Materia: MATEMATICAS BASICAS Carrera: ___________________________________________ Grupo: ____________________________________________
Profesor: LAE. JESUS ALBERTO SANCHEZ VALTIERRA
“APUNTES DE MATEMATICAS BASICAS” ABRIL DEL 2010
IRAPUATO, GTO.
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INDICE TEMA
PAG.
MATEMATICAS BASICAS Y SUS HERRAMIENTAS……………………………………………………………………… 5 REGLAS DE LOS SIGNOS………………………………………………………………………………………………………. 6 CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS …………………………………………………………………………………. 6 NUMEROS REALES ……………………………………………………………………………………………………………… 8 NUMEROS RACIONALES………………………………………………………………………………………………………. 8 NUMEROS IRRACIONALES …………………………………………………………………………………………………… 8 NUMEROS ENTEROS …………………………………………………………………………………………………………… 8 NUMEROS FRACCIONARIOS ……………………………………………………………………………………………….. 8 NUMEROS NATURALES ……………………………………………………………………………………………………… 9 FACTORIZACION ARITMETICA …………………………………………………………………………………………….. 9 MINIMO COMUN MULTIPLO (mcm) …………………………………………………………………………………… 9 MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD) ……………………………………………………………………………………… 10 LOS NUMEROS PRIMOS …………………………………………………………………………………………………….. 10 ¿ QUE ES LA CRIBA DE ERASTOSTENES? ……………………………………………………………………………….. 10 FRACCIONES …………………………………………………………………………………………………………………….. 12 PROPIEDADES DE LA FRACCIONES …………………………………………………………………………………….. 13 TERMINOS SEMEGANTES Y REDUCCION DE TERMINOS SEMEGANTES ……………………………………. 13 MONOMIO ……………………………………………………………………………………………………………………… 14 BINOMIO ………………………………………………………………………………………………………………………… 14 TRINOMIO……………………………………………………………………………………………………………………….. 14 POLINIMIO ……………………………………………………………………………………………………………………… 14 OPERACIONES CON POLINIMIOS ……………………………………………………………………………………….. 14 DIVISION CON POLINOMIOS …………………………………………………………………………………………….. 15 PRODUCTOS NOTABLES …………………………………………………………………………………………………… 15 BINOMIO AL CUADRADO ………………………………………………………………………………………………….. 15 BINOMIO CONJUGADO …………………………………………………………………………………………………….. 15 PRODUCTO DE LA FORMA (x + a ) (x – b) = x2 + (a+b) x + ab …………………………………………………… 16 BINOMIO AL CUBO …………………………………………………………………………………………………………… 16 TRINOMIO AL CUADRADO ...……………………………………………………………………………………………… 16 FACTORIZACION ALGEBRAICA ………………………………………………………………………………………….. 17 FACTOR COMUN …………………………………………………………………………………………………………….. 17 DIFERENCIA DE CUADRADOS …………………………………………………………………………………………….. 17 TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO ………………………………………………………………………………… 17 TRINOMIO DE LA FORMA X2 +bx + c = (x + d) (x + e) …………………………………………………………….. 18 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS ………………………………………………………………………………………… 18 CONJUNTO …………………………………………………………………………………………………………………….. 18 CONJUNTO VACIO ……………………………………………………………………………………………………………. 19 CONJUNTO UNIVERSAL …………………………………………………………………………………………………….. 20
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CONJUNTO DISCONJUNTO O AJENOS ………………………………………………………………………………… 20 SUBCONJUNTO ………………………………………………………………………………………………………………… 21 COMPLEMENTO DE CONJUNTO ………………………………………………………………………………………… 21 SUBCONJUNTO PROPIO…………………………………………………………………………………………………… 22 OPERACIONES CON CONJUNTOS ………………………………………………………………………………………. 22 INTERSECCION ………………………………………………………………………………………………………………… 22 UNION …………………………………………………………………………………………………………………………….. 23 DIAGRAMA DE VENN EULER ……………………………………………………… 24
FUNCIONES Y RELACIONES ……………………………………………………………………25 ………………………… GRAFICAS DE FUNCIONES ……………………………………………………………………… 27 ……………………….. PARABOLA CUBICA ………………………………………………………………………………… 28 ……………………….. ECUACIONES LINEALES …………………………………………………………………………… 31……………………….. ECUACIONES LINEALES CON 2 INCOGNITAS…………………………………………… 32 ……………………….. GRAFICAS DE ECUACIONES LINEALES ……………………………………………………33 ………………………… DETERMINACION DE LA ECIACION DE UNA LINEA RECTA ……………………… 35 ……………………….. APLICACIONES A MODELOS LINEALES …………………………………………………… 36 ……………………….. ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO …………………………………………………… 37 ………………………… MATRICES ……………………………………………………………………………………………… 38 ………………………… OPERACIÓN COM MATRICES ………………………………………………………………… 39 ………………………… MATRIZTRANSPUESTA…………………………………………………………………………… 39 ……………………….. MULTIPLICACION DE UNA MATRIZPOR UNA ESCALAR …………………………40 ………………………… SUMA Y RESTA DE MATRICES ………………………………………………………………… 40 ………………………… MULTIPLICACION DE MATRICES …………………………………………………………… 41 ………………………….
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INTRODUCCION En el presente trabajo se puede observar las definiciones de las principales operaciones, formulas, signos, símbolos y reglas de las operaciones algebraicas que se usan en matemáticas básicas así como algunos ejemplos. Espero que te sean de utilidad.
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Aritmética
Formulas Matemáticas
Es la representación por medio de letras de una regla o principio general. Ejemplo: A= b x h
Básicas
Números: representan cantidades conocidas y determinadas. Símbolos
Letras: representan cantidades se expresan generalmente con las primeras letras del alfabeto. A, b, c, d... y las ultimas: x. y, z.
Algebra
Signos de operación: +, -, x, /, potencias y Signos
Signos de relación: =, >, <. Signos de agrupación: ( ), , ,
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Matemáticas Básicas
Reglas de los signos
Multiplicación
División Sumas
(+) (+) = + (+) (-) = -
(+) / (+) = + (+) / (-) = -
(-) (+) = -
Signos iguales se suman Algebraicamente y se anota El signo.
(-) /(+) = -
(-) (-) = +
Restas
(-) / (-) = +
Signos contrarios Se restan Algebraicamente Y se anota el signo mayor.
Ejemplos: (-5) (-3) = 15 (5+4-2)-6(3-4+1)+8(2-3-5) = (+7)-6(0)+8(-6) = 7-0-48 = 41 (9+3-2)-6(3+8-7)+3(2+1-1) = (10)-6(1)+3(-2) = 10-24-6 = -20 CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS NORTE (+)
(-)
(+)
SUR
ESTE
(-) 6
OESTE Ejemplos: Un hombre cobra $ 130 paga una deuda de $80 y luego hace compras por $95. +130-80-95 = -45
A las 6:00 am el termómetro marca -4°C, alas 9:00 am la temperatura ha subido 7°C y desde esta hora hasta las 5:00 pm ha bajado 11°C. Expresar la temperatura a las 5:00 pm. (-8 °c)
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
El día 5 de mayo la situación de un viajero es de 18° de longitud este y 65° de latitud norte, del día 5 al día 31 ha recorrido 3° hacia el este y se ha acercado 4° al ecuador. Expresar donde se encuentra el día N 70 60 50 40 30 20 10 O
latitud norte: +61 longitud sur: +21
5 10 15 20 25
E
7
S
Números reales El tipo de número que normalmente usamos, como 1, 15.82, -0.1, 3/4, etc. Positivos o negativos, grandes o pequeños, enteros o decimales, todos son números reales. Se los llama "Números Reales" porque no son números imaginarios. Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Números racionales Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Números irracionales Son los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas se les llama números irracionales. Números enteros Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros. Números fraccionarios Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un número por otro. Suele escribirse en la forma1/2 o 1/2. En una fracción tal como a/b el número a que es dividido se llama numerador y el número b que divide, divisor o denominador. Cuando una fracción se escribe en la forma ½ el numerador queda arriba y el denominador abajo.
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Números naturales Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto (el cero es el número de elementos del conjunto vacío). Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos. Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero (0) como un número natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.
FACTORIZACION ARITMETICA Consiste en descomponer un número en un producto de números primos. Ejemplos: 156 2 78 2 39 2 13 13 1 156=22 (3) (13)
218 2 109 109 1
218=2(109)
568 284 142 71 1
2 2 2 71
568=23 (71)
MINIMO COMUN MULTIPLO (mcm) El mcm de 2 o más números es el número menor que es múltiplo de todos ellos.
MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD) El MCD de 2 o más números naturales es el numero mayor q divide en forma entera a todos ellos. Ejemplos: Encontrar el mcm y el MCD de: A) 16 24 40 2 16 2 24 2 40 2 MCD= 23 = 8 8 12 20 2 8 2 12 2 20 2 4 6 10 2 mcm= 249 4 2 6 2 10 2 2 3 5 2 2 2 3 3 5 5 1 3 5 3 1 1 1 1 1 5 5 ____ 9
16 = 24
249 B) 16 8 4 2 1 1 1 1
50 48 2 16 2 25 24 2 8 2 25 12 2 mcm = 1,200 4 2 25 6 2 2 2 25 3 3 1 25 1 5 5 1 5 1 1 1,200 16 = 22
24= 23 40= 23 (5) 50 2 25 5 5 5 1
48 24 12 6 3 1
50 = 2 (52)
2 2 2 2 3
MCD = 2
48= 24 (3)
LOS NUMEROS PRIMOS Un número primo es un número natural, es entero positivo, distinto de 0 y 1 y únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por tanto, para todos los otros números por los que intentemos dividir el número primo no dará solución exacta)
Ejemplos: Divisores
de
3=
{1,
3}
=>
es
primo
Divisores de (9)={1, 3, 9} => no es primo, por que es divisible por 3 además de 1 y 9.
¿Qué es la criba de Eratóstenes? Es una tabla denominada también "Tabla de los números absolutos" y nos permite obtener los primeros números primos. Eratóstenes estableció un método para obtener los números primos, hasta un cierto límite. La regla es la siguiente.
10
Identificar los números primos. A: Entre el 1 y el 100 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. múltiplos de 2
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2multiplos de 3
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3multiplos de 5
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
4. múltiplos de 7
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
5. múltiplos de 11
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
6. múltiplos de 13
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
7. múltiplos de 17
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
8. múltiplos de 19
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
B: Entre el 250 y 325 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259
1. múltiplos de 2
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269
2multiplos de 3
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279
3multiplos de 5
280 281 282 283 284 285 286 287 288 289
4. múltiplos de 7
290 291 292 293 294 295 296 297 298 299
5. múltiplos de 11
300 301 302 303 304 305 306 307 308 309
6. múltiplos de 13
310 311 312 313 314 315 316 317 318 319
7. múltiplos de 17
320 321 322 323 324 325
8. múltiplos de 19
251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313 y 317
FRACCIONES PROPIAS: El numerador es menor que el denominador. Ejemplo: ¾
11
FRACCIONES
IMPROPIAS: El numerador es mayor al denominador. Ejemplo: 7/5 = 1 2/5
PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES 1.) a c = a bc b 2.) a b
c d
= ac bd
3.) a / b = ad c/ d bc 4.) _a_ +, b
c_ = ad +,- bc d bd
Ejemplos: 1_ + 7_ + _4_ = 12 = 4 3 3 3 3 2_ + 3_ + _8_ = 13 = 2 3/5 5 5 5 5
TERMINOS SEMEJANTES 12
REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES Cuando en una expresión exista la suma o resta de 2 o más términos semejantes es necesario simplificarla reduciendo todos los términos semejantes a uno solo q resulta de sumar o restar los coeficientes de dichos términos sin alterar la parte literal. Ejemplos: -3x3y2 + 4x3y - 6x3y2 – 8x3y = 3x3y2 – 4 x3 y 8a +9a - 5bc + 3 - 2bc = 17a - 7 b c + 3
MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.
BINOMIO Un binomio es una expresión algebraica con dos términos. Estrictamente hablando se refiere a un polinomio formado por la suma de dos monomios, aunque se usa de forma más fácil para indicar cualquier expresión que consta de una suma o resta de dos términos.
TRINOMIO Un trinomio es un polinomio con tres términos: la suma de tres monomios. Ejemplo •
A+ B -C
POLINOMIO se denomina polinomio a una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes naturales. 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3 13
OPERACIONES CON POLINOMIOS I) 2 ( x4 -3x2 – 3 ) – 3 (-7x3 + 4 x 2 – 3x + 12) – (2x3 – 3x + 6 ) = II) (x2 – 3x y ) + 5 8 y 2 – 8 x y + 2 ) – 4 ( - 12x2 + 3 y2 – 4 x y ) – 2 (6x2 – 2 x y) = III) a2 + b2 - 2 ab X a – b__
DIVISION DE POLINOMIOS Regla
_Xm = Xm-n Xn
Ejemplos: 32x3yz6 = -4x2y-1z2 X3 + 2x2 - x X – 2x + 5 x5 + 12x2 – 5x -x5 + 2x4 – 5x3 2x4 - 5 x3 + 12x2 -5x -2x4 +4x3 -19x2____ -x3+2x2- 5x + x3 – 2x2 + 5x 0
-8xy2z6
2
PRODUCTOS NOTABLES BINOMIO AL CUADRADO
( a +,- b )2 = a2 +,- 2 ab + b2 Ejemplos (2x+3y)2 = ( 2x)2 +2 ( 2x) ( 3y) + (3y) 2 = 4x 2 + 4x +6y+ 9y2 14
(5a – 9b)2 = (5 a)2 – 2 (5 a) (9b)- (9b)2 = 25 a2 – 10 a – 18b2 (3x – 2y)2 = (3x)2 2 (3x)(2y) – (2y)2 = 9x2 - 6x - 4y - 4y4 BINOMIO CONJUGADO
(a + b) (a – b) = a2 – b2 Ejemplos (3x + 2y) ( 3x- 2y) = 3x2 – 2 y2 (4x + 3y) (4x – 3y)= 4x2 – 3y2 (12abx + 11y) (12abx – 11y) = (12 abx)2 – (11y)2 = 144 a2 b2 x2 – 121 y2 PRODUCTO DE LA FORMA (x + a ) (x – b) = x2 + (a+b) x + ab NOTA: Los terminos deben manejarse con su signo y el primer termino debe ser idéntico en cada binomio. Ejemplos (x - 6) (x - 2)= x2 -8x+ 12 ( a + 9) (a – 3) = a2 + 6 a – 27 (2x – 3) (2x + 11) = 4x2 + 8x – 33 BINOMIO AL CUBO (a + b)3 = a3 + 3 a2 b+ 3 ab2 + b3 Ejemplos (5a + 2b)3 = (5a)3 + 3(5a)2(2b) + 3(5a)(2b)2 + (2b)3 = 125a3 + 150a2b + 60ab2 + 8b3 ( 2x - y)3 = (2x)3 - 3(2x)2(y) + 3(2x)(y)2 - (y)3 = 8x3 - 12x2y + 6xy2 – y3 (2a+3b)3 = (2 a)2 + 3 (2 a)2 (3b) +3 (2 a)(3b)2 + (3b)3 = 8a3 + 36 a2b + 54 ab2 + 27b3 TRINOMIO AL CUADRADO 15
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplos (4a + 5n +3x) 2 = (4 a )2 + (5 n) 2 +( 3 x)2 + 2(4a)(5n) + 2 (4a) (3x) + 2 (5n) (3x) = 16b2 +25n2 + 9x2 +40 bn +24 bx +30nx (x + 2y - xy)2 = ( x )2 + (2 y) 2 +( xy )2 + 2(x)(2y) + 2 (x) (-xy) + 2 (2y) (-xy) = x2 +4y2 - x2y2 +4 xy -2 x2y -4xy2
FACTORIZACIÓN ALGEBRAICA FACTOR COMUN Expresarlo como un producto de expresiones algebraicas Ejemplos X3y2 + 2x6y3 -3x9 y4 = x3 y2 (1 + 2x3y) 11 a2 b3 c – 33ab2 c – 121 abc = 11abc (a2b – 3b – 11) 6x3 y 12 + 2x6 y3 – 12 x9y4 + 2x3 y3 = 2x3 y3 (3y 9 + x3 – 6 x6 y +1) DIFERENCIA DE CUADRADOS a2 – b2 = (a+b) (a-b) Ejemplos 1 – 36 x4y2 = (1 + 6x2 y2) (3ª2b6 – x2y4) 25x2y4 - 121 = (5xy2 – 11) (5xy2 +11) 9 a6 b12 – x4y8 = (3 a3 b6 + x2 y4 ) (3 a3 b6 – x2 y4)
TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO a2 + 2ab + b 2 = (a + b)2
nota: al multiplicar 2 por a por b tiene que dar el 16
[ 2(a)(b) =2ab]
monomio de en medio.
Ejemplos 16 a2 – 8 ab + b2 = (4 a – b)2 24 a2 n4 – 70 am3n2 + 49 m6 = (5an2 – 7m3)2 X2 – 2x +1 = (x – 1)2
TRINOMIO DE A FORMA
X2 +bx + c = (x + d) (x + e) Buscar 2 numeros d y e Que sumados den b Multiplicados den e Ejemplos X2 +10 x + 21 = (x + 7) (x + 3) X4 – 7x2 + 12 = (x2 – 4) (x2 -3) 92 + 5ª + 6 = ( a + 2) (a + 3) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS a 3 + b3 = (a + b) (a2 –ab + b2) a 3 - b3 = (a - b) (a2 +ab + b2) Ejemplos 8 a3 b3 – 216 m3 n9 = 1331 x3 y6 - 216 a6 b12 = 9261 a27 + 8 x12 y6 = CONJUNTO DEFINICION: 17
La palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos. En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos. La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c,..., x, y, z. Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo: El conjunto {a, b, c} también puede escribirse: { a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a } En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos. SIMBOLOGIA: el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,). { a, b, c, ..., x, y, z} El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo: A= {a, c, b} B= {primavera, verano, otoño, invierno} El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï . Ejemplo: Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B CONJUNTO VACIO el conjunto vacío es el único conjunto que no contiene elementos. En la axiomática de Teoría de conjuntos se postula el axioma del conjunto vacío. Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío. SIMBOLOGIA: 18
El conjunto vacío es denotado por cualquiera de estos símbolos:
derivada de la letra Ø (introducida especialmente por André Weil) en 1939. Otra notación común para el conjunto vacío es:
o con la igualdad:
CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo. Anteriormente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas, sin embargo está demostrado que este conjunto no existe. Particularmente porque suponer la existencia de dicho conjunto conduce a la paradoja de Russell. Actualmente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Por ejemplo, si estamos tratando conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto referencial sería el conjunto formado por todas las letras del alfabeto. El complemento del conjunto universo es el conjunto vacío, es decir, aquel que está desprovisto de elementos. SIMBOLOGIA: Normalmente se denota por las letras, U, V, E.
CONJUNTO DISCONJUNTOS O AJENOS En matemáticas, se dice que dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos. Esta definición se extiende a cualquier colección de conjuntos. Los conjuntos de una tal colección son disjuntos por pares o mutuamente disjuntos si cualquier par de conjuntos distintos de ella son disjuntos.
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Formalmente, sea Ai un conjunto para cada i ∈ I (donde I es cualquier conjunto). La familia de conjuntos {Ai | i ∈ I} es disjunta por pares si para cada i, j ∈ I, con i ≠ j,
SUBCONJUNTO Sean A y B dos conjuntos tal que todo elemento de A es también elemento de B, entonces decimos que: A es un subconjunto de B;
•
B es un superconjunto de A;
Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo. Cualquier subconjunto de A que no sea igual a A se denomina propio (cuando puede ser igual a A se denomina impropio). Si A es un subconjunto propio de B, escribimos:
De manera análoga si B es un superconjunto propio de A, escribimos:
El conjunto vacío, denotado como:
COMPLEMENTO DE CONJUNTO
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Dado un Referencial U y un conjunto A, queda determinado otro conjunto formado por todos los elementos del Referencial que no pertenecen a A. Se llama complemento de A y se designa A' o A (es el área coloreada del dibujo) Ejemplo. Sea A = {Libros de mi biblioteca que son de matemáticas} Sobreentendemos que en este caso el Referencial o universal es el conjunto de libros de mi biblioteca. Por lo tanto, el complemento del conjunto A es el conjunto total de libros de mi biblioteca excepto aquellos que son de matemática, es decir: A' = {Libros de mi biblioteca que no son de matemática}
CONJUNTOS A= { A, B, C, D, E }
B = {A,B,C }
SUBCONJUNTO PROPIO Es un conjunto que contiene todos los elementos del conjunto a excepción de uno por lo menos. • •
Todo conjunto es subconjunto de si mismo A A el conjunto vacio es conjunto de cualquier conjunto.
Para saber cuántos conjuntos hay se deberá utilizar la siguiente fórmula: 2n2 Siendo el numero de elementos del conjunto dado F = { C,D,F,G} n= 4
24= 16
{ C } {D} {F} {G} {CD} {CF} {CG} {DF} {DG} {FG} {CDF} {CFG} {DFG} {CDG} { C, D ,F,G} { }
OPERACIONES CON CONJUNTOS A) INTERSECCION Sean 2 conjuntos a y b entonces su intersección se representa como
n
( A n B ) y está formada por el conjunto de elementos que pertenecen tanto a A como a B. Esta operación se describe así con la siguiente simbología
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A
B = {X /X E A y X E B}
EJEMPLO
B) UNION La unión del conjunto A y B se representa A
B y esta formada por el
conjunto de elementos que pertenecen a A o a B o a ambos teniendo cuidado de no repetirlos en el resultado. Esta operación se describe simbólicamente de la siguiente manera.
{X/ XEA Y XEB} Ejemplos
Sea U= {a,b,c,d,e,f,g,h}
22
B´
DIAGRAMA DE VENN EULER (A
B)
A´
A
(A´
R=
B
B´) C´
23
R=
FUNCIONES Y RELACIONES En las matemáticas muchas situaciones se representan a través de modelos. Un modelo es una abstracción o representación de una situación bajo estudio que puede ilustrarnos las relaciones que existen entre diversa variables. Ejemplos 1.- utilidades ingresos y gastos 2.- salario y horas trabajadas 3.- oferta y demanda de un producto 4.- cotizaciones y costos 5.- inflación y niveles de exportación. Un modelo muy utilizado es la función matemática el cual asigna a cada valor de la variable de entrada una y solamente uno d los valores de salida. Al conjunto de los valores de entrada se le denomina dominio y al conjunto de los valores de salida se le denomina rango o contradominio. En el siguiente diagrama se ilustra la relación entre rango y dominio de una función. Entrada X1
salida y1
entrada x1
salida y1 24
X2 X3
y2
Dominio
y2 y3
x2
rango
no es función
Ejemplos El salario de un obrero se calcula de acuerdo a un salario base de $1,200 semanales mas las horas extras trabajadas si el pago por hora extra es de $60 pesos determina el salario semanal de los siguientes obreros. obrero Juan Pedro Luis
Horas extra (x) 3 4 5
Salario (y) 1,380 1.440 1,500
1,200+ 3(60)= 1,200 + 180 1,200+ 4(60) = 1,200 + 240 1,200 + 5 (60) = 1,200 + 300
Y= 1,200 + 60x (función que relaciona las horas extras con el salario)
Dentro de las funciones, la notación: y = f (x) se lee como Y es función de x y nos indica que el valor de Y depende del valor que se e asigne a x por esta razón a y se le llama variable dependiente, x se le llama variable independiente. Evalué las siguientes funciones con los valores indicados: Formulas 1.- f(x) = x2 -3x +2 F(0) = (0)2 – 3(0) +2 = 2 F(-2) = (-2)2 – 3(0-2) +2 = 2 F(4) = (4)2 – 3(4) +2 = 2 2.- F (x,y) = x2 – 2 xy +2 F (1,1) = (1)2 – 2 (1) (1) +2=1-2+2 = 1 F (0,-1) = (0)2 – 2 (0) (-1) +2= 2 F (-2,2) = (-2)2 – 2 (-2) (2) +2 = 4 +8 +2 = 14 25
GRAFICAS DE FUNCIONES Las graficas son otro modelo que se utilizan para representar una relación entre variables, generalmente entre dos variables son muy utilizadas en el área económica administrativa. Para graficar una función se hace una tabulación donde se asignan valores arbitrarios a la variable independiente y se calcula para cada uno de ellos el valor de la función. Y = 5x – 4 y = 5(-3) – 4 = -15 – 4 = -19 y = 5(-2) – 4 = -10 – 4 = -14 y = 5(-1) – 4 = -5 – 4 = -9 y = 5(0) – 4 = 0 – 4 = -4 y = 5(1) – 4 = 5 – 4 = 1 y = 5(2) – 4 = 10 – 4 = 6 y = 5(3) – 4 = 15 – 4 = 11
Valores X Valores Y -3 -19 -2 -14 -1 -9 0 -4 1 1 2 6 3 11
26
PARABOLA CUBICA Y = 2x3 + x – 2 y = -2(-3)3 + (-3) – 2 = 54 – 5 = 49 y = -2(-2)3 + (-2) – 2 = 16 – 4 = 12 y = -2(-1)3 + (-1) – 2 = 2 – 3 = -1 y = -2(0)3 + (-0) – 2 = 0 – 2 = -2 y = -2(1)3 + (1) – 2 = -2 – 1 = -3 y = -2(2)3 + (2) – 2 = -16 – 0 = -16 y = -2(3)3 + (3) – 2 = -54 + 1 = -53
Valores X Valores Y -3 49 -2 12 -1 -1 0 -2 1 -3 2 -16 3 -53
27
y = -2x2 + 1 y = -2(-3)2 + 1 = -18 + 1 = -17 y = -2(-2)2 + 1 = -8 + 1 = -7 y = -2(-1)2 + 1 = -2 + 1 = -1 y = -2 (0)2 + 1 = 0 + 1 = 1 y = -2 (1)2 + 1 = -2 + 1 = -1 y = -2 (2)2 + 1 = -8 + 1 = -7 y = -2 (3)2 + 1 = -18 + 1 = -17
Valores X Valores Y -3 -17 -2 -7 -1 -1 0 1 1 -1 2 -7 3 -17
28
y = 2x3 – x2 + 2 y = 2(-3)3 – (-3)2 + 2 = -54 – 9 + 2 = -61 y = 2(-2)3 – (-2)2 + 2 = -16 – 4 + 2 = -18 y = 2 (-1)3 – (-1)2 + 2 = -2 – 1 + 2 = -1 y = 2 (0)3 – (0)2 + 2 = 0 – 0 + 2 = 2 y = 2 (1)3 – (1)2 + 2 = 2 – 1 + 2 = 3 y = 2 (2)3 – (2)2 + 2 = 16 – 4 + 2 =14 y = 2 (3)3 – (3)2 + 2 = 54 – 9 + 2 = 47
Valores X Valores Y -3 -61 -2 -18 -1 -1 0 2 1 3 2 14 3 47
29
ECUACIONES LINEALES Las ecuaciones lineales son unos de los modelos más útiles para representar situaciones bajo estudio un gran número de aplicaciones requiere de la solución de dichas ecuaciones que son utilizadas para la toma de decisiones. La forma más simple de una ecuación lineal es aquella que tiene una sola incógnita cuya forma general es: ax + b = 0 Ejemplo: 1.- 3x + 2 = 0 3x = -2 30
X = -2 3 2.- x – 2 = 0 3 x=2 3 X = 2(3) X=6 3.- 3(2x – 6) – 5(6x - 1) = 4 (3x + 8) 6x – 18 – 30x + 5 = 12x + 32 6x – 30x – 12x = 32 + 18 -5 -36x = 45 X = 45 = 15 = -5 36 12 4 4.- 2(3x – 1) + 5x = 2(-3x + 2) 6x – 2 + 5x = 6x + 4 6x + 5x + 6x = 4 + 2 17x = 6 X=6 17 5.- 6(2x + 2) + 3(x + 6) = 8 – 3x 12x + 12 + 3x + 18 = 8 – 3x 12x + 3x + 3x = -12 - 18 + 8 18x = -22 = -11 18 9 6.- 5x – 3(5x + 1) – 4x – 3+ 2(x – 1) 5x – 15x - 3 = 4x – 3 + 2x – 2 5x – 15x -4x – 2x = -3 – 2 + 3 -16x = -2 X = -2 x=1 -16 8
ECUACIONES LINEALES CON 2 INCOGNITAS Método de reducción: Ejemplo 1 1 (6x + 2y=4) 2 (3x -
y=6)
siempre se empieza por la variable de diferente signo
6x + 2y = 4 6x - 2y =12 31
12x
=16
12x/12 =16/12 X = 4/3 Se sustituye el resultado de x en la 1ª ecuación 3x - y = 6 3(4/3) – y = 6 12/3 – y = 6 4–y=6 4–6=y -2 = y Ejemplo 2 3 (6x + 2y = 18)
6x + 2y = 18
2 ( x – 3y = 10)
6(37/10) + 2y =18
18x + 6y = 54
222/10 + 2y = 18
2x – 6y = 20
2y = 18 – 222/10
20x
= 74
2y= 180/10 – 222/10
20x/20
=74/20
2y = - 42/10
X = 37/20
y= - 42/(10*2)
=-21/10
Ejemplo 3 3x + 5y = 0
3x + 5y = 0
3x + 5(12) = 0
3x + 60 = 0
-3x – 4y=12
3x = - 60
x = -60/3
x = - 20
Y=12
GRÁFICAS DE ECUACIONES LINEALES Forma General: 32
ax + by + c = 0 Forma Pendiente – Ordenada y= mx + k m= pendiente k= ordenada al origen La pendiente geométricamente representa el grado de inclinación que tiene la línea recta respecto al eje X y algebraicamente representa el cambio en el valor de Y cuando aumenta una unidad. La ordenada al origen representa el punto de intersección con el eje Y. Dependiendo del valor de m la gráfica de la línea puede adoptar diversas formas:
m>0
m<0
(Positivo)
(Negativo)
m=0
m = indefinido k = no existe
Para las siguientes ecuaciones determine el valor de m (pendiente), k(ordenada al origen) y determine su gráfica: 1.- 6x + 2y = 12 2y = - 6x + 12 Y = -6x + 12 / 2 Y = -3x + 6 m = -3
x=0 y=6
k = 6
y=0 x=2
m (negativa)
33
Ejemplo 2 5y – 4 = 10x + 6 5y = 10x + 6 + 4 5y = 10x + 10 Y = 10x + 10 / 5 Y = 2x + 2 m=2
x=0 y=2
k=2
y = 0 x = -1
Ejemplo 3 3y + 5 = 0 3y = - 5 y = -5/3 m = 0 indefinida k = - 5/3 Ejemplo 4 2x = -12 x = -12/2 x=-6 m = indefinida k = no existe
Determinación de la ecuación de una línea recta Existen 3 casos para determinar una ecuación si proporcionamos información de su gráfica. 1.- Cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen: Determinar la ecuación si m = - 2; k = 6 y = mx + k y = - 2x + 6 34
2.- Cuando se proporcionan o se conocen 2 puntos de la línea (x1, x2); (x1, x2) 1º calcular m = y2 – y1 X 2 – X1 2º determinar Y – Y1 = m (X – X1) Y despejar “Y” Calcular la ecuación que pasa por los siguientes puntos ( - 3, - 14); (3, 10)
m = 10 – (-14)
= 24 /6 = 4
3 - ( - 3) Y + 14 = 4 (x + 3) Y + 14 = 4x + 12 Y = 4x + 12 – 14 Y=-2 3.- Cuando se conoce la pendiente y el punto de la línea y – y1 = m ( x- x1 ) Pendiente m=-2
pasa por el punto (-3, 4)
y – y1 = m (x – x1) y – 4 = -2 (x + 3) y – 4 = -2x – 6 y = -2x – 6 + 4 y = - 2x – 2
APLICACIONES A MODELOS LINEALES 1.- Modelo de costo lineal Costo = costo variables + costo fijo Yc
= mx
+
k 35
m = costo unitario por articulo Se aplican en modelos financieros, de costos, decisiones de inversión, estadística, en investigación de operaciones. 1.- una fabrica de café empaqueta sus productos en sobres, ha estimado que el costo unitario por sobre es $5.00 y el costo fijo a la semana es $ 3,000.00 a) determine la ecuación de costo y = 5x + 3,000 b) identifique la pendiente y la ordenada al origen m=5
k = 3,000
c) realice una gráfica x 0
y 3,000
100 3,500
costos variables
200 4,000
costos fijos
d) calcule el costo total cuando se producen 250 sobres y = 5 (250) + 3,000 y = $ 4,500.00
ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO YI = px
(ecuación de ingresos)
P = precio por articulo X = número de artículos vendidos Yc = mx + k (ecuación de costos) Se alcanza el punto de equilibrio cuando 1) Utilidad = 0 (cero) 2) YI = Yc 36
Utilidad = Ingresos – Costos U = YI – Yc Ejemplo 1 Un fabricante de relojes ha establecido que el costo por mano de obra y materiales de cada reloj es de $15.00 y en una semana donde se producen 100 relojes el costo total de producción es de $ 3,500.00. Si los relojes se logran vender en $ 20.00, determinar: a) La ecuación de costos Yc = mx +k , nos dan un punto de la línea (100, 3,500), hay que determinar la ecuación lineal Y – Y1 = m (X – X1) Y – 3,500 = 15(X – 100) Y – 3,500 = 15x – 1,500 Y = 15x – 1,500 + 3,500 Y = 15x + 2,000
Yc = mx + k
b) Determinar los costos fijos Costos fijos = 2,000
donde k = costos fijos
c) Ecuación de ingresos YI = px = 20x d) Ecuación de utilidad U = YI – Yc U = 20x – ( 15x + 2,000) U = 20x – 15x – 2,000
U = 5x – 2,000
e) Determine el punto de equilibrio YI = Yc 20x = 15x +2,000 20x – 15x = 2,000 5x = 2,000 X = 2,000/5 = 400 37
X = 400 cantidad de relojes para no perder f) La gráfica del punto de equilibrio X0
100
200
Y0
2000 4000
X0
100
ingresos
200
costos
punto de equilibrio
Y2000 3500 5000 g) Determine costos, ingresos y utilidad con 80 relojes Y = 15x + 2,000
YI = 20x
U = 5x – 2,000
Y = 15 (80) + 2,000
YI = 20 (80)
U = 5 (80) – 2,000
Y = 1,200 + 2,000
YI = 1,600 ingresos U = - 1,600
Y = 3,200 costos
MATRICES Una matriz es un arreglo de números reales dispuestos en columnas y renglones, generalmente son utilizadas para representar la información en forma tabular por ejemplo, podemos representar las ventas de diferentes sucursales. Ene
feb
mar
abril
Norte 2650 3690 4950 5650 Centr 1200 960 Sur
elemento 1,4
1800 1680
2400 2500 2720 3240
1.- tamaño de la matriz; mxn
2x2
3 4 3,4
renglón x columna 3x4
A= -2 0
B= 1 2 3 4 0 5
3x3
6 8 7
2.- Vector renglón Es una matriz de 1 x n, es decir tiene un solo renglón y varias columnas D=3 4 5 8
1x4
3.- Vector columna 38
Es una matriz de m x 1, es decir tiene varias renglones y una sola columna 4 3 G= 1
4x1
-2 4.- Matriz identidad Es una matriz cuadrada en la cual los elementos de la diagonal principal son igual a 1 y el resto son igual a cero A=1 0
1 0 0
0 1
B=
Diagonal principal
0 1 0 0 0 1
diagonal principal
OPERACIONES CON MATRICES a) Matriz transpuesta Consiste en intercambiar los renglones por las columnas de la matriz A= 3 2 1
3 4
4 2 1
AT = 2 2 1 1
-1 2 0 B= 4 3 2 6 9 0
-1 4 6 BT =
2 3 9 0 2 0
b) Multiplicación de una matriz por una escalar
Un escalar es un valor real individual que no forma parte de la matriz Para realizar esta operación se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar 39
-2 A = -2 3 2 1 = -6 -4 -1 4 2 1
-8 -4 -2
-1 4 6
-3 12 18
3BT = 3 2 -4 3 = 6 -12 9 0 2 -6
0
6 -18
C) Suma y resta de matrices Para que 2 matrices o más se puedan sumar o restar es necesario que sean del mismo tamaño. La operación se realiza sumando o restando los elementos en cada operación correspondiente. 2 3 B = 5 1 -2
4 2 -1
4 0 3
2 4
3 0 4
2x3
3x3
2x3
2x3
C=
-1 0
CT =
A= 3 2 1
2 -1 2
A + B = 8 3 -1 8 2 2 A + C = No se puede realizar, no son del mismo tamaño A + CT = 5 1 3 7 2 3 3B – 4 CT 3B = 3 5 1 -2
= 15 3 -6
4 0 3
4CT = 4 2 -1 2 = 8 -4 8
12 0 9
15 3 -6 -
8 -4 8
12 0 9
12 0 16
3 0 4
12 0 16
= 7 7 -16 0 0 -7
D) Multiplicación de matrices CB = 2 3
5 1 2
-1 0
4 0 3
2 4
=
22 2 5
2x5=10 2x1=2 2x2=4
-5 -1 2
3x4=12 3x0=0 3x3=9
21 2 8
22
2
13 40
-1x5=-5 -1x1=-1 -1x-2=2 0x4=0
0x1=0
0x3=0
-5
-1
2
2x5=10 2x1=2 2x-2=-4 4x4=16 4x0=4 4x3=12 26
6
41
