ANILLOS Y ARITMETICA MODULAR -
Introducción
Analizamos e conjunto Z, operaciones cerradas de suma y producto. (Z,+,.). Anillos finitos que surgen en las aplicaciones de teoría de
La estructura de anillo: Definición y ejemplos
Definición de anillo (14.1): Sea R un conjunto no vacío con dos operaciones binarias cerradas, denotadas por +y ., entonces (R,+,.) es un anillo si para todos a, b, c ∈ R se cumplen las siguientes condiciones:
a) b) c) d)
a+b = b+a a + (b + c) = (a + b) + c Existe z ∈ R tal que
Ley conmutativa de + Ley asociativa de + Existencia de una identidad para +
a + z = z + a = a para todo a∈R
es único
Para cada a∈R existe un elemento
Existencia de inverso bajo +
b∈R tal que a+b=b+a = z e) f)
a. (b.c) = (a. b).c a. (b + c) = a.b + a.c (b+c) . a = b.a + c.a
Ley asociativa de . Leyes distributivas de . sobre +
La estructura de anillo: Definición y ejemplos
Ejemplo:
Definimos + y ., como: a b e f c d + g h = c d . g h =
M2(Z) es un anillo, con
0 0 0 0 , y el inverso aditivo a b − a − b c d . − c − d
z =
La estructura de anillo: Definición y ejemplos
Ejemplo:
Sin embargo 1 2 3 7 1 1 . 1 0 = 1 0 . 1 1 =
La estructura de anillo: Definición y ejemplos
Ejemplo:
Sin embargo
1 2 3 7 1 1 . 1 0 = 3 7 1 2 .
1 0 1 1
=
El anillo no es conmutativo.
1 − 1
− 1
2 1 0 0 = . 1 2 1 0 0
No son identidad de la suma. El anillo puede tener “divisores propios de cero” .
La estructura de anillo: Definición
Definición de anillo (14.2): Sea (R,+,.) un anillo. a) Si ab=ba para todo a,b ∈ R, entonces R es un anillo conmutativo b) El anillo R no tiene divisores propios de cero si para cual uiera a b ∈ R a.b=z → a = z ó b=z. c) Si un elemento u ∈ R es tal que u≠z y au=ua=a para todo a ∈ R, decimos que u es elemento unidad, o identidad para el producto, de R. R es entonces un anillo con unidad y es única.
La estructura de anillo: ejemplo 1
Sean U = {1,2} y R = P (U ). Definimos + y . sobre los elementos de R como: A + B = A B = {x|x Є A ó x Є B, pero no ambos} A . B = A ∩ B = la intersección de los conjuntos A, B U + ()
0
{1}
{2}
U U
. (∩)
0
{1}
{2}
U U
0
0
1
2
U
0
0
0
0
0
{1}
{1}
0
U
{2}
{1}
0
{1}
0
{1}
{2}
{2}
U
0
{1}
{2}
0
0
{2}
{2}
U
U
{2}
{1}
0
U
0
{1}
{2}
0
Identidad aditiva: a+z=z+a=a=0 Inverso aditivo : a+b=b+a=z
Es conmutativa: es simétrica. Elemento unidad: au=ua=a y u≠z Divisores propios de cero a.b=z
La estructura de anillo: ejemplo 2 Para R={a,b,c,d,e}, definimos + y . Como +
a
b
c
d
e
x
a
b
c
d
e
a
a
b
c
d
e
a
a
a
a
a
a
b
b
c
d
e
a
b
a
b
c
d
e
c
c
d
e
a
b
c
a
c
e
b
d
d
d
e
a
b
c
d
a
d
b
e
c
e
e
a
b
c
d
e
a
e
d
c
b
Identidad aditiva: a+z=z+a=a Inverso aditivo : a+b=b+a=z Inverso multiplicativo: xy=yx=u
Es conmutativa: es simétrica. Elemento unidad: au=ua=a y u≠z Divisores propios de cero a.b=z
La estructura de anillo: Definición
Definición de anillo (14.3): Sea R un anillo con elemento unidad u. Si a,b Є R y ab=ba=u, entonces b es un inverso multiplicativo y a es una unidad de R. (El elemento b también es una unidad de R).
e n c n e an o . : Sea R un anillo conmutativo con elemento unidad. Entonces a) R es un dominio de integridad si R no tiene divisores propios de cero. b) R es un cuerpo ( field ) si todo elemento distinto de cero en R es una unidad.
La estructura de anillo: Ejemplo 3
Sea R={s,t,v,w,x,y}, donde + y . , están dadas por: +
s
t
v
w
x
y
+
s
t
v
w
x
y
s
s
t
v
w
x
y
s
s
s
s
s
s
s
t
t
v
w
x
y
s
t
s
t
v
w
x
y
v
v
w
x
y
s
t
v
s
v
x
s
v
x
w
w
x
y
s
t
v
w
s
w
s
w
s
w
x
x
y
s
t
v
w
x
s
x
v
s
x
v
Y
y
s
t
v
w
x
y
s
y
x
w
v
t
Identidad aditiva: a+z=z+a=a Inverso aditivo : a+b=b+a=z Inverso multiplicativo: xy=yx=u
Es conmutativa: es simétrica. Elemento unidad: au=ua=a y u≠z Divisores propios de cero a.b=z
