MODULOS ELÁSTICOS DE ROCAS
RELACIONES CONSTITUTIVAS
RELACIONES CONSTITUTIVAS
RELACIONE RELACIONESS CONST CONSTITUTI ITUTIV VAS
http://2.bp.blogspot.com/nJT7kXjLTGA/UMd1fwqMB1I/AAAAAAAAAUU/WOVUm7YdKYY/s1600/1.jpg
COMPORTAMIENTO IDEAL MATERIALES idealizado de la mecánica del continuo los materiales reaccionan a los esfuerzos, mediante deformación en tres diferentes formas: Contexto
Elástico Plástico Viscoso
Relaciones constitutiva constitutivass Reología Mecánica
del continuo
Geología estructural Comportamiento
rocas
mecánico
Principios fundamentales de la deformación de los materiales
Deformación aplicada a rocas
RELACIONE RELACIONESS CONST CONSTITUTI ITUTIV VAS
http://images3.wikia.nocookie.net/__cb20080914071844/ceramica/images/thumb/ 3/3c/Esfuerzo-deformacion.png/640px-Esfuerzo-deformacion.png
http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRHxUSdlSAAbADr 64pwWTvbLWJrfAANX7Oumi39uSWeL3oTi9J-
MODE MO DELLOS RE REOL OLÓG ÓGIC ICOS OS Las
propiedades
fundamentales
de
la
reología:
elasti elas tici cida dad, d, pl plas asti tici cida dad d y vi visc scos osid idad ad - modelos físicos que describen estos fenómenos reológicos y facilitan la comprensión de los mecanismos que determinan la reología de los materiales ideales.
MODELOS FÍSICOS IDEALES
http://nevemcolombia.com/resortes/ResorteCompRojo.gif
http://html.rincondelvago.com/000139932.png
• Elástico - Un resorte • Plástico - Una masa en reposo • Viscoso -
Un amortiguador
COMPORTAMIENTO ELASTICO
TEORIA DE ELASTICIDAD Representada por la famosa Ley de Hooke:
E
Material ideal Homogéneo Elástico Isotrópico
Las rocas no son materiales ideales
TEORIA DE ELASTICIDAD Rocas: Límite
http://biologiaygeologia.org/unidadbio/esa/cna4/tectonica/ B2-u3-tectonica/roca_deformada.jpg
de aplicabilidad elasticidad en cada problema particular
Tener en cuenta: Presencia
de discontinuidades Tipo y tamaño de granos Esfuerzos internos Dependencia del tiempo
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO σ
σ
Elástico: ε
ε
(a) Perfectamente elástico σ
(b) Elástico con histéresis σ
Material vuelve a la forma original durante la descarga
Ley de Hooke
ε
(c) Elástico lineal
ε
(d) Inelástico (plástico)
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQVtKy Ow6O7aU2ZeVX8yvR_a7tbytLlXj-OkFNbAbx4buoP7owfBGvGsKKM
MODELO REOLOGICO COMPORTAMIENTO ELÁSTICO Tipo de deformación
Modelo físico
Nombre
Ecuación constitutiva
Relación esfuerzo- deformación σ
Ley de Hooke
Elástico (a)
E = Esfuerzo
F
E = Módulo de Young = Deformación
ε
COMPORTAMIENTO PLÁSTICO
COMPORTAMIENTO PLÁSTICO Deformación permanente después de retirado el esfuerzo – IRREVERSIBLE
σ Plástico
ε plástica
ε elástica
ε https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQwUCdNPgefvr79gosY7J8WlkmlglsLT4eHalM4mqJstg8AA8s
COMPORTAMIENTO PLÁSTICO Teoría
de plasticidad estudia matemáticamente
esfuerzos-deformaciones en materiales deforman plásticamente esfuerzo-deformación son Relaciones
que
mas
complejas en comportamientos plásticos, que en elásticos f(esfuerzos, T, historia pasada de esfuerzos, ej. esfuerzos originados en actividades tectónicas)
MODELO REOLOGICO COMPORTAMIENTO PLÁSTICO Tipo de deformación
Modelo físico
Nombre
Ecuación constitutiva
Relación esfuerzo- deformación σ
Plástico (b)
Elemento de fricción F
< o = 0 o > 0
o
o = Límite elástico
ε
MODELO REOLOGICO COMPORTAMIENTO PLÁSTICO Proppant embedment
http://momentivefracline.com/assets/images/winter2010/Embedment-Photo.jpg
FH
http://infohost.nmt.edu/~petro/faculty/Engler571/Stimulation-10.pdf
Elástico – Plástico Materiales frágiles Vidrio Concreto Roca
(tensión)
Altas presiones confinamiento Metales
Deformación elástica antes de fracturar
Deformaciones plásticas significativas antes de fracturar
Rocas Concreto
Comportamiento dúctil
ROCAS Metales frágiles (Ley Hooke)
Comportamiento mas Plástico, no lineal (Modelos Combinados)
COMPORTAMIENTO VISCOSO
COMPORTAMIENTO VISCOSO Resistencia
de un fluido a la deformación Un líquido puede tener apariencia de sólido por alta viscosidad para definir Dificultad sólidos y líquidos, cuando el sólido se aproxima a la fusión y el líquido alcanza alta viscosidad
https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTsRwWxgaXK2pTua1 ETP5P5e3Di5C3ROEqq6AphkONtpnUBoY_i
http://www.g-oil.cr/noticias/wp-content/uploads/2011/02/Viscocidad.jpg
COMPORTAMIENTO VISCOSO Comportamiento ideal de los materiales
Tipo de deformación
Modelo físico
Nombre
.
F
Viscoso (c)
Ecuación constitutiva
Ley de Newton
Relación esfuerzo- tasa deformación σ
= Viscosidad
. d dt
.ε
COMPORTAMIENTO VISCOSO • Cilindro lleno de líquido viscoso, pistón con pequeño orificio • No hay recuperación después de la eliminación del esfuerzo – todo el movimiento es permanente • Fuerza F al pistón, el volumen de flujo de líquido a través del orificio, depende de la presión bajo el pistón. A mayor fuerza F, mayor será la presión • Comportamiento viscoso ideal (Newtoniano) se rige por el flujo de fluidos, en el cual el esfuerzo es igual a la viscosidad por la tasa de deformación • A mayor esfuerzo aplicado, mas rápido se deforma el material y la deformación total f (magnitud del esfuerzo, tiempo que dure la aplicación del mismo)
MAGMA
• • •
http://es.wikipedia.org/wiki/Magma
Materia rocosa fundida Fluido viscoso Cuando asciende hacia la superficie de la tierra se conoce como lava
MODELOS COMBINADOS
MODELOS REOLÓGICOS COMBINADOS
+
+
Elástico Plástico Viscoso
+
Químico
+
Térmico
Rossello, 2013
Aplicaciones Recobro térmico Cambios de temperatura http://2.bp.blogspot.com/__nRwW6ejU8U/TNtrk-DtSI/AAAAAAAADj4/lwktxe8bvPI/s400/combustion-in-situ.jpg
http://www.grmuis.com/imagenes/rtimg2.gif
Propiedades de la roca? Presión de poro? Comportamiento geomecánico? Composición mineralógica? Cambios geológicos? (reactivación de fallas, microfracturas, roca sello, ect)
Aplicaciones Estabilidad de pozos
Diseño de la ventana operacional de lodo mediante un modelo químico- térmicoelástico. (J. Sneider y M. Rueda. Proyecto Grado, UIS, 2011)
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO-VISCOSO Tipo de deformación
Modelo físico
Nombre
F
Elásticoviscoso (a)
Relación Deformación vs. tiempo ε
Viscoso
MAXWELL Elástico
Permanente Esfuerzo removido
t
COMPORTAMIENTO VISCO-ELÁSTICO Tipo de deformación
Modelo físico
Nombre
F
ViscoElástico (b)
Relación Deformación vs. tiempo ε
KELVIN (Material de Voight) Esfuerzo aplicado
Esfuerzo removido
t
MODELOS REOLÓGICOS COMBINADOS Combinación
para construir modelos más elaborados,
que puedan reflejar condiciones más reales de la naturaleza de las rocas .
Particular
interés, dos combinaciones de cuerpos ideales:
Serie: elástico - viscoso (Maxwell) Paralelo: viscoso – elástico (Kelvin)
. E
COMPORTAMIENTO LINEAL - GENERAL ROCAS Tipo de deformación
Modelo físico
Relación Deformación vs. tiempo ε
LinealGeneral (c)
F
Yp
Permanente
Elástico
Kelvin
Maxwell
Esfuerzo aplicado
Esfuerzo removido
t
Aproximación al comportamiento real de las rocas
MODULOS ELÁSTICOS DE ROCAS
CONSTANTES ELÁSTICAS ESTÁTICAS • Relaciones esfuerzos-deformaciones se representan mediante constantes llamadas constantes elásticas de un
material. • Medidas en el laboratorio
CONSTANTES ELÁSTICAS ESTÁTICAS • Principales constantes elásticas: Módulo
de Young (E) Relación de Poisson ( ) Módulo
de Rigidez (G)
Módulo
Volumétrico (K)
Constante
de Lamé ()
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO σ
σ
Elástico: ε
ε
(a) Perfectamente elástico σ
(b) Elástico con histéresis σ
Material vuelve a la forma original durante la descarga
Ley de Hooke
ε
(c) Elástico lineal
ε
(d) Inelástico (plástico)
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQVtKy Ow6O7aU2ZeVX8yvR_a7tbytLlXj-OkFNbAbx4buoP7owfBGvGsKKM
Módulo de Young (E) Prue Pr ueba ba de lab labor orat ator orio io
Rela Re lació ción n co cons nstit titut utiv ivaa
E
y ΔL
Esfue Esfuerzo rzo
Resu Re sulta ltado do pr prue ueba ba de compresión σ
Deformac Deformació ión
L
E
ε
F L E A L !!!!! !!! !!
Inelás Ine lástic tico o o no no-li -line nealm alment entee elá elásti stico, co, el módulo de Young no es
una constante, pero puede ser definido como función del esfuerzo para cual cualqu quie ierr mate materi rial al que que se apro aproxi xime me al comp compor orta tami mien ento to elás elásti tico co
Módulo de Young (E) • Módu Módulo lo Elás Elásti tico co (Y), (Y), (fue (fuerz rza/ a/ár área ea)) • Constante de proporcionalidad o gradiente de la curva en una gráfica de esfuerzo vs. deformación • Corres responde a una propiedad constante para un material elástico-lineal • Su valor, en la mayoría de los casos es muy alto, del orden de 109 Pascales • Valores de referencia : : Acero, 200 GPa; Cobre, 110 GPa; Aluminio, 70 GPa; y para Rocas varía entre 1 y
100 GPa Comportamiento ideal de los materiales
Módulo de Young (E) E
Alta resistencia, resistencia, roca mas rígida Comportamiento Comportamiento mas frágil
E
Comportamiento mas dúctil, FH embedment
Comportamiento ideal de los materiales
Canales de flujo
http://infohost.nmt.edu/~petro/faculty/Engler571/Stimulation-10.pdf
Relación de Poisson ( ) Prueba de laboratorio
Relación constitutiva
D ΔD
y
v ΔL
D L L
L D
•
v
x y
Deformación lateral/ Deformación longitudinal
• Parámetro adimensional
Relación de Poisson ( )
Para diferentes materiales elásticos varía entre
0 y 0.5
Materiales con igual a 0.5 (incompresibles) (mantienen el volumen constante independientemente del esfuerzo aplicado). Entre más se aproxime a cero, el material es
mas compresible
Relación de Poisson ( ) Ejemplos:
=0.5 (prácticamente incompresible) https://encryptedtbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSVVkyTQcSv IeXjFSve9JYS9_oS5DpcGcfjOWpcOL8EqlGlH5dquQ
=0.0 (material compresible)
Rocas porosas débiles cercano a cero
http://3.bp.blogspot.com/_1tFt1PhCcH4/Sc2agD7cjI/AAAAAAAAEyg/XDcSrfNItvE/s1600/corcho.jpg
Relación de Poisson ( ) Rocas, el signo negativo normalmente se omite y se trabaja con el valor absoluto. La literatura presenta diferentes rangos para la relación
de Poisson en rocas: 0.25
- 0.33 (Twiss and Moore, 1992) 0.1 - 0.3 (Pollard and Fletcher, 2005) El Módulo de Young y la Relación de Poisson, son suficientes para http://us.cdn2.123rf.com/168nwm/studi oindigo/studioindigo0911/studioindigo09 1100002/5847980-pointing-hand-sign-inblack-and-white.jpg
describir completamente el comportamiento de materiales isotrópicos y elástico lineales.
FRAC HIDRAULICO
E
Aplicaciones constantes elásticas Fracturamiento hidráulico: E y , propiedades de resistencia elástica que describen la manera como la roca se deformará frente a esfuerzos aplicados, buscando generar la FH –
repercusión en la geometría de fractura. Relación de Módulo de Young Poisson
Zona de interés
E
PRUEBA DE COMPRESIÓN UNIAXIAL Rocas
sometidas a esfuerzo normal en una sola dirección No
existe confinamiento radial (Presión de confinamiento)
Prueba compresiva inconfinada Resistencia Compresiva Uniaxial (UCS, Co) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Concrete _Compression_Testing.jpg/220px-Concrete_Compression_Testing.jpg
Módulo de Young
Relación de Poisson
PRUEBA DE COMPRESIÓN TRIAXIAL Determinar cómo se comporta la roca bajo diferentes presiones
de confinamiento Cohesión
(C) Ángulo de fricción interna ( )(AFI) Envolvente de falla 3
1 > http://sp5.fotolog.com/photo/53/45/0/nistala/1234437781561_f.jpg
2 =
2 3
2
3
1
PRUEBAS GEOMECANICAS PARA ESTABILIDAD DE POZOS
Carvajal, et al. Geomechanical wellbore stability modeling of exploratory wells – study case at middle Magdalena basin. CT&F, Ciencia, Tecnologia y Futuro – Vol 3. Num. 3, 2007.
Módulo de Rigidez Prueba de laboratorio
Relación constitutiva G
Esfuerzo de corte Deformación de corte
G
• Conocido también como Módulo de cizalla o de corte • Relación entre el esfuerzo de corte y la deformación de corte
DEFORMACIÓN DE CIZALLA Deformación por cizalla Involucra un cambio de ángulo
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/torsion/torsion.htm
Pequeños ángulos de desplazamiento
(Módulo de Cizalla o de Rigidez)
Módulo Volumétrico Prueba de laboratorio
Relación constitutiva
P
P P P
K
p
V / V
P
• Conocido también como Módulo de Incompresibilidad
Módulo Volumétrico • Mide la resistencia a la compresión uniforme
• Este módulo se define como la relación entre el esfuerzo hidrostático (presión hidrostática) y la deformación volumétrica en una prueba de compresión hidrostática.
x
K
p
V / V
y
z
Constante de Lamé
Caracteriza el comportamiento elástico de un material Se relaciona con el Módulo de Young y la Relación de Poisson, mediante la siguiente expresión:
Caracteriza materiales
un
E v
1 v 1 2 v
abanico
de
comportamientos
Materiales incompresibles = 0.5; Perfectamente compresibles = 0;
= infinito =0
de
VALORES TÍPICOS Módulos elásticos en rocas
Tipo de Roca
Módulo de Young (E) (GPa)
Relación de Poisson ( )
Módulo de Rigidez (G) (GPa)
Anhidrita Pizarra Conglomerado Diorita Granito Caliza Shale Arenisca Sal
73 35.4 91.01 100.8 38.98 65.71 31.16 26.0 33.03
0.295 0.10 0.26 0.19 0.17 0.14 0.27 0.06
28 16.48 43.44 44.26 11.79 28.06 15.38 15.58
(Tomado de Lama y Vutukuri, 1978. 315-453p)
RELACIONES ENTRE CONSTANTES ELÁSTICAS ESTÁTICAS
Relaciones entre constantes elásticas estáticas Todos
los módulos elásticos de materiales isotrópicos están interrelacionados, de manera que conociendo solo dos de estos módulos se pueden calcular los demás. se cumple solo para materiales isotrópicos que se comportan elásticamente lineales . Esto
σ
Ley de Hooke
Relaciones entre constantes elásticas estáticas E
G
E-
K
E 2 1 v
E-G
E
E v
3(1 - 2 )
1 v1 2 v
E 2 G
E G
2G
E-K
3 K E
33G E
*
-G 2G1 v
E 3G
3 E K
3 K ( 3 K E )
9 K E
6 K
E-
G (2G E )
9 K E **
***
2 3
G
1 v
2G v
1 2v
1 2 v
Relaciones entre constantes elásticas estáticas E
G
-K 3 K 1 2v
-
v
G-K G-
1 v1 2v 9 KG
3 K 2G
3 K G
3
G ( 3 2G)
G
K-
K
3 K 1 2v
3 K v
21 v
1 v
1 2v
1 v
2v
3v
3 K 2G 23 K G
2 ( G )
9 K ( K )
3 K
3 K
3 K
2
2 3
G
POROELASTICIDAD
POROELASTICIDAD • Fluidos: agua, gas, petróleo, gran influencia sobre el comportamiento mecánico de la roca
Pc
Pc
• Muchos estudios consideran
Pp
Pp
Pc
la roca rígida • No consideran acoplamiento
Pp
Pc
entre desplazamiento, Pp y flujo de fluidos.
POROELASTICIDAD Modelo elástico Fluidos
Porosidad
Modelo Poroelástico Pc
Pc P P p
Pc
V b
p
P p
V m V p
Pc
1 V C bc i b V b P c P
C pc
1 V p i V p P c P
Relacionan cambios entre Pp y/o Pc con ɛv
POROELASTICIDAD Relaciones entre deformación y coeficientes de compresibilidad para diferentes condiciones de Pp y Pc
Pc
Pc
b
P P p
Pc
p
dV b V b
( C m C b ) dP p
C b dP c
P p
Pc
p
dV p i p
V
C m dP p
1
(C b
C m ) (dP c
dP p )
POROELASTICIDAD Módulo de Biot Definido por Biot y Willis (1957) Conocido como Coeficiente de esfuerzo efectivo
1
C m
C b
β Coeficiente de Biot
Cm
Compresibilidad granos
Cb
Compresibilidad volumen total roca
POROELASTICIDAD =1
Biot (β)
rocas muy fracturadas o no consolidadas (Rocas sin cemento en el contacto)
Medida de la rigidez
=0 sólidos (rocas sin porosidad)
APLICACIONES IP - Biot (β) Esfuerzo Efectivo FH Presión ruptura Arenamiento Cte poroelasticiad
´ P
1 2 v 3 h H T o P p 1 v P r 1 2 v 1 1 v t 3 3 1
3 P w 1 A A P o
3 t3
1 2v A 1 v
t1
1
MODULOS ELÁSTICOS DE ROCAS DINAMICOS
MÓDULOS ELÁSTICOS DINÁMICOS • Determinadas a partir de mediciones de
velocidades de ondas elásticas • Estas velocidades pueden ser determinadas en el laboratorio, mediante pruebas de resonancia y de pulso ultrasónico • También pueden ser determinadas en campo, usando el método de propagación de ondas
sísmicas.
ONDAS ELÁSTICAS Ondas de superficie
Solo pueden viajar a lo largo de la superficie de la roca
Ondas de cuerpo
Viajan a través del interior del cuerpo de la roca
• Ondas P
onda S
d u t i l p m a
onda P
• Ondas S tiempo
ONDAS P
http://www.funvisis.gob.ve/images/glosario/ondas_p.jpg
Conocidas ondas primarias, longitudinales o
de compresión
Las partículas se mueven paralelamente a la dirección de la propagación de la onda Pueden propagarse en sólidos, líquidos y gases y Tienen valores de velocidades más altas que las ondas S
ONDAS S
http://www.funvisis.gob.ve/images/glosario/ondas_s.jpg
Conocidas ondas secundarias, de cizalla o
Las
transversales
partículas
se mueven perpendicularmente a la dirección de la propagación de la onda Solo se propagan en sólidos (líquidos y gases no presentan esfuerzos de corte)
Ecuaciones de velocidad de ondas elásticas 1
• Ondas P
• Ondas S
V p
E ( 1 v) ( 1 v) ( 1 2 v) 1
V s
2
2
E G 2 ( 1 v)
1
2
Donde: Vp es la velocidad de las ondas compresionales en m/s o in/s Vs es la velocidad de las ondas de cizalla E es el módulo dinámico de elasticidad, en Pa o lbf/in2 G es el módulo dinámico de rigidez en Pa o lbf/in2 es la relación de Poisson es la densidad en kg/m3
Módulos elásticos y velocidades de onda velocidades de ondas P y S
Módulo Módulo de Young (E) Relación de Poisson ( ) Módulo de Rigidez (G) Módulo volumétrico (K) Constante de Lamé ( )
Ecuación Vs E
2 3Vp 2
4 Vs 2
Vp2 Vs2
v
2
2 Vs
2
Vp
2 Vp
K Vp
2
Vp
2
2
Vs
G Vs
2
2
4
V s 3
2
2 Vs2
Valores típicos algunas rocas Tipo de roca Arcilla Arenisca Caliza Dolomita Anhidrita Basalto Granito
Vp (m/s)
Vs (m/s)
(g/cm3)
500 – 2800
110 – 1500
1.25 – 2.32
1800 – 4300
672 – 1023
2.22 – 2.69
2000 – 6250
1800 – 3800
1.75 – 2.88
2000 – 6250
2900 – 3740
1.75 – 2.88
4500 – 6500
750 – 3600
2.15 – 2.44
5400 – 6400
2700 – 3200
2.44 – 3.00
4600 – 6000
2800 – 3200
2.56 – 2.75
Tomado de Barton (2007, 12) y Shuck (2007,346)
Rangos amplios por variaciones de porosidad, composición
mineralógica, textura, anisotropía, densidad, contenido de agua, temperatura.
Constantes elásticas estáticas y dinámicas Tipo de EEstático EDinámico roca Limolita Cuarzodiorita Caliza Granito
Estático
Dinámico
1.9 3.1
3.9 4.4
0.05 0.05
0.08 0.19
9.7 0.8
10.3 2.2
0.25 0.04
0.28 0.10
(Tomado de Lama y Vutukuri, 1974. 233p)
Una de las principales ventajas de obtener los módulos elásticos de manera dinámica es que las muestras de roca no se destruyen, como ocurre en las mediciones estáticas
MODELO LINEAL ELÁSTICO
MODELO LINEAL ELASTICO • Literatura diversos modelos esfuerzo – deformación)
constitutivos
(relaciones
• Ejemplo: elasto-plásticos; visco-elásticos; elasto-viscoplásticos; y otros. • El más comúnmente utilizado es el modelo lineal elástico, ya que requiere menor número de parámetros, con relación a otros modelos más complicados. • Este modelo es la base para evaluar el potencial de inestabilidad mecánica en un pozo.
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Procedimiento general para resolver un problema desde la aplicación de las fuerzas hasta el desplazamiento
Fuerzas
Relaciones deformación desplazamiento
Desplazamiento
Condiciones límite y Condiciones de equilibrio
Deformaciones
Esfuerzos
Relaciones esfuerzo – deformación y Condiciones de compatibilidad
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Todos los puntos en todas las direcciones, dentro de un cuerpo isotrópico elástico, involucra 15 incógnitas Seis
componentes de esfuerzo: x, y, z, xy, yz y zx
Seis
componentes de deformación: x, y, z, xy, xy y xy
Y, tres componentes de desplazamiento: u, v, w
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA SOLUCIÓN: • Condiciones límite establecidas en las superficies exteriores • Condiciones de equilibrio • Relaciones esfuerzo – deformación • Condiciones de compatibilidad • Relaciones deformación – desplazamiento.
REQUERIMEINTOS DE LA TEORÍA DE ELÁSTICIDAD F
a) Condiciones límite
A
L’
L
F
b) Condiciones de equilibrio
F A
F
c) Relaciones esfuerzo – deformación
0
E
d) Condiciones de compatibilidad
Deformaciones continuas y finitas
Ecuaciones en términos de esfuerzos, expresar en términos de deformaciones
e) Relaciones deformación – desplazamiento.
L L' L L L
ROCAS Metales frágiles (Ley Hooke)
Comportamiento mas Plástico, no lineal (Modelos Combinados)
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Generalmente las rocas tienen propiedades anisotrópicas y se comportan de manera elástica no-lineal, con dependencia del tiempo creep y deformación elastoplástica.
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Relaciones constitutivas para rocas 3D Material homogéneo, isotrópico y lineal elástico Ley de Hooke
(cizalla)
(normal) x
y
z
1
v x z
E
1 E 1 E
x
y
v y
z
z v x y
xy
xz
yz
1 G 1 G
1 G
xy
xz
yz
G
E
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Esfuerzos en función de deformaciones: x
y
E (1 v) x v y ( 1 ) ( 1 2 ) v v
v z
E v x (1 2v) y v z v v ( 1 ) ( 1 2 )
E z (1 v) (1 2v)
v
x
v y (1 v) z
xy
G xy
yz
zx
G
G
yz
zx
PROBLEMA DE LA TEORÍA ELÁSTICA Términos matriciales: x E y (1 v) (1 2v) z
xy yz zx
1 v v v
G
v
1 v v
xy yz zx
v 1 v v
x y z
ESFUERZOS ALREDEDOR DE UN POZO Ecuaciones Fundamentales
ESTADO DE ESFUERZOS ALREDEDOR DE UN POZO v
h
+ + + + + + + + + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
H
(Modificado de McLean y Addis, 1990,15)
– Ecuaciones de equilibrio (esfuerzos) – Ecuaciones de compatibilidad (deformaciones) – Relaciones constitutivas (relaciones esfuerzo – deformación) – Condiciones límite
Esfuerzos alrededor de un pozo
http://geologyanddrillingproblems.wikispaces.com/file/view/DE POSITACION.jpg/339666312/395x664/DEPOSITACION.jpg
r
Pw
(Modificado de Osorio, 2009)
Esfuerzos alrededor de un pozo zz z P (x,y,z) (r,,z) z
z
Coordenadas cilíndricas
rz
r
rz
y
r
r
x
rr
z
(Tomado de Brady y Brown, 1985, 38)
a
r
z
pp z
x
r
y
ECUACIONES DE EQUILIBRIO Esfuerzos alrededor de un pozo
EQ - Coordenadas cilíndricas r r r r
1 r r
1 r
rz z z z
r
2 r
r
r
R
0
Posición de esfuerzos alrededor en un pozo a
r
0 z
pp
rz r
1 z r
z
z z
rz r
Z
x
0
r , z, , rz, r y z; esfuerzos en coordenadas cilí ndricas;
r
y
(Modificado de Aadnoy y Looyeh, 2011, 155)
R, , Z representan los componente de la fuerza, en las direcciones r, y z.
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Esfuerzos alrededor de un pozo
EQ - Coordenadas cilíndricas 2
(r r ) r
2
r
(r )
r z 2
z z
2
(r ) z
2
r, , z representan las direcciones r, y z.
r
2
2
rz
2
r
2
2 1 z z
r
r
2
r r
2
2
r r z
r r
2
z z 2
r
z z z
z r z
RELACIONES CONSTITUTIVAS Esfuerzos alrededor de un pozo
EQ - Coordenadas cilíndricas
r
1 E
r v z
r
v r z
z
zr
1 E 1
z z v r E
1 G
1 G
1 G
r
z
zr
CONDICIONES LIMITE Esfuerzos alrededor de un pozo
Las ecuaciones anteriores deben ser resueltas usando las condiciones de frontera apropiadas
r = Pw r = a
en en
r = a r =
MODULOS ELÁSTICOS DE ROCAS • Estáticos • Dinámicos
EJEMPLO
