´ MATEMATICA
Materia Ejercicios y Problemas
Luis H. Arancibia Morales
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´ MATEMATICA Materia Ejercicios y Problemas
Luis H. Arancibia Morales Registrado Registrad o como propiedad pro piedad intelectual intelec tual el d´ıa ıa 19 de Abril de 2010 bajo el n´umero umero 190510
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Agradecimientos A mis padres Luis y Lucila, quienes con mucho esfuerzo hicieron posible que pudiera tener el privilegio de una carrera universitaria. A mi amada esposa Belinda Belinda por su comprensi´on on y aliento constantes. A mis hijos Brisy y Rafael de quienes obtuve mucho de lo que los j´ovenes ovenes necesitan para tener motivos de estudiar. A todos mis alumnos y colegas, de quienes aprovech´e todas y cada una de sus interrogantes para idear una respuesta respuesta plausible plausible y a los futuros futuros estudiantes estudiantes que aporta aportar´ r´an an para que este este trabajo, trabajo, con su estudio, genere nuevas interrogantes para poder agregar o suprimir cap´ıtulos. ıtulos.
Luis Humberto Arancibia Morales Profesor Profesor de Estado Estado en Matem´atica atica T´ıtulo ıtulo conferido co nferido por la Universidad U niversidad de d e Chile Docente en: Instituto Nacional Colegio San Ignacio Universidad de Santiago
´ Indice general Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 1. Aritm´ Aritm´etica etica 1. Sistem Sistemas as Antigu Antiguos os 2. Operac Operacion iones es Aritm´ Aritm´eticas eticas 3. Proble Problemas mas de plante planteo o 4. Numeros u´ meros y Algoritmos en IN 4.1. Aprend Aprendien iendo do a Contar Contar 5. Sist Sistem emas as de nume numera raci´ ci´on on para IN 6. Ejercicios y problemas 7. Algo Algori ritm tmos os
9 9 12 17 21 22 25 29 30
Cap´ıtulo ıtulo 2. Los Enteros 1. La defin definic ici´ i´on on de los Enteros Enteros 2. Repres Represent entaci acione oness Gr´aficas aficas 3. ejer ejerci cici cios os 4. Ejercicios y Problemas verbalizados 5. Biog Biogra rafia fia
39 39 41 47 48 49
Cap´ıtulo ıtulo 3. Fracciones de Enteros 1. Prob Proble lema mass
51 56
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 4. N´umeros umeros Racionales 0.1. 0.1. Biog Biogra rafia fia
59 75
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 5. Los Reales Reales 1. I: N umeros u´ meros irracionales 2. Intr Introd oduc ucci´ ci´on a IR 3. Antece Antecedent dentes es Hist´ Hist´oricos oricos 3.1. Constr Construcc uccion iones es 4. Ejerci Ejercicio cioss y Proble Problemas mas
77 77 81 83 87 92
Cap´ıtulo ıtulo 6. Razones y Proporciones 1. Definic Definicion iones es y ejempl ejemplos os 2. Ejer Ejerci cici cios os
95 95 101
Cap´ Cap ´ıtul ıt ulo o 7. 7 . IR como campo ´ 1. Algebra en IR 1.1. Productos Productos y cocientes cocientes algebraicos algebraicos 2. Fracci Fracciones ones Algebr Algebraic aicas as 3. Potencias Potencias de base base real y exponent exponentee Entero Entero 4. Ecua Ecuaci cion ones es
113 113 114 132 136 152
Cap´ Cap ´ıtul ıt ulo o 8. 8 . IR como Campo Ordenado 1. Orde Orden n en IR
165 165
5
´ Indice general
6
2. 3. 4. 5.
Desigualdad Desigualdades es e Inecuacione Inecuacioness Valor Absoluto Absoluto y Distancia Distancia en IR Sistem Sistemas as de Primer Primer grado grado Prob Proble lema mass
167 171 172 183
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 9. Logica o´ gica y Conjuntos 1. biog biogra rafia fiass 2. Ejer Ejerci cici cios os de L´ogica ogica
187 193 199
Cap´ıtulo ıtulo 10. Relaciones y Funciones 1. Prel Prelim imin inar ares es 2. Rela Relaci cione oness 3. Func Funcio ione ness 4. Funcio Funciones nes Partic Particula ulares res 4.1. 4.1. Func Funci´ i´on on Lineal y Lineal L ineal Af´ın ın 5. Func unci´on Cuadr´atica atica y Ecuaci´on on de segundo grado 6. Raices Raices Cuadra Cuadradas das y nada nada m´as as 7. Expone Exponenci ncial al y Logari Logaritmo tmoss 7.1. 7.1. Expon Exponen enci cial al 7.2. 7.2. Loga Logari ritm tmos os 8. Ecuaci Ecuaciones ones logarit logaritmic micas as
203 203 206 216 221 221 228 242 247 247 251 254
Cap´ıtulo ıtulo 11. Geometr´ıa ıa 1. Noci Nocion ones es B´asicas asicas 2. Construcci Construcciones ones elementales elementales 2.1. 2.1. Las herram herramien ientas tas 3. El teor teorem emaa de Pit´ Pit´agoras agoras 4. Isometr´ıas ıas 4.1. 4.1. Trasl raslac aci´ i´on on Paralela 4.2. Simetr´ıa ıa Axial 4.3. Simetr´ıa ıa Central o Simetr´ıa ıa Puntual Puntua l 4.4. Gu´ıa ıa de Transformaciones Transformaciones Isom´etricas etricas
259 259 265 265 280 289 290 291 293 297
Cap´ıtulo ıtulo 12. Lineas Proporcionales 1. Mas a´ s de Geometr´ Geomet r´ıa ıa de Proporciones Proporci ones 2. ejer ejerci cici cio o
301 310 315
Cap´ıtulo ıtulo 13. Trigonometr´ Trigonome tr´ıa ıa 0.1. 0.1. Razones Razones en suma sumass y ponde ponderac racion iones es de de angulos a´ngulos 0.2. 0.2. Sele Selecc cci´ i´on on de Problemas 1. test trigonometr´ıa ıa
321 329 331 336
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 14. Numeros u´ meros Complejos 0.1. 0.1. Mate Materi riaa 0.2. 0.2. Ejer Ejerci cici cios os 0.3. 0.3. Ejerci Ejercicio cioss y Proble Problemas mas
343 343 348 352
Cap´ıtulo ıtulo 15. Sucesiones y Series 1. suces ucesi´ i´on on aritm´etica etica 2. Suces ucesi´ i´on on Geom´etrica etrica
357 360 362
Cap´ıtulo ıtulo 16.
371
Teor´ Teor´ıa ıa Coordinatoria Coordin atoria
I´ndice general
1. 2.
Contan Contando do de modo modo adecua adecuado do Binom Binomio io Newt Newton on
7
371 385
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 17.
Probabilida Probabilidad d y Combinatori Combinatoriaa
387
Cap´ıtulo ıtulo 18.
Estad´ıstica ıstica
401
Cap´ıtulo ıtulo 19.
Construcciones geom´ geometricas e´tricas
421
Cap´ Cap´ıtulo ıtulo 20. M´as as de Geometr´ıa ıa de Proporciones Proporc iones 1. loga logari ritm tmos os 2. Combinatori Combinatoriaa y Probabilida Probabilidades des 3. Sistemas Sistemas y Proble Problemas mas de Primer Primer Grado
433 439 440 442
Cap´ıtulo ıtu lo 21. Geomet Geo metr´ r´ıa ıa anal´ ana l´ıtica ıtic a 1. Sus or´ or´ıgenes ıgenes
447 447
Ap´endi e ndice ce A. Anex Anexos os 1. No est´a todo dicho 1.1. 1.1. biogr biografi afiaa
455 455 456
Ap´endi e ndice ce B. T´opicos opicos Avanzados 1. Indu Inducc ccci´ ci´on Matem´atica atica
457 457
Ap´endice endice C. Ejercicios Ejercicios y Proble Problemas mas en General General 1. Test miscel miscelane aneo o 2. Problemas Problemas comunes de Desarrollo Desarrollo 3. Problemas de desaf´ desaf´ıo, ıo, para desarrollar
459 459 479 487
Ap´endice. endice.
489
Bibliograf´ıa ıa
8
´ Indice general
Introducci´ Introduccion o´ n
El objetivo objetivo principal de este trabajo es poner en manos de estudiantes estudiantes de Ensenanza ˜ Media y sus profesores recursos muy escasos en cuanto a cantidad y calidad de problemas. Se hace entrega tambi´en en de una buena cantidad de elementos te´oricos, se entregan indicaciones para desarrollar demostraciones y verificar que los resultados obtenidos so los correctos, por el momento no he pensado en confeccionar un solucionario. Este libro no es un texto de estudio, va mucho m´as as all´a y pretende ser mucho m´as as que un libro de consultas. Est´a matizado con antecedente antecedentess hist´ historicos, ´ curiosidades, curiosi dades, mini biograf´ biogra f´ıas, ıas, juegos y desf´ıos. ıos. La sugerencia sugerencia es que los estudiantes estudiantes de Septimo ´ u Octavo Octavo Basico a´ sico no trabajen trabajen solos ´ con este libro, que sean apoyados por alg´un un adulto o estudiante de curso superior, Tercer o Cuarto A˜no no Medio. Cada tema tratado es enfocado de modo que pueda ser complementado con todos los dem´ demas, ´ la matem´atica atica es una sola, sus separaciones son por lo general de caracter did´actico. actico. El primer cap´ıtulo ıtulo se refiere a la aritm´etica, etica, la justificaci´on on de la operatoria, los sistemas de numeraci´on, on, la construcci construccion o´ n de los algoritmos comunes, aquellos que nos hemos visto obligados a digerir sin cuestionamiento alguno. Se termina el cap´ıtulo ıtulo con la construccion ´ de algortimos algortimos m´as as sofisticados, y que adem´as as se ocupan o se ocuparon en otras latitudes o que nos permiten desarrollar de modo m´as as mec´anico anico algunos c´alculos alculos que sin ellos nos resultarian muy tediosos. En todo este capitulo a´ pitulo se trabaja trabaja el conjunto de los n umeros ´ naturales.
Cap´ıtulo ıtu lo 1
Aritm´ Aritmetica e´ tica 1.
A
1
Sistemas Sistemas Antigu Antiguos os
Algunas formas antiguas de registrar los n´umeros umeros
Aqu´ı hay algunos modos antiguos de registrar los primero diez numeros, ´ al parecer la m´as as compleja de todas es la forma romana
9
´ 1. ARITMETICA
10
El primer primer uso de los numeros u´ meros fue fue para para contar contar,, se supone supone que se se comenz´ comenz´ o agrupando, algunos de modos bastante complejos, como los romanos. Otros se hicieron muy pocos problemas, por ejemplo en una tribu africana solo existen 1, existen 1, 2, 3 y muchos muchos,, cualquier cantidad que supere a tres es muchos. Los sistemas que nos interesan se denominan sistemas de valor posicional y usaremos los s´ımbolos ımbolos usuales, es decir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 y sin perjuicio de usar otros s´ımbolos ımbolos seg un u´ n se necesite Se dice que en los sistemas primitivos no exist´ıa ıa el 0 (cero), sin embargo nuestro sistema Maya si lo consider´o y adem´as as contaba con 20 s´ımbolos. ımbolos. Mas a´s adelante podremos trabajar este sistema, veremos la econom´ıa ıa para representar grandes cantidades. La idea central es agrupar en conjuntos de cantidades iguales. Estamos usando t´erminos erminos matem´aticos aticos en lenguaje vern´aculo, aculo, es decir, fuera de su significado. Nos resulta muy d´ıficil ıficil abstraernos de nuestro lenguaje castellano o mejor dicho espa˜nol. nol. Actividad aritm´etica etica en el Antiguo Egipto Presumiblemente para contabilizar impuestos y tributos.
Si la base b ase es 2, entonces los s´ımbolos ımbolos son 0 y 1 y se agrupan de dos en dos. Consideremos los siguientes ejemplos en base 2 o binario:
A
A
A
♠
♠ #A = 0 A
♠
#A = 1 A
♠
♠ #A = 11
#A = 10
A
♠ ♠ ♠ ♠
#A = 100
A
A
♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠
♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠
#A = 110
♠
♠ ♠ ♠ ♠ ♠
#A = 101
A
#A = 111
♠♠♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠
#A = 1000
1. SISTEMAS ANTIGUOS
11
Otro sistema de conteo, usado hasta hace muy poco tiempo en algunas tribus africanas.
Determine el cardinal de los siguientes conjuntos, en la base pedida:(es decir agrupando de acuerdo a la base, si la base es 5, 5 , los s´ımbolos ımbolos son 0, 1, 2 , 3 y 4; y los primeros p rimeros n´ numeros u´ meros son 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, etc.)
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣♣♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣
♣♣ ♣♣ ♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣♣♣♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣♣ ♣♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣
♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣ ♣ ♣♣♣ ♣♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣
base (2) base (2)
base (5) base (5)
base (3) base (3)
base (7) base (7)
Trate Trate de generar algun ´ m´etodo, etodo, de modo que pueda contar todos y cada uno de los elementos una y s´olo olo una vez. Use cualquier recurso. Los sic´ologos ologos indican que la mayor cantidad de elementos del que se puede dar su n´umero sin contar es 8, y todos los ejercicios ejercicios tienen tienen m as a´ s de ese ese numero u´ mero
´ 1. ARITMETICA
12
2.
A
2
Operac Operacione ioness Aritm Aritmeticas e´ ticas
Por el momento consideraremos s´olo olo dos, la adici´on on y la multiplicaci´ multiplicaci´on. on. El ambiente
ser´a tambien en IN , es decir, el conjunto de los n´umeros umeros naturales.
La adici´on on es una operaci´on binaria on binaria (se (se define para dos t´erminos erminos o sumandos) y que intuitivamente consiste en agregar a una cuenta ya hecha (un sumando) otra cuenta (el segundo sumando). C´omo omo ejemplo usaremos algunos de los conjuntos de la base (2)
A A
B
♠♠♠ ♠♠♠♠ ♠♠♠
♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠
#A = 110
#B = 1010
∪B
♠ ♠ ♠ ♠ ♠♠♠ ♠♠ ♠ ♠♠ ♠♠ ♠ ♠ #(A #(A ∪ B ) = ?
= 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, IN =
{
···}
Los puntos suspensivos indican, por el momento, que el proceso no ha terminado. Por la forma de los n´umeros, umeros, se trata del sistema binario, exclusivamente hay ceros y unos. La cuenta hecha en A es n = n = 110 y la hecha en B es m = m = 1010, para tener n + m, basta con considerar la uni´on on de A y B (importante las espadas espadas tanto en A , como en B son todas distintas y tambi´en en las de A distintas a las de B , esto se indica pues en un conjunto los elementos se cuentan una unica u´ nica vez, aqu´ aq u´ı una espada es distinta a otra por estar en otro lugar del dibujo o figura). figura ). Registremo Registremoss los numeros u´ meros en una fila 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010,
···
En rojo representamos n y en azul m Consideremos ahora que a apartir de n contamos m 0, 1, 10, 11, 100, 101,
110, 0,
111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010,
···
Y nos resulta que n + m = m = 110 + 1010 = 10000 que puede ser ordenado tambi´en en as´ as´ı: ı:
110 + 10 10 = 10000 000
···
´ TICAS 2. OPERACIONES ARITME
13
Desarrollar una adici´on on contando, es muy f´acil, acil, sin embargo con n´umeros umeros grandes se transforma en un proceso interminable y m´as a s a´un un si tuviesemos que considerar varios sumandos, lo que es muy com´un. un. Queda como desaf´ıo ıo el generar un algoritmo de adici ad ici´ on ´ o suma, es decir construir las reglas, similares a las que ya conoces en el sistema decimal, pero en general, es decir, independiente de la base del sistema de numeraci´on. on. Antes de continuar haga el siguiente siguiente ejercicio: ejercicio: con los numeros ´ anteriores n y m considere + n , como ya lo sospecha, las sumas deben ser iguales, pero la operaci´on on es distinta a la m + n anterior. Explique en sus palabras esta diferencia. La multiplicac multiplicaciion, ´ al igual que la adici adicion ´ es una operaci´on on binaria e intuitiv intuitivamente amente significa significa reproducir reproducir una cantidad un cierto numero ´ de veces y despu´es es contar el resultante total. Vamos a usar nuevamente la base binaria y los n´umeros umeros ser´an an n = 101 y m = m = 11, Se pide
n
×m
∗∗∗ ∗ ∗
∗∗∗ ∗ ∗
101
∗∗∗ ∗ ∗
101
101
∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (n
× m) = (101 × 11) = 1111
Observe ahora lo que ocurre al considerar m
×n
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ 11
11
∗∗∗ ∗∗∗ 11
11
∗∗∗ 11
(m
× n) = (11 × 101) = 1111
Nuevamente los resultados son iguales, sin que como operaciones sean iguales. Esta propiedad de las operaciones se llama Conmutatividad llama Conmutatividad
Como para la adici´on, on, se pide generar o construir un algoritmo (f´ormula ormula operativa, como en computaci´on).
Despu´es es de la serie de ejercicios y problemas hay una unidad sobre algoritmos en general.
´ 1. ARITMETICA
14
Pitagoras de Samos es considerado como uno de los sabios de Greci Grecia, a, para la mayor mayor´´ıa ıa de nosotros es conocido por su teorema referente a los tri´angulos angulos rect´angulos. angulos. La terna 3, 4 y 5 era conocida por los egipcios, sin embargo como caso particular. La gracia de Pit´agoras agoras es haber demostrado que cada vez que se tiene un tri´angulo angulo rect´angulo, angulo, la relaci´on on es verdadera. Su enunciado es como sigue: Si a y b son los catetos, entonces la suma de las areas de los ´ cuadrados constru´ constru´ ıdos con esas medidas por lado es igual al area del cuadrad cuadrado o constru constru´ ıdo ´ ´ con la medida de la hipotenusa por lado . El
enunciado no es algebraico, pues los griegos fueron en ese tiempo ge´ometras. ometras. Pitagoras explicando a uno un o de d e sus disc´ıpulos. ıpulos. Desarrolle las siguientes operaciones en la base indicada
23432433103001 base(6)
4534215543
+322444243301
base(6)
44555234500245
43255342014 base(6)
+25554442254
+3445542301
base(6)
+25435401542
−25435401542
base(6) 33455043
base(5) 43404043
4455523450
base(6)
× 2543
base(6) 43405043 : 1543
× 1432
+5443332402 +43255300234
43255342014 base(6)
+2354235514
−334554452
base(6) 4452350
× 34542
base(6) 40513540 : 345
base(5) 40413440 : 342
´ TICAS 2. OPERACIONES ARITME
15
La repr represent esentaci´ aci´on on muestra a la Aritm´etica etica como la musa inspiradora inspiradora de dos j´ jovenes ´ estuEn las tres representaciones se usa el dios di osos os,, uno ha hace ce c´alculo alculoss con el el abaco a´ baco y el otro aabaco, ´ baco , algo al go as´ı como ´ las modernas calculadoregistra regi stra lo obtenido, obtenido, la imagen es una litogr litograf´ af´ıa ıa ras, con sus reglas, capacidad y limitaciones de la edad media dadas. Ejercicios en Base 9 Nueve 1. Considere la base de
numeracion o´ n (Nueve)
u´ meros naturales (Agr´upelos upelos en Novenas). a) Anote los primeros 50(9) n umeros on y la tabla de multiplicaci´on on b) Construya la tabla de adici´on +
1
2
3
4
5
6
7
8
×
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
1
2
3
4
5
6
7
8
´ 1. ARITMETICA
16
c) Desarrolle la operatoria pedida:
4657821 + 43 4367 6786 865 5
−
4657821 4327811
245
35787821 833241 738470821 4568742 + 56887867 57135713 + 5555444
−
135821 84708
−
× 26
6524475
÷6
6524371
23368
103001 87642
333222444 88877788 777888666 12345678 + 87654321
−
10101123 8887788
× 23 236 6
6478 64 7842 42
× 3578
÷ 36
5647842
÷ 4508
