Aporte N°1

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 203042_7 SEÑALES Y SISTEMAS

ANEXO 1 1. Un filtro analógico se encuentra representado por la siguiente función de transferencia: 𝐻(𝑠) =

𝑠2

500𝑠 + 500𝑠 + 250000

Determine: a) b) c) d)

La ganancia pico del filtro en dB La frecuencia en la cual se presenta la ganancia pico El ancho de Banda La respuesta al impulso del filtro en el dominio del tiempo (ℎ(𝑡)). e) La respuesta en estado estable para una entrada 𝑥1 (𝑡) = 10 cos(0.001𝑡) f) La respuesta en estado estable para una entrada 𝑥2 (𝑡) = 10 cos(500𝑡) g) La respuesta en estado estable para una entrada 𝑥3 (𝑡) = 10 cos(10000𝑡)

Desarrollo Numeral 1 Un filtro analógico se encuentra representado por la siguiente función de transferencia:

𝐻(𝑠) =

𝑠2

500𝑠 + 500𝑠 + 250000

Datos δ = Coeficiente de amortiguamiento ω = Frecuencia del sistema Despejamos los resultados de la frecuencia del sistema:

𝐻(𝑠) =

𝑠2

𝜔𝑛 = 𝜔𝑛2

𝑠 + 2𝛿𝜔𝑛 + 𝜔𝑛2

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 203042_7 SEÑALES Y SISTEMAS 𝜔𝑛 = √250000 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝜔

2𝛿𝜔𝑛 = 500 𝛿=

500 2𝜔𝑛

𝛿=

500 500 = 2(500) 1000

𝛿 = 0.5

a) La ganancia pico del filtro en Db 𝐻(𝑠) =

𝑠2

𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔) =

𝐻(𝑗𝜔) =

𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔) =

𝑠 + 2𝛿𝜔𝑛 + 𝜔𝑛2

500 𝑗 𝜔 (𝑗 𝜔)2 + 500𝑗 𝜔 + 250000 −

𝜔2

500 𝑗 𝜔 + 500𝑗 𝜔 + 250000 √(500𝑤)2

√(500 − 𝑤 2 )2 + (250000𝑤)2 500𝑤 √250000 − 1000𝑤 2 + 𝑤 4 + 62500000000𝑤 2 500𝑤 √𝑤 4 + 249000𝑤 2 + 62500000000 500 (500) √5004 + 249000(500)2 + 62500000000

= 0.5𝑑𝐵

b) La frecuencia en la cual se presenta la ganancia pico

𝜔𝑛 = 𝜔𝑛2 𝜔𝑛 = √250000

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c) El ancho de Banda 𝐴𝐵 = 𝜔𝑛√1 − 2𝛿 2 + √2 − 4𝛿 2 + 4𝛿 4 𝐴𝐵 = 𝜔𝑛√1 − 2(52 ) + √2 − 4(52 ) + 4(54 ) 𝐴𝐵 = 𝜔𝑛√1 − 2(25) + √2 − 4(25) + 4(625) 𝐴𝐵 = 10 ∗ 0.01020302 = 0.102030

d) La respuesta al impulso del filtro en el dominio del tiempo (𝒉(𝒕)). 𝐻(𝑠) = 𝐻(𝑠) =

𝑠2

500𝑠 + 500𝑠 + 250000

500𝑠 (𝑠 + 98.98) + 𝑠 + (1.01)

𝑠 = −98.98 𝑠 = −1.02 Por fracciones parciales tenemos: 𝐻(𝑠) =

500𝑠 𝐴 𝐵 = = 𝑠 + 98.98(𝑠 + 1.01) (𝑠 + 98.98) (𝑠 + 1.01)

𝐻(𝑠) =

500𝑠 𝐴(𝑠 + 1.01) + 𝐵(𝑠 + 98.98) = 𝑠 + 98.98(𝑠 + 1.01) (𝑠 + 98.98)(𝑠 + 1.01)

500𝑠 = 𝐴(𝑠 + 1.01) + 𝐵(98.98) Para s= -98.98 500(−98.98) = 𝐴(−98.98 + 1.01 + 𝐵(−98.98 + 98.98) −98.98 = 𝐴(−97.97) + 𝐵(0) 𝐴=

98.98 −97.97

𝐴 = −101 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = −1.01

500(−1.01) = 𝐴(−1.01 + 1.01) + 𝐵(−1.01 + 98.98)

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−101 = 𝐴(0) + 𝐵(97.97) 𝐵=

101 97.97

𝐵 = 1.03 ℎ(𝑡) = ∫ 1−1 (

−101 −1.03 ) + ∫ 1−1 ( ) (𝑠 𝑠 + 98.98 + 1.01)

e) La respuesta en estado estable para una entrada 𝒙𝟏 (𝒕) = 𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒕)

(h(0.001))

500(0.001) √(0.01)4 + 249000(0.01)2 + 6250000000

= 0.00000063

x(t) = 10 cos(0.001t) y(t) = 10(0.0000063) cos(0.001𝑡) y(t) = 0.000063 cos(0.001𝑡)

f) La respuesta en estado estable para una entrada 𝒙𝟐 (𝒕) = 𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝟎𝟎𝒕) (h(10))

500(500) √(500)4

+ 249000(500)2 + 6250000000

= 0.69

x(t) = 10 cos(0.001𝑡) y(t) = 10(0.69) cos(0.001𝑡) y(t) = 6.9 cos(0.001 𝑡)

g) La respuesta en estado estable para una entrada 𝒙𝟑 (𝒕) = 𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒕) (h(1000))

500(1000) √(10000)4 + 249000(10000)2 + 6250000000

(h(0.001))

500(500) √(500)4 + 249000(500)2 + 6250000000

= 0.049

= 0.69

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 203042_7 SEÑALES Y SISTEMAS x(t) = 10 cos(10000𝑡) y(t) = 10(0.049) cos(10000𝑡) y(t) = 0.49 cos(10000 𝑡)