Apostila EsSA & EsPCEX 2012 – 2013, 2013, Marcos Barros.
MATEMÁTICA 1) Conceitos e relações numéricas a)Conjuntos numéricos: Naturais - Qualquer número que resulte de uma contagem co ntagem de unidades é chamado de número natural. O conjunto dos números naturais é representado por N maiúsculo, e estes números são feitos com algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e o conjunto dos números naturais não- nulos, é representado por Ν* IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} Inteiros Inteiros - Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número ( Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z. Conjunto dos números inteiros não nulos Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos números inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos números inteiros não positivos: Z - = {..., -4, -3, -2, -1, 0} Conjunto dos números inteiros positivos: Z + = { 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos números inteiros negativos: Z - = {..., -4, -3, -2, -1, } Racionais - Os Número decimais são aqueles numero que podem ser escritos na forma de fração. Podemos escrevê - los de algumas formas diferentes; Por Exemplo: Em forma orma de fraç fração ão ordi ordiná nári ria: a:
;
Esses números tem a forma
;
e todo todoss os seus seus opos oposto tos. s.
com a, b
z e b 0. ≠
Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:
Reais Reais - O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:
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Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, .... Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4, Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592.... 3,141592....
Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções, as soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão. Complexos Complexos - E definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade. Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ). Multiplicação: ( a, b) . ( c, c , d ) = ( ac – bd, ad + bc ). Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0). Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1), onde se realizarmos i 2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = ( –1,0). Assim temos a notação usual que i 2 = – 1. E que i = Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z. Para esta nova notação iremos i remos definir as operações novamente de maneira mais usual. Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d Operações e Propriedades Propriedades - Uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros. Adição - Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.1º parcela + 2º parcela = soma ou total. A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a. O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0 minuendo, o segundo, Subtração - O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, subtraendo e subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou resto ou diferença. A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a. Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0 Exemplos: -3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + ( -4) = 0. O oposto de 5 é -5. O simétrico de 6 é -6. O oposto de zero é o próprio zero. Operações e Propriedades Propriedades - Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações. As divisões, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações o perações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para qualquer uma destas três operações. Calcular o valor da seguinte expressão: 10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4
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Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, .... Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4, Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592.... 3,141592....
Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções, as soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão. Complexos Complexos - E definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade. Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ). Multiplicação: ( a, b) . ( c, c , d ) = ( ac – bd, ad + bc ). Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0). Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1), onde se realizarmos i 2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = ( –1,0). Assim temos a notação usual que i 2 = – 1. E que i = Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z. Para esta nova notação iremos i remos definir as operações novamente de maneira mais usual. Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d Operações e Propriedades Propriedades - Uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros. Adição - Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.1º parcela + 2º parcela = soma ou total. A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a. O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0 minuendo, o segundo, Subtração - O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, subtraendo e subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou resto ou diferença. A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a. Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0 Exemplos: -3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + ( -4) = 0. O oposto de 5 é -5. O simétrico de 6 é -6. O oposto de zero é o próprio zero. Operações e Propriedades Propriedades - Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações. As divisões, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações o perações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para qualquer uma destas três operações. Calcular o valor da seguinte expressão: 10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4
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Solução : Faremos F aremos duas somas separadas - uma só com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29 - outra só com os números negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19 Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados: +29 - 19 = +10 Atenção: É Atenção: É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto! Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 2 1º passo: Achar os totais (+) e (-): (+): +4 + 3 = +7 (-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27 2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo: -27 + 7 = - 20 Multiplicação - Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é denominado produto. 1º fator x 2º fator = produto O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador. A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: a x b = b x a O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1 x a = a x 1 = a Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator: a x b = c ↔ (a + k) x b = c + (k x b) b) Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k: a × b = c ↔ (a × k) × b = k × c
Fatorações - É transformar equações algébricas em produtos de duas ou o u mais expressões, chamadas fatores. Ex: a x + ay = a.(x+y) Existem vários casos de fatoração como:
Fator Comum em evidência: Quando os termos apresentam fatores comuns. Observe o polinômio: ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência. evidência. Assim: ax + ay = a.(x+y) Forma fatorada
Fatoração por agrupamento: Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.Como por exemplo: ax + ay + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência: a.(x+y) + b.(x+y) Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência: (x+y).(a+b) Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b) Fatorando:
a) x é fator a é fator comum comum
(x-3) é fator comum
Forma fatorada
b) é fator comum
é fator comum
(2+a) é fator comum
Forma fatorada
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