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Matemática
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
EXERCÍCIO RESOLVIDO
RAZÃO. Existem várias maneiras de comparar duas grandezas, por exemplo, quando se escreve a>b ou a
APLICAÇÕES Entre as aplicações práticas de razões especiais, as mais comuns, são:
Velocidade média
A velocidade média em geral é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida e um tempo gasto neste percurso. distância percorrida Veloc Velocid idad adee médi médiaa = tempo tempo gasto gasto no percur percurso so
01. Em um desenho, um comprimento de 8m está 01. Em representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer esse desenho? 8 m=800 cm.
Escala =
16 cm 800 cm
Isto significa que, 1 medida no desenho é igual 50 dessas medidas no real. Densidade Demográfica O cálculo da densidade demográfica também chamada de população relativa de uma região, é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o número de habitantes e a área em uma região. número de habitantes Densid Densidade ade demog demográf ráfica ica = área total do território
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Um município paranaense ocupa a área de 100 000 km2. De acordo com o censo realizado, tem população aproximada de 50 000 habitantes. A densidade demográfica desse município é obtida assim: Densidade demográfica =
100 000 hab 50 000 km2
Isto significa que para cada quilômetro quadrado, esse município tem 2 habitantes.
Exemplo: 01. Suponhamos que um carro percorreu 120 km em 2 horas. A velocidade média do carro nesse percurso, á calculada a partir da razão: V. MÉDIA =
120 km 2 horas
TESTES 01. Dois segmentos tem 4 cm e 20m de 01. comprimento, respectivamente. Determine a razão entre o comprimento do primeiro e o comprimento do segundo.
O que significa que, por 1 hora o carro percorreu 60 km.
Escala Escala é a comparação da razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos na mesma unidade de medida. Esca Escala la =
02. A escala da planta de um terreno na qual o 02. comprimento de 100m foi representado por um segmento de 5cm é:
compr comprimen imento to do desenho desenho compriment comprimento o real
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04. (CESGRANRIO) A razão entre o número de homens e de mulheres, funcionários da firma W, é 3/5. Sendo N o número total de funcionários (número de homens mais número de mulheres), um possível valor para N é: a) 46 b) 49 c) 50 d) 54 e) 56
Matemática
d) 70% e) 75%
12. (FCC) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a a) 0,0075 % b) 0,65 % c) 0,75 % d) 6,5 % e)) 7,5 % GABARITO
05. (ESAF) Um segmento de reta ligando dois pontos em um mapa mede 6,5 cm. Considerando que o mapa foi construído numa escala de 1: 25 000, qual a distância horizontal em linha reta entre os dois pontos? a) 162,5 m b) 15 hm c) 1,5 km d) 1,6 km e) 1 625 m 06. A distância entre dois pontos é de 34m. Num desenho, essa distância está expressa por 68cm. A escala usada para fazer esse desenho foi de: 07. Em um desenho, um comprimento de 8m está representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer esse desenho?
08. Sabendo que 1 cm no desenho corresponde a 2,5m no real, qual foi a escala usada para fazer esse desenho? 09. Numa carta geográfica, 1 cm representa 10 km no real. Qual foi a escala usada nessa carta geográfica?
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
RAZÃO 1/500 1/2000 2 E E 1/50 1/50 1/250 1/1000000 75,5 A E
PROPORÇÕES PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES Sejam a, b, c, e d números reais não nulos.
I) a b
=
c d
implica
a b
=
c d
implica
II) III)
a b
a IV) b 10. Um ônibus parte de uma cidade A às 13h15min. Após percorrer 302 Km, chega numa cidade B às 17h15min. A velocidade média do ônibus, nesse percurso, foi de:
11. (CESGRANRIO) Em uma empresa, a razão do número de empregados homens para o de mulheres é 3/7. Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é: a) 30% b) 43% c) 50%
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axd = a+b b
=
c a+c implica d b+d
=
c a2 implica 2 d b
=
bxc
=
c+d d
a b
=
c d
c2 axc = 2 = d bxd
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (a, b, c) é diretamente proporcional a (m, n, p) se, e somente se: a = m
b n
=
c p
=
k
=
a+b+c m+n+p
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Matemática
1. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 180 Km da primeira. Se o percurso é realizado em: 1 hora, o carro mantém velocidade média de 180 Km/h; 2 horas, o carro mantém velocidade média de 90 Km/h; 3 horas, o carro mantém velocidade média de 60 Km/h. Sendo que Km/h=quilômetro por hora.
Tempo (seg) 15 30 45
Altura (m) 3 6 9
Construiremos uma tabela desta situação: Velocidade km/h 180 90 60
Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do elevador também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do elevador também é triplicada. Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo. 02. Quando o intervalo de tempo passa de 15 seg para 30 seg, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura do elevador varia de 3 m para 6 m, ou seja, a altura varia na razão 3/6. Observamos que estas duas razões são iguais: 15 30
=
3 6
=
1 2
03. Quando o intervalo de tempo varia de 15 seg para 45 seg, a altura varia de 3 m para 9 m. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 3/9. Então, notamos que essas razões são iguais: 15 45
=
3 9
=
1 3
Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que o elevador eleva-se e o valor numérico da altura atingida é sempre igual, assim dizemos então que a altura do é diretamente proporcional ao tempo. GRANDEZAS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS (a, b, c) é inversamente proporcional a (m, n, p) se, e somente se: a 1 m
=
b 1 n
=
c 1 p
=
k
=
nxb
=
De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 180 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 90 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 60 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica. Concluímos que para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação: A teve 10 000, b teve 20 000 e C teve 40 000. Se o número de vereadores dessa cidade é 21. quantos deles são do partido B? a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Resolução I) x = número de candidatos do partido A, que é proporcional ao nº de votos obtidos. y = número de candidatos do partido B, que é proporcional ao nº de votos obtidos. z = número de candidatos do partido C, que é proporcional ao nº de votos obtidos. II) Formadas as proporções, obtemos relações entre x, y e z, que indicam o número de votos de cada partido.
ou mxa
Tempo h 1 2 3
pxc
=
k
x = 10000 = 1 ⇒ x = 1 ⇒ y= 2x 1ª equação y 20000 2 y 2
Exemplo: Atualizada 01/04/2008
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x = 10 000 = 1 ⇒ x = 1 ⇒ z = 4x 2ª equação z 40 000 4 z 4
TESTES
y = 20 000 = 2 = 1 ⇒ y = 1 ⇒ z = 2y 3ª equação z 40 000 4 2 z 2
01. Determine o valor do número racional y para que os números racionais 4; 2y; 2,6 e 0,52 formem, nessa ordem, uma proporção.
III) Adicionando o número de candidatos, obtemos a formação que segue:
02. Os números 6, 16, x e 40 formam, nessa ordem, uma proporção. Nessas condições, determine o número x.
X + y + z = 21...................trocando: y por 2x e trocando z por 4x Obtemos a nova formação em x, siga:
03. Quando se usa uma escala de 1:400, uma distância de 2,5 cm no desenho corresponde a quantos metros no real?
X + 2x + 4x = 21.................7x = 21.........
x=3
Para x = 3........subst. na 1ª eq. y = 2x.......y = 2(3) = 6...... y=6 Para x = 3.........subst. na 2ª eq. z = 4x.........z = 4(3) = 12........ z = 12
04.(FCC) Um técnico bancário foi incumbido de digitar as 48 páginas de um texto. Na tabela abaixo, têm-se os tempos que ele leva, em média, para digitar tais páginas. NÚMERODE PÁGINAS 1 2 3 4
O número de candidatos do partido B, indicados pela letra y, é: y = 6 Resposta, alternativa A
02. Três amigos fizeram um bolão para jogar na Megasena, no qual cada um investiu, respectivamente, R$ 25,00, R$ 35,00 e R$ 40,00. Na conferência do resultado eles descobriram que acertaram 5 números em um dos cartões, o que lhes deu direito a um prêmio de R$ 3.600,00. Supondo que o prêmio deva ser dividido em partes diretamente proporcionais ao valor investido por cada um nas apostas, cada sócio receberá, respectivamente: RESOLUÇÃO I) Considere: x o valor que o amigo 1 deve receber y o valor que o amigo 2 deve receber z o valor que o amigo 3 deve receber x + y + z = 3600
II)
x = y = z = k = x + y + z = 3600 =36 25 35 40 25 + 35 + 40 100
Igualando, obtemos o valor para cada amigo: x = 36 ⇒ x = R$ 900,00 parte do amigo 1 25
x = 36 ⇒ x = R$ 1260,00 35 x = 36 ⇒ x = R$ 1 440,00 40
Resposta: letra C
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parte do amigo 2 parte do amigo 3
TEMPO (MINUTOS) 12 24 36 48
Nessas condições, mantida a regularidade mostrada na tabela, após 9 horas de digitação desse texto, o esperado é que: a) b) c) d) e)
Ainda devam ser digitadas 3 páginas. Todas as páginas tenham sido digitadas. Ainda devam ser digitadas 9 páginas. Ainda devam ser digitadas 8 páginas. Ainda devam ser digitadas 5 páginas.
05. (FCC) Um funcionário demora 6 horas para fazer um certo serviço, enquanto outro leva 8 horas para fazê-lo. Que fração desse serviço os dois fariam juntos em 3 horas? a) b) c) d) e)
1/14 1/7 2/3 3/4 7/8
06. (FCC) Um determinado serviço é realizado por uma única máquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15 horas, por uma outra máquina, nas mesmas condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse mesmo serviço? a) b) c) d) e)
3 horas. 9 horas. 25 horas. 4 horas e 50 minutos. 6 horas e 40 minutos.
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Prof. Pacher 07. Uma mistura está formada por 4 partes de álcool e 3 partes de água. Quantos litros de álcool há em 140 litros dessa mistura?
forma diretamente proporcional à população de cada uma. Quanto caberá a cada cidade, se A tem população de 3 milhões de habitantes e B, 12 milhões de habitantes?
02. Reparta 45 fichas proporcionais a 3, 6 e 8. 08. (FCC) Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o tanque?
09. Se uma torneira enche um tanque em 60 minutos e uma outra torneira enche o mesmo tanque em 30 minutos, em quanto tempo as duas torneiras juntas, enchem o tanque? 10. (FCC) Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque?
11.(FCC) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito?
Matemática
em
partes
inversamente
03. Reparta o número 520 em partes diretamente proporcionais a 4 e 1/3.
04. Certa fortuna deve ser repartida entre três herdeiros em partes diretamente proporcionais aos graus de parentesco que são o 2º, o 5º e o 6º. Quanto receberá cada um? O primeiro recebeu R$ 120 000 a menos que o segundo.
05. Dividir 3 560 em três partes tais que sejam a um tempo, diretamente proporcionais a 3, 5 e 8, e inversamente a 4, 6 e 9. Quanto cabe a cada?
06. Dividir R$ 39 500,00 em três partes que a um tempo sejam diretamente proporcionais a 3, 5 e 6, e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5.
a) 2 horas e 7 minutos.
b) 2 horas e 5 minutos. c) 1 hora e 57 minutos. d) 1 hora e 43 minutos. e) 1 hora e 36 minutos.
GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11
PROPORÇÃO 0,4 15 10 A E E 80 6 20 4 D
07. Três negociantes formaram uma sociedade, em que o primeiro entrou com R$ 30 000, o segundo com R$ 20 000 e o terceiro com R$ 50 000. O primeiro permaneceu 12 meses, segundo 9 meses e terceiro 4 meses. Determine o lucro de cada um, sabendo-se que o lucro total foi de R$ 37 000 08. Um prêmio de 4 600 reais foi repartido entre três funcionários de uma firma em partes inversamente proporcionais aos seus salários. O funcionário A recebe 5 salários mínimos, o funcionário B recebe 8 salários mínimos e o funcionário C recebe 4 salários mínimos. Qual a parte do prêmio que coube a cada um?
DIVISÃO PROPORCIONAL TESTES
09. As massas de cobre e zinco que se fundem para formar o latão são diretamente proporcionais aos números 7 e 3. Quantos quilogramas de cobre e zinco são necessários para obter 80 kg de latão?
01. O custo da construção de uma ponte foi estimado em R$ 450 000,00 e será dividido entre duas cidades A e B, de Atualizada 01/04/2008
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8 12 18 24 36
11. (FCC) Dois técnicos em eletricidade, Artur e Boni, trabalham em uma mesma empresa: Boni há 6 anos e Artur há mais tempo que Boni. Ambos foram incumbidos de instalar 16 aparelhos de áudio em alguns setores da empresa e dividiram a tarefa entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na mesma. Se Artur instalou 4 aparelhos, há quantos anos ele trabalha na empresa? a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 18 12. (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos números 5/4 e 3 /4.
13. (MACK-SP) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números 1/2 , 1/3 e 1/6, obtêm-se, respectivamente: a) 330, 220 e 110 b) 120, 180 e 360 c) 360, 180 e 120 d) 110, 220 e 330 e) 200, 300 e 160
Matemática
16. (NC.UFPR) Um bônus de R$ 228,00 será repartido entre três funcionários, Maria, José e Pedro, em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 9, respectivamente. A parte que cabe a José é de: a) R$ 72,00. b) R$ 60,00. c) R$ 54,00. d) R$ 48,00. e) R$ 36,00.
17. (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois? a) R$ 200,00 b) R$ 250,00 c) R$ 300,00 d) R$ 350,00 e) R$ 400,00 18. (NC.UFPR) Uma verba de R$ 2.700,00 foi repartida entre os departamentos A e B para despesas com material de consumo. Após o departamento A ter gastado 1/4 do que recebeu, o seu saldo ficou igual ao saldo que o departamento B tinha após gastar 2/5 do que recebeu. Então, a razão do valor que coube ao departamento A para o valor que coube ao departamento B é: a) 2/3 b) 3/4 c) 3/5 d) 4/5 e) 5/7
14. (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40 habitantes por km2. Qual é a sua superfície?
19. (NC.UFPR) Um chefe de seção dispõe de R$ 372,00 para serem distribuídos como prêmio a 3 funcionários, A, B e C. Os valores que eles receberão são inversamente proporcionais aos números de faltas desses funcionários durante o último semestre, que foram, respectivamente, 2, 3 e 5. Considere as seguintes afirmativas a respeito das quantias que eles receberão.
a) 100.000 km2 b) 250.000 km2 c) 500.000 km 2 d) 1.000.000 km2 e) 900.000 km2
I. Dentre os três, o funcionário C receberá a menor quantia. II. O funcionário B receberá R$ 120,00. III. O funcionário C receberá a metade do que receberá o funcionário A.
15. (U.MOGI-SP) Numa sociedade, houve um lucro de R$ 800,00. Os capitais dos sócios A e B são respectivamente R$ 1.500,00 e R$ 900,00. Os sócios A e B receberão em reais lucros, respectivamente, de:
Assinale a alternativa correta.
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a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Nenhuma das afirmativas é verdadeira. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
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Prof. Pacher 20.(UFRJ-NCE) Um prêmio foi distribuído entre Ana, Bernardo e Cláudio, em partes diretamente proporcionais aos seus tempos de serviço. Esses tempos são, respectivamente, 3, 4 e 9 anos. Se Cláudio recebeu R$ 720,00 de prêmio, o valor total do prêmio foi de: a) R$ 1.280,00 b) R$ 1.440,00 c) R$ 2.560,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 4.500,00 Três amigos decidiram constituir uma empresa, em sociedade, para a prestação de serviços técnicos nas áreas de contabilidade, informática e telefonia. O contador contribuiu com R$ 2.000,00, o técnico em informática, com R$ 3.000,00 e o técnico em telefonia, com R$ 4.000,00. Ao final de um ano de serviços, a empresa obteve um lucro de R$ 5.400,00 para ser dividido em partes proporcionais aos valores empenhados por cada sócio. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
08
Matemática
1 600 1 000 2 000 24 e 56 B E 40 e 24 A B 500 e 300 A E D A A Correta Correta C (300)
09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
REGRA DE TRÊS
21. O técnico em telefonia deve receber mais de 40% do lucro.
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
22. O técnico em informática deve receber uma quantia inferior a R$ 1.840,00.
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.
23.(UNB-CESPE) Marcos e Pedro receberam no início de abril mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado 4/5 de sua mesada e Pedro, 5/6 da sua. Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro, o valor da mesada recebida por cada um deles é
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a) inferior a R$ 240,00. b) superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00. c) superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00. d) superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00. e) superior a R$ 360,00. QUESTÃO 18 GABARITO
Grandeza diretamente proporcional
DIVISÃO PROPORCIONAL 01 90 000 360 000 02 24, 12 e 9 03 480 e 40 04 80 000 200 000 240 000 05 1 080 1 200 1 280 06 15 000 12 500 12 000 07 18 000 9 000 10 000 Atualizada 01/04/2008
Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28Kg de farinha? 10 x
=
7 28
⇒ x= 40 kg
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro? Grandeza inversamente proporcional 6 8
=
72 x
⇒ x= 96 kg
TESTES
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Prof. Pacher 01. Em um banco, constatou-se que uma caixa leva, em média, 5 min para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes, se mantiver essa média?
02. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Supondo que fossem percorridos 200 Km por dia, quantos dias seriam empregados para fazer a mesma viagem?
Matemática
12 m de comprimento, 6 m de largura e 2,5 m de profundidade?
11. Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210Km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140Km/h?
03. A combustão de 30g de carbono fornece 110g de gás carbônico. Quantos gramas de gás carbônico são obtidos com a combustão de 48g de carbono?
12. (NC.UFPR) Se um veículo espacial, em velocidade constante, percorre uma distância em 1 h 25 min 28 s, então, à mesma velocidade, o tempo que gastará para percorrer 1/4 dessa distância será de:
04. Com a velocidade média de 75Km/h, um ônibus faz um percurso em 40 min. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus faz o percurso de volta em 1h. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?
a) 20 min 20 s b) 21 min 20 s c) 21 min 21 s d) 21 min 22 s e) 22 min 05 s
05. Em uma avaliação de 0 a 6, Cristina obteve nota 4,8. Se o valor dessa avaliação fosse de 0 a 10, qual seria a nota de Cristina? 06. Se meu carro pode percorrer um distância de 350Km com 25 litros de gasolina, quantos quilômetros pode percorrer com 1litros de gasolina?
07. Um trem percorre à velocidade de 60 km/h, vai da cidade de Curitiba até Paranaguá, em 90 minutos. Se a velocidade for de 120 km/h, qual será o tempo gasto? 08. Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 adultos com 80Kg cada um. Quantas crianças, de 35kg cada uma, atingiram a carga máxima desse elevador?
09.Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28Kg de farinha?
10. Ao cavar um buraco para uma piscina que tem 25 m de comprimento, 10 m de largura e 3 m de profundidade, foi necessário remover 1200 m 3 de terra. Que volume de terra do mesmo tipo deve ser removido quando se quiser cavar piscina de 8
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13. (NC.UFPR) Uma empresa transportadora tem 180 encomendas para serem entregues em vários endereços da cidade. Observou-se que foram entregues 30 delas em 2 horas e 15 minutos. Se for mantida essa média de tempo gasto, para entregar todas as encomendas serão necessárias exatamente: a) 15 horas e 15 minutos. b) 14 horas e 30 minutos. c) 14 horas. d) 13 horas e 30 minutos. e) 3 horas e 15 minutos. 14. (NC.UFPR) Sabendo que são necessários 162 cm2 de papelão para fazer uma caixa, qual é a quantidade de papelão necessária para fazer 100 caixas iguais a essa? a) 1.620 cm 2 b) 1.620 dm2 c) 16,2 m2 d) 16,2 dm2 e) 1,62 m2 15. (NC.UFPR) Um trajeto pode ser feito de automóvel, em uma hora e quarenta e cinco minutos, à velocidade média de 80 quilômetros por hora. Em quanto tempo se faz o mesmo trajeto à velocidade média de 70 quilômetros por hora? a) 1 h 55 min c) 2 h 10 min e) 2 h 20 min
b) 2 h d) 2 h 15 min
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16. (NC.UFPR) Se em cada porção de 55 g de creme alimentício 60,5 mg são de cálcio, então o cálcio contido em 30 g desse creme é de:
22. Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga?
a) 29 mg b) 30 mg c) 31 mg d) 32 mg e) 33 mg
23. 15 metros de um determinado tecido custam $ 45,00. Qual o preço de 6 metros deste mesmo tecido?
17. (NC.UFPR) Se um projétil espacial, a uma velocidade constante, gasta 1h 50min 20s para percorrer uma certa distância, então um outro projétil, com velocidade constante igual a quatro vezes a velocidade do primeiro, percorrerá a mesma distância em: a) 24min 20s. b) 25min 25s. c) 26min 30s. d) 27min 35s. e) 28min 40s. 18. (NC.UFPR) Se 58,5 g de um produto químico custam R$ 76,05, então 4,5 g do mesmo produto custam:
24. ¾ de um bolo de chocolate custam $ 45,00. Quanto pagarei na compra de 2/5 deste mesmo bolo?
25. Com $ 48,00 comprei 300 metros de determinado tecido. Quantos metros do mesmo tecido, posso comprar com $ 36,00?
26. 30 metros de um trabalho são feitos por ¾ de uma turma de trabalhadores. 50 metros, do mesmo trabalho, por quanto da turma será feito.
a) R$ 5,65. b) R$ 5,70. c) R$ 5,75. d) R$ 5,80. e) R$ 5,85.
27. Um automóvel, com velocidade de 90 km/h, vai da cidade X à cidade Z em 50 minutos. Qual a distância entre as duas cidades?
19. (NC.UFPR) Uma máquina gasta 2 h 25 min 36 s para construir uma peça, e uma segunda máquina constrói peça idêntica em 1/3 desse tempo. Sendo assim, o tempo gasto pela segunda máquina é de:
28. Ao participar de um treino em um kartódromo, o piloto, imprimindo velocidade média de 80 km/h, completa a volta na pista em 40 s. Se a sua velocidade fosse de 100 km/h, qual o tempo que ele teria no percurso?
a) 45 min 14 s b) 46 min 20 s c) 47 min 26 s d) 48 min 32 s e) 9 min 38 s
29. Um relógio atrasa 27 s em 72 h. Quantos segundos atrasará em 8 dias?
20. Sabendo que 104 alunos de uma escola correspondem a 20% do total, Quantos alunos tem a escola ? a) 580 b) 620 c) 520 d) 550 21. Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m 3 cada um. Quantos caminhões de 3m 3 seriam necessários para fazer o mesmo serviço?
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30. Para revestir um pátio de 600 m2 usaram-se 9 600 lajotas. Quantas dessas lajotas serão necessárias para revestir outro pátio de 540 m2?
31. Uma árvore de 4,2 m de altura projeta uma sombra de 3,6 m. No mesmo instante, outra árvore, ao lado dessa, projeta uma sombra de 2,8 m. Qual a altura da segunda árvore?
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32. Um terreno retangular tem 12 m de comprimento e 15 m de largura. Se diminuirmos 2 m no comprimento do terreno, quantos metros devemos aumentar na largura para que a área permaneça a mesma?
33. A água mineral, sem gás, apresenta na sua composição química 2,4 mg de sulfato de cálcio por 1 litro. Que quantidade de sulfato de cálcio (em mg) estará ingerindo uma pessoa ao beber um copo de 300 ml dessa água?
34. Com o auxílio de uma corda que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 80 metros. Descobri, mais tarde que a corda media, na realidade 1,05 m. Qual é o verdadeiro comprimento do fio?
Matemática
d) R$ 13,80 e) R$ 14,60
40. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
41. Um automóvel com a velocidade de 90 km/h, vai da cidade de Tatu até a cidade de Capivara em 50 minutos. Qual a distância entre as duas cidades?
42. 2/3 + 0,6 de determinada fruta custam $ 7,60. Qual o preço da fruta inteira? GABARITO
35. A velocidade de um veículo é de 30 m/s. Qual será a sua velocidade em quilômetros por hora?
36. (UMC) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá: a) 70 litros d) 80 litros
b) 68 litros e) 85 litros
c) 75 litros
37. Se 2 kg de bacalhau custam R$25,00, qual será o preço de 1,4kg de bacalhau? a) R$ 12,50 b) R$ 13,00 c) R$ 17,50 d) R$ 19,00 38. Com 3kg de farinha, são feitos 140 biscoitos, com 5 kg de farinha, aproximadamente, quantos biscoitos podem ser feitos? a) 180 b) 190 c) 210 d) 233 39. Se 250 g de azeitonas custam R$ 4,60, qual será o preço de 3/4 de quilo de azeitonas? a) R$ 9,20 b) R$ 10,60 c) R$ 12,80
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REGRA DE TRÊS SIMPLES 01 1 h = 60 min 02 9 03 176 04 50 05 8 06 14 07 45 08 16 09 40 10 288 11 3 12 D 13 D 14 E 15 B 16 E 17 D 18 E 19 D 20 C 21 10 22 42 23 18 24 24 25 225 26 1,25 27 75 28 32 29 72 30 8640 31 3,27
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Resolução por setas
3 0,72 42 108 A C D D E 75 6
C1
C2
C3
C4
C5
C6
D i a s
P ã e s
F a r i n h a
G o r d u r a
P a d e i r o s
H o r a s
7 x
REGRA DE TRÊS COMPOSTA Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações. O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação. EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Para produzir 600 pães foram gastos 33 kg de farinha de trigo e 1,28 kg de gordura e foram necessários 2 padeiros, que trabalharam 4 horas por dia, durante 7 dias. Quantos dias serão necessários para produzir 960 pães, utilizando-se 60 kg de farinha e 0,66 kg de gordura, com 3 padeiros trabalhando 7 horas por dia? a) 4 dias
Matemática
b)2,5 dias
c) 6 dias
d) 7 dias
Resolução: Este teste está resolvido pelo “dispositivo das setas”
600 33 1,28 2 ↓ 960 ↓ 60 ↓ 0,66 ↓ 3
4 7
↑
↑
As setas no quadro acima, mostram que as colunas C5 e C6, são inversamente proporcionais à coluna C1, enquanto as demais são diretamente proporcionais a C1. Os dados na coluna C4, podem ser representados, suprimindo-se a vírgula (mesmo número de algarismos após a vírgula). A equação será formada, invertendo-se os dados das colunas, C5 e C6, para que as setas fiquem apontadas para baixa, como as demais setas. 7 x
=
600 960
⋅
33 60
⋅
128 66
3 2
⋅
⋅
7 4
Processadas as simplificações no segundo membro, obtemos a nova equação: 7 7 = logo x=4 x 4 E finalmente o valor de x, x =4.
02. Para reduzir a termo pedidos orais, um funcionário que digita, em média, 60 caracteres por minuto atende 5 pessoas em 90 minutos. Após um período de reciclagem, o mesmo funcionário passa a atender 6 pessoas em 80 minutos. Sendo assim, o número de caracteres por minuto que agora ele digita é igual a:
DISPOSITIVO DAS SETAS Dispondo os dados em coluna, respeitando a mesma natureza e na mesma unidade de grandeza, obtemos a seguinte formação: D i a s
7 x
P ã e s
600 960
F a r i n h a
G o r d u r a
P a d e i r o s
H o r a s
33 60
1,28 0,66
2 3
4 7
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RESOLUÇÃO Fazendo a montagem da tabela conforme naturezas e grandezas, obtemos a regra de três composta:
N° caracteres 60 x
Tempo (min) 90 80
N° pessoas 5 6
II) Discussão verificar se as grandezas são diretamente e/ou inversamente proporcionais. 1) Mantendo o tempo fixo. N° pessoas N° caracteres 5 60 ↓ + 6 x +
↓
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É uma grandeza diretamente proporcional. 2) Mantendo o número de pessoas fixo. Tempo (min) N° caracteres + 90 60 ↑ 80 x +
↓
É uma grandeza inversamente proporcional. Formamos a equação. 60 5 80 = ⋅ x 6 90
⇒
x = 81
07. Na merenda escolar, 40 crianças consumiram 156 litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite deverão ser consumidos por 45 crianças em 20 dias?
08. Em 3 horas, 3 torneiras despejam 2700 litros de água. Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 5 horas?
TESTES 01. Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários, que produzem, em 8 horas diárias de serviço, 240 pares de calçados por dia. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, se a jornada de trabalho diária for de 10 horas?
02. (UFMG) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia, produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 135 000 peças?
03. Meia dúzia de datilógrafas, preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafas, com a mesma capacidade das primeiras, prepararão 800 páginas?
04. Em uma granja, 32 galinhas produzem em média 100 dúzias em 10 dias. Quantas dúzias de ovos serão produzidas por 8 galinhas em 16 dias?
05. (USP-SP) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3Kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentar-las durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
06. Dez máquinas fabricam 400m de tecidos em 16 dias. Em quantos dias 12 máquinas que têm o mesmo rendimento que as primeiras fazem 300m desse mesmo tecido?
12
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09. Um supermercado dispõe de 20 atendentes que trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por mês. Se o supermercado passar a ter 30 atendentes trabalhando 5 horas por dia, eles custarão, por mês, a) R$ 3.375,00. b) R$ 3.400,00. c) R$ 3.425,00. d) R$ 3.450,00. e) R$ 3.475,00.
10. (PUCCMP-SP) Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4000 peças em:
11. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia assentaram 255 postes de luz em 17 dias, quantos operários, com a mesma habilidade dos primeiros, serão precisos para assentar 420 postes em 25 dias de 7 horas de trabalho? a) 38 b) 40 c) 42 d) 44 e) 5
12. (UF-MG) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia, produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 135 000 peças? 13. (ESAF) Cinco trabalhadores de produtividade padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8 horas. Considerando que existe uma encomenda de 1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15 dias úteis, quantos trabalhadores de produtividade padrão devem ser utilizados para se atingir a meta pretendida, trabalhando dez horas por dia?
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5 10 15 20 25
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por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108 000 bombons?
14. Com uma chapa metálica retangular de 1,5 m de comprimento por 2 m de largura, fazem-se 2 000 arruelas. Quantas dessas arruelas podem-se fazer com uma chapa retangular de 2,5 m de comprimento por 3 m largura ?
15. Uma placa de chumbo de 8 cm de comprimento e 6 cm de largura pesa 36 unidades de massa. Quanto pesará outra placa do mesmo material e da mesma espessura, quadrada, com 10 cm de lado?
16. Um batalhão de 1600 soldados tem víveres para dez dias à razão de três refeições diárias para cada homem. No entanto, juntaram-se a esse batalhão mais 400 soldados. Quantos dias durarão os víveres, se foi decidido agora que cada soldado fará duas refeições por dia?
17. (FCC) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em 1 hora e: a) 30 minutos b) 35 minutos c) 40 minutos d) 45 minutos e) 50 minutos
18. (FCC) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm, todas, a mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em: a) 8 horas e 40 minutos b) 8 horas e 20 minutos c) 7 horas e 45 minutos d) 7 horas e 30 minutos e) 7 horas e 15 minutos
19. (FCC) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas Atualizada 01/04/2008
a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 5
20. (FCC) Uma máquina copiadora produz 1.500 cópias iguais em 30 minutos de funcionamento. Em quantos minutos de funcionamento outra máquina, com rendimento correspondente a 80% do da primeira, produziria 1 200 dessas cópias? a) 30 b) 35 c) 40 d) 42 e) 45
21. Em 30 dias, uma frota de 10 táxis consome em média 100 000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumirá em média 240 000 litros desse mesmo combustível? 22. Um folheto enviado pela SABESP (Saneamento Básico do Estado de São Paulo) informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, ocasiona um desperdício de 100 litros de água, em 30 dias. Na casa de Fernanda Lima, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 5 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados nesse período. 23. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando 16 horas por dia levam 3 dias para produzir 360 peças, então 4 máquinas iguais às primeiras devem funcionar quantas horas por dia para produzir 432 peças em 4 dias? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 24. (NC.UFPR) Se 8 máquinas iguais, cada uma trabalhando 15 horas por dia, produzem certo número de peças em determinado número de dias de funcionamento, então apenas 6 dessas
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Prof. Pacher máquinas, para produzirem o mesmo número de peças no mesmo número de dias de funcionamento, deverão trabalhar cada uma delas: a) 18 horas por dia b) 19 horas por dia c) 20 horas por dia d) 21 horas por dia e) 22 horas por dia 25. (NC.UFPR) Uma fábrica de brindes leva 10 dias para produzir 1.560 unidades, quando tem 8 funcionários trabalhando. Se forem contratados mais 4 funcionários, que trabalhem no mesmo ritmo dos outros funcionários, quantos dias serão necessários para produzir 2.340 unidades? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 26. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando 21 horas por dia produzem 720 peças em 6 dias, então o número de peças que 4 máquinas iguais às primeiras produzirão em 7 dias trabalhando 20 horas por dia é igual a a) 600 b) 640 c) 680 d) 720 e) 60
27. (FCC) Uma impressora tem capacidade para imprimir 14 páginas por minuto em preto e 10 páginas por minuto em cores. Quanto tempo outra impressora levaria para imprimir um texto com 210 páginas em preto e 26 em cores, se sua capacidade de operação é igual a 80% da capacidade da primeira? a) b) c) d) e)
16 minutos e 45 segundos. 20 minutos. 21 minutos e 25 segundos. 22 minutos. 24 minutos e 30 segundos.
28. (FCC) Um veículo percorre os 5/8 de uma estrada em 4 horas, à velocidade média de 75 km/h. Para percorrer o restante dessa estrada em 1 hora e 30 minutos, sua velocidade média deverá ser a) b) c) d) e)
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90 km/h 100 km/h 115 km/h 120 km/h 125 km/h
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29.(UFRJ-NCE) Doze costureiras, trabalhando 8 horas por dia, em 18 dias tecem 480 mantas. O número de costureiras necessário para que sejam tecidas 600 mantas, trabalhando 6 horas por dia em 12 dias, mantendo o mesmo ritmo de trabalho que as anteriores, é: a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32. GABARITO EGRA DE TRÊS COMPOSTA 01 32 02 75 03 15 04 40 05 5 06 10 07 234 08 7500 09 A 10 8 11 B 12 75 13 B 14 5000 15 75 16 12 17 A 18 D 19 C 20 A 21 20 22 25 23 A 24 C 25 B 26 B 27 D 28 D 29 C
PORCENTAGEM CÁLCULO DE PORCENTAGEM Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento quer dizer por cem (dividido por cem). Toda razão da forma p/q na qual o denominador q=100, é chamada taxa de porcentagem ou
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Prof. Pacher simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. Em geral, para indicar um índice de a por cento, escrevemos a % e para calcular a % de um número b, realizamos o produto: a % de b é o mesmo que: a%.b a ⋅b a%.b é o mesmo que : 100
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II) O total de funcionários que trabalham na área de informática, é de 20%, restando para outras funções na empresa, 80%. Não informática = 80% de 150 = 80%.150 =
80 .150 = 100
120
120 não trabalham na área de informática.
ACRESCIMO PERCENTUAL
Resposta, alternativa D
Acrescentar a% de b, em b.
02. Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º como entrada e o 2º um mês após a compra. Se o pagamentofor feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a:
b + a%.b DECRESCIMO PERCENTUAL Decrescer a% de b, em b. b - a%.b
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestações de R$ 150,00 ou à vista com 10% de desconto. Quanto será pago, em reais, se a compra for deita à vista? Resolução: I) O custo final do aparelho em 4 prestações iguais a R$ 150,00, totaliza R$ 600,00.
Resolução I) Preço de venda: R$ 1.000,00 II) Preço da TV para pagamento à vista com desconto de 4%: (100% – 4%) R$ 1.000,00 = R$ 960,00 III) No pagamento em duas parcelas, o cliente: • paga R$ 500,00 no ato; • fica devendo R$ 960,00 – R$ 500,00 = R$ 460,00; • paga R$ 500,00 no mês seguinte e portanto paga R$ 40,00 de juros. 4) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que ficou devendo é
40, 00 460, 00
=
2
≅ 0, 0869 ≅ 8, 7%
23
Custo final = 4x150 = 600,00
Ou por uma regra de três simples.
II) Para pagamento a vista, terá 10% de desconto.
$ 40,00 $ 460,00
Custo à vista = 600 -10%x600 = 600 – 0,10x600= 600 – 60 = R$ 540,00 Resposta: R$ 540,00
.x% 100%
Reposta: letra A
TESTES
02. Do total de funcionários da empresa Fios S/A, 20% são da área de informática e outros 14% ocupam os 21 cargos de chefia. Quantos funcionários dessa empresa NÃO trabalham na área de informática?
01. O salário de uma pessoa era de $ 1 400,00 até ela ser promovida e receber aumento de 20%. Qual o novo salário?
a) 30 b) 99 c) 110 d) 120 e) 150 Resolução: I) Pela regra de três diretamente proporcional, envolvendo 14% que tem correspondência com 21 cargos, poderemos obter o total de funcionários da empresa.
02. (FUVEST) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:
Nº de funcionários 21 x
Porcentagem %
→ →
14 100
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a) 5,56x d) 2,6x
b) 1,6x e) 3,24x
c) x+160
03. (UFMG) Se um acertador da loteria esportiva ficou apenas com 5% do prêmio total, podemos afirmar que o número de acertadores foi de:
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b) 50 d) entre 30 e 40
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d) 1900,00 e) 2000,00
04. (USP) O senhor Pitágoras contrata um advogado; esse consegue receber 90% do valor da questão avaliada em R$ 30 000,00 e cobra, a título de honorários, 15% da quantia recebida. Qual a importância que resta para o senhor Pitágoras?
09. Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa com o lucro de 20%; esta vendeu-a com o lucro de 10%, e por fim, esta terceira vendeu-a com lucro de 5%. Qual a taxa única, que representa o valor final da mercadoria, após o último aumento.
a) R$ 4 000,00 c) 25 800,00 e) 22 950,00
10. Durante sua viagem ao país das Maravilhas a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: "beba-me e fique 25% mais alta". A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: "prove-me e fique 10% mais baixa"; logo após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: "beba-me e fique 10% mais alta". Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito:"prove-me e fique 20% mais baixa". Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela: a) ficou 1% mais baixa b) ficou 1% mais alta c) ficou 5% mais baixa d) ficou 5% mais alta e) ficou 10% mais alta
b) R$ 27 000,00 d) R$ 4 050,00
Uma pesquisa feita sobre o salário mensal de 20 pessoas que trabalham numa empresa trouxe como resultado o seguinte quadro:
Número de pessoas 6
Salário mensal Até 2 salários mínimos Mais de 2 e até 5 salários mínimos Mais de 5 e até 10 salários mínimos
7 4
Mais de 20 salários mínimos
3
05. Com base nos dados acima, qual a porcentagem de pessoas que ganham até 2 salários mínimos? 06. (PUCCAMP) O chefe de um setor recebe a incumbência de distribuir um prêmio de R$ 12.000,00 entre três funcionários, de acordo com a eficiência de cada um. Se um deles receber 20% desse valor e o segundo receber 55%, quanto receberá, em reais, o terceiro? a) 5 000 b) 3 000 c) 2 400 d) 1 600 e) 800
07. (UMC-SP) Em um determinado mês, o rendimento de uma poupança foi de 4% do capital investido. Se uma pessoa aplicar 5 000 reais, ao completar o mês terá um capital em R$ no total de:
12. Uma cidade de 120 000 habitantes apresentou, em 1995, uma mortalidade de 3% e uma natalidade de 3,4%. De quanto aumentou a população dessa cidade no ano de 1995?
13. (FCC) Em uma pesquisa com jovens de dezesseis anos de idade, apurou-se o seguinte: 165 rapazes e 104 moças votavam; 345 rapazes e 206 moças não votavam. Nesse grupo, a porcentagem de jovens que votam é, aproximadamente, de: a) 16 % b) 33 % c) 37 % d) 67 % e) 68 %
a) 5 020 b) 5 120 c) 5 200 d) 5 400 e) 7 000
14. (FCC) A tabela indica o número de crianças nascidas vivas em um município brasileiro.
08. (ESAL-MG) Após conseguir um desconto de 15% no preço de uma mercadoria, foram pagos R$ 1 700,00 por essa mercadoria. O preço, sem desconto, seria em R$ de: a) 1850,00 b) 1950,00 c) 2200,00
16
11. Ao comprar uma mercadoria, pagando a vista, obtive um desconto de 15% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 357,00 pela mercadoria, qual era o preço original?
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Ano 2000 2001 2002 2003
Crianças nascidas vivas 130 125 130 143
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Prof. Pacher Se toda criança deve tomar uma determinada vacina ao completar 2 anos de vida, em relação ao total mínimo de vacinas que o posto de saúde reservou para 2003, haverá em 2004: a) diminuição de2%. b) diminuição de 3%. c) crescimento de1%. d) crescimento de3%. e) crescimento de4%.
Matemática
a) R$ 3,50 c) R$ 2,95
b) R$ 3,05 d) R$ 0,70
20. Sabendo que 104 alunos de uma escola correspondem a 20% do total, Quantos alunos tem a escola ? a) 580
b) 620
c) 550
d) 520
21. (ESAF) Transformando a fração 2/5 em taxa percentual, teremos:
15. (FCC) Dos 120 funcionários convidados para assistir a uma palestra sobre doenças sexualmente transmissíveis, somente 72 compareceram. Em relação ao total de funcionários convidados, esse número representa: a) 45% b) 50% c) 55% d) 60% e) 65%
a) 37,5% b) 40% c) 32,5% d) 1,25% e) 35,7%
22. 121 é quanto por cento de 550?
16. (FCC) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta a) um aumento de 10%. b) um aumento de 8%. c) um aumento de 2%. d) uma diminuição de 2%. e) uma diminuição de 10%.
17. (FCC) Atualmente, o aluguel da casa onde Carlos mora é $ 320,00. Se, no próximo mês, esse aluguel sofrer um aumento de 8% do seu valor, o novo aluguel será: a) $ 328,00 b) $ 337,00 c) $ 345,60 d) $ 345,60 e) $ 354,90
18. (FUVEST) Atualmente, 50% das gaivotas de certa região são brancas e 50% são cinzentas. Se a população da espécie branca aumentar 40% ao ano e a da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual será aproximadamente, a porcentagem de gaivotas brancas daqui a dois anos?
a) 19% b) 20% c) 21% d) 22% 23. Numa eleição com 2 candidatos, votaram 3850 eleitores. O candidato A obteve 1032 votos e B obteve 2048 votos. Qual foi a porcentagem de votos nulos ou em branco? a) 35% b) 30% c) 25% d) 20%
24. (CESPE) Na saída de um cinema, 25 pessoas foram pesquisadas para dar a sua opinião sobre o filme. Verificou-se que 32% dessas pessoas não gostaram do filme. Quantas pessoas pesquisadas não gostaram do filme? a) 12 b) 10 c) 8 d) 6
25. (CESPE) uma prova de matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 30 dessas questões. Qual foi a sua taxa de erro?
a) 50% b) 38% c) 26% d) 14% e) 40%
a) 40% b) 30% c) 60% d) 50%
19. Na lanchonete, um sanduíche que custava R$2,80 teve seu preço aumentado em 25%. Esse sanduíche passou a custar :
26. (FCC) Em uma liquidação, certo artigo está sendo vendido com desconto de 20% sobre o preço T de tabela. Se o pagamento for efetuado em dinheiro, o preço com desconto sofre um desconto de 15%. Nesse último caso, o preço final será igual a
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0,68 T 0,72 T 1,35 T 1,68 T 1,72 T
castanho 30%
R$ 110,00 R$ 125,00 R$ 130,00 R$ 146,00 R$ 150,00
loiro
Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro? a) 60
28. (OPM) A superfície da Terra tem uma área total de aproximadamente 510 milhões de quilômetros quadrados. O gráfico de setores abaixo mostra, em porcentagem, a área ocupada pelos continentes e oceanos.
12 3
4 5
11
6 7 8 9
10
LEGENDA
1 – Oceania ( 1,8%) 2 – Europa ( 1,9%) 3 – Antártida ( 2,5%) 4 – África ( 5,9%) 5 – América ( 7,5%) 6 – Ásia ( 8,6%) 7 – Oceano Glacial Ártico ( 2,3%) 8 – Oceano Glacial Antártico (2,9%) 9 – Oceano Índico ( 14,7%) 10 – Oceano Atlântico ( 17,6%) 11 – Oceano Pacífico ( 34,3%)
Qual é a área do Oceano Atlântico em milhões de quilômetros quadrados?
29. (OBM) Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo de 1200 pessoas são mostrados no gráfico abaixo.
18
preto 24%
ruivo 16%
27. (FCC) Um comerciante compra um artigo por R$ 80,00 e pretende vendê-lo de forma a lucrar exatamente 30% sobre o valor pago, mesmo se der um desconto de 20% ao cliente. Esse artigo deverá ser anunciado por a) b) c) d) e)
Matemática
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b) 320
c) 360 d) 400 e) 840
30.(UFRJ-NCE) Ana vendeu uma bolsa por R$ 54,00, obtendo um lucro de 20% sobre o preço de custo. O lucro de Ana, em reais, foi de: a) R$ 64,80; b) R$ 43,20; c) R$ 13,50; d) R$ 10,80; e) R$ 9,00. 31. (UFRJ-NCE) O preço de um produto sofreu um acréscimo de 15% e, tempos depois, um novo acréscimo, sobre o novo preço, de 40%. Em relação ao preço inicial, o produto sofreu um aumento total de: a) 42%; b) 45%; c) 55%; d) 61%; e) 66%. GABARITO PORCENTAGEM 01 1680 02 E 03 A 04 E 05 30% 06 B 07 C 08 E 09 38,6% 10 A 11 420 12 480 13 B 14 E 15 D 16 B 17 C 18 B 19 A
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I) Fazendo x= prêmio, P1, P2 e P3 as três pessoas
D B D D C A A C 89,76 C E D
P1 P2 P3
1/4 de x 1/3 de x R$ 1 000,00
= = =
1/4.x 1/3.x 1 000
= = =
X/4 X/3 1 000
II) Adicionando as três partes obteremos o todo “x”. P1 + P2 + P3 = x x x + + 1 000 = x ...o mmc (3 , 4) = 12 4 3 3x + 4x + 12 000 12x ....simplifique o denominador = 12 12
comum aos membros
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
3x+ 4x +12000= 12x ....adicione o termos semelhantes
DEFINIÇÃO Equação do primeiro grau com uma incógnita, é a equação que pode ser reduzida à forma:
ax + b = 0
a 0
Em que: x é a incógnita a e b são constantes reais denominadas coeficientes. b é o termo independente
RESOLUÇÃO Nas equações, é costume chamar os valores que satisfazem as equações de raízes. Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes. Para a equação do 1º grau ax + b = 0 Passe o termo independente para o 2º membro ax = - b Para isolar x, passe o a operando inversamente. x = - b/a O conjunto verdade (raízes) é: V={ -b/a }
EXERCÍCIO RESOLVIDO
em x e passe para o segundo membro 12000 = 5x ....isole x, passando o multiplicador 5 de x
para a operação inversa, divisão. Execute a operação de divisão.
Resposta: R$ 2 400 TESTES 01. Resolva a equação: 12x – 4 = 10x + 3
02. (PUC-RJ) A raiz da equação a) -3/5 b) 3/5 c) -5/3 d) 5/3
03. (FIA-SP) Se 3x =
x − 3 +2 4
a) 0 b) 1/11 c) 5/11 d) 11
04. (UFU-MG) O valor de x tal que
01. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de:
a) 0 b) 5/16 c) 3 d) 16/5
a) 2 400,00 c) 2 100,00 e) 1 400,00
05. (F. OBJETIVO-SP) Se
b) 2 200,00 d) 1 800,00
Resolução Atualizada 01/04/2008
x − 3 x −1 = é : 7 4
4 x − 1 −2 x + 1 é: = 2 3
x +3 − 5 = x + 1, então: 4
a) x = 6 b) x = 8 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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c) x = -7 d) x = -9
11. (FCC) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57.
06. (FCC) Um automóvel percorre uma certa distancia na 1ª hora de seu movimento, 3/4 dela na 2ª hora e a metade dela na 3ª hora. Ao final da 3ª hora, o motorista nota que se percorrer mais 75km completará o percurso que é o triplo do que percorreu na 1ª hora. Quantos km percorreu na 2ª hora?
12. (OBM) Renata digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15. O número digitado foi:
a) b) c) d) e)
45 50 60 75 80
13. Dada a proporção:
07. (FCC) O esquema abaixo mostra, passo a passo, a seqüência de operações a serem efetuadas a partir de um certo número, a fim de obter o resultado final 10,4. (dividir por 8) (somar ponto de partida: ?
1 5
(multiplicar ) por 0,4) (subtrair 0,28) (dividir por 5) 10,4: resultado final
O número que deve ser considerado como ponto de partida está compreendido entre a)1 000 b)1 050 c)1 100 d)1 150 e)1 250
a) 31 b) 7 c) 39 d) 279 e) 27
e e e e e
1 050 1 100 1 150 1 200 1 300
08. Resolvendo-se a equação 2.(x+4)=4x+11, obtémse: a) x=-2,4 b) x=-1,5 c) x=-0,5 d) x=1,2
09. (FCC) Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8 anos atrás?
0,1 y − 0, 4 1 = , 1 − 0, 4 y 2
determine y :
5 0,2 = 6 . Então, o quadrado 14. É dada a proporção x 12,5 do número x é igual a:
15. (FCC) Um trabalhador gasta 1/3 de seu salário com aluguel de casa e 1/5 com transporte. Quanto resta para outras despesas, se seu salário é de R$ 780,00 ? a) b) c) d) e)
R$ 343,00 R$ 364,00 R$ 416,00 R$ 468,00 R$ 585,00
16.(OBJETIVO) Dividindo-se o numero natural n por 17, obtemos o quociente 283 e o resto 6. podemos afirmar que n é igual a: a) 4 817 b) 4 917 c) 3 815 d) 4 618 e) 4 418
a) 15 anos. b) 16 anos. c) 24 anos. d) 30 anos. e) 32 anos.
10. Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número.
17. Um número decimal x o resultado da divisão de 73 por 8. Quanto vale x? 18. (FCC) João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra em alimentação, ficando com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a: a) R$ 1 200,00 b) R$ 1 500,00
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Prof. Pacher c) R$ 1 800,00 d) R$ 2 100,00 e) R$ 2 400,00
19. (FCC) Em uma escola, o aluno deve obter média 6,0 em cada disciplina para ser aprovado. Essa média é calculada dividindo-se o total de pontos que ele obteve nos quatro bimestres, por quatro. Portanto, o aluno que não totalizar 24 pontos nos 4 bimestres deverá fazer prova final. Nessa prova, ele deverá obter, no mínimo, a diferença entre 10,0 e a sua média anual, para ser aprovado. As notas de Geografia de um certo aluno foram: 1º bimestre: 5,0 2º bimestre: 6,0 3º bimestre: 2,0 4º bimestre: 5,0 Logo, a nota mínima que esse aluno deverá obter na prova final de Geografia é: a) 4,5 b) 5,0 c) 5,5 d) 6,0 e) 6,5. 20. (FCC) Nos três andares de um prédio de apartamentos moram 68 pessoas. Sabe-se que: o número de residentes no segundo andar é o dobro do número dos que residem no primeiro; os residentes no terceiro andar excedem em 20 pessoas o número dos que residem no primeiro andar. Se x, y e z são os números de residentes no primeiro, segundo e terceiro andares, respectivamente, então a) x = 15 b) y = 25 c) z = 36 d) x = 12 e) y = 20
a) 15 gramas b) 10 gramas c) 12 gramas d) 22 gramas e) 20 gramas
23. (OBM) Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A, foi vendida metade da produção; para a loja B, foram vendidos 2/5da produção e para a loja C, foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica? a) 4166 latas b) 10000 latas c) 20000 latas d) 25000 latas e) 30000 latas
24.(CESGRANRIO) Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: a) 2 400,00 b) 2 200,00 c) 2 100,00 d) 1 800,00 e) 1 400,00
25. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de estacionamento em cada local. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? a) R$ 220,00 b) R$ 204,00 c) R$ 196,00 d) R$ 188,00 e) R$ 180,00
21. (FGV) Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente onde se coloca a água, um mostrador indicando de 1 a 20 cafezinhos. São gastos 2 minutos para aquecer o resistor. Aquecido o resistor, a água flui com taxa constante, misturando-se ao pó e transformando-se em café. Se o tempo gasto para fazer 8 cafezinhos é de 6 minutos, qual é o tempo gasto por essa mesma cafeteira para fazer 4 cafezinhos? a) 3 min b) 3 min 15 s c) 3 min 30 s d) 4 min e) 5 min
22. (OBM) Em Tumbólia, um quilograma de moedas de 50 centavos equivale em dinheiro a dois quilogramas de moedas de 20 centavos. Sendo 8 gramas o peso de uma moeda de 20 centavos, uma moeda de 50 centavos pesará: Atualizada 01/04/2008
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26.(FGV) Uma empresa, a título de promoção, tira fotocópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um máximo de 100 folhas; o que exceder 100 folhas a empresa cobra R$ 0,08 por folha. Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias, qual o preço total?
27. (FGV) Para uma determinada viagem foi fretado um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve pagar R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar que ficar vago. Qual a receita arrecadada se comparecerem 150 pessoas para a viagem?
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28.(UNICAMP-SP) Em uma empresa, 1/3 dos funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 tem idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários têm mais de 40 anos. a) Quantos funcionários tem a referida empresa? b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos? a) 1
29.(UNICAMP-SP) Após ter corrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhado 5/11 do mesmo percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso. a) Qual o comprimento total do percurso? b) Quantos metros o atleta havia corrido? c) Quantos metros o atleta havia caminhado? 30.(NC.UFPR) Qual é o valor de x na expressão
1+
1
= 1? 2 1+ 1 1+ x
c) d) e)
d) 5
e) 6
33.(FGV-SP) O Sr. Eduardo gasta integralmente seu salário em 4 despesas: moradia, alimentação, vestuário e transporte. Ele gasta ¼ do salário com moradia, 35% do salário com alimentação, R$ 400,00 com vestuário e R$ 300,00 com transporte. Sua despesa com moradia é igual a: a) b) c) d) e)
R$ 430,00 R$ 432,50 R$ 435,00 R$ 437,50 R$ 440,00
cada, e obtém L reais. Se vender 15 balas a menos, por R$ 0,45 cada, obterá os mesmos L reais. Determine o valor de n.
3 4 2 − 3 1 − 2 3 − 2 4 − 3
35.(ACAFE-SC) Um estudante comprou n canetas por 300 reais e (n + 4) lapiseiras por 200 reais. Sabendo que o preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, o número de canetas e lapiseiras, respectivamente, que ele comprou, é:
31.(NC.UFPR) Qual o valor de x que torna a expressão 0,25 ⋅ 0,4 + 0,75 ⋅ x = 0,5 verdadeira? 0,2 a) 0,25 b) –0,15 c) 0 d) –0,5 e) –0,25 32.(OB M) A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?
22
c) 3
34.(UFF-RJ) Um baleiro vende n balas, por R$ 0,30
a) − b)
b) 2
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a) b) c) d) e)
8 e 12 10 e 14 14 e 18 12 e 16 16 e 20
36.(UFRJ-NCE) Se 2/5 de uma certa quantia corresponde a R$ 56,00, então 9/7 desta mesma quantia corresponde a: a) R$ 22,40 b) R$ 28,80 c) R$ 56,00 d) R$ 72,00 e) R$ 180,00 37.(UFRJ-NCE) Uma cooperativa de suco produz semanalmente 120 garrafas de 3 litros. Se a capacidade de cada garrafa fosse de 5 litros, o número de garrafas utilizadas semanalmente seria: a) 24 b) 72 c) 100 d) 192 e) 200
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38. (ESAF) Se da razão a) b) c) d) e)
3 y − 9 x = a , sendo y ≠ ax , o valor y − ax
y , para a > 9, é igual a x
(a – 9) (a – 3) (a + 3) (a + 9) a2
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
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c) 1 050 E C B D 45 D E B C C
39.(MACK-SP) José possui dinheiro suficiente para comprar uma televisão de R$ 900,00, e ainda lhe sobrarem 2/5 da quantia inicial. O valor que sobra para José é
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
a) R$ 450,00. b) R$ 800,00. c) R$ 600,00. d) R$ 550,00. e) R$ 650,00.
Sistema de equações é o conjunto de equações que são satisfeitas simultaneamente pelos mesmos valores das incógnitas. As equações que formam um sistema, são denominadas equações simultâneas.
GABARITO
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 01 7/2 02 C 03 C 04 B 05 C 06 D 07 A 08 B 09 B 10 9 11 28 e 29 12 A 13 3 14 9 15 B 16 A 17 9,125 18 A 19 C 20 D 21 D 22 B 23 D 24 A 25 D 26 18 27 90 000 28 a) 96 b) 64 29 a) 2 310 b) 660 Atualizada 01/04/2008
DEFINIÇÃO
Sistemas de equações lineares é o conjunto de equações com todas as incógnitas de expoente 1 (um) ou, também denominadas de grau 1 (um).
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA Solução de um sistema é o conjunto de valores, um para cada incógnita, pelos quais as incógnitas devem ser substituídas, para que todas as equações se reduzam a igualdades numéricas ou a identidades algébricas. Costuma-se dizer que este sistema de valores verifica ou satisfaz todas as equações. Um sistema de equações pode ter uma única solução, mais de uma solução ou não ter nenhuma solução. SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS INCÓGNITAS É o sistema formado por duas equações lineares com duas incógnitas. O sistema neste formato, será estudado neste capítulo. RESOLUÇÃO POR ADIÇÃO Consiste em adicionar termo a termo semelhantes nos membros, para eliminar uma das incógnitas. Há quatro casos a considerar conforme a natureza dos coeficientes da incógnita a eliminar. No estudo para resolução de sistemas de equações, apresento testes que possibilitarão fazer contato com os quatro casos.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO ⎧ x + y = 21 (I) isolando x ⇒ x = 21- y ⎨ ⎩x - y = 3 (II) Substituindo x=21-y na equação ( II ), obtemos:
21 ⎧x + y = 21 ⎨ 01. Seja o sistema linear: ⎩ x - y = 3 Resolução: 21 ⎧x + y = 21 + ⎨ ⎩x - y = 3 2x
= 24
⇒
x=
24 2
⇒
x = 12
( 21 21 - y ) - y = 3 21 - y - y = 3 -2y = - 18 18 2y = 18 y= 9
Substituindo x=12 em qualquer uma das equações, obtemos y=9.
Substituindo y=9 em qualquer uma das equações, obtemos x=12.
Resultado final (12; 9).
Resultado final (12; 9).
RESOLUÇÃO POR COMPARAÇÃO Consiste em isolar a mesma incógnita nas d uas equações e, comp ará-las ará-las pela p ela igualdade.
02.Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00?
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resolução:
21 ⎧x + y = 21 ⎨ 01. Seja o sistema linear: ⎩ x - y = 3
I) Duas grandezas, número de notas e valor das notas com duas incógnitas número de notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Neste caso é possível elaborar um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Resolução:
⎧x + y = 21 isolando x ⇒ ⎨ ⎩ x - y = 3 isolando x ⇒
x = 21- y (I) x = 3 + y (II)
Fazendo a comparação ( I ) = ( II ), obtemos a equação: 21 – y = 3 + y ⇒ 2y= 18 ⇒ y = 9 Substituindo y = 9 em qualquer uma das equações, obtemos x=12.
x = número de notas de R$ 5,00 y = número de notas de R$ 10,00 1 0y = 5 5 ⎧5x + 10 ⎨ x+y=7 ⎩ ...se desejar pode dividir a 1ª equação por 5
11 ⎧x + 2y = 11 ⎨ x+y=7 ⎩ .......isole o x na 2ª equação 11 ⎧x + 2y = 11 ⎨ x=7-y ⎩ .......substitua x = 7 - y equação x + 2y = 11
Resultado final (12; 9). RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Consiste em isolar uma incógnita arbitrariamente a eliminar e substituí-la na outra equação. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
na 1ª
(7-y) + 2y = 11........7-y + 2y = 11 y = 4. Resposta: 4 notas de R$ 10,00
21 ⎧x + y = 21 ⎨ 01. Seja o sistema linear: ⎩ x - y = 3 Resolução:
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Resolva os próximos sistemas lineares:
{ 01.
Matemática
08. (FCC) A (FCC) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números?
x+y=17 x-y=5
02.
09. 09. Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é?
{
2x + 5y 5 y = 18 x=60-y
a) 20g b) 25g c) 35g d) 40g e) 45g
⎧ 2x-3y=3 ⎨ 2 y = 37 03. ⎩3x + 2y 04. 04. (CEFET-PR) Sabendo-se que a diferença de preço entre uma boneca e uma bola é R$ 15,00 e que a soma dos preços de duas bonecas com duas bolas é R$ 118,00 , podemos afirmar que o preço de um dos brinquedos é: a) R$ 15,00. b) R$ 80,00. c) R$ 65,00. d) R$ 37,00. e) R$ 10,00. 05.(UFRJ-NCE) André 05.(UFRJ-NCE) André é um ano mais velho que Bernardo, que é um ano mais velho que Cardoso, que é um ano mais velho que Demétrio. A soma das idades dos quatro é 190. Então, daqui a 16 anos Demétrio terá a seguinte idade: a) 64; b) 62; c) 60; d) 58; e) 56. 06. (FCC) Uma (FCC) Uma empresa resolveu aumentar seu quadro de funcionários. Numa 1 a etapa contratou 20 mulheres, ficando o número de funcionários na razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa 2 a etapa foram contratados 10 homens, ficando o número de funcionários na razão de 3 homens para cada 2 mulheres. Inicialmente, o total de funcionários dessa empresa era: a) 90 b) 120 c) 150 d) 180 e) 200 07. (FCC) Em (FCC) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos?
10. 10. (FCC) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y, então a diferença y-x é igual a: a) 18 b) 25 c) 30 d) 45 e) 60 11. 11. Cachorro quente com uma salsicha por $ 15,00.Cachorro quente com duas salsichas por $ 18,00.O gerente sabe quantos sanduíches vendeu contando os pães. Com essa promoção ele "faturou" $ 810,00. Quantas salsichas foram consumidas nos sanduíches sabendo que usou 46 pães? 12. Uma pessoa comprou bicicletas de 2 rodas e quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de rodas e varetas é 38 000e o número de guarda-chuvas é o triplo do de bicicletas, então o número de guarda-chuvas é.
13. 13. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 anos mais, ele teria 4/5 da idade do seu irmão. Juntos eles têm 30 anos. A idade de Roberto é: a) 24 b) 20 c) 16 d) 12 e) 10 14. 14. Um baleiro vende dois tipos de balas: b 1 e b2. Três balas do tipo b 1 custam R$ 0,10 e a unidade da bala b2 custa R$ 0,15. No final de um dia de trabalho, ele vendeu 127 balas e arrecadou R$ 5,75. O número de balas do tipo b 1 vendidas foi: a) 114 b) 113 c) 112
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d) 111 e) 110
d) 54 e) 62
15. 15. Três latas iguais de massa de tomate mais uma lata de atum custam, juntas, R$ 3,00. Duas latas de massa de tomate mais duas latas de atum (todas iguais às anteriores) custam, juntas, R$ 3,40.Qual é o preço de uma lata de massa de tomate?
21. 21. Num pátio existem automóveis e motocicletas. O número total de rodas é 130 e o número de veículos é 40. Quantos veículos de cada tipo se encontram no pátio?
a) R$ 0,65 b) R$ 0,70 c) R$ 0,75 d) R$ 0,80 e) R$ 0,95
22.(FCC-TRT) Para uma festa de aniversário, foram comprados 3 centos de salgados e 2 centos de doces, num custo total de R$ 90,00. Se o cento dos doces custa R$ 15,00, cada unidade de salgado é, em reais, igual a:
16. 16. (OBM) Rafael (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é: a) 48 b) 72 c) 58 d) 60 e) 34 17. (UNB-CESPE) Se (UNB-CESPE) Se eu gastar R$1.200,00 ficarei com 3/4 da quantia que Paulo possui. Juntos temos R$ 4.000,00. Nestas condições, Paulo possui a importância de R$: a) 1.200 b) 1.680 c) 1.600 d) 2.320 e) 2.400 18. 18. (FATEC-SP) Uma (FATEC-SP) Uma loja vendeu 112 pneus para 37 veículos entre "Fuscas" e motos. Somente dois "Fuscas" trocaram também o pneu de estepe. Quantas motos trocaram pneus? 19. 19. Um cavalo e um burro caminhavam caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua pesada carga, respondeulhe o burro: de que te queixas? se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der um saco tua carga será igual a minha. Quantos sacos cada um deles levava? 20. (FGV-SP) Num (FGV-SP) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Então, o número total de veículos que se encontram no pátio é:
0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
23. (UDESC) Em (UDESC) Em um treino de basquete, um jogador ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3 pontos por cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26 pontos. Logo, o número de cestas que ele acertou foi: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 24. (OBM) Ronaldo, (OBM) Ronaldo, sempre que pode, guarda moedas de 50 centavos ou 1 real. Atualmente, ele tem 100 moedas, num total de 76 reais. Quantas moedas de um valor ele tem a mais do que a de outro valor ? a) 48 b) 4 c) 8 d) 52 e) 96 25. (BANESPA) (BANESPA) Um fazendeiro cria galinhas e coelhos. Num dado momento, esses animais somam um total de 50 cabeças e 140 pés. Pode-se concluir que a razão entre o número de coelhos e o número de galinhas é: a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 3/4 26. (CESGRANRIO-RJ) (CESGRANRIO-RJ) Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo
a) 50 b) 42 c) 52
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a) b) c) d) e)
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Prof. Pacher recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
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a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
27.(OCM) Um zoológico tem vários macacos e várias girafas. Contando os olhos e as pernas dos macacos e das girafas obtém-se 30 olhos e 44 pernas. Quantos macacos e quantas girafas há no zoológico? (Um macaco tem duas pernas.)
31. (FCC) Na entrada de um estádio, em um dia de jogo, 150 pessoas foram revistadas pelos soldados Mauro, Norberto e Orlando. O número das revistadas por Mauro correspondeu a 3/4 do número das revistadas por Orlando, e o número das revistadas por Orlando correspondeu a 14/13 do número das revistadas por Norberto. O número de pessoas revistadas por:
a) 8 m e 7 g b) 9 m e 6 g c) 7 m e 8 g d) 6 m e 9 g e) 8 m e 9 g
a) Mauro foi 45. b) Norberto foi 54. c) Orlando foi 52. d) Norberto foi 42. e) Mauro foi 42.
28.(ESAF) Um copo completamente cheio de água “pesa” 275 gramas. Mas se metade da água for jogada fora, seu “peso” cairá para 165 gramas. Então, o “peso” deste copo é em gramas:
32. (UEL-PR) Fernando fez um pedido de 4 m 2 de um piso tipo A e alguns metros quadrados de um piso tipo B. O piso tipo A custa o dobro do piso tipo B. Ao anotar o pedido, o vendedor trocou os tipos de piso, ou seja, 4 m2 de piso tipo B e o resto tipo A. Isso fez o pedido ficar 50% mais caro. A quantidade de piso tipo B no pedido original era:
a) 32,5 b) 42,5 c) 55 d) 75 e) 110 29.(FGV-SP) Em uma prova de 20 questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 ponto por cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qual seria a nota de André, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos? a) 12 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24 30.(OBM) No alvo abaixo, uma certa pontuação é dada para a flecha que cai na região A e outra para a flecha que cai na região B. Alberto lançou 3 flechas: uma caiu em B e duas em A, e obteve 17 pontos. Carlos também lançou 3 flechas: uma caiu em A e duas em B, e obteve 22 pontos. Quantos pontos são atribuídos para uma flecha que cai na região A?
A B
a) 32 b) 16 c) 8 d) 6 e) 4 33. (UFF-RJ) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Podese afirmar que o número de arremessos convertidos pelo jogador nesta partida foi: a) b) c) d) e)
0 5 10 15 20
34.(CESPE) A diferença entre dois números é 144 e o quociente entre eles é 5. Um desses números é: a) 35 b) 180 c) 60 d) 80 35.(UNB-CESPE) A metade da diferença entre dois números é 325 e o dobro de seu quociente é 28. Calcule o menor:
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Prof. Pacher a) 28 b) 25 c) 14 d) 50 36.(CESPE) Dois números tais que, multiplicando-se por 5 e o menor por 6, os produtos são iguais. Se o maior deles, diminuído de 3 é igual ao menor aumentado de 1, então um deles é: a) 4 b) 7 c) 18 d) 24 37.(UNB-CESPE) A quantia de R$ 8,75 é composta de 42 moedas de, 1 centavo e de 50 centavos. A diferença entre as quantidades de moedas de 1 centavo e 50 centavos é de:
Matemática
quantidade de cds de Frank Sinatra de Agenor e a de Barcelos é igual a: a) 234; b) 258; c) 290; d) 324; e) 494.
41.(UFRJ-NCE) Um fazendeiro dividirá seu terreno de modo a plantar soja, trigo e hortaliças. A parte correspondente à soja terá o dobro da área da parte em que será plantado trigo que, por sua vez, terá o dobro da área da parte correspondente às hortaliças. Sabe-se que a área total desse terreno é de 42 ha, assim a área em que se irá plantar trigo é de: a) 6 ha; b) 12 ha; c) 14 ha; d) 18 ha; e) 24 ha.
a) 6 moedas b) 7 moedas c) 8 moedas d) 9 moedas e) 10 moedas
42. (EsPCEX) A soma dos valores de x, y e z ⎧ 2x + y − z = 5 ⎪ ⎨3x − 2y + z = −2 ⎪ x+z =0 que tornam o sistema ⎩ verdadeiro é:
38.(UNB-CESPE) Dois trabalhadores recebem juntos R$ 1.080,00 por 20 dias de trabalho. O mais especializado recebeu R$ 4,00 a mais do que o outro, por dia de trabalho. A diária do operário menos especializado foi de:
a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4
a) R$ 23,00 b) R$ 23,50 c) R$ 24,00 d) R$ 24,50 e) R$ 25,00
43.(FGV-SP) Se (a, b, c) é solução do sistema ⎧2x + y = 5 ⎪ ⎨2y + z = 3 ⎪3x + 2y + z = 7 ⎩ , então a + b + c é igual a
39. (FCC-TRF) Um total de 120 caixas de lápis e de borrachas foi distribuído a alguns setores de uma empresa. Se o número de caixas de lápis acrescido de 5 unidades excede a terça parte do número das de borrachas em 21 unidades, então a quantidade de caixas de a) b) c) d) e)
borrachas é 75. lápis é 40. borrachas é 78. lápis é 45. borrachas é 80.
40. (UFRJ-NCE) Agenor emprestou a Barcelos todos os cds que tinha com gravações de Frank Sinatra, pois Barcelos queria dar uma reunião em que apenas cds do cantor seriam tocados. Barcelos ficou então com um total de quarenta e cinco gravações do famoso cantor, contando os seus e os de Agenor. Barcelos tem sete cds a mais que Agenor com tais gravações e nenhum dos cds de Barcelos é igual a algum de Agenor. Então, o produto entre a
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a) 2 b) – 2 c) 0 d) 1 44. (UFSM-RS) Duas vacas e um touro foram trocados por oito porcos. Em outra ocasião, uma vaca foi trocada por um touro e um porco. De acordo com a regra desses dois “negócios”, uma vaca deve ser trocada por ___ porcos; um touro, por ___ porcos. Assinale a alternativa que preenche corretamente os espaços. a) 3; 2 b) 2; 5 c) 2; 3 d) 3; 4 45. (CEFET-PR) Para a festa do Natal, uma creche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma
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Prof. Pacher doação de R$ 370,00. Esperava-se comprar carrinhos a R$ 2,00 cada, bonecas a R$ 3,00 e bolas a R$ 3,50. Se o número de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar: a) 60 bonecas, 30 carrinhos e 30 bolas. b) 20 bonecas, 40 carrinhos e 60 bolas. c) 30 bonecas, 30 carrinhos e 60 bolas. d) 25 bonecas, 45 carrinhos e 70 bolas. e) 40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas. 46. (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é: a) 48
b) 72
c) 58
d) 60
e) 34
47. (FCC-TRF) As provas de um certo concurso público serão aplicadas em 50 cidades dos estados do Paraná (PR), de Santa Catarina (SC) e do Rio Grande do Sul (RS), nas seguintes proporções: SC = 52% RS, PR = 48% RS. Nessas condições, o número de cidades do Paraná nas quais as provas serão aplicadas é a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 (CESPE) Uma pessoa comprou 2 unidades do produto X e 3 unidades do produto Y, pagando pela compra o total de R$ 55,00. Se essa pessoa comprasse 5 unidades do produto X e 4 unidades do produto Y, pagaria o total de R$ 92,00. Com base nessas informações, é correto afirmar que o preço da unidade do produto 48. Y é superior a R$ 10,00. 49. X é inferior a 3/5 do preço da unidade do produto Y. 50. As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e Carla compraram num mercado estão esquematizadas na tabela que segue
Elaine Pedro Carla
produto A 1 3 2
produto B 2 6 4
produto C 3 2 1
Sabendo-se que Pedro gastou R$ 21,00 e Carla R$ 13,00, pode-se concluir, necessariamente, que a) Elaine gastou R$ 10,00. Atualizada 01/04/2008
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b) o preço do produto C é R$ 3,00. c) o preço do produto A é R$ 1,00. d) o preço do produto B é R$ 3,00. 51. (FAE-PR) Teresa quer distribuir balas, pirulitos e chocolates para crianças. Ela dispõe de grande quantidade desses doces e os únicos critérios são que cada pacote contenha todos os 3 doces, num total de 10 unidades, e que o número de balas em cada pacote seja o dobro do número de chocolates. O número de pacotes diferentes somente pela quantidade de doces é igual a: a) 7 b) 8 c) 3 d) 4 e) 5 52.(UNIOESTE-PR) Considerando as leituras indicadas nas balanças da figura abaixo, é correto afirmar que:
I ) o objeto A é o de maior m assa. II ) o objeto C é o de menor massa. III) a soma das massas dos três objetos é igu al a 96g. IV ) a massa do o bjeto B é igual a 28g. V ) a massa do ob jeto B é igu al à soma das massas de A e C. VI ) a diferença entre as massas de B e C é igual a 40g. a) FVVFVV b) VVVVVV c) FFFFFF d) FVVFFF e) VFFVVV 53. (ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e cons tatou qu e são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros r oubados d a marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y, junt as respond em por c erca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20 b) 30 c) 40
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Prof. Pacher d) 50 e) 60 54.(UFPR) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel. Três motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos, estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações: 1º motoris ta: Ontem eu sai de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em Guarapuava. Ao tod o, percorr i 568km. 2º motoris ta: Eu sai de Maringá, entreguei um a encomenda em Cascavel e depois f ui para Guarapuava. Ao tod o, percorr i 522km. 3º motori sta: Semana passada eu sai d e Maringá, descarreguei parte d a carga em Guarapuava e o restante em Cascavel, percor rendo, ao todo, 550km. Sabendo que os três motori stas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora, quantos quilômetros percorreria um mot oris ta que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá, depois por Cascavel e retornass e a Guarapuava? a) b) c) d) e)
820km 832km 798km 812km 824km
55.(UEL-PR) Um comerciante varejista comp rou 80 calças de dois tamanhos diferentes, pequeno e médio, gastando R$ 4 300,00. Cada calça de tamanho pequeno cust ou R$ 50,00 e cada calça de tamanho m édio custou R$ 60,00. Quantas calças de tamanho pequeno e médio, respectivamente, ele comprou? a) b) c) d) e)
30 e 50 37 e 43 40 e 40 43 e 37 50 e 30
56.(UFRJ-NCE) Um fazendeiro dividirá seu terreno de modo a plantar soja, trigo e hortaliças. A parte correspondente à soja terá o dobro da área da parte em que será plantado trigo que, por sua vez, terá o dobro da área da parte correspondente às hortaliças. Sabe-se que a área total desse terreno é de 42 ha, assim a área em que se irá plantar trigo é de: f) 6 ha; g) 12 ha; h) 14 ha; i) 18 ha; j) 24 ha.
30
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57.(UFRJ-NCE) O ingresso para entrar em um parque nacional custa R$ 2,00 por criança e R$ 5,00 por adulto. Num dia entraram 57 pessoas no parque, e foi obtida a receita total de R$ 222,00. Nesse dia, o valor absoluto da diferença entre o número de crianças e adultos que entraram no parque foi de: a) 15; b) 21; c) 26; d) 30; e) 36. GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
11 e 6 94 e -34 9e5 D B B 18 e 5 17 e 33 C D 86 3 000 E A A C C 19 7e5 C 25 e 15 C E B C C A C E C E B C B D D C E C E B C A
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CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
A E C A C E B C A B A E B A
I) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta decrescente quando a<0.
II) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta crescente quando a>0. FUNÇÕES DO 1º GRAU FUNÇÃO CONSTANTE Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k é um número real que não depende de x . Exemplos: a) f(x) = 9
III) Na função f(x) = ax + b ,
b) f(x) = -2
• se b = 0 , f é dita função linear e
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
• se b
≠ 0, f é dita função afim .
IV) O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a .
Veja o gráfico a seguir:
V) O gráfico interce pta o eixo dos y no ponto (0 , b), que é o termo independente b, onde b é chamado coeficiente linear . VI) O valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. VII) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem, no ponto (0, 0).
FUNÇÃO DO 1º GRAU Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ≠ 0 .
TESTES
Exemplos : 01. f(x) = 2x + 8 ( a = 2 ; b = 8 ) 02. f(x) = -5x + 5 (a = -5; b = 5).
Atualizada 01/04/2008
01.(NC.UFPR) Calculando o valor numérico da expressão ( a + b )2 , para a = 0,25 e b = 0,15, obtemos o valor: a2 −b2
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1,75 4,00 2,50 3,20 3,75
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06. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando : y
02. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico: y
x
0
2
0 a) b) c) d) e)
4
x
f(x)= -x+2 f(x) = -x/2 + 1 f(x)= -x/2 + 2 f(x)=4x f(x)= -x
a) b) c) d) e)
a<2 a<0 a=0 a>0 a=2
07. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ? y
03. Obtenha a função do 1º grau na variável x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0): a) b) c) d) e)
y= x/3 y=-x/3 + 1 y= 2x y= x/3 +1 y= -x
-2
04. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta: y
x
32
x
y = 2x - 3 y = - 2x + 3 y = 1,5 x + 3 3y = - 2x y = - 1,5x + 3
a=0;b=0 a>0;b>0 a<0;b>0 a>0;b=0 a>0;b<0
paralela aos eixo das ordenadas perpendicular ao eixo das ordenadas perpendicular ao eixo das abscissas que intercepta os dois eixos nda Atualizada 01/04/2008
a) b) c) d) e)
13/5 22/5 7/5 13/5 2,4
09. ( PUC - MG ) Uma função do 1o grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a :
05. ( UF-MA ) A representação da função y = -3 é uma reta : a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
0
08. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é :
0
a) b) c) d) e)
3
a) b) c) d) e)
0 2 3 4 -1
10. ( FUVEST-SP ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é : a) f(x)= x-3 b) f(x)= 0,97x
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c) f(x)=1,3x d) f(x)=-3x e) f(x)= 1,03x
d) se não tivessem ocorrido as despesas extras com frigobar, telefone e lazer, eles poderiam ter ficado mais 1 dia e teriam economizado ainda 120 reais.
11. ( UF-RN ) Seja a função linear y = ax - 4 . Se y = 10 para x = -2 então o valor de y para x = -1 é:
15.(FAE-PR) Dois números inteiros positivos são tais que a sua soma mais a sua diferença mais o seu produto é igual a 50. Quantas são as possíveis soluções para esse problema?
a) b) c) d) e)
3 4 -7 -11 nda
12. ( MACK - SP ) A função f é definida por f(x)= ax + b . Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3 ) é : a) b) c) d) e)
0 2 -5 -3 -1
13. ( UNIFOR ) Seja a função f de R em R definida por f(x) = mx + t representada pelo gráfico abaixo. Nestas condições:
0
x
0
x
a
Pode-se concluir que se f(x) < 0 então x > a. se f(x) < 0 então x < 0. se x < a então f(x) < 0. se 0 < b < a e x > b então f(x) > f(b).
17 .(EPCAR) A reta do gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em ml) que uma pessoa deve tomar, em função de seu peso (dado em Kgf), num tratamento de imunização. A quantidade total de soro a ser tomada será dividida em 10 injeções idênticas. Quantos ml de soro receberá um indivíduo de 65 Kgf em cada aplicação?
-2 a) b) c) d) e)
16. A função f é representada graficamente por y f
a) b) c) d)
y -1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
m = 2t t = 2m m=t m+t=0 m - t=4
ml
14. (AFA) Hotel Fazenda B Chalés com acomodação para até 10 pessoas.
30 10
Diária do Chalé: 80 reais
0
20
50
80
Kgf
O Sr. Souza, esposa e filhos optaram pelo passeio acima anunciado e, aproveitando as férias escolares, passaram 5 dias hospedados no Hotel Fazenda B fazendo todas as refeições, gastando ao todo 1100 reais, dos quais 280 reais co briram despesas com telefone, frigobar e lazer.
a) 20 b) 2 c) 40 d) 4
É correto afirmar que
18. (EsPCEX) Sabendo que a função y = ax + b, pode-se afirmar que:
a) a família levou 6 filhos. b) as despesas com refeições totalizaram 400 reais. c) no chalé sobraram 4 acomodações.
a)O gráfico da função passa sempre pela origem. b)O gráfico da função corta sempre o eixo das ordenadas.
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Prof. Pacher c)O zero da função é b/a. d)A função é crescente para a < 0 . e)O gráfico da função nunca passa pela origem.
Matemática
os resultados que estão anotados no quadro dado.
19.(NC.UF-PR) Qual das histórias melhor se adapta ao gráfico abaixo?
0 10 20 30
distância de casa
50
tempo
a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que poderia me atrasar, comecei a caminhar mais rápido. b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a sensação de ter esquecido as chaves do escritório. Parei para procurá-las na minha mala, mas não as encontrei. Voltei para buscá-las, tomei mais um cafezinho e depois pude seguir para o escritório. c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar horas esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou o pneu, e eu pude seguir viagem. d) Logo que saí de casa encontrei um amigo que não via há muito tempo. Parei para conversar um pouco e depois segui para o escritório. e) Saí de casa sem destino, dei uma volta na quadra e resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e resolvi não sair mais de casa. 20.(ACAFE-SC) Suponha que uma companhia de água cobre o consumo residencial pela seguinte tabela:
Faixa de consumo por m3 0 - 10 11 - 25 mais de 25
Valor em reais por m3 1,20 2,00 2,50
O proprietário de uma residência, que num determinado mês consumiu 27m3 de água, pagará, em reais: a) b) c) d) e)
55,00 67,50 54,00 45,00 47,00
21. (ACAFE-SC) Dois atiradores, A e B, numa série de 20 tiros num alvo com a forma indicada na figura abaixo, obtiveram 34
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atiradores 50 A 5 B 6
30 4 2
20 3 3
10 7 8
0 1 1
Observando a média de pontos dos atiradores A e B, a alternativa correta é: a) b) c) d) e)
O atirador B superou o atirador A em 2 pontos. O atirador A teve melhor desempenho que o atirador B. Os atiradores tiveram o mesmo desempenho. A média de pontos do atirador B é de 20 pontos. A média de pontos do atirador A é de 24 pontos.
22. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com velocidade constante. A distância (d) que cada um percorre é mostrada no gráfico abaixo. d(m) 500 400 300 200 100 0
B A
10 20 30
x t(min)
Com base no gráfico, a alternativa correta é: a) b) c) d) e)
A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 20 min. B percorre 1km em 20 min. B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min. A e B correm na mesma velocidade. A percorre 400m em 30 min.
23.(MACK-SP) Considere as funções f (x) = 3 x – 5, g (x) = 3x2 + 2x – 4 h(x) = x – x2 e o número real f ( 0 ) ÷ g ( − 1) A = . h( 2 ) Então 5 . A – 1 vale:
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Matemática
Analise as alternativas e marque a opção correta.
1/6 6 – 6 5 1/5
24. (UFPR) No interior de uma caverna existe uma estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à razão de 1 cm a cada 10 anos. Nessas condições, a função h definida por h(t) =
t , com t ≥ 0, 10
relaciona a altura da estalagmite(em centímetros) com o tempo t (em anos) decorrido desde o inicio da sua formação. I) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o gráfico da função h é uma parábola. II) h(80) = 80 III) São necessários 200 anos para que haja um aumento de 20 cm na altura da estalagmite. IV) A altura da estalagmite é diretamente proporcional ao tempo t. Assim é correto afirmar: a) FFVV b) VVVV c) FFFF d) VVFF e) FVFV
a) O nível da água permaneceu constante num período de 8 anos. b) O nível de 80 metros foi atingido exatamente duas vezes até o ano 2000. c) Após o ano de 2000, o nível da água da barragem foi insuficiente para gerar energia. d) No período de 1995 a 2000, o nível da água só diminuiu.
26. (VUNESP) O valor de um determinado tipo de automóvel diminui com o passar do tempo, como mostra o gráfico. preço (milhares de reais) 25,5
13,5
0
25.“O Brasil tem um encontro marcado com o caos. No dia 1o de junho começa o plano de racionamento de energia.” “O modelo energético brasileiro é baseado quase que exclusivamente em hidrelétricas, que produzem 97% da energia consumida no país. Sem chuva, entra em colapso”. Revista Veja – 16/05/01 No gráfico abaixo, tem-se o nível da água armazenada em uma barragem ao longo dos últimos anos, que foi construída para represar água a fim de mover as turbinas de uma usina hidrelétrica.
tempo (anos)
8
Esse carro não terá valor algum, decorridos a) 12 anos. b) 13 anos. c) 15 anos. d) 16 anos. e) 17 anos.
27. (EXPCEX) O crescimento de um vegetal, sob certas condições e a partir de uma determinada altura, segue a função do gráfico abaixo. Mantidas tais condições, pode-se afirmar que a função que representa o crescimento do vegetal e sua altura no 12° dia são, respectivamente:
O nível máximo nível (m) o nível mínimo para gerar energia
120 80
30
1 t −5 2 1 5 b) h( t ) = t − 3 3 1 c) h( t ) = t + 1 5 a) h( t ) =
10
0
1989
1995
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2000
tempo
e e e
12 cm 15 12 h = cm 5 17 h = cm 5 h=
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1 t +1 4 t −5 e) h( t ) = 5 d) h( t ) =
e e
17 cm 5 12 h = cm 15 h=
28.Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja a figura seguinte.
valor (R$)
0
20
tempo (anos)
Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 20 anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a 20% do valor que tinha quando era novo, então esse valor mínimo é, em reais, a) b) c) d)
menor que 4500 maior que 4500 e menor que 7000 múltiplo de 7500 um número que NÃO divide 12000
29.(UEL –PR) Uma turma de torcedores de uma time de futebol quer encomendar camisetas com o emblema do time para a torcida. Constataram com um fabricante que deu o seguinte orçamento: • Arte final mais serigrafia: R$ 90,00, independente do numero de camisetas. • Camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$ 6,50 por camiseta. Quantas camisetas devem ser encomendadas com o fabricante para que o custo por camiseta seja de R$ 7,00? a) b) c) d) e)
18 36 60 180 200
GABARITO FUNÇÃO DO 1º GRAU 01 B 02 C
36
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03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Matemática
D E B B C B C B A E C C D A D B B E C B B A C E C B D
EQUAÇÕES DO 2º GRAU DEFINIÇÃO É toda a equação que pode ser reduzida à forma:
ax2 + bx + c = 0
a 0
Em que: x é a incógnita a, b e c são constantes reais denominadas coeficientes. c é o termo independente
RESOLUÇÃO Nas equações, é costume chamar os valores que satisfazem as equações de raízes. Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes. Para a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 Use a formula de Báskara -b ± b2 - 4ac x= 2a O conjunto solução é: ⎧⎪ -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac ⎫⎪ S= ⎨ ; ⎬ 2a 2a ⎪⎩ ⎪⎭
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Prof. Pacher Considerações Para a equação do 2º grau, quando o discriminante da equação, radicando na fórmula de Báskara: b2 - 4ac = Δ I) Quando > 0, maior que zero, a equação tem duas raízes reais e diferentes entre si.. ⎧⎪ -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac ⎫⎪ S= ⎨ ; ⎬ 2a 2a ⎪⎩ ⎪⎭ II) Quando = 0, igual a zero, a equação tem duas raízes reais e iguais. -b -b S= ⎧⎨ ; ⎫⎬ ⎩ 2a 2a ⎭ III) Quando < 0, menor que zero, a equação tem duas raízes não reais e diferentes entre si. S = conjunto vazio, as raízes não são reais.
OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA (RELAÇÕES DE GIRARD) Seja a equação:
1x2 - Sx + P = 0
a=1
e x1 e x2 as raízes da equação, então podemos ter:
soma produto
x1 + x2 = S x1 . x2 = P
01. Em certo momento, o número de funcionários presentes em uma agência bancária era tal que, se ao seu quadrado somássemos o seu quádruplo, o resultado obtido seria 572. Se 10 deles saíssem da agência, o número de funcionários na agência passaria a ser: b) 13
c) 14
-b ± b2 - 4ac x= 2a
x=
x=
2 -(4) ± (4) - 4(1)(-572) 2(1) -4±48 2
x1=-26 não serve por ser negativo. x2=22 serve
II) Resposta: (x-10)=(22-10)=12
TESTES 01. (FUVEST) O conjunto verdade da equação x+2 2 -1 + = 2 x-2 2 02. Sobre a equação (x + 2) (x + 3) = x² + 6x + 3 é verdade que: a) x é igual a 0 b) x é igual a 3 c) x é igual a 6 d) todos os números são soluções e) x é igual a 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
a) 12
Matemática
d) 15
03. 6x2 – x – 1 = 0
04. x2 - 8x + 7 = 0
e) 16
05. x2 - 6x + 9 = 0
Resolução: 06. x2 - 2x + 5 = 0
x é o número de funcionários x2=quadrado de x 4x=quádruplo de x (x-10) é o que o teste solicita
07. 3x2 + 12x = 0
I) x2+4x=572 x2+4x-572=0 Aplicando a fórmula de Bháskara, temos: Atualizada 01/04/2008
08. 9 - 4x2 = 0
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09. x - 5x + 6 = 0 10. O número de soluções inteiras da equação x-3 4 4 - = x - 4 x x(x - 4) a) 0 b)1 c)2 d)3 e) 4 11. A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 2x2 - 7x + 3 = 0. a) 7/3 b) 7/2 c) 3/2 d) 3/7 e) 2/7
12. Qual o menor número que se deve somar a cada fator do produto de 5 x 13 , para que este produto , aumente de 175 unidades ? a) b) c) d) e)
7 25 –7 –25 13
13. Qual é o menor valor de "x" de modo que a divisão de 0,5 por "x" tenha o mesmo resultado da adição de 0,5 com "x"? a) 0,5 b) –0,5 c) –1 d) 1 e) 0
Matemática
16.(ACAFE-SC) Uma torneira deixa cair x gotas de água a cada 20 segundos. Sabendo-se que esse número x corresponde à raiz positiva da equação x( x-2 ) = 21 + 2x, o volume de água que vaza por hora, supondo que cada gota corresponde a 0,4ml, é: a) b) c) d) e)
504ml 540ml 5040ml 50,4ml 5400ml
17. (EXPCEX-97) Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m e n são ímpares consecutivos, com m.n=483. Nestas condições, o valor de m+n é igual a: a) 64 b) 52 c) 46 d) 44 e) 32
18. (FCC-TRT) Numa reunião, o número de mulheres presentes excede o número de homens em 20 unidades. Se o produto do número de mulheres pelo de homens é 156, o total de pessoas presentes nessa reunião é a) 24 b) 28 c) 30 d))32 e) 36 19.(UFF) Num terreno retangular com 104 m2 de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. Terreno Calçada L
Jardim
14. A soma de um número e o seu quadrado é 4032. Qual é esse número ? Calcule o valor de L.
a) 66 b) 61 c) 62 d) 63 e) 64
15.(MACK-SP) Se (x – y)2 – (x + y)2 = – 20, então x . y é igual a: a) – 1 b) 0 c) 10 d) 5 e) 20
38
L
Atualizada 01/04/2008
20. (UFRJ-NCE) As raízes da equação x2 + mx + n = 0 são 5 e –1. A soma dos valores das constantes m e n é igual a: a) –9; b) –5; c) 0; d) 1; e) 5. 21. (UFRJ-NCE) A diferença entre os valores das raízes da equação 2x2 – 26x + 80 = 0 pode ser igual a: a) 0;
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b) 2; c) 3; d) 12; e) 20.
y V
Ponto de máximo
yv
GABARITO EQUAÇÃO DO 2º GRAU 01 1 e -2 02 B 03 -1/3 e 1/2 04 1 e 7 05 3 06 Vazio em R 07 -4 e 0 08 -3/2 e 3/2 09 2 e 3 10 B 11 A 12 D 13 C 14 D 15 D 16 A 17 D 18 D 19 2 20 A 21 C
0
xv
PONTO DE MÍNIMO V( xv , yv ) O ponto de mínimo é ponto de menor ordenada ( y v ) da função:
f( x ) = ax2 + bx + c a>0 =0 Obs.: O coeficiente a de x2 é POSITIVO. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
y
xv 0
FUNÇÃO DO 2° GRAU
x
yv V
VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
Toda a função do 2° grau tem um ponto de máximo ou de mínimo. f( x ) = ax2 + bx + c a 0 =0 PONTO DE MÁXIMO V( x v , yv ) O ponto de máximo é ponto de maior ordenada ( y v ) da função:
f( x ) = ax2 + bx + c a<0 =0 Obs.: O coeficiente a de x2 é NEGATIVO. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Atualizada 01/04/2008
Ponto de mínimo
CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2° GRAU CÁLCULO DA ABSCISSA xv DO VÉRTICE xv =
−b 2⋅a
Ou também, calculando a média aritmética das raízes ( x1 e x2 ): xv =
x1 + x 2 2
CÁLCULO DA ORDENADA yv DO VÉRTICE (MÁXIMO OU MÍNIMO)
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Prof. Pacher − (b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c) yv = 4⋅a Ou também, substituindo xv na função: f ( x v ) = a ⋅ ( x v ) 2 + b ⋅ ( x v ) + c IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2° GRAU
2 800 000 x-3
Matemática
- 120 000 =valor por apostador
Com base nos itens I e II, formamos a equação: 2 800 000 x
=
2 800 000 x-3
- 120 000
Conclusão: a afirmativa do enunciado está ERRADA
Imagem 1)
Se a > 0
y ≥ yv
2)
Se a < 0
y ≤ yv
TESTES RESOLVIDOS
03. (CESPE-BB) Considerando que, em uma função da forma f(x) = Ax2 + Bx + C, em que A, B, e C são constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0 determina a quantidade de elementos do “grupo de amigos”, então é correto afirmar que, para essa função, o ponto de mínimo é atingido
(CESPE) Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com a retirada dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem.
quando x= .
01. (CESPE-BB) Se x é a quantidade de elementos do “grupo de amigos”, então
O múltiplo de x e x-3, é igual ao produto: x(x-3)
2 800 000
+ 120 000 =
x-3
2 800 000
3
2
RESOLUÇÃO > I)
Formação da equação
2 800 000 x-3
- 120 000 =
x
Dividindo os termos por 40 000 70 x-3
-3=
70 x
70x - 3x(x - 3)
x
2 800 000
x(x - 3)
=
70(x − 3) x(x − 3)
RESOLUÇÃO
Simplificando x(x-3), obtemos:
> I)
70x – 3x(x-3) = 70(x-3)
Prêmio sem exclusão dos não pagadores 2 800 000 x
=valor por apostador
> II)
Prêmio com exclusão dos não pagadores 40
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70x – 3x2 + 9x = 70x – 210x Cancelando 70x, dividindo os membros por 3 e organizando a equação do 2º grau, obtemos:
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x2 – 3x – 70 = 0 > II) Cálculo
do x do vértice da função
F(x) = x – 3x – 70 F(x) = ax2 + bx + c v
− ( −3) x = v 2(1)
Conclusão: a afirmativa do enunciado está ERRADA
05. (CESPE-BB) Cada um dos elementos do “grupo de amigos” que efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a R$ 250.000,00.
2
Pela fórmula x =
Matemática
−b 2a
RESOLUÇÃO
3 x = v 2
Total para cada apostador que efetivamente pagou a aposta.
Conclusão: a afirmativa do enunciado está CORRETA
04. (CESPE-BB) A quantidade de elementos do grupo de amigos que fizeram juz ao prêmio é superior a 11. RESOLUÇÃO
2 800 000 7
= 400 000,00
Conclusão: a afirmativa do enunciado está CORRETA TESTES 01. (ACAFE-SC) A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale:
F(x) = x2 – 3x – 70 F(x) = ax2 + bx + c Calculando os valores de x da equação, obtemos o número inicial de apostadores. Fórmula de Bhaskara
a) b) c) d) e)
0 1 2 3 4
− (b) ± (b)2 - 4(a)(c) = x 2(a)
02. (PUC-MG) O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é:
− (-3) ± (-3)2 - 4(1)(-70) x= 2(1)
a) b) c) d) e)
x= x=
3 ± 9 + 280 2 3 ± 289
x =
x = 1 x
2
03. (CEFET-PR) O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x 2 +2x é:
2 3 ± 17
=
2 3 + 17 2 3 − 17 2
2 3 4 5 6
=
20 = 10 2
=
- 14 = - 7 não serve 2
serve
Inicialmente são 10 apostadores, incluídos os que não pagaram a aposta. Atualizada 01/04/2008
a) b) c) d) e)
1 2 3 4 5
04. (UEL-PR) Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x 2 -5x + 9, então x + y é igual a:
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a) b) c) d) e)
5/6 31 /14 83/12 89/18 93/12
09. (UEPG-PR) Seja a função f(x) = 3x2 + 4 definida para todo x real. Seu conjunto - imagem é:
05.(UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar um terreno retangular à plantação de mudas. Para limitar o terreno, deverá estender 1000 m de tela ao longo de três de seus lados — o quarto lado coincidirá com um muro reto. Nestas condições calcule, em metros quadrados, a maior área possível de ser limitada. 06. (UF-CE) Considere a função f: IR è IR, definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:
a) b) c) d)
vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4); f possui dois zeros reais e distintos; f atinge um máximo para x = 1; gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas. e) nda 07. (UF-GO) Se f(x) = x - 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) é:
a) b) c) d) e)
Matemática
{0; 1 } {- 1 ; 0} {1 } {- 2; 3} {3; 4}
08.(UFRJ-NCE) Considere o gráfico da parábola da figura abaixo.
x
a) b) c) d) e)
{y E IR/y 4} {y E IR/-44} {y E IR/y 4} REAIS
10.. Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t. a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola? 11.(FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = - x 2 + 30x - 5, onde x é a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível?
12.(UNIFAP-FUNDAP) Segundo afirmam os Fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos por minuto, para um indivíduo sadio e em repouso, varia em função da temperatura ambiente T, em graus Celsius, e é dado pela função N(T) = (0,1) T2 – 4 T + 90. a) Essa função possui máximo ou mínimo? b) A que temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia e em repouso será 90? c) Se uma pessoa sadia estiver dormindo em um quarto com refrigeração de 20º C, qual será o número de seus batimentos cardíacos por minuto?
A única equação que pode representar este gráfico é: 13.(FAE-PR) Para se produzir “x” unidades a) y = x2 + 3x; de um certo produto, uma empresa tem b) y = x2 - 3x; 2 como expressar o seu custo por C(x) = x 2 c) y = x ; 50 x + 2500. Analise as proposições a d) y = x2 - 3; seguir: e) y = x2 + 3; Atualizada 01/04/2008 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 42
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I. A empresa deve produzir 25 unidades para que o custo seja mínimo. II. O custo mínimo da empresa é de R$ 2500,00. III. O custo de produção de 10 unidades é maior que o custo de produção de 30 unidades. Assinale a alternativa correta: a) b) c) d) e)
Apenas I está correta. Apenas I e II estão corretas. Apenas I e III estão corretas. Apenas II e III estão corretas. Todas estão corretas.
14. (UF-PR) Um grupo de funcionários vai viajar para participar de um congresso. Eles tiveram a idéia de fretar um ônibus no qual todos viajariam juntos e cada um pagaria o preço do fretamento dividido pelo número de pessoas. Ao pesquisar os preços, descobriram que uma empresa de turismo só aceitava grupos de 15 a 40 passageiros para cada ônibus, e calculava o preço (em reais) do fretamento do ônibus pela fórmula p(x) = – x2 + 70x + 50, onde x representa o número de passageiros. Considere as seguintes afirmações a respeito dos preços nessa empresa. I. Se viajarem 40 pessoas, cada pessoa pagará mais de R$ 30,00. II. Se viajarem 30 pessoas, o preço do fretamento será menor do que o preço correspondente a 40 pessoas. III. Existe um número x de pessoas para o qual o preço do fretamento é igual a R$ 1.150,00. Assinale a alternativa correta. a) b) c) d)
a) Somente a afirmativa I é verdadeira. Somente a afirmativa II é verdadeira. Somente a afirmativa III é verdadeira. Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
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15. (UF-PR) Se a soma de dois números é 14/3 e o produto é −5/3, então um dos números é: a) b) c) d) e)
1. 2. 3. 4. 5.
16. (UF-RG) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y=40x2+200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a: a) b) c) d) e)
6,25 m, 5s 250 m, 0 s 250 m, 5s 250 m, 200 s 10.000 m, 5s
17. (EsPCEX) O projétil disparado por um canhão, posicionado num ponto de altitude igual a 200 metros, atinge um alvo localizado num ponto de altitude igual a 1200 metros. Considerando-se que: I) A trajetória descrita pelo projétil é dada pela 8 4 2 equação y x x , •
3 3 • II) Com x e y em quilômetros, e referenciada a um sistema cartesiano com origem no canhão. •III) O alvo é atingido quando o projétil encontra-se no ramo descendente da sua trajetória.
Nas condições acima descritas, pode-se afirmar que a distância horizontal entre as posições do canhão e do alvo é: a) 0,5 km b) 1,0 km c) 1,5 km d) 2,0 km e) 2,5 km
18. (EsPCEX) Um curral retangular será construído aproveitando-se um muro préexistente no terreno, por medida de economia. Para cercar os outros três lados, serão utilizados 600 metros de tela de Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 43
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arame. Para que a área do curral seja a maior possível, a razão entre as suas menor e maior dimensões será: a)0,25 b)0,50 c)0,75 d)1,00 e)1,25 19. (EsPCEX) Na criação de um determinado animal para abate, o criador dispõe de estudos que lhe informam que o custo da criação evolui no tempo segundo a relação PC =
2 2 t + 2 2 t + 200 2 ; 120
o preço obtido pelo criador ao vender o produto evolui no tempo segundo a relação PV = −
2 2 t + 3 2 t + 200 2 ; 120
onde PC e PV são respectivamente os preços de custo e de venda da arroba de carne, em reais, e t, o tempo de engorda, em dias. Nestas condições pode-se afirmar que o tempo de engorda que fornece maior lucro (PV – PC) é em dias de: a) 20 . b) 30 . c) 90 d) 60 e) 50
a) 30 b ) 35 c) 40 d) 45 e) 50 A demanda D por um produto que custa p reais é definida como a quantidade do produto que será vendida quando se praticar o preço p. A oferta O de um produto ao preço de p reais é a quantidade do produto que o produtor está disposto e apto a vender pelo preço p. O preço de equilíbrio de mercado ocorre quando a demanda e a oferta coincidem, e a quantidade vendida é chamada quantidade de equilíbrio. Com base nesses conceitos, considerando que a demanda por um produto seja dada pela função D(p) = 49 – p 2 e que a oferta desse produto seja dada pela função O(p) = 11p – 11, julgue os itens seguintes. 21. (CESPE-B AM) Existem valores de p para os quais há mais demanda que oferta.
20.(UNB-CESPE) Em um terreno, que tem a forma de um triângulo retângulo com catetos medindo 30 m e 40 m, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura que segue. Nessas condições, para que a área ocupada pela casa seja a maior possível, o valor de seu semi-perímetro, em metros, deverá ser igual a
22. (CESPE-B AM) O preço de equilíbrio ocorre para algum valor de p tal que 3 < p < 6. 23. (CESPE-B AM) Para os valores de p maiores que o preço de equilíbrio, existe menos oferta que demanda. 24. (CESPE-B AM) A quantidade de equilíbrio é inferior a 30 unidades. Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao
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quinhão do prêmio. Com a retirada dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem. 25. (CESPE-BB) Se x é a quantidade de elementos do “grupo de amigos”, então 2 800 000
+ 120 000 =
x-3
2 800 000 x
26. (CESPE-BB) Considerando que, em uma função da forma f(x) = Ax2 + Bx + C, em que A, B, e C são constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0 determina a quantidade de elementos do “grupo de amigos”, então é correto afirmar que, para essa função, o ponto de mínimo é atingido 3
quando x= . 2
07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
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A A D 4 e 16 220 a) mínimo b)0 e 40 c) 50 C A E C C B B B Correta Correta Errada Errada Errada Correta Errada Correta A
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
27. (CESPE-BB) A quantidade de elementos do grupo de amigos que fizeram juz ao prêmio é superior a 11.
DEFINIÇÃO
Chama-se inequação do 1º grau a toda sentença aberta do tipo:
28. (CESPE-BB) Cada um dos elementos do “grupo de amigos” que efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a R$ 250.000,00. 29.(UFRJ-NCE) As raízes da equação x2 + mx + n = 0 são 5 e –1. A soma dos valores das constantes m e n é igual a: a) b) c) d) e)
–9; –5; 0; 1; 5.
ax + b 0 ax + b 0 ax + b 0 ax + b 0 , onde a R* e b R. Resolver em R, uma inequação do 1º grau, é determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais a desigualdade fique satisfeita. INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
GABARITO
DEFINIÇÃO
FUNÇÃO DO 2º GRAU 01 B 02 B 03 A 04 E 05 125 000 06 A
Chama-se inequação do 2º grau a toda sentença aberta do tipo:
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ax2 + bx + c 0 2 ax + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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com a R*, b R e c R; Resolver, em R, uma inequação do 2º grau, é determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais a desigualdade fique satisfeita.
EXISTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO
Seja y = f(x) uma função de variável x, para as funções que seguem devemos impor a condição de existência:
2
1 ⇒ f( x ) ≠ 0 f( x ) y = P A R f( x ) ⇒ f( x ) ≥ 0
3
y=
1
y=
1 PAR f( x )
⇒
f( x ) > 0
10. Resolva em IR a inequação, -x2 + 3x - 4 0.
11. (FCC) Perguntaram a José quantos anos tinha sua filha e ele respondeu: "A idade dela é numericamente igual à maior das solução inteira da inequação 2x2 − 31x − 90 < 0." É correto afirmar que a idade da filha de José é um número a) b) c) d) e)
TESTES
01. Resolva em IR a inequação, 2x – 10 4.
02. Resolva em IR a inequação, –3x + 5 2.
03. Resolva em IR a inequação, -x-2 -2 + x.
04. Resolva em IR a inequação, x – 3 3-x. 05. Resolva em IR a inequação, x2 – 5x + 4 0.
06. Resolva em IR a inequação, x2 – 5x + 4 0.
07. Resolva em IR a inequação, x2 – 4x + 4 0.
08. Resolva em IR a inequação, x2 – 4x + 4 0.
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09. Resolva em IR a inequação, x2 – 4x + 4 0.
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quadrado perfeito. primo. menor que 10. divisível por 4. múltiplo de 6.
12. (FCC-TRE) O conjunto solução da inequação 2 x − 6x + 8 < 0 , no universo N dos números naturais, é a) { 0 } b) { 2 } c)){ 3 } d) { 7/2 } e) { 4 } 13. (CESGRANIO-BNDES) O número de soluções inteiras do sistema de inequações x < 4x+3 2x > x +1 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) infinito 14.(UFRJ-NCE) Dois números naturais x e y são tais que 4 < x + y < 10 e 0 < x – y < 3. Assinale a opção que NÃO apresenta valores possíveis para x e y, respectivamente: a) 3 e 2; b) 5 e 4; c) 4 e 3; d) 5 e 3; e) 6 e 3.
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FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r )
GABARITO INEQUAÇÕES 01 x < 7 x ≤ 1 02 x ≤ 0 03 x ≥ 3 04 05 x<1 ou x>4 06 1 ≤ x ≤ 4 07 Reais – { 2 } 08 Reais 09 Vazio 10 Vazio 11 B 12 C 13 E 14 E
r = a n+1 - a n
Para todo o n pertencente aos naturais positivos
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Seja r a razão de uma progressão aritmética (PA), temos que: 1 PA estritamente crescente r>0 2 PA estritamente decrescente r < 0 3 PA constante r=0 TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) DEFINIÇÃO: Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último termo an, é uma progressão aritmética (PA), se a diferença entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado (resto) constante real, denominado razão ( r ) da progressão.
r r r . . . r
= a2- a1 = a3- a2 = a4- a3 . . . . . . = a n - a n-1
A definição de progressão aritmética (PA), sugere que: a 2 = a 1 + 1r a 3 = a 1 + 2r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r a 6 = a 1 + 5r e assim sucessivamente Generalizando para termo de ordem n (n = ao número de termos da progressão), temos a fórmula geral:
a n = a 1 + ( n-1 )r Podemos ter um termo de ordem n relacionado com qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a fórmula do termo geral abrangente, é:
a n = a k + ( n-k )r
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Por exemplo:
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 6, 8, 10) é uma progressão aritmética (PA) de razão 2.
01. Na seqüência (10, 6, 2, ...), calcular o décimo termos.
Resolução
Resolução:
r r r r
= = = =
a2a3a4a5-
a1 = 4–2=2 a2 = 6–4=2 a3 = 8–6=2 a 4 = 10 – 8 = 2
A constante 2, obtida pela diferença, conforme mostra quadro, define a seqüência como uma progressão aritmética (PA) de razão.
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a n = a 1 + ( n-1 )r a 10 = a 1 + (10 - 1)r a 10 = 10 + 9(-4) a 10 = 10 - 36 a 10 = -26
r=a2-a1=6-10 = -4
PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM TRÊS TERMOS
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Forma simplificada para a representação de uma progressão aritmética com três termos em duas variáveis.
a) ( 2, 4, 6, 8, a 5, a6, a7, a8 )
( x-r, x , x+r )
SOMA DOS TERMOS DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA
UMA
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão aritmética e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... +an . Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão aritmética.
(a + a ) Sn = 1 n ⋅ n 2
n é igual ao número de termos somados.
b) ( 35, 30, 25, 20, a5, a6, a7, a8 )
c) ( 8, 8, 8, 8, a5, a6, a7, a8 )
02. Determine os seis primeiros termos da seqüência definidos pela lei de formação
an é o último termo.
an = 1+ 2n, com n pertencente aos números naturais diferentes de zero.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de progressão aritmética (2, 5, 8, ...).
03. Determine o 20º termo da seqüência (26, 31, 36, 41,...).
Resolução: I) Dados para cálculo da soma: a1=2, n=20 e a20 não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II. II) Pela fórmula do termo geral, a n = a 1 + ( n-1 )r a 20 = a 1 + ( 20-1 )r a 20 = 2 + 19x3 a 20 = 2 + 57 a 20 = 59
r=a2-a1=5-2=3
04. Anos bissextos são os múltiplos de 4 que não são múltiplos de 100 e, além desses, os múltiplos de 400. Quantos anos bissextos há no conjunto {2015, 2018, 2020, 2100, 2400}? a) 1
II) A soma dos 20 primeiros termos, S20.
(a1 + an ) ⋅n 2 (2+59) S20 = × 20 2 S20 = 61×10 S20 = 610 Sn =
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
05.(NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º termo excede o 2º em 27. Sabendo-se que o 5º termo é 14, então o 12º é: a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37
06. Determine o sexto termo de uma seqüência em que a1=2 e a10=47.
TESTES
01. Complete as seqüências a seguir, mantendo a formação lógica.
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07.(UFRJ-NCE) Uma prova de 50 questões objetivas foi elaborada de tal modo que o nível de dificuldade é crescente; assim, cada questão vale 2 pontos a mais que a questão anterior. Se o valor da primeira questão é 1, o número máximo de pontos que se pode obter nessa prova é: a) b) c) d) e)
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14. Em uma progressão aritmética em que a 4=12 e a9=27. Calcular a 5.
1 300; 1 325; 2 475; 2 500; 2 525.
08. Quantos números pares existem entre 43 e 535?
09. Calcule a soma dos 20 primeiros termos múltiplos de 3 positivos.
15. Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26o é 2. A soma dos termos dessa progressão é: a) 13 b) 52 c) 102
d) 104 e) 112
16. A respeito das sucessões A e B, podemos
afirmar que: A → -8, -6, -4, .... B → 17, 14, 11 .... 10.(Unifor-CE) Em um restaurante, os preços de três pratos estão em progressão aritmética de razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo prato custam juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro prato custam juntos: a) R$ 54,00 b) R$ 60,00 c) R$ 66,00 d) R$ 68,00 e) R$ 70,00
11. Determinar x tal que 2x-3, 2x+1, 3x+1, sejam três termos de uma progressão aritmética.
12. A seqüência: 3y; y+1; 5 é uma progressão aritmética. Determine a razão.
a) b) c) d) e)
elas não tem termos iguais. o 10º termo de A e de B são iguais. elas tem cinco termos iguais. o 6º termo de A e de B são iguais. elas tem sete termos iguais.
17.(UFRJ-NCE) Seja f uma função definida no conjunto dos números naturais tal que f(n+2)=f(n)+3, para todo n ∈ N (N=naturais) . Sabendo-se que f(0)=10 e f(1)=5, os valores de f(20) e f(41), são respectivamente: a) 40 e 65; b) 21 e 65; c) 40 e 62; d) 21 e 42; e) 65 e 40.
18. O termo geral de uma progressão aritmética é dado por an= 3n+7 , n natural positivo. Calcule o valor de a 1 e r.
13. Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2, 2x+1,...) é uma PA, então o 10º termo da PA (5-3x, x+7,...), é: Atualizada 01/04/2008
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19. Num programa de condicionamento físico uma pessoa começa correndo 300 metros num dia, 400 metros no dia seguinte, 500 metros no próximo dia e assim sucessivamente até chegar aos dois quilômetros por dia. A partir de que dia ela estará correndo dois quilômentros por dia?
24. (EXPCEX) Numa modalidade de corrida, ganha a equipe que percorre uma determinada distância em menor tempo, revezando seus atletas a cada 800 metros. A equipe Verde utilizou a tática de organizar seus atletas na ordem crescente de suas velocidades. Sabe-se que o atleta menos veloz dessa equipe gastou 5 minutos no revezamento e que a diferença de tempo entre dois atletas consecutivos foi sempre de 30 segundos. Sabendo que a equipe Verde realizou a prova em 26 minutos, a distância total percorrida foi de
20. Determine o sexto termo de uma seqüência em que a1 = 2 e a10 = 47.
a) 4000 metros. b) 4160 metros. c) 6400 metros. d) 10400 metros. e) 20800 metros.
25. Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26o é 2. A soma dos termos dessa progressão é:
21.(UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis por 400, que também são bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre 1895 e 2102 é: a) 50 b) 47 c) 48 d) 49 e) 51
22. (FCC) Assinale a opção que apresenta corretamente o oitavo termo de uma PA onde a 5 = 6 e a 17 = 30. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
23. (AFA) Se a soma dos n primeiros termos de
uma progressão aritmética (PA) é dada pela fórmula S n =
3n 2 + n 2
, então a soma do quarto
com o sexto termo dessa PA é a) b) c) d) 50
25 28 31 34 Atualizada 01/04/2008
a) 13 b) 104 c) 52 d) 112 e) 102
26.(FAE-PR) Um maratonista inicia um treinamento para uma prova de 50 km, 40 semanas antes de sua realização. Na primeira semana de treinamento ele percorre 30 km. Na segunda semana ele percorre ½ km a mais que na semana anterior e assim sucessivamente. O maratonista: a) percorrerá 50 km no treino da 37ª semana; b) percorrerá 50 km no treino da 38ª semana; c) percorrerá 50 km no treino da 39ª semana; d) percorrerá 50 km no treino da 40ª semana; e) percorrerá 50 km no treino da semana da maratona.
27.(FAE-PR) Em um plano especial de consórcio, uma pessoa pagará 50 prestações, cujos valores estão em progressão aritmética totalizando R$ 11.125,00. Concluída a metade do prazo do plano, o total pago é de R$ 4.000,00. Com base nessas informações, qual o valor da primeira prestação? a) R$ 97,50 b) R$ 100,00 c) R$ 115,00 d) R$ 160,00 e) R$ 222,50
28. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura
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32.(PUC-SP) Um pêndulo, oscilando, percorre sucessivamente 18 cm, 15 cm, 12 cm, .... A soma dos percursos até o repouso é em cm:
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía
a) 45 b) 63 c) 90 d) 126 e) 150 6
Considerando a P.A. de razão , cujo 1º termo 5
a) mais de 300 bolitas. b) pelo menos 230 bolitas. c) menos de 220 bolitas. d) exatamente 300 bolitas. e) exatamente 41 bolitas.
9
é , pode-se afirmar que: 5
29. Um auditório possui 12 poltronas na primeira fila, 14 na segunda e 16 na terceira. As demais fileiras se compõem na mesma seqüência. O número de fileiras necessárias para que o auditório tenha um total de 620 poltronas, é: a) 20 b) 21 c) 15 d) 19
30. (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.
Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será : a) 101 b) 99 c) 97 d) 83 e) 81
31. (BACEN) A 11ª figura da seqüência abaixo terá:
33. a soma dos vinte e sete primeiros termos da progressão aritmética não é um número inteiro. 34. (CESGRANIO-BNDES) Quantos são os números inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que são múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são múltiplos de 5? a) 13 b) 16 c) 21 d) 26 e) 27 35.(UTFPR) A progressão aritmética (x, x + 2, x
+ 4, x + 6,...) tem a soma de seus 20 termos igual a 2780. Então, o valor de seu oitavo termo é: a) b) c) d) e)
124 126 134 136 240
36.(PUC-SP) Colocando 120 objetos em linha de modo que na primeira linha haja um objeto e daí até a última linha um objeto a mais por linha, teremos um número total de linhas igual a: a) 11 b) 13 c) 15 d) 16 e) 19
GABARITO a) b) c) d) e)
10 quadradinhos pretos. 10 quadradinhos brancos. 22 quadradinhos pretos. 86 quadradinhos brancos. 110 quadradinhos brancos.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 02
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a) 10, 12, 14, 16 b) 15, 10, 5, 0 c) 8, 8, 8, 8 (3,5,7,11,13)
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121 B C 27 D 246 630 C 4 7 89 15 C D A 10 e 3 18 27 A B B C E E B B A A E B Correta D C C
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Verificar se a seqüência (2, 4, 8, 16, 32) é uma progressão geométrica (PG).
Resolução a2 4 a 16 = =2 q= 4 = =2 a1 2 a3 8 a a 8 32 =2 q= 3 = =2 q= 5 = a2 4 a 4 16 q=
A constante 2 obtida pela divisão, conforme mostra quadro, define a seqüência como uma progressão geométrica (PG) de razão 2. FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q )
q=
an an-1
Para todo o n pertencente aos naturais positivos
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
Seja q a razão de uma progressão geométrica (PG), temos que:
DEFINIÇÃO:
1 PG estritamente
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último termo an, é uma progressão geométrica (PG), se a divisão entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado (quociente) constante real, denominado razão ( q ) da progressão geométrica.
a2 a1 a q= 3 a2 a q= 4 a3 . . . a q= n an-1 q=
52
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crescente 2 PG estritamente decrescente 3 PG constante
a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1 q=1
4 PG
alternante
a1
≠0
e q<0
TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
A definição de progressão geométrica (PG), sugere que: a 2 = a 1 x q1 a 3 = a 1 x q2 a 4 = a 1 x q3 a 5 = a 1 x q4 a 6 = a 1 x q5 e assim sucessivamente Generalizando para termo de ordem n (n = ao número de termos da progressão), temos a fórmula geral: Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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Prof. Pacher a n = a 1 x q n-1
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a fórmula do termo geral abrangente, é: a n = a k x q n-k
Matemática
II) Pela fórmula do termo geral, a n = a 1 x q n-1 a 10 = a 1 x q 10-1 a 10 = 1 x (2) 9 a 10 = 1 x 512 a 10 = 512
r=a2/a1=2-1=2
II) A soma dos 10 primeiros termos, S20.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Na seqüência (3, 6, 12, ...), calcular o décimo termos.
Resolução: a n = a 1 x q n-1 a 10 = a 1 x(q) 10-1 a 10 = 3 x (2) 9 a 10 = 3 x 512 a 10 = 1536
r=a2/a1=6/ 3= 2
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM TRÊS TERMOS Forma simplificada para a representação de uma progressão geométrica com três termos em duas variáveis.
(
x , x , x⋅q ) q
a1 (qn - 1) Sn = q-1 1× (210 - 1) Sn = 2 -1 1×(1024 -1) Sn = 2 -1 1023 Sn = 1 Sn = 1023
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão geométrica de razão –1
a S∞ = 1 1- q
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão geométrica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão geométrica finita. a1 (qn - 1) Sn = q-1
n é igual ao número de termos somados. an é o último termo.
= símbolo que representa o infinito
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Calcular a soma dos termos da progressão geométrica ( 1, 1/2, 1/4, ...).
Resolução: I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n= e a razão não foi fornecida, deverá ser calculado, veja item II. II) Pela fórmula do termo geral,
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de progressão geométrica ( 1, 2, 4, ...).
Resolução:
1 1 = x1 = 1 2 2
II) A soma dos infinitos ( ) termos, S , é:
S∞ =
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=10 e a10 não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II. Atualizada 01/04/2008
q=
1 2
a1 1- q
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Prof. Pacher 1 1 12 1 S∞ = 1 2 S∞ = 2
Matemática
S∞ =
09. Determine o número que deve ser somado a 2, 4 e 7, a fim de obtermos uma PG? 10. Calcule o número de termos da seqüência (2, 6, 18,...,4374)?
11. Recreações matemáticas já apareciam no papiro de Ahmes (1650 A.C.). Aos fragmentos do problema 79 deste papiro associa-se a posterior versão da poesia infantil:
TESTES
a) ( 2, 4, 8, 16, a5, a6, a7, a8 )
“Quando ia a Sto Ives, encontrei um homem com sete mulheres, cada mulher tinha sete sacos, cada saco tinha sete gatos, cada gato tinha sete gatinhos. Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos iam a Sto Ives?” (Do livro – História da matemática – Carl Boyer)
b) ( 729, 243, 81, 27, a5, a6, a7, a8 )
A resposta correta a esta questão é:
c) ( 3, 3, 3, 3, a5, a6, a7, a8 )
a) 7 4 + 73 + 7 2 +7+1 b) 73 + 7 2 +7+1
01. Complete as seqüências a seguir, mantendo a formação lógica.
d) ( 2, -4, 8, -16, a5, a6, a7, a8 ) 02. Determinar o décimo quarto termo da PG de razão –2 e décimo primeiro termo –2048.
4 3 2 c) ( 7 + 7 + 7 )7 d) ( 7 4 + 73 + 7 2 +7)7 e) 7 4 + 73 + 7 2 +7
03. Obter a razão de uma PG em que, a2+a4+a6=10 e a3+a5+a7=30.
04. (BB) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é: a) 20/3 b) 18/7 c) 16/5 d) 14/5 e) 12/7
12.(UFPR) Três pessoas se reuniram no dia 1º de janeiro de 2004 para iniciar uma ação de voluntariado junto a organizações de proteção ao meio ambiente. Em fevereiro, cada uma daquelas pessoas tinha conseguido a adesão de um novo voluntário. Observaram que tinham começado a aplicar uma boa estratégia para aumentar o grupo de voluntários e decidiram o seguinte: a cada mês, cada voluntário traria um novo voluntário para participar do grupo e, sempre que alguém desistisse, seria substituído. Assim, o total de voluntários no mês de janeiro de 2005, já incluídos os novos participantes do mês, será de:
05. A seqüência ( 4x, 2x+1, x-1,...) é uma PG, calcule o valor de x.
a) 3x212 d) 212
06.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de uma seqüência infinita é 4n 2 + 6n, então a seqüência é uma
13. Uma indústria produziu 74.400 unidades de certo produto num período de 5 anos. Supondo que a produção tenha dobrado a cada ano, o número de unidades produzidas nos dois primeiros anos, foi de:
a) b) c) d)
a) b) c) d)
seqüência limitada. progressão aritmética. progressão geométrica de razão 8. progressão geométrica decrescente.
07. A seqüência (x, 3, 7) é uma PA, e a seqüência ( x-1, 6, y) é uma PG. Quais são os valores de x e y? 08. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da PG (4, -12, 36,...).
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b) 3+212 e) 311
c) 3x211
7400 7200 4800 3600
14.O financiamento de um carro foi feito nos seguintes moldes. Sem entrada e a primeira mensalidade de R$ 1,00, no segundo mês R$ 2,00, no terceiro mês R$ 4,00, e assim por diante até um total de 12 prestações. Qual é o custo final do carro.
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Prof. Pacher 15. Calcular a soma dos 8 primeiros termos da seqüência (1, 3, 9,...).
16.(FAE-PR) Diz a lenda que um jovem hindu ofereceu ao seu rei um jogo que inventou para ser praticado sobre um tabuleiro: o xadrez. O jovem pediu sua recompensa em grãos de trigo, na seguinte seqüência: 1 grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda casa, 4 pela terceira casa, 8 pela quarta casa e assim sucessivamente, até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro. O rei riu julgando ser insignificante o pedido, mas não pôde atendê-lo quando soube da enorme quantidade de grãos calculada por seus assessores! Supondo que se leve 1 s para contar 3 grãos de trigo, qual o tempo necessário para contar os grãos das dez primeiras casas do tabuleiro? a) 17,2 s b) cerca de 34 s c) 5 min 41 s d) 2 min 52 s e) 17 min 3 s
17. (FCC) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é: a) 20/3 b) 18/7 c) 16/5 d) 14/5 e) 12/7
18. (FCC) A seqüência (x, x – 4, x – 4 , ...) é uma 3
progressão geométrica decrescente. quarto termo dessa progressão é:
O
a)2/3 b)4/9 c)1/3 d)2/9 e)1/9 19. Calcule a soma S = 3 + 3 + 3 + 3 + ...
2 4 8
20.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de uma seqüência infinita é 4n 2 + 6n, então a seqüência é uma e) f) g) h)
seqüência limitada. progressão aritmética. progressão geométrica de razão 8. progressão geométrica decrescente.
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21.(EPCAR) O valor de x na equação 9x 3x x 27 + + +L = é igual a 5 5 5 4 a) 3
5 5 b) 2 4 c) 3 45 d) 8
22. (EXPCEX) Numa progressão geométrica (PG) crescente de 5 termos, o primeiro e o último correspondem, respectivamente, às raízes da equação x2 51x + 144 = 0. O valor da soma do segundo, terceiro e quarto termos dessa PG é a)12 b)24 c)28 d)36 e)42
23.(ACAFE-SC) O vazamento em um tanque de água provocou a perda de 2 litros de água no primeiro dia. Como o orifício responsável pela perda ia aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi dobrando a cada dia, o número total de litros de água perdidos, até o 100 dia, foi de: a) b) c) d) e)
2046 1024 1023 2048 512
24. Durante uma feira agropecuária foi realizada uma campanha para arrecadar alimentos para famílias pobres. No primeiro dia foi arrecadado x Kg de alimentos, no segundo dia o dobro de Kg do que foi arrecadado no primeiro dia; no terceiro dia o triplo de Kg do que foi arrecadado no primeiro dia; e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias foi arrecadado um total de 73 500 Kg. A quantidade de Kg arrecada no primeiro dia foi de: a) 150 Kg b) 200 Kg c) 250 Kg d) 300 Kg e) 350 Kg
25. (FCC-TRF) Na figura abaixo, tem-se uma sucessão de figuras que representam números inteiros chamados "números triangulares", em virtude de sua representação geométrica.
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d) 12 e) 16777216
(1)
(3)
(6)
(10)
30.(UF-MG) Os números 3, a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética cuja razão é positiva. Por sua vez, os números reais a, b e 8 são, nessa ordem termos de uma progressão geométrica. Determinando a e b, obtemos respectivamente:
(15)
etc Nessas condições, se an é o termo geral dessa seqüência de números triangulares, a soma a 30 + a31 é igual a a) 784 b) 841 c) 900 d) 961 e) 1 024
GABARITO
26. (FCC-TRF) Para todo número inteiro e positivo n, an = (−1)n . 2n−4 é o termo geral de uma progressão a) geométrica de razão − 1 . 2
b) geométrica de razão −2. c) geométrica de razão 1 . 2
d) aritmética de razão −2. e) aritmética de razão − 1 . 2
27.(UFPR). Qual é a soma dos termos da progressão geométrica ilimitada (2, 2 , 2 , 2 , ...)? 3
a) b) c) d)
9
27
5 4 3 53 27 8 3
e)
28.(UFPR) Somando um mesmo número aos
números 5, 7 e 6 nesta ordem, obtem-se uma P.G. O número somado é: a) b) c) d)
a) 9/2 e 6 b) 9 e 3 c) 3 e 9 d) 6 e 9 e) 9/2 e 3
16/3 -19/317/3 -11/3-
01
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA a) 32, 64, 128, 256 b) 9, 3, 1, 1/3 c) 3, 3, 3, 3 d) 32, -64, 128, -256 16 384 3 C -1/8 B -1 e -18 2 188 2 8 E A B 4 095 3 280 C C D B B B E
A E D B C B C A
e) 11/3
29.(UFV-MG) Uma bactéria de determinada espécie divide-se em cada 2 horas. Depois de 24 horas, qual será o número total de bactérias. a) 1024 b) 24 c) 4096
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Matemática x
PROPRIEDADES RADICIAÇÃO
DA
POTENCIAÇÃO
POTENCIAÇÃO
E
Procedimento para resolver uma equação exponencial
Definição Se n ∈ N e a ∈ R , defini-se: a
i)
n
1 zero a =a e a =1
iii)
Se a ≠ 0,
2) a
m
TESTES
n m+n ×a = a ÷a
n
=a
m-n
com a ≠ 0
n n n 3) a × b = (a × b) n n n 4) a ÷ b = (a ÷ b) com b ≠ 0
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3
RADICIAÇÃO Definição
03. O valor de x que satisfaz a equação 33x-1 . 92x+3 = 273-x é:
n a = x ⇒ xn = a
a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5
Propriedades
2) 3) 4)
n
n n a × b = a×b
n
n n a ÷ b = a÷b
nm
a =
n×m
01. Se 8x = 32, então x é igual a: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4 02. Se 8x-9 = 16x/2, então 3 x é igual a:
n m n×m 5) (a ) = a
1)
simplifique a base x1 x2 e iguale os expoentes a/ = a/ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → x1 = x2
1 -n n =a a
Propriedades m
x x a 1= a 2
= a14 × a4 ×244 a × ... 3 ×a n fatores n>1
ii)
1) a
x
É toda a equação do tipo a 1 = a 2 , em que a base é um valor real positivo e diferente de 1, x 1 e x2 variáveis reais.
3 2 04. Sendo x = (2 2)3 , y = 22 e z = 23 , calcule x . y .z:
a
n m p×n p×m a = a
(p ≠ 0)
n m n m 5) a = ( a )
Potência de um expoente racional m n m an = a
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
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a) 221 b) 210 c) 223 d) 24 e) 220 05. Se 2x = 2048, então, x vale : a) 7 b) 11 c) 13 d) 17
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+3 x+2 +3 x+3 +3 x+4 +3 x+5 é equivalente a:
a) 7 b) -9 c) 49 d) 3 e) 1 1 08. A soma das raízes da equação 71+x + x = 8 , é: 7
a)0 b)-1 c)1 d)7 e)8 09. A raiz da equação (7x - 2 10)(7x + 2 10) =9 é um número: a) irracional negativo b) irracional positivo c) par d) inteiro negativo e) inteiro positivo 2-x
3
2
10. Se 3 - 3 = 2 , então 15 - x vale: a)16 b)15 c)14 d)11 e)6
a) 3 6 x +15 b) 5 . 3 x c) 6 . 3 x d) 243 x e) 364 . 3 x 14.Se x ∈ IR e 7 5x = 243, então 297(7 –3x) é igual a:
a)11 b)13 c)15 d)17 e)16 15. Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre: a) -1 e 0 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 10 e) 10 e 100 16.(FAE-PR) O montante da aplicação de um capital de R$ 100,00, por t anos, é dado pela expressão M(t) = 100 . (1,5) t. Sabendo-se que o montante obtido foi de R$ 337,50, o tempo durante o qual o capital ficou aplicado foi de: a) 9 meses; b) 12 meses; c) 18 meses; d) 24 meses; e) 36 meses. 17. O produto das soluções da equação 2x – 2-x = 5 (1 – 2-x) é
11.(UEPG-PR) A soma das raízes da equação (2 x) x+3 = 16
é: a) -3 b) 4 c) -4 d) 0 e) 3
a) b) c) d)
0 2 1 4
18. (EsPCEX) A soma das raízes da equação 3 x + 31− x = 4 é:
23+x - 2x-3 12. A expressão x x-3 é igual a: 2 +2
58
a) 2x b) 2-x c) 2-3 d) 7 e) 8 13.(UEL-PR) Para todo x real, a expressão 3 x + 3 x+1
1 07. Se (73 )-x+2 = , x1/2 valerá: 343
x
Matemática
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a) 2 b)-2 c) 0 d)-1 e) 1
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3x −1 x 2 +1
− 10 = 0 é:
20. (EsPCEX) A soma e o produto das raízes da
⎛ 3 ⎞ equação 9. ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠
x 2 − x −9
=
243 são, respectivamente: 125
Definição Chama-se logaritmo de um número N>0 numa base a, com a>0 e a ≠ 1 , o expoente x a que se deve elevar a base a para que a potência obtida seja igual a N.
Simbolicamente x loga N = x ∴ a = N Condição de existência N > 0 positivo a >0ea≠1
a) 1 e -12 b) 7 e 12 c) 2 e -8 d) -1 e 12 e) 7 e 10 21. (FCC-TRF) Se
Matemática
x qualquer valor real Conseqüências da definição 16 x −1 = 1x , então, 8
1) log a 1 = 0 2) log a a = 1 log N 3) a a = N
considerando log 2 = 0,30, o valor de log x é: a) −0,40 b) −0,20 c) −0,10 d) 0,20 e) 0,40
Atenção!
GABARITO
% existe) 6) log a (-N) (nao
EXPONENCIAL 01 B 02 E 03 E 04 C 05 B 06 A 07 D 08 B 09 E 10 D 11 A 12 D 13 E 14 A 15 C 16 E 17 A 18 E 19 A 20 A 21 A
% existe) 4) log 1 N (nao % existe) 5) log -a N (nao
Propriedades
1) logaM + logaN = loga M × N 2) logaM - logaN = loga
M N
p 3) logaN = p × logaN 1 p 4) loga N = × logaN p Mudança de base lognova N base logaN = lognova a base
Observe: I) A nova base deve ser positiva e diferente de um.
LOGARITMOS Atualizada 01/04/2008
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II) O N continua sendo logaritmando e, o a passa a ser logaritmando (deixa de ser base).
05. log2 ⎜ log3
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
06.(UEPG-PR) A expressão log 81 + log 0,001 + log 3 10
⎛ ⎝
1 3
É toda a equação do tipo log a x1 = loga x2 , em que a base é um valor real positivo e diferente de 1, x 1 e x2 variáveis reais positivas.
vale:
Procedimento para resolver uma equação exponencial
b)
simplifique os loga e iguale os logaritmandos
log / a x1 = log / a x2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x1 = x2
⎟ = -1.
9 ⎠
10
4 3 4 3 20 3 21 3 19 3
a) -
c) log a x1 = loga x2
10
1 ⎞
d) e)
07. ( FEMPAR - PR ) Se 2x - y = 1 e x - 3y = -7, log4 (xy+8y) é igual a: TESTES 01.( MACK - SP ) Se log3 1/27 = x, então o valor de x é: a)-9 b)-3 c)-1/3 d)1/3 e)3 02. Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente: a) 2, 1 e -3 b) 1, 0 e -2 c) 3, 1 e -2 d) 4, -2 e -3 e) 3, 0 e -2
08. Seja K a solução da equação log4 ( log2x ) = -1. O valor de k4 é: a)1/8 b)1/2 c)1 d)4 e)2 09. O número real x, tal que log x ( 9/4 ) = 1/2 é:
03. Se log ( 2x -5 ) = 0, então x vale: a)5 b)4 c)3 d)7/3 e)5/2
a) 81/16 b) -3/2 c) 1/2 d) 3/2 e) -81/16 10. Seja loga 8 = - 3/4, a > 0. O valor da base a é:
04.( FGV - RJ ) O valor de log9 27 é igual a: a)2/3 b)3/2 c)2 d)3 e)4 Sobre logaritmos, é correto afirmar que:
60
a) 0,5 b) 2,5 c) 2,0 d) 1,5 e) 1,0
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a)1/16 b)1/8 c)2 d)10 e)16 11. O logaritmo de 7 5 na base 1/625 é igual a: a)7 b)5 c)1/7 d)-1/28
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Prof. Pacher e)8 12. Se x + y = 20 e x - y = 5 então log ( x2 - y2 ) é igual a:
Matemática
19. Sendo loga2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, o valor de loga
é:
a) 100 b) 2 c) 25 d) 12,5 e) 15
a) 0,62 b) 0,31 c) -0,48 d) 0,15 e) 0,14
13. A solução da equação log2 0,5 + log2x - log2 2 = 2 está contida no intervalo :
20. O valor de log ( 217,2) - log ( 21,72 ) é:
21. Dado log 4 = 0, 602 , o valor de log 32 5 é:
a) [ 10, 12 ] b) [ 5, 7 ] c) [ 2, 4 ] d) [ 0, 1 ] e) [ 8, 9 ] 14. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale: a) 1,77 b) 1,41 c) 1,041 d) 2,141 e) 0,141 15. Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é:
a) 15,050 b) 13,725 c) 11,050 d) 9,675 e) 7,525 22.Se log 5 = 0,70 o valor de log 250 é: a) 2,40 b) 2,70 c) 2,80 d) 3,40 e) 3,80 23. Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log 23 é:
a) 376,29000 b) 188,15000 c) 1,9030900 d) 2,9818000 e) 2,0969100 16. ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28 ?
a) 1,6 b) 0,8 c) 0,625 d) 0,5 e) 0,275 24. ( ESAL) O valor de x tal que log 64 8 = x é:
a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107
a)2 b)3 c)2/3 d)1/2 e)3/2
17. Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a:
25. ( CONSART - SP ) A solução da equação log 8x + log8 (3x-2) = 1 é dada por:
a) 0,6990 b) 0,6880 c) 0,6500 d) 0,6770 e) 0,6440
26. O conjunto verdade da equação 2. log x = log 4 +log ( x + 3 ) é:
18. Se log2 b - log2 a = 5, então o quociente b/a vale: 27. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o log 9.000 é:
a)10 b)25 c)32 d)64 e)128
a) 3,459 b) 3,594 Atualizada 01/04/2008
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c) M é o inverso de N d) M e N são números inteiros positivos
28. (FCC) Que número real é solução da equação 5 x-1 + 5x + 5x+1 = 62? (Considere: log 2 = 0,30)
35.(FEM-PR) Se log 2 = P e log 3 =m, com P ≠ 1, o valor de log 5 4 27 é: a)
a) 3/7 b) 8/7 c) 10/7 d) 12/7 e) 15/7
b)
29.(FGV) Sabendo que log2 = 0,30, assinale a melhor aproximação da solução da equação 2 x = 80.
d)
c)
a) 6,1 b) 6,3 c) 6,5 d) 6,6 e) 6,7
e)
3 4(1 − P) 4P 4 − 4P 3m 4(1 − P) 4m 3(1 − P) 2 3(1 − P)
36. loga(a3) = 3, para todo número real positivo a, tal que
a
30.(UFF-RJ) Determine o valor de x na equação log x + log x2 + log x3 + ... + log x18 =342.
≠ 1.
37.(PUC-PR) Se 3 5 x = 32 ,então 3 - x é igual a: 1 2 1 b) 4
31.(FGV-SP) Se x é um número real positivo e diferente de 1, a solução da equação log x (18,4) − log x (2,3 ) = 3 é um número real
a)
a) b) c) d)
c) −
divisor de 12 múltiplo de 3 menor que 1 maior que 5
d) e) −
32.(EPCAR) Sabendo que a, b e c são três números inteiros e positivos e que log ab = 12,6 e log ac = 0,2, então log
b é igual a c
a) 6,3 b) 2,52 c) 12,8 d) 12,4 33. (FCC-TRF) O número real x que satisfaz a sentença −1 + log2 (x−1) = log4 2 é igual a a) 2 2 + 1 b) 2 2 − 1 c) 2 + 1 d) 2 − 1 e) 2 2 34. (EsPCEX) Sabendo que log M + log N = 0, podese afirmar que: a) M e N são nulos b) M e N têm sinais contrários
62
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1 4 1 2
38.(FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o log 9.000 é: a) 3,459 b) 3,594 c) 3,954 d) 5,493 e) 5,943 GABARITO LOGARITMOS 01 B 02 C 03 C 04 B 05 Errada 06 C 07 B 08 E 09 A 10 A 11 D 12 B
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A A E B A C A 1 E A A D 2 6 C C B 100 A D D C C 3 A C
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Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.
•
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTIMICA Considere a função y = a x , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x R, onde R é o conjunto dos números reais. Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue: f : R → R+ * , 0 < a < 1
Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que: I) para a > 1 , as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES. II) para 0 < a < 1, elas são DECRESCENTES.
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa.
III) o domínio da função y = loga x é o conjunto R+* .
Vamos determinar a função inversa da função y = a x , onde 0 < a < 1
IV) o conjunto imagem da função y = loga x é o conjunto R dos números reais.
Permutando x por y, vem: x = a y implica y = loga x . Portanto, a função logarítmica é então: f : R + * → R ; y = loga x , 0 < a < 1 .
V) o domínio da função y = a x é o conjunto R dos números reais.
Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial y = a x e logarítmica y = loga x para os casos a > 1 e 0 < a < 1 . Atualizada 01/04/2008
VI) o conjunto imagem da função y = a x é o conjunto R+* . ,
VII) observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao
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conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.
III) Sabendo que y2-y1=56 (item I) e que, y1 = 2k e y2 = 22k , geramos a equação:
TESTES RESOLVIDOS
22k - 2k = 56 (2x)2 - 2k = 56 equação exponencial
CESPE - BB y
IV) Usando o artifício t = 2k em (2x)2 - 2k = 56, obtém-se:
y x
f(x)=2
t2 – t – 56 = 0 uma equação do 2º grau com variável t.
g(x)=x
V) Cálculo das raízes da equação t2 – t – 56 = 0. Usando a fórmula de Bháskara, obtém-se as raízes: 0
k
2k
x
0
56
x
A figura acima ilustra duas cópias do sistema cartesiano xOy, em que, no eixo Ox de cada um desses sistemas, foi utilizada a mesma unidade de medida. No sistema da esquerda, está representado o gráfico da função f(x) = 2x, no qual estão marcados os pontos de abcissas x = k e x = 2k. No sistema da direita, está representado o gráfico da função g(x) = x e os pontos que têm as mesmas ordenadas daqueles marcados no gráfico do sistema da esquerda. Sabe-se que a distância entre as abcissas dos pontos marcados no gráfico à direita é igual a 56. Considerando essas informações, julgue o item abaixo.
01.(CESPE-BB) Na situação apresentada, o valor do número real k é tal que 30 < k 3 + k + 1 < 32. y
y x
y=2 f(x)=2x
y=x g(x)=x
y2
56
56
y1 0
y1 k
t 1 = 8 = 23 Serve. VI) Substituindo t= 23 em t=2k , obtém-se: 2k = 23
2k
x
0
x1
56
x2
x
I) Dados > Do gráfico da reta y=x (lado direiro): > Substituindo x1 em y=x, obtém-se y1=x1. > Substituindo x2 em y=x, obtém-se y2=x2.
VII) Substituindo k = 3 em: 30 < 33 + 3 + 1 < 32. 30 < 27 + 3 + 1 < 32. 30 < 31 < 32.
Afirmativa correta
Virou moda falar em aquecimento global. É preciso não esquecer que os recursos naturais da Terra também estão em perigo. O outro lado do processo: a China e a Índia, juntas, têm um terço da população mundial. Caso o consumo dos dois países chegue aos níveis do consumo da Califórnia, o estado mais rico dos EUA, o resultado poderá ser catastrófico para os recursos naturais do planeta. As tabelas a seguir mostram esses dados.
Se x2 - x1 = 56, então y2 - y1 = 56 Do enunciado temos a informação “...foi utilizada a mesma unidade de medida...”, logo, y2 - y1 = 56.
II) Do gráfico da exponencial y = 2x: x k > Substituindo k em y = 2 , obtém-se y1 = 2 . x > Substituindo 2k em y = 2 , obtém-se y2 = 22k .
64
⇒ k=3
Todo mundo quer ajudar a refrescar o planeta
RESOLUÇÃO
y2
t1 = - 7 Não serve, pois em t=2k para todo o k pertencente ao conjunto dos números reais, a igualdade -7=2k não será verificada.
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a i n r ó f i l a C
Consumo de água (em L) (per capita, por dia)
Consumo de petróleo (em L) (per capita, por dia)
Quantidade de carros (para cada 100 pessoas)
700
8
70
Emissão de CO2 (em t) (per capita, por ano)
12
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QCalifórnia 0,85n
a n i h C
85
0,8
2,5
3,0
QCalifórnia ( QCalifórnia
a i d n Í
135
0,4
1,3
1,0
Okki de Souza In: Veja ed. 2003, 11/04/2007, p. 100-1 (com adaptação). Califórnia China Índia
Área em km2 411 mil 9,6 milhões 3,3 milhões
população 33.8 milhões 1,3 bilhões 1,08 bilhões
Com referência aos dados do texto e das tabelas acima, julgue os seguintes itens.
02.(CESPE-BB) Considere que campanhas mundiais de conscientização e esclarecimento façam que os níveis de emissão de CO2 caiam, per capita, por ano, 10% na China e 15% na Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 4 = 0,60, log90 = 1,95 e log85 = 1,93, conclui-se que serão necessários mais de 20 anos para que os níveis de emissão de CO2, per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.
100 n
V) Do enunciado > “per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.” 85n 90n = QChina 100 n 100n 85n 90n QCalifórnia = QChina 100 n 100n 85n 90n 12 =3 multiplique por 100n 100 n 100n n n 12.85 = 3.90 divida por 3 QCalifórnia
4.85n = 90n Aplique log em ambos os membros log 4.85n = log 90n > Usando a propriedade de logaritmos
RESOLUÇÃO I) Legenda > QChina = Quantidade de CO2 da China. > QCalifpornia = Quantidade de CO2 da Califórnia. II) Dados. > Quantidade de CO2 da China, decresce 10% ao ano. > Quantidade de CO2 da Califórnia, decresce 15% ao ano. > n = números de anos solicitados. III) Expressão de CO2 da China em função de n. QChina (1 − 10%)n QChina (1 − 0,10)n QChina 0,90 n
log A.B = log A + log B em log 4.85n Obtém-se Log 4 + log 85n = log 90n > Usando a propriedade de logaritmos
Log An = n.log A
em log 85n e log 90n
Log 4 + n.log 85 = n.log 90 Substituindo log 4 = 0,60, log90 = 1,95 e log85 = 1,93. 0,60 + n.1,93 = n.1,95
90 n QChina ( ) 100 90n QChina 100n IV) Expressão de CO2 da Califórnia em função de n. QCalifórnia (1 − 15%)n QCalifórnia (1 − 0,15)n Atualizada 01/04/2008
85 n ) 100 85n
0,60 = 0,02.n n =
0,60 0,02
n = 30 anos
VI) Afirmativa da CESPE.
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> “...conclui-se que serão necessários mais de 20 anos
para que os níveis de emissão emissão de CO2, per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.”
Afirmativa correta
TESTES 01. 01. Se f ( x ) = 16 1+1/x, então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a : a)11 b)13 c)15 d)17 e)16
⎧2x , para -1 -1 ≤ x ≤ 1 ⎪ f(x) f(x) = ⎨ 1 x >1 ⎪⎩ x , para então f ( 0 ) - f ( 3/2 ) é igual a: a)5/2 b)5/3 c)1/3 d)-1/3 e)2/3 03. 03. Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre: a) -1 e 0 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 10 e) 10 e 100 04. 04. Seja a função f: IR em IR definida por f ( x ) = 2x . Então f ( a+1) - f (a) é igual a: a) 2 b) 1 c) f(a) d) f(1) e) 2f(a) 05. (UFPR) Uma cidade cuja população vem diminuindo sistematicamente tem hoje 30000 habitantes. Se o ritmo de diminuição se mantiver, então o número de habitantes daqui a t anos, P(t), é calculado aplicando-se a fórmula: P(t) = 30000 .(0,9) t . Supondo que o ritmo de diminuição se mantenha, é correto afirmar: Daqui a 2 anos, a população será de: Atualizada 01/04/2008
a)-3 b)1/3 c)-22 d)1/22 e)1/3
07.(FAE-PR) O número de bactérias B em uma determinada cultura, após t horas, pode ser determinado t 30 por meio da equação B(t) = 800 ⋅ 2 . Após quanto tempo o número de bactérias é o quíntuplo do número inicial? (Considere log 2 = 0,30) 0 ,30)
02. 02. Seja a função composta
66
06. (FATEC-SP) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminuiu em função do tempo devido à desintegração radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por m = m O.2-xt . Nessa sentença, m é a massa (em gramas) no tempo tempo t (em anos), mO é a massa inicial e x é uma constante real. Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor x é:
a) b) c) d) e)
65 horas; 68 horas; 70 horas; 72 horas; 75 horas.
08.(UNIOESTE-PR) A 08.(UNIOESTE-PR) A quantia de R$ 5.000,00 é aplicada à taxa fixa de 2% ao mês. Em se tratando de juros compostos e não havendo retirada, o número de meses necessários para que o montante ultrapasse R$ 7.000,00 é: Considere log 102 = 2,008, log 14 = 1,146 e a fórmula para juros compostos M = C(1+i)n, com M = montante, C = capital, i = taxa e n = prazo.
09. (UNESP-SP) A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou mergulhou (t = T), foi descrita por um observador através do seguinte modelo matemático h (t) = 4 ⋅ t - t ⋅ 2 0 , 2⋅t , com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da água durante este salto foi a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 10 10.(NC.UFPR) Experiências 10.(NC.UFPR) Experiências feitas com um certo tipo de bactéria mostraram que o número de indivíduos numa cultura, em função do tempo, pode ser aproximado pela expressão F(t) = 50.2 0,4.t, sendo t o
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Prof. Pacher tempo medido em horas. Após quantas horas essa cultura terá 800 indivíduos? a) 10 horas b) 12 horas c) 15 horas d) 18 horas e) 24 horas
11. (FEPAR-PR) Enquanto a caderneta de poupança proporciona rendimentos próximos a 1% ao mês, o State Bank oferece uma taxa mensal de 4% para as pessoas que o procuram para fazer aplicações de suas economias. O cálculo do capital final se faz pela fórmula: C f = C i (1 + i) t , na qual C f = capital final; C i = capital inicial; i = taxa ao mês, em percentagem; t = tempo de aplicação, em meses.
a) a/2 e 4a b) a-1 e a+2 c) 2a e a/4 d) a+1 e a-2 a-2 e) a e a 14. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equação 2x = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante deverá usar a calculadora para obter os seguintes números: a) log 2, log 5 e log 5 – log 2 b) log 2, log 5 e log 5 ÷ log 2 c)
log 2, log 5 e log 25 5 5 e log 2 2 5 e log 5
d) e)
Para que um capital inicial de R$ 1000,00 resulte num montante final de R$ 1601,00 no Banco citado, citado, é necessário um período de aplicação de, aproximadamente: (Dados: log 1,601 = 0,2043 e log 1,040 = 0,0170) a) 6 meses b) 4 meses
c) 12 meses d) 15 meses e) 18 meses
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15.(FGV-SP) Adotando-se os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 , a raiz da equação 5 x = 60 vale aproximadamente:
a) b) c) d) e)
2,15 2,28 41 2,54 2,67
CESPE - BB y
12.(CESGRANRIO) Se loga 3 a
loga a = 1,236 , então o valor de f(x)=2x
é:
a) 0,236 b) 0,824 c) 1,354 d) 1,854 e) 1,236
0
13.(UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão representados, o gráfico da função função y = 2x, os números a, b, c e suas imagens. y
y=2x
2.2a 2a 2a /4 c
y
a
b
x
Observando a figura, podemos concluir que, em função de a, os valores de b e c são, respectivamente: Atualizada 01/04/2008
k
2k
g(x)=x
x
0
56
x
A figura acima ilustra duas cópias do sistema cartesiano xOy, em que, no eixo Ox de cada um desses sistemas, foi utilizada a mesma unidade de medida. No sistema da esquerda, está representado o gráfico da função f(x) = 2x, no qual estão marcados os pontos de abcissas x = k e x = 2k. No sistema da direita, está representado o gráfico da função g(x) = x e os pontos que têm as mesmas ordenadas daqueles marcados no gráfico do sistema da esquerda. Sabe-se que a distância entre as abcissas dos pontos marcados no gráfico à direita é igual a 56. Considerando essas informações, julgue o item abaixo.
16.(CESPE-BB) Na situação apresentada, apresentada, o valor do número real k é tal que 30 < k 3 + k + 1 < 32.
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Consumo de petróleo (em L) (per capita, por dia)
Quantidade de carros (para cada 100 pessoas)
a i n r ó f i l a C
700
8
70
12
a n i h C
85
0,8
2,5
3,0
a i d n Í
135
0,4
1,3
Emissão de CO2 (em t) (per capita, por ano)
1,0
Okki de Souza In: Veja ed. 2003, 11/04/2007, p. 100-1 (com adaptação). Califórnia China Índia
Área em km2 411 mil 9,6 milhões 3,3 milhões
população 33.8 milhões 1,3 bilhões 1,08 bilhões
Com referência aos dados do texto e das tabelas acima, julgue os seguintes itens.
17.(CESPE-BB) Considere que campanhas mundiais de conscientização e esclarecimento façam que os níveis de emissão de CO2 caiam, per capita, por ano, 10% na China e 15% na Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 4 = 0,60, log 90 = 1,95 e log 85 = 1,93, conclui-se que serão necessários mais de 20 anos para que os níveis de emissão de CO2, per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais. 18.(PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
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Matemática
a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2001 e) 2002 19. (UEL-PR) Em certa cultura de bactérias, o número de bactérias presentes no instante t é determinado pela
(t) = N ⋅ e k ⋅ t , onde N0 é o número inicial de função N (t) 0
bactérias e k uma constante positiva. Sabendo-se que o número de bactérias duplica ao final das duas primeiras horas, calcule o tempo necessário para que a população de bactérias atinja 96 N0 . loge 3 ≅ 1,59 onde e ≅ 2,71 ) ( Use : loge 2 a) b) c) d) e)
12 horas, 16 minutos e 24 segundos. 12 horas, 58 minutos e 15 segundos. 12 horas e trinta segundos. 13 horas, 10 minutos e 48 segundos. 13 horas e meia.
20. A fórmula N = 6 . 108 . V -3/2 relaciona, numa dada sociedade, o número N de indivíduos que possuem renda anual superior ao valor V, em reais. Nessas condições, pode-se afirmar que , para pertencer ao ao grupo dos 600 indivíduos mais ricos dessa sociedade é preciso ter no mínimo uma renda anual de a) R$ 10.000,00. b) R$ 100.000,00. c) R$ 1.000.000,00. d) R$ 10.000.000,00. e) R$ 100.000.000,00. GABARITO
FUNÇÕES EXDPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 01 B 02 C 03 C 04 C 05 24300 06 D 07 C 08 19 09 E 10 A 11 C 12 B 07 C 08 19 09 E 10 A 11 C 12 D 13 D 14 B 15 D 16 Correta
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Denominamos moda (Mo) o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
Correta E D A
Obs.: Uma série de valores, poderá ter para a moda: - Nenhum valor da série. - Um único valor da série. - Dois ou mais valores da série.
ESTATÍSTICA MÉDIAS MÉDIA ARITMÉTICA (MA) Média aritmética de n parcelas (n>1), é a soma de todas as parcelas{x1,x2,x3,...xn}, dividida pelo número (quantidade) dessas parcelas (n).
FÓRMULA x + x + x + ... + xn MA = 1 2 3 n MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (MAP)
MEDIANA (Md) A mediana (Md) ( medida de posição) numa série de valores organizados em ordem crescente ou decrescente, é: - O valor central, se a série tem número ímpar de valores, ou, - A média aritmética dos dois valores centrais, se a série tem número par de valores.
Noções de Estatística A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção de dados, sua organização em tabelas e gráficos e a análise desses dados.
Média aritmética ponderada de n (n>1) parcelas {x1,x2,x3,...xn} e seus respectivos pesos {p1,p2,p3,...pn}, é igual a soma dos produtos das parcelas com os seus respectivos pesos, dividida pela soma dos seus pesos.
NOTAÇÕES
FÓRMULA
FREQUÊNCIAS
p x + p x + p x + ... + pn xn MAP = 1 1 2 2 3 3 p1 + p2 + p3 + ... + pn MÉDIA GEOMÉTRICA (MG) Média geométrica de n parcelas (n>1), é a raiz n-ésima do produto dos n fatores {x1,x2,x3,...xn}.
População é o grupo observado, geralmente numeroso. Amostra é um subconjunto da população observada.
Freqüência absoluta (F) é o número de vezes que a variável assume valor. Freqüência relativa (f) é o quociente entre a freqüência absoluta e o número de elementos da população estatística (N). A freqüência relativa geralmente é dada na forma de porcentagem. F fi = i N
FÓRMULA MG = n x1x 2 x 3 ...xn MÉDIA HARMONICA (MH) Média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos das parcelas n parcelas {x1,x2,x3,...xn}.
VARIÂNCIA (V) A idéia básica de variância é tomar os desvios dos valores x; em relação à média aritmética (x, - MA). Mas a soma desses desvios é igual a 0 (por uma propriedade da média). Uma opção possível, então, é considerar o total dos n
quadrados dos desvios
FÓRMULA
∑
(xi-MA)2 e expressar a
i=1
MH =
1 1 1 1 1 + + + ... + x1 x 2 x 3 xn n
MODA (Mo) Atualizada 01/04/2008
variância (V) como a média dos quadrados dos desvios absolutos, ou seja: n ∑ (xi - MA)2 V = i=1 n
ou Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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Prof. Pacher V=
(DA1)2 + (DA 2 )2 + (DA 3 )2 + ... + (DAn )2 n
Resolução: I) II)
DESVIO ABSOLUTO (DA)
DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (DAM) x1 - MA + x 2 - MA + x 3 - MA + ... + xn - MA n
MAP =
ou
MAP =
DAM =
DA1 + DA 2 + DA 3 + ... + DA n
198 +189 +140 +158 10 685 10
, finalmente: MAP = 68,5
n 03. (TTN) A media aritmética da distribuição e igual a:
DESVIO PADRÃO (DP) (DP)2 = V
DP = V
Coluna 1 Classe Peso (kg) 2 ├─ 4 4 ├─ 6 6 ├─ 8 8 ├─ 10 10 ├─ 12
V=variância
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Dada a seqüência {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}, a sua moda é: a) 54
Substituindo os dados na fórmula.
p ⋅ x + p ⋅ x + p3 ⋅ x 3 + ... + pn ⋅ xn MAP = 1 1 2 2 p1 + p2 + p3 + ... + pn 3×66+3×63+2×70+2×79 MAP = 3+3+2+2
DA = xi - MA
DAM =
Matemática
b) 5
d) 1
a) 5,27 kg d) 5,19 kg
Coluna 2 Freqüências Simples Absolutas 9 12 6 2 1
b) 5,24 kg e) 5,30 kg
c) 5,21 kg
e) 6,75 Resolução:
Resolução Para responder este teste basta conhecer a definição de moda, que segue: Definição: Denominamos MODA o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Então, basta de acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete. Na série do enunciado, o valor que mais se repete é valor 1.
I) Para obter a média com intervalo de classe e a freqüência absoluta, calcule o ponto médio (média aritmética) de cada intervalo de classe.
Classe Peso (kg)
4 ├─ 6
02. (ICMS-MG-Adaptada) Um candidato obteve, nas diversas provas de um concurso, as seguintes notas com os respectivos pesos:
6 ├─ 8
nota x1 = 66 x2 = 63 x3 = 70 x4 = 79
Calcule média aritmética ponderada.
70
Atualizada 01/04/2008
peso p1 = 3 p2 = 3 p3 = 2 p4 = 2
2+4
2 ├─ 4
Resposta, letra: D
Matéria Português Contabilidade Estatística Direito
Ponto médio da classe. 2 4+6
2 6+8 2 8 + 10
8 ├─ 10 10 ├─ 12
2 10 + 12
2
=3 =5 =7 =9 = 11
III) A seguir a tabela com todas as informações para obter a média desejada. Coluna 1
Coluna 2
Coluna 3
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Prof. Pacher Classe Peso (kg) 2 ├─ 4 4 ├─ 6 6 ├─ 8 8 ├─ 10 10 ├─ 12
Freqüências Simples Absolutas f 1 = 9 f 2 = 12 f 3 = 6 f 4 = 2 f 5 = 1
Ponto médio da classe x1=3 x 2=5 x 3=7 x 4=9 x 5=3
08. Um fabricante de café misturou café x de R$ 750,00 o Kg com café y de R$ 950,00 o Kg. Qual o valor do Kg da mistura de 15 kg de café x com 15 kg de café y. 09. Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família durante os 5 primeiros meses de 2003. Meses Janeiro Fevereiro Março Abril Maio
Na coluna 2 representa a freqüência (ou peso) que ocorre cada um dos pontos médios.
f ⋅ x + f ⋅ x + f ⋅ x + ... + fn ⋅ xn MAP = 1 1 2 2 3 3 f1 + f2 + f3 + ... + fn MAP = MAP = MAP = MAP =
9×3+12×5+6×7+2×9+1×11 9+12+6+2+1 27+60+42+18+11 30 27+60+42+18+11 30 158 30
finalmente MAP = 5, 666... ≅ 5, 27
Consumo (m3) 12,5 13,8 13,7 11,4 12,1
O consumo mensal médio dessa família durante os 5 meses foi: a) 11,3 m3 d) 63,5 m3
b) 11,7 m3 e) 317,5 m3
c) 12,7 m3
10. (ICMS/MG) As alturas dos jogadores de basquete da Seleção Brasileira são 1,98 m; 2,04 m; 2,06 m; 2,02 m e 2,05 m. A média de altura dessa seleção, em m, é de:
a) 2,01 b) 2,02 c) 2,03 d) 2, 04 e) 2,05 11. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10 A mediana é :
TESTES 01.Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9 e 13. 02. Calcular a média geométrica entre os números 12, 45 e 50. 03. Calcular a média harmônica entre os números 1, 3 e 6.
3 04. (FUVEST) Ache a média aritmética dos números , 5 13 1 e . 4 2 05. (SANTA CASA) A média aritmética dos elementos de um conjunto de 28 números é 27. Se retirarmos desse conjunto três números, de valores 25, 28 e 30, a média aritmética dos elementos do novo conjunto é: 06. (PUC) A média aritmética de um conjunto de 12 números é 9. Se os números 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, a média aritmética dos restantes é: 07. (UBERABA) Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a cada R$ 1,50 cada e 2 doces a R$ 2,50 cada. O preço médio por doce foi de:
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Matemática
a) b) c) d) e)
2 3 4 5 1
12. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10 A moda é : a) b) c) d) e)
2 3 4 5 1
13. Qual a média harmônica entre os números 2 e 3? 14. Sabe-se que os números 2, 5, 7 e 11 têm pesos iguais a 1, 2, 3 e 5, respectivamente. Qual é média ponderada entre esses números? 15. (FCC) A média aritmética de quatro números é 25. A média aritmética de três desses números é 21. O número que consta no primeiro grupo de números e não consta no segundo grupo é: a) 37
b) 39
c) 47
d) 48
e) 59
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Prof. Pacher 16. (OBM) A média aritmética de seis números é 4. Quando acrescentamos um sétimo número, a nova média é 5. O número que foi acrescentado é: a) 5
b) 6
c) 8
d) 10
e) 11
17. (UFPR) Em levantamento feito numa sala de aula de um curso da UFPR, verificou-se que a média das idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram, considerados apenas os anos completos e desconsideradas todas as frações (meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a coordenação do curso verificou que um aluno havia desistido, e que a média das idades caiu para 20 anos. Como nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade do aluno que desistiu? a) b) c) d) e)
41 anos 25 anos 29 anos 33 anos 37 anos
Paulo João
Matemática Diâmetro em cm
Diâmetro em cm
Diâmetro em cm
4,8 4,7
5,2 5,3
5,0 5,0
Média Diâdo metro Diâem metro cm em cm 5,0 5,0 5,0 5,0
Como os diâmetros médios foram iguais, o critério de desempate foi a regularidade, isto é, quem teve o desempenho mais regular foi o merecedor da vaga. a) Calcule o desvio padrão do conjunto de diâmetros obtidos por Paulo e João. b) Qual dos dois candidatos teve o desempenho mais regular? 21. (ICMS-MG) Os tempos gastos por cinco operários para fazer um trabalho foram: 4 min, 6 min, 7 min, 8 min, 10 min. A variância dessa distribuição é: a) 4,0 b) 3,5 c) 3,0 d) 2,0 e) 1,0
18.(UFPR) Um automóvel pode ser abastecido com
gasolina e álcool, em qualquer proporção. O motorista parou num posto em que o preço de um litro de gasolina era R$ 2,50 e o de álcool era R$ 2,00. Foram colocados no tanque de combustível 16 litros de gasolina e 24 litros de álcool. Qual é o preço por litro do combustível misto obtido nesse abastecimento? a) b) c) d) e)
a) 1,25
b) 1,5
c) 2,0
d) 3,0
e) 4,0
23. (GDF) Uma empresa que possui 5 máquinas copiadoras registrou em cada uma delas no último mês ( em 1.000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias, respectivamente. O valor da variância desta população é: a) 5 d) 25
R$ 2,45. R$ 2,40. R$ 2,32. R$ 2,20. R$ 2,18.
b) 11,6 e) 12
c) 14,5
24. A tabela a seguir representa uma pesquisa sobre o peso (em quilogramas) de um grupo de pessoas,
19. A distribuição dos salários de uma empresa é dada na seguinte tabela:
Salário em R$ 500,00 1.000,00 1.500,00 2.000,00 5.000,00 10.500,00
22. (ICMS-MG) O desvio padrão do conjunto de dados A = {6, 10, 4, 8, 7} é igual a:
Número de funcionários 10 5 1 10 4 1
a) Qual é a média dos salários dessa empresa?
Peso kg 40 |⎯ 44 44 |⎯ 48 48 |⎯ 52 52 |⎯ 56 56 |⎯ 60 Total
FA 1 3 7 6 3 20
Determine a media aritmética.
25.(PUC-SP) O histograma seguinte apresenta a distribuição de freqüência das faixas salariais numa pequena empresa.
20. Dois torneiros, Paulo e João, concorrendo a uma vaga em uma metalúrgica, submeteram-se ao seguinte teste de precisão: cada um deles construiu quatro rodas de ferro, que deveriam ter 5 cm de diâmetro. A tabela abaixo descreve o desempenho de cada um.
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Matemática Salário 500 1 000 1 500 2 000 5 000 10 500 Total
14
4 2 0
500
1000
1500
2000
2500
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é, aproximadamente: a) 420,00 d) 640,00
R$ b) R$ c) R$ 562,00 536,00 R$ e) R$ 708,00
a) Qual a média e qual a mediana dos salários dessa empresa? b) Suponhamos que sejam contratados dois novos funcionários com salários de R$ 2 000,00 cada. A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior?
29.(UNICAMP-SP) Para um conjunto X={x1 , x 2 , x 3 , x 4 } a média aritmética de X é definida por:
x +x +x +x x= 1 2 3 4
26. Manoel e Maria, prestaram o vestibular e obtiveram os seguintes resultados: Matéria Matemática Física Química Biologia Português História Geografia Inglês
Manoel 9,0 9,0 8,0 5,0 5,0 5,0 6,0 7,0
Maria 9,0 6,0 6,0 6,0 8,0 7,0 7,0 6,0
Qual é a média de notas de cada um? 27. Uma máquina empacotadora de leite está regulada para que cada embalagem contenha 1 000 ml. No entanto, o perfeito empacotamento depende de vários fatores, como variação da temperatura ambiente, variação da corrente elétrica, bom funcionamento mecânico da máquina etc. O controle de qualidade desse laticínio obteve amostras com suas respectivas freqüências. Determine a porcentagem, em relação ao total das amostras, que está acima da média mais o desvio padrão.
Capacidade (ml) 994 995 998 1 000 1 010 1 050
Freqüência 6 6 8 20 10 10
28.(FUVEST) A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir:
4
por: v =
e a variância de X é definida
1⎡ (x1 - x)2 + ... + (x 4 - x)2 ⎤ . ⎣ ⎦ 4
Dado o conjunto X={ 2, 5, 8, 9} e
7,5 ≅ 2,7 , pede-se:
a) Calcular a média aritmética de X. b) Calcular a variância de X. c) Calcular o desvio padrão de X.
30.(FGV-SP) A tabela a seguir representa a distribuição de freqüências dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, num certo mês.
Número de Salário do mês em Número de classe R$ empregados 1 2 3 4
1 000 2 000 3 000 4 000
2 000 3 000 4 000 5 000
20 18 9 3
O salário médio desses empregados, nesse mês, foi de: a) R$ 2 637,00 c) R$ 2 520,00 e) R$ 2 500,00
b) R$ 2 420,00 d) R$ 2 400,00
31.(NC.UFPR) Em uma escola, para verificação da aprendizagem em certa disciplina, são aplicadas três provas, com pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Para um aluno ser aprovado nessa disciplina, deve ser no mínimo 5,0 a média aritmética ponderada das notas que ele obtiver nas três provas relativamente aos pesos mencionados. Se nas duas primeiras provas um dos alunos obteve notas 4,0 e 3,5, respectivamente, então, para que seja aprovado, a nota mínima que ele deve obter na terceira prova é: a) 6,0
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Funcionários 10 5 1 10 4 1 31
b) 6,1
c) 6,2
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Prof. Pacher d) 6,3
e) 6,4
32.(NC.UFPR) A média aritmética de 3 números (x, y e z) é 6, e a média aritmética ponderada desses números relativa aos pesos 1, 3 e 4, respectivamente, é 6,75. Sabendo-se que z = 6, então um dos outros dois números é: a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
b) c) d) e)
Matemática
Somente 2 Somente 3 Somente 7 2, 3, 12 e 7
38.(UFRJ-NCE) Foi feita uma pesquisa de opinião sobre qual o gênero de filme preferido pelo público de um cinema. O resultado é apresentado no gráfico abaixo:
33.( UFPR) Seja Ma a média aritmética de três números (x, y e z), e seja M p a média aritmética ponderada desses números relativa aos pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Considere as afirmativas abaixo relativas às médias M a e Mp. I. Se x = y = z, então Ma = Mp. II. Se x = 1, y = 2 e z = 3, então Ma > Mp. III. Se z = x + y, então Ma > Mp. IV. Se Ma = Mp, então 5z = 4x + y. Assinale a alternativa correta: a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 34. Uma micro empresa produziu 10.000 unidades de um certo produto, vendendo-o da seguinte forma: as primeiras 3.000 unidades, ao preço unitário de R$ 20,00 as 5.000 unidades seguintes, ao preço unitário de R$ 25,00 as últimas 2.000 unidades, ao preço unitário de R$ 32,00 . Qual foi o preço médio unitário? a) R$ 24,60; d) R$ 32,90; b) RS 24,90; e) R$ 33,50 c) R$ 32,00; 35. Determinando a mediana da série, 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, é: a) 13 b) 12 c) 18 d) 25 e) 11
Com base nesses dados pode-se afirmar que: a) o público prefere romance ou terror à ação; b) mais da metade do público prefere ação; c) mais de um quarto do público prefere comédia; d) mais de um terço do público prefere romance ou terror; e) menos da metade do público prefere comédia ou ação.
39.(UFRJ-NCE) A tabela a seguir fornece a cotação diária de venda e compra do dólar, em reais, referente aos 6 primeiros dias úteis de outubro de 2005. Data Venda Compra 3/out 2,229 2,227 4/out 2,261 2,259 5/out 2,268 2,266 6/out 2,293 2,291 7/out 2,250 2,248 10/out 2,238 2,236 As cotações medianas de venda e compra do dólar para esses dias foram, respectivamente: a) 2,2555 e 2,2535; b) 2,2565 e 2,2545; c) 2,2680 e 2,2660; d) 2,2805 e 2,2785; e) 2,2930 e 2,2910.
40.(UFRJ-NCE) A média aritmética obtida a partir de um conjunto de 10 números é M . Se acrescentarmos dois números, a e b, a esse conjunto, a nova média será:
36. Determinando a mediana da série, 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, é: a) 7 b) 10 c) 12 d) não existe moda na série. e) 13
b)
37. Determinando a moda da seqüência, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 12, 12, 12, 7, 7, 7, obtemos:
d)
a)
c)
10a + 10b + M 12 a + b + 10M 12 a +b +M 12 a+b+M
3
a) Somente 12
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Prof. Pacher e)
Matemática
a + b + 10M
3
41.(UFRJ-NCE) O gráfico abaixo mostra o total de gols marcados por Pedrinho Cai–Cai durante um campeonato em sua cidade natal. Sabemos que Pedrinho Cai–Cai marcou gols em todas as partidas das quais participou, mas esteve fora de diversos jogos, devido a contusões. total de gols marcados 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
6 7 8 9 número de jogos realizados
Considere as seguintes afirmativas: I - Pedrinho Cai–Cai não jogou em mais da metade das partidas realizadas. II - Em sua melhor performance, Pedrinho Cai–Cai marcou três gols em uma mesma partida. III - Se considerarmos apenas as partidas de que Pedrinho Cai– Cai participou, podemos dizer que sua média de gols por partida foi aproximadamente igual a 2,3. A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é/são somente: a) b) c) d) e)
I; II; III; I e II; II e III.
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Prof. Pacher 42.(UFRJ-NCE) A média aritmética dos pesos de dezenove pessoas que entraram num elevador é igual a 70kg. Se entrar mais uma pessoa, que pesa 82kg, a nova média dos pesos das vinte pessoas, em kg, será igual a: a) b) c) d) e)
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas. 2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente. 3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média. Assinale a alternativa correta. Somente a afirmativa 3 é verdadeira. Somente a afirmativa 2 é verdadeira. Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
44. (UFRJ-NCE) Agenor está fazendo um curso de especialização. O curso é dividido em módulos e cada módulo tem um certo número de créditos, dependendo da importância do módulo. O coeficiente de rendimento do aluno é a média ponderada das notas por ele obtidas nos respectivos módulos, tendo como pesos os créditos correspondentes. A tabela a seguir apresenta as notas obtidas por Agenor e o número de créditos de cada módulo: Módulo I II III IV V VI
No de créditos 4 5 5 3 3 5
Nota 6,0 7,0 8,0 6,0 6,0 9,0
O coeficiente de rendimento de Agenor no curso é igual a:
76
6,4; 6,8, 7,0; 7,2; 7,6.
GABARITO
80,2; 76,3; 72,0; 71,2; 70,6.
43.(UFPR) Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas: Número Turma de Média Desvio padrão alunos A 15 6,0 1,31 B 15 6,0 3,51 C 14 6,0 2,61
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
Matemática
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ESTATÍSTICA 01 7 02 30 03 2 04 29/20 05 26,92 06 7 07 1,85 08 8,50 09 C 10 C 11 B 12 A 13 2,4 14 8 15 A 16 E 17 A 18 d 19 2000 20 a) Paulo DP= João
21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
0,020
DP= 0,045 b) Paulo 7 C B 51,4 E a)Manoel 6,75 e Maria 6,875 17% Ficará menor a) 6,0 b) 7,5 c) E D E C B E D E C A B B E D D
7,5
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Prof. Pacher ANALISE COMBINATÓRIA
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada à decisão d1, a decisão d2 pode ser tomada de y maneiras, então, o número de maneiras de se tomarem às decisões d1 e d2, é igual ao produto x.y.
01
SEM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC) Determinada formação com k etapas e n elementos, sem repeti-los nas etapas, o total T de maneiras em que ocorre a formação é dada por: T = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...(n - (k - 1)) 1444 424444 3 k fatores
02
k etapas
03 COM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC) Determinada formação com k etapas e n elementos, podendo repeti-los nas etapas, o total T de maneiras em que ocorre a formação é dada por: k T = n ⋅ n ⋅n ⋅ n ⋅ ... ⋅ n = n 14243 k fatores k etapas
04
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma seqüência de 5 símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da seqüência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é: a) 115
b) 120 d) 150 d) 200 e) 249
Resolução I) A senha de acesso é formada por duas letras e três números, uma formação possível é: 6
7
P
K
9
Considerando que a senha seja a sugerida acima, e considerando que não pode haver repetição de qualquer Atualizada 01/04/2008
Matemática
um dos 5 símbolos, é facilmente resolvida pelo princípio multiplicativo ou por permutação simples. 1ª Poderá escolher, 6, digitada 7, 9, P ou K 2ª Poderá escolher, 6, digitada 9, P ou K 3ª Poderá escolher 6, digitada 9 ou K 4ª Poderá escolher 9 digitada ou K 5ª Só resta o 9 digitada
5 4 3 2 1
Supondo que digitou 7 Supondo que digitou P Supondo que digitou 6 Supondo que digitou K Única opção
7 P 6 K 9
Multiplicando entre si os valores da 3ª coluna, 5x4x3x2x1=120, obtemos o total de formações diferentes possíveis.
Resposta, no máximo obterá 120 senhas. TESTES E EXERCÍCIOS
01.Quantos números pares de três algarismos com algarismos repetidos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4? a) 16 b) 48 c) 64 d) 24 e) 32
02. Quantos números pares de três algarismos
com algarismos sem repetição podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4? a) 30 b) 24 c) 16 d) 22 e) 12
03. De quantas formas diferentes podem sentar-se em linha, alternadamente, quatro rapazes e três moças ? 04. De quantas formas diferentes podemos atribuir um primeiro, segundo e terceiro prêmios em uma classe de 5 alunos ? a) 64 b) 36 c) 240 d) 120 e) 60
05. (UCS) Uma prova compõe-se de vinte questões do tipo múltipla escolha, tendo cada uma quatro alternativas distintas. Se todas as vinte questões foram respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher a folha
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Matemática
de respostas será.
06. ( FGV - SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido ? a)90 b)100 c)110 d)130 e)120 07. Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ? a) 52 b) 86 c) 24 d) 32 e) 48
08.(OBM) Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns pontos destacados no interior dessas circunferências. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam, formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condições?
a) 4
b) 14
c) 60
d) 120
e) 24
09.(OBM) O alfabeto usado no planeta X tem somente duas letras: X e x. O sobrenome (nome de família) de cada um de seus habitantes é uma seqüência formada por 4 letras. Por exemplo, xX xx é um possível sobrenome utilizado nesse planeta. O maior número de sobrenomes diferentes que podem ser dados no planeta X é: a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18
10. As finalista do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss França. De quantas formas os juizes poderão escolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso ?
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11. Qual é o número de anagramas distintos que
se podem ser formados com as letras da palavra AMOR? 12.(CEFET-PR) Numa reunião definida como “Queijos e Vinhos”, estavam disponíveis no “buffet” 8 tipos de queijos e 6 tipos de vinhos. Sabendo que Jaime serve-se de dois tipos diferentes de queijo e um tipo de vinho cada vez que vai ao “buffet”, o número total de opções distintas para servir-se é: a) 34 b) 62 c) 42 d) 168 e) 336
13. Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a cidade C?
14. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades existem para que uma pessoa possa entrar e sair desta sala? 15. (UFBA) Num determinado país, todo rádio-amador possui um prefixo formado por cinco símbolos, assim disposto: um par de letras, um algarismo diferente de zero, outro par de letras; por exemplo: PY-6-CF. O primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o segundo par só pode ser constituído das dez primeiras letras do alfabeto, não havendo letras repetidas. Nesse país, o número de prefixos disponíveis é: a) 270 b) 1230 c) 2430 d) 2700 e) 3.9.10
16. Sejam A, B, C, D, quatro cidades.
De quantos modos uma pessoa pode ir de A à D passando pelas cidades B e C.
17. De quantos modos podemos dispor 5 livros de Matemática, 3 de Física e 2 de Química em uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto fiquem sempre juntos? 18. (TRF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada
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Prof. Pacher senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é
19. Considere os eixos coordenados x e y e o conjunto M = { M1, M2, ... , M12 } cujos elementos estão assinalados na figura abaixo.
O número de quadriláteros convexos que possuem vértices pertencentes a M e diagonais sobre os eixos é: a) 216 b) 108 c) 72
d) 36 e) 12
20. De quantos modos distintos 5 pessoas podem
sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares? 21. O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é: a) 12 b) 36 c) 48 d) 60 e) 72
GABARITO ANÁLISE COMBINATÓRIA 01 A 02 E 03 144 04 E 05 420 06 E 07 E 08 D 09 D 10 60 11 24 12 E 13 12 14 9 15 C 16 24 17 8 640 18 518 400 19 C 20 120 21 E 22 A FATORIAL - SÍMBOLO ! Fatorial ! é um operador. Seja n um número natural N, definimos fatorial de n, e indicamos por n!, através da relação:
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)...3.2.1 01 2)
22. (UFPR) Numa certa rede bancária, cada
um dos clientes possui um cartão magnético e uma senha formada por seis dígitos. Para aumentar a segurança e evitar que os clientes utilizem datas de aniversário como senha, o banco não permite o cadastro de senhas nas quais os dois dígitos centrais correspondem aos doze meses do ano, ou seja, senhas em que os dois dígitos centrais sejam 01,02,...,12 não podem ser cadastradas. Quantas senhas diferentes podem ser compostas dessa forma? a) b) c) d) e)
880 000 1 000 000 106 – 12 . 10 2 10.9.8.7.6.5 1 000 000 - 12 Atualizada 01/04/2008
Matemática
02
para (n
2!=2.1=2 3!=3.2.1=6 4!=4.3.2.1=24 5!=5.4.3.2.1=120 6!=6.5.4.3.2.1=720 7!=7.6.5.4.3.2.1=5040
03 Identidades importantes 04
0! = 1 1! = 1 Como conseqüência: Se m ! =1, m pode ser igual a 0 (m = 0) ou 1 (m = 1).
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Prof. Pacher PERMUTAÇÃO - SÍMBOLO P
Matemática 03 Arranjo com repetição
A n ,p = n p
São agrupamentos com n elementos, que diferem entre si apenas pela ORDEM dos seus elementos. A permutação é um caso particular de arranjo em que n=p. Se um ou mais elementos aparecem repetidos no total dos n elementos, o número de repetições de cada natureza, serão indicadas por: a, b, c, d, ...
COMBINAÇÃO- SÍMBOLO C
01 Permutação sem repetição P Pn = n! 02 03 Permutação com repetição P
01
n! a,b,c,d,... Pn = a! b! c! d!...
04
(n p)
04
São agrupamentos com p (p∈ N) elementos, que diferem entre si apenas pela NATUREZA dos seus elementos.
Combinação sem repetição p)
02
(n
n! Cn, p = (n- p)! p!
TESTES E EXERCÍCIOS
TESTE PARA IDENTIFICAR A APLICAÇÃO DE ARRANJO “A” OU COMBINAÇÃO “C”. Início do teste
a) 120 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100
Forme um agrupamento conforme orientação do enunciado.
02. Quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra “PALCO” podemos formar de maneira que as letras A e L apareçam sempre juntas ?
Troque a ordem de pelo menos dois elementos (entre si) nesse agrupamento formado e pergunte.
O agrupamento mudou ?
NÃO
01. O número de anagramas distintos que podem ser formados com as letras da palavra ALUNO é:
a) 48 b) 24 c) 96 d) 120 e) 36
SIM
03. Quantos são os anagramas distintos podem Use
Use
Combina ã
Arran o A
Fim
ser formados com as letras da palavra: MATEMATICA?
Fim
04. Qual é o número possível de anagramas que
se pode montar com as letras da palavra AMA? 05. (OCM) Paula e Isis moram numa região
25.5. ARRANJO - SÍMBOLO A São agrupamentos com p (p∈ N) elementos, que diferem entre si ou pela NATUREZA ou pela ORDEM dos seus elementos.
01 Arranjo sem repetição 02
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A n ,p =
n! ( n − p) !
(n p)
cortada por ruas, conforme o mapa ao lado. Paula mora na esquina indicada pelo ponto A do mapa e Isis na esquina do ponto B. Para Paula visitar Isis ela percorre um caminho formado por trechos horizontais ou verticais movendo-se sempre para a direita ou para cima. Um desses caminhos está ilustrado no mapa. Determine a
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quantidade de caminhos diferentes que Paula pode fazer para visitar Isis, seguindo esta regra. B
A
06. Quantos números de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições apresentadas ? a) 12 b) 30 c) 6 d) 24 e) 18 07. Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam com O ? a) 7 ! b) 5 ! c) 30 d) 60 e) 90
Matemática
diferentes ele poderá escolher as 10 questões? 12.(CESGRANRIO) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma seqüência de 5 símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da seqüência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é: a) 115 b) 120 d) 150 d) 200 e) 249
13. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, desejamos formar comissões contendo 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades? (CESPE) Em uma reunião social, cada convidado cumprimentou uma única vez todos os outros com um aperto de mão, o que resultou em 45 desses cumprimentos. Nesse contexto, é correto afirmar que 14. apenas 12 pessoas participaram da reunião. 15. (UFS) O número de comissões de quatro pessoas formadas com um grupo de quatro rapazes e três moças, tendo cada comissão no máximo dois rapazes, é:
08.(UFSM-RS) De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e uma branca? a) 12 b) 30 c) 42 d) 240 e) 5040 09.(UFRJ-NCE) Uma placa de automóvel é composta por três letras e quatro algarismos, nessa ordem. O número de placas que podem ser formadas com as letras K, Q ou L e cujos dois últimos algarismos são 2 e 6, nessa ordem, é: a) 540; b) 600; c) 2430; d) 2700; e) 3000. 10.(UFF-RJ) Cinco casais vão-se sentar em um banco de 10 lugares, de modo que cada casal permaneça sempre junto ao sentar-se. Determine de quantas maneiras distintas todos os casais podem, ao mesmo tempo, sentar-se no banco
11. Uma prova consta de 15 questões das quais
a) 35 b) 22 c) 18 d) 10 e) 28
16. Em uma empresa de 10 sócios, deseja-se formar diretorias com 4 membros. Quantas diretorias distintas podem ser formadas. a) 5040 b) 40 c) 2 d) 210 e) 5400 17. Com um conjunto de 10 peças distintas, o número de grupos diferentes, de três peças, que podem ser formadas, é: a) 3 ! b) 7 ! c) 10 ! d) 720 e) 120 18. O numero de triângulos distintos determinados por 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma paralela á primeira, é:
o aluno deve resolver 10. De quantas formas Atualizada 01/04/2008
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Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.
19.(UFF-RJ) A partir de um grupo de 6 alunos e 5 professores será formada uma comissão constituída por 4 pessoas das quais, pelo menos duas devem ser professores. Determine de quantas formas distintas tal comissão pode ser formada. 20. Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões distintas com quatro pessoas podemos formar?
28. (CESPE-BB) Considere a seguinte situação hipotética. Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol, uma empresa contratou 4 professores americanos e 3 espanhóis. Nessa situação, sabendo que cada funcionário fará exatamente um curso de cada língua estrangeira, um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas distintas de professores para escolher aqueles com os quais fará os seus cursos.
Assinale o que for correto:
21. Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões de cinco pessoas podemos formar, constituídas por dois homens e três mulheres?
29. Com um grupo de 6 pessoas podem ser
22. A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de quatro membros podem ser formadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o Presidente e o Vice-Presidente?
30. Com os dígitos 5,6,7,8 podem ser formados
formadas 15 comissões diferentes de 4 pessoas cada. 64 números de 3 algarismos.
23.(ACAFE-SC) Sobre uma reta r se marcam 7 pontos e sobre uma outra reta s paralela a r, se marcam 4 pontos. O número de triângulos diferentes que se pode obter, unindo 3 quaisquer desses pontos, é:
31. O número de anagramas da palavra “CANETA” em que as vogais aparecem juntas
a) b) c) d) e)
32. (UEM-PR) Sete amigos vão ao cinema e
304 152 165 330 126
O número de países representados nos Jogos PanAmericanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
24. (CESPE-BB) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6. 25. (CESPE-BB) Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do Caribe. 26. (CESPE-BB) Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central, participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180. 27. (CESPE-BB) Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-
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é 72. ocupam uma fileira que possui sete cadeiras. Dentre eles, Ari, Bia e Cid fazem questão de ocupar ou as posições extremas ou a posição central da fileira. O número de fileiras é superior a 35. Dica de segurança: saiba mais sobre o código de acesso O código de acesso consiste em uma seqüência de três letras distintas do alfabeto, gerada automaticamente pelo sistema e informada ao cliente. Para efetuar transações a partir de um terminal de auto-atendimento, esse código de acesso é exigido do cliente pessoa física, conforme explicado a seguir. É apresentada ao cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do alfabeto estão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4 letras cada. Para entrar com a primeira letra do seu código de acesso, o cliente deve selecionar na tela apresentada o único conjunto de letras que a contém. Após essa escolha, um novo agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 novos conjuntos é mostrado ao cliente, que deve então selecionar o único conjunto que inclui a segunda letra do seu código. Esse processo é repetido para a entrada da terceira letra do código de acesso do cliente. A figura abaixo ilustra um exemplo de uma tela com um possível agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.
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GABARITO
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
33. (CESPE-BB) Considerando que o Banco do
Brasil tenha 15,6 milhões de clientes pessoa física e que todos possuam um código de acesso como descrito acima, conclui-se que mais de 1.000 clientes do Banco do Brasil possuem o mesmo código de acesso. 34. (CESPE-BB) Utilizando-se as 24 primeiras
letras do alfabeto, é possível formar um conjunto de 4 letras distintas de mais de 10.000 maneiras diferentes. 35.(UFRJ-NCE) A partir de um grupo de 10 pessoas, deseja-se formar duas equipes de 5 para disputar uma partida de vôlei de praia. De quantas formas distintas pode-se formar as equipes? a) 50 b) 126 c) 252 d) 15120 e) 30240 36.(UFRJ-NCE) Há seis caminhos que ligam o acampamento A ao acampamento B e há três caminhos ligando o acampamento B ao acampamento C. Não há caminhos diretos de A para C. Um grupo de pessoas quer ir de A para C, passando por B. O número de trajetos diferentes que podem ser escolhidos é: a) 6; b) 9; c) 12; d) 18; e) 30.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA 01 A 02 A 03 151 200 04 12 05 35 06 B 07 D 08 C 09 D 10 3 840 11 3 003 12 B 13 120 14 Errada 15 B 16 D 17 E 18 B 19 215 20 210 21 60 22 6 23 E 24 C 25 E 26 E 27 E 28 E 29 E 30 E 31 E 32 C 33 C 34 C 35 B 36 D
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A probabilidade do evento A é um subconjunto de um espaço amostral S.
PROBABILIDADE
Introdução
s
A teoria da probabilidade é o ramo da matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos aleatórios ou não determinísticos. Experimentos determinísticos Um experimento é determinístico quando repetido em condições semelhantes conduz a resultados essencialmente idênticos.
Experimentos aleatórios Experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios.
Por exemplo: 01. Um dado de seis faces, numeradas de 1 até 6, ao ser lançado ao ar, é certo que cairá, mas não é certo que, digamos apareça voltada para cima à face que está registrada com o número 3. Em n lançamentos, o número de sucessos s (apareça a face 3), após feita uma observação empírica, a freqüência relativa f=s/n, tende a estabilizar-se quando n tende a um limite. Espaço amostral (S). É o conjunto de todos os elementos possíveis do experimento. Nesta etapa, podemos descrever os elementos e/ou calcular o número de elementos.
Evento (A)
É um subconjunto do espaço amostral.
A
n(A)=nº de elementos de A n(S)=nº de elementos de S
n(A) n(S)
P(A) =
DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO I) II) III) IV)
0 P(A) 1 P(A) + P(A) = 1 P(φ) = 0 P(S) = 1
φ= conj. vazio
UNIÃO DE EVENTOS
A
A∩B
B
I)
Se A B 0 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) II) Se A B = 0 P(A B) = P(A) + P(B) PROBABILIDADE CONDICIONADA
Eventos elementares
Denominamos de eventos elementares, quaisquer elementos do espaço amostral, igualmente prováveis.
S A
B
Casos favoráveis É o conjunto do espaço amostral (S).
Casos possíveis É um subconjunto do espaço amostral (A). È o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Um elemento deste conjunto de resultados, é chamado de ponto amostral.
DEFINIÇÃO
A probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo que já ocorreu o evento B, é chamada de probabilidade de A condicionada a B.
P(A/B) =
INTERSECÇÃO DE EVENTOS
I)
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P(A ∩ B) P(B)
Se A B = 0
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Prof. Pacher P(A B) = P(A) . P(B) LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE Repetindo n vezes uma experiência em que um evento A tem probabilidade de ocorrer igual a p, a probabilidade de ocorrer apenas k vezes o evento A, é:
C n, k . pk . (1-p)n-k
EXERCÍCO RESOLVIDO 01. Analisando um lote de 360 peças para computador, o departamento de controle de qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirando-se uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO ser defeituosa é: a) 1/9
b) 2/9
c) 5/9
d) 7/9
e) 8/9
Resolução I) Use S = conjunto dos elementos do espaço amostral, casos possíveis, e n(s) o número de elementos deste conjunto. Use D = conjunto de elementos das peças defeituosas, e n(D) o número de elementos deste conjunto. Use ~D = conjunto dos elementos das peças não defeituosas, e n(~D) o número de elementos deste conjunto. Neste caso, é o conjunto dos casos favoráveis. II) n(S) = 360 , n(D) = 40 e
n(~D) = 320
III) Para calcular a probabilidade de, retirada uma peça que seja não defeituosa, proceda assim: P(~ D) =
n(~ D) 320 ........simplifique, dividindo = n(S) 360
numerador e denominador por 40 n(~ D) 320 ÷ 40 8 P(~ D) = = = n(S) 360 ÷ 40 9
Resposta: 8/9
02. O número da chapa do carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: a) 5
b) 1/2
c) 4/9
d) 5/9
e) 1/5
03.(UFPR) Suponha que a chance de um filho nascer do sexo masculino ou do sexo feminino seja exatamente igual. Qual é a probabilidade de que todos os filhos nasçam do mesmo sexo no caso de um casal que esteja planejando ter quatro filhos? a) 20% b) 14,3% c) 17,5% d) 16,7% e) 12,5%
04.(UFRJ-NCE) Um sargento vai atribuir, ao acaso, cinco tarefas de diferentes níveis de dificuldade a cinco cabos, um dos quais é o cabo Armênio. A probabilidade de que o cabo Armênio fique com a tarefa mais difícil é então de: a) 10%; b) 20%; c) 25%; d) 40%; e) 50%. 05. Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. 06. Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
07. (USP) Uma carta é retirada de um baralho
TESTES E EXERCÍCIOS 01. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.
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comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do segundo baralho, a probabilidade de se obter uma dama é: a) 3/51 b) 5/53 5 c) 5/676 d) 1/13 e) 5/689
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Prof. Pacher 08.(CESGRANRIO) Analisando um lote de 360 peças para computador, o departamento de controle de qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirando-se uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO ser defeituosa é: a) 1/9 b) 2/9 c) 5/9 d) 7/9 e) 8/9
09. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas “chances” de vencer e, cada um, tem duas vezes mais “chances” de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer. 10.(NC.UFPR) Lança-se um dado. Se ocorrer um número par, qual a probabilidade de que seja primo? a) 2/3 b) 3/6 c) 3/2 d) 1/3 e) 1/6 11. Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é: a) b) c) d) e)
18/75 19/45 19/48 18/45 19/75
(CESPE) Em 2001, no relatório de pesquisa rodoviária publicado pela Confederação Nacional de Transportes, foi divulgada a tabela ao lado, que mostra as condições de conservação de 45.294 quilômetros de estradas brasileiras. Com base nesses dados, julgue os itens seguintes. Estado geral Ótimo Bom deficiente Ruim Péssimo total
Extensão avaliada (km) 1.291 12.864 30.009 980 150 45.294
12. A probabilidade de um viajante que transita nessas estradas passar por pelo menos 1 km de estrada em condições ótimas ou boas é maior que 30%.
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13. Da extensão total de estradas avaliadas, menos de 3/5 estão em condições deficientes. 14.(UFPR) Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão arterial, conforme mostrado no quadro a seguir: Peso Pressão
Alta Normal Total
o s s e c x E
l a m r o N
e t n e i c i f e D
l a t o T
0,10 0,15 0,25
0,08 0,45 0,53
0,02 0,20 0,22
0,20 0,80 1,00
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 1. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta é de 0,20. 2. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem excesso de peso, a probabilidade de ela ter também pressão alta é de 0,40. 3. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem pressão alta, a probabilidade de ela ter também peso normal é de 0,08. 4. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão normal e peso deficiente é de 0,20. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. b) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
15. (FEI-SP) Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha?
16. (ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Selecionase, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 17.(FAE-PR) Num teste de seleção com 10 questões do tipo “verdadeiro ou falso”, a probabilidade de um candidato que responde a todas as questões ao acaso acertar exatamente 6 questões é igual a:
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Matemática
incluídas no conjunto das letras que formam o seu nome é inferior a 0,01.
1 1024 105
20. (CESPE-BB) Suponha que uma pessoa
512 1 32 3 16 1 105
Dica de segurança: saiba mais sobre o código de acesso O código de acesso consiste em uma seqüência de três letras distintas do alfabeto, gerada automaticamente pelo sistema e informada ao cliente. Para efetuar transações a partir de um terminal de auto-atendimento, esse código de acesso é exigido do cliente pessoa física, conforme explicado a seguir. É apresentada ao cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do alfabeto estão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4 letras cada. Para entrar com a primeira letra do seu código de acesso, o cliente deve selecionar na tela apresentada o único conjunto de letras que a contém. Após essa escolha, um novo agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 novos conjuntos é mostrado ao cliente, que deve então selecionar o único conjunto que inclui a segunda letra do seu código. Esse processo é repetido para a entrada da terceira letra do código de acesso do cliente. A figura abaixo ilustra um exemplo de uma tela com um possível agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
18. (CESPE-BB) Para um cliente do BB
chamado Carlos, a probabilidade de que todas as letras do seu código de acesso sejam diferentes das letras que compõem o seu nome é inferior a 0,5.
observe atentamente um cliente do BB enquanto este digita o seu código de acesso. Suponha ainda que ela observe que os três conjuntos de letras em que aparecem no código do cliente são disjuntos e, tendo memorizado esses três conjuntos de letras, na ordem em que foram escolhidos, faça um palpite de qual seria o código de acesso do cliente. Nessas condições, a probabilidade de que o palpite esteja certo é inferior a 0,02. 21.(UFRJ-NCE) Se sortearmos ao acaso uma pessoa de um grupo de N pessoas, a probabilidade de que cada pessoa seja escolhida é 1/N. O elenco de uma equipe de futebol é composto por dois goleiros, oito zagueiros, seis armadores e quatro atacantes. Se sortearmos ao acaso um jogador desse elenco, a probabilidade de que ele seja um armador é de: a) 25%; b) 30%; c) 40%; d) 50%; e) 60%. REPOSTAS 01 3/10 02 E 03 E 04 B 05 a) 5/21 b) 10/49 06 5/6 07 D 08 E 09 3/5 10 D 11 C 12 Correta 13 Errada 14 B 15 5/34 16 D 17 B 18 C 19 C 20 C 21 A
19. (CESPE-BB) Para um cliente do BB
chamado Carlos, a probabilidade de que todas as letras do seu código de acesso estejam Atualizada 01/04/2008
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Prof. Pacher RACIOCÍNIO LÓGICO 01.(CESGRANRIO) Sejam a, b e c números reais distintos, sobre os quais afirma-se: I - Se b > a e c > b, então c é o maior dos três números. II - Se b > a e c > a, então c é o maior dos três números. III - Se b > a e c > a, então a é o menor dos três números. É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s): a) I, somente. b) II, somente. c) III, somente. d) I e III, somente. e) I, II e III. 02. (AFR-ICMS-SP) Cinco ciclistas apostaram uma corrida. - A chegou depois de B. - C e E chegaram juntos. - D chegou antes de B. - Quem ganhou, chegou sozinho. a) A b) B c) C d) D e) E 03.(CESGRANRIO) Considere as seguintes afirmações: W > Z, U < X, Z < Y e Z > X, a partir das quais, pode-se dizer com certeza que: I. W > U II. W > Y III. Y > U Analise a veracidade das afirmações e assinale a alternativa correta.
Matemática
- Antares está em primeiro lugar e Bilbao está em quinto; - Cascais está na posição intermediária entre Antares e Bilbao; - Deli está à frente do Bilbao, enquanto que o Elite está imediatamente atrás do Cascais. Nessas condições, é correto afirmar que a) Cascais está em segundo lugar. b) Deli está em quarto lugar. c))Deli está em segundo lugar. d) Elite está em segundo lugar. e) Elite está em terceiro lugar. 06. (AFR-ICMS-SP) Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos gorda do que Bruna. Logo: a) b) c) d) e)
Vera é mais gorda do que Bruna. Cátia é menos gorda do que Bruna. Bruna é mais gorda do que Cátia. Vera é menos gorda do que Cátia. Bruna é menos gorda do que Vera.
07. (ESAF) Quatro meninas que formam uma fila estão usando blusas de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto. A menina que está imediatamente antes da menina que veste blusa azul é menor do que a que está imediatamente depois da menina de blusa azul. A menina que está usando blusa verde é a menor de todas e está depois da menina de blusa azul. A menina de blusa amarela está depois da menina que veste blusa preta. As cores das blusas da primeira e da segunda menina da fila são, respectivamente: a) amarelo e verde b) azul e verde c) preto e azul d) verde e preto e) preto e amarelo
04. (AFR-ICMS-SP) Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana, Fátima corre tanto quanto Juliana. Logo: a) Fátima corre menos que Rita. b) Marta corre mais do que Juliana. c) Juliana corre menos do que Rita. d) Fátima corre mais do que Marta. e) Juliana corre manos do que Marta.
08. (VUNESP) Hoje, o preço do quilograma de feijão é mais alto que o preço do quilograma de arroz. O dinheiro que Leo possui não é suficiente para comprar 5 quilogramas de arroz. Baseandose apenas nessas informações, pode-se concluir que o dinheiro de Leo a) é suficiente para comprar 4 quilogramas de feijão. b) é suficiente para comprar 4 quilogramas de arroz. c) não é suficiente para comprar 3 quilogramas de feijão. d) não é suficiente para comprar 2 quilogramas de arroz. e) não é suficiente para comprar 5 quilogramas de feijão.
05.(FCC) Cinco times – Antares, Bilbao, Cascais, Deli e Elite – disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco primeiras posições na classificação geral. Sabe-se que:
09. (OBM) A respeito da resposta de um problema, Maurício, Paulo, Eduardo e Carlos fizeram as seguintes afirmações: I) Maurício: É maior que 5. II) Paulo: É menor que 10.
a) Somente a afirmação I é verdadeira. b) As afirmações I e III são verdadeiras. c) As afirmações I e II são verdadeiras. d) Somente a afirmação III é verdadeira.
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Prof. Pacher III) Eduardo: É um número primo. IV) Carlos: É maior que 12. Entre as afirmações acima, quantas, no máximo, podem ser verdadeiras? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10. (FCC) Em um dia de trabalho no escritório, em relação aos funcionários Ana, Cláudia, Luís, Paula e João, sabe-se que: - Ana chegou antes de Paula e Luís. - Paula chegou antes de João. - Cláudia chegou antes de Ana. - João não foi o último a chegar. Nesse dia, o terceiro a chegar no escritório para o trabalho foi: a) Ana. b) Cláudia. c) João. d) Luís. e) Paula. 11 . (FCC) O diagrama indica percursos que interligam as cidades A, B, C, D e E, com as distâncias dadas em quilômetros: A
10 8
4
C 4
3
7 3
13 9
7
5
D
B 6
14
E
Partindo-se de A e passando por E, C e D, nessa ordem, sem passar duas vezes pela mesma cidade, a menor distância que poderá ser percorrida para chegar a B é, em quilômetros, a) 68 b) 69 c) 70 d) 71 e) 72 12. (FCC) Em um concurso, João, Pedro e Lígia tentam adivinhar um número selecionado entre os números naturais de 1 a 9. Ganha o concurso aquele que mais se aproximar do número sorteado. Se João escolheu o número 4, e Pedro o número 7, a melhor escolha que Lígia pode fazer para maximizar sua chance de vitória é o número Atualizada 01/04/2008
Matemática
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8 13. (FCC) Com relação a três funcionários do Tribunal, sabe-se queI. João é mais alto que o recepcionista;II. Mário é escrivão;III. Luís não é o mais baixo dos três;IV. um deles é escrivão, o outro recepcionista e o outro segurança.Sendo verdadeiras as quatro afirmações, é correto dizer que: a) João é mais baixo que Mário. b) Luís é segurança. c) Luís é o mais alto dos três. d) João é o mais alto dos três. e) Mário é mais alto que Luís. 14. (VUNESP) Fábio, Antonio, Joaquim e Bernardo moram em casas separadas, todas localizadas no mesmo lado de uma rua retilínea. Sabe-se que a casa de Fábio localiza-se entre a casa de Joaquim e a casa de Bernardo. Sabe-se também que a casa de Joaquim localiza-se entre a casa de Bernardo e a casa de Antonio. Logo, a casa de a) Fábio fica entre as casas de Antonio e de Joaquim. b) Joaquim fica entre as casas de Fábio e de Bernardo. c) Bernardo fica entre as casas de Joaquim e de Fábio. d) Antonio fica entre as casas de Bernardo e de Fábio. e) Joaquim fica entre as casas de Antonio e de Fábio. 15. (UEL) Cada um dos três assessores administrativos de uma prefeitura (Paulo, Cristiano e Lucas) recebeu uma tarefa diferente. O prefeito solicitou um orçamento para o novo dos três. Lucas recebeu a tarefa de elaborar um parecer. Ao Paulo, que não é o mais velho, não foi solicitado que fizesse um orçamento. A partir dessas informações, é correto afirmar: a) O prefeito solicitou um orçamento para Paulo. b) Lucas não é o mais velho. c) Paulo é o mais novo. d) Cristiano recebeu do prefeito a solicitação de um orçamento. e) Cristiano é o mais velho. 16.(OBM) Quatro carros, de cores amarela, verde, azul e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul;
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Prof. Pacher que o carro verde é o menor de todos; que o carro verde está depois do carro azul; e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro da fila: a) é amarelo. b) é azul. c) é preto. d) é verde. e) não pode ser determinado apenas com esses dados. 17. (VUNESP) Considere a seguinte afirmação: Todos os irmãos de André têm mais de 180 cm de altura. Dessa afirmação, pode-se concluir que a) se Bernardo é irmão de André, então a altura de Bernardo é menor que 180 cm. b) se a altura de Caetano é maior que 180 cm, então ele é irmão de André. c) se a altura de Dario é menor que 180 cm, então ele não é irmão de André. d) a altura de André é maior que 180 cm. e) a altura de André é menor que 180 cm. 18. Um grupo de 4 pessoas, Andréia, Bruna, Carla e Daniela chegam em um carro à casa de uma amiga que está dando uma grande festa. Está chovendo muito e o grupo é forçado a estacionar a quatro quadras de distância por causa do grande número de carros das pessoas da festa. O grupo tem apenas um guarda-chuva que terá que ser utilizado por todas. Sabendo que Andréia é a mais rápida e faz o percurso do carro até a casa ou da casa até o carro em 1 minuto, Bruna leva 2 minutos, Carla leva 5 minutos e Daniela 10 minutos, e que apenas duas pessoas podem usar o guarda-chuva por percurso, qual o tempo mínimo para que o grupo todo saia do carro e chegue à festa? Qual a ordem usada para obter este tempo? 19. (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente, a) André, Caio, Beto, Dênis b) André, Caio, Dênis, Beto c) Beto, André, Dênis, Caio d) Beto, André, Caio, Dênis e) Caio, Beto, Dênis, André 20. (OBMEP) Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que:
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Matemática
- Luíza é maior que Antônio - Maria é menor que Luíza - Antônio é maior do que Júlio - Júlio é menor do que Maria. Quais deles têm a mesma altura? a) Maria e Júlio b) Júlio e Luíza c) Antônio e Luíza d) Antônio e Júlio e) Antônio e Maria 21. (OBMEP) Na reta abaixo estão representados os cinco números a, b, m, n, p e q.
q
0
p
1/2
a
b
1
m
2
n
Então os números que melhor representam , a+ b, a- b e ab são, respectivamente, a) m, p e q b) m, q e p c) n, q e p d) n, p e q e) q, m e p 22.(OBM) Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 10 kg. Considere a seguinte afirmação: “Este feirante consegue pesar (com uma pesagem) n quilogramas de batatas”. Quantos valores positivos de n tornam essa afirmação verdadeira, supondo que ele pode colocar pesos nos dois pratos?
a) 7 b) 10 c) 12 d)13 e)14 23. (FCC) Para fazer pesagens, um comerciante dispõe de uma balança de pratos, um peso de ½ kg, um de 2 kg e um de 3 kg.
Com os instrumentos disponíveis, o comerciante conseguiu medir o peso de um pacote de açúcar. O total de possibilidades diferentes para o peso desse pacote de açúcar é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
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b) 4 kg e) 12 kg
c) 6 kg
26.(ENEM) Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único instrumento disponível para pesagem é uma balança de dois pratos, sem os pesos metálicos. Realizando exatamente duas pesagem, os pacotes que podem ser feitos são os de: a) 3 kg, 6 kg e 12 kg c) 6 kg, 12 kg e 18 kg e) 4 kg, 6 kg e 8 kg
b) 10
e) 29. (FCC) Um certo número de dados de seis faces formam uma pilha única sobre uma mesa. Sabe-se que: - os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7; - a face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6; - os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais.Sendo verdadeiras as três afirmações acima, na pilha, a face do dado da pilha mais afastada da mesa: a) necessariamente tem um número de pontos ímpar. b) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for par. c) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for ímpar. d) tem 1 ponto, se o número de dados da pilha for par. e) necessariamente tem um número par de pontos. 30. (FCC) O desenho seguinte mostra a planificação de um cubo que apresenta um número pintado em cada face, como é mostrado na figura que segue.
b) 3 kg e 6 kg d) 4 kg e 8 kg
27.(OBM) Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 10 kg. Considere a seguinte afirmação: “Este feirante consegue pesar (com uma pesagem) n quilogramas de batatas”. Quantos valores positivos de n tornam essa afirmação verdadeira, supondo que ele pode colocar pesos nos dois pratos? a) 7
Matemática
c) 12
d)13
A partir dessa planificação, qual dos seguintes cubos pode ser montado? a)
b)
c)
d)
e)14
28. (FCC) Observe a figura seguinte:
e)
Qual figura é igual à figura acima representada? a)
b)
c)
d) Atualizada 01/04/2008
31. (FCC) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em correspondência com os números de 1 a 6, de tal maneira que a somados pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as três planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com dobras, um dado com as
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Prof. Pacher características descritas é (são):
Matemática
d) 11 e) 12 33 . Na figura, as faces em contato de dois dados possuem o mesmo número.
Se a soma dos números nas faces opostas de cada dado é sempre igual a 7, a maior soma possível dos números nas três faces sombreadas da figura é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 11 e) 15 34.(OBM) A figura abaixo foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo.
Qual das alternativas mostra o cubo assim formado? a) b) c) d) e)
I I e lI. I e III. II e III. I, II, III
32. (FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos números de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. Considere que a figura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces em contato não possuem quantidades de pontos iguais.
a)
b)
c)
d)
e) A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é: a) 7 b) 8 c) 9
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35.(OBMEP) Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura ao lado. Qual das figuras abaixo representa o
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Prof. Pacher cubo construído por Guilherme?
a)
d)
b)
e)
c) 36. (OBMEP) As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de 1 a 12, de modo que a soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a mesma. Joãozinho colou duas faces com números pares, obtendo a figura ao lado. Qual o produto dos números das faces coladas?
Matemática
38. (FCC) Em um corredor há 30 armários, numerados de 1 a 30, inicialmente todos fechados. Suponha que 30 pessoas, numeradas de 1 a 30, passem sucessivamente por esse corredor, comportando-se da seguinte maneira: a pessoa de número k reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de k. Por exemplo, a de número 3 reverte o estado dos armários de números 3, 6, 9, 12, ..., 30, abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Nessas condições, após todas as pessoas passarem uma única vez pelo corredor, o total de armários que estarão abertos é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 39. (FCC) Um mágico pede que um voluntário conte o total de palitos de uma caixa de fósforo, como a da figura. Em seguida, ele pede que a pessoa subtraia do total encontrado a soma do dígito da unidade com o da dezena.
fósforo Contém de 30 a 50 palitos
Se o mágico pretende afirmar algo necessariamente correto sobre o número final obtido após os cálculos do voluntário, poderá dizer que o número é: a) múltiplo de 4. b) múltiplo de 9. c) divisível por 6. d) ímpar. e) primo.
a) 42 b) 48 c) 60 d) 70 e) 72 37.(CESGRANRIO) Um certo jogo consiste em colocar onze pessoas em círculo e numerá-las de 1 a 11. A partir da pessoa que recebeu o número 1, incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na ordem natural dos números, e cada 3 a pessoa é eliminada, ou seja, são eliminadas as pessoas de números 3, 6 etc. Depois de iniciada, a contagem não será interrompida, ainda que se complete uma volta. Nesse caso, a contagem continua normalmente com aqueles que ainda não foram eliminados. Vence quem sobrar. O vencedor é a pessoa de número: a) b) c) d) e)
2 5 7 9 11
40. (ESAF-MPU) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é a) 6. b) 4. c) 2. d) 8. e) 10. 41.(OBM) Numa caixa havia várias bolas, sendo 5 azuis, 4 amarelas, 3 vermelhas, 2 brancas e 1 preta. Renato retirou 3 bolas da caixa. Sabendo que nenhuma delas era azul, nem amarela, nem preta, podemos afirmar a respeito dessas 3 bolas que:
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Prof. Pacher a) são da mesma cor. b) são vermelhas. c) uma é vermelha e duas são brancas. d) uma é branca e duas são vermelhas. e) pelo menos uma é vermelha. 42.(OBM) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual é o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que: As meias retiradas contenham um par da mesma cor? a) 5
b) 6
c) 2
d) 3
HOMERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO, .............. Determine a alternativa que preenche logicamente a lacuna: a) PÉS b) MÃO c) COSTAS d) BRAÇO e) TRONCO 47. Na seqüência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...) o número que sucede 22 é:
e) 7 a) 28
43.(OBM) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual é o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que: As meias retiradas contenham um par de cor branca? a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
e) 7
44. (FCC-TRF) Nas figuras seguintes têm-se três malhas quadriculadas, nas quais cada número assinalado indica o total de caminhos distintos para atingir o respectivo ponto, caminhando sobre a rede de cima para baixo, a partir do ponto A. rede 3 x 3 rede 2 x 2
A 1
1 1
2
A
A
rede 1 x 1
1
1 1
2 3
1
1 1
1 2 3
3
3 6 B
Raciocinando dessa maneira, quantos caminhos diferentes podem ser percorridos na rede 3 x 3, para se atingir o ponto B? a) b) c) d) e)
10 15 20 35 70
45. (FCC) Uma propriedade lógica define a sucessão das seguintes cidades sergipanas: JAPARATUBA, ITAPORANGA, LAGARTO, CARMÓPOLIS, X. Escolha a alternativa que substitui X dentro da lógica do problema: a) ARAUÁ b) ESTÂNCIA c) BOQUIM d) ITABAIANA e) CRISTINÁPOLIS 46. (FCC) Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica:
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Matemática
b) 29
c) 30
d) 31
e) 32
48. (FCC) Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica, escolhendo a alternativa que substitui “X" corretamente: LEIS, TEATRO, POIS, “X". a) Camarão. b) Casa. c) Homero. d) Zeugma. e) Eclipse. 49. (FCC) São dados três grupos de 4 letras cada um: (MNAB) : (MODC) :: (EFRS) : Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K,W e Y, então o grupo de quatro letras que deve ser colocado à direita do terceiro grupo e que preserva a relação que o segundo tem com o primeiro é a) (EHUV) b) (EGUT) c) (EGVU) d) (EHUT) e) (EHVU)
50. (AFR-ICMS-SP) Observe a figura a seguir e verifique que a faixa é formada por três linhas de quadradinhos em que a primeira e terceira linhas são apenas por quadradinhos brancos. A segunda linha alterna quadradinhos brancos e pretos.
O número de quadradinhos brancos necessários para uma faixa completa, de acordo com a figura, mas contendo 60 quadradinhos pretos é: a) 292 b) 297 c) 300 d) 303 e) 480
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Matemática
54.(FCC) A figura a seguir apresenta algumas letras disposta em triângulo, segundo determinado critério. I L
De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela deve ser preenchido com o número: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 52. (FCC) Na figura abaixo tem-se um conjunto de ruas paralelas às direções Ie II indicadas.
H ? E
J G
__ D
F N
C
__ B
A
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letras K, Y e W, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: a) b) c) d) e)
P O N M L
55. (FCC) Observe que a sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo um lei de formação. 4
Sabe-se que 64 pessoas partem de P: metade delas na direção I, a outra metade na direção II. Continuam a caminhada e, em cada cruzamento, todos os que chegam se dividem prosseguindo metade na direção I e metade na direção II. O número de pessoas que chegarão nos cruzamentos A e B são, respectivamente, a) 15 e 20 b) 6 e 20 c) 6 e 15 d) 1 e 15 e) 1 e 6 53. (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um triângulo segundo determinado critério.
Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de interrogação é a) P b) Q c) R d) S e) T
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4
8
5
X
7
14
11
12
10
Y
28
84
82
Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a: a) b) c) d) e)
40 42 44 46 48
56. (FCC) Em cada linha do quadro abaixo, as figuras foram desenhadas obedecendo um mesmo padrão de construção:
a)
d)
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e)
c) 57.(FCC) Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo um determinado padrão.
Os círculos no próximo quadrado, segundo o mesmo critério, deverão estar posicionados conforme indica a alternativa:
a)
b)
c)
d)
e)
? Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é: a) b)
59. (FCC) Um funcionário executa uma tarefa a cada 4 dias de trabalho. A primeira vez que fez essa tarefa foi em uma quinta-feira, a segunda vez foi em uma quarta-feira, a terceira em uma terça-feira, a quarta em um sábado, e assim por diante. Sabendose que não houve feriados no período indicado e que o funcionário folga sempre no(s) mesmo(s) dia(s) da semana, é correto afirmar que sua(s) folga(s) ocorre(m) apenas: a) segunda-feira. b) sexta-feira. c) domingo. d) domingo e sexta-feira. e) domingo e segunda-feira.
c)
60. (FCC) No diagrama abaixo, o retângulo maior representa o conjunto de todos os alunos do 1 o ano de Engenharia de uma faculdade e as outras três figuras representam os conjuntos desses alunos que foram aprovados nas disciplinas de Cálculo 1, Cálculo 2 e Álgebra Linear.
d)
e)
58.(EPPP) Observe que nas figuras abaixo os círculos comportam-se segundo um determinado padrão.
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Cálculo 1 é pré-requisito para Cálculo 2, ou seja, um aluno só pode cursar Cálculo 2 se tiver sido aprovado em Cálculo 1. Além disso, sabe-se que nenhum aluno do 1 o ano conseguiu ser aprovado ao mesmo tempo em Cálculo 2 e Álgebra Linear. A
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Prof. Pacher tabela abaixo mostra a situação de três alunos nessas três disciplinas:
Associando cada um desses alunos à região do diagrama mais apropriada para representá-los, temos: a) Paulo IV ,Marcos V , Jorge III . b) Paulo V ,Marcos III , Jorge I . c) Paulo V ,Marcos II , Jorge V . d) Paulo IV ,Marcos V , Jorge I . e) Paulo IV ,Marcos II , Jorge III .2 Instruções: Para responder a próxima questão considere os dados abaixo. Em certo teatro hà uma fila com seis poltronas que estão uma ao lado da outra e são numeradas de 1 a 6, da esquerda para a direita. Cinco pessoas - AIan, Brito, Camila, Décio e Efraim - devem ocupar cinco dessas poltronas, de modo que: - Camila não ocupe as poltronas assinaladas com números impares; - Efraim seja a terceira pessoa sentada, contando-se da esquerda para a direita; - Alan acomode-se na poltrona imediatamente à esquerda de Brito. 61. (FCC) Para que essas condições sejam satisfeitas, a poltrona que NUNCA poderá ficar desocupada é a de número a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 62. (FCC) A tabela indica os plantões de funcionários de uma repartição pública em três sábados consecutivos:
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b) Cristina. c) Julia. d) Ricardo. e) Silvia. 63. (FCC) Seis rapazes (Álvaro, Bruno, Carlos, Danilo, Elson e Fábio) conheceram-se certo dia em um bar. Considere as opiniões de cada um deles em relação aos demais membros do grupo: • Álvaro gostou de todos os rapazes do grupo; • Bruno, não gostou de ninguém; entretanto, todos gostaram dele; • Carlos gostou apenas de dois rapazes, sendo que Danilo é um deles; • Danilo gostou de três rapazes, excluindo-se Carlos e Fábio; • Elson e Fábio gostaram somente de um dos rapazes.Nessas condições, quantos grupos de dois ou mais rapazes gostaram um dos outros? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 64. Sabendo que apenas 1 caixa "diz" a verdade, diga em qual das caixas está a bola. Caixa1: - A bola está aqui Caixa2: - A bola não está aqui Caixa3: - A bola não está na caixa 1 Marque a alternativa correta: a) a bola está na caixa 1 b) a bola está na caixa 2 c) a bola está na caixa 3 d) a bola está na caixa que diz a verdade e) não é possível afirmar 65. Três atletas disputaram o melhor tempo para uma corrida de 100 metros. Enquanto um corria, outro cronometrava. No final, o cronômetro de Marcelo registrava 10,7 segundos, o de Roberto, 10,8 segundos e o de Eduardo, 10,9 segundos. Eduardo deu os parabéns ao vencedor. Qual foi a classificação? a)1º Roberto, 2º Eduardo e 3º Marcelo b) 1º Eduardo, 2º Roberto e 3º Marcelo c) 1º Marcelo, 2º Eduardo e 3º Roberto d) 1º Roberto, 2º Marcelo e 3º Eduardo e) 1º Eduardo, 2º Marcelo e 3º Roberto
Dos seis funcionários indicados na tabela, 2 são da área administrativa e 4 da área de informática. Sabese que para cada plantão de sábado são convocados 2 funcionários da área de informática, 1 da área administrativa, e que Fernanda é da área de informática. Um funcionário que necessariamente é da área de informática é: a) Beatriz. Atualizada 01/04/2008
66. (ESAF) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente:
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Prof. Pacher a) cinza, verde e azul b) azul, cinza e verde
c) azul, verde e cinza d) cinza, azul e verde e) verde, azul e cinza 67. (FCC) Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto: - Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. - Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. - Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram. Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por a) Aldo. b))Benê. c) Caio. d) Aldo e Benê. e) Aldo e Caio. 68. (ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo, a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco. e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis. 69. (ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que: 1) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas; 2) marido e esposa não jogam entre si. Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente: a) Celina e Alberto b) Ana e Carlos e) Celina e Gustavo c) Júlia e Gustavo d) Ana e Alberto e) Celina e Gustavo
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70. (ESAF) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem: a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis 71. (ESAF) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. -Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. -Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. -Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. -Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. -Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”. Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente, a) rainha, bruxa, princesa, fada. b) rainha, princesa, governanta, fada. c) fada, bruxa, governanta, princesa. d) rainha, princesa, bruxa, fada. e) fada, bruxa, rainha, princesa. 72. (ESAF) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é
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Prof. Pacher morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”. O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e) A loura é Elza e vai à Alemanha. 73. (ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber: Caixa 1: “O livro está na caixa 3.” Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.” Caixa 3: “O livro está aqui.” Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente, a) a caneta, o diamante, o livro. b) o livro, o diamante, a caneta. c) o diamante, a caneta, o livro. d) o diamante, o livro, a caneta. e) o livro, a caneta, o diamante. 74. (ESAF) Três meninos estão andando de bicicleta. A bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, a do outro é branca. Eles vestem bermudas destas mesmas três cores, mas somente Artur está com bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo, a) a bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta. b) a bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é preta. c) a bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca. d) a bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos é branca. e) a bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos é azul. 75.(OBM) Pedro e Maria formam um estranho casal. Pedro mente às quartas, quintas e sextas-feiras, Atualizada 01/04/2008
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dizendo a verdade no resto da semana. Maria mente aos domingos, segundas e terças-feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Certo dia, ambos dizem: ''Amanhã é dia de mentir''. O dia em que foi feita essa afirmação era: a) segunda-feira c) sexta-feira e) domingo
b) terça-feira d) sábado
76. (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso 77. (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: – “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel. – “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria 78. (ESAF) Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendose que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:
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Prof. Pacher a) Sandra, Teresa, Regina b) Sandra, Regina, Teresa c) Regina, Sandra, Teresa d) Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina 79. (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente, a) André, Caio, Beto, Denis b) André, Caio, Dênis, Beto c) Beto, André, Dênis, Caio d) Beto, André, Caio, Dênis e) Caio, Beto, Dênis, André 80.(ESAF-TCI) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então: a) Anaís será professora e Anelise não será cantora b) Anaís não será professora e Ana não será atleta c) Anelise não será cantora e Ana será atleta d) Anelise será cantora ou Ana será atleta e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista 81.(OBM) Quatro amigos vão visitar um museu e um deles resolve entrar sem pagar. Aparece um fiscal que quer saber qual deles entrou sem pagar. -Eu não fui, diz o Benjamim. -Foi o Carlos, diz o Mário. -Foi o Pedro, diz o Carlos. -O Mário não tem razão, diz o Pedro. Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do museu? a) Mário b) Pedro c) Benjamim d) Carlos e) não é possível saber, pois faltam dados 82. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,
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a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. 83.(FCC) Uma corrida de automóveis foi disputada apenas por cinco pilotos: André, Betão, Caco, Duda e Eurico. Ao cruzarem a linha de chegada, observouse que I. Duda chegou depois de André; II. Betão e Eurico chegaram juntos; III. Caco chegou antes de André; IV. Quem venceu chegou sozinho. Nessas condições, o vencedor da corrida foi a) André. b) Betão. c)) Caco. d) Duda. e) Eurico. 84.(FCC) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: – “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel. – “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria 85. João e José sentam-se, juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a João, pergunta-lhe: “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?”. João responde ao garçom: “Sou filho único, e o pai da pessoa que me acompanha é filho de meu pai”. Então, José é: a) pai de João b) filho de João c) neto de João d) avô de João e) tio de João 86.(FCC) Durante uma perícia feita em uma residência assaltada, foram encontrados os seguintes vestígios que, com certeza, haviam sido deixados pelos assaltantes. - uma lata vazia de refrigerante; - uma lata vazia de cerveja; - um fio de cabelo loiro; - um toco de cigarro.
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Prof. Pacher Após a realização da perícia, a polícia concluiu que os assaltantes eram apenas dois e que eles se encontravam entre cinco suspeitos – Alceste, Boni, Calunga, Dorival e Eufrásio – cujas características são as seguintes. - Alceste: só bebe refrigerante, tem cabelos loiros e não fuma. - Boni: bebe refrigerante e cerveja, tem cabelos pretos e não fuma. - Calunga: não bebe refrigerante e nem cerveja, é ruivo e fuma cigarros. - Dorival: só bebe cerveja, tem cabelos loiros e não fuma - Eufrásio: só bebe refrigerante, é careca e fuma cigarros. Com base nas informações dadas, é correto afirmar que os assaltantes eram: a) b) c) d) e)
Alceste e Boni. Dorival e Eufrásio. Boni e Calunga. Calunga e Dorival. Alceste e Eufrásio.
87. Um grupo de 4 pessoas será formado escolhendo-se entre 3 homens ( F, G, H ) e 4 mulheres ( W, X, Y, Z ). O grupo deverá ter pelo menos 2 homens e as seguintes condições deverão ser respeitadas:
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso 89. (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: – “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel. – “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria 90.(FCC) Tem-se abaixo o algoritmo da multiplicação de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.
F se recusa a trabalhar com Y; G se recusa a trabalhar com W; Y se recusa a trabalhar com Z. Com base nas informações acima, classifique em verdadeiro e falso: I) Se F não é escolhido, W também não o é; II) Se H não é escolhido, Z o é; III) Se G não é escolhido, W o é. A afirmativa correta para os itens na ordem crescente é: a) b) c) d) e)
3 X 1 Y 1 5 2 6 2 6 Z 1 T 2 8 2 3 8
x
+
6 4 4 4
Para que o resultado esteja correto, os algarismos X, Y, Z e T devem ser tais que a) X + 3T = Y + Z c) Y + 3T = X + Z e) Z + 2Y = 3X – Z
b) X + 2Y = 3T + Z d) Y + 2T = 2X – Z
91.(OBM) Para fazer 12 bolinhos, preciso exatamente de 100g de açúcar, 50g de manteiga, meio litro de leite e 400g de farinha. A maior quantidade desses bolinhos que serei capaz de fazer com 500g de açúcar, 300g de manteiga, 4 litros de leite e 5 quilogramas de farinha é:
VVV FFF VFV VVF FFV
88.(ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Atualizada 01/04/2008
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a) 48
b) 60
c) 72
d) 54
e) 42
92.(OBM) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias? a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
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93 .Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio? 94. (ESAF) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da seqüência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16 95. Chiquinha escreveu a palavra “ATRAPALHA” repetidamente, justapondo letras maiúsculas conforme indicado abaixo: ATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHAATRAPALH AATRAPALHAAT... Cansada de repetir, parou na milésima letra. Não se atrapalhe, e calcule quantas letras “A” escreveu. a) b) c) d) e)
434 454 445 554 444
lacração amostra lavra
----------
cal soma ?
Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o ponto de interrogação é: alar rala ralar larva arval
97. (FCC) A figura indica um quadrado de 3 linhas e 3 colunas contendo três símbolos diferentes:
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98.(FCC)
Então o produto entre uma bola, um triângulo e um quadrado, é:
96.(FCC) Os dois pares de palavras foram formadas segundo um determinado critério.
a) b) c) d) e)
Sabe-se que: 3- cada símbolo representa um número; - a soma dos correspondentes números representados na 1ª linha é 16; - a soma dos correspondentes números representados na 3ª coluna é 18; - a soma de todos os correspondentes números no quadrado é 39. Nas condições dadas, o valor numérico do símbolo é a) 8 b) 6 c) 5 d) 3 e) 2
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a) 160 b) 135 c) 120 d) 108 e) 100 99. (FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes representa um número natural. Os números indicados fora do retângulo representam as respectivas somas dos símbolos na linha 2 e nas colunas 2 e 4:
Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número: a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
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