Apuntes sobre el modelo de Ramsey
Teor´ıa ıa Mac M acro roec econ on´ o omica ´mica IV: Crecimiento Econ´ omico omico
Profesores:
Fernando ernand o Garc´ Garc´ıa-Belengue ıa-Bel enguerr Campos Camp os Ana Hidalgo Cabrillana Joaqu Joa qu´ ´ın Vera Grijalb Grij alba a
1 1.1 1.1
Doss model Do modelos os de elec elecci ci´ on o ´n intertemporal Un mode modelo lo de ele elecc cci´ i´ on intertemporal de dos periodos on
Supongamos un modelo de elecci´on on intertemporal en el que un individuo tiene que elegir la cantidad que consume en dos periodos t = t = 0, 1. El individuo individuo posee en el primer periodo una riqueza riqueza inicial en forma de capital K 0 que unido a la cantidad de trabajo dedicada a la producci´on, L on, L,, le permi p ermiten ten obtener una producci´ producci´on Y on Y 0 a trav´es es de la siguiente sigu iente tecnolog´ tecn olog´ıa ıa Y 0 = F ( F (K 0 , L) = AK 0α L1−α . La cantidad de trabajo que el individuo dedica a la producci´on es igual en todos los periodos. La producci´on Y on Y 0 se puede dedicar a dos fines, o bien se consume en el periodo o bien se ahorra y se invierte en capital para la producci´on del siguiente periodo. Y 0 = C 0 + I 0 I 0 representa la inversi´on on en el periodo 0 y a trav´ trav´ es es de ella la producci´on on no consumida en el primer primer periodo se transform transformaa en capital capital para el siguiente siguiente periodo, en concreto concreto asumimos asumimos que = I 0 + (1 − δ K K 1 = I K )K 0 donde δ K on sufrid sufridaa por el capi capita tall debi debido do al paso paso del tiem tiempo. po. La K es la tasa de depreciaci´ α 1−α producci´ on on en el periodo t = 1 viene dada por Y 1 = AK 1 L y de nuevo se puede dedicar a dos fines, el consumo C consumo C 1 o la inversi´on I on I 1 . Si asumimos que la depreciaci´on en el primer periodo es total (δ ( δ K = I 1 . K = 1) obtenemos que K 2 = I La forma en que el individuo elige la cantidad consumida en cada periodo es a trav´ es es de una funci´ on de utilidad agregada para los dos periodos, on U ( U (C 0 , C 1 ) = u( u (C 0 ) + βu( βu (C 1 ) donde u(·) es una funci´on on C 2 con derivadas derivadas u (·) > 0 y u (·) < 0, es decir, decir, estrictam estrictament entee creciente y estrictamente c´oncava. oncava. El par´ametro β ametro β indica indica la preferencia temporal del individuo de forma que que el consumo presente es preferido al consumo futuro y por lo tanto 0 < β < 1. El problema de elecci´on on del individuo est´a dado por el siguient siguientee problema problema de maximiza maximizaci´ ci´on, on, max {u(C 0 ) + βu( βu (C 1 )}
C 0 ,C 1
s.a. Y 0 = F = F ((K 0 , L) Y 1 = F = F ((K 1 , L) Y 0 = C = C 0 + I 0 = C 1 + I 1 Y 1 = C K 1 = I = I 0 Antes de resolver el problema del individuo es necesario discutir que ocurre con la inversi´on inversi´on del segundo periodo. Si I Si I 1 > 0 > 0 el capital en t = t = 2 ser´a positivo, pero dado que el individuo solo vive dos periodos esto no es ´optimo, optimo, ya que podr´ıa ıa incrementar incrementar su utilidad en t = 1 simplemente reduciendo la cantidad dedicada a inversi´on on I 1 . Por Por lo tanto, tanto, impond impondrem remos os la condic condici´ i´on o n de transversalidad K 2 = 0, o lo que es lo mismo I 1 = 0, que implica C 1 = Y 1 = F ( F (K 1 , L). Con Con esta condici´on on podemos simplificar el problema de maximizaci´on para obtener, max{u(C 0 ) + βu[ βu [F ( F (F ( F (K 0 , L) − C 0 , L)]} C 0
2
ya que C que C 1 = F ( F (K 1 , L) = F ( F (F ( F (K 0 , L) − C 0 , L). De las condiciones de primer orden tenemos que, u (C 0 ) = F K (K 1 , L). βu (C 1 ) Esta ecuaci´on on es conocida como la ecuaci´on on de Euler y establece que el ratio de las utilidades marginales entre dos periodos tiene que ser igual a la productividad marginal del capital entre esos mismos mismos periodos. periodos. En el ´optimo, optimo, la p´erdida erdida de utilidad o casionada casionad a al renunciar a una unidad unid ad de consumo hoy tiene que ser igual a la utilidad generada en el fututo por una unidad m´as m´as de inversi´on on en capital f´ f´ısico. Es importante resaltar que la condici´on de transversalidad no es s´olo olo una condici´on on que nos garantiza la optimalidad de la soluci´on, ya que el individuo no obtiene ninguna utilidad si deja capital una vez han transcurrido los dos periodos en que vive, si no que tambi´ tambi´en en es necesaria para garantizar la unicidad de la soluci´on. on. La raz´on on es que la soluci´on on de nuestro modelo est´a determinada por un valor concreto para las variables C 0 , C 1 , K 1 y Y 1 .1 Para hallar el valor de estas variables tenemos s´olo tres ecuaciones que son la ecuaci´on on de Euler y las dos siguient siguientes es K 1 = AK = AK 0α L1−α − C 0 Y 1 = F ( F (K 1 , L) = AK 1α L1−α . Por lo tanto necesitamos una ecuaci´on on m´as as para que nuestro sistema est´ e determinado, que es la condici´on on de transversalidad K 2 = 0, es decir, F ( F (K 1 , L) = C 1 .
1.2
Un mode modello de elec elecci ci´ ´ on o n inte intert rtem empor poral al con con un n´ umer u mero o finit finito o de periodos
Ahora vamos a considerar el modelo de la secci´on anterior generalizado a un n´umero umero finito pero indetermina indeterminado do de periodos. periodos. Como en el caso anterior, anterior, el individuo individuo obtiene utilidad utilidad de la cantidad consumida en cada uno de los periodos, T
β u(C ) = u( u(C ) + βu( βu (C ) + β u(C ) + ... + β u(C ). t
t
2
0
1
2
T
T T
t=0
Adem´ as el individuo posee una riqueza inicial K 0 , y de la misma forma que anteriormente, en as cada uno de los periodos debe elegir entre consumir y ahorrar/invertir para el siguiente periodo. As´ As´ı tenemos te nemos que en el perido p erido t = 0 est´a sujeto a las siguientes restricciones, Y 0 = F = F ((K 0 , L) = C 0 + I 0 K 1 = I = I 0 + (1 − δ K K )K 0 de la misma forma en t = t = 1, Y 1 = F = F ((K 1 , L) = C 1 + I 1 K 2 = I = I 1 + (1 − δ K K )K 1 y as´ as´ı sucesivamente hasta el ´ultimo ultimo periodo Y T F (K T T = F ( T , L) = C T T + I T T K T T +1 = I T T + (1 − δ K K )K T T . En este caso la condici´on on de transversalidad es K T T +1 = 0 y podemos definir el problema de 1 Podemos
prescindir de I 0 y de I 1 ya que I 0 = Y 0 − C 0 y an´ alogamente alogamente I 1 = Y 1 − C 1 .
3
maximizaci´ on on del individuo como T
max
{C t ,I t }T t=0
β u(C ) t
t
t=0
s.a. Y t = F = F ((K t , L) = C t + I t K t+1 = I t + (1 − δ K K )K t ∀t = 0, ...T ...T dado K dado K 0 y K T T +1 = 0 Para hallar la soluci´on on de este problema debemos construir el lagrangiano, T
{β u(C ) + λ [F (F (K , L) − C + (1 − δ )K − K L = t
t
t
t
t
K K
t
2
t+1 ]}.
t=0
Las condiciones de primer orden de este problema son, (C t ) → β t u (C t ) = λ t (K (K t+1 ) → λt = λt+1 [F K t+1 , L) + (1 − δ K K )]
(λt ) → F ( F (K t , L) = C t + K t+1 − (1 − δ K K )K t . Despejando λ Despejando λ t de las dos primeras ecuaciones podemos obtener la condici´on de Euler, u (C t ) = F K (K t+1 , L) + (1 − δ K K ) βu (C t+1 )
(1)
que junto con la restricci´on on de recursos, F ( F (K t , L) = C t + K t+1 − (1 − δ K K )K t
(2)
definen la din´amica amica del sistema a lo largo del tiempo. En un momento concreto del tiempo “ t” podemos conocer los valores del sistema en el periodo t + 1 si sabemos los valores actuales de C t y K t . Por lo tanto, tanto, es posible posible calcular calcular con estas dos ecuaciones ecuaciones la senda de equilibrio equilibrio del sistema, pero para ello es necesario tener una condici´on inicial K 0 y una final que en nuestro caso es la condici´on on de transversalidad K t+1 = 0. La condici´ condici´on on inicial inicial K K 0 es una condici´on on de partida, sin embargo la condici´on de transversalidad es una condici´on on de optimalidad, ya que si no se satisface es posible aumentar la utilidad del individuo reduciendo la inversi´on en el ultimo u ´ ltimo 3 periodo.
2
El mo mode delo lo de Rams Ramsey ey
El modelo neocl´asico asico de crecimiento o modelo de Ramsey no es nada m´as que una generalizaci´on on del modelo de elecci´on intertemporal con la ´unica unica diferencia de que se considera un n´umero umero 2 Notar
que hemos despejado la variable I t simplificando las dos restricciones de cada periodo en una sola
F (K t , L) = C t + K t+1 − (1 − δK )K t . 3 En
el modelo con un n´umero umero finito de periodos la condici´on on de transversalidad implica que para tener stocks de capital positivos es necesario que δ K = 1 ya que, si no hay depreciaci´on on total, con un stock de capital positivo nunca se satisfar´ satisf ar´ıa ıa K T T +1 = 0.
4
infinito infinito de periodos. Por lo tanto, tanto, el problema problema de elecci´on on del individuo se formula de forma similar, incrementando el n´umero umero de periodos de T de T a ∞ y tenemos que ∞
β u(C ) t
max
{C t }t=0 ∞
t
t=0
s.a. (2) ∀t = 0,... ∞ dado K dado K 0 y lim
λ
t
t→∞
λ0
K t+1 = 0.
El lagrangia lagrangiano no es ahora, ahora, ∞
L =
{β u(C ) + λ [F (F (K , L) − C + (1 − δ )K − K t
t
t
t
t
K K
t+1 ]}
t
t=0
y por lo tanto las condiciones de primer orden son las mismas que para el modelo con T T periodos. An´ alogamente, alogamente, la din´amica amica del sistema est´a tambien determinada por las mismas dos ecuaciones (1) y (2). La diferencia m´as as importante al considerar un n´umero umero infinito de periodos es que la condici´on on de transversal transversalidad idad no puede imponer que el capital sea cero en un periodo concreto. concreto. Por esta raz´ on on la condici´on on de transversalidad incluida en el problema de maximizaci´on con infinitos periodos establece que el valor presente del capital a medida que nos alejamos del momento inicial tienda a cero. Dicho en otras palabras, en un problema de optimizaci´on con restricciones el multiplicador multiplicador λt representa el valor de aumentar en una unidad el stock de capital en el ´optimo, y por lo tanto el valor de K t+1 en el momento t = 0 es ( λλt )K t+1 . Este optimo, Este valor valor debe debe tender a cero a medida que t crece. Para verlo con mayor claridad vayamos a las condiciones de primer orden, de la ecuaci´on on de Euler tenemos que para el periodo t se cumple 0
βu (C t ) λt −1 = = [F [ F K (K t , L) + (1 − δ K K )] u (C t−1 ) λt−1 calculando esta misma condici´on on para los periodos t − 1, t − 2,...1 ,... 1 y sustituyendo obtenemos β t u (C t ) λt −1 −1 −1 = = [F [ F K (K t , L) + (1 − δ K [F K (K t−1 ) + (1 − δ K ...[ ...[F K (K 1 ) + (1 − δ K . K )] K )] K )] u (C 0 ) λ0 Si definimos el factor de descuento entre el periodo t y t − 1 como 1 + Rt tenemos que 1 1 = 1 + Rt F K (K t , L) + (1 − δ K K ) y por lo tanto
λt 1 1 1 K t+1 = ... K t+1 λ0 1 + Rt 1 + Rt−1 1 + R1
que no es nada m´as as que el valor descontado al presente del capital en el periodo t + 1. De las condiciones de primer orden se puede obtener una segunda forma de escribir la condici´on de transversalidad u (C t ) lim β t K t+1 = 0. t→∞ u (C 0 )
5
2.1 2.1
El est estad ado o esta estaci cion onar ario io
La din´amica amica del modelo de Ramsey est´a determinada por dos variables C t y K t , y por dos ecuacione ecuacioness (1) y (2). Definimos Definimos el estado estado estaciona estacionario rio como aquel estado del sistema sistema en el que las dos variables permancen constantes a lo largo del tiempo, es decir, C t = C t+1 = C ∗ y K t = K t+1 = K ∗ para todo t. Si imponemos imponemos estas dos condiciones condiciones a las ecuaciones ecuaciones (1) y (2) podemos calcular calcular los valores alores del consumo y del capital en el estado estacionario estacionario.. Sustituy Sustituyendo endo la condici´on on de estado estacionario en la ecuaci´on de Euler (1) obtenemos 1 = F K (K ∗ , L) + (1 − δ K K ) β de donde podemos calcular el valor de K ∗ con ayuda de la fucni´on on de producci´on on F ( F (K t , L) = AK tα L 1−α , 1 1 α − 1 + δ K K ∗ = L. (3) K β αA 1
−1
Para Para hallar hallar el valo alorr de C ∗ utilizamo utilizamoss (3) y la restricci´ restricci´on o n de recursos (2) que en el estado estacionario simplifica a ∗ F ( F (K ∗ , L) = C ∗ + δ K (4) K K , utilizando (3) y (4) resulta, 1
∗
C =
1
β
1
− 1 + δ K K
α
1
− δ K K
β
1
− 1 + δ K K
αA
α−1
L.
(5)
Una vez calculados los valores de las variables del modelo podemos calcular la tasa de ahorro en el estado estacionario. Al ser nuestro modelo una econom´ econom´ıa cerrada, el ahorro es igual a la inversi´ inversi´on ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ y podemos definir la tasa de ahorro como el ratio s = I /Y . Dado que I = F ( F (K , L) − C ∗ ∗ y que (4) implica que F ( F (K ∗ , L) − C ∗ = δ K K K obtenemos que s∗ =
1
β
δ K K α . − 1 + δ K K
(6)
En (6) se puede observar que α y el factor de descuento β tienen β tienen un efecto positivo sobre la tasa de ahorro. El efecto de la tasa de depreciac depreciaci´ i´on δ on δ K as as dif´ dif´ıcil de determinar, determina r, para K resulta m´ ello hay que calcular la derivada de la tasa de ahorro con respecto a la tasa de depreciaci´on, si ∂s lo hacemos obtenemos que ∂δ > 0. En t´erminos erminos de eficiencia, es posible p osible comparar la tasa de K ∗ ahorro en el modelo de Ramsey con la regla de oro del modelo de Solow, sSolow = α. α . Es f´acil acil ∗ ∗ comprobar en (6) que s Ramsey < sSolow ya que β que β y δ K K son positivos y menores que la unidad, δK y por lo tanto −1+δK < 1. ∗
1
β
2.2
Din´ amica en el modelo de Ramsey amica Ramsey
La soluci´on on del sistema din´amico amico (1)-(2) son dos funciones que nos dan la evoluci´on de las variables C t y K t a lo largo del tiempo dada una condici´on inicial K 0 . Como Como la func funci´ i´ on o n de producci´on on F ( F (K t , L) y la de utilidad u(C t ) no son en general funciones lineales, no va a ser posible encontrar una soluci´on on anal´ anal´ıtica para la din´amica amica del de l sistema sist ema en la mayor´ mayor´ıa de los casos. c asos. Sin embargo, para ilustrar mejor el problema vamos presentar un ejemplo con funciones sencillas para el que si que es posible expresar anal´ anal´ıticamente ıticamente la senda de equilibrio del sistema. Supongamos que nuestra funci´on on de utilidad es u(C t ) = ln(C ln(C t ), nuestra funci´on on de producci´on on es F ( F (K t , L) = K tα L 1−α y que δ K = 1. Para este ejemplo ejem plo concreto concre to se puede demostrar demo strar que las K sendas sendas de equilibri equilibrioo del sistema (1)-(2) vienen dadas p or K t+1 = αβK αβ K tα L 1−α 6
(7)
C t+1 = (1 − αβ )K tα L 1−α
(8)
Para demostrar que (7)-(8) describen la senda de equilibrio del sistema basta con verificar que satisfacen (1), (2) y la condici´on de transversali transversalidad. dad. Por ´ultimo, ultimo, tambi´en en se puede demostrar demostra r que la tasa de ahorro en este ejemplo es constante en todos los periodos, st =
2.3
I t Y t − C t Y t − (1 − αβY t ) = = = αβ. αβ . Y t Y t Y t
El equilib equilibrio rio compet competiti itiv vo en un modelo modelo de optimiza optimizaci´ ci´ on on din´ di n´ amic am ica a
Hasta ahora hemos considerado el problema de un individuo representativo que posee unos recursos y que intenta maximizar su utilidad agregada sujeto dichos recursos y a unas restricciones t´ ecnicas ecnicas dadas por la funci´on on de producci´on on y la restricci´on on de recursos. recursos. En otras palabras, palabras, el problema resuelto en las secciones anteriores ha consistido en calcular las asignaciones eficientes o los ´optimos optimos de Pareto. Pareto. En esta secci´on on vamos a ir un paso m´as as adelante y discutiremos los posibles equilibrios competitivos cuando consideramos la existencia de mercados con precios en los que se pueden intercambiar los bienes. Tambi´ ambi´en en analizaremos la relaci´on entre las soluciones competitivas competitivas y las asignaciones eficientes. De forma gen´erica, erica, la relaci´on entre las asignaciones eficientes y los equilibrios competitivos la establecen los dos teoremas de la econom´ econom´ıa del bienestar que enunciamos a continuaci´on. on. Primer Primer Teorema de la Econom Econom´ ıa del Bienest Bienestar: Todo
equilibrio competitivo es una asignaci´ on eficiente (´ optimo optimo de Pareto), Pareto), siempre siempre que no existan existan distorsion distorsiones es tales como impuestos o externalidades. Segund Segundo o Teorem Teorema a de la Econom Econom´ ıa del Bienest Bienestar: Para
cada asignaci´ on eficiente (OP) existe un sistema de precios y de condicniones iniciales que la hace un equilibrio competitivo, supuesto que no existen distorsiones. El problema de encontrar las asignaciones eficientes (OP) tambi´ tambi´en en es denominado a veces como el problema del Planificador Social, ya que se puede interpretar como el problema de elecci´ on on de un planificador planificador social b enevolen enevolente te que intent intentaa maximiza maximizarr el bienestar bienestar social. social. Una condici´ on necesaria para resolver el problema del planificador social es que la asignaci´on escogida on sea eficiente, ya que en caso contrario ser´ıa ıa posible p osible aumentar el bienestar de alg´un individuo sin perjudicar a otro. De esta forma asumimos que hay un gran n´umero umero de familias fami lias id´enticas enticas que q ue viven un n´ n ´umero umero infinito infinito de p eriodos. eriodos. Las familias familias poseen todo el capital capital y el trabajo y adem´ adem´as son las due˜ nas nas de las empresas, por lo tanto reciben todos lo beneficios. Por simplicidad designamos a una de estas familias como la familia representativa y dado que todas ellas se comportan de la misma forma utilizar utilizaremos emos a esta familia familia para hallar el equilibri equilibrioo competitiv competitivo. o. La cantidad cantidad de factor factor trabajo trabajo es constante e igual a L y la poblaci´on on est´a normalizada normalizada a 1. La restricci´ restricci´on on presupuestaria de la familia representativa es C t + I t = w t L + rt K t + πt (9) donde wt representa el salario por unidad de trabajo, rt el pago por el alquiler de una unidad de capital y πt son los beneficios empresariales recibidos en el periodo t. Los precio precioss han sido normalizados de forma que el precio del consumo y de la inversi´on son iguales a 1. El stock de capital evoluciona de acuerdo a la ley de movimiento, K t+1 = I t + (1 − δ K K )K t .
(10)
En esta es ta econom´ ec onom´ıa ıa existe ex iste un n´ n ´umero umero muy grande gr ande de empresas id´enticas enticas que se comportan comp ortan de forma similar y por ello en nuestro an´alisis utilizaremos una sola empresa que llamaremos empresa 7
representativa. La funci´on on de beneficios beneficios de la empresa representativ representativaa es πt = Y t − wt L − rt K t . En cuanto a la funci´on on de utilidad u( u (·) asumimos que posee las mismas propiedades que en la secci´ on on anterior anterior.. La funci´ funci´on on de producci´on on Y t = F ( F (K t , L) cumple que F K (·) > 0, F L (·) > 0, F KK (·) < 0 < 0 y las condiciones de Inada, lim F K (K, L) = ∞
K →0
lim F K (K, L) = 0.
→∞ K →∞
´ n: Definicion o {C , I , K , Y }∞ t
t
t
t
Un equilibrio equilibrio competitivo competitivo para para esta econom econom´ ´ıa es una secuencia secuencia de cantidades cantidades ∞ t=0 tal que dada la secuencia de precios { wt , rt }t=0 , se cumple que:
a) Dado K Dado K 0 la familia representativa elige una secuencia para C para C t y I I t que resuelve su problema de mazimizaci´ on, T
β u(C ) t
max
{C t ,I t }t=0 ∞
t
t=0
s.a. (9) − (10) C t , I t ≥ 0 ∀t = 0,... ∞ λt dado K dado K 0 y lim ( )K t+1 = 0. t→∞ λ0 b) La empresa escoge una senda para el capital K t que maximiza sus beneficios en cada periodo max{Y t − wt L − rt Kt }. Kt
c) Los mercados est´ an en equilibrio en cada periodo sin excesos de oferta o demanda, Y t = C = C t + I t Kt = K t Para resolver el problema de las familias construimos el lagrangiano de manera an´aloga a como hicimos con el problema del planificador, ∞
{β u(C ) + λ [w L + r K − C + (1 − δ )K − K L = t
t
t
t
t
t
t=0
del cual obtenemos las condiciones de primer orden, (ct ) → β t u (C t ) = λt (K t+1 ) → λt = λt+1 [rt+1 + (1 − δ K K )] (λt ) → K t+1 = w t L + rt K t − ct + (1 − δ K K )K t .
8
t
K K
t
t+1 ]}
De las condiciones de primer orden del problema de la empresa sabemos que, rt = F K (K t , L)
y por lo tanto si calculamos la condici´on de Euler tenemos u (C t ) = F K (K t+1 , L) + (1 − δ K K ) βu (C t+1 ) que es la misma que en el problema problema del planificado planificador. r. La seguna ecuaci´ ecuaci´on que define la din´amica amica del sistema es la restricci´on on presupuestaria de la familia (9). Sin embargo, por el teorema de Euler, 4 y dado que en general asumimos que la funci´on de producci´ producci´ on F on F ((K t , L) tiene rendimientos 5 constantes a escala, sabemos que Y t = w = w t L + rt K t . Esto implica que las restricci´on presupuestaria de la familia en el equilibrio es equivalente a (2) y por lo tanto la din´amica din´amica de la econom´ econ om´ıa ıa en el equilibrio competitivo est´a definida por el sistema (1)-(2), al igual que en el caso del problema del planificador planificador.. Se verifica verifica de esta forma el primer teorema teorema del bienestar bienestar y la soluci´on competitiva competitiva de una econom´ econom´ıa sin distorsiones es eficiente.
3
Distorsiones Distorsiones en el modelo de neocl´ asico asico
En la secci´on on anterior hemos estudiado el equilibrio competitivo de una econom´ıa ıa sin distorsiones y hemos comprobado que la soluci´on on coincide con la que se obtendr´ obtendr´ıa del problema del Planifi Planificad cador. or. En esta secci´ secci´on on vamos estudiar estudiar dos ejemplos ejemplos de econom econom´´ıas en las que existen existen impuestos distorsionadores y vamos evaluar como afecta la existencia de dichos impuestos al equilibrio competitivo.
3.1
Una econom´ econom´ıa con un impuesto sobre sobre la renta
En este primer primer ejemplo ejemplo vamos a asumir asumir que las familias familias pagan un impuesto impuesto τ Y Y sobre las rentas procedent procedentes es del capital capital y del trabajo. La restricci´ restricci´on on presupuestaria de las familias es por consiguiente C t + I t = (1 − τ Y )(wt L + rt K t ) + T Rt (11) Y )(w En esta econom´ıa ıa la recaudaci´ recaudaci ´on on del gobierno es τ Y (wt L + r + rt K t ). El gobierno gobierno sin embargo embargo no Y (w dedica ese dinero a ning´un un fin productivo productivo y lo que hace con ´el el es devolve devolverlo rlo a los ciudadanos ciudadanos en forma de transferencias T Rt = τ Y (wt L + r t K t ). No obstant obstante, e, los individ individuos uos toman toman las Y (w transferencias como dadas y no las introducen en su restricci´on presupuestaria a la hora de resolver su problema de maximizaci´on. on. El problema de maximiza maximizaci´ ci´on on de la familia es ahora, T
max
{C t ,I t }t=0 ∞
β u(C ) t
t
t=0
s.a. (10) y (11) C t , I t ≥ 0 ∀t = 0,... ∞ λt dado K dado K 0 y lim ( )K t+1 = 0 t→∞ λ0 4 El
teorema de Euler para una funci´on g (x, y ) homog´ enea enea de grado 1 establece que g (x, y ) =
∂g (x,y) y. ∂y
5 Lo
que adem´ as implica que los beneficios son cero. as
9
∂g (x,y) x + ∂x
que tiene asociado el siguiente lagrangiano, ∞
{β u(C ) + λ [(1 − τ )(w L = )(w L + r K ) − C + (1 − δ )K − K t
t
t
Y Y
t
t
t
t
K K
t
T Rt ]}.
t+1 +
t=0
Resolviend Resolviendoo las condiciones condiciones de primer primer orden se obtiene obtiene la condici´ condici´on on de Euler, u (C t ) = (1 − τ Y )F K (K t+1 , L) + (1 − δ K Y )F K ). βu (C t+1 )
(12)
Para obtener esta ecuaci´on on hemos utilizado la condici´on on de primer orden del poblema de la empresa r empresa rt = F K (K t , L), que es la misma que en el caso sin impuestos debido a que los impuestos sobre la renta s´olo olo distorsionan el problema de la familia. La din´amica del sistema viene definida por lo tanto por (12) y por la restricci´on de recursos (2) que es la misma que en el caso sin impuestos, ya que T Rt = τ Y (wt L + r + r t K t ). De (12) se deduce deduce que el comportam comportamien iento to de la Y (w econom´ econom´ıa se ve afectado p or la introducci´on on del impuesto sobre la renta ya que distorsiona el ratio de las utilidades marginales del consumo. La presencia de impuestos distorsionadores tambi´en en va a afectar al valor de las variables variables en el estado estaciona estacionario. rio. Si imponemos imponemos las condicion condiciones es de estado estado estaciona estacionario rio C t = C t+1 = C ∗ y K t = K t+1 = K ∗ al sistema formado por (2) y (12), la ecuaci´on que determina el capital en el estado estacionario es 1 = (1 − τ Y )F K (K ∗ , L) + (1 − δ K Y )F K ) β y despejando la productividad marginal del capital,
∗
F K (K , L) =
1
β
− 1 + δ K K
1 1 − τ Y Y
lo que implica que, si la funci´on de producci´on on tiene productividad marginal decreciente, una ∗ tasa impositiva impositiva τ Y < Y > 0 conlleva una cantidad menor de capital en el estado estacionario, K τ Y Y ∗ K Ramsey . En lo que respecta respecta a la tasa de ahorro ahorro en el estado estaciona estacionario rio tenemos tenemos que ahora es, δ K K α s∗ = . 1 1 1 + δ − K K β 1−τ Y Y
Si comparamos la tasa de ahorro del modelo sin impuestos con la del modelo con impuestos es ∗ f´ acil acil deducir que s τ ∗Y < s Ramsey . Y
3.2
Una econom´ econom´ıa con impuestos impuestos sobre la inversi´ inversi´ on on y el consumo
En esta secci´on on vamos a asumir que las familias tienen que pagar un impuesto τ I I por cada unidad de inversi´on on que compran y un impuesto τ impuesto τ C C por cada unidad de bien que consumen. La restricci´ on presupuestaria de estas familias queda de la siguiente forma, on (1 + τ C = w t L + rt K t + T Rt C )C t + (1 + τ I I )I t = w
(13)
siendo la recaudaci´on on del gobierno T Rt = τ C problema de max maxim imiza izaci´ ci´on o n de la C C t + τ I I I t . El problema familia se puede representar como, T
max
{C t ,I t }t=0 ∞
β u(C ) t
t=0
10
t
s.a. (10) y (13) C t , I t ≥ 0 ∀t = 0,... ∞ λt dado K dado K 0 y lim ( )K t+1 = 0 t→∞ λ0 que tiene asociado el siguiente lagrangiano, ∞
{β u(C ) + λ { L = t
t=0
t
t
1 [wt L + rt K t − (1 + τ C C )C t + T Rt ] + (1 − δ K K )K t − K t+1 }}. 1 + τ I I
Resolviendo las condiciones de primer orden y sustituyendo se obtiene la condici´on de Euler que ahora es, u (C t ) 1 = F (K t+1 , L) + (1 − δ K (14) K ). βu (C t+1 ) 1 + τ I I K La din´amica amica del sistema viene dada por las ecuaciones (2) y (14). Es importante notar que los impuestos sobre el consumo τ C on de los consumi consumidor dores. es. Esto Esto es debido debido C no afectan a la elecci´ a que la elecci´on on renta-ocio no est´a presente en nuestro modelo, si hubiera ocio en la funci´on de utilidad si que afectar´ afectar´ıa. En cuanto a los impuestos sobre la inversi´on se puede obsevar que afectan en la direcci´on on esperada ya que si imponemos la condiciones de estado estacionario a (14) obtenemos que, 1 − 1 + δ K F K (K ∗ , L) = K (1 + τ I I ) β
lo que indica que a mayor τ I I menor capital en el estado estado estacionario estacionario.. El an´alisis para la tasa de ahorro es similar obteni´endose endose que a may mayor or impuesto sobre la inversi´on menor tasa de ahorro.
4
Impu Impues esto toss y gast gasto o p´ publico u ´blico
Hasta ahora hemos considerado que los impuestos no se utilizan para financiar ning´un tipo de gasto p´ ublico y simplemente distorsionan la decisi´on de los individuos, siendo devueltos por ublico medio medio de transferencia transferencias. s. En esta secci´ secci´on on vamos a introducir el gasto p´ublico ublico productivo en nuestro modelo a trav´ tr av´ es es de d e la funci´on de producci´on. on. El gasto p´ublico, G ublico, G t , va a ser financiado a trav´ trav´es es de impuestos que distorsionan la decisi´on on de los agentes, pero al contrario que anteriormente van a tener una contribuci´on positiva a la producci´on on agregada agr egada de la econom´ıa. ıa. Podemos entender Gt como servicios necesarios para la sociedad que no son suministrados por el sector privado (polic´ıa, ıa, justicia, educaci´on...). on...). En general vamos vamos a asumir asumir que Gt es un bien no rival y que no est´a sujeto a congesti´on on y por lo tanto el hecho de que una empresa/individuo lo use no impide que lo usen los dem´as. as. La funci´on on de producci´on on considerada va a ser Y t = AK = AK tα L φ Gt1−α−φ . Antes de hallar la soluci´on on de mercado de este modelo vamos a calcular la asignaci´on eficiente con el ob jeto de tener una referenci referencia a para valora valorarr las posibles tasas impositiv impositivas. as. La primera diferencia con el modelo neocl´asico de crecimiento ya estudiado es que la restricci´on de recursos debe incluir G t y es ahora, C t + I t + Gt = Y = Y t que unida a la restricci´on de recursos (10) y despejando I t implica que K t+1 = Y t − C t − Gt + (1 − δ K K )K t . 11
(15)
El problema del planificador social se puede representar de la siguiente manera, T
β u(C ) t
max
{C t ,Gt }t=0 ∞
t
t=0
s.a. (15) C t , Gt ≥ 0 ∀t = 0,...∞ dado K dado K 0 y lim ( t→∞
λt )K t+1 = 0. λ0
Construyendo el lagrangiano del problema se obtiene, ∞
{β u(C ) + λ [Y − C − G + (1 − δ )K − K L = t
t
t
t
t
t
K K
t
t+1 ]}.
t=0
En este caso tenemos una condici´on on de primer orden m´as as ya que hay una variable de decisi´on m´ as, as, el gasto p´ublico G ublico G t . Las condiciones de primer orden de este problema son (C t ) → β t u (C t ) = λ t (Gt ) →
∂Y t ∂G t
=1
(K t+1 ) → λt = λt+1 [F K (K t+1 , L) + (1 − δ K K )]
(λt ) → Y t = C t + Gt + K t+1 − (1 − δ K K )K t . Utilizando las condiciones de primer orden e imponiendo la condici´on de estado estacionario es sencillo obtener el ratio gasto p´ublico-capital ublico-capital en el estado estacionario, G∗ 1−α−φ = ∗ K α
1
β
− 1 + δ K K
(16)
Esta ecuaci´on on nos da el ratio gasto p´ublico-capital ublico-capital eficiente en el estado estacionario, que utilizaremos cuando hallemos el equilibrio de mercado para hallar los impuestos que maximizan el bienestar social. El equilibrio competitivo Para Para calcular calcular el equilibrio equilibrio competitivo competitivo de esta econom econom´ıa vamos vamos a considerar considerar que hay un impuesto sobre la renta τ Y Y que grava el ingreso de las familias proveniente de las rentas del trabajo y el capital. El problema de maximizaci´on de la familia representativa viene dado por, T
max
{C t ,I t }t=0 ∞
β u(C ) t
t
t=0
s.a. (10) y (11) C t , I t ≥ 0 ∀t = 0,...∞ λt dado K dado K 0 y lim ( )K t+1 = 0. t→∞ λ0 12
El lagrangiano y las condiciones de primer orden son los de una econom´ econom´ıa con un impuesto sobre la renta y por lo tanto la condici´on de Euler (12) sigue siendo v´alida. La diferencia es que ahora en la funci´on on de producci´on on est´a incluido Gt y adem´as as se debe cumplir que los ingresos del estado son iguales que sus gastos, es decir, G t = τ = τ Y (rt K t + wt L) = τ Y Y (r Y Y t . Todo ello unido a las condiciones de estado estacionario implica que el ratio gasto p´ublico-capital es G∗ τ Y Y = ∗ K α(1 − τ Y Y )
1
β
− 1 + δ K K .
(17)
De (17) se deduce que para que el valor de G∗ /K ∗ sea el ´optimo optimo definido en (16), se debe τ Y Y cumplir que 1−τ Y = 1 − α − φ y por lo tanto la tasa impositiva que maximiza el bienestar social Y es 1−α−φ τ Y . Y = 2−α−φ
13
