La contribución de la India a las matemáticas En principio decir, que las matemáticas representan un alto nivel de abstracción logrado por la mente humana. En la India, las matemáticas tienen sus raíces en la literatura Védica, que tiene casi 4 a!os. Entre el "a.c. # "d.c. los tratados eran autori$ados por matemáticos indios en lo que por primera ve$ se utili$a el concepto para el cero, las técnicas para el álgebra # algoritmo, raí$ cuadrada # raí$ c%bica. &omo en las ciencias aplicadas, tecnología tecnología de la producción, # arquitectura arquitectura entre otras, los indios en tiempos antiguos hicieron también adelantos en ciencias abstractas como la 'atemática # (stronomía. )e ha aceptado ahora generalmente que la técnica de álgebra # el concepto de cero se originó en la India. *ui$ás el adelanto más signi+icativo que se consiguió en ese período +ue el nacimiento gradual del álgebra como disciplina matemática por derecho propio, con con inde indepe pend nden enci cia a de la arit aritmé métitica ca # la geom geomet etrí ría, a, pero pero estr estrec echa hame ment nte e relacionado con ambas. ambié mbién n empe empe$ó $ó a ser ser posi posibl ble e recon reconoc ocer er a la trig trigono onome metr tría ía como como divis divisió ión n sepa separa rada da de las las mate matemá mátticas icas,, # ha# ha# quie quien n ve en la trig trigon onom omet etrí ría a de los los musulmanes su obra más grande # más original. )e le puede conceder en parte la originalidad. -ero por ra$ones que quedarían claras cuando avancemos más, la trigonometría no tiene para las matemáticas actuales importancia comparable al algebra de los hind%es # de los musulmanes, con su lucha +racasada por un simbolismo operatorio. La trigonometría musulmana es todavía esencialmente la de olomeo, ampliada # per+eccionada con algunos ra$onamientos algebraicos # una etensa aplicación de la aritmética de los hind%es # de los musulmanes para el cálculo de las tablas. Las valuaciones que se hacen del álgebra de la India di+ieren mucho, pero ha# dos puntos sobre los que se está bastante de acuerdo. La demostración desagradaba tanto al temperamento indio como agradaba al griego/ los hind%es eran tan aptos para el cálculo como los griegos eran ineptos. )ólo eaminando el álgebra hind%
con una ecesiva simpatía se puede llegar a encontrar algo que se pare$ca a una demostración. )e enunciaban claramente las reglas, pero eso no constitu#e una demostración. 0a# un tercer rasgo de la primitiva álgebra hind% que sorprende al observador moderno como curioso en etremo1 los primeros algebristas epertos parecían encontrar las ecuaciones indeterminadas 2dio+ánticas3 mucho más +áciles que las ecuaciones determinadas del algebra elemental. n peque!o e5emplo del álgebra hind% nos bastaría para indicar la calidad de lo que los musulmanes heredaron, conservaron, # estropearon en parte. En el siglo VI, (r#abhatta sumó progresiones aritméticas, resolvió ecuaciones lineales indeterminadas con dos incógnitas, # usó las +racciones continuas. -oco después el álgebra hind% pasó por la que algunos consideran su edad de oro, con la obra de 6rahmagupta, a principios del siglo VII, 5ustamente cuando los musulmanes estaban a punto de iniciar sus correrías. 6rahmagupta enunció las usuales reglas algebraicas de los negativos, obtuvo una raí$ de las ecuaciones de segundo grado, # lo que es más notable, dio la solución entera completa de a$ 7 b# 8 c, en que a, b # c, son constantes enteras. ambién discutió la ecuación indeterminada a9 7 " 8 # 9. Esta %ltima recibe el nombre equivocado de ecuación de -elli/ inspiro a Lagrange en ":;;<;= alguna de sus me5oras obra matemática pura. Es +undamental en las teorías de aritmética de las +ormas cuadráticas binarias # de los campos cuadráticos. )in un amplio sistema numérico los hind%es estaban imposibilitados para crear algo que se pareciera a un algebra cientí+ica. (sí, 'ahavira, en el siglo I>, descartaba sin sombra de duda, como ineistentes los n%meros imaginarios con que se trope$aba sin tratar de eplicar su aparición. res siglos más tarde, 6has?ara percibió que las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, pero recha$ó las negativas.
El álgebra hind% dio un paso, hacia el simbolismo operatorio. (r#abhatta sugirió el uso de las letras para representar incógnitas. 6rahmagupta usó abreviaturas para cada una de las incógnitas que se presentan en problemas particulares # también para los cuadrados # para las raíces cuadradas. @istinguían
a los n%meros negativos con un punto/ # las +racciones las escribían como nosotros, pero sin la ra#a. n manuscrito de la época :<"", ehibe una cru$, como nuestro signo más, escrita después del n%mero a+ectado para indicar menos. Ao había signo de igualdad. 6rahmagupta también hi$o la reducción de los tres tipos de ecuaciones cuadráticas dio+ánticas con una incógnita a la +orma que ahora es habitual. El álgebra hind%, a pesar del uso liberal de las abreviaturas, era +undamentalmente retórica por no estar plenamente simboli$adas las instrucciones para operar. 6has?ara, aproimadamente en ""B. Cdio un método para deducir series de soluciones de &9 7 " 8 #9 a partir de una serie encontrada por tanteoD. Este problema es el de la llamada ecuación de -elli. ambién discutió & 9 7 6 8 # 9, en que & # 6 no son cuadrados per+ectos. En ":;;<;=, solucionó el problema de eistencia, # dio un método directo no empírico para encontrar todas las soluciones. Esto, # su +racasada tentativa de crear un simbolismo operatorio, parece haber sido la principal aportación de los hind%es al desarrollo de la matemática. Los árabes tradu5eron al árabe # al persa el álgebra hind%/ # como el árabe era un idioma importante no sólo en erudición, sino también en el comercio # en la guerra, el álgebra griega e hind%, simpli+icada # en cierto modo sistemati$ada por los árabes, acabo por penetrar en Europa. anto los hind%es como los árabes siguieron a @io+anto en lo que se puede llamar #utaposición aditiva para indicar las potencias sucesivas de la incógnita. (r#abhatta abrevió la incógnita a #a, # su segunda, tercera, cuarta, seta potencias a va, gha, va va, va gha, # así sucesivamente. La palabra para designar Craí$D era mula. 'ás se aproimaba el simbolismo al indicar el negativo de un n%mero escribiendo un punto o un circuito, encima del mismo. (lgunos persona5es que hicieron grandes contribuciones al álgebra hind%, se encuentran1
6rahmagupta1
6rahmagupta desarrolló algunas anotaciones algebraicas # presenta métodos para resolver ecuaciones cuadráticas 2ecuaciones indeterminadas entre otras3. 'a5umdar escribe1 6rahmagupta utili$ó el método de +racciones continuas qui$ás para encontrar la solución íntegra de una ecuación indeterminada. 'a5umdar da los versos sánscritos originales del 6rahmasphutasiddhanta de 6rahmagupta # su traducción inglesa con interpretación moderna. 6rahmagupta también resuelve ecuaciones indeterminadas cuadráticas. ambién se dan reglas para sumar series. 6rahmagupta da n%meros naturales a la suma de los cuadrados de los n primeros como n 2n7"3 29n7"3 ; # la suma de los cubos de los n primeros n%meros naturales. En el 6rahmasphutasiddhanta, dio unas +órmulas notables para el área de un cuadrilátero cíclico # para las longitudes de las diagonales en términos de los lados. Las contribuciones de 6rahmagupta al álgebra son mucho más importantes que sus reglas para el cálculo de áreas, #a que nos encontramos aquí con soluciones generales de ecuaciones cuadráticas inclu#endo las dos raíces aun en casos en que una de ellas es negativa/ de hecho, la primera ve$ que aparece sistemati$ada la aritmética de los n%meros negativos # del cero es en la obra de 6rahmagupta. Feglas esencialmente equivalentes a las que controlan las operaciones aritméticas con magnitudes negativas aparecían #a en los teoremas del álgebra geométrica de los griegos, pero re+eridas siempre a propiedades de la operación de restar, tales como, por e5emplo, 2a
0a# que decir también que los hind%es consideraban igualmente como n%meros las raíces irracionales de otros n%meros, cosa que no hicieron nunca, desde luego, los griegos. Este paso supuso una a#uda enorme para el álgebra, # los matemáticos hind%es han sido mu# elogiados por decidirse a adoptar esta medida, pero ha# que recordar, no obstante, que en este caso la contribución hind% +ue el resultado de una inconsciencia de tipo lógico más que de una pro+undidad matemática. a hemos visto que los matemáticos hind%es carecieron de una distinción clara entre los resultados eactos # los ineactos, # en consecuencia era lo más natural que no tomaran en consideración seriamente las di+erencias pro+undas entre las magnitudes conmensurables e inconmensurables. -ara ellos no había ning%n impedimento en aceptar los n%meros irracionales, # las generaciones posteriores siguieron su mismo camino de una manera alegre e ingenua, hasta que en el siglo >I> consiguieron al +in los matemáticos +undamentar el sistema de los n%meros reales sobre una base sólida. El álgebra hind% es notable especialmente por su desarrollo del análisis indeterminado, al que 6rahmagupta mismo hi$o varias contribuciones/ para mencionar sólo una, nos encontramos en su obra con una regla para la +ormación de ternas pitagóricas epresada en la +orma m, mn m J 2"93 9, mnm 7 2"93 9 aunque esta sea solamente una +orma modi+icada de la vie5a regla babilónica que 6rahmagupta pudo mu# bien conocer. La +órmula de 6rahmagupta del área para cuadriláteros, que hemos comentado más arriba, la utili$aba 5unto con las +órmulas para las diagonales, para hallar cuadriláteros cu#os lados, diagonales # áreas +ueran todos ellos n%meros racionales
6audha#ana
Escribir una biogra+ía de 6audha#ana es esencialmente imposible, #a que nada es conocido de él ecepto que es el autor de uno de los )ulvasutras más tempranos. Ao se sabe con eactitud la +echa de su nacimiento ni de su muerte. ( continuación, unos detalles del )ulvasutra de 6audha#ana, el cual tuvo tres capítulos que son los más vie5os que nosotros conocemos, # sería 5usto decir que uno de los más importantes. El )ulvasutra de 6audha#ana contiene soluciones geométricas de ecuaciones lineales.
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(proimadamente en el siglo V d.&. se desarrolló un sistema de matemáticas que permitía hacer cálculos astronómicos de manera sencilla. (l inicio, su aplicación +ue limitada a la astronomía #a que sus pioneros +ueron astrónomos. El álgebra es un método de cálculos manuales que resume mucha escritura # por esta ra$ón sustitu#ó a los cálculos aritméticos convencionales. (l momento de estar le#endo algunos documentos, me daba cuenta que el persona5e más importante de la cultura hind% +ue 6rahmagupta, esto no quiere decir que los demás no ha#an tenido alg%n mérito, pero este persona5e hi$o muchas aportaciones al álgebra 5unto con (l
