60 términos.

ii. Números de tres cifras: 100, 101, 102, ... , 499 * Número de términos: 499 - 99 = 400 términos * Cantidad de cifras: 400 × 3 = 1200 cifras

Ejercicios: Calcula la cantidad de términos de cada una de las siguientes P.A.: i. ii. iii. iv.

45, 53, 61, 69, ... , 437 58, 46, 34, ... , -350 36, 37, 38, ... , 570 11a, 12a, 13a, ... , 63a


cada término tiene tres cifras

Luego: Cantidad total de cifras: 88 + 1200 = 1288 cifras


99

Educamos para la VIDA y también para la UNIVERSIDAD Ejercicios:

6.1 Principio de Multiplicación

Ejercicios:

¿Cuántas cifras se utilizarán para escribir todos los términos de dos cifras de la siguiente P.A. 14, 18, 22, ... ?

Si un procedimiento o actividad, se puede efectuar de "m" maneras y otro de "n" maneras, y cada uno de los primeros puede ser seguido por cualquiera de los otros, entonces el número de maneras de realizar el primero seguido del segundo es "m x n".

¿Cuántos números de 3 cifras cumplen con que su cifra de centenas es el doble de su cifra de unidades?

Resolución Para calcular el número de cifras totales debes averiguar cuántos términos de dos cifras tiene la P.A. de la siguiente forma:

10 +4

1.º

2.º

3.º ... k.º







14

18 +4

+4

el mayor término de dos cifras

Observa que el esquema indica que la P.A. tiene "k" términos de dos cifras por lo que: es máximo de dos cifras

4k + 10 < 100 Evaluando: 22 Luego, hay 22 términos de dos cifras cada uno, entonces el número de cifras totales es 22 × 2 = 44 cifras.

6. NÚMEROS CONDICIONADOS Son aquellos números cuyas cifras se caracterizan por cumplir determinadas condiciones. No forman necesariamente una progresión aritmética y para contarlos utilizaremos el principio de multiplicación.


100

Representación general: (2a) ba

Ejercicios:

Doble del valor de unidades

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con las cifras 0; 3; 4; 7 y 9?



22 ... (4k+10)

Resolución

Resolución Son números de la forma ab. i. La cifra a, por ser primera cifra, toma valores diferentes de cero: 3; 4; 7 ó 9. Los posibles valores de a son 4. ii. La cifra b puede tomar los valores 0; 3; 4; 7 ó 9. Puede tomar 5 posibles valores. Por lo tanto, el total de números de la forma ab es 4 × 5 = 20 números. Nótese que no ha sido necesario escribir los 20 números, de los cuales algunos son 30; 33; 34; 37; 39; 40; 43; 44; 47; 49; etc. Estos números no forman una progresión aritmética. Para contar la cantidad de números que poseen determinadas características en sus cifras, se procede del modo siguiente: a) Se representa la forma general de numeral. b) Se cuenta los valores que puede tomar cada cifra independiente del número. c) Por el principio de multiplicación, se toma el producto de la cantidad de valores que toman las cifras independientes. Éste será el total de números condicionados.

Contando: Valores de a: 1; 2; 3; 4 ⇒ 4 valores Valores de b: 0;1;2;...;9 ⇒ 10 valores Total 4 × 10 = 40 números Ejercicios: ¿Cuántos números impares de 3 cifras empiezan en cifra par menor que 6? Resolución Representación : abc Valores de a : 2; 4 ⇒ 2 valores Valores de b: 0;1;2;...;9 ⇒ 10 valores Valores de c: 1;3;5;7;9 ⇒ 5 valores

Total 2 × 10 × 5 = 100 números

¿Cuánto durará el mundo? Cuenta la leyenda que en Benarés (India), el Dios creador Brahma entregó a los monjes tres vástagos diamantinos sobre una base de bronce. Ensartó entonces 64 discos de oro, todos de dimensiones distintas, en una de las varillas, dispuestas de modo que el mayor estuviera en la base y los discos fueran decreciendo en tamaño. Y ordenó a los monjes que moviesen toda la Torre de Brahma a otro de los vástagos, de modo que en cada traslado sólo fuese movido un disco dorado, y de manera tal que nunca un disco tuviera debajo otro de menor tamaño. Al final sentenció: "Cuando hayáis acabado la tarea, el mundo se vendrá abajo como montaña de polvo".



6.2. Método Combinatorio 

n! PR (n,R 1,R 2, ...,R k)= R !R ! ... R ! 1 2 k

Permutación

Es un arreglo u ordenación de todos o parte de los elementos de un conjunto, considerando el orden en que se encuentran.

135 351 513

153 315 531

Permutaciones obtenidas con las cifras 1; 3 y 5.

El número de permutaciones que se puede formar con "n" elementos, ordenados en grupos de "k" elementos y denotado como P(n, k) está dado por:

P(n,k) =

n! (n - k)!

Por ejemplo, las permutaciones de 4 objetos de los cuales uno se repite dos veces, como 1; 1; 2; 3, son :

4! PR(4; 2; 1; 1)= 2! 1! 1! = 12 Nótese que para simplificar la expresión anterior, bastará con tomar sólo las veces que se repiten los objetos más de una vez: PR (4 ; 2) = 4! = 12 2!

Por ejemplo, las permutaciones de 3 objetos ordenados de 3 en 3, P (3 ; 3) están dadas por:

3! P(3) = (3 - 3)! = 3! = 1 × 2 × 3 = 6 Ejercicios: ¿Cuántos números de 2 cifras y sin repetición se pueden formar con las cifras 3; 5; 7; 8 y 9? Resolución Se trata de las permutaciones de 5 objetos, ordenados de 2 en 2: P(5 ; 2)

5! 5! P(5,2) = (5 - 2)! = 3! = 4×5



P(5;2) = 20

Permutaciones con repetición

Son los ordenamientos que se puede formar con una cierta cantidad de elementos, de modo que uno o más elementos se repiten.

1123 1132 2113 3112 1231 1321 2311 3211 1213 1312 2131 3121

a) -3 d) -2

b) 3 e) -4

c) 2

Resolución

Existen 20 números. 

1. El tercer término de una sucesión es 12 y el décimo primer término es -12. Halla la diferencia común.

Permutaciones obtenidas con las cifras 1; 1; 2 y 3.

El número de permutaciones que se puede formar con "n" objetos, de los cuales uno se repite "R 1" veces, otro "R 2" veces y así los demás, y denotado por PR (n, R 1, R 2, R 3, ... R k), donde n = R 1 + R 2 + R 3 + ... + R k, está dado por: CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE

Según el dato, tenemos: a11 = -12 a3 = 12 a11 - a3 = -12 - 12 (11-3)r =-24 (r es la razón de la P.A.) r = -3

La diferencia común es: r = -3 Clave a I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

101


2. El cuarto término de una sucesión es 29 y el décimo quinto término es 117. Calcula el séptimo término. a) 15

b) 18

c) 53

d) 4

e) 32

4. En la numeración de las 1ab primeras páginas, se emplearon 3ab cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro si se han empleado 6ab cifras? a) 254 d) 272

Resolución Se tiene:

a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; ... a7 ; ... a15 r

Sabemos que:

r

a15

-

29

a7

Luego:

a7

-

-



Se tiene: 1 ; 2; 3; 4; ... ; 1ab

piden 117

3ab cifras

D.P. por bloques: # de cifras = (1ab+1)3-111 = 3ab (100+ab+1)3-111=300+ab 3 . ab + 300 + 3 - 111 = 300 + ab ab = 54

r=8

a4 = (7 - 4)r 29 = 3(8)

c) 264

Resolución

a4 = (15 - 4)r

117 - 29 = 11r

b) 260 e) 302

 a7 = 53

Clave c

Supongamos que en un libro de "n" páginas se emplea 6ab = 654 cifras.

3. ¿Cuántos términos tiene la P.A.? 

12(n) ; 17(n) ; 24(n) ; 31(n) ; ... ; 620(n) a) 75

b) 72

c) 77

d) 79

e) 81

(n+1)3 - 111 = 654 n = 254  El N.º de páginas es 254.

Clave a

Resolución Al pasar a base 10 tenemos:

(n + 2) ; (n + 7) ; (2n + 4) ; (3n + 1) ; ... ; (6n 2 + 2n) 5 Si del 2.º y 1.er término se obtiene razón 5, entonces del 3.er y 2.º término la razón también es 5:

(2n + 4) - (n + 7) = 5 n = 8 La P.A. es:

Los árabes llamaban a la incógnita shay (cosa). En muchas traducciones se escribía latinizada como xay y de ahí, al abreviar, quedó x. En Italia, shay se tradujo como cosa y a los que resolvían ecuaciones se les llamó cosistas, quienes escribían la x como co.

10 ; 15 ; 20 ; 25 ; ... ; 400 5

5

5

Al reemplazar tenemos:  N.º de términos =

¿Por qué la incógnita es la X?

400-10 + 1 = 79 5 Clave d


102



5. Las páginas de un libro se enumeran en base 6, se arrancan las primeras hojas, siendo éstas la cuarta parte del total, por lo cual se eliminaron 218 cifras. ¿Cuántas cifras se utilizaron en las 109 últimas páginas? a) 225 d) 226

b) 336 e) 416

c) 436

Resolución Sea "4n" el total de hojas, entonces según dato el número de hojas arrancadas es "n", eso implica que el número de páginas arrancadas será "2n", como en esas "2n" páginas se eliminaron 218 cifras, entoncessecumple. Suponiendo que "2n" tiene 3 cifras(2n + 1) 3 - 1116 = 218. Verificando si "2n" es de 3 cifras. 2n = 86 6 Cumplen: 2 14 6 2n = 2226 2 2 Ahora, hallando el total de páginas "8n". 8n=8(43)=344 6 2 57 6 3 9 3 ⇒ 8n = 13326

6 1

La numeración de las páginas es: 16 ; 26 ; 36 ; m ; ... ; 13326 109 páginas

⇒ 13326 - m = 109 ⇒ m = 235

Pero: m = 235 6 1 39 6 3 6 0 m = 10136

6 1

Siendo las páginas: 16; 26; 36 ; ... ;10316; ... ; 13326 109 páginas

Notamos que las páginas tienen 4 cifras  N.º de cifras = 109 . 4 = 436 cifras

Clave c

7) ¿Cuántos números de 3 cifras son tales que en el sistema ternario su última cifra es no significativa?

Nivel I

1) Halla el mayor término de tres cifras de la siguiente P.A.: 33; 38; 43; 48; ... a) 993 d) 998

b) 999 e) 988

c) 990

2) ¿Cuántos números comprendidos entre 4000 y 6000 existen, tal que sus cifras extremas son iguales y su cifra de las decenas es impar? a) 45 d) 55

b) 60 e) 65

c) 50

3) Halla la cantidad de términos que tiene la siguiente P.A.: 8a, bc, aa, def, .... , fff ? a) 46 d) 60

b) 82 e) 72

c) 84

4) Para escribir todos los números impares desde 67 hasta "N" se han empleado 679 cifras. Halla "N". a) 479 d) 849

b) 529 e) 629

c) 529

5) ¿Cuántas hojas tiene un libro, sabiendo que en la enumeración de todas ellas se observó que en las 12 últimas se utilizaron 69 cifras? a) 40 d) 64

b) 80 e) 60

c) 56

6) Halla cuántas cifras se emplearán al escribir todos los términos de la siguiente progresión aritmética: a1, a9, bc, dd, .... , d(a-1)c a) 156 d) 180


b) 527 e) 200

c) 120

a) 199 d) 299

b) 200 e) 300

c) 201

8) ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos 1; 3; 5; 7 y 8 de manera que los complementos aritméticos de dichos números no tengan a la unidad como cifra de decenas? a) 72 d) 36

b) 60 e) 48

c) 24

9) ¿Cuántos números de 4 cifras existen, tal que posean por lo menos una cifra par? a) 8175 b) 6875 d) 8375 e) 8425

c) 7835

10) ¿Cuántos numerales de la forma: a(b-3)( c ) (c+1)(a+4)(2b) 2 existen en base 13? a) 150 d) 192

b) 180 e) 240

c) 160

11) ¿Cuántos números de 4 cifras utilizan algún 8 y algún 9 en su escritura? a) 2248 b) 3584 c) 920 d) 5416 e) 1920

12) ¿En qué sistema de numeración existen 120 números de 3 cifras diferentes entre sí y diferentes de cero? a) 7 d) 4

b) 6 e) 3

c) 5


103


13) ¿Cuántos números de la forma 5(6 - a)(a+6)b existen en el sistema nonal? a) 30 d) 45

b) 35 e) 50

c) 40

14) ¿Cuántos números de la forma a(a+b)b existen en base 6? a) -15 d) -18

b) -21 e) -25

c) 10

15) ¿Cuántos números de 4 cifras no utilizan la cifra 3 ni 5 y están escritos en base 11? a) 5321 d) 5425

b) 5425 e) 4358

c) 5832

Nivel II

16) De la siguiente sucesión: 10; 17; 16; 22; 21; 26; 25; ... ¿cuál es el primer término que vuelve a repetirse? a) 29 d) 32

b) 30 e) 33

c) 31

17) Conocida la siguiente sucesión: 23; 32; 47; 68; 95; ... ¿cuántos términos de 3 cifras son múltiplos de 5 y diferentes a un múltiplo de 2? a) 1 d) 5

b) 3 e) 7

c) 4

18) Calcula el número de términos de la siguiente sucesión: 12; 14; 22; 24; 32; ab; ... bbb a) 80 d) 84

b) 82 e) 88

c) 83

19) De la sucesión: 1; 8; 27; 64; ... ; aba; mnp se forma la siguiente progresión aritmética: ba ; mn ; ... ; pna. ¿Cuántos términos posee esta última? a) 9 d) 12

b) 10 e) 14

c) 11


104

20) De la sucesión: 28; aa; 40; 49; ... ; bba, ¿cuántos son múltiplos de 8? a) 1 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

21) De los términos coincidentes en las sucesiones: S1 : 15; 18; 21; 24; .... S2 : 16; 20; 24; 28; .... ¿cuántos de 3 cifras son múltiplos de 5? a) 13 d) 16

b) 14 e) 17

c) 15

22) ¿Cuántos números de 4 cifras en base 9 tienen por lo menos dos cifras iguales? a) 200 b) 4536 d) 2325 e) 3144

c) 4469

23) ¿Cuántos numerales de la forma (10-n)(n+5)(n/2)(m/3)(1/7 p)? existen en base 15? a) 1125 b) 2250 d) 1225 e) 625

c) 775

24) Se representan los números de la forma: a(b+2)c7 y b(a+1)(c/2)8 ¿Cuántos números de la forma abc existen? a) 56 d) 108

b) 72 e) 144

c) 96

25) ¿Cuántos números de 8 cifras tienen como producto de cifras 120? a) 111 b) 100 c) 4310 d) 4312 e) Otro valor

26) ¿Cuántos numerales de 3 cifras de la base 6 tienen 4 cifras en base 4? a) 131 d) 153

b) 151 e) 160

c) 152

27) Halla el máximo valor de S: S =(y-1)(x-1)4+(x-1)(y-1)5 +xy5 + ... + MN7 si sus términos están en progresión aritmética. a) 180 d) 198

b) 192 e) 227

c) 203

28) Se tiene una progresión aritmética cuyos términos extremos son 3 y 59. Si el número de términos de la progresión aritmética comprendidos entre 23 y 59 es el doble del comprendido entre 3 y 23. Halla la suma de los términos de la progresión aritmética. a) 465 d) 540

b) 645 e) 360

c) 380

29) Si la siguiente P.A. aaa ; ab4; ac1; ... ; tiene 30 términos, halla el último término. a) 200 d) 980

b) 350 e) 360

c) 377

30) ¿Cuántos números de 3 cifras existen que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? a) 675 d) 111

b) 666 e) 575

c) 685

Nivel III

31) Indica cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética: 15 ; x5 ; y5; ... ; x(x+y)5 donde x + y = 5. a) 24 d) 27

b) 25 e) 28

c) 26



32) Si la siguiente P.A. x0y ; xxz; .... ; y0x tiene 89 términos, halla x + y + z. a) 10 d) 18

b) 12 e) 21

c) 17

33) Un libro tiene 2500 páginas. Si se arrancan todas las páginas que terminan en la cifra 3. La cantidad de hojas que quedan es: a) 1000 d) 1500

b) 1250 e) 2000

c) 750

34) Desde el número 1000 se empieza a enumerar un libro en forma descendente. Si se dispone de 2800 tipos de imprenta, ¿cuál es el último número escrito? a) 48 d) 52

b) 49 e) 53

c) 51

35) Determina cuántas hojas tiene un libro, sabiendo que en las últimas 18 páginas se han empleado 234 cifras menos que en las otras páginas. Además el número de páginas del libro es menor de 200. a) 71 d) 81

b) 74 e) 83

c) 75

36) En la numeración de las páginas de un libro, desde la página a0 hasta la página a0b se han utilizado tantos tipos de imprenta como cifras para enumerar los primeros 329 términos de la sucesión: 1; 5; 9; 13; 17; ... Halla (a + b). a) 6 d) 12

b) 8 e) 10

c) 9

37) En la siguiente P.A. de 48 términos, donde se muestran los cuatro términos centrales: ..., 442, 449, 456, 463, ... halla el segundo término. a) 295 d) 301

b) 288 e) 302

c) 293

38) Al numerar la primera mitad de las páginas de un libro se utilizó 702 cifras. ¿Cuántas cifras se empleó en total? a) 1404 d) 1512

b) 1418 e) 1516

c) 1510

39) De un libro de 225 páginas se arranca cierto número de hojas del principio, notándose que en la numeración de las páginas que quedan se usaron 452 tipos de imprenta. ¿Cuántas hojas fueron arrancadas? a) 62 d) 31

b) 45 e) 15

c) 21

40) Sabiendo que hay 360 números menos de la forma: (a-2)(b-2)abcn que de la forma: (a+2)(b+2)abcn

44) Las páginas de un libro se enumeran en base 6, y se arrancan las primeras hojas, siendo éstas la cuarta parte del total, por lo cual se eliminaron 218 cifras. ¿Cuántas cifras se utilizaron en las 109 últimas páginas? a) 225 b) 336 c) 436 d) 226 e) 416 45) Al enumerar todos los números enteros desde el 3ba7 hasta el ab37 se han empleado ab47 cifras. Halla (a + b). a) 10 d) 8

b) 11 e) 7

c) 9

46) ¿Cuántos numerales de cuatro cifras existen, tal que al invertir el orden de sus cifras resulten ser mayores que 1994? a) 8000 d) 7205

b) 7200 e) 7000

c) 8005

halla n. a) 18 d) 15

b) 20 e) 12

c) 24

41) Calcula cuántos números capicúas están comprendidos entre 2000 y 20000. a) 180 d) 184

b) 179 c) 80 e) Más de 184

42) ¿Cuántos números de 4 cifras mayores que 3000 se pueden formar con las cifras 0; 1; 3; 4; 5; 7; 8 y 9? a) 3071 d) 2688

b) 2058 e) 2057

c) 3072

47) Determina la suma de cifras de "n" si existen 48 números de la forma: (a+4)(a/2)(b+1/3)(5-b)(n) a) 3 ó 4 d) 7 ó 8

b) 4 ó 5 e) 8 ó 9

c) 5 ó 6

48) ¿Cuántos numerales de la forma a(30/a) b (b/2)14 existen? a) 21 d) 36

b) 28 e) 42

c) 15

43) En un libro de 500 hojas se han empleado 2770 tipos de imprenta. Determina a partir de qué página se empezó la numeración si las primeras páginas no se numeraron. a) 60 d) 66


b) 63 e) 67

c) 65


105


1) ¿ Cuántos números de 3 cifras del sistema octal terminan en cifra par? a) 300 b) 224 c) 450

d) 280 e) 256

3) ¿ Cuántos números de 4 cifras del sistema nonario nunca emplean la cifra 4? a) 2 538 b) 3 672 c) 3 576

d) 4 536 e) 3 576

2) En el sitema quinario, ¿cuántos números de 4 cifras empiezan y terminan en la misma cifra? a) 100 b) 150 c) 160

d) 75 e) 125

4) ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen en el sistema decimal? a) 90 b) 810 c) 900

d) 720 e) 400

5) ¿ En qué sistema de numeración existen 180 números de 3 cifras ? a) quinario b) senario c) heptanario


106

d) nonario e) decimal


. r e n n a s p ó r y l a i b i e s i s a a o l a c c p o ó i c l N f a t a m i l i l e l o N n t p d p i i r r r s n t n e l a i a v a h n g s l s u o i l e l o d i e m J r a u a v q l

o p e e e d a s r e b a n l l m b a r i r c d o m o u i d e y l c á s m t e s i a e t o i i m o i i t c e m r o u . s d c l l r e n a é r g i o T á m i z r l A d n e c o c a p n o s c e a a I u i t r o w r o d é d e a m h b r o o r m e t t K ' l u d E l A o u é m n s ú i n m n a e n í L . , o s s o a c c r e i a d a s a z n b á i i z o b á l i l i l i c s e t u g a r e a e c a p i c a r t r o e e é r s a e a m a t p u p l i r A q a

0 1 6 1 2 9 5 1

C . d 0 3 8

C . d 0 5 8

0 0 8

0

C . a 0 0 5

e o e r y d n r e u i n c r u a t a a r s o l z h r i n t l e o i a o t d r p c e u n a a . m i o ó p u ó e o i g l b i i m r c e a u l s a c t a r r r t a e e a t n t r i d G r n e n f n o e u i m o n e l i d c e c l s a l a u l a a G r

e . l e f a á a c i b z l e e a r i p d a o m n E s u e

o e . n o d e g t a d a r o n d e M n o a d r i s r o e o c p c c l r O m a s e E C


Adición y Sustracción 3. CONMUTATIVA:

ADICIÓN

Ejemplo 1:

a+b=b+a

Axiomas

4. INVERSO ADITIVO:

Resolución

Si a ∈ R, entonces (–a) ∈ R y se llama inverso aditivo.

Series

5. MODULATIVA:

OBJETIVO

Existe un elemento 0 (cero), tal que si a ∈ R, luego 0 + a = a + 0 = a y 0 se llama elemento neutro aditivo o módulo de la adición.

Definición Es la operación aritmética (+) que permite reunir 2 o más cantidades homogéneas (sumandos) en una sola (suma).

Notación:

sumandos

suma

Axiomas de la Adición Si a, b, c ∈ R

1. ASOCIATIVA: (a + b) + c = a + (b + c)

2. CLAUSURA Si a, b ∈ R; entonces: a + b ∈ R I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

24.25.26

3

6. CANCELATIVA: Si a + c = b + c, entonces a = b. Corolario (uniformidad) Si a = b y c = d, entonces: a+c=b+d

5200

a(an – 1) a+a +a +...+a = a–1 3

n

Ejemplo 2: Calcula: A = 5+52+53+ ... +5100 Resolución

Series Básicas

S = 1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1) S = n(n+1)(n+2) 3 P=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2) P=

=

2. SUMA DE POTENCIAS SUCESIVAS: 2

1. SUMA DE PRODUCTOS CONSECUTIVOS

au + bu + cu = Su

E=1.2+2.3+3.4+4.5+ ... + 24.25 E=

Criptoaritmética

Reconocer y efectuar series numéricas utilizando artificios y su ley de formación. Asimismo encontrar números ocultos con símbolos.

108

Calcula: E=2+6+12+20+ ... +600

n(n+1)(n+2)(n+3) 4

101 5(5100 – 1) A= 5 – 1 = 5 –5 4

3. SUMA DE NÚMEROS TRIANGULARES: M = 1+3+6+10 + ... + n(n + 1) 2 M=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+...+n)

M = n(n+1)(n+2) 6



6. SUMA DE LOS "n" TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Ejemplo 3: Calcula :

a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an

M = 1+3+6+10+...+210

+r

Resolución M=1+(1+2)+(1+2+3)+...+ (1+2+3+...+20) M= 20.21.22 = 6

+r

1540

S=

También:

12+22+32 +...+n2= n(n+1)(2n+1) 6

(a1 + an) . n 2

[2a +(n-1)r] . n S= 1 2

Ejemplo 4:

Resolución =

[

13+23+33+...+n3 =

2870

Calcula:

n(n+1) 2

Resolución

]

P = 13+23+33+...+93

Resolución

[

Propiedades Complemento Aritmético

Reconocer los términos de una sustracción y sus propiedades. Efectuar cálculos del complemento de un número.

Definición

S = 4+7+10+...+91

Ejemplo 5:

2

S = (4+91)n 2 pero: n = 91 - 4 + 1 3 n = 30 (4+91)30 ∴ S= 2 S = 1425

]

2

= 452

Es la operación inversa a la Adición, que consiste en que dados dos números enteros llamados Minuendo y Sustraendo se debe encontrar un tercer número llamado Diferencia. Se representa mediante el operador : «–».

Términos : M–S=D M : Minuendo S : Sustraendo D : Diferencia

Ejemplo 7: 9(10) 2

SUSTRACCIÓN

Ejemplo 6:

5. SUMA DE LOS CUBOS DE LOS "n" PRIMEROS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

P=

480

OBJETIVO

Q = 12+22+32+...+202

Calcula:

A =

Nota «n» es la cantidad de sumandos en cada suma.

(20)(21) (41)

A = [2(5) + (20–1)(2)] . (20) 2

S = a1 + a2 + a3 + ... + an

4. SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS "n" PRIMEROS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

Q=

Resolución

Calcula: A = 5 + 7 + 9 + 11 + ...

2025


20 sumandos


109


Propiedades 1. M = S+D «En una sustracción la suma del Sustraendo y la Diferencia es igual al Minuendo».

4. EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

abc(n) – cba(n) = xyz(n) donde :

y = n–1 x+z = n–1

Ejemplo:

Ejemplo: 8 –(–3) = 11 M = 8, S = 3, D = 11 S +D = M – 3 + 11 = 8 8=8

2. M +S+D = 2M «La suma de los 3 términos de una sustracción es igual al doble del minuendo».

Si abc(9) – cba(9) + mn4(9), calcula m . n. Resolución

A. SI EL NÚMERO NO TERMINA EN CERO

(9) CA( 9 2 0 7

Escribimos:

24 = 24

abc – cba = xyz x+z=9

 y = 9

Ejemplo: Si abc – cba = 3xy, calcula x – y.

n=8 m+4=8 → m=4

(9) CA( 3 5

∴ m . n = 32

Complemento Aritmético (CA)

Por propiedad x = 9 3 + y = 9 → y = 6 ∴ x–y=3

(10) 0 2 7 0 0 ) 9 7 3 0 0

∴ CA(3502700)= 6497300

Ejemplo 1: Se define al complemento aritmético de un número como la cantidad de unidades que le falta para ser igual a una unidad del orden inmediato superior.

Calcula CA(60027) + CA(19900). Resolución (9)

Ejemplos:

CA( 6 0

CA(8) = 10 – 8 = 2 CA(23) = 100 – 23 = 77 CA(381) = 1000 – 381 = 619 CA(abc) = 1000 – abc CA(mnpq) = 10000 – mnpq En general, si N tiene k cifras entonces:

Resolución

6 4 3

B. SI EL NÚMERO TERMINA EN CERO

Por propiedad:

M = 12, S = 5, D = 7 M + S + D = 2M 12 + 5 + 7 = 2(12)

3 5 7)

abc(9) – cba(9) = mn4(9)

6 4 12 – 5 = 7

(10)

∴ CA(92357)= 7643

Ejemplo:

3. Si

Método práctico para calcular el complemento aritmético

CA(N) = 1 00...0 – N

k

3 9 (9) CA( 1 9 8 0

(10) 0 2 7 ) = 39973 9 7 3 (10) 9 0 0 ) = 80100 1 0 0

∴ 39973 + 80100 = 120073

Ejemplo 2: Si CA(a8b) = 1x4 calcula a + b +x.


110


Educamos para la VIDA y también para la UNIVERSIDAD * La suma es:

Resolución

(9)

(10)

CA( a 8

⇒ 9–a=1 ⇒ 9–8=x ⇒ 10 – b = 4

4 a=8 x=1 b=6

→ → →

Halla a+b+c+d si a; b; c y d son dígitos en:

90 + 81 72

b )

1 x

Ejemplo 3:

∴ a + b +x = 15

18 3 6 ← 0+1+2+...+8= 8x9 =36 2 4 5 ← 9+8+7+...+1= 9x10 =45 486 2

15abcd+ 487278 abcd15 a) 12 d) 21

b) 18 e) 25

c) 20

Resolución ∴ Se obtiene: 486

* En las unidades:

Ejemplo 3: Clave D

Si CA(a(2b)3) = bc , calcula a + b +c.

Ejemplo 2:

Resolución (9)

(10)

CA( a (2b) 3 ) 0 b

c

⇒ 9–a=0 → a=9 ⇒ 9 – 2b = b → 3b = 9 → b =3 ⇒ 10 – 3 = c → c = 7

Halla la suma de los valores que pueden tomar las letras en la siguiente suma: 2r5+ s38 543 90t a) 12 d) 9

b) 11 e) 8

d+8 = 1 5  d=7 llevamos * En las decenas: 1 + c+7 = 1 1  c =3 se lleva * En las centenas: 1 +b+2 = ...d 1 +b+2 = ...7 b= 4 * En los millares:

c) 10

∴ a + b +c = 19

a+7= ...c a+7 = 13  a=6 ∴ a+b+c+d=6+4+3+7=20

Resolución * En el 1.er orden:

Clave C

5+8+3 = 1 t Ejemplo 1:

se lleva

¿Cuánto se obtiene si se suman todos los números de dos cifras cuya suma de sus digitos es 9? a) 468 d) 486

b) 496 e) 864

t=6 * En el 2.º orden: 1 + r+3 +4 = 1 0 llevo

c) 396

r=2

* Sean los números de la forma: ab * Donde: a+b = 9 9 0 8 1 7 2

La suma de los tres términos de una resta es 9876. Si el sustraendo excede a la diferencia en la tercera parte del minuendo, halla el sustraendo. a) 1646 d) 2392

* En el 3. orden: er

1 +2+s+5 = 9

Resolución

Ejemplo 4:

b) 3292 e) 2496

c) 1664

Resolución

s= 1 ∴ r+s+t = 2+1+6 = 9

1 8 CHICLAYO - LAMBAYEQUE - FERREÑAFE

* Tenemos: M − S = D * Dato: M+ S + D = 9876 ...........(1)

Clave D

S−D=

M 3

................(2)


111

Educamos para la VIDA y también para la UNIVERSIDAD * De (1) por propiedad se tiene: M+S+D = 9876 M 2M = 9876 M = 4938 * Reemplazando en (2) S − D = 4938 3 S − D =1646

...........(3)

* Pero: S+D = M=4938 ..........(4) * De (3) y(4): S= 1646+4938 2 ∴ El sustraendo es: S=3292

Clave B

Ejemplo 5: Si:

halla el valor de a − c +p+q. b) 15 e) 16

x = 12 + 22 + 32 + ... + 192 y = 13 + 23 + 33 + ... + 193

1) Calcula A + B si: A = 1 + 2 + 3 + ... + 15 B = 1 + 2 + 3 + ... + 18 a) 120 b) 171 c) 290

c) 13

1 + 3 + 5 + ... (30 términos)

d) 88 360 e) 88 460

3) Calcula "P + Q" si:

Resolución

P = 2 + 4 + 6 + ... + 30 Q = 1 + 3 + 5 + ... + 29

* Ordenando en columna: abc − cba pq6 * Se cumple: q = 9 ............ (1) p+6 = 9 p = 3 .............(2) a − c = p+1 a − c = 4 .............(3) ∴ a − c +p+q=4+3+9=16

Clave E

a) 465 b) 450 c) 225

d) 245 e) 240

R = 1.2+2.4+3.6 + ... + 15.30 d) 2 480 e) 2 370

5) Calcula "J + U" si: J = 40 + 41 + 42 + ... + 80 U = 31 + 33 + 35 + ... + 79 a) 2 460 b) 2 800 c) 1 375


112

a) 625 b) 729 c) 841

d) 900 e) 961

8) Si al minuendo y sustraendo de una sustracción se les disminuye 25 y 10 unidades respectivamente, calcula en cuánto varía la diferencia inicial. a) +15 b) − 15 c) − 8

d) +8 e) 0

9) Si al minuendo y sustraendo de una sustracción se les disminuye 18 y 6 unidades respectivamente, calcula en cuánto varía la diferencia inicial.

4) Calcula el valor de:

a) 3 475 b) 2 680 c) 3 125

d) 38 100 e) 38 570

7) Calcula:

2) Calcula el valor de:

a) 88 560 b) 88 660 c) 88 760

a) 2 470 b) 2 800 c) 36 100

d) 291 e) 300

S = 1+(1+2)+(1+2+3)+ (1+2+3+4) + ... + (1 + 2 + ... + 80)

abc − cba= pq6 ,

a) 17 d) 14

6) Calcula «x + y» si:

Nivel I

d) 3 835 e) 4 000

a) +3 b) − 3 c) +12

d) − 12 e) 0

10) Si al minuendo de una sustracción le aumentamos 8 unidades y al sustraendo le restamos 3 unidades, ¿en cuánto varía la diferencia primitiva? a) − 11 b) − 5 c) +5

d) +11 e) 0



11) Si al minuendo de una sustracción le aumentamos 80 unidades y al sustraendo le restamos 25 unidades, ¿en cuánto varía la diferencia primitiva? a) +55 b) − 55 c) − 105

d) +105 e) 0

12) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 90. Calcula el sustraendo si es la tercera parte del minuendo. a) 45 b) 60 c) 15

d) 25 e) 55

d) 30 e) 32

14) En una sustracción la suma de sus términos es 750. Calcula el complemento aritmético del sustraendo si es igual a la suma de las cifras del minuendo. a) 40 b) 65 c) 75

d) 85 e) 100

15) En una sustracción la suma de sus términos es 800. Calcula el complemento aritmético del sustraendo si éste es igual a la cuarta parte del minuendo. a) 0 b) 100 c) 200

d) 400 e) 900

Nivel II

a) 14 b) 15 c) 16

d) 12 e) 10

18) Calcula "m" si: 1 + 2 + 3 + ... + m = 171 a) 18 b) 16 c) 19

d) 17 e) 21

19) Calcula "t" si:

a) 20 b) 21 c) 12

d) 15 e) 16

20) Calcula: (1+2+3+...+n)2 – (13+23+33+...+n3) a) 0 b) 1 c) n

d) n2 e) n3–n2

21) Calcula las 3 últimas cifras de: 2 + 22 + 222 + ... + 22...22 22 cifras a) 024 b) 144 c) 444

d) 224 e) 464

22) Calcula la suma de las 3 últimas cifras del resultado de: 5 + 55 + 555 + ... + 555...5 80 sumandos a) 0 b) 2 c) 3

d) 5 e) 8

23) Calcula la suma de las 4 últimas cifras del resultado de:

16) Calcula n si: 5 + 10 + 15 + ... (30 términos) a) 2 115 b) 2 415 c) 2 225

1 + 2 + 3 + ... + n = 120

2 + 4 + 6 + 8 + ... + t=110

13) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 150. Calcula el sustraendo si es igual a 2/5 del minuendo. a) 25 b) 26 c) 28

17) Calcula "n" si:

d) 2 205 e) 2 325

7 + 77 + 777 + ... + 777...77 100 sumandos a) 5 d) 13 b) 6 e) 15 c) 7


24) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 144. Si el sustraendo es igual al complemento aritmético del minuendo, calcula la diferencia. a) 42 b) 44 c) 46

d) 40 e) 47

25) La suma de los términos de una sustracción es 164. Si el sustraendo es igual al complemento aritmético del minuendo, calcula la diferencia. a) 60 b) 62 c) 64

d) 66 e) 68

26) Calcula abc, si: abc – cba = 2xy abc + cba = 1535 Da como respuesta‘‘a + b + c’’. a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 20

27) Calcula mpq, si: mpq – qpm = 1xy, además mpq + qpm = 1150 Da como respuesta ‘‘m+p – q’’. a) 9 b) 13 c) 6

d) 7 e) 12

28) Si abc + cba = 1392 y abc – cba = mn(2m), determina el valor de a+b2+ c3. a) 84 b) 96 c) 153

d) 144 e) 157

29) Calcula x + y – z si xyz + zyx = 1291; xyz – zyx = mn(m+1) a) 8 b) 9 c) 12

d) 13 e) 14

30) Si el CA de a8b es 5c4, halla a + b + c. a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14


113


Nivel III

31) Si (x + y + z)2 = 144, calcula: 1zyx + x6zy + yx5z + zyx3 a) 14 785 b) 14 985 c) 12 122

d) 12 212 e) 14 445

32) Si (m + n + p)3 = 343, calcular mnp + npm + pmn a) 243 b) 1 243 c) 777

d) 423 e) 666

33) Si 3mn + npm = 1000, calcula "p". a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

34) Halla am + ba, siendo a, b y m dígitos y ab + ma = 141. a) 121 b) 211 c) 123

d) 111 e) 132

a1x+a2x+a3x+ ... +a7x=38y1, calcula "a". d) 6 e) 7

36) Halla x – y + z si se cumple que xyz = xy + yz + zx. a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 0

37) Calcula el valor de x + y si: x = 10 + 11 + 12 + ... + 40 y = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 44 a) 820 b) 775 c) 506

d) 1 200 e) 1 281


114

a) 5 b) 9 c) 12

d) 14 e) 18

39) Si (m+n+p)2 = 196, halla: mmpn + pnmp + npnm a) 15 554 b) 15 555 c) 14 444

d) 15 544 e) 14 455

40) Si (a+b+c)2 = 225, halla: abab + caba + bccc a) 16 665 b) 16 666 c) 15 555

d) 16 555 e) 13 555

41) Si el CA de m9n es 6p6 , halla: m + n – p. a) 3 b) 7 c) 4

d) 6 e) 8

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

43) Halla ‘‘m + n’’, si: CA(mn) + CA(mnmn)= 4694 a) 3 b) 5 c) 8

46) Si CA (abc) = ddd y además a + c = 13, halla el valor de a + b + c + d. a) 18 b) 22 c) 24

d) 16 e) 19

47) El complemento aritmético del numeral abcd es nnn. ¿Cuál es el valor de c si a, b, c y n suman 24? a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

48) Calcular "c" si: CA(abcd)= a + b + c + d a) 9 b) 8 c) 7

d) 6 e) 5

49) Calcular "c" si: CA (abcd) = a + b + c + 4d

42) Halla ‘‘a + b’’ si: CA(ab)+CA(abab)= 3674

35) Si:

a) 3 b) 4 c) 5

38) Calcula a + b + c si se cumple que: m1m+m2m+ m3m+ ... +m9m = abc4

d) 10 e) 12

a) 7 b) 5 c) 9

d) 13 e) 15

50) La suma de los 6 numerales que se pueden formar con las cifras a, b y c (a > b > c) es 2886. Si la mayor diferencia entre dos de estos numerales es xy5, halla el menor. a) 743 b) 247 c) 274

d) 471 e) 472

44) Si abc – cba = xy2 , calcula x2 + y2. a) 110 b) 120 c) 130

d) 140 e) 150

45) Si mpq – qpm = 3xy , calcula x2 – y2. a) 15 b) 30 c) 35

d) 40 e) 45



2) Calcula el valor de "x" en:

1) Si (a+b+c)2 = 169, calcula el valor de:

1+2+3+...+x = 300

abc + bca + cab a) 1344 b) 1443 c) 1434

a) 24 b) 25 c) 22

d) 3441 e) 1533

3) En una sustracción, ¿en cuánto varía la diferencia si al minuendo se le quita 2 unidades y al sustraendo se le aumenta 2 unidades? a) No varía b) Aumenta en 4 c) Disminuye en 4

4) Si

2xy − 1(x−1)(y+2)= abc ,

calcular a+b+c. a) 7 b) 8 c) 9

d) Aumenta en 2 e) Disminuye en 2

5) Si:

d) 21 e) 20

d) 10 e) 11

abc − cba = 4mn

calcula m− n.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

"El que aprende y aprende y no practica lo que sabe, es como el que ara y ara y nunca siembra". Pericles



115


Multiplicación y División MULTIPLICACIÓN

Propiedades en R

Factores, producto

1. CLAUSURA: Si a, b ∈ R → a x b ∈ R

Criptoaritmética Cantidad de cifras de un producto

Donde «x» es el número de cifras de «P», se tiene:

2. ASOCIATIVA: a x b (b x c)=(a x b) x c

xmáx = (a + b) cifras xmín = (a + b – 1) cifras

3. CONMUTATIVA: axb=bxa

Ejemplo:

4. MODULATIVA:

OBJETIVO Identificar y calcular los términos de una multiplicación en criptogramas y problemas de alteración de factores. Así mismo calcular la cantidad de cifras de un producto.

Definición

Entonces: A x B = P «a» cifras «b» cifras «x» cifras

Existe un elemento 1 (uno), tal que 1 x a = a x 1 = a y se le llama «módulo» o elemento neutro multiplicativo.

5. INVERSO:

¿Cuántas cifras tendrá como máximo y mínimo el producto de A x B si «A» tiene 3 cifras y «B» posee 4 cifras? Resolución

Para todo a ∈ R – {0} existe 1 , a tal que: ax 1 =1 a

A x B = P «a» cifras «b» cifras «x» cifras

Es la operación aritmética, que dados dos enteros «M» y «m» llamados multiplicando y multiplicador respectivamente o factores, hace corresponder un tercer número «P» llamado producto, el cual se compone de tantas veces el multiplicando como nos indique el multiplicador. Se representa mediante el operador matemático «x».

6. MONOTONÍA:

xmáx = (3 + 4)

Si a, b, c, d son enteros positivos y a < b y c < d. luego a x c < b x d

xmín = (3 + 4 – 1) = 6 cifras

Notación:

1. PRODUCTO DE 2 FACTORES

M x m =P M: multiplicando m: multiplicador p: producto I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

116

Cantidad de cifras de un producto

Sean los números A y B con a y b cifras, respectivamente, y cuyo producto es «P».

= 7 cifras

xmáx = 7 cifras ; xmín = 6 cifras

Interpretación: El producto de un número de 3 cifras por otro de 4 cifras poseerá como máximo 7 cifras y como mínimo 6 cifras.



2. PRODUCTO DE "n" FACTORES

2. DIVISIÓN INEXACTA (r ≠ 0)

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

Sean los números A 1 ,A 2 ,A 3 , ...,An con a1, a2, a 3, ... ,an cifras, respectivamente, y su producto P.

Son aquellas donde habrá un residuo o resto al efectuar la división. Ejemplo:

Clasificación Entonces:

Propiedades fundamentales

A1 x A2 x A3 x ... x An = P xmáx=(a1 + a2 + a3 + ... + an) cifras xmín=(a1+a2+a3+...+an– n+1) cifras Ejemplo: ¿Cuántas cifras podrá tener como máximo y mínimo el producto de AxBxC si tienen 3; 4 y 5 cifras respectivamente?

Identificar los términos de una división y calcularlos cuando se alteren algunos de ellos utilizando las propiedades en forma rigurosa.

Definición

máx

Sean:

D : dividendo d : divisor q : cociente, y D > d

Luego: D=dxq

Interpretación: El producto de 3 factores con 3, 4 y 5 cifras respectivamente, podrá tener como máximo 12 cifras y como mínimo 10.

Se cumple :

D = d x q+r r
76 7 10 6

Observación En una división inexacta se considerará: 1. D = dxq + r

Operación aritmética inversa a la multiplicación representada por ÷ o /, Sea A x B x C = P que consiste en que dados dos enteros Donde la cantidad de cifras de «P» sea positivos llamados dividendo el primero y divisor el segundo, encontrar otro «x», luego: llamado cociente, tal que multiplicado por el divisor nos dé el dividendo. x =3 + 4 + 5 = 12 cifras

xmáx = 12 cifras ; x mín = 10 cifras

D = d= q = r =

OBJETIVO

Resolución

xmín =3 + 4 + 5 – 3 + 1= 10 cifras

76 7 70 10 6

2. r < d 3. Resto mínimo = 1 4. Resto máximo = d – 1

Propiedades de una división 1. En una división exacta si al dividendo se le aumenta o disminuye el divisor, entonces el cociente aumenta o disminuye en Ejemplo:

Clases de divisiones 1. DIVISIÓN EXACTA (r = 0) Es aquella donde el residuo es igual a 0, es decir, el dividendo contiene un número exacto de veces al divisor. Ejemplo: 76 4 36 19 0 Se cumple :


D = d= q = r = D=dxq

76 4 19 0

24 6 04



24 + 6 6 0 4+1

2. En una división inexacta, para que el cociente aumente en 1, al dividendo se quita el residuo y se aumenta un divisor; mientras que para el cociente disminuya en 1, al dividendo se quita el residuo y se quita un divisor. Ejemplo: 34 6 45



34 – 4 + 6 0

6 5+1


117

Educamos para la VIDA y también para la UNIVERSIDAD 3. En una división inexacta, si al divisor y resto se multiplican por n, entonces el dividendo queda también multiplicado por n.

25 x 2 8 x 2 1x2 3



4. En una división inexacta, si al dividendo y divisor se multiplican por n, entonces el resto también se multiplica por n. Ejemplo: 25 8 13

El número de tres cifras que multiplicado por 8 da un producto que termina en 007, esta comprendido entre: a) 400 y 500 b) 650 y 700 c) 100 y 150

d) 400 y 450 e) 200 y 250

abc x c = 2736 abc x b = 2280 abc x a = 1824

25 x 3 8 x 3 1x3 3



Ejemplo: 25 x 2 8 x 2 1x2 3



En una división inexacta siempre se debe cumplir que:   

residuo mínimo = 1 residuo < divisor residuo máximo = divisor – 1



residuo <

(

Dividendo 2

)

* Si el número de 3 cifras es abc Por tanto: abc x 9 = ...007 * Es recomendable multiplicar en columna y disponer como multiplicando el número conocido es decir 9 y multiplicador al número desconocido es decir abc. 9 x abc 2 7  c x 9 ......(1) 1 8  b x 9 .......(2) 8 ax9 007 Explicación: * De(1):

c x 9 = ...7c=3 3 x 9 = 27

* Al sumar las decenas debe darme 10, entonces de (2): b x 9 = ...8 b=2 2 x 9 = 18

Ejemplo 1: En una división inexacta el resto es 20 y es máximo. Calcula el dividendo si el cociente es 18.

* Al sumar las decenas llevamos"1" a las centenas y para ello de (3):

Resolución

*Luego: abc =223 D 21 20 18 máx

⇒ D = 21(18) + 20

Halla abc x cba y dar como respuesta la suma de las cifras. a) 17 d) 23

b) 19 e) 27

c) 21

Resolución

Resolución

5. En una división inexacta, si al dividendo y resto se les multiplica por n , entonces No siempre el divisor queda multiplicado por n, pueda que sea el cociente.

25 8 13

Si: Ejemplo 1:

Ejemplo: 25 8 13

Ejemplo 2:

* Multiplicando en columna lo que nos piden: abc x cba 1 8 2 4  a x abc 2 2 8 0  b x abc 2736  c x abc 2 98 22 4 ∴ ∑cifras es:2+9+8+2+2+4=27

Clave E

Ejemplo 3: El producto de un entero positivo "x" de 3 dígitos por 3 es un número que termina en 721, la suma de los dígitos de x es: a) 13 d) 17

b) 16 e) 14

c) 15

Resolución * Si x = abc, entonces: abc . 3= .....721 * Ya sabemos que es conveniente multiplicarlos del modo siguiente:

a x 9 = ...8  a=2

∴ abc = 223 está entre 200 y 250

Clave E

3 abc 21 0 7 ...7 2 1

x  c x 3  c=7  b x 3  b=0  a x 3  a=9

D = 348 I Bim. / ARITMÉTICA / 5TO. AÑO

118


Educamos para la VIDA y también para la UNIVERSIDAD Explicación:

a) 31 d) 57

1.º Hallamos el valor de "c" el cual debe ser una cifra que multiplicado por 3 termine en 1 y la única cifra que cumple ello es 7, entonces al multiplicar c = 7 por 3 me da 21.

c) 54

Resolución * Siendo los números A: B y C. Datos:

2.º Al sumar las decenas debe darme 2, eso significa que al multiplicar b x7 debe terminar en 0 y el único valor para "b" es el 0. 3.º Las centenas al multiplicar "a" por 3 debe terminar en 7 y el valor que cumple para "a" es el 9.

b) 17 e) 71

A + B +C = 145........(1) A B ...........................(2) 4 3 C B 5 4

..........................(3)

De ( 2 ): A = 3B +4 ................(4) De ( 3 ): C = 4B +5

x = abc = 907 Reemplazando (4) en (1): ∴∑ cifras es: a+b+c=9+0+7=16  (3B+4)+B+(4B+5) = 145

8B + 9 = 145 B = 17

Clave B

Ejemplo 4:

Luego:

El dividendo de una división entera es 1365. Si el divisor es el triple del residuo y éste es la mitad del cociente, calcula el valor del cociente. a) 25 d) 45

b) 30 e) 50

A = 3(17)+4 = 55 C = 4(17)+5 = 73 ∴ Uno de los números es B =17.

c) 35

Clave B

3) Calcula 1327 x 999 e indica la suma de las cifras del producto. a) 21 b) 23 c) 25

4) Si abc a = 1155 abc b = 5080 abc c = 1925, calcular abc 2 y da como respuesta la suma de sus cifras. a) 18 b) 19 c) 20

* Tenemos: 1 36 5 3 n 2n n  (3n)(2n) +n = 1365 n(6n+1)= 1365 n(6n+1)= 15 x 91 n = 15 ∴ El cociente es 2n =30.

Clave B

Ejemplo 5: Se tiene tres números cuya suma es igual a 145. Si el primero se divide entre el segundo se obtiene 3 de cociente y 4 de residuo, y si el tercero se divide entre el segundo se obtiene 4 de cociente y 5 de residuo. Uno de los números es:

calcular mpq2 y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 21 b) 24 c) 27

1) El producto de dos números pares consecutivos es 1224, calcula la suma de ambos factores. a) 66 d) 64 b) 68 e) 62 c) 70 2) El producto de dos números pares consecutivos es 1056, calcula la suma de cifras del mayor de ellos.


d) 30 e) 33

6) Si abcd x 5 = 6170, calcula a – b – c + d. d) 5 e) 7

7) Si abc x mn = 3003, calcula la suma de cifras de abccabc x mn.

Nivel I

a) 4 b) 5 c) 6

d) 22 e) 24

5) Si mpq m = 303 mpq p = 606 mpq q = 909,

a) 0 b) 1 c) 3

Resolución

d) 27 e) 30

d) 7 e) 8

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

8) Cuando dividimos cierto número por 50, obtenemos como residuo 20. Si dividimos el mismo número por 52, obtenemos el mismo cociente, pero 4 de residuo. Calcula el cociente en ambos casos. a) 6 b) 10 c) 12

d) 16 e) 8


119


9) Cuando dividimos cierto número por 60, obtenemos como residuo 17, si dividimos el mismo número por 63, obtenemos el mismo cociente pero 5 de residuo. Calcula el cociente en ambos casos.

24) En una división el dividendo es 646. Si el resto, cociente y divisor forman una progresión aritmética de razón 2, calcula el cociente.

Nivel II

16) Calcula (a + b) si: 1ab x CA(ab) = 9744 a) 7 b) 8 c) 9

a) 22 b) 24 c) 26

d) 6 e) 5

a) 3 d) 8 b) 4 e) 10 c) 5 10) En una división inexacta, el dividendo es 926, el cociente 32 y el residuo es 30, halla el divisor.

17) [CA(ab)] x 1ab = 9831, halla «a + b».

a) 28 d) 33 b) 29 e) absurdo c) 31 11) En una división inexacta, el dividendo es 615, el cociente 35 y el residuo es 25, halla el divisor.

18) Si edcba7 x 5 = 7edcba, calcula «e + d».

a) 17 d) 20 b) 18 e) absurdo c) 19 12) En una división el resto es máximo. Calcula el dividendo si el cociente es el triple del resto y el divisor es 23. a) 1540 d) 1543 b) 1541 e) 1544 c) 1542 13) En una división el resto es la cuarta parte del cociente y además es máximo. Si el divisor es el mayor número ab, calcula el dividendo. a) 38906 b) 38906 c) 38904

d) 38906 e) 38907

14) Calcula el dividendo de una división si el divisor es el menor capicúa de 3 cifras y el cociente es igual al resto que es máximo. a) 10000 b) 10001 c) 10100

d) 10200 e) 10300

15) En una división, el divisor es igual al cociente y el resto es mínimo. Calcula el cociente si el dividendo es 197. a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16


120

a) 5 b) 6 c) 4

a) 4 b) 5 c) 6

d) 3 e) 7

d) 7 e) 8

19) Si 2abcde x 3 = abcde2, calcula «a + b + c + d + e». a) 20 b) 29 c) 23

d) 26 e) 25

20) Calcula p+q+r+s si se cumple que pqrs 9999 = ...3759 a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

d) 18 e) 20

22) Si mnpq x 7 = ...2531, halla m + n+ p + q. a) 17 b) 20 c) 23

d) 24 e) 25

d) 12 e) 13

a) 21 d) 24 b) 22 e) 25 c) 23 26) Dados 2 números, al dividir el mayor entre el menor el cociente es 3 y el resto es 18. El mayor excede al menor en 64. El mayor es: a) 87 b) 32 c) 79

d) 49 e) 85

27) La diferencia de 2 números es 178, al dividir el mayor entre el menor, el cociente es 3 y el resto es 40. Calcula el mayor. a) 235 b) 243 c) 247

d) 249 e) 251

a) 3 d) 11 b) 5 e) 17 c) 7 29) En una división de enteros positivos el divisor es 42 y el resto 8. Si el dividendo se multiplica por 6 el nuevo resto es: a) 48 b) 40 c) 32

23) Calcula m+n+p+q si mnpq x 9999 = ... 8766. a) 9 b) 10 c) 11

25) En una división el dividendo es 596. Si el resto, divisor y cociente forman una progresión aritmética de razón 3, calcula el cociente.

28) En una división de enteros positivos, el divisor es 40 y el resto es 17. Si el dividendo se triplica, el nuevo resto es:

21) Calcula a+ b +c+d, si se cumple que abcd x 999 = ... 4264 a) 15 b) 16 c) 17

d) 28 e) 30

d) 14 e) 6

30) En una división el divisor y resto son 5 y 24. Si el dividendo se triplica el nuevo es: a) 2 b) 5 c) 14

d) 15 e) 72



Nivel III

31) El producto de un capicúa de 4 cifras por 23 termina en 44. La suma de las cifras del capicúa es: a) 18 b) 20 c) 24

d) 16 e) 30

32) Calcula a . b . c . d . e si: 4 x abcde = edcba a) 1008 b) 1112 c) 992

d) 996 e) 1004

33) Si se coloca 2 ceros a la derecha de un número, éste aumenta en 7227. La suma de sus cifras de este número es: a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

34) Si se coloca 2 ceros a la derecha de un número, éste aumenta en 5643. Calcula la suma de las cifras de dicho número. a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

35) En la multiplicación indicada N x ab, el primer producto parcial es 292 y el segundo es 511. La suma de factores es: a) 147 d) 150 b) 148 e) 151 c) 149 36) Halla el producto de abc por 248, sabiendo que el producto de sus productos parciales es 9003. a) 50800 d) 57500 b) 52600 e) 56800 c) 55800 37) Halla el producto de mnp por 53, sabiendo que el producto de sus productos parciales es 150 000. a) 5500 b) 5300 c) 5100

d) 5800 e) 600

38) En una multiplicación de 2 factores, el primero se aumenta en su triple y el segundo en su doble. ¿A cuántas veces aumenta el producto original? a) 6 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

39) En una multiplicación de 3 factores, al primero se le aumenta su doble, al segundo se le duplica, y al tercero se le disminuye su tercera parte. ¿En cuántas veces aumenta el producto inicial? a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

40) Sea «N» el producto de 4 factores. Si cada uno de dichos factores aumenta a su doble, ¿en cuántas veces aumentará «N»? a) 8 b) 12 c) 15

d) 16 e) 18

41) En una división el divisor y resto son 13 y 35 respectivamente. Si el dividendo se cuadruplica, el nuevo resto es: a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17

42) Dos números suman 930, el cociente es 17 y el resto es máximo. La diferencia de los números es: a) 822 b) 832 c) 842

d) 852 e) 862

43) Dos números suman 896, el cociente es 37 y el resto el máximo posible. Los números difieren en: a) 850 b) 822 c) 880


d) 790 e) 782

44) Calcula el mayor número de 4 cifras tal que al dividirlo entre 47 el resto es máximo. a) 9963 b) 9962 c) 9961

d) 9960 e) 9959

45) Calcula el menor número de 4 cifras, tal que al dividirlo entre 80 el resto es máximo. a) 1039 b) 1047 c) 1049

d) 1051 e) 1073

46) Calcula el mayor número de 4 cifras, tal que al dividirlo entre 97 el resto es máximo. a) 9980 b) 9982 c) 9983

d) 9990 e) 9992

47) ¿Cuántos números de 3 cifras pueden ser dividendos en una división de cociente 15 y resto 12? a) 51 b) 52 c) 53

d) 54 e) 55

48) ¿Cuántos números de 3 cifras pueden ser dividendos de una división de cociente 18 y resto 8? a) 45 b) 46 c) 47

d) 50 e) 51

49) ¿Cuántos números de 3 cifras pueden ser dividendos de una división de cociente 20 y resto 12? a) 37 b) 39 c) 41

d) 43 e) 45

50) ¿Cuántos números comprendidos entre 100 y 500 pueden ser dividendos de una división cuyo cociente es 22 y resto 30? a) 16 b) 17 c) 18

d) Ninguno e) 20


121


2) Calcula (a+b+c+d) si se cumple que:

1) Si edcba7 x 5 = 7edcba , calcula "e + d".

abcd x 999 = ...4264

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

3) Halla el producto de abc por 248, sabiendo que el producto de sus productos parciales es 9003. a) 50 800 b) 52 600 c) 55 800

a) 15 b) 16 c) 17

d) 18 e) 20

4) ¿Cuántos números enteros positivos existen, tal que al dividirlos por 28 dan un residuo que es el triple del cociente? a) 19 b) 10 c) 11

d) 57 500 e) 56 800

d) 12 e) 13

5) ¿Cuántos números menores que 500 pueden ser divididos en una división de cociente 15 y residuo 20 ? a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

"En la vida se ve uno a veces ante la disyuntiva de complacer a Dios o complacer al prójimo. A la larga conviene más lo primero, porque Dios tiene mejor memoria". Harry Kemelman


122



Repaso

5) Si se cumple: 1+2+3+...+n = aaa, halla: 12 + 22 + 32 + ... + n2

Nivel I

1) Si «n» es un número entero positivo, el valor de la suma: 3+33+333+...+ 33...333 es: n cifras a) (10 – 9n – 10) / 27 b) (10n+1 + 9n + 10) / 27 c) (10n+1 – 9n – 10) / 27 d) (10n–1 + 9n – 10) / 27 e) (10n+1 + 9n – 10) / 27

a) 17 408 b) 16 206 c) 15 408

d) 15 408 e) 18 302

6) Halla x+y+a si:

n

2) Calcula la suma de los términos de la siguiente serie: 2+6+13+23+36+...(25 términos) a) 8 150 b) 8 260 c) 9 180

d) 9 170 e) 9 150

3) Si "N" = cdu, tal que: c+d+u = 13 y cd + du = 97, halla "N". a) 346 b) 634 c) 643

d) 364 e) 463

4) Halla "n" si se cumple: 1x2+2x3+3x4+...+n(n+1)=728 a) 11 d) 14 b) 12 e) 15 c) 13

a1x+a2x+a3x+...a7x=38y1 a) 3 b) 5 c) 8

d) 11 e) 13

7) Halla a+b+c si: a1a+a2a+a3a+... +aaa=8bc1 a) 10 b) 13 c) 15

d) 18 e) 21

8) Si a83+5b9+64c = 1659, halla el valor de a+b+c. a) 2 b) 4 c) 7

d) 12 e) 13

9) Si 5mn + npm =1 000 halla el valor de m+p - n. a) 5 b) 3 c) 6


d) 4 e) 8

10) La suma de los 6 numerales que se pueden formar con las cifras a, b y c (a > b > c) es 2886. Si la mayor diferencia entre dos de estos numerales es xy5, halla el menor. a) 743 b) 247 c) 274

d) 471 e) 472

11) Si al minuendo y al sustraendo de una sustracción se les disminuye "n" unidades, ¿en cuánto variará la diferencia? a) n b) –n c) 0

d) –2n e) 2n

12) En una sustracción, la suma de sus términos es 1122. Calcula el complemento aritmético del sustraendo si es la tercera parte del minuendo. a) 813 b) 187 c) 197

d) 817 e) 823

13) La suma de los 3 términos de una sustracción es 1512. Calcula el sustraendo más la diferencia y da como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 b) 6 c) 9

d) 15 e) 18


123


14) La suma de los términos de una sustracción es (x+3)(x+8) (x+1) y el sustraendo es 1/3 del C.A. del minuendo. Halla la diferencia. a) 164 b) 148

d) 140 e) 145

15) La suma de los tres términos de una sustracción es 1118. Calcula la diferencia si el sustraendo es el C.A. del minuendo. a) 114 b) 124 c) 134

d) 144 e) 154

Nivel II

16) Si la diferencia entre la diferencia y el sustraendo es 134, calcula el sustraendo sabiendo que los 3 términos de la sustracción suman 18 centenas. a) 246 b) 293 c) 304

d) 328 e) 383

17) Si al minuendo de una sustracción se le aumenta 6 unidades y al sustraendo se le disminuye 2, ¿en cuánto varía la diferencia? a) – 6 b) +6 c) 8

d) – 8 e) 0

18) Si abc – cba = xyz, calcular C.A. de (x+z)y a) 19 b) 81 c) 9

d) 18 e) 11

19) Si abc – cba = n(3m)(n+3), calcular el C.A.(n+m). a) 6 b) 5 c) 4

d) 3 e) 2

20) Si mnp = x(3y)(2x)+pnm, calcula el C.A.(x.y). a) 1 b) 0 c) 9

d) 11 e) 91


124

21) Sea "N" el producto de 2 factores. Si el primero aumentara a su doble y el segundo en su triple, ¿en cuántas veces más aumentaría el producto? a) 6 b) 7 d) 12

c) 8 e) 16

a) 1 b) 2 d) 12

22) Un número multiplicado por 2 y por 3 da 2 nuevos números cuyo producto es 1944. ¿Cuál es ese número? a) 6 b) 12 d) 14

c) 18 e) 8

c) 8 e) 12

a) 6 b) 7 d) 9

c) 8 e) 10

25) Si a . b . c . d = 336, calcula el C.A. del mayor número abcd. a) 8761 b) 1239 c) 3462

d) 7536 e) 5436

26) a x b x c = 12000. Si "a" se triplica, "b" aumenta a su cuádruple y "c" aumenta en su cuádruple, calcula la suma de las cifras del nuevo producto. a) 27 d) 12

b) 18 e) 15

c) 9

27) Sea «N» el producto de 3 factores. Si cada uno de dichos factores aumentara a su triple, ¿en cuántas veces aumentará «N»? a) 26 d) 9

b) 27 e) 21

c) 18

b) 485 c) 490 e) 520

30) El producto de 2 números es 8178. Si uno de ellos aumenta una docena, el producto aumenta a 9222. La suma de cifras del otro número es: a) 13 d) 16

24) ¿Cuál es el número tal que multiplicado por 2, 3 y 4 da 3 nuevos números cuyo producto es 12288?

c) 10 e) 15

29) Si se aumenta 7 unidades a cada factor, el producto aumenta 364. Calcula el producto si la diferencia de factores es 5. a) 450 d) 500

23) Un número multiplicado por 2, por 3 y por 5 origina 3 números cuyo producto es 6480. Calcula dicho número. a) 4 b) 6 d) 10

28) En una multiplicación el multiplicador disminuye 3 decenas y el producto disminuye en 600, entonces la suma de cifras del multiplicando es:

b) 14 e) 17

c) 15

Nivel III

31) El producto de 2 números es 5475. Si el multiplicador aumenta en 8, entonces el producto aumenta en 600. El multiplicador es: a) 75

b) 74

c) 73

32) En una multiplicación, si el multiplicando aumenta en 15 unidades, el producto aumenta en 555. El multiplicador tiene por suma de cifras: a) 8 b) 9 d) 11

c) 10 e) 12

33) Sea "N" el producto de 3 factores. Si cada uno de dichos factores aumenta en su doble, ¿en cuántas veces aumentará "N"? a) 23 d) 26

b) 24 e) 27

c) 25



34) En cierta multiplicación, si uno de los factores disminuye en 6 entonces el producto disminuye en 648; pero, si el otro factor disminuye en 6, entonces el producto disminuye en 120. El producto es: a) 2160 d) 2400

b) 2100 c) 2166 e) 2700

35) En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 5 unidades y al multiplicador se le disminuye 5 unidades, el producto no varía. La diferencia de dichos números es: a) 5 b) 10 d) 15

c) 12 e) 25

36) La diferencia de 2 números es 900, su cociente 17 y el resto es el más grande posible. La suma de los números es: a) 956 d) 917

b) 836 c) 1006 e) 857

37) En una división, para que el resto sea 47 hay que sumarle 63 o retirarle 8 al dividendo. Si el cociente dista tanto del divisor como del resto, calcule el dividendo. a) 4528 d) 4150

b) 4000 c) 3850 e) 3500

38) Si "A" es un entero positivo cuyo número de cifras varía de 2 a 6; mientras que otro "B" de 3 a 5, diga ¿cuántas cifras tendrá como máximo B2/A? a) 8 b) 9 d) 11

c) 10 e) 7

39) ¿Cuántos números pueden ser divisores de una división de enteros si el dividendo es 353 y el residuo 9? a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

40) A, B y C son enteros positivos de 2;3 y 5 cifras respectivamente. ¿Cuántas cifras tiene la parte entera de B2C3 ? si α y β son la mínima y A2 la máxima cantidad de cifras, calcula α + β. a) 30 d) 33

b) 31 e) 34

c) 32

41) En una división inexacta la suma de términos es 46. Si al dividendo y divisor se les multiplica por 4 y se repite la operación, resultan 4 nuevos términos que suman 160. Halla el cociente inicial. a) 6 b) 8 d) 5

c) 7 e) 9

42) En una división, el cociente es 8 y el residuo 20. Sumando el dividendo, divisor, el cociente y el residuo se obtiene un total 336. El dividendo es: a) 308 d) 288

b) 276 c) 124 e) 296

43) En una división, el cociente es 12 y el residuo 5. Sumando el dividendo, divisor, el cociente y el residuo se obtiene 110. El dividendo es: a) 89 d) 188

b) 88 c) 189 e) 200

44) Se divide un número 927 entre 22, ¿cuál es el producto de la cantidad máxima en que puede aumentarse el dividendo, de manera que el cociente no varíe,por el nuevo residuo que se genera? a) 54 d) 368


b) 63 c) 336 e) 378

45) Se divide un número 328 entre 21. ¿Cuál es el producto de la cantidad máxima en que puede aumentarse el dividendo, de manera que el cociente no varíe por el nuevo residuo que se genera? a) 20 d) 120

b) 60 c) 80 e) 140

46) ¿Cuántos números Z+ existen, tal que al dividirlos por 49 dan como resto el triple del cociente respectivo? a) 16 b) 15 c) 14

d) 13 e) 12

47) ¿Cuántos enteros positivos hay, tal que al dividirlos entre 81, el resto es el cuadrado del cociente respectivo? a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

48) ¿Cuántos enteros positivos de 3 cifras existen, tal que al dividirlos entre 92 el resto es el cuadrado del cociente respectivo? a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

49) Al dividir 581ab entre otro número, se obtuvo 150 y 215 como residuos parciales y 1 como residuo final. Calcula "a . b" a) 18 b) 15 c) 36

d) 48 e) 35

50) Se tiene 101 enteros positivos consecutivos. Se divide el mayor entre el menor, obteniéndose 17 de resto y 2 de cociente. Calcula el mayor de ellos. a) 180 b) 181 c) 182

d) 183 e) 184


125


1) Halla a+b+c si:

2) Calcula la suma de:

a1a+a2a+a3a+...+aaa = 8bc1 a) 10 b) 13 c) 15

A = 12(3)+12(4)+12(5)+...+12(100)

d) 18 e) 21

a) 10 d) 5253

b) 20 e) 5243

c) 100

4) Calcula (p+q+r+s) si se cumple que:

3) Si abc - cba = xyz, calcula el C.A. de (x+z).y

pqrs x 999 = ...3759

a) 19 b) 18 c) 81

d) 11 e) 9

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

5) Calcula el número que al dividirlo por otro arroja un cociente igual al residuo máximo y éste a su vez es el menor número de dos cifras. a) 100 d) 115


126

b) 110 e) 125

c) 120



CURIOSIDADES MATEMÁTICAS FRACCIONES EXTRAÑAS

¿Qué tienen de extraño las siguientes fracciones: 19/95, 26/65, 16/64? Resolución: Quitando en cada caso el número repetido, el resultado es el mismo: 19/95=1/5; 26/65=2/5; 16/64=1/4.

CURIOSA PERSISTENCIA DEL 5 8-3=5 78 - 23 = 55 778 - 223 = 555 7778 - 2223 = 5555 ................... 82 - 32 = 55 782 - 232 = 55 555 7782 - 2232 = 555 555 77782 - 22232 = 55 555 555 ...................

NOTABLE SUCESIÓN DE CUADRADOS 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 11111 2 = 123454321 111111 2 = 12345654321 1111111 2 = 1234567654321 11111111 2 = 123456787654321 111111111 2 = 12345678987654321 92 = 81 992 = 9801 9992 = 998001 99992 = 99980001 99999 2 = 9999800001 999999 2 = 999998000001 9999999 2 = 99999980000001 99999999 2 = 9999999800000001 999999999 2 = 999999998000000001


CON 4 TRESES 1 = 33/33 = 3 - 3+3/3 2 = 3/3+3/3 3 = (3+3+3)/3 4 = (3x3+3)/3 5 = 3+(3+3)/3 6 = 3+3+3 - 3=(3+3) x 3/3 7 = 3+3+3/3 8 = 33/3 - 3 9 = 3 x 3 x 3/3 10 = 3 x 3+3/3

CON 4 CINCOS 1 = 55/55 = 5 - 5 + 5/5 2 = 5/5 + 5/5 3 = (5 +5 + 5)/5 4 = (5 x 5 - 5)/5 5 = 5+(5 - 5)/5 6 = (5 x 5+5)/5 7 = 5+(5+5)/5 8 = 5!/(5+5+5) 9 = 5+5 - 5/5 10 = (55 - 5)/5

ESCRITURA DEL CIEN 100 = 111 -11+1-1+1-1 100 = 22 x 2 x 2+2+(2 x 2 x 2)+2 100 = 333 : 3 - (3 x 3)-3+(3 : 3) 100 = 444 :4 -4 - 4 - 4 +(4 : 4) 100 = 5 x 5 x 5 - (5 x 5)+5 - 5 +5 - 5 100 = 66+(6 x 6)-[(6+6): 6 x (6 : 6)] 100 = 7x7x (7+7):7+(7:7)+(7:7) 100 = 88+8+[8 x 8 x 8 : 8 : (8+8)] 100 = (99+99):(9+9)x 9+(9 : 9)


127

Aritmetica - 1 Bim - Aful

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