Apostila Raciocínio Lógico da FMB

F aculdade M ontes Belos Profes Pr ofesssor Coor denador: denador: M sc. An tôni tôni o Fl orenti no de L im a Júni Júni or Gerente Acadêmi ca: M e. Celany Qu ei r oz A ndr ade

2 Raciocínio Lógico

Faculdade Montes Belos

Este mater mater i al f oi des desenvol vido com o obj eti vo de el evar o conh ecime cim ento nt o dos acadê acadêmi cos da I ES, n i vel vel ando an do assi assi m os disc di sce en tes de todos os cur sos oferecidos of erecidos pela m esma. esma. T ambé m te t em por f i n ali al i dade un i f i car o conte cont eúdo min i str ado pel pel os profes pr ofesssore or es em sala de aul a.

A apostila foi criada a partir da junção junção de conteúdos referentes ao Raciocínio Lógico, principalmente principalmente com o enfoque da atualidade,

úblicos “Concursos P úblicos

e Enade ” como conteúdos básicos de (Teoria dos

Conjuntos, Probabilidade, Lógica de Argumentação, Lógica Quantitativa, Proporção e Análise Combinatória. O conteúdo disponível pode ser encontrado em sites específicos e livros. Todo tópico apresentado ha exercícios de fixação, sendo estes já aplicados e m concursos e ainda alguns inéditos.



Objetivo

Geral Introduzir noções básicas de Raciocínio Lógico Lógico e Probabilidade, tendo em vista a necessidade do emprego do mesmo em áreas diversas, bem como familiarizar o discente com a terminologia e as principais técnicas da lógica booleana.

Especifico - Apresentar ao aluno o ambiente que envolve o raciocino lógico e a sua importância para sua área; - Desenvolver a capacidade crítica e analítica do estudante através da discussão de exercícios e problemas; - Capacitar o aluno a desenvolver os principais modelos lógicos, identificando o mais apropriado para cada situações problemas; - Fazer com que o aluno seja capaz de criticar cada modelo apresentado a partir de sua experiência profissional e do material bibliográfico disponibilizado. disponibilizado.



Sumário

pág 1-SEQUÊNCIAS LÓGICAS Exercícios Propostos 1

07

2- TEORIA GERAL DOS CONJUNTOS

14

Exercícios Propostos 2

21

3- LOGICA ARGUMENTATIVA

27


39

4- PROPORÇÃO E RAZAO

44


48

5- PROBABILIDADE

53


59

6- ANÁLISE COMBINATÓRIA

66


70



1- SEQUÊNCIAS LÓGICAS

A FMB, é uma instituição de ensino superior solida, locada no município de São Luis de Montes Belos, e como ferramenta de estudo do conteúdo curricular dos Cursos vinculados à IES iremos apresentar agora o primeiro conteúdo de Raciocínio Lógico sobre seqüências lógicas. Os estudos matemáticos ligados aos fundamentos lógicos contribuem no desenvolvimento cognitivo dos alunos, induzindo a organização do pensamento e das ideias, na formação de conceitos básicos, assimilação de regras matemáticas, construção de fórmulas e expressões aritméticas e algébricas. É de extrema importância que o licenciado em Matemática utilize atividades extras envolvendo lógica, no intuito de despertar o raciocínio, fazendo com que o aluno utilize seu potencial na busca por soluções dos problemas matemáticos desenvolvidos em sala e baseados nos conceitos lógicos. A lógica está presente em diversos ramos da Matemática, como a probabilidade, os problemas de contagem, as progressões aritméticas e geométricas, as sequências numéricas, equações, equações, funções, análise de gráficos entre outros. Os fundamentos lógicos contribuirão na resolução ordenada de equações, na percepção do valor da razão de uma sequência, na elucidação de problemas aritméticos e algébricos e na fixação de conteúdos complexos. A utilização das atividades lógicas contribui na formação de indivíduos capazes de criar ferramentas e mecanismos responsáveis pela obtenção de resultados na disciplina de Matemática. O sucesso na Matemática está diretamente conectado à curiosidade, pesquisa, deduções, experimentos, visão detalhada, senso crítico e organizacional organizacional e todas essas características estão ligadas ao desenvolvimento lógico.




1-Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatros bolas , de acordo com as afirmativas abaixo é: A bola amarela está depois da branca. A bola azul está antes da verde. A bola que está imediatamente após a azul é maior do que está antes desta. A bola verde é a menor de todas as bolas. (A) Branca,amarela,azul e verde (B) Branca, azul, amarela e verde (C) Branca , azul , verde e amarela. (D) Azul , branca , amarela e verde (E) Azul, branca , verde e amarela 2- Em uma urna contendo 2 bolas brancas , 1 bola preta , 3 bolas cinzas , acrescenta-se 1 bola, que pode ser branca ,preta, ou cinza.Em seguida , retira-se dessa urna, sem reposição, um total total de 5 bolas.Sabe-se que que apenas 2 das bolas retiradas eram brancas brancas e que não restaram bolas pretas na urna após a retirada. Em relação ás bolas que restaram na urna , é correto afirmar que: (A) ao menos uma é branca. (B) necessariamente uma é branca (C) Ao menos uma é cinza (D) exatamente exatamente uma é cinza (E) todas são cinzas 3-Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MÊS, SIM, BOI, BOL e ASO, sabe-se que: - MÊS não tem letras em comum com ela; 7 Raciocínio Lógico


- SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição: - BOI tem uma única letra em comum com ela, que esta na mesma posição; - BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição; - ASO tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição. A sigla a que se refere o enunciado dessa questão questão é (A)BIL

(B) ALI

(C) LAS

(D) OLI

(E) ABI

4-Em um mês, Laura despachou dois processos a mais que o triplo dos processos despachados por Paulo. Nesse mesmo mês, Paulo despachou um processo a mais que Rita. Em relação ao total de processos despachados despachados nesse mês pelos três juntos é correto dizer que é um número da seqüência: (A)1, 6, 11, 16, ...

(B)2, 7, 12, 17, ...

(D)4, 9, 14, 19, ...

(E)5, 10, 15, 20, ...

(C)3, 8, 13, 18, ...

5-Observando o calendário de um certo ano, Gabriel percebeu que havia dois meses consecutivos que totalizavam 60 dias. Se esse ano começa em uma segunda-feira, então termina em uma (A) segunda-feira. (B) terça-feira. (C) quarta-feira. (D) quinta-feira. (E) sexta-feira.

6-No dia 29 de dezembro de 2006 quatro técnicos judiciários de uma mesma Secretaria da Justiça Federal - Eugênio, Nair, Raul e Virgínio - entregaram seu relatório mensal de atividades, não necessariamente nessa ordem. Considere Co nsidere as informações seguintes: - as funções que esses técnicos desempenham na Secretaria são: manutenção de computadores, computadores, motorista, operador de computadores e segurança; segurança; 8 Raciocínio Lógico


- a última pessoa a entregar o relatório não nasceu em Maringá; - após Virgínio, que é motorista, entregar seu relatório, o operador de computadores entregou o dele; - Eugênio, que nasceu em Londrina, entregou seu relatório depois de Raul, que faz a manutenção de computadores; - o segurança não foi o primeiro a entregar o relatório; r elatório; - o técnico que nasceu em Cascavel entregou seu relatório logo depois de Nair, que nasceu em Bagé. Com base nessas informações, é correto afirmar que (A) Eugênio foi o primeiro a entregar o relatório. (B) Nair é operadora de computadores. (C) Raul nasceu em Maringá. (D) Virgínio foi o último a entregar o relatório. (E) a pessoa que nasceu em Londrina foi a segunda a entregar o relatório. 7-Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.

O número de circunferências que compõem a 100º figura dessa sucessão é (A) 5 151 (B) 5 050 (C) 4 950 (D) 3 725 (E) 100 8-Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se um número compreendido entre (A) 150 e 170 (B) 130 e 150 9 Raciocínio Lógico


(C) 110 e 130 (D) 90 e 110 (E) 70 e 90 9-Note que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi formada a partir da palavra da esquerda segundo um determinado critério. acatei - teia

– iras assumir –

moradia - ?

-Se o mesmo critério for usado para completar a terceira linha, a palavra que substituirá corretamente o ponto de interrogação é (A) adia. (B) ramo. (C) rima. (D) mora. (E) amor. 10-Considere que a seqüência seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada for mada a partir de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem t em 23 letras, então, de acordo com esse critério, a próxima letra dessa seqüência deve ser (A) P

(B) R

(C) S (D) T (E) U

11-Se o dia 08 de março de um certo ano foi uma terça-feira, então o dia 30 de julho desse mesmo ano foi (A) uma quarta-feira. (B) uma quinta-feira. (C) uma sexta-feira. (D) um sábado. (E) um domingo.



11. Assinale a alternativa que substitui a letra x.

(A) 29 (B) 7 (C) 6 (D) 5 (E) 3 12. Durante todo o mês de março de 2007, o relógio de um técnico estava adiantando 5 segundos por hora. Se ele só foi acertado às 7h do dia 2 de março, então às 7h do dia 5 de março ele marcava (A) 7h 5min (B) 7h 6min (C) 7h 15min (D) 7h 30min (E) 8h 13- Em relação à disposição numérica seguinte, assinale a alternativa que preenche a vaga assinalada pela interrogação: 2

8

5

6

8

?

11 11

Raciocínio Lógico


(A) 1 (B) 4 (C) 3 (D) 29 (E) 42

14- Qual dos cinco desenhos é menos similar aos outros quatro?

15- Você terá de fazer comparações entre desenhos. Exemplo: Qual dos cinco faz a melhor comparação? comparação?

GABARITO 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

B

C

B

A

B

B

B

A

E

A

C

B

B

E

C

Bibliografia

VILLAR,

B.

Núcleo

Preparatório

Para

Concursos.

Disponivel

em:

www.cursojuridico.com/euvoupas www.cursojuridico .com/euvoupassar/upload/2313.do sar/upload/2313.docc Acessado em: 22 de outubro de 2012. 12 Raciocínio Lógico


Disponível

em:

http://educador.brasilescola.com/estra http://educador.brasile scola.com/estrategias-ensino/seque tegias-ensino/sequencia ncia

logica.htm.. Acessado em: 22 de outubro de 2012. logica.htm Gomes, F. Q. Disponível em:

http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAPpwAD/

raciocinio-logico Acessado em: 12 de outubro de 2012.



2- TEORIA GERAL DOS CONJUNTOS

Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada para o seu desenvolvimento. desenvolvimento.

A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas. Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da

teoria dos Conjuntos. Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento , conjunto e pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao

conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que é pertinência.

Notação e Representação Representação A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir. A. Listagem dos Elementos Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais. Exemplos 14 Raciocínio Lógico


1º)

Seja A

conjunto

o

das

cores

da

bandeira

brasileira,

então:

alfabeto,

então:

A = {verde, amarelo, azul, branco}

2º)

Seja

B

o

conjunto

das

vogais

do

nosso

B = {a, e, i, o, u}

3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9}

B. Uma Propriedade de seus elementos A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos. A = { x / x possui uma determinada propriedade P }

Exemplos 1º) B

Seja =

B

o

{ x

conjunto /

x

das é

vogais

do

vogal

nosso do

alfabeto, nosso

então: alfabeto}

2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = { x/ x x é algarismo do sistema decimal de

numeração}

Diagrama de Euler-Ven



A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado. Exemplo

Relação de Pertinência Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:

em que que o símbolo

é uma uma versão versão da letra grega epsílon e está está consagrado consagrado em toda toda

matemática como símbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence

ao conjunto A, indicamos:

Exemplo Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8} O algarismo 2 pertence ao conjunto A:

O algarismo 7 não pertence ao conjunto A:



Relação de Inclusão Subconjuntos Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte seguinte símbologia:

Obs. – Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:

O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:

Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é

subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto é subconjunto dele mesmo. Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.



Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o segundo é o conjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisas diferentes e como tal devem ser tratadas. tr atadas. Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir: {1, 2} é um conjunto, porém no conjunto A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2}

A.

Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.

Conjuntos Especiais Embora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum. Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento. Exemplos 1º) Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2} 2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua} 3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}



Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um

conjunto vazio considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível. impossível.

Exemplos 1º) Conjunto das raízes reais da equação: x2 + 1 = 0

2º) Conjunto:

O conjunto vazio vazio pod podee ser ser apres apresen entad tadoo de dua duass formas formas::

ou { }

( é uma letra letra de

origem norueguesa). Não podemos confundir as duas notações representando o

conjunto vazio vazio por { elemento é o

}, pois pois esta estaría ríamos mos apres apresent entand andoo um um conjunto unitário cujo

.

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo. Demonstração Vamos admitir que o conjunto vazio não esteja contido num dado conjunto A. Neste caso, existe um elemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao

conjunto A, o que é um absurdo, pois o conjunto vazio não tem elemento algum. Conclusão: o conjunto vazio está contido no conjunto A, qualquer que seja A.

Conjunto Universo Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este

conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U . 19 Raciocínio Lógico


Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que for estabelecido. Exemplos 1º) A equação 2 x3 – 5 x2 – 4 x + 3 = 0 apresenta:

Conjunto de Partes A), é o Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P ( A

conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. A. Determinação do Conjunto de partes Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos:

1º) 1º) Sub Subco conj njun unto to vazi vazio: o:

, poi poiss o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}. 3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}. A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto 4º) Subconjuntos com três elementos: A

dele mesmo. Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P ( A A) = {

, {2}, {2}, {3}, {3}, {5}, {5}, {2, {2, 3}, 3}, {2, {2, 5}, 5}, {3, {3, 5}, 5}, {2, {2, 3, 5}} 20

Raciocínio Lógico


B. Número de Elmentos do conjunto de partes Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja A). Para isso, basta necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P ( A

partirmos da idéia de que cada elemento do conjunto A tem duas opções na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele não pertence ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras de contagem, se cada elemento apresenta duas opções, teremos: ter emos:

Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, P ( A A)] = 23 = 8, o que portanto, é de se supor, pelo uso da relação apresentada, que n [ P

de fato ocorreu.

Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos: {1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}


1. (Enem 2008) O jogo-da-velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome "velha" surgiu do fato de esse jogo ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas que tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro 3 × 3 devem conseguir alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da peça com a qual irá jogar, coloca 21 Raciocínio Lógico


uma peça por vez, em qualquer casa do tabuleiro e passa a vez para o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças.

No tabuleiro representado r epresentado na figura estão registradas as jogadas de dois adversários em um dado momento. Observe que uma das peças tem formato de círculo e a outra tem a forma de um xis. Considere as regras do jogo-da-velha e o fato de que, neste momento, é a vez do jogador que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima jogada, esse jogador pode posicionar a peça no tabuleiro de

a) uma só maneira. b) duas maneiras maneiras distintas. c) três maneiras distintas. d) quatro maneiras distintas. e) cinco maneiras distintas.

2. (Fgv 2005) Em relação a um código de 5 letras, sabe-se que o código

- CLAVE não possui letras em comum; - LUVRA possui uma letra let ra em comum, que está na posição correta; - TUVCA possui duas letras em comum, uma na posição correta e a outra não; - LUTRE possui duas letras em comum, ambas na posição correta. Numerando, da esquerda para a direita, as letras do código código com 1, 2, 2, 3, 4 e 5, as informações dadas são suficientes para determinar, no máximo, as letras em a) 1 e 2. b) 2 e 3. c) 1, 2 e 3. d) 1, 3 e 4. e) 2, 3 e 4. 22 Raciocínio Lógico


3. (Ibmec rj 2009) Durante uma conversa de bar, seis professores discordaram sobre quais times foram campeões cariocas em três anos remotos (A, B, C). Seus palpites estão na tabela a seguir:

Verificou-se, depois, que cada um havia acertado ao menos um palpite. Pode-se garantir que os campões, nos anos A e C, foram, respectivamente:

a) Botafogo e Botafogo. b) Fluminense e Fluminense. c) Botafogo e Fluminense. d) Botafogo e Flamengo. e) Flamengo e Botafogo.

4. (Pucpr 2005) Um quadrado mágico é um arranjo quadrado de números tais que a soma dos números em cada fila (linha ou coluna) e nas duas diagonais é o mesmo. Os nove números n, n + 3, n + 6, ..., n + 24, em que n é um número inteiro positivo, podem ser

usados

para

construir

um

quadrado

mágico

de

três

por

três.

A soma dos números de uma fila deste quadrado vale: a) 3n + 6 b) 3n + 36 c) 3n 23 Raciocínio Lógico


d) 3n + 24 e) 3n + 12

5. (Ufjf 2003)

A figura mostra um pacote em forma de um prisma retangular reto de dimensões 10 cm, 20 cm e 40 cm, amarrado com barbante. Sendo reservados 20 cm para o laço, a quantidade mínima de metros de barbante necessária para amarrar este pacote é de:

a) 1,10 m. b) 1,30 m. c) 2,00 m. d) 2,20 m. e) 2,40 m.

6. (Ufmg 2003) Num campeonato de futebol, 16 times jogam entre si apenas uma vez. A pontuação do campeonato é feita da seguinte maneira: 3 pontos por vitória, 1 ponto por

empate

e

nenhum

ponto

por

derrota.

Considere que um desses times obteve 19 pontos ao final do campeonato. 24 Raciocínio Lógico


Assim sendo, é INCORRETO afirmar que, para esse time, a) o número de derrotas é, no máximo, igual a sete. b) o número de vitórias é, pelo menos, menos, igual a dois. c) o número de derrotas é um número par. d) o número de empates não é múltiplo de três.

7. (Ufrrj 2003) Ronaldo brincava distraído com dois dados que planificados ficavam da seguinte forma:

Marcelo seu primo, observava e imaginava quais seriam as possíveis somas dos resultados dos dois dados, se esses, quando lançados sobre a mesa, ficassem apoiados sobre

as

suas

faces

sem

numeração.

O resultado da observação de Marcelo corresponde a

a) 3, 4, 6 e 8. b) 3, 4, 8 e 10. 10. c) 4, 5 e 10. d) 4, 6 e 8. e) 3, 6, 7 e 9.

8. (Ufsm 2002) Uma colmeia nova tem 8000 abelhas. Destas, a cada dia que passa, morrem 200. Do 21º. dia em diante, nascem diariamente 2000 abelhas que vivem, em 25 Raciocínio Lógico


média, 40 dias. Após um certo tempo, o número de abelhas dessa colmeia se estabilizará em, aproximadamente, aproximadamente, a) 38000 b) 40000 c) 60000 d) 80000 e) 100000

9. (Unifesp 2005) Certo dia um professor de matemática desafiou seus alunos a descobrirem as idades x, y, z, em anos, de seus três filhos, dizendo ser o produto delas igual a 40. De pronto, os alunos protestaram: a informação "x . y . z = 40" era insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do número 40 cujo produto é 40. O professor professor concordou e disse, disse, apontando para para um dos alunos, que a soma soma x + y + z das idades (em anos) era igual ao número que se podia ver estampado na camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar impossível responder com segurança, mesmo sabendo sabendo que a soma era um número conhecido, o que levou o professor a perceber que eles raciocinavam corretamente (chegando a um impasse, provocado por duas ternas). Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações definitivas: seus três filhos haviam nascido no mesmo mês e, naquele exato dia, o caçula estava fazendo aniversário. Neste caso a resposta correta é: a) 1, 5, 8 b) 1, 2, 20 c) 1, 4, 10 d) 1, 1, 40 e) 2, 4, 5



GABARITO 1

2

3

4

5

6

7

8

9

B

B

A

B

E

A

D

D

A

Bibliografia Disponível em: http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/conjunto s.asp Acessado em: 12 de novembro de 2012. Gomes, F. Q. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAPpwAD/ raciocinio-logico Acessado em: 12 de outubro de 2012.



3- LOGICA ARGUMENTATIVA Tabela Verdade A linguagem usada pelo silogismo é a linguagem natural que acarreta muitos problemas para sua análise, análise, como seu caráter coloquial, metafórico, metafórico, emotivo que se lhes possam atribuir. Além disso, há argumentos que não podem ser analisados com os diagramas de Venn e carroll, não podemos saber sobre sua validade ou invalidade. Dessa forma, a lógica simbólica foi criada para superar as dificuldades da língua natural. A lógica moderna é puro simbolismo do tipo matemático, preocupando-se cada vez menos com o conteúdo material das proposições e com as operações intelectuais ou estruturas do pensamento. A lógica tornou-se plenamente formal. O seu precursor foi Frege no final do século XIX e desenvolvido posteriormente no século XX por Whitehead, Bertrand Russel e Wittgenstein. Neste capítulo nós usaremos o método criado por Wittgenstein, que é o mais moderno e mais aceito pelos lógicos.A linguagem simbólica criada por Wittgenstein usa um sistema fechado de signos ou símbolos, onde cada símbolo é símbolo de um único objeto ou coisa a ser representada e corresponde a uma única significação. Todo símbolo deve indicar um objeto ou algo que pode ser verificado. Por exemplo, H ²O, CO². são símbolos denotativos, pois indicam um só objeto ou um só sentido. Para caracterizar a ciência em oposição à filosofia, Wittgentein mostrou que as proposições da filosofia não são significativas, são pseudo-proposições. pseudo-proposições. Enunciados só são significativos se, e somente se, eles podem ser reduzidos a proposições elementares ou atômicas. Um enunciado significativo deve descrever fatos atômicos, ou seja, fatos que podem ser “observados” e “verificados” na experiência. Uma proposição elementar

ou atômica é a figuração de um fato elementar ou atômico na realidade, isto é, de estados de coisas atômicos. As proposições elementares ou atômicas são descrições ou “afigurações da realidade”. São um quadro, um retrato da realidade. Por exemplo, as

sentenças: Platão é um bípede sem pena João é gordo e careca Oxigênio produz combusta.



Essas proposições são juízos de percepção que descrevem a realidade. Com efeito, são proposições que podem ser reduzidas a proposições elementares da lógica formal. A lógica torna-se a linguagem ideal para todas as ciências. Podemos substituir as proposições acima por símbolos, tais como p q – lemos p e q - Platão é um bípede sem penas; Oxigênio produz combustão (p→q), lemos p implica q. A linguagem cientifica

deve ser substituída por uma linguagem simbólica, eliminando assim os erros da linguagem comum. Ela é um instrumento de análise que busca determinar as proposições significativas, como as inferências legítimas de toda as ciências. Para Wittgentein, somente a proposição é dotada de sentido e significado, nomes isolados apenas denotam o objeto, não possuem sentido. A proposição é uma figuração de fatos e não de coisas isoladas. O mundo não é a totalidade das coisas, mas a totalidade dos fatos. O mundo é totalidade dos fatos, não das coisas. O mundo decompõe-se em fatos Para Wittgentein, “a proposição é uma imagem da realidade. A proposição é um

modelo da realidade tal com o nós a pensamos”. Quando digo: a porta está aberta, faço um recorte da realidade, faço uma figuração de um fato. Assim, este enunciado só pode ter dois valores de verdade: é verdadeiro ou é falso. Se corresponder à realidade ele é verdadeiro, se não corresponder é falso. Cada elemento que compõe a realidade deve ter uma correspondência no domínio da proposição. Os nomes que representam o objeto se combinam para formar a proposição, com efeito, representam os “estados de coisas”. A

proposição é uma imagem da realidade: se eu compreendo a proposição, então conheço a situação por ela representada. E compreendo a proposição sem que o seu sentido me tenha sido explicado. O que há de comum entre a proposição proposição e a realidade é a forma forma dos objetos, isto é, a forma lógica. Devemos entender essa forma como uma determinada possibilidade de combinação dos objetos entre si. É a forma lógica que estabelece a conexão necessária entre as proposições e os fatos. O que cada figuração, de forma qualquer, deve sempre ter em comum com a realidade para poder figurá-lo em geral – correta ou falsamente – é a forma lógica, isto é, a forma da d a realidade. Wittgentein sempre acreditou na existência de uma ordem a priori no mundo, assim como no pensamento. Devemos lembrar que a linguagem é a expressão do pensamento. Só podemos pensar e falar sobre o mundo, porque há algo em comum entre linguagem e



mundo. Ambas possuem uma estrutura lógica. A lógica possibilita a linguagem representar o mundo. O mundo é lógico. Há uma aureola à volta do pensamento. – A sua essência, a lógica, representa uma ordem, de fato a ordem a priori do mundo, isto é, a ordem das possibilidades que têm que ser comuns ao mundo e ao pensamento. Mas parece que esta ordem tem que ser supremamente simples. É a ordem que precede toda experiência, que corre ao longo de toda experiência, à qual não se deve pegar nada do que é turvo e incerto na experiência. – Tem que ser do mais puro cristal. Mas este cristal não parece ser uma abstração, mas algo de concreto, como a coisa mais dura que há, (…) (Investigações, 97)

Para ficar mais claro esta idéia, daremos um exemplo ilustrativo. Imaginem que estivéssemos em Limeira, mas não sabemos como chegar em São Carlos. A primeira atitude a tomar é olhar um mapa. No mapa, percebemos que para chegar em São Carlos teremos que pegar a rodovia Washington Luiz, passar por Rio Claro, até, finalmente, chegarmos em São Carlos. · São Carlos ·Rio Claro · Limeira Este diagrama é uma representação representação que nos mostra as posições relativas das cidades na Rodovia Washington Luiz. Nota-se que a cidade de Rio Claro fica entre Limeira e São Carlos. Temos aqui uma representação que pode ser verdadeira ou falsa. O diagrama me diz que entre as cidades nomeadas existe a mesma articulação espacial que existe entre os nomes. A rodovia Washignton Luiz, que é representado por uma linha, liga os nomes das cidades numa relação espacial. A mesma relação espacial que existe entre as cidades é figurada no mapa. O mapa poderia ser falso. Essa relação poderia não existir, mas o mapa não deixaria de ser significativo. É isso que Wittgentein chama a forma da afiguração, ou seja, é o que há de comum entre a representação e o representado. O que há de comum, portanto, entre o mapa e a realidade, é a forma lógica. A concatenação dos elementos da representação é a mesma concatenação que existe na realidade. Decorre disso, que o mundo possui um espaço lógico que se reflete na linguagem. A linguagem torna-se, portanto, o espelho do mundo. Tudo o que ocorre no mundo pode ser expresso pela linguagem. A linguagem é o retrato de tudo o que ocorre e de tudo que não ocorre. Através da estrutura lógica da linguagem, podemos compreender a estrutura lógica do mundo. Compreender o sentido 30 Raciocínio Lógico


de uma proposição é saber como devemos chegar a uma decisão sobre sua verdade ou falsidade. Devemos mostrar se ela é suscetível de ser verificada por uma evidência do tipo observacional. Uma proposição é significativa se ela “espelha os fatos”, isto é, se

ela pode ser verificada na experiência ou se ela é uma conseqüência lógica de proposições de observação. observação. A verificabilidade completa, aqui exigida, de forma alguma é a verificação completa, mas a possibilidade lógica de um conjunto de dados verificadores concludentes, concludentes, formulados em proposições de observação. Isto significa que proposições referentes a regiões inacessíveis do espaço e do tempo, por exemplo, podem muito bem ser completamente verificáveis. Para Wittgestein uma teoria somente é significativa se ela mantêm uma relação intrínseca com a realidade, ou seja, se as proposições da teoria possuem uma significação empírica. Contudo, a realidade não é apenas aquilo que vemos, sentimos ou podemos ter a experiência. A realidade se constitui pela soma dos estados de coisas subsistentes, isto é, dos fatos e dos estados de coisas possíveis, ou seja, daqueles que não subsistem, mas podem vir a existir. A subsistência e a não subsistência dos estados de coisas é a realidade (Chamamos de fato positivo a subsistência de estados de coisas e de negativo a não subsistência deles), A totalidade dos fatos determina, pois, o que ocorre e também tudo o que não ocorre. Os compromissos que governam a ciência normal especificam não apenas as espécies de entidades que o universo contém, mas também, implicitamente, aquelas que não contém. (Kuhn, 1991, p. 26). Uma vez que aprendemos algumas noções propedêuticas da lógica de Wittgenstein, vamos agora ao simbolismo. → “implica” ou “se…então” “ou” “e” ↔ “equivalente” ou “se e somente se” .˚. “portanto” ou “logo” a,b, p, q, r, s “proposições atômicas” p

q; p

q; p → q; p ↔ q . “proposições “proposições moleculares”

Os símbolos nos permitem transformar um argumento da linguagem coloquial em um argumento lógico matemático. Por exemplo: 31 Raciocínio Lógico


Só há combustão se houver oxigênio Na lua não há oxigênio. Logo, na lua não pode haver combustão. O argumento teria a seguinte forma: p=combustão q=oxigênio p → q

Só há combustão se houver oxigênio

>q

não há oxigênio

.º. >p

não há combustão

Vamos dar mais um exemplo: p=José tem uma blusa branca; q=José tem uma blusa preta José tem uma blusa branca ou José tem uma blusa preta José não tem uma blusa branca Portanto, José tem uma blusa preta p v q >p .º. q Nós apresentamos aqui um argumento de implicação e outro de disjunção. Mas para sabermos se esses esses argumentos são válidos válidos ou inválidos devemos recorrer as tabelas tabelas de verdade. Como já foi mostrado, se admitimos como verdadeiras as premissas de um argumento, também, por uma necessidade lógica, devemos admitir a conclusão como verdadeira. Esse argumento torna mais clara essa idéia: 10>9, 9>7, portanto, 10>7. Se admitirmos que as premissas são verdadeiras, a conclusão também deve ser verdadeira, ela decorre necessariamente das premissas. O objetivo das tabelas de verdade é mostrar todas as ocorrências dos valores de verdade em um argumento, com isso, nos permitir averiguar se existe pelo menos uma atribuição de valores de verdade que torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Se houver tal atribuição, o argumento é inválido; se não houver, o argumento é válido. Parece confuso, mas os exemplos devem tornar mais claros a finalidade das tabelas de verdade. Dado quaisquer enunciados p e q, só existem quatro conjuntos de valores de verdade que lhes possamos atribuir. Se p é verdadeiro e q é verdadeiro Se p é verdadeiro e q é falso, Se p é falso e q é verdadeiro, Se p é falso e q é falso,



p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

Nós apresentamos os possíveis valores de verdade para p e q, nós também podemos negá-los usando o sinal de “>” (chamamos negação). Quando p e q são verdadeiro, >p e >q são falsos, da mesma forma quando p e q são falsos >p e >q são verdadeiros. p

q

>p

>q

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

Agora vamos aprender os valores de verdade dos quatro conectivos lógicos. Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p ^ q é verdadeiro Se p é verdadeiro verdadeiro e q é falso, falso, p ^ q é falso Se p é falso e q é verdadeiro, p ^q, é falso Se p é falso e q é falso, p ^q é falso p

q

p^q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Nós temos até agora o conjunto de valores de verdade da conjunção. A partir daqui nós já podemos desenvolver um pequeno argumento e saber se ele é inválido ou não. O Brasil foi campeão em 2002 Portanto, a Itália será campeã em 2006 2 006 Será que há uma relação causal entre essas duas proposições? O fato do Brasil ser campeão em 2002 torna possível a Itália ser campeã em 2006. Nós mostraremos através de uma tabela de verdade que este argumento é inválido. p

q

V

V 33

Raciocínio Lógico


V

F *

F

V

F

F

Este argumento é inválido, pois ele vai contra a nossa definição de argumento válido. Um argumento é válido se, e somente se, é impossível que suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Nota-se que na segunda linha a premissa é verdadeira e a conclusão falsa, esse argumento é, portanto, inválido. Vamos fazer mais um argumento para tornar mais clara a finalidade das tabelas de verdade. João é careca e usa peruca

p^q

João é careca

p

Portanto, João não usa peruca .°. > q Parece obvio que este argumento é inválido, uma vez que, se João é careca e usa peruca, então, decorre necessariamente necessariamente disso que, se ele não é careca, ele também não usa peruca. Mas a nossa conclusão diz exatamente o contrário, ou seja, que João não usa peruca, apesar apesar de ser careca. careca. Vamos analisar pelas pelas tabelas de verdade. verdade. A primeira coisa a fazer é estabelecer os quatro valores de verdade de p e q, depois os valores do conectivo de conjunção conjunção (p^q), que será nossa primeira premissa do argumento, argumento, logo após devemos apenar copiar os valores de verdade da proposição atômica p, que será a segunda premissa e, por último, devemos negar os valores de verdade da proposição atômica q, que será nossa conclusão. Valores p

q

V

premissa

premissa

conclusão

p^q

p

>q

V

V

V

F *

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

F

F

V

Nós finalmente montamos a matriz do argumento. Ele é inválido, pois na primeira linha ele torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Todo argumento só é inválido se é possível que suas suas premissas sejam verdadeiras verdadeiras e a conclusão falsa. Essa definição deve ficar bem clara na mente do leitor. Ela que deve nos guiar para sabemos se um argumento é válido válido ou inválido através do uso de tabelas de verdade. verdade. Por 34 Raciocínio Lógico


exemplo, se eu admitir como verdadeira as premissas, eu também tenho que admitir a conclusão como verdadeira. Se eu admitir que todo homem é mortal e que Sócrates é homem, eu também tenho que admitir, baseando-se nas premissas, que Sócrates é mortal. A conclusão decorre decorre necessariamente necessariamente das premissas. Por isso que as tabelas nos nos servem para identificar os argumentos inválidos. Vamos agora construir um novo argumento, mas usando um novo conectivo. Nós usaremos o conectivo de implicação (→), que já falamos um pouco no começo da

explicação sobre sobre tabelas de verdades. verdades. Mas antes, vamos construir os possíveis valores valores de verdade da implicação. Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p→q é verdadeiro Se p é verdadeiro e q é falso, p→q é falso Se p é falso e q é verdadeiro, p→q é verdadeiro

Se p é falso e q é falso, p→q é verdadeiro Agora que sabemos sabemos os valores de verdade da implicação, vamos vamos a análise do argumento. Primeiramente vamos transformar o argumento em símbolos. Logo após construiremos os quatro valores de verdade de p e q. Essa construção é necessária em todo argumento. Vamos então a primeira premissa (p → q), construiremos os possíveis

valores da implicação, que já mostramos acima. Depois construiremos os valores de verdade da proposição atômica q, ou seja, de sua negação; basta apenas inverter os valores de q, negando-os.A proposição >p constitui nossa segunda premissa. Por último, construiremos os valores de verdade verdade da proposição atômica p, basta apenas copiá-lo copiá-lo da primeira coluna. Só há combustão se houver oxigênio

Valores

p → q

Na lua não há oxigênio oxigênio

>q

Portanto, na lua não há combustão

.º. >p

Premissa

Premissa

Conclusão

p

q

p → q

>q

>p

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

V

V

*

Esse argumento, como podemos notar, é válido. Não há nenhuma linha da tabela que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Ao contrário percebemos na 35 Raciocínio Lógico


última linha que a conclusão decorre necessariamente das premissas, tanto a premissa como a conclusão são verdadeiras. Até o momento nós construímos os valores de verdade da conjunção e da implicação. Faltam apenas a tabela da disjunção e da equivalência. Vamos construir a tabela de verdades da disjunção para construirmos um argumento. Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p v q é verdadeiro v erdadeiro Se p é verdadeiro e q é falso, p v q é verdadeiro Se p é falso e q é verdadeiro, p v q é verdadeiro Se p é falso e q é falso, p v q é falso

Agora que construímos os valores de verdade da disjunção, temos que analisar um argumento. A primeira coisa é transformar o argumento em símbolos. Logo após construiremos os quatro valores de verdade de p e q. Uma vez feito isso, começaremos analisar o argumento. Ao lado dos valores de verdade de p e q colocamos a tabela da disjunção, que mostramos acima. Ela constitui nossa primeira premissa. A segunda premissa é a negação da proposição atômica q, basta apenas pegarmos os valores de verdade de q e negarmos. A conclusão, por sua vez, é p, basta apenas copiarmos os valores de verdade de p. Assim temos a tabela de verdade do argumento. João é careca ou João tem cabelos

pvq

João não tem cabelos

>q

Portanto, João é careca

.º. p

Valores

Premissa

Premissa

Conclusão

p

q

pvq

>q

p

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V*

F

V

V

F

F

F

F

F

V

F

O argumento que analisamos é válido, uma vez que não há nenhuma linha da tabela de verdades que torne as premissas premissas verdadeiras e a conclusão conclusão falsa. Ao contrário, na segunda linha temos todas as premissas verdadeiras, assim como sua conclusão verdadeira. O argumento é, portanto, válido. 36 Raciocínio Lógico


Vamos construir nossa última tabela de verdades, que é o de equivalência. Assim teremos uma tabela completa com todos os valores de verdade dos quatro conectivos: conjunção, implicação, disjunção e equivalência. A construção dessa única tabela com todos os valores de verdade dos conectivos é importante, pois é com ela que analisaremos qualquer argumento que use proposições atômicas e moleculares. Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p ↔ q é verdadeiro Se p é verdadeiro e q é falso, p ↔ q é falso Se p é falso e q é verdadeiro, p ↔ q é falso

Se p é falso e q é falso, p ↔ q é verdadeiro Agora vamos construir construir um argumento que use equivalência. Primeiramente Primeiramente devemos transformar o argumento em símbolos. João casa-se com Maria se, e somente se, Maria casa-se com João João quer casar com Maria Maria não se casa com João p ↔ q

p .º. >q Uma vez que transformamos o argumento em símbolos, vamos começar montando a tabela de verdades. A primeira coisa a fazer é construir os valores de verdade de p e q. Logo após devemos construir a tabela de equivalência, que já mostramos acima, basta apenas copiar seus valores. Ela constitui nossa primeira premissa. A segunda premissa é a proposição atômica p, basta apenas copiar seus valores da primeira fileira das tabelas de verdade. A conclusão, por sua vez, é a negação da proposição atômica q, basta apenar negar q na segunda fileira das tabelas de verdade. Com isso a tabela construída ficaria assim: Valores

premissa

premissa

conclusão

p↔ q

p

>q

p

q

V

V

V

V

F *

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

F

V

É fácil perceber que este argumento é inválido. Como já dissemos um argumento é inválido quando é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. 37 Raciocínio Lógico


Nota-se que a primeira linha da tabela de verdades torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. O argumento é, portanto, inválido. Além do que dissemos até aqui pode haver a relação de equivalência entre proposições. Uma proposição é equivalente a outra se elas sempre têm o mesmo valor de verdade: quando uma é verdadeira, a outra também é verdadeira; quando uma é falsa, a outra também é falsa. Por exemplo, as proposições (p q) é equivalente a (q p), nós representamos [(p q) (q p)]. Vamos montar uma tabela de verdades verdades para para mostrar que (pàq) é equivalente equivalente a >(p ^ >q). Ou seja, vamos mostrar mostrar que ambas as proposições proposições possuem os mesmos mesmos valores de verdade. verdade. Nós representamos: representamos: [(pàq)

>(p ^ >q)].

Primeiro vamos fazer a tabela de verdade de p à q p

q

p-> q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Observe os valores de verdade verdade de p-> q, são eles: V, F, V, V. Mostraremos que eles eles são equivalentes a >(p ^ >q). p q

p

>q

(p ^ >q)

> (p ^ q)

V V

V

F

F

V

V F

V

V

V

F

F V

F

F

F

V

F F

F

V

F

V

Primeiro estabelecemos os valores de p e q, depois copiamos os valores de p novamente e negamos q. Através de p e >q nós fizemos a tabela tabela de valores de p ^ >q. Finalmente nós a negamos. Com isso encontramos os valores de > (p ^ >q) que são: V, F, V, F Agora que construímos nossa última tabela de verdade de equivalência, temos a tabela de verdades completa. Ela torna-se importante para o estudante, pois é com ela que podemos analisar qualquer argumento que use proposições atômicas e moleculares. Vamos montá-la abaixo. p

q

p^q

p -> q

pvq

p↔ q



V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V


1- Dê o valor lógico das proposições abaixo: (1,0 ponto). I-

considere v = V e f = F.

II-

considere v = V e f =V.

III-

considere v = F e f = V.

IV-

considere v = F e f = F. Considere as colunas I, II, III e IV. I

II

III

IV

a)v ˄ f

g)v ˄ f

m)v ˄ f

s)v ˄ f

b)v ˅ f

h)v ˅ f

n)v ˅ f

t)v ˅ f

c)v → f

i)v → f

o)v → f

u)v → f

d)v ↔ f

j)v ↔ f

p)v ↔ f

v)v ↔ f

e) ̴ v

k ) ̴ v

q) ̴ v

w) ̴ v

f ) ̴ f

l) ̴ f

r ) ̴ f

x) ̴ f

Marque a opção correta: 39 Raciocínio Lógico


a) a = F, b = V, c = V, d = F, r = V. b) b = V, i = V, p = F, q = V, s = V. c) c = V, i = F, q = F, t = v, u = F. d) e = F, g = V, n = V, r = F, x = F. e) f = V, g = V, o = V, u= V, w = V.

2- Dê o valor lógico das seguintes proposições: (1,0 ponto). I- Se 2 é par, então 3 é impar. II- Se 3 é impar, então 4 é par. III- Ou 3 é par ou 3 é impar. IV-4 IV- 4 é par ou 2 é impar. Marque a opção correta: a) I está correta e II está incorreta. b) I está correta e III está incorreta. in correta. c) I está correta e IV está incorreta. d) Ou I está correta ou II está correta. e) I está correta ou II está correta. 3- Sabendo que GYN é a capital de Goiás e que BH é a capital de Minas Gerais então, marque a alternativa incorreta: (1,0 ponto). a) GYN é a capital de Goiás e BH é a capital de Minas Gerais. b) GYN é a capital capital de Goiás ou BH BH é a capital de Minas Minas Gerais. c)Se GYN é a capital de Goiás, então BH é a capital de Minas Gerais. d) GYN é a capital de Goiás, se e somente se BH é a capital de Minas Gerais. e) Ou GYN é a capital de Goiás ou BH é a capital de Minas Gerais. 4- Sabendo que que o valor lógico Verdade = r, e que Falso = t. Avalie Avalie as sentenças: sentenças: (1,0

ponto). a) P ↔ Q, se P = r e Q = r. 40 Raciocínio Lógico


b) P ˄ Q, se P = r e Q = t. c) Q ˅ P, se P = t e Q = r. d) Q → P, se P = t e Q = t. Marque a alternativa certa: a) V, V, V e V. b) V, F, V e V. c) V, F, F e V. d) V, F, F e F. e) F, F, F e F.

5- Julgue os itens a seguir a seguir: (1,0 ponto). I- A FMB está em São Luis de Montes Belos. II- O curso de Direito da FMB possui conceito 04 pelo MEC, numa escala de notas que vai de 01 à 05. III- O curso de Direito da FMB possui como coordenadora coordenadora a prof. MS Isa Finot. Marque a alternativa incorreta: a) I esta correta e II esta correta. b) I está correta e III esta correta. c) Se I esta correta, então II está correta. d) Se II está correta, então III está correta. e) Ou II está correta, ou III está correta. 6- Considere as sentenças abaixo: I. 3 + 1 = 4 e 2 + 3 = 5 II. 6 > 2 e 7 < 3 III. 2 = 3 e 5 < 0



a) todas são falsas; b) I e II são falsas; falsas; c) somente III é falsa; d) somente I é verdadeira; e) I e II são verdadeiras. 7- Considere as sentenças abaixo: I. 5 + 1 = 6 ou 4 – 4 = 0 II. 2 + 2 = 5 ou 7 > 2 III. 3 = 5 ou 8 < 6 a) somente I é verdadeira; b) somente III é falsa; falsa; c) todas são verdadeiras; d) todas são falsas; e) I e III são falsas.

8- Considere as proposições abaixo: I. 3 + 4 = 7 ou 2 + 2 = 4 II. 8 < 4 e 6 > 3 III. 6 < 0 ou 3 = 4 Assinale a única alternativa correta: a) todas as proposições são falsas; b) somente III é falsa; falsa; c) somente II é falsa; d) I e II são falsas; e) I é falsa ou II I I é falsa.



9- Assinale a única sentença falsa. a) Se 2 é par, então 3 é ímpar. b) Se 5 é inteiro, então então 3 é menor menor que 5. c) Se 8 é ímpar, então 7 é maior que 3. d) Se 13 é par, então 2 é ímpar. í mpar. e) Se 10 é par, então 6 é maior que 20. 10- A negação de "todos os homens são bons motoristas” é: a) todas as mulheres são boas motoristas; b) algumas mulheres mulheres são boas motoristas; c) nenhum homem é bom motorista; d) todos os homens são maus motoristas; e) ao menos um homem é mau motorista. GABARITO 1 2 E E

3 E

4 B

5 E

6 D

7 B

8 E

9 E

10 E

Bibliografia

KUNH, T. As estruturas das revoluções científicas, 1991 Disponível em: http://logicanet.wordpress.com/2007/11/25/18/ Acessado em: 15 de janeiro de 2013. 2013.



4- PROPORÇÃO E RAZAO

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ¹ 0, ao quociente entre eles. Indica-se Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b. Exemplo: Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão)

Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes.

Lendo Razões

Termos

de

uma

Razão



Grandezas Especiais

Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

Exemplo: Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa. As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm

Velocidade média, média, é a razão entre a distância a ser percorrida percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes)

Exemplo: Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade média deste carro. Velocidade= 320/4 = 80 Densidade demográfica, demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área.



Exemplo: O estado do Ceará tem uma área de 148.016 148.016 km2 e uma população de 6.471.800 habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.

Razões Inversas

Vamos observar as seguintes razões.

Observe que o antecessor(5) da primeira é o conseqüente(5) conseqüente(5) da segunda. Observe que o conseqüente(8) conseqüente(8) da primeira é o antecessor(8) da segunda. segunda. O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8 x 8/5 =1 Dizemos que as razões são inversas. Exemplos:



O estudo da proporção é divido em duas propriedades: Propriedade fundamental das proporções e propriedade da soma soma dos termos em uma proporção. proporção.

Propriedade fundamental da proporção Quando fazemos a proporção de duas razões iremos ter os termos dos meios e dos extremos. 5 = 10 ou 5 : 8 = 10 : 16 8

16

Os números 5, 8, 10 e 16 são os termos dessa proporção sendo que 5 e 16 são os termos dos extremos e 8 e 10 são os termos dos meios.

Essa propriedade diz:

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos Portanto, se pegarmos a proporção acima e aplicarmos essa propriedade iremos obter o seguinte resultado: Produto dos termos dos meios: 8 x 10 = 80 Produto dos termos dos extremos: 5 x 16 = 80 Assim, verificamos que a propriedade é verdadeira. Propriedades da soma dos termos em uma proporção Uma proporção é composta por duas razões, ou seja, por quatro termos, pois cada razão possui 2 termos, veja:

Essa propriedade diz: 47 Raciocínio Lógico


Se somar os dois termos da primeira razão e dividir pelo primeiro ou pelo segundo termo irá obter uma razão igual à soma dos dois termos da segunda razão dividida pelo terceiro ou quarto termo. Veja o exemplo abaixo: Dada a seguinte proporção:

Formando duas outras proporções iguais entre si.


1- Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, A) 0,23 e 0,16. B) 2,3 e 1,6. C) 23 e 16. 48 Raciocínio Lógico


D) 230 e 160. E) 2 300 e 1 600.

2-Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco. Disponivel em http://www.embrapa.br. Acesso Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado). Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade quantidade a pessoa pessoa deveria comer comer diariamente de arroz arroz e feijão, respectivamente a) 58 g e 456 g b) 200 g e 200 200 g c) 350 g e 100 g d) 375 g e 500 g e) 400 g e 89 g

3- Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e se calcificando desde a infância até a idade adulta. No fim da puberdade, os hormônios sexuais (testosterona e estrógeno) fazem com que essas extremidades ósseas (epífises) se fechem e o crescimento seja interrompido. Assim, quanto maior a área calcificada entre os ossos, mais a criança poderá crescer ainda. A expectativa é que durante os quatro ou cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centímetros. Revista Cláudia. Abr. 2010 (adaptado). De acordo com essas informações, um garoto que inicia a puberdade com 1,45 m de altura poderá chegar ao final dessa fase com uma altura A) mínima de 1,458 m. B) mínima de 1,477 m. C) máxima de 1,480 m. D) máxima de 1,720 m. E) máxima de 1,750 m.



4- Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria A) manter sua proposta. B) oferecer 4 máquinas a mais. C) oferecer 6 trabalhadores tr abalhadores a mais. D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina. 5- Num supermercado, são vendidas duas marcas de sabão em pó, Limpinho, a mais barata, e Cheiroso, 30% mais cara do que a primeira. Dona Nina tem em sua carteira uma quantia que é suficiente para comprar 10 caixas de 1kg do sabão Limpinho, mas não pode comprar as mesmas 10 caixas de 1kg do sabão Cheiroso. Seja M o maior número de caixas de 1kg do sabão Cheiroso que dona Nina pode comprar com a quantia que tem em sua carteira. Nessas condições, M vale, no mínimo, a) 9. c) 7. b) 8. d) 6. e) 5. 6- Quando estava viajando pelo Chile, Jorge, por não ter uma calculadora disponível, tinha dificuldade em fazer a conversão dos preços, dados em pesos chilenos, para o valor correspondente em reais. À época, a cotação era de 196,50 pesos para cada real. Assinale, entre as seguintes alternativas, aquela que apresenta a regra que Jorge deveria utilizar para efetuar essa conversão com o MENOR erro. A) Dividir o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. B) Dividir o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. C) Multiplicar o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. D) Multiplicar o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. 50 Raciocínio Lógico


E)N.D.A. 7- Uma herança será dividida entre dois herdeiros em partes inversamente proporcionais às fortunas acumuladas por cada um deles até o momento da partilha. Inicialmente, as fortunas são de 10 milhões e 15 milhões e crescem a uma taxa de 10% (cumulativos) ao ano. Se a partilha será consumada em 10 anos, que fração da herança caberá ao herdeiro que possuía inicialmente 15 milhões? A) 3/10 B) 2/5 C) 1/2 D) 3/5 E) 7/10 8- Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto? A) 7h42 B) 7h44 C) 7h46 D) 7h48 E) 7h50 7-Qual a proporção das pessoas com idade superior a 50 anos com o restante da população: a) P= 0,67 b) P= 1,5 c) P=2/3 d) P=10/15 e) P=10000/15000

8-Pede-se a razão das pessoas de idade inferior a 20 anos com as de idade superior a 50 anos: a) R=0,675 b) R=1,48 51 Raciocínio Lógico


c) R=2,156 d) R=27/40 e) R=6750/10000 GABARITO

1 B

2 C

3 E

4 D

5 C

6 A

7 B

8 D

9 C

10 A

Bibliografia Disponível em: http://www.profcardy.co http://www.profcardy.com/exercicios/assun m/exercicios/assunto.php?assunto= to.php?assunto=Raz% Raz% E3o+e+Propor%E7%E3o Acessado em: 13 de janeiro de 2013. Disponível em: http://www.ebah.c http://www.ebah.com.br/content/ABAAABv om.br/content/ABAAABvTkAB/portas-logicas TkAB/portas-logicas Acessado em 12 de janeiro de 2013.



5- PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 2. Idem, o evento em que: a)

A ou B ocorrem; 53

Raciocínio Lógico


b)

B e C ocorrem;

c)

Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução: 1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6}; K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. 2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B  C = {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; B 3. A



e

Ac



C

Cc = {K3,K5,R2} são

mutuamente

exclusivos,

porque

A



C

=



Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento evento A é:



Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Propriedades Importantes: 1. Se A e A’ são eventos complementares, complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre



(probabilidade de

evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

Probabilidade Condicional Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. Fórmula de Probabilidade Condicional P(E 1 e E 2 ) 2 e E 3 3 e ...e E n- 1 e E n n é igual a P(E 1 ).P(E 2 /E 1 ).P(E 3 /E 1 e E 2 )...P(E n /E 1 e E 2 e ...E n-1).



Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E 2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E 3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer E n, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.

Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos: eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes independentes

Dizemos que E 1 e E 2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: 56 Raciocínio Lógico


P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos: P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2) De fato, se existirem elementos comuns a E 1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E 1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2). Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos: 57 Raciocínio Lógico


P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou E n) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

Exemplo: Se dois dados, dados, azul e branco, forem lançados, lançados, qual a probabilidade de sair sair 5 no azul e 3 no branco? Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.




1- Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condições, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado em pelo menosuma dessas Universidades é de:

A) 70% B) 68% C) 60% D) 58% E) 52%

2- Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda?

A) 1/8 B) 2/9 C) 1/4 D) 1/3 E) 3/8 59 Raciocínio Lógico


3- Jogamos dois dados comuns. Qual a probabilidade de que o total de pontos seja igual a 10? A) 1/12 B) 1/11 C) 1/10 D) 2/23 E) 1/6

4- No jogo de Lipa sorteia-se um número entre 1 e 600 (cada número possui a mesma probabilidade). A regra regra do jogo é: se o número sorteado for múltiplo de 6 então o jogador ganha uma bola branca e se o número sorteado sorteado for múltiplo de 10 então então o jogador ganha uma bola preta. Qual Qual a probabilidade de de o jogador não não ganhar nenhuma nenhuma bola? A) 13/17 B) 11/15 C) 23/30 D) 2/3 E) 1/2



5- A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do sexo feminino é: A) 60% B) 50% C) 45% D) 37,5% E) 25%

6- A probabilidade de um dos cem números 1, 2, 3, 4, …, 100 ser múltiplo de 6 e de 10 ao mesmo tempo é:

A) 3%. B) 6% C) 2%. D) 10%. E) 60%.



7- Dois jovens partiram, do acampamento em que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste esquema:

Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de de eles chegarem chegarem à Cachoeira Pequena Pequena é: A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 5/6 E) N. d. a.

8- Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade p robabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é: A) 27/64 B) 27/256 62 Raciocínio Lógico


C) 9/64 D) 9/256 E)N.d.a.

9- Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados l ançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de: A) 2/9 B) 1/3 C) 4/9 D) 5/9 E) 2/3

10- O quadro funcional de uma empresa é composto de 35 pessoas efetivas e 15 pessoas prestadoras de serviços. Do pessoal pessoal efetivo 20 são são homens e do pessoal prestador prestador de serviço 5 são mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa empresa, a probabilidade dessa dessa pessoa ser homem ou prestar prestar serviço é:

A) 1/5 B) 7/10 C) 9/10 63 Raciocínio Lógico


D) 3/5 E) 4/5

11- Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de:

A) 1,0% B) 2,4% C) 4,0% D) 3,4% E) 2,5%

12-A linha de produção de uma fábrica produz milhares de peças por dia e apresenta, em média, quatro peças defeituosas a cada cem peças produzidas. Um inspetor de qualidade sorteia cinco peças de modo aleatório e verifica a quantidade de peças defeituosas. De acordo com as informações acima, considere as seguintes afirmativas: 1. A probabilidade de o inspetor encontrar no máximo uma peça defeituosa é (0,040 × 0,965 ) + (5 × 0,041 × 0,964). 2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peça defeituosa é 1− (0,040 × 0,965). 3. É impossível o inspetor encontrar 5 peças defeituosas. Assinale a alternativa correta. 64 Raciocínio Lógico


A) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. B) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. C) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. D) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. E) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. verdadeiras.

GABARITO 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

C

A

C

D

A

C

A

A

B

D

B

Bibliografia IEZZI, G. & MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar . São Paulo: Atual, 2004. FONSECA, J. S. da; MARTINS, J. S. da F.; TOLEDO, G. de A. Estatística aplicada . 2. ed. São Paulo: Atlas, 1995. 267 p. MORETTIN, P. A. ; BUSSAB, W. de O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php.. Acessado em 20 de dezembro de 2012. Disponivel em: http://www.infoescola.com/matematica/probab http://www.infoescola.c om/matematica/probabilidade/exercicios/ ilidade/exercicios/ Acessado em 21 de dezembro de 2012.



6- ANÁLISE COMBINATÓRIA

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. Fatorial Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2. Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , teremos : 1! = 1 Exemplos: a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) 4! = 4.3.2.1 = 24 c) observe que 6! = 6.5.4! d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 e) 10! = 10.9.8.7.6.5! f ) 10! = 10.9.8! Princípio fundamental da contagem - PFC

Se determinado acontecimento acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 maneiras diferentes, a segunda de k 2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k 1. k 2 . k 3 . ... . k n Exemplo: O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Solução: 66 Raciocínio Lógico


Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. Como o alfabeto possui 26 letras l etras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam existiriam números suficientes suficientes para codificar todos todos os veículos. veículos. Perceberam? Permutações simples Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é

Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 . Exemplos: a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não não significado na linguagem comum. comum. Exemplo: Os possíveis anagramas anagramas da palavra REI são: são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar formar é dado por:



Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento) Solução: Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos podemos escrever: escrever: Resposta: 151200 anagramas.

k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200

Arranjos simples Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bac, bca, cab, cab, cba. Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:

Obs : é fácil perceber que A n,n = n! = Pn . (Verifique) Exemplo: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? Solução: As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. Observe que 720 = A 10,3 Combinações simples 68 Raciocínio Lógico


Denominamos combinações combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Exemplo: No conjunto E= {a,b.c,d} podemos podemos considerar: considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações combinações de taxa 3: abc, abc, abd,acd,bcd. abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd. Representando por C n,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

Nota: o número acima acima é também conhecido conhecido como Número Número binomial e indicado indicado por:

Exemplo: Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que tratase de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! 5.4.3.2.1.10! = 3003



Agora que você viu o resumo r esumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes: 01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? Resp: 120 02 - Sobre uma circunferência circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? Resp: 84 03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Resp: 48 Exercício resolvido: Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? Solução: Para a primeira porta temos t emos duas opções: aberta ou fechada Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC: N = 2.2.2.2.2.2 2.2.2.2.2.2 = 64 Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado procurado é igual a 64 - 1 = 63. Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.


1- Dona Mariana e Senhor Pedro, possui 4 filhos com idades de 8, 10, 12 e 14 anos. Os quais se chamam Claudia, Marina, Mariana e Wilson. Responda ao que se pede: A família decide tirar uma foto juntos, quais são as possíveis combinações de fotos da família: a) 24 combinações. b) 120 combinações. 70 Raciocínio Lógico


c) 160 combinações. d) 720 combinações. e) 5040 combinações.

2- Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) 108

3- A UEG realiza seu Processo Processo Seletivo em dois dois dias. As oito disciplinas, Língua Língua Portuguesa- Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, a distribuição é a seguinte: - primeiro dia: Língua Portuguesa-Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia e Matemática; - segundo dia: História, Geografia, Química e Física. A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, com quatro por dia, de a) 1.680 modos diferentes. b) 256 modos diferentes. diferentes. c) 140 modos diferentes. d) 128 modos diferentes. e) 70 modos diferentes.



4- Na formação de uma uma Comissão Parlamentar Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido partido indica um certo número de membros, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. Faltam apenas dois partidos para indicar seus membros. O partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1 membro. Assinale a alternativa que apresenta o número de possibilidades diferentes para a composição dos membros desses dois partidos nessa CPI. a) 55 b) (40 - 3) . (15-1) c) [40!/(37! . 3!)]. 15 d) 40 . 39 . 38 . 15 e) 40! . 37! . 15!

5- A partir de um grupo grupo de oito pessoas, pessoas, quer-se formar formar uma comissão constituída constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos,

não

deveriam

participar

da

comissão

a

ser

formada.

Nessas condições, condições, de quantas quantas maneiras distintas se pode formar formar essa comissão? comissão? a) 70 b) 35 c) 45 d) 55

6- Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja deseja combinar 3 desses nutrientes para obter um composto químico. O número de compostos que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é:



a) 32 b) 28 c) 34 d) 26 e) 30

7- Um brinquedo comum comum em parques de de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu responsável. De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os cinco bancos? a) 14 400 b) 3 840 c) 1 680 d) 240 e) 120

8- Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos salgadinhos e 3 tipos de doces doces para oferecer em festas festas de aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O valor de x é:

a) 180 b) 360 c) 440 d) 720



9- Sejam os conjuntos conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,1,2,3,4}. {0,1,2,3,4}. O total de funções funções injetoras de A para B é:

a) 10 b) 15 c) 60 d) 120 e) 125

10- O conselho administrativo administrativo de um um sindicato é constituído por doze doze pessoas, pessoas, das quais uma é o presidente deste conselho. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do conselho, sendo que o presidente da diretoria e do conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras diferentes esta diretoria poderá ser formada? formada? a) 40. b) 7920. c) 10890. d) 11!. e) 12!.

11- Um fundo de investimento investimento disponibiliza números números inteiros de cotas cotas aos interessados interessados nessa aplicação financeira. No primeiro dia de negociação desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram compraram cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais condições, o número de maneiras diferentes de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores é igual a



a) 56. b) 70. c) 86. d) 120. e) 126.

GABARITO 1 D

2 C

3 E

4 C

5 D

6 C

7 B

8 D

9 C

10 C

11 B

Bibliografia MARQUES, P. Disponível em: http://www.algosobre.com.br/matematica/analisecombinatoria.html.. Acessado em: 12 de janeiro de 213. combinatoria.html Disponível em: http://www.mundovestibular.com.br/articles/5400/1/AnaliseCombinatoria-Exercicios-de-Matematica/Paac Combinatoria-Exercicio s-de-Matematica/Paacutegina1.html utegina1.html.. Acessado em: 17 de janeiro de 2013. 2013.



Apostila Raciocínio Lógico da FMB

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